Page 1

M A T E M A T Y K A Matematyka w otaczającym nas świecie

Dystrybucja i zamówienia: Skr. pocztowa 18, 80-422 Gdańsk 22 tel. 602 211 526 dział zamówień i reklamacji tel./fax 585 208 745 pinia@podkowa.gda.pl www.podkowa.gda.pl

2014 - Roz - klasa 3.indd 1

ISBN 978-83-88299-33-9

3

M A T MATEMATYKA w otaczającym nas świecie E M A T Y K A Alicja Cewe Małgorzata Krawczyk Maria Kruk Alina Magryś-Walczak Halina Nahorska

zakres podstawowy i rozszerzony

3

Podręcznik

licea ogólnokształcące technika

DO NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

2014-03-11 12:00:55


7

R

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Miara łukowa kąta Znacie już pojęcie kąta oraz jego miary stopniowej. Mówiliśmy dotychczas o kątach, których miara nie przekraczała 360°. Na przykład:

kąt ostry a 0° < α < 90°

kąt prosty a α = 90°

kąt rozwarty a 90° < α < 180°

kąt pełny a α = 360°

Wprowadzimy pojęcie miary łukowej kąta, która miarę kąta środkowego uzależnia od długości łuku okręgu. AB Niech kąt AOB będzie kątem środkowym opartym na łuku  o długości £ w okręgu o środku O i promieniu r. Wtedy stosunek długości łuku £ do długości okręgu jest równy stosunkowi miary kąta środkowego a , gdzie α =  AOB , opartego na tym łuku do miary kąta pełnego, co zapisujemy: α £ π rα = , skąd £ = . 2π r 360° 180°

£=  AB

Przykład 1. Oblicz długość £ łuku okręgu o promieniu r, na którym oparty jest kąt środkowy a. Jaką częścią okręgu jest ten łuk? a) α = 90° b) α = 30° c) α = 150° . α £ Rozwiązanie. Ponieważ = , więc: 2π r 360° 90 1 1 £ £ a) = ⇔ = ⇔ £ = ⋅ 2π r 2π r 360 2π r 4 4 30 1 1 £ £ b) = ⇔ = ⇔ £ = ⋅ 2π r 2π r 360 2π r 12 12 150 5 5 £ £ c) = ⇔ = ⇔ £ = ⋅ 2π r 2π r 360 2π r 12 12

_Księga LO kl3R RR.indb 7

1 okręgu), 4 1 ( okręgu), 12 5 ( okręgu). 12

(

R

2014-03-11 10:19:19


8

R

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Ćwiczenie 1. W kole o promieniu r kąt środkowy a ma miarę 120° i jest oparty na łuku £ o długości £. Oblicz stosunek , gdy: a) r = 1, b) r = 2 , c) r = 3 . r Uwaga. Stosunek długości łuku £ odpowiadającego kątowi środkowemu a do promienia okręgu r jest dla kąta środkowego wielkością stałą. £ – miara łukowa kąta a. • r

r1

£1 r2

£2

£1 £2 = r1 r2

Radianem nazywamy miarę kąta środkowego opartego na łuku o długości równej promieniowi r tego okręgu. radian – jednostka miary łukowej kąta,

O  – środek okręgu, r  – promień okręgu.

rad – symbol radiana.

1 rad =

180° π rad , π rad = 180° , 2π rad = 360° . , 1 rad ≈ 57°17′45′′ , 1° = 180 π

Np.: 120° to

2 π rad , 3 .

180° to p rad.

α = 2π rad piszemy α = 2π ,

α=

π π rad piszemy α = . 6 6

Przykład 2. Wyraź w radianach miary kątów: a) 30°, b) 120°, c) 300°, d) 360°. Rozwiązanie  

π rad , więc: 180 π π π 2π a) 30° = 30 ⋅ = , b) 120° = 120 ⋅ = , 180 6 180 3 π 5π π c) 300° = 300 ⋅ = , d) 360° = 360 ⋅ = 2π . 180 3 180 2π 5π π Odp.: a) 30° = , b) 120° = , c) 300° = , d) 360° = 2π . 6 3 3 Ponieważ 1° =

R

Ćwiczenie 2. Wyraź w radianach miary kątów: 45°, 270° i 330°.

_Księga LO kl3R RR.indb 8

2014-03-11 10:19:24


9

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

R

Przykład 3. Wyraź w stopniach miary łukowe kątów: π a) rad , 3

π b) rad , 4

3 11 c) π rad , d) π rad . 4 12 180° Rozwiązanie.   Ponieważ 1 rad = , więc: π π π 180° π π 180° a) = ⋅ = 60° , b) = ⋅ = 45° , 3 3 π 4 4 π 3 3π 180° 11 11π 180° c) π = ⋅ = 135° , d) π= ⋅ = 165° . 4 4 π 12 12 π π π 3 11 Odp.: a) = 60° , b) = 45° , c) π = 135° , d) π = 165° . 3 4 4 12 .

.

.

.

Ćwiczenie 3. Wyraź w stopniach miary łukowe kątów: ,

7 13 17 π, π i π. 6 9 9 .

.

.

Kąt jako miara obrotu W kątach, które omawialiśmy, nie wyróżniono kolejności ramion. Jeśli określimy kolejność ramion kąta a , czyli wyróżnimy ramię początkowe i końcowe, to o kącie a mówimy, że jest kątem skierowanym. Kąt skierowany oznaczamy łukiem zakończonym strzałką, która wskazuje jego ramię końcowe. Kąt skierowany AOB

Kąt skierowany AOB

Jeżeli przyjmiemy, że półprosta OA jest ramieniem początkowym, a półprosta OB jest ramieniem końcowym, to mówimy, że kąt AOB jest kątem skierowanym. W matematyce przyjęto, że • kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest kątem skierowanym dodatnio, • kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest kątem skierowanym ujemnie.

_Księga LO kl3R RR.indb 9

R

2014-03-11 10:19:27


10

R

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Na przykład duża wskazówka zegara w ciągu jednej godziny zakreśla 1 kąt o mierze –360°, a w ciągu 1 godziny zakreśla kąt –540°, 2 przy czym −360° = −1 ⋅ 360° + 0° , −540° = −2 ⋅ 360° + 180° . Miarę każdego kąta skierowanego możemy przedstawić w postaci: • k ⋅ 360° + α , gdzie 0° ≤ α < 360° i k jest dowolną liczbą całkowitą, albo • k ⋅ 2π + α , gdzie α ∈ 0; 2π ) i k jest dowolną liczbą całkowitą. Miarę a nazywamy miarą główną kąta skierowanego.

Na rysunkach poniżej przedstawiamy kąty skierowane b, g, j, których miarą główną jest kąt a.

β = 1 ⋅ 360° + α

γ = 2 ⋅ 360° + α

ϕ = −1 ⋅ 360° + α

Uwaga. • Jeżeli ramiona katów skierowanych pokrywają się, to ich miary główne są równe. • Kąty przeciwne, to kąty, których miary są liczbami przeciwnymi.

Przykład 4. Przy wkręcaniu śruba wykonała 3 pełne obroty, a przy wykrę1 obrotu. Określ miarę kąta skierowanego, jaki zakreśla punkt A na 2 brzegu „główki” śruby przy jej: a) wkręcaniu, b) wykręcaniu i podaj jego miarę główną. caniu 2

Rozwiązanie  a) wkręcanie

b) wykręcanie

R

_Księga LO kl3R RR.indb 10

2014-03-11 10:19:29


11

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Przy wykręcaniu śruby półprosta SA obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, więc kąt, jaki zakreśla, ma miarę dodatnią 1 β = 2 ⋅ 360° = 900° 2 900° = 2 ⋅ 360° + 180° .

Przy wkręcaniu śruby półprosta SA obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, więc kąt, jaki zakreśla, ma miarę ujemną

γ = 3 ⋅ ( −360° ) = −1080° −1080° = −3 ⋅ 360° + 0° . α = 0° – miara główna kąta g.

R

α = 180° – miara główna kąta b.

Ćwiczenie 4. Określ, jaki kąt, dodatni czy ujemny, zakreśla punkt na kierownicy samochodu, gdy kierowca skręca: a) w prawo, b) w lewo.

Przykład 5. Oblicz miarę główną kąta skierowanego a, którego miara jest równa: a) 420°, Rozwiązanie

b) –120°,

c) –600°,

d)

25 π. 6 .

a) 420° = 1 ⋅ 360° + 60° , czyli α = 60° , b) −120° = −1 ⋅ 360° + 240° , czyli α = 240° , c) −600° = −2 ⋅ 360° + 120° , czyli α = 120° , 25 24 1 1 1 π π = π + π = 4π + π = 2 ⋅ 2π + π , czyli α = . 6 6 6 6 6 6 π Odp.: a) α = 60° , b) α = 240° , c) α = 120° , d) α = . 6 d)

Ćwiczenie 5. Oblicz miary główne kątów: 500°, – 300°, 1120°, Kąty skierowane umieszcza się na płaszczyźnie kartezjańskiej, w taki sposób, że:

35 25 π, − π. 6 3 .

P = ( xP , y P )

• wierzchołek kąta pokrywa się z początkiem układu (punktem O = ( 0, 0 ) ), • ramię początkowe pokrywa się z dodatnią półosią x, • ramię końcowe kąta umieszcza się w zależności od miary kąta.

_Księga LO kl3R RR.indb 11

r = OP = x p2 + y 2p r – promień wodzący punktu P (odległość punktu P od początku układu współrzędnych)

R

2014-03-11 10:19:33


12

R

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Ćwiczenie 6. Oblicz długość promienia wodzącego punktu P, gdy: a) P = (1, 3) ,

b) P = ( −2, 4 ) ,

c) P = ( −5, − 5 ) ,

d) P = ( 3, − 4 ) .

Przykład 6. Zaznacz na płaszczyźnie kartezjańskiej kąt skierowany a , którego miara jest równa: a) –90°,

b) –450°,

c) 900°,

d)

5 π, 4 .

e)

3 π, 2 .

7 f) − π . 6

Rozwiązanie

a)

b)

c)

α = −90° d)

α = −450° e)

α = 900° f)

5 α= π 4

3 α= π 2

7 α =− π 6

Ćwiczenie 7. Zaznacz na płaszczyźnie kartezjańskiej kąt skierowany a, którego miara 3 jest równa: a) –390°, b) 540°, c) π , d) −3π . 4 .

Ćwiczenie 8. Rysunek przerysuj do zeszytu i zaznacz dwa kąty o mierze dodatniej oraz dwa kąty o mierze ujemnej, których ramieniem początkowym jest dodatnia półoś x, a ramieniem końcowym półprosta OP. a) b) c) d) 4

R

_Księga LO kl3R RR.indb 12

–3

3

–1

3

2014-03-11 10:19:36


13

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Uwaga. Kąty ćwiartki I, II, III lub IV to kąty, których miary główne spełniają jeden z warunków: albo

0° < α < 90° ,

90° < α < 180° ,

180° < α < 270° ,

270° < α < 360°

 π α ∈  0;  ,  2

π  α ∈ ;π  , 2 

 3  α ∈π; π  ,  2 

3  α ∈  π ; 2π  . 2 

Kąt ćwiartki II

Kąt ćwiartki III

Kąt ćwiartki IV

Kąt ćwiartki I

R

Przykład 7. Podaj, w której ćwiartce układu współrzędnych leży końcowe ramię kąta o mierze: a) –50°,

b) –228°,

c) 910°,

Rozwiązanie

d) −

23 π. 6

a) −50° = −1 ⋅ 360° + 310° i 270° < 310° < 360° , więc kąt –50 jest kątem ćwiartki IV. b) −228° = −1 ⋅ 360° + 132° i 90° < 132° < 180° , więc kąt –228° jest kątem ćwiartki II. c) 910° = 2 ⋅ 360° + 190° i 180° < 190° < 270° , więc kąt 910° jest kątem ćwiartki III. 23 −24 + 1 −24 1 1 1 π d) − π = π= π + π = −2 ⋅ 2π + π oraz 0 < π < , 6 6 6 6 6 6 2 23 więc kąt − π jest kątem ćwiartki I. 6 Odp.: a) Ćwiartka IV, b) ćwiartka II, c) ćwiartka III, d) ćwiartka I. Ćwiczenie 9. W której ćwiartce układu współrzędnych leży końcowe ramię kąta o mierze: 7 5 –64°, 1230°, –543°, π, − π? 4 3 .

Uwaga. Kątów, których miara główna jest wielokrotnością kąta

π (ramię końcowe 2

.

pokrywa się z jedną z półosi układu współrzędnych), nie zaliczamy do żadnej ćwiartki układu współrzędnych.

_Księga LO kl3R RR.indb 13

R

2014-03-11 10:19:40


14

R

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Odpowiedzi do ćwiczeń 1. a), b), c)

£ 2π = . r 3

π 3 11 , π , π . 4 2 6

2.

3. 210°, 260°, 340°.

.

.

5. Kolejno: 140°, 60°, 40°,

.

π π , . 6 3

.

6. a)

.

4. a) Ujemny, b) dodatni.

10 , b) 2 5 , c) 5 2 , d) 5.

9. Kolejno ćwiartka: IV, II, II, III, IV.

Zadania utrwalające

1.1. Wyraź w radianach miary kątów: 6°, 9°, 12°, 15°, 27°, 36°, 72°, 80°, 105°, 310°. 1.2. Wyraź w stopniach miary kątów:

5 7 5 7 7 35 6 8 7 16 11 π, π, π, π, π, π, π, π, π, π, π. 18 18 9 12 9 36 5 5 4 9 6 .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1.3. Uzupełnij tabelę: a)

b)

Miara stopniowa 30° Miara łukowa

60°

π 4

π 9

.

Miara stopniowa 120°

90° .

π 12

c)

.

p

.

d)

Miara stopniowa 200° Miara łukowa

3 5 π π 4 6

Miara łukowa

.

160°

Miara stopniowa 300°

240°

7 5 π π 6 4 .

.

13 3 π π 12 2 .

.

Miara łukowa

340°

11 7 π π 6 4 .

.

2π .

1.4. Koło wykonuje 320 obrotów w czasie 8 minut, obracając się przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Jaki kąt zakreśla koło w czasie jednej sekundy? Podaj jego miarę w radianach.

1.5. Koło zębate ma 48 zębów i obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Podaj miarę kąta odpowiadającego obrotowi koła o: a) 2 zęby, b) 6 zębów, c) 30 zębów,

d) 72 zęby.

1.6. Zegar wskazuje godzinę 800. Podaj miarę kąta, jaki zakreśli duża wskazówka zegara przy obrocie do godziny: b) 825, a) 815,

c) 935,

d) 1050.

1.7. Zaznacz w układzie współrzędnych kąt a taki, że: a) α = 225° ,

R

d) α = 810° ,

_Księga LO kl3R RR.indb 14

b) α = 450° , 3 e) α = − π , 4

c) α = −405° , 7 f) α = π . 12

2014-03-11 10:19:46


15

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

1.8. Oblicz miary główne kątów: a) 400°, 750°, 1210°, 2000°, 11 21 35 35 π, π, π, π, c) 3 2 6 4 .

.

.

R

b) –130°, –280°, –600°, –1090°, 5 17 35 π d) − , − π , − π , − π . 12 6 4 12

.

1.9. Podaj, w której ćwiartce układu współrzędnych leży końcowe ramię kąta o mierze: 306°, 195°, –320°, –210°, –45°, –1240°,

5 5 1 π , − π , 3 π , 10 π . 9 4 2 .

.

.

.

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta W klasie pierwszej zapoznaliśmy się z funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, a także z funkcjami trygonometrycznymi kątów, których ramię końcowe leżało w ćwiartce I lub II. Podobnie określamy funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. y

P = ( x, y ) x

Kąt ćwiartki I

P = ( x, y )

Aby określić wartości funkcji trygonometrycznych kąta umieszczonego  w układzie współrzędnych, obieramy  na  ramieniu  końcowym  tego  kąta  dowolny  punkt  P,  różny  od  punktu  O = ( 0, 0 )  taki, że  P = ( x, y ) .

x

y Kąt ćwiartki III

a c

cos α =

b c

tg α =

P = ( x, y )

a b

y x

Kąt ćwiartki II

r = OP = x 2 + y 2 Odległość punktu  P  od  początku  układu  współrzędnych  (liczbę  r)  nazywamy  promieniem  wodzącym  punktu P.

sin α =

x

y

P = ( x, y )

Kąt ćwiartki IV

Sinusem kąta a nazywamy stosunek rzędnej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta do promienia wodzącego tego punktu.

sin α =

y r

Cosinusem kąta a nazywamy stosunek odciętej dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta do promienia wodzącego tego punktu.

cos α =

x r

tg α =

y x

Tangensem kąta a nazywamy stosunek rzędnej do odciętej różnej od 0 dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu tego kąta.

( x ≠ 0) .

_Księga LO kl3R RR.indb 15

R

2014-03-11 10:19:55


16

R

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Przykład 8. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, na którego końcowym ramieniu leży punkt P, gdy: a) P = ( −1, − 2 ) ,

b) P = ( 3, − 4 ) .

Rozwiązanie.   Kąt a i jego końcowe ramię zaznaczamy w układzie współrzędnych.

a)

b)

P = ( −1, − 2 ) P = ( 3, − 4 )

P = ( −1, − 2 ) , więc r=

( −1) + ( −2 ) = 5 2

2

Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych: y −2 −2 5 sin α = = = r 5 5 x −1 5 cos α = = =− r 5 5 y −2 tgα = = = 2. x −1

P = ( 3, − 4 ) , więc r = 32 + ( −4 ) = 5 2

Korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych: y −4 sin α = = r 5 x 3 cos α = = r 5 y −4 tgα = = . x 3

Ćwiczenie 10. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, wiedząc, że na jego końcowym ramieniu leży punkt P, gdy: a) P = ( 8, − 15 ) , b) P = ( −5, 12 ) , c) P = ( − 3 , − 1) . Ćwiczenie 11. Końcowe ramię kąta b leży w ćwiartce II i zawiera się w prostej o równaniu y = −3 x . Wyznacz współrzędne dowolnego punktu leżącego na końcowym ramieniu kąta b oraz oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta. Sporządź odpowiedni rysunek. Uwaga. Jeśli punkt P leży na końcowym ramie-

P = ( cos α , sin α )

niu kąta a i jego promień wodzący jest równy 1 ( OP = 1 ), to P = ( cos α , sin α ) .

R

sinα =

y x i cosα = . 1 1

_Księga LO kl3R RR.indb 16

2014-03-11 10:20:08


17

1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Przykład 9. W układzie współrzędnych półprosta OP jest końcowym ramieniem kąta a π takiego, że α = . Wyznacz współrzędne punktu P, gdy OP = 1. 6

Rozwiązanie

P = ( x, y )

π π P = ( x, y ) i OP = 1, więc x = cos i y = sin , 6 6  3 1 π 3 π 1 x = cos = i y = sin = . Zatem P =  , . 6 2 6 2  2 2

Ćwiczenie 12. Posługując się danymi z tabeli, podaj współrzędne punktu P leżącego na końcowym ramieniu kąta a, gdy OP = 1 oraz:

π a) α = , 4

π b) α = . 3

Ćwiczenie 13. Uwzględnij dane

R

π 6

.

Wartości funkcji trygonometrycznych kątów, gdy: Funkcja trygonometryczna

a

30° =

π 6

45° =

π 4

60° =

sin a

1 2

2 2

3 2

cos a

3 2

2 2

1 2

tga

3 3

1

a)

π 3

3

b)

na rysunku i wyznacz współrzędne punktów: P1, P2, P3, P4. Podaj miary główne kątów

skierowanych, których końcowymi ramionami są półproste OP3 i OP4 .

Ćwiczenie 14. Uwzględnij dane przedstawione na rysunku i podaj wartości funkcji trygonometrycznych kąta: π 5π 4π a) − , b) , c) , 6 3 3 2π 17 π d) − , e) . 6 3 .

5π 6 .

4π 3 .

.

.

_Księga LO kl3R RR.indb 17

 3 1 ,  − 2 2 

 1 3 − , −  2   2

2π π 3 − 3 1 3  ,−  2  2

R

2014-03-11 10:20:20

Fragment MOR3 Wydawnictwa Podkowa  
Advertisement