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Compito22_07_2010.nb

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Compito FISICA GENERALE TB/T2/LB del 22/07/2010

1) In una regione dello spazio vuoto è presente un campo elettrostatico il cui potenziale vale V(x,y,z)= C Hx2 - y2 + z2 L dove C è una costante. Determinare le espressioni: a) del modulo del campo elettrico nella posizione P definita dalle coordinate (x,y,z). b) dell’energia elettrostatica immagazzinata all’interno di un cubo di lato L che ha un vertice coincidente con l’origine e gli spigoli giacenti sugli assi coordinati x,y e z. Soluzione: a) E = - “ V = -2 C Hx êi - y êj + z êkêL b) L'energia elettrica contenuta in un volume V, caratterizzato da una superficie S, vale Ø

Ø

e0 e0 U = ÅÅÅÅ ÅÅ V E ÿ „ S + ÅÅÅÅ ÅÅ E2 „ t 2 ‡ 2 ŸV Ø

Ø

S

Integrale sulla superficie: NB: si considerano solo le 3 superfici parallele rispettivamente ai piani YZ, XZ e XY distanti L dai suddetti piani, perché gli integrali sulle altre 3 superfici congruenti con i piani stessi danno un contributo nullo, essendo nulla su di essi la relativa componente del campo elettrico. Quindi e0 e0 ÅÅÅÅ ÅÅ V E ÿ „ S = ÅÅÅÅ ÅÅ VHL, y, zL Ex HL, y, zL dy dz + 2 ‡ 2 Ÿ0 Ÿ0 Ø

Ø

L

L

e0 ÅÅÅÅ ÅÅ VHx, L, zL Ey Hx, L, zL dx dz + 2 Ÿ0 Ÿ0

S

L

L

e0 ÅÅÅÅ ÅÅ VHx, z, LL Ez Hx, y, LL dx dy 2 Ÿ0 Ÿ0 L

L

= - ÅÅÅÅ73 e0 C2 L5

Integrale sul volume e0 ÅÅÅÅ ÅÅ E2 „ t = 2 C2 e0 Ÿ0 Ÿ0 Ÿ0 Hx2 + y2 + z2 L „ x „ y „ z = 2 e0 C2 L5 2 ŸV L

L

L

Si giunge infine ala determinazione dell'energia nel volume cubico pari a : U= - ÅÅÅÅ13 e0 C2 L5

2) Una spira rettangolare di lati a e b è complanare ad un filo rettilineo indefinito percorso da corrente i. I due lati della spira lunghi b sono paralleli al filo e all’istante t= 0 ne distano rispettivamente d e d+a. La spira si muove di moto rettilineo uniforme sul piano, allontanandosi dal filo con velocità V0 e mantenendo sempre i lati paralleli a se stessi. Calcolare le espressioni a) del flusso del campo magnetico concatenato con la spira al generico istante t; b) della circuitazione del campo elettrico lungo il bordo della spira. Soluzione: Ø

mi B = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ uqê 2 p r êêê

F = Ÿd+V

d+a+V0 t

spira

Ø

0

t

Ø

mi mi d+a+V0 t b ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ „ r= b ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ lnI ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M 2pr 2p d+V0 t

a b i m V0 d E ÿ „ l = - ÅÅÅÅ ÅÅ F = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ dt 2 p Hd+t V0 L Ha+d+t V0 L


paralleli a se stessi. Calcolare le espressioni a) del flusso del campo magnetico concatenato con la spira al generico istante t; b) della circuitazione del campo elettrico lungo il bordo della spira. Compito22_07_2010.nb Soluzione: Ø

mi B = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ uqê 2 p r êêê

F = Ÿd+V

d+a+V0 t

spira

Ø

0

t

mi mi d+a+V0 t b ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ „ r= b ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ lnI ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ M 2pr 2p d+V0 t

Ø

a b i m V0 d E ÿ „ l = - ÅÅÅÅ ÅÅ F = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ dt 2 p Hd+t V0 L Ha+d+t V0 L

3) Si consideri un solenoide cilindrico di raggio R e lunghezza indefinita, costituito da n spire per unità di lunghezza attraversate dalla corrente i(t)=I sin(w t), dove I e w sono quantità note. Usando la legge della circuitazione del campo elettrico, calcolare l’espressione del mo dulo del campo elettrico presente all’interno del solenoide in funzione del tempo, della distanza r dall’asse del solenoide e dei dati del problema. Soluzione: Occorre calcolare il flusso variabile nel tempo del campo di induzione magnetica del solenoide su una superficie di raggio variabile r, coassiale al solenoide (ovvero col centro sull'asse del solenoide) Ø

B = n mo I sin(w t) F(B) = n mo I sin(w t) p r2 nei moduli ¶∂t F = n mo I w cos(w t) p r2 = 2p r E da cui (tenendo conto che nella III eq di Maxwell c'e' un segno meno tra i membri) Ø

n mo I w E =- ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos(w t) r uêêêqê 2

4) Un condensatore con C1 = 50 pF è caricato a 50 V. Dopo aver staccato la batteria, il capacitore viene collegato in parallelo ad un altro, inizialmente scarico. Si osserva che la tensione finale ai capi dei condensatori e’ di 20 V. Calcolare: a) la capacità C2 del secondo condensatore; b) l’energia persa nelloperazione. Soluzione: a) Per la conservazione della carica QT = Q1 + Q2 , con QT = V50 C1 Dal parallelo di C1 con C2 si ha che Q1 Q2 V20 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ; Q1 = V20 C1 , da cui segue Q2 = HV50 - V20 L C1 C1 C2

Q2 HV50 -V20 L quindi : C2 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ C1 = ÅÅÅÅ32 C1 = 75 pF V20 V20

b) l'energia iniziale vale ÅÅÅÅ12 C1 V50 2 = 62.5 nJ, quella finale vale ÅÅÅÅ12 HC1 + C2 L V20 2 = 25 nJ Nell'operazione quindi si perdono 37.5 nJ

5) Si ricavino dimensioni e unità di misura della costante dielettrica del vuoto ¶ε0. Soluzione: Dall'equazione del campo elettrico si ha, trascurando le costanti adimensionali e utilizzando i moduli delle grandezze vettoriali: q q E = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ , da cui e0 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ , e0 r2 E r2 a) dimensioni: Q Q2 1 @e0 D = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ1Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m l t -2 Q-1 l2 m l2 t-2 @ED @rD2 C F b) unità di misura: ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ (F = Farad) mV m

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5) Si ricavino dimensioni e unità di misura della costante dielettrica del vuoto ¶ε0. Compito22_07_2010.nb Soluzione: Dall'equazione del campo elettrico si ha, trascurando le costanti adimensionali e utilizzando i moduli delle grandezze vettoriali: q q E = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ , da cui e0 = ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ , e0 r2 E r2 a) dimensioni: Q Q2 1 @e0 D = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = Q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ1Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m l t -2 Q-1 l2 m l2 t-2 @ED @rD2 C F b) unità di misura: ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ (F = Farad) mV m

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