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Obteniendo el Retrato Fase del p´endulo Janeth Alexandra Garc´ıa Monge 3 de octubre de 2010

1.

Resumen

Con el fin de encontrar los puntos cr´ıticos del p´endulo(estables e inestables), es necesario obtener y describir el retrato fase del sistema. El retrato fase representa las trayectorias que puede tener un sistema din´amico; para lograrlo es necesario seguir una serie ordenada de pasos, debido a lo complejo que puede llegar a ser este proceso es indispensable el apoyo de herramientos computacionales. Primero, es necesario resolver la ecuaci´on de segundo grado del movimiento del p´endulo, encontrar diferentes soluciones del sistema y graficar los datos obtenidos. Las herramientas computacionales que ser´an de gran apoyo para resolver este problema son: un editor(EMACS), compilador(FORTRAN), un graficador(GNUPLOT) y un tip´ografo(LATEX).

2.

Introducci´ on

Llamamos retrato fase de un sistema din´amico a la familia de todas las curvas del sistema. Est´an determinados por dos ecuaciones diferenciales de primer grado; para construirlo se utiliza un simulador de sistemas no lineales, graficando trayectorias de un n´ umero grande de condiciones condiciones inicales, i.e., computacionalmente[1] El p´endulo es un sistema f´ısico con la capacidad de oscilar por acci´on de la gravedad o alg´ un otra caracteristica f´ısica. Se conoce como p´endulo simple o ideal al constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible 1


y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vac´ıo y sin rozamiento. Al separar la masa de su posici´on de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posici´on, desplaz´andose sobre una trayectoria circular con un movimiento peri´odico.[2] As´ı pues, nos interesa resolver la ecuaci´on de movimiento de este oscilador g d2 θ (1) = − sin θ 2 dt l donde θ es el ´angulo del p´endulo de longitud l y g = 9.81m/s2 es la aceleraci´on debido a la fuerza de gravedad. Hay diferentes maneras para resolver la ecuaci´on, sin embargo en este trabajo se busca llegar a las posibles soluciones por medio del m´etodo SemiImplicito de Euler, en el cual mediante un sistema de dos ecuaciones de primer grado, es posible ir encontrar los valores de las variables en n iteraciones para cualquier pareja de condiciones iniciales.[3] Para ello es necesario elaborar un programa que encuentre los valores para las n iteraciones de las diferentes condiciones inicales, en este caso el program ser´a elaborado en lenguaje FORTRAN y para graficar los datos GNUPLOT.

3.

Metodolog´ıa

El primer paso es empezar a trabajar con ecuaciones de estado, i,e, pasar de la ecuaci´on de segundo grado del oscilador a un sistema de dos ecuaciones de primer grado. Las ecuaciones que se obtienen son, dθ = −ω (2) dt dω g = − sin θ (3) dt l donde (2) y (3) representan f(t,ω) y g(t,θ) respectivamente. Debido a que es necesario evaluar en un n´ umero muy grande de condiciones iniciales, adem´as de que se requiere un cantidad considerable de iteraciones, se necesita un programa que resuelva el problema mediante el m´etodo seleccionado. Para poder aplicar el m´etodo semi-implicito de Euler en f y g, es necesario tener primero los valores para (θ0 ,ω0 ). Una vez establecidos los valores inciales para cada variable y sus n iteraciones, se puede empezar a calcular los valores, de la siguiente manera,

2


ωn+1 = ωn −

g sin θ dt l

θn+1 = θn + ω dt

(4) (5)

donde para cada valor de θ0 y ω0 existe una soluci´on u ´nica para el sistema. El programa consiste en realizar un ciclo con las condiciones iniciales, el tiempo y el n´ umero de iteraciones. Cada ciclo se va guardando en un mismo archivo .dat. Una vez que se recopil´o un n´ umero grande de condiciones inicales con sus respectivos ciclos, se introducen todos los datos en un GRAFICADOR.

4.

Resultados

Al graficar ω vs θ con todos los datos obtenidos, se obtiene una imagen como como en la Figura 1. Esta gr´afica representa el retrato fase del movimiento del p´endulo simple.[4]

Figura 1: Retrato Fase P´endulo 3


En la Figura 1 es posible determinar los puntos cr´ıticos del sitema. Un punto estable en un sistema din´amico se puede decir que es un punto en el que gradiente de energ´ıa potencial es cero, por consecuencia un punto inestable es aquel en el que su energa potencial es diferente de cero. Por ejemplo, es posible apreciar los puntos estables en valores de θ = 0, 2π, 4π, . . . , 2nπ y los puntos inestables se encuentran en valores que van de θ = [0, π], [2π, 3π], [4π, 5π]

5.

Conclusi´ on

En el retrato fase muestra todos los posibles estados de un sistema din´amico. Cada curva representa una condici´on inicial diferente. Tambi´en reciben el nombre de curvas de energ´ıa, ya que cada punto posee una gradiente de energ´ıa potencial. Por esta raz´on el retrato fase representa un mejor an´alisis del comportamiento de sistemas din´amicos, ya que es posible apreciar con claridad las curvas de energ´ıa del sistema, i.e., sus puntos cr´ıticos. Adem´as para obtener una representaci´on es necesario implementar medios computacionales, para hacer el trabajo m´as r´apido y sencillo.

Referencias [1] Etchechoury M. (2005). Sistemas No-Lineales. [2] Resnick, R. y H., D. (2004). F´ısica 4. CECSA, M´exico. [3] Wikipedia (English). Consultado: 01 de Octubre del 2010. http://en. wikipedia.org/wiki/Semi-implicit_Euler_method. [4] Wikipedia (English). Consultado: 01 de Octubre del 2010. http://en. wikipedia.org/wiki/Phase_portrait.

4


A.

C´ odigo FORTRAN

!!--------------------------------------------------------------------------REAL, PARAMETER :: pi=4*atan(1.) Real:: t, thei, omi, dt, theta, omega, g, l Integer :: n, i Character:: respuesta="s" Open(13, file= "datospendulo.dat",position="append",status="unknown") Open(31, file= "deltadatospendulo.dat",position="append",status="unknown") !---------------------------------------------------------------------------! Definicion de las variables: !t= Tiempo total del sistema !thei= Theta inicial !omi= Omega inicial !dt= Delta t !theta= Valores del angulo !omega= Velocidad angular !g= Gravedad !l= longitud del pendulo !!---------------------------------------------------------------------------Do while(respuesta=="s") Print*, "Introduzca el angulo (en radianes, en terminos de pi), la velocidad angular (rad/segundo), ambos en t0" Read*, thei, omi Print*, "Ahora, introduzca el tiempo total, la longitud del pendulo y el numero de iteraciones que desea calcular:" Read*, t, l, n thei= pi*thei g=9.81 dt = t/real(n) Write (13,*) thei, omi Write (31,*) thei, omi omega= omi-(g/l)*sin(theta)*dt theta= thei+(omega*dt) Do i = 1,n omega = omega - (g/l)*sin(theta)*dt theta = theta + (omega*dt) Write (13,*) theta, omega Write (31,*) theta, omega End do

5


Close(31) Print*, "Desea seguir calculando los valores para theta y omega con un valores diferentes en las variables y en la iteracion" Read*, respuesta End do CLOSE(13) End Program pendulo -----------------------------------------------------------------------------------------

B.

Elaboraci´ on de gr´ aficas

Para elaborar las gr´aficas, s´olo se necesita tener un archivo con los datos que desea graficar. En especial, para graficar el espacio fase cualquier funci´on es necesario que todos los datos esten en un mismo archivo. Para cada pareja de valores inciales le corresponde una gr´afica, por ello es esencial contar con el mayor n´ umero de datos posibles para tener un espacio fase lo m´as completo posible. Una vez que se tengan todos los datos en un mismo archivo es necesario graficarlos. En la Figura 1 los valores inicales van de θ0 =[-π,π],[π,3π],[3π,5π] y para ω0 = 0, 1, 5, 10, 15 y fue graficada en GNUPLOT.

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Obteniendo el Retrato Fase del pendulo simple