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UNIVERSIDAD DE TALCA

ESCUELA DE ARQUITECTURA

APUNTES DE CLASES 2012

CIENCIAS BÁSICAS CURSO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ARQUITECTURA


UNIVERSIDAD DE TALCA ESCUELA DE ARQUITECTURA Primera Edición Abril de 2013. Producción: Escuela de Arquitectura Recopilación de Apuntes, Edición y Diagramación: Jaime Latorre Soto. Encuadernación: www.milimetros.cl Contacto: jalatorre@utalca.cl

2


ÍNDICE

PRÓLOGO

05

CAPÍTULO 1 (PRIMER AÑO): GRAFOS

07

1.1 GRAFOS 1.2 SIMETRÍA

08

CAPÍTULO 2 (PRIMER AÑO): TOPOLOGÍA

37

24

2. TOPOLOGÍA

38

CAPÍTULO 3 (SEGUNDO AÑO): FULLERENO

57

3. FULLERENO

BIBLIOGRAFÍA

ÍNDICE

69

CIENCIAS BÁSICAS 2012

58

3


4


PRÓLOGO 0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

La siguiente publicación consiste en una selección de apuntes de los cursos de Matemáticas del primer y segundo año de la Escuela de Arquitectura de la Universidad de Talca, dictados durante el año 2012. La compilación de éstos contenidos tiene como objetivo constituir un material de apoyo docente para estudiantes de arquitectura. Los cursos de 1er año fueron realizados por el Instituto de Matemáticas, mientras que el segundo año presentado en ésta publicación, fué realizado por la Escuela de Arquitectura a través de una serie de ejercicios cercanos al ámbito de la profesión del arquitecto. Los temas estudiados en primer año son teoría de grafos, simetría e introducción a la topología. El estudio de grafos logra abrir un camino a la comprensión de las cualidades pre-geométricas de las formas, tales como la vecindad, la conexión y la posición relativa respecto de fronteras determinadas. Éstas cualidades aparecen en las primeras etapas de un proyecto de arquitectura (circulación, orientación, relación entre un espacio u otro,etc).

Si la arquitectura de los períodos clásicos otorgaba una gran importancia a la simetría en la proyectación, la arquitectura contemporánea se inclina hacia la búsqueda de la asimetría; sin embargo, en los diseños asimétricos aún se percibe la simetría como la norma a partir de la cual se produce la desviación, por lo tanto conocer la simetría es, a su vez, comprender la asimetría. El contenido de topología para estudiantes de arquitectura está enfocado principalmente a la comprensión de diversas superficies en distintas dimensiones. También hay un acercamiento al concepto de homeomorfismo de superficies y la característica de Euler (invariante topológica), la cual devela la relación que hay entre el número de vértices, caras y aristas de toda superficie sometida a una triangulación. Finalmente, en segundo año el énfasis está puesto en acercar los conocimientos de ciencias básicas, de primer y segundo año, a la práctica del diseño en arquitectura, generando un puente entre el aprendizaje teórico y el empírico a través de la construcción de un prototipo a escala.

La simetría estudia la disposición de las partes de un todo. Así como los números miden cantidad, la noción de “grupo” mide la simetría.

Jaime A. Latorre Soto. Arquitecto | Coordinador 1er Año | Editor Responsable

5

4.0 BIBLIOGRAFÍA


GRAFOS

1° AÑO / BIMESTRE 01

1

1.1 GRAFOS 1.2 SIMETRÍA

Profesor del curso: Maximiliano Leyton ( Inst. Mat. ) Profesor ayudante: Javier Arriaza ( Inst. Mat. ) Profesor ayudante: Jaime Latorre ( Esc. Arq.) Número de alumnos: 155 Número de secciones: 1 Número de clases: 6 ( más 2 de evaluaciones ) Evaluaciones examen escrito: 2 Evaluaciones trabajo práctico (modelo físico): 4

Propósitos del módulo:

Productos esperados del módulo:

En relación a las competencias y capacidades que el alumno obtendrá:

Se espera que el alumno asimile las ideas básicas del método científico y el pensamiento lógico en el análisis de ciertos problemas. También fabricarán objetos planares y tridimensionales que permitan la mejor compresión de algunos conceptos matemáticos Bibliografía: - Fomin D.; Genkin S.; Itenberg LL.; “Mathematical Circles (Russian experience)”.American Mathematical Society, 1996. .

Metodología: Se harán cátedras para introducir la teoría y ayudantías para clarificar los conceptos vistos en las cátedras. Para motivar el estudio de la teoría, se darán un buen número de tareas que enfrenten al alumno a ciertos problemas que son difícil de comprender sin la teoría.

- Balakrishnan R .; Ranganathan K.; “A Textbook of Graph Theory. (English summary)”.New York, 2000. - Weyl Hermann; “Symmetry”.Princeton University Press, Princeton, 1989.

7

BIMESTRE 01

También el alumno manejará algunos ejemplos que le permitirán comprender mejor a importancia de la matemáticas en el desarrollo del conocimiento humano.

CIENCIAS BÁSICAS 1

- Nociones del método científico - Nociones básicas de la teoría de grafos - Nociones de simetrías de cuerpos geométricos


1.1

GRAFOS

8


Tipos de Grafos

Problema 01

1) Grafo Simple:

Diseñar una planta de 5 habitaciones, tal que cada habitación tenga exactamente 3 puertas, que la comunican con 3 habitaciones distintas.

En un grafo simple no hay bucles,ni dos o más aristas entre un mismo par de vértices.

0.0 PRÓLOGO

Ejemplo: 1.1 GRAFOS

4 habitaciones conectadas todas entre si mediante 3 puertas c/u (habitación a,b,c y d).

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

Esquema de las habitaciones:

d

b

c

a

2) Multigrafo :

3.0 FULLERENO

En un multigrafo hay aristas múltiples. Puede tener más de una arista uniendo el mismo par de vértices.

4.0 BIBLIOGRAFÍA

Los vértices v1 y v2, están unidos por las aristas L1,L2 y L3.

L1

Situación planteada como grafo: a

b

v1

L2

L5

v2 L4

L3

v4

v3 L6

3) Pseudo grafo : c

En un pseudo grafo hay aristas múltiples y bucles. Un “bucle” o “lazo” es un enlace cuyo puntos finales son el mismo vértice.

d

Observación 01 En general un diagrama de ésta forma es llamado “Grafo”. Los puntos del grafo son llamado “vértices” y las conexiones entre vértices son las “aristas”.

9


Teorema 01

Volvemos al Problema 01

Sea “G” un grafo y “V” las aristas del grafo, la suma de los grados es “siempre” igual al doble del número de aristas. v4

Ejemplo: grado(v1): 1 + grado(v2): 3 + grado(v3): 2 + grado(v4): 2 + grado(v5): 0

La planta de 5 habitaciones, tal que cada habitación tenga exactamente 3 puertas, que la comunican con 3 habitaciones distintas. Expresemos el problema en terminos de grafos: ¿Existe un grafo G de 5 vértices (# V=5), tal que el grado (v) = 3, para todo vértice v en V.? Suma de los grados de cada vértice: 3+3+3+3+3=15

v3

v5

Como el resultado de la suma de los grados de los vértices no es un número par, entonces no existe un grafo G.

v2

v1

=8

(*) Corolario 01 En un grafo, el número de vértices con un grado impar es par. Ejercicio:

n° aristas = 4 Entonces 2 # A (2A = sumatoria grado vértices)

¿Se puede dibujar 9 segmentos de linea en el plano, tal que cada linea intersecta exactamente a otras 3? (Hay que pensar que cada segmento es un vértice de un grafo,y que las intersecciones son aristas)

Sea G un grafo, V los vértices y A las aristas: a

b

L1

Entonces: Notemos que son 9 vértices de grado 3 cada uno.

L5 L4

3 x 9 = 27. (No tiene solución, ver Teorema 1)

L2 L6

c

L3

d

V= a,b,c,d A= L1,L2,L3,L4,L5,L6 Sea v  V, el grado de (v) es el número de aristas incidentes en v.

10

Notas: (*) Un corolario (del latín corollarium) es un término que se utiliza en las matemáticas y en la lógica, para designar la evidencia de un teorema o definición ya demostrada, sin necesidad de tener que invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente, que no necesita demostración.


Componente conexa de un grafo es un sub grafo maximal conexo.

Conexidad y Ciclos Considerar el siguiente grafo G:

c

d

L3

f L5

L2

L4

e a a

L1

Un sub grafo conexo maximal de G es llamado componente conexa de G.

0.0 PRÓLOGO

Ejercicio:

1.1 GRAFOS

Sea G un grafo, ¿Cuáles son las componentes conexas del siguiente grafo?

1.2 SIMETRÍA

b

d

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

Camino de “a” hacia “d”.

Grafo G: 4.0 BIBLIOGRAFÍA

Camino: Un camino es una secuencia de aristas. Considerando el ejemplo anterior del grafo G, un camino de “a” hacia “d”, va por aristas L1 y L2, o por las aristas L4 y L3.

v5

v1

v4 v2

Grafo Conexo: v3 v9

Un grafo es conexo si existe un camino que conecta a cualquiera de los vértices del grafo.

v8

Entonces, en relación al ejemplo anterior, el grafo G no es conexo, porque no existe un camino de “a” hacia “e”, ni de “c” hacia “f”, etc.

v7 v6

Un ciclo es un camino cerrado. Un camino cerrado es aquel que llega al mismo vértice del comienzo.

Solución: Las componentes conexas son:

Considerar el siguiente grafo G’: c

d

a

b

1) v9 2) v1, v2, v3, v4, v5 3) v6, v7, v8

Ciclo Cerrado: Comienza en “a” y termina en “a”.

11


Problema 02

Ayudantía

1) En la Región del Maule implementan un nuevo sistema de transporte intercomunal.

Grafo 1: c

El sistema satisface las siguientes propiedades: a

a) Hay exactamente 21 líneas que llegan a Talca.

b

b) Hay solamente 1 línea que llega a Rari. c) A toda otra ciudad llegan exactamente 20 líneas.

d

Solución:

grado (a)= 1 grado (b)= 3 grado (c)= 2 grado (d)= 2

Razonamiento por contradicción:

4 vértices, 4 aristas.

Si no es posible viajar desde Talca a Rari, entonces Talca y Rari pertenecen a componentes conexas distintas.

Suma de los grados de los vértices = # 8

Pruebe que es posible viajar desde Talca hacia Rari.

La componente conexa que contiene a Talca tiene 1 sólo vértice de grado impar (grado Talca=21).

Grafo 2: c

Esto es una contradicción con el Corolario 1, entonces se puede Llegar desde Talca a Rari. a

b

2) A un equipo de Arquitectos Urbanistas se les encarga estudiar un sistema de comunicación vial para 7 localidades del valle central chileno. a) Dibuje un grafo que represente a estas 7 localidades y en donde cada localidad este conectada, directamente, con exactamente otras 2. b) ¿Es posible que cada localidad esté comunicada (directamente) con exactamente otras 3?

d Grado 3 en todos sus vértices (grafo regular, aquel que tiene igual grado en todos sus vértices) 4 vértices, 6 aristas. Suma de los grados de los vértices = #12

(Ver solución al final del capítulo).

12


Grafo 3:

Respecto del problema 02

c

Sistema de transporte para la Región del Maule. (Ver pág.12) b

a

Siempre en un grafo totalmente conexo la cantidad de vértices de grado impar es par. d

grado (a)=3 grado (b)=4 grado (c)=4 grado (d)=4 grado (e)=3

El grafo cumple con el corolario1, por lo tanto el grafo existe.

0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

Entonces, es posible llegar desde Talca a Rari.

e

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

Rari (grado 1)

Suma de los grados de los vértices: #18 Talca (grado 21)

Corolario1: Hay 2 vértices (número par) de grado impar.

otra ciudad (grado 20)

Grafo 4:

c Fin ayudantía

b

a

Recordemos las siguientes definiciones: d

1) Un grafo es conexo si cualquier par de vértices puede ser conectado por un camino. 2) Un camino es una secuencia de aristas consecutivas.

e grado (a)=3 grado (b)=3 grado (c)=4 grado (d)=4 grado (e)=2

3) Componente conexa es un sub grafo maximal. 4) Un camino cerrado se llama “Ciclo”

Suma de los grados de los vértices: #16 Corolario1: hay 2 vértices (número par) de grado impar.

13

4.0 BIBLIOGRAFÍA


Ejemplo: Sea el grafo G

a

b

Resolveremos por contradicción

f h

A

g

c

d

B

e

El grafo G no es conexo. Hay 3 componentes conexas: (a-b-c-d; e-f-g y h). La componente conexa de vértices a-b-c-d es un ciclo, porque es un camino que comienza en “a” y termina en “a”. La componente conexa de vértices “e, f, g” no es un ciclo, porque el camino comienza en “e” y termina en “g”.

8 vértices

8 vértices

Vértices A y B de grado 7

La componente conexa de vértice “h” no es un ciclo.

Solucionaremos por contradicción, así que vamos a suponer que el grafo no es conexo, por lo tanto, no hay un camino que conecte el vértice A con el B.

Problema

Según el enunciado del problema, hay 7 autopistas que salen de cada ciudad, por lo tanto la ciudad A y B son vértices de grado 7.

En un país hay 15 ciudades y de cada ciudad salen a lo menos 7 autopistas que conectan con otra ciudad. Pruebe que podemos ir de cualquier ciudad a otra utilizando alguna autopista. (En otros términos, el ejercicio consiste en probar que el grafo es conexo).

Si el grafo no es conexo, y hay 2 ciudades (vértices A y B de grado 7 ambas), en total tendríamos un grafo de 16 vértices, lo cual es una contradicción, ya que el problema menciona 15 ciudades,por lo tanto el grafo es conexo (se puede llegar de una ciudad a otra mediante alguna autopista).

Nota: En matemáticas hay 3 métodos para hacer una afirmación con respecto a algún problema:

Teorema 02

(Válido para grafos simples)

Sea G un grafo simple de n vértices, tal que el grado de (v) ≥ n - 1 para todo vértice v. Entonces G es conexo.

1. Forma directa 2. Por contradicción 3. Por Inducción.

14


Grafos Eulerianos

Definición: Grafo Euleriano

El problema de los Puentes de Königsberg.

Un camino que recorre cada arista de un grafo y sólo una vez es llamado “Camino Euleriano”.

C

Un camino Euleriano cerrado es llamado “Ciclo Euleriano”.

0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

A

D 1.2 SIMETRÍA

Teorema 03

B

Un grafo conexo G (grafo simple) es Euleriano si y sólo si todo vértice tiene grado “par”. Problema:

Teorema 04

En Königsberg atraviesa el río Pregel, dejando 2 islas que se unen entre ellas y con el resto de la ciudad mediante 7 puentes.

Un grafo conexo tiene un camino Euleriano si y sólo si G tiene a lo más 2 vértices de grado impar.

¿Es posible dar un paseo cruzando todos los puentes una sola vez y volver al punto de partida del paseo?.

Problema del cubo.

Este problema fue resuelto por Leonhard Euler, y dió origen a la Teoría de Grafos.

Construir un cubo con alambre.

A continuación se presenta el problema representado por un grafo, donde tierra firme es representada por vértices y las conexiones entre estas porciones de tierra (puentes) se representan con aristas.

El ejercicio consiste en hacer el mínimo de cortes posible en el alambre para poder construir el cubo. ¿Puedo construir las aristas del cubo sin cortar el alambre?

C

La respuesta a ésta pregunta es No. Si se pudiera construir el cubo sin hacer ningún corte, significaría que el grafo del cubo sería Euleriano. A

El grafo del cubo no es Euleriano porque todos sus vértices son de grado impar.

D

¿Cuantas veces tengo que cortar como mínimo para construir el cubo? La respuesta es 4. Hay que tener 4 segmentos de alambre para poder construir un cubo, porque el grafo de un cubo tiene 4 grafos Eulerianos.

B Multigrafo

15

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA


Grafos Eulerianos en el Cubo: G1

G2

2) G4

G3

1 2

7

T= 2p+2

8

trozo de alambre 6 Supongamos que G = G1 U G2 U G3 (cortando alambre en 3 segmentos, donde cada segmento representa un grafo) Donde Gi admiten caminos Eulerianos, entonces cada grafo tiene a lo más 2 vértices de grado impar (Teorema 4).

3 4

5

n° vértices = 3 n° aristas = 10 2 x 3 + 2 = 8 Triángulos.

Observación 1: El n° de aristas podemos obtenerlo así:

Entonces: A = 3p + 1

G1: 2 vértices impares G2: 2 vértices impares G3: 2 vértices impares

Revisemos el ejemplo anterior (2):

En total el grafo G tendría 6 vértices de grado impar, y eso es una contradicción porque el grafo del cubo en realidad tiene 8 vértices de grado impar.

Ayudantía: Con respecto al problema de la triangulación, a partir de vértices insertos en un cuadrado. Ejemplos:

3p + 1 = 3 x 3 + 1 = 10 Aristas. Se cumple. Observación 2: Siempre el número de triángulos menos 2 veces el nº de aristas es 4. Esto se cumple en vértices inscritos en figuras de 4 lados. 3T-2A=4 Tarea: Verificar mediante esta misma operación, que sucede con los puntos insertos en una figura de 3, 5 y 6 lados.

1)

1

Problema del Cubo (ver pág. 15)

6 2 5

3 4

Un grafo es Euleriano si y sólo si todos sus vértices tienen grado “par”. (ver Teorema 3) T= 2p+2 Ejemplo: El siguiente grafo (de un cubo) no es Euleriano ya que todos sus vértices son de grado Impar.

T = n° Triángulos P = Vértices

Comprobemos si se cumple:

(3)

(3)

n° vértices = 2 n° aristas = 7

(3) (3) (3)

2 x 2 + 2 = 6 Triángulos. (3)

Se Cumple.

(3) (3)

16


Tetraedro:

Observación:

El grafo del Tetraedro tiene todos sus vértices de grado impar, por lo tanto no es Euleriano.

Desde ahora en adelante “un ciclo” es un camino cerrado que no pasa más de una vez por un mismo vértice. 0.0 PRÓLOGO

Ejemplo: a

b

1.1 GRAFOS

d

1.2 SIMETRÍA

e 2.0 TOPOLOGÍA

b Tetraedro: 4 vértices 6 aristas 4 caras

d

c Grafo del Tetraedro: todos sus vértices de grado 3

c

4.0 BIBLIOGRAFÍA

a a-b-d-c; Recorre todos los vértices sin pasar más de una vez por uno. El grafo es un ciclo cerrado.

Nota importante: Un grafo tiene un camino Euleriano si a lo más tiene 2 vértices de grado impar. (Ver Teorema 4, pág 15.) Los siguientes grafos, son sub-grafos del cubo y del Tetraedro. Ambos tienen camino Euleriano (a lo más tienen 2 vértices de grado impar)

a-b-d-e-b-c; Recorre todos los vértices, pero pasa 2 veces por el vértice b. El grafo no es un ciclo cerrado.

Definición: Árbol Un “Árbol” es un grafo conexo sin ciclos.

(2) (2)

(3)

Ejemplo:

(2) (3)

(2)

(3)

(2)

(2)

(2) (2)

(2)

Fin ayudantía Grafo 1

17

3.0 FULLERENO

Grafo 2


Tarea: Encontrar todos los sub-grafos (que son árboles) maximales, contenidos en el grafo G. Un árbol maximal es aquel que no tiene otro árbol que lo contenga.

vn v1

Enunciamos que es un camino simple que no se repiten las aristas. Sin embargo hay 2 caminos simples que conectan V1 con Vn, lo cual es una contradicción, por lo tanto G es un árbol.

Definición: Un camino es simple si no incluye una arista del camino más de una vez. Ejemplo: v2

v3 a2

Teorema 05

(Reciproco de la proposición anterior)

Sea G un árbol de a lo menos 2 vértices, entonces cualquier par de vértices son conectados por un y sólo un camino simple.

v4 a3

Demostración:

a1

Por contradicción: Supongamos que existen 2 caminos simples que conectan los vértices a y b.

v1 v1 - v3 - v2 - v3 - v4 ; No es un camino simple, ya que si comenzamos en v1 y tratamos de recorrer todos los vértices, se repetiría la arista a2.

Proposición: Si G es un grafo tal que cualquier par de vértices puede ser conectado por un y sólo un camino simple, entonces G es un árbol. Pero es posible extraer un ciclo, lo cual es una contradicción con las hipótesis del teorema.

Demostración: 1) G es Conexo 2) Supongamos que G no es un árbol, entonces existe un ciclo C contenido en G.

18


Teorema 06

Para probar esto, nuestra hipótesis H(n) es: Sea G un grafo de “n” vértices, entonces G: # A (n) = n - 1

Sea G un grafo V(G) y A(G) son los vértices y las aristas de G respectivamente.

1) H(1) Si n = 1, nuestro grafo sería de # A= 0. Satisface # A (n) = n - 1, por lo tanto H(1) es verdad.

G es un árbol si y sólo si el número de vértices es igual al

0.0 PRÓLOGO

número de aristas + 1. 2) Entonces supondremos que H(n) es verdad para todo n ≤ m-1.

#V (G) = # A (G) + 1

Probaremos que H(m) es verdad. Supondremos que H(n) es verdad para todo n ≤ m-1.

Ejemplo:

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

Sea a y b dos vértices del grafo G (que es un árbol), entonces existe un camino simple que une “a” con “b”. G

4.0 BIBLIOGRAFÍA

#V (G) = 5 #A (G) = 4 b

a

5=4+1 Es un árbol

G1

G2

Todos los vértices conectados con a.

Todos los vértices conectados con b.

G1 es un árbol G1 es conexo

G2 es un árbol G2 es conexo

#V (G) = 8 #A (G) = 8 En nº de vértices de G1 es < m. El nª de vértices de G2 < m.# A (G) = # A (G1)+ # A (G2) + 1

8=8+1 Contradicción

# A (G) = # A (G1)+ # A (G2) + 1 # V (G) = # V (G1)+ # V (G2)

No es un árbol

=> # A (G) - # V (G)= -1 + -1+ 1 = -1 Diferencia entre A y V

Diferencia entre A y V

Por Inducción, probaremos que G es un árbol Entonces la hipótesis H (m) es Verdad.

<=> # V (G) = # A (G)+ 1

19

3.0 FULLERENO


Proposición:

Ejemplo:

En un árbol G existe a lo menos un vértice de grado 1.

G

(1)

G’

2

3

2

1

4

1

3

(1) (1)

(4) 4

G y G’ son Isomorfos

(1)

G 4

3

G’ 3

6

2

Isomorfismo de Grafos:

5 2

Sea G un grafo de “n” vértices, hacer una correspondencia entre el conjunto de vértices de G y el conjunto { 1,2,...n } Ejemplo:

1

1 5

2

3

7

4 7

6

G y G’ son Isomorfos

Grafos Planares: Diremos que G es un grafo planar si y sólo si G es isomorfo a un grafo que se puede dibujar en el plano sin que las aristas se intersecten. 1

4 Ejemplo:

4

Definición:

3

Diremos que los grafos G y G’ son isomorfos si satisfacen las siguientes propiedades:

2 1

1) # V (G) = # V (G’) ; # A (G) = # A (G’) (deben tener la misma cantidad de vértices y aristas). G 2) Supongamos n = # V (G) tal que hay una arista que conecta los vértices “i” y “j” de G si y sólo si existe una arista que conecta el vértice “i” y “j” de G’.

4 regiones del grafo

Entonces, el grafo G es planar, porque puede dibujarse un grafo isomorfo a G, sin que ninguna de sus aristas se intersecten.

20


Observación:

A= 3(C-1) +2 2

Los grafos planares dividen el plano en regiones.

=> V - A + C = 2 14 - 3 ( C - 1 ) + 2 + c = 2 2

C(h) = Regiones o caras de G C = # C (G)

/2 0.0 PRÓLOGO

28 - 3C + 3 - 4 + 2C = 4 27 - C = 4 C = 23

Teorema de Euler: Sea G un grafo planar, entonces tenemos la siguiente igualdad:

1.1 GRAFOS

El grafo tiene 23 caras, incluyendo la cara del exterior del cuadrado. Entonces el número de triángulos al interior de un cuadrado es 22.

V (Vértices) A (Aristas) C (Caras)

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

Problema

4

V-A+C=2

3

Hay 3 casas y 3 pozos, cada vecino quiere tener acceso al agua de los 3 pozos, pero no se llevan bien entre sí, así que desean no tener que cruzarse jamás.

2

V= 4 A= 6 C= 4

1

¿Habrá alguna forma de trazar los caminos desde cada casa a todos los pozos sin que ninguno se cruce jamás? (Es un problema de planteamiento de grafos planares)

4-6+4=2 2 = 2 Se cumple, entonces G es planar. Relacionemos el teorema de Euler con la tarea de la triangulación a partir de vértices dentro de un cuadrado. El n° de aristas del grafo es 3 veces el número de caras (Regiones). 1

4

2 5 7 8

10

20 19

12 14

15

P1

C2

P2

C3

P3

¿G es un grafo Plano?

6

11

C1

21

3

9

4.0 BIBLIOGRAFÍA

13 16

18

Supongamos que G es planar, entonces debería cumplirse la siguiente relación:

23 22

V-A+C=2 => 6 - 9 + C = 2

17

Entonces el grafo G debería tener 5 caras (C= 5)

21


1) Estimar cuantas aristas tiene cada cara. Si observamos el grafo nos daremos cuenta, que cada ciclo posible en este grafo, tiene 4 aristas.

Supongamos que todo grafo planar de n ≤ m - 1 aristas, satisface la formula de Euler.

Ejemplo:

Por demostrar que todo grafo planar de m aristas la satisface también.

En línea segmentada, se aprecia un ciclo: C1-P1-C2-P2 y vuelve a C1, este ciclo tiene 4 aristas, y todo el resto de los ciclos también tiene 4 aristas.

Utilizando el lema precedente, podemos suponer que G no es un árbol. Dibujemos un grafo que no sea un árbol, es decir, debemos dibujar un grafo que tenga un ciclo.

C1

P1

C2

P2

C3

P3

#A (G) #V (G) #C (G)

Entonces, como cada cara tiene a lo menos 4 aristas:

G

4C≤2A 2C≤A 2 x 5 ≤ 9 , Contradicción. G no es Planar. G’

Proposición: #A (G’)= #A (G) - 1 #V (G’)= #V (G) #C (G’)= #C(G) -1

Si G es planar, entonces 3C ≤ 2A Demostración del Teorema de Euler:

Hipótesis por inducción:

Lema: Todo árbol es un grafo planar. Prueba de formula de Euler es por inducción.

#V (G’) - #A (G’) + C (G’) = 2 V-A+1+C-1=2

H(n): Sea G un grafo planar de n aristas, entonces: V-A+C=2

V-A+C=2

V=2 A=1 C=1

Probamos que la hipótesis satisface para un grafo de “m” aristas. Se cumple el teorema de Euler para todo árbol, por lo tanto un árbol es siempre planar.

2 - 1 + 1 = 2, cumple, es Planar

22


Ejercicios Propuestos:

Problema 2

Problema 1 A un equipo de Arquitectos Urbanistas se les encarga estudiar un sistema de comunicación vial para 7 localidades del valle central chileno. a) Dibuje un grafo que represente a estas 7 localidades, donde cada localidad este conectada directamente, con exactamente otras 2.

En el legendario “Reino de Muchas Rutas”,exactamente cien caminos salen de cada uno de los castillos del reino y uno puede ir desde cualquier castillo a otro viajando a lo largo de éstos caminos.

0.0 PRÓLOGO

Un grupo de maléficos dragones a tomado el control de uno de los caminos, no dejando pasar a nadie por este.

1.1 GRAFOS

Pruebe que todavía se puede viajar desde cualquier castillo a otro.

b) ¿Es posible que cada localidad esté comunicada (directamente) con exactamente otras 3.

2.0 TOPOLOGÍA

Solución 1: a)

(2)

(2)

(2)

Solución 2:

3.0 FULLERENO

Por ejemplo, tenemos 2 castillos (A y B), que antes de ser tomados por los dragones eran de grado 100.

4.0 BIBLIOGRAFÍA

B

A

(2)

(100)

(2)

(2)

1.2 SIMETRÍA

(100)

Los dragones han bloqueado uno de los caminos, lo que significa que quedarían 2 vértices (castillos) de grado 99.

(2)

Grafo de 7 aristas y 7 vértices de grado 2. A

b)

(99)

Verificar si existe un grafo de 7 vértices de grado 3: Suma del grado de los vértices: 3+3+3+3+3+3+3= 21 El Teorema 1 indica que la suma de los grados es “siempre” igual al doble del número de aristas.

camino bloqueado

B (99)

El corolario 1 indica que la cantidad de vértices de grado impar es par. En éste caso, quedarían 2 vértices con grado 99, por lo tanto, es posible ir de cualquier castillo a otro.

Por lo tanto no es posible que cada localidad esté comunicada (directamente) con exactamente otras 3.

23


1.2

SIMETRÍA

24


Poliedros:

Observación:

Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito.

Un poliedro es “simple” si no tiene “asas”, el caso “a” y “b” son simples, el “c” no lo es. 0.0 PRÓLOGO

Ejemplos:

Proposición:

a)

1) Las aristas y vértices de un poliedro simple es un grafo planar. 2) Los bordes de un grafo simple se pueden dibujar sobre una esfera (ver tarea de proyección de sólido platónico en esfera y en un plano, pág 34-35)

b)

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

Definición:

3.0 FULLERENO

Un poliedro es convexo, si el segmento que une 2 puntos cualquiera del poliedro, queda contenido en el poliedro mismo.

4.0 BIBLIOGRAFÍA

Ejemplo: P1

P1

c) Segmento que une P1 con P2 queda contenido en el poliedro, entonces este poliedro es “convexo”.

P1’

P2’

Segmento que une P1’ con P2’ pasa por fuera del poliedro, entonces éste poliedro no es convexo. 25

1.1 GRAFOS


Definición:

Poliedros Regulares:

Un poliedro regular es un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares y cuyos vértices unen el mismo número de caras.

Tetraedro

4

6

4

Triángulo Equilátero

Cubo

8

12

6

Cuadrado

Octaedro

6

12

8

Triángulo Equilátero

Dodecaedro

20

30

12

Pentágono

Icosaedro

12

30

20

Triángulo Equilátero

Poliedros Regulares: Sólidos Platónicos.

vértices aristas caras polígonos caras

Teorema 08 Los poliedros regulares “convexos” son exactamente los 5 Sólidos Platónicos. a) Tetraedro.

b) Cubo. Demostración: * P es un poliedro regular convexo: 1) Todas las caras son polígonos regulares iguales. 2) En cada vértice se unen el mismo numero de caras. * Poliedro simple, en particular si P es convexo, entonces P es simple.

c) Octaedro.

Entonces existe un grafo planar Gp asociado a P.

d) Dodecaedro.

P convexo => Gp Planar i) Cada cara de Gp tiene el mismo número de aristas, sea “L” el n° de aristas de cada cara. Ejemplo: Tetraedro , L = 3 e) Icosaedro.

Una cara del tetraedro tiene 3 aristas

1

2 cara 1 3

ii) Cada vértice de Gp tiene el “mismo grado”.

26


Observación:

* Supongamos que “g” = 3.

Si “L” es el n° de aristas de cada cara, y “g” el grado de cada vértice:

=> 1/L + 1/3 = 1/2 + 1/A => 1/L = 1/2 - 1/3 + 1/A = 1/6 + 1/A > 1/6

L≥3 y g≥3

1/L > 1/6, implica que L  { 3,4,5 }.

0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

Notemos: LC = 2A , gV = 2A

* Caso (L,g) = (3,3)

=> C = 2A / L

1/3 + 1/3 = 1/2 + 1/A => 1/A = 2/3 - 1/2 = 1/6 => A= 6.

V = 2A /g

(C= caras)

Teorema de Euler: V - A + C = 2

V = 2A /g ; V = 2 x 6 /3 = 4 C = 2A /L ; C = 2 x 6 /3 = 4.

Expresemos el teorema de Euler en función de la notación anterior:

Entonces : A=6, V=4, C= 4, por lo tanto es el Tetraedro.

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

2A/g - A + 2A/L = 2 * Caso (L,g) = (5,3)

=> 1/g - 1/2 + 1/L = 1/A => 1/g + 1/L = 1/2 + 1/A > 1/2

1/5 + 1/3 = 1/A + 1/2 => 1/A = 8 /15 - 1/2 = 1/30 A=30

Queremos encontrar todos los “g” y “L” que satisfacen esta ecuación.

C= 2 x 30/5 = 12 V= 2 x 30/3 = 20

Supongamos que L ≥ 4 y g ≥ 4.

Entonces: A=30, C=12, V=20, por lo tanto es el Dodecaedro.

Entonces obtenemos que: 1/g + 1/L ≤ 1/4 + 1/4 = 1/2 Contradicción, ya que no es verdad que L y g ≥ 4

* Caso (L,g) = (3,5) 1/3 + 1/5 = 1/2 + 1/A => 1/A = 1/3 + 1/5 - 1/2 = 1/30 => A= 30.

Conclusión: L = 3 ó g = 3, no hay mas posibilidades.

V = 2 x 30/5 ; V = 12. C = 2 x 30/3 ; C = 20. Entonces : A=30, V=12, C=20, por lo tanto es el Icosaedro.

27


Definición: Poliedro Dual.

Definición: Simetría.

Si trazamos las aristas de los puntos centrales de cada cara de un poliedro regular convexo P, obtenemos un poliedro regular convexo llamado “Poliedro Dual”.

Un objeto es simétrico con respecto a una transformación “ ĩ ” si al aplicar “ ĩ ”, el resultado es un objeto indistinguible del objeto original.

90°

El Poliedro dual del cubo es el octaedro: Caras del cubo = 6 Vértices del octaedro = 6

Rotaciones: Es un movimiento de un sólido rígido que mantiene un punto fijo.

7 4

6

6

8

4 5

5 2

7

3

3

1

Plano de reflexión.

8 2

1

El cubo sometido a una reflexión con respecto a un plano vertical.

El Poliedro dual del octaedro es el cubo: Caras del octaedro= 8 Vértices del cubo = 8

28


Un cuerpo o figura es simétrico con respecto a una transformación ĩ, si al aplicar ĩ el resultado es un objeto indistinguible del original.

Teorema de Rotación de Euler Toda rotación en el espacio tiene un eje de rotación. Para estudiar las rotaciones de los sólidos platónicos tenemos que encontrar los ejes de rotación.

Ejemplo: Triángulo Equilátero 0.0 PRÓLOGO

Ejes de simetría del tetraedro:

3

ĩ2

ĩ1

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

1

2

ĩ3

3.0 FULLERENO

Ejes de reflexión

4.0 BIBLIOGRAFÍA

Reflexiones: Ejes de rotación: trazar desde vértice al centro de cara opuesta.

ĩ1= 1 2 3 1 3 2

Ejes de rotación: trazar desde la mitad de una arista a la mitad de la arista opuesta.

ĩ2=

1 2 3 3 2 1

ĩ3=

1 2 3 2 1 3

Rotaciones: ρ= 1 2 3 2 3 1

ρ² = 1 2 3 3 1 2

Definición: Simetría

ρ³ = 1 2 3 1 2 3 = I (identidad)

Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano.

Las transformaciones simétricas del triángulo son 6 (se incluye la transformación identidad). Consideremos un cuerpo C que es simétrico con respecto a 2 transformaciones que notamos S y T. Entonces C es simétrico con respecto a ST y TS.

Ejemplo:

Ejemplo: ĩ1 x ĩ2 (1ro se efectúa la transformación ĩ2, luego ĩ1).

ĩ 1x ĩ 2= Ejes de reflexión ( ĩ )

Eje de rotación ( ρ)

1 2 3 1 3 2

x

1 2 3 2 3 1

29

1 2 3 3 2 1


Esto quiere decir que si realizamos consecutivamente la reflexión ĩ 1 y la ĩ 2, es equivalente a realizar la rotación ρ. En simetría una multiplicación es una sucesión de transformaciones.

Observación:

En General: T x T⁻¹ = T⁻¹ x T = I (Identidad).

Definición: Tupla

Si C es simétrico con respecto a T, entonces C es simétrico con respecto a la transformación inversa, que notaremos T ⁻¹

Una (*)Tupla (G, x) es un grupo si:

Ejemplo:

1) a,b  G, a x b  G.

ρ=

2) a  G, entonces existe un inverso a⁻¹  G.

1 2 3 2 3 1

ρ ⁻¹ =

3) Existe una identidad en G. = ρ²

1 2 3 3 1 2

ρ x ρ ⁻¹

1 2 3 2 3 1

=

Procedimiento simétricas:

para

1 2 3 2 3 1

x

1 2 3 1 2 3

Las transformaciones de simetría forman un Grupo.

1 2 3 3 1 2

= I (Identidad)

multiplicar

x

Nota: Si un objeto pertenece a un grupo, tiene una estructura algebraica. Esto significa que se puede obtener información geométrica del objeto.

transformaciones

1 2 3 3 1 2

1 2 3 1 2 3 Comenzamos de derecha a izquierda. Nos fijamos en la columna derecha que el 3 va a la posición del 2. Luego en la columna izquierda el 2 va al 3. Por lo tanto el 3 termina en el 3 finalmente. Así se debe completar con el resto de las transformaciones.

30

(*) Una tupla, en matemáticas, es una secuencia ordenada de objetos, esto es, una lista con un número limitado de objetos (una secuencia infinita se denomina en matemática como una familia, aunque hay autores que consideran el término tupla para denominar no sólo listas finitas). Las tuplas se emplean para describir objetos matemáticos que tienen estructura, es decir que son capaces de ser descompuestos en un cierto número de componentes


Construir una tabla que contenga toda la información de las simetrías del triángulo.

ρ² x ρ²=

1 2 3 3 1 2

x

1 2 3 3 1 2

1 2 3 2 3 1

COLUMNA

FILA I

ρ

ρ²

ĩ1

ĩ2

ĩ3

I

I

ρ

ρ²

ĩ1

ĩ2

ĩ3

ρ

ρ

ρ²

I

ĩ3

ĩ1

ĩ2

ρ²

ρ²

I

ρ

ĩ2

ĩ3

ĩ1

ĩ1

ĩ1

ĩ2

ĩ3

I

ρ

ρ²

ĩ2

ĩ2

ĩ3

ĩ1

ρ²

I

ρ

ĩ3

ĩ3

ĩ1

ĩ2

ρ

ρ²

I

0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

ĩ 1 x ρ²=

1 2 3 1 3 2

x 1 2 3 2 1 3

1 2 3 3 1 2

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

=ĩ3 3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

Para completar la tabla, el orden es: multiplicar elementos de columna por elementos de fila. ĩ 1 x ρ=

1 2 3 1 3 2

x

1 2 3 3 2 1

ĩ 3 x ρ²=

1 2 3 2 1 3

x

1 2 3 3 2 1

1 2 3 2 3 1

=ĩ2

1 2 3 3 1 2

=ĩ2

Ayudantía: Transformaciones simétricas del Pentágono:

ĩ 2 x ρ=

1 2 3 3 2 1

x

1 2 3 2 1 3

ρ² x ρ²=

1 2 3 2 3 1

ĩ2

ĩ1

4

=ĩ3 5

3

ĩ3 1 2 3 3 1 2

x

1 2 3 2 3 1

1 2 3 3 1 2

ĩ5 1

2 ĩ4

Ejes de simetría del Pentágono. ( ĩ 1, ĩ 2, ĩ 3, ĩ 4 y ĩ 5 ).

31


Rotaciones de simetría del Pentágono ( ρ,ρ²,ρ³,ρ4,ρ5 ). 3

2

4

2

5

3

1

4

1

5 5

1

ĩ 3 = ĩ ρx

3

ρ ( 288°)

ρ³ ( 216°)

4

4

12345 54321

ĩ3=

12345 54321

= ĩ ρx

=

x ρ

12345 15432

x

Despejamos ρx : ( ĩ pasa a la izquierda )

5

3

1

ĩ3= 4

2

4

Ejemplo:

5

ρ² ( 144°)

2

{ I, ρ, ρ²,ρ³, ρ4, ĩ 1, ĩ 2, ĩ 3, ĩ 4, ĩ 5 } = Grupo Diedral (Todas las simetrías del Pentágono).

1

ρ ( 72°)

3

Toda la combinatoria de multiplicaciones de rotaciones y reflexiones pueden expresarse de forma resumida:

12345 15432

12345 54321

2 12345 23451

ρ5 (360°)= I

= ρ

= ρ

x

=> x=1

5 Reflexiones ( ĩ ) y 5 Rotaciones ( ρ ). ĩ1=

12345 15432

ĩ2=

ĩ3=

12345 32154

ĩ4=

12345 21543

ĩ5=

12345 43215

ρ=

12345 23451

ρ² =

12345 34512

ρ³ =

12345 45123

ρ4 =

12345 51232

ρ5 =

12345 12345

Todas las operaciones simétricas se pueden representar como expresiones de rotaciones y reflexiones.

12345 32154

n

D 2n { ρ, ĩ / ρ = 1, ĩ = 1, ρĩ ρĩ = 1 } = Se cumple en el grupo Diedral.

=I

32


Ejercicios Propuestos:

ĩ1xI=

1 2 3 2 1 3

x

Problema 1

1 2 3 2 1 3

Considere el siguiente Triángulo Isósceles:

1 2 3 1 2 3 =ĩ1

0.0 PRÓLOGO

3

Ixĩ1= 2 (cm)

1 2 3 1 2 3

2 (cm)

x

1 2 3 2 1 3

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

1

1 2 3 2 1 3

2

I x I=

1 (cm)

a) Determine sus ejes de simetría b) Determine las transformaciones de simetría c) Determine la table de multiplicaciones (composiciones) de las transformaciones de simetría.

1 2 3 1 2 3

2.0 TOPOLOGÍA

1 2 3 1 2 3

x

Tabla de composiciones de simetría:

a)

3

ĩ1 I 1

2

I

I

ĩ1

ĩ1

I

Considere el siguiente Rectángulo. Dibuje los ejes de simetría.

Un eje de reflexión ĩ 1

ĩ 1=

ĩ1

Problema 2

ĩ1

1 2 3 2 1 3

I (identidad) =

4

3

1

2

4

3

1 2 3 1 2 3

Solución 2 c)

ĩ 1 x ĩ 1=

1 2 3 2 1 3

I (identidad) =

x

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

1 2 3 1 2 3

I (identidad) =

Solución 1

b)

=ĩ1

1 2 3 2 1 3

ĩ1 1

1 2 3 1 2 3

ĩ2

2

Dos ejes de reflexión: ĩ 1 y ĩ 1.

33


TRABAJOS ESTUDIANTES: GRAFOS PLANARES, SÓLIDOS PLATÓNICOS, SIMETRÍA 34


0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

CIENCIAS BÁSICAS 1

BIMESTRE 01

4.0 BIBLIOGRAFÍA

35


TOPOLOGÍA 1° AÑO / BIMESTRE 02 2.1 TOPOLOGÍA

2 0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

Profesor del curso: Maximiliano Leyton ( Inst. Mat. ) Profesor ayudante: Javier Arriaza ( Inst. Mat. ) Profesor ayudante: Jaime Latorre ( Esc. Arq.) Número de alumnos: 140 Número de secciones: 2 Número de clases: 6 (más 2 de evaluaciones) Evaluaciones examen escrito: 1 Evaluaciones trabajo práctico (modelo físico): 1

Para motivar el estudio de la teoría, específicamente la conexión entre la característica de Euler y el género de una superficie compacta y sin borde, se dará un trabajo práctico. Este trabajo consiste en la construcción de superficies con piezas de lego fabricada por los alumnos. La superficie estará conformada por un set de piezas de 3 tipos (Semiesferas, Pantalones y Cilindros) que estarán unidas entre si para formar una forma final que los alumnos deben diseñar. Productos esperados del módulo:

- Nociones del método científico - Nociones básicas topología - Nociones de objetos tridimensionales También el alumno manejará algunos ejemplos que le permitirán comprender mejor a importancia de la matemáticas en el desarrollo del conocimiento humano.

Bibliografía: - Jane Burry, Mark Burry. “The New Mathematics of Architecture”.Thames & Hudson, 2010.

Metodología:

- W.S. Massey; “A Basic Course in Algebraic Topology”. Springer; Corrected edition,1980.

Se harán cátedras para introducir la teoría y ayudantías para clarificar los conceptos vistos en las cátedras.

- J. E. Marsden, A. Tromba. Vector Calculus. W. H. Freeman; Fifth Edition Edition, 2003.

37

BIMESTRE 02

En relación a las competencias y capacidades que el alumno obtendrá:

Se espera que el alumno asimile las ideas básicas del método científico y el pensamiento lógico en el análisis de ciertos problemas. También fabricarán objetos tridimensionales que permitan la mejor compresión de algunos conceptos matemáticos.

CIENCIAS BÁSICAS 1

Propósitos del módulo:


Superficies:

Podemos analizar el caso en planos (sistema cartesiano): z

Consideremos un polinomio P(x) en una variable, es la suma finita de monomios a, x³,a  R, j  N0.

Plano Z Y

Ejemplo:

Plano Z X

z y

z y

x y

1) P(x) = x²- 1 2) P(x) = 2x² + 3x + 7

Plano Y X

El conjunto de ceros de P (P(x) = 0) es un conjunto finito de puntos o vacío.

3 vistas del espacio (x y z).

Ejemplos:

Plano (Y X)

1) P(x) = x²- 1

z²= x² + y²

=> x²-1= 0

Evaluamos z:

Z(p)={-1,1}

-1

0

z= 0 ( origen sistema coordenado) z= 1 ( circunferencia radio 1) z= 2 ( circunferencia radio 2) y

+1

2

P(x) = x²+1 => x²=-1

Z(p)= Ǿ

1

Un polinomio P(x,y) en dos variables es la suma finita de monomios i j X i Y j , i j  R, i,j  N0.

a

x

x

a

0

1

x

2

Ejemplo: P(x,y) = x² + y² = 1 Plano (Z Y) Evaluamos x:

=> x² + y²=1 y

z²= x² + y² x= 0 ; z² = x² (z - y) (z + y)=0 x= 1 (Hipérbola)

1

0

1

x

z

x=1

1 x=0

De la misma forma los ceros de un polinomio P(x,y,z) en tres variables pueden definir una superficie.

0

Ejemplo:

-1

Consideremos el polinomio P(x,y,z) = z² - x² - y² 38

y


Plano (Z X)

Ejercicios Propuestos:

z²= x² + y² Evaluamos Y: Y= 0 ; z² - x² = 0 (z-x)(z+x)=0 Y= 1 ; z² - x² = 1 (Hipérbola)

Determine la superficie asociada a los siguientes polinomios: 1) P( x,y,z ) = z - x² - y²

0.0 PRÓLOGO

2) P( x,y,z ) = x² + y² -1 1.1 GRAFOS

z

y=1

Desarrollo:

1

1) Ecuación de la circunferencia: X² + Y ²= r ²

1.2 SIMETRÍA

Plano (Y X)

2.0 TOPOLOGÍA

Evaluamos Z: x

0 y=0

-1

3.0 FULLERENO

z= 0 ; x² + y² = 0 (Origen) z= 1 ; 1 - x² - y² x² + y² = 1 (Circunferencia radio 1) z = 2 ; 2 - x² - y² x² + y² = 2 (Circunferencia radio 2 )

4.0 BIBLIOGRAFÍA

y 2

La superficie descrita es un cono de luz.

1

z 0

1

x

2

z=1 z=2 Plano (Z X) Evaluamos Y : y= 0 ; z = x² (Parábola) y= 1 ; z= x² +1 (Parábola desplazada 1 en z) y = 2 ; z = x² +2

y

x

z 2 1

0

39

x


Superficies Regladas:

Plano (Z Y) Evaluamos X :

Se llama superficie reglada a la superficie que cumple con la condición de que por cada uno de sus puntos pasa a lo menos una recta que tiene en común con la superficie un segmento contenido en dicho punto.

x= 0 ; z = y² (Parábola) x= 1 ; z= y² +1 (Parábola desplazada 1 en z) x = 2 ; z = y² +2

Ejemplos:

z

z

2 1 P y

0

x

y

La superficie descrita es un Paraboloide. z Una recta pasa por P. z

P

x

x

y

Infinitas rectas pasan por P. 40

y


Superficies de Revolución:

Circunferencia de radio 1 desplazada 2 en Y. ( y² - 2 )²+ z² = 1

Se llama superficie de revolución a la superficie obtenida rotando una curva plana en torno a un eje.

Plano YZ:

Ejemplo 1:

( y² - 2 )²+ z² = 1 => ( y² + x² - 2 ) + z² = 1

0.0 PRÓLOGO

Obtenemos un “Toro”.

1.1 GRAFOS

y

y² + x² = 1

z

1.2 SIMETRÍA

r=1 x

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

La circunferencia descrita en el plano YX la rotamos y obtenemos una esfera.

1

4.0 BIBLIOGRAFÍA

3

En el plano YZ la circunferencia que está en YX se vería como una línea. y

y x

1

Ecuación del toro:

y² + x² = 1

y² + x² = y0² y0 = y² + x²

r=1 z

Definición: Diremos que deformar S1 (sin romperla ni colapsar curvas) hasta obtener S2.

-1

Ejemplo:

z² + y² + x² = 1 (ecuación de la esfera) Ejemplo 2: z

y0 r=1

Esfera

Cubo 1

(2,0)

3

y

≠ La circunferencia en el plano ZY ahora la desplazamos 2 en el eje y.

Esfera 41

Toro


Ejercicios Propuestos

Definición:

1) x² + 4y² + 9z² = 16

Sea S una superficie compacta y T una triangulación de S.

2) x² - 4y² - 9z² = 16

V = número de vértices de T A = número total de aristas de T C = número total de caras de T

Nota1: Ecuaciones de algunas superficies: Recta: y = mx + m Parábola: y = a x² + bx + c Circunferencia: (x-h)² + (y-n)² = r ² Elipse: x²/a² + y²/b² = 1 Hipérbola: x²/a² - y²/b² = 1

Ejemplo: Triangulación de un cuadrado: V =5 A =8 C =4

Nota 2: El software “mupad” ayuda a graficar superficies ingresando las ecuaciones.

Triangulación compacta.

de

una

Nota: Al considerar las caras, se consideraran solamente las caras interiores

superficie

Ejemplo de una superficie no acotada: un plano infinito. Ejemplo de una superficie acotada o compacta: cilindro, esfera toro, etc.

Característica de Euler: La característica de euler de (S, T) denotada (S,T) es:

Triangulación (intuitiva) n° finito de triángulos. Una superficie S es triangulable si se puede dividir en un número finito de triángulos tal que la intersección de dos cualquiera de ellos es vacía, un vértice en común o un lado en común.

(S, T) = V - A + C Ejemplos:

Consideremos los siguientes rectángulos: V =5 A =8 C =4 ( □,T ) = 5 - 8 + 4 =1 Es una triangulación

No es una triangulación

Proposición: Toda superficie compacta es triangulable:

V =10 A =22 C =13 (

42

,T )= 10- 22+13 =1


Ejemplo:

Ejercicio: Sea T una triangulación de la esfera, calcular la característica de Euler asociada a esa superficie. S=

T 12 T 11

(S, T) = 2

T 26

T 21 T 23 T 21

T 24

T 25

1.1 GRAFOS

Ejemplo de proyección en un plano resultaba un grafo planar ( ver bimestre 1) y su fórmula de euler era siempre 2

¿ T1 ≤ T2 ? No ¿ T2 ≤ T1 ? No

El triángulo T 11 no se puede obtener de una unión de los triángulos T 2...

Entonces, podemos decir que la característica de euler no depende de la triangulación T aplicada, sino que depende de la superficie.

Nota:

1  { 1,2,3 } { 1,2 } C { 1,2,3 }

Ejemplo: Subconjunto Contenido en un conjunto. T 12 T = { T 11, T 12 }

T 11

Proposición A: Sea S una superficie compacta y T1, T2 dos triangulaciones tales que T1 ≤ T2, entonces:

T 24 T 21

T 23

0.0 PRÓLOGO

T = { T 21, T 22 , T 23, T 24 }

(S, T1) =

T 22

(S, T2)

Idea de demostración: Observación:

T 11 = T 21 U T 22 T 12 = T 23 U T 24

(S, T) = V - A + C

Caso 1:

En éste caso decimos que: T1 ≤ T2

C1

Definición:

(l)

Sea “S” una superficie compacta tal que:

C1 Si eliminamos la arista “l” , obligadamente el n° de caras disminuye en 1, lo que muestra que la característica de Euler no cambia

T1 = { T11, ... T1n } T2 = { T21, ... T2m } Entonces diremos que T1 ≤ T2 si para cada j  {1,..,n} existe Bj C { 1,...,m} tal que :

V’ = V A’ = A - 1 C’ = C -1

T1 j = U T2 i i B j

=> V’ - A’ + C’ = V-( A-1)+C-1 = V - A + C 43

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA


Caso 2:

Caso 1 nuevamente:

(v) u Si eliminamos el vértice “v” , obligadamente el n° de aristas disminuye en 1, por lo tanto la característica de Euler no cambia.

u

Eliminamos las aristas que llegan al vértice u.

Ejemplo: T1

Caso 2 nuevamente:

T2

u

u v

Eliminamos el último vértice u.

Primer paso: Eliminamos una a una las aristas (usando caso1) que lleguen a “v” hasta eliminar el vértice (usando caso 2).

Nota: El objetivo de éste procedimiento es eliminar los vértices, para ello se comienza eliminando aristas.

Utilizamos caso 1: En todos los casos la fórmula de Euler no cambió. En éste ejemplo, la característica de Euler asociada a T1 es igual a la asociada a T2. u

u

(S, T1) =

v

v

(S, T2)

Ahora usamos el caso 2:

Proposición B: Dada 2 triangulaciones T1 y T2 de la superficie compacta S. Existe una triangulación T3 tal que T1 ≤ T3 y T2 ≤ T3. u

u

v Hasta acá eliminamos los vértices que estaban en el interior de una cara de T1.

44


Teorema Característica de Euler

Dibujaremos T1 y T2 superpuestos:

Sea S una superficie compacta y T1, T2 dos triangulaciones de S. Entonces: (S, T1) =

(A)

(S, T2)

La característica de Euler (S,T) no depende de la triangulación T. Entonces podemos definir la característica de Euler asociada a la superficie de la siguiente forma:

0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

(A) (A)

(S) =

1.2 SIMETRÍA

(S, T) (A)

Invariante topológico de la superficie. Por lo tanto 2 superficies con característica de Euler distintas no son homeomorfas y 2 superficies con característica de Euler iguales son homeomorfas.

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

Los vértices de T3 es la unión de los vértices de T1, T2 y las intersecciones. Al superponer T1 y T2 quedan caras poligonales que no son triángulos (A), las que hay que triangular, resultando así la triangulación T3.

Demostración del Teorema Proposición B T1 ≤ T3 T2 ≤ T3 Demostración: Proposición A :

( S, T1 ) =

( S, T3 ) =

( S, T2 )

iguales Demostración: Proposición A: Idea de la demostración de la proposición B. Ejemplo: T1

2.0 TOPOLOGÍA

V(T3) = V(T1) + V(T2) + vértices intersecciones aristas = T3

T2

T1 ≤ T2 T2 ≤ T1 45


Tarea: Construir un Toro (libre materialidad) y triangular su superficie. Encontrar la característica de Euler del Toro. b a a

b

b

Toro.

Botella de Klein: b

X0

a

a

Proyección de una triangulación en un Toro.

X0

c

Ayudantía X0

Triangulación de un Toro: X2

b

a1

4 a1

a2 2 a1

1

X1

X0

a d

a9

a4

a6

X2 a

a8

d

a

a5

a7

X0

c

Banda de Möebius:

a10

a3

X1

X0

(S) = V - A + C (S) = 1 - 3 + 2 =0

a

a1

d

X0

c

a1 3

X0

b

b

X2

b

X0

X0

(S) = V - A + C (S) = 6 - 18 + 12 = 0

(S) = V - A + C (S) = 2 - 4 + 2 = 0 46

b

X1


2) Cilindro (C):

(S) = 2 - 2 g g= Género de la superficie (agujeros de una figura).

1

1 Nota: Los Sólidos Platónicos son homeomorfos a una esfera, por lo tanto tienen característica de Euler 2.

0.0 PRÓLOGO

Ejemplo: Tetraedro.

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2

2 V=4 A=5 C=2

(S) = V - A + C (S) = 4 - 6 + 4 = 2

2.0 TOPOLOGÍA

(C) = V - A + C (C) = 2 - 4 + 2 = 0

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

3) Pantalón (P): 1

1 13

12

Fin ayudantía

12

7

2 6

V=5 A = 14 C=8

10

9

4 2

3

3

4 10

1

11

2 5

3

1) Semiesfera (SE) :

2

1

14

Característica de Euler de algunas superficies

8

4

(P) = V - A + C (P) = 5 - 14 + 8 = - 1

4) Banda de Möebius (MB):

3 V=4 A=5 C=2

2

1

1

2

4

(SE) = V - A + C (SE) = 4 - 5 + 2 = 1 V=2 A=4 C=2 47

(MB) = V - A + C (MB) = 2 - 4 + 2 = 0


Ejercicio: Encontrar la característica de euler de la siguiente superficie (S) compacta y sin borde.

Ejemplo: Superficie no Orientable.

Queremos pegar las siguientes superficies: Cilindro y Banda de Möebius. Estas superficies no se pueden pegar en R³ (Espacio de 3 dimensiones), se necesitan 4 dimensiones (R4 ). La superficie resultante del pegado de una semiesfera y una banda de möebius se llama “Plano Proyectivo Real” RP². Calculemos la característica de Euler de RP²: (RP²) = (SE) + (MB) (RP²) = 0 +1 = 1 Para encontrar la característica de Euler, el procedimiento consiste en descomponer ésta superficie en superficies con característica de euler conocidas (Cilindros, Pantalones, Semiesferas,etc.)

Sumas Conexas Sean S1 y S2 dos superficies compactas, la suma conexa S1 # S2 es formada removiendo un disco (sin borde) de cada una de las superficies y pegando luego los bordes de los orificios resultantes. Ejemplo: T1

=-1

=0

(T1)

T2

(T2)

=-1 T1’

=0

d1

T2’

d2

=0 (T1)’ =

(T1) - 1

La Superficie se puede descomponer en 2 Pantalones y 3 Cilindros. La característica de Euler de (S) es la suma de la característica de Euler de cada superficie que la compone: (S) = - 1 -1 + 0 + 0 + 0 (S) = -2

(T1#T2) = (T1)’+ (T2)’ (T1#T2) = (T1)+ (T2) -2 48

(T2)’ =

(T2) - 1


Proposición:

Ejercicios propuestos: Encontrar la característica de Euler de:

Si S1 y S2 son compactas, la suma conexa S1#S2:

Nota: T = Toro. (S1 # S2) =

(S1) +

(S2) - 2

1) 2) 3) 4)

Teorema 11

Si S1 y S2 son superficies compactas y sin borde, entonces S1 y S2 son homeomorfas si y sólo si S1 y S2 ambas son orientables o no y la característica de Euler de S1 y S2 son iguales ( (S1) = (S2) ).

2.0 TOPOLOGÍA

Si S es “Orientable”, (S) = 2 - 2g (S)

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

Corolario: Si S es Orientable, entonces (S) es par. Ejercicio: RP² (Plano Proyectivo)

Definición:

1) 2) 3) 4)

Una superficie S compacta y sin borde, definimos el género g(S) de la forma siguiente:

S≈

(RP²) = 1 (RP² # RP²)= (RP²)+ (RP²) -2 = 0 (RP² # RP² # RP²)= (RP²)+ (RP² # RP²) -2 = -1 (RP² # .... #RP²) = 2 - n “n” RP²

# ..... #

Si S es “no orientable”, (S) = 2 - g (S) Orientable

suma conexa de “n” Toros

=> g(S) = 2 - (S)

g (S) = 0 <=> S = 0 (Esfera) Ejercicio: Sea S = T # RP² No orientable { g(S) = n <=> S ≈ RP² # ...# RP² }

Encontrar “m” tal que: T # RP² ≈ RP²#....# RP²

“n” Planos Proyectivos

m Calcular:

49

1.1 GRAFOS

=> g(S) = n

=> g(S) = 2 - (S) 2

Teorema 12

0.0 PRÓLOGO

1.2 SIMETRÍA

“n” Toros

Toda superficie compacta y sin borde es homeomorfa a una Esfera, a una suma conexa de Toros, o a una suma conexa de Planos Proyectovos. Se llama así porque geométricamente en otros espacios se comporta como un plano.

g (S) = n <=>

(T)=0 ( T # T ) = ( T ) + ( T ) -2 = -2 ( T # T # T ) = ( T ) + ( T# T ) -2 = -4 ( T # .... # T ) = 2 - 2n

( T # RP²) = (T) + (RP²) = 0 + 1 - 2 = -1.


Entonces:

Ejercicio:

-1 = 2-m => m = 3

Sea S1 una superficie compacta sin borde orientable de género “m”, y S2 una superficie (CSB) no orientable de género “n”. ¿Qué superficie se obtiene si hacemos la suma conexa S = S1 # S2?.

T # RP² ≈ RP² # RP² # RP²

(S1) = 2 - 2m (S2) = 2 - n

(CSB) Superficie Compacta sin Borde Una superficie que sea la suma conexa de “n” Toros o “n” Planos Proyectivos, se dice que es una superficie compacta sin borde de género “n”. Una esfera tiene género 0.

=>

(S1 # S2) = (2 -2m) + (2 -n) - 2 (S1 # S2) = 2 - (2m +n )

Una superficie (CSB) de género g(S) y de característica de Euler (S), se verifica la siguiente relación.

Si S1 # S2 es no orientable. 1/2 ( 2 - (S) )

=> Orientable

=> g ( S1 # S2 ) = 2 -

g(S) =

( S1 # S2 )

g ( S1 # S2 ) = 2 - ( 2 - (2m+n ) ) 2 - (S)

= 2m + n

=> No orientable

Entonces S ≈ S1 # S2 es homeomorfa a la suma conexa de 2m + n planos proyectivos.

Corolario Sea S una superficie CSB ( compacta sin borde). 1) (S) ≤ 2 2) Si (S) es orientable, entonces

El género nos indica cuantos Toros o cuantos Planos Proyectivos necesitamos para construir una superficie.

es par. La característica de Euler es una “Invariante Topológica”

Nota importante: Si (S) es par, implica que la superficie no es orientable, pero el hecho que (S) sea par no implica que la superficie sea orientable. Ejemplo: Botella de Klein

(K) = 2

50


Superficie Compacta con Borde Sea S una superficie compacta denotemos B(S) es el número de componentes del borde de S. 1

Ejemplo:

2 0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

B (S) = 0

B (S) = 1

2.0 TOPOLOGÍA

3 “En la geometría hiperbólica, éstas figuras se pueden representar como polígonos”.

B (S) = 1

B (S) = 2

Tri - Toro = género 3 Ejercicio:

= 2 - 2g =2-6 = -4

Proposición: Dos superficies compactas S1 y S2 son homeomorfas sí y sólo si B(S1) = B (S2), (S1) = (S2) y ambas son orientables y no orientables.

1

Dada una superficie compacta con borde S, notaremos por S* la superficie compacta y sin borde obtenida adhiriendo una semiesfera a cada componente de borde de S.

2

Ejemplo:

S

2

S*

51

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA


Proposición: (S) =

(S*)

(S*) - B(S)

Ejemplo: (Esfera) = 2 (Semiesfera) = 2 - 1 = 1 (Cilindro) = 2 - 2 = 0 (Pantalón) = 2 - 3 =-1

2

S* = Esfera

1

S* = no orientable g(S*) = 2 - (S*) = 1 => entonces S* = RP² S* = orientable g(S*) = 1/2 ( 2- (S*) ) = 1 => entonces S* = Toro

Definición:

0

S* = no orientable g(S*) = 2- (S*) = 2 => S* = RP²#RP² (Botella de Klein)

El género de una superficie compacta S se define como el género de la superficie compacta sin borde S*. Ejemplo:

S* = no orientable g(S*) = 2- (S*) = 3 => S* = RP²#RP²#RP² (suma conexa 3 Planos Proyectivos)

-1

g (Möebius) = g (RP²) = 1 g (Pantalón) = g (Esfera) = 0 2-(

(S) + B (S) ) 2

=> Orientable

2-

(S) + B (S)

=> No orientable

S* = orientable g(S*) = 1/2 ( 2- (S*) ) = 2 => S* = T # T (bi-Toro)

g(S) =

S* = no orientable g(S*) = 2- (S*) = 4 => S* = RP²#RP²#RP² #RP² (suma conexa 4 Planos Proyectivos)

-2

Ejercicio: Construir una tabla con todas las superficies compactas S, con o sin borde tal que -2 ≤ ≤ 2. Solución:

(S)= (S*)-B(S)

0

1

2

3

4

-2

-2

-3

-4

-5

-6

-1

-1

-2

-3

-4

-5

0

0

-1

-2

-3

-4

1

1

0

-1

-2

-3

2

2

1

0

-1

-2

(S) = (S*) - B(S) => -2 ≤ (S) - 2 ≤ (S*) - B(S) ≤ 2 - B(S) B(S) ≤ 4 => -2 ≤ (S*) - B(S) -2 ≤ (S*) ≤ 2 - La característica de Euler está entre 2 y -2. - Cómo máximo la superficie tiene 4 agujeros (género 4).

52


Ejercicios Propuestos:

Solución 2:

Problema 1: Superficies

a) Se divide la superficie en 8 pantalones y 12 cilindros. (-1)

1) Trazar las curvas de nivel en los 3 planos, de las siguientes superficies. Dibujar las superficies resultantes.

(0)

(0)

0.0 PRÓLOGO

(-1)

(0)

a) Z = 4 - x + y b) Z = -x² y²

(-1)

2) Encuentre la ecuación de la superficie obtenida al rotar la recta x=3y alrededor del eje x.

(0)

(0)

(0)

1.1 GRAFOS

(-1) (0)

(-1)

(0)

(0)

(0)

(-1)

Problema 2: Característica de Euler

(0) (0)

Encontrar la característica de Euler y el género de las siguientes superficies compactas y sin borde.

(-1)

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

(-1) 4.0 BIBLIOGRAFÍA

La característica de Euler de la superficie se obtiene sumando la característica de Euler de todos los Pantalones y Cilindros que componen la superficie. (Pantalón)= -1; (Cilindro)= 0

a)

(Pantalones)= -1-1-1-1-1-1-1-1 = -8 (Cilindros)= 0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0= 0 (S)= -8 Género de la superficie = 1/2 ( 2 -

(S) )

g = 1/2 ( 2 - (-8) ) g = 1/2 (10) g=5

b) Se divide la superficie en 2 Pantalones y 3 Cilindros. b) (-1)

(0)

(0) (-1)

(S)= -2 g=2

53

(0)


TRABAJOS ESTUDIANTES: SUPERFICIES COMPACTAS SIN BORDE, CARACTERÍSTICA DE EULER Y GÉNERO DE UNA SUPERFICIE. 54


0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

CIENCIAS BÁSICAS 1

BIMESTRE 02

4.0 BIBLIOGRAFÍA

55


FULLERENO 2° AÑO / BIMESTRE 03

3.1 FULLERENO

3 0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

Profesor del curso: Eduardo Aguirre ( Esc. Arq.) Profesor ayudante: Jaime Latorre ( Esc. Arq. ) Ayudantes: Matias Leyton, Hans Kubat, Diego Carvallo (Estudiantes de Arquitectura) Número de alumnos: 36 Número de secciones: 1 Número de clases: 8 Evaluaciones examen escrito: 1 Evaluaciones trabajo práctico (modelo físico): 3

y las críticas a la propuesta que cada alumno o grupo de alumnos llevará adelante. 2. Lecturas de textos relacionados y estudio de casos que ayudarán a los estudiantes a construir un sustrato teórico para llevar adelante su propuesta. 3. Trabajo intensivo de diseño arquitectónico por parte de los alumnos, que se desarrollará en escala y formatos a indicar por el profesor por medio de: modelos, planimetría de arquitectura y visualizaciones. 4. Trabajo colectivo de producción y construcción de un prototipo a escala, en el que cada estudiante formará parte de un equipo que aportará al resultado final del taller.

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

Productos esperados del módulo: Propósitos del módulo:

Metodología: La metodología será la de taller, que se desarrollará por medio de: 1. Exposición, por parte de los profesores, de temas relevantes que informarán el desarrollo, las correcciones

- Textos explicativos. - Prototipos físicos a escala - Una construcción a escala 1/1 del prototipo seleccionado entre las mejores propuestas. Bibliografía: - Weyl Hermann. The Symetry. Princeton University Press. 1989 - McCleary Peter. Robert Le Ricolais, Visiones y Paradojas. (Visions and Paradox). Madrid. Fundación COAM 1997 - Sanhueza Javier: “Richard Buckminster Fuller”, Chile, Universidad de Chile, Facultad de Arquitectura y Urbanismo, 2009. 57

BIMESTRE 03

Para cada encargo del curso, señalado cuando corresponda: - Modelos a Escala de la propuesta geométrica y estructural. - Dibujos a escala que representen una geometría, una propuesta estructural, detalles constructivos y/o procesos de montaje.

CIENCIAS BÁSICAS 2

1. Acercar los conocimientos de ciencias básicas, en este caso los conocimientos de Física aplicada, a la práctica del diseño en arquitectura, sostenida por la relación entre el aprender y el hacer. 2. Ejercitar la aprehensión de conocimientos de física, aplicada en el diseño de estructuras, a través de un ejercicio de verificación empírica, por medio de la construcción de un prototipo a escala. 3. Integrar, por medio del ejercicio, contenidos y conceptos de la física; y procedimientos y técnicas de construcción de cuerpos y estructuras. 4. Comprender la importancia del rigor y la precisión en el desarrollo del diseño de una estructura, por medio de un proceso iterativo de ensayo y error.


Geometría de un Fullereno (Icosaedro Truncado) El Fullereno (C60) es el nombre que se da a una molécula, que existe en la naturaleza . Una vez que su geometría se ha comprendido, se le ha bautizado con ése nombre en honor a Buckminster Fuller, quien estudió y construyó ésta misma organización estructural de una geometría. Las caras del Icosaedro Truncado son exactamente 12 Pentágonos y 20 Hexágonos.

Vértices = 60 Aristas = 90 Caras Pentágonos = 12 Caras Hexágonos = 20 Caras Totales = 32 El Icosaedro Truncado en topología es homeomorfo a una Esfera, por lo tanto su característica de Euler es 2. V - A + C = 2 (Teorema de Euler) 60 - 90 + 32 = 2

Ejercicio 01: Esfera El primer ejercicio consiste en generar una propuesta de geodésica a partir del estudio de la geometría de un Fullereno (Icosaedro Truncado). Los estudiantes trabajaron en grupos y elaboraron con alambre una propuesta de geodésica a partir de la base del C60.

58


0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

59


60


Ejercicio 02: Domo El segundo ejercicio consiste en construir un modelo de domo basado en el ejercicio 1. En éste ejercicio se añade la complejidad del trabajo con un material y la solución de uniones. El sistema de uniones a estudiar son los marcos recíprocos. 0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

4.0 BIBLIOGRAFÍA

61


Ejercicio 03: Construcción Escala 1:1 El ejercicio final del curso consta en la construcción escala 1/1 de un domo, basado en la geometría de un Fullereno y el sistema constructivo de marcos recíprocos. Los ejercicios anteriores permitieron verificar y comprobar ciertos fenómenos y ganar experiencia, la cual determinó la construcción de un prototipo en el campus de la universidad.

62


0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

CIENCIAS BÁSICAS 2

BIMESTRE 03

4.0 BIBLIOGRAFÍA

63


64


0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

CIENCIAS BÁSICAS 2

BIMESTRE 03

4.0 BIBLIOGRAFÍA

65


66


0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

CIENCIAS BÁSICAS 2

BIMESTRE 03

4.0 BIBLIOGRAFÍA

67


68


BIBLIOGRAFÍA 0.0 PRÓLOGO

1.1 GRAFOS

1.2 SIMETRÍA

2.0 TOPOLOGÍA

3.0 FULLERENO

- Fomin D.; Genkin S.; Itenberg LL.; “Mathematical Circles (Russian experience)”. American Mathematical Society, 1996. - Balakrishnan R .; Ranganathan K.; “A Textbook of Graph Theory. (English summary)”.New York, 2000. - Weyl Hermann; “Symmetry”. Princeton University Press, Princeton, 1989. - David W. Farmer, Theodore B. Stanford; “Knots and Surfaces: A Guide to Discovering Mathematics”. American Mathematical Society, 1996. - Jane Burry, Mark Burry; “The New Mathematics of Architecture”.Thames & Hudson, 2010. - W.S. Massey; “A Basic Course in Algebraic Topology”.Springer; Corrected edition,1980. - McCleary Peter; “Robert Le Ricolais, Visiones y Paradojas. (Visions and Paradox)”. Madrid. Fundación COAM, 1997. - Sanhueza Javier; “Richard Buckminster Fuller”.Chile, Universidad de Chile, Facultad de Arquitectura y Urbanismo, 2009. - Vera W De Spinadel, Hernán S Nottoli; “Herramientas Matemáticas para la Arquitectura y el Diseño”. Ed.Nobuko, 2008.

69

4.0 BIBLIOGRAFÍA



Libro ciencias basicas 2012