Issuu on Google+

SOLUCIONES

RENTAS CONSTANTES


Soluciones rentas constantes

1.

Al tratarse de una renta con un nĂşmero muy grande de tĂŠrminos podemos considerarlo como una renta perpetua.

Como el vencimiento de cada tĂŠrmino es el dĂ­a debemos calcular antes el tipo de interĂŠs diario para luego poder aplicar la fĂłrmula del valor actual de una renta perpetua

(1 + �) = (1 + �365 )365 → �365 =

365

√(1 + đ?‘–) − 1 → đ?‘–365 =

365

√(1 + 0,03) − 1

�365 = 0,00008096 �0 =

đ?‘? 1 = = đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;•, đ?&#x;•đ?&#x;•â‚Ź đ?‘– 0,00008096

Una vez calculado el valor actual podemos calcular el valor final en el momento deseado moviendo ese capital el tiempo deseado de acuerdo a una ley de capitalizaciĂłn compuesta.

đ?‘‰đ?‘› = đ?‘‰0 Ă— (1 + đ?‘–)đ?‘› = 12.347,77 Ă— (1 + 0,03)18 = đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;“â‚Ź

2. 100.000 0

100.000

1

2

100.000

100.000

3

4

100.000 5

đ?‘‰đ?‘› = đ?‘? Ă— đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– = 100.000 Ă— đ?‘ 5ÂŹ0,035

(1 + 0,035)5 − 1 = 100.000 Ă— = đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;”. đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;”, đ?&#x;“đ?&#x;—â‚Ź 0,035

đ?‘‰0 = đ?‘? Ă— đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– = 100.000 Ă— đ?‘Ž5ÂŹ0,035 = 100.000 Ă—

1 − (1 + 0,035)−5 = đ?&#x;’đ?&#x;“đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;“, đ?&#x;?đ?&#x;’â‚Ź 0,035

3. đ?‘‰Ěˆ0 = đ?‘‰0 Ă— (1 + đ?‘–) = 451.505,24 Ă— (1 + 0,035) = đ?&#x;’đ?&#x;”đ?&#x;•. đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;•, đ?&#x;—đ?&#x;?â‚Ź đ?‘‰đ?‘›Ěˆ = đ?‘‰đ?‘› Ă— (1 + đ?‘–) = 536.246,59 Ă— (1 + 0,035) = đ?&#x;“đ?&#x;“đ?&#x;“. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;?đ?&#x;?â‚Ź

4. 0

C

C

C ‌‌.

1

2

3‌‌

‌‌C ‌‌

V0 = 150.000

i = 4%

đ?‘‰0 = đ?‘? Ă— đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– → đ?‘? =

đ?‘‰0 đ?‘‰0 150.000 = →đ?‘?= = đ?&#x;?đ?&#x;–. đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;‘, đ?&#x;”đ?&#x;’â‚Ź 1 − (1 + 0,04)−10 đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– đ?‘Ž10ÂŹ0,04 0,04

10

1


Soluciones rentas constantes

5.

Como ahora los cobros serĂĄn mensuales debemos calcular el nĂşmero de meses para determinar los tĂŠrminos de la renta y debemos calcular tambiĂŠn el tipo de interĂŠs mensual.

đ?‘› = 12 Ă— 10 = 120 đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘  (1 + đ?‘–) = (1 + đ?‘–12 )12 → đ?‘–12 = 12√(1 + đ?‘–) − 1 → đ?‘–12 = 12√(1 + 0,04) − 1 = 0,0033 Si llamamos “mâ€? al importe de cada mensualidad tendremos que: đ?‘‰0 = đ?‘š Ă— đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– → đ?‘š =

đ?‘‰0 đ?‘‰0 150.000 = →đ?‘š= = đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;–đ?&#x;‘â‚Ź 1 − (1 + 0,0033)−120 đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– đ?‘Ž120ÂŹ0,0033 0,0033

6. C 40

41

C ‌‌.

C

43‌‌

42

Vn = 120.000

‌‌C ‌‌

65

i = 3%

đ?‘‰đ?‘› = đ?‘? Ă— đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– → đ?‘? =

đ?‘‰đ?‘› 120.000 → đ?‘?= = đ?&#x;‘. đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;?, đ?&#x;‘đ?&#x;’â‚Ź al final de cada aĂąo (1 + 0,03)25 − 1 đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– 0,03

Para calcular el valor actual podemos hacerlo con la fórmula de las rentas o bien podemos mover el capital final al momento cero mediante una ley de capitalización compuesta �0 =

đ?‘‰đ?‘› 120.000 = = đ?&#x;“đ?&#x;•. đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;•â‚Ź đ?‘› (1 + đ?‘–) (1 + 0,03)25

7. 3.000

3.000

1

2

0

3.000 ‌. 3‌‌

‌3.000 ‌.. 9

i = 7% đ?‘‰0 = đ?‘? Ă— đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– = 3.000 Ă— đ?‘Ž9ÂŹ0,07 = 3.000 Ă—

1 − (1 + 0,07)−9 = đ?&#x;?đ?&#x;—. đ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;“, đ?&#x;”đ?&#x;—â‚Ź puede pedir. 0,07

2


Soluciones rentas constantes

8. P

250

250

250

250

250

250

0

1

2

3

4

5

6

3.000 +250 7

i = 4%

Si quiere hacer esa operaciĂłn de vemos igualar las dos operaciones, lo que paga por un lado y lo que recibe por el otro al tipo del 4%. Al valorar lo que recibe podemos considerar una renta de 7 tĂŠrminos de 250â‚Ź y luego un capital suelto de 3.000â‚Ź 3.000 1 − (1 + 0,04)−7 3.000 đ?‘ƒ = 250 Ă— đ?‘Ž7ÂŹ0,04 + = 250 Ă— + = đ?&#x;‘. đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;”â‚Ź 7 (1 + 0,04) 0,04 (1 + 0,04)7

9. P

500

500

500

1,1P 500

0

1

2

3

4

i = 7%

Si quiere hacer esa operaciĂłn de vemos igualar las dos operaciones, lo que paga por un lado y lo que recibe por el otro al tipo del 7%. Al valorar lo que recibe podemos considerar una renta de 4 tĂŠrminos de 500â‚Ź y luego un capital suelto de 1,1Pâ‚Ź 1,1đ?‘ƒ 1 − (1 + 0,07)−4 1,1đ?‘ƒ đ?‘ƒ = 500 Ă— đ?‘Ž4ÂŹ0,07 + = 500 Ă— + (1 + 0,07)4 (1 + 0,07)4 0,07 đ?‘ƒ = 1.693,6056 + 0,8392đ?‘ƒ → đ?‘ƒ − 0,8392đ?‘ƒ = 1.693,6056 → 0,1608đ?‘ƒ = 1.693,6056 đ?‘ƒ=

1.693,6056 = đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;?, đ?&#x;‘đ?&#x;•â‚Ź 0,1608

10. 3.000

Cn i = 2%

0

2

El coste de la vajilla para el cliente serĂĄ el importe que deja de percibir en concepto de intereses. đ??źđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘  = đ??śđ?‘› − đ??ś0 = 3.121,2 − 3.000 = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;?â‚Ź es el coste de la vajilla para el cliente đ??śđ?‘› = đ??ś0 (1 + đ?‘–)đ?‘› = 3.000 (1 + 0,02)2 = 3.121,2â‚Ź

3


Soluciones rentas constantes

11. 15.000 C

C

C

C

C i = 6%

0

1

2

3

đ?‘‰0 = đ?‘? Ă— đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– → đ?‘? =

4

5

đ?‘‰0 15.000 15.000 →đ?‘?= = = đ?&#x;‘. đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;Ž, đ?&#x;—đ?&#x;“â‚Ź pago anual đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– đ?‘Ž5ÂŹ0,06 1 − (1 + 0,06)−5 0,06

12. 150.000 0

150.000 ‌.

150.000

1

‌..150 i = 4% ‌.. 8

3‌‌

2

đ?‘‰0 = đ?‘? Ă— đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– = 150.000 Ă— đ?‘Ž8ÂŹ0,04

1 − (1 + 0,04)−8 = 150.000 Ă— = đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;—. đ?&#x;—đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;•đ?&#x;‘â‚Ź . 0,04

đ?‘‰đ?‘› = đ?‘? Ă— đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– = 150.000 Ă— đ?‘ 8ÂŹ0,04 = 150.000 Ă—

(1 + 0,04)8 − 1 = 1. đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;‘, đ?&#x;—đ?&#x;’â‚Ź 0,04

13. Para resolverlo debemos igualar las dos opciones que se barajan, si se pagase al contado, o sea su valor actual, serĂ­a de 900.000â‚Ź y eso debemos igualarlo a la otra opciĂłn de pago aplazado que es la siguiente: 300.000 0 V0 = 900.000

C

C

C‌.

1

2

3‌‌

‌..C ‌.. 12

i = 6%

900.000 = 300.000 + đ?‘? Ă— đ?‘Ž12ÂŹ0,06 → 900.000 − 300.000 = đ?‘? Ă— đ?‘Ž12ÂŹ0,06 đ?‘?=

600.000 600.000 = = đ?&#x;•đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;”, đ?&#x;?đ?&#x;?â‚Ź đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘”đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Žđ?‘™ đ?‘“đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘ŽĂąđ?‘œ. 1 − (1 + 0,06)−12 đ?‘Ž12ÂŹ0,06 0,06

đ?‘‰đ?‘› = 300.000 (1 + 0,06)12 + 71.566,22 Ă— đ?‘ 12ÂŹ0,06 = đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;”, đ?&#x;–đ?&#x;”â‚Ź podrĂ­a tener al final.

4


Soluciones rentas constantes

14. 90.000 0

90.000

90.000

1

90.000‌.

‌..90.000

3‌‌

2

i = 3% 15

‌14

đ?‘‰Ěˆ0 = đ?‘‰0 (1 + đ?‘–) = đ?‘? Ă— đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 50.000 đ?‘Ž15ÂŹ0,03 (1 + 0,03) = đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;’. đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;‘, đ?&#x;”đ?&#x;”â‚Ź đ?‘‰đ?‘›Ěˆ = đ?‘‰đ?‘› (1 + đ?‘–) = đ?‘? đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 50.000 đ?‘ 15ÂŹ0,03 (1 + 0,03) = đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;•. đ?&#x;–đ?&#x;’đ?&#x;’, đ?&#x;Žđ?&#x;”â‚Ź

15. 90

90

90

90

200 + 90

90 i = 4,5%

0

1

2

3

5‌.

4

‌. 25

Precio al contado serå el valor de todo lo que recibe a cambio del solar que es una renta de 25 aùos de 90.000₏ mås una entrega suelta de 200.000₏ en el aùo 5 �0 = 90.000 �250,045 +

200.000 = đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;—, đ?&#x;Žđ?&#x;? (1 + 0,045)5

El valor final de lo recibido lo podemos descomponer en el valor final del piso (si suponemos que se revaloriza al mismo ritmo que el dinero) y el valor final de las aportaciones o pagos parciales. đ?‘ƒđ?‘–đ?‘ đ?‘œ: đ?‘‰đ?‘› = 200.000 (1,045)20 = đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;?. đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;’, đ?&#x;–đ?&#x;?â‚Ź đ??ˇđ?‘–đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ: 90.000 đ?‘ 25ÂŹ0,045 = đ?&#x;’. đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;”đ?&#x;–, đ?&#x;—đ?&#x;?â‚Ź

16. 2.000

2.000

2.000

2.000‌.

1

2

3‌‌

i = 3% 0

Podemos considerarlo como una renta perpetua, y al ser un alquiler lo consideramos prepagable. đ?‘‰Ěˆ0 = đ?‘‰0 (1 + đ?‘–) =

đ?‘? 2.000 (1 + đ?‘–) = (1 + 0,03) = đ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;”. đ?&#x;”đ?&#x;”đ?&#x;”, đ?&#x;”đ?&#x;•â‚Ź đ?‘– 0,03

17.

Si paga el importe de 60â‚Źal principio del mes se considerarĂĄ una renta prepagable mensual, por lo que el tipo de interĂŠs deberĂĄ ser tambiĂŠn mensual del 0,3% mensual. đ??źđ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘ŽĂąđ?‘œ 1: đ?‘‰Ěˆ0 = đ?‘? đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 60 đ?‘Ž12ÂŹ0,003 (1 + 0,003) = đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;–, đ?&#x;?đ?&#x;–â‚Ź đ??źđ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘“đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ đ?‘ŽĂąđ?‘œ 1: đ?‘‰đ?‘›Ěˆ = đ?‘? đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 60 đ?‘ 12ÂŹ0,003 (1 + 0,003) = đ?&#x;•đ?&#x;‘đ?&#x;’, đ?&#x;?đ?&#x;—â‚Ź Valor actual del dinero dedicado a jugar suponiendo que lo hiciera durante toda su vida serĂ­a: đ?‘‰Ěˆ0 = đ?‘‰0 (1 + đ?‘–) =

đ?‘? 60 (1 + đ?‘–) = (1 + 0,003) = đ?&#x;?đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;Žâ‚Ź đ?‘– 0,003 5


Soluciones rentas constantes

18. 500 0

500 1

500 2

500‌.

‌..500

3‌‌

‌59

i = 4% 60

Para calcular tanto el valor inicial como el final de los cobros por alquiler debemos de transformar el tipo de interĂŠs en mensual pues ese es el periodo en que se van produciendo los cobros. 12

(1 + đ?‘–) = (1 + đ?‘–12 )12 → đ?‘–12 = 12√(1 + đ?‘–) − 1 → đ?‘–12 = √(1 + 0,04) − 1 = đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;‘ a) đ?‘‰Ěˆ0 = đ?‘‰0 (1 + đ?‘–) = đ?‘? đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 500 đ?‘Ž60ÂŹ0,0033 (1 + 0,0033) = đ?&#x;?đ?&#x;•. đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;”, đ?&#x;?đ?&#x;Žâ‚Ź b) đ?‘‰đ?‘›Ěˆ = đ?‘‰đ?‘› (1 + đ?‘–) = đ?‘? đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 500 đ?‘ 60ÂŹ0,0033 (1 + 0,0033) = đ?&#x;‘đ?&#x;‘. đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;•, đ?&#x;–đ?&#x;’â‚Ź -100 0

-100 1

-100 2

‌..-100

-100‌. 3‌‌

‌59

i = 4% 60

c) đ?‘‰Ěˆ0 = đ?‘‰0 (1 + đ?‘–) = đ?‘? đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 100 đ?‘Ž60ÂŹ0,0033 (1 + 0,0033) = đ?&#x;“. đ?&#x;’đ?&#x;“đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;’â‚Ź d) đ?‘‰đ?‘›Ěˆ = đ?‘‰đ?‘› (1 + đ?‘–) = đ?‘? đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 100 đ?‘ 60ÂŹ0,0033 (1 + 0,0033) = đ?&#x;”. đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;—, đ?&#x;“đ?&#x;•â‚Ź 400 0

400 1

400 2

400‌.

‌..400

3‌‌

‌59

i = 4% 60

e) đ?‘‰Ěˆ0 = đ?‘‰0 (1 + đ?‘–) = đ?‘? đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 400 đ?‘Ž60ÂŹ0,0033 (1 + 0,0033) = đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;–, đ?&#x;—đ?&#x;”â‚Ź f) đ?‘‰đ?‘›Ěˆ = đ?‘‰đ?‘› (1 + đ?‘–) = đ?‘? đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– (1 + đ?‘–) = 400 đ?‘ 60ÂŹ0,0033 (1 + 0,0033) = đ?&#x;?đ?&#x;”. đ?&#x;“đ?&#x;“đ?&#x;–, đ?&#x;?đ?&#x;•â‚Ź

19. 6.000

6.000

6.000‌.

‌..6.000

2

3‌‌

‌10

i = 4% 0

1

a) đ?‘‰đ?‘› = đ?‘? đ?‘ đ?‘›ÂŹđ?‘– = 6.000 đ?‘ 10ÂŹ0,04 = 6000

(1+0,04)10 −1 0,04

= đ?&#x;•đ?&#x;?. đ?&#x;Žđ?&#x;‘đ?&#x;”, đ?&#x;”đ?&#x;’â‚Ź

b) Para calcular el valor en el aĂąo 18 calcularemos el valor final en el aĂąo 10 y luego lo desplazaremos adelante hasta el aĂąo 18. đ?‘‰18 = đ?‘‰10 (1 + đ?‘–)8 = đ?‘? đ?‘ 10ÂŹ0,04 (1 + 0,04)8 = 6.000 đ?‘ 10ÂŹ0,04 (1 + 0,04)8 = đ?&#x;—đ?&#x;–. đ?&#x;“đ?&#x;–đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;?â‚Ź c) đ?‘‰0 = đ?‘? đ?‘Žđ?‘›ÂŹđ?‘– = 6.000 đ?‘Ž10ÂŹ0,04 = đ?&#x;’đ?&#x;–. đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;“, đ?&#x;‘đ?&#x;•â‚Ź d) Para calcular el valor en 7 calcularemos el valor final de los capitales qu e han vencido hasta ese momento. đ?‘‰7 = đ?‘? đ?‘ 7ÂŹđ?‘– = 6.000 đ?‘ 7ÂŹ0,04 = đ?&#x;’đ?&#x;•. đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;—, đ?&#x;•đ?&#x;•â‚Ź

6


Soluciones Rentas constantes