Page 1

1

ZŁOTO W MATEMATYCE Poszukiwania „matematycznego złota” zaczniemy od przyjrzenia się pięciokątowi foremnemu. Sam pięciokąt foremny, jak zresztą wszystkie wielokąty foremne nie jest wcale „złoty”, ale, jak się niebawem przekonamy, jest istną kopalnią „matematycznego złota’. Zadanie 1. Zbuduj konstrukcyjnie pięciokąt foremny. Rozwiązanie Istnieje kilka efektownych konstrukcji pięciokąta foremnego. Ja przedstawię tutaj jedną z nich. Oto ona: Krok pierwszy Narysuj odcinek AB. Odcinek ten będzie pierwszym bokiem naszego pięciokąta A

B

Krok drugi Narysuj dwa okręgi o środkach w punkcie A i B i promieniu równym odcinkowi AB

Krok trzeci Niech punkty P i R leżą na przecięciu tych okręgów. Przeprowadź przez te punkty prostą p


2

Krok czwarty Narysuj okrąg o środku w punkcie P i promieniu takim jak poprzednie okręgi

Krok piąty Przez punkty S i K przeprowadź prostą r. Podobnie przeprowadź prostą s przez punkty T i K


3

Krok szósty Połącz odcinkami A z EiBzC

Krok siódmy Z punktu E narysuj okrąg o promieniu długości odcinka AB


4

Krok ósmy Połącz punkt F punktami E i C

z

Umiemy już narysować pięciokąt foremny. Przypomnijmy sobie jego podstawowe własności. Zadanie 2 Oblicz miarę kąta wewnętrznego pięciokąta foremnego. Rozwiązanie Popatrzmy na następujący rysunek: Pięciokąt ABCDEF został podzielony na pięć przystających trójkątów równoramiennych o wspólnym wierzchołku w punkcie O. Kąt ma o

o

zatem 360 :5= 72 . Kąt 108 2

54 o. Kąt

180 2

jest dwa razy

większy od kąta , więc ma 108o. Odpowiedź


5

Kąt wewnętrzny pięciokąta ma 108o. Pięciokąt ma pięć przekątnych. Narysujmy je:

Przekątne utworzyły nam gwiazdę pięcioramienną nazywaną przez matematyków pentagramem lub gwiazdą pitagorejską. Pentagram ta był ulubioną figurą Pitagorasa i jego uczniów. Znakiem tym pitagorejczycy pozdrawiali się i wzajemnie rozpoznawali kreśląc go na piasku. Zadanie 3 Wyznacz miary kątów i Rozwiązanie Kąt jest dopełnieniem do 180o kąta wewnętrznego pięciokąta foremnego KLMNO więc ma 180o – 108o = 72o. Kąt jest kątem wierzchołkowym w trójkącie AKP, w którym kąt jest katem przy podstawie. W takim razie kąt 180 o

180 o

2

2 72 o

180 o 144 o

36 o

Pozostał kąt Aby wyznaczyć jego miarę zauważmy, że trójkąt APF też jest trójkątem równoramiennym o ramionach FP i AP. Kąty NPK i FPA są wierzchołkowe więc mają po tyle samo stopni. NPK jako kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego KLMNP ma 108o, więc i FPA ma 108o 180 o

FPA 2

180 o 108 o 2

72 o 2

36 o .


6

Jak napisałem na początku pięciokąt foremny jest dla nas „kopalnią matematycznego złota”. Trzeba tylko wiedzieć czego poszukiwać. Dlatego teraz zdefiniujemy sobie złotą liczbę.

Odcinek AB ma długość x + y (patrz powyższy rysunek). Wyobraźmy sobie, że punkt C podzielił odcinek AB w taki sposób, że stosunek długości odcinka AB do długości odcinka AC jest taki sam jak stosunek długości odcinka AC do długości odcinka CB. (Rysunek oczywiście nie jest dokładny bo narazie nie umiemy dokładnie dobrać położenia punktu C – stąd sformułowanie „wyobraźmy sobie”). Możemy to zapisać następująco AB AC

AC CB

lub x

(A)

y x

Liczbę równą ułamkowi

x y

x przy spełnionym warunku (A) nazywamy y

złotą liczbą a o punkcie C powiemy, że wyznacza on złoty podział odcinka AB. Nazwę złota liczba i złoty podział odcinka wprowadzili Pitagorejczycy, aby zaakcentować niezwykłość tej liczby. Okazuje się, że złoty podział odcinka lubi tworzyć natura. Oto kilka przykładów: Ciało ludzkie (a właściwie ciało idealnego mężczyzny, który zdaniem starożytnych jest lepiej zbudowany od ciała kobiety). Za model idealnie zbudowanego mężczyznę przyjmuje się rzeźbę Apolla Belwederskiego. Można tam wynaleźć pełno złotych podziałów. Dla całego wzrostu mężczyzny złotym podziałem jest linia pasa. Długość od ziemi do pasa dzieli w złotym stosunku linia kolan. Złotego podziału od pasa w górę dokonuje szyja. Długość łokcia wraz z dłonią podzielona przez długość przedramienia też daje złotą liczbę. Stosunek długości głowy do jej szerokości też jest złotą liczbą. Rośliny – między dwiema parami liści na łodydze trzecia para liści leży w miejscu złotego cieńcia. W muzyce Itd. Zadanie 4 Wykorzystując proporcję (A) wyznacz wartość złotej liczby. Rozwiązanie Przekształćmy lewą stronę równości (A) x

y x

x x

y x

Oczywiście

1

y x


7

(B)

y x

1

x y

x jest oczywiście szukaną liczbą. Wprowadźmy więc oznaczenie z y y 1 1 1 x y y , bo , czyli . 1: 1 x x x z y x x y y

Ułamek y x

x y

Równanie (B) przyjmie teraz postać 1 z

1

z.

Pomnóżmy obustronnie przez z i otrzymamy z2

z 1

Końcowe równanie jest równaniem kwadratowym. W gimnazjum nie rozwiązuje się takich równań, ale uczeń gimnazjum poznaje wzory skróconego mnożenia. W naszym rozwiązaniu wykorzystamy więc tę wiedzę. Zapiszmy końcowe równanie inaczej, a mianowicie z2

z 1 0

Do obliczeń wykorzystamy wzór a b

2

a2

2ab b 2

W powyższym wzorze w miejsce a wstawmy z, a b dobierzmy w ten sposób, by 2b=1. Oczywiście b = 0,5. Wzór będzie miał więc postać 2

2

1 1 1 1 z2 2 z z2 z 2 2 2 4 1 5 z odejmiemy otrzymamy wyrażenie z 2 4 4

z

Gdy od wyrażenia z 2 Ponieważ z 2

z

1 4

5 4

1 2

z z

2

2

5 , więc 4

z 1

1 2

z

2

5 . 4

Mamy więc nowe równanie z

1 2

2

5 4

0.

Do rozwiązania tego nowego równania zastosujemy następujący wzór skróconego mnożenia a b a b

a2

b2

5 1 , w miejsce b natomiast . 2 2

W miejsce a podstawmy z Otrzymamy wówczas z

1 2

2

2

5 2

z

1 2

5 2

z

1 2

5 2

z

5 1 2

z

5 1 . 2

z 1.


8

Nasze równanie przyjmuje więc postać z

5 1 z 2

5 1 2

0.

Podstawiając za z jakieś liczby w obydwóch nawiasach otrzymam liczby. Iloczyn dwóch liczb jest równy 0 tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna liczb w iloczynie jest równa 0, czyli 5 1 2

z

5 1 lub z 2

Ostatecznie mamy z

5 1 2

0 lub z

0.

5 1 . Ponieważ złota liczba to stosunek 2

długości dwóch odcinków, więc musi być dodatnia, czyli złota liczba wynosi 5 1 , bo 2

5 1 2

0.

Widzimy, że złota liczba jest liczbą niewymierną. Odpowiedź Złota liczba wynosi

5 1 . 2

Zadanie 5. Oblicz przybliżoną wartość złotej liczby. Rozwiązanie Czytelnicy mający pod ręką kalkulator już pewnie to zadanie rozwiązali. My jednak rozwiążemy to zadanie bez kalkulatora, wykorzystując tak zwany algorytm Herona. Problem sprowadza się do obliczenia przybliżonej wartości 5 . Zgodnie ze wzorem Herona 1 xn 2

xn

a 1

xn

. 1

Czyli xn to kolejne przybliżenia pierwiastka z liczby a. Za x1 można przyjąć dowolną liczbę, i tak prędzej czy później otrzymana liczba będzie bliska pierwiastkowi z liczby a. My za x1 przyjmiemy 2, czyli x1 x2

1 x1 2

5 x1

1 2 2

2

5 2

1 1 2 2 2 2

1 1 4 2 2

2

1 4

x2 = 2,25 x3

1 x2 2

5 x2

1 9 2 4

5 9 4

1 9 2 4

20 9

1 81 2 36

80 36

1 161 2 36

161 72

2

17 72


9 17 : 72

0,2361

170 144 260 216 440 432 80 72 8

x3 = 2,23611... x4

1 161 2 72

5 161 72

1 161 2 72

360 161

1 25921 25920 2 11592 11592

1 51841 2 11592

51841 23184

2

5477 23184

x4 = 2,23624. 5

Złota liczba =

5 1 2

2,23624

2,23624 1 2

3,23624 2

1,61812

Trzeba tu zauważyć, że dwie ostatnie cyfry przybliżenia 5 były niepewne czyli bezpiecznie będzie przyjąć, iź złota liczba wynosi około 1,618. Ciekawą własnością złotej liczby jest fakt, że jej odwrotność jest równa złotej liczbie pomniejszonej o 1, czyli 1 zlota liczba

zlota liczba 1

Sprawdźmy ten fakt 1 5 1 2

2 5 1

2 5 1

5 1 5 1

2 5 1 5 1

2 5 1 4

5 1 2

Z drugiej strony 5 1 1 2

5 1 2

2 2

5 1 . 2

Teraz już możemy powrócić do naszej „kopalni złota matematycznego”, czyli do pięciokąta foremnego. Zadanie 6 Na rysunku z zadania 3 znajdź jak najwięcej par odcinków, których stosunek długości jest złotą liczbą. Rozwiązanie


10

Nie będziemy szukać wszystkich par takich odcinków. (Jest ich bardzo dużo.) Zadowolimy się kilkoma parami. Wszystkie takie pary proponuję znaleźć cierpliwym czytelnikom.

Na początek, przyjrzyjmy się trójkątom APK i AFK. Trójkąt APK jest jednym z ramion pentagramu. Jest trójkątem równoramiennym. Kąt wierzchołkowy PAK ma (wyliczyliśmy to w zadaniu 3) 36o. Niech ramiona AP i AK tego trójkąta mają długość a, a podstawa PK długość x. Kąt AFK trójkąta AFK też ma 36o (patrz zadanie 3). Kąt FKA jest wspólny dla trójkątów AFK i APK. Z powyższego wynika, że kąt FAK ma taką samą rozwartość jak kąt APK. W ten sposób udowodniliśmy, że trójkąt AFK jest podobny do trójkąta równoramiennego APK, czyli też jest równoramienny. Podstawą tego trójkąta jest odcinek AK o długości a, ramionami zaś odcinki FK i FA. Odcinek FP ma długość a, zatem odcinek FK i równy mu odcinek FA mają długość a + x. Z uwagi na podobieństwo trójkątów APK i AFK prawdziwa jest proporcja

AP PK

FA . Zapiszmy tę proporcję używając długości AK

występujących w niej odcinków a x

a

x a

.

Otrzymana proporcja jest analogiczna do proporcji definiującej złotą liczbę. Dowodzi to, ze pary odcinków AP i PK, oraz AF i AK są szukanymi parami.


11

Jeżeli łamaną składającą się z odcinków FK i AK rozprostujemy to otrzymamy odcinek FB, czyli przekątną naszego pięciokąta, gdzie punkt K jest punktem przecięcia się przekątnych FB i AC. Można więc powiedzieć, że dwie przekątne w pięciokącie foremnym przecinają się w złotym stosunku. Zwróćmy jeszcze uwagę na trójkąt AEC. Jest on równoramienny. Ramionami są przekątne pięciokąta foremnego AE i AC. Jego kąt przy wierzchołku ma 36 o. (Dlaczego?) Jest on więc podobny do trójkąta APK, czyli wartość liczbową co stosunek

AE daje te samą EC

a , a więc złota liczbę. Wniosek: stosunek x

długości przekątnej w pięciokącie foremnym, do długości jego boku daje złotą liczbę. Pięciokąt foremny można rozciąć na trzy trójkąty. Patrz rysunek. trójkąty te są równoramienne. Jaśniejszy z nich jest równoramienny, ostrokątny. Kąt przy wierzchołku ma 36o, a kąty przy podstawie po 72o. trójkąty ciemniejsze są do siebie przystające. Są one równoramienne o kącie przy wierzchołku 108o i kątach przy podstawie po 36o. Ponieważ ramionami jaśniejszego trójkąta są przekątne pięciokąta foremnego, a podstawą bok pięciokąta foremnego w takim razie stosunek długości ramienia w tym trójkącie do długości podstawy jest równy złotej liczbie. W trójkącie ciemniejszym ramiona są bokami pięciokąta foremnego, a podstawa jest przekątną tego pięciokąta. Tutaj złotą liczbę otrzymamy dzieląc długość podstawy trójkąta przez długość jego boku. Te trójkąty będziemy nazywali trójkątami złotymi. A więc złotym trójkątem nazywamy trójkąt równoramienny, w którym stosunek długości dwóch różnej długości boków jest złotą liczbą. Zgodnie z definicją mamy dwa złote trójkąty. Jeden z nich jest ostrokątny o kątach: 36o, 72o, 72o, a drugi rozwartokątny o kątach: 108o, 36o, 36o. Ciekawą własnością złotych trójkątów jest fakt, że z dwóch zawsze można ułożyć trzeci. Ten nowy trójkąt też jest złoty. (Popatrz na rysunek)


12

Policzmy ile trójkątów wyjściowych jest w poszczególnych złotych trójkątach I–1 II – 1 III – 2 IV – 3 V–5 VI – 8 Otrzymaliśmy kolejno liczby 1; 1; 2; 3; 5; 8. Nietrudno zauważyć, że począwszy od trzeciej liczby, każda następna liczba jest sumą dwóch poprzednich, czyli 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 8=5+3 Następne liczby w tym ciągu, to 13, bo 8+5=13; 21, bo13+8=21 itd. Można to zapisać wzorem an

an

1

an

2

gdzie oczywiście n > 2. Ciąg ten jako pierwszy w XII w. odkrył włoski uczony L. Fibonacci zajmując się rozrodczością wśród królików, dlatego też na jego pamiątkę, liczby te nazywamy liczbami Fibonacciego. Okazuje się, że podobnie jak złota liczba, liczby Fibonacciego też bardzo często występują w prawach jakimi rządzi się natura. Sam fakt odkrycia ich w trakcie badań przyrodniczych niezbicie o tym świadczy. Znana jest nawet następująca zagadka Fibonacciego. Zadanie 7


13

W styczniu dostałeś parę nowonarodzonych królików. Po dwóch miesiącach para ta rodzi po raz pierwszy nową parę, a potem regularnie jedną nową parę co miesiąc. Podobnie ma się rzecz z każdą nową parą królików: po dwóch miesiącach od urodzenia rodzi ona po raz pierwszy nowa parę, a potem jedną nową parę co miesiąc. Ile królików będziesz miał w grudniu? Rozwiązanie Przypatrz się następującemu rysunkowi

Liczby po prawej stronie pokazują ile jest par królików w każdym miesiącu. Widać, że są to znowuż liczby Fibonacciego. Czyli w: Sierpniu będzie 8+13= 21 par Wrześniu będzie 13+21= 34 pary Październiku będzie 21+34= 55 par Listopadzie będzie 34+55= 89 par i wreszcie w Grudniu będzie 55+89= 144 pary. Odpowiedź Przy podanych warunkach pod koniec grudnia powinienem mieć 144 pary królików. Popatrzmy jeszcze na jeden pouczający przykład rysunkowy


14

Pęd rośliny wypuszcza w ciągu roku nowy pęd następnie cały rok odpoczywa i dopiero po dwóch latach wypuszcza następny pęd. Podobnie nowy pęd w następnym roku wypuszcza nowy pęd, później cały rok odpoczywa i po dwóch latach znowu wypuszcza nowy pęd. Jeśli ui określa i-ty rok to po prawej stronie można odczytać ile pędów będzie miała roślina w i-tym roku. Ważną własnością liczb Fibonacciego jest fakt, że ilorazy liczb Fibonacciego przez poprzedzającą ją liczbę Fibonacciego dla dużych liczb zbliża się do złotej liczby. Już

n8 8 , czyli 5 n7

1,6 (Przypominam liczba

fibonacciego ma około 1,618). Im liczby ni i ni-1 są większe tym ten iloraz jest bliższy złotej liczbie. Na zakończenie tej części rozważań proponuję Zadanie dla wyjątkowo cierpliwych i sumiennych Ile złotych trójkątów widocznych jest na rysunku do zadania 6. A teraz przejdźmy do jednego z wynalazków starożytnych Greków. Wynalazkiem tym jest złoty prostokąt. Złoty prostokąt, to taki prostokąt, w którym stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą. Starożytni Grecy bardzo cenili sobie piękno i harmonię. Stąd też ich zainteresowanie złota liczbą. Uważali, że wszystko co piękne musi spełniać pewne proporcje, związane ze złotym podziałem. Dlatego w swojej twórczości wykorzystywali złoty prostokąt. I tak wiele antycznych budowli powstawało na bazie złotego prostokąta. Greccy artyści malując lub rzeźbiąc dbali oto by ich rysunki lub rzeźby dały zamknąć się w złotym prostokącie. Już starożytni Grecy potrafili konstrukcyjnie narysować złoty prostokąt.


15

Zadanie 8 Narysuj konstrukcyjnie złoty prostokąt. Rozwiązanie Krok pierwszy Rysujemy prostą Krok drugi Rysujemy kwadrat, którego jeden bok leży na narysowanej prostej

Krok trzeci Łączymy odcinkiem Środek boku AB ze środkiem boku DC

Krok czwarty Rysujemy przekątną prostokąta PBCR, czyli połowy kwadratu

Krok piąty Z punktu P rysujemy łuk o promieniu PC


16

Krok szósty Rysujemy prostą prostopadłą do początkowej prostej przechodząca przez punkt K i przedłużamy bok DC Prostokąt AKLD jest szukanym złotym prostokątem.

Ciekawą własnością złotego prostokąta jest fakt, że można go rozciąć na kwadrat i prostokąt. Powstały w ten sposób prostokąt jest też złotym prostokątem. Operację odcinania ze złotego prostokąta kwadratu można


17

powtarzać w nieskończoność (to znaczy tak długo jak mamy na to ochotę i na ile pozwalają nasze przyrządy) i za każdym razem pozostały kwadrat będzie złotym kwadratem. Popatrzmy na rysunek

Warto zauważyć, że ponieważ złota liczba jest niewymierna, więc przynajmniej jeden bok złotego prostokąta też ma długość niewymierną. Wykorzystajmy złoty prostokąt do narysowania jeszcze jednej krzywej.


18

Otrzymaliśmy spiralę, która też często występuje w naturze. Wystarczy chociażby przyjrzeć się budowie muszli ślimaka A teraz spróbujmy zbudować prostokąt z kwadratów. Na początek złączmy bokami dwa jednakowe kwadraty. Na dłuższym boku prostokąta zbudujmy kwadrat o boku długości dłuższego boku prostokąta. Na dłuższym boku prostokąta zbudujmy kwadrat o boku długości dłuższego boku prostokąta. Powtórzmy ostatnią czynność jeszcze kilka razy. Oto ostateczny efekt.

Oczywiście otrzymany prostokąt na pewno nie jest złoty. Przy założeniu, że najmniejsze kwadraty są jednostkowe, długości jego boków wyrażają się liczbami całkowitymi. Jest on jednak kopią złotego prostokąta. Okazuje się, że każdy następny prostokąt budowany według powyższej receptury będzie coraz to wierniejszą kopią złotego prostokąta.


19

Zakładając, że najmniejszy kwadrat ma bok długości 1 j. Podajmy długości boków kolejnych kwadratów wykorzystanych do budowy prostokąta. I 1 II 1 III 2 IV 3 V 5 VI 8 VII 13 ......................... Ciąg tych liczb już znamy. Jest to przecież omawiany już wyżej ciąg liczbowy Fibonacciego. Okazuje się, że nie sposób mówić o „złocie matematycznym” nie wspominając o ciągu liczbowym Fibonacciego. Trudno też by było opowiadaź o ciągu liczbowym Fibonacciego, nie pisząc nic o złotej liczbie. Nadszedł czas na rozwiązanie następującego zadania Zadanie 9 Dany jest odcinek AB. Dokonaj konstrukcyjnie jego złotego podziału. Rozwiązanie Dokonamy Złotego podziału odcinka AB. Wykorzystamy w tym celu twierdzenie Talesa Dorysujmy pomocniczą półprostą z punktu A

Wykonajmy teraz pomocniczą konstrukcję. Mamy do wyboru: pięciokąt foremny lub złoty prostokąt. Ja wybrałem złoty prostokąt.


20

Na pomocniczej półprostej odetnijmy wpierw szerokość złotego prostokąta. Niech to będzie odcinek AC. A następnie długość złotego prostokąta, niech to będzie odcinek CD

Połączmy punkt D z punktem B


21

Dorysujmy prostą równoległą do prostej DB przechodzącą przez punkt C

Punkt K dzieli odcinek AB w złotym stosunku. Na zakończenie proponuje, aby czytelnicy przy okazji spacerów i wycieczek bacznie podglądali naturę. Napewno sami dostrzegą wiele obiektów opisanych w tym artykule. Życzę miłych i owocnych obserwacji.

Złoto w matematyce