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动态网络系统的鲁棒 H∞输出反馈控制

动态网络系统的鲁棒H∞输出反馈控制∗ 孙平,陶立宇,李树江 沈阳工业大学 信息科学与工程学院,辽宁 沈阳 110870

要:针对具有时滞和不确定性的网络系统,研究了鲁棒输出反馈控制问题。采用积分等式方法设计了具有时滞依赖的鲁

棒输出反馈控制器,给出了网络系统达到渐近稳定并且满足指定H ∞ 性能指标的充分条件,该设计方法提高了系统的稳定性和鲁 棒性。利用线性矩阵不等式(LMI)方法求解出了网络系统的最大延时,弥补了设定为已知常数的不足。仿真结果表明对范数有 界范围内的不确定性所设计的控制器具有保持系统渐近稳定的能力,说明了文中所提出方法的有效性和可行性。

关键词:网络系统;鲁棒H ∞ 控制;渐近稳定;积分等式

Robust H ∞ Output Feedback Control for Dynamic Network Systems Ping Sun, Liyu Tao, Shujiang Li School of Information Science & Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang, China, 110870 Email: tonglong-sun@163.com

Abstract: This paper deals with the problem of robust H ∞ control for network systems with time delay and uncertainties. The aim is to design a delay-dependent robust output feedback controller which ensures both robust asymptotic stability and prescribed level of H ∞ performance for all admissible uncertainties. The new results were obtained through constructing Lyapunov function and integral equation. The sufficient condition for the existence of such a controller is proposed and the upper delay-time is derived. During the study, the main results are expressed as LMI by employing various matrix techniques and free matrices are led into controller, which is very convenient to obtain the controller and regulate performance of systems. Finally, simulation example shows that, the method is effective and feasible.

Key words: Network systems; H ∞ Control; Asymptotical Stability; Integral Equation

引 言 随着互联网的发展,人们越来越依赖于网络信息,网络的数据传输量也越来越高,那么网络的拥塞也越来越强. 由于网络拥塞的产生将导致数据包的丢失,严重时将使网络瘫痪,这将对人们的生活和工作造成很大的影响。 近年来随着对网络系统的研究,在路由器或交换机中使用主动队列管理(AQM)策略,目的是控制队列长度, 然而由于队列长度是输入与输出速率差值的时间积累,导致其对拥塞反应滞后,将带来较大队列振荡。文献[1-4] 提出了基于队列长度和传输速度主动队列管理算法,然而这些算法缺少解析的分析,没有系统的理论作为分析和设 计的依据.随着控制理论的发展,控制策略在网络拥塞控制中得到了广泛的研究,Misra首先建立了TCP非线性动态 流体模型[5],这个模型描述了网络变化的特点,包括了TCP窗口的大小和队列长度。利用TCP非线性模型,文献[6] 利用预测控制策略设计了AQM控制器,文献[7-9]基于变结构思想设计了鲁棒主动队列控制器,这类控制器的设计 提高了网络系统的鲁棒性和稳定性。当网络系统状态不能准确测定的情况下,那么输出反馈控制对系统的稳定性和 鲁棒性具有很强的调节作用,文献[10,11]对网络系统进行了输出反馈控制,提高了网络利用率和稳定性,降低了延 时对系统的影响。然而这些输出反馈控制器并没有考虑外界不确定性和控制延时对系统的影响。

基金项目:国家自然科学基金(60772055); 辽宁省博士启动基金(2008510). Scientific Journal of Control Engineering

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鉴于此,本文设计了具有时滞依赖的动态输出反馈控制器,并采用积分等式方法,给出了系统渐近稳定的充分 条件,降低了已有研究成果利用不等式放缩去掉部分交叉项的保守处理方式;通过矩阵变换方法将研究结果转换成 了线性矩阵不等式形式,自由矩阵的引入可以方便的调整网络系统的性能;通过凸优化方法,得到了网络系统的延 时上界,弥补了将其设为系统定常量的不足;仿真算例验证了文中提出设计方法能保证网络系统的渐近稳定,降低 了外界不确定性和干扰对系统的影响,减小了网络拥塞的发生,提高了网络的利用率。

1 网络系统模型 Misra根据网络系统的特点建立了流体模型随机非线性微分方程的TCP动态模型 [5]。 W (t )W (t − R (t )) 1 W (t ) = − p (t − R (t ))  R (t ) 2 R (t − R (t ))  q (t ) W (t ) N (t ) − C (t ) =  R (t )

(1)

其 中 W (t ) 是 窗 口 的 大 小 , q (t ) 是 路 由 器 节 点 中 缓 冲 器 的 瞬 时 长 度 , R (t ) 是 回 路 时 间 ( RTT ), R (= t ) Tp +

q (t ) C (t )

, Tp 是传输延时, 0 ≤ p (t ) ≤ 1 是分组标记/丢失概率, C (t ) 是链路容量, N (t ) 是 TCP 任务量.

由于实际网络的复杂性、网络流量的动态变化和网络路由的动态选择,并且考虑外界系统的不确定性和干 扰,对模型(1)进行线性化处理可以得到如下网络系统模型。 ) ( A + ∆A) X (t ) + ( Ad + ∆Ad ) X (t − d (t ))  X (t=  + B1ω (t ) + ( B2 + ∆B2 )u (t )   Y (t ) = C1 X (t )  Z (t ) = LX (t )

(2)

0 ≤ d (t ) ≤ h, d (t ) ≤ µ

这里:  N0 − R2 C 0 0 A=  N0  R  0

 N0 − R0 C0  A =  R 2 C  d  0 0 1   0 −  R0 

C1 = [ 0

1 

2

 N0

1] L = 

 R0

 R0 C02   2 − 2 N 2  R0 C0  B2 = 0     0  0  1

 δ W (t )  0  X (t ) =  δ q (t )    

u (t ) = δ p (t ) δW (t ) = W (t ) − W0 δ q (t ) = q (t ) − q 0 δ p (t ) = p (t ) − p 0

[ ∆A

∆B2

∆Ad ] = E ∑ (t ) [ F1

F2

E , F1 , F2 , Fd 为定常矩阵, ∑ (t ) 为不确定时变矩阵且满足 ∑ (t ) ∈ Ω =

Fd ]

{∑ (t ) | ∑ (t ) ∑ (t ) ≤ I , ∀t}。 W (t ) 是窗口的大 T

小, q (t ) 是路由器节点中缓冲器的瞬时长度, R (t ) 是回路时间(RTT), C (t ) 是链路容量, N (t ) 是 TCP 任务量。

2 鲁棒控制器的设计和 H ∞ 性能分析 引理 1[12]:给定标量 h > 0 ,对任意矩阵 R, N , X ,函数 f (x) 和 η 有

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动态网络系统的鲁棒 H∞输出反馈控制 0

0

X f T ( s )   T N

0

− ∫ f T ( s ) Rf= ( s )ds 2η T N ∫ f ( s )ds + hη T X η − ∫ η T −h −h −h

N η  ds R   f ( s ) 

引理 2[13]:设 A, E 和 F 为具有适合维数的实矩阵以及 ∑ (t ) ∈ Ω ,则对任意的正数 ε > 0 , E

∑ (t ) F + F ∑ T

T

(t ) E ≤ ε EE + ε F F −1

T

T

T

针对网络系统(2)设计输出反馈控制器:

 ˆ Xˆ (t ) + A ˆ Xˆ (t − d (t )) + Bˆ Y (t )  Xˆ (t ) = A d  ˆ ˆ u (t ) = C (t ) X (t ) 

(3)

将控制器(3)应用到系统(2)中得到如下闭环系统: 。  A + ∆A  = ξ (t )  ∧   BC   Z (t ) = LX (t ) 

∧   Ad + ∆Ad ( B2 + ∆B2 ) C   + ( t ) ξ ∧   0 A 

 Aˆ  X (t )  ,定义矩阵 这里 ξ (t ) =  K = Cˆ   Xˆ (t )  

0  B   ξ (t − d (t )) +  1 ω (t ) 0 Ad  ∧

Bˆ 

 ,将系统(4)构造成如下形式:

0

ξ(t ) = ( A + BKC )ξ (t ) + Ad ξ (t − d (t )) + B1ω (t )     Z (t ) = Lξ (t ) A=

这里:

0 B= I

(5)

 A + ∆A 0   B1  B1 =    0  0  0

B2 + ∆B2  0

(4)

0  C = C  

I

0 

L = [L

0]

 Ad + ∆Ad

0



Ad 

Ad = 

0

定理 1:假设干扰输入为零,给定标量 ε ,如果存在矩阵 K ,对称矩阵 P, Q, Z 使得对于任意的不确定性 ∑(t ) 满 足下列矩阵不等式, Ω  11  *   *  *   *  *

Ω12 Ω 22 * * * *

Ω13 *T d −1 −1

A −h Z * * *

N1 N2 0 −1

−h Z * *

PE 0 E 0 − εI *

  F   0  <0 0   0  − ε −1 I  F

T

T d

(6)

则网络系统(2)是渐近稳定的。 这里:

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动态网络系统的鲁棒 H∞输出反馈控制 ∗

Ω11= ( A + B K C ) P + P ( A + B K C ) + Q + N1 + N1 T

T

Ω12= PAd + N 2 − N1 T

Ω 22 =−(1 − µ )Q − N 2 − N 2

T

Ω13= ( A + B K C )

A ∗ A = 0 E=

T

0

0 ∗ B =  0 I

 E 0  Fd  0 0 F d =  0   

B2  0 

0 = F 0 

 Ad   0

Ad =

 F1 0 

  Ad  0 ∧

0

 0 F2  + KC  0   0 0 

证明:构造 Lyapunov 函数 V (ξ (t )) = V1 + V2 + V3 = V1 ξ= (t ) Pξ (t )V2 T

t

∫ ∫ 0

ξ (= s )Qξ ( s ) dsV3 T

t −d (t )

t

ξ ( s ) Z ξ( s ) dsdθ T

t +θ

− d (t )

T

T T T T T T = V1 ξ (t ) Pξ (t ) + ξ (t ) Pξ(= t ) ξ (t )(( A + BK C ) P + P ( A + BK C ))ξ (t ) + ξ (t − d (t )) Ad Pξ (t ) + ξ (t ) P Ad ξ (t − d (t ))

T T T T = V2 ξ (t )Qξ (t ) − (1 − d (t ))ξ (t − d (t ))Qξ (t − d (t )) ≤ ξ (t )Qξ (t ) − (1 − µ )ξ (t − d (t ))Qξ (t − d (t ))

= V3

0

− d (t )

T T (ξ(t ) Z ξ(t ) − ξ (t + θ ) Z ξ(= t + θ )) dθ d (t )ξ (t ) Z ξ(t ) − ∫

t

T  T 根据引理= 1,并令 η ξ (t )

ξ (θ ) Z ξ(θ ) dθ T

t −d (t )

 N1 

ξ (t − d (t ))  , X = NZ N , N =   ,   N2  T

−1

T

得到: T T V3 d (t )ξ (t ) Z ξ(t ) + 2η N ∫ =

t

t −d (t )

ξ (t )

ξ(θ )dθ + d (t )η X η − ∫ T

t

t −d (t )

η T

N  η   dθ Z  ξ(θ ) 

X T N

ξ (θ )   T

ξ (t )    ξ (t )  −1 T  N (ξ (t ) − ξ (t − d (t )) + d (t )  NZ N     ξ (t − d (t )  ξ (t − d (t )  ξ (t − d (t ) 

 T = d (t )ξ (t ) Z ξ(t ) + 2 

 ξ (t )  T ≤ hξ (t ) Z ξ(t ) + 2   ξ (t − d (t ) 

T

T

T

 N1   ξ (t )   N1  −1  N1   ξ (t )   N  (ξ (t ) − ξ (t − d (t )) + h ξ (t − d (t )   N  Z  N  ξ (t − d (t ))     2  2    2 T

T

= ξ (t )( h( A + BK C ) Z ( A + BK C ) + N1 + N1 + hN1 Z N1 )ξ (t ) + ξ (t )( h( A + BK C ) Z Ad + N 2 T

T

−1

T

T

T

T

T

T

N1 ) − N1 + hN1 Z N 2 )ξ (t − d (t )) + ξ (t − d (t ))( h Ad Z ( A + BK C ) + N 2 − N1 + h NZ 2 −1

T

T

T

−1

T

T

T

ξ (t ) + ξ (t − d (t ))( h Ad Z Ad − N 2 − N 2 + hN 2 Z N 2 )ξ (t − d (t ))( h Ad Z ( A + BK C ) + N 2 − N1 + hN 2 Z N1 ) T

−1

T

T

T

T

−1

T

ξ (t ) + ξ (t − d (t ))( h Ad Z Ad − N 2 − N 2 + h NZ N 2 )ξ (t − d (t )) 2 T

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T

−1

T

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动态网络系统的鲁棒 H∞输出反馈控制 T T V (ξ (t )) = V1 + V2 + V3 = ξ (t )(( A + BK C ) P + P ( A + BK C ) + Q +

h( A + BK C ) Z ( A + BK C ) + N1 + N1 + hN1 Z N1 )ξ (t ) + ξ (t )( P Ad + h( A + BK C ) Z Ad + N 2 − N1 + hN1 Z N 2 ) T

−1

T

T

T

T

T

T

−1

T

T

T

ξ (t − d (t )) + ξ (t − d (t ))( Ad P + N 2 − N1 + h Ad Z ( A + BK C ) + h NZ N1 )ξ (t ) + ξ (t − d (t ))( h Ad Z Ad − N 2 − N 2 2 T

T

−1

T

T

T

 Ψ11 Ψ12   ξ (t )     * Ψ 22  ξ (t − d (t )) 

(t − d (t )) ξ (t ) ξ (t − d (t ))   + h NZ N 2 − (1 − µ )Q ) ξ= 2 −1

T

T

T

这里: Ψ11 =+ ( A BK C )T P + P ( A + BK C ) + Q + h( A + BK C )T Z ( A + BK C ) + N1 + N1T + hN1 Z −1 N1T Ψ12= P Ad + h( A + BK C )T Z Ad + N 2T − N1 + hN1 Z −1 N 2T T

= Ψ 22 h Ad Z Ad − N 2T − N 2 + hN 2 Z −1 N 2T − (1 − µ )Q

Ψ 利用 Schur 补引理对矩阵  11  *

Ψ12  进行矩阵分解: Ψ22 

 Ζ11  * Ψ=  *  *

Ζ12

( A + BK C ) T

Ζ 22

Ad −1

−h Z

* *

*

−1

T

  N2   0  −1 − h Z  N1

(7)

Ζ11 = ( A + BK C )T P + P ( A + BK C ) + Q + N1 + N1T Ζ12= P Ad + N 2T − N1 Ζ 22 =−(1 − µ )Q − N 2 − N 2T

A ∗ 令A = 0

0

 ∆A ∗ ∆ = A , 0 0  

0

0 ∗ B = , I 0  

B2  0

0 ∆B2  ∆Ad * , ∆Ad =   0  0  0

 , ∆B =  

0 ∗  Ad Ad =  0  0

0 ∧  Ad 

则式(7)转化为:

Ξ11  * Ψ =  *   *

Ξ12 Ξ 22 * *

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( A∗ + ∆A∗ + ( B∗ + ∆B∗ ) K C )T ( Ad∗ + ∆Ad∗ )T − h −1Z −1 *

N1   N2  0   − h −1Z 

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Ξ= (( A + ∆A + ( B + ∆B ) K C ) P + P A + ∆A + ( B + ∆B ) K C ) + Q + N1 + N1 11 *

*

*

*

T

*

*

*

*

T

= Ξ12 P ( Ad + ∆Ad ) + N 2 − N1 T

Ξ 22 =−(1 − µ )Q − N 2 − N 2

T

对上式进行矩阵分解得到如下形式:

Θ11  * Ψ = Θ+  *   *

P∆Ad∗ 0 * *

∗T

0  0 0  0 

(∆A∗ + ∆B∗ KC )T ∆Ad∗T 0 *

(8)

Θ11 =∆A P + P ∆A + ( ∆B K C ) P + P ( ∆B K C ) T

这里

 Φ11  * Θ =  *   * ∗

PAd

( A + B K C)

Φ 22

Ad

*

−h Z

∗T

−1

* ∗

N1 

T

N2  0 

−1

−1

−h Z 

* ∗

Φ11= ( A + B K C ) P + P ( A + B K C ) + Q + N1 + N1 T

T

Φ 22 =−(1 − µ )Q − N 2 + N 2

T

根据 Schur 补引理和引理 2,式(8)可以转化为:

 PE    0  (t )  F Θ+  E ∑     0 

Fd

0

 PE   PE   PE       T  0  ≤ Θ + ε −1  0   0  + ε  F t ( ) ∑     E  E  E       0   0   0  T

0  +  F

Fd

0

0 

T

T

0   F T

Fd

Ω11 Ω12 N1 Ω13  *T Ad N2  * Ω13 − − 1 1  * * −h Z 0 Ψ = * * −h −1Z  *  * * * *  * * *  *

0

PE 0 E 0 −ε I *

Fd

0

0 

FT   FdT  0   0  0   −ε −1 I 

根据式(6)可以得到:

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V (ξ (t )) < 0

因此网络系统(2)在输出反馈控制器(3)的作用下是渐近稳定的。 接下来分析系统的鲁棒 H ∞ 性能约束,给出如下定理: 定理 2:给定标量 ε ,如果存在矩阵 K ,对称矩阵 P, Q, Z 使得对于任意的不确定性 ∑(t ) 满足下列矩阵不等式:  Ω11 Ω12 PB1 N1 PE F T  Ω13   * Ω 22 0 Ad*T N2 0 FdT   T * −γ 2 I B1T 0 0 0   ξ (t )   ξ (t )   * ∞      −1 −1 J ≤ ∫ ξ (t − d )   * * * −h Z 0 E 0  ξ (t − d )  d t 0  ω (t )   * * * * 0   ω (t )  −h −1Z 0   * * * * 0  −εI *  * * * * * * −ε −1 I  

(9)

那么被控输出 Z (t ) 满足 H ∞ 性能约束: Z (t )

2

≤γ

2

ω (t )

2

证明:考虑如下泛函指标 J =

0

[ Z (t )Z (t )-γ ω (t )ω (t )]dt T

2

T

构造如下形式的 Lyapunov 函数: V (ξ (t )) = V1 + V2 + V3 V1 = ξ (t ) Pξ (t ) T

V2 =

V3 =

∫ ∫

t

ξ ( s )Qξ ( s ) ds T

t −d (t )

0

− d (t )

t

t +θ

ξ ( s ) Z ξ( s ) dsdθ T

 ξ (t )  V (ξ (t )) = V1 + V2 + V3 = ξ (t − d (t ))     ω (t ) 

T

 Π11  *   *

Π 12

Π 13 

Π 22

Π 23 

*

Π 33 

 ξ (t )  ξ (t − d (t ))     ω (t ) 

这里: −1

( A + BK C ) P + P ( A + BK C ) + Q + h ( A + BK C ) Z ( A + BK C ) + N1 + N1 + hN1 Z N1 Π11 = T

T

−1

T

T

Π12= PAd + h( A + BKC ) ZAd + N 2 − N1 + hN1 Z N 2 T

T

T

Π13= PB1 + h ( A + BK C ) ZB T

T

= Π 22 h Ad Z Ad − N 2 − N 2 + hN 2 Z N 2 − (1 − µ )Q T

−1

T

Π 23 = hAd ZB T

Π 33 = hB1 ZB1 T

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因为闭环系统是渐近稳定的,对于所有的 ω (t ) ∈ L2 [0, ∞) 有

= J

=

0

0

[ Z T (t ) Z (t ) − γ 2ω T (t )ω= (t )]dt

0

[ξ T (t )C T Cξ (t ) − γ 2ω T (t )ω (t ) + V ( X ) − V ( X )]dt

[ξ T (t )C T (t )C (t )ξ (t ) − γ 2ω T (t )ω (t ) + ξT (t ) Pξ (t ) + ξ T (t ) Pξ(t ) + ξ T (t )Qξ (t ) − (1 − µ )ξ T (t − d )Qξ (t − d ) +

d (t )ξT (t ) Z ξ(t ) − ∫

t

t −d (t )

ξT (θ ) Z ξ(θ ) dθ ]dt ≤ ∫

 ξ (t )  ξ (t − d )     ω (t ) 

0

T

Π11 + C T C Π12  Π 22 *   * * 

  ξ (t )   Π 23  ξ (t − d )  dt −γ 2 + Π 33   ω (t )  Π13

根据引理 2 和 Schur 补引理对上式进行化简可以得到: Ω11 Ω12 PB1 Ω13 N1 PE F T    *T 0 Ad N2 FdT   * Ω 22 0 T  ξ(t )   * * − γ 2 0 0 0  B1T ∞     −1 −1 ≤ ∫ ξ(t − d )  * * * −h Z 0 0  E 0  ω(t )   * * * * 0  − h −1Z 0   * * * − εI 0  * * * * * * * * − ε −1I  

 ξ(t )  ξ(t − d ) dt    ω(t ) 

根据式(9)可以得到 J <0

因此该网络系统满足了 H ∞ 性能约束 Z (t )

2

≤γ

2

ω (t )

2

下面将其转化为具有 LMI 约束的凸优化问题。 −1

对 P 和 P 进行如下分块: P=

 P11  PT  12

M =

 S11 S T  12

P12 

 S11 −1 , P = S T P22   12

S12 

S 22 

I

 I P11  ,N =  T   0  0 P12 

将式(9)左乘 diag ( M , M , N , N , I , I ) 右乘 diag ( M , M , N , N , I , I ) ,于是可以得到如下定理 T

T

T

T

定理 3:如果存在矩阵 Aˆ c , Bˆ c , Cˆ c , Aˆ dc ,对称矩阵 P11 , P12 , S11 , S12 , Qr , Z r 和标量 ε 使得对于任意的不确定性 ∑(t ) 满 足下列矩阵不等式:

Τ11 Τ12 Τ13 * Τ 0 22   * * Τ33  * * * * * *  * * *  * * * 55

SJCE 2012.4

Τ17 

Τ14

Τ15

Τ16

Τ 24

Τ 25

0

Τ 27 

Τ34

0

0

0 

Τ 44

0

Τ 46

*

Τ55

0

*

*

Τ66

*

*

*

 <0 0   0  Τ77  0

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动态网络系统的鲁棒 H∞输出反馈控制

那么网络系统是渐近稳定的,并且满足指定的 H ∞ 性能指标。

 S A + Cˆ B + AS  Aˆ + A + 2 I   ˆ +S + B C + S =  + Q Τ A S  Aˆ  A P + P A + Bˆ C    *  + C Bˆ + P + P  T

11

T

T

c

2

11

c

T

= Τ11

2

11

c

11

d

11

T

11

Τ= 13

11

Τ17

 S11 AdT Τ 24 = T  Ad

−1

−1

Τ 44 =− h Z r

Τ= 14

1

S = 

11

1

T T F1 + Cˆ c F2

F1

T

S A A  T

0

 0

T Aˆ dc 

−1

 Τ 25 =Z r Ad P11  T

 E

Τ 46 =

 P11 E

11

d

11

A P11 + C Bˆ c T

 P A  Ad

T

11

T Cˆ c

T

11

dc

c

T

c

B   P B 

12

r

T

11

T

T

Τ 22 =−(1 − µ )Qr

  

S − 

 S11 FdT Τ 27 = T  Fd

−1

Zr Τ= 15

Τ= 16

E  P E 11

+ S11 T

11

*

2I P11 + P11

T

0

0 

  

0

2 T  Τ33 =−γ Τ34 =[ B1 0

T

B1 P11 ]

0

−1 −1 −1 Τ55 =− h Z r Τ 66 =−ε I Τ 77 =ε I  0

T T T T T T T T T Aˆˆˆ P12 Bˆˆc = S11 A P11 + S12 C B2 P11 + S12 A P12 + S11 C Bˆ = P= B Cˆˆc CS12 12 c

T = Aˆˆdc P11 Ad S11 + P12 Ad S12

ˆ , Bˆ , Cˆ , A ˆ 利用 MATLAB LMI 工具箱求解矩阵不等式(10),可以求解出 Aˆ c , Bˆ c , Cˆ c , Aˆ dc 的值,那么控制器的参数 A d

就可以唯一的确定。

3 仿真算例 选取如下参数: A=

L = [10

 −5 −2.5   −5 2.5   0.5   −2.5  B = B = A = d 1 2 10 −5  0 0   −0.3  0  C1 = [ 0 1]        

0] E =

 0.1 −0.1  0.2 0.6   0.2 0.1  0.1   −0.1 0.2  F1 =  −0.1 0.2  F2 =  0.05  Fd =  0.01 0.03        

令 γ = 2 利用 Matlab LMI Control Toolbox 解线性矩阵不等式(10) 可以得到: 2

 0.5424 4.1640  ˆ  ˆ  5.4344  ˆ B= Ad =    C = [ 4.9957 21.8549] h = 0.39 s   −4.7978   −0.1706 0.7411  4.4917 −152.3049 

 4.8648 Aˆ = 

124.3127

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下面给出系统不确定时变矩阵条件在不同范数范围内的仿真曲线:

图 1 不确定时变矩阵范数小于 0.2 时的状态曲线

图 2 不确定时变矩阵范数小于 0.7 时的状态曲线

通过仿真曲线可以看到系统在鲁棒输出反馈控制器的作用下,能够很好的解决外部系统的干扰和不确定性 带来的影响,系统在不确定性不同的范数内都能够很好的使系统达到渐近稳定,保持系统的队列长度达到稳定 值,避免网络拥塞的发生。

4 结语 本文针对具有时滞和不确定性的网络系统,利用线性矩阵不等式(LMI)和积分等式方法设计了具有时滞依 赖的鲁棒输出反馈控制器,给出系统鲁棒渐近稳定的充分条件。利用 MATLAB 线性矩阵不等式工具箱对系统 控制器进行求解。通过仿真表明网络系统的队列长度很快趋近于平衡状态,避免了网络拥塞的发生。 参考文献 [1]

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【作者简介】 孙平(1974-),女,汉族,副教授,博士,硕士生导师。从事网络系统鲁棒控制的研究。1998 年 毕业于沈阳师范大学数学专业,2002 年 9 月进入东北大学导航、制导与控制专业攻读硕士学位, 2004 年 3 月转为硕博连读学生,2005 年 3 月获工学硕士学位,2006 年 9 月获工学博士学位。2006 年 10 月来沈阳工业大学工作至今,主持并参与多项课题的研究,在国内外重要期刊和会议上发表 论文 20 余篇,2007 年被评为沈阳工业大学青年学术骨干教师。E-mail:tonglong-sun@163.com。

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