Scientific Journal of Control Engineering April 2013, Volume 3, Issue 2, PP.52-58

Quasi-Monte Carlo Gaussian Particle Filter Based Passive Bearings-only Target Tracking Jungen Zhang#, Peiyu Zhao 1. Department of Equipment of Unit 93936 of People’s Liberation Army, Yinchuan Ningxia 750025, China 2. Unit 94136 of People’s Liberation Army, Yinchuan Ningxia 750025, China #

Email: zhang_jungen@sina.com

Abstract Aiming at the highly nonlinearity of passive bearings-only target tracking, a new algorithm based on Quasi-Monte Carlo Gaussian particle filter is proposed for target tracking, which uses Gaussian particles to approximate the marginal association probabilities. Then, Gaussian particle filter (GPF) is utilized for approximating the prediction and update distributions. Meantime, the Quasi-Monte Carlo integration method is introduced to predicate the target and update the distribution. Finally, the proposed method is applied to passive multi-sensor target tracking. Simulation results show that the method can obtain better tracking performance than Extended Kalman Filter (EKF) and Unscented Kalman Filter (UKF). Keywords: Target Tracking; Passive Bearings-only; Particle Filter (PF); Quasi-Monte Carlo (QMC)

1 被动测角目标跟踪建模 被动测角目标跟踪系统的状态方程和观测方程可由下式表示：

xk  fk (xk 1 , w k 1 )

(1)

 k  h k (x k , v k )

(2)

 nx 和 h k : nx nv  nz 均为有界非线性函数， x k   nx 为系统在 k 时刻的 n 状态向量，  k    为系统在 k 时刻的观测向量， w k 1 和 v k 分别为过程噪声和观测噪声。假设 k 时刻的目 * 标状态为 x k  [ xk , yk , zk , xk , yk , zk ] ，被动观测系统由 N 个位于同一平面静止的被动传感器组成，以该平面 建立直角坐标系，目标与传感器的几何关系如图 1 所示。其中，被动传感器的坐标为 ( xi , yi , zi ) i  1, 2, , N ，  i 和  i 分别是由第 i 个被动传感器测得的俯仰角和方位角。采用集中式融合策略， k 时刻将各传感器的观测 * 信息送到数据融合中心，定义  k  [ k ,1 ,  k ,1 , ,  k , N ,  k , N ] 为系统 k 时刻的观测向量。 其中， f k :  x   n

nw

z

( xT , yT , zT )

1 ( x1 , y1 , z1 )

1

O

2

2

y

( x2 , y2 , z2 )

3 3 x

( x3 , y3 , z3 )

 k ,i  arctan  k ,i  arctan

zk  zi ( xk  xi ) 2  ( yk  yi ) 2 xk  xi ， i  1, 2, yk  yi

,N

(3)

(4)

2 基于 QMC-GPF 的目标跟踪算法 2.1 最优贝叶斯估计 根据最优贝叶斯估计原理，在给定观测序列的基础上，可以递推估计出系统状态的后验概率分布

p  x k | 1:k  ， 即 滤 波 分 布 ， 其 中 1:k  1 ,  2 , ,  k  。 假 定 系 统 状 态 的 先 验 概 率 分 布 已 知 ， 即 p  x 0 |  0   p  x0  ，则滤波分布 p  x k | 1:k  可以通过预测和更新两步来递推得到： - 53 http://www.sj-ce.org/

p  xk | 1:k 1    p  xk | xk 1  p  xk 1 | 1:k 1  dxk 1

(5)

p  x k | 1:k  

p   k | x k  p  x k | 1:k 1  p   k | 1:k 1 

(6)

2.2 QMC 采样 粒子滤波算法是以蒙特卡罗(MC)积分为基础。如果用 N 个随机样本点，则 MC 积分近似的误差阶平均数

1/ 2

 ，显然，肯定存在那样的 N 个样本点，使得误差的绝对值不大于平均值。如果能构造那样的

{ui },i  1,

,n 构造低偏差点集，并将这些低偏差点集转换为拟高斯序列，得到拟蒙特卡罗随机样本。具体算

,n

A． 初始化 • 选择一个随机化的初始值 ui B． For i  1,

Uniform 0,1

,n

• 计算 k    ln 1  ui  ln  p   1 • 计算 bkp  p  1  p k p k

• ui 1  ui  b

p k

,n

A. 对协方差矩阵  进行 Cholesky 分解：   RT R B. 将序列 ui  变换为  xi  , i  1,

, n ，得到拟高斯序列 xi    R 1  ui  ，   是标准高斯分布的概率分

2.3 QMC-GPF 算法 在高斯粒子滤波（GPF）[10]框架下，利用 QMC 随机样本代替传统的 MC 随机样本，得到 QMC-GPF 算 法。假设在初始时刻 k =1，有 p  x1 | 0     x1 ; 1 , 1  ，其中， 1 , 1 是先验知识。每得到一个新的观测值

 k 后，按照下面的算法计算滤波分布和预测分布。 1) 量测更新 在获得最新的观测值  k 之后，将贝叶斯更新方程式(5)表示为： p  x k |  k   Ck p   k | x k  p  x k |  k 1 

(7)

 Ck p   k | x k    x k ;  k ,  k 

 j

 j

 j  1, 2,..., N  ，然后再基于这些样本来计算均值向量和协方差矩阵的估计：    x k

N

( j)

( j)

j 1

k

k

 k   j 1 k ( k  x k )( k  x k ) N

( j)

( j)

(8)

( j) *

(9)

p  x k 1 |  k    p  x k 1 | x k  p  x k |  k  dx k   p  x k 1 | x k    x k ; k ,  k  dx k 1  N

 p x N

j 1

| xk  j

k 1

(10)

 j

j

 ， j  1, 2,..., N 抽取 N 个样本 x   ，然后再按以下两式分别计算 j k 1

k 1   j 1 x k 1 N

( j)

(11)

k 1   j 1 ( k 1  x k 1 )( k 1  x k 1 ) N

( j)

( j)

*

(12)

3 仿真实验与分析 假设目标作匀速直线运动，目标状态函数如式（13）所述。 目标的初始状态为 x0  [40km 40km 10km 100m / s  100m / s -100m / s] ，初始的状态协方差矩阵为 *

P0  diag (106 km 2 s 4  [100 100 100 100 100 100]) 。目标共有 50 个采样周期，采样周期 T  1s 。分别考察两 传感器、三传感器和四传感器的协同跟踪场景，每种情况进行 100 次独立 Monte Carlo 实验，对比 EKF、UKF - 55 http://www.sj-ce.org/

 x ( k  1)  x ( k  1)   y ( k  1)  y ( k  1)     z ( k  1)  z ( k  1)  f ( x k 1 )    x ( k  1)     y ( k  1)   z ( k  1)  

(13)

3.1 两传感器协同跟踪 两传感器初始位置分别为

S10  (10km, 0km, 5km), S 02  (0km, 10km, 5km)

(14)

0.1 Sik  S ik 1  0.1 , i  1, 2    0 

(15)

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

EKF UKF QMC-GPF

0.05

0.12

0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015

0

10

20

30

40

0.01

50

0

10

20

30

40

50

(a) 位置均方根误差比较

(b) 速度均方根误差比较

EKF

0.0939

0.0397

UKF

0.0650

0.0280

QMC-GPF

0.0462

0.0120

3.2 三传感器协同跟踪 三传感器初始位置分别为：

S10  (10km, 0km, 5km), S 02  (0km, 10km, 5km), S30  ( 10km, 10km, 5km) 运动模型为： - 56 http://www.sj-ce.org/

(16)

S S i k

i k 1

0.1  0.1 , i  1, 2, 3    0 

(17)

EKF UKF QMC-GPF

EKF UKF QMC-GPF

0.045

0.15

0.1

0.05

0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015

0

0

10

20

30

40

0.01

50

0

10

20

30

40

50

(a) 位置均方根误差比较

(b) 速度均方根误差比较

EKF

0.0912

0.0393

UKF

0.0623

0.0274

QMC-GPF

0.0454

0.0195

3.3 四传感器协同跟踪 四传感器初始位置分别为 S10  ( 10km, 0km, 5km), S 02  (0 km, 10 km, 5km),

(18)

S 30  ( 10km, 10km, 5km), S 04  ( 20 km, 0 km, 5km) 运动模型为：

S S i k

i k 1

0.1  0.1 , i  1, 2, 3, 4    0 

(19)

EKF UKF QMC-GPF

0.045

0.1 0.08 0.06 0.04

0.04 0.035 0.03 0.025 0.02

0.02 0.015 0

0

10

20

30

40

50

0.01

0

10

20

30 时间(s)

(a) 位置均方根误差比较

(b) 速度均方根误差比较

40

50

EKF

0.0747

0.0378

UKF

0.0536

0.0271

QMC-GPF

0.0388

0.0195

4 结语 针对被动测角目标跟踪问题，提出了一种 QMC-GPF 跟踪算法，利用 GPF 计算目标状态的预测及更新分布， 同时，引入 QMC 方法进行积分近似计算，改善了目标跟踪性能。将其应用于被动多传感器协同目标跟踪，仿 真实验验证了算法的有效性。如何利用 GPF 的可并行处理性来提高算法的实时性，将是后期研究的重点。

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【作者简介】 张俊根（1979-） ，男，汉族，博士，工程

1996.8-2000.7，空军工程大学读本科。

Email: zpyzax@gmail.com

Email: zhang_jungen@sina.com

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Quasi-Monte Carlo Gaussian Particle Filter Based Passive Bearings-only Target Tracking

Aiming at the highly nonlinearity of passive bearings-only target tracking, a new algorithm based on Quasi-Monte Carlo Gaussian particle fil...