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Scientific Journal of Control Engineering April 2013, Volume 3, Issue 2, PP.52-58

Quasi-Monte Carlo Gaussian Particle Filter Based Passive Bearings-only Target Tracking Jungen Zhang#, Peiyu Zhao 1. Department of Equipment of Unit 93936 of People’s Liberation Army, Yinchuan Ningxia 750025, China 2. Unit 94136 of People’s Liberation Army, Yinchuan Ningxia 750025, China #

Email: zhang_jungen@sina.com

Abstract Aiming at the highly nonlinearity of passive bearings-only target tracking, a new algorithm based on Quasi-Monte Carlo Gaussian particle filter is proposed for target tracking, which uses Gaussian particles to approximate the marginal association probabilities. Then, Gaussian particle filter (GPF) is utilized for approximating the prediction and update distributions. Meantime, the Quasi-Monte Carlo integration method is introduced to predicate the target and update the distribution. Finally, the proposed method is applied to passive multi-sensor target tracking. Simulation results show that the method can obtain better tracking performance than Extended Kalman Filter (EKF) and Unscented Kalman Filter (UKF). Keywords: Target Tracking; Passive Bearings-only; Particle Filter (PF); Quasi-Monte Carlo (QMC)

基于 QMC-GPF 的被动测角目标跟踪算法 张俊根 1,赵培宇 2 1.93936 部队装备部,宁夏 银川 750025 2.94136 部队,宁夏 银川 750025 摘

要:针对被动测角目标跟踪系统中存在的非线性问题,提出了一种基于拟蒙特卡罗-高斯粒子滤波(QMC-GPF)的跟踪

算法。通过高斯粒子来近似目标与观测的边缘关联概率,利用高斯粒子滤波(GPF)对目标状态进行预测及更新,同时,将 拟蒙特卡罗(QMC)积分方法引入计算目标状态的预测和更新分布,最后将所提算法应用到被动多传感器目标跟踪,仿真结 果表明该算法比传统的扩展卡尔曼滤波(EKF)、无迹卡尔曼滤波(UKF)具有更高的跟踪精度。 关键词:目标跟踪;被动测角;高斯粒子滤波;拟蒙特卡罗

引言 被动探测系统由于具有良好的隐蔽性和较高的生存能力,更可为主动雷达探测提供有效的辅助,已成为 理论和工程应用领域的研究热点[1]。然而,由于被动探测得到的观测信息只有目标相对于各传感器的俯仰角 和方位角,而这些角度信息与目标的状态(位置、速度等)之间是一种非线性关系,这种观测非线性导致了 跟踪过程中需要处理大量的非线性问题。目前常用的非线性滤波算法有扩展卡尔曼滤波(EKF)、修正增益的 扩展卡尔曼滤波等算法[2],但这些算法都是在基于模型线性化和高斯假设的条件下。Julier 等提出了无迹卡尔 曼滤波(UKF)[3],通过采样后得到 Sigma 点来表示系统的统计特性,它无需计算雅可比矩阵,对目标的状态 向量估计更加准确。但 UKF 算法中的一些尺度参数要根据实际情况而定,尺度参数选取不当,会影响到滤 波的性能。Gordon 等首次将粒子滤波应用到状态估计中,由于粒子滤波不受非线性非高斯条件的限制,所以 在机动目标跟踪、金融领域的数据分析、状态监视与故障诊断、图像处理等方面得到了广泛的应用[4-8]。 粒子滤波的基本思想就是通过寻找一组在状态空间中传播的随机样本对后验概率分布进行近似,以样本 - 52 http://www.sj-ce.org/


均值代替积分运算,从而获得状态的最小方差估计过程。Kotecha 等提出了高斯粒子滤波(GPF)[9],它假设系 统状态的预测概率和后验概率密度可以用一个单峰的高斯密度来近似,用蒙特卡罗积分来计算更新状态的均 值和协方差两个参数。 本文在 GPF 算法基础上,结合拟蒙特卡罗方法[10],提出了一种基于拟蒙特卡罗-高斯粒子滤波(QMC-GPF) 的被动多传感器目标跟踪算法,将其应用于被动多传感器测角目标跟踪,仿真验证了算法的有效性。

1 被动测角目标跟踪建模 被动测角目标跟踪系统的状态方程和观测方程可由下式表示:

xk  fk (xk 1 , w k 1 )

(1)

 k  h k (x k , v k )

(2)

 nx 和 h k : nx nv  nz 均为有界非线性函数, x k   nx 为系统在 k 时刻的 n 状态向量,  k    为系统在 k 时刻的观测向量, w k 1 和 v k 分别为过程噪声和观测噪声。假设 k 时刻的目 * 标状态为 x k  [ xk , yk , zk , xk , yk , zk ] ,被动观测系统由 N 个位于同一平面静止的被动传感器组成,以该平面 建立直角坐标系,目标与传感器的几何关系如图 1 所示。其中,被动传感器的坐标为 ( xi , yi , zi ) i  1, 2, , N ,  i 和  i 分别是由第 i 个被动传感器测得的俯仰角和方位角。采用集中式融合策略, k 时刻将各传感器的观测 * 信息送到数据融合中心,定义  k  [ k ,1 ,  k ,1 , ,  k , N ,  k , N ] 为系统 k 时刻的观测向量。 其中, f k :  x   n

nw

z

( xT , yT , zT )

1 ( x1 , y1 , z1 )

1

O

2

2

y

( x2 , y2 , z2 )

3 3 x

( x3 , y3 , z3 )

图 1 目标与被动传感器的几何关系

根据目标与传感器的几何关系可知,k 时刻目标俯仰角和方位角与目标的位置之间具有如下非线性关系:

 k ,i  arctan  k ,i  arctan

zk  zi ( xk  xi ) 2  ( yk  yi ) 2 xk  xi , i  1, 2, yk  yi

,N

(3)

(4)

2 基于 QMC-GPF 的目标跟踪算法 2.1 最优贝叶斯估计 根据最优贝叶斯估计原理,在给定观测序列的基础上,可以递推估计出系统状态的后验概率分布

p  x k | 1:k  , 即 滤 波 分 布 , 其 中 1:k  1 ,  2 , ,  k  。 假 定 系 统 状 态 的 先 验 概 率 分 布 已 知 , 即 p  x 0 |  0   p  x0  ,则滤波分布 p  x k | 1:k  可以通过预测和更新两步来递推得到: - 53 http://www.sj-ce.org/


状态预测

p  xk | 1:k 1    p  xk | xk 1  p  xk 1 | 1:k 1  dxk 1

(5)

滤波更新

p  x k | 1:k  

p   k | x k  p  x k | 1:k 1  p   k | 1:k 1 

(6)

其中, p  x k 1 | 1:k 1  为 k  1 时刻的滤波分布, p  x k | x k 1  是一阶马尔可夫过程,可由系统状态方程

式(1)获得, p   k | x k  是似然函数,可由观测方程式(2)得到。从滤波更新式(6)可以看出,状态后 验概率分布是通过量测  k 对先验概率进行修正而获得的。

方程式(5)和(6)构成了整个贝叶斯滤波的基础,然而这个后验密度的递推计算式通常不能获得解析解。

2.2 QMC 采样 粒子滤波算法是以蒙特卡罗(MC)积分为基础。如果用 N 个随机样本点,则 MC 积分近似的误差阶平均数

量级是 O  N

1/ 2

 ,显然,肯定存在那样的 N 个样本点,使得误差的绝对值不大于平均值。如果能构造那样的

点集,就可以对原有的方法进行较大的改进。拟蒙特卡罗(QMC)正是针对积分问题而提出的,它致力于构造 积分误差小于 MC 积分的样本点集[10]。 QMC 积分的形式和 MC 积分一样,只是选取样本点的方式不同。MC 用的是伪随机点,它注重于模拟自 然界的随机性,但正因为如此,MC 采样容易在积分区域形成“团簇”和“间隙”,从而影响积分近似的精 确程度。QMC 的基本思想是用精选的确定性点集来代替 MC 采样中的随机点集,它注重于样本分布的均匀 性。根据逆采样原理,任何一种分布的样本都可以由单位超立方体的均匀分布样本转换得到,而样本点在单 位超立方体分布的越均匀,经过转换后,就能越精确的逼近该分布。 QMC 采样的关键就是产生分布均匀的样本,即低偏差点集。本文以 p 为基的随机化 Halton 序列

{ui },i  1,

,n 构造低偏差点集,并将这些低偏差点集转换为拟高斯序列,得到拟蒙特卡罗随机样本。具体算

法如下: 步骤 1:产生以 p 为基的长度为 n 的随机化 Halton 序列 ui  , i  1,

,n

A. 初始化 • 选择一个随机化的初始值 ui B. For i  1,

Uniform 0,1

,n

• 计算 k    ln 1  ui  ln  p   1 • 计算 bkp  p  1  p k p k

• ui 1  ui  b

p k

图 2 MC 样本点和 QMC 样本点

步骤 2:将序列 ui  转换为服从均值  协方差  的拟高斯序列  xi  , i  1, - 54 http://www.sj-ce.org/

,n


A. 对协方差矩阵  进行 Cholesky 分解:   RT R B. 将序列 ui  变换为  xi  , i  1,

, n ,得到拟高斯序列 xi    R 1  ui  ,   是标准高斯分布的概率分

布函数 图 2 分别画出了 MC 和 QMC 方法产生的高斯样本点(1000 个点),可以看出 QMC 点集分布更均匀。

2.3 QMC-GPF 算法 在高斯粒子滤波(GPF)[10]框架下,利用 QMC 随机样本代替传统的 MC 随机样本,得到 QMC-GPF 算 法。假设在初始时刻 k =1,有 p  x1 | 0     x1 ; 1 , 1  ,其中, 1 , 1 是先验知识。每得到一个新的观测值

 k 后,按照下面的算法计算滤波分布和预测分布。 1) 量测更新 在获得最新的观测值  k 之后,将贝叶斯更新方程式(5)表示为: p  x k |  k   Ck p   k | x k  p  x k |  k 1 

(7)

 Ck p   k | x k    x k ;  k ,  k 

其中, Ck  1/ p   k |  k 1  。在此,预测分布 p  x k |  k 1  已被近似成为一个高斯分布   xk ; k , k  。 再将滤波分布用高斯密度近似,即 pˆ  x k |  k     x k ; k ,  k  。

 j

 j

先 用 QMC 方 法 对 重 要 性 密 度   x k |  k     x k ; k , k  抽 取 样 本 x k , 计 算 重 要 性 权 值  k ,

 j  1, 2,..., N  ,然后再基于这些样本来计算均值向量和协方差矩阵的估计:    x k

N

( j)

( j)

j 1

k

k

 k   j 1 k ( k  x k )( k  x k ) N

( j)

( j)

(8)

( j) *

(9)

式中,N 表示样本数目。这样,滤波概率密度近似为 p  x k |  k     x k ; k ,  k  。 2) 时间预测 在滤波分布 p  x k |  k  已近似表示为高斯分布的情况下,贝叶斯预测方程式(6)可表示为

p  x k 1 |  k    p  x k 1 | x k  p  x k |  k  dx k   p  x k 1 | x k    x k ; k ,  k  dx k 1  N

 p x N

j 1

| xk  j

k 1

(10)

 j

其中, x k 是用 QMC 方法从   xk ; k , k  采得的样本。

按照(10)式依次从转移概率 p xk 1 | xk 预测的均值向量和协方差矩阵:

j

 , j  1, 2,..., N 抽取 N 个样本 x   ,然后再按以下两式分别计算 j k 1

k 1   j 1 x k 1 N

( j)

(11)

k 1   j 1 ( k 1  x k 1 )( k 1  x k 1 ) N

( j)

( j)

*

(12)

理论证明,在后验概率可以近似为高斯密度时,该算法是渐进最优的。

3 仿真实验与分析 假设目标作匀速直线运动,目标状态函数如式(13)所述。 目标的初始状态为 x0  [40km 40km 10km 100m / s  100m / s -100m / s] ,初始的状态协方差矩阵为 *

P0  diag (106 km 2 s 4  [100 100 100 100 100 100]) 。目标共有 50 个采样周期,采样周期 T  1s 。分别考察两 传感器、三传感器和四传感器的协同跟踪场景,每种情况进行 100 次独立 Monte Carlo 实验,对比 EKF、UKF - 55 http://www.sj-ce.org/


及 QMC-GPF 算法的跟踪性能,其中,QMC-GPF 算法的粒子数为 600。实验均在 Pentium 4 CPU 3.06GHz 的 PC 机上利用 Matlab 完成的。

 x ( k  1)  x ( k  1)   y ( k  1)  y ( k  1)     z ( k  1)  z ( k  1)  f ( x k 1 )    x ( k  1)     y ( k  1)   z ( k  1)  

(13)

3.1 两传感器协同跟踪 两传感器初始位置分别为

S10  (10km, 0km, 5km), S 02  (0km, 10km, 5km)

(14)

0.1 Sik  S ik 1  0.1 , i  1, 2    0 

(15)

运动模型为:

角度测量误差的标准差为 0.4mrad 。 0.14 EKF UKF QMC-GPF

0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

EKF UKF QMC-GPF

0.05

速度均方根误差(km/s)

位置均方根误差(km)

0.12

0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015

0

10

20

30

40

0.01

50

0

10

20

时间(s)

30

40

50

时间(s)

(a) 位置均方根误差比较

(b) 速度均方根误差比较

图 3 各算法估计的位置和速度均方根误差比较

图 3 为 100 次实验目标跟踪位置和速度的均方根误差,表 1 为各算法估计的时间平均均方根误差对比, 由仿真结果可以看出:EKF 算法跟踪误差最大,UKF 次之,QMC-GPF 跟踪误差最小。 表 1 各算法跟踪结果对比 算法

均方根误差 位置(km)

速度(km/s)

EKF

0.0939

0.0397

UKF

0.0650

0.0280

QMC-GPF

0.0462

0.0120

3.2 三传感器协同跟踪 三传感器初始位置分别为:

S10  (10km, 0km, 5km), S 02  (0km, 10km, 5km), S30  ( 10km, 10km, 5km) 运动模型为: - 56 http://www.sj-ce.org/

(16)


S S i k

i k 1

0.1  0.1 , i  1, 2, 3    0 

(17)

角度测量误差的标准差为 0.4mrad 。 0.05

EKF UKF QMC-GPF

EKF UKF QMC-GPF

0.045

速度均方根误差(km/s)

位置均方根误差(km)

0.15

0.1

0.05

0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015

0

0

10

20

30

40

0.01

50

0

10

20

时间(s)

30

40

50

时间(s)

(a) 位置均方根误差比较

(b) 速度均方根误差比较

图 4 各算法估计的位置和速度均方根误差比较 表 2 各算法跟踪结果对比 均方根误差

算法

位置(km)

速度(km/s)

EKF

0.0912

0.0393

UKF

0.0623

0.0274

QMC-GPF

0.0454

0.0195

图 4 为 100 次实验目标跟踪位置和速度的均方根误差,表 2 为各算法估计的时间平均均方根误差对比, 由仿真结果可以看出:EKF 算法跟踪精度最差,UKF 比 EKF 要好,QMC-GPF 算法跟踪精度最高。

3.3 四传感器协同跟踪 四传感器初始位置分别为 S10  ( 10km, 0km, 5km), S 02  (0 km, 10 km, 5km),

(18)

S 30  ( 10km, 10km, 5km), S 04  ( 20 km, 0 km, 5km) 运动模型为:

S S i k

i k 1

0.1  0.1 , i  1, 2, 3, 4    0 

(19)

角度测量误差的标准差为 0.4mrad 。 0.05 EKF UKF QMC-GPF

EKF UKF QMC-GPF

0.045

速度均方根误差(km/s)

位置均方根误差(km)

0.1 0.08 0.06 0.04

0.04 0.035 0.03 0.025 0.02

0.02 0.015 0

0

10

20

30

40

50

0.01

0

10

20

时间(s)

30 时间(s)

(a) 位置均方根误差比较

(b) 速度均方根误差比较

图 5 各算法估计的位置和速度均方根误差比较 - 57 http://www.sj-ce.org/

40

50


图 5 为 100 次实验目标跟踪位置和速度的均方根误差,表 3 为各算法估计的时间平均均方根误差对比, 由仿真结果可以看出:QMC-GPF 算法跟踪精度要优于 EKF 和 UKF。 表 3 各算法跟踪结果对比 算法

均方根误差 位置(km)

速度(km/s)

EKF

0.0747

0.0378

UKF

0.0536

0.0271

QMC-GPF

0.0388

0.0195

4 结语 针对被动测角目标跟踪问题,提出了一种 QMC-GPF 跟踪算法,利用 GPF 计算目标状态的预测及更新分布, 同时,引入 QMC 方法进行积分近似计算,改善了目标跟踪性能。将其应用于被动多传感器协同目标跟踪,仿 真实验验证了算法的有效性。如何利用 GPF 的可并行处理性来提高算法的实时性,将是后期研究的重点。

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【作者简介】 张俊根(1979-) ,男,汉族,博士,工程

赵培宇(1978-) ,男,汉族,学士,工程

师,研究方向为信号处理、目标跟踪,

师,研究方向为传感器技术,学习经历:

学习经历:2005.8-2011.3,西安电子科技

1996.8-2000.7,空军工程大学读本科。

大学硕博连读。

Email: zpyzax@gmail.com

Email: zhang_jungen@sina.com

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