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TRILCE

Capítulo

21

COMPARACIÓN CUANTITATIVA

23.1 NOCIONES BÁSICAS Desde épocas remotas, la Matemática ha estado en la vida del hombre. Todo lo que le rodeaba no hacía sino conducirlo por un camino incipiente e inevitable de la Matemática: Comparar, agrupar y contar. Al comparar dos conjuntos de elementos diferentes (dedos y animales por ejemplo) y querer comunicarlos, el hombre ilumina su mente, inventa sonidos y voces que lo llevarán a calcular, interpretar y enseñar para que lo entendiesen. Así, supera su etapa primitiva aprendiendo y transformando constantemente la naturaleza de acuerdo a sus necesidades. En la actualidad, algunas universidades están redefiniendo el perfil del profesional que desean que ingresen a ellas. Esto a su vez ha obligado a modificar la estructura y contenido del examen de ingreso, en los que las preguntas ya no sólo se elaboran para establecer el nivel de conocimientos de parte del postulante, sino reconocer las habilidades que estos poseen ante situaciones polémicas contextualizadas. El presente capítulo de comparación cuantitativa tiene como objetivo en mayor medida el de evaluar la habilidad del alumno para reconocer propiedades entre los números, que un dominio de las técnicas operativas. 23.2 LA HABILIDAD MATEMÁTICA DE COMPARAR Cabe indicar que comparar tiene varias acepciones; pero para los fines de este capítulo, la definiremos como una habilidad matemática que consiste en estimar las diferencias y semejanzas entre cantidades de una misma especie. 23.3 LEY DE TRICOTOMÍA: Dados dos números reales a y b, sólo puede haber entre ellos la siguiente relación de orden : ab

ab

ab

23.4 COMPARACIÓN CUANTITATIVA: Es un tipo de ítem con cuyas preguntas se logra evaluar la comprensión matemática que posee una persona, al comparar dos cantidades dadas mediante aproximación, cálculo simple o sentido común. El modelo de este tipo de preguntas es: Se dan dos cantidades, algunas veces precedidas por un enunciado, una en la columna A y otra en la columna B. Se trata de comparar estas dos cantidades y luego discriminar, deberás marcar: A. Si la cantidad de A es mayor a la de B. B. Si la cantidad de B es mayor a la de A. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si falta información para decidir. E. ¡No debe usar esta opción! Observación: Según la ley de tricotomía sólo existen tres relaciones posibles entre A y B, si ésta no se puede establecer, entonces se apela a la alternativa D; la última alternativa no es relevante ni trascendente, esta cumple sólo el papel de distractor. Veamos algunos problemas sobre comparación de cantidades conocidas:

243


Raz. Matemático

Ejemplos:

Enunciado

Columna A

Columna B

1

13 17  29 14  18 23 21 19 12

2

1 1  3 2

3

2

4

2004 2005

2003 2004

x

x2

Sea x 5 un número positivo

29 23  18 17  13 14 12 21 19 1 1  9 4 33

Resolución: 1. Se podría operar los términos de ambas columnas, lo cual nos llevaría mucho tiempo. Recuerda que un número mixto es la suma de un entero y una fracción. A = 13 17  29 14  18 23 B = 29 23  18 17  13 14 21 19 12 12 21 19 Por lo tanto A = B Clave C 2. Una forma de comparar las expresiones dadas, es calculando el valor de cada columna: A115 B  1  1  13  13 3 2 6 9 4 36 6 Ambos resultados tienen el mismo denominador, sólo debemos comparar los numeradores: 5 13 , si 9  3 y 16  4 ; 13 es un valor que está entre 3 y 4. Por lo tanto A > B Clave A 3. Dado que no puede usar calculadora para comparar radicales, se recomienda elevar ambos términos a un mismo exponente tal que se elimine el radical. 2

6

3 3 6  23

3

2

8

9

Por lo tanto A < B Clave B 4. Si se dividen ambas fracciones, resultaría tedioso buscar la diferencia entre ambos cocientes dado que dichas cantidades son aproximadamente iguales. Analizando ambas columnas se observa que ambas fracciones están formadas por términos consecutivos. Se podría probar con números más pequeños (Inducción Matemática) para observar lo que se presenta al compararlos. 3 2 4 3 Por una propiedad de las fracciones, podemos compararlas mediante la multiplicación en aspa:

Vemos:

 3(3)

4(2)  9 > 8

Intentemos con otro caso : 5 6

4  5(5) 5

6(4)  25  24

En ambos, el resultado de la primera columna es mayor por lo cual podemos inducir que : Por lo tanto A > B Clave A

244

2004  2003 2005 2004


TRILCE

Observación: Si se apela al Álgebra, se puede llegar a demostrar la resolución anterior de la siguiente forma : 2004 2005

2003  (2004)2 2004

2 2 ( 2003 2005 ) ( )  (2004)  (2004)  1 2004 1 2004 1 A  B

5. Para comparar cantidades desconocidas expresadas en forma de variables, es conveniente probar un juego de valores para dichas variables, y ver cómo varía la relación entre las columnas. Como "x" es un real positivo, probemos con: 1 x=0;1;2; 2 A

B

Se observa que el orden no se mantiene igual para todos los valores supuestos. Por lo tanto, para saber cuál de las columnas tiene una cantidad mayor se requiere de mayor información. Clave D

2

0

0

1

1

2

2

1 2

1    2

2 2 2

COMPARACIÓN CUANTITATIVA I En estas preguntas se dan dos cantidades, una en la columna A y la otra en la columna B. Tienes que determinar la relación entre ambas y marcar:

A. B. C. D. E.

Si la cantidad en A es mayor que en B. Si la cantidad en B es mayor que en A. Si ambas cantidades son iguales. Si falta información para poder determinarlo. ¡NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIÓN!

Columna A

Columna B

1h 40min 30s

99min 90s

2M

5N

03. Si A excede en 100 a B.

A

B

04. Si x excede en 180 a y.

x  140

y + 140

xy

y

117x+2a+15b = 0

119xa3b=0

a3 + b3

(a + b)3

(ax+by)2 + (aybx)2

(a2 + b2) (x2 + y2)

01. 02. Si M es el triple de N (M y N positivos)

05. Si x excede en 50 al doble de y. 06. Si a y b son positivos, la solución de 07. Si a > 0 y b > 0, 08.

245


Raz. Matemático

09. El número de elementos de

A  {x  Z / 1  3 x  17}

B  {x  Z /  8  2x  6}

98 42

8 + 2 (3  4)

10.

COMPARACIÓN CUANTITATIVA II En estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relación entre ambas y marcar: A. B. C. D. E.

Si la cantidad en A es mayor que en B. Si la cantidad en B es mayor que en A. Si ambas cantidades son iguales. Si falta información para poder determinarlo. ¡NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIÓN!

11.

12. Dada la expresión: 3x  2y = 5

13. 14. Si r y s son las raíces de (x  3)2  9

Columna A

Columna B

77727752

7782  7762

El valor de x cuando y=5

El valor de y cuando x=6

78 454 78 524

78 453 78 523

r+s

rs

Número de subconjuntos de Número de elementos de A = {m ; n ; p ; q} B  {x  N/ 2  x  18}

15.

16. Si: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} B = {1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7} C = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}

n(B  C)

17. La menor de las raíces de 18. Si: a 2b  0

n(A  B  C)  n(A  B)

(x+3)(x+4)(x5)=0

(x+2)(x+5)(x3)=0

c

b

100 m más 220 cm más 5000 mm

90 m más 1700 cm

2

b c0

19.

20. En la figura, se tienen dos circunferencias tangentes exteriores

10

O’ O

246

2

Distancia entre los centros

Longitud de la circunferencia menor


TRILCE

COMPARACIÓN CUANTITATIVA III En estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relación entre ambas y marcar: A. B. C. D. E.

Si la cantidad en A es mayor que en B. Si la cantidad en B es mayor que en A. Si ambas cantidades son iguales. Si falta información para poder determinarlo. ¡NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIÓN!

Columna A

Columna B

13 naranjas

9 plátanos

2 787 2 785

2 7862

n(A)

n(B)

24.

10 docenas de decenas

12 decenas de docenas

25.

1562

693

c

b

ac

b

x+w

y+z

21. 4 naranjas = 5 plátanos 22. 23. Si A  B

26. Si : a 6 b3  0 10 5

b c 0 2 2 27. Si : a bc  0 abc  0

28. Si : L1 // L 2 // L 3 x

L1

y L2 z w

L3

29. Se tiene una esfera inscrita en un cubo de volumen 64 m 3

30.

Área de la superficie esférica

9km2

Área lateral del cubo

999Ha

247


Raz. Matemático

COMPARACIÓN CUANTITATIVA IV En estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relación entre ambas y marcar: A. B. C. D. E.

Si la cantidad en A es mayor que en B. Si la cantidad en B es mayor que en A. Si ambas cantidades son iguales. Si falta información para poder determinarlo. ¡NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIÓN!

Columna A

Columna B

31. Una moneda de "A" equivale a 2,5

de "B", una de "B" a 0,3 de "C" 32. Si 7 CUPOS = 8 POCUS 33.

Tengo : dos monedas de “A”, tres de “B” y cuatro de “C”

Tengo : una moneda de “A”, cuatro de “B”y tres de “C”

12 CUPOS

13 POCUS

n (A  B)

n(A) n( A  B )

n (A

34.

B  C)

35. Si: n(A  B)  20 n (A B) = 8 n (B - A) = 6

n(A)

n(A  B)  n(A  B)

36. Si: A*B=A-B A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} B = {1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 7}

Número de elementos de : B A

Número de elementos de : A B

37. Si: ax 2  bx  c  0 , tiene dos raíces reales e iguales

2b2

8ac

38. Si: abcd > 0 ab < 0 ac > 0

bc

bd

39. Dada la figura: A R

AO + OB O

R

AB

B

40. Si: 3A = 5B y 7B = 9C

248

El doble de la longitud de

119A

256C


TRILCE

COMPARACIÓN CUANTITATIVA V En estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relación entre ambas y marcar: A. B. C. D. E.

Si la cantidad en A es mayor que en B. Si la cantidad en B es mayor que en A. Si ambas cantidades son iguales. Si falta información para poder determinarlo. ¡NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIÓN!

Columna A

Columna B

41.

(2)3  3+30

(2)2  2 2

42.

10  15  2

1

43. Si un producto A se vende a 3 unidades por 8 soles y un producto B se vende a 4 unidades por 7 soles.

44.El costo de un artículo cuando se gana $60. 45. Si a es un número natural de una cifra

46. 47. Si x - y = z , y = 2z , z > 0 48. Si a  0 y b  0

10 unidades de A

15 unidades de B

La ganancia es un cuarto del costo

La ganancia es un quinto del precio de venta

a3

a

38

aa

MCD (17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31)

MCD (2 ; 4)

3x

9z

a4 + b6

2a2 b3

xz

yw

B y

z

49. w

x A

M

C

BM es mediana

50. Dados los puntos A; B, C y D, colineales y consecutivos, con AC = 10 y BD = 12

CD

AB

249


Raz. Matemático

COMPARACIÓN CUANTITATIVA VI En estas preguntas, se dan dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B. Tienes que determinar la relación entre ambas y marcar: A. B. C. D. E.

Si la cantidad en A es mayor que en B. Si la cantidad en B es mayor que en A. Si ambas cantidades son iguales. Si falta información para poder determinarlo. ¡NO DEBE UTILIZAR ESTA OPCIÓN!

Columna A

Columna B

51.

520  518

518(20)

52. Si: 2250 es el 2,5% de "x"

x  45000

x 2

a  9 ; a0 9 a

a+1

10

54. Si: a = 0,1818...

0.18  1 11

0,2929...  a

55.

40% de 25

53. Si:

yx y

xy x

x 3 56. Si: y  4

25% de 40

57. Comparar las áreas de las regiones sombreadas.

r

r 2

r

58. Comparar el diámetro de la circunferencia y la diagonal del cuadrado, siendo "L" la longitud de la circunferencia y "L" el perímetro del cuadrado.

1

2

59.

x

z

Área del cuadrado de perímetro “L”

Área del triángulo equilátero de perímetro “L”

z

y 2

60. "L" es un número real: L > 0

250

2y

1


TRILCE

Claves 01.

c

31.

a

02.

a

32.

a

03.

a

33.

c

04.

b

34.

a

05.

a

35.

c

06.

b

36.

a

07.

b

37.

c

08.

c

38.

b

09.

b

39.

b

10.

b

40.

b

11.

b

41.

c

12.

b

42.

b

13.

a

43.

a

14.

b

44.

c

15.

c

45.

d

16.

b

46.

b

17.

a

47.

c

18.

b

48.

d

19.

a

49.

c

20.

b

50.

a

21.

a

51.

a

22.

c

52.

c

23.

b

53.

b

24.

b

54.

b

25.

a

55.

c

26.

a

56.

b

27.

a

57.

c

28.

c

58.

b

29.

a

59.

c

30.

b

60.

a

251


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