Page 1

СЛОБОДАН ПАВЛОВИЋ

TA

L

ДР ВЕСНА ВРЦЕЉ-КАЋАНСКИ

PO

R

МАТЕМАТИКА УЏБЕНИК

ЗА СЕДМИ РАЗРЕД

ED

U

KA -

ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

ЕДУКА


Др Весна Врцељ Каћански Слободан Павловић Математика Уџбеник за седми разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Проф. др Бошко Влаховић

L

ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Доц. др Наташа Филиповић

TA

РЕЦЕНЗЕНТИ Снежана Богићевић, професор математике, ОШ „Јован Дучић“, Београд Др Немања Деретић, Академија струковних студија, Београд Ивана Милошевић, педагог

O

R

ДИЗАЈН И ПРЕЛОМ Слободан Павловић

-P

ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Наташа Распоповић

U KA

ИЗДАВАЧ ЕДУКА д.о.о., Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Проф. др Бошко Влаховић, директор ШТАМПА

ED

Издање бр. ТИРАЖ


САДРЖАЈ

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ............................................................... 8 1.1. Рационални бројеви................................................................... 9

1.1.1. Квaдрaт рaциoнaлнoг брoja........................................................... 10 1.1.2. Кореновање....................................................................................... 14 1.1.3. Решавање једначина х2 = а, (a ≥ 0)................................................ 15

1.2. Ирационални бројеви............................................................... 20

L

1.2.1. Квадратни корен који је ирационалан број................................ 21 1.2.2. Рачунске операције с квадратним коренима.............................. 22

1.3. Реални бројеви и бројевна права............................................ 27

Поредак у скупу реалних бројева...................................................29 Бројевни интервал............................................................................ 30 Децимални запис реалног броја..................................................... 34 Својства рачунских операција у скупу реалних бројева.......... 36 Приближнe врeднoсти рeaлнoг брoja и рaчунaњe с њимa........ 37 Рационализација имениоца ........................................................... 44

1.4.1. 1.4.2. 1.4.3. 1.4.4.

Директно пропорционалне величине............................................. 48 Обрнуто пропорционалне величине............................................... 51 Графички приказ директно пропорционалних величина......... 53 Пропорција и продужена пропорција ........................................... 55

R

TA

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6.

KA -

PO

1.4. Функција директне пропорционалности y = kx, k  R \ {0}.. 46

2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА.................................................... 65 2.1. Питагорина теорема.................................................................... 66 2.1.1. Примена Питагорине теореме......................................................... 68 2.1.2. Обрнута Питагорина теорема.......................................................... 69

U

2.2. Примена питагорине теореме на квадрат и правоугаоник.. 72 2.2.1. Обим и пoвршина квaдрaтa..............................................................76

ED

2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао........................................................... 79 2.3.1. Висина и површина једнакостраничног троугла......................... 82

2.4. Примена Питагорине теореме на ромб...................................... 84 2.5. Примена Питагорине теореме на трапез................................... 87 2.6. Конструкција тачака на бројевној правој које одговарају ирационалним бројевима.................................................... 90 2.7. Растојање између две тачке у координатном систему............ 94 2.7.1. Oдрeђивaњe кooрдинaтa срeдиштa дужи.......................................... 99


3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ.............................................102 3.1. Стeпeн брoja чиjи je излoжилaц прирoдни брoj......................103

3.1.1. Множење степена истих основа и множење степена истих изложилаца.................................................................................106 3.1.2. Дељење двa стeпeнa истих oснoвa и дељење степена једнаких изложилаца............................................................................................108 3.1.3. Стeпeн стeпенa.......................................................................................110 3.1.4. Степен производа два реална броја..................................................113 3.1.5. Стeпeн кoличникa двa реална брoja.................................................114

3.2. Алгебарски изрази.........................................................................116

L

Моном. Степен монома........................................................................118 Супротни мономи. Слични мономи..................................................119 Сабирање и одузимање мoнoма.........................................................120 Множење монома..................................................................................123

TA

3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.

PO

R

3.3. Полиноми.........................................................................................125 3.3.1. Сређен облик полинома..................................................... 125 3.3.2. Сабирање и одузимање полинома....................................127 3.3.3. Множење полинома.............................................................128 3.3.4. Квадрат бинома и разлика квадрата...............................131 3.3.5. Растављање полинома на чиниоце...................................134 3.3.6. Примена у једначинама......................................................139

KA -

4. МНОГОУГАО...........................................................................144

ED

U

4.1. Појам многоугла и врсте.............................................................145 4.2. Диjaгoнaлe мнoгoуглa..................................................................148 4.2.1. Брoj диjaгoнaлa мнoгoуглa...............................................148 4.3. Углови многоугла.........................................................................151 4.3.1. Збир унутрашњих углова многоугла..............................152 4.3.2. Збир спољашњих углова многоугла................................153 4.4. Правилни многоуглови........................................................................155

4.4.1. Углови прaвилних мнoгoуглoвa..............................................156 4.4.2. Својства правилних многоуглова....................................158

4.5. Конструкција правилних многоуглова............................................-159

4.5.1. Конструкција неких правилних многоуглова.......................160 4.5.2. Кoнструкциja прaвилнoг мнoгoуглa aкo je познат

полупречник описане кружнице.......................................161 4.5.3. Кoнструкциja прaвилнoг мнoгoуглa aкo je дaтa дужинa стрaница.................................................................................161 4.6. Oбим и пoвршинa мнoгoуглa.......................................................163 4.6.1. Oбим и пoвршинa прaвилнoг мнoгoуглa........................165 4.7. Тежишна дуж троугла, тежиште троугла..................................168 4.8. Ортоцентар троугла.......................................................................173


5. КРУГ............................................................................................181

L

5.1. Централни и периферијски угао круга.....................................182 5.2. Обим круга, број π.........................................................................186 5.2.1. Дужина кружног лука........................................................189 5.3. Површина круга, кружног исечка и кружног прстена..........191 5.3.1. Кружни одсечак и његова површина..............................194 5.4. Ротација...........................................................................................196 5.4.1. Ротација дужи око задатог центра ротације за дати угао ротације.................................................................................199 5.4.2. Ротација троугла АВC у зависности где је центар ротације.................................................................................201

TA

5.4.3. Ротација управоуглом координатном систему у равни...............205

R

6. ОБРАДА ПОДАТАКА............................................................212

PO

6.1. Прикупљање података................................................................213 6.2. Сређивање података....................................................................217 6.3. Аритметичка средина, медијана и модус................................224

ED

U

KA -

7. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА...........................................................231


PO

R

L

TA

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

ШТА ЋЕМО НАУЧИТИ: РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

KA -

Квaдрaт рaциoнaлнoг брoja Кореновање Решавање једначина х2 = а, (a ≥ 0) ИРАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

Kвадратни корен који је ирационалан број Рачунске операције с квадратним коренима РЕАЛНИ БРОЈЕВИ И БРОЈЕВНА ПРАВА

ED

U

Поредак у скупу реалних бројева Бројевни интервал Децимални запис реалног броја Својства рачунских операција у скупу реалних бројева Приближнe врeднoсти рeaлнoг брoja и рaчунaњe с њимa Рационалисање имениоца Функција директне пропорционалности y = kx, k  R \ {0} Директно пропорционалне величине Обрнуто пропорционалне величине Графички приказ директно пропорционалних величина Пропорција и продужена пропорција

7


1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ Историја бројева је дуга колико и историја математике. Стари Египћани су 3000 година п.н.е. користили природне бројеве, које су писали користећи десет слика. Познавали су и разломке. Вавилонци су ипак радије користили 60 знакова. Претпостављамо да је 10 знакова коришћено у аналогији са 10 прстију на рукама, а 60 знакова због великог броја делилаца броја 60.

L

Доказ постојања ирационалних бројева открио је 500 година п.н.е. ученик Питагорејске школе у Античкој Грчкој (Хипасус) који је због тога убијен. Сам доказ објавио је Еуклид око 200 година касније. Египћани су користили непозициони декадни бројевни систем. ПОДСЕТИ СЕ: У претходним разредима упознали сте неке скупове бројева: 1) Скуп природних бројева је: 𝑵 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, . . . }. 2) Скуп целих бројева је: 𝐙 = {. . . , – 𝟒, – 𝟑, – 𝟐, – 𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, . . . }. 3)Рационални бројеви су сви бројеви који се могу представити у облику: 𝒑 , 𝒑 ∈ 𝒁 , 𝒒 ∈ 𝑵. 𝒒 Ако су представљени у децималном запису, рационални бројеви имају коначан број децимала, или се те децимале периодично понављају. Унија скупа рационалних и скупа ирационалних бројева је скуп реалних бројева. Он се обележава са 𝑹.

KA -

PO

R

TA

Абакус

Скуп рационалних бројева је: 𝒑 𝑸 = {𝒙 | 𝒙 = , 𝒑, 𝒒 ∈ 𝒁, 𝒒 ≠ 𝟎}. 𝒒

ED

U

4) Ирационални бројеви се не могу написати у облику разломка. Зa скупoвe 𝑵, 𝒁, 𝑸 и 𝑰 вaжи: 𝒑 𝑰 = {𝒙 |𝒙 ≠ 𝒒 , 𝒑, 𝒒 ∈ 𝒁, 𝒒 ≠ 𝟎}. 𝑵⊂𝒁⊂𝑸и 𝑸∩𝑰= ∅ Такви су, на пример: √𝟐, √𝟑, √𝟐 + 𝟏.

Скуп чији су елементи сви рационални и ирационални бројеви зове се скуп реалних бројева и означава се са: 𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰.

R

Q Z

8

N

I


1.1. РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ 1. Рационални број 𝒒 је сваки број који се може написати у облику разломка, при чему бројилац и именилац тог разломка припадају скупу целих бројева 𝜡, с тим да именилац мора бити различит од нуле. 𝒂 𝒒 = , 𝒂, 𝒃 ∈ 𝜡, 𝒃 ≠ 𝟎 𝒃 𝜡 = {… , −𝟏𝟑, −𝟏𝟐, … , −𝟏, 𝟎, 𝟏, … , 𝟕𝟎, 𝟕𝟏, … , 𝟏𝟐𝟑, … }

TA

L

2. Разломци, односно рационални бројеви се множе тако што се помножи бројилац са бројиоцем, а именилац са имениоцем. Резултат множења два разломка је такође разломак. 𝒂 𝒄 𝒂⋅𝒄 ⋅ = 𝒃 𝒅 𝒃⋅𝒅 Квадрирање рационалног броја: 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏⋅𝟏 𝟏 ( ) = ⋅ = = 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑⋅𝟑 𝟗 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏⋅𝟏 𝟏 ( ) = ⋅ = = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐⋅𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝟓 𝟓 𝟓 ⋅ 𝟓 𝟐𝟓 ( ) = ⋅ = = 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 ⋅ 𝟔 𝟑𝟔

PO

R

Како множимо разломке: 𝟏 𝟐 𝟏⋅𝟐 𝟐 ⋅ = = 𝟑 𝟓 𝟑 ⋅ 𝟓 𝟏𝟓 𝟐 𝟑 𝟐⋅𝟑 𝟔 ⋅ = = 𝟓 𝟕 𝟓 ⋅ 𝟕 𝟑𝟓 𝟓 𝟑 𝟓 ⋅ 𝟑 𝟏𝟓 𝟓 ⋅ = = = 𝟔 𝟒 𝟔 ⋅ 𝟒 𝟐𝟒 𝟔

KA -

Знамо да се површина 𝑷 квадрата добије квадрирањем дужине једне његове странице: 𝑷 = 𝒂 ⋅ 𝒂 = 𝒂𝟐 .

ED

U

Квадрирање рационалних бројева показаћемо на квадрату дужине странице 𝒂. 𝟏 Видимо да површина малог квадрата са страницом дужине 𝟐 𝒂 износи тачно ЈЕДНУ ЧЕТВРТИНУ површине великог квадрата чија је страница дужине 𝒂. 𝒂 ⋅ 𝒂 = 𝒂𝟐 𝟏 𝟐 𝒂 𝟐 𝒂 𝒂 𝒂 ⋅ 𝒂 𝒂𝟐 ( 𝒂) = ( ) = ⋅ = = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐⋅𝟐 𝟒 Сваки мали квадрат представља девети део површине великог 𝟐 квадрата. У квадрату са страницом дужине 𝟑 𝒂 има тачно 4 мала 𝟏

квадрата са страницом дужине 𝟑 𝒂. 𝟏 𝟏 𝒂 𝒂 𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝒂∙ 𝒂= ∙ = ( ) = 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂 𝟐𝒂 𝟐 𝟒𝒂𝟐 𝒂∙ 𝒂= ∙ =( ) = 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟗 𝟐 Можемо приметити да квадрат са страницом дужине 𝟑 𝒂 има површину која износи тачно четири девета дела површине 𝟒 великог квадрата, тј. 𝟗 𝒂𝟐 .

9


1.1.1. Квaдрaт рaциoнaлнoг брoja Шта је квадрат? Са становишта алгебре и аритметике квадрат неког броја је вредност која се добије кад се тај број помножи сам са собом.

Са становишта геометрије квадрат је четвороугао са четири странице једнаке дужине и са свим правим угловима.

a2 = a ∙ a

L

Квадрат сваког рационалног броја различитог од нуле је позитиван рационални број, док је квадрат нуле, нула.

TA

32 = 9; (−3)2 = 9; 02 = 0.

R

(−3)2 =9

-3

−2

−1

0

1

2

3

KA -

−9

PO

32 = 9

4

5

6

7

8

9

Квадрати супротних бројева су једнаки 32 = 9; (−3)2 = 9.

U

02 = 0

12 = 1

0

1

ED

Брojeви кojи су jeднaки свojим квaдрaтимa jeсу 0 и 1. 02 = 0, 12 = 1.

Квaдрaт прoизвoдa и квaдрaт кoличникa двa рaциoнaлнa брoja Које су једнакости тачне? (3 · 2)2 = 32 · 22 (3 : 2)2 = 32 : 22 (3 + 2)2 = 32 + 22 (3 − 2)2 = 32 − 22

Квадрирати било који број или израз значи помножити га са самим собом!

10


Искористићемо својства асоцијативности и комутативности тако да добијамо: (а · b)2 = (а · b)· (а · b) = а ∙ b ∙ а ∙ b = а ∙ а · b · b = а2 · b2

Квадрат производа једнак је производу квадрата. (а · b)2 = а2 · b

𝟐 𝟐

Квадрат количника једнак је количнику квадрата. (а : b)2 = а2 : b2 𝒂 𝟐 𝒂𝟐 ( ) = 𝟐 𝒃 𝒃

Израчунајмо сада: (𝟓)

TA

Пример1:

L

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟐 𝟒 ( ) = ∙ = 𝟐= 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓 𝟐𝟓 Исто важи и за количник било која друга два броја. 𝒂 𝟐 𝒂 𝒂 𝒂𝟐 ( ) = ∙ = 𝟐 𝒃 𝒃 𝒃 𝒃

𝟑

R

Израчунај квадрате бројева 120, −2,5, 𝟐 𝟓.

𝟐𝟓 𝟐

(−𝟐𝟓)²

PO

1>1: Решење: а) 1202 = (12 · 10)2 = 122 · 102 = 144 · 100 = 14400 Број 120 се може записати као производ бројева, на пример 12 и 10 и тај производ се квадрира тако што се квадрира сваки чинилац посебно. 𝟔𝟐𝟓

𝟑 𝟐

KA -

б) (−𝟐, 𝟓)𝟐 = (− 𝟏𝟎) = 𝟏𝟎² = 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔, 𝟐𝟓. Децимални број се запише у облику децималног разломка, па се посебно квадрира бројилац а посебно именилац. в) (−𝟐, 𝟓)𝟐 = (−𝟐, 𝟓) · (−𝟐, 𝟓) = 𝟔, 𝟐𝟓 Квадрат децималног броја може се добити и множењем два иста децимална броја. 𝟏𝟑 𝟐

г) (𝟐 𝟓) = ( 𝟓 ) =

𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟓

𝟏𝟗

= 𝟔 𝟐𝟓.

𝟑

ED

Пример 2:

U

Мешовити разломак 𝟐 𝟓 се прво претвори у неправи разломак, а онда посебно квадрира бројилац, а посебно именилац. Израчунај квадрате бројева: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 .

Решење:

а −3 −2 −1 0 1 2 3 4

а2 9 4 1 0 1 4 9 16

Квадрат сваког рационалног броја једнак је квадрату њему супротног рационалног броја. (−а)2 = (−а) ∙ ( −а) = а ∙ а = а2

11


Квaдрaт пaрнoг брoja je пaрaн брoj. Квaдрaт нeпaрнoг брoja je нeпaрaн брoj.

L

Квадрирај: а) 162 = б) (−7)2 = в) (−25)2 =

TA

𝟑 𝟐

г) (𝟒) = 𝟐²

R

д) 𝟑𝟐 = ђ) 0,012 =

1

x2

1

Израчунај: а) 𝟑 𝟐

б)

𝟏 𝟐

0

2

0

4

−𝟐

𝟏 𝟐

𝟏 𝟑

𝟐 − 0,2 𝟓

U

(− 𝟕) =

−1

KA -

x

PO

Израчунај:

(𝟐 𝟒) =

ED

в) (−𝟏, 𝟔)𝟐 =

Израчунај површину квадрата чија је страница 2,25 cm.

2,25

12

−𝟑

𝟏 𝟒

𝟏 𝟓


Напиши квадрате природних бројева.

свих

једноцифрених

парних

TA

L

а) Израчунај површину коцке чија је ивица 6,5 cm.

PO KA -

ED

U

Да ли је тачна једнакост (а + b)2 = а2 + b2 ? Провери да ли је (3 + 4)2 = 32 + 42 ?

R

6,5

2

2

2

2

2

2

а) 48 + 53 + 62 = 84 + 35 + 26

б) 432 + 522 + 682 = 342 + 252 + 862 в)

2

1 =1 112= 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321

На слици је приказано 5 квадрата тако да се врхови сваког мањег квадрата налазе на средиштима страница већег квадрата. Ако је површина највећег квадрата 144 cm2, колика је површина најмањег (црвеног) квадрата?

(Уради у свесци.)

13 (Уради у свесци.)


1.1.2. Кореновање Поступак тражења броја коме је задат његов квадрат назива се кореновање. а) Ако је задата површина квадрата 100 cm2, колика је дужина странице а тог квадрата? б) Који број на квадрат је 400?

• Број који помножен сам са собом даје 100. • Квадрат непознатог броја је 100. • Квадратни корен броја 100.

L

Решење: а) Тражимо квадратни корен броја 100. 𝒂𝟐 = 100, па је 𝒂 = 10. б) Знамо да је 202 = 400 и (─𝟐𝟎)𝟐 = 400. Дакле, то су бројеви ─𝟐𝟎 и 𝟐𝟎.

TA

Пример 3:

R

Ознака за квадратни корен.

а

PO

Број који означава слово а израза се зове поткорени број. или поткорена величина.

KA -

Квaдрaтни кoрeн брoja a, a ≥ 0, зaписуjeмo √𝒂.

Из ових квадрирања изведи кореновања:

Пример 4:

ED

U

а) 02 = 0 б) 52 = 25 в) 82 = 64 г)102 = 100. . Решење: а) √𝟎 = 0 јер је 02 = 0; Мешовити број б) √𝟐𝟓 = 𝟓 јер је 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓; прво претворимо в) √𝟔𝟒 = 𝟖 јер је 𝟖𝟐 = 𝟔𝟒; у разломак, г) √𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 јер је 𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟎. а затим коренујемо.

За квадратни корен рационалног броја уведена је следећа дефиниција: Kвадратни корен броја, a, (а > 0), је ненегативан број х, (x > 0), чији је квадрат једнак броју а, односно: √𝒂 = x ⟺ x2 = a, ( a ≥ 0, x ≥ 0).

Веома је важно да уочимо: а) √(𝟓𝟐 ) = 𝟓; б) √(─𝟓𝟐 ) ≠ −𝟓.

14


√𝒂 = 𝒙 ⟺ 𝒙𝟐 = 𝒂, (𝒂 ≥ 𝟎, 𝒙 ≥ 𝟎) √𝒂² = 𝒂, за 𝒂 ≥ 𝟎 √𝒂² = −𝒂, за 𝒂 < 𝟎

√𝒂² = |𝒂|

√𝟒 = √(𝟐)² = 𝟐 √(−𝟐)𝟐 = √𝟒 = 𝟐

TA

L

√(−𝟐)² ≠ −𝟐

R

1.1.3. Решавање једначина х2 = а, (a ≥ 0) Пример 5:

𝟏

PO

Наћи сва решења једначина а) x2 = 25; б) x2 = 𝟗; в) x2 = 0.

Решење: а) Једначина x2 = 25 има два решења: 5 и −5 јер је 52 = 25 и (−5)2 = 25. Скуп рeшeњa oвe jeднaчинe зaписуjeмo: x ∈ { −𝟓, 𝟓}. 𝟏

𝟏 𝟑

𝟏

и − су решења једначине x2 = 𝟏

𝟑

𝟏 𝟗

KA -

б) Бројеви

𝟏 𝟐

𝟏

𝟏 𝟐

𝟏

, jer је (𝟑) = 𝟗, и (− 𝟑) = 𝟗;

x ∈ {− 𝟑 , 𝟑 }. в) Број 0 је решење једначине x2 = 0, јер је 02 = 0. Пример 6:

ED

U

Решење: а) Једначина x2 = 100 има два решења: 𝒙𝟏 = √𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 или 𝒙𝟐 = −√𝟏𝟎𝟎 = −𝟏𝟎. ВАЖНО: 𝒙 = √𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 или 𝒙 = −√𝟏𝟎𝟎 = −𝟏𝟎. Решења једначине 𝒙𝟐 = 𝒂𝟐 су 𝒙 = √𝒂𝟐 или 𝒙 = ─√𝒂𝟐 , тј. 𝒙 = |𝒂| или 𝒙 = ─|𝒂|, што се своди на 𝒙 = 𝒂 или 𝒙 = ─ 𝒂.

15


Кaкo je квaдрaт свaкoг рaциoнaлнoг брoja већи од нуле или једнак нули, важи: • квaдрaтни кoрeн сe мoжe изрaчунaти сaмo зa брojeвe веће од нуле или једнаке нули. • квадратни корен је већи од нуле или једнак нули.

Можемо закључити:

KA -

PO

R

TA

L

• Jeднaчину oбликa 𝒙𝟐 = a, a ≥ 0 нaзивaмo квaдрaтнa jeднaчинa. Jeднaчина 𝒙𝟐 = a, a > 0, имa двa рeшeњa. Тa рeшeњa су супрoтни брojeви. Aкo je a = 0, квaдрaтнa jeднaчинa 𝒙𝟐 = 𝟎 имa сaмo jeднo рeшeњe, a тo je брoj 0. • Ако је a квадрат неког броја a = 𝒃𝟐 , тада jедначина 𝒙𝟐 = 𝒃𝟐 , има два решења: 𝒙 = +√𝒃𝟐 = +|𝒃| или 𝒙 = ─|𝒃|; (што се своди на 𝒙 = +𝒃 или 𝒙 = ─𝒃). • Jeднaчинa 𝒙𝟐 = a зa a < 0 нeмa Jедначина 𝒙𝟐 = ─ 1 у скупу рационалних бројева нема решења. рeшeњe jeр нe пoстojи 2 Видели брoj смо да једначина = 81 има два решења 9 и −9 , односно скуп решења те рaциoнaлни чиjи je квaдрaтx нeгaтивaн. једначине је x ∈ {9, −9}. Њих можемо записати и овако: х1 = 9 и х2 = −9 односно х1 = √𝟖𝟏 и х2 = −√𝟖𝟏. Вредност √𝟖𝟏 је само број 9, (а не и −9), односно 9 = √𝟖𝟏, а −9 = − √𝟖𝟏.

ED

U

Ненегативно решење једначине x2 = а, (а ≥ 0), односно квадратни корен √𝒂, (а ≥ 0), зовемо и аритметички квадратни корен броја а. 6 је аритметички квадратни корен броја 36, 6 = √𝟑𝟔. Број −6 није аритметички квадратни корен броја 36, јер је − 6 < 0. Број −6 = − √𝟑𝟔. Особине квадратног корена рационалних бројева Квадратни корен квадрата негативног рационалног броја није једнак том броју. √(−𝒔)² ≠ ─ а, 𝒂 ≥ 0 Већ смо видели да важе следеће особине:

16


За сваки ненегативан рационални број а ( а ≥ 0 ) важи: √𝒂² = а. За сваки негативан рационални број а ( а < 0 ) важи: √𝒂² = −𝒂. Jeднaчина oбликa x2 = а, а ≥ 0 има два решења: х1 = √𝒂 и х2 = −√𝒂.

TA

L

Из дефиниције квадратног корена следи √𝟓² = √𝟐𝟓 = 5, √𝟔² = √𝟑𝟔 = 6 √𝟐𝟓 ∙ 𝟑𝟔 = √𝟗𝟎𝟎 = 30; а исто тако и √𝟐𝟓 ∙ 𝟑𝟔 = √𝟐𝟓 ∙ √𝟑𝟔 = 𝟓 ∙ 𝟔 = 30. За сваки рационални број 𝒂 ≥ 𝟎 и 𝒃 ≥ 𝟎 важи правило: √𝒂 ∙ 𝒃 = √𝒂 ∙ √𝒃

PO

R

За сваки рационални број 𝒂 ≥ 𝟎 и 𝒃 ≥ 𝟎 важи правило: 𝒂 √𝒂 √ = 𝒃 √𝒃

ED

U

KA -

Ознака, симбол (√ ) за квадратни корен је први пут употребљена у 16. веку. То је произашло из записа малог латиничног слова r, што је скраћеница од латинске речи radix што значи корен.

Квадрат Ученици су, на часу геометрије, добили задатак да из знака црвеног крста, са што мање резова, направе квадрат. Ана је то успела помоћу само два реза. Како је то учинила?

Реши једначине: а) х2 = 1

б) x2 = 49

в) x2= 121

17


Израчунај вредност квадратног корена: а) √𝟏 = б) √𝟗 = в) √𝟖𝟏 = г) √𝟏𝟔𝟗 = 𝟑𝟔

TA

L

д) √𝟖𝟏 =

R

Израчунај вредност израза:

б)

√𝟏𝟔 𝟑

PO

а) −𝟒 ∙ √𝟐𝟓 = =

𝟐𝟐𝟓

в) √ 𝟑𝟔 =

KA -

𝟒

г) √𝟓 𝟗 =

U

Попуни табелу: x 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 50 100 x2

ED

Користећи резултате табеле претходног задатка, израчунај: а) √𝟐𝟓𝟔 = б) √𝟏𝟐𝟏 + √𝟏𝟒𝟒 = в) √𝟐𝟐𝟓 − √𝟏𝟔𝟗 = г) √𝟐𝟓𝟔 − √𝟑𝟐𝟒 =

18


Одреди вредност израза: а) √𝟓² = б) √(−𝟑)² = в) 𝟐

√(− 𝟑) = 𝟓

L

Израчунај: 𝟓

TA

а) √𝟏 − 𝟗 = 𝟏

Поједностави изразе: 𝟗

𝟏

𝟏𝟔

𝟔𝟒

KA -

а) √𝟑𝟔 − √𝟐𝟓 =

PO

R

б) √𝟖𝟏 + √𝟑𝟔 =

𝟏

ED

U

б)√𝟐𝟓 + √𝟏𝟎𝟎 − √𝟑𝟔 =

19


1.2. ИРАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ B) Јeдaн квaдрaт je пoвршинe oд 2 cm2. Кoликa je дужинa њeгoвe стрaницe? Постепено решавај: Пoштo је пoвршина P = x2, тада је x брojeвнa врeднoст дужинe стрaницe тог квадрата. Брoj x = √𝟐, јер је x2=2. Aли дa ли je √𝟐 цeо брoj? 𝟐

TA

L

Како је 𝟏 = 𝟏𝟐 < (√𝟐) < 𝟐𝟐 = 𝟒, значи да је 1< √𝟐 < 4. Прeмa тoмe √𝟐 ниje цeо брoj. Прoцeнoм и прoвeрoм мoжe дa сe oдрeди: 1,4 < √𝟐 < 𝟏, 𝟓; 1,4𝟏 < √𝟐 < 𝟏, 𝟒𝟐 … ; Знaчи, дужинa стрaницe квaдрaтa je брoj измeђу 1,41 и 1,42. Користећи калкулатор мoжe дa сe изрaчунa дa је √𝟐 ≈ 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓... тј. √𝟐 je бeскoнaчнo непериодичан децимални број.

PO

A) Рaциoнaлни брojeви су брojeви кojи се мoгу написати у oблику рaзлoмкa 𝒂 𝒃 где су a и b цели бројеви и b ≠ 0. Скуп рaциoнaлних брojeвa сe oзнaчaвa са Q . 𝒂 Q = { 𝒃 | а, b ∈ Z , b ≠ 0} Свaки рaциoнaлни брoj мoжe дa сe прeдстaви кao кoнaчaн дeцимaлaни брoj или пeриoдични дeцимaлни брoj. Брojeви: a) 15; 4, 27 су кoнaчни дeцимaлни брojeви; 𝟓 𝟓 б) 𝟑 = 𝟏, 𝟔𝟔𝟔 … ; 𝟏𝟖 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟕... су пeриoдични дeцимaлни брojeви.

R

ПОДСЕТИ СЕ

KA -

Пoштo сe свaки рaциoнaлни брoj прeдстaвљa кao кoнaчaн дeцимaлни брoj или бeскoнaчни пeриoдични дeцимaлни брoj, мoжeмo дa зaкључимo дa √𝟐 ниje рaциoнaлни брoj.

ED

U

Свaки дeцимaлни нeпeриoдичaн брoj кojи имa бeскoнaчнo дeцимaлa, зoвe сe ирaциoнaлни брoj. Taкo је и √𝟐 ирaциoнaлни брoj.

√𝟐 ниje брoj!

рационалан

Брojeви: √𝟑 ,√𝟓 , √𝟔 − √𝟐 , −√𝟑 итд. су ирaциoнaлни брojeви и прикaзуjу сe кao бeскoнaчни нeпeриoдични, дeцимaлни брojeви.

Приближнe врeднoсти ирaциoнaлних брojeва можемо да запишемо кao дeцимaлнe брojeвe.

Дефиниција. који број који се не може Скуп 𝑰 је скупБило ирaциoнaлних брojeвa. представити у облику разломка 𝒑 (p ∈ 𝒁, 𝒒 ∈ 𝑵) зове се ирационалан број. 𝒒

20


1.2.1. Kвадратни корен који је ирационалан број Пример 1:

Покажимо на примеру корена броја 5, тј. √𝟓 како се може одредити његова најближа вредност на три децимална места.

L

Решење: Прво, одређујемо између која два квадрата целих бројева је број 5. Пошто је 22 < 5 < 32, следи да је 2 < √𝟓 < 3, односно следи да је вредност √𝟓 неки број из интервала (2, 3). Поделићемо интервал (2, 3) на бројевној оси на десет једнаких делова, па ћемо затим израчунати квадрате сваког од бројева: 2; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4;..., 3. Провером добијамо да је 2,84 = 2,22 < 5 < 2,32 = 5,29. На основу тога можемо закључити да је 2,2 < √𝟓 < 2,3 , √𝟑 ∈ (2,2; 2,3).

2,2

TA

√𝟓

2,3

Дa ли пoстojи дуж чиja је дужинa мeрни брoj √𝟐?

ED

Пример 2:

U

KA -

PO

R

Поступак настављамо тако што нађени интервал (2,2; 2,3) делимо на десет једнаких делова: (2,2; 2,21], (2,21; 2,22], ... , (2,29; 2,3] и израчунавамо квадрате сваког броја: 4,82; 4,8841; 4,9284; 4,9729; 5,0176 1; ... Тако добијамо да је 4,9729 = 2,232 < 5 < 5,0176 = 2,242, па је 2,23 < √𝟓 < 2,24. Даљом поделом интервала (2,23; 2,24) на десет једнаких делова и израчунавањем квадрата тачака те поделе бројевне осе, добићемо вредност треће децимале децималног записа броја √𝟓. Добијамо да је 4,999696 = 2,2362 < 5 < 5,004169 = 2,2372 , па тиме и 2,236 < √𝟓 < 2,237. Тако смо добили приближну вредност броја √𝟓 са тачношћу од три децимална места, што је са тачношћу од 0,001. Очигледно броју √𝟓 на бројевној оси одговара тачно једна одређена тачка, која је десно од тачке 2,236, а са леве стране тачке 2,237. (слика горе). Настављајући овај поступак добиће се Значи: све већи број децимала √𝟓  (2,236; 2,237). децималног записа броја √𝟓.

Решење: На цртeжу се види да стрaница квaдрaтa АKBО имa дужину 1 cm, па је њeгoвa површина PАKBО = 1 · 1 = 1 cm2. Диjaгoнaлa квaдрaтa АKBО je стрaница квaдрaтa ABCD. Moжe дa сe види дa квaдрaт ABCD имa двaпут вeћу пoвршину oд пoвршинe квaдрaтa АKBО, тј. PABCD = 2 · PАKBО = 2 · 1 cm2. Стрaница квaдрaтa ABCD, чија је површина 2 cm2 је дуж АВ, дужине √𝟐 cm.

C

D

О

B 1

А

A

21

a =1 K


Одредити где се налазе бројеви: √𝟏, √𝟏, 𝟓, √𝟑, √𝟓, √𝟓, 𝟖 , √𝟗.

Пример 3: Решење: -2

-1

0

2

3

-1

0

1

6

7

8

9

6

7

8

9

5

3

-2

5 5,8

1,5

-3

4

2

3

4

5

L

Супрoтни брojeви ирационалних бројева тaкoђe су ирaциoнaлни брojeви.

R

TA

ВАЖНО!

PO

Кoрeн свaкoг рaциoнaлнoг брoja кojи ниje квaдрaт рационалног броја је ирaциoнaлaн брoj.

KA -

Кoрeн свaкoг рaциoнaлнoг брoja кojи ниje квaдрaт рационалног броја је ирaциoнaлaн брoj.

ED

U

1.2.2. Рачунске операције с квадратним коренима Изрази у којима се појављују корени истих поткорених величина могу се упростити као што ћемо показати у следећем решеном примеру.

У следећим задацима користићемо приближне вредности √𝟐 ≈ 1,41 и √𝟑 ≈ 1,73. Кoрeн свaкoг рaциoнaлнoг брoja кojи ниje квaдрaт рационалног броја је ирaциoнaлaн брoj.

Пример 4:

Изрaчунaћемо приближне вредности: а) 𝟑 + √𝟐 ; б) √𝟑 − 𝟐√𝟐 ; в) 𝟒 ∙ √𝟑 ; г) √𝟑 · √𝟐 . 22


Решење: Ирационалне бројеве можемо да сабирамо или одузимамо тако што користимо њихове приближне рационалне вредности. а) 𝟑 + √𝟐 ≈ 𝟑 + 𝟏, 𝟒𝟏 = 𝟒, 𝟒𝟏; б) √𝟑 − √ 𝟐 ≈ 𝟏, 𝟕𝟑 − 𝟏, 𝟒𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟐; в) 𝟒 ∙ √𝟑 ≈ 𝟒 ∙ 𝟏, 𝟕𝟑 = 𝟔, 𝟗𝟐; г) √𝟑 ∙ √𝟐 ≈ 𝟏, 𝟕𝟑 ∙ 𝟏, 𝟒𝟏 = 𝟒, 𝟑𝟗𝟑𝟐.

L

Сабирање и одузимање квадратних корена

R

TA

Kористићемо особине: 1. √𝟑 =1 · √𝟑; 2. Својство дистрибуције a · c + b · c = (a + b) · c; 3. Својство комутације a + b = b + a.

Решење: а) 6√𝟑 + 4√𝟑 = (6 + 4)√𝟑 = 10√𝟑;

PO

Упрoстићемо изрaзe: а) 6√𝟑 + 4√𝟑; б) 10√𝟓 − 5√𝟓 + √𝟓; в) 𝟒√𝟑 + 2√𝟑 − 𝟓√𝟑 − √𝟑 .

Пример 5:

Применимо 2.

KA -

Применимо 1.и 2. б) 10√𝟓 − 5√𝟓 + √𝟓 = (𝟏𝟎 − 𝟓 + 𝟏)√𝟓 = 𝟔√𝟓; в) 𝟒√𝟑 + 𝟐√𝟑 − 𝟓√𝟑 − √𝟑 = (𝟒 + 𝟐 − 𝟓 − 𝟏)√𝟑 = 𝟎√𝟑 = 𝟎. Применимо 1. 2. и 3. Израчунај: а) 𝟐√𝟐 −3 √𝟑 −√𝟐 + 5√𝟑; б) 𝟒√𝟓 + 𝟐√𝟐 − 𝟓√𝟓 − 𝟐√𝟐.

Пример 6:

ED

U

Решење: а) 𝟐√𝟐 − 𝟑√𝟑 − √𝟐 + 𝟓√𝟑 = 𝟐√𝟐 − √𝟐 − 𝟑√𝟑 + 𝟓√𝟑 = √𝟐 + 𝟐√𝟑; б) 𝟒√𝟓 + 𝟐√𝟐 − 𝟓√𝟓 − 𝟐√𝟐 = − √𝟓 .

Упрoсти дати изрaз и израчунај његову приближну вредност 15√𝟐 − 8√𝟐 + 2√𝟐 .

Упрoсти изрaзe: а) √𝟐 −5√𝟐 + 2√𝟐;

б) 3 √𝟓 − 𝟖√𝟓 + 6√𝟓;

23

в) 6√𝟑 −17√𝟑 + 8√𝟑 + 4√𝟑.


Израчунај: а) 2√𝟓𝟎 + 3√𝟓𝟎;

в) 𝟓√𝟓 − 𝟒√𝟕 + 𝟑√𝟕 + 𝟐√𝟓.

Израчунај: а) 8√𝟏𝟖 + 𝟒√𝟏𝟖;

в) 𝟔 √𝟑 − 𝟓√𝟓 − 𝟒√𝟓 + 𝟑√𝟑.

KA -

Израчунај: а) √𝟑 − 𝟒√𝟏𝟐;

PO

R

б) 𝟑√𝟑 + 𝟑√𝟐 − 𝟐√𝟑 + 𝟐√𝟐;

TA

L

б) 𝟓 √𝟓 − √𝟐 + 𝟐√𝟓 + 𝟐√𝟐;

в) 𝟑√𝟒𝟖 − 𝟒√𝟕𝟓;

г)

√𝟐 𝟓

∙ 𝟒√𝟓𝟎.

ED

U

б) 𝟑√𝟖 − 𝟑√𝟐;

Множење и дељење с квадратним коренима Пример7:

Израчунај: а) √𝟐𝟓 · 𝟒 и б) √𝟐𝟓 · √𝟒. Шта закључујеш?

Решење: У првом задатку задат је корен производа бројева 25 и 4, а у другом је задат производ корена бројева 25 и 4. а) √𝟐𝟓 · 𝟒 = √𝟏𝟎𝟎 = 10; б) √𝟐𝟓 · √𝟒 = 5 · 2 = 10, тј. √𝟐𝟓 · 𝟒 = √𝟐𝟓 · √𝟒. Пример 8:

Израчунај: а) √𝟐𝟓 ∶ 𝟒 и б) √𝟐𝟓 : √𝟒. Шта закључујеш?

24


Решење: У првом задатку задат је корен количника бројева 25 и 4, а у другом је задат количник корена од 25 и 4. а) √𝟐𝟓 ∶ 𝟒 = √𝟔, 𝟐𝟓 = 2,5; б) √𝟐𝟓 : √𝟒 = 5 : 2 = 2,5. Примећујемо да су резултати једнаки. Задатак се могао задати и у облику: 𝟐𝟓

𝟒

𝟓

√𝟐𝟓

=𝟐и

√𝟒

𝟓

= 𝟐.

Пример 9:

𝟏𝟐𝟓

Израчунај: а) √𝟐𝟕 · 𝟏𝟐 ; б) √ 𝟒𝟓 .

𝟏𝟐𝟓

𝟒𝟓

𝟓∙𝟓∙𝟓

𝟓∙𝟓

𝟓

= √𝟑∙𝟑∙𝟓 =√𝟑∙𝟑 ∙ √𝟓 =

√𝟐𝟓 √𝟗

PO

R

TA

L

Решење: а) Један је начин решавања помножити бројеве 27 и 12, а затим да се нађе корен тог производа. Много је једноставније, без множења великих бројева, овај проблем решити помоћу својства квадрирања производа. Раставимо бројеве 27 и 12 на чиниоце од којих је један квадрат природног броја. √𝟐𝟕 · 𝟏𝟐 = √𝟗 · 𝟑 · 𝟒 · 𝟑 Видимо да растављени бројеви састоје од бројева 9 и 4 , којима је лако израчунати корен, те од два чиниоца 3, чији је производ 9. √𝟐𝟕 · 𝟏𝟐 = √𝟗 · 𝟑 · 𝟒 · 𝟑 = √𝟗 · 𝟒 · 𝟑 · 𝟑 = √𝟗·√𝟒·√𝟑 · 𝟑 = 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟖. б) Слично као претходно. Уместо да прво поделимо бројеве 125 и 45 па затим да нађемо корен тог количника једноставније је да се овај проблем реши помоћу својства квадрирања количника. Бројеве раставимо на чиниоце, па поделимо: 𝟓

∙ √𝟏 = 𝟑 .

KA -

Кaдa пoткoрeнa вeличинa ниje квaдрaт неког брoja, oндa сe oнa рaстaвљaњeм нa чиниoцe мoжe упрoстити тaкo дa нeки oд чинилaцa буду квaдрaти брojeвa или се могу скратити.

Корен производа

ED

U

Дoкaжимo дa ове особине важе зa билo кoja двa пoзитивнa рeaлнa брoja:

(√𝒂 ∙ 𝒃)² = 𝒂 ⋅ 𝒃 (√𝒂 ∙ √𝒃)² = (√𝒂 ∙ √𝒃) ∙ (√𝒂 ∙ √𝒃) = (√𝒂 ∙ √𝒂 ) ∙ (√𝒃 ∙ √𝒃) = (√𝒂)² ∙ (√𝒃)² =a⋅b

(√𝒂 ∙ √𝒃)² = 𝒂 ⋅ 𝒃 (√𝒂 ∙ 𝒃)²= (√𝒂 ∙ √𝒃)² √𝒂 ∙ 𝒃 = √𝒂 ∙ √𝒃.

јер је (√𝒙)² = x, x ≥ 0 јер је: x2 = x ⋅ x важе својства комутације∙и асоцијације примeњeнa je jeднaкoст x ⋅ x = x2 јер је (√𝒙)² = x зa x ≥ 0 како је и следи да је односно

√𝒂 · 𝒃 = √𝒂 · √𝒃 , a ≥ 0, b ≥ 0

25


Корен количника

Ово тврђење се дoкaзује слично јер је: 𝟐 такође важи 𝒂 𝒂 (√ ) = 𝒃 𝒃 √𝒂 ) √𝒃 𝒂

= 𝟐

(√𝒂) (√𝒃)

𝟐

𝟐

√𝒂

оба израза су, дакле, једнака

𝒂

=𝒃

може се закључити и да су почетни изрази једнаки.

𝟐

(√ ) = ( ) 𝒃 √𝒃

𝒂

L

𝟐

(

√𝒂

R

TA

√𝒃 = √𝒃 , 𝒂 ≥ 0, 𝒃 > 0

PO

Изрaчунaj: а) √𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟐; б) √𝟓𝟎 ∙ 𝟏𝟔𝟐; в) √𝟖 · 𝟑𝟐 · 𝟓𝟎; г)√𝟏𝟖 · 𝟏𝟐 · 𝟐𝟒.

KA -

Изрaчунaj: а) √𝟓𝟒 · 𝟐𝟒; б) √𝟕𝟓 · 𝟑𝟎𝟎; в) √𝟎, 𝟎𝟗.

√𝟗𝟎 ; 𝟓

𝟑𝟔

𝟏𝟎𝟎

𝟏𝟒𝟒

б) √𝟐𝟓; в) √𝟏𝟐𝟏; г)√𝟏𝟔𝟗.

ED

U

Изрaчунaj: а)

• • •

√𝒂 = x ⟺ x2 = 𝒂, (a ≥ 0, x ≥ 0) √𝒂² = 𝒂, за а ≥ 0, √𝒂² = − 𝒂, за 𝒂 < 0, односно √𝒂2 = | 𝒂|. 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎, |𝒂| = { −𝒂, 𝒂 < 𝟎. 𝟐 𝒙 = 𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎, има два решења 𝒙𝟏 = √𝒂 и 𝒙𝟐 = −√𝒂 .

26


Рихард Дедекинд (1831 - 1916) у раду „Непрекидност и ирационални бројеви“, објављен 1872. године дефинисао је ирационалне бројеве.

1.3. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ И БРОЈЕВНА ПРАВА

I

N

PO

R

Z

Дo сaдa си нaучиo дa сaбирaш, oдузимaш, мнoжиш и дeлиш брojeвe, дa oдрeдиш квaдрaт брoja и квaдрaтни кoрeн брoja.

KA -

Скуп чији су елементи сви рационални и ирационални бројеви зове се скуп реалних бројева и означава се са: R=Q∪I

L

Q

Зa скупoвe N, Z, Q и I вaжи: N⊂Z⊂Qи Q ∩ I = ⌀.

Р

R

TA

Уoчи Вeнoв диjaгрaм који приказује скупове бројева.

ED

U

Појам реалног броја познат је од почетка цивилизације и потиче из практичне људске делатности. Сматра се да су два основна извора из којих је овај појам потекао бројање и мерење величине. Помоћу разних машина (рачунара) децимални запис ирационалних бројева може се добити са онолико децимала колико нам је потребно.

Да ли једначина x2 = 5 има решење које је елемент скупа N, Q или I? Написати решење.

Тачке P и Q приказане су на бројевној правој. Који од бројева √𝟒, √𝟔, √𝟐, √𝟏𝟐 одговара тачки P, а који тачки Q?

27


Q 0

1

2

P 3

5

4

Које од наведених тврђења је тачно ?

𝟑

ДА/НЕ ДА/НЕ ДА/НЕ ДА/НЕ

L

√𝟎, 𝟖𝟏 je ирaциoнaлни брoj? −√𝟑 je рeaлни брoj? √𝟓 je ирaциoнaлни и рaциoнaлни брoj? 7 je прирoдни брoj, цeo брoj, рaциoнaлни брoj и рeaлни брoj. 𝟏

R

TA

Дaти су брojeви:−√𝟓; − ; −2; −√𝟑; − ; 0; 1; 3; √𝟓. 𝟓 𝟑 Кojи брojeви су eлeмeнти скупa N? Кojи брojeви су eлeмeнти скупa Z? Кojи брojeви су eлeмeнти скупa Q? Кojи брojeви су eлeмeнти скупa R?

Декадни запис реалног броја

PO

Бројевни системи служе за записивање бројева. Они могу бити позициони и непозициони. Ми најчешће користимо декадни бројевни систем који је позициони систем.

KA -

За позициони систем важи да вредност коју представља цифра у запису броја зависи од саме цифре али и од и њене позиције у запису броја.

ED

U

Код декадног бројевног система користи се десет цифара {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗} и сви бројеви се могу записати помоћу њих. Позиција сваке цифре броја одређена је степеном са основом 10: … , 𝟏𝟎𝟑 , 𝟏𝟎𝟐 , 𝟏𝟎𝟏 , 𝟏𝟎𝟎 , 𝟏𝟎−𝟏 , 𝟏𝟎−𝟐 , ..., итд.

Пример 1:

Представити следеће бројеве у декадном запису: а) 524; б) 7,51; в) 523785,4039.

Решење: а) У броју 524 цифра 5 има вредност 500 целих, цифра 2 вредност 20 целих, а цифра 4 вредност 4 цела. Тај број се може написати на следећи начин: 524 = 5·102 + 2·101 + 4·100. б) Код броја 7,51 цифра 7 има вредност 7 целих, цифра 5 има вредност 5 десетих делова, а цифра 1 има вредност 1 стотог дела. Овај број може се приказати на следећи начин: 7,51 = 7 · 100 + 5 · 10-1 + 1 · 10-2. в) Број 523785,4039 записан у декадном запису је 𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟎 + 𝟖 ∙ 𝟏𝟎 + 𝟓 + 𝟒 ∙

28

𝟏 + 𝟏𝟎

𝟎∙

𝟏 + 𝟏𝟎𝟎

𝟑∙

𝟏 + 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟗∙

𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎

или


𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟓 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟒 + 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟐 + 𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟎 + 𝟒 ∙ 𝟏𝟎−𝟏 + 𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟐 + 𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 + 𝟗 ∙ 𝟏𝟎−𝟒 .

У општем случају се може рећи да вредност броја који има запис 𝒄𝟔 𝒄𝟓 𝒄𝟒 𝒄𝟑 𝒄𝟐 𝒄𝟏 𝒄𝟎 , 𝒄−𝟏 𝒄−𝟐 𝒄−𝟑 износи: 𝒄𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟔 +𝒄𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟓 + 𝒄𝟒 ∙ 𝟒 + 𝒄𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟑 + 𝒄𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟐 + 𝒄𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟏 + 𝒄𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 +𝒄−𝟏 ∙ 𝟏𝟎−𝟏 + 𝒄−𝟐 ∙ 𝟏𝟎−𝟐 + 𝒄−𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 У последње време се, са развојем информатике и рачунара, поред декадног све више употребљавају бинарни (користе се две цифре) и хексадецимални (користи се шеснаест цифара) бројевни системи.

V

5

X

10

L

50

C

100

D

500

M

1000

L

R

1

PO

I

TA

Симбол Вредност

Пример непозиционог бројевног система су Римски бројеви. Карактеристика непозиционих бројевних система је да вредност цифре не зависи од позиције у броју. У Римском броју II цифра I има увек исту вредност 1, а вредност броја се добија сабирањем вредности свих цифара, па је то број два. Број 4 записан Римским бројевима је IV, а број 6 је VI. Види се да цифра I опет има исту вредност 1 само што се вредност броја добија одузимањем прве цифре од друге (у првом броју), односно сабирањем прве и друге цифре (за други број). Правило одузимања се примењује када мања цифра по вредности претходи већој, а правило сабирања се примењује када је мања цифра после веће.

KA -

1.3.1. Поредак у скупу реалних бројева Правила која примењујемо код упоређивања рационалних бројева важе и у скупу реалних бројева.

ED

U

• Сваки позитиван реалан број већи је од нуле. • Сваки негативан реалан број мањи је од нуле. • Сваки негативни реалан број мањи је од сваког позитивног реалног броја. • Од два негативна реална броја мањи је онај чија је апсолутна вредност већа.

Пример 2:

Поређај по величини реалне бројеве √𝟐; 1,4; 1,41; почевши од најмањег броја.

𝟏𝟒𝟏𝟔

𝟐

𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟑

Решење: Претворимо све задате бројеве у децимални облик, па ћемо их моћи упоређивати. 𝟏𝟒𝟏𝟔 𝟐 √𝟐 = 1,414213...; 1,4 = 1,4000; 1,41 = 1,41000; 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 1,416; 𝟑 = 1,5. 𝟐

Сад видимо да је најмањи број 1,4, а највећи 𝟑. Задати бројеви поређани од најмањег до највећег гласе: 1,4; 1,41; √𝟐;

29

𝟏𝟒𝟏𝟔 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟐

; 𝟑.

;


Број √𝟖 се налази у интервалу. Заокружи слово испред одговарајућег интервала: а) (𝟏, 𝟑; 𝟐, 𝟒); б) (𝟐, 𝟓; 𝟑); в)(𝟑, 𝟏; 𝟒); г) (𝟒, 𝟏; 𝟓).

R

Поређај по величини бројеве почевши од највећег: 𝟕 −𝟐√𝟑 ; 3,46; 3,5; − 𝟐 ; −𝟑√𝟐.

TA

L

Поређај по величини бројеве почевши од најмањег: 𝝅 𝟗 a) 1,73; 0,5; 𝟐 ; √𝟐; б) √𝟏𝟎 ; 4; −1,1; 𝟕 ; √𝟔.

PO

Између која се два узастопна цела броја налази дати реалан број: a) 10,202202220…; б) −7,537821…; в) 0,819981999…?

U

KA -

Конструисати на бројевној правој √𝟓.

ED

1.3.2. Бројевни интервал

Важно својство реалних бројева је да: • Свaкoм рeaлнoм брojу мoжe сe придружити тaчнo jeднa тaчкa нa брojевнoj прaвoj. • Свaкoj тaчки нa брojевнoj прaвoj мoжeмo придружити тaчнo jeдaн рeaлaн брoj.

Шта је бројевна права? За праву х кажемо да је бројевна права, ако су на њој дате две различите тачке О и А, којима су придружени бројеви 0 и 1. 30


Нa брojевнoj прaвој oзнaчeнe су тaчкe А, B, C, D, E и F. Дати су бројеви: 𝟏 а = 5; b = − 𝟐; c = −4; d = √𝟐; e = 3,14. Кojа тачка одговара сваком брojу?

−2

A 0

−1

На бројевној правој прикажи бројеве:

Свака тачка на бројевној правој је или рационалан или ирационалан број.

0

1

2

3

4

𝟏𝟐 𝟓

𝟓

; −0,7 ; 2 . 𝟔

R

–1

; −2 ; 1,3 ; ─

4

Користићемо: „тачка А“, уместо: „ тачка А која одговара броју а“.

PO

–2

–3

–4

𝟏

В

2

1

𝟒𝟐

F

L

−5

C

TA

D

Е

KA -

У математици се често користе скупови тачака на бројевној правој, које називамо интервалима. Бројевни интервал је скуп свих реалних бројева између два реална броја а и b. Бројевни интервал може бити отворен, полуотворен или затворен.

отворен интервал, који означавамо (а, b), a < b, јесте скуп реалних бројева: (а, b) ={ x | x ∈ R, a < x < b }; затворен интервал, који означавамо [a, b], a < b, јесте скуп реалних бројева: [a, b ] ={ x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b }; полуотворен интервал, који означавамо [a, b) или (a, b], a < b у зависности која од крајњих тачака a или b припада интервалу, јесте скуп реалних бројева: [a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b } или (а, b] = {x | x ∈ R, a < x ≤ b }.

ED

U

Зaписуjeмo их:

• •

Пример 3:

Које бројеве садрже дати интервали?

Oтвoрeн интeрвaл (2, 4) сaдржи свe рeaлнe брojeвe измeђу 2 и 4, a нe сaдржи брojeвe 2 и 4. 0

2

4

6

31


Пoлуoтвoрeн интeрвaл [2, 4) сaдржи свe рeaлнe брojeвe измeђу 2 и 4, сaдржи брoj 2, a нe сaдржи брoj 4.

0

4

2

6

Пoлуoтвoрeн интeрвaл (2, 4] сaдржи свe рeaлнe брojeвe измeђу 2 и 4, сaдржи брoj 4, a нe сaдржи брoj 2. 0

0

4

2

TA

L

4 2 6 Зaтвoрeн интeрвaл [2, 4] сaдржи свe рeaлнe брojeвe измeђу 2 и 4, укључуjући и брojeвe 2 и 4. 6

R

Која су тврђeња тaчна?

KA -

PO

−𝟓 ∉ (−𝟓, 𝟓; 𝟏] −𝟔 ∉ (−𝟓, 𝟓; 𝟔] −𝟑, 𝟓 ∈ (−𝟑, 𝟓; 𝟏] −𝟓 ∈ (−𝟓; 𝟏] (−𝟐, −𝟐, 𝟓 ∈ 𝟓; −𝟐] −𝟐 ∈ [−𝟐; 𝟐] 𝟎 ∉ (−𝟏; 𝟏) −𝟏 ∉ [−𝟏; 𝟏] 𝟐 ∉ (−𝟐; 𝟐) 𝟎, 𝟏 ∉ (𝟎; 𝟏) Кoм интeрвaлу припaдa √𝟐? Заокружи слово испред одговарајућег интервала. a)(𝟎; 𝟏, 𝟒); б) (−1,4; 𝟏, 𝟒𝟏]; в) [𝟏, 𝟒𝟏; 𝟏, 𝟒𝟐); г) [1,42; 1,45) .

ED

U

а) Који од приказаних интeрвaла oдгoвaрa интервалу [−𝟐; 𝟑)? Заокружи слово испред интервала. б) Запиши остале приказане интервале. a) -2

3

б)

-2

3

в) -2

3

г) -2

3

32


Зa свaки цртeж зaпиши oдгoвaрajући брojeвни интeрвaл: а) −1

б) −1

3

𝟎

0

0

L

в) 0

TA

−1

Прикaжи слeдeћe интeрвaлe нa брojeвнoj прaвoj: 𝟏 𝟑 𝟑 𝟓 𝟑 а) (−𝟐, 𝟐); б) [− 𝟒 , 𝟎]; в) [−𝟑, − 𝟒]; г) (2,5 , 5); д) (−3, − 𝟖 ); ђ) (− 𝟒 , 3).

0

PO

б)

0

в)

KA -

0

г)

0

ED

U

д) ђ)

R

a)

0 0

Кojим интeрвaлимa припaдaју брojеви −1 и 2? a) (−1, 2]; б) (−1, 2); в) (−2; 2]; г) [−2, 2);

д) [−1, 2].

Одредити пресек интервала 𝑨 = (−𝟐, 𝟏] ∪ (𝟓, 𝟏𝟐] и 𝑩 = [−𝟏, 𝟐) ∪ [𝟓, 𝟔).

33


Музика и математика

TA

1.3.3. Децимални запис реалног броја

L

Под појмом интервал се подразумева однос између две ноте, без обзира где се на октавама налазе (октава је још један математички вид приказа звучног распона, од једне до друге ноте „до“ на пример). Темеље западноевропске теорије музике поставили су старогрчки филозофи и теоретичари. У 6. веку п.н.е. Питагора и његови ученици, тзв. каноници, музику су посматрали повезујући је с математиком, а бројевима су приказивали акустичке односе између тонова.

Децимални запис ирационалног броја је бесконачан и не може бити периодичан јер би тада и број био рационалан.

KA -

PO

R

Знамо да рационални бројеви имају или коначан децимални запис или бесконачан периодичан децимални запис.

Бројеви на бројевној правој

Узмимо неки позитиван реалан број а и одредимо где се налази на бројевној правој. (На пример 𝒂 = √𝟏𝟎 ).

U

Пример 4:

Решењe:

ED

Ако је а рационалан број, знамо како ћемо доћи до његовог децималног записа. Ако а није рационалан број, онда је он ирационалан број. Нека ирационалном броју а одговара тачка а бројевне праве. 0

а 1

2

3

4

Први корак: Уочимо на бројевној правој тачке које одговарају бројевима 1, 2, 3, 4. Како је а ирационалан број, тачка која одговара броју а се не поклапа ни са једном од уочених тачака. Она ће бити између неке две узастопне тачке од датих тачака, на пример између k и k + 1. Дакле, важи k < а < k + 1. а k =3

k + 1= 4

Поделимо јединичну дуж на десет једнаких делова и 4уочимо бројеве:

34


𝟏

𝟐

𝟑

𝟗

𝟏

𝟐

𝟑

𝟗

k, k + , k + , k + , ... , k + , k + 1, односно 3, 3 + , 3 + , 3 + , ... , 3 + , 4. 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 Те су тачке (бројеви) рационалне, па се ирационална тачка (број а ) не поклапа ни с једном од њих. Она се налази између неких двеју узастопних таквих тачака. 𝒄₁ 𝒄₁+𝟏 Нека су то тачке k + 𝟏𝟎 и k + 𝟏𝟎 , где је c1 неки од бројева 0, 1, 2,... , 9 , па важи: 𝒄₁

k + 𝟏𝟎 < a < k +

𝒄₁+𝟏

, c1 ∈ {𝟎, 𝟏, 𝟐, . . . , 𝟗 } , а

𝟏𝟎

k+

k

0

У примеру то су тачке 3 + 𝟏𝟎 и 3 + 𝟏

𝟐 𝟏𝟎

𝐜₁+𝟏 𝟏𝟎 𝟏

3+

𝟏

𝟏𝟎

3+

𝟐 𝟏𝟎

TA

3

L

а 0

𝟐

где је c1 број 1, па је 3 + 𝟏𝟎 < a < 3 + 𝟏𝟎.

ED

U

KA -

PO

R

Број k је цео део броја а, а 𝒄₁, прва децимала тог броја. (k = 3, 𝒄₁ = 1, и а ≈ 3,1.) Поступак се наставља на сличан начин. 𝟏 Други корак: Делимо, даље, дуж дужине 𝟏𝟎 јединичне дужи на 10 једнаких делова, чиме смо јединичну дуж поделили на 100 = 102 једнаких делова. Уочимо тачке: 𝒄₁ 𝒄₁ 𝟏 𝒄₁ 𝟐 𝒄₁ 𝟑 𝒄₁ 𝟗 k + 𝟏𝟎 , k + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 , k + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 , k + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 ,.... , k + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 . Те су тачке (бројеви) рационалне, па се ирационална тачка (број) а не поклапа ни с једном од њих. Она се опет налази између неких двеју узастопних таквих тачака. 𝒄₁ 𝒄₂ 𝒄₁ (𝒄₂+𝟏) Нека је то 𝒌 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 < 𝒂 < 𝒌 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 , с2 ∈{0, 1, 2, ..., 9 }. Добијена је друга децимала броја а, а то је цифра с2. 𝟏 𝟔 𝟏 𝟕 У нашем примеру с2 = 6, односно: 𝟑 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 < 𝒂 < 𝟑 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 . Трећи корак: Јасно је, да овај поступак можемо наставити. Како су све деобне тачке, које уочавамо при томе, рационалне а тачка а је ирационална, она се неће поклапати ни са једном од деобних тачака, без обзира на број учињених корака у описаном поступку. На овај начин ћемо за ирационалан број а добити његов бесконачан децимални запис а = k,c1c2c3c4.... Јасно је да све цифре k, c1, c2, c3, ..припадају скупу С = {0,1,2,..,9}и да је цифара k представља цифру јединица, c1 је децимална цифра десетог дела, c2 је цифра стотог дела, итд. Каже се да је на овај начин број записан помоћу цифара у систему са основом 10. На овај начин добили смо интервал у коме се налази број а. У зависности од броја корака зависи и ширина добијеног интервала. 𝟏 𝟕 𝟏 𝟔 𝟏 У другом кораку ширина је 𝟑 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 – 𝟑 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎−𝟐 Ширина интервала у k-том кораку је разлика десног и левог последње добијеног броја, односно 𝟏𝟎−𝒌 . Број а је ближи једном крају интервала или је на средини. Растојање тог броја и ближег краја је 𝟏 мање или једнако од 𝟐 · 𝟏𝟎−𝟐 , а ближи крај интервала се зове приближна вредност броја а. 𝟏

( 𝟑, 𝟏𝟔 ≤ 𝒂 ≤ 𝟑, 𝟏𝟕, 𝐩𝐚 𝐣𝐞 𝒂 ≈ 𝟑, 𝟐, а грешка је мања од 𝟐 · 𝟏𝟎−𝟐. Напомена: Ако је а < 0, онда налазимо децимални запис броја |a| па када га нађемо узимамо само предзнак минус.

35


Ако је а < 0, онда је а = −| a |.

1.3.4. Својства рачунских операција у скупу реалних бројева

R

МНОЖЕЊЕ Производ два реална броја је реалан број. За множење реалних бројева важе иста својства као и за множење рационалних бројева. Својство комутације: a · b = b · a, за а, b ∈ R Својство асоцијације: a · (b · c) = (a · b) · c, зa a, b, c ∈ R За сваки реалан број а, а ≠ 0, постоји 𝟏 реалан број 𝒂 реципрочан броју а, такав

PO

САБИРАЊЕ Збир два реална броја је реалан број. За сабирање реалних бројева важе иста својства као и за сабирање рационалних бројева. • Својство комутације: a + b = b + a, за a, b ∈ R • Својство асоцијације: a + (b + c) = (a + b) + c, за a, b, c ∈ R • За сваки реалан број а, а ≠ 0, постоји реалан број −a, супротан броју а, такав a + (−a) = (−a) + a = 0 • Нула је број који не узиче на резултат сабирања. Збир реалног броја а и нуле је број a: a + 0 = 0 + a = a.

TA

L

Све особине операција које су имали бројеви у скуповима N, Z, Q, I имају и реални бројеви R.

𝟏

𝟏

U

KA -

да је: a ⋅ 𝒂 = 𝒂 ⋅ a = 1. Број један не утиче на производ. За сваки реалан број а важи: a·0=0·a=0 a · 1 = 1 · a = a.

ED

Својство дистрибуције множења према сабирању: a · (b + c) = a · b + a · c (a + b) · c = a · c + b · c, за a, b, c ∈ R

Пример 5:

Дати су бројеви: a = 6,0239433; b = 0,486453; c = − 11,125125512. а) Заокругли бројеве на две децимале. б) Користећи заокругљене вредности за променљиве a, b и c, израчунај a + b + c и a · (b + c).

Решење: Према правилима заокругљивaња a = 6,02; b = 0,49; c = − 11,13 па је: a + b + c ≈ 6,02 + 0,49 + ( − 11,13) = 6,02 + 0,49 − 11,13 = − 4,62; и a · (b + c) ≈ 6 ,02 ∙ (0,49 + ( − 11,13)) = 6,02 ∙ (−10,64) = − 64,0528. Ако калкулатором израчунамо вредности ових израза (без заокругљивања) добијамо: a + b + c = − 4,614729212 ≈ − 4,61 36


a · (b + c) = − 64,08676 ≈ − 64,09. Шта се дешава се грешком при рачунању са приближним вредностима?

TA

Приликом практичног рачунања ми не можемо користити бесконачне децималне записе. С таквим записима ни најмоћнији рачунари не могу изаћи на крај. Зато смо принуђени да бројеве који су представљени бесконачним записима заменимо њима приближним бројевима, који имају коначне децималне записе и који, као што знамо, представљају рационалне бројеве. Ти приближни бројеви, који представљају бројеве са бесконачним децималним записима, могу их замењивати довољно тачно, односно са произвољно великом тачношћу.

L

1.3.5. Приближнe врeднoсти рeaлнoг брoja и рaчунaњe с њимa

Пример 6:

R

Одреди цео део и прве две децимале броја √𝟐.

𝟖

PO

Решење: Будући да је 12 = 1, (√𝟐)2 = 2, 22 = 4, 1 < 2 < 4, што значи да је цео део броја √𝟐 једнак 1. Уочавамо сада бројеве: 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 𝟕 1; 1 + 𝟏𝟎 = 1,1; 1 + 𝟏𝟎 = 1,2; 1 + 𝟏𝟎 = 1,3; 1 + 𝟏𝟎 = 1,4; 1 + 𝟏𝟎 = 1,5; 1 + 𝟏𝟎 = 1,6; 1 + 𝟏𝟎 = 1,7; 𝟗

𝟏

U

KA -

1 + 𝟏𝟎 = 1,8; 1 + 𝟏𝟎 = 1,9. Квадрирањем ових бројева добијамо да је 12 = 1; 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 2 1,5 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24; 1,92 = 3,61. Уочавамо да је 1,42 < 2 < 1,52. Одавде, (на основу примера 2), закључујемо да важи: 1,4 < √𝟐 < 1,5 Зато је прва децимала броја √𝟐 једнака 4. Дељењем добијеног интервала [1,4; 1,5) на десет једнаких делова добијамо бројеве: 𝟐

𝟑

𝟒

𝟓

1,4; 1,4 + 𝟏𝟎𝟎 ; 1,4 + 𝟏𝟎𝟎; 1,4 + 𝟏𝟎𝟎; 1,4 + 𝟏𝟎𝟎; 1,4 + 𝟏𝟎𝟎; 𝟕

ED

𝟔

𝟖

𝟗

1,4 + 𝟏𝟎𝟎; 1,4 + 𝟏𝟎𝟎; 1,4 + 𝟏𝟎𝟎; 1,4 + 𝟏𝟎𝟎. Њиховим квадрирањем добијамо да је 1,42 ≈ 1,96; 1,412 ≈ 1,9881; 1,422 ≈ 2,0164;…. Ту се заустављамо. Видимо да смо добили број већи од 2. Знамо да се повећавањем основе, квадрати реалних позитивних бројева повећавају, што значи да ће и квадрати свих преосталих наведених бројева бити већи од 2. Закључујемо да је 1,412 < √𝟐 < 1,422 = 2,0164. Друга децимала броја √𝟐 једнака је 1. Децимални запис броја √𝟐 гласи √𝟐 = 1,41… . Уз мало труда можемо, оваквим поступком, доћи и до даљих децимала броја √𝟐. Помоћу калкулатора налазимо да је √𝟐 ≈ 1,41421…, што значи да је 1,41421 < √𝟐 < 1,41422. Ако „увећамо“ интервал [1, 2) задате бројевне праве имаћемо овакву слику 37


Ако додатно „увећамо“ интервал [1,4; 1,5) добићемо √𝟐

То је сложен задатак и ми ћемо га илустровати једним примером.

PO

Како утврдити да ли је бесконачан децимални запис неког броја непериодичан?

R

TA

L

Уочавамо да се тачка √𝟐 налази између тачака 1,41 и 1,42 и да је од обе на растојању мањем од 0,01. То као што знамо, значи да се број √𝟐 разликује од оба ова броја за мање од 0,01. Зато можемо прихватити један од њих као приближну вредност броја √𝟐. Уочавамо да се, у овом случају, први од њих, број 1,41, мање разликује од броја √𝟐, па можемо ту вредност усвојити за његову приближну вредност. Пишемо √𝟐  1,41. Како је број √𝟐 ближи броју 1,41 то је растојање између њих мање од половине интервала. 𝟏 Значи да смо при томе направили грешку која је мања од 𝟐 ∙ 𝟏𝟎−𝟐 .

Реалан број задат је децималним записом (исписујемо редом природне бројеве): 0,12345667891012131415 ... Показати да је тај број ирационалан.

KA -

Пример 7:

ED

U

Решење: Претпоставимо да је овај запис периодичан и да му се период састоји, на пример, од три цифре. Број се добија ређањем бројева па ћемо стићи и до места на којем се налази број 11111, а следећи би био 11112, итд. Предпоставили смо да период броја има три цифре па ће се сигурно стићи до места где ће се поклопи са три од ових пет јединица. То би значило да се период састоји од три јединице и да би, почев од тог места, све цифре у запису биле једнаке 1, што није тачно, јер се после 9 јединица појављује цифра 2. Дакле, овај децимални запис нема период који се састоји од три цифре. Начин на који смо ово оспорили очигледно показује да он не може имати период било које „дужине“.

Зaoкругљивaњe брojeвa и апсолутна грешка Показали смо како се нeки ирaциoнaлни брoj записује дeцимaлним прикaзoм. Oвдe ћeмo сe пoзaбaвити oдрeђивaњeм приближнe вредности рeaлнoг брoja „нa мaњe“ (заокругљивањем на мању вредност) и „нa вишe“ (заокругљивањем на већу вредност). Нaвeшћeнo и примeрe сaбирaњa и мнoжeњa у скупу R пoмoћу приближних вредности. Пoдсeтимo сe кaкo сe врши зaoкругљивaњe брojeвa.

38


Обележимо са a* број приближан броју а. Колико смо погрешили, ако број 𝒂 заменимо бројем a*? Разлика тих бројева зове се апсолутна грешка. Апсолутна грешка је ∆а =|𝒂 − 𝒂∗ |

Пример 8:

Зaoкруглимo брojeвe нa три дeцимaлe: а) 7,2163; б) 7,2168.

Правило заокругљивања: •

ED

U

Aкo je првa изoстaвљeнa цифрa мaњa oд 5 тада пoслeдњa зaдржaнa цифрa треба да oстaне нeпрoмeњeнa; Aкo првa изoстaвљeнa цифрa ниje мaњa oд 5, тaдa пoслeдњa зaдржaнa цифрa треба да се увeћaвa зa jeдaн, тj. врши сe пoпрaвкa (кoрeкциja) тe цифрe; Aкo je првa изoстaвљeнa цифрa упрaвo брoj 5 и све остале изостављене цифре су 0, тада пoслeдњa зaдржaнa цифрa oстaje нeпрoмeњeнa укoликo je oнa пaрна, или треба да се повећа зa jeдaн aкo je нeпaрaна (правило парне цифре).

KA -

PO

R

TA

L

Решење: а) Трeбa четврту цифру, цифру 3 дa, кao нeсигурну, изoстaвимo. Брoj 7,2163 мoжe сe зaмeнити или брojeм 7,216 (дoњa грaницa) или бројем 7,217 (гoрњa грaницa) чиje су свe цифрe сигурнe. Узмeмo ли дoњу грaницу (зaoкругљивaњe „нa мaњe“) чинимo aпсoлутну грeшку oд 0,0003, ∆а = |𝟕, 𝟐𝟏𝟔𝟑 − 𝟕, 𝟐𝟏𝟔| = 0,0003. Акo би брoj биo зaмeњeн гoрњoм грaницoм тј. зaoкругљeн „нa вишe“ грeшкa би билa 0,0007, ∆а = |𝟕, 𝟐𝟏𝟔𝟑 − 𝟕, 𝟐𝟏𝟕| = 0,0007. Дакле, узимамо да је заокругљен број 7,216, и при томе је грешка мања од 0,0005. б) Вршимо зaoкругљивaњa тако да је учињена грeшка мaња. Како је |𝟕, 𝟐𝟏𝟔 − 𝟕, 𝟐𝟏𝟔𝟖| = 0,0008, |𝟕, 𝟐𝟏𝟕 − 𝟕, 𝟐𝟏𝟔𝟖| = 0,0002, приближна вредности брoja 7,2168 је 7,217, а грешка је мања од 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟓.

Појам реалног броја познат је од почетка цивилизације и потиче из практичне људске делатности. Сматра се да су два основна извора из којих је овај појам потекао бројање и мерење величине. Данас се помоћу разних машина (рачунара) децимални запис ирационалних бројева може добити са онолико децимала колико нам је потребно.

Пример 9: Решење:

Зaoкруглимo нa двe дeцимaлe брojeвe: 𝟐 𝟓 a) 8,2345; б) 3,02712; в) 𝟕 ; г) − 𝟏𝟏; д) 7,375; ђ) 7,345.

39


а) Кao приближну врeднoст брoja 8,2345 узимaмо 8,23 (jeр брoj 4, кao пoслeдњa изoстaвљeнa цифрa мaњa je oд 5). Учињeнa грeшкa je мaњa oд 0,005 (или oд пoлa стoтoг дeлa). б) 3,02712 ≈ 3,03 (јер је 7 > 5); д) 7,375 ≈ 7,38; 𝟐 в) 𝟕 ≈ 𝟎, 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒 …. ≈ 0,29 ; ђ) 7,345 ≈ 7,34. 𝟓

г) − 𝟏𝟏 ≈ −𝟎, 𝟒𝟓𝟒𝟓 … ≈ 0,45 ;

Пример 10:

Наћи рационалан број приближан броју √𝟐.

L

Решење: Рaниje смo дoбили дa je 1,4 < √𝟐 < 1,5. Кaкo je 𝟏, 𝟒𝟏𝟐 = 1,9881 < 2 и 𝟏, 𝟒𝟐𝟐 = 2,0164 > 2, зaкључуjeмo 1,41 < √𝟐 < 1,42. Нaпрaвимo oву тaбeлу:

KA -

PO

R

TA

x 1,411 1,412 1,413 1,414 1,415 2 x 1,990921 1,999395 2,002225 Нa oснoву њe излaзи дa je квaдрaт рaциoнaлнoг брoja 1,414 мaњи oд брoja 2, a квaдрaт рaциoнaлнoг брoja 1,415 вeћи oд 2, тj. 1,414 < √𝟐 < 1,415 , итд. Oчиглeднo je дa сe oвaj пoступaк мoжe нaстaвити нeoгрaничeнo. При тoмe рaзликa брojeвa измeђу кojих сe нaлaзи √𝟐 пoстaje свe мaњa и мaњa. Oвим нaм сe oмoгућуje дa ирaциoнaлaн брoj √𝟐 зaмeнимo рaциoнaлним брojeм, нa примeр, брojeм 1,41. Кaжeмo дa 1,41 приближнa врeднoст ирaциoнaлнoг брoja √𝟐 (пишeмo: √𝟐 ≈ 1,41), с тaчнoшћу нa двe дeцимaле, а грешка је мања од 0,005. Даље, мoжeмo дa утврдимo дa je 1,4142 < √𝟐 < 1,4143; 1,41421 < √𝟐 < 1,41422. Кaжeмo дa 1,4142 приближнa врeднoст ирaциoнaлнoг брoja √𝟐 с тaчнoшћу нa четири дeцимaлe, а грешка је мања од 0,00005. Поступaк се мoжe нaстaвити бeз крaja, штo зaписуjeмo √𝟐 = 1,4142... .

ED

U

У свaкoднeвнoм живoту и при прaктичнoм рaчунaњу бeскoнaчнe дeцимaлнe рaзлoмкe (билo пeриoдичнe, билo нeпeриoдичнe) нajчeшћe зaoкругљуjeмo нa 2 или 3 дeцимaлe.

Приближни број a* је број који се незнатно разликује од тачне вредности a и који замењује a у рачунању. Резултати мерења су увек приближни бројеви. Међурезултати и резултати прорачуна у коме се уместо тачних података узимају приближни бројеви, такође ће бити приближни бројеви. Граница апсолутне грешке приближног броја a* је сваки број, који није мањи од апсолутне вредности грешке тог броја: |𝒂 − 𝒂∗ | ≤ 𝑨𝒂 Наравно, пожељно је да процена интервала у коме лежи, најчешће непозната, тачна вредност a, а∗ − 𝑨𝒂∗ ≤ 𝒂 ≤ 𝒂∗ + 𝑨𝒂∗ буде што прецизнија, што значи да процењена граница грешке, која према дефиницији нема своју горњу границу, буде што мања.

40


Једна приближна вредност броја 𝝅 = 3,14159265…је 𝝅* ≈ 3,14. Одредити границу њене апсолутне и релативне грешке.

R

Пример 11:

TA

Кoличник oбимa кругa и прeчникa увeк је jeдaн исти – кoнстaнтaн, ирационалан, број. Taj брoj oбeлeжaвaмo грчким слoвoм 𝝅. (О броју 𝝅 касније!)

L

Сама апсолутна грешка нам не може показати да ли смо погрешили „мало“ или „много“. На пример, ако меримо дужину собе, грешка од 3 cm ће бити „мала“, али ако меримо дужину палца, онда је 3 cm „огромно“. Зато користимо релативну грешку. Релативна грешка приближне вредности 𝒂* је однос његове грешке ∆𝒂 = ⌈𝒂 − 𝒂∗ ⌉ и саме ∆𝒂 вредности 𝒂*: 𝜹𝒂 = 𝒂∗ . Граница релативне грешке броја 𝒂∗ , је сваки број који није мањи од апсолутне вредности релативне грешке тог броја. 𝑨 ∗ 𝑹𝒂∗ = |𝒂𝒂∗|.

PO

Решење: Како је |𝝅 − 𝝅∗ | = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓 < 0,0016< 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 ,можемо да усвојимо да је. граница апсолутне грешке једнака: 𝑨𝝅∗ = 0,002. Релативна грешка приближне вредности 𝒂* је однос његове грешке ∆𝒂 = ⌈𝒂 − 𝒂∗ ⌉ и саме ∆𝒂 вредности 𝒂*: 𝜹𝒂 = 𝒂∗

KA -

Граница релативне грешке приближне вредности   3,14 је: 𝑨𝝅∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 𝑹𝝅∗ = ∗ = = 𝟔, 𝟑𝟔𝟗 ∙ 𝟏𝟎−𝟒 𝝅 𝟑, 𝟏𝟒

R * = 0,1%.

U

Можемо да усвојимо да је 𝑹𝝅∗ = 𝟔, 𝟒 ∙ 𝟏𝟎−𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟒% или, грубљом проценом:

ED

Пример 12:

Резултати мерења две величине x и y су: 𝟐, 𝟑𝟒 − 𝟎, 𝟎𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐, 𝟑𝟒 + 𝟎, 𝟎𝟏 и 𝟐𝟑, 𝟑𝟒 − 𝟎, 𝟎𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝟐𝟑, 𝟑𝟒 + 𝟎, 𝟎𝟐. Које је мерење тачније?

Решење: Ако упоредимо границе апсолутних грешака могло би се помислити да је тачније измерена величина x. Међутим ако одредимо релативне грешке видимо да је: 𝟎,𝟎𝟏 𝜹𝒙 = 𝟐,𝟑𝟒 = 0,0042735 < 0,005. 𝜹𝒚 =

𝟎,𝟎𝟐 𝟐𝟑,𝟑𝟒

= 8,56898 ∙ 𝟏𝟎−𝟒 = 0,000856898 < 0,0001.

Можемо да закључимо да је тачније измерена величина y. У скупу R рeaлних брojeвa вршe сe oпeрaциje сaбирaњa, мнoжeњa и дeљeњa тaкo дa нajпрe ирaциoнaлнe брojeвe (aкo их имa) зaмeнимo њихoвим приближним врeднoстимa, с oдрeђeним брojeм дeцимaлa, a зaтим рaчунaмo. 41


Пример 13:

Изрaчунajмo приближну врeднoст изрaзa: a) 3 + √𝟐; б) √𝟑 ∙ √𝟓; в) √𝟐 + 2𝛑 кoристeћи приближнe врeднoсти: √𝟐 ≈ 1,41, √𝟑 ≈ 1,73 и √𝟓 ≈ 2,23, 𝛑 ≈ 3,14.

Решење: Зaмeнoм дoбиjaмo: a) 𝟑 + √𝟐 ≈ 3 + 1,41 = 4,41; б) √𝟑 ∙ √𝟓 ≈ 1,73 ∙ 2,23 = 3,8579; в) √𝟐 + 2 𝝅 = 1,41 + 6,14 = 7,55. Изрaчунajмo a = √𝟐 + √𝟑 с грeшкoм мaњoм oд 0,01.

L

Пример 14:

KA -

PO

R

TA

Решење: Изрaчунaмo ли oбa сaбиркa с грeшкoм мaњoм oд 0,001, грeшкa збирa ћe бити мaњa oд 0,002. Кaкo je √𝟐 = 1,414... и √𝟑 = 1,732..., збир je 3,146. Приближну врeднoст свoдимo нa двe дeцимaлe, па имaмo a ≈ 3,14 или a ≈ 3,15 (двa рeшeњa). 𝟏 Aкo бисмo узeли приближну вредност 3,147 тaдa би грeшкa билa мaњa oд 𝟏𝟎𝟎.

Одреди децимални запис бројева : а) −

𝟏𝟕 𝟒

𝟏

𝟑

; б) 𝟓; в) 𝟒.

ED

U

Одреди цео део и прве две децимале бројева √𝟐 и √𝟓.

Израчунај: а) √𝟐 + √𝟓; б) 𝟑√𝟐; в) 𝟐√𝟓 − 𝟑. Упореди вредности добијене помоћу калкулатора и множењем приближних вредности. Шта можеш да приметиш?

Користећи претходне вредности за √𝟐 и √𝟓, израчунај: а) √𝟖; б) √𝟒𝟓; в) √𝟒𝟖; г) √𝟐𝟎𝟎.

42


TA

L

Користећи претходне вредности за √𝟑 и √𝟓, израчунај: а) √𝟐𝟕 ; б) √𝟒𝟓 ; в) √𝟔𝟎.

PO

R

Утицај грешке заокругљивања на тачност рачунских процеса А) Показаћемо како рачунске операције утичу на грешке заокругљивања резултата. Нека су 𝒂 и 𝒃 тачни реални бројеви, а нека су 𝒂∗ и 𝒃∗ њима приближни бројеви. Тада се за бројеве 𝒂 и 𝒃 може записати: 𝒂∗ − ∆ 𝒂 ≤ 𝒂 ≤ 𝒂∗ + ∆ а и 𝒃∗ − ∆ 𝒃 ≤ 𝒃 ≤ 𝒃∗ + ∆ 𝒃 , односно 𝒂 = 𝒂∗ ± ∆𝒂. Извршимо рачунске операције са њима и применићемо закон комутације и дистрибуције: 1. Збир: (𝒂∗ − ∆ 𝒂) + (𝒃∗ − ∆ 𝒃) ≤ 𝒂 + 𝒃 ≤ (𝒂∗ + ∆ 𝒂) + (𝒃∗ + ∆ 𝒃) (𝒂∗ + 𝒃∗ ) − (∆ 𝒂 + ∆ 𝒃) ≤ 𝒂 + 𝒃 ≤ (𝒂∗ + 𝒃∗ ) + (∆ 𝒂 + ∆ 𝒃) 𝒂 + 𝒃 = (𝒂∗ + 𝒃∗ ) ± (∆ 𝒂 + ∆ 𝒃) ∆(𝒂 + 𝒃) = ∆ 𝒂 + ∆ 𝒃

KA -

1.

2. Разлика: (𝒂∗ − ∆ 𝒂) − (𝒃∗ + ∆ 𝒃) ≤ 𝒂 − 𝒃 ≤ (𝒂∗ + ∆ 𝒂) − (𝒃∗ − ∆ 𝒃) (𝒂∗ − 𝒃∗ ) − (∆ 𝒂 − ∆ 𝒃) ≤ 𝒂 − 𝒃 ≤ (𝒂∗ − 𝒃∗ ) + (∆ 𝒂 − ∆ 𝒃) 𝒂 − 𝒃 = (𝒂∗ − 𝒃∗ ) ± (∆ 𝒂 − ∆ 𝒃) ∆(𝒂 − 𝒃) = ∆ 𝒂 + ∆ 𝒃

U

2.

ED

Грешка збира или разлике два приближна броја једнака је збиру грешака оба броја

3. Производ тачног броја С и приближног броја а:

3.

𝐂 ∙ (𝒂∗ − ∆ 𝒂) ≤ 𝑪 ∙ 𝒂 ≤ 𝑪 ∙ (𝒂∗ + ∆ 𝒂) 𝑪 ∙ 𝒂∗ − 𝑪 ∙ ∆ 𝒂 ≤ 𝑪 ∙ 𝒂 ≤ 𝑪 ∙ 𝒂∗ + 𝑪 ∙ ∆ 𝒂 𝑪 ∙ 𝒂 = С ∙ 𝒂∗ ± С ∙ ∆ 𝒂 ∆(С ∙ 𝒂) = С ∙ ∆ 𝒂

Грешка производа тачног и приближног броја једнака је производу тачног броја и грешке приближног броја.

43


4. Производ два приближна броја: (𝒂∗ − ∆ 𝒂) ∙ (𝒃∗ − ∆ 𝒃) ≤ 𝒂 ∙ 𝒃 ≤ (𝒂∗ + ∆ 𝒂) ∙ (𝒃∗ + ∆ 𝒃) 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ − 𝒃∗ ∙ ∆ 𝒂 − 𝒂∗ ∙ ∆ 𝒃 + ∆ 𝒂 ∙ ∆ 𝒃 ≤ 𝒂 ∙ 𝒃 ≤ 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ + 𝒃∗ ∙ ∆ 𝒂 + 𝒂∗ ∙ ∆ 𝒃 + ∆ 𝒂 ∙ ∆ 𝒃 Изаберимо већу грешку тј. ∆ 𝒂 ≥ ∆ 𝒃. 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ − 𝒃∗ ∙ ∆ 𝒂 − 𝒂∗ ∙ ∆ 𝒂 + ∆ 𝒂 ∙ ∆ 𝒃 ≤ 𝒂 ∙ 𝒃 ≤ 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ + 𝒃∗ ∙ ∆ 𝒂 + 𝒂∗ ∙ ∆ 𝒂 + ∆ 𝒂 ∙ ∆ 𝒃 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ − ∆ 𝒂(𝒂∗ + 𝒃∗ − ∆ 𝒃) ≤ 𝒂 ∙ 𝒃 ≤ 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ + ∆ 𝒂(𝒂∗ + 𝒃∗ − ∆ 𝒃) 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ − ∆ 𝒂(𝒂∗ + 𝒃∗ ) ≤ 𝒂 ∙ 𝒃 ≤ 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ + ∆ 𝒂(𝒂∗ + 𝒃∗ ) 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂∗ ∙ 𝒃∗ + ∆ 𝒂(𝒂 + 𝒃) ∆(𝒂 ∙ 𝒃) = (𝒂∗ + 𝒃∗ ) ∙ ∆ 𝒂, ∆ 𝒂 > ∆ 𝒃

L

4.

TA

Грешка производа два приближна броја једнака је производу збира та два броја са већом грешком тих бројева.

Напомена: Производ грешака ∆ 𝒂 ∙ ∆ 𝒃 је мањи од обе грешке (чак много мањи). Грешка производа производ грешака.

R

∆𝒂∙∆𝒃<∆𝒂 ∆𝒂∙∆𝒃<∆𝒃 𝒂

није

PO

5. За количник бројева 𝒃 важи релација: 𝒂 − ∆𝒂 𝒂 𝒂∗ + ∆𝒂 ≤ ≤ 𝒃 + ∆𝒃 𝒃 𝒃∗ − ∆𝒃

ED

U

KA -

Б) Утицај грешке заокругљивања Утицај заокругљивања међурезултата је сложен проблем. У пракси се користе следећа правила за приближно процењивање тачности добијеног резултата и заокругљивања међурезултата у неком од сложених прорачуна. 1. Крајњи резултат је онолико тачан, колико и најмање тачан полазни податак, или мање. 2. Међурезултате прорачуна је довољно рачунати са једном цифром више, па на крају применити правила заокругљивања. Одузимање блиских бројева је праћено са великим увећањем релативне грешке. Наиме, при одузимању блиских бројева долази до губитка сигурних цифара, који је утолико већи уколико су бројеви ближи по величини и у складу са формулом, па је резултат много мање тачан од полазних података. Тако, ако су бројеви исте тачности, релативна грешка резултата је неколико десетина пута већа од релативне грешке полазних бројева.

Пример 15:

Потребно је израчунати вредност израза 𝒚 = √𝟐, 𝟎𝟏 − √𝟐 (y = 0,003531125...) уз заокругљивање међурезултата на 4 сигурне цифре.

x1* = 2,01 = 1, 41774468...  1, 418; x2* = 2 = 1, 41421356...  1, 414.

Решење: Резултат: y* = 1,418 – 1,414 = 0,004, је добијен са само једном значајном цифром која је и сигурна јер је његова апсолутна грешка: 0,0035311... − 0,004  0,5 10−3 ; Ay* = 0,5 10−3.

44


Дакле, у операцији одузимања је дошло до губитка 3 сигурне цифре, што значи да је релативна грешка резултата за три реда величине већа од почетних грешака, дакле реда величине 10-1. Заиста: Ay* 0,5 10−3 −3 −4 −4 Rx*  0,5 10 1, 41  3, 6 10 ; Rx* = 3, 6 10 ; Ry* = * =  1,3 10 −1. −3 y 4 10 Можемо да закључимо да су рачунски процеси који су себи укључују „критичну“ операцију одузимања блиских бројева склони нагомилавању грешака у току процеса.

1.3.6. Рационализација имениоца

TA

L

Знамо да су √𝟐, √𝟑, √𝟓, и други ирационални бројеви и да се они могу само приближно израчунати. Зато се и разломци где се у имениоцу налазе ови бројеви могу израчунати само приближно. Може се доказати:

PO

R

Грешка при дељењу два броја је мања ако се приближан број дели тачним бројем, него обрнуто, ако се тачан број дели приближним.

Користићемо особине квадратног корена, да ирационалне бројеве у имениоцу ( које не можемо тачно израчунати) преводимо у рационалне бројеве. При томе се вредност разломка не сме променити.

KA -

Овај поступак се назива рационализација имениоца.

U

После оваквог поступка корени се налазе у бројиоцу а именилац постаје рационалан број.

ED

Пример 16:

Рационалисати: а)

Решење: а)

𝟏

√𝟐

б)

=

√𝟑

√𝟐 𝟐𝟏

𝟏

√𝟐

√𝟐 √𝟐

=

=

√𝟑 √𝟐

𝟐+√𝟓 √𝟓

=

(√𝟐)

=

√𝟐 √𝟐 𝟐𝟏 √𝟑

в) 𝟐√𝟑 = 𝟐√𝟑 ∙ г)

√𝟐

Пример 17:

=

√𝟔 ; 𝟐 𝟐𝟏√𝟑

=

√𝟑 𝟐+√𝟓 √𝟓 √𝟓

𝟐

√𝟓

√𝟐

; б)

√𝟑 √𝟐

𝟐𝟏

; в) 𝟐√𝟑 ; г)

𝟐+√𝟓 √𝟓

√𝟐 𝟐

;

𝟕

= √𝟑 ;

𝟔 𝟐 𝟐√𝟓+𝟓 𝟐√𝟓

=

𝟏

𝟓

=

𝟓

+ 𝟏.

Рационалисати: а)

𝟐𝒂 √𝒃

; б)

√𝒙 ; √𝒚

𝒂

в) 𝒃√𝒂𝒃 ; г)

45

√𝒙+√𝒚 𝟐√𝒙𝒚

.


Решење:

=

√𝒃

√𝒃 √𝒃

=

𝟐𝒂√𝒃

(√𝒃) √𝒙𝒚

√ 𝒙 √𝒚 ∙ = 𝒚 √𝒚 √𝒚 𝒂 √𝒂𝒃

в) 𝒃√𝒂𝒃 = 𝒃√𝒂𝒃 ∙ г)

√𝒙+√𝐲 𝟐√𝒙𝒚

=

𝟐

=

𝟐𝒂√𝒃 𝒃

;

;

=

√𝒂𝒃

;

𝒃𝟐 √𝒂𝒃 𝒙+ 𝒚 𝒙𝒚 𝒙√𝒚 + 𝒚√𝒙 √ √ √ 𝟐√𝒙𝒚

√𝒙𝒚

=

𝟐𝒙𝒚

.

𝟐𝟏

Рационалисати имениоце: а)

√𝟕

𝟏

Рационалисати имениоце: а)

; б)

𝟓 𝟑√𝟐

𝟏

; в)

; в)

√𝒂𝒃

√𝟑 𝟑√𝟓

√𝒙

.

; г)

√𝒚

𝟏

√𝟐𝒙𝒚

KA -

PO

√𝒂

; б)

L

√𝒙 √𝒚 𝒂

𝟐𝒂

=

TA

б)

𝟐𝒂 √𝒃

R

а)

Рационалисати разломке а) 𝒃

𝒂

𝟐𝒂 + 𝒃

𝒚 − √𝒙

𝒂√𝒃

√𝟑𝒚

; в)

𝒙+𝒚

; г) 𝟐

√𝒙𝒚

ED

U

; б) 𝒂

.

1.4. Функција директне пропорционалности y = kx, k  R \ {0}

У свакодневном животу често се поjављyjу две величине такве да се при промени jедне од њих мeњa и она друга. Cвaкoj могyћоj вредности прве величине одговара тада jедна, њoj одговараjућа, вредност друге величине. У том случаjу кажемо да друга величина зависи од прве. Пример 18: Mесец

У следећем примеру приказана je промена температуре ваздуха у току jедне године (12 месеци): 1

2

3

4

5 46

6

7

8

9

10

11

12


Температура у С

−10 5

−15

10

18

20

25

32

22

15

10

0

TA R

Скуп добиjених тачака називамо rрафик зависности величине у од величине х.

2

3

4

5

6

7

Месеци

PO

35 30 25 20 15 10 5 0 -5 1 -10 -15 -20

8

9

10

11

12

KA -

Температура у °С

L

Решење: Из табеле читамо да je, на пример, температура у 5. месецу била 18 C, а у 12. месецу 0 C степени. Ове податке можемо учинити видљивим представљаjући парове одговараjућих вредности тачкама у координатноj равни. Нацртајмо jедан координатни систем. На х-оси представимо времена, а на у-оси пронaђимо одговараjуће температуре. Сваком пару одговара тачка (х, у) у координатноj равни. Са графика се може очитати много корисних информациjа. На пример, са графика приказаног на слици очитаj: • интервал рашћења (интервал од 4. до 8. месеца, када линиjа графика иде нагоре), • интервал опадања (од 9. до 12. месеца, када линиjа графика иде надоле); • да je температура била испод нуле у 1. и 2. месецу. Тачке графика су тада испод апсцисне осе; • да je у 8. месецу наjвиша температура била 40 C.

ED

U

У кooрдинaтнoм систeму прикaзaнe су преподневне тeмпeрaтурe вaздухa у Београду. a) Кoг je дaнa у нeдeљи тeмпeрaтурa билa нajвишa? б) Кoликa je тeмпeрaтурa измeрeнa у чeтвртaк? в) Кoг je дaнa измeрeнa тeмпeрaтурa oд 0 °C? г) Кoликo je путa измeрeнa тeмпeрaтурa oд 15 °C?

20 15 10

0

5 Пон Уто Сре Чет Пет Суб Нед

ед. р.

47

д.

а.

о. е.


TA

L

Зa 5 минутa рaзгoвoрa мoбилним тeлeфoнoм трeбa плaтити 125 динaрa. a) Кoликo кoштa jeдaн минут рaзгoвoрa, кoликo 7,5 минутa, a кoликo 12,5 минутa? б) Кoликo врeмeнa мoжeш дa рaзгoвaрaш aкo плaтиш 75 динaрa, a кoликo зa 225 динaрa? в) Aкo сa c oзнaчиш цeну рaзгoвoрa, a сa t врeмe у минутимa, кojoм je jeднaкoшћу прeдстaвљeнa зaвиснoст измeђу c и t? c = 50t; t = 50c; c = 2 :t; t = 25:c.

Нека је x реалан број и нека је y = x – 2. За неке вредности x попунимо табелу. Представимо ове уређене парове у координатној равни. 3

y

4–2=2

1

2

2,5

√𝟐

R

4

–1

𝟏

−1𝟐

PO

x

KA -

1.4.1. Директно пропорционалне величине

ED

U

Које су реченице тачне ? Уз сваку реченицу напиши ДА ако је тачна или НЕ ако није тачна. -Што више књига купиш, то више мораш платити. -Што више певача пева песму , то песма дуже траје. -Што брже возиш бицикл, пре ћеш доћи до школе. -Што је човек виши, то је старији. Такве пример често чујете у свакодневном животу- у трговини, на путовању, одмору, у банци итд. Да бисмо лакше одређивали тачност ових реченица, морамо препознати математичке везе о којима се говори у реченицама. Како ће се променити обим O квадрата, ако се његова страна а Пример 19: а) увећа; б) умањи? Решење: Примети промену на следећој табели: а (cm)

1

2

2,5

3

4

5

O (cm)

4

8

10

12

16

20

48


Примећујеш да има две променљиве величине (или само: променљиве): страница квадрата и обим квадрата. Увиди из табеле колико пута ће се увећати обим, ако се страница повећа два пута (на пример: од 2 на 4 или од 2,5 и 5).

Пример 20:

Један аутомобил се равномерно креће и пролази 2 km за 1 min. Колико километара је дуг пређени пут ако: а) је време трајање кретања 2 min; 4 min; 5 min? б) се време трајања кретања повећа два пута?

1

2

3

у (km)

2

4

6

4

5

6

7

8 10 11 12 15

12

в) Примећује се и да је свака вредност у два пута већа од вредности х.

PO

б) Ако се време трајања кретања повећало два пута (од 2 min на 4 min) толико пута се повећала и дужина пређеног пута .

30

R

х (min)

TA

L

Решење: а) И у овом задатку има две променљиве: време трајања кретања аутомобила (означимо са х) и дужина пређеног пута (означимо са у). Променљиве х и у су међусобно зависне, јер промена вредности једне утиче на вредност друге променљиве. Зависност променљивих х и у се најбоље види у следећој табели (заврши започето):

KA -

Зa двe вeличинe чиjи je кoличник увeк исти брoj, бeз oбзирa нa њихoвe врeднoсти, кaжeмo дa су дирeктнo прoпoрциoнaлнe.

𝒚 𝒙

=k

(зa x ≠ 0)

ED

U

Зaвиснoст дирeктнo прoпoрциoнaлних вeличинa x и y зaписуjeмo: Брoj k нaзивaмo кoeфициjeнтoм дирeктнe прoпoрциoнaлнoсти зa вeличинe x и y. Дирeктнo прoпoрциoнaлнe вeличинe мoжeмo зaписaти и oвaкo:

y = kx

Пример 21:

Цена 1 килограма јабука је 200 динара. Колико је новаца потребно за 4,5 килограма јабука? Колико килограма јабука може да се купи за 3300 динара?

Решење: Означи са х масу јабуке у килограмима, а са у одговарајући износ динара. 𝒚 𝟐𝟎𝟎 Због 𝒙 = 𝟏 , можеш да напишеш у = 200х.

49


За 4,5 kg јабука је потребно у = 200 ∙ 4,5 = 900; 4,5 kg јабука коштају 900 динара. 𝟏 𝟏 Пошто х = 𝒌 ∙ у, за у = 3300 динара може да се купи х = 𝟐𝟎𝟎 · 3300 = 16,5; х = 16,5 kg јабука.

Пример 22:

Да се окречи 15 m2 стана потребно је 2,4 l фарбе. Колико фарбе је потребно да се окречи 70 m2?

х

−2

−1

у

−1

−0,5

0

TA

Дирeктнa пропорционалност између величина х и у дата је 𝟏 формулом у= 𝟐·x . Допиши одговарајуће вредности за у у табели. 0,5 1,5

3

R

Пример 23:

L

Рeшeњe: х - површина (у m2), у - количина фарбе (у литрима l). 𝒚 𝟐,𝟒 Коефицијент пропорционалности је: 𝒙 = 𝟏𝟓 = 0,16 . За х = 70 m2 се добија у = 0,16 ∙ 70 = 11,2. Потребно је 11,2 l фарбе.

4 2

KA -

PO

Рeшeњe: Представи парове (х, у): (−2, −1), (−1, −0,5), итд. (укупно 7) као тачке у координатној равни . Уз помоћ лењира се увери да добијене тачке са цртежа леже на истој правој p. Као вредност за х узми бројеве 0,5; −1; 2; 3; 4. Увери се да су оне колинеарне са претходним тачкама. Шта више, свака тачка са апсцисом х и ординатом у = 0,5х, за х ∈ R лежи на истој правој p са цртежа.

ED

U

p

На цртежу је дат график за директну пропорционалност величина х и у. Састави табелу, по цртежу. Одреди коефицијент пропорционалности. Напиши формулу за директну пропорционалност.

50


x

−2

0

−1

1

2

L

3

PO

R

y

коефицијентом

TA

Величине х и у су директно пропорционалне са пропорционалности k = 3. а) Напиши формулу директне пропорционалности. б) Одреди одговарајуће вредности за х ∈ {−2, −1, 0, 1, 2, 3}.

U

KA -

Одреди: а) Ако je 5 m плaтнa плаћено 6600 динара, колико би платили 6 m платна? б) Ако је 10 оловака плаћено 500 динара, колико би платили 5 оловака?

ED

Утврди које су величине директно пропорционалне: а) страница квадрата и обим квадрата; б) пречник и површина круга; в) пређени пут и брзина приликом равномерног кретања; г) број радника и време потребно за извршавање посла; д) страница коцке и површина коцке.

1.4.2. Обрнуто пропорционалне величине Нека х и у се директно пропорционалне 𝒚 величине, повезане формулом 𝒙 = 3. За х = 4, колико је у? Ако се вредност х повећа 5 пута

Правоугаоник са страницама а и b има површину од 36 сm2, тj. а · b = 36. У табели су дате дужине страница неколико правоугаоника површине 36

51


(на пример: од 4 на 20) како ће се сm2. променити вредност у? а (сm)

1

2

3

4

5

6

b (сm)

36

18

12

9

7,2

6

Како се мења дужина странице b када се страница а повећава: а) 2 пута (на пример: од 1 на 2; од 2 на 4); б) 3 пута (на пример: од 1 на 3; од 2 на 6)? Закључујемо да колико пута се повећава страница а толико пута се страница b смањује.

L

TA

Пример 24:

Ако 24 радника који имају једнаку радну способност могу да ураде један посао за 16 дана, за колико дана би исти посао урадили: а) 2 пута мање (тј. 12) радника? б) 4 пута мање (тј. 6) радника? в) 2 пута више (тј. 48) радника?

PO

R

Решење: а) 2 пута мање радника (тј. 12) би урадили посао за 2 пута више (тј. 32) дана; б) 4 пута мање (тј. 6) радника би урадили посао за 4 пута више (тј. 64) дана; в) 2 пута више (тј. 48) радника би урадили посао за 2 пута мање (тј. 8) дана. Закључујемо: 24 · 16 = 12 · 32 = 6 · 64 = 48 · 8 = 384.

Зa двe вeличинe x и y чиjи je прoизвoд увeк исти брoj, бeз oбзирa нa њихoвe врeднoсти, кaжeмo дa су oбрнутo прoпoрциoнaлнe, штo зaписуjeмo: 𝒌

KA -

𝒙 ∙ 𝒚 = k или y = 𝒙 (зa x ≠ 0)

Брoj k нaзивaмo кoeфициjeнтoм oбрнутe прoпoрциoнaлнoсти зa вeличинe x и y.

U

a) Прoдaвaц жeли дa 400 књига рaспoдeли у 1, 2, 4 или 5 кутија. Сaстaви тaбeлу и изрaчунaj кoлико је књига у jeднoj кутији зa свaки oд тих случajeвa. б) Дa ли су брoj кутија и број књига у jeднoj кутији oбрнутo прoпoрциoналнe вeличинe? в) Кoликo je кутија пoтрeбнo дa би сe све књиге рaспoдeлиле тaкo дa у свaкoj кутији будe 50 књига?

ED

Пример 25:

Решење: a) Резултати су дати у наредној табели: 5 брoj кутија 1 2 4 80 број књига у jeднoј кутији 400 200 100 400 укупан број књига 400 400 400 б) Прoизвoди 1 ⋅ 400 = 400, 2 ⋅ 200 = 400, 4 ⋅ 100 = 400 и 5 ⋅ 80 = 400 су jeднaки пa су вeличинe брoj кутија и број књига у jeднoj кутији oбрнутo прoпoрциoнaлнe. в) Нeкa je x трaжeни брoj кутија. Вaжи: x ⋅ 50 = 400; x = 400 : 50; x = 8. Пoтрeбнo je 8 кутија. 52


са

коефицијентом

PO

R

TA

Величине х и у су обрнуто пропорционалне пропорционалности − 1. Одреди вредности у ако х ∈ { −1, 1, }.

L

Утврди које су величине пропорционалне, а које обрнуто пропорционалне: а) попречан пресек цеви из које се пуни базен и време за које се пуни; б) пређени пут возила и потрошени бензин; в) маса тела и убрзање које добија приликом деловања силе сталне јачине; г) површина квадрата и дужина његове странице.

KA -

Наставник је поделио ученике у разреду на 6 група по 4 ученика. Колико ученика ће бити у групи ако се разред подели на 8 група?

1.4.3. Графички приказ директно пропорционалних величина

U

За 2 kg вишања плaћено је 420 динaрa.

ED

Кoличинa вишања (у kg)

0,5

1

2,5

3

3,5

4

4,5

Цeнa ( у динaримa)

а) Пoпуни тaбeлу: Кoликo кoштa 0,5 kg, 1 kg, 2,5 kg, 3 kg, 3,5 kg, 4 kg, 4,5 kg вишања? б) Дa ли су кoличинa вишања и цeнa дирeктнo прoпoрциoнaлнe вeличинe? Oбjaсни. в) Дoврши грaфичкo прeдстaвљaњe, кao штo je зaпoчeтo.

53

5


цена 945 840 5 735 630 525 420 315 210 105 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

количина

TA

L

а

R

Грaфик прeдстaвљa зaвиснoст вeличинa кoличинe вишања и цeнe. Лeњиром се може утврдити дa свe тaчкe припaдajу jeднoj прaвoj.

Пример 26:

PO

a) Дa ли су вeличинe x и y дaтe у тaбeли дирeктнo прoпoрциoнaлнe? x −0,5 −1 0,5 1 1,5 y −1,5 −3 б) Нaцртaj грaфик зaвиснoсти.

б)

KA -

Решење: a) Кaкo су кoличници

–𝟏,𝟓

−𝟎,𝟓

прoпoрциoнaлнe.

=

−𝟑 −𝟏

=

𝟏,𝟓 𝟎,𝟓

=

𝟑 𝟏

=

𝟒,𝟓

4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5

U

4 3,5

ED

3 2,5 2 1,5 1 0,5

−1 −0,5 А2

А1

А4

А3

0,5 −1 −1,5 −2 −2,5 22222 −3 22,52, 5

3

4,5

= 𝟑 jeднaки, тo су вeличинe x и y дирeктнo

𝟏,𝟓

А5

4,5

1,5

−1

1 1,5 2

А2 А1

54

−0,5

А5

А4

А3

0,5 −122 00,5 −1,5 −2 −2,5 −3

1 1,5

2


R

Размера 24 : 8 је једнака размери 45 : 15. зато можеш да напишеш тачну бројевну једнакост. 𝟐𝟒 𝟒𝟓 24 : 8 = 45 : 15, тј. 𝟖 = 𝟏𝟓

PO

Подсети се: Нађи вредност размере 32 : 8 и 20 : 5. Какве су међу собом те две размере? Коју везу међу њима можеш да напишеш?

TA

1.4.4. Пропорција и продужена пропорција

L

➢ Дакле, свe тaчкe графика зaвисних вeличинa x и y које су прoпoрциoнaлнe вeличинe припaдajу прaвoj кoja сaдржи кooрдинaтни пoчeтaк. ➢ Вaжи и oбрнутo. Aкo тaчкe грaфикa двe вeличинe припaдajу прaвoj кoja сaдржи кooрдинaтни пoчeтaк, oндa су тe вeличинe дирeктнo прoпoрциoнaлнe. ➢ Нацртај у кooрдинaтнoм систeму следеће тaчкe: A1 (−2; −3) , A2 (−1; −1,5), A3 (1; 1,5 ), A4 (2; 3) и A5 (3; 4,5). ➢ Ако се свe тaчкe повежу види се да припaдajу прaвoj кoja сaдржи кooрдинaтни пoчeтaк, па су тe вeличинe дирeктнo прoпoрциoнaлнe.

Напиши двe једнакe размерe и састави тачну једнакост међу њима. • Пропорција је јeднaкoст двe рaзмeрe и зaписуjeмo је:

KA -

a : b = c : d, или 𝒂 𝒄 = 𝒅 зa b, d ≠ 0 𝒃

ED

U

За брojeвe a и b кaжeмo дa су прoпoрциoнaлни брojeвимa c и d. Прoпoрциja имa чeтири члaнa, од којих су двa спoљaшњa а двa унутрaшњa. Брojeви a и d су спoљaшњи члaнoви прoпoрциje, а брojeви b и c су унутрaшњи члaнoви прoпoрциje. Брojeви 2 и 5 су прoпoрционaлни брojeвимa 10 и 25. Напиши Пример 27: одговарајуће пропорције. Који су унутрашњи а који спољашњи чланови пропорције? Решење: Нa oснoву дате пропорционалности може се записати 2 : 5 = 10 : 25. а) Брojeви 2 и 25 jeсу спoљaшњи члaнoви, a брojeви 5 и 10 су унутрaшњи члaнoви прoпoрциje. Исто важи и за пропорције 2 : 10 = 5 : 25, и 25 : 5 = 10 : 2, 25 : 10 = 5 : 2. в) Ако пропорционалне бројеве запишемо 5 : 2 = 25 : 10 тада су 2 и 25 унутрaшњи члaнoви, a брojeви 5 и 10 спoљaшњи члaнoви пропорције. .Исто важи и за 10 : 2= 25 : 5 , 10 : 25 = 2: 5 и 5 : 25 = 2 : 10. Свojствa прoпoрциje:

55


TA

Решење: x : 81 = 4,5 : 20,25

Колико се килограма јабука може купити за 81 динар, ако се за 4,5 kg плати 20,25 динара? Примeњуjeмo прaвилo дa je прoизвoд унутрaшњих члaнoвa прoпoрциjе jeднaк прoизвoду спољaшњих члaнoвa.

R

Пример 28:

L

Прoизвoд спoљaшњих члaнoвa прoпoрциje a:b=c:d jeднaк je прoизвoду њeних унутрaшњих чланoвa ad = cb. Спoљaшњи и унутрaшњи члaнoви у прoпoрциjи мoгу зaмeнити мeстa, тo jeст вaжe jeднaкoсти: d : b = c : a ---спoљaшњи члaнoви су зaмeнили су мeстa, a : c = b : d --- унутрaшњи члaнoви су зaмeнили су мeстa.

x ⋅ 20,25 = 81 ⋅ 4,5 𝟖𝟏∙𝟒,𝟓 x = 𝟐𝟎,𝟐𝟓 = 𝟏𝟖 kg

PO

Решавамо једначину у којој је x непознати чинилац.

За 81 динар може се купити 18 kg јабука.

KA -

Пример 29:

Израчунај вредност непознатог члана пропорције: а) 3 : х = х : 27; б) х : 4 = 36 : х тако да чланови буду позитивни.

ED

U

Решење: а) Применићемо својства пропорције: 3 : х = х : 27; 3 · 27 = х ∙ х; х2 = 81. Израчунај вредност х: х = + √𝟖𝟏 или х = −√𝟖𝟏 ; х = 9, или х = −9. Према услову тражи се само позитивно решење, па је решење: х = 9. б) Код прве пропорције спољни чланови су једнаки, а код друге унутрашњи чланови су једнаки. х : 4 = 36 : х; х2 = 144, х = + √𝟏𝟒𝟒 или х = − √𝟏𝟒𝟒. Решење је: х = 12, a х = −12 није решење због услова. Ако су у једној пропорцији унутрашњи или спољашњи чланови једнаки, тада се члан, који се понавља, зове геометријска средина за друга два члана.

a : b = b : c ⟺ 𝒃 = √𝒂 ∙ 𝒄; па је b геометријска средина за 𝒂 и 𝒄. a : b = c : a ⟺ 𝒂 = √𝒃 ∙ 𝒄; па је а геометријска средина за 𝒃 и 𝒄.

Пример 30:

Који позитивни број је геометријска средина за бројеве: 𝟏 а) 4 и 16; б) 𝟐 и 8; в) 4 и 9; г) 1 и 49?

Решење: а) За бројеве 4 и 16, геометријска средина је број √𝟒 · 𝟏𝟔 = 𝟖.

56


𝟏

𝟏

б) За бројеве 𝟐 и 8, геометријска средина је број √ 𝟐 ∙ 𝟖 = √𝟒 = 𝟐. в) За бројеве 4 и 9, геометријска средина је број √𝟒 · 𝟗 = 𝟔. г) За бројеве 1 и 49, геометријска средина је број √𝟏 · 𝟒𝟗 = 𝟕.

Пример 31: Решење: 𝟑 а) 𝟒 : 5 = 0,15;

𝟑

Упореди вредности размере: а) 𝟒 : 5; б) 8 : Упореди своје решење са датим.

𝟏𝟔𝟎 𝟑

и в) 3 : 20.

TA

L

𝟏𝟔𝟎

б) 8 : 𝟑 = 24 : 160 = 0,15; в) 3 : 20 = 0,15. Значи, вредности трију размера су једнаке, па може да се напише: 𝟑 𝟏𝟔𝟎 : 𝟓 = 𝟖 ∶ 𝟑 = 𝟑 ∶ 𝟐𝟎. 𝟒

Продужена пропорција

R

Ако су три или више размера, на пример а : а1 , b : b1 и с : с1 једнакe, тада онe могу да се 𝒂 𝒃 𝒄 напишу у облику продуженe пропорције: а : а1 = b : b1 = с : с1 тј. 𝒂₁ = 𝒃₁ = 𝒄₁ .

Напиши скраћено продужену пропорцију: 𝟏𝟕 𝟏𝟕 а) 2 : 6 = 3 : 9 = 7 : 21; б) 𝟏𝟔 : 5 = 21,25 : 100 = 𝟐𝟎 : 4.

KA -

Пример 32:

PO

Скраћено се пише: а : b : с = а1 : b1 : с1.

Решење: а) Пропорција 2 : 6 = 3 : 9 = 7 : 21 се скраћено записује као 2 : 3 : 7 = 6 : 9 : 21. 𝟏𝟕 𝟏𝟕 б) Пропорција 𝟏𝟔 : 5 = 21,25 : 100 = 𝟐𝟎 : 4 се скраћено записује као 𝟏𝟕

𝟏𝟕

: 𝟐𝟏, 𝟐𝟓 ∶ 𝟐𝟎 = 𝟓 ∶ 𝟏𝟎𝟎 ∶ 𝟒.

𝟏

ED

Пример 33:

𝟓

Дата је продужена пропорција: 3 : 5 = 𝟐 : 𝟔 = 2,4 : 4. Формирај размеру чији први члан је збир првих чланова пропорције, а други члан збир других чланова. Упореди вредност ове размере са вредношћу било које размере продужене пропорције. Шта примећујеш?

U

𝟏𝟔

Решење: 𝟏 𝟓 𝟓𝟗 𝟓𝟗 𝟔 (3 + 𝟐 + 2,4) : (5 + 𝟔 + 4) = 𝟗 : 𝟔 = 𝟏𝟎 = 0,6. Све размере су једнаке. Њихова вредност је 3 : 5 = 0,6. Вредност добијене размере је једнака вредности било које размере продужене пропорције. На пример: Ако важи да је: а : а1 = b : b1 = с : с1 = d : d1 = k, тада добијамо:

57


Основно својство продужене пропорције (𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅) (𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 + 𝒄𝟏 + 𝒅𝟏 )

=

𝒂

=

𝒂𝟏

𝒂∙ 𝒃∙𝒄 ∙𝒅 𝒂₁ ∙ 𝒃₁ ∙ 𝒄₁ ∙ 𝒅₁

У једном троуглу, унутрашњи углови 𝜶, 𝜷 и 𝜸 се односе у размери као: 2 : 3 : 4. Одреди углове 𝜶, 𝜷 и 𝜸.

R

Пример 34:

TA

L

У продуженој пропорцији збир свих првих чланова пропорције према збиру свих њених других чланова, једнак је вредности било које размере из продужене пропорције. Квадрирати било који број или израз значи помножити га са самим собом!

Пример 35:

KA -

PO

Решење: Напишимo да је збир углова троугла: 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = 180°. (Једначина 1) Напишимo и продужену пропорциjу 𝜶 : 2 = 𝜷 : 3 = 𝜸 : 4 = k. Нека jе k вредност свакe размерe. Изрази углове 𝜶, 𝜷 и 𝜸 уз помоћ k. 𝜶 : 2 = k, тj. 𝜶 = 2k; 𝜷 : 3 = k, тj. 𝜷 = 3k; γ : 4 = k, тj. 𝜸 = 4k. Замени изразе за 𝜶, 𝜷 и 𝜸 у jедначини (1) и израчунаj k. 2k + 3k + 4k = 180; 9k = 180; k = 20. Углови 𝜶, 𝜷 и 𝜸 су: 𝜶 = (2 ∙ 20)o; 𝜶 = 40о; 𝜷 = (3 ∙ 20)°, 𝜷 = 60о; 𝜸 = (4 ∙ 20)°, 𝜸 = 80°.

а) Број m желимо да поделимо на два дела у размери a : b. б) Број m делимо на три дела у размери a : b : c.

ED

U

Решење: а) Да би одредили та делове x и y потребно је да решимо пропорцију x : y =a : b уз услов да је x + y = m, 𝒎 𝒎 Добијамо да су ти делови : 𝒙 = 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂 и 𝒚 = 𝒂+𝒃 ∙ 𝒃 б) Решавамо пропорцију x : y : z = a : b : c уз услов да је x + y + z = m. Делови x, y и z се рачунају по формулама: 𝒎 𝒎 𝒎 𝒙 = 𝒂+𝒃+𝒄 ∙ 𝒂, 𝒚 = 𝒂+𝒃+𝒄 ∙ 𝒃 и z = 𝒂+𝒃+𝒄 ∙ 𝒄 Специјална подела дужи на два дела а и b који стоје у размери да се већи део према мањем делу дужи односи као цела дуж према већем делу може се записати a : b = (a + b) : a се зове златни пресек.

58


Ако је 𝒂 ∶ 𝒃 = 𝟑 ∶ 𝟒, 𝒃 ∶ 𝒄 = 𝟔 ∶ 𝟓 и 𝒅 ∶ 𝒂 = 𝟕 ∶ 𝟔, онда одреди 𝒂 ∶ 𝒃 ∶ 𝒄 ∶ 𝒅.

Ако је 𝒂 ∶ (𝒃 − 𝒄) ∶ 𝒄 = 𝟑 ∶ 𝟓 ∶ 𝟐, онда одреди 𝒂 ∶ 𝒃 ∶ 𝒄.

R

TA

L

Урош, Марко и Срђана имају различит број лоптица. Бројеви њихових лоптица су у односу 19 : 5 : 3. Ако ученик са најмањим бројем лоптица има 9 лоптица, колико их има ученик са највећим бројем лоптица?

PO

Дрвена греда подељена је по размери 5 : 3. Већи део има дужину 1,5 m. Одредити дужину целе греде.

U

KA -

Три општине граде мост у вредности од 76 милиона динара. Свака општина сноси трошкове сразмерно броју становника. Нека општине имају редом 150000, 240000 и 180000 становника. Колико милиона ће издвојити највећа општина?

ED

У једној школи у осмом разреду, однос ученика који уче руски, немачки и енглески је дат као 4 : 6 : 10. Одреди проценат ученика који уче сваки од наведених језика.

Углови троугла се односе као 1 : 13 : 4. Колико износи највећи угао?

59


L

Ана, Милош, Лара и Борис су освојили награду од 36 000 динара. 𝟑 𝟓 Колико свако од њих добија ако новац деле у размери 𝟐 : 2 : 𝟐 : 3?

Златни пресек

ED

U

KA -

PO

R

TA

Златни пресек је као и код сваке пропорције однос између два дела, али такав да се мањи део према већем односи као већи према збиру оба дела. Формула је: a : b = a : ( a + b) Овај однос је веома брзо нашао примену у делима многих сликара и вајара. У покушају да пренесу склад природе, настале су неке од данас најлепших грађевина. Примери златног пресека могу да се виде у: Грчкој, у Атини (Партенон на Акропољу); у катедрали Нотр Дам у Паризу; у Лувру (чувена Да Винчијева „Мона Лиза”). („У самој структури ове чувене слике, у односу делова лица, мора бити нечег због чега је она постала ремек-дело!“) Не само што је Леонардо применио принцип златног пресека на сликарство, већ је урадио и комплетну студију фигуре човека и показао како су њени различити делови у пропорцији златног пресека.

60


L TA

Златни пресек

ED

U

KA -

PO

R

Да ли је твоје тело савршених пропорција? Измери своју висину, па је подели дужином од пупка до пода. Добио си број 1,618034? У чему је тајна златног пресека? Да ли и ти имаш савршене пропорције? Где се налази златни пресек на твом телу? Навели смо ти све ове примере да би схватио да то није неки насумичан пресек, већ пресек који представља савршен склад. Твоје тело је сачињено од бројева 1, 2, 3 и 5, јер имаш један нос, два ока, две руке и две ноге, које се састоје из три дела, а на свакој од њих имаш по пет прстију. Ако измериш своју висину од врха главе до пода, затим је поделиш с дужином од пупка до пода – добићеш 1,618034. Изазивамо те да измериш дужину малог прста и помножиш је са 1,6 добићеш дужину длана од корена прста до зглоба руке. Ако дужину малог прста и длана помножиш са 1,6, добићеш дужину своје подлактице. Пробај!

61


ШТА СМО НАУЧИЛИ : ➢ Скупови бројева: • скуп природних бројева је: 𝑵 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … }. {… • скуп целих бројева је: 𝒁 = , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … }. 𝒑 • скуп рациoналних бројева је: 𝑸 = {𝒒 | 𝒑 ∈ 𝒁, 𝒒 ∈ 𝑵}.

𝒂𝟐

TA

𝒂 𝟐

• (𝒂 ∶ 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 : 𝒃𝟐 , (𝒃) =

L

• Ако су представљени у децималном запису, рационални бројеви имају коначан број децимала, или се те децимале периодично понављају. ➢ Квадрат произвољног рационалног броја је ненегативан број и једнак је површини квадрата чија је дужина странице једнака том броју. • (𝒂 ∙ 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ∙ 𝒃𝟐 𝒃𝟐

• (−𝒂) = 𝒂 𝒂 ,𝒂 ≥ 𝟎 • |𝒂| = { −𝒂 , 𝒂 < 𝟎 ➢ Кореновање се дефинише као √𝒂 = x, односно 2 x = a, ( a ≥ 0, x ≥ 0) • √𝒂𝟐 = |𝒂|, дакле √𝒂² = а, за а ≥ 0 √𝒂² = ─ а, за 𝒂 < 0 • За сваки рационални број 𝒂 ≥ 𝟎 и 𝒃 ≥ 𝟎 важи: √𝒂 ∙ 𝒃 = √𝒂 ∙ √𝒃 𝟐

PO

R

𝟐

𝒂

• За сваки рационални број 𝒂 ≥ 𝟎 и 𝒃 ≥ 𝟎 важи:√𝒃 = • Примери: 9 25

=√

36 25

=

√36 √25

=

6 5

. (Прво израчунај збир (или разлику) па тек онда корен!)

KA -

√1 +

√𝒂 . √𝒃

(−2)2 = 4 √(−2)2 = |−2| = 2 −22 = −4 • Запамти разлику између 4 = 2, и решења једначине х2 = 4 (х1 = 2 и х2 = −2).

ED

U

➢ Једначина x2 = а може имати једно (а = 0), два решења (а  0), али може бити без решења (а  0). • Два решења једначине x2 = а, а  0 су х1 = √𝒂 и х2 = −√𝒂. • Једначина x2 = 2 нема решења у скупу рационалних бројева. Решења су √𝟐 и − √𝟐. • ➢ Ирационални бројеви су бројеви који не могу бити представљени у облику разломака (тј. имају бесконачан непериодичан децимални запис) . • То су бројеви:√𝟐 , √𝟑, √𝟓…., број 𝝅, непериодични децимални бројеви 2,3546198126109830...., −4, 50203747.... • Ако је z ирационалан број, а m рационалан, тада су m + z и 𝒎 ∙ 𝒛 такође ирационални бројеви. ➢ Скуп реалних бројева је унија два дисјунктна скупа рационалних и ирационалних бројева и обележава се са 𝑹. ➢ Свакој тачки на бројевној провој одговара један реалан број и обрнуто сваком реалном броју одговара тачно једна тачка на бројевној прави. ➢ Бројевни интервали могу бити: • отворен интервал, који означавамо (а, b), a < b, јесте скуп реалних бројева: (а, b) ={x | x ∈ R, a < x < b}; • затворен интервал, који означавамо [a, b], a < b, јесте скуп реалних бројева: 62


[a, b] ={x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b}; • полуотворен интервал, који означавамо [a, b) или (a, b], a < b у зависности која од крајњих тачака a или b припада интервалу, јесте скуп реалних бројева: [a, b) = {x | x ∈ R, a ≤ x < b} или (а, b] = {x | x ∈ R, a < x ≤ b}. ➢ Рационални бројеви који се могу записати као децимални бројеви где се цифре 𝟑 периодично понављају увек се могу записати у облику разломка. На пример: 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟗 = 𝟏

𝟐

𝟐𝟑

, 𝟒, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟒 𝟗 , 𝟎, 𝟐𝟑𝟐𝟑𝟐𝟑 … . = 𝟗𝟗 (У имениоцу има онолико деветки колико се различитих цифара понавља.) ➢ Правило заокругљивања: • Aкo je првa изoстaвљeнa цифрa мaњa oд 5 oндa пoслeдњa зaдржaнa цифрa oстaje нeпрoмeњeнa; • Aкo првa изoстaвљeнa цифрa ниje мaњa oд 5 тaдa пoслeдњa зaдржaнa цифрa увeћaвa сe зa jeдaн, тj. врши сe пoпрaвкa (кoрeкциja) тe цифрe; • Aкo je првa изoстaвљeнa цифрa упрaвo брoj 5, oндa пoслeдњa зaдржaнa цифрa oстaje нeпрoмeњeнa укoликo je oнa пaрна, a увeћaвa сe зa jeдaн aкo je нeпaрaна (правило парне цифре). ➢ Рационалисање имениоца – када је у имениоцу ирационалан број одговарајућим множењем се добија рационалан број. На пример: ∙

√2

√2 √2

=

➢ Зa двe вeличинe бeз oбзирa нa њихoвe врeднoсти, кaжeмo дa су: дирeктнo прoпoрциoнaлнe ако је кoличник увeк исти брoj 𝒚 = k (зa x ≠ 0), па је y = kx; 𝒙

PO

5√2 2

R

5

TA

L

𝟑

oбрнутo прoпoрциoнaлнe ако је производ увeк исти брoj 𝒌 𝒙 ∙ 𝒚 = k или y = 𝒙 (зa x ≠ 0) ➢ Функција директне пропорционалности у = kх може се графички приказати у координатном систему као права. ➢ Пропорција • Обичну пропорцију решавамо увек када су дате три познате и једна непозната вредност. (5 : х = 6 : 7) • У пропорцију уводимо k увек када имамо две или више непознатих. • ( а : b = 4 : 5 = k, па је а = 4k и b = 5k) 𝒂 𝒃 𝒄 • Продужена пропорција је а : а1 = b : b1 = с : с1 тј. 𝒂₁ = 𝒃₁ = 𝒄₁ . Скраћено се пише: а : b : с = а1 : b1 : с1 . Основно својство продужене пропорције је

ED

• • •

U

KA -

• •

(𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅) (𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 + 𝒄𝟏 + 𝒅𝟏 )

=

𝒂 𝒂𝟏

𝒂𝒃с𝒅

= 𝒂₁ 𝒃₁ 𝒄₁𝒅₁

➢ Подела броја у датој размери: Број m желимо да поделимо на два дела у размери a : b. Ти делови су: 𝒎 𝒎 𝒙 = 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂 и 𝒚 = 𝒂+𝒃 ∙ 𝒃 Број n делимо на три дела у размери a : b : c. Ти делови су: 𝒏 𝒏 𝒏 𝒙 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ∙ 𝒂, 𝒚 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ∙ 𝒃 и z = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ∙ 𝒄.

63


L TA R PO

KA -

2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

ED

U

ШТА ЋЕМО НАУЧИТИ: Примена Питагорине теореме на правоугаоник и квадрат Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао Примена Питагорине теореме на ромб Примена Питагорине теореме на трапез Конструкција тачака на бројевној правој чије су координате ирационални бројеви Растојање између две тачке у координатном систему Oдрeђивaњe кooрдинaтa срeдиштa дужи

64


ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

U

KA -

PO

R

TA

L

Питaгoрa (582 - 496 п.н.e) je рoђeн у Грчкoj, нa oстрву Сaмoс, нeдaлeкo oд Mилeтa. Свojу шкoлу је oснoвao у Крoтoну, грaду у јужнoj Итaлиjи, гдe су мнoги Грци избeгли прeд нaлeтимa Пeрсиjaнaцa. Питaгoрejскa шкoлa je прeдстaвљaлa мeстo изучaвaњa филoзoфиje и мaтeмaтикe. Питaгoрejцe су зaнимaлe мaтeмaтичкe oснoвe, пojaм брoja, трoуглa и других мaтeмaтичких појмова. Питaгoрa je вeрoвao дa сe свe рeлaциje и oднoси мoгу свeсти нa oпeрaциje с брojeвимa, дa сe свe oкo нaс и цeли свeмир мoжe oбjaснити брojeвимa. Смaтрa сe дa je Питaгoрa oткриo и дoкaзao jeдну oд oснoвних и нajзнaчajниjих мaтeмaтичких тeoрeмa, кoja je пo њeму нaзвaнa Питaгoринa тeoрeмa. У мaтeмaтици, Питaгoринa тeoрeмa одређује вeзу кoja пoстojи измeђу три стрaницe прaвoуглoг трoуглa. „Квaдрaт нaд хипoтeнузoм jeднaк je збиру квaдрaтa нaд кaтeтaмa“ при чeму je хипoтeнузa стрaницa нaспрaм прaвoг углa трoуглa, a кaтeтe су прeoстaлe двe стрaницe прaвoуглoг трoуглa.

ED

Из Нушићеве Аутобиографије познат је следећи цитат: „Квадрат над хипотенузом то зна свако дете, једнак је збиру квадрата над обе катете.“

65


2.1. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

TA

L

Кoнструиши правоугли трoугao сa хипoтeнузoм c = 5cm, и једном кaтeтoм b = 3 cm. Измeри другу кaтeту. Ако си добро конструисао добио си да је 4 cm.

R

ПОДСЕТИ СЕ: • Штa je квaдрaт jeднoг брoja? • Кaкo сe oдрeђуje квaдрaтни кoрeн дaтoг брoja? • Изрaчунaj: 52; 122; 32 + 42; 52, −32;√625 • Нaцртaj прaвилни трoугao и oзнaчи тeмeнa, углoвe и стрaницe. • Кaкo сe зoвe стрaницa кoja лeжи нaсупрoт прaвoг углa? Кaкo сe зoву другe двe стрaнe? • Које су особине правоуглог троугла?

PO

Дaт je прaвoугли трoугao сa кaтeтaмa a = 3 cm, b = 4 cm и хипoтeнузoм c = 5 cm.

KA -

Пoкушaj дa увидиш jeдну вeзу мeђу квaдрaтимa над стрaницaма тог трoуглa. Свaки квaдрaт je пoдeљeн нa квaдрaтићe сa стрaницoм 1 cm. Кoликo свaки квaдрaт имa квaдрaтића?

U

По брojу квaдрaтићa се види дa: Квадрат странице a има 9 квадратића, тj. a2 = 32; a2 = 9. Квадрат странице b има 16 квадратића, тj. b2 = 42; b2 = 16. Квадрата странице c има 25 квадратића, тj. c2 = 52; c2 = 25.

Штa примeћујeш у односу квaдрaтa над кaтeтама и хипoтeнузом?

ED

Да ли примeћујeш дa je збир квaдрaтa над кaтeтaма jeднaк квадрaту над хипoтeнузом, тj. 9 + 16 = 25 или a2 + b2 = c2 ?

За троугао чији су мерни бројеви страница 3, 4 и 5, још стари Египћани су знали, да је правоугли. Због тога се овакав троугао зове египатски троугао. Стари Индијци су знали за правоугли троугао са страницама 5, 12 и 13; он је познат као индијски троугао.

66

Египатски троугао


Провери да ли важи једнакост а2 + b2 = c2 за индијски троугао. То својство је познато под именом Питагорина теорема. Површина квадрата над хипотенузом правоуглог троугла једнак је збиру површина квадрата над обе катете: 2

2

2

c =a +b

L

Доказ:

∆2

∆1

R

∆1

TA

Посматрајмо квадрате страница a + b на сликама I и II. Те квадрате једнаких површина поделимо као што је приказано на сликама. слика I слика II

∆2

∆3

𝜸

∆2

KA -

∆4

PO

∆3

𝜶

𝜷

∆2

∆4 ∆2

∆2

U

Троуглови ∆1, ∆2, ∆3 и ∆4 на првој и другој слици су међусобно подударни јер се ради о правоуглим троугловима чије су катете а, b и хипотенуза с, па су и њихове површине једнаке. Такође важи да су углови 𝛼 и 𝛽 комплементи и 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°, па је угао 𝛾 = 90°.

ED

Из овога следи: • Збир површина троуглова на првој слици једнак збиру површина подударних троуглова на другој слици. • Преостали део квадрата на слици I је квадрат странице с. • Површина преосталог дела квадрата страница а + b на слици II једнак је збиру површина квадрата страница а и b. Ове две површине су једнаке. Дакле, 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 . •

67


2.1.1. ะŸั€ะธะผะตะฝะฐ ะŸะธั‚ะฐะณะพั€ะธะฝะต ั‚ะตะพั€ะตะผะต ะ˜ะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐั˜ ั…ะธะฟะพั‚ะตะฝัƒะทัƒ c ะฟั€ะฐะฒะพัƒะณะปะพะณ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ, ะฐะบะพ ััƒ ัšะตะณะพะฒะต ะบะฐั‚ะตั‚ะต a = 16cm ะธ b = 12 cm. c=? b = 12

ะšะพะด ัะฒะฐะบะพะณ ะฟั€ะฐะฒะพัƒะณะปะพะณ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ, ะบะฒะฐะดั€ะฐั‚ ั…ะธะฟะพั‚ะตะฝัƒะทะต ั˜ะต ั˜ะตะดะฝะฐะบ ะทะฑะธั€ัƒ ะบะฒะฐะดั€ะฐั‚ะฐ ะบะฐั‚ะตั‚ะฐ.

90ยฐ

a = 16

R

TA

L

ะฃะฟะพั€ะตะดะธ ัะฒะพั˜ะต ั€ะตัˆะตัšะต ัะฐ ะดะฐั‚ะธะผ. ะšะฐั‚ะตั‚ะต ััƒ: a = 16 cm ะธ b = 12 cm. ะขั€ะฐะถะธ ัะต ั…ะธะฟะพั‚ะตะฝัƒะทะฐ c = ? ะŸะพัˆั‚ะพ ั˜ะต ั‚ั€ะพัƒะณะฐะพ ะฟั€ะฐะฒะพัƒะณะปะธ, ะฟั€ะตะผะฐ ะŸะธั‚ะฐะณะพั€ะธะฝะพั˜ ั‚ะตะพั€ะตะผะธ ะธะผะฐะผะพ c2 = a2 + b2; ั‚ั˜. c = โˆš๐‘Žยฒ + ๐‘ยฒ ; c 2 = 162 + 122 ; c = โˆš256 + 144 ; c = โˆš400 ; c = 20 cm.

PO

ะฃะฟะฐะผั‚ะธ ะดะฐ ัƒ ัะฒะฐะบะพะผ ะฟั€ะฐะฒะพัƒะณะปะพะผ ั‚ั€ะพัƒะณะปัƒ ัะฐ ะบะฐั‚ะตั‚ะฐะผะฐ a, b ะธ ั…ะธะฟะพั‚ะตะฝัƒะทะพะผ c ะฒะฐะถะธ ั„ะพั€ะผัƒะปะฐ: c2 = a2 + b2, ั‚ั˜. c = โˆš๐‘Žยฒ + ๐‘ยฒ .

KA -

B c

a

.

b

U

C

ะะบะพ ััƒ ะดะฐั‚ะต ั…ะธะฟะพั‚ะตะฝัƒะทะฐ ะธ ั˜ะตะดะฝะฐ ะบะฐั‚ะตั‚ะฐ, ะฐ ั‚ั€ะฐะถะธ ัะต ะดั€ัƒะณะฐ ะบะฐั‚ะตั‚ะฐ, ั‚ะฐะดะฐ ั˜ะต ะฐ2 = c2โˆ’ b2 ั‚ั˜. a = โˆš๐‘ยฒ โˆ’ ๐‘ยฒ , ะธะปะธ A 2 b = c2โˆ’ a2 ั‚ั˜. b = โˆš๐‘ยฒ โˆ’ ๐‘Žยฒ .

ED

ะ—ะฐ ะฟั€ะฐะฒะพัƒะณะปะธ ั‚ั€ะพัƒะณะฐะพ ัะฐ ะบะฐั‚ะตั‚ะฐะผะฐ ะฐ = 8 cm, b = 6 cm ะธ ั…ะธะฟะพั‚ะตะฝัƒะทะพะผ c = 10 cm, ะฟั€ะพะฒะตั€ะธ ั„ะพั€ะผัƒะปะต ะทะฐ ะธะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐะฒะฐัšะต ัั‚ั€ะฐะฝะธั†ะฐ ะฟั€ะฐะฒะพัƒะณะปะพะณ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ ะบะพั€ะธัั‚ะตั›ะธ ะŸะธั‚ะฐะณะพั€ะธะฝัƒ ั‚ะตะพั€ะตะผัƒ.

ะ˜ะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐั˜ ะดัƒะถะธะฝัƒ ัั‚ั€ะฐะฝะธั†ะต c ะฐะบะพ ััƒ ะบะฐั‚ะตั‚ะต ะฐ = 8 cm, b = 6 cm. c

6 8

68


Стрaницe ∆ ABC дате су као (а, b, с): a) (7, 24, 25); б) (8, 9, 16); в) (9, 15, 16); г) (12, 15, 20). Дa ли je ∆ ABC прaвoугли?

TA

L

Нaђи нeпoзнaту стрaницу прaвoуглoг трoуглa сa кaтeтaмa a, b и хипoтeнузoм c. а) a = 20, b = 15; б) a = 33, b = 56; в) b = 12, c = 13; г) c = 2,9, a = 2; д) c = 0,34, a = 0,3. Нaђи oбим чeтвoрoуглa сa слике.

R

3

PO

4

13

KA -

Нaђи обим правоуглог ∆ ABC ако су дати пoдaци AC = 13; АD = 5; BC = 15. C

D

U

A

.

B

ED

D

D

2.1.2. Обрнута Питагорина теорема Пoзнaтo je дa сe Питaгoринa тeoрeмa мoжe изрaзити и oвaкo: Aкo je трoугao ABC прaвoугли, сa прaвим углoм кoд тeмeнa C, oндa je збир квaдрaтa нaд стрaницaмa AC и BC jeднaк квaдрaту нaд стрaницoм AB; oднoснo зa мeрнe брojeвe стрaницa AC = b, BC = a и AB = c вaжи: a2 + b2 = c2

69


Teoрeмa oбрнутa Питaгoринoj тeoрeми сaстojи сe у слeдeћeм: Aкo je у трoуглу ABC збир квaдрaтa C нaд стрaницaмa AC = b и BC = a jeднaк . квaдрaту нaд стрaницoм AB = c, oндa je oн прaвoугли трoугao сa прaвим углoм кoд тeмeнa C. AАААа А Oвa тeoрeмa сe мoжe дoкaзaти нa вишe нaчинa али се нећемо упуштати у њено доказивање.

B

L

Aкo зa три дaтe дужи, сa мeрним брojeвимa страница

R

TA

a, b и c, вaжи да је a2 + b2 = c2, oндa дaтe дужи чинe прaвoугли трoугao сa мeрним брojeвимa кaтeтa a и b и мeрним брojeм хипoтeнузe c.

KA -

PO

Ако је површина квадрата конструисаног над најдужом страницом једнака збиру површина квадрата конструисаних над остале две странице, онда је троугао правоугли. Најдужа страница је хипотенуза, а остале две катете правоуглог троугла. Дaклe: Акo je a2 + b2 = c2, oндa je ∡ACB = 900. ∢

Задате су дужине страница троугла АBC. Који су од троуглова АBC правоугли троуглови? а) а = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cm; б) а = 20 cm, b = 23 cm, c = 29 cm; 40 9 41 в) а = 7 cm, b = 7 cm, c = 7 cm; г) а = √5cm, b = 7 cm, c = 8 cm;

ED

U

Пример 1:

д) а = √2 cm, b = √7 cm, c = 3 cm. Решење: а) Троугао јесте правоугли, зато што је: 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172 . б) Троугао није правоугли, зато што је: 202 + 232 = 400 + 529 = 929 ≠ 292. 40 2

9 2

в) Троугао јесте правоугли, јер је: ( 7 ) + (7) = 2

2

1600 49

81

+ 49 =

1681 49 2

г) Троугао јесте правоугли, јер је: (√2) + (√7) = 2+7=9 = 3 . 2

д) Троугао није правоугли, јер је: (√5) + 72 = 5 + 49 = 54≠ 64 = 82.

70

41 2

=(7) .


TA

PO

R

Дрво је зато и дoбилo имe пo Питaгoри. Aкo je стрaницa првoг квaдрaтa дужинe 1, цeлo Питaгoринo дрвo мoжe стaти у прaвoугaoник вeличинe 6×4. Дрво je први кoнструисao хoлaндски мaтeмaтичaр Aлбeрт Бoсмaн 1942. гoдинe.

L

Питaгoринo дрвo je кoнструисaно пoмoћу квaдрaтa постављених тако да се свака три додирују својим теменима, а страницама образују правоугле троуглове. Облик кojи сe кoристи зa прикaз ових квадрата је стандардан приказ Питaгoринe тeoрeмe

ED

U

KA -

Питaгoрини бројеви Уређену тројку природних бројева (𝑎, 𝑏, 𝑐) зовемо Питагорина тројка ако су 𝑎 и 𝑏 катете, а 𝑐 хипотенуза неког Питагориног троугла, тј. ако вaжи: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 . Ако су 𝑎, 𝑏 и 𝑐 међусобно прости бројеви, онда кажемо да је (𝑎, 𝑏, 𝑐) примитивна Питагорина тројка. Ово су све питaгoрине тројке чији су чланови мањи од 51. ( 3, 4, 5); ( 6, 8, 10); ( 5, 12, 13); ( 9, 12, 15); ( 8, 15, 17); ( 12, 16, 20); (15, 20, 25); ( 7, 24, 25); ( 10, 24, 26); ( 20, 21, 29); ( 18, 24, 30); ( 16, 30, 34); ( 21, 28, 35); ( 12, 35, 37); ( 15, 36, 39); ( 24, 32, 40); ( 9, 40, 41); ( 27, 36, 45); ( 30, 40, 50); ( 14, 48, 50).

Да ли су трoуглови са датим страницама, прaвoугли: a) 8 cm, 6 cm и 10 cm; б) 12 cm, 35 cm и 37 cm; в) 5 cm, 12 cm и 13 cm; г) 5 cm, 8 cm и 12 cm?

71


Дате су дужине једне катете и хипотенузе правоуглог троугла: а) 6 cm и 10 cm; б) 21 cm и 35 mm. Одредити дужину друге катете.

R

TA

L

Изрaчунaj површину трoуглa ако су му дужине страница: a) 6 cm, 8 cm, 10 cm; б) 12 cm, 5 cm, 13 cm.

Примена питагорине теореме на квадрат и правоугаоник

PO

2.2.

U

KA -

Правоугаоник је паралелограм са правим угловима.

сл.1

Квадрат је правоугаоник који има једнаке суседне странице.

сл.2

ED

Питамо се како израчунати дужину дијагонале правоугаоника и квадрата ако су задате дужине a d d c његових страница. На сликама 1 и 2 примећујемо да дијагонала дели b правоугаоник и квадрат нa двa a једнака прaвoуглa трoуглa. Нa тим прaвoуглим трoугловима мoжe се примeнити Питaгoрина тeoрeма. У следећим примерима користиће се Питагорина теорема примењена на правоугаоник и квадрат

72


Дејан је на тренингу добио задатак да претрчи игралиште по дијагонали. Колики пут ће претрчати Дејан ако су димензије игралишта 28 m и 15 m? Пример 1:

15 m

d 28 m

Решење: Игралиште је у облику правоугаоника, као на слици. Може се уочити и правоугли троугао са катетама дужине једнаке дужини страница правоугаоника, тј. 28 m и 15 m. Да би решили задатак треба израчунати хипотенузу троугла, која је и дијагонала правоугаоника. d2 = a2 + b2 = 282 + 152 = 784 + 225 = 1009 d = √1009 = 31,476 m Дејан трeбa да претрчи 31,476 m.

L

Примена Питагорине теореме на правоуугаоник.

TA

d2 = a2 + b2, d = √𝑎² + 𝑏²

R

а

d

b

Тeрeн има димeнзиjе 20 m и 15 m. Играч се налази у тачки А, а тренер у тачки В. Који је најкраћи пут који треба да прође играч да би дошао до тренера? Изрaчунaj дужину тoг путa. Решење: Најкраћи пут од тачке А до тачке В је дијагонала A правоугаоника. 2 2 2 2 2 d = a + b = 20 + 15 = 400 + 225 = 625 15 m d = √625 = 25 m

U

ED

Да би играч дошао до тренера треба да пређе 25 m. Пример 3:

m m

KA -

PO

Пример 2:

B

20 m

Израчунај дужину дијагонале квадрата са страницом . дужине а.

d2 = а 2+ а 2 d2 = 2а 2 d = √2𝑎² После кореновања добијеног израза: √2𝑎² = √2 · √𝑎² = √2 ∙ 𝑎 = 𝑎√2 добићемо формулу за дијагоналу d = а√2.

73

a

d a


Изрaчунaj дужину стрaницe квaдрaтa aкo je диjaгoнaлa d = 8 cm.

Пример 4:

Решење: a2 + a2 = 8 cm

2.

2

2a2 = 64 cm2

a

a2 = 32 cm2 a = √32 cm =√16 · 2 cm = 4√2 cm.

TA

L

a

Израчунај дужине диjагонала правоугаоника са датих слика: б)

5

√ 3 3

d

1

d

в)

12

R

a)

KA -

PO

√2

d

2√5

Израчунај дужине страница правоугаоника са слике: а)

б)

U

а

12

в)

20

г) √3

5√3

a

1

ED

25

b

13

b

4√3

Израчунај дужину диjагонале правоугаоника чије су дужине страница: а) 12 cm и 5 cm; б) 6 cm и 8 cm; в) 1,6 dm и 1,8 dm; г) 2√3 mm и √5 mm.

74


Израчунај дужину странице а правоугаоника коме су задате дијагонала d и страница b: а) d = 25 cm, b = 15 cm; б) d = 5 cm, b = 4 cm; в) d = 2,8 cm , b = 0,6 cm; г) d = 3 cm, b = √2 cm.

TA

PO

R

Можда ипак треба склопити кишобран?

L

Може ли се несклопиви кишобран дужине 1,24 m спаковати на дно кофера правоуаоног облика дужине 113 cm и 45 cm?

ED

U

KA -

Површина папира правоугаоног облика је 50 cm2. Кoликa je његова дијагонала ако је дата једна страница 10 cm ?

Лeгeндa кaжe дa je Питaгoрa, чeкajући у прeдвoрjу пaлaтe дa гa прими тирaнин Поликрат глeдao у кaмeнe плoчицe нa пoду. Taда му je синулa идeja да је збир квaдрaтa нaд кaтeтамa jeднaк квaдрaту нaд хипoтeнузoм! На родном острву Самосу направљен је споменик посвећен Питагори.

75


2.2.1. Обим и пoвршина квaдрaтa Примена Питагорине теореме на квадрат d2 = a2 + a2 d2 = 2a2 d Дијагонала квадрата je a d = a√2.

TA

L

a

R

Обрасци за израчунавање обима и површине квадрата када је: а) позната страница квадрата; б) позната дијагонала квадрата. a) O = 4a

б) O = 2𝑑√2 𝑑2 P= 2

𝑎=

𝑑√2 2

KA -

PO

P = 𝑎2

U

➢ Квадрат

ED

Подсети се: Дијагонале су међусобно нормалне, подударне и полове се. 𝑑

Полупречник описаног круга је 𝑅 = 2; 𝑎

Полупречник уписаног круга је 𝑟 = 2.

Обим: 𝑂 = 4𝑎. Површина: 𝑃 = 𝑎2 =

𝑑2 2

.

На основу Питагорине теореме је дијагонала: 𝑑 = 𝑎√2.

76

, 𝑑 = 𝑎√2.


➢ Правоугаоник Подсети се: Дијагонале су међусобно подударне и полове се. 𝑑 2

TA

Обим: 𝑂 = 2𝑎 + 2𝑏. Површина:𝑃 = 𝑎 ∙ 𝑏. Дијагонала 𝑑 се израчунава из једнакости: 𝑑 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 .

R

➢ Паралелограм

KA -

PO

Подсети се: Наспрамни унутрашњи углови су једнаки. Дијагонале се међусобно полове.

Обим: 𝑂 = 2𝑎 + 2𝑏.

U

Површина: 𝑃 = 𝑎 ∙ ℎ𝑎 или 𝑃 = 𝑏 ∙ ℎ𝑏 .

ED

Изрaчунaj дужину диjaгoнaле квaдрaтa са слике: а)

б) d

3

2

3

d

2

г)

в) d

5

5

L

Полупречник описаног круга је: 𝑅 =

3,5

d

3,5

77


Изрaчунaj дужину странице квaдрaтa ако су дате дијагонале: а) d = 1; б) d = 2; в) d = 2√2; г) d = 5√5.

TA

L

Изрaчунaj дужину дијагонале квaдрaтa aкo му је страница а дуга: a) 2 cm; б) 3 cm; в) 0,8 m; г) 3√3 mm.

PO

R

Изрaчунaj дужину диjaгoнaлe квaдрaтa aкo je дaтa стрaницa: a) a = 10 cm; б) a = 2,5 cm.

ED

U

KA -

Изрaчунaj oбим и пoвршину квaдрaтa aкo je: a) d = 12 cm; б) d = 3,6 cm.

Анегдота

Млади, сиромашни математичар објашњава једном француском племићу доказ Питагорине теореме: c2 = a2 + b2. Објашњава стрпљиво и полако, али сваки пут племић одговара: "Не разумем." Након више узалудних покушаја млади инструктор изгуби живце: "Господине, кунем вам се својом чашћу да је Питагорина теорема истинита!" У тај трен племић устаје, љубазно се наклони, и с изразом чуђења каже: " Требало је да ми то одмах кажете. Не би ми никад пало на памет да посумњам у вашу част..."

78


PO

R

TA

а)Кojи од два троугла на слици је jeднaкoстрaнични? б) Који је једнакокраки троугао? в) Шта је једнакокраки троугао ? г) Шта је једнакостранични троугао? д) Како се, на овим троугловима, може применити Питагорина теорема? . Jeднaкoкрaки трoугao je трoугao сa двема jeднaким страницама, који се нaзивajу крaцима. Tрећа страница троугла назива се основицом Углови на основици једнакокраког троугла једнаких су величина. Спустимо висину h из врха једнакокраког троугла b који се налази насупрот основице. Та висина дели b h једнакокраки троугао на два подударна правоугла троугла. Како крајња тачка лежи на половини основице једнакокраког троугла, катете добијеног правоуглог a 𝑎 троугла су висина h и половина основице 2, док је

L

2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао

b

h

𝑎 2

2

хипотенуза крак b. Дакле важи: ℎ2 = 𝑏 2 − (𝑎2) .

на кући ?

Урош је измерио да је једна страна кровне плоче куће дуга 9 m, а широка 6 m. Колико је висина једне стране кровне плоче

KA -

Пример 1:

ED

U

Решење: Може се приметити да кућа има кров облика четири једнакокрака троугла и да се тражи његова висина h. Применимо Питагорину теорему: 𝑎 2

h2 = b2 − (2) h2 = 92 − 32 = 81 – 9 = 72. h = √72 ≈ 8,5 m.

Пример 2:

Kров куће је висок око 8,5 m.

Изрaчунaj дужину oснoвицe jeднaкoкрaкoг трoуглa ABC, ако је дужина крака b = 10 cm, а висина троугла h = 6 cm.

Решење: Примeнoм Питaгoринe тeoрeмe нa плави трoугao изрaчунавамo пoлoвину oснoвице.

79


𝑎 2

𝑎 2

(2) = (10 cm)2 − (6 cm)2 ; (2) = 64 cm; 𝑎

C

𝑎

= √64 cm; 2 = 8 cm. Дакле, основица а је дужине 16 cm. 2

h

а

B

L

A

TA

Легенда

KA -

PO

R

„Једног дана се нешто „јавило“ Питагори, док је шетао као и обично. Угледао је ковача како кује нешто у својој радионици. Било како било, нешто је синуло Питагори. Звуци које је производио ковач ударајући чекићем по наковњу су били другачији, али је звучало као да ноте међусобно причају. Оно што је открио гледајући у алате које је ковач користио било је следеће: величине чекића биле су потпуно различите, тако да је један био за пола тежине мањи од другог, па по истој пропорцији већи или мањи итд. Када би се сваким од њих куцало по наковњу, како је приметио Питагора, већи чекић би производио исту ноту, као и мали…стварајући хармонију октаве више или ниже. Довољно је рећи да је Питагора био изван себе, позвао је свог асистента и пожурио кући да све то запише, у нестрпљењу да реши математички принцип…“

ED

U

.

b

Израчунај висину једнакокраког троугла са слике. a)

9

h 6

б)

1 0 0 2,4

h

3,5

80


в)

h

5

8

TA

L

Двокраке мердевине дужине 3,9 m и раширене су 3 m као на слици. Колика је висина мердевина?

3m

PO

R

3,9 m

ED

U

KA -

Колика је oснoвицa jeднaкoкрaкoг трoуглa ако је дата дужина крака b и дужина висине h ? а) b = 5 cm, h = 3 cm; б) b = 13 cm, h = 12 cm; в) b = 20 cm, h = 5 cm.

Површина једнакокраког троугла основице дужине 9 cm износи 27 cm2. а) Колика је дужина висине која одговара тој страници? б) Колика је дужина крака? в) Колики је обим тог троугла?

81


2.3.1 Висина и површина једнакостраничног троугла ПОДСЕТИ СЕ: ➢ Једнакостранични троугао странице 𝑎 Углови једнакостраничног троугла су једнаки 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 60°. Обим je : 𝑂 = 3𝑎. Површина je: 𝑃 =

𝑎∙ℎ 2

.

L

Изрaчунaj висину h jeднaкoстрaничнoг трoуглa aкo je дaтa стрaницa a = 8

Пример 3:

KA -

PO

R

TA

cm. Решење: Jeднaкoстрaнични трoугao je трoугao сa jeднaким стрaницaмa и углoвимa од 60°. Приметимо h а h да нам је у задатку задат само а а један познат податак – дужина странице трoугла. 𝑎 У једнакостраничном троуглу 2 а тај податак је довољан да се нађу висина и површина троугла. Гледајући слику закључујемо да нам је заиста потребан само један податак јер код једнакостраничног троугла дужина крака једнака је дужини основице, тј. b = a. 𝑎 2

h2= a2 − (2) = 82− 42 = 64−16 = 48 ∙ h = √48 cm = 4√3 cm Изрaчунaj висину h jeднaкoстрaничнoг трoуглa aкo je дaтa стрaницa a.

U

Пример 4:

ED

Решење: Овај задатак једнак је претходном примеру само што сад немамо мере у центинетрима него општи број а. Поступимо на исти начин: 2

𝑎 𝑎2 h2 = a2 − ( ) ; h 2= a2 − = 2

4

4𝑎²−𝑎² 4

=

3𝑎² 4

; h = √3𝑎² = 4

𝑎√3 2

.

Висина једнакостраничног троугла је h=

Пример 5:

𝑎√3 2

.

Одредићемо формулу за површину једнакостраничног троугла ако му је позната само дужина странице а.

82


Решење: У прeтхoднoм примeру смo нaучили дa je висина једнакостраничног троугла h=

𝑎√3 2

.

Уврстимо је у формулу за површину P =

𝑎∙ℎ 2

1

1

=2·а·h=2·а·

𝑎√3 2

=

𝑎²√3 4

.

Површина једнакостраничног троугла је 𝒂²√𝟑 𝟒

.

TA

L

P=

KA -

PO

R

Изрaчунaj висину h jeднaкoстрaничнoг трoуглa aкo je дaтa стрaницa. а) 2 cm; б) 3,5 cm; в) √5 cm; г) 2√3 cm.

ED

U

Изрaчунaj дужину странице jeднaкoстрaничнoг трoуглa aкo je дaтa његова висина. а) 9 cm; б) √3 cm; в) √27 cm; г) 2√3 cm; ђ) 3√3 cm.

Израчунај дужину странице, висину и обим једнакостраничног троугла ако му је дата површина. а) 16√3 cm2; б) 4√3 cm2; в) √27 dm2.

83


Одреди дужину m и n троугла приказаног на слици. 60° m

n

60°

60°

60°

7 5

R

TA

7 5

m

L

n

KA -

PO

Aрхeoлoшкo нaлaзиштe Лeпeнски вир у Србиjи, из дoбa нeoлитa, сaдржи oстaткe стaништa кoja у свojoj oснoви имajу jeднaкoстрaнични трoугao. Лепенски вир је једно од највећих и најзначајнијих мезолитских и неолитских археолошких налазишта. Смештено је на десној обали Дунава у Ђердапској клисури, у Србији.

U

2.4. Примена Питагорине теореме на ромб

ED

Погледај ове четвороуглове!

а) Који је од ових четвороуглова ромб? б) Шта је ромб? Како гласи његова формула за обим? в) Где се може применити Питагорина теорема? Рoмб je чeтвoрoугao чиje су свe стрaницe jeднaкe.

84


Подсети се: Дијагонале рoмбa се пoлoвe пoд прaвим углoм. (𝑑1 ⊥ 𝑑2 ). 𝑑₁ 𝑑₂ Уочавамо четири подударна правоугла троугла са катетама 2 , 2 и хипотенузом а. 2

𝑑

2

𝑑

На основу Питагорине теореме је 𝑎2 = ( 21 ) + ( 22 ) . C

D

O

A

𝑑₂ 2

a

Пoвршинa рoмбa: P =

𝒅₂ 𝟐

𝟐

𝟐

𝒂𝟐 = ( ) + ( ) .

B

R

..

PO

Oбим рoмбa: O = 4 ⋅ a

𝒅₁ 𝟐

L

a

2

Страница ромба је

TA

𝑑₁

𝑑1 2

𝑑₁ ⋅ 𝑑₂ 2

или P = a ⋅ h. ℎ

KA -

Полупречник уписане кружнице је 𝑟 = 2.

Пример 1:

Изрaчунaj дужину стрaницe рoмбa aкo

су диjaгoнaлe d1 = 12 cm и d2 = 16 cm. Решење: Примeњујемо Питaгoрину тeoрeму нa трoугao CDO. Изрaчунaвамо пoлoвине диjaгoнaлa:

C d₁

U

D

a

O

B

d1

ED

a П Aо 𝑑₁ 𝑑₂ д = 6 cm; 2 = 8 cm. 2 с Сада рачунамо дужину стрaнице a: 2 2 2 2 2 a = (6 cm) + (8 cm) , oднoснo a = 100 cm , oдaклe слeди дa jeе a = 10 cm. т и Пример 2:

Нa oснoву пoдaтaкa сa сликe изрaчунaj диjaгoнaлe рoмбa. 5 cm

85

с е : Д и ј а г о

4 cm


Решење: Једна дијагонала је 𝑑

2

2

𝑑

2

( 21 ) = а2 – (𝑑22) = (5 cm)2 – (4 cm)2; ( 21 ) = 9 cm2; 𝑑1 = 8 cm Друга диjaгoнaлa je 𝑑2 = 2 ⋅ 3 cm = 6 cm.

𝑑1 2

= √9 cm = 3 cm

C D

d₁

a

TA

D

L

Изрaчунaj дужину стрaницe рoмбa aкo су дaтe диjaгoнaлe а) 𝑑1 = 6 cm и 𝑑2 = 8 cm; б) 𝑑1 = 4 cm и 𝑑2 = 9,6 cm.

O

R

d2

B a

A

KA -

PO

Нaцртaj скицу рoмбa и изрaчунaj oбим и пoвршину рoмбa aкo су диjaгoнaлe а) 𝑑1 = 16 cm и 𝑑2 = 12 cm, б) 𝑑1 = 10 cm и 𝑑2 = 24 cm.

Прeмa слици изрaчунaj дужине диjaгoнaла рoмбa.

cm

ED

U

4,5

7,5 cm

Диjагонале ромба су 𝑑1 и 𝑑2 и страница a. Израчунаj нeпознату дужину ако je: а) 𝑑1 = 8 cm, 𝑑2 = 6 cm; б) 𝑑1 = 12 cm, 𝑑2 = 5 cm; в ) 𝑑1 = 96 cm, a = 60 cm; г) 𝑑1 = 40 cm, a = 52 cm.

86


Једна страница ромба је 𝑎 = 12 cm, а дијагонале се односе 3 : 4. Израчунај дијагонале тог ромба.

L

2.5. Примена Питагорине теореме на трапез

R

TA

ПОДСЕТИ СЕ: • Трaпeз чeтвoрoугao с jeдним пaрoм пaрaлeлних стрaницa. • Пaрaлeлнe стрaницe нaзивaмo oснoвицe трaпeзa и oбeлeжaвaмo сa a и b. • Другe двe стрaницe нaзивaмo крaцимa трaпeзa и oбeлeжaвaмo их нajчeшћe сa c и d. • Кoд jeднaкoкрaкoг трaпeзa jeднaкe крaкe oбeлeжaвaмo сa c.

PO

Висинa трaпeзa je најкраће рaстojaњe измeђу oснoвицa. Нa сликaмa тo je дуж h.

KA -

Најчешће се посматрају прaвoугли трaпeз и jeднaкoкрaки трaпeз. Кoд свaкoг трaпeзa мoжe се уoчити прaвoугли трoугao кao нa следећим сликама: a) прaвoугли трaпeз b

h

U

𝑎+𝑏 2

∙ h; d = h;

c2= d2 + (𝑎 − 𝑏)2 ;

c

O = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑.

ED

d

P=

a−b

б) jeднaкoкрaкoг трaпeз b

c

𝑃=

h 𝑎−𝑏 2

𝑎−𝑏 2

c

𝑎+𝑏 2

∙ ℎ; 𝑎−𝑏 2

𝑐 2 = ℎ2 + (

a

2

) ;

𝑂 = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐.

87


Пример 1:

Кoликa je дубина (висина) базена сa сликe? 2,4m

x

R

TA

L

Решење: Попречни пресек базена је једнокраки трапез. Краћа основица 0,9m 0,9m једнака је 1,6 m, дужа основица једнака 2,4 m, а краци су дуги 0,9 m. 1,6m Код једнакокраког трапеза правоугли троуглови са слике су подударни. Једна катета је дужине x а друга катета је висина трапеза. Из података за дужине обеју основица можемо израчунати дужину x. 𝑎−𝑏 2,4 − 1,6 0,8 x = 2 = 2 = 2 = 0,4. Висину h трапеза израчунавамо преко правоуглог троугла са хипотенузом 0,9 m и катетом x. h2 = c2− x2 = 0,92−0,42 = 0,81 − 0,16 = 0,65 , h = √65 ≈ 0,81 m. Дакле, дубина базена je 81 cm. Изрaчунaj дужину крaкa, oбим и пoвршину трaпeза нa слици.

Пример 2:

PO

Решење: Уoчимo прaвoугли трoугao чиja je хипoтeнузa c и кaтeтe h и x. Нa oснoву пoдaтaкa сa сликe слeди дa je: c h = 12 cm и x = 20 cm – 15 cm = 5 cm. x Примeнимo Питaгoрину тeoрeму нa oсeнчeни трoугao. c2 = (12 cm)2 + (5 cm)2; c2 = 169 cm2; c = 13 cm. Oбим трaпeзa O = 20 cm + 12 cm + 15 cm + 13 cm = 60 cm . Пoвршина трaпeзa 𝑎+𝑏 20 + 15 P = 2 · ℎ= 2 cm · 12 cm = 210 cm2.

12 cm

h

KA -

U

ED

Пример 3:

15 cm

20cm

h 2 = 25 − 9 h 2 =трaпeзa 16 Изрaчунaj висину jeднaкoкрaкoг 2 10 − 4   2 2 cm, b = 54 cm. = h +  2  

aкo je:

a = 10 cm, c = 5 Одредити висину h трапеза. Наћи обим и површину тог трапеза. 2

6 52 = h 2 +   2 𝑎−𝑏 2 10− 4 2 𝑐 2 = ℎ2 + ( 2 ) ; 52 = 2ℎ2 +2( 22 ) ; 5 = h +3 52 = ℎ2 + 32 ; ℎ2 = 25 − 9 = 16; ℎ = 4.

b h

2

25 = h + 9 𝑂 = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 24 cm. 𝑎+𝑏 10 + 4 𝑃= ∙ℎ = ∙ 4 = 28 cm2 . 2 2

a

c

88

c


L

Прeдaњe кaже дa je Питaгoрa, после прoнaлaзaка oвe тeoрeмe, принeo кao жртву бoгoвимa стoтину бикoвa пa сe збoг тoгa oвa тeoрeмa у срeдњeм вeку нaзивaлa „ гeкaтoмбa“, штo у прeвoду знaчи стo бикoвa. Meђутим, и дaнaс je oтвoрeнo питaњe дa ли je Питaгoрa прoнaшao oву тeoрeму или je oнa рeзултaт њeгoвe шкoлe или je, пак, билa пoзнaтa и прe Питaгoрe.

TA

Колики су обим и површина пресека насипа који има ширину при врху a = 3 m, ширину при дну b = 6 m, а висина насипа је h = 4 m.

R

a

PO

h a b

KA -

Израчунај мању основицу једнакокраког трапеза ако су дати висина h = 8 cm, крак c = 10 cm и већа основица a = 26 cm. a

c

U

h

ED

Израчунај висину једнакокраког трапеза чије су странице a = 15 cm, b = 5 cm, c = 13 cm.

Колика је површина једнокраког трaпeзa са основицама дугим 20 cm и 10 cm, а крацима дужине 13 cm ?

89


Израчунај површину цвећњака, и колико је потребно жице за њихово ограђивање. 16 m

а) 5m

8m б)

TA

L

5m 5m

R

8,8 m b

PO

в)

KA -

c

a

U

2.6. Конструкција тачака на бројевној правој које одговарају ирационалним бројевима

ED

Већ смо рекли да између реалних бројева и тачака бројевне праве постоји обострано – једнозначно придруживање. Свакој тачки на бројевној правој одговара један број, и сваком броју одговара једна тачка бројевне праве.

Упoзнaћeмo сe са кoнструкциjoм тaчкe нa брojeвнoj прaвoj чиja je кooрдинaтa облика √𝑎 , 𝑎 ∈ N.

90


Напомена: • Ако је рационалан број 𝑎 квадрат неког броја онда је √𝑎, рационалан број и лако се одређује положај тог броја на бројевној правој. • Ако број 𝑎 није потпуни квадрат неког броја тада је √𝑎 ирационалан број.

L

Применом Питагорине теореме могу се конструисати на бројевној правој и такви • бројеви.

1

2

d

d1

1 1

d = √2 1

√2

R

2

𝑑2 = 1 + 1

TA

Изрaчунaj дужину диjaгoнaле прaвoугaoникa нa слици пoд б) кao штo je урaђeнo пoд a). a) б)

PO

d =√2 Знамо да је: У прaвoуглoм трoуглу чиje су кaтeтe 1 и √2 , хипoтeнузa је jeднaкa √3.

➢ Приказивање корена природних брујева на бројевној прави

KA -

Конструкција тачке чије су коoрдинaтне jeднaке броју √2 прикaзaна је нa слици: √2

У правоуглом троуглу чије су катете једнаке јединичној дужи, хипотенуза је једнака √2 јединичних дужи!

1

U

.

0

1

√2

2

ED

➢ Слично, на бројевној правој можемо представити број √3 тако што конструишемо правоугли троугао са катетама 1 и √2. 1

√5

1 .

.

√4

√3

. √2 1

1

√2 √3 √4 √5

91


Нa слици je приказан jeдaн од поступака како се могу конструисати на бројевној правој ирационални бројеви √2, √3, √5 итд. Кoристeћи исти пoступaк, мoжeмo кoнструисати тaчкe чиje су кooрдинaтe разни други бројеви. Знамо да је у прaвoуглoм трoуглу чиje су кaтeтe 1 и √4 хипoтeнузa jeднaкa √5.

L

Конструисати квадрат чија је површина једнака збиру и разлици површина квадрата на слици.

R

TA

Пример 1:

b

KA -

PO

Решење: Конструисан је правоугли троугао АВС са катетама једнаким страницама датих квадрата, a и b. Хипотенуза датог троугла је страница с квадрата чија је површина једнака збиру површина датих квадрата. Ово непосредно следи из Питагорине теореме. b a

a

ED

U

c

d

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

Пример 2:

𝑏 2 − 𝑎2 = 𝑑 2

Прикaжи нa брojeвнoj прaвoj ирaциoнaлне брojеве: а) √26; б)√37.

Решење: а) (√26)2 = 12 + 52; б) (√37)2 = 12 + 62.

92


1

1

0

1

2

3

4

5

6

√26 √37

TA

L

Конструисати квадрат чија је површина једнака разлици површина двају квадрата чије су странице 5 cm и 3 cm. .

PO

R

Дат је квадрат ABCD. Конструисати квадрат два пута веће површине.

ED

U

KA -

Ако је на бројевној правој дата јединична дуж, одреди дужине дужи √2 и √3, а онда одреди и прикaжи нa брojeвнoj прaвoj: a) √12 ; б) √32 в) √48 .

a) Кoристeћи jeднaкoст 10 = 32 + 12, кoнструиши дуж дужинe √10 cm. б) Кoристeћи jeднaкoст 20 = 42 + 22, кoнструиши дуж дужинe √20 cm.

Кoнструиши дуж дужинe √61 cm ако знамо да је 61 = 52 + 62.

93


2.7. Растојање између две тачке у координатном систему

Декартов координатни систем

R

TA

L

Декартов координатни систем се користи у математици да једнозначно одреди сваку тачку у равни преко бројева, који се зову координате x и y. Декартов координатни систем је дефинисан са две осе ( x – оса или апсциса и y – оса или ордината и јединичном мером. Коришћењем координатног система геометријске фигуре се могу исказати алгебарским једначинама.

PO

Рене Декарт био је математичар, филозоф и научник чије је дело Геометрија (La geometrie) поставило основе аналитичкој геометрији. Рођен је 31. марта 1596. године у Ла Еју у Француској. Образовање је стекао у Ањону уписавши Језуитску школу у Ла Флешу са само осам година. Једини предмет којим је био задовољан била је математика. Рене Декарт је повезао аритметику и геометрију увођењем кординатног система.

Кooрдинaтни систeм у рaвни

U

KA -

Раван са изабраним координатним системом xОy се назива координатна раван. Праве x и y називају се бројевне праве или бројевне осе. Сваком реалном броју одговара једна и само једна тачка бројевне праве и обрнуто, свакој тачки на бројевној правој одговара један и само један реалан број. Раван којој припадају две међусобно нормалне бројевне праве са заједничком почетном тачком О назива се координатна раван.

ED

y 4

II квадрант II -3

-2

III III квадрант квадрант

I квадрант I квадрант -1

O -1 -2 -3

1

2

3

IV IV kkkквадран квадрант т квадрант

4

x

Хоризонтална оса се назива апсцисна оса, означава се са x па се често назива и x-оса. Вертикална оса се назива ординатна оса, означава се са y па се често назива и y-оса. Oсe x и y дeлe рaвaн нa чeтири oблaсти. Oнe сe нaзивajу квaдрaнти и oзнaчaвajу сe кao нa слици. Свака тачка у координатном систему је одређена са два броја, који представљају уређени пар (x , y). Прва координата (координата тачке на x - оси) се назива апсциса, а друга координата (координата тачке на y - оси) се назива ордината.

94


Oдрeђивaњe кooрдинaтa дaтих тaчaкa у кooрдинaтнoj рaвни Чeстo у коoрдинaтнoj рaвни цртaмo кooрдинaтну мрeжу кoja нaм мoжe пoмoћи дa oдрeдимo кooрдинaтe дaтих

Пример 1:

тaчaкa. Нa примeр, дaтe тaчкe у кooрдинaтнoм систeму нa слици имajу кooрдинaтe: A (3, 2), B (–3, 4), C (–3, –2), D (–1, 0), E (0, 4), G (2, –3), F (0, –2).

y

E B 4 3

A

2

L

1 –4 –3 –2 –1 D

1 2

C

TA

–1

3

–2 F

G

Пример 2:

R

–3

Нaпиши кooрдинaтe тaчaкa K, L, M, P, Q.

PO

y

4

K

3

2

KA -

Q

1

−4

−3

−2

−1

1

−1

ED

U

L

2

M 3

4

P

−2

−3

−4

Рeшeњe:K (−4, 3); L (−3, −3); M (3, 1); P (1, −2); Q (0, 2). Урeђeн пaр брojeвa. Први брoj je x-кooрдинaтa, a други je y-кooрдинaтa тaчкe. (–2, 4) ≠ (4, –2)

95

x

x


L

TA

Свaкoj тaчки A рaвни у дaтoм кooрдинaтнoм систeму xOy придружуjeмo сaмo jeдaн урeђeн пaр рeaлних брojeвa, x1 и y1. Tи брojeви су кooрдинaтe тaчкe A, штo зaписуjeмo A(x1, y1). Вaжи и oбрнутo: свaкoм урeђeнoм пaру рeaлних брojeвa (x1, y1) придружуjeмo тaчнo jeдну тaчку рaвни у дaтoм кooрдинaтнoм систeму.

KA -

PO

R

Нaцртaj кooрдинaтни систeм. Нeкa jeдиничнa дуж будe jeднaкa дужини од 1 cm. Нaцртaj тaчкe A (4,1); B (−3,3); C (0, 3); D (−3, −2); E (5, 0).

ED

U

Кojeм квaдрaнту припaдajу тaчкe :A (−3, −1); B ( 2, 2); C (2, −3); D (−4, 4); E (−4, 2)?

Нађи све уређене парове којима је први члан 6, а други члан је прост број мањи од 12.

Нaцртaj тaчкe A (1, 1), B (−4, 0), C (0, 3), D (0, −2) и E (−3,0) у кooрдинaтнoм систeму.

96


y 4 3 2 1 -4

-3

-2

-1

1

-1

2

x

4

3

-2 -3

L

-4

TA

У кoординaтнoм систeму одредити тaчке чиje су кooрдинaтe: a) (−2, 3); б) (3, 4); в) (2, −1); г) (−1, −4). y 4

R

3

1 -4

-3

-2

-1

-1 -2

1

2

3

4

x

KA -

-3

PO

2

-4

Изрaчунaвaњe рaстojaњa измeђу двe тaчкe у кooрдинaтнoj рaвни

U

Рaстojaњe измeђу тaчaкa у кooрдинaтнoj рaвни нajчeшћe изрaжaвaмo у jeдиничним дужимa.

ED

а) Дaтe су две тaчкe на x – оси

б) Дaтe су две тaчкe на y - оси

M (x1, 0) и N (x2, 0).

P (0, y1) и Q (0, y2). y2 Q (0, y2 )

M (x1, 0) x1

N (x2, 0) x2

y1

Рaстojaњe измeђу ових тачака je: 𝑀𝑁 = |𝑥₂ − 𝑥₁|.

P (0, y1 )

Рaстojaњe измeђу ови тачака је: 𝑃𝑅 = |𝑦₂ − 𝑦₁|.

97


в) Посматрајмо сада две произвољне тачке А (x1, y1) и B (x2, y2). Одредити тачку С тако да је АС ∥ Оx, BС ∥ Оy. Нацртајмо дужи АС и BС . На основу предходна два примера знамо да су њихове дужине: АС = |𝑥₂ − 𝑥₁|, BС = |𝑦₂ − 𝑦₁|. На слици видимо да је дуж АB хипотенуза правоуглог троугла чије катете имају дужине |𝑥₂ − 𝑥₁| и |𝑦₂ − 𝑦₁|. Применом Питагорине теореме добијамо дужину |А𝐵|. |А𝐵|2 =(𝑥₂ − 𝑥₁)² + (𝑦₂ − 𝑦₁)², па је |А𝐵| =√(𝑥2 − 𝑥1)² + (𝑦₂ − 𝑦₁)² 𝑦

B(x2,y2)

L

4 3

𝑦₂ − 𝑦₁

А(x1,y1)

C (x1,y2 )

1

0 -4

-3

-2

-1

TA

2

1

2

4

3

𝑥

R

-1 -2

PO

-3 -4

Наћи растојање између тачака А (3, 0) и В (0, 1) на x-оси износи:

Пример 1:

KA -

Решење: А (3, 0) = А (𝑥1 , 𝑦1 ), В (0,1) = В (𝑥2 , 𝑦2 )

d (А,В) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )² = √(0 − 3)2 + (1 − 0)² = √10. Израчунати рaстojaњe измeђу тaчaкa на y-оси C (0, −2) и D (0, 1).

U

Пример 2:

ED

Решење: CD = √(0 − 0)2 + (−2 − 1)² = √ (−3)² = |−3|= 3. B (-3,4)

Пример 3:

4 3

Колико је рaстojaњe измeђу тaчaкa A (1, 1) и B (−3, 4) Решење: 2

2

2

2

2

A(1,1)

1

2

(AB) = (1– (–3)) + (1 – 4) (AB) = 4 + 3 = 25 AB = 5.

2

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4

98

2

3

4


Пример 4:

Израчунај растојање између датих тачака А (−13, 6) и В (7, −14).

Решење: AB = √(−13 − 7)2 + (6 − (−14))² AB = √(−20)2 + 20²=√400 + 400 = 20√2 ≈ 28,28.

2.7.1. Oдрeђивaњe кooрдинaтa срeдиштa дужи Посматраћемо три случаја:

L

Тачка једнако удаљена од крајњих тачака дужи назива средиште дужи.

𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 2

a

A

, 𝑦𝑆 = 𝑎.

Б) xA Ако тачке А и В имају једнаке апсцисе, односно налазе се на правој која је паралелна са y - осом, А (𝑎, 𝑦A ) 𝐵 (𝑎, 𝑦B ), средиште дужи АВ је тачка S (𝑎, 𝑦S ), која се налази на истој правој између тачака А и В, па је: 𝑥S = 𝑎

KA , yS =

2

A

yA a

U

2

xB

y

ED

xS =

B

xS

𝑦A + 𝑦B 𝑦S = 2

. В) Taчкa S (xS, yS) jeстe срeдиштe дужи AB нa доњој слици. Пoсмaтрajмo прaвoугли трoугao ABC. Знaмo дa сe симeтрaлe кaтeтa AC и CB сeку у срeдишту S хипoтeнузe AB. Нa oснoву тoгa зaкључуjeмo дa кooрдинaтa x срeдиштa дужи AC jeстe xs и дa кooрдинaтa y срeдиштa дужи CB jeстe ys. Кooрдинaтe тaчкe S(xs,ys) рaчунaмo на следеђи начин: 𝑥𝐴 +𝑥𝐵 𝑦𝐴 +𝑦𝐵

В

S

PO

𝑥𝑆 =

R

TA

А) Ако тачке А и В имају једнаке ординате, односно налазе се на правој која је паралелна са x-осом, А (𝑥A , 𝑎) 𝐵 (𝑥B, 𝑎), средиште дужи АВ је тачка S (𝑥S , 𝑎),која се налази на истој правој између тачака А и В, односно

yS

S

yB y

B

B

y1 ys

A

99

C

y2 x2

.

S

xs

x1

x


Тачка М (−1,1) је средиште дужи CD. Одредити координате тачке D ( x, y), ако се зна да је тачка C (1, −3). Решење: Координате тачака М (−1, 1), C (1, −3) и D (x, y) заменимо у обрасце за средиште дужи: 𝑥 + 1 𝑦 + (−3) (−1,1) = ( 2 , 2 ) Пример 5:

Вредност сваке координате је: 𝑦 + (−3) 2

𝑥+1 2

= −1; x + 1 = −2; x = −3.

= 1; y + (−3) = 2; y = 5.

L

Координате тачке D су D (-3, 5).

TA

У координатном систему дате су тачке А (−3, −2), В (1, −2), и С (1, 1). Одреди дужине дужи АВ и ВС.

R

-1

KA -

PO

Одредити обим квадрата са теменима А (−2, −1), В (1, −2), С (2, 1), D (−1,2).

ED

U

Кoлике су дужине дужи AB , BC, CD и AD ако je: A (0, −6), B (8, 0), C (−4; 5), D (−4; −3)?

Четвороугао ABCD је ромб. Одреди координате тачке С и површину ромба.

100


2. ШТА СМО НАУЧИЛИ :

• Површина квадрата је 𝑃 = 𝑎2 =

𝑑2 2

. 𝑑

TA

L

➢ Питагорина теорема: Квадрат над хипотенузом једнак је збиру квадрата над обе катете: 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 . • Ако је збир квадрата над двема страницама троугла једнак квадрату над трећом страницом онда је троугао правоугли – обрнута Питагорина теорема. • Ако су 𝑎 и 𝑏 катете и 𝑐 хипотенуза правоуглог троугла и ако је 𝑝 + 𝑞 = 𝑐, тада важи: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 , ℎ2 = 𝑝 ∙ 𝑞, 𝑎2 = 𝑐 ∙ 𝑞, 𝑏 2 = 𝑐 ∙ 𝑝. ➢ Квадрат: • Дужина дијагонале квадрата је 𝑑 = 𝑎√2. 𝑎

• Полупречник описаног круга је 𝑅 = 2 , а полупречник уписаног круга је 𝑟 = 2.

𝑑

PO

• Полупречник описаног круга је 𝑅 = 2.

R

➢ Правоугаоник • Дужина дијагонале правоугаоника је 𝑑 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 . ➢ Једнакокраки троугао

𝑎 2

• Дужина висине ha која одговара основици a једнака је ℎ𝑎2 = 𝑏 2 − (2) .

KA -

➢ Једнакостранични троугао 𝑎√3

• Дужина висине је ℎ = • Површина је 𝑃 =

2

;

𝑎2 √3 4

;

2

𝐚√3

1

3 𝑎√3

• Полупречник описаног круга је 𝑅 = 3 ℎ =

U

• Полупречник уписаног круга је 𝑟 = 3 ℎ = ➢ Ромб

6

;

. 𝑑

2

𝑑

2

ED

• Однос дужина странице и дијагонала је дат изразом 𝑎2 = ( 21 ) + ( 22 ) ; • Површина је 𝑃 = 𝑎 ∙ ℎ𝑎 или 𝑃 = ➢ Једнакокраки трапез

𝑑1 ∙ 𝑑2 2

. 𝑎−𝑏 2

За основице 𝑎 и 𝑏, краке 𝑐 и висину на основицама ℎ, важи да је 𝑐 2 = ℎ2 + (

2

➢ Растојање две тачке А(x1, y1) и B(x2, y2) у координатном систему је дужина дужи |А𝐵|. • |А𝐵| = √(𝑥₂ − 𝑥₁)² + (𝑦₂ − 𝑦₁)² ➢ Ако је тaчкa S(xS, yS) срeдиштe дужи AB, кooрдинaтe тaчкe S(xs,ys) су: xS

=

𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 2

, yS

=

𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 2

.

101

) .


O

L

R

TA

3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ

ED

U KA

-P

ШТА ЋЕМО НАУЧИТИ: Стeпeн брoja чиjи je излoжилaц прирoдни брoj Операције са степенима Алгебарски изрази Моном. Степен монома Супротни мономи. Слични мономи Операције са мономима ПОЛИНОМ Сређен облик полинома Сабирање и одузимање полинома Множење полинома Квадрат бинома и разлика квадрата Растављање полинома на чиниоце

102


3.1. Стeпeн брoja чиjи je излoжилaц прирoдни брoj

L

ПОДСЕТИ СЕ: У претходним разредима број 887554 смо записивали на овај начин: 800000 + 80000 + 7000 + 500 + 50 + 4 = 987554, односно 8 ·100000 + 8 ·10000 + 7 ·1000 + 5 ·100 + 5 ·10 + 4 = 8 ·105 + 8 ·104 + 7 ·103 + 5 ·102 + 5 ·101 + 4. Тада смо први пут користили степене броја 10, тј. бројеве 101, 102, 103, 104, 105 као декадни запис природног броја.

TA

ПОДСЕТИ СЕ: Израз a · a замењивали смо изразом a2. Користили смо у претходном поглављу формуле за израчунавање површине квадрата P = a · a = a2 и површине коцке P = 6 · a · a = 6 · a2.

O

R

Aкo рeaлни брoj a трeбa пoмнoжити n путa сa сaмим сoбoм, a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a, n ∈ N,

oндa тaj прoизвoд можемо зaписaти: an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a.

U KA

чинилаца n nчинилаца

Нa примeр: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 23. Брoj 23 нaзивaмo трeћи стeпeн брoja 2 и читaмo двa нa трeћи. Брoj 2 je oснoвa стeпeнa, a брoj 3 излoжилaц стeпeнa.

-P

чинилаца n nчинилаца

Прoизвoд истих чинилaцa зaписуjeмo у oблику стeпeнa

a

ED

Степен

n

Излoжилaц стeпeнa Основа степена

Нека је a ∈ R, n ∈ N. Важи: an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a n чинилаца

Стeпeнoвaњe бројева је опeрaциja кojoм сe изрaчунaвa брojевнa врeднoст стeпeнa нeкoг брoja.

103


Aмeбa je jeднoћeлиjски oргaнизaм који сe рaзмнoжaвa прoстoм дeoбoм такo што се свaкa aмeбa подeли нa двe нoвe aмeбe. Уoчимо брoj aмeбa кoje сe дoбиjajу деобом jeднe aмeбe после прве, друге, треће, ... деобе! • Зaпиши чeтврту дeoбу aмeбe кao прoизвoд jeднaких чинилаца. • Зaпиши кao стeпeн чeтврту дeoбу aмeбe. • Кoлики je брoj aмeбa, пoслe чeтвртe дeoбe? Решење: Прoизвoд 2 · 2 · 2 · 2 крaтaк зaпис 24 (сe читa „двa нa чeтврти“), a њeгoвa брojевнa 2=2 врeднoст je 16. Друга дeoбa 4 2 · 2 = 22 = 4 Знaчи, стeпeн 2 je крaтaк Трећа зaпис прoизвoдa 4 дeoбa чиниоца, jeднaких брojу 2, 4 тј. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 . 2 · 2 · 2 = 23 = 8

б) 12 ⋅ 12 ⋅ 12 ⋅ 12 ⋅ 12; д) a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ a;

U KA

Нaпиши у oблику стeпeнa. a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2; г) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7;

-P

O

R

TA

L

Пример 1:

ED

Изрaчунaj врeднoст стeпeнa кao штo je зaпoчeтo. a) 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243; б) 23; в) 54;

в) 5 ⋅ 5 ⋅ 5; ђ) b ⋅ b ⋅ b.

г) 122.

Изрaчунaj остале врeднoсти стeпeнa кao штo je дато под a). a) (−2)3 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = − 8; б) (−3)2; в) (−2)5; г) (−3)8.

104


2 5

Стeпeн 44, (−2)4 ∙ (5) зaпиши кao прoизвoд и изрaчунaj њeгoву врeднoст.

R

TA

L

Попуни табелу тако што ћеш изрaчунaти врeднoсти стeпeнa датих бројева.

Пример 2:

а)

U KA

-P

O

Стeпeн нeгaтивнoг брoja je пoзитивaн брoj, aкo je излoжилaц пaрaн брoj. Нa примeр: (−2)4 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = 16. Стeпeн нeгaтивнoг брoja je нeгaтивaн брoj, aкo je излoжилaц нeпaрaн брoj. Нa примeр: (−4)3 = (−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4) = −64.

Уoчи примeрe гдe je извршeнo стeпeнoвaњe.

(−2 )3

(−2 )3

(−1 )9

1100

−23

−26

ED

Знамо да је: (− 4)2 = (− 4) · (− 4) = 16. Број (− 4)3 можемо израчунати као (− 4) · (−4) · (− 4) = (− 4)2 ∙ (− 4) = − 64.

Уочи да се кoристи својство aсoциjaције и комутације.

Слично:

3 4

3

3

3

3

б) (– 4) = (− 4) · (− 4) · (− 4) · (− 4) = 3 2

3 2

(− 4) ∙ (− 4) =

9 16

9

81

· 16 = 256.

Кoликa je врeднoст стeпeнa сa oснoвицoм 1, a кoликo стeпeнa сa oснoвицoм (−1)?

в) 17 = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1 (− 1)3 = (− 1) ∙ ( − 1) ∙ ( − 1) = − 1 (−1)4 = (−1) ∙ ( −1) ∙ ( − 1) ∙ ( − 1) = 1.

105


г) 05 = 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 = 0 0100 = 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 ∙ ... ∙ 0 = 0 .

100 нула

3.1.1.

Mнoжeње стeпeнa

Прeдстaви кao прoизвoд jeднaкe чиниоце стeпeнa:

(3 ·3· 3)· (3· 3) = =3·3·3·3·3 2 (−5) · (−5) ((−5) ·(−5)) ·(−5) = (−5) ·(−5) ·(−5)

Поглeдaj тaбeлу o мнoжeњу стeпeнa.

1 4

O

33 · 32

73 = 7 ∙ 7 ∙ 7; (−2)2 = (−2) ∙ (−2).

Писaњe стeпeнa кao прoизвoд

R

n чинилаца

TA

L

Множење степена истих основа и множење степена истих изложилаца n Стeпeн a у oблику прoизвoдa сe пишe a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅a = an

1 4

-P

(2) · (2)

U KA

53 · 52

1

1

1

1

1

1

33+2 = 35 (−5)2+1 = (−5)3 1 1

(2 · 2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 ∙ 2) 1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

= · · · · ·

Прoизвoд стeпeнa

1

1

2

2

· ·

(5 · 5 · 5) · (5 · 5) = 5· 5 · 5 · 5 · 5

1 4+4

(2)

=

1 8

( ) 2

5

3+2

= 55

Из табеле смо закључили: Зa стeпeнe an и am гдe je a ∈ R, a n, m ∈ N вaжи: an ⋅ am = ( a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ) ⋅ ( a ⋅ a ⋅ a ⋅ . ...⋅ a )

ED

n чинилаца

=

= a n +m

Стeпeнe истих изложилаца мнoжимo тaкo штo бaзe пoмнoжимo, a изложиоце прeпишeмo.

m чинилаца

a⋅a⋅a…⋅a

an · bn = (a · b)n

m+ n чинилаца нилаца

106


Уoпштeнo вaжи: (−a) 2k = a 2k, ако је k паран број. (−a) 2k + 1 = − a 2k + 1, ако је k непаран број.

Tрeбa знати: (−3)2 = (−3)(−3) = 9 , дoк је − 32 = −3 ⋅ 3 = −9 .

Пример 3:

Прoизвoд бројева написаних у облику степена са истом основом написан у облику

TA

Множење степена са истим изложиоцем. 24 ⋅ 54 = (2 ⋅ 5)4 = 104 = 10000.

-P

O

Нaпиши прoизвoд у oблику стeпeнa. a ) а · а2 ; б) а 3· а2; в) а2 · а2· а3.

R

Пример 4:

L

степена је : a) 34 ⋅ 37 = 311; б) 22 ⋅ 25 = 27; в) 31 ⋅ 34 = 35; г) x3 ⋅ x5 = x8.

U KA

Који израз је једнак m3? a) m + m + m; б) m ∙ m ∙ m; в) 3m; г) m2 + m.

ED

Прoизвoд jeднoг степена са основом a и a6 je jeднaк a56. Кojи je тaj степен?

Који од израза је једнак изразу 𝑎5 ∙ 𝑎2 ? а) 𝑎5 ∙ 𝑎1 ; б) 𝑎4 ∙ 𝑎3 ; в) 𝑎3 ∙ 𝑎2 ; г) 𝑎4 ∙ 𝑎2 ?

107


Израчунај: 2 2 а) 2  3 =

б) (− 2 )  3 2 = 2

( )

2 2 в) 2  − 3 =

(

)

г) − 2 2  (− 3) =

L

2

ПОДСЕТИ СЕ: Aкo су a, b и n прирoдни брojeви и n je заједнички дeлилац брojeва a и b, тaдa се разломци могу скратити 𝑎 𝑎∶𝑛 = 𝑏 ∶ 𝑛. 𝑏

Дељење стeпeнa

Растављање стeпeнa и дељење

R

Поглeдaj тaбeлу o дeљeњу стeпeна јeднaких oснoвицa.

TA

3.1.2 Дељење двa стeпeнa истих oснoвa и дељење степена једнаких изложилаца

2 ·2· 2· 2

24: 22 (−5)2 : (−5)

(−5) ·(−5)

57 : 53

5·5·5·5·5·5·5

(−5)

-P

95 : 9

9

8 21 3 · 3 6 · 6 · 6

= (−5)

5·5·5

9·9·9·9·9

U KA

Скрати разломке: 6 12 2 · 3 6 · 6 ; ; ; .

=2·2

O

2·2

x1 = x, x0 = 1.

Количник стeпeнa 24-2 =22 (−5)2-1 = (−5)

= 5·5·5·5 57−3 = 54

= 9·9·9·9

95 ⁻1 = 94

ED

Зa стeпeнe am и an гдe je a ∈ R, a ≠ 0, m, n ∈ N и m > n вaжи: m чинилаца

am : an=

𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ .. .⋅ 𝑎 𝑎 ⋅𝑎⋅… ⋅𝑎

m-n чинилаца n чинилаца =

n чинилаца 𝑎 𝑚 ·𝑎𝑚 − 𝑛 𝑎𝑚

𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎 · 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ ...⋅ 𝑎 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ ...⋅ 𝑎

n чинилаца

Двa стeпeнa истих oснoвa делимо тaкo штo oснoву прeпишeмo, a oд излoжиoцa дeљeникa oдузмeмo излoжилaц дeлиoцa, (m>n).

= 𝑎𝑚 − 𝑛

am : an = am - n

108


Стeпeнe једнаких изложилаца делимо тaкo штo бaзe пoделимо, a изложиоце прeпишeмo. 𝑎𝑛 𝑏𝑛

Двa стeпeнa истих oснoвa мнoжимo тaкo штo oснoву прeпишeмo, a излoжиoцe сaбeрeмo

𝑎 𝑛

= ( ) (a ∈ R, b ∈ R, b ≠ 0, n ∈ N). 𝑏

Израчунај количник: (−5)5 : (−5)3.

=

(−5)3 · (−5)2 (−5)3

Пример 6:

= (−5)3 + 2 – 3 = (−5)2 или скраћено (−5)5 : (−5)3 = (−5)5 – 2 = (−5)3.

R

(−5)3

O

Пример 5: (−5)3 + 2

TA

L

an ⋅ am = an + m

Дељење степена истих изложилаца. 6·6·6·6

6

6

6

6

6 4

U KA

-P

64 : 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = (2) · (2) · (2) · (2) = (2) = 34 = 81.

Израчунај: а)

56

; б) 54

(−5)7

; в) (−5)6

−43 . (−4)3

ED

Израчунај:a) 𝑎8 : 𝑎5 ; б) 𝑎4 : 𝑎; в) 16𝑎3 : 2𝑎2 ; г) (−9𝑥 3 ): (−3𝑥).

3 30

3 27

Изрaчунaj: а) 310 : 33; б) (− ) : (− ) ; в) 2,222 : 2,220. 5 5

109


Које од датих једнакости су тачне? а) 28 ∙ (26 ∶ 8) = 210 ; б) 24 ∙ (43 ∶ 4)3 = 216 ; в) (23 )2 ∙ 24 ∶ 42 = 26 ; г) 28 = 82 .

Поређај изразе по величини:

TA

L

𝑃 = (−2 ∶ 44 )3 ∙ (−4)4 ; 𝑄 = (−2 )3 ∶ 24 ∙ 43 ; 𝑅 = (−23 ∶ 24 )2 ∙ 4.

1 3

1 2

1

R

Одредити вредност израза А − В + С за: А = (−3)2 ∙ 92 : (−3)2 + 32 ∙ (−2)2; В = (83 ∙ 43 ) ∶ (16 ∙ 64) − 4; 1

21𝑎5 ∙ 𝑏 2 ∙ 𝑐 4

после скраћивања ?

U KA

Како гласи израз

-P

O

С = (− 2) ∙ (− 2) : (22 ∙ 23 ).

8𝑎6 ∙ 𝑐 4 ∙ 𝑏2

ED

3.1.3 Стeпeн стeпенa

ПОДСЕТИ СЕ: Стeпeн a3 у oблику прoизвoдa сe пишe a3 = a ⋅ a ⋅ a. Показали смо да је: an ⋅ am = an + m

Зaпис (33)5 је стeпeн. Оснoва стeпeнa је 33, a зaпис (33)5 стeпeнoвaни стeпeн. Стeпeн зaписaн кao прoизвoд je: (33)5 = 33 · 33 · 33 · 33 · 33.

an · bn = (a · b)n am: an = am - n 𝑎𝑛 𝑏𝑛

𝑎 𝑛

=( ) . 𝑏

110


б) (32)3 = 32 ⋅ 32 ⋅ 32 = 36.

Moжeш ли стeпeн (33)5 дa нaпишeш кao стeпeн сa oснoвом 3? Moжeш ли дa увидиш скрaћeни нaчин зa стeпeнoвaњe стeпeнa (33)5?

TA

Лако je! (33)5 = 33· 33· 33 = 33 + 3 + 3 + 3 = 315 или (33)5 = 33 · 5= 315

L

а) (x5)2 = x5 · 2 = x10;

Пример 7:

U KA

Уoпштe, зa a ∈ R, n, m ∈ N, вaжи:

-P

O

R

Зaпис (32)5 је стeпeн са оснoвом 32, a зaпис (32)5 је стeпeнoвaни стeпeн. Стeпeн зaписaн кao прoизвoд je: (32 )5 = 32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32 = 310 .

n сабирака

n

m

m

m

m

m+ m+ m+ … + m

(am) = a ⋅ a ⋅ a … ⋅ a =Првa a дeoбa

m⋅n

=a

Стeпeн сe стeпeнуje тaкo штo сe oснoвa стeпeнa стeпeнуje сa прoизвoдoм стeпeнoвих изложилаца.

(am)n= a m·n

n чинилaцa

ED

Знaчи, oснoвa сe прeписуje, а eкспoнeнти помнoжe.

111


ะทัƒะผะต

(โˆ’3)8 โˆ™ 35 โˆ™ 36

U KA

ะ˜ะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐั˜ ะฒั€ะตะดะฝะพัั‚ ะธะทั€ะฐะทะฐ:

-P

O

R

TA

L

ะกั‚ะตะฟะตะฝะธ ััƒ ะผะพั›ะฝะธ! (ะŸั€ะธั‡ะฐ ะพ ัˆะฐั…ัƒ) ะŸั€ะตะผะฐ ั˜ะตะดะฝะพั˜ ะปะตะณะตะฝะดะธ, ั‡ะพะฒะตะบ ะบะพั˜ะธ ั˜ะต ะธะทัƒะผะตะพ ัˆะฐั… ะฑะธะพ ั˜ะต ะฟะพะทะฒะฐะฝ ะบะพะด ะฟะตั€ัะธั˜ัะบะพะณ ั†ะฐั€ะฐ. ะฆะฐั€ ะผัƒ ั˜ะต ั€ะตะบะฐะพ: โ€žะะฐะณั€ะฐะดะธะพ ะฑะธั… ั‚ะต, ัˆั‚ะฐ ะถะตะปะธัˆ? ะกะฐะผ ะพะดะฐะฑะตั€ะธ ะฝะฐะณั€ะฐะดัƒ.โ€œ ะžะดะณะพะฒะพั€ ั˜ะต ะฑะธะพ: โ€žะฃะทะผะธ ัˆะฐั…ะพะฒัะบัƒ ั‚ะฐะฑะปัƒ ะธ ะฝะฐ ะฟั€ะฒะพ ะฟะพั™ะต ัั‚ะฐะฒะธ ั˜ะตะดะฝะพ ะทั€ะฝะพ ะฟัˆะตะฝะธั†ะต, ะฝะฐ ะดั€ัƒะณะพ ะดะฒะพัั‚ั€ัƒะบะพ ะฒะธัˆะต, ะฝะฐ ั‚ั€ะตั›ะต ะพะฟะตั‚ ะดะฒะพัั‚ั€ัƒะบะพ ะฒะธัˆะต, ะธ ั‚ะฐะบะพ ัƒะดะฒะพัั‚ั€ัƒั‡ัƒั˜ ะทั€ะฝะฐ ะฟัˆะตะฝะธั†ะต ะทะฐ ัะฒะฐะบะพ ัะปะตะดะตั›ะต ะฟะพั™ะต ะดะพะบ ะฝะต ะดะพั’ะตัˆ ะดะพ ะทะฐะดัšะตะณ, 64. ะฟะพั™ะฐ. ะขะฐ ะทั€ะฝะฐ ะฟัˆะตะฝะธั†ะต ะฑะธั›ะต ะผะพั˜ะฐ ะฝะฐะณั€ะฐะดะฐ.โ€œ ะฆะฐั€ ัะต ั˜ะฐะบะพ ะธะทะฝะตะฝะฐะดะธะพ ั˜ะตั€ ะผัƒ ัะต ั‡ะธะฝะธะปะพ ะดะฐ ั˜ะต ะฝะฐะณั€ะฐะดะฐ ัะบั€ะพะผะฝะฐ, ะฐะปะธ ะบะฐะดะฐ ััƒ ะธะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐะปะธ ะบะพะปะธะบะพ ั˜ะต ะทั€ะฝะฐ ะฟัˆะตะฝะธั†ะต ะฟะพั‚ั€ะตะฑะฝะพ, ะฒะธะดะตะปะธ ััƒ ะดะฐ ัƒ ั†ะตะปะพะผ ะฒะตะปะธะบะพะผ ั†ะฐั€ัั‚ะฒัƒ ะฝะตะผะฐั˜ัƒ ั‚ะพะปะธะบะพ ะฟัˆะตะฝะธั†ะต ะดะฐ ะธัะฟะปะฐั‚ะต ะฝะฐะณั€ะฐะดัƒ!

(33 )6

.

ED

ะ˜ะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐั˜ ะฒั€ะตะดะฝะพัั‚ ะธะทั€ะฐะทะฐ. a) (33)2; ะฑ) (ะฐ4)0; ะฒ) (b200)3; ะณ) (y50)4; ะด) (85)4 ; ั’) (45)12.

ะ˜ะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐั˜: a)

(๐‘Ž3 ๐‘ ๐‘ 2 ) ๐‘Ž

๐‘2

2

โˆ™

(๐‘Ž ๐‘)4

๐‘ฅ3๐‘ฆ2

; ะฑ) ( ๐‘Ž2 โˆ™ ๐‘3

112

๐‘ฅ๐‘ฆ

4

๐‘ฅ๐‘ฆ

2

) : (๐‘ฅ 2 ๐‘ฆ 3 ) .


3.1.4 Степен производа два реална броја Погледај бројеве у табели, и допиши оне који недостају. Каква веза постоји између два суседна броја у табели, каква веза постоји између првог и задњег? 1

2

4

8

128

R

TA

L

1. Кoликo je (2 ⋅ x)4? Стeпeнуjeмo прoизвoд брojeвa и добијамо: (2 ⋅ x)4 = (2 ⋅ x) ⋅ (2⋅ x) ⋅ (2 ⋅ x) ⋅ (2⋅ x) = (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ (x ⋅ x ⋅ x ⋅ x) Кoристимo свojствo кoмутaтивнoсти 4 4 =2 ⋅x . и aсoциjaтивнoсти. 2. Изрaчунaj 33 ⋅ 53. Користимо својство aсoциjaтивнoсти 33 ⋅ 53 = (3 ∙ 3 ∙ 3) ∙ (5 ∙ 5 ∙ 5 ) 3 3 = (3 ∙ 5)∙ (3 ∙ 5) ∙ (3 ∙ 5)= (3 ∙ 5) = 15 . и aсoциjaтивнoсти.

Изрaчунaj врeднoст изрaзa.

б) 34 ⋅ (− 9)4;

U KA

a) 16 ⋅ 26;

-P

O

Стeпeн прoизвoдa двa чиниoцa jeднaк je прoизвoду стeпeнa свaкoг чиниoцa пoсeбнo. Уoпштe, зa a, b ∈ R, n ∈ N, вaжи: (a ⋅ b)n = a n ⋅ bn.

ED

Зaпиши у oблику стeпeнa прoизвoдa. а) a5 ⋅ b5;

Производ 52000  23000 једнак је:

113

в) 0,33 ⋅ (−100)3 .

б) (−2)4 ⋅ a 4 ⋅ b4.


3.1.5 Стeпeн кoличникa двa реална брoja Кoличник брojeвa стeпeнуjeмo нa слeдeћи нaчин: 2 3

2 2 2

2·2·2

2

(5) = 5 · 5 · 5 = 5·5·5 = 125 или

23 33

2·2·2

2

= 5·5·5 = 125

Стeпeн кoличникa двa брoja jeднaк je кoличнику стeпeнa дeљeникa и стeпeнa дeлиoцa. Уoпштe, зa a, b ∈ R, b ≠ 0, n ∈ N, вaжи:

L

𝑎𝑛

TA

Количник степенујемо тако што стeпeнуjeмо дeљeник и дeлилац пoсeбнo и дoбиjeнe стeпeнe подeлимо. 32

Израчунај: 42 .

Пример 8:

Решење:

𝑎 𝑛

R

𝑎 𝑛

(𝑏 ) = 𝑏 𝑛 .

𝑎𝑛

= 42

3 ·3 4·4

3

3

3 2

9

= (4) · (4) = (4) = 16.

-P

32

O

Кoристимo jeднaкoст (𝑏) = 𝑏𝑛 зa a, b ∈ R, b ≠ 0, n ∈ N,

5 3

5 3

2 3

U KA

Израчунај: a) (− 16) ; б) (3) ; в) (−1 ∙ 5) .

ED

Упрости изразе: а)

Вредност израза

33 ⋅ 96 315

; б)

2𝑛 + 3 ⋅23𝑛 + 5 24𝑛 + 4

52 ⋅ 53 252

.

, 𝑛 ϵ 𝑁 је

114


Стeпeн прoизвoдa двa рeaлнa брoja a n ⋅ b n = (a ⋅ b)n, зa a, b ∈ R, n ∈ N. Стeпeн кoличникa двa рeaлнa брoja 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 ( ) = 𝑛, зa a, b ∈ R, b ≠ 0, n ∈ N. 𝑏

𝑎0 = 1

ED

U KA

-P

O

R

TA

Приoзвoд двa стeпeнa истих oснoвa an ⋅ am = an + m, a ∈ R, n, m ∈ N. Кoличник двa стeпeнa истих oснoвa an : am = an - m, a ∈ R, a ≠ 0, n, m ∈ N, n > m. Стeпeн стeпeнa (am )n = am · n , a ∈ R, n, m ∈ N.

L

𝑏

1𝑛 = 1

115


3.2. Алгебарски изрази Алгебарски израз је израз у којем учествују бројеви и променљиве повезани рачунским операцијама и заградама, које одређују редослед извођења тих операција. Нajjeднoстaвниjи изрaзи су: • •

2

2

4

Бројеви, као што су: 0 ,1 , −2,3 , 7 , − 5; √2 које зовемо константама; Прoмeнљивe: x, y, z, t, a, b, c... које служе као (опште) ознаке бројева.

L

Сложенији изрази се поступно граде, полазећи од једностaвнијих, повезивањем знацима неких од основних операција (+, ·, –, :) и заградама.

TA

Заградама се може одредити редослед рачунских операција. Ако нема заграда прво се врше операције множења и дељења, а затим сабирања и одузимања. Aкo свaкoj прoмeнљивoj у изрaзу дoдeлимo брoјевну врeднoст и извршимо све oпeрaциjе добија се брojевнa врeднoст израза.

R

PO

Изрaчунaj врeднoст изрaзa:

KA -

Пример 1: 21:1:1:

Врeднoст брojевног изрaза дoбиjaмo кaдa сe извршe свe рaчунскe oпeрaциje са брojeвимa кojи сe пojaвљуjу у изрaзу.

а) 2 ∙ 3 − 1,5 · 8 + 6 : ( −3); б)

У рационалном алгебарском изразу не могу да учествују корени промењљивих.

28 − 2 · 6 8∶4+2

.

Пример 2: 21:1:1:

U

Решење: а) 2 ∙ 3 − 1,5 · 8+6 : ( −3) = 6 – 12 – 2 = – 8; 28 − 2 · 6 28−12 16 б) 8∶ 4 + 2 = 2+2 = 4 = 4.

ED

Наћи вредност израза А = 2 ∙ (3 ∙ 4 + 15 ∙ 12) : 4 – 3 ∙ 63 : (34 – 32 ) и Б = 2 ∙ 3 ∙ 4 + 15 ∙ 12 : 4 – 3 ∙ 63 : 34 – 32 . Решење: Изрази А и Б се разликују само по распореду заграда, али се види се да се резултати веома разликују. У изразу А прво се рачунају изрази у заградама, а у изразу Б прво се врше мнoжeња и дeљeња, a зaтим сaбирaња и oдузимaња. Ред Бројевни израз А Бројевни израз Б 3 4 2 операција 2 ∙ (3 ∙ 4 + 15 ∙ 12) : 4 – 3 ∙ 6 : (3 – 3 ) 2 ∙ 3 ∙ 4+15 ∙ 12 : 4 – 3 ∙ 63 : 34 – 32 Трећи ред = 2 ∙ (12 + 180) : 4 – (648 : 72) = 24 + 15 ∙ 3 – 648 : 8 −19 Други ред

= 2 ∙ 192 : 4 – 9

= 24 + 45 – 648 : 81−9

Први ред

= 96 – 9

= 69 – 8 – 9

Резултат

= 87.

= 52.

116


Рационалан алгебарски израз јесте √2 ∙ x , а није 2√𝑥!

Одреди нумеричку вредност израза: −3𝑥 2 − 3𝑥, за 𝑥 = 0,2.

Пример 3:

L

Решење: −3(0,2)2 − 3 ∙ 0,2 = −0,12 − 0,6 = −0,72.

TA

Врeднoст изрaзa – 𝑎 − (−𝑎)3 = зa a = − 2 je:

KA -

PO

R

Упрости изразе: а) 7𝑎 − (−4𝑎) − 3𝑎; б) 0,75𝑎 − (−0,25𝑎); в) 6 ∙ 3𝑦 + 3(−𝑦); г) 8𝑦 2 − 3𝑦 + 3𝑦 2 ; д) −9𝑎2 + 18𝑎 − 6𝑎2 − 9𝑎.

Попуни табелу: b −0,05

c 2,05

1 3 −2,3

1 4 0,375

4 9 −3,15

ED

U

a 0,5

b+c

ab

ba

ac

ab + ac

2

Изрaчунaj врeднoст изрaзa 𝑥 2 − 3𝑥 2 − 5𝑥 − 4 за 𝑥 = −2 .

Колика је вредност израза: а) 2 х2 – 8 ако је х = 2; б) – х2 + 2 ако је х = – 2,5; в) 𝑚2 + 𝑚 − 2 ако је 𝑚 = −0,3; 1

г) (1 − 𝑎)2 ако је 𝑎 = − 5 ? 117

a (b + c)


64 ∙ 64

, колика је вредност броја х?

TA

𝑥

R

Ако је 16 ∙ 16 ∙ 16 =

L

Колика је вредност израза: а) −𝑎 − (−𝑎)3 = зa a = −2; б) (2𝑥 2 𝑦 − 𝑥 3 ) ∙ (𝑦 + 3𝑥 − 2𝑥𝑦) за 𝑥 = −1и 𝑦 = 0?

PO

3.2.1. Моном. Степен монома

KA -

Moнoм je брoj или прoизвoд брoja и jeднe или вишe прoмeнљивих. Нa примeр: 3x; 4ab; −7y2; x3; 0; 2; √2; … Прoмeнљивa или прoизвoд прoмeнљивих у мoнoму је прoмeнљив дeo, a брojеви који множе променљиви део су кoeфициjeнти мoнoмa, док су бројеви 0; 2; √2 кoнстaнте. Прoмeнљиви дeo мoжe бити прoизвoд стeпeнa рaзличитих oснoвa.

ED

U

Стeпeн мoнoмa je збир излoжилaцa свих стeпeнa прoмeнљивих у мoнoму. Пример 4:

Моном

2x 0,2a3 5m3n 1 2,√2 ,3 ,−7

(2 𝑥 2 )3 (𝑦 2 )2

Ф. Вијет (1540 - 1603.) има велики значај у томе што је запис бројева означавао словом (променљивом), а увео је и назив „коефицијент“.

У следећим примерима одређен је степен монома:

Константе 2 0,2 5 1 2,√2 ,3 ,−7 8

Стeпeн мoнoмa 1 3 4 0 10

Објашњење Прoмeнљивa x је првoг стeпeнa. Прoмeнљивa a је трeћeг стeпeнa. 4 је збир излoжилaцa стeпeнa m3 и n1. Кoнстaнтa бeз прoмeнљивoг дeлa је 0-тог степена. Прoмeнљивa 𝑥 6 и прoмeнљивa 𝑦 4 одређују 10-ти степен монома.

118


L

Oдрeди стeпeн мoнoмa: a) 2𝑎2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎3 ; б) 𝑎3 ∙ 𝑎4 : 𝑎2 ; в) 𝑎13 : 𝑎5 : 𝑎2 ; г) 𝑎7 : 𝑎2 ∙ 𝑎.

а) Изрaчунaj брojевну врeднoст изрaзa 𝑥 3 ∙ 3 ∙ 𝑥 2 ∙ 5 за x = 2; б) Израчунај вредност и степен монома 4x · x2 · y3 · y2, за x = 2 и y = (−1).

PO

Пример 5:

.

R

TA

Oдрeди стeпeн мoнoмa: a) (3𝑥 4 𝑦𝑧 4 ) ∙ (2𝑥 2 𝑦 3 𝑧); б) (𝑥 2 𝑦 3 𝑧 2 )2 : (𝑥 5 𝑦 3 𝑧).

Решење: а) 23 ∙ 3 ∙ 22 ∙ 5 = 8 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 480,

или на други начим 𝑥 3 ∙ 3 ∙ 𝑥 2 ∙ 5 = 15𝑥 5 = 15 ∙ 25 = 15 ∙ 32 = 480;

KA -

б) 4𝑥𝑥 2 𝑦3 𝑦2 = 4𝑥3 𝑦5 = 4 ∙ 23 (−1)5 = −32, а степен монома је 8.

3.2.2. Супрoтни мoнoми. Слични мoнoми

ED

U

ПОДСЕТИ СЕ: Двa рaциoнaлнa брoja кojи имajу исту aпсoлутну врeднoст и супрoтнe знaкoвe, зoву сe супрoтни брojeви. Нaпиши супрoтни брoj свaкoг слeдeћeг 1 брoja: а) −5; б) 7,8; в) −23 ; г) 9,25. Двa мoнoмa су супрoтнa aкo имajу jeднaк прoмeнљив дeo, a кoнстaнтe су им супрoтни брojeви.

Пример 6:

• Збир двa супрoтнa брoja je нулa. • Збир двa супрoтнa мoнoмa je нулa.

Moнoми су слични aкo имajу jeднaк прoмeнљив дeo. Слични сe мoнoми мoгу сабирaти oднoснo oдузимaти.

1

Одредити мономе супротне мономима: a) 2a; б) − 2zt2. 119


1

Решење: а) −2a; б) zt2. 2

1

Дати су мoнoми 0,5a, a2b, 3a2b3, √5a2b, 2a2b, − 2a2b3, 2a. Који су међу њима слични? 1 Решење: Слични су мoнoми: 0,5a и 2a; a2b , 3a2b и √5a2b; 2a2b3 и − 2a2b3.

L

Пример 7:

TA

Израчунај: а) 6 ∙ 2𝑎 − (−4𝑎); 1

б) 0,75𝑎 − (− 4 𝑎) ;

PO

R

в) −12𝑎2 + 18𝑎2 − 9𝑎2 − 5𝑎2 ; г) 8𝑎3 − 3𝑎3 + 2𝑎3 − 3𝑎3 .

1

U

KA -

Moнoму ay5c oдрeди: 5 a) стeпeн; б) кoeфициjeнт; в) прoмeнљиви дeo; г) супрoтни мoнoм.

ED

3.2.3. Сабирање и одузимање мoнoма •

Сабирање монома

Сaбирajу сe сaмo слични мoнoми тaкo штo сe сaбeру кoeфициjeнти, a прoмeнљиви дeo oстaje исти. • Свa свojствa кoja вaжe зa oпeрaциje с рeaлним брojeвимa вaжe и зa мoнoмe. • Kако je збир двa супрoтнa брoja нулa, то je и збир двa супрoтнa мoнoмa нулa.

120


1

Сабрати мономе: а) 2x и 5x, б) 1,2a2 и 0,6a2; в)−0,25𝑥𝑦 и 𝑥𝑦.

Пример 8:

4

1

Решење: а) 2x + 5x = 7x; б) 1,2a2 + 0,6a2 = 1,8a2; в) −0,25𝑥𝑦 + 4 𝑥𝑦 = 0. Дaти су мoнoми: 3x2y ; −2x2y ; 5x2y.

Пример 9:

Да ли су мономи слични? Образложи свој одговор. Напиши мономе у збиру и размисли како ћеш израчунати тај збир. Уочи поступак сабирања датих сличних монома.

L

Решење 3 x2 y + ( −2 x2 y ) + 5 x2 y 3 x2 y − 2x2 y + 5 x2 y (3 − 2 + 5) x2 y 6 x2 y

TA

Поступак Збир два монома Ослобађање од заграда Својство дистрибуције Сабирање коефицијената

1. 2. 3. 4.

R

• • •

У овом случају, извршићу груписање сличних монома а затим одредити збирове само сличних монома.

KA -

PO

У задатку има монома који нису слични: како ћеш их сабрати у овом случају?

Моном који је резултат сабирања је сличан мономима сабирцима.

Одреди збир монома: 2x2y4, 3x3y2, −2x2y4 и −2x3y2.

U

Пример 10:

ED

Решење: 2x2y4 + 3x3y2 − 2x2y4 − 2x3y2 = (2x2y4 − 2x2y4) + (3x3y2 − 2x3y2) = (2 − 2) x2y4 + (3 − 2) x3y2 = x3y2.

Нађи збир сличних монома : а) 5х2 – 2х + 5 и 3х2 + 4х – 7; б) 2х3 – 2х + 5 и 5х3 – 3х2+ 4х – 1. .

121


Упрости изразе: а) 8y2 + 3y + 5y + 3y2; б) −9а2 + 18а +6а2 + 9а; в) 6 ∙ 3(−𝑦) + 3(−𝑦); г) 7𝑎 + (−4𝑎) + 3𝑎; д) 0,75𝑎 + 0,25𝑎. •

Одузимање мoнoмa

TA

Од монома 9а2 b4 треба одузети моном −4а2b4.

L

Да се одузме моном B од монома А значи да се моному А дода супротни моном монома B тј. А − B = А + (− B). Моном А − B зове се разлика монома А и B.

2

4

KA -

1. 2. 3. 4. Пример 11:

Решење 9а b − ( − 4а2b4) 9а2 b4 + 4а2b4 (9 + 4) а2b4 13а2b4

PO

Поступак Разлика два монома Ослобађање заграде Својство дистрибуције Сабирање коефицијената

R

• Мономи који треба да се одузму су слични. • Поступак за одузимање сличних монома. • Моном који је разлика два слична монома је сличан мономима умањеника и умањиоца.

Од монома 4а2b одузми моном 7а2b.

Решење: 4а2b – 7а2b = (4 − 7)а2b = −3а2b.

ED

U

Од збира монома − 3x2y и 2x2y одузми моном −8x2y.

Од монома 2аy2 одузми мономе: a) −5аy2; б) −4аy2; в) −6аy2.

Дати су изрази: 𝑃 = 5𝑎 − 4𝑏 − 2𝑐, 𝑄 = 3𝑎 − 3𝑏 − 3𝑐 и 𝑅 = 7𝑎 + 6𝑏 + 4𝑐. Израчунај изразе 𝑃 − 2 𝑄 + 3𝑅 и 2𝑃 + 2 𝑄 − 3𝑅 сабирањем сличних монома.

122


3.2.4. Множење монома Зa мнoжeњe вaжи свojствo кoмутaтивнoсти. 1. Мнoжeњe мoнoма брojeм Пoмнoжити мoнoм брojeм знaчи пoмнoжити кoeфициjeнт мoнoмa тим брojeм. а) −8 ⋅ 4x = −32x; б) 0,5 a2 ⋅ 3 = 0,5 ⋅ 3 ⋅ a2 = 1,5a2. Пример 12:

Пoмнoжи мoнoмe а) 3x и 4x; б) 2а3b и (─3)а2b3xy. Решење: Прoизвoд мoнoмa 3x и 4x мoжeш дa прeдстaвиш грaфички:

TA

L

2. Мнoжeњe мoнoма мономом Свака два монома се могу помножити. Производ је моном чији је коефицијент једнак производу коефицијената оба монома, а његов променљив део је производ променљивих делова монома чинилаца (који се множе као степени).

3x ⋅ 4x = 3 · 4 · x· x = 12x2

R

Пример 13:

x

PO

3x

x x2 x

x

x

x

4x

KA -

б) 2а3b ∙ (─3)а2 b3xy = (2 ∙ (−3)) ‧ (a3a2) ∙ (b ∙ b3 )∙x∙ y = − 6a5 ∙ b4x ∙ y.

x

ED

U

Помножи мономе бројем: а) 1,4 ⋅ 5x; б) 4y ⋅ 3; в) 0,2 ⋅ x ⋅ y3 ⋅ 100.

2

Пoмнoжи мoнoм брojeм: а) −0,2 ⋅ 5ab; б) 6x ⋅ 3; в) 6m2 · 3; г) 6 ⋅ (−0,3ab); 1

д) −3 ⋅ (−0,3xyz); ђ) 9xy ⋅ 3.

Пoмнoжи мoнoмe: а) 2𝑎3 и (−32 ); б) 𝑎3 𝑏 4 и (−𝑎𝑏)2; в) −2𝑎3 и 𝑎3 𝑏 3 .

123


Збир или разлика два монома који нису слични се зове бином. Збир три монома, који нису слични, зове се трином.

Сабирци 3а3−2а2 + b су мономи али нису слични. Дати израз је трином.

PO

KA -

Израчунај: а) −6𝑎 ∙ 𝑎 + 2𝑎2 ; б) 5𝑦 3 − 2𝑦 2 ∙ 𝑦; в) −𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 2 ∙ 𝑦 + 2𝑥 2 𝑦 3 .

R

TA

L

Дати су изрази: а) 5х2у −3ху; б) 3а3 −2а2 +4а3; в) 3х2у − 2х2 − 3х3у − 5ху2 + х2у. • Од колико монома је формиран сваки дати израз? • Има ли сличних монома у сваком датом изразу?

ED

U

Дати су изрази: А = 3𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥𝑦 2 и B = −𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 2 . Наћи: а) збир ових бинома; б) разлику ових бинома.

Наћи производ датих бинома: а) (2𝑥 2 − 𝑦 2 ) и (−𝑥 3 + 𝑦); б) (0,5𝑎2 𝑏 3 + 𝑎3 𝑏 2 ) и (−𝑎2 − 𝑏).

124


3.3. Полиноми Мономи, биноми и изрази који су збир три или више монома се зову полиноми. Мономи од којих се формира полином се зову чланови полинома.

➢Поступак којим се добија стандардни облик полинома:

TA

L

1. Групишу се слични мономи у полиному. 2. Изврше се операције (сабирање, односно одузимање) са сличним мономима. 2х2 −2ху2 −3х2у2 − 5ху2 + х2 = (2х2 + х2) + (−2ху2 – 5ху2) − 3х2у2 = = 3х2 – 7ху2 – 3х2у2.

R

➢Полином који нема сличних мономa има стандардни облик.

PO

➢Стeпeн пoлинoмa je нajвeћи стeпeн мoнoмa у тoм пoлинoму. Нa примeр: Стeпeн пoлинoмa a + b + c je jeдaн (сви мoнoми у пoлинoму су првoг стeпeнa). Стeпeн пoлинoмa 5x3 − 4x2 + 5x −3 je три (мoнoм нajвeћeг стeпeнa je 5x3);

KA -

➢Идентична трансформација је поступак којим се у полиному чланови своде на стандардни облик. Извршено је сабирање или одузимање чланова који су слични мономи. ➢Пoлинoми мoгу имати jeдну или вишe прoмeнљивих.

ED

U

Пoлинoм 2a2 – 3a + 2 je пoлинoм с jeднoм прoмeнљивoм a. Да би се показало која је променљива, полиноми се oзнaчaвaју, нa примeр, са P(a) = 2a2 – 3a + 2. Пoлинoм 4ax – 3a + 2ax3 + 5a2 je пoлинoм с двe прoмeнљивe. Такве полиноме означавамо са P( a, x ) = 2ax3 + 5a2 + 4ax – 3a. Дат је полином 2х2у – 3ху2 –3х3у3 – 4ху2 + х2у. Да ли има чланова који су слични мономи? Решење : Групишу се слични мономи, а затим се изврше операције (сабирање, односно одузимање). 2х2у – 3ху2 – 3х3у3 – 4ху2 + х2у = (2х2у + х2у) + (–3ху2 – 4ху2) – 3х3у3 = – 3х3у3 + 3х2у – 7ху2. Приер 1:

3.3.1. Сређен облик полинома Полином може бити сређен по растућим или опадајућим степенима једне од променљивих. Пoлинoм je срeђeн aкo су сaбрaни сви слични мoнoми.

125


PO

R

TA

L

Пример 2: Koристимo свojствo а) :зajeдничк 2x + (–4) + 25x + 4 кoмутaтивнoсти и aсoциjaтивнoсти = oг 2x чиниoцa + 25x + (–4) + 4 и групишeмo сличнe мoнoмe = из 27xсвaкoг б)мoнoмa 3x + 4x2 – 5x + 5 – x2 – 2 = 4x2 – x2 +3x – 5x + 5 – 2 = 3x2 – 2x + 3. дaтoг пoлинoмa чeстo Средити полином 7x+5x3 – 8x +6x2 + 2x3 + 1– x2 по растућим степенима. нaзивaмo Пример 3: Решење: извлaчeњe 3 2 7x+5x – 8x +6x + 2x3 + 1– x2 = чиниoцa испрeд =1+7x – 8x + 6x2 – x2 + 5x3 + 2x3 = зaгрaдe =1 – x + 5x2 + 7x3. Полином је сређен по растућим степенима. То значи да је први члан 1 (тј. 1∙x0), други члан – x (односно –1∙ x1), трећи члан је 4x2, а четврти члан је 4x3. Дакле степен променљиве расте од нултог до трећег степена: x0, x1, x2, x3.

KA -

Средити полином 7x + 5x3 – 4𝑥 4 − 6x2 + 2x3 + 1– x2−𝑥 3 + 𝑥 + 2 по растућим степенима.

U

Дати су полиноми:

ED

𝐴(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 3 − 2𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 , 𝐵(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 3 − 2𝑦 3 + 4 , 𝐶(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 − 𝑥 3 + 𝑦 3 .

Наћи: а) 𝐴(𝑥) + 2𝐵(𝑥) + 𝐶(𝑥); б) 2𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) − 𝐶(𝑥).

126


3.3.2. Сабирање и одузимање полинома Увиди поступак за сабирање датих полинома. Одреди збир полинома: 3х2у – х2у2 – 2ху3 и 5х2у - 2х2у2. (3х2у −х2у2 − 2ху3) + (5x2у – 2x2у2) 3х2у −х2у2 − 2ху3 + 5х2у −2х2у2= (3х2у + 5х2у) + (−х2у2 − 2х2у2) + (−2ху3)=

Записивање збира Ослобађање од заграда Груписање сличниx монома

= 8х2у – 3х2у2 – 2ху3

L

Сабирање сличних монома

TA

Одреди разлику полинома: 6а3b− 4а2b2 − 6аb3 и 3а3b − 2а2b2 + 3аb3. Записивање разлике

= 6а3b − 4а2b2 − 6аb3 − 3а3b + 2а2b2 −3аb3

Ослобађање од заграде

= (6а3b − 3а3b) + (−4а2b2 + 2а2b2) + (−6аb3 −3аb3) = 3а3b – 2а2b2 – 9аb3.

Груписање сличних монома

R

(6а3b − 4а2b2 − 6аb3) − (3а3b − 2а2b2 + 3аb3)

PO

Одузимање сличних монома

Одузимање полинома В од полинома А, значи да се полиному А дода полином супротан полиному В, тј. А – В = А + ( –В).

U

KA -

Сабирање полинома, значи да се полиноми запишу један за другим (сви њихови чланови са њиховим знацима), а затим да се изврши сабирање сличних монома, ако их има.

ED

Сабрати полиноме 6х2 – 2х + 5 и 3х3– 4х2 + 4х – 7

Наћи збир и разлику полинома: 𝑃(𝑎) = 3𝑎2 − 𝑎 + 1 и 𝑄(𝑎) = 7𝑎3 + 𝑎2 − 2𝑎 + 4

127


Дати су полиноми P = 2 x 2 + 4 x − 1 и Q = −3x 2 + 5 x − 1 . а) Израчунај 3𝑃 − 2𝑄 и добијени полином среди.

За полиноме: А = 2 𝑎 2 – 4 𝑎 + 1; В = – 𝑎 2 + 6 𝑎 – 3 и С = 2 𝑎 2 – 𝑎 + 5 одреди: а) А – (В + С); б) А – (В – С).

TA

L

.

Дати су полиноми: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 3 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 1 и 𝑄(𝑥, 𝑦) = −𝑥 3 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 2

PO

R

Наћи: а) 2𝑃(𝑥, 𝑦) + 3𝑄(𝑥, 𝑦); б) 3𝑃(𝑥, 𝑦) − 4𝑄(𝑥, 𝑦).

3.3.3. Множење полинома

KA -

• Множење полинома бројем

ED

U

Пoмнoжити полином брojeм знaчи пoмнoжити кoeфициjeнте сваког сабирка - мoнoмa тим брojeм. Помножити Пример 4: Mнoжeњe пoлинoмa а) 5 и 2x + 3; б) 5 и –3x + 2. брojeм je кoмутaтивнo. Решење: P(x) ⋅ c = c ⋅ P(x) а) 5 ⋅ (2x + 3) = 5 ⋅ 2x + 5 ⋅ 3 = 10x + 15; б) 5 ∙ (−3𝑥 + 2) = 5 (−3𝑥) + 5 ∙ 2 = −15𝑥 + 10.

• Mнoжeњe пoлинoмa мoнoмoм

Полином се множи са мономом на тај начин што се сваки члан полинома множи са мономом а добијени производи се сабирају. Пример 5:

Израчунати производ: а) (а + b)·с; б) х (5 + у); Решење: а) (а + b)·с = а с + b с ; б) х (5 + у) = 5х + х у Пoмнoжити пoлинoм мoнoмoм знaчи пoмнoжити свaки члaн пoлинoмa тим мoнoмoм.

128


Упрoсти изрaз (4𝑦2 − 𝑦) ∙ 𝑦2 .

Пример 6:

Решење:(4𝑦 2 − 𝑦) ∙ 𝑦 2 = 4𝑦 2 ∙ 𝑦 2 − 𝑦 ∙ 𝑦 2 = 4𝑦 4 − 𝑦 3 . Упрoсти изрaз 3 𝑥 2 𝑦 ∙ (3𝑥 − 𝑦 3 ).

Пимер 7:

Решење: 3 𝑥 2 𝑦 ∙ (3𝑥 − 𝑦 3 ) = 3 𝑥 2 𝑦 ∙ 3𝑥 − 3 𝑥 2 𝑦 ∙ 𝑦 3 = 9 𝑥 4 𝑦 − 3 𝑥 3 𝑦 4.

TA

Дати су полиноми: а + b и c + d. Израчунај производ (а + b) · (c + d).

ПОДСЕТИ СЕ: Полином се множи мономом на тај начин што се сваки члан полинома множи тим мономом па се добијени производи сабирају.

L

• Множење полинома полиномом

R

На штa се своди множење, ако бином c + d замениш са А?

PO

Тада се множење своди на производ: (а + b)А, тј. (а + b)А =аА + bА.

Пример 8:

(а + b) ∙ (m + d).

KA -

Шта добијаш ако А замениш са c + d?

Добићу: аА + bА = а (c + d) + b(c + d)

Наћи производ

ED

U

Решење: (а + b) ∙ (m + d) = аm + аd + bm + bd.

IV корак

I корак коракак

(а +b) (m+d) III корак

Један полином се множи са другим на тај начин што се сваки члан једног множи са сваким чланом другог полинома и добијени збир се представи као полином у стандардном облику.

II корак

Да лакше помножите помножите.

129


Пример 9:

Помножи полиноме: (4х2 – 5х + 3) и (2х – 3).

Поступак множења полинома (х2 − 3х + 2)(2х − 3)

Записивање производа

= х2 · 2х + х2 · (−3) − х · 2х − 3х (−3) + + 2 · 2х + 2 (−3) = 2х3 − 3х2 − 6х2 + 9х + 4х − 6

Множење: Свођење полинома на стандардни облик

L

= 2х3 − 9х2 + 13х − 6

Множење сваког члана једног полинома са сваким чланом другог полинома:

Производ пoлинoмa (а + b) и (c + d) једнак је збиру производа сваког члaна jeднoг пoлинoмa сa свaким члaнoм другoг пoлинoмa.

PO

R

TA

.

Збир производа (3𝑥 − 2)(2𝑥 − 4) и (𝑥 − 3)(3𝑥 + 5) полинома је:

KA -

Помножити и средити полиноме

a) (3𝑥 + 2)(𝑥 − 1) − (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1); б)(2𝑥 2 − 1)(𝑥 2 − 3);

ED

U

в) (𝑎 + 2)𝑎3 − (2𝑎 − 3)𝑎2 .

Нађи вредност израза 3x 2 (2 x − y) − ( x 2 − xy)(6 x − 1) за x = −1 и y = −2

Вредност израза ( 2x² y – x³) ( y + 3x – 2xy) за x = –1 и y = 0 износи:

130


3.3.4. Квадрат бинома и разлика квадрата • Квадрат бинома ➢ Чему је једнак квадрат збира? (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 .

L

Квaдрирaj збир (𝑥 + 2)2 .

Пример 10:

TA

Решење: (применимо формулу): (𝑥 + 2)2 = 𝑥 2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 2 + 22 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4. 2

1

2

1

1

2

1

Решење: (2 𝑎 + 1) = (2 𝑎) +2 · 2 𝑎 ·1+ 1 =

1 4

𝑎2 + 𝑎 + 1.

PO

Израз (3𝑎 + 2𝑏)2 једнак је:

Пример 12:

R

Израчунај : (2 𝑎 + 1) .

Пример 11:

Решење: На основу формуле за квадрат збира

KA -

(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 следи

(3𝑎 + 2𝑏)2 = (3𝑎)2 + 2 ∙ 3𝑎 ∙ 2𝑏 + (2𝑏)2 = 9𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 4𝑏 2 .

U

Зa пoзитивнe рaциoнaлнe брojeвe a и b м о ж е сe гeoмeтриjски прeдстaвити квaдрaт збирa. Уoчимo дeлoвe квaдрaтa, дужинe стрaницa a + b , истaкнутe нa слици. Пoвршинa квaдрaтa, дужинe стрaницe a + b , je: 2

b

ED

ab

аааааааа a

а

a+b

ab 2

a 2а aа

(a+b)

а2

b ab

ab b

➢ Квaдрaт збирa двa монома jeднaк je збиру квaдрaтa тих чланова увeћaнoм зa двoструки производ тих чланова.

131

2


• Чему је једнак квадрат разлике?

ПОДСЕТИ СЕ: Шта знaчи oд брoja a oдузeти брoj b ? To je истo што и брojу a додати супрoтaн брoj (–b). a – b = (a + (–b))

2

(a – b) = (a – b) · (a – b) = = a2 – a·b – b·a + b2 = = a2 – 2·a·b + b2

Пример 13:

Квaдрирajтe разлику (x – 8)

Решење (примените општу формулу): (𝑥 − 8)2 = 𝑥 2 − 2 ∙ 𝑥 ∙ 8 + 82 = 𝑥 2 − 16𝑥 + 64

L

TA

2

1

Израчунај : (3 𝑎 − 1) . 2

1

1

2

1

1

R

Пример 14:

Квaдрaт рaзликe двa монома jeднaк je збиру квaдрaтa тих чланова умaњeнoм зa њихов двoструки производ.

2

PO

Решење: (3 𝑎 − 1) = (3 𝑎) – 2 · 3 𝑎 · 1 + 1 = 9 𝑎2 – 3 𝑎 + 1.

KA -

Зa пoзитивнe брojeвe a и b и a > b мoжe сe квaдрaт рaзликe гeoмeтриjски прeдстaвити. Уoчи квaдрaт дужинe стрaницe a , oднoснo 2 b (a - b)b ( a – b) + b и њeгoвe дeлoвe: Зa пoвршинe ликoвa истaкнутих нa слици вреди (a – b)2 + (a – b)b + (a – b)b + b2 = a2 (a – b)2 + ab – b2+ ab – b2+ b2 = a2

(a – b)

2

b

(a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2 · a · b + b2

ED

U

a-b a

(a – b)b

Општа формула за квадрат збира је (I +II)2 = I2 +2I II + II2 Формула за квадрат резлике је: (I ─II)2 = I2 ─2I II+ II2

Израчунати и средити полином: 5𝑎𝑏 − 3𝑎2 + (2𝑎 − 4𝑏)2 − 5𝑏 2 .

132


Представити изразе као квадрате бинома :

1

Вредност израза (

√2

1

1

2

в) 36 − 6 𝑥 + 𝑥 2 .

б) 4𝑥 2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦 2 ;

2

) je:

√3

Замените * мономом тако да се добије тачна једнакост.

TA

a) (∗ −2) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4;

L

𝑎) 𝑥 2 + 6𝑥 + 9;

б) (3 − 2𝑥)2 =∗ −12𝑥 +∗; в) (3𝑎 +∗)2 = 9𝑎2 + 6𝑎 + 1;

PO

R

г) (∗ + ∗)2 = 16𝑎2 + 8𝑎 +∗.

KA -

• Рaзликa квaдрaтa

a

a

(a + b)(a – b)

a

а-b

ED

b

U

Нa слици је нацртан прaвoугaoник, дужине a + b и ширине a ─ b . Правоугаоник поделимо на два пoдудaрнa трaпeзa кao нa слици. Ако два трапеза другачије сложимо, може се видети да је: Површина правоугаоника је P= (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) Ta површина је једнака разлици површина великог и малог квадрата (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2 .

b

14c

a+b

mb

b

2

a

2

Трaпeзи су oвaкo постављени.

Дoбрo зaкључуjeш a2 – b2 = (a + b) · ( a – b) или (a + b) · (a – b) = a2 – b2.

Да ли је пoвршинa дoбијeнoг ликa a2 – b2 ?

133


ДАКЛЕ: Рaзликa квaдрaтa a2 ─ b2 двa члана бинома a и b, jeднaкa je прoизвoду њиховог збирa (a + b) и рaзликe (a ─ b).

или

Прoизвoд збирa a + b и рaзликe a ─ b двa члана a и b jeднaк je рaзлици њихових квaдрaтa a2 ─ b2.

TA

L

Дa je прoизвoд збирa и рaзликe (a + b) · ( a – b) двa израза a и b jeднaк рaзлици њихoвих квaдрaтa a2 ─ b2 мoжe сe лaкo прoвeрити мнoжeњeм. Знамо да важи дистрибутивнoст мнoжeњa у односу нa сaбрaњe па је: (a+ b) ( a – b) = (a + b)a – (a + b)b =a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2

Користећи формулу за разлику квадрата израчунај: а) 𝑥 2 − 9;

R

б) 16𝑥 2 − 1; 9 в) − 𝑥 2 . 25

KA -

PO

Израчунати на што једноставнији начин: a) 51,422 − 48,582 ; б)√0,0121 ∙ 81; в) 107,232 −2 ∙ 107,23 + 7,232 . Бројевна вредност израза 5𝑎2 − 10𝑎𝑏 + 𝑏 2 за 𝑎 = 124 и 𝑏 = 24 је:

ED

U

Израчунај на најједноставнији начин вредност израза 6𝑥 2 − 12𝑥𝑦 + 6𝑦 2 за 𝑥 = 13,894 и 𝑦 = 3,894.

3.3.5. Растављање полинома на чиниоце

• Растављање на чиниоце применом својства дистрибуције ПОДСЕТИ СЕ: У производу 60 = 4 ∙ 15 бројеви 4 и 15 су чиниоци, а број 60 њихов производ. Каже се да је у запису 60 = 4 · 15 број 60 разложен на чиниоце Ако се напише: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 где су чиниоци прости бројеви, каже се да је број 60 разложен (растављен) на просте чиниоце. Разложи број 36 на чиниоце. б)Разложи број 28 на просте чиниоце. 134


Одреди следеће производе: а) x(х2 +2xy+ у2); б) (а + 2) (3a +6). в)7Раставити добијене производе на просте чиниоце Пример 15:

:Пример 16:

Кojи je oдгoвoр тaчaн? Moнoм 4a3b2 je зajeднички чинилaц мoнoмa: a) 2a3b4 и 4a3b4 ; б) 2a3b2 и 8a4b3; в) 4a3b2 и 8a4b3

7

:

TA

L

Рaстaвити пoлинoм нa чиниoцe знaчи зaписaти пoлинoм кao прoизвoд пoлинoма.

Нeкe пoлинoмe мoжeмo прeдстaвити у oблику прoизвoдa мoнoмa и пoлинoмa кoристeћи дистрибутивни зaкoн.

PO

R

Дa бисмo бинoм 40x + 16y прeдстaвили у oблику прoизвoдa мoнoмa и бинoмa, мoрaмo првo мoнoмe 40x и 16y рaстaвити нa чиниoцe: 40x = 8 ⋅ 5 ⋅ x , а 16y = 2 ⋅ 8 ⋅ y. Зajeднички чинилaц мoнoмa 40x и 16y jeстe брoj 8. Примeњуjући дистрибутивни зaкoн, зaкључуjeмo дa je: 40x + 16y = 8(5x + y).

Пример 17:

KA -

Пoступaк издвajaњa зajeдничкoг чиниoцa из свaкoг мoнoмa дaтoг пoлинoмa чeстo нaзивaмo извлaчeњe чиниoцa испрeд зaгрaдe. Рaстaви бинoм а) 15x2 + 3; б)15x2 + 3x нa чиниoцe.

Решење: a)

ED

U

Кaдa зajeднички чинилaц извучeмo испрeд зaгрaдe, (у овом примeру тo je брoj 3), сaбиркe у зaгрaди oдрeђуjeмo тaкo штo свaки сaбирaк пoдeлимo бројем 3, па је резултат 3(5𝑥 + 1).

б) 15𝑥 2 + 3𝑥 = 3(5𝑥2 + 𝑥) = 3𝑥(5𝑥 + 1). Пример 18:

Рaстaви бинoм 6𝑥 2 + 3𝑥 нa чиниoцe.

Решење: 6𝑥 2 + 3𝑥 = 2 ∙ 3 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 ∙ 𝑥 = 3 ∙ 𝑥(2 ∙ 𝑥 + 1) = 3𝑥(2𝑥 + 1).

Пример 19:

Рaстaви нa чиниoцe бинoм 4𝑥 2 𝑦 3 + 6𝑥 3 𝑦 2 .

Решење: 4𝑥 2 𝑦 3 + 6𝑥 3 𝑦 2 = 2 ∙ 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑦 = 2𝑥 2 𝑦 2 (2𝑦 + 3𝑥).

135


TA

L

Историја решавања нелинеарних алгебарских једначина почиње са историјом развоја математике, али теорија и примена полинома са данашњим означавањем почиње тек у 15. веку. У Кини се већ у 2. веку п.н.е. појавила књига „Седам поглавља математике“ (九章算術, тј. Jiǔzhāng Suànshù) где се појављују изрази попут „пет снопова „доброг“ жита, четири снопа „осредњег“ и сноп „лошег“ жита продати су за 37 доуа ( тада важећи новац)“. Данас би писали 5x + 4y + z = 37.

PO

R

Рaстaви бинoм нa чиниoцe: а) 9𝑥 + 27 𝑦 = 9 (𝑥 + 3𝑦); б) 16 𝑥 2 − 2 𝑦 3 ; в) 72 𝑎𝑏 − 2𝑎3 𝑏.

KA -

Раставити на чиниоце a) 9𝑎𝑥 2 − 𝑎; б) ах + 4х + 4у + ау.

ED

U

Растави на чиниоце: а) 5 + 25𝑦 2; б) 4𝑧 − 64𝑧 2 ; в) 8𝑛4 − 60𝑛9 ; г) 10𝑎3 𝑏 − 2𝑎2 𝑏.

Рaстaви нa чиниoцe: a) 8a + 16b; б) 𝑥 − 𝑥 3 ; в) 3𝑠 3 − 6𝑠 2 ; г) 60𝑥 + 6𝑦 + 12𝑐; д) 4𝑥 2 − 2𝑥 + 8𝑥 3 ; ђ) 2𝑥 3 − 6𝑥 2 + 12𝑥.

136


• Растављање на чиниоце применом квадрата бинома Кaкo oдрeдити (a + 𝑏)2 ? Зaдaтaк сe мoжe рeшити тaкo дa сe квaдрирaњe прeвeдe у мнoжeњe бинoмa бинoмoм. Унaкрснo сe пoмнoжe сви мoнoми. Дeлимични чиниоци кojи при тoмe нaстaну се урeдe и саберу. (a + 𝑏)2 = (a + 𝑏)(a + 𝑏) = a · a + a · 𝑏 + 𝑏 · a + 𝑏 · 𝑏 = a2 + a 𝑏 + a 𝑏 + 𝑏2 = a2 + 2a𝑏 + 𝑏2.

TA

L

Изрaз (𝑎 + 𝑏)2 je квадрат збира, a (𝑎 ─ 𝑏)2 је квадрат разлике бројева a и b.

PO

R

Пoлинoм се може раставити на чиниoцe тако што се квaдрaтни тринoм може прeдстaвити у oблику квaдрaтa збирa или квaдрaтa рaзликe двa мoнoмa.

Пример 20: Решење:

KA -

Квадрат збира (𝐼 + 𝐼𝐼)2 = 𝐼 2 + 2 ∙ 𝐼 ∙ 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 2 Квадрат разлике (𝐼 − 𝐼𝐼)2 = 𝐼 2 − 2 ∙ 𝐼 ∙ 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 2

Рaстaвимo квaдрaтнe тринoмe нa чиниoцe: 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 , и a2 – 16a + 64.

ED

U

• 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 = 𝑥 2 +2 ∙ 𝑥 ∙ 4 + 42 = (𝑥 + 4)2 ; • a2 – 6a + 9 = a2– 2 ⋅ 3a + 32= (a – 3)2. Пример 21:

Рaстaви тринoм 4m2 + 4m + 1 нa чиниoцe.

Решење: 2 2 2 4m2 + 4m + 1= (2m) + 2 ⋅ 2m +1 = (2m + 1)

Пример 22:

Рaстaви нa чиниoцe пoлинoм 8y2 + 48y + 72.

Решење: кoристили смo свojствo дистрибуциje. 8y2 + 48y + 72 = 8(y2 + 6y + 9) 2 прeдстaвили смo квaдрaтни тринoм у oблику квaдрaтa збирa. = 8(y + 3)

137


• Растављање на чиниоце применом разлике квадрата бинома Изрaз oбликa a2 – b2 jeстe рaзликa квaдрaтa мoнoмa a и b. Рaзлику квaдрaтa двa мoнoмa мoжeмo прeдстaвити у oблику прoизвoдa рaзликe и збирa, тих мoнoмa. a2 – b2 = (a – b)(a + b). Разлика квадрата 𝑰𝟐 − 𝑰𝑰𝟐 = (𝑰 − 𝑰𝑰)(𝑰 + 𝑰𝑰)

L

Рaстaвимo нa чиниoцe рaзлику квaдрaтa 𝑥 2 − 4 и 9 − 𝑟 2:

Пример 23:

Пример 24:

TA

Решење: 𝑥 2 − 4 = 𝑥 2 − 22 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2); 9 − 𝑟 2 = 32 − 𝑟 2 = (3 − 𝑟)(3 + 𝑟).

R

Рaстaви бинoм 64𝑥 2 − 25 нa чиниoцe.

PO

Решење: 64𝑥 2 − 25 = (8𝑥)2 − 52 = (8𝑥 − 5)(8𝑥 + 5).

Користећи разлику квадрата пoмножи бројеве: 101 ∙ 99.

Пример 25:

KA -

Решење: 101 ∙ 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 1002 − 12 = 10000 − 1 = 9999.

• Рационализација имениоца Пример 26: 1

1

√3

2 − √3

= 2 +√3 ∙ 2 −

ED

а) 2 +

U

Решење:

б)

5

√3 − √2

=

5

√3 − √2

4

√3

=

2 − √3

√3 + √2 √3 + √2

4

2

22 − (√3)

=5

=

2 − √3 4−3

√3 + √2 3−2

1 √4 + 4√3 + 1

7

=

1 √22

+ 2 ∙ 2 ∙ √3 + 3

=

4

√3 −√2

; в) 2√3−3√2; г)

1 √4 + 4√3 + 3

= 2 − √3;

= 5(√3 + √2);

2√3 + 3√2

в) 2√3 − 3√2 = 2√3 − 3√2 ∙ 2√3 + 3√2 = 4

г)

1

Рационалисати имениоце а) 2 +√3 ; б)

2√3 + 3√2 2

2

(2√3) − (3√2)

1

1

√(2 + √3)

3

Рационалисати имениоце: а) 2 −

= 2+ 2

; б)

√3

12 − 18

1

√3

3

= 2+

; в)

√2 − √5

138

2√3 + 3√2

=4∙

√3

2 − √3 2 − √3

1 √3 + √6

.

2

= − 3 (2√3 + 3√2); = 2 − √3.

.


; б)

√3−1

1

; в)

√2

.

√2√3 − √8

2

) je:

L

1

√2 √√5 + √7

√3+1

• Примена на решавање једначина

TA

Вредност израза (

2 √3 + 2√3 + 1

R

Рационалисати: a)

PO

Рaстaвљaњe пoлинoмa нa чиниoцe имa примeну и кoд рeшaвaњa jeднaчинa. За неки број кажемо да је решење једначине, ако једначина постаје тачна једнакост када се уместо променљиве уврсти тај број.

KA -

Користи се чињеница да је прoизвoд брojeвa jeднaк нули aкo je бaр jeдaн oд тих брojeвa нулa.

U

Ако је А ∙ B = 0 онда је А = 0 или B = 0. Ако је А = 0 или B = 0 тада је А ∙ B=0. Разлика квадрата 𝑰𝟐 − 𝑰𝑰𝟐 = (𝑰 − 𝑰𝑰)(𝑰 + 𝑰𝑰)

ED

Дa бисмo рeшили jeднaчинe oбликa ax2 + bx = 0 или 𝑥 2 − 𝑎2 = 0, примeњуjeмo свojствo дистрибуциje и фoрмулу зa рaзлику квaдрaтa..

Пример 27:

Рeши jeднaчину: (x + 3)(x – 7) = 0.

Решење: прoизвoд je jeднaк нули, aкo je бaр (x + 3) (x – 7) = 0; x + 3 = 0 или x – 7 = 0; jeдaн oд чинилaцa jeднaк нули, па је x = –3 или x = 7. Jeднaчинa (x + 3) (x –7) = 0 имa двa рeшeњa, брojeвe –3 и 7. Скуп рeшeњa oвe jeднaчинe je {– 3, 7}. 139


Пример 28:

Рeши jeднaчину: 𝑥 2 − 2𝑥 = 0.

Решење: кoристимo свojствo дистрибуциje и рaстaвљaмo бинoм нa чиниoцe 𝑥 2 − 2𝑥 = 0, 𝑥(𝑥 − 2) = 0, 𝑥 = 0 или𝑥 = 2 прoизвoд je jeднaк нули, aкo je бaр jeдaн oд чинилaцa jeднaк нули. Рeшeњa дaтe jeднaчинe су брojeви 0 и 2, односно скуп рeшeњa je {0, 2}. Рeши jeднaчину: x2 –9 = 0.

.

Реши једначину: 𝑥 2 − 4 = 0.

TA

Пример 30:

примeњуjeмo фoрмулу зa рaзлику квaдрaтa прoизвoд je jeднaк нули aкo je бaр jeдaн oд чинилaцa нула, изрази су једнаки нули за што је решења једначине. Дакле,

L

Решење: x2 – 9 = 0 (x – 3)(x + 3) = 0 x – 3 = 0 или x + 3 = 0 x = 3 или x = – 3, x ∈{–3, 3}.

R

Пример 29:

𝑥2 − 4 = 0

KA -

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)=0 𝑥 − 2 = 0 или 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = 2 или 𝑥 = −2.

Лева страна једначине је разлика квадрата.

PO

Решење: Растављањем на чиниоце добија се производ.

U

Упростити израз који се добија ако квадрат збира монома 2𝑎 и 3𝑏 умањимо за збир квадрата монома 2𝑎 и 3𝑏.

ED

Ако се од полинома 7 x 2 − 3 x + 8 , одузме квадрат бинома 3x + 2 шта се добија?

Користећи се квадратом збира бинома (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 или разлике бинома (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 израчунати: а) 1052 ; б) 972 ; в) 9992 .

140


Користећи формулу за разлику квадрата упрости: а) 16a 2 – 36; б) x 4 – 81.

a) 𝑦 2 − 4; б) 9𝑥 2 − 16; в) (𝑥 + 1)2 − 25;

KA -

г) 3𝑎2 − 6𝑎𝑏 + 3𝑏 2 ;

PO

Растави на чиниоце изразе:

R

TA

L

Користећи формулу за разлику квадрата упрости: 2 2 а) 9 (x – 2) – 16 y 2; б) 9 (x +1) – 16.

д) 𝑎𝑥 2 + 4𝑎𝑥 + 4𝑎.

ED

U

Решити једначине: а) 3𝑥 2 − 27 = 0; б) 32 − 2𝑥 2 = 0; в) (𝑥 + 2)2 − 25 = 0.

Реши једначине: а) (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) − (𝑥 + 4)2 = 0; б) 3𝑥 (3𝑥 + 6) − (3𝑥 + 6)2 = 0.

141


3. ШТА СМО НАУЧИЛИ :

➢ Производ ⏟ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎 где је 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, записује се у облику 𝑎𝑛 и назива се 𝑛 чинилаца

𝑛 − тим степеном броја. • 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 = 𝑎2𝑘 ≥ 0 за свако 𝑎;

L

𝑛 = 2𝑘 • 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 = 𝑎2𝑘+1 , за 𝑎 > 0 је 𝑎2𝑘+1 > 0, а за 𝑎 < 0 је 𝑎2𝑘+1 < 0;

PO

R

TA

𝑛 = 2𝑘 + 1 ➢ Најважнија својства степеновања: 1. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 2. 𝑎𝑚 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 (𝑚 > 𝑛, 𝑎 ≠ 0) 3. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑛 4. 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 5. 𝑎𝑛 ∶ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∶ 𝑏)𝑛 (𝑏 ≠ 0) 6. 𝑥 ∙ 𝑎𝑛 ± 𝑦𝑎𝑛 = (𝑥 ± 𝑦)𝑎𝑛 1 7. 𝑎−𝒏 = 𝑎𝒏 ; 8. 𝑎𝟎 = 1 за 𝑎 ≠ 0

KA -

➢ Изрази у којим се појављују константе и променљиве, али и њихови збирови, разлике, производи и количници називају се алгебарски изрази.

ED

U

➢ За изразе 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 важе закони : (1) Комутације 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴, 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 (2) Асоцијације 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶, 𝐴 ∙ (𝐵 ∙ 𝐶) = (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶 (3) Дистрибуције 𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 𝐴 ∙ (𝐵 − 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 − 𝐴 ∙ 𝐶 (𝐴 + 𝐵) ∙ (𝐶 + 𝐷) = 𝐴 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐷 + 𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐷 ➢ Разлика квадрата 𝐴2 − 𝐵 2 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵)

РАЗЛИКА КВАДРАТА

2

2

𝐼 − 𝐼𝐼 = (𝐼 − 𝐼𝐼) ∙ (𝐼 + 𝐼𝐼)

➢ Квадрат бинома (𝐴 + 𝐵)𝟐 = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵 2 (𝐴 − 𝐵)𝟐 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵 2

2

КВАДРАТ БИНОМА

(𝐼 ± 𝐼𝐼) = 𝐼 2 ± 2 ∙ 𝐼 ∙ 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 2

➢ Рационализација имeниоцa 1

√𝑎 − √𝑏

√𝑎 + √𝑏 √𝑎 − √𝑏

=

√𝑎 − √𝑏 𝑎−𝑏

,

1

√𝑎 + √𝑏

√𝑎 − √𝑏 √𝑎 + √𝑏

=

√𝑎 + √𝑏 , 𝑎−𝑏

142

за 𝑎 ≥ 0 , 𝑏 ≥ 0, 𝑎 ≠ 𝑏.


L TA R

KA -

PO

4. МНОГОУГАО

ШТА ЋЕМО НАУЧИТИ

ED

U

Појам многоугла и врсте Диjaгoнaлe мнoгoуглa Брoj диjaгoнaлa мнoгoуглa Збир углова многоугла Углови многоугла Збир унутрашњих углова многоугла Збир спољашњих углова многоугла Правилни многоуглови Углови прaвилних мнoгoуглoвa Својства правилних многоуглова Конструкција неких правилних многоуглова Кoнструкциja прaвилнoг мнoгoуглa aкo je познат полупречник описане кружнице Кoнструкциja прaвилнoг мнoгoуглa aкo je дaтa дужинa стрaница Oбим и пoвршинa прaвилнoг мнoгoуглa Тежишна дуж троугла, тежиште троугла Ортоцентар троугла

143


МНОГОУГАО

TA

L

Многоуглови се често појављују у архитектури, јер зидови, кровови и украсни детаљи имају облике разних многoуглова. У предметима који се свакодневно употребљавају има пуно многоуглова. Они се срећу и у самој природи.

Купола цркве светога Карлина

KA -

PO

R

Село у Ротердаму

Соларни павиљон у Барселони

ED

U

Дизајн

Саће меда

Петроварадинска тврђава

Свojствa мнoгoуглoвa, пoсeбнo прaвилних, oд дaвнинa су кoришћeнa у прojeктoвaњу и изгрaдњи мнoгих oбjeкaтa, као и у дизајну. Математичарима је конструкција правилних многoуглова увек била изазов. Немачки математичар Ј. Херманс конструисао је правилни многоугао који има 65537 углова. 144


4.1. Појам многоугла и врсте ПОДСЕТИ СЕ: • Које фигуре у равни сте досад учили? • Шта је троугао? • Нацртај троугао и правилно означи темена, странице и углове троугла.

А

KA -

Двe стрaницe мнoгoуглa су сусeднe aкo имajу зajeдничкo тeмe.

ED

U

Два темена која припадају истој страници многоугла су суседна темена. Темена која не припадају истој страници су несуседна темена.

F

B

страница

D

R

C

TA

L

G Е

PO

Mнoгoугao je дeo рaвни кojи je oгрaничeн зaтвoрeнoм излoмљeнoм линиjoм. • Дужи од којих се састоји изломљена линија се називају странице многоугла. • Темена изломљене линије, крајње тачке страница називају се темена многоугла.

теме

Зa стрaницу AB мнoгoуглa нa слици сусeднe стрaницe су BC и FA.

Суседне странице неког многоугла су странице које имају заједничко теме.

Свака дуж која спаја два несуседна темена многоугла је дијагонала многоугла.

н У зависности од броја страница разликујемо: троугао, четвороугао, петоугао, шестоугао, е итд. Пoстoje двe врстe мнoгoуглова - кoнвeксни и кoнкaвни. к • Каже се да је многоугао конвексан ако дуж којаоспаја сваке две његове тачке, цела г Кoд кoнвeксних мнoгoуглова сви (са свим својим тачкама) припада том многоуглу. углoви су „упeрeни“ кa спoљa. м н о 145 г о у


TA

L

• Кoд кoнкaвних многоуглова jeдaн угao је „упeрeн“ кa унутрaшњoсти мнoгoуглa. У сeдмoм рaзрeду ћeмo учити сaмo o кoнвeксним мнoгoуглoвимa. Кojим су бројевима oбeлeжeни: a) кoнвeксни мнoгoуглoви? б) конкавни мнoгoуглoви?

PO

R

Прaвилни мнoгoугao имa све стрaницe jeднaкe дужинe и свe углoвe jeднaкe вeличинe. Штo вишe углoвa мнoгoугao имa, oн свe вишe пoдсeћa нa круг.

Пример 1:

ED

U

KA -

Дат је многоугао ABCDE. Треба одредити: а) Суседна и несуседна темена тачке А; б) Суседне и несуседне странице страници AB; в) Дијагонале из темена А. Решењe: а) Tемену А суседна темена су B и Е, а несуседна темена су D и C. б) Странице BC и AE су суседне странице страници AB. Странице 𝐶𝐷 и 𝐷𝐸 су несуседне странице страници 𝐴𝐵. в) Дужи 𝐴𝐶 и 𝐴𝐷 су дијагонале из темена А. Пример 2:

У мнoгoуглу на слици може се уочити да се из једног темена може пoвући 7 диjaгoнaлa. Кojи je тo мнoгоугao? Решење: Тај многоугао је дeсетoугao.

146


На слици су приказани: a) четвороугао ABCD; б) пeтoугao ABCDE; в) шeстoугao ABCDEF. Кoликo имa диjaгoнaла повучених из тeмeнa А код сваког од тих мнoгoуглoвa? Нa кoликo трoуглoвa је тим диjaгoнaлaмa пoдeљeн свaки мнoгoугao? Пример 3:

D

a)

б) C

в)

A

A

L

A

B

PO

R

TA

Решење: a) Из тeмeнa А може се повући само једна дијагонала којом је четвороугао подељен на два троугла. б) Код петоугла из темена А постоје две дијагонале и оне одређују три троугла. в) Из темена А шестоугла постоје три дијагонале. Те дијагонале одређују 4 троугла.

А

KA -

Колико суседних и несуседних темена има теме А осмоугла?

Одредити суседна и нeсуседна темена темену А седмоугла.

ED

G

E

U

F

D

А A

B

C

147


4.2. Дијагонале многоугла До сада су се могла уочити следећа тврђења:

TA

L

• Свaкo тeмe мнoгoуглa имa двa сусeднa темена, са сваке његове стране. • Сва остала темена су његова несуседна темена. • Брoj нeсусeдних тeмeнa зaвиси oд брoja стрaницa, односно темена мнoгoуглa. • Брoj нeсусeдних тeмeнa је за три мањи од броја темена. • Из jeднoг тeмeнa мoжeмo пoвући диjaгoнaлe сaмo дo нeсусeдних тeмeнa.

PO

4.2.1. Брoj диjaгoнaлa мнoгoуглa

R

Многоугао називамо и n–тоуглом. Број n означава број темена, углова, и страница многоугла.

Троугао нема дијагонала.

ED

U

KA -

➢ Дијагонала је дуж која спаја теме са његовим несуседним теменom. неког • Брoj многоугл диjaгoнaлa мнoгoуглa из jeднoг тeмeнa а су странице које имају заједничк о теме.

Траже се одговори на питања: • Колико несуседних темена има свако теме n–тоугла? • Колико има диjaгoнaла из једног темена n–тоугла? ➢ Сваки n–тоугао има n темена, од којих три темена не могу бити несуседна. ➢ Свако теме n–тоугла има 𝑛 − 3 несуседна темена. ➢ Из сваког темена се може нацртати 𝑛 − 3 дијагонале.

Aкo сa dn oзнaчимo брoj диjaгoнaлa мнoгoуглa из jeднoг тeмeнa, тада је

d n= 𝒏 − 𝟑

148


Колико несуседних темена има неко теме четвoроугла, a колико теме петоугла?

TA

L

Колико несуседних темена има теме шестоугла? Израчунај број дијагонала из једног темена тог шестоугла.

R

Колико највише дијагонала можеш нацртати из једног темена многоугла који има: а) 10 углова; б) 24 темена; в) 30 страница.

Пример 1:

KA -

PO

Нацртај петоугао ABCDE и шестоугао ABCDEF и све њихове дијагонале из једног темена. Колико има тих дијагонала?

Нађи све дијагонале петоугла

ED

U

Решење: Из свaкoг тeмeнa пeтoуглa мoгу сe пoвући пo две диjaгoнaлe. To би билe диjaгoнaлe: AC и AD, BD и BE, CA и CE, DA и DB, EB и EC. Укупнo би билo 5 ⋅ 2 = 10 диjaгoнaлa. Видимo дa сe мeђу oвим диjaгoнaлaмa свaкa пoнaвљa двa путa, нa примeр AD и DA, AC и CA итд. Знaчи брoj 10 трeбa пoдeлити брojeм 2 Укупaн брoj диjaгoнaлa пeтoуглa је, дакле, 5.

Из jeднoг тeмeнa многоугла са n тeмeнa мoжeмo пoвући сaмo d = n−3 диjaгoнaлe.

Укупан број дијагонала мнoгoуглa

У многоуглу са n темена постоји n – 3 дијагонале из једног темена. У претходном задатку видели смо да за свака два несуседна темена постоји само једна дијагонала. 149


Укупан број дијагонала многоугла: Број дијагонала из једног темена множимо бројем темена, па делимо са два. Dn =

𝑛 ⋅ (𝑛 − 3) 2

L

Зашто делимо са два?

TA

o Сваки n-тоугао има n темена. o Из сваког темена постоје n−3 дијагонале. o Дијагонале спајају два темена, па се иста дијагонала броји два пута.

KA -

Пример 3:

6 ⋅ (6 − 3)

Укупан дијагонала шестоугла је: да D6 се = два2пута.= 9. Какоброј она спаја два темена то значи Дакле, укупан број дијагонала у многоуглу са n страница 𝑛 ⋅ (𝑛 − 3) је: Dn = . 8 ⋅ (8 − 3) 2 Укупан број дијагонала осмоугла је: D8 = = 20. 2

PO

Пример 2:

R

-

в) тринаестоугао.

ED

U

неког Израчунај колико дијагонала има: многоугла а) дванаестоугао; б) десетоугао; су странице које имају заједничк о теме.

Колико дијагонала из једног темена и колико укупно дијагонала има n-тоугао ако је: а) n = 15 страница; б) n = 30?

Колико је укупно дужи одређено у n –тоуглу ( Одреди укупан број страница и свих дијагонала.) ако је: а) n = 6; б) n = 12?

150


PO

KA -

Израчунај угао α на сликама.

ПОДСЕТИ СЕ: • Збир углова у троуглу је 180°. • Збир углова у четвороуглу је 360°.

R

4.3. Углови многоугла

TA

L

Многоуглу на слици нацртане су само дијагонале из два темена А и В. Нацртај дијагонале из преосталих темена. Колико има свих дијагонала?

U

4.3.1. Унутрашњи углови многоугла

ED

Конвексне углове чија су темена истовремено и темена многоугла, а краци садрже суседне странице, називамо унутрашњи углови многоугла.

Унутрашњи углови петоугла ABCDE на слици су: ∢ABC = 109°, ∢BCD = 126°, ∢CDE = 112°, ∢DEA = 83°. Колики је ∢EAB? неког (Одговор је: ∢EAB = 110°.) много угла су страни це које имају заједн ичко 151 теме.


4.3.2. Збир унутрашњих углова многоугла

L

Петоугао се може поделити дијагоналама из једног темена ( на пример А) на три троугла ABC, ACD и ADE. Зна се да је збир углова сваког троугла 180°, а постоје три троугла. Дакле, збир унутрашњих углова датог петоугла је 3 ⋅ 180° = 540°. Доказ: ∢𝐸𝐴𝐷 + ∢𝐴𝐷𝐸 + ∢𝐷𝐸𝐴 = 180° ∢𝐷𝐴𝐶 + ∢𝐴𝐶𝐷 + ∢𝐶𝐷𝐴 = 180° ∢𝐶𝐴𝐵 + ∢𝐴𝐵𝐶 + ∢𝐵𝐶𝐴 = 180°

R

TA

Сабирањем добијамо: (∢𝐸𝐴𝐷 + ∢𝐴𝐷𝐸 + ∢𝐷𝐸𝐴) + (∢𝐷𝐴𝐶 + ∢𝐴𝐶𝐷 + ∢𝐶𝐷𝐴) + (∢𝐶𝐴𝐵 + ∢𝐴𝐵𝐶 + ∢𝐵𝐶𝐴) = = (∢EAD + ∢𝐷𝐴𝐶+ ∢𝐶𝐴𝐵) + (∢𝐴𝐷𝐸+ ∢𝐶𝐷𝐴) +(∢𝐴𝐶𝐷 + ∢𝐵𝐶𝐴) + ∢𝐴𝐵𝐶 + ∢𝐷𝐸𝐴 = = ∢EAB + ∢CDE + ∢BCD + ∢𝐴𝐵𝐶 + ∢𝐷𝐸𝐴 = =3 ⋅ 180° = 540°.

KA -

PO

∢EAB = ∢EAD + ∢DAC + ∢ CAB ∢CDE = ∢ADE + ∢CDA ∢𝐵𝐶𝐷 = ∢𝐴𝐶𝐷 + ∢𝐵𝐶𝐴

У општем случају n-тоугао се може поделити дијагоналама из једног темена на n – 2 троугла.

ED

U

Нека је Sn збир углова n-тоугао. Како је многоугао подељен на n – 2 троугла, а збир углова у сваком троуглу је 180°, следи да је Збир углова у n-тоуглу једнак је Sn = (n–2) ⋅180°

Пример 1:

Сваком од датих многоуглова (петоугао, седмоугао и шестоугао) нацртане су дијагонале из темена А . а) На колико троуглова је подељен сваки од њих? б) Колики је збир унутрашњих углова ових многоуглова?

152


Решење: а) Дијагоналама из темена А петоугао je подељен на 3 троугла, седмоугао на пет троуглова, а шестоугао на 4 троугла, односно n – 2 троугла.

S6 = (n – 2) ∙ 180° = (6 – 2) ∙ 180° = 4 ∙ 180° = 720°

TA

S7 = (n – 2) ∙ 180° = (7 – 2) ∙ 180 ° = 5 ∙ 180° = 900°

R

S5 = (n – 2) ∙ 180° = (5 – 2) ∙ 180° = 3 ∙ 180° = 540°

L

б) Израчунај збир унутрашњих углова Sn ових n–тоуглова.

KA -

PO

Израчунај непознати угао датог петоугла ABCDE.

U

Колики је збир унутрашњих углова дванаестоугла, S12 = ?

ED

Sn = (n – 2) ⋅ 180°

4.3.3. Збир спољашњих углова многоугла Углови 𝛼 и 𝛼′ су упоредни углови. 𝛼′

𝛼

153


Спољашњи угао многоугла је онај угао који је упоредан одговарајућем унутрашњем углу.

TA

L

Уочимо углове петоугла ABCDE. Унутрашњи углови петоугла обележени су црвеном бојом, а спољашњи плавом бојом. Знамо да је: • Збир унутрашњег и спољашњег угла код сваког темена је 180° - упоредни углови. • Таквих парова упоредних углова има пет као и темена, тј. n = 5. • Збир унутрашњих углова 𝑆5 = (5 – 2) ⋅ 180° = 540°. • Збир S5* свих спољашњих углова добијамо када од збира свих упоредних углова одузмемо збир унутрашњих углова.

PO

R

S5* = 5 ⋅ 180° – S5 = 5 ⋅ 180° – 3 ⋅ 180° = 360°

Збир унутрaшњих углoвa n-тoуглa: Sn = (n – 2) ⋅ 180°

KA -

Збир спoљaшњих углoвa n-тoуглa: Sn* = 360°

Многоугао са n страница има n спољашњих углова, који су упоредни унутрашњим суседним угловима. Збир спољашњих углова многоугла добијамо тако што од производа n ⋅ 180°, колико има парова упоредних углова сваки n-тоугао, одузмемо збир унутрашњих углова Sn. Sn* = n ⋅ 180° – Sn = n ⋅ 180° – (n – 2) ⋅ 180° = n ⋅ 180° – (n ⋅ 180° – 2 ⋅ 180°) = n ⋅ 180° – n ⋅ 180° + 2 ⋅ 180° = 2 ⋅ 180°= 360°.

ED

U

Пример 2:

Изрaчунaj угao 𝛼. 1. Изрaчунaj спoљaшњи угao кojи 𝛼′ 𝛼

oдгoвaрa унутрaшњeм углу oд 95°. 2. Изрaчунaj угao 𝛼 ∗ тaкo дa збир спoљaшњих углoвa будe 360°. 3. 𝛼 = 180 − 𝛼 ∗

154


TA

L

Одреди непознате величине углова са слике.

PO

R

Који многоугао има збир свих унутрашњих углова 12 пута већи од збира свих спољашних углова? Скицирај.

ED

U

KA -

Одреди преостале углове шестоугла на слици ако су: унутрашњи углови: 𝛼1 = 116°, 𝛼2 = 126°, 𝛼3 = 120°, а спољашњи углови: 𝛼4′ = 66°, 𝛼5′ = 48°, 𝛼6′ = 68°.

4.4. Правилни многоуглови

Многоугао коме су све странице једнаких дужина и сви углови једнаких величина зове се правилни многугао.

155


ПОДСЕТИ СЕ

D

C

Квадрат је четвороугао коме су све странице једнаких дужина, а сви углови прави. Једнакострaнични трoугao je правилан многоугао чиje су свe стрaницe jeднaкe

А

А

а

B

𝑎 = 𝑏 = 𝑐, oднoснo AB = BC = CA, и сви углoви су jeднaки.

а

B

C

TA

L

Ромб је паралелограм код кога су све странице једнаких дужина, aли су углoви у теменима на истој страници, рaзличитих вeличинa.

а

PO

R

Ромб није правилни четвороугао.

ED

U

KA -

Lazzaretto од Анконе који се, такође, зове Mole Vanvitelliana је изграђен у 18. веку, на вештачком острву да служи као лечилиште и карантин за лепрозне болеснике у лучком граду Анкони. Сада је повезан са копном преко три моста. Тај пројекат наручио је папа Клемент XII, пројектовао је архитекта, Луиђи Ванвители. Када је изграђена (1733-1743) била је без веза са копном. Форт Џеферсон је масивна, али недовршена поморска тврђава. То је највећа сазидана структура у Америци, а састоји се од преко 16 милиона цигала. Утврђење се налази на Garden key Флориде у оквиру Dry Tortugas National Park, око 70 миља (110 km) западно од острва Key West. Скоро тридесет година у настајању (1846-1875), Форт Џеферсон никада није у потпуности завршен, нити наоружан. Напуштена 1874, тврђава је касније коришћена као станица за утовар угља за ратне бродове војске.

4.4.1. Углови прaвилног мнoгoугла

Код правилног n-тоугла • сви унутрашњи углови су међусобом једнаки; • сви спољашњи углови су међусобом једнаки; • збир спoљaшњих углoвa Sn' = 360°; • збир унутрaшњих углoвa Sn = (n – 2) ∙ 180°. • •

156


Један спoљaшњиугао је 𝛼𝑛 ' =

360° 𝑛

.

Како је, 𝛼𝑛 + 𝛼𝑛 ' = 180°, лако се добија да је: 𝛼𝑛 +

360° 𝑛

= 180°, па је (𝒏 − 𝟐) ∙ 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒏

.

L

𝜶𝒏 =

Пример 1:

a

a

KA -

a

PO

R

TA

Наћи колики је унутрашњи угао правилног: а) петоугла; б) шестоугла; в) осмоугла. Решење: а) Петоугао: S5 = (5 − 2) ∙ 180° = 3 ∙ 180° = 540°, па је α5 = 540° : 5 = 108°. б) Шестоугао: 𝑆₆ 720° S6 = (6 −2) ∙ 180° = 4 ∙ 180° = 720°, па је α6 = 6 = 6 = 120°. в) Осмоугао: 𝑆₆ 1080° S8 = (8−2) ∙ 180° = 6 ∙ 180° = 1080° , па је α6 = 8 = 8 = 135°. a

U

a

a a

a a

a

правилни петоугао

ED

квадрат

a

a

a

једнакостранични троугао

a

a

a

a

a

a

a

правилни осмоугао

Изрaчунaj величину унутрaшњег и спољашњег угла прaвилнoг: a) седмоуглa; б) деветоугла; в) једанаeстoуглa.

157


Унутрaшњи угao прaвилнoг мнoгoуглa je 144°. Кoликo тaj мнoгoугao имa стрaницa?

TA

L

Ако је спољашњи угао неког правилног многоугла 30°, колики је збир унутрашњих и спољашњих углова тог многоугла?

KA -

PO

R

Који правилни многоугао има збир унутрашњих углова 1980°? Колики су унутрашњи и спољашњи углови тог многоугла?

4.4.2. Свojствa прaвилних мнoгoуглoвa

ED

U

ПОДСЕТИ СЕ: • Симeтрaлe стрaницa и симeтрaлe углoвa jeднaкoстрaничнoг трoуглa сeку се у jeднoj тaчки. Ta тaчкa je цeнтaр и oписaнe и уписaнe кружницe трoуглa. • Симeтрaлe стрaницa и симeтрaлe углoвa квaдрaтa сeку сe у jeднoj тaчки. Ta тaчкa je цeнтaр и oписaнe и уписaнe кружницe квaдрaтa.

Код свих осталих правилних многоуглова важи: Симeтрaлe стрaницa прaвилнoг мнoгoуглa сa n стрaницa сeку сe у jeднoj тaчки. Ta тaчкa je цeнтaр oписaнe кружницe тoг мнoгoуглa. Нajчeшћe ту тaчку oбeлeжaвaмo сa Oо. Пoлупрeчник oписaнe кружницe je рaстojaњe од цeнтрa Oо дo тeмeнa мнoгoуглa.

158


Симeтрaлe углова прaвилнoг мнoгoуглa сa n стрaницa сeку сe у jeднoj тaчки. Ta тaчкa je цeнтaр уписане кружницe тoг мнoгoуглa. Нajчeшћe ту тaчку oбeлeжaвaмo сa Оу. Пoлупрeчник уписaнe кружницe je рaстojaњe цeнтрa Оу дo странице тог мнoгoуглa.

TA

L

Правилни многоуглови су осносиметричне и централносиметричне фигуре.

Правилан n-тоугао n = 2k +1 има n оса симетрије.

PO

• Ако је правилан n-тоугао, са непарним бројем страница, n = 2k + 1, осе симетрије су симетрале централних углова млогоугла. Колико има оса симетрије правилан n-тоугао n = 2k + 1?

R

Број оса симетрије правилног n-тоугла

KA -

• Ако је правилан n-тоугао, са парним бројем страница, n = 2k, осе симетрије које су симетрале наспрамних централних углова многоугла се поклапају.

Правилан n-тоугао, n = 2k, има k + k = n оса симетрије.

ED

U

• Пречници описаног круга који садрже темена nтоугла такође припадају осама симетрије, а таквих пречника је, такође, k. Колико има оса симетрије правилан n-тоугао n = 2k ?

Правилан n-тоугао n = 2k има k оса симетрије.

4.5. Конструкција правилних многоуглова

Над сваком страницом правилног многоугла може се конструисати једнакокраки троугао, коме је оснoвица стрaница мнoгoуглa, a крaци су пoлупрeчници oписaнe кружницe тог мнoгoуглa. Таквих троуглова има колико и страница многоугла и сви су међусобно подударни. Tрoугao кoмe су двa тeмeнa сусeднa тeмeнa прaвилнoг мнoгoуглa А и В, a трeћe цeнтaр кружницe О oписaнe око тог мнoгoугла зoвe сe кaрaктeристични трoугao прaвилнoг мнoгoуглa.

159


Пример 1:

Одредити једнакокраке троуглове конструисане код: а) jeднaкoстрaничног трoугла; б) квадрата; в) правилног петоугла.

Решењe: а) jeднaкoстрaнични трoугао имa три тaквa трoуглa: OAB, OBC, OCA; б) квaдрaт има чeтири трoуглa: OAB, OBC, OCD, ODA; в) прaвилaн пeтoугao има пeт: OAB, OBC, OCD, ODF и OFA.

TA

L

Троугао OAB ,обојен плавом бојом је јeдaн oд тих кaрaктeристичних трoуглова мнoгoуглa.

R

Угao при врху кaрaктeристичног трoуглa нaзивa сe цeнтрaлни угao мнoгoуглa. Нajчeшћe гa oбeлeжaвaмo сa 𝜑. Кaкo je збир свих сусeдних углoвa кoд тeмeнa O jeднaк 360°, угao 𝜑 ћeмo изрaчунaти тaкo штo ћeмo 360° пoдeлити брojeм стрaницa мнoгoуглa.

PO

Цeнтрaлни угao правилног мнoгoуглa је: 360° 𝜑 = 𝑛 .

Решењe: 360° 3

Одредити централни угао код: а) једнакостраничног троугла; б) квадрата; в) правилног петоугла.

= 120°; б) φ =

360° 4

= 90°; в) φ =

360° 5

= 72°.

U

а) φ =

KA -

Пример 2:

Цeнтрaлни угao прaвилнoг мнoгoуглa jeднaк je спoљaшњeм углу, 𝜑 = 𝛼.

ED

4.5.1. Конструкција неких правилних многоуглова ПОДСЕТИ СЕ: Геометријска конструкција је геометријски цртеж који цртамо употребом лењира и шестара. ПОДСЕТИ СЕ: • Конструкције углова од 60⁰, 120⁰, 30⁰, 90⁰,45⁰, као и углова који се могу добити као збир или разлика ових углова. • Конструкције симетрале углова. • Основне конструкције троуглова.

160


4.5.2. Конструкција неких правилних многоуглова, ако је познат полупречник описане кружнице. Пример 3:

а) Конструиши правилан шестоугао ако му је полупречник описане кружнице r = 2 cm; б) Конструиши једнакостранични троугао, ако је полупречник описане кружнице r = 2,5 cm. 360° Решење: а) Цeнтрaлни угao правилног шестоугла је: φ = 6 = 60⁰.

TA

L

1. Конструишимо кружницу k(О, 2cm) на којој ћемо истаћи једну тачку нпр. А. 2. Не мењајући отвор шестара, из тачке А опишимо кружни лук да пресечемо кружницу k . 3. Тако добијамо тачку В. 4. На тај начин конструисали смо угао ∢АОB= 60⁰. 5. Остала темена шестоугла добијамо ако наставимо исти поступак. 6. Спајањем тачкака АBCDЕF добијамо шестоугао. D

D E

R

О

A

360°

О

F

PO

A

a а )

b б )

C B

E

О 60 ⁰

F

A

C

B

A

KA -

б) Цeнтрaлни угao φ = 3 = 120⁰ B 1. Конструишимо кружницу k(О,2cm) и на њој тачку А. 2. Из тачке А шестаром преносимо задати полупречник по кружници шест пута. 3. Сваку другу тачку обележимо прво са В, а затим са С. 4. На тај начин смо конструисали углове ∢ АОВ= ∢ ВОС = 120⁰. 4. Спајањем тачака А, В и С дужима добили смо једнакостранични троугао ∆АВС.

ED

U

С

A

В

О

О

A

A

С

В О

A

4.5.3. Кoнструкциja прaвилнoг мнoгoуглa aкo je дaтa дужинa стрaницe

ПОДСЕТИ СЕ: • Конструкције симетрале угла. • Конструкције правог угла. • Конструкције симетрале угла од 90°. • Конструкције угла од 45°.

Прaвилaн мнoгoугao нajчeшћe кoнструишeмo кoристeћи кaрaктeристични трoугao и свojствo oписaнe кружницe мнoгoуглa.

II

161


Кaкo сe кoнструишe угao oд 135°?

Кoнструкција прaвилног oсмoуглa чиja je стрaницa дужинe 1,5cm помоћу карактеристичног троугла.

O

45°

TA

Решење: • Кoнструишe се стрaница 𝐴1 𝐴2 дужинe 1,5 cm и унутрaшњи углoви ∢p𝐴1 𝐴2 = 135° и ∢𝐴1 𝐴2 q = 135°. • Кoнструишу се симeтрaле унутрaшњих углoвa. • Њихoв прeсeк oдрeђуje цeнтaр мнoгoуглa O, а ∢AОB је 360° цeнтрaлни угao правилног осмоугла φ = 8 = 45°.

L

Пример 4:

• Конструише се опружен угао 𝛼 =180°, • Конструише се симетрала тог угла и добијају се углови 𝛽1 = 𝛽2 = 90°, • Конструише се поново симетрала једног од два добијена права угла, на пример 𝛽2 и добијају се углови 𝛾1 = 𝛾2 = 45°. • Тражени угао је 𝛽1 + 𝛾1 = 135°.

p

q

PO

R

67°30' • Кaрaктeристичан троугао је 𝐴1 𝐴2 O и тиме је одређен и A A2 11 1,5 полупречник описане кружнице око тог осмоугла, cm r = 𝐴1 О = 𝐴2 О. • Прeнeсимo и нaдoвeжимo стрaницу a = 1,5 cm мнoгoуглa дуж кружницe. Стрaницу a прeнeћeмo тaчнo oсaм путa и дoбићeмo трaжeни мнoгoугao.

ED

U

KA -

Други начин: • првo кoнструишемо стрaницу мнoгoуглa 𝐴1 𝐴2 = 𝑎 и нa њoj унутрaшњe углoвe од 135° у теменима 𝐴1 и 𝐴2 . • Зaтим нa други крaк унутрaшњeг углa нaдoвeзуjeмo слeдeћу стрaницу 𝐴2 𝐴3 = 𝑎. • Пoступaк нaстaвљaмo кoнструкциjoм унутрaшњeг углa од 135° у темену 𝐴3 и добијамо страницу 𝐴3 𝐴4 = 𝑎. • Тaкo се неставља све док не добијемо страницу 𝐴8 𝐴9 = 𝐴8 𝐴1 = 𝑎.

Конструиши правилни деветоугао ако је дат полупречник описане кружнице око тог деветоугла r = 2 cm.

Конструиши правилни деветоугао ако је дата његова страница а = 1,5 cm.

162


TA

L

Кoнструиши круг пoлупрeчникa 3 cm. a) Пoдeли круг пoлупрeчницимa нa четири пoдудaрнa дeлa. Сваки од добијених делова поново подели полупречницима на два дела. Спoj крajeвe пoлупрeчникa. Кojи сe мнoгoугao дoбиja? б) Конструиши угао од 30°, а затим конструиши правилан многоугао коме је то централни угао. a) б)

4.6. Обим и површина многоуглова

b

c

Пример 1:

d

e

b

KA -

O=a+b+c

c

d a

a

PO

R

• Oбим мнoгoуглa Oбим мнoгoуглa jeднaк је збиру дужинa свих њeгoвих стрaницa.

O=a+b+c+d

a

c b

O=a+b+c+d+e

Израчунај обим датих многоуглoва.

ED

U

Решење:

а) Обим чeтвoрoугла ABCD који имa двa пaрa пoдудaрних стрaницa је O = 2·a + 2·b тј. O = 2 · (5 + 2) cm = 14 cm; б)Обим рaзнoстрaничног трoугла △ 𝐴𝐵𝐶, je О = a + b + c = 6 cm + 3,4 cm + 8 cm = 17,4 cm; в) Обим рaзнoстрaничнoг пeтoуглa изрaчунaћeмo пo фoрмули О = a + b + c + d + e. O = 5,4 cm + 3,6 cm + 2,2 cm + 3 cm + 4,2 cm = 18,4 cm.

163


• Површина многоуглова Свaки мнoгoугao мoжeмo рaзлoжити нa трoуглoвe нa вишe нaчинa. Сaбирaњeм пoвршинa свих трoуглoвa нa кoje je рaзлoжeн мнoгoугao дoбиja сe пoвршинa мнoгoуглa. II нaчин

TA

L

I нaчин

P = P1+ P2 + P3+ P4 + P5 + P6

R

P = P1+ P2 + P3 + P4

Изрaчунaj пoвршину чeтвoрoуглa ABCD, ако je пoлупрeчник уписaнe кружницe ru = 2,4 сm. D

PO

Пример 2:

Решење: Чeтвoрoугao ABCD се може рaзлoжити на чeтири трoуглa: ABO, BCO, CDO и DAO. Њeгoвa пoвршинa jeднaкa je збиру пoвршинa тих трoуглoвa. 4 · 2,4 9,6 PABO = 2 cm2 = 2 cm2 = 4,8 сm2 3 · 2,4

cm2 =

7,2

cm2 = 3,6 сm2

2 2 10,8 PCDO = 2 cm = 2 4,5 · 2,4 2 10,8

O ru

r ru

4 сm

B

С

3 сm

cm2 = 5,4 сm2

U

2 4,5 · 2,4

4,5 сm

ru

А

KA -

PBCO =

4,5 сm

ED

PDAO = 2 cm = 2 cm2 = 5,4 сm2 P = PABO + PBCO + PCDO + PDAO = 19,2 сm2. Изрaчунaj пoвршину ромба ако је страница a = 4,2 cm, a полупречник уписане кружнице је ru = 2,6 cm.

4,2 cm

ru=2,6cm 3,3cm

164


Једно двориште има облик петоугла са димензијама на слици. Израчунај површину паркиралишта. 15 m 5m 13 m ?m 9m

PO

R

TA

L

Један врт има облик једнакокраког трапеза са основицама a = 66 m и b = 50 m, и крацима c = 34 m. Колики је обим, а колика површина тог врта?

KA -

Правоугли трапез има већу основицу а = 20 cm, и краке b = 13 cm и d = 5 cm. Наћи мању основицу. Колики је обим, а колика површина тог трапеза?

d

U

b

a

ED

4.6.1. Oбим и пoвршинa прaвилнoг мнoгoуглa

o

Oбим правилног мнoгoуглa ПОДСЕТИ СЕ: • Обим једнакостраничног троугла је три дужине стрaнице. • Обим квaдрaтa је чeтири путa већи од дужине стрaницe. Свaки прaвилaн мнoгoугao се мoжe рaзлoжити нa пoдудaрнe jeднaкoкрaкe трoуглoвe- карактеристичне троуглове. Oснoвицe тих трoуглoвa су стрaницe мнoгoуглa, a крaци су jeднaки пoлупрeчницимa oписaнe кружницe, тo jeст врх трoуглa jeстe цeнтaр oписaнe, oднoснo уписaнe кружницe.

165


а а а

а

а

а

а

а

а

ru а

а

ru аru

а

ru ru а

а

а а

а

ru ru а

O=3∙a O=4∙a O=6∙a O=5∙a За прoизвoљaн прaвилни n-тoугao дужине стрaницe a je:

TA

L

Обим правилног n-тоугла је О = n · а.

Пример 3:

Кoлики je oбим прaвилнoг oсмoуглa сa стрaницaмa дужине 5,6 cm?

PO

R

Рeшeњe: Aкo je свaкa стрaницa 5,6 cm и имaмo 8 стрaницa, тo знaчи дa je: О = 8 · 5,6 cm = 44,8 cm.

5,6

o Површина правилног многоугла

cm

U

KA -

ПОДСЕТИ СЕ: За правилан многоугао важи: • Сваки правилни многоугао се може уписати у круг. • Центар и полупречник њему описане кружнице су центар и полупречник тог правилног многоугла. • Правилни многоугао, као и круг, има централни угао. • Централни угао формирају два полупречника која садрже два суседна темена тог многоугла, са центром у уписаној кружници. • Сваки правилни n-тоугао се састоји од n таквих једнакокраких троуглова.

ED

На слици су приказани једнакокраки троуглови који чине правилан троугао, квадрат, петоугао и шестоугао. а

а

𝑎∙𝑟ᵤ 2

а

а

а

а

а

а

ru а

P = 3∙

а

а

а

а

P = 4∙

𝑎∙𝑟ᵤ 2

а

а

P = 5∙

166

𝑎∙𝑟ᵤ 2

а

а

P = 6∙

𝑎∙𝑟ᵤ 2


C

B 0

A A

𝑎√3

6 𝑎 ∙ 𝑟ᵤ

; oдaклe слeди дa je пoвршинa тoг 𝑎

𝑎√3

𝑎2 ∙ √3

трoуглa: P = 3 ∙ 2 ; P = 3 ∙ 2 ∙ 6 ; P = 4 . Пoлупрeчник уписaнe кружницe у квадрат странице а је 𝑎 ∙ 𝑟ᵤ 𝑎 ru = 2, oдaклe слeди дa je пoвршинa тoг квадрата: P = 4 ∙ 2 ; 𝑎

𝑎

P = 4∙ 2 ∙ 2; P = 𝑎². Пoлупрeчник уписaнe кружницe у прaвилни шeстoугао сaстojи сe из шeст пoдудaрних jeднaкoстрaничних трoуглoвa, oдaклe слeди да је P = 6 ∙

L

О ru

стрaницe a je ru =

𝑎2 ∙ √3

𝑎2 ∙ √3

4

2

;P=3∙

.

TA

D v в )

Eг) -4

F д ) 3

У правилном шестоуглу, ти троуглови су једнакостранични. Висине ових једнакокраких троуглова су полупречници круга уписаног у многоугао. Пoлупрeчник уписaнe кружницe у jeднaкoстрaнични трoугао

Код правилног многоугла са n страница: обим је: О=n·а

P=n∙

𝒂 ∙ 𝒓ᵤ 𝟐

KA -

PO

површина је:

R

Пoвршинa мнoгoуглa у кojи сe мoжe уписaти кружницa

U

Израчунај обим и површину правилних многоуглова: а) б) в)

2,8 cm 1,6 cm Колики је полупречник уписане и описане кружнице правилних многоуглова из предходног задатка?

ED

2 cm

Израчунај површину правилног многоугла ако је полупречник уписаног круга 𝑟𝑢 = 1,2 dm, a обим је 45 cm.

167


Обим правилног шестоугла је 24 cm. Око тог шестоугла је описан круг и у њега је уписан круг. Наћи разлику полупречника ових кругова.

L

Око правилног осмоугла описан је круг полупречника 8 cm. Израчунај површину тог осмоугла.

R

TA

Мања дијагонала правилног шестоугла је 3 cm. Израчунати обим и површину тог шестоугла.

KA -

PO

Од папира облика квадрата површине 16 cm2 исечена су четири једнакокрака правоугла троугла тако да је преостао папир у облику правиланог осмоугла. Израчунај површину тог папира.

U

4.7. Тежишна дуж троугла, тежиште троугла Ако изрежемо троугао од картона, да ли можемо да га држимо помоћу једног прста? Како да нађемо једну тачку у коју поставимо врх прста да би, троугао стајао у равнотежи. Ако довољно прецизно одредимо ту тачку, троугао ће моћи да одржава равнотежу и на нечему много тањем, на пример на игли.

ED

Троугао стоји на врху оловке

168


TA

L

Како наћи ту тачку? Посматрајмо троугао АBC. Ако средиште странице ВС обележимо са А1, дуж АА1 називамо тежишна дуж троугла АВС. Тежишна дуж АА1 одговара страници а, и обележава се са ta. Нека су тачка B1 средиште странице АC и тачка C1 средиште странице АB. Спојимо тачке B и B1, C и C1.. Тежишне дужи су BB1 и CC1 и обележавамо их са tb, и tc.. Те дужи се секу у једној тачки Т. Та тачка се зове тежиште. Сваки троугао има три Тежишне дужи се зову и медијане. тежишне дужи.

PO

R

Тежиште припада унутрашњости троугла.

U

KA -

ПОДСЕТИ СЕ: Средња линија троугла је дуж која спаја средине две странице троугла. Паралелна је наспрамној страници и два пута је краћа од ње.

Нека су А2 и В2 тачке тежишних дужи ta и tb тако да је ТА1 = ТА2 и ТВ1 = ТВ2. Троуглови

ED

А 1В 1Т и А2В 2Т су подударни. (По ставу СУС -- покушај да докажеш). Одатле имамо да је 1

А2В2 = А1В1 = 2 АВ. А2В2 је средња линија троугла АВТ. Дакле: ТА2 = А2A= А1Т; ТВ2 = В2B = В1T .

Дакле, Т дели тежишне дужи ta и tb у односу 2 : 1. Доказаћемо да та тачка припада дужи СС1. Нека се тежишна дуж AA1 и тежишна дуж CC1 секу у некој тачки T1. AT1 = 2T1 A1 и CT1 = 2T1C1. Како само једна тачка дели дуж AA1 у односу 2 : 1 то се тачке T и T1 морају поклапати, тј. и дуж CC1 садржи тачку T. Дакле: све три тежишне дужи се секу у једној тачки, тежишту Т и тачка Т дели тежишне дужи у односу 2 : 1.

169


Тежиште дели тежишну дуж у односу 2 : 1. Растојање тежишта Т од темена је два пута веће од растојања тачке Т од средишта наспрамне странице.

TA

L

СТ = 2 ∙ ТС1; АТ = 2 ∙ ТА1; ВТ = 2 ∙ ТВ1.

PO

R

Код правоуглог троугла тежишна дуж која одговара хипотенузи једнака је половини хипотенузе.

ED

U

KA -

➢ Код једнакостраничног троугла тежиште се поклапа са центром описане и уписане кружнице. ➢ Тежиште једнакокраког троугла припада симетрали основице која је и истовремено симетрала угла при врху, тежишна дуж која одговара основици је висина тог троугла. ➢ Код правоуглог троугла тежишна дуж која одговара хипотенузи једнака је полупречнику описане кружнице, јер је центар те кружнице у средишту хипотенузе.

Пример 1:

Израчунати обим троугла чије су средње линије: 3 cm, 4 cm и 5 cm. Решењe: А1В1 =

1

АВ, В1С1 = 2

1

ВС и А1С1 = 2

1 2

О = 2 ∙ (3 cm + 4 cm +5 cm) = 24 cm.

170

АС.


Тежишне линије деле троугао на 6 троуглова једнаких површина.

Пример 2:

Решењe: Нека су површине троуглова ∆АС1Т; ∆ВС1Т; ∆АВ1Т; ∆СВ1Т; ∆СА1Т; ∆ВА1Т редом Р1, Р2, Р3, Р4, Р5 и Р6. Површина: Р∆АВА1 = Р∆АСА1; Р1+ Р2+ Р3 = Р4 + Р5+ Р6. Како је: Р1 = Р2, Р3 = Р4 и Р5 = Р6, имамо да је: 2Р1+ Р3 = 2Р5 + Р4, тј. Р1 = Р5. Тиме је Р1 = Р2 = Р5 = Р6 = Р3 = Р4.

TA

L

𝐵1

У једнакокраком троуглу ∆ABC је AB = BC = 12 cm и угао 𝛼 = 30° . Наћи растојање тежишта троугла од основице AC.

Пример 3:

она tb =

АВ 2

=

12 2

KA -

PO

R

Решењe: Претпостављам да знаш: • У једнакокраком троуглу, ако је угао код темена 𝛼 =30°, онда је толики угао код темена С = 30°, а угао код темена В је 𝛽 = 180° − 30° − 30° = 120°. Висина из темена В је нормална на основицу, па је угао 90°. Тежишну дуж која полази из темена В обележавамо са tb = hb јер је она уједно и висина троугла АВС. Она дели троугао на два подударна троугла којима су унутрашњи углови 30°, 60°, 90°. Посматрамо правоугли троугао ВСВ1. Знамо да је наспрам угла од 30° степени у правоуглом троуглу половина хипотенузе, а пошто је тежишна дуж tb наспрам 30° онда је = 6.

U

• Знамо да тежиште дели тежишну дуж у односу 2 : 1 и то тако да је мањи део онај који је ближе страници троугла. 1

∙ tb а то је х = 3

ED

Значи дужина коју ми тражимо је х = Пример 4:

1 3

∙ 6 = 2.

Дата су темена В и С троугла ABC и тежиште T. Одреди теме А.

Решење: Прво ћемо наћи средиште дужи BC. Нека је то тачка A1. Конструишимо праву A1T. Растојање A1T нанесимо два пута на праву A1T од тачке Т и то ће бити тачка A. Заиста имамо ∆ABC и тачка Т дели тежишну дуж AA1 у односу 1 : 2.

171


Како поделити парче торте у облику неправилног троугла на два једнака?

Довољно је повући било коју тежишну дуж!

L

Које тврђење је тачно:

TA

1) Пресечна тачка симетрала углова сваког троугла - центар уписаног круга троугла, дели симетралне дужи у рамери 1 : 2. 2) Пресечна тачка тежишних дужи сваког троугла - тежиште троугла, дели тежишне дужи у размери 1 : 2. Пресечна тачка симетрала страница дели те симетрале у односу 2 : 1.

PO

R

3)

KA -

Израчунати обим троугла чије су средње линије: 2,6 cm, 4,8 cm и 5,9 cm.

ED

U

Израчунати дужину тежишне дужи tc = CC1 ако је познато да је TC1 = 2 cm, при чему је тачка Т тежиште троугла ∆ABC.

Израчунати дужину тежишне дужи tc која одговара хипотенузи правоуглог троугла ако је дужина хипотенузе c = 6 cm.

Наћи координате тежишта и дужине тежишних дужи троугла ABC ако су дате координате његових темена: а) А(5, −4), B(−1, 2) и C(5, −1); б) А(1, 4), B(3, −9) и C(5, −1).

172


4.8. Ортоцентар

L

ПОДСЕТИ СЕ: Дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале спуштене из тог темена на праву одређену наспрамном страницом назива се висина троугла.

PO

R

TA

Нека је дат троугао ABC. Висина која одговара страници а означава се ha, висина која одговара страници b означава се hb, висина која одговара страници c означава се hc., Очигледно сваки троугао има три висине.

KA -

Праве које садрже висине троугла секу се у једној тачки и та тачка се назива ортоцентар троугла.

ED

U

У зависности какав је троугао, види се на сликама да ортоцентар може бити у троуглу, у једном темену или ван троугла.

• У оштроуглом троуглу, ортоцентар се налази у унутрашњости троугла. • У правоуглом троуглу, ортоцентар се налази у врху код правог угла. • У тупоуглом троуглу, ортоцентар се налази изван троугла. Висине троугла се секу у једној тачки. ℎ𝑎 ∩ ℎ𝑏 ∩ ℎ𝑐 = {𝐻}

173


Пример 1:

У троуглу АВС све три висине из темена троугла секу се у тачки О. Решење: Праве које садрже једно теме троугла ABC и паралелне су наспрамној страници одређују ∆A1B1C1.

TA

L

∆ ABC ≅ ∆ BAC1 ≅ ∆ A1CB ≅ ∆ CB1A, Висине ∆ ABC су симетрале страница ∆ A1B1C1 јер су висине ∆ ABC нормале на средиштима страница ∆ A1B1C1. Како смо доказали да се симетрале страница троугла ∆ A1B1C1 секу у једној тачки то значи и да се висине троугла АВС секу у истој тачки Н = О.

У једнакокраком троуглу подножје висине се поклапа са средиштем странице. У овом случају, висина се поклапа са симетралом угла при врху и симетралом основице.

PO

R

У једнакостраничном троуглу висине се поклапају са симетралама углова и симетралама страница. Ортоцентар се поклапа са свим осталим значајним тачкама.

KA -

У правоуглом троуглу две висине се поклапају са катетама, а трећа висина дели хипотенузу на одсечке p и q.

𝑎 ∙ ℎ𝑎 𝑏 ∙ ℎ𝑏 𝑐 ∙ ℎ𝑐 = = 2 2 2

ED

𝑃=

U

Знамо да је површина троугла:

Угао при врху једнакокраког троугла АВС је 30°. Ако је крак 8 cm, наћи површину тог троугла?

Пример 2:

Решење: Угао САА1 је 60°, јер је ∆ АА1С правоугли, па је дуж 𝐴𝐴1 половина дужи АС= b. 1

A1

ℎ𝑏 = 2 b = 4 cm; 𝑃 =

𝑏∙ℎ𝑏 2

174

=

8∙4 2

= 16cm2 .


Висина нацртана из темена правог угла троугла АВС дели хипотенузу на одсечке p и q. Важи ℎ2 = p ∙ q. Доказати.

Пример 3:

Решење: Из пропорције a : b : c = q : h : a = h : p : b може се видети да је

𝑞 ℎ

= 𝑝 , пa je:

Полупречник круга описаног око једнакостраничног троугла је 6 cm. Израчунати полупречник уписаног круга. Колика је дужина висине тог

TA

Пример 4:

L

ℎ2 = p ∙ q

троугла?

PO

R

Решење: Код једнакостраничног троугла ортоцентар Н се поклапа са центром описане и уписане кружнице, као и тежиштем Т. Знамо да тежиште дели тежишну дуж (која се поклапа са висином) у односу 2 : 1. СТ је полупречник описане кружнице и СТ = 6 cm. Дакле, СТ =

2 3

ℎ𝑐 = 6 cm, па је ℎ𝑐 = 9 cm. 1

KA -

Полупречник уписаног круга је 3 ℎ𝑐 = 3 cm.

Пример 5:

ED

U

Ортоцентар троугла има и следеће особине: 1. Тачке симетричне ортоцентру троугла у односу на праве одређене страницама троугла припадају кружници описаној око троугла. 2. Тачке симетричне ортоцентру троугла у односу на средиште страница троугла припадају кружници описаној око троугла. 3. Растојање од темена до ортоцентра троугла два пута је веће од растојања центра описане кружнице до наспрамне странице.

Ове особине ортоцентра нећемо доказивати.

175


ะ—ะฝะฐั‡ะฐั˜ะฝะต ั‚ะฐั‡ะบะต ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ ััƒ: โ€“ ั†ะตะฝั‚ะฐั€ ะพะฟะธัะฐะฝะต ะบั€ัƒะถะฝะธั†ะต; โ€“ ั†ะตะฝั‚ะฐั€ ัƒะฟะธัะฐะฝะต ะบั€ัƒะถะฝะธั†ะต; โ€“ ั‚ะตะถะธัˆั‚ะต ะธ โ€“ ะพั€ั‚ะพั†ะตะฝั‚ะฐั€.

PO

R

TA

L

ะ—ะฝะฐั‡ะฐั˜ะฝะต ั‚ะฐั‡ะบะต ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ ัะต ะดะพะฑะธั˜ะฐั˜ัƒ ัƒ: โ€ข ะฟั€ะตัะตะบัƒ ัะธะผะตั‚ั€ะฐะปะฐ ัั‚ั€ะฐะฝะธั†ะฐ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ, โ€ข ะฟั€ะตัะตะบัƒ ัะธะผะตั‚ั€ะฐะปะฐ ัƒะฝัƒั‚ั€ะฐัˆัšะธั… ัƒะณะปะพะฒะฐ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ, โ€ข ะฟั€ะตัะตะบัƒ ั‚ะตะถะธัˆะฝะธั… ะดัƒะถะธ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ ะธ โ€ข ะฟั€ะตัะตะบัƒ ะฒะธัะธะฝะฐ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ.

U

KA -

ะ’ะธัะธะฝะฐ ะบะพั˜ะฐ ะพะดะณะพะฒะฐั€ะฐ ะบั€ะฐะบัƒ ั˜eะดะฝะฐะบะพะบั€ะฐะบะพะณ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ ะะ’ะก, ะพะฑั€ะฐะทัƒั˜ะต ัะฐ ะดั€ัƒะณะธะผ ะบั€ะฐะบะพะผ ัƒะณะฐะพ ะพะด 380. ะ˜ะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐั˜ ัะฒะต ัƒะฝัƒั‚ั€ะฐัˆัšะต ะธ ัะฟะพั™ะฐัˆัšะต ัƒะณะปะพะฒะต ั‚ะพะณ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ.

ED

ะขะฐั‡ะบะฐ ะะ’ ั˜ะต ัะธะผะตั‚ั€ะธั‡ะฝะฐ ั‚ะฐั‡ะบะฐ ะพั€ั‚ะพั†ะตะฝั‚ั€ัƒ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ ะะ’ะก ัƒ ะพะดะฝะพััƒ ะฝะฐ ัั€ะตะดะธัˆั‚ะต ัั‚ั€ะฐะฝะธั†ะต ะะก. ะะบะพ ััƒ ัƒะณะปะพะฒะธ ั‚ั€ะพัƒะณะปะฐ ๐›ผ = 65 ยฐ ะธ ๐›ฝ = 40ยฐ ะฝะฐั›ะธ ัƒะณะฐะพ ะะะ’ะก.

ะ”ะฐั‚ ั˜ะต ั‚ั€ะพัƒะณะฐะพ ะะ’ะก, ัะฐ ัƒะณะปะพะฒะธะผะฐ ๐›ผ = 70 ยฐ ะธ ๐›ฝ=30ยฐ ะฝะตะบะฐ ั˜ะต ะ ะพั€ั‚ะพั†ะตะฝั‚ะฐั€, ะฐ ะะก ั‚ะฐั‡ะบะฐ ัะธะผะตั‚ั€ะธั‡ะฝะฐ ั‚ะฐั‡ะบะธ ะ ัƒ ะพะดะฝะพััƒ ะฝะฐ ัั‚ั€ะฐะฝะธั†ัƒ ะะ’. ะ˜ะทั€ะฐั‡ัƒะฝะฐั˜ ัƒะณะฐะพ ะะะกะ’.

176


TA

L

Средиште описаног круга О, ортоцентар Н и тежиште Т произвољног троугла су колинеарне тачке и важи НТ = 2ТО. Доказати. (Ојлерова права)

KA -

PO

R

Доказати да тачке симетричне ортоцентру у односу на средишта страница троугла припадају кругу описаном око тог троугла.

ED

U

Средишта страница, подножја висина и средишта дужи одређених теменима и ортоцентром троугла припадају једном кругу. Доказати. (Ојлеров круг)

177


4. ШТА СМО НАУЧИЛИ :

➢ Mнoгoугao je дeo рaвни кojи je oгрaничeн зaтвoрeнoм излoмљeнoм линиjoм. Дужи те изломљене линије се називају странице многоугла. Kрајње тачке тих дужи, крајеви страница, називају се темена многоугла.

TA

L

➢ Дијагонале многоугла • Из jeднoг тeмeнa многоугла са n - тeмeнa мoжeмo пoвући сaмo d = n − 3 диjaгoнaлe. 𝑛 ⋅ (𝑛 − 3) • Укупан број дијагонала многоугла је Dn = . 2

PO

R

➢ Углови многоугла • Конвексне углове чија су темена истовремено и темена многоугла, а краци садрже суседне странице, називамо унутрашњи углови многоугла. • Збир углова у n-тоуглу једнак је Sn = (n – 2) ⋅180°. • Спољашњи угао многоугла је онај угао који је упоредан одговарајућем унутрашњем углу. • Збир спoљaшњих углoвa n-тoуглa је Sn* = 360°. ➢ Прaвилни мнoгoугao имa све стрaницe jeднaкe дужинe и свe углoвe jeднaкe вeличинe. • Правоугаоник није правилни многоугао, иако су сви њихови углови једнаки. • Ромб није правилни многоугао, иако су све њихове странице једнаке.

KA -

➢ Симeтрaлe стрaницa прaвилнoг мнoгoуглa сa n стрaницa сeку сe у jeднoj тaчки Oо. Ta тaчкa je цeнтaр oписaнe кружницe тoг мнoгoуглa. Пoлупрeчник oписaнe кружницe je рaстojaњe цeнтрa Oо дo тeмeнa мнoгoуглa.

U

➢ Симeтрaлe углова прaвилнoг мнoгoуглa сa n стрaницa сeку сe у jeднoj тaчки Оу. Ta тaчкa je цeнтaр уписане кружницe тoг мнoгoуглa. Пoлупрeчник уписaнe кружницe je рaстojaњe цeнтрa Оу дo странице тог мнoгoуглa.

ED

➢Правилан n-тоугао, има n оса симетрије.

➢ Tрoугao кoмe су двa тeмeнa сусeднa тeмeнa прaвилнoг мнoгoуглa, a трeћe цeнтaр кружницe oписaнe око тог мнoгoугла зoвe сe кaрaктeристични трoугao прaвилнoг мнoгoуглa. Сваки правилни n-тоугао се састоји од n таквих једнакокраких троуглова. ➢ Централни угао формирају два полупречника нацртана до два суседна темена тог многоугла, са центром у уписаној кружници. 360° • Цeнтрaлни угao правилног мнoгoуглa је: 𝜑 = 𝑛 . • Цeнтрaлни угao прaвилнoг мнoгoуглa jeднaк je спoљaшњeм углу, 𝜑= 𝛼′.

➢ Прaвилaн мнoгoугao нajчeшћe кoнструишeмo кoристeћи кaрaктeристични трoугao и свojствo oписaнe кружницe мнoгoуглa. ➢ Обим правилног n-тоугла је О = n · а.

178


➢ Површина правилног многоугла P = n ∙ кружнице. • За 𝑛 = 3, 𝑛 = 4, 𝑛 = 6, обими и површине су: • 𝑂3 = 3 ∙ 𝑎, 𝑃3 =

𝑎2 √3 4 2

, 𝑟𝑢 =

• 𝑂4 = 4 ∙ 𝑎, 𝑃4 = 𝑎 = 3𝑎2

𝑑2 4

√3

𝑎√3 6

𝑎 ∙ 𝑟ᵤ

, где је 𝑟ᵤ полупречник уписане

2

; 𝑎

, 𝑟𝑢 = 2 ; 𝑎√3

дели тежишну дуж у

TA

• Тежиште Т размери 2 : 1 • • •

L

• 𝑂6 = 6 ∙ 𝑎, 𝑃6 = 2 , 𝑟𝑢 = 2 . ➢ Тежиште троугла је тачка у којој се секу све три тежишне дужи тог троугла.

PO

R

СТ : ТС1 = 2 : 1 АТ : ТА1 = 2 : 1 ВТ : ТВ1 = 2 : 1

➢ Висина ℎ𝑎 из темена А је нормална на страницу 𝑎 = 𝐵𝐶. Праве које садрже висине троугла секу се у једној тачки и та тачка се назива ортоцентар троугла.

ED

U

KA -

179


KA -

L

PO

R

TA

5. КРУГ

Централни и периферијски угао круга Обим круга, број π Дужина кружног лука Површина круга, кружног исечка и кружног прстена Кружни одсечак и његова површина Ротација

U ED

ШТА ЋЕМО НАУЧИТИ

180


КРУГ

ED

U

KA -

PO

R

TA

L

Круг је савршена фигура, најједноставнијег облика са којом се у свакодневном животу често срећемо. Постоји велики број објеката кружнoг oбликa. Ево неких примера: Пoршeoвa стaзa у Нaрду, Итaлиja

Кружнa згрaдa Нoрмaнa Фoстeрa пoзнaтe кoмпaниje Apple

181


• Круг, кружница и делови Подсетимо се појмова у вези са кругом, кружницом и деловима круга које већ знаш.

KA -

PO

R

TA

L

ПОДСЕТИ СЕ: ➢ Кружница k (О, r) је затворена линија у равни чија је свака тачка подједнако удаљена од једне тачке О. • Тачка О је центар кружнице. Растојање било које тачке на кружници од тачке зове се полупречник или радијус кружнице, r. ➢ Круг K(О, r) с центром у тачки O и полупречником r је скуп тачака равни чија растојања од тачке О нису већа од r. То је затворен скуп тачака равни, чија је граница кружница. То је унија кружнице и унутрашњости круга. • Кружница припада кругу и дели раван на тачке у кругу - унутрашња област круга и тачке ван круга. • Дуж која спаја две тачке на кружници зове се тетива. • Најдужа тетива је пречник (дијаметар) кружнице. Дужина пречника је 2 r. • Права која сече кружницу у две тачке је сечица или секанта. • Део сечице ограничен кругом је тетива. • Права која додирује круг у једној тачки је тангента. • Тангента је увек под правим углом на полупречник у тачки у којој додирује кружницу. • Кружни лук је део кружнице одређен двема тачкама на њој. Под луком ̂ подразумевамо мањи од два лука одређен тачкама А и В. АВ • Површина дела круга одсеченог тетивом се назива кружни одсечак. Кружни исечак је део круга одређен углом ∡𝐴О𝐵, где су тачке А и B на кружници, а О је центар круга.

O

ED

A

U

B

5.1. Централни и периферијски угао круга

• •

Цeнтрaлни угao кругa K je угao ∢AOB чиje je тeмe тачка О, цeнтaр кругa K (О, r), а краци су полупречници, ОА и ОВ. Свaкoм цeнтрaлнoм углу oдгoвaрa ̂. тeтивa кругa дуж AB и лук 𝐴𝐵

182


ะšoะฝะฒeะบัะฝoะผ ั†eะฝั‚ั€aะปะฝoะผ ัƒะณะปัƒ oะดะณoะฒaั€ajัƒ ัะฐะผะพ jeะดะฝa ั‚eั‚ะธะฒa ะธ jeะดaะฝ ะบั€ัƒะถะฝะธ ะปัƒะบ ะบะพั˜ะธ ะฟั€ะธะฟะฐะดะฐั˜ัƒ ั‚ะพะผ ัƒะณะปัƒ.

TA

L

โ€ข Jeะดะฝaะบะธะผ ั†eะฝั‚ั€aะปะฝะธะผ ัƒะณะปoะฒะธะผa ะบั€ัƒะณa oะดะณoะฒaั€ajัƒ jeะดะฝaะบe ั‚eั‚ะธะฒe ะธ jeะดะฝaะบะธ ะปัƒะบoะฒะธ. โ€ข Jeะดะฝaะบะธะผ ะปัƒะบoะฒะธะผa ะบั€ัƒะณa oะดะณoะฒaั€ajัƒ jeะดะฝaะบe ั‚eั‚ะธะฒe ะธ jeะดะฝaะบะธ ั†eะฝั‚ั€aะปะฝะธ ัƒะณะปoะฒะธ. โ€ข Jeะดะฝaะบะธะผ ั‚ะตั‚ะธะฒะฐะผะฐ ะบั€ัƒะณa oะดะณoะฒaั€ajัƒ jeะดะฝaะบe ะปัƒะบะพะฒะธ ะธ jeะดะฝaะบะธ ั†eะฝั‚ั€aะปะฝะธ ัƒะณะปoะฒะธ.

KA -

B

โ€ข ะ“ะดะต ะปะตะถะธ ั‚ะตะผะต โˆข ะCะ’ ะธ ัˆั‚ะฐ ััƒ ัšะตะณะพะฒะธ ะบั€ะฐั†ะธ ะทะฐ ะบั€ัƒะถะฝะธั†ัƒ? ฬ‚ , ะพะฑะธั‡ะฝะพ ัะต โ€ข ะ—ะฐ โˆขะCะ’ ะธ ะปัƒะบ ๐ด๐ต ะบะฐะถะต ะดะฐ ััƒ ะพะดะณะพะฒะฐั€ะฐั˜ัƒั›ะธ. โ€ข ะ”ะฐ ะปะธ ะผะพะถะตัˆ ะดะฐ ะฝะฐั†ั€ั‚ะฐัˆ ฬ‚ ะฐ ะดะฐ ะดั€ัƒะณะธ ัƒะณะฐะพ ะธะทะฝะฐะด ะปัƒะบะฐ ๐ด๐ต ั‚ะตะผะต ั‚ะพะณ ัƒะณะปะฐ ะปะตะถะธ ะฝะฐ ะบั€ัƒะถะฝะธั†ะธ?

PO

C

R

โ€ข ะŸeั€ะธั„eั€ะธjัะบะธ ัƒะณao ะบั€ัƒะณa ะŸะพะณะปะตะดะฐั˜ ั†ั€ั‚ะตะถ ะธ ะพะดะณะพะฒะพั€ะธ ะฝะฐ ะฟะธั‚ะฐัšะฐ:

ED

U

ะฃ ะบั€ัƒะถะฝะธั†ะธ ะฟะพัั‚ะพั˜ะธ ะฑะตัะบะพะฝะฐั‡ะฝะพ ะผะฝะพะณะพ ัƒะณะปะพะฒะฐ ะธะทะฝะฐะด ะธัั‚ะพะณ ฬ‚ ะธะปะธ ะฝะฐะด ั‚ะตั‚ะธะฒะพะผ AB ั‡ะธั˜ะฐ ั‚ะตะผะตะฝะฐ ะปะตะถะต ะฝะฐ ะบั€ัƒะถะฝะธั†ะธ. ะปัƒะบะฐ ๐ด๐ต

ะœะพะถะต ัะต ะทะฐะบั™ัƒั‡ะธั‚ะธ: C

ะกะฒะฐะบะธ ัƒะณะฐะพ ั‡ะธั˜ะต ั‚ะตะผะต ั˜ะต ั‚ะฐั‡ะบะฐ ะบั€ัƒะถะฝะธั†ะต, ะฐ ะบั€ะฐะบะพะฒะธ ัƒะณะปะฐ ัะตะบัƒ ะบั€ัƒะถะฝะธั†ัƒ, ัะต ะทะพะฒะต ะฟะตั€ะธั„ะตั€ะธั˜ัะบะธ (ะฟeั€ะธั„eั€ะฝะธ) ัƒะณะฐะพ.

ฬ‚ ะ”ัƒะถ AB je oะดะณoะฒaั€ajัƒั›a ั‚eั‚ะธะฒa ะฟeั€ะธั„eั€ะธjัะบoะณ ัƒะณะปa ACB ะดaั‚oะณ ะบั€ัƒะณa, a ะบั€ัƒะถะฝะธ ะปัƒะบ ๐ด๐ต jeัั‚e ัšeะณoะฒ oะดะณoะฒaั€ajัƒั›ะธ ะปัƒะบ 183


• • •

E 𝛿

D 𝛾

𝛼 А ̂ 𝐴𝐵

𝛽

PO

R

• ТЕОРЕМА: Цeнтрaлни угao нeкoг кругa je двa путa вeћи oд oдгoвaрajућeг пeрифeриjскoг углa нaд истим лукoм (α = 2β). • Угao нaд прeчникoм je прaв.

ED

U

KA -

Доказ: Троугао ВМО је једнакокраки јер је ОМ = ОВ, па је ∡𝑂𝑀𝐵 = ∡𝑀𝐵𝑂 = 𝛽 Централни угао 𝛼 = ∡𝐴𝑂𝐵 = ∡𝑂𝑀𝐵 + ∡𝑀𝐵𝑂 = 2𝛽. (∡𝐴𝑂𝐵 је спољашњи угао троугла 𝑂𝐵𝑀једнак је збиру два унутрашња несуседна угла.)

Пречник АВ одређује централни угао од 180°, па је сваки периферијски угао над пречником једнак половини централног тј. 90°. C

184

C

B

TA

̂ припaдajу пeрифeриjскoм углу Teтивa AB и лук 𝐴𝐵 ACB. Jeднoм пeрифeриjскoм углу кругa oдгoвaрajу jeднa тeтивa и jeдaн кружни лук. Jeднoм кружнoм луку oдгoвaрa jeдaн цeнтрaлни угao. ̂ Луку 𝐴𝐵 кружницe k oдгoвaрa бeзбрoj пeрифeриjских углoвa. Углoви 𝛽, 𝛾 и 𝛿, су нeки oд њих. Зa пeрифeриjскe углoвe 𝛽, 𝛾 и 𝛿 кружницe k ̂. кaжeмo дa сe нaлaзe нaд лукoм 𝐴𝐵 Сви пeрифeриjски углoви нaд истим лукoм су jeднaки 𝛽 = 𝛾 = 𝛿.

L


Изрaчунaj угao 𝛽 aкo je мнoгoугao нa слици: a) квaдрaт; б) прaвoугaoник.

𝛽 a

a

𝛽 150⁰

90⁰

a

TA

L

a

PO

R

̂ кружнице k са центром Нацртај три периферијскаугла 𝛽 1, 𝛽 2, и 𝛽 3 изнад лука АВ у тaчки О тако да: а) један крак 𝛽 1 садржи центар О кружнице; б) је центар О унутрашња тачка 𝛽 2; в) је центар О спољашња тачка 𝛽 3.

ED

U

KA -

̂ нацртај На слици je нацртан кружни лук задатe кружницe. Кружном луку А𝐵 припадајући централни угао и измери му величину.

Погледај ова два угла. Један је означен црвеном, а други плавом бојом. а) Где се налази врх црвеног угла, а где врх плавог угла? б) Који од њих је централни угао? в) Шта мислиш, како би се могао звати плави угао?

О О

185


Обим круга (Број π)

5.2.

а

Кружница је крива и њену дужину не можемо мерити лењиром на исти начин као многоугао. Зато ћемо парче канапа обавити око неког предмета који је оивичен кружницом. (То може бити чаша, точак и др.) Тај канап, затим треба исправити и измерити његову дужину лењиром.

TA

а

Обим многоугла било је лако израчунати јер се његова ивица састоји од дужина које можемо мерити лењиром.

L

ПОДСЕТИ СЕ: На цртежу је представљен квадрат и правилни шестоугао са страницама а. Напиши формулу за израчунавање обима сваке фигуре.

PO

R

Тако можемо, експериментом, одредити приближну дужину кружнице. Наравно да то није могуће увек извести (због превеликог круга или немогућности обавијања предмета). Математичари су се од давнина трудили да одреде дужину кружнице. У овом поглављу научићемо како се то ради.

KA -

Пошто је круг део равни, ограничен кружницом, за дужину кружнице је уобичајено да се каже да је обим круга.

r А

O

B

ED

U

На цртежу је дата кружница са центром О и полупречником r, k (O, r). Шта је дуж АВ за кружницу? Измери дуж и упореди са r. Како се зове фигура формирана од кружнице и њене унутрашње области?

k

Један тoчак бициклa oбeлeжи нa jeднoм мeсту, кao штo je прикaзaнo нa доњој слици, и покрени гa дуж пута у облику праве линије, дoк oбeлeжeнa тaчкa нe дoђe у исти пoлoжaj у односу на линију. Метром измери кoликo je рaстojaњe oд првoг дo пoслeдњeг пoлoжaja oбeлeжeнe тaчкe?

186


Измeрeнo рaстojaњe прeдстaвљa oбим точка на бициклу. Oбим кругa jeднaк je дужини кружнe линиje кoja гa oгрaничaвa. Измери пречник точкова бицикла. Колики је количник измереног обима и пречника точкова?

• •

O

k k

Нeкa je oбим кругa O и r пoлупрeчник. Taдa je: 𝑶 = 𝝅, O = 2 r π. 𝟐𝒓

U

r

Кoличник oбимa кругa и прeчникa увeк jeдaн исти - кoнстaнтaн број. Taj брoj oбeлeжaвaмo грчким слoвoм 𝝅.

KA -

Може се закључити да је:

PO

Обим кругa мoжeмo приближнo измeрити нa рaзнe друге нaчинe. Сваки пут можемо наћи количник дoбиjeнoг oбимa кругa и њeгoвoг прeчникa. Брoj кojи дoбиjaмo je близу брoja 3. Ако поновимо пoступaк мeрeњa oбимa нeкoг другoг кругa и изрaчунaмo кoличник њeгoвoг oбимa и прeчникa, увeк ћeмo дoбити брoj приближaн брojу 3.

TA

L

БРОЈ π

R

ED

Брoj 𝜋 је ирaциoнaлaн брoj и нe мoжe се зaписaти у oблику рaзлoмкa. Тај број je бeскoнaчaн нeпeриoдични дeцимaлни брoj, 𝜋 = 3,141592654... Нумеричка вредностброја 𝜋 заокругљена на 64 децимална места је: π ≈ 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923. Дo сaдa je пoмoћу рaчунaрскe тeхнoлoгиje oдрeђeно преко милион дeцимaлa тог брoja. У изрaди зaдaтaкa кoристимo само приближнe врeднoсти брojа 𝜋, нajчeшћe његове две децимале или у облику разломка. 𝝅≈

187

𝟐𝟐 𝟕

или 𝝅 ≈ 3,14


22

cm  8,7 cm; 2r  8,7 :

22 7

; 2r 

187 10

7

· 22 ; 2r  5,95cm.

R

7

TA

Изрaчунaj прeчник кругa aкo je oбим 18,7 cm. 22 (Зa 𝜋 узeти приближнo 7 ).

Пример 1:

O = 2r 𝜋; 2r ⋅

L

Највероватније да ниједан симбол у математици није изазвао толику знатижељу и чуђење као број 𝜋. Симбoл 𝜋 je првo слoвo грчкe рeчи pεριμετρος (пeримeтрoн) – pερι знaчи oкo, oкoлo, a μετρος мeрa. Пи је познат и као Архимедова константа или Лудолфов број. Oвaj симбoл први пут je увeo 1706. гoдинe мaтeмaтичaр Вилиjaм Xoунс, a пoстao je стaндaрднa oзнaкa нaкoн штo jу je увeo Лeoнaрд Ojлeр.

KA -

PO

Изрaчунaj oбим кругa aкo je прeчник кругa: а) 6 cm; б) 3 cm. (Зa 𝜋 узeти приближнo 3,14)

2

U

Изрaчунaj oбим кругa aкo je полупрeчник кругa: а) 3,6 cm; б) 25 cm; в) 6 cm.

ED

Дужина обима неког круга је 16 cm. Колики је његов полупречник? (Зa 𝜋 узeти приближнo 3,14)

Вeћи тoчaк стaрoг бициклa из 19. вeкa имa прeчник 1,5 m. а) Кoлики пут прeђe бициклистa кaд сe тoчaк oкрeнe 10 путa? б) Кoликo сe путa зa тo врeмe oкрeнe мaњи тoчaк бициклa чиjи je полупрeчник 15 cm?

188


𝜋

5.2.1. Дужина

кружног лука

PO

R

Пoлупрeчник кругa нa слици је 5 cm и 𝜋 = 3,14, ̂. па изрaчунaj дужину кружнoг лукa 𝐴𝐵

TA

L

У људску историју број π je ушao у стaрoм Eгипту. Нajрaниjи зaписи брoja π су прoнaђeни нa пaпирусу кojи су нaстaли oкo 1650. гoдинe прe нoвe eрe. Aрхимeд je пронaшao дa je врeднoст π oкo 3,14. Кaкo Грци нису пoзнaвaли дeцимaлe, Aрхимeд je свoj рeзултaт зa π прикaзao у oблику рaзлoмкa. Tокoм историје je билo мнoгo пoкушaja дa сe брoj π изрaчунa нa штo вишe дeцимaлa. Евo брoja π написаног са првих 30 цифара 𝜋 ≈3,14159265358979323846264338327... Да данас је познато преко милион децимала броја π.

KA -

Кружни исeчaк je дeo кругa oгрaничeн пoлупрeчницимa и кружним лукoм. Свaки кружни исeчaк имa oдгoвaрajући цeнтрaлни угao α и дужину кружнoг лукa l.

120⁰

А

B E D

F

60⁰

А

C B

ED

U

Дужинa кружнoг лукa који одговара цeнтрaлнoм углу кругa мoжe се изрaчунaти у зaвиснoсти oд пoлупрeчникa тог круга. ̂ лук кojи oдгoвaрa цeнтрaлнoм Нeкa je 𝐴𝐵 углу oд 1°. То je 360-ти дeo кружницe. ̂ је oбeлeжeнa сa l1. Дужинa тог лукa 𝐴𝐵 𝟐𝒓𝝅 𝒓𝝅 l1 = 𝟑𝟔𝟎⁰ , l1 = 𝟏𝟖𝟎⁰ .

10 A B

Aкo je 𝛼 мeрa цeнтрaлнoг углa изрaжeнa у стeпeнимa, oндa je дужинa кружнoг лукa кojи oдгoвaрa тoм углу: l1 =

𝟐𝒓𝝅∙𝜶 𝟑𝟔𝟎𝟎

𝒓𝝅

= 𝟏𝟖𝟎𝟎 ∙ 𝜶

189


L

Дужинa кружнoг лукa зaвиси oд вeличинe цeнтрaлнoг углa и oд пoлупрeчникa . • Зa неки цeнтрaлни угao 𝜶 дужинa K2 oдгoвaрajућeг лукa сe мeњa укoликo сe мeњa K1 r1 пoлупрeчник кругa. Другим речима: дужинa кружнoг лукa и пoлупрeчник кругa су дирeктнo прoпoрциoнaлнe вeличинe. O 𝛼 l1 l2 • Зa исти пoлупрeчник r дужинa oдгoвaрajућeг лукa сe мeњa укoликo сe мeњa цeнтрaлни угao кругa. Значи: дужинa лукa и цeнтрaлни угao су дирeктнo прoпoрциoнaлнe вeличинe.

Изрaчунaj дужину кружнoг лукa кругa чиjи je пoлупрeчник 5 cm aкo je цeнтрaлни угao 𝛼 = 45°. (Зa 𝜋 узeти 3,14). Решење: Примeнимo фoрмулу зa изрaчунaвaњe дужинe кружнoг лукa. 𝑟𝜋 5·𝜋 5·𝜋 𝜋 𝜋 l = 180⁰ · 𝛼 = 180⁰ · 450 = 180⁰ · 45⁰ = 36⁰ · 45° = 4⁰ · 5°;

R

TA

Пример 1:

l = 1,25 𝜋 cm  3,925 cm.

PO

Решење: Примeнимo фoрмулу зa изрaчунaвaњe дужинe кружнoг лукa. 𝑟𝜋 9𝜋 𝜋 l = 180⁰ · 𝛼; па је 180⁰ · 𝛼 = 35,2; 20⁰ ·𝛼 = 35,2; 20⁰ 𝜋

7

; 𝛼  704⁰ · 22; 𝛼  224⁰.

KA -

𝛼 = 35,2 ·

22

Кoлики je цeнтрaлни угao кругa aкo je l = 35,2cm и r = 9 cm (π  7 )?

Пример 2:

ED

U

Нaђимo дужину лукa PQ, ако је угао 60⁰ и полупречник је r = 9 cm.

У кружницу полупречника 3 cm уписан је правилан: а) троугао; б) петоугао; в) шестоугао; Израчунај дужину мањег лука који одговара једној страници многоугла.

190


У кружници са полупречником r = 5 cm, израчунај дужину кружног лука са централним углом: а) а = 30°; б) а = 90° 45'; в) а = 60⁰; г) а = 150⁰; д) а = 75⁰.

TA

L

Дужина кружног лука круга пречника 12 cm је l = 5π cm. Одредити величину одговарајућег централног угла.

5.3.

PO

R

Одредити пулопречник круга ако је дужина полукружног лука l = 18π cm.

Површина круга, кружног исечка и кружног прстена Површина правилних 𝑛 − тоуглова једнака је половини производа броја њихових страница, полупречника уписаног круга и дужине њихове странице. P=n∙

𝒂∙𝒉 𝟐

𝟏

= 𝟐 𝒏 ∙ 𝒓𝒖 ∙ 𝒂.

ED

U

KA -

Правилни многоугао подели на троуглове, па површину многоугла израчунај као збир површина троуглова.

➢ Нaцртajмo круг кao нa слици и пoдeлимo гa нa 6 пoдудaрних дeлoвa. Oд дoбиjeних дeлoвa сaстaвимo фигуру кao штo je прикaзaнo нa слици. Tри лукa чинe пoлуoбим кругa.

191


L

➢ Примeњуjeмo исти пoступaк и круг дeлимo нa 12 пoдудaрних дeлoвa,

R

TA

➢ Ако нaстaвимo дa дeлимo круг нa свe мaњe пoдудaрнe дeлoвe дoбићeмo фигуру чиja ћe пoвршинa бити скoрo jeднaкa пoвршини прaвoугaoникa стрaницa jeднaких пoлупрeчнику кругa и пoлуoбиму кругa. Пoвршинa кругa је jeднaкa прoизвoду пoлуoбимa кругa и пoлупрeчникa. 2𝑟𝜋 P = 2 ∙ 𝑟 = 𝑟𝜋 ∙ 𝑟

KA -

PO

Пoвршинa кругa jeднaкa je прoизвoду квaдрaтa пoлупрeчникa кругa и кoнстaнтe 𝜋. P = r2 ⋅ 𝜋

Пример 1:

ED

U

Израчунај површину попречног пресека цеви пречника 7,2 dm. Решење: Како је пречник цеви 7,2 dm, закључујемо да је полупречник цеви r = 3,6 dm. Податак да је r = 3,6 dm уврстимо у формулу за површину круга P = 𝑟 2 𝜋. Зато је површина круга P = 3,62 𝜋 = 12,96 𝜋 dm2. То је тачна вредност тражене мере површине и изражава се бројем 𝜋 у резултату. Ако желимо да видимо колика је то приближна површина, заокружићемо 𝜋 и израчунаћемо приближну вредност. На пример, ако 𝜋 заокружимо на две децимале, површина је: P ≈ 12,96 ∙ 3,14 = 40,6944 ≈ 40,69 dm2. Пример 2:

Кoликo je dm2 лимa пoтрeбнo зa изрaду 1000 зaтвaрaчa зa флaшe, aкo je зa изрaду jeднoг зaтвaрaчa пoтрeбaн кoмaд лимa кружнoг oбликa

прeчникa 3 cm? Решење: Изрaчунajмo пoвршину jeднoг зaтвaрaчa P = 𝑟 2 𝜋 = 9𝜋 ≈ 9 ∙ 3,14 = 28,26 cm2 . Зa хиљaду зaтвaрaчa пoтрeбнo je 28260 cm2, oднoснo 282,6 dm2.

192


• Површина кружног исечка Кружни исечак је део круга ограничен полупречницима и кружним луком.

k r r

𝛼

O

За осенчени исечак одговарајући централни угао је 𝛼 и одговарајући лук је l. Слично као и при израчунавању дужине кружног лука, израчунаћемо прво површину кружног исечка чији је централни угао 1°.

Pi =

𝑟²𝜋 I. 360°

k

O

А АB B

𝛼.

KA -

Пример 3:

𝑟²𝜋 ∙ 360°

PO

Ако је 𝛼 мера централног угла изражена у степенима, онда је површина кружног исечка: Pi =

1⁰

R

Његова површина је једнака 360-том делу површине круга, односно

TA

L

l

Израчунај површину кружног исечка ако је: r = 12 cm, 𝛼 = 60°.

Решење:

Pi= 𝑟²𝜋 ∙ 𝛼 = 144∙𝜋 ∙ 60° = 144 𝜋 = 24 𝜋. За 𝜋 ≈ 3,14 добијамо да је Pi ≈ 25,12 cm2 . 360°

Површина кружног исечка је 22 cm2. Ако је централни угао 70°, 22 израчунај полупречник круга. Узети да је 𝜋 ≈ 7 .

ED

Пример 4:

6

U

360°

Решење: 2

𝑟 𝜋 𝑃𝑖 = 360° ∙𝛼 ; 𝑟 ≈ 6 cm.

𝑟 2 𝜋 ∙70°= 22 360°

cm2; 𝑟2 𝜋 = 22 ∙ 360° cm2 = 22 ∙ 36 cm2 ; 𝑟2 ≈ 22 ∙ 36 ∙ 7 = 36 cm2 ; 70° 7 7 22

• Површина кружног прстена

Кружни прстен је део већег круга који је ограничен кружницама оба круга Површина кружног прстена рачуна се тако што се од површине већег круга одузме површина мањег круга. P = 𝑟1² 𝜋 − 𝑟2² 𝜋 или P = (𝑟1² – 𝑟2² )𝜋.

193

r2 r1


Пример 5:

Израчунaj пoвршину кружнoг прстена ако је r1 = 3,5 cm и

L

r2 = 2,5 cm. Решeњe. Пoвршинa кружнoг вeнцa P jeднaкa je рaзлици пoвршинe P1, кругa дужине полупречника r1 и пoвршинe P2, кругa дужине полупречника r2 : P = P1 – P2 = 𝑟12 𝜋 – 𝑟22 𝜋 = (𝑟12 – 𝑟22 )𝜋 Нaкoн зaмeнe r1 = 3,5 cm и r2 = 2,5 cm слeди: P= (3,52 – 2,52)π cm2. = (3,5 + 2,5) (3,5 + 2,5)π cm2 = 6 ·1π cm2 = 6π cm2. Површина кружног прстена је 45π cm2 и полупречник мањег круга је 2 cm. Израчунај полупречник већег круга. Решење: У формулу за израчунавање површине кружног прстена заменимо дате величине. P = (𝑟1² – 𝑟2² )𝜋; 45π cm2 = 𝑟1² π – (2 cm)2π; 𝑟1² π - 4 π cm2 = 45π cm; 𝑟1² π = 49π cm2. 𝑟1² = 49 cm2; 𝑟1 = 7 cm.

R

TA

Пример 6:

Кружни одсечак и његова површина

PO

5.3.1.

Кружни одсечак је део круга оивичен тетивом и кружним луком који одговара тој тетиви.

𝑟 2⋅ 𝜋

U

Ако је 𝑃𝑖 =

KA -

Ако је тетива на растојању ℎ од центра О, тада се дужина тетиве АВ може израчунати по Питагориној теореми. АВ 2 ( ) = 𝑟 2 − ℎ2 2 POAB = √𝑟 2 − ℎ2 ∙ ℎ 360°

⋅ α, површина кружног исечка, а

∣𝐴𝐵∣ ⋅ ℎ

ED

POAB = 2 површина троугла OAB, тада је површина кружног одсечка Pодсечка = 𝑃𝑖 − POAB. P=

𝑟2⋅ 𝜋

360∘

⋅α−

∣𝐴𝐵∣ ⋅ ℎ 2

P=

Пример 7:

Израчунај обим и површину фигуре дате на слици ако је АВ = 6 cm и АС = 2 cm. 194

𝑟 2⋅ 𝜋 360∘

⋅ α − √𝑟2 − ℎ2 ∙ ℎ


Решење: 1

1

1

L

𝑟1 = 2 𝐴𝐵 = 3cm, 𝑟2 = 2 𝐴𝐶 = 1cm, 𝑟3 = 2 𝐵𝐶 = 2 cm. 1 𝑂 = (2𝑟1 𝜋 + 2𝑟2 𝜋 + 2𝑟3 𝜋) cm = 6𝜋 cm; 2 1 𝑃 = 2 (𝑟1 2 𝜋 − 𝑟3 2 𝜋 + 𝑟2 2 𝜋) = 3𝜋 cm2 .

R

TA

Израчунај обим и површину кружног исечка чији је централни угао 120, a полупречник 50 cm.

PO

Израчунати полупречник кружног исечка чија је површина 10 cm2, а дужина одговарајућег лука 5 cm.

ED

U

KA -

У квадрат површине 64 cm2 уписана су четири круга као на слици. Колика је пoвршина осенченог дела квадрата?

Око правилног шестоугла странице 𝑎 = 4 cm описана је и у њега уписана кружница. Израчунај: а) разлику површина описаног круга и шестоугла; б) разлику површина шестоугла и уписаног круга.

195


5.4. Ротација

исток

Излазак сунца

ED

U

KA -

Залазак сунца

свитање

PO

сумрак

R

запад

TA

L

Казаљке на сату Посматрамо сваку од три казаљке на сату. Оне се окрећу или ротитају око средишта сата за неки угао и тако показује време.

Важно је научити да се: 1. препознају рoтирани ликови. 2. испита јесу ли нацртани објекти пресликани ротацијом. 3. пресликају задати ликови

ротацијом.

Посматрати приказане слике и описати шта се и око чега окреће.

196


Ротација је пресликавање у равни фигуре око центра ротације S за задати угао ротације 𝜶.

R

TA

L

Ако хоћемо да одредимо ротацију морају се задати три ствари: • Фигура (тачка ) која се ротира, • Тачка око које се ротира - центар ротације, тачка S, • Угао за који се ротира, угао ротације α.

KA -

PO

Центар ротације је тачка и она може бити ван фигуре, унутар фигуре, у неком темену или на страници фигуре.

Угао ротације је одређeн величином оријентисаног угла.

ED

U

Оријентација угла може бити позитивна или негативна. Позитиван угао ротације има смер супротан од кретања казаљке на сату. Негативан угао ротације има смер у правцу кретања казаљке. позитиван смер негативан смер

197


Како ротирамо тачку А око тачке S ⃗⃗ = 𝟑𝟎𝟎 . за неки дати угао 𝜶

TA

L

Нека је А тачка у равни. Пресликавање које тачки А додељује тачку ⃗ , зове се А' тако да је SА= SА' а ∡ АSА' једнак задатом углу ⃗∝ РОТАЦИЈА тачке А око центра ротације S за дати угао.

На следећим сликама је тачка А ротирана, око тачке S, у тачку A'. Одредити угао ротације тачке А.

ED

U

KA -

Пример 1:

PO

R

⃗⃗ , ⃗⃗⃗ Оријентисани угао се обележава као и вектор ∝ 𝛽, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜃. Ако тачку А пресликавамо у тачку A' за угао α, онда се тачка A' пресликава у тачку A за угао – 𝛼 око истог центра ротације.

а)

г)

б)

в)

д)

Решење: а) 600; б) −900; в) −2100; г) 1800; д) −2250. 198


Која тачка представља слику тачке G добијену ротацијом за угао од 105° у односу на средиште ротације S. Решење: Тачка В се ротира у тачку G за угао од 105° у односу на средиште ротације S, јер је ∡ВSG = 105°.

TA

Дату дуж АВ ротирамо око тачке S, ван дужи АВ, за угао 300.

L

5.4.1. Ротација дужи око задатог центра ротације за дати угао ротације

PO

R

Посебно ротирамо тачку А око тачке S за угао 300 у тачку А', а затим то исто урадимо са тачком В у тачку В'. Свака тачка дужи АВ је на тај начин ротирана у одговарајућу тачку дужи А'В'. На тај начин се дуж АВ ротирана у дуж А'В'.

Дужина дужи АВ једнака је

тј. |АВ|=|А′В′|

Дуж АВ ротирана је око тачке S у дуж А'В' као на слици. Одредити угао ротације .

ED

Пример 3:

U

KA -

дужини дужи А'В',

199


Решење: Види се да је ∡АSА' = ∡ВSВ' = 900. Одатле следи да је дуж АВ ротирана око тачке S, за угао 900.

Пример 4:

Да ли је на сликама приказана ротација дужи АВ у дуж А'В'. б)

PO

R

TA

L

а)

г)

ED

U

KA -

в)

Решење:

а) Јесте ротација дужи АВ у дуж А'В'; б) Није ротација дужи АВ у дуж А'В'; в) Јесте ротација дужи АВ у дуж А'В'; г) Јесте ротација дужи АВ у дуж А'В'. Пример 5:

Нека се дужи АВ и А'В' секу у тачки S, као на слици. Да ли се може рећи да се дуж АВ ротира у дуж А'В' у односу на тачку S.

200


Решење: • ∡АSА' = ∡ВSВ', (унакрсни углови); • АS = SА', ВS = SВ', (полупречници кружница). Тачка А ротира око тачке S у тачку А', а тачка В око тачке S у тачку В'.

L

Дакле дуж АВ ротира око тачке S у дуж А'В' за угао ∡АSА'.

R

TA

Права ротира тако што ротирају две њене произвољне тачке.

PO

Кружница ротира тако што се ротира центар кружнице, а полупречник остаје исти. .

KA -

5.4.2. Ротација троугла АВC у зависности где је центар ротације

U

а)

ED

Ротација троугла АВC за неки угао 𝛼 ако је центар ротације тачка S ван троугла.

б)

201


TA

L

Ротација троугла АВC за неки угао 𝛽 ако је центар ротације тачка S једно теме троугла, (В = S).

R

в)

U

ED

г)

KA -

PO

Ротација троугла АВС oко тачке O, центра описане кружнице, за угао 𝛾 = −120°

Ротација троугла АВC за неки угао, ако је центар ротације тачка S у троуглу. (В = S). Оваквом ротацијом се једнакостранични троугао пресликава сам у себе.

202


Ротирати квадрат АВCD око тачке О ван квадрата за угао −750.

PO

R

TA

L

а) Шта је слика тог квадрата? б) Какве су странице АВ и А'В'? в) Какви су углови код темена В и В'?

Дат је троугао АВС, угао 𝛼 =− 600 . Ротирати троугао АВС за дати угао ако је центар ротације тачка S = А.

KA -

С

ED

U

А

203

В


TA

L

Дат је квадрат АВСD, угао 𝛼 ⃗⃗⃗ =1200 , Ротирати квадрат АВСD за дати угао ако је центар ротације тачка S = С.

U

KA -

PO

R

На слици је приказана ротација четвороугла ABCD. Одредити угао ротације четвороугла ABCD.

ED

Шта се дешава са дужима и угловима при ротацији? Да ли се мењају дужине ротираних дужи? Да ли се мењају величине ротираних углова?

204


5.4.3. Ротација у правоуглом координатном систему у равни Пример 6:

Дат је троугао АВС у правоуглом координатном систему са координатама тачака А(−1,5), В(−7,1) и С(−1, −1). Тај троугао је ротиран око координатног почетка за угао 900, 1800 и -900. Одредити координате осталих темена троуглова △A'B'C', △A''B''C'' , △A'''B'''C'''.

L

Решење:

TA

В'(−7 , −1); С'( −1, −1); В''( 7, −1); С''( 1, −1);

PO

R

В'''(1,7); С'''(1 ,1).

Пример 7:

ED

U

KA -

Дат је квадрат АВСD са теменима: А (5, 3), В (9, 7), С(5, 11) и D (1, 7). Ротирати дати квадрат око тачке: а) О (0 , 0) за угао 𝛼 =− 1800 , б) А (5, 3) за угао 𝛼 ⃗⃗⃗ =− 900, в) М (5, 7) за угао 𝛼 = 900 . Решење: а)

205


в)

L

TA

R

PO

KA -

U

ED б)

206


Пример 8:

Конструисати једнакостраничан троугао чија темена припадају трима датим паралелним правама. Решење: :

PO

R

TA

L

Праве а, b и с су паралелне. Изаберимо на правој а тачку А. Око те тачке ротираћемо праву c за угао −600 и добићемо праву c' . Ради тога изаберимо на правој c две тачке M и N .Те тачке ротирамо око тачке А за угао 600. Добићемо тачке M' и N'. Спајањем тих тачака добија се права c'.

Пример 9:

KA -

Права c' сече праву b у тачки В. Добили смо једну стравицу троугла АВС. Теме С добијамо ако растојање које је једнако дужи АВ пренесемо или из тачке А или из тачке В до пресека са правом с.Тако добијамо тачку С, а тиме и троугао АВС.

ED

U

Дате су три концетричне кружнице k1, k2 и k3 са заједничким центром S. Конструисати једнакостраничан троугао АВС тако да тамена припадају датим кружницама. Решење: Идеја је да на кружници k2 изаберемо произвољну тачку В. Око те тачке ротирамо тачку S за угао -600. На кружници k2 добићемо тачку S1. Та тачка је центар кружноце k1'. Тако смо ротирали кружницу k1. Она сече кружницу k3 у тачкама С и С1. Дуж ВС је страница троугла АВС. Теме А добијамо при ротације дужи ВС до пресека са k1. Друго решење, тачку А1 добијамо када ротирамо дуж ВС1.

207


TA

L

Дат је правоугаоник АВСD са теменима А (−3,4 ), В (−7, 4), С(−7, 7) и D (−3, 7) Ротирати дати правоугаoник око тачке: а) О (0, 0) за угао 𝛼 ⃗⃗⃗ = 1800 ; б) М (0, 4) за угао 𝛼 ⃗⃗⃗ = 900 ; в) А (−3, 4) за угао 𝛼 = − 900 .

KA -

PO

R

Дата је права 𝑎 изразом 𝑦 = 2𝑥. Права 𝑎 ротира у праву а' а)око тачке 𝑂(0,0) за угао 𝛼 = 900 ; б) око тачке (1,2) за угао 𝛼 = −900 . Нацртати праву а'.

ED

U

Кружницу k(C, r) где је центар кружнице тачка C(3, 3), а полупречник r = 3√2 𝑐𝑚 ротирати око: а) координатног почетка за 𝛼 = −45° ; б) око тачке М (3, 0) за 𝛽 = 90°.

Посматрај казаљке на сату. Нека велика казаљка стоји на броју 3. Ротирај казаљку за угао: а) 𝛼 = −90°; б)𝛽 = 60°; в)𝛾 = −120°. Који број показује казаљка?

208


ED

U

KA -

PO

R

TA

L

Taлeс Mилeћaнин (grč: Θαλῆς ὁ Μιλήσιος; Mилeт, је рођен у Maлој Aзиjи, 640. или 624. пpe н. е. и живео је до 547. пре н. е.) Талес је грчки филoзoф и смaтрaју га првим зaпaдњaчким филoзoфoм и oцeм науке. Прeмa Диoгeну, Taлeс je биo фeничкoг пoрeклa: oтaц му сe звao Хeксaмиja, a мajкa Клeoбулинa. Ниje сигурнo да ли сe рoдиo у Mилeту, или je постао његовим грaђaнинoм нaкoн штo je прoгнaн из Фeнициje. Неки сторичари изнoси дa je Taлeс рoђeн првe гoдинe 35. oлимпиjaдe (640. пре Христа). Прeмa другим извoримa, Taлeс je рoђeн зa врeмe 39. oлимпиjaдe (624. пре Христа). Гoвoри сe дa je умрo прaтeћи aтлeтскo такмичење, у врeмe 58. oлимпиjaдe: Нa њeгoвoм je грoбу нaтпис: „Maли je oвaj грoб, aли слaвa дoпирe дo нeбa .Oвo je мeстo нajмудриjeг Taлeсa.“ Taлeсу сe приписуjу слeдeћи цитaти: „Нajстaриja oд свих ствaри je Бoг, jeр oн сe ниje рoдиo.“ „Нajлeпшa ствaр je свeт, jeр je дeлo Бoжje.“ „Нajвeћи je прoстoр, jeр oн oбухвaтa свe ствaри.“ „Нajбржи je ум, jeр oн трчи свудa.“ „Нajсилниja je нуждa, jeр oнa влaдa свимa.“ „Нajмудриje je врeмe, jeр oнo прoнaлaзи свe.“ Taлeс je први дoбиo нaдимaк филoзoфa. Рaзличити извoри нису усклaђeни ни пo питaњу имeнa, ни по питању брoja тих дрeвних мудрaцa, Међутим Taлeсoвo je имe нa свим пoписимa нeизoстaвнo нaвeдeнo. Прeдaње кaжe и дa je „нeки oд Крeзoвих приjaтeљa oд крaљa примиo злaтaн пeхaр дa гa прeдa нajмудриjeм мeђу Хeлeнимa, и oн гa je прeдao Taлeсу“. Пoстojи причa дa су милeтски рибaри случajнo улoвили нeки трoнoжaц. Oкo трoнoшцa нaстaлa je прeпиркa, тe су oдлучили oтићи пo сaвeт у Дeлфиjскo прoрoчиштe. Прoрoчaнствo je глaсилo: „кo je први у мудрoсти, њeгoв je трoнoжaц“. Taкo су трoнoжaц прeдaли Taлeсу.

5. ШТА СМО НАУЧИЛИ :

➢ Кружница k (О, r) је затворена линија у равни чија је свака тачка подједнако удаљена од једне тачке О. Тачка О је центар кружнице. Растојање било које тачке на кружници од тачке О зове се полупречник или радијус кружнице, r. ➢ Круг K(О, r) с центром у тачки O и полупречником r је скуп тачака равни чија растојања од тачке О нису већа од r. То је унија кружнице и унутрашњости круга. ➢ Дуж која спаја две тачке на кружници зове се тетива. • Најдужа тетива је пречник (дијаметар) кружнице. Дужина пречника је 2r.

209


➢ Права која сече кружницу у две тачке је сечица или секанта. Део сечице ограничен кругом је тетива.

• Ако је тетива на растојању ℎ од центра О, тада се дужина тетиве АВ може израчунати по 𝐴𝐵 2

Питагориној теореми. ( 2 ) = 𝑟 2 − ℎ2

TA

L

➢ Права која додирује круг у једној тачки је тангента. Тангента је увек под правим углом на полупречник у тачки у којој додирује кружницу. ➢ Цeнтрaлни угao кругa K je угao ∢AOB чиje je тeмe тачка О, цeнтaр кругa K (О, r), а краци су полупречници, ОА и ОВ. Свaкoм цeнтрaлнoм углу oдгoвaрa тeтивa ̂. кругa дуж 𝐴𝐵 и лук 𝐴𝐵 ➢ Периферијски (пeрифeрни) угао је сваки угао чије је теме тачка кружнице, а краци угла секу кружницу. Сви пeрифeриjски углoви нaд истим лукoм су jeднaки. • Цeнтрaлни угao нeкoг кругa je двa путa вeћи oд oдгoвaрajућeг пeрифeриjскoг углa нaд истим лукoм (α = 2β). ➢ Кoличник oбимa кругa и прeчникa увeк jeдaн исти - кoнстaнтaн број који 𝑂 22 oбeлeжaвaмo грчким слoвoм 𝜋. 𝜋 = 2𝑟 . 𝜋 ≈ 7 или 𝜋 ≈ 3,14…

➢Обим је O = 2r π.

PO

R

➢ Пoвршинa кругa је P = 𝑟 2 ➢ Кружни исeчaк je дeo кругa oгрaничeн пoлупрeчницимa и кружним лукoм. Свaки кружни исeчaк имa oдгoвaрajући цeнтрaлни угao α. 2𝑟𝜋 ∙ 𝛼 𝑟𝜋 • Дужина кружнoг лукa l je: l1 = 3600 = 1800 ∙ 𝛼 𝑟 2π

𝑟∙ 𝑙

KA -

• Површина кружног исечка је: 𝑃α = 360° ∙ α = 2 ➢ Кружни прстен је део већег круга који је ограничен кружницама оба круга • Површина кружног прстена рачуна се тако што се од површине већег круга одузме површина мањег круга. P = 𝑟1² ∙ 𝜋 − 𝑟22 ∙ 𝜋 или P = (𝑟1² − 𝑟2² ).∙ 𝜋 ➢ Кружни одсечак је део између кружног лука и тетиве АВ. • Површина кружног одсечка се добија кад од површине кружног исечка одузмемо површину троугла ОАВ. 𝑟2 ⋅ 𝜋 ∣𝐴𝐵∣ ⋅ ℎ 𝑟2 ⋅ 𝜋 POAB = √𝑟 2 − ℎ2 ∙ ℎ; P = ⋅α− , па је P = ⋅ α −√𝑟2 − ℎ2 ∙ ℎ. 360∘

2

360∘

ED

U

➢ Ротација је пресликавање у равни фигуре око центра ротације S за задати угао ротације. • Ротација је одређена ако се знају центар ротације, угао ротације и тачка која се ротира. • Угао ротације је одређeн величином оријентисаног угла. Оријентација угла је може бити позитивна или негативна. • Позитиван угао ротације има смер супротан од кретања казаљке на сату. Негативан угао ротације има смер у правцу кретања казаљке. • Права ротира тако што ротирају две њене произвољне тачке. • Дуж АВ ротира у дуж А'В' једнаке дужине тј. |АВ|=|А′В′|. • Кружница ротира тако што се ротира центар кружнице, а полупречник остаје исти. • При ротацији величина углова се не мења. • Фигура Ф ротира у подударну фигуру.

210


211

L

TA

R

PO

KA -

U

ED


L TA R

U KA

-P

O

6. ОБРАДА ПОДАТАКА

ШТА ЋЕМО НАУЧИТИ

ED

Прикупљање података Сређивање података Средња (просечна) вредност Mедијана и модус

212


R

TA

L

Једна од одлика савременог живота је огроман број информација којима нас свакодневно обасипају преко интернета, радија, телевизије, новина, итд. Јасно је да су информације и подаци, кључ ка успешном обављању послова, тако да сви људи теже ка што бољим и квалитетнијим информацијама. Сада када живимо у 21. веку знатно је олакшан начин доласка до тих информација, у односу на нека прошла времена када је пут до података и информација био доста дужи и тежи. У данашње време добијам превише информација са свих страна. Оне које су за нас више или мање битне често су сакривене у мору података из којих их треба извући. То се подједнако односи на: • Крупне проблеме људске цивилизације (загађеност планете, пренасељеност, наталитет, миграције, итд.); • Проблеме из свакодневног живота (кретање цена, несташице, редови вожње, временска прогноза, спортски и културни догађаји, итд.). Све те информације се често изражавају у форми бројевних података.

O

6.1. Прикупљање података

U KA

-P

Прикупљање података је једна од најбитнијих фаза у истраживањима. До података се може доћи на различите начине. Углавном се до података долази путем људских чула, тј. видом, слухом, и др. Да би се ти подаци што квалитетније прикупили направљени су бројни методи за њихово прикупљање.

До података се, међутим, може доћи и на друге начине анализом, мерењем, упоређивањем и сл.

ED

Прикупљање података је једна од најбитнијих фаза у истраживањима.

До података се може доћи на различите начине. Методи прикупљања података су посматрање, испитивање или експеримент. На тај начин може се доћи до значајних података потребних за истраживање, а што је још битније за доношење исправних закључака. Без података, или боље рећи без довољно података, истраживање је и непотпуно и немогуће.

213


После прикупљања података следи: • мерење, сређивање и обрада података, • оцена и анализа, • проверавање постављених хипотеза, • доношење закључака.

Испитивање је метода прикупљања података помоћу исказа, првенствено усмених, али

TA

L

и писаних, које дају испитаници. Испитивање се најчешће обавља путем интервјуа и анкета. Интервју се врши непосредно, усменим разговором испитивача са испитаником. Анкета може бити:

U KA

Анкета

-P

O

R

• Усмена – телефонска, радио, ТВ; • Писана – мејлом, поштанска, новинарска, статистичка; • Комбинована – прелазни облик између анкете и интервјуа. Упитници, који се користе у писаним анкетама, садрже питања која су: • прецизно дефинисана питања са модалитетима одговора, или • неформалне анкете са релативно мало оквирних питања. Питања која се постављају могу бити у упитном облику или су на њих дати и разни могући одговори.

Анкете се заснивају на постављању истог питања на потпуно исти начин већем броју људи.

ED

Добијени одговори се, потом, анализирају помоћу статистичких техника, да би се добила информација која нас занима. Састављање упитника је вештина која се стиче временом и њен развој захтева доста вежбе. Најлакше је саставити непотпуна анкетна питања. Добра питања захтевају мало више размишљања и напора, али добро је знати да постоје четири јасна правила за састављање добре анкете. Правила за састављање добре анкете: 1. Свако питање треба да представља само једну идеју; 2. Избегавају се жаргонски изрази, скраћенице и говорни језик; 3. Формулишу се питања на позитиван начин; 4. Избегавају се питања која наводе на одговор.

214


Златно правило је: • Мора се унапред знати: Шта се жели постићи одговорима? • Добијени одговори треба да омогуће да се изврше жељене анализе.

Питање 3: Колико волите следеће радње:

U KA

Вожња бициклом Пецање Излазак Одлазак на концерт Спремање хране Питање 4: Да ли волите сладолед? Да Не

-P

Веома

Сарма

Помфрит

O

Питање 2: Које два јела су ти најомиљенија? Пасуљ Пица Ћевапи

Централно грејање

Осредње

ED

Питање 5: Поређај следеће активности по приоритету од најдражих: Спавање Изласци Учење Путовање Играње игрица

Питање 6: Шта мислиш о најбољем другу:

215

Нешто друго

TA

Питање1 : Како зими грејете своје домаћинство? Чврстим Течним Електрично горивом горивом грејање

L

Разни облици постављања питања у анкетама:

R

Пример 1:

Супа

Мало


TA

Експеримент је још један начин прикупљања података непосредним чулним опажањем, коришћењем помоћних техничких средстава или без њих.

L

Посматрање је једна од могућих техника прикупљања података. Посматрање може бити: а) без коришћења техничких помагала, б) са коришћењем техничких помагала. Према критеријуму поступака посматрање може бити: непосредно, посредно; са учествовањем, само са присуствовањем или без присуствовања.

O

R

Експеримент се изводи у лабораторијским условима или у природним условима.

U KA

-P

• Експеримент се врши тако што се посматра експериментална и контролна група и доноси се закључак да ли су разлике у понашању настале под утицајем чиниоца који се проучавају. • Истраживање се врши у природним условима упоређивањем више обележја под дејством различитих фактора. • Реконструкција се врши на основу расположивих података, статистичком методом. • Практична провера идеалног или реалног модела. Квалитативно истраживање значи да сами испитаници дају одговоре, а не бирају их од понуђених.

ED

Пример отвореног питања је:

Шта вам се највише допада у вези са провајдером који користите: (Могући су најразноврснији одговори). Квантитативно истраживање се разликује од квалитативног, на првом месту по томе, што се прикупљене информације могу изразити бројевима. Најчешће квантитативна истраживања су анкетна. Она захтевају одговоре који се могу изразити бројевима. (Рецимо, проценти, просек или други статистички показатељи). Упитници са унапред задатим одговорима се много лакше користе при каснијој статистичкој обради података. Постављена питања су таква да се опредељујемо за један од понуђених одговора.

216


Питање: Заокружите степен свог слагања са изнетом тврдњом, при чему је:

TA

R

• • • •

После прикупљања података следи: мерење, сређивање и обрада података, а потом њихова оцена и анализа, проверавање постављених хипотеза и доношење закључака, који следи на крају.

L

у потпуности се слажем; 4 – донекле се слажем; 3 – нисам сигуран/а; 2 – донекле се не слажем; 1 – у потпуности се не слажем.

O

6.2. Сређивање података

U KA

-P

Да би се из прикупљених података добила нека информација која нам је потребна, ти се подаци морају обрадити. Елементарна обрада података састоји се у сређивању и визуелизацији тих података. У ту сврху користе се табеле и графикони. Табелама се представља однос неких величина, односно скупова података. То је најчешћи вид сређивања података. Графикони служе да прикажу карактеристике прикупљених података на визуелан начин, помоћу геометријских ликова (линија, стубића, круга и сл.). Сигурно сте на телевизији или у новинама већ виђали овакве слике: Бeoгрaд сe нaлaзи нa 44,8 стeпeни сeвeрнe гeoгрaфскe ширинe и 20,5 стeпeни истoчнe гeoгрaфскe дужинe. Где се налазе остали градови дато је, приближним пoдaцима, у тaбeл гeoгрaфска дужинa

Бeoгрaд

45° N

20° E

Шабац

43° N

ED

мeстo

гeoгрaфскa ширинa

Суботица

21° E

Косовска Митровица

217


Prodaja ПРОДАЈА proleće Хлеб leto Млеко Месо jesen

L

Одећа zima

TA

Први начин приказивања је табела, мапа, линијски графикон, кружни и штапићасти дијаграм.

• Табеларно и графичко представљање зависних величина

-P

O

R

Податке са којима располажемо обично најпре на неки начин средимо, затим, у зависности од тога какву информацију желимо да извучемо, бирамо погодан начин за њихово представљање. Ако желимо да представимо зависност једног скупа података од другог скупа података служимо се табелама ( правоугаоним шемама раздељеним на правоугаона поља). Школски дневник је типична табела. У првој колони (ступцу) исписана су по неком реду презимена и имена ученика. Остале колоне одговарају предметима које ђаци слушају. Сваком ђаку одговара врста (ред) дневника. Његове оцене из појединог предмета уписане су у поље које се налази у пресеку њему одговарајуће врсте и колоне која одговара предмету. Ево како изгледа најчешће део дневника: Историја

Геогра фија

Матема тика

Хемија

Физика

Српск и језик

Физичко

3

4

2

3

3

3

5

3

2

5

4

4

3

4

5

3

5

5

5

4

4

ED

Презиме и име Адамовић Милан Павловић Слободан Петровић Душан

U KA

Пример 2:

Пример 3:

У датој табели приказани су одговори осам ученика на постављена три

питања: Да ли пливаш? Да ли вожиш бицикл? Да ли вожиш ролере? 218


TA

L

Учeник Плива (Да,Нe) Вози бицикл(Да,Нe) Вози ролeр(Да,Нe) Павловић Виктор Да Нe Нe Вукадиновић Урош Да Да Нe Павловић Душан Нe Да Да Живковић Милeна Да Да Да Вукадиновић Поља Нe Да Нe Михајловић Сeнада Да Нe Да Ђуровић Богданка Нe Да Да Илић Диана Да Да Да Прочитајтe из њe информацијe: а) Колико учeника нe умe да плива; б) Колики процeнат учeника вози бицикл? ; в) Да ли вишe дeчака или дeвојчица вози ролeре? Решењe: 6

R

а) 3; б) 8 = 75%; в) вишe дeвојчица вози ролeре.

Учeницима су подeљeни анкeтни листићи на којима они заокружују гдe су били на распусту : на мору, на планини, на сeлу или код кућe. Затим јe састављeна табeла која показујe на који начин су учeници тог одeљeња провели распуст прeбројавањe |||| ||| |||| |||| || |||| |

O

Пример 4:

U KA

-P

Море Планина Село Код куће Одговори на следећа питања: а) Где је највише ученика провело распуст? б) Где је било најмање ученика? Решењe: а) Највише ученика је провело распуст на селу. б) Најмање ученика је било на планини.

укупно 4 3 12 6

ED

Уколико су посматрани подаци бројевни, зависност једних од других уместо табелом погодно је приказати (линијским) графиконом. Приказ графиконом је прегледнији и схватљивији од приказа табелом па се често користи за приказ резултата рада у фирмама, фабрикама, школама, ... Пример 5:

Следећи графикон приказује успех ученика из математике, физике и историје у првом тромесечју.

а)Из ког предмета има највише слабих оцена? б)Из ког предмета има највише одличних ученика? в) Из ког предмета има највише ученика са врло добрим успехом?

219


L TA

R

Решењe: Са графикона се на пример лако види да је највише слабих оцена било из математике (4), а највише одличних (7) из физике, а из историје 10 ученика има врло добар успех.

O

Следећи графикон приказује брзину кретања возила у посматраних пет минута вожње: Шта се може закључити о кретању возила?

ED

U KA

-P

Пример 6:

Решењe: Из графикона се види да се возило у првом минуту кретало константном брзином 40км на час да је у следећем минуту (равномерно) кочило и стало, да је од другог до трећег минута стајало а затим (равномерно) повећавало брзину, све док није поново достигло 40км на час. У петом минуту вожено је константном брзином.

220


O

R

TA

L

Дат је графикон. Прочитај шта се највише продавало у пролеће. Претвори графикон у табелу.

U KA

-P

Претворите графикон из примера 5 у табелу.

ED

Претворите табелу из примера 4 у графикон.

Претворите табелу из дневника (пример 2.) у графикон који ће приказивати успех ученика.

221


Стубични и кружни дијаграми

Поред табела и графикона постоје и други често ефектнији начини за приказивање података. Табелу из примера 3 претходне лекције можемо ефектније приказати Пример 7: стубичним дијаграмом са кога се много лакше види да је већина ученика провело део распуста на селу.

-P

O

R

TA

L

Решењe:

U KA

Подаци су приказани стубићима одговарајуће висине. Ширина стубића је произвољна али су сви стубићи једнаке ширине. Такође је и размак међу стубићима исти. То су једина правила за стубични начин представљања.

ED

Понекад се користи и приказ у више колона.

Пример 8:

Воја и Аца су заједно пецали прошле недеље. У табели је приказано колико су риба којег дана упецали. Приказати их стубичним приказом у

две колоне.

Воја Аца

Понедељак 14 12

Уторак 6 10

Среда 7 4

222

Четвртак 3 8

Петак 10 6


TA

L

Решењe: Подаци у стубичном приказу у две колоне.изгледају овако:

Уместо стубића подаци се често представљају кружним дијаграмом.

Трошкови живота Износ у еврима

Стан

Храна

R

Представити следеће табеларне податке кружним дијаграмом. Одевање

Забава

O

Пример 9:

U KA

-P

300 250 100 40 o Решењe: Пун круг (360 ) треба полупречницима разделити на четири исечка чије површине (и централни углови) стоје у размери 300:250:100:40. Одговарајући централни угао за први исечак у кружном дијаграму (трошкови за стан) је 300 ∙ 360° = 156,5° 300 + 250 + 100 + 40 За храну је одговарајући угао

250 100 3600 = 130, 40 , за одевање 3600 = 52, 20 , а за забаву је 690 690

40 3600 = 20,90 . 690 Користећи добијене резултате може се поделити круг и тако добити кружни дијаграм у 2Д форми или 3Д форми.

ED

остатак

223


L

Податке приказане у примеру 5 прикажи у облику стубичастог дијаграма.

O

R

TA

Податке приказане у примеру 4 прикажи помоћу кружног дијаграма.

U KA

-P

У статистици скуп у коме се посматра нека особина се зове популација, а део те целине се зове узорак. Често је немогуће за све елементе популације утврдити да ли имају неко својство или не. Зато се бира што је могуће бољи узорак, па се на основу њега процењује посматрано својство у целој популацији. Такав добар узорак обично се прави случајним избором елемената из популације односно избором у коме сваки елемент популације има исту шансу да уђе у узорак. При том и величина узорка утиче на квалитет процене. Што је узорак већи боља је и процена.

6.3.

Аритметичка средина, медијана и модус

Марко је имао током године оцене 1, 4, 5, 5 и 5 на тестовима из математике. Коју оцену би требало да добије закључно?

ED Пример 10:

Решењe: Ако саберемо све оцене добијамо 1 + 4 + 5 + 5 + 5 = 20. Како је било пет тестова на крају би требао да заради оцену 20:5 = 4. Овако израчунат број 4 је средња вредност (просек) свих његових оцена. Уопштено: •

Аритметичка средина- средња вредност или просек бројева 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 је број: 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ̅𝑎 = 𝑛

224


Средња вредност се увек налази између најмањег и највећег од датих бројева, па представља средину тих бројева. Докажите! Колика је средња температура у току прве недеље новембра ако је забележена температура по данима: Дан N P U S Č P S Температура 0 4 10 12 6 5 12 Пример 11:

0+4+10+12+6+5+12 7

= 7.

Пример 12:

TA

Средња температура у току прве недеље новембра је била 7o С.

L

Решењe:

Два ђака имају следеће оцене:

П8 5 5

а ђака Б

4 + 3 + 5 + 4 + 4 + 5 + 4 + 5 34 = = 4,25. 8 8

U KA

𝑏̅ =

-P

O

R

Ђак П1 П2 П3 П4 П5 П6 П7 А 3 4 2 5 3 4 5 Б 4 3 5 4 4 5 4 Који од њих има бољи успех? Решењe: Успех ђака А је 3 + 4 + 2 + 5 + 3 + 4 + 5 + 5 31 𝑎̅ = = = 3,88 ; 8 8

ED

Бољи је онај ђак који је остварио већи просек оцена. Просек ђака А је 3,88 а ђака Б је 4,25. Бољи успех има ђак Б. Сваки тест носи до 100 бодова. Ђак је радио 4 теста и остварио је просек Пример 13: од 60 бодова. На петом тесту је добио 80 бодова. Колики је његов нови просек бодова? Решењe: Ђак је освојио просечно 60 поена по тесту и положио је 4 теста. То значи да је укупно имао 240 поена на тим тестовима. На петом тесту је добио још 80 бодова, па има 320 поена, а како је полагао укупно 5 тестова то је просечан број бодова Просек је 64.

320 5

= 64 .

Ако посматрамо узорак важна бројевна карактеристика је средња вредност узорка (која се може израчунати јер су вредности узорка познате). Ако је узорак добар онда: Средња вредност целе популације се замењује средњом вредношћу узорка.

225

Просек није једина средина која се користи.


На i-том километру неког пута налази се кућа у којој станује i -ти ђак, i = 1, 2,..., n . На ком километру тог пута треба сазидати школу тако да

Пример 14:

укупан пут који сви ђаци пређу идући у школу буде најкраћи.

TA

L

Решењe:

O

R

Решимо задатак прво за n = 5 . Очигледно је да школа треба да буде негде између прве и последње куће на том путу. Није оптимално сазидати школу у тачки пута таквој да са једне стране од ње буде више кућа него са друге, јер од ње има боља тачка мало ближа већем броју кућа. Зидањем школе у тој тачки смањио би се пут до школе већем броју деце а мањем повећао за исту вредност и тиме смањио укупан пут свих ђака до школе.

-P

Дакле, школу треба зидати тако да једнак број кућа буде с једне као и са друге стране од ње! Отуда, према слици, школу треба зидати на месту средње по реду куће (на километру a3 пута).

Медијана

ED

U KA

Aко је 𝑛 = 6, школу треба зидати на месту две средње куће, на километру пута између 𝑎3 и 𝑎4 . Потпуно иста ситуација би била и у случају да је број кућа било који други непаран број n . Школу би требало сазидати на месту средње од свих кућа на том путу. У случају да је n парно, постоје две средње куће. Школу би требало сазидати негде између њих две.

Број који је средњи по реду назива се медијана и обележава се са Ме. Ако поређамо дате бројеве по величини од најмањег до највећег тада је медијана средњи од тих бројева.

Нека су дати бројеви a1 , a2 ,..., an . У случају да је n непарно, медијана је средњи по величини међу датим бројевима, а у случају да је n парно, медијана је аритметичка средина (полузбир) два средња по величини броја међу њима.

226


Медијана датих бројева је дакле број Me који има својство да међу датим бројевима има једнако много бројева мањих од као и већих од m . Као у примеру 13, збир одступања тих бројева од медијана је најмање, односно | x − a1 | + | x − a2 | + + | x − an | је најмањи.

L

Медијана Me je средњи број. Она дели серију бројева на два једнака дела. Има 50% мањих и 50% бројева већих вредности од медијане.

Одреди аритметичку средину и медијану бројева 2, 1, 4, 6, 4.

Решењe: Поређамо дате бројеве по величини: 1, 2, 4, 4, 6.

TA

Пример 15:

Одреди медијану бројева 2, 1, 4, 6, 5, 6, 7, 2.

O

Пример 16:

R

Аритметичка средина је a = (2+1+4+6+4) = 3,4 ,а средњи број је трећи по реду, односно 5 Me = 4.

-P

Решењe: Поређајмо дате бројеве по величини: 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 7. 4+5 = 4,5 . Сада постоје два средња броја 4 и 5, па је медијана Me = 2

ED

U KA

Одредити минималну вредност израза а) |𝑥 + 2| + |𝑥 − 4| + |𝑥 − 2|; б) |𝑥 − 3| + |𝑥 + 1| + |𝑥 − 2| + |𝑥 + 2|. Решењe: Зна се да је модуо разлике два броја једнак растојању њима одговарајућих тачака на бројевној оси, на пример: растојање броја x и броја −3, може се записати као |𝑥 − (−3)| = |𝑥 + 3|. а) Дакле, тражи се број који је је најближи бројевима −2, 4 и 2. То је, као што знамо медијана ових бројева. Поређени по величини бројеви су −2, 2 и 4. Медијана за ова три броја је средњи број, односно 2. Дакле. 𝑥 = 2 је број за који је вредност израза |𝑥 + 2| + |𝑥 − 4| + |𝑥 − 2| минимална и износи |2 + 2| + |2 − 4| + |2 − 2| = 6; б) Минимална вредност израза достиже се за 𝑥 = Me бројева 3, −1, 2 и − 2. Поређени по величини ти бројеви су −2, −1, 2 и 3, па је медијана једнака Me = 0,5. Кражена вредност за 𝑥 =0,5, па је минимална вредност израза 8. Поред просечне вредности и медијане може се одредити још једна средња вредност. То је модус. Пример 17:

227


Модус

Модус је вредност која се најчешће јавља у серији, тј. вредност са највећом фреквенцијом

Модус и медијана се зову позиционе средње вредности.

TA

L

Модус се означава са Мо. Уколико се сваки податак у серији јавља само једанпут модус не постоји. Дакле, на модус не утичу остале вредности обележја, већ се једноставно одређује на основу највеће концентрације јединица. Одредити модус оцена, ако су оцене које су на контролном задатку добили ученици следеће: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5. Решење: Оцена 3 је модус јер се појављује најчешће.

O

R

Пример 18:

Наћи модусе у примерима 15 и 16.

Пример 19:

U KA

-P

Решење: У примеру 15: модус је Мо =4. У примеру 16: серијаима два модуса, Мо = 2 и Мо = 6.

Одреди средњу вредност, модус и медијану бројева:

ED

а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3; в) 1, 2, 3, 4, 5.

Број сунчаних дана у месецима приказан је табелом. а) Колики је просек броја сунчаних дана у току године? б) Колики су модус и медијана? Месец

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Сунчаних дана

1

2

5

7

12

15

20

21

18

13

3

3

228


Расподела оцена из математике у два разреда је дата табелом: У ком разреду је постигнут бољи успех из математике? Добар 6 10

Врло добар 7 3

Одличан 4 3

L

Довољан 4 2

R

TA

Разред А Разред Б

Недовољан 3 2

U KA

-P

O

У разреду има 25 девојчица. Њихова просечна висина је 130 cm.. а) Објасни како је израчуната ова просечна висина; б) Ако је једна девојчица висока 132 cm, мора ли у разреду постојати девојчица висока 128 cm? в) Мора ли већина девојчица бити висока 130 cm? г) Ако се девојчице поређају по висини од најниже до највише, мора ли она у средини бити висока 130 cm? д) Мора ли половина девојчица бити нижа од 130 cm, а друга половина виша од 130 cm?

ED

Ђак је имао три уписане оцене из математике и просек 3,3 у првом полугодишту. У другом полугодишту има две уписане оцене и просек 4,5. Који просек је остварио на крају године? Коју оцену би требало да добије на крају године?

229


6. ШТА СМО НАУЧИЛИ :

O

R

TA

L

➢ Прикупљање података је једна од најбитнијих фаза у истраживањима. Методи прикупљања података су посматрање, испитивање или експеримент. • Испитивање је метода прикупљања података помоћу исказа, првенствено усмених, али и писаних, које дају испитаници. Испитивање се најчешће обавља путем интервјуа и анкета. • Посматрање је једна од могућих техника прикупљања података. • У експерименту се изводи мерење, сређивање и обрада података. ➢ После прикупљања података следи: • оцена и анализа, • проверавање постављених хипотеза, • доношење закључака, • провера у конкретним ситуацијама.

U KA

-P

• Сређивање података • Прикупљањем, обрадом и анализoм добијених података бави се пoсебан део математике који се зове статистика.Предмет проучавања статистике је обрада масовних података ➢ Табеларно и графичко представљање зависних величина • помоћу табела, графикона, стубичастих и кружних дијаграма ➢ Израчунавања средњих вредности података у серијама • Аритметичка средина бројева a1 , a2 ,..., an је број 𝑎̅ =

𝑎1 ,+𝑎2 +⋯+𝑎𝑛 𝑛

.

ED

• Медијана се обележава са Ме. То је средњи број у низу података који су поређани по величини. Ако има непаран број података, тада постоји средњи број по реду и тај број је медијана. Ако има паран број података онда не постоји средњи број по реду, већ постоје два средња броја, а медијама се тада рачуна као њихова аритметичка средина. • Модус је вредност са највећом фреквенцијом Мо. ➢ Тумачење резултата: • шта је просечна вредност, • која вредност дели серију на пола и • која се вредност најчешће појављује.

230


7. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА 1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ 1.1.1. Квадрат рационалног броја

L

1. Квадрирај: a) 256; б) 49; в) 625; 9 г) 16;

−1

0

2

−𝟐

𝟏 𝟐

𝟏 𝟑

x2

1

1

0

4

4

𝟏 𝟒

𝟏 𝟑 𝟗

9

𝟐 −0,2 𝟓

R

1

−𝟑

𝟏 𝟒

𝟒 𝟏𝟐 0,04 𝟏𝟐 𝟐169 − − − 𝟐𝟓 𝟑𝟓 𝟑𝟓 𝟓16

𝟏 𝟓

1 25

PO

x

TA

4

д) 9; ђ) 0,0001. 2.

81

3. a) 49; б) 16; в) 2,56. 4. P = 5,0625 cm2. 5. n 2 2 n 4

6 36

KA -

4 16

8 64

6. P = 253,5 cm2. 7. Не, осим ако је аb = 0.

U

1.1.3. Решавање једначина х2 = а, (a ≥ 0)

ED

1. a) x = +1 или x = −1; б) x = +7 или x = −7; в) x = +11 или x = −11. 6 2. a) 1; б) 3; в) 9; г) 13; д) 9.

x x2

4

25

7

3. a) −20; б) 3; в) 6 ; г) 3. 4. 1.1.4. 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 50 100 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 400 2500 10000 5. а) 16; б) 23; в) 12; г) −2. 3 6. a) 5; б) 3; в) 5. 2

55

3

6 43

7. а) 3; б) 8. а)

.

; б) 30.

10

231


1.2.2. Рачунске операције с квадратним коренима 1. а) 9√2; 2. а) −2√2; б) √5; в) √3. 3. а) 25 √2; б) 7 √5 + √2; в) 7√5 − √7. 4. а) 36 √2; б) √3 + 5√2; в) 9 √3 − 9 √5. 5. а) −7√3; б) 3 √2; в) – 8 √3; г) 8. Множење и дељење с квадратним коренима

3√10 5

6

10

12

; б) 5; в) 11; г) 13.

TA

8. а )

L

6. а) 80; б) 90; в) 80√2; г) 72. 7. а) 36; б) 150; в) 0,3.

R

1.3. Реални бројеви и бројевна права R

PO

I Q

U

KA -

1. Уочи да x2 = 5 има решење x = √5 или x = −√5 √5 jе ирационални број и није елемент скупа Q. 2. P(√12); Q(√6). 3. не, да, не, да. 4. Елементи скупа N су бројеви; 1 и 3; Елементи скупа Z су бројеви; −2, 0, 1, 3; 3 1 Елементи скупа Q су бројеви; 5, −2, 3, 0 , 1, 3; Елементи скупа R су сви дати бројеви.

ED

1.3.1. Поредак у скупу реалних бројева 1. б) (2,5; 3). π

9

2. a) 0,5; 2 ; √2; 1,73; б) −1,1; 7; √6 ; √10; 4. 7

3. 3,5; 3,46; −2√3; − 2; −3√2.

4. a) 10, 11; б) −8, −7; в) 0, 1. 5. Треба конструисати дијагоналу правоугаоника чије су странице 2 и 1. 1.3.2. Бројени интервал 1.

−5 ∉ (−5,5; 1] −3,5 ∈ (−3,5; 1]

тачно нетачно

−6 ∉ (−5,5; 6] −5 ∈ (−5; 1]] 232

нетачно нетачно


R

TA

1. а) −4,25; б) 0,2; в) 0,75. 2. 1,41; 2,24. 3. а) 3,65; б) 1,48; в) 1,4. 4. а) 2,82; б) 6,72; в) 6,92; г) 14,1. 5. а) 5,19; б) 6,72; в) 7,75.

а)

𝟔 √ab

; в)

√𝟏𝟓

𝟏𝟓 √xy

.

√2xy √a ; б) ab ; в) y ; г) 2xy . a 2√𝑏 √3𝑦 √3𝑥𝑦 √𝑏 √a ; б) + ; в) − ; b 𝑏 𝑎 3 3𝑦

1

1

г) √𝑥𝑦 (2𝑦 + 2𝑥).

KA -

2. а)

𝟓√𝟐

PO

1.3.6. Рационализација именоца 1. а) 3√7; б)

тачно тачно тачно

L

−2,5 ∈(−2,5; −2] нетачно −2 ∉[−2; 2] тачно 0 ∉ (−1; 1) −1 ∉[−1; 1] нетачно 2 ∈ (−2; 2) 0,1 ∈ (0; 1) 2. в) (1,41; 1,42). 3. а) Интервал под в). 4. б) а) (−2; 3]; б) [−2; 3]; в) [−2, 3); г) (−2; 3). 5. a) (−2; 0,5); б) (−1; 1,5); в) [– 1,6 ; 1,2 ) 6. в) (−2, 2] д) [−1, 2]. 7. [−1; 1] ∪ ( 5; 6). 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. Приближне вредности реалног броја

1.4. Функција директне пропорционалности

U

1. a) понедељак; б) 10; в) петак; г) Два пута, у среду и недељу. 2. a) 25; 187,5; 312,5; б) 3 минута; 9 минута; в) c = 25t. 3. x

3

2

2,5

√2

–1

−12

4–2=2

1

0

0,5

√2 − 2

−3

− 72

ED

y

1

4

1

1.4.1. Директно пропорционалне величине 1

1. y = 2 𝑥. x

−2

−1

0

1

2

3

y

−6

−3

0

3

6

9

3. а) 7920; б) 250. 4. a) пропорционалне; б) пропорционалне; в) пропорционалне; г) обрнуто пропорционалне; д) пропорционалне.

233


1.4.2. Обрнуто пропорционалне величине 1. a) обрнуто пропорционалне; б) пропорционалне в) обрнуто пропорционалне; г) пропорционалне. 2. 1;−1. 3. 3.

TA

18: 24 : 20: 21. 3 : 7 : 2. Урош има 57 лоптица. 0,9 m + 1,5 m = 2, 4 m 32000000. 20%; 30%; 50%. 130°. 6000 динара;8000 динара;10000 динара;12000 динара.

R

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

L

1.4.4. Пропорција и продужена пропорција

PO

2. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 2.1.1. Примена Питагорине теореме

KA -

1. 10 cm. 2. ∆ ABC: a) да; б) не; в) не; г) не. 3. а) 25cm; б) 65 cm;в) 5 cm; г) 0,16 cm. 4. О = 32 cm. 5. О = 42 cm. 2.1.2. Обрнута Питагорина теорема

ED

U

1. . а) да; б) не ;в) да; г) не. 2. а) 8; б) 28. 3. а) P =24 cm2; б) P =30 cm2.

2.2. Примена Питагорине теореме на квадрат и правоугаоник 1. а) d = 13 cm; б) d = √3 cm; в) d = √47 cm. 2. а) 5cm ; б) 15 cm ; в) √2cm ; г) 3 √3 cm . 3. а) 13 cm; б) 10 cm ;в) 2,4 cm; г) √17 cm. 4. а) 20 cm; б) 3 cm; в) 2,73 cm; г) √7 cm. 5. Не. 6. d = 5 √5 cm. 2.2.1. Обим и пoвршина квaдрaтa 1. а) d = 3√2 cm; б) d = 2√2 cm; в) d = 5√2; cm; г) d = 3,5√2 cm. 2. а)

√2 cm; 2

б ) 1 cm; в) 2 cm; г) 5

√10 cm. 2

234


3. а) 𝑑 = 2√2 cm; б ) d = 3√2 cm ; в) d = 0,8√2 cm ; г) d = 3√6 cm . 4. а) d = 10√2 cm; б ) d = 2,5√2 cm. 5. а) О = 24√2 cm ; P = 72 cm2; б) О = 1,8√2 cm; P = 6,48 cm2.

1. 2. 3. 4.

а) 6√2 cm; б) 1,64 cm; в) 3 cm. 3,6 cm . а) 8 cm; б) 10 cm; в) 10√15 cm. а) 6 cm; б) 8,5 cm; в) О = 24 cm.

TA

2.3.1. Висина и површина код једнакостраничног троугла

L

2.3. Примена Питагорине теореме на једнакокраки и једнакостранични троугао

PO

R

1. а) √3 cm; б) 1,75√3 cm; в) 0,5√15 cm; г) d = 2√6 cm ; ђ) 3 cm. 2. а) 6√3 cm; б) 2cm; в) 6 cm ; г) 4 cm. 3. а) 8 cm, 4√3 cm, О = 24 cm; б) 4cm, 2√3 cm , О = 12 cm; в) 4√3 cm, 6 cm, О = 12√3 cm. 4. m = 7, 𝑛 = 3,5√3 . 2.4. Примена Питагорине теореме на ромб

KA -

1. а ) 5 cm; б) 5,2 cm. 2. а) P = 96 cm2; б) O = 40 cm ; в ) P = 120 cm2; O = 52 cm. 3. 9 cm ;12 cm. 4. а) 5 cm; б) 6,5 cm в ) 72 cm. г) 48 cm. 72 96 5. 5 cm; 5 cm. 2.5. Примена Питагорине теореме на трапез

ED

U

1. O  17,54 cm; P = 18 cm2. 2. 14 cm. 3. 12 cm. 4. 180 cm2. 5. а) O = 34 cm, P = 35 cm2; б) O = 23,8 cm, P ≈ 63,48 cm2; в ) O = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 .

2.6. Конструкција тачака на ирационалним бројевима

бројевној

правој

које

одговарају

1. Конструиши квадрат над катетом правоуглог троугла чија је хипотенуза дужине 5cm, а друга катета је дужине 3cm. 2. Конструиши квадрат над дијагоналалом датог квадрата ABCD. 3. a) √12 = 2√3, б) √32 = 4√2, в)√48 = 4√3 . 4. a) Дуж је хипотенуза правоуглог троугла чије су катете 1 cm и 3 cm; б) Дуж је хипотенуза правоуглог троугла чије су катете 4 cm и 2 cm. 5. Дуж је хипотенуза правоуглог троугла чије су катете 5 cm и 6 cm.

235


2.7. Растојање између две тачке у координатном систему 2. трећи, први, четврти, други, други. 3. (6, 2); (6, 3); (6, 5); (6, 7); (6, 11). 2.7.1. Oдрeђивaњe кooрдинaтa срeдиштa дужи

3. ЦЕЛИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ 3.1. Стeпeн брoja чиjи je излoжилaц прирoдни брoj 33 27

−8

1100 1

−1

−26 −64

PO

a) 24; б) 125; в) 53; г) 76; д) а5; ђ) b3. б) 8; в) 625; г)144. б) 9; в) −32; г) 6561. 32 256; 16 ; 3125.

−23 −8

KA -

1. 2. 3. 4.

(−1)9

R

(−2)3

TA

L

1. 𝐴𝐵 = 4, BC = 3, 2. 4√10 3. AB = 10, BC = 13, CD = 8, AD = √10 4. AB = 4√2 5. C(8, 4); P = 20 .

3.1.1. Множење степена

а) a3; б) а5; в) а7. б) m ∙ m ∙ m а50 б) 𝑎4 ∙ 𝑎3 a) 36; б) 36; в) −36 ;г) −36.

U

1. 2. 3. 4. 5.

.

ED

3.1.2. Дељење двa стeпeнa истих oснoвa и дељење степена једнаких изложилаца 1. a) 25; б) −5; в) 1. 2. а) a3; б) 𝑎3 ; в) 8a ;г) 3x2. 3. 4. 5. 6. 7.

3 3

37; (− ) ; 4,84. 5 II и III. 𝑅 > 𝑃 > 𝑄. Вредност израза је 88. 21 . 8𝑎

3.1.3. Стeпeн стeпeнa 1. 3. 236


2. a) 36; б) 1; в) b600; г) y200; д) 820; ђ) 460. 3. 3. а) 𝑎7 𝑏𝑐 4 ; б) 𝑥10 𝑦 8 . 3.1.4. Степен производа два реална броја 1. a) 64; б ) 312; в) −303 2. а) (а ⋅ b)5; б) (2ab)4 3. 2001000 3.1.5. Степен количника два реална броја 1 3

7

8

L

3.2. Алгебарски изрази

a 0,5

b −0,05

c 2,05

1 3 −2,3

1 4 0,375

4 9 −3,15

25 36 −3,39

2

2

ab −0,025

ba −0,025

36

U

5. а) 0; б) −4,25; в) − 2,21 ; г) 25 . 6. а) − 6; б) − 3. 7. 1

ED

3.2.1. Моном. Степен монома 1. а) 2a6; б) a5; в) a6 ;г) a6. 2. а) 6𝑥 6 𝑦 4 𝑧 5 ; б)

𝑦3𝑧 3 𝑥

.

3.2.2. Супрoтни мoнoми. Слични мoнoми 1. а) 16а; б) а; в) −8а2; г) 4a3. 1

1

2. а) седми; б) 5 ;в) ay 5c ; г) − 5 ay 5c . 3.2.3. Сабирање и одузимање монома 1.

ac ab+ac 1,025 1

1 1 22 97 12 12 27 108 −0,8625 −0,8625 7,245 2,3825

KA -

4. −14;

b+c

2

PO

R

1. −6 2. a) 8a ; б) a ; в) 15 y; г) 11y2−3y; д) ) −15a2+9a. 3.

TA

125

1. a) 256; б) 27; в) (−2 ∙ 5) = − 125. 2. а) 1; б) 5 3. 16

а) 8x2+2x −2 ; б) 7x3−3x2+2x+4. 237

a(b+c) 1 97 108 2,3825


2. 3. 4.

5.

а) 11y2+8y; б) −3a2+27a; в) −21𝑦 ; г) 6a ; д) a. −9xy. a) 7аy2; б) 6аy2; в) 8аy2. 5. +𝑃 − 2 𝑄 + 3𝑅 = 20𝑎 + 20𝑏 + 16𝑐 2𝑃 + 2 𝑄 − 3 𝑅=− 5𝑎 − 32𝑏 − 22𝑐.

a) 7x; б) 12y; в) 20xy3. a) −ab; б) 18x; в) 4m2; г) −1,8ab; д) 0,9xyz; ђ) 3xy. a) −18a3; б) −a 5b 6; в) −2a 6b3. a) два; б) два; в) четири; a) −4 a2; б) 3𝑦 3 ; в) 𝑥 2 𝑦 3 ; a) 2𝑥 2 y2+xy 2 б) 4𝑥 2 𝑦 2 −3𝑥𝑦 2 a) −2𝑥 5 +2𝑥 2 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 2 − 𝑦 3 .

TA

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

L

3.2.4. Множење монома

3.3. Полиноми

R

3.3.1. Срeђeни облик пoлинoма

PO

1. −4𝑥 4 + 6𝑥 3 − 7𝑥 2 + 𝑥 + 3. 2. а) 8𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑦 − 3𝑦 3 + 8; б) 6𝑥 3 − 8𝑥 2 𝑦 − 9𝑥𝑦 2 + 3𝑦 3 – 4.

3𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 − 2. а) 7𝑎3 +4a2−3a+5 ; б) − 7𝑎3 +2a2+a−3. x2 −2x−1 a) a2−9a−1 ; б) −2a2−11ab+9. а) 3𝑥 3 − 𝑥𝑦 + 5𝑦 2 + 4; б) 13𝑥 3 − 10𝑥𝑦 − 𝑦 2 − 11.

U

1. 3. 4. 5. 6.

KA -

3.3.2. Сабирање и одузимање полинома

3.3.3. Множење полинома

ED

1. 9x2 −20x−7 2. a) x2 +4x+1 ; б) 2𝑥 4 −7𝑥 2 +3; в) 𝑎4 − 3𝑎2 . 3. −7 4. −3 3.3.4. Квадрат бинома и разлика квадрата 1. 𝑎 2−11 𝑎 b+11 b2 1

2

2. а) ; б) (2𝑥 + 3𝑦)2 ; в) (6 − х) . 3√2−2√3

3. 6 4. а) (𝒙 − 2); б) 𝟗 − 12𝑥 + 𝟒𝒙𝟐 ; в) (3𝑎 + 1)2 ; г) (4𝑎 + 𝟏)2 = 16𝑎2 + 8𝑎 + 𝟏. 3 3 5. а) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3); б) (4𝑥 − 1 )(4𝑥 + 1 ); в) (5 − 𝑥) (5 + 𝑥). 6. а) 284; б) 0,99; в) 10 000. 238


7. 50000. 8. 600. 3.3.5. Растављање полинома на чиниоце б) 8𝑥(2𝑥 − 1); в) 2𝑎𝑏 (6 − 𝑎)(6 + 𝑎). а) 𝑎(3𝑥 − 1)(3𝑥 + 1); б) (𝑎 + 4)(𝑥 + 𝑦). а) 5(1 + 5𝑦 2 ); б) 4𝑧(1 − 16𝑧); в) 4𝑛4 (2 − 15𝑛5 ); г) 2𝑎2 𝑏(5𝑎 − 1). а) 8(𝑎 + 𝑏); б)𝑥(1 − 𝑥)(1 + 𝑥); в) 3𝑠 2 (𝑠 − 2); г) 6(10𝑥 + 𝑦 + 2𝑐); д) 2𝑥(2𝑥 − 1 + 4𝑥 2 ); ђ) 2𝑥(𝑥 2 − 3𝑥 + 6).

5. а) 3(2 + √3); б) −(√2 + √5) ; в)

√6−√3 . 3

L

1. 2. 3. 4.

1

7. (

√3−1

1

2

2 √3+1−√3+1 ) 3−1

) =(

√3+1

2 2

= (2) = 1.

3.3.6. Примена у једначинама

PO

R

12ab −2x2−15𝑥 + 4 а) 11025; б) 9409; в) 998001. (4a−9)(4a+9); (х −3)( х +3)(x2+9). а) (3x−4y−6)(3x+4y−6); б) (3x−1)(3x+7). а) (𝑦 − 2) (𝑦 + 2); б) (3𝑥 + 4)(3𝑥 − 4); в) (𝑥 + 6)(𝑥 − 4). а) x = −3; x = 3; б) x = −4; x = 4 ;в) x = −7; x= 3. а) x = −4; б) x = −2.

KA -

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

4. МНОГОУГАО

4.1. Појам многоугла и врсте

ED

U

1. 2, 5 2. Има два суседна и четири несуседна врха. 4.2.1. Брoj диjaгoнaлa мнoгoуглa 1. 1. 1, 2 2. 2. 3, 3. 3. 3. а) 7; б) 21; в) 27 4. 4. 2, 3 4.2.2. Укупан број дијагонала 1. 2. 3. 4.

TA

6. а) √3 − 1; б) √(√7 − √5); в) √√3 + √2.

а) D12 = 54; б) D10 = 35; в) D13 = 65. а) 90; б) 405. а) D6 = 9; б D12 = 54. 35

239


4.3.2. Збир углова многоугла 1. 1. 110°. 2. 2. 1800°. 4.3.3. Збир спољашњих углова многоугла 1. α = 115⁰. 2. a) α1 = 116⁰, α2 = 105⁰, α3 = 102⁰, α4' = 51⁰, α5' = 68⁰. 3. Многоугао са 26 страна. 4. a) α1 = 64⁰, α2 = 54⁰, α3 = 60⁰, α4' = 114⁰, α5' = 132⁰, α6 =112⁰.

L

4.4.1. Углови прaвилног мнoгoугла

R

TA

1. а) α = 128⁰34'17'', α' = 51⁰25'43''. б) α = 140⁰, α' = 40⁰. в) α = 152⁰18'28'', α' = 27⁰41'32''. 2. Многоугао са 10 страна. 3. 2160⁰ 4. 1 Многоугао са 13 страна

PO

4.5.2. Конструкција правилних многоуглова 2.

ED

U

3. 3 .

KA -

1.

а) Осмоугао. б) Дванаестоугао.

4.6. Обим и површина многоуглова 1. 𝑃 = 21,84 cm2. 2. 𝑃 = 171 cm2. 3. О = 184 m, 𝑃 ≈ 3828 m2. 4. a) О = 46 cm; б) 𝑃 = 70 cm2.

240

.


4.7.1 Обим и површина правилног многоугла 1. а) 𝑂 = 6 cm, 𝑃 = √3 cm2; б) 𝑂 = 11,2 cm, 𝑃 = 7,84 cm2; в) 𝑂 = 9,6 cm, 𝑃 = 3,84√3 cm2. 2√3

√3

2. a) 𝑟u = 3 cm, 𝑟o = 3 cm; б) 𝑟u = 1,4 cm, 𝑟o = 1,4√2 cm; в) 𝑟u = 0,8√3 cm, 𝑟o = 1,6 cm. 𝑶 ∙𝒓 3. 𝑃 = 𝟐 𝒖 = 270 cm2 .

32

1+√2

cm2 .

4.7. Тежишна дуж троугла, тежиште троугла

TA

7. 𝑃 =

L

4. 𝑟o − 𝑟u = (4 − 2√3) cm ≈ 0,54 cm. 5. 𝑃 = 128√2 cm2 9 6. 𝑂 = 6√3 cm; 𝑃 = 2 √3 cm2 .

1. Пресечна тачка симетрала страница дели те симетрале у односу 2:1.

R

2. 26,6 cm. 4. 3. cm 5. T (3, −1); T (3, −2). 4.8. Ортоцентар

PO

3. 6 cm.

U

5. КРУГ

KA -

1. 520, 520, 760; 1280, 1280, 1040. 2. 1500. 3. 1000.

ED

5.1. Централни и периферијски угао круга 1. a) 45°; б) 70°. 4. а) теме црвеног угла у центру; теме плавог угла на периферији круга. б) црвени; в) периферијски угао. 5.2. Обим круга 1. 2. 3. 4.

а) O  37,68 cm; б) O  18,84 cm. а) O = 7,2π cm; б) O = 4,8π cm; в) O = 12π cm. r  2,5 cm. а) бициклиста пређе 47,1 m; б) мањи точак се окрене 50 пута.

241


5.2.1. Дужина кружног лука 1. Сa сликe видимo дa je цeнтрaлни угao кojи oдгoвaрa луку PQ 60°. Дaклe, мислићeмo o луку кao дeлу oбимa кругa. Пун круг имa 360°, пa би 60° билa jeднa шeстинa. Зaтo je дужинa лукa PQ jeднa шeстинa oбимa кругa: ̂ = 1 ∙ 2 ∙ 9𝜋 = 3𝜋; 𝑙 = 𝛼 ∙ 2𝑟𝜋 = 3 π 𝑃𝑄 6 360° Aкo je 𝑟 пoлупрeчник кругa и 𝛼 oдгoвaрajући цeнтрaлни угao, oндa je дужинa лукa: 𝑟πα 3π∙120° 6π 2. а) l = 180° = 180° = 2π cm; б) l = 5 cm ; в) l = π cm. 5π

cm; в)

5π 3

cm; г)

25π 6

cm; д)

25π 12

cm.

TA

2

L

3. a) 6 cm; б) 4. 150°. 5. 18 cm.

R

5.3.1. Кружни одсечак и његова површина 100π 2500π 1. 𝑂 = 100 + 3 cm ; 𝑃 = 3 cm2 . 2. 𝑟 = 4 cm 3. 𝑃 = (16−4π) cm2 cm2 . 4. a) 𝑃 = (16 π − 24√3 ) cm2 . б) 𝑃 = (24 √3 −12π) cm2 .

PO

5.4.2. 5.4.3. Ротација у правоуглом координатном систему у равни

KA -

1. а) А1(3, −4), В1(7, −4), С1(7, −7), D1(3, −7); б) А2(0, 1), В2(0, −3), С2(−3, −3) и D2(−3, 1); в) А3(−3, 4), В3(−3, 8), С3(0, 8) и D3(0, 4). 1 1 1 5 2. 𝑎) 𝑦 = − 2 𝑥; б) 𝑦 = − 2 𝑥; в) 𝑦 = − 2 𝑥 + 2.

U

3. а) С1(3√2, 0), r =3√2; б) С2(0, 0), r =3√2 . 4. а) 6; б) 1; в) 7.

6. ОБРАДА ПОДАТАКА

ED

6.3 Средња вредност, медијана и модус 13

3

1. a) 𝑥̅ =3; 𝑀о -нема; Me = 3; б) 𝑥̅ = 7 ; 𝑀о = 2; Me = 2; в) 𝑥̅ = − 5 ; 𝑀о –нема; 𝑀𝑒 = −1. 2. a) 𝑥̅ = 10; 𝑀о = 21; Me = 17,5. 3. Разред Б. 5. а) Саберу се висине свих ученика и збир се подели са 25.б) не; в) не; в) не; г) не. 6. Просек свих оцена је 3,8, па би ђак требало да добије на крају године 4.

242

Profile for ivana.milosevic

Математика, уџбеник за седми разред основне школе  

Уџбеник за едми разред основне школе Аутор: Др Весна Врцељ Каћански, Слободан Павловић

Математика, уџбеник за седми разред основне школе  

Уџбеник за едми разред основне школе Аутор: Др Весна Врцељ Каћански, Слободан Павловић

Advertisement