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Derivadas de Orden Superior 1. Notaci´ on: fxx = (fx )x fxy = (fx )y fxy se debe derivar con respespecto a x y luego con respecto a y ( ) ∂ ∂z ∂ 2z significa y Usando la notaci´on ∂, tenemos 2 ∂x ∂x ∂x ( ) ∂ 2z ∂ ∂z , a esta derivada, se le llama derivada mixta significa ∂x∂y ∂x ∂y 2. Ejemplos: a) Calcular fx (x, y), fxy (x, y), fyx (x, y) si f (x, y) = 6xy 2 √ b) Si z = e c)

x2 +y 2

; calcular

∂z ∂ 2 z , ∂y ∂y 2

∂2z si z 2 = xy ∂x2

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Regla de la cadena Si z = f (x, y) donde x e y son funciones de r y s dadas por x = x(r, s) y y = (r, s). Si f, x, y tienen derivadas parciales continuas, entonces z es una funci´on de r y s y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + y ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s 1. Para un fabricante de c´amaras y pel´ıculas, el costo total c de producir qC c´amaras y qF rollos de pel´ıcula est´a dado por c = 30qc + 0,015qC qF + 900 Las funciones de demandas para las c´amaras y los rollos fotogr´aficos est´an dados por 9000 qC = √ y qF = 2000 − pC − 400pF pC pF donde pC es el precio por c´amara y pF el precio por rollo de pel´ıcula. Encontrar la tasa de cambio del costo total con respecto al precio de la c´amara cuando pC = 50 y pF = 2 2. Si w = f (x, y, z) = 3x2 y+xyz−4y 2 z 3 , donde x = 2r−3s, y = 6r+s, z = r−s. Calcular ∂w ∂w y ∂r ∂s

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M´ aximos y m´ınimos para funciones de dos variables 1. Def: Se dice que una func`ı´on z = f (x, y) tiene un m´aximo relativo en el punto (a, b), si para todos los puntos (x, y) en el plano suficientemente cercanos a (a, b) se cumple que f (a, b) ≥ f (x, y) 2. Regla 1: Si z = f (x, y) tiene un m´aximo o un m´ınimo relativo en (a, b) y si fx y fy est´an definidas en todo punto cercano a (a,b), se debe cumplir que fx (a, b) = 0 y fy (a, b) = 0. Al punto (a,b) se le llama punto cr´ıtico de f 3. Si f (x, y) = 2x2 + y 2 − 2xy + 5x − 3y + 1 encontrar los puntos c‘r´ıticos de f . 4. Encontrar los puntos cr´ıticos de f (x, y) = x2 − 4x + 2y 2 + 4y + 7 5. Regla 2: Suponga que z = f (x, y) tiene derivadas parciales continuas fxx , fyy y fxy en todo punto (x,y) cercano al punto cr´ıtico (a,b) y sea D la funci´on D(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − (fxy (x, y))2 Entonces a) Si D(a, b) > 0 y fxx (a, b) < 0 entonces f tiene un m´aximo relativo en (a,b) b) Si D(a, b) > 0 y fxx (a, b) > 0 entonces f tiene un m´ınimo relativo en (a,b) c) Si D(a, b) < 0 entonces f tiene un punto silla en (a,b) d ) Si D(a,b)=0, no se tiene informaci´on 6. Examinar f (x, y) = y 2 − x2 en relaci´on a sus extremos relativos

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Multiplicadores de Lagrange Este m´etodo se utiliza, cuando tenemos que optimizar (m´aximizar o minimizar) una funci´on de m´as de una variable, en que adem´as tenemos una (o m´as) restricciones para las variables independientes. Supongamos que tenemos una funci´on f(x,y,z) sujeta a la restricc`ı´on g(x,y,z)=0. Si queremos optimizar f sujeta a la restricci´on g, el m´etodo consiste en construir F (x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z). Una vez construida esta funci´on, se procede como se hace con una funci´on sin restricci´on. Se demuestra que si (a,b,c) es un valor cr´ıtico de f sujeto a la restricci´on g(x,y,z)=0, existir´a un valor de λ, digamos λ0 , tal que (a, b, c, λ0 ) es un valor cr´ıtico de F (a λ0 se le llama Multiplicador de Lagrange). Si (a, b, c, λ) es un valor cr´ıtico de F, entonces (a,b,c) ser´a un valor cr´ıtico de f sujeto a la restricci´on g.

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Lo mínimo que se debe saber sobre este tema

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