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GEOMETRIA DINÂMICA PARA QUÊ? GUIA DE APOIO À UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA SESSÃO DE TRABALHO COM A TURMA 4

Raul Aparício Gonçalves - ESE IPPorto - Dezembro 2007

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_______________________________________GEOMETRIA DINÂMICA! PARA QUÊ? - GUIÃO DE UTILIZAÇÃO DO GEOGEBRA

ÍNDICE: Breve apresentação das funcionalidades do programa ---------------------------------

03

Problema da triangulândia ---------------------------------------------------------------

03

Propoostas de trabalho 1. Como construir um triângulo? (à volta do problema da triangulândia) ----------

07

1.1. Construir uma representação de um triângulo a partir do traçado dos lados ------

07

1.2. Construir um triângulo equilátero ------------------------------------------------

07

----------------------------------------

08

---------

08

---------------------------------------

09

------------------------------------------------------------

09

2. Como construir um polígono regular? ----------------------------------------------

10

1.2.1. Vamos formatar o triângulo equilátero

1.2.2. Uma posição possível para a casa do triangulês e percursos para a costa 1.2.3. Façamos conjecturas mais consistentes 1.2.4. Vamos à prova!

2.1. Um polígono regular baseado nas construções de régua e compasso -------------

10

----------------------------------

10

--------------------------------------

10

2.2. Polígonos regulares com o modo Polígono regular -------------------------------

10

3. Um pouco mais de régua e compasso ---------------------------------------------

11

3.1. Construção do rectângulo áureo -------------------------------------------------

11

3.2. E por falar em Pitágoras…. O teorema. ------------------------------------------

13

3.3. Construção da raiz quadrada ----------------------------------------------------

14

4. Isometrias --------------------------------------------------------------------------

14

4.1. Reflexão ------------------------------------------------------------------------

15

4.2. Translação ----------------------------------------------------------------------

15

4.3. Rotação -------------------------------------------------------------------------

16

4.4. Reflexão deslizante --------------------------------------------------------------

16

5. Paderões geométricos: frisos e rosáceas ------------------------------------------

16

6. Utilizar as construções em documentos como Word ou outros -------------------

17

7. Utilizar applets, ou apliquetas, da Internet ----------------------------------------

17

2.1.1. Utilizando procedimentos sugeridos num site 2.1.2. Utilizando a rotação segundo um ângulo

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GeoGebra http://www.geogebra.org/cms/ http://www.geogebra.org/download/install.htm http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Portugese

O Geogebra é uma aplicação que permite trabalhar a geometria, e também a álgebra e o cálculo. A grande diferença entre esta aplicação e outras de geometria dinâmica é a possibilidade de se poder introduzir vários comandos de um modo rápido e eficaz. É ainda uma aplicação totalmente gratuita disponível para todos os que a queiram utilizar. A aplicação, na sua versão 3.0, apresenta:

Uma barra de Menus: Menu

Ficheiro

Menu

Editar

Menu

Exibir

Menu

Opções

Menu

Ferramentas

Menu

Janela

Menu

Ajuda

Uma barra de Ferramentas:

Na barra de ferramentas estão disponíveis nove menus. Cada um destes menus dispõe de vários modos de trabalho que serão descritos, mais à frente, com mais pormenor. Duas Janelas:

na janela da esquerda, aqui designada por vista algébrica, são descritos os objectos algebricamente, por exemplo coordenadas de pontos, equações de rectas, de circunferências entre outras; na janela da direita, aqui designada por vista geométrica, está representado o plano euclidiano onde se situam os objectos a ser manipulados.

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Uma barra de estado: Nesta barra, à direita da barra de ferramentas, o utilizador pode verificar o modo seleccionado assim como obter algumas instruções do modo. Uma barra de comandos: À medida que o utilizador define objectos na vista geométrica, quer através da barra de ferramentas quer através da barra de comandos, de imediato é actualizada a vista algébrica. A vista algébrica pode ser editada e em simultâneo é alterada a vista geométrica. Se pretendermos usar o Geogebra apenas do ponto de vista geométrico, podemos encerrar a vista algébrica e realizar as construções pretendidas apenas com a barra de ferramentas.

Potencialidades da barra de ferramentas: Sempre que pretenda Vários tipos de objectos baseados movimentar um ponto dispõe em rectas podem ser traçados. Ao de dois modos: todo o utilizador dispõe de oito modos distintos, um dos quais permite com rapidez traçar polígonos regulares:

Estão ainda disponíveis seis modos que permitem realizar construções geométricas elementares como sejam rectas perpendiculares, paralelas, a mediatriz, a bissectriz de um ângulo, tangentes a uma circunferência, e a inversão de circunferências relativamente a um ponto:

Relativamente à construção de circunferências, arcos , e cónicas existem ao todo nove modos distintos bastante úteis:

Quando pretenda marcar pontos poderá usar três modos distintos:

(continua)

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Potencialidades da barra de ferramentas (continuação): O Geogebra permite trabalhar com várias medidas. Ângulos e distâncias podem ser medidas através das linhas de comando. Permite ainda trabalhar com selectores que proporcionam parâmetros numéricos e angulares:

Ao nível das transformações geométricas o utilizador dispõe de modos que permitem construir simetrias num ponto e num eixo, rotações translações e homotetias:

Para além de inserir texto e verificar se dois objectos têm pontos ou um conjunto de pontos comuns o Geogebra permite inserir imagens. A grande novidade é que estas imagens podem ser transformadas como se de objectos geométricos se tratasse:

Finalmente a barra de ferramentas tem vários modos que permitem editar todos os objectos criados assim como a vista geométrica:

Nesta sessão pretende-se trabalhar sobretudo com a vista geométrica, pelo que poderemos visualizar apenas esta vista acedendo ao menu exibir e retirar a selecção dos itens que estão seleccionados com “visto”( ). Para retirar a selecção basta “clicar” com o botão esquerdo do rato sobre o comando respectivo. Podemos também retirar os rótulos dos objectos a serem traçados de modo a evitar uma sobrecarga de designações desnecessários. Assim que necessário poderá rotular os objectos que lhe interessem

(Sempre que observar este símbolo, tal significa que pode observar um vídeo na plataforma moodle em que se exemplifica as instruções escritas)

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AVENTURA EM TRIANGULÂNDIA

A Triangulândia é um país com a forma de um triângulo equilátero, que faz parte do planeta Geom, de forma plana. As três linhas de fronteira são partilhadas com outros tantos países, todos eles em forma de polígono regular (nos vértices não há fronteira). Um triangulês, habitante da Triangulândia, pretende construir uma casa. Ele acha muita piada ao formato dos habitantes dos países que fazem fronteira com o seu. Por isso quer habitar num local onde lhe seja rápido deslocar-se a qualquer uma das linhas de fronteira, e daí observar os seus vizinhos de cada um dos três países poligonais que se encontram do outro lado da fronteira.

Onde deve o triangulês construir a sua casa?

Azevedo, Ana; Dos Santos, José; Gonçalves, Raul. Eureka – Matemática A 10º Ano. Porto Editora. Porto: 2007

Para saber mais, ver págs. 62 a 65 de: Veloso, Eduardo “Geometria: temas actuais: materiais para professores”. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1998

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PROPOSTAS DE TRABALHO 1. Como construir um triângulo? Há vários processos para construir triângulos com o Geogebra, entre os quais: 1.1. construir uma representação de um triângulo a partir do traçado dos lados 1. Seleccione o modo ponto

;

2. marque três pontos; 3. seleccione o modo segmento

no 3º menu da barra de ferramentas;

4. desenhe a poligonal que define o triângulo, unindo sucessivamente os pontos 2 a 2. Deve seleccionar um extremo e de seguida o outro extremo do segmento.

5. Se arrastar um dos vértices conseguirá rapidamente representar outros triângulos. Basta para isso seleccionar um dos pontos com o botão esquerdo do rato e premir (sem levantar) à medida que o desloca. Para mover o ponto deve aceder ao primeiro menu da barra de ferramentas, onde encontra uma seta. 1.2. construir um triângulo equilátero 1. Seleccione o modo circunferência definida pelo centro e por um dos seus pontos; 2. Marque um ponto, o centro, e arraste o cursor até um local por onde passará a circunferência, onde marcará, com um clique do rato, um ponto da circunferência; 3. Com centro nesse 2º ponto volte a construir uma circunferência, agora a passar pelo centro da 1ª. 4. Os pontos assinalados e um dos pontos de intersecção da circunferência constituem os vértices de um triângulo equilátero (porquê?), pelo que deve seleccionar o modo intersecção de dois objectos

no 2º botão da barra de ferramentas. De seguida

aproxime o cursor do ponto de intersecção, e assim que as circunferências fiquem com um traço mais carregado, prima o botão do rato. 5. Pode esconder as circunferências e manter os vértices para posteriormente unir com segmentos de recta. Para tal deve seleccionar as circunferências com o botão direito do rato, uma de cada vez, e seleccionar posteriormente Exibir objecto, retirando a seta de selecção, no menu que entretanto surge. Raul Aparício Gonçalves - ESE IPPorto - Dezembro 2007

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1.2.1. Vamos formatar o triângulo equilátero 1. Com o botão direito do rato sobre cada vértice pode seleccionar Exibir rótulo e surgirá uma letra que designará cada vértice seleccionado. Pode arrastar a letra para outro local que pretenda. Pode também mudar de letra se seleccionar Renomear com o botão direito do rato.

2. Para alterar as propriedades de um segmento deve seleccionar o segmento e Propriedades no menu que entretanto surge. Propriedades de um segmento

Em “Básico” pode exibir ou esconder um objecto e/ou um rótulo. Em “Nome” pode renomear o segmento. Em “Cor” pode definir uma cor para o segmento. Em “Estilo” pode definir uma espessura para o segmento, assim como escolher traço contínuo, tracejado ou ponteado. Em “Decoração” pode marcar um segmento com um, dois ou três pequenos traços. Em “Álgebra” pode definir o segmento como objecto auxiliar. Em “Avançado” pode definir condições para mostrar o objecto.

Utilizando “Cor” e “Estilo”, formate o triângulo a seu gosto.

1.2.2. Uma posição possível para a casa do triangulês e percursos para a costa 1. Coloque um ponto, D, no interior do triângulo. 2. Utilize o modo Recta perpendicular

no 4º botão da

barra de ferramentas para marcar as rectas que passam por D e são perpendiculares a cada lado do triângulo. 3. Marque os pés das perpendiculares (E, F e G) em cada um dos lados do triângulo. 4. Esconda as rectas perpendiculares e marque os segmentos de recta definidos por D e por cada um dos pés das perpendiculares. 5. Coloque rótulo em cada um dos segmentos.

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1.2.3. Façamos conjecturas mais consistentes 1. Seleccione o modo Distância ou comprimento

no 6º botão da barra de

ferramentas. 2. Pressione o botão esquerdo do rato sobre cada segmento que pretenda medir. 3.

Dado

que

se

pretende

observar

a

soma

das

medidas

dos

três

segmentos

perpendiculares aos lados do triângulo (i+j+k), exiba o campo de entrada de comandos no menu Exibir. De seguida escreva nessa barra, no rectângulo mais à esquerda, s=i+j+k e prima Enter. A soma ficou memorizada na posição s. 4. Aceda ao modo Inserir texto

no 8º botão da barra de ferramentas e escreva s

depois de deslocar o cursor para um local da vista geométrica e “clicar” com o botão esquerdo do rato. Ao premir o botão “Aplicar” surgirá o valor de s nesse local da vista geométrica. 5. Poderá agora movimentar o ponto interior (D) e observar as distâncias aos lados do triângulo, bem como a soma. Deste modo faz uma verificação em muitos pontos, mais do que se utilizasse o papel, régua e lápis. Mas é insuficiente ainda para obter uma prova. Se movimentar um dos vértices do triângulo (considerando uma ilha com outras dimensões) observará as alterações produzidas. 1.2.4. Vamos à prova 1. Considere triângulos com um vértice no ponto interior e com os outros dois vértices coincidentes com os do triângulo inicial. Para cada um podemos considerar como base

um

lado

do

triângulo

(todos

geometricamente iguais) e para altura i, j e k, respectivamente. 2. Note que a área do triângulo maior, fixa, é a soma das áreas de cada um dos triângulos construídos no seu interior, esses com as alturas consideradas, variáveis. 3. Se c é a medida do comprimento do lado do triângulo equilátero e h a sua altura, temos que

c×h c×i c× j c×k c × h c × (i + j + k ) = + + , ou seja, = , pelo que se pode concluir 2 2 2 2 2 2

que h = i + j + k

De que modo esta conclusão permite provar que seja qual for o local que o triangulês escolha para construir a sua casa, a soma das distâncias a cada uma das fronteiras é sempre a mesma? Que relação tem essa soma com o triângulo que representa a ilha? Raul Aparício Gonçalves - ESE IPPorto - Dezembro 2007

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2. Como construir um polígono regular? O Geogebra permite-nos reproduzir com rapidez os procedimentos subjacentes às construções de régua e compasso. Se pretendermos construir um polígono regular com qualquer número de lados é possível fazê-lo a partir do modo Polígono regular

, no 3º botão da barra de

ferramentas. 2.1. Um polígono regular baseado nas construções de régua e compasso Escolha um polígono e construa-o: 2.1.1 utilizando procedimentos sugeridos em http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/polireg.htm, 2.1.2 utilizando a rotação segundo um ângulo. Considere-se, por exemplo, um pentágono regular. Sabe-se que pode ser inscrito numa circunferência, pelo que cada ângulo ao centro correspondente a cada lado (corda da circunferência) é de 360º/5, ou seja, de 72º. Desenhe uma circunferência e faça rotações sucessivas de um ponto da circunferência e centro no centro da circunferência. Para efectuar a rotação, seleccione o modo Rodar em torno de um ponto com uma amplitude

no 7º botão da barra de ferramentas. De seguida seleccione o ponto

sobre a circunferência e depois o centro. Surgirá uma caixa onde deverá substituir 45 por 72, e o novo ponto é marcado. Proceda do mesmo modo até colocar todos os vértices do pentágono, construindo-o a seguir utilizando segmentos ou o modo Polígono. 2.2 Polígonos regulares com o modo Polígono regular do 3º botão da barra de ferramentas

. Depois de seleccionado, marque dois pontos na vista geométrica,

extremos de um lado do polígono. Ao marcar o 2º ponto surgirá uma caixa onde deve inserir o número de lados do polígono que pretende construir.

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3. Um pouco mais de “régua e compasso” 3.1. Construção do rectângulo áureo Comecemos por nos referir à famosa sequência de Fibonacci. É uma sequência de números tal que cada termo é a soma dos dois anteriores, e em que os dois primeiros são 1. Alguns termos ordenados da sequência são: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , 1597

Considerando a sequência dos quocientes entre cada termo e o anterior, representados na lista L3 abaixo, podemos perceber que os termos dessa sequência começam a estabilizar à volta de 1,61803….

Esse número para onde está a estabilizar a sequência dos quocientes é uma dízima infinita não periódica conhecida por NÚMERO DE OURO, utilizado desde muito cedo pelos povos ancestrais. Vejamos uma interessante relação com o número de ouro. A arte está, desde muito cedo, associada à Matemática. As dimensões do Pártenon da Acrópole, em Atenas, e o enquadramento de figuras num quadro renascentista são exemplos disso mesmo.

A estes exemplos estão associados rectângulos em que a razão entre o comprimento e a largura é um valor constante, o número de ouro, muitas vezes designado por Φ . Estes rectângulos são normalmente chamados rectângulos áureos. A obra que se pode ver a seguir, da autoria do artista António Peticov, é uma espiral construída a partir de rectângulos áureos, o que nos leva a não estranhar a ligação destes rectângulos à natureza, ilustrada com uma imagem do Nautilus marinho.

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Como construir um rectângulo áureo?

Fazendo uso da máxima de que mais vale uma imagem do que 1000 palavras, siga a sugestão das figuras e construa um rectângulo áureo com o Geogebra. Utilize as capacidades de medida deste software para determinar o quociente entre a medida do comprimento do lado maior e a medida do comprimento do lado menor.

No símbolo da escola pitagórica (fundada por Pitágoras), o pentagrama, podemos também obter o número de ouro. Sugestão de trabalho: Procure o número de ouro nesta figura medindo e efectuando quocientes entre comprimentos de segmentos.

Nota: Esta figura, também conhecida por pentagrama, símbolo da escola pitagórica, pode ser facilmente obtida a partir de um pentágono regular.

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3.2 E por falar em Pitágoras…. O teorema. 1. Construa um triângulo rectângulo. 2. Sobre cada um dos lados do triângulo rectângulo construa um quadrado, que pode fazer rapidamente se utilizar o modo

Polígono

regular

no

botão

da

barra

de

ferramentas. 3. Calcule a medida da área de cada um dos quadrados utilizando

o

modo

Área

no

botão

da

barra

de

ferramentas. 4. Verifique que a medida da área do quadrado maior, relativo à hipotenusa, é igual à soma das medidas das áreas dos quadrados menores, relativos aos catetos. A construção anterior ajuda a convencer da validade de uma relação entre os comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo, conhecida por Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte:

“Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos” Este teorema é atribuído a Pitágoras, mas não se sabe se foi algum dos seus discípulos da escola pitagórica a chegar ao resultado, uma vez que todas as descobertas eram sempre atribuídas ao Mestre. No entanto, esta relação era utilizada antes dos Pitagóricos, o que pode levar a concluir que não tenha sido descoberto no seio da escola pitagórica. Os primeiros problemas que se conhecem onde esta relação é utilizada remontam ao 2º milénio a.C. e aparecem na civilização babilónica. Pode saber mais em http://www.malhatlantica.pt/mathis/Problemas/Pitagoras/Pitagoricos.htm, e também nos elementos de Euclides onde pode observar que este teorema é a proposição I.47, http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmat/cursoapm/elementos.htm, cuja demonstração faz uso de diversas outras proposições que pode observar num esquema em http://geom-gsp.eduardoveloso.com/02textos_de_apoio/T01/02pitagoras.pdf

Discuta com os elementos do seu grupo de trabalho o seguinte diálogo entre uma professora e um aluno: Professora: Miguelito, utiliza o geoplano e um elástico e desenha um triângulo equilátero. Miguelito: (colocando o elástico como na figura ao lado) Já está! Professora: Explica-me então porque o triângulo é equilátero! Miguelito: Ó Professora, então um triângulo equilátero não tem os lados todos iguais? Note que em cada lado há o mesmo número de pregos. Professora: Muito bem Miguelito, é uma boa forma de justificar!

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3.3. Construção da raiz quadrada Observe a figura e construa o segmento assinalado a lilás cuja medida de comprimento é a raiz quadrada da medida do comprimento do segmento de recta pintado a azul.

Sugestão de trabalho: 1. Prove que a construção de 3.3 nos permite obter a raiz quadrada. 2. Tendo em conta a construção do rectângulo áureo, prove que o número de ouro é 1 + 5 . 2

4. Isometrias A maneira mais conveniente de definir um conceito geral de congruência, para além do conceito de congruência de segmentos, de ângulos ou de triângulos, é através do conceito de isometria do plano. Etimologicamente o termo “isometria” significa “mesma medida”. (Adaptado de Transformações Geométricas, A. F. Oliveira) Uma isometria ou movimento rígido é uma aplicação de um conjunto de pontos num conjunto de pontos que preserva as distâncias, isto é, a distância entre dois quaisquer pontos é a mesma entre os seus transformados. Em geral, e quando não houver possibilidade de confusão, designam-se por A’, B’, C’, as imagens dos pontos A, B, C, ... por uma isometria. Toda a isometria do plano euclidiano é de um dos quatro tipos: reflexões (ou simetrias axiais), translações, rotações ou reflexões deslizantes. Raul Aparício Gonçalves - ESE IPPorto - Dezembro 2007

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4.1. Reflexão Dada uma recta r, a reflexão é uma transformação que deixa invariante qualquer ponto da recta e que transforma cada ponto (P) exterior à recta noutro ponto (P´) no lado oposto da recta relativamente a P, de tal modo que a recta r é mediatriz do segmento de recta [PP´]. A recta r é o eixo de simetria da reflexão, por vezes também denominada de “espelho”. Note-se que a orientação dos ângulos da figura reflectida é invertida. 1. Construa uma recta, um ponto que não lhe pertença e um polígono. 2. A recta constitui o eixo de simetria, pelo que vamos construir o ponto simétrico e o polígono simétrico, relativamente à recta. Para o fazer terá de seleccionar o modo Reflexão em relação a uma recta

no 7º botão da barra de ferramentas.

3. Seleccione depois o objecto que pretende reflectir e posteriormente o eixo de simetria. Deste modo fará surgir os objectos reflectidos. Se alterar os objectos originais poderá observar de imediato o efeito da simetria axial sobre os novos objectos. 4.2. Translação A translação é o deslocamento paralelo em linha recta de um objecto ou figura, em função de um vector. Neste caso, a orientação dos ângulos da figura resultante da translação é preservada. 1. Construa um polígono, e um segmento de recta orientado, representante de um vector. Para construir o vector deve seleccionar o modo Vector definido por dois pontos no 3º botão da barra de ferramentas. Coloque o cursor num local da vista geométrica e pressione o botão esquerdo do rato para marcar o ponto origem. Afaste e faça o mesmo noutro local para marcar o ponto extremidade e obter o vector. 2. De seguida seleccione o modo Translação por um vector

no 7º botão da barra de

ferramentas para efectuar a translação do polígono segundo o vector. Seleccione com o rato o polígono e de seguida o vector, o que fará construir a translação do polígono. Se alterar o vector, a partir de um dos pontos que o define ou o polígono original poderá observar de imediato muitos exemplos.

A composição de duas reflexões de eixos paralelas é uma translação cujo vector tem direcção perpendicular aos eixos e norma que é o dobro da distância entre os eixos.

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Nota: A dupla inversão dos ângulos corresponde à preservação da orientação entre a figura inicial e a final.

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4.3. Rotação A composição de duas reflexões, cujos eixos são as rectas concorrentes s e r, é uma Rotação com centro no ponto de intersecção de s e r e de amplitude igual ao dobro da amplitude do ângulo entre s e r. A dupla inversão dos ângulos corresponde à preservação da orientação entre a figura inicial e a final, pelo que é também preservada a orientação dos ângulos nas figuras resultantes de uma rotação. Para efectuar uma rotação de um polígono dado o centro da rotação e a amplitude do ângulo de rotação proceda do seguinte modo: 1. construa um ponto (centro da rotação) e um polígono (a sofrer uma rotação com centro no ponto e segundo determinada amplitude); 2. de seguida seleccione o modo Rodar em torno de um ponto com uma amplitude no 7º botão da barra de ferramentas. Seleccione com o rato o polígono e de seguida o ponto, o que fará construir o polígono rodado segundo um Ângulo cuja amplitude terá de inscrever numa janela que surgir (tem a opção de rodar no sentido horário ou antihorário). Se mudar de local o centro da rotação ou alterar o polígono original observará de imediato muitos exemplos. 4.4. Reflexão deslizante A composição de uma reflexão numa recta com uma translação ao longo dessa recta é uma reflexão deslizante. A recta em questão é chamada eixo da reflexão deslizante. Neste caso, a orientação dos ângulos é invertida de figura para figura. Construa um polígono e efectue uma reflexão deslizante ao longo de uma recta.

5. Padrões geométricos: frisos e rosáceas De um modo geral padrões geométricos não são mais que desenhos que ficam invariantes quando se aplicam uma ou mais transformações Os frisos são padrões em que existem apenas translações de simetria numa direcção. Uma rosácea é uma figura que tem simetria de rotação, ou seja, é um padrão obtido por rotação dum modelo ou módulo. Para saber mais, consultar, por exemplo, http://www.apm.pt/apm/AeR/frisos.html Raul Aparício Gonçalves - ESE IPPorto - Dezembro 2007

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6. Utilizar as construções em documentos como Word ou outros Após efectuar uma construção pode utilizá-la para fazer uma página que poderá publicar na Internet ou para a colocar num documento. Nesta sessão pretende-se efectuar os procedimentos necessários à utilização de uma construção para colocar numa página de processador de texto Word. 1. Construa um objecto na vista geométrica e formate-o ao seu gosto. 2. Seleccione o modo Mova os eixos coordenados no último botão da barra de ferramentas e arraste a construção para o canto superior esquerdo da janela. De seguida, com o cursor no canto inferior direito da janela (na esquina até aparecer um segmento oblíquo com uma seta em cada extremo) redimensione a janela até enquadrar a construção. Ao redimensionar vai apenas importar o que pretende para o documento. No entanto, se não efectuar este redimensionamento, poderá utilizar as ferramentas de imagem do próprio Word para recortar a parte que lhe interessa do que foi transferido. 3. Está neste momento pronto a fazer a transferência de imagem. Para tal deve seleccionar Exportar no menu Ficheiro e de seguida seleccionar Copiar para a área de transferência. Um atalho para evitar estes passos é carregar nas teclas Ctrl+Shift+C. 4. Abra o documento onde pretende colocar a construção e efectue o procedimento de colar uma imagem. E a partir daqui deve proceder como se uma imagem estivesse a ser tratada.

7. Utilizar applets, ou apliquetas, da internet Para utilizar geometria dinâmica na sala de aula, pode ser evitada a utilização do software na construção do que pretendemos, desde que tal exista já na Internet. É possível encontrar um grande números de ficheiros do Geogebra, e também ficheiros que abrem em páginas da Internet sem ser necessário ter o Geogebra instalado no computador, as conhecidas applets ou apliquetas. Sugere-se uma pesquisa na Internet, a partir de um motor de busca, de uma apliqueta ou ficheiro Geogebra de algo que pretenda. Não deixe de consultar e manipular as excelentes construções feitas pelo Dr. José Manuel Dos Santos Dos Santos, Formador da ESE, que pode encontrar no endereço

http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/tecnologia.html Depois deste trabalho, das pesquisas sugeridas, e de alguma reflexão, que resposta dá à pergunta do cabeçalho? Em que medida este trabalho constitui contributo para o seu portefólio? E para as suas aulas? Raul Aparício Gonçalves - ESE IPPorto - Dezembro 2007

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Geogebra