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Tema 3 Progresiones aritméticas Definición: Una progresión aritmética es una sucesión en la que pasamos de cada término al siguiente sumando siempre un mismo número (positivo o negativo) al que llamamos diferencia, d, de la progresión. Teniendo unos cuantos términos de la progresión aritmética, para calcular la diferencia d hacemos: d = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = … Término general de una progresión aritmética: El término general an de una progresión aritmética cuyo primer término es a1 y cuya diferencia es d se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

Si consideramos que para pasar de a1 a an sumamos n-1 veces la diferencia, para calcular la diferencia dados dos términos cualesquiera de la progresión emplearíamos la fórmula: aq = ap + d . (q-p) Casos posibles en la resolución de ejercicios: (En los casos de 1 a 4 he aplicado la 1ª fórmula del término general sustituyendo los datos del enunciado) Caso 1. Datos: la sucesión. Ejemplo: Dada la siguiente sucesión 4, 6, 8, 10, 12,…….. Calcular el término general. Primero comprobamos si es una progresión aritmética para ello restamos el segundo término menos el primero, el tercero menos el segundo, etc. Si obtenemos el mismo valor se trata de una progresión aritmética. El número que se obtiene en la resta recibe el nombre de diferencia. d=6–4=2 d=8–6=2 d = 12 – 10 = 2 Luego la diferencia es d = 2. Calculamos el término general:


Si me mandan calcular cualquier término de una progresión recurro al término general. Por ejemplo: calcular a20. Caso 2. Datos: “a1” y “d” Ejemplo: Dado a1 = -3 y d = 4. Calcular el término general y a15. Empleamos la fórmula del término general.

Calculo ahora a15. Caso 3. Datos: “a1” y “otro término que no sea a1” Ejemplo: Dado a1 = 4 y a5 = 16. Calcular la diferencia, el término general y a10. Empleamos la fórmula del término general.


Calculo ahora a10. Caso 4. Datos: “d” y “otro término que no sea a1 ” Ejemplo: Dado d = -2 y a12 = -7. Calcular el primer término, el término general y a8. Empleamos la fórmula del término general.

Calculo ahora a8. Caso 5. Datos: “dos términos que no sean ninguno de ellos a1 ” Ejemplo: Dado a12 = -28 y a20 = -52. Calcular el primer término, la diferencia, el término general y a9. Empleamos la 2ª fórmula: a20 = a12 + d. (20 - 12) -52 = -28 + d.8

(En el caso 5 he aplicado la 2ª fórmula que permite calcular la diferencia)


Calculo ahora a9.

Suma de los términos de una progresión aritmética: La suma Sn = a1 + a2 + a3 + … + an de los n primeros términos de una progresión aritmética se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: Dado a1 = 5 y d = -3. La suma de los 15 primeros términos. Primero calculamos el término general:

Luego calculamos a15: Calculamos ahora S15:

Progresiones geométricas Definición: Una progresión geométrica es una sucesión en la que pasamos de cada término al siguiente multiplicando siempre un mismo número (positivo o negativo) al que llamamos razón, r, de la progresión. Teniendo unos cuantos términos de la progresión geométrica, para calcular la razón r hacemos: r = a2 : a1 = a3 : a2 = a4 : a3 = …


Término general de una progresión geométrica: El término general an de una progresión geométrica cuyo primer término es a1 y cuya razón es r se obtiene a partir de la siguiente fórmula:

Si consideramos que para pasar de a1 a an multiplicamos n-1 veces la razón, para calcular la razón dados dos términos cualesquiera de la progresión emplearíamos la fórmula: aq = ap. rq-p Casos posibles en la resolución de ejercicios: (En los casos de 1 a 4 he aplicado la 1ª fórmula del término general sustituyendo los datos del enunciado) Caso 1. Datos: la sucesión. Ejemplo: Dada la siguiente sucesión 3, 12, 48,…….. Calcular el término general. Primero comprobamos si es una progresión aritmética para ello restamos el segundo término menos el primero, el tercero menos el segundo, etc. Si obtenemos el mismo valor se trata de una progresión aritmética, como no es el mismo número pasamos a comprobar si es una progresión geométrica. 12 – 3 = 9 48 – 12 = 36 Pasamos a comprobar si es geométrica, para ello dividimos el segundo término entre el primero, el tercero entre el segundo, etc. Si obtengo el mismo valor es una progresión geométrica. Y el valor que se obtiene recibe el nombre de razón. r= 12:3 = 4 r= 48:12 =4 Calculamos el término general:


Si me mandan calcular cualquier término de una sucesión recurro al término general. Por ejemplo: calcular a5. Caso 2. Datos: “a1” y “r” Ejemplo: Dado a1 = 2 y r = 4. Calcular el término general y a3. Empleamos la fórmula del término general.

Calculo ahora a3. Caso 3. Datos: “a1” y “otro término que no sea a1” Ejemplo: Dado a1 = 3 y a10=1536. Calcular la razón, el término general y a5. Empleamos la fórmula del término general.

Calculo ahora a5.

Caso 4. Datos: “r” y “otro término que no sea a1 ”


Ejemplo: Dado r = 3 y a5 = 324. Calcular el primer término, el término general y a8. Empleamos la fórmula del término general.

Calculo ahora a8.

Caso 5. Datos: “dos términos que no sean ninguno de ellos a1 ” Ejemplo: Dado a10 = 5120 y a5 = 160. Calcular el primer término, la diferencia, el término general y a9. Empleamos la 2ª fórmula: aq = ap. rq-p a10 = a5. r10-5 5120 = 160. r5

r=2 (En el caso 5 he aplicado la 2ª fórmula que permite calcular la razón) Calculo ahora el término a1.


Calculo ahora a9.

Suma de los términos de una progresión geométrica: La suma Sn = a1 + a2 + a3 + … + an de los n primeros términos de una progresión geométrica se calcula mediante la fórmula: ¡OJO! Si

Ejemplo: Dado a1 = 5 y r = 3. La suma de los 7 primeros términos. Primero calculamos el término general:

Luego calculamos a7: Calculamos ahora S7:

¡OJO! Si

Ejemplo: Dado a1 = 2 y r = 0,5. La suma de los infinitos términos.

Progresiones aritméticas y geométricas  

Apuntes de progresiones para 3º de ESO

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