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Secci´ on 4: Tablas

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4. Tablas La ventaja fundamental que proporcionan las tablas, frente al listado exhaustivo de los datos, es que facilitan enormemente la comprensi´ on de la informaci´on contenida en la muestra. En la tabla 1 se registran la edad de 132 pasajeros de un avi´on, que corresponden a 132 datos sin agrupar. 1 18 29 35 42 46 49 54 59 65 76

3 19 29 36 43 46 50 55 60 65 77

6 20 29 36 44 46 50 55 60 66 77

7 23 30 36 44 47 50 55 60 68 78

12 23 31 36 44 47 50 55 61 70 78

13 23 32 36 44 47 51 56 61 71 79

13 24 33 37 45 47 51 56 62 71 79

14 27 33 37 45 47 52 57 63 71 79

14 27 34 37 45 48 52 57 63 71 86

14 28 34 39 45 48 52 58 64 71 88

16 28 34 39 45 49 53 58 64 72 93

17 29 34 40 45 49 53 58 65 73 97

Tabla 1: Las edades ordenadas de 132 pasajeros de un avi´ on La variable edad es cuantitativa discreta, pero deseamos clasificar Ind

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a los pasajeros en las categor´ıas, ‘j´ ovenes’ si la edad es inferior a 20, ‘adultos’ entre 20 y 65 y ‘jubilados’ el resto. Despu´es de un recuento dise˜ namos una tabla de frecuencias. Los datos de la muestra pueden resumirse como se indica: Edad j´ ovenes adultos jubilados Totales

Frecuencia Absoluta 14 93 25 132

Frecuencia Relativa 0,106 0,704 0,190 1

Tabla 2: Clasificaci´on de los pasajeros por tramos de edad.

Debe observarse que la frecuencia absoluta fi de cada tramo de edad es, por definici´on, el n´ umero de individuos que cumplen ese tramo. La frecuencia relativa hi es, tambi´en por definici´ on, la proporci´ on individuos que cumplen ese tramo y se obtiene dividiendo la correspondiente frecuencia absoluta por el n´ umero total de datos en la muestra (por ejemplo, la frecuencia relativa 0,704 se obtiene dividiendo 93 Ind

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entre 132); no obstante y a pesar de que no recomendamos esta pr´actica, no es extra˜ no encontrar publicaciones en las que las frecuencias relativas se expresen en tantos por ciento (en este caso, se escribir´ıa 70.4 % en lugar de 0,704). Al n´ umero total de datos en la muestra se le suele designar por la letra n (en este ejemplo, n =132). Ejemplo. 4.1. Con los datos de la tabla 1 confeccionar una tabla de frecuencias absolutas y relativas en 5 clases de longitud 20 a˜ nos. Soluci´ on: Despu´es de un recuento dise˜ namos la tabla de frecuencias. Edades 0 ≤ x < 20 20 ≤ x < 40 40 ≤ x < 60 60 ≤ x < 80 80 ≤ x < 100

fi 14 33 50 31 4 n = 132

hi 0,106 0,250 0,379 0,235 0,030 1

que consiste en una distribuci´ on de frecuencias para datos agrupados. As´ı por ejemplo la frecuencia absoluta 33 corresponde al n´ umero de pasajeros con edad entre 20 y 40, y la frecuencia relativa 0,250 Ind

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corresponde al cociente entre los 33 y el n´ umero total Pde 132. Puede observarse que la suma de las frecuencias absolutas fiP = 132 es el n´ umero de datos, y la suma de las frecuencias relativas hi = 1 es siempre la unidad.  Conviene formalizar las siguientes definiciones importantes que han aparecido a lo largo de esta secci´ on: Definici´ on 1 (Tama˜ no muestral) El tama˜ no de la muestra es el n´ umero de items o individuos de los que se han obtenido los datos de la muestra. El tama˜ no de la muestra suele designarse por la letra n. Definici´ on 2 (Clase) Clase es cada intervalo usado para agrupar los datos de la muestra cuando el n´ umero de datos diferentes entre s´ı es muy grande. Es necesario usar clases cuando la variable observada es cuantitativa continua, pero tambi´en puede serlo cuando es discreta si el n´ umero de datos diferentes es muy grande. Siempre que sea posible deben usarse clases de igual anchura. Ind

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Definici´ on 3 (Marca de clase) Marca de clase es el punto medio de la clase. Definici´ on 4 (Frecuencia absoluta) Frecuencia absoluta de un dato es el n´ umero de veces que ocurre dicho dato en la muestra. Frecuencia absoluta de una clase es el n´ umero de datos de la muestra que pertenecen a dicha clase. Se indica con fi . Definici´ on 5 (Frecuencia relativa) Frecuencia relativa de un dato o una clase es el cociente entre su frecuencia absoluta y el tama˜ no de la muestra. Se indica con hi . De acuerdo con esta definici´on, las frecuencias relativas son proporciones y sus valores deben estar en el intervalo cerrado [0, 1]. Aunque las frecuencias relativas se expresan a veces en tanto por ciento, este uso debe considerarse informal.

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Cuesti´on 4.2 Observa la siguiente tabla de frecuencias y responde: Edades 0 ≤ x < 20 20 ≤ x < 40 40 ≤ x < 60 60 ≤ x < 80 80 ≤ x < 100

fi 14 33 50 31 4 n = 132

hi 0,106 0,250 0,379 0,235 0,030 1

1. El tama˜ no de la muestra es: (a) 100 (b) 132

(c) Otro valor

2. La clase con 31 pasajeros es: (a) [20; 40) (b) [40; 60)

(c) [60; 80)

3. La marca de clase de [20; 40): (a) 20 (b) 30

(c) 40

4. La proporci´on de pasajeros de 20 a 40 a˜ nos es: (a) 33 (b) 0,25 (c) Otro valor

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Cuesti´on 4.3 La tabla siguiente (incompleta) resume las notas obtenidas por 80 alumnos de un instituto en selectividad. Responder Calificaci´ on Suspensos Aprobados Notables Sobresalientes

fi ··· 20 16 ···

hi 0,375 ··· ··· ···

1. El n´ umero de Suspensos es: (a) 20 (b) 30

(c) 40

2. El n´ umero de Sobresalientes es: (a) 10 (b) 12

(c) 14

3. La proporci´on de Notables es: (a) 0,20 (b) 0,25

(c) 16

4. La suma de las frecuencias absolutas fi es: (a) 100 (b) 80 (c) Otro valor

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