Issuu on Google+

435340-0004

01 Definitief

september 2008

Stowa Postbus 8090 3503 RB Utrecht


435340-0004 v01

september 2008

01 Definitief

34

Scheur ten gevolge van golfbelasting in een al gescheurde asfaltbekleding /

R. 't Hart

dr. B.G.H.M. Wichman

Stowa Postbus 8090 3503 RB Utrecht

01

september 2008 R. ‘t Hart

435340-0004 v01

B.G.H.M. Wichman

september 2008


435340-0004 v01

september 2008


Het huidige rekenmodel voor asfaltbekledingen, GOLFKLAP, berekent in feite of er in een ongescheurde bekleding een nieuwe scheur gaat ontstaan. In de praktijk kan er in een dijkvak best weleens al een scheur aanwezig als gevolg van een andere oorzaak dan de golfbelasting. De oorzaak van de eerste scheur wordt verondersteld onafhankelijk te zijn van de volgende scheur. Dit is een redelijke aanname. Zo kan de eerste scheur het gevolg zijn van een plaatselijke overbelasting door een onderhoudsvoertuig op de dijk, het gevolg van een beperkte afschuiving of wellicht zelfs het gevolg van golfbelasting tijdens een voorafgaande storm. Bij het ontwikkelen van GOLFKLAP is verondersteld dat micro-beschadigingen elders in de bekleding door healing weer teniet worden gedaan voordat de maatgevende storm optreedt: de maatgevende golfbelasting in GOLFKLAP bestaat dus altijd slechts uit één storm. Serieuze scheuren die in de praktijk worden onderkend, dienen altijd te worden gerepareerd. Het is echter niet reëel om te veronderstellen dat dit soort reparaties van de gescheurde bekleding weer een homogene plaat opleveren. Een reparatie dient er altijd wel op gericht te zijn om de waterdichtheid van de bekleding weer te herstellen. In dit onderzoek wordt verkend in hoeverre het uitgangspunt dat de bekleding ongescheurd is, ook veilige uitkomsten oplevert voor de situatie waarbij, door andere oorzaken, al een scheur aanwezig is. De motivatie die daarachter zit is gelegen in de veronderstelling dat een enkele scheur niet direct tot falen van de bekleding leidt, maar dat alleen als er op vrij korte afstand van elkaar scheuren zijn ontstaan, of dat er een patroon van verbonden scheuren ontstaat, er een serieuze kans is op vervolgschade die niet alleen de toplaag betreft: het falen van de toplaag. Doel van dit onderzoek is dus vast te stellen of de huidige rekenmethode, al is hij gebaseerd op de fictie dat de bekleding nog volledig ongescheurd is, veilige uitkomsten geeft. Leeswijzer Na de hiervoor geformuleerde probleemstelling wordt allereerst de in dit onderzoek gevolgde aanpak beschreven. In hoofdstuk 2 wordt eerst de schematisatie van de bekleding en de aanpak van het probleem beschreven. In hoofdstuk 3 wordt de ongescheurde situatie beschreven die nu de basis vormt voor GOLFKLAP. De vergelijking voor het moment, de referentie voor deze bureaustudie wordt hierbij ook gegeven. In de hoofdstukken 4 en 5 wordt de oplossing gegeven voor de situaties met een scheur loodrecht op de belasting en een scheur evenwijdig aan de belasting en met een case geïllustreerd. In hoofdstuk 6 kunnen door de cruciale parameters te variëren, algemeen geldige uitspraken worden geformuleerd. Deze rapportage besluit met conclusies en aanbevelingen.

435340-0004 v01

september 2008

1 van 22


435340-0004 v01

september 2008

2 van 22


Het huidige rekenmodel GOLFKLAP is gebaseerd op vrij elementaire toegepaste mechanica: de lineair-elastische, verend ondersteunde oneindig uitgestrekte plaat, belast door een prismatische belasting (figuur 1). Als er ergens al een scheur aanwezig is, dan kan op die plaats geen (of een minder groot) moment en/of dwarskracht worden overgebracht. De gescheurde situatie zal met vergelijkbare middelen worden geschematiseerd als de schematisatie die ten grondslag ligt aan het huidige rekenmodel.

Figuur 1: bovenaanzicht en doorsnede van ongescheurde plaat met prismatische belasting. Met de aangepaste schematisatie zullen vergelijkingen voor de buigende momenten worden afgeleid op basis waarvan kan worden beoordeeld of de momenten significant groter zijn in de plaat met een enkele scheur (evenwijdig aan of loodrecht op belasting, zie figuur 2) in vergelijking met de referentie, de ongescheurde plaat zoals deze nu in het rekenmodel GOLFKLAP is ge誰mplementeerd. Dit onderzoek gaat dus slechts uit van lineair-elastische modellen. De scheurdoorgroei wordt niet onderzocht, maar wordt door M. van de Ven [6] gekwantificeerd. 2

1

scheur

Figuur 2: bovenaanzicht en doorsnede van 1) plaat met scheur evenwijdig aan prismatische belasting; 2) scheur loodrecht op prismatische belasting

435340-0004 v01

september 2008

3 van 22


435340-0004 v01

september 2008

4 van 22


Allereerst wordt ingegaan op de huidige schematisatie, de ongescheurde plaat, belast door een prismatisch verdeelde belasting, zie figuur 1. Dit is het uitgangspunt voor dit onderzoek en vormt de referentie die wordt gebruikt voor de andere situaties. De prismatisch verdeelde belasting wordt in een snede loodrecht op het symmetrievlak van de belasting (zie figuur 3) beschreven door: q=0 voor x < z; q = q0 ( 1 + x/z) voor –z < x < 0; q = q0 ( 1 - x/z) voor 0 < x < z; q=0 voor x > z. Waarin: x coördinaat in het vlak van de plaat, loodrecht op het symmetrievlak van de belasting [m] 2 q verdeelde belasting [N/m ] 2 q0 maximum waarde van de verdeelde belasting [N/m ] z lengte waarover de verdeelde belasting lineair afneemt van het maximum naar 0 [m]

q0

x z

x=0

Figuur 3: prismatisch verdeelde belasting Voor de ongescheurde situatie is indertijd [2] het moment in de plaat als functie van de afstand tot het centrum van de belasting afgeleid. In bijlage 1 is deze afleiding nogmaals vastgelegd:

m

q0 /(8

m

z

2

z )[

/(8

2

sin( x) e x e x e z cos( z ) sin( z ) cos( x) e x e x e z cos( z ) sin( z ) 2e x cos( x) sin( x) ] Voor x < z

q0e

z )[

z

z

cos( x) e cos( z ) sin( z ) e cos( z ) sin( z ) sin( x) e z cos( z ) sin( z ) e z cos( z ) sin( z ) 2 cos( x) sin( x) ] Voor x > z

Waarin: 4

c E h

3c(1 2 ) Eh 3

3

veerconstante van de ondergrond [N/m ] dwarscontractiecoëfficiënt [-] 2 elasticiteitsmodulus [N/m ] laagdikte asfaltbekleding [m]

435340-0004 v01

september 2008

5 van 22


Uiteraard is het moment recht onder de belasting een bijzonder geval wat wordt beschreven door:

m( x

0)

q0 /(8 q0 /(4

2 2

z )[2e z cos( z ) sin( z ) 2] z )[1 e z cos( z ) sin( z ) ]

Gegeven een piekbelasting q0 en een constructie gekarakteriseerd door , volgt het maximum van dit moment als functie van de halve belastingsbreedte z uit:

dm( x 0) dz

0

Daaruit volgt:

1 e

z

[2 z sin( z ) cos( z ) sin( z )]

Deze vergelijking kan numeriek worden opgelost, wat leidt tot Het bijbehorende maximale moment is dan:

mmax

0.1278 * q0 /

z 1.336 .

2

Dat het moment een maximum kent is in eerste instantie wellicht een verrassing. Maar bedenk dat als de belaste breedte groter wordt dan , dat die belasting die werkt op het gedeelte < x < 3 het moment midden onder de belasting reduceert. En verder is het limietgeval z een gelijkmatig verdeelde belasting over de gehele plaat. In dat geval wordt de belasting door de plaat alleen verticaal doorgegeven naar de ondergrond en zijn de momenten dus nihil.

435340-0004 v01

september 2008

6 van 22


Van de situaties met scheur wordt allereerst ingegaan op de meest simpele situatie, de scheur loodrecht op de belasting, zie figuur 4.

scheur

Figuur 4: bovenaanzicht en doorsnede van plaat met scheur loodrecht op de prismatische belasting. Omdat deze scheur loodrecht op de primaire buigspanningen ten gevolge van de belasting staat, is de invloed van de scheur op de spanningen slechts secundair. Waar bij de ongescheurde plaat geen sprake kan zijn van vervormingen in de richting van de dijkas, is door dwarscontractie dat op de rand van de scheur wel mogelijk. Hierdoor wordt de plaat in geval van een scheur per saldo een fractie slapper. Op de rand van de plaat nadert de stijfheid tot de balkstijfheid

EI , waar de plaat in de ongescheurde situatie de volgende stijfheid heeft:

EI 2

1

.

De spanningstoestand in de rand van een halve, oneindig uitgestrekte plaat laat zich wat lastig beschrijven, maar hij wordt begrensd door twee uitersten: de spanningstoestand in de ongescheurde plaat en de spanningstoestand in een in dunne balkjes opgedeelde plaat. De momenten worden voor de situatie waarin de plaat in dunne balkjes is opgedeeld gegeven door dezelfde vergelijking als voor de ongescheurde situatie, met dat verschil dat voor de situatie opgedeeld in balkjes de factor die geldt voor de ongescheurde situatie moet worden vervangen door een factor 4 s

s

waarin de dwarscontractie geen rol speelt:

4

3c(1 2 ) ; Eh 3

3c . Eh 3

Het is niet meteen evident of dit nu grotere of kleinere momenten oplevert. De factor voor

0,35 gelijk aan 0,88 , zodat

s

1,03

en

2 s

1,07

2

(1

2

) is

.

Aangezien het moment gegeven wordt door:

m( x

0)

q0 /( 4

2

z )[1 e

z

cos( z ) sin( z ) ]

mag worden aangenomen dat in ieder geval gemiddeld over alle belastingen tijdens een storm (verschillende waarden van z) de momenten iets kleiner zullen zijn dan in de ongescheurde situatie. Als eerste orde schatting kan worden uitgegaan van 10%. Een dergelijk resultaat kan ook kwalitatief worden beredeneerd. Door het opdelen van de plaat in balkjes, wordt de toplaag iets slapper. De ondergrond zal dus verhoudingsgewijs meer gaan dragen, waardoor de momenten in het asfalt iets kleiner worden.

435340-0004 v01

september 2008

7 van 22


Volgens de hier gebruikte schematisatie zijn per saldo scheuren loodrecht op de belasting in lichte mate ontlastend. Op grond daarvan kan de conclusie worden getrokken dat de sterkte ten aanzien van het mechanisme golfklappen niet negatief wordt be誰nvloed door scheuren loodrecht op de golfbelasting. Deze scheuren leiden zelfs tot marginaal lagere spanningen in het asfalt en dus tot een lagere Minersom.

435340-0004 v01

september 2008

8 van 22


scheur

Figuur 5: bovenaanzicht en doorsnede van plaat met scheur evenwijdig aan prismatische belasting. Voor de plaat met een scheur evenwijdig aan de prismatische belasting worden twee gevallen onderscheiden. 1 De scheur verzwakt de plaat maar is niet volledig over de volledige hoogte door. Verondersteld wordt dat er sprake is van een zeer beperkte restdoorsnede of van interlock in de scheur, zodat de dwarskracht nog volledig wordt overgebracht, maar dat geen (significante) momenten kunnen worden overgebracht. Ter plaatse van de scheur kan dan dus wel een hoekverdraaiing optreden, maar de verticale verplaatsingen links en rechts van de scheur zullen hetzelfde zijn. Voor wat betreft de in deze studie gehanteerde schematisatie komt dit neer op een plaat met een lijnscharnier. 2 De scheur gaat door over de volle hoogte van de plaat en staat zelfs enigszins open. Dan werken er geen moment en geen dwarskracht in de snede; de vervormingen van de twee plaatranden (hoekverdraaiingen en verplaatsingen) zijn onafhankelijk van elkaar. De schematisatie voor deze situatie bestaat uit twee halfoneindige platen ter weerszijde van de scheur. Ter voorbereiding op de uitwerking wordt nu eerst de plaatvergelijking gegeven met de daarbij behorende grootheden. De schematisatie van de elastische verend ondersteunde plaat wordt beschreven door de volgende plaatvergelijking:

K

d 4w cw 0 dx 4

Waarin:

EI

2

1

K

plaatstijfheid:

E I

elasticiteitsmodulus van het plaatmateriaal [N/m2] 4 1 traagheidsmoment van de plaatdoorsnede [m /m ] dwarscontractiecoĂŤfficiĂŤnt van het plaatmateriaal [-] 3 veerconstante van de ondergrond [N/m ] verplaatsing loodrecht op de plaat [m] coĂśrdinaat in het plaatvlak loodrecht op de prismatische belasting [m]

c w x

1

2

[Nm /m ]

435340-0004 v01

september 2008

9 van 22


De algemene oplossing voor deze differentiaalvergelijking luidt:

w

A1e x sin( x) A2 e x cos( x) A3e x sin( x) A4 e x cos( x) Waarin Ai Voor i 1...4 de aan de hand van randvoorwaarden te bepalen factoren [m] -1

De karakteristieke waarde van de differentiaalvergelijking [m ] NB. Deze karakteristieke waarde De karakteristieke (golf)lengte

bepaalt de periodiciteit van de signalen als functie van x .

volgt uit

2

.

Voordat de consequenties voor de twee situaties van scheurvorming in formulevorm worden uitgewerkt, wordt eerst aan de hand van het momentenverloop in de ongescheurde situatie beredeneerd welke trends mogen worden verwacht. Daarbij dient te worden bedacht dat we eigenlijk alleen maar in momenten in de gescheurde situatie geïnteresseerd zijn als die momenten dan ook groter worden dan de momenten in de situatie waarbij de plaat nog geen scheur heeft. We rekenen er immers al op dat de momenten in de ongescheurde situatie kunnen worden opgenomen. Stel dat de plaat nog ongescheurd is en wordt belast. Dat leidt tot een maximum moment midden onder de piek van de belasting. Als er nu vervolgens in een lijn een zodanige schade wordt aangebracht dat er op die plek geen moment meer kan worden opgenomen, wat gebeurt er dan met het (maximale) moment? Het moment in de plaat als functie van de afstand tot “midden onder de belasting” is één of andere exponentieel gedempte sinus. Als even simpelweg wordt uitgegaan van een belasting die bestaat uit een lijnlast (zie figuur 6), dan zijn er op relatief korte afstanden (Zone A) nog momenten met hetzelfde teken als recht onder de belasting. Vervolgens zijn er over een zone tegengestelde momenten (zone B), wat zich vervolgens steeds (gedempt) periodiek herhaalt. 1

zakking = exp(-x'){sin(x')+cos(x')}

0.8

hoekverdraaing =-exp(-x')sin(x')

0.6

moment =exp(-x'){sin(x')-cos(x')}

0.4

dwarskracht =exp(-x')cos(x')

0.2 0 -0.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4 -0.6 -0.8

zone A

zone B

-1 afstand tot de belasting

Figuur 6: verloop van zakking, hoekverdraaiing, moment en dwarskracht in elastisch ondersteunde plaat belast door lijnlast. In het geval de schade (het scharnier) zich juist onder de belasting bevindt, is het duidelijk: in een scharnier geen moment. Dus in dat triviale geval neemt het moment recht onder de belasting af naar 0. In de zone net naast de belasting heeft het buigende moment in de onbeschadigde situatie nog hetzelfde teken als midden onder de belasting, maar zal uiteraard ook altijd kleiner zijn dan in de ongescheurde situatie. Als het scharnier in de zone A wordt aangebracht, dan neemt het moment recht onder de belasting altijd af. Het momentenverloop in de gescheurde plaat kan worden opgebouwd uit het momentenverloop in de ongescheurde plaat met daarop gesuperponeerd het momentenverloop als gevolg van een moment wat werkt ter plaatse van het scharnier en wat juist

435340-0004 v01

september 2008

10 van 22


tegengesteld is van teken aan het moment in de ongescheurde situatie ter plaatse van dat scharnier. Als het scharnier wordt aangebracht op de plaats waar het moment juist nul was, dan verandert het moment midden onder de belasting uiteraard niet. Als het scharnier daarentegen wordt aangebracht in zone B waar het moment een teken heeft dat tegengesteld is aan dat van het moment midden onder de belasting, dan neemt het moment midden onder de belasting toe. Omdat de momentenlijn een exponentieel gedempte kromme is, is die toename echter beperkt. Afhankelijk van de positie van de schade zal het extreme moment dus iets toenemen (belasting in zone B of nog verder weg) of juist flink afnemen (belasting in zone A). Nu is bovenstaande redenering gevolgd voor een wat simpeler situatie, een lijnlast i.p.v. de prismatisch verdeelde belasting, maar het principe van de redenering gaat evenzeer op voor de prismatische belasting. Om te bepalen hoe groot de toename kan worden, zal de differentiaalvergelijking voor de verend ondersteunde plaat moeten worden opgelost. z

z

1

3

2

4

5

1

3

2

4

5

x=0 Figuur 7: de vijf takken te onderscheiden bij afleiding momentenlijn bij verschillende locatie van de schade. In geval van een prismatische belasting is dat echter een lastige klus, omdat de oplossing dan moet worden gezocht in verschillende takken (onbelast voor x z , toenemende belasting over z x 0 , een afnemende belasting over 0 x z en weer onbelast voor x z , zie ook figuur 7) die op de randen en ter plaatse van de scheur op elkaar moeten worden aangesloten. Dit levert 2 mogelijke combinaties van 5 takken met ieder 4 randvoorwaarden op, oftewel 2 stelsels van 4*5 vergelijkingen met evenzovele onbekenden. Door gebruik te maken van symmetrie en andere trucs kan dit flink worden teruggebracht, maar het is erg veel werk om dat allemaal uit te schrijven. Daarom wordt gebruik gemaakt van eerder afgeleide formules voor de ongescheurde plaat, zie hoofdstuk 3. In aanvulling daarop wordt voor enkele elementaire belastingssituaties de specifieke oplossing voor de differentiaalvergelijking bepaald. Analoog aan de bovenstaande redenering kunnen door superpositie van verschillende oplossingen de twee onderscheiden stadia van de scheurvorming worden beschreven. Nb. Superpositie is mogelijk omdat lineaire modellen worden gebruikt.

x0 vanuit het hart van de belasting een lijnscharnier wordt aangebracht. Als we nu in de ongescheurde plaat op x0 een

We veronderstellen dat in de prismatisch belaste plaat op een afstand

dusdanige knik aanbrengen, dat in die lijn het resulterende moment ten gevolge van de combinatie van opgelegde prismatische belasting en knik gelijk is aan nul, dan hebben we in feite de situatie (momenten, dwarskrachten en verplaatsingen) gecreĂŤerd waarin de plaat met het lijnscharnier zich bevindt . De superpositie van de momenten in de ongescheurde situatie met de prismatische belasting en de momenten ten gevolge van de hoekverdraaiing die leidt tot een moment nul ter plaatse van het lijnscharnier, leveren dus de momentenverdeling voor de plaat met het lijnscharnier. Dit is in figuur 8 verbeeld.

435340-0004 v01

september 2008

11 van 22


x z

x=0

y

x0

m

x

D

z

x=0

m D m m

x=0

x z

x=0

y

x0

Figuur 8: schematische weergave van superpositie van spanningssituatie in prismatisch belaste plaat met spanningssituatie ten gevolge van opgelegde hoekvervorming met gelijke momenten in x x0 levert de prismatisch belaste plaat met scharnier. Bij de uitwerking moeten twee situaties worden onderscheiden:

x0

z ; x0

z . Dit was ook

reeds het geval bij de ongescheurde plaat (zie hoofdstuk 3). Figuur 9 geeft, vergelijk met figuur 6, het moment als functie van

x0 voor de situatie 1 m . Nb. er is genormeerd op het moment recht onder de belasting x0 -1

z 1 m;

0.

Moment t.g.v. prismatische belasting in de ongescheurde plaat als functie van x 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.4 zone A

zone B

-0.6 Afstand vanaf het m idden van de belasting (x [m ])

Figuur 9: genormeerd moment als functie van de afstand tot het hart van de belasting voor de situatie z 1 m; 1 m-1.

435340-0004 v01

september 2008

12 van 22


Uit deze figuur blijkt voor deze case dat hoogstens zone A en B relevant zijn. Op grotere afstanden blijkt het moment hoogstens enkele procenten van het maximale moment te zijn. De invloed die het elimineren van een dergelijk moment op de totale momentenverdeling is zeker verwaarloosbaar. Het moment ter plaatse van de locatie van het scharnier wordt geĂŤlimineerd door daar een knik aan te brengen die een even groot tegengesteld moment oplevert. De vergelijking voor het momentenverloop ten gevolge van die knik is uitgewerkt in bijlage 2.1. Figuur 10 geeft het genormeerde verloop (genormeerd op het maximale moment = moment ter plaatse van de opgelegde knik) voor de case 1 m-1. Mom ent midden onder belasting als functie van lokatie van het scharnier 1.2 zone A

zone B

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 Afstand vanaf het m idden van de belasting tot het scharnier [m]

4

4.5

Figuur 10: genormeerd moment als functie van de afstand tot het hart van de belasting voor de situatie 1 m-1. Voor de betreffende case blijkt bij

x0

1,3 zich de meest ongunstige situatie voor te doen. In

die meest ongunstige situatie blijkt ca. 27% van het moment in het midden aanwezig te zijn. Dit moment elimineren leidt midden onder de belasting tot een extra moment wat ca. 9% bedraagt van het moment midden onder de belasting. Er kunnen zich in de reeds gescheurde bekleding dus belastingssituaties voordoen die tot hogere spanningen onderin de asfaltlaag leiden dan in de ongescheurde situatie. Nu zullen asfaltbekledingen normaliter niet door een enkele golfbelasting bezwijken, maar door vermoeiing als gevolg van een storm. Het is dus de vraag of de iets hogere belasting in die ene, meest ongunstige belastingssituatie wordt gecompenseerd door lagere belastingen bij andere golven. Alvorens hier op in te gaan is het verstandig om te kijken of het andere geval wat nog moet worden beschouwd, de volledig doorgaande scheur, een niet nog veel beroerdere belastingssituatie oplevert.

Als de plaat volledig is doorgescheurd kan die ter plaatse van de scheur geen moment en geen dwarskracht meer overdragen. Voor die situatie kan stapsgewijs een oplossing worden gevonden. De eerste stap wordt gevormd door de oplossing voor de prismatisch belaste plaat met een lijnscharnier, zoals deze in de vorige paragraaf is beschreven. Als tweede stap kan uit het scharnier op een vergelijkbare wijze ook de dwarskracht worden geĂŤlimineerd, zodat we een open scheur hebben gecreĂŤerd. Daartoe is in bijlage 2.1 even aandacht voor de dwarskracht in geval van een opgelegde hoekverdraaiing besteed en in bijlage 2.2 de oplossing voor een lijnlast op de rand van een halve plaat uitgewerkt. De dwarskracht ter plaatse van het scharnier wordt weggewerkt door daar een aan de dwarskracht tegengestelde lijnlast te superponeren. Deze tweede stap is in figuur 11 verbeeld.

435340-0004 v01

september 2008

13 van 22


x z

x=0

y

x0

D z

x=0

D x=0

z

x=0

Figuur 11: schematische weergave van superpositie van spanningssituatie in prismatisch belaste plaat met lijnscharnier en van spanningssituatie ten gevolge van lijnlast D op rand in x x0 van halfoneindige plaat, levert de prismatisch belaste plaat met doorgaande scheur. Als eerste stap is de dwarskracht op een willekeurige afstand van het hart van de belasting in de ongescheurde plaat bepaald. Daartoe is het momentenverloop zoals gegeven in hoofdstuk 3 nogmaals gedifferentieerd:

D

dm dx

q0 /(8

2

z )[

[ cos( x) e

x x

[ sin( x) e

x

e e

x

sin( x) e cos( x) e 4e

x

x

x

e x

]e x

e

]e

z

cos( z ) sin( z ) z

cos( z ) sin( z )

sin( x)] Voor x < z

D

q0 e

x

/(8

2

z )[

sin( x) cos( x) e

z

sin( x) cos( x) e

z

cos( z ) sin( z ) cos( z ) sin( z ) 4 sin( x)]

e

z

cos( z ) sin( z )

e

z

cos( z ) sin( z )

Voor x > z Hetgeen is te herschrijven tot:

D

q0 /(4

2

z )[ sin( x) e

x

e

x

cos( z ) cos( x) e

2e

x

x

e

x

sin( z ) e

z

sin( x)] Voor x < z

435340-0004 v01

september 2008

14 van 22


D

q0 e

x

/(4

2

z )[sin( x) e

z

z

e

cos( z ) cos( x) e

z

e

z

sin( z )

2 sin( x)] Voor x > z Dit verloop is in figuur 12 weergegeven. De dwarskracht is daarbij genormeerd door te delen door de term q0 /( 4 2 z ) . Dwarskracht t.g.v. prismatische belasting in de ongescheurde plaat als functie van x 1

0.8

0.6

0.4

0.2 zone B

zone A 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.2 Afstand vanaf het m idden van de belasting (x [m ])

Figuur 12: genormeerde dwarskracht als functie van de afstand tot het hart van de belasting voor de situatie 1 m-1. Als de dwarskracht ter plaatse van de scheur niet (meer) kan worden overgebracht, dan wijzigt hierdoor ook de momentenverdeling in de plaat. In analogie met het ontstaan van een lijnscharnier in de plaat: als de scheur dicht bij de as van de belasting optreedt, reduceert het wegvallen van de mogelijkheid tot het opnemen van een dwarskracht het moment recht onder de belasting (zone A). Als de scheur op geruime afstand van de belasting optreedt, kan deze juist leiden tot een (beperkte) toename van het maximale moment recht onder de belasting (zone B). In figuur 13 is het effect van het ontbreken van een dwarskracht in de scheur op het moment recht onder de belasting weergegeven.

435340-0004 v01

september 2008

15 van 22


Bijdrage aan moment t.g.v. wegvallen dwarskracht als functie van lokatie van de scheur 0.25 0.2 0.15

0.1 zone B

zone A

0.05 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.05 Lokatie scheur vanaf het midden van de belasting (x [m])

Figuur 13: bijdrage aan moment door het wegvallen van de dwarskracht in de scheur (genormeerd) als functie van de afstand tot het hart van de belasting voor de situatie 1 m-1. In de vorige paragraaf (5.a) is reeds het effect van het wegvallen van het moment ter plaatse van de scheur. Als dit effect wordt gecombineerd met het effect van het wegvallen van de dwarskracht krijgen we voor de onderzochte case ( 1 m-1) het verloop wat in figuur 14 is weergegeven. Als even alleen wordt gelet op de meest ongunstige situatie, waarbij het moment midden onder de belasting groter wordt, dan blijken de beide effecten elkaar niet te versterken, maar af te zwakken. Mom ent midden onder belasting als functie van lokatie van de scheur 1.2 1 zone A

zone B

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.5

1 1.5 2 2.5 3 3.5 Afstand vanaf het midden van de belasting tot de scheur [m ]

4

4.5

Figuur 14: genormeerd moment als functie van de afstand tussen de scheur en het hart van de belasting voor de situatie 1 m-1.

435340-0004 v01

september 2008

16 van 22


In de vorige hoofdstukken is op grond van mechanica-schematisaties het theoretische effect afgeleid van een scheur op het maximale moment ten gevolge van een enkele golfklap. Voor de situatie met de scheur loodrecht op de belasting is er geen sprake van een hoger moment in het asfalt en dat zal dus altijd leiden tot een Minersom die lager is dan in de ongescheurde situatie. De situatie met de scheur evenwijdig aan de belasting is minder eenvoudig. In een enkele case die ter illustratie van de afgeleide formules is opgenomen, bleken de negatieve effecten op het maximale moment recht onder de belasting van de aanwezigheid van een scheur zeer beperkt (<9%). De illustraties betreffen echter een enkele case en een enkele golf. Een asfaltbekleding die gedurende een storm wordt belast, wordt belast door meerdere golven, die telkens op andere punten inslaan. Die variatie van het punt van inslag is voor de betreffende case veel groter dan de zone B. Bij de bepaling van de Minersom worden de effecten dus over een brede zone van figuur 13 uitgemiddeld. Daardoor wordt het maximale negatieve effect wat voor een individuele golf kan optreden, in de Minersom teruggebracht. Per saldo lijkt het negatieve effect van een scheur op enige afstand zich in het ongunstigste geval te beperken tot minder dan 3% in de momenten. Daar zijn twee kanttekeningen bij te maken. Allereerst is tot op heden slechts een enkele case beschouwd, andere cases kunnen wellicht ongunstiger resultaten te zien geven. Daartoe is de parameter gevarieerd. Voor = 0,79 is het negatieve effect van een scharnier maximaal: 9%. Het maximale effect van een dwarskrachtloze scheur lijkt op te treden voor kleine waarden van , maar dat effect wordt nooit groter dan 7%. De gekozen case blijkt toevallig al vrij ongunstig te zijn. Ten tweede moet de middeling over een brede zone niet op basis van de momenten plaatsvinden, maar op basis van de “zoveelste” macht van de momenten, waarbij “zoveelste” wordt bepaald door de vermoeiingskarakteristiek. De vermoeiingsrelatie wordt gegeven door: 10

10

log( N )

log(k f ) a f 10 log( ) Oftewel: N

kf

af

Invloedsfactor verm oeiing als functie van lokatie van het scharnier 1.8 zone A

1.6

zone B

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Afstand vanaf het midden van de belasting tot het scharnier [m]

Figuur 15: genormeerd moment als functie van de afstand tussen de scheur en het hart van de belasting voor de situatie 1 m-1 De macht

a f moet op het (genormeerde) moment worden gezet om een invloedsfactor voor de

vermoeiing te krijgen. Figuur 15 geeft voor de reële waarde

af

5 het verloop van de

invloedsfactor. Als over een ruime zone B wordt gemiddeld, dan resulteert dat in een Minersom die maximaal 20% hoger ligt dan die in de ongescheurde situatie. Zoals voor momenten afwijkingen van minder dan 5% eigenlijk niet relevant kunnen worden genoemd, zijn afwijkingen van 20% voor een Minersom niet iets om rekening mee te houden. De invloed van de

435340-0004 v01

september 2008

17 van 22


onzekerheid bij het vaststellen van de vermoeiings-eigenschappen van het asfalt is vele malen groter: in [5] bleek het meewegen van proefresultaten bij andere temperaturen en belastingsfrequenties in de regressie van de vermoeiingslijn al tot een 77% hogere uitkomst van de Minersom te leiden. Het ontstaan van een scheur evenwijdig aan de prismatische belasting heeft voor de buigspanningen in de directe omgeving van die scheur een ontlastend effect. Als het asfalt onvoldoende sterk is om de storm te doorstaan dan kan op grond van dat effect worden afgeschat op welke afstand van de eerste scheur de eerstvolgende scheur zou kunnen optreden. Het is immers onmogelijk dat op zeer korte afstand van de eerste scheur zich een tweede ontwikkeld, omdat in de directe nabijheid van de scheur geen hoge spanningen meer kunnen worden opgebouwd. Nb. Uitgangspunt bij een dergelijke verkenning moet zijn dat er hoogstens een verwaarloosbare variatie is in materiaalsterkte aanwezig is. VariĂŤren met de parameters z en , heeft geleerd dat de belangrijkste momenten in de zone 1/ worden gereduceerd. Aangezien het inslagpunt van de verschillende golven binnen het golfveld flink varieert, mag veilig de conclusie worden getrokken dat een zone van 1/ + Hs ter weerszijde aan de eerste scheur er geen tweede scheur zal ontstaan. Voorwaarde daarbij is, zoals eerder is aangenomen, dat er zich in die zone geen significant zwakkere plek bevindt. Nb. Deze minimale scheurafstand is een gegeven dat van belang is voor reststerkte-onderzoek. Kort naast elkaar gelegen scheuren kunnen door verhangen onder de bekleding relatief gemakkelijk tot uitspoeling van zand onder de bekleding leiden. -1

czand = 100 MPa cklei = 30 MPa h = 0,20 m 3,3 0,99 h = 0,30 m 0,98 0,29 Voor alle gevallen: E = 10.000 MPa; = 0,35 -1 Tabel 1: waarden voor de karakteristieke parameter [m ] voor zand- en klei-ondergrond en verschillende bekledingsdiktes (materiaalparameters die ook zijn gebruikt voor de VTVgrafieken). [m ]

435340-0004 v01

september 2008

18 van 22


Scheuren, al dan niet gerepareerd, zijn in deze rapportage opgevat als een mechanische verzwakking van de verder homogene plaat die model staat voor de asfaltbekleding. Die verzwakking is voor de beginnende of eventueel gerepareerde scheur geschematiseerd tot een scharnier: er kunnen dan ter plaatse van de initiĂŤle schade geen buigende momenten meer worden opgenomen, maar dwarskrachten kunnen via interlock nog wel worden opgenomen. Ernstiger lijnvormige schade, een eventueel met flexibele voegvulling opgevulde openstaande scheur, kan ook geen dwarskrachten meer opnemen. Dit is geschematiseerd tot een vrije plaatrand. Scheuren loodrecht op de dijkas en dus ook loodrecht op de prismatisch veronderstelde belasting ten gevolge van golven, leiden ertoe dat de bekleding iets slapper wordt, waardoor de buigtrekspanningen onderin de asfaltlaag (marginaal) lager worden in vergelijking met de ongescheurde situatie. Een scheur loodrecht op de belasting leidt dus niet tot nieuwe scheuren ten gevolge van golfklappen als deze niet ook in een nog ongescheurde bekleding zouden optreden. Een beginnende scheur evenwijdig aan de dijkas kan voor specifieke golven leiden tot iets (maximaal 9%) hogere buigspanningen in vergelijking met die in de ongescheurde situatie. Voor de Minersom, waarbij wordt gemiddeld over een groot aantal golven met verschillende inslagpunten, zal dit tot een maximaal 20% hogere waarde leiden in vergelijking met de bij aanvang ongescheurde situatie. Voor een scheur waarin geen dwarskracht meer kan worden overgebracht is het maximale negatieve effect van de scheur op de rest van de asfaltlaag geringer dan voor de scheur de beginnende scheur die als scharnier wordt opgevat. Op grond van deze studie mag worden geconstateerd dat (gerepareerde) scheuren slechts kunnen leiden tot een marginale toename van spanningen en Minersommen. Voorwaarde daarbij is wel dat die scheuren niet zodanig openstaan dat direct uitspoeling van de ondergrond optreedt, danwel een significante toename van de grondwaterstand tot gevolg hebben. Aanbevolen wordt om het rekenmodel GOLFKLAP niet aan te passen ten einde rekening te houden met het al aanwezig zijn van een initiĂŤle scheur of daglas bij aanvang van de storm. Een afwijking van 20% in de Minersom is gezien de overige onzekerheden verwaarloosbaar. Het is veilig te concluderen dat een zone van 1/ + Hs ter weerszijde aan een al aanwezige horizontale scheur er geen tweede horizontale scheur zal ontstaan als gevolg van golfbelastingen.

435340-0004 v01

september 2008

19 van 22


435340-0004 v01

september 2008

20 van 22


[1] [2]

[3] [4]

[5] [6]

Statische lineair-elastische schematisaties ten behoeve van de golfklapformule, Concept notitie, R `t Hart, 03-05-1990, RWS-DWW. Vergelijking numerieke resultaten driehoeksbelasting met analytische resultaten van het lijnlastmodel en het model met driehoekig verdeelde belasting, Notitie aan TAW-A4, subgroep dimensioneringen, R. `t Hart, 13-02-1991, RWS-DWW. Leidraad voor de toepassing van asfalt in de waterbouw. TAW januari 1984. Golfklap A Model To Determine The Impact Of Waves On Dike Structures With An Asphaltic Concrete Layer, A.K. de Looff, R. `t Hart, C. Montauban, M.F.C. van de Ven, Conference paper International Conference Coastal Engineering 2006, pag. 5106-5115. Narekenen Deltagoot, Minersom ten gevolge van de opgelegde belastingen. R `t Hart, Notitie 08-08-2008, Deltares. e Scheurgroei WAB bekleding. M.F.C. van de Ven, TU-Delft, 2 concept september 2008.

435340-0004 v01

september 2008

21 van 22


Ai af c cklei

czand D E Hs h I K kf m N q q0 w x x0 y z

factoren van de plaatvergelijking

m

factor in de vermoeiingsrelatie

-

veerconstante ondergrond

3

N/m

veerconstante in geval van klei als ondergrond

N/m

veerconstante in geval van zand als ondergrond

N/m

dwarskracht elasticiteitsmodulus van het asfalt significante golfhoogte

N/m1 2 N/m m

3

3

laagdikte asfaltbekleding traagheidsmoment van de plaatdoorsnede plaatstijfheid factor in de vermoeiingsrelatie

m 1 m /m 2 N/m 4

1

buigend moment aantal lastherhalingen verdeelde belasting

Nm/m

2

N/m

N/m2

maximum waarde van de verdeelde belasting verplaatsing loodrecht op de plaat coördinaat in het plaatvlak, loodrecht op de prismatische belasting

m m

afstand tussen scheur en midden van de prismatische belasting

m

coördinaat halve breedte van de prismatische belasting karakteristieke waarde van de differentiaalvergelijking hoekverdraaiing

m m -1 m rad

karakteristieke lengte van de verend ondersteunde plaat dwarscontractiecoëfficiënt buigtrekspanning

435340-0004 v01

m 2 N/m

september 2008

22 van 22


435340-0004 v01

september 2008

1


De referentie voor dit onderzoek, de momentenlijn in geval van een prismatisch verdeelde belasting, is slechts in (concept) notities [1], [2] vastgelegd die mogelijk verloren gaan. Daarom is in deze bijlage de afleiding nogmaals vastgelegd. Uitgaande van een statische lijnbelasting wordt voor de gehanteerde schematisatie de zakking als functie van x gegeven door [3]: 3

wl ( x) ( P / 8 K

) exp(

x) sin( x) cos( x)

Met

k de karakteristieke waarde van de differentiaalvergelijking: 4K 3 Eh de plaatstijfheid: 12(1 2 )

K

0.25

Het moment als functie van x kan uit de zakking worden afgeleid met behulp van:

m

K

d 2w dx 2

Het moment als gevolg van de lijnlast wordt danook gegeven door:

ml ( x) ( P / 4 ) exp(

x) sin( x) cos( x)

Het moment ten gevolge van een driehoekig verdeelde belasting kan hieruit worden afgeleid door de puntlast op te vatten als een klein onderdeeltje van de verdeelde belasting P q ( x) * dx . Door te integreren over q(x) verkrijgen we: y

z x0

y

z x0

mq ( x)

(q( x) / 4 ) exp(

x) sin( x) cos( x) dx

q0

x z

x=0

y

x0

Figuur B1: Om deze integraal te kunnen oplossen moeten we hem in de verschillende takken opsplitsen. Allereerst is de situatie uitgewerkt voor het punt x0 dat ligt tussen 0 en +z (zie figuur B1):

mq ( x0 )

q0 [ 4 y

y

x0

(1 ( z x0 )

y 0

(1 y y

x0 z x0

(1 y 0

y x0 ) exp( y ) sin( z

y x0 ) exp( y ) sin( z y x0 ) exp( z

y ) cos(

y ) cos(

y ) dy

y) dy

y ) sin( y ) cos( y) dy]

Deze integraal is analytisch op te lossen en resulteert in:

435340-0004 v01

september 2008

1


mq ( x0 )

q0 8

2

[ 2 exp(

z

x0 ) sin( x0 ) cos( x0 )

sin( x0 ) exp( x0 ) exp( cos( x0 ) exp( x0 ) exp(

x0 ) exp( x0 ) exp(

Voor de situatie waarbij het punt x0 ligt tussen +z en worden opgelost de volgende:

mq ( x0 )

q0 [ 4 y y

y

x0

(1 ( z x0 ) z x0

(1 y

x0

y x0 ) exp( y ) sin( z

y x0 ) exp( y ) sin( z

z ) sin( z ) cos( z ) z ) sin( z ) cos( z ) ]

(zie figuur B1) is de integraal die moet

y ) cos(

y ) cos(

y ) dy

y) dy ]

De analytische uitwerking levert de volgende vergelijking voor het moment:

mq ( x0 )

q0 exp( x0 ) [ 2 sin( x0 ) cos( x0 ) 8 2 z sin( x0 ) exp( z ){cos( z ) sin( z )} exp( z ){cos( z ) sin( z )} cos( x0 ) exp( z){cos( z ) sin( z )} exp(

435340-0004 v01

z){sin( z ) cos( z )} ]

september 2008

1


435340-0004 v01

september 2008

2


Om de invloed op het momentenverloop in de plaat te bepalen van het moment wat wegvalt als er ergens in de plaat een scharnier ontstaan wordt de DV opgelost voor een plaatselijk opgelegde hoekvervorming (=knik in de plaat). Stel dat die knik wordt aangebracht in de lijn x 0 . Op grond van spiegelsymmetrie is het bepalen van de oplossing voor x 0 voldoende. De randvoorwaarde voor x 0 is

(x

0)

0

, waarbij

0 dan

de helft is van de in x

0 opgelegde knik. Daarnaast geldt dat

de dwarskracht voor x 0 gelijk is aan nul. Stel voor positieve x -waarden is de oplossing gegeven door:

w

A3 exp( x) sin( x) A4 exp( x ) cos( x ) Nb. A1 en A2 moeten gelijk 0 zijn, omdat anders richting oneindig de vervormingen toenemen. De hoekverdraaiing is de eerste afgeleidde van de verplaatsing dus:

dw A3 exp( x){sin( x) cos( x)} dx Voor x 0 levert dat: A3 A4 ( x 0) 0

A4 exp(

x){cos( x) sin( x)}

De dwarskracht is evenredig met de derde afgeleidde van de verplaatsing:

d 3w 2 3 A3 exp( x){cos( x ) sin( x)} 2 3 dx Voor x 0 levert dat: D K { 2 3 A3 2 3 A4 } 0 D ::

3

A4 exp(

Dus uit de randvoorwaarde voor de dwarskracht volgt: A3

x){sin( x ) cos( x )}

A4 en als dit wordt gecombineerd

met de randvoorwaarde voor de hoekverdraaiing vinden we de uiteindelijke oplossing voor dit specifieke geval:

w

0

2

exp(

x ) sin( x) cos( x)

Door tweemaal te differentiĂŤren kunnen we het momentenverloop als gevolg van de knik bepalen:

dw dx m

K

0

d 2w dx 2

exp( K

x) cos( x) 0

exp(

Ter plekke van de knik ( x

m

K

x ) sin( x) cos( x )

0 ) is het moment dus gelijk aan:

0

435340-0004 v01

september 2008

2


Moment als functie van de afstand tot de opgelegde knik 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.2 Afstand [m ]

Figuur B2: momentenverloop voor situatie plaatse van x = 0,0 m.

1,0 m-1, moment genormeerd met moment ter

Door nogmaals te differentiĂŤren verkrijgen we het dwarskrachtverloop als gevolg van de knik:

D

d 3w K 3 dx

2

2

K

0

exp(

x) sin( x )

Ter plekke van de knik ( x 0 ) is de dwarskracht dus gelijk aan: D 0 Deze triviale uitkomst had op basis van symmetrie ook meeteen kunnen worden ingezien.

435340-0004 v01

september 2008

2


435340-0004 v01

september 2008

3


Om te bepalen wat de invloed is op de momenten in de plaat van de dwarskracht in het scharnier wordt de DV wederom opgelost maar nu voor de situatie van lijnlast op de rand van een halfoneindige plaat. Stel voor het gemak even dat de rand ligt op de lijn x 0 . De dwarskrachtrandvoorwaarde voor deze halfoneindige plaat is de volgende:

D( x

0)

D0 , waarbij D0 dan de dwarskracht is die

door het scharnier wordt overgedragen. De gescheurde rand kan vrij bewegen, de verticale verplaatsing en de hoekverdraaiing volgen dus uit de berekening. Maar uiteraard werken er geen momenten op de vrije rand: m(x 0) 0 Voor

x

dienen de krachten en vervormingen te zijn uitgedempt: A1

Voor positieve

w

A3 exp(

A2

0

x -waarden wordt de oplossing dus gegeven door: x) sin( x) A4 exp( x ) cos( x )

Het moment is evenredig met de tweede afgeleidde van de verplaatsing:

m

K

d 2w dx 2

K{ 2

2

A3 exp(

x) cos( x) 2

2

A4 exp(

x) sin( x)}

Voor x

m

0 levert dat: { K 2 3 A3 } 0

Hieruit volgt A3

0 . De dwarskracht is evenredig met de derde afgeleidde van de verplaatsing

dus:

d 3w D :: 3 dx Voor x

K[ 2

3

A4 exp(

0 levert dat: 2

3

A4

x){sin( x) cos( x)}] D0 K

De uiteindelijke oplossing voor het verloop van de verplaatsingen loodrecht op de plaat in dit specifieke geval wordt dus gegeven door:

w

D0 exp( 2 3K

x ) cos( x)

Door tweemaal te differentiĂŤren kunnen we het momentenverloop als gevolg van de randbelasting bepalen:

dw dx

D0 exp( 2 2K

m

Kd 2 w dx 2

D0

x){sin( x) cos( x)}

exp(

x) sin( x)

Dit momentenverloop is, genormeerd door te delen door de term

D0

, weergegeven in figuur

B3.

435340-0004 v01

september 2008

3


Moment als functie van de afstand tot de rand met belasting D 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.05 afstand [m]

Figuur B3: momentenverloop voor situatie

1,0 m-1.

Het dwarskrachtverloop verkrijgen we door nogmaals te differentiĂŤren:

D

Kd 3 w dx 3

D0 exp(

Deze dwarskracht is voor x

x){sin( x) cos( x)}

0 inderdaad gelijk aan de opgelegde belasting D0 .

435340-0004 v01

september 2008

3


/08p6