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MODELACIÓN MATEMÁTICA Octubre 2013

Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


CONTEXTO DE LA MATEMÁTICAS EN LAS CIENCIAS Y LA INGENIERÍA La base de toda teoría científica y epistemológica es la MATEMÁTICA. La madre de todas las ciencias es un elemento esencial para la investigación y la formalización de modelos que aplicados resuelven una gran cantidad de problemas en la vida real. La teoría y fundamentación numérica siempre debe existir como puente entre las ciencias y la vida misma, ya que sin ésta el uso de elementos tan cotidianos como un teléfono móvil, un sistema de cómputo o mecanismos para predicción meteorológica por no citar un gran número, ven en la matemática y la modelación una herramienta sin precedentes para acercar más al hombre con su entorno. El mundo de hoy necesita ingenieros con gran capacidad de análisis y desarrollo mental, ese mismo que solo se consigue a través de la madurez de su pensamiento matemático y algorítmico. El entorno cambiante y los nuevos retos de la tecnología hacen que el grado de competencia tanto laboral como profesional requieran de un ser maduro en su conocimiento con unas amplias bases y saberes que le permitan ABSTRAER del mundo real un conjunto de variables para producir conocimiento y experiencia. La idea general del discurso anterior es: La Matemática para la Vida y no la Matemática como una simple asignatura... Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


LA MODELACIÓN MATEMÁTICA La Modelación Matemática es un método que permite la aplicación de un conjunto de algoritmos que por lo general se calculan en sistemas de cómputo para el estudio y análisis de situaciones donde se requiere del planteamiento de modelos para objetos cognitivos que en la mayoría de las situaciones se presentan como escenarios inviables o de difícil medición o cuantificación. Trabajar con modelos y no con el objeto cognitivo como tal, permite al ingeniero recopilar un conjunto de variables, requerimientos y propiedades del objeto y validar su comportamiento en un escenario determinado. Los modelos forman parte del proceso de abstracción del ser humano. • El trabajar siempre con modelos suele ser una practica segura, rápida y económica que garantiza la funcionalidad de un sistema o un conjunto de variables, midiendo su impacto mucho antes de que éstas sean introducidas a modelos reales (Ventaja Teórica). • Los algoritmos matemáticos/numéricos apoyan toda su capacidad racional, analítica y predictiva en la potencia del cálculo de los Microprocesadores o en su defecto los ordenadores. A partir de ellos, se puede acceder a un conjunto indeterminado de simulaciones y comportamientos en tiempo real con gran cantidad de variantes, cosa que seria imposible de calcular si no fuera por el potencial de las matemáticas y la modelación en la computación (Ventaja Experimental). Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


LA MODELACIÓN MATEMÁTICA “… No siempre el hecho de tener un buen bagaje matemático se traduce en que el investigador logre el éxito en su labor de modelización. Una condición necesaria para el aprendizaje de la modelación o modelización es estudiar los modelos clásicos y las bases esenciales que envuelven tales conocimientos...” (Bassanezi, Bienbengut, 1997). El problema de la Modelación no está en la modelación misma o en la incapacidad de formalizar un modelo como tal. El verdadero problema sienta sus raíces en la pobre o escasa orientación de la matemática a problemas aplicados a la vida real. Para llegar a ser un modelo ideal de investigador o analista (una de las fortalezas que debe tener cualquier ingeniero) ; No basta con resolver problemas netamente de cálculo, se requiere que el estudiante y profesional entienda en toda su dimensión las herramientas que le entrega la matemática y a partir de ellas formular adecuadamente sus juicios, para resolver problemas reales. Enfatizar en áreas como: Álgebral Lineal, Integrales, Diferenciales, Series, Funciones, Regresión Lineal, Estadística y Probabilidades, Teoría de Conjuntos, Lógica de Programación, Metodología de la Investigación, Física; son algunas de las claves para el éxito de un profesional con capacidad de MODELACIÓN y ABSTRACCIÓN. Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


LA ABSTRACCIÓN COMO HERRAMIENTA DE CONOCIMIMIENTO

La RAE define el concepto Abstracción como: (Del lat. abstractĭo, -ōnis). 1. f. Acción y efecto de abstraer o abstraerse. Abstraer consiste en separar por medio de una operación intelectual las cualidades de un objeto para considerarlas aisladamente o para considerar el mismo objeto en su pura esencia o noción.

La Abstracción se centra en las características esenciales de un objeto en relación a la perspectiva del observador. La matemática utiliza el poder de la abstracción para plantear modelos en situaciones reales. Lo mismo hace la abstracción al utilizar la matemática para fundamentar sus decisiones y propuestas. Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS •

MODELO CUANTITATIVO es aquel cuyos principales símbolos representan números. Son los más comunes y útiles en los negocios. Este tipo de modelos necesitan dar con un número preciso, para lo cual se apoyan en fórmulas matemáticas de variada complejidad.

MODELO CUALITATIVO aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas. Una fuente importante es la teoría de conjuntos. pueden valerse de gráficos y que no buscan un resultado de tipo exacto, sino que intentan detectar, por ejemplo, la tendencia de un sistema a incrementar o disminuir un determinado valor.

MODELO PROBABILÍSTICO aquellos basados en la estadística y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo general acompañan observaciones de eventos reales.

MODELO DETERMINÍSTICO corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas.

MODELO DESCRIPTIVO cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos.

MODELO OPTIMIZADOR corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima. Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS Otro factor que divide los tipos de modelos matemáticos es la aleatoriedad de la situación inicial, estos se dividen en Estocásticos y Determinísticos. •

ESTOCÁSTICOS: devuelven la probabilidad de que se obtenga un cierto resultado y no el valor en sí.

DETERMINISTAS: cuando los datos y los resultados se conocen, por lo que no existe incertidumbre

Otros Modelos considerados ( Pueden hacer parte de los mencionados anteriormente ) •

MODELO DE SIMULACIÓN, que intenta adelantarse a un resultado en una determinada situación, sea que ésta se pueda medir en forma precisa o aleatoria;

MODELO DE CONTROL, a través del cual se pueden determinar los ajustes necesarios para obtener un resultado particular.

Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


LOS MODELOS EN LA INGENIERÍA La matemática en sí es un lenguaje, y como lenguaje puede representar cualquier espacio cognitivo en la ingeniería. La matemática es quien da la notación y validez de ciencia a la Ingeniería. La matemáticas se consideran como el lenguaje común de las ciencias ya que con ella se facilita la comunicación entre diferentes disciplinas lo que la hace multidisciplinar y transversal a cualquier conocimiento humano. En la ingeniería en términos generales se puede abordar el concepto de modelación y simulación a partir de 3 aspectos: •

Aspectos netamente ingenieriles (Problemas).

Objetos de Conocimiento o propios de la Disciplina.

Situaciones específicas.

Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


LOS MODELOS EN LA INGENIERÍA Resolución de Problemas: Se quiere conocer el fenómeno de carga de un condensador (capacitor), cuya capacitancia es C, el cual está conectado en serie con un resistor de resistencia R, a las terminales de una batería que suministra una tensión constante V, este planteamiento se puede representar a través de la ecuación diferencial lineal siguiente: Objetos de Conocimiento o propios de la Disciplina Considérese una señal eléctrica del tipo alterno sinusoidal, la señal es el objeto de la ingeniería el cual se representa a través de la función: Situaciones específicas El condensador de carga q=q(t), está totalmente descargado al inicio del problema. Esta situación se puede representar matemáticamente, tomando en cuenta que al inicio del problema t=0 y que la carga es una función del tiempo, como: q(0)=0 Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


PROCESO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA Sistematización Conjunto de Requerimientos Investigación o descripción del Problema

Objeto o Tema

Formulación de Hipótesis

Abstracción

No Si

Modelo Generado

Elección de un Modelo o Axioma Matemático

Sistematización y Tabulación de Variables

Cumple con los Requerimientos del Problema

Interpretación Algoritmos y Solución Validación

Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


PROCESO DE MODELACIÓN MATEMÁTICA

Sistema Físico

Discretización

Modelación ( Modelo Discreto )

SOLUCIÓN

Verificación

Solución Discreta

MODELO MATEMÁTICO IDEAL

Validación

Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


Conclusiones finales Hoy en día es común lidiar con teléfonos móviles, pantallas táctiles, televisión digital, video por internet o la misma Internet. Todos esos adelantos tecnológicos parten de la aplicación de las matemáticas y los modelos a una situación real. Si en algún momento se detuviera a pensar en la cantidad de procesos que elaboran las empresas y los científicos para darle razón de ser a esos elementos, seguro que la primera pregunta que debe cuestionarse es “Qué tuvo la matemáticas y otras ciencias aplicadas que ver para la invención de este artefacto?” seguro que la respuesta no está lejos y de seguro que será la matemática, la ciencia que predomina su creación. Imagínese un segundo la bolsa de valores de Wall Street sin sistemas de predicción o sistemas probabilísticos para el análisis del mercado y los indicadores internacionales. Imagínese una empresa de servicios como telefonía, electrónica, sin sistemas de información que permitan asegurar y controlar la calidad a sus productos. Todos los anteriores se basan en mecanismos de análisis que no hacen otra cosa que prever comportamientos a través de modelos matemáticos y las interacciones de los mismos con los usuarios y los demás sistemas. Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


BIBLIOGRAFÍA

Camarena, P; La Modelación Matemática en el Ingeniero. Instituto Politécnico Nacional. México D.F. 4-5p. 2007. Bassanezi R; Biembengut M;. Modelación Matemática: Una antigua forma de Investigación – Un nuevo método de enseñanza. Revista de didáctica de las matemáticas No. 32; Diciembre de 1997. 13-25p. Madrid, España

Ing. Carlos Alberto Gaitán Peña Ms(e) en Ingeniería de Software y Sistemas Informáticos – UNED (España)


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