Page 1

MATEMÁTICA PARA INGENIEROS II

LIC. MAT. YOVANNA HUERTAS LLÚNCOR


PRESENTACIÓN

La asignatura de Matemática para Ingenieros II está ubicada en el área de Formación General en el Plan de Estudios de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil y Ambiental, contribuye a la formación del pensamiento abstracto y formal que es la base fundamental para realizar trabajos de investigación. El aprendizaje de los contenidos de Matemática para Ingenieros II sirve como requisito para el estudio de asignaturas de ciclos superiores que hacen uso de contenidos matemáticos. En ella se proporciona los conceptos, técnicas y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de varias variables, que es una parte esencial de la Matemática, de interés para los profesionales en Ingeniería en lo que concierne a optimización y cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. La asignatura de Matemática para Ingenieros II es importante porque brinda las herramientas necesarias para que el estudiante de Ingeniería desarrolle habilidades de cálculo, imaginación, intuición, generalización y capacidad de análisis, referidos a funciones de varias variables y modele, mediante ecuaciones diferenciales, situaciones de la vida real para resolver problemas propios de su especialidad.


ÍNDICE

PRESENTACIÓN……………………………………………………………………… INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………… CAPÍTULO I: ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1.

Ecuación Diferencial de Primer Orden

1.2.

Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria

1.3.

Ecuaciones de Variables Separables

1.4.

Ecuaciones Exactas

1.5.

Ecuación Homogénea

1.6.

Ecuaciones hechas exactas por un Factor Integrante apropiado

1.7.

ED de Bernoullí

1.8.

Ecuación Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes

1.9.

ED no Homogéneas: Método de Coeficientes Indeterminados

CAPÍTULO II: TRANSFORMADAS DE LAPLACE 2.1.

Tópicos de transformada de Laplace

2.2.

Solución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de Laplace.

CAPÍTULO III: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3.1.

Funciones de dos y tres variables Gráfica de funciones de dos variables. Dominio. Curvas de nivel. Funciones de tres variables. Dominio. Superficies de nivel.

3.2.

Derivadas parciales

3.3.

Derivadas parciales de orden superior

3.4.

Regla de la cadena para funciones de varias variables.

3.5.

Derivación parcial implícita.

3.6.

Derivada direccional.


3.7.

Gradiente de una función de dos y tres variables

3.8.

Optimización de funciones de varias variables.

3.9.

Multiplicadores de Lagrange de una función de dos y tres variables.

CAPÍTULO IV: INTEGRACIÓN MÚLTIPLE 4.1.

Cálculo de Integrales dobles por medio de integrales iteradas

4.2.

Cambio de orden de integración.

4.3.

Jacobiano de una función de dos y tres variables.

4.4.

Integrales dobles mediante coordenadas polares.

4.5.

Aplicaciones de la integral doble.

4.6.

Cálculo de integrales triples por medio de integrales iteradas.

4.7.

Volúmenes mediante integrales triples.

4.8.

Aplicaciones de la integral triple.

4.9.

Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

ANEXOS Anexo 1: ………………………………………………….. REFERENCIAS……………………………………………………………………...


INTRODUCCIÓN Este cuaderno de apuntes para la asignatura de Matemática para Ingenieros II tiene por finalidad proporcionar un compendio de los contenidos a desarrollarse durante el presente ciclo académico en la escuela de Ing. Civil y Ambiental a los estudiantes del III ciclo. La asignatura de Matemática para Ingenieros II proporciona al estudiante conceptos, técnicas y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de dos y tres variables, como una parte esencial de la Matemática. Inicialmente se establece una relación y generalización entre el cálculo de una variable y el cálculo de varias variables, para luego resolver situaciones de optimización y cálculo de áreas, volúmenes y centros de masa. Se complementa con la aplicación de los tópicos básicos de las ecuaciones diferenciales y sus métodos. El desarrollo de contenidos será en forma dinámica con la participación activa de los estudiantes y con la guía del docente. Se complementa cada unidad con la presentación y exposición grupal de ejercicios o problemas de aplicación dejados a través del campus virtual. Se considera el trabajo en equipo como un espacio en el cual, alrededor de un objetivo común y con el aporte de sus integrantes, los mismos analizan, sintetizan y argumentan en el pleno sus ideas y propuestas sobre los ejercicios de aplicación de los temas desarrollados en clase. El desarrollo de las sesiones en aula incluirá orientación y asesoramiento al estudiante, lo que le permitirá efectuar sus consultas respecto a los conocimientos o aplicaciones en los que encuentra dificultades.


CAPรTULO I ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales representan una de las mรกs importantes y fascinantes ramas de la matemรกtica que proporcionรณ el medio para las formulaciones matemรกticas y soluciones de variados problemas en ciencias e ingenierรญas. 1.1.

Ecuaciรณn Diferencial de Primer Orden Definiciรณn: Es una ecuaciรณn en la que interviene una funciรณn y una o varias de sus derivadas. Tipos: o

Ecuaciรณn diferencial ordinaria.

o

Ecuaciรณn diferencial en derivadas parciales.

Orden: estรก dado por el orden mรกs alto de su derivada. Grado: estรก dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

ECUACIร“N

1.2.

TIPO

ORDEN GRADO

Soluciรณn de una Ecuaciรณn Diferencial Ordinaria es soluciรณn de una ecuaciรณn diferencial si la ecuaciรณn se

Una funciรณn

satisface al sustituir en ella

y sus derivadas por

y sus derivadas respectivas.

Ejemplo:

Muestre que la funciรณn .

es la soluciรณn de la ecuaciรณn diferencial


1.3.

Ecuaciones de Variables Separables

Sea la ecuación diferencial:

Donde

es continua en

y

es continua en .

Luego: Para obtener la solución general:

Ejemplo: Hallar la solución general de:

1.4.

Ecuaciones Exactas La ecuación diferencial

es exacta si Ǝ una función

, con derivadas parciales continuas, tal que:

La solución general es la función Teorema: la ecuación diferencial

es exacta si y

solo si:

Ejemplo: a) Determinar si la ecuación es exacta:

b) Resolver la ecuación diferencial exacta:

1.5.

Ecuación Homogénea Función Homogénea: la función dada por n si:

es homogénea de grado


Donde n es un número real. Ejemplo: Determina cual de las funciones es homogénea: a) b) Definición:

una

ED

es

cualquier

donde

y

ecuación

de

la

forma

son funciones homogéneas del mismo

grado. Solución de una ED Homogénea: Si

es homogénea, se puede transformar en una

ecuación diferencial separable sustituyendo

Donde

es una función derivable en .

Ejemplo: Halla la solución general de la ec. diferencial homogénea:

1.6.

Ecuaciones hechas exactas por un Factor Integrante apropiado Si la ecuación diferencial

no es exacta, puede que

se transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado

, llamado

factor integrante. Ejemplo: Si a la ecuación

se le multiplica por el factor integrante se

convierte

en

la

ecuación

diferencial

exacta

. Teorema: para la ecuación diferencial

:

A. Si Es una función de x solamente, entonces integrante.

es un factor


B. Si: Es una función de y solamente, entonces

es un factor

integrante. Ejemplo: Hallar la solución general de la ecuación diferencial:

1.7.

ED de Bernoullí Las ecuaciones diferenciales de la forma:

Se conoce con el nombre de ecuación diferencial de Bernoulli. Puesto que la ecuación dada no es lineal, para resolverla, se efectúa el siguiente procedimiento: 1. Se multiplica a la ecuación por

, es decir:

2. A la ecuación resultante se le multiplica por

:

3. Sea 4. Reemplazando en el paso 2 obtenemos:

que es una ecuación diferencial lineal en

de primer orden.

Ejemplo: Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes: a) b)


1.8.

Ecuación Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes son de la forma:

Donde

son constantes.

Para resolver estas ecuaciones diferenciales, primero se considera el polinomio característico de la siguiente forma:

Como el polinomio característico obtener las raíces

es de grado

entonces se puede

los cuales pueden ser, reales distintos, reales de

multiplicidad o números complejos. Para dar solución de la ecuación diferencial se consideran los siguientes casos: 1° Caso: Cuando las raíces de la ecuación polinómica distintas:

son reales y

entonces el sistema fundamental de soluciones de

la ecuación diferencial tiene la forma:

, y la solución general de

la ecuación diferencial lineal homogénea es:

2° Caso: Cuando algunas de las raíces de la ecuación polinómica de multiplicidad, consideremos multiplicidad

y

y donde

son es la raíz de

son las demás raíces y distintas.

Luego el sistema fundamental de soluciones tiene la siguiente forma:

Y la solución general de la ecuación diferencial es:

3° Caso: Cuando las raíces de la ecuación polinómica

alguna de

estas

complejas:

raíces

son


y las demás raíces supongamos que sean reales y distintas. Luego el sistema fundamental de soluciones tiene la siguiente forma: . La solución general de la ecuación diferencial es:

Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b) 1.9.

ED no Homogéneas: Método de Coeficientes Indeterminados Las ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes indeterminados son de la forma:

Donde

son constantes reales.

Para obtener la solución general primero se determina la solución general de la ecuación lineal homogénea

, luego se busca una solución particular

cualquiera de la ecuación diferencial no homogénea

, y la solución general

de la ecuación inicial es:

El problema se reduce a encontrar una solución particular diferencial línea no homogénea. Cuando la función

tiene la forma

de la ecuación


donde

son polinomios de grado

entonces la solución particular

Donde

y y

y

respectivamente,

de la ecuación inicial es de la forma:

es el orden de multiplicidad de la raíz

son polinomios en

de grado

;

, de coeficientes

indeterminados. Para determinar la solución particular de la ecuación no homogénea, se consideran los siguientes casos: 1° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial inicial es la función

, entonces:

a) Si

, no es raíz de la ecuación característica

, entonces la

solución particular es:

b) Si

, es raíz de la ecuación característica

, entonces la

solución particular es:

Donde s es la multiplicidad de

.

2° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función , donde a) Si

es real, entonces:

, no es raíz de la ecuación característica

, entonces la

solución particular es:

b) Si

es raíz de la ecuación característica

, entonces la

solución particular es:

Donde

es la multiplicidad de

.

3° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función , donde de grado

y

respectivamente, entonces:

son polinomios


a) Si

no es raíz de la ecuación característica

, entonces la

solución particular es:

Donde b) Si

. es la raíz de la ecuación característica

, entonces la

solución particular es:

Donde

y

es la multiplicidad de la raíz

.

4° Caso: Cuando el segundo miembro de la ecuación diferencial es la función , polinomios de grado a) Si

y

donde

son

respectivamente, entonces:

no es raíz de la ecuación característica

, entonces

la solución particular es:

Donde b) Si

. es la raíz de la ecuación característica

, entonces la

solución particular es:

Donde

y

es la multiplicidad de la raíz

Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: a) b)

.


CAPÍTULO II TRANSFORMADA DE LAPLACE Este método permite transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas e incluso incorporar las condiciones algebraicas dadas al problema algebraico sin necesidad de hacer ninguna consideración especial sobre ellas. La transformada de Laplace tiene muchas otras aplicaciones además de resolver ecuaciones diferenciales, tales como la evaluación de integrales y la solución de ecuaciones integrales. 2.3.

Tópicos de transformada de Laplace

Integrales Impropias Si

está definida para

integral impropia

, donde

es una constante, entonces la

está definida como:

si existe el límite. Cuando existe el límite se dice que la integral impropia es convergente; de otro modo, la integral impropia es divergente. Definición de Transformada de Laplace Suponga que

sea definida para

arbitraria. La transformada de Laplace de

y sea

una variable real

expresada por

o bien

, es

Para todos los valores de

para los cuales la integral impropia es convergente.

Convergencia en la transformación de Laplace No todas las funciones tienen una transformación de Laplace. Aquí se dan algunas condiciones que garantizan la convergencia de la integral impropia. Definición: Una función

es de orden exponencial

tales que

. Definición: Una función si:

es continua por intervalos en el intervalo abierto


1)

es continua en todos los puntos en

con la posible

excepción, como máximo, de un número finito de puntos

.

2) En los puntos de discontinuidad, existen los límites a la derecha y a la izquierda de

, respectivamente y

Definición: Una función cerrado 1)

es continua por intervalos en el intervalo

si: es continua por intervalos en el intervalo abierto

2) El límite a la derecha de

existe para

3) El límite a la izquierda de Teorema: Si

.

.

existe para

.

es continua por intervalos en un intervalo finito cerrado , y si

es de orden exponencial

transformación de Laplace para

existe para

, entonces la

.

Ejemplo: a) Determine si la integral impropia

es convergente.

b) Hallar Propiedades de la transformación de Laplace Definición: 1) 2)

si:

está definida para todos los es

continua

por

intervalos

. en

cualquier

intervalo

cerrado

. 3)

es de orden exponencial .

Observación: Si

entonces

Teorema: Si

y

cualesquiera

y

,

existe para

.

, entonces para dos constantes y

Teorema: Si

, entonces para cualquier constante ,

Teorema: Si

, entonces para cualquier entero positivo


Teorema: Si

y si existe

Teorema: Si

, entonces:

Teorema: Si

entonces:

es periódico con período

, es decir

,

entonces:

Ejemplo: 1)

Hallar

si

2)

Hallar

si

3)

Hallar

. . .

2.4. Solución de ecuaciones diferenciales mediante transformada de Laplace. Transformaciones de Laplace de la derivadas La transformación de Laplace se usa para resolver problemas de valor inicial dados por la ecuación diferencial lineal de orden

con coeficientes

constantes:

junto con las condiciones iniciales

Teorema: Denote

por

son continuas para

y son de orden exponencial

entonces

Luego:

. Si

y sus primeras , y si

derivadas ,


En particular, para

y

, obtenemos:

Solución del problema de valor inicial Para resolver el problema de valor inicial dada, se toma la transformación de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, obteniendo por tanto una ecuación algebraica que contiene

. Se resuelve la ecuación para

y

después se toma la transformación inversa de Laplace para obtener . Ejemplo: 1)

Resolver

2)

Resolver

. .


CAPÍTULO III FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES En asignaturas anteriores se ha estudiado funciones de una variable (independiente); sin embargo, muchas cantidades de uso frecuente son funciones de dos o más variable. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza (W = F.D) y el volumen de un cilindro circular recto

son funciones de dos variable. El volumen de un sólido es una función de tres variables.la notación de estas funciones es

rectangular

similar a la notación de funciones de una sola variable. 3.1.

Superficies Cilíndricas Recordemos que hay dos tipos de superficies: a)

Esferas:

b) Planos:

Un tercer tipo de superficies en el espacio son las superficies cilíndricas o simplemente cilindros. Cilindro: Sea C una curva en un plano y sea L una recta que no se encuentre en un plano paralelo. El conjunto de todas las rectas paralelas a L y que intersectan a C se le conoce como curva generatriz (o directriz) del cilindro y a las rectas se les conoce como rectas generatrices. Ejemplo: Graficar Se dibuja primero la curva

en el plano xy, luego se trazan rectas

paralelas al eje izquierdo de esta curva.


3.2.

Superficies Cuádricas Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. la ecuación general es:

Donde A, B, C,…,J son constantes; pero por traslación y rotación se puede convertir en una de las dos formas: ó Las superficies Cuádricas son la analogía tridimensional de las secciones cónicas en el plano. Existen

seis

tipos

básicos

de

superficies

Cuádricas:

Elipsoide,

hiperboloide de una hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico.

Elipsoide La gráfica de la ecuación:

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en

. La traza del elipsoide

sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una elipse. La gráfica se muestra en la figura (1).


Figura (1): Elipsoide Si cualesquiera dos de los semiejes a, b, c son iguales entre sí, la superficie es un elipsoide de revolución, si los tres son iguales, la superficie es una esfera. Paraboloide elíptico: La gráfica de la ecuación

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales son elipse :

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean

o

son

parábola.

Figura (2): Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico: La gráfica de la ecuación:

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas (

). Sus trazas sobre planos

verticales paralelos al plano xz son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano yz son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura (3).


Figura (3): Paraboloide hiperbólico. Cono elíptico: La gráfica de la ecuación:

es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales

son

elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas. Su gráfica se muestra en la figura (4).

Figura (4): Cono elíptico Hiperboloide de una hoja: La gráfica de la ecuación:

es un hiperboloide de una hoja. Sus trazas sobre planos horizontales

son elipses.

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan. Su gráfica se muestra en la figura (5).


Figura (5): Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas: La gráfica de la ecuación:

es un hiperboloide de dos hojas. Su gráfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales

son elipses y

sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).

Figura (6): hiperboloide de dos hojas. 3.3.

Funciones de dos y tres variables Gráfica de funciones de dos variables. Dominio. Curvas de nivel. Definición: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado único número real

, entonces

conjunto D es el dominio de valores

es el rango de .

Ejemplo: Halla el dominio de la función:

en D le corresponde un es una función de

y . el

y el correspondiente conjunto de


Gráfica de una función de dos variables Si

es una función de dos variables con dominio D, entonces la

gráfica de

es el conjunto de puntos y

tales que

está en D.

Ejemplo: Trace la gráfica de la función Curvas de nivel Las curvas de nivel de una función curvas con ecuación

de dos variables son las

, donde

es una constante (que

pertenece a la imagen de ).

Ejemplo: Trace las curvas de nivel de la función para

,

.

Funciones de tres variables. Dominio. Superficies de nivel. Una función de tres variables , es una regla que asigna a cada terna ordenada único denotado por

de un dominio

un número real

.

Es muy difícil visualizar una función

de tres variables por su

gráfica, puesto que estaría en un espacio de cuatro dimensiones, pero obtenemos alguna información de

al examinar sus

superficies de nivel, que son las superficies con ecuaciones


, donde

es una constante. Si el punto

se

mueve a lo largo de una superficie de nivel, el valor de permanece fijo. Ejemplo:

3.4.

a)

Encuentre el dominio de , si:

b)

Halle las superficies de nivel de la función:

Derivadas parciales Definición: Si respecto a

ya

, entonces las primera derivadas parciales de son funciones

y

definidas por:

Siempre que estos límites existan. Esta definición indica que si considera a hallar

entonces para hallar

se

constante y se deriva respecto a . De manera similar, para

, se considera a

constante y se deriva respecto a .

Notación para las primeras derivadas parciales: Dada

las derivadas parciales

y

se denotan:

Y

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto y

se denotan:


Ejemplo: Encuentre las derivadas parciales

y

correspondientes a las

funciones: a) b) 3.5.

Derivadas parciales de orden superior Si

es una funci贸n de dos variables, sus derivadas parciales

son

tambi茅n funciones de dos variables. Luego podemos considerar sus derivadas parciales

que reciben el nombre de

segundas derivadas parciales de . Si

empleamos la siguiente notaci贸n:

Ejemplo: Halle las segundas derivadas parciales de las siguientes funciones: a) b) Teorema de Clairaut: Suponga que contiene al punto

. Si

est谩 definida en un disco

son continuas en

, entonces:

que


3.6.

Regla de la cadena para funciones de varias variables. Regla de la cadena: una variable independiente Sea

donde y

,

y

es una función derivable de

y

. Si

son funciones derivables en , entonces

es una función derivable en y

Regla de la cadena: dos variables independientes Sea

donde

Si

y

es una función derivable de

y .

son tales que todas las primeras

derivadas ∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s, ∂y/∂t existan, entonces ∂w/∂s y ∂w/∂t existen y están dadas por:

Ejemplo: a)

Si cuando

b)

, donde

y

, halle ∂z/∂t

.

Si

, donde

, encuentre ∂z/∂s,

∂z/∂t. 3.7.

Derivación parcial implícita. Si la ecuación

define a

implícitamente como función

derivable de , entonces:

Si la ecuación F(x, y, z) = 0 define a z implícitamente como función derivable de x e y, entonces:


Ejemplo:

3.8.

a)

Encuentra y’ si y2 + 3x4 – 5xy - x2 + 4 = 0.

b)

Obtener ∂z/∂x y ∂z/∂y, si 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5 = 0

Derivada direccional. Definición: Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada

direccional

de

f

en

la

dirección

del

vector

unitario

es:

Ejemplo: Encuentre la derivada direccional

si:

Y u es el vector unitario dado por el ángulo θ = π/6. ¿Cuál es 3.9.

?

Gradiente de una función de dos y tres variables Definición: Si z = f(x, y), entonces el gradiente de f, denotada por es el vector: Entonces:

Propiedades: Sea f una función diferenciable en el punto (x, y) 1)

Si

2)

La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por El valor máximo de

3)

es

La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por El valor mínimo de

.

.

es -

Ejemplo: La temperatura, en grados Celcius sobre la superficie de placa metálica viene dada por:


Midiéndose x e y en pulgadas. Desde el punto (2, -3), ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente?, ¿a qué ritmo se produce este crecimiento? 3.10. Optimización de funciones de varias variables. Teorema de valor extremo Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región R cerrada y acotada en el plano xy. 1. Existe por lo menos un punto en R en el que f toma un valor mínimo. 2. Existe por lo menos un punto en R en el que f toma un valor máximo. Definición de extremos relativos Sea f una función definida en una región R que contenga a (a, b). 1. La función f tiene un mínimo relativo en (a, b) si:

Para todo (x, y) en un disco abierto que contenga a (a, b). 2. La función f tiene un máximo relativo en (a, b) si:

Para todo (x, y) en un disco abierto que contenga a (a, b). Definición de punto crítico Sea f una función definida en una región abierta R que contenga al punto (a, b). El punto (a, b) es un punto crítico de f si se satisface alguna de las condiciones siguientes: 1.

.

2. No existe Teorema: Los extremos relativos se presentan únicamente en puntos críticos. Si f tiene un extremo relativo en un punto (a, b) de una región abierta R, entonces (a, b) es un punto crítico de f.


Criterio de las segundas derivadas parciales Sea f una función que tenga segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contenga un punto

en el cual,

Para buscar los extremos relativos de , considere la cantidad

1. Si

, entonces

tiene un mínimo relativo en

, entonces

tiene un máximo relativo

. 2. Si en

.

3. Si

, entonces

es un punto silla.

4. Si

el criterio no es concluyente.

Ejemplo: 1.

Determine los extremos relativos de

2.

Encuentre los extremos relativos de

.

3.11. Multiplicadores de Lagrange de una función de dos y tres variables. Este método permite resolver problemas de optimización donde existen restricciones. Teorema de Lagrange: Sean

y

parciales sean continuas y tales que

funciones cuyas primeras derivadas tenga un extremo en el punto

sobre la curva suave de la restricción entonces existe un número real

. Si

,

tal que

Método de los multiplicadores de Lagrange Sean

y

funciones que satisfagan la hipótesis del teorema de

Lagrange y sea

una función que tenga un mínimo o un máximo sujeto a


la restricción

. Para hallar el mínimo o el máximo de

se

siguen los siguientes pasos: 1. Se resuelven simultáneamente las ecuaciones

y

resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:

2. Se evalúa

en cada uno de los puntos solución obtenidos en el primer

paso. El valor mayor corresponde a un máximo de restricción

sujeto a la

el valor menor corresponde a un mínimo de

sujeto a la restricción

.

Ejemplo: Encuentre el valor máximo de sujeto a la restricción:

donde

y

,

.

Método de los multiplicadores de Lagrange con dos restricciones En los casos de problemas de optimización en los que intervienes dos funciones de restricciones multiplicador de Lagrange,

y

, puede introducirse un segundo

y resolver después la restricción

Donde los vectores gradiente no son paralelos. Ejemplo: Sea

una función que represente la

temperatura en cada punto de la esfera

. Encuentre las

temperaturas extremas sobre la curva formada en la intersección del plano

con la esfera.


CAPÍTULO IV INTEGRACIÓN MÚLTIPLE En este capítulo extenderemos la idea de una integral definida a integrales dobles y triples de funciones de dos o tres variables. Estas ideas se unan para calcular volúmenes, áreas superficiales, masas y centroides de regiones más generales. 4.10. Cálculo de Integrales dobles por medio de integrales iteradas 4.11. Cambio de orden de integración. 4.12. Jacobiano de una función de dos y tres variables. 4.13. Integrales dobles mediante coordenadas polares. 4.14. Aplicaciones de la integral doble. 4.15. Cálculo de integrales triples por medio de integrales iteradas. 4.16. Volúmenes mediante integrales triples. 4.17. Aplicaciones de la integral triple. 4.18. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.


ANEXO 1:


REFERENCIAS Libros 1.

Acero, Ignacio; López Mariló. Ecuaciones diferenciales teoría y problemas. Alfaomega. Edición 1. México, 1999. Código en Biblioteca 515.35 A17.

2.

Blanchard, Paul; Devaney, Robert L.; Hall, Glen R. Ecuaciones Diferenciales. International Thomson Editores. Edición 1, México, 1998. Código en Biblioteca 515.35 B57E

3.

Borrelli, Robert L.; Coleman, Courtney S. Ecuaciones diferenciales: Una perspectiva de modelación. Oxford University Press. Edición 1. México, 2002. Código en Biblioteca 515.35 B74

4. Edwards Jr., Penney, David. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice Hall, Edición 3; 1996. Código en Biblioteca 515.15/E26 - 003818. 5. Edwards, C. Henry; Penney, David E. Ecuaciones Diferenciales. Pearson Educación. Edición 4. México, 2001. Código en Biblioteca 515.35 E26. 6. Espinoza, Eduardo. Funciones de varias variables. Edición 1; 1992. Código en Biblioteca 515.84/E88 - 002609. 7. Goodman, A.W. Geometría Analítica y Cálculo. Limusa, Edición 1; 1992. Código en Biblioteca 516.3/G72 - 002641. 8. Heyd, David. Guía de Cálculo. Mc-Graw Hill Interamericana, Edición 1; 1993. Código en Biblioteca 515/H47 - 016403. 9. Larson, Ron; Hostetler, Robert; y Edwards Bruce. Cálculo II. Pirámide, Edición 7; 2002. Código en Biblioteca 515.33/L26. 10.

Ledder, Glenn. Ecuaciones diferenciales: Un enfoque de modelado. McGrawHill/Interamericana Editores. Edición 1. México, 2006. Código en Biblioteca 515.35 L36.

11. Leithold, Louis. Cálculo. Alfaomega, Edición 1; 2004. Código en Biblioteca 519.4/L42 - 028264. 12.

Rainville V. Earl D.; Bedient, Phillip E.; Bedient, Richard E. Ecuaciones Diferenciales. Pearson Educación. Edición 8. México, 1998. Código en Biblioteca 515.35 R18.

13. Stewart, James. Cálculo multivariable. Thomson, Edición 3; 1999.


Código en Biblioteca 515.84/S79 - 008705. 14. Thomas, George Jr. Cálculo varias variables. Pearson, Edición 11; 2006. Código en Biblioteca 515.T48. 15.

Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thomson Editores. Edición 8. México, 2006. Código en Biblioteca 515.35 Z77.


Matemática para Ingenieros II  

La asignatura de Matemática para Ingenieros II proporciona al estudiante conceptos, técnicas y aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integr...

Advertisement
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you