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EJERCICIO (algo acerca de un cuadrado) - II Enunciado Encontrar, si es que existen, tres números naturales consecutivos cuyo producto sea un cuadrado perfecto. Respuesta Salvo el 2, no hay ningún otro número primo que pueda dividir a tres números consecutivos; esto nos lleva a que, salvo en lo referente al 2, los números buscados (n, n+1 y n+2) han de ser cuadrados perfectos. Resulta entonces que sólo caben las tres posibilidades siguientes (para los tres números en cuestión):

1ª 2ª 3ª

1º (n)

2º (n+1)

3º (n+2)

a2

22 p b 2

c2

2a 2

b2

22 p +1 c 2

22 p +1 a 2

b2

2c 2

(Donde a, b y c son unos ciertos números naturales) Para cada una de estas posibilidades, será: c 2 , que no se verifica para ningunos a y c • Para la 1ª: debería ser a 2 + 2 = (naturales). 2 b 2 − 1 , o sea 2a 2 =(b + 1)(b − 1) , que no es posible, ya • Para la 2ª: debería ser 2a= que b + 1 y b − 1 son pares, luego el 1er miembro debería ser divisible por 4, y no lo es. 2c 2 , o sea (2 p a) 2 + 1 =c 2 , que no se verifica • Para la 3ª: debería ser 22 p +1 a 2 + 2 =

para ningunos 2 p a y c (naturales). Así pues, los tres números buscados no existen.

Ejercicio (sobre un cuadrado) II  

Enunciado y respuesta

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