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Segundo Ciclo del Nivel Básico

MÓDULO 5 El espacio tridimensional Taller 1 Poliedros. Área lateral y total

Autoras Dra. Leandra Tapia Dra. Nurys del Carmen González Febrero 2012


Printcorp Servicios Grรกficos Corporativos, S.R.L.


Centro de Estudios Educativos CEED

CONTENIDO


CONTENIDO El espacio tridimensional

Módulo 5 El espacio tridimensional

9

Descripción

9

Propósitos

9

Contenidos

10

Productos del módulo

11

Bibliografía y otros recursos

11

Duración

11

Taller 1 Poliedros. Área lateral y total

15

Actividad 1

15

Actividad 2

16

Actividad 3

17

Actividad 4

18

Actividad 5

19

Actividad 6

21

Actividad 7

24

Actividad 8

25

Actividad 9

26

Actividad 10

28

Actividad 11

29

Actividad 12

31

Actividad 13

33

Actividad 14

34

Actividad 15

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Anexo

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MĂ“DULO 5 El espacio tridimensional


MÓDULO 5 El espacio tridimensional

DESCRIPCIÓN En este taller se analizan las características y propiedades de cuerpos geométricos. Se trabaja cómo utilizar la visualización, el razonamiento espacial y los modelos geométricos para resolver problemas, las unidades de medidas de volumen, el Sistema Métrico Decimal. Se aplicarán técnicas apropiadas, herramientas y fórmulas para determinar medidas de volumen utilizando unidades estándares y no estándares.

En el desarrollo de este taller los participantes aprenderán a utilizar materiales concretos que apoyen la construcción de los diferentes contenidos, así como el manejo de las diferentes unidades de medidas de volumen. También construirán recursos para desarrollar estos contenidos con sus estudiantes. Se analizarán estrategias adecuadas para la construcción de los contenidos estudiados.

PROPÓSITOS Construir el concepto de volumen de un cuerpo. Identificar, clasificar y construir cuerpos geométricos. Conocer los sólidos y sus desarrollos planos. Conceptuar y calcular áreas lateral y total, y volúmenes de los cuerpos estudiados. Conocer y utilizar unidades cúbicas del Sistema Métrico Decimal. Estimar volúmenes. Explicar, argumentar y justificar razonamientos y conclusiones. Valorar la potencia de la geometría para describir, analizar y entender el mundo que nos rodea. Conocer y utilizar estrategias de aprendizaje por descubrimiento. Conocer los principales recursos de apoyo al aprendizaje, como el metro cúbico, para la enseñanza-aprendizaje de contenidos geométricos y de medidas y utilizarlos correctamente. Diseñar y ejecutar propuestas teórico-prácticas basadas en actividades manipulativorepresentativas para el desarrollo de contenidos geométricos.

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CONTENIDOS Contenidos

Eje temático • • • • • • •

Conocimiento

Comunicación

• • •

Resolución de problemas y Toma de decisiones

• • Razonamiento matemático

• • • •

Conexiones

• • • •

Apreciación de la matemática

• •

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Concepto de volumen. Cuerpos geométricos. Clasificación. Volumen de cuerpos geométricos. Área lateral y área total de cuerpos geométricos. El metro cúbico. Aprendizaje por descubrimiento. Explicación oral y escrita de los procesos seguidos en las construcciones y mediciones. Interpretación y seguimiento de instrucciones escritas. Lectura y análisis de información. Resolución de problemas. Utilización de diferentes estrategias en la solución de problemas. Uso de los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado y del pie cuadrado para resolver problemas. Medición y estimación de volúmenes utilizando el metro cúbico, entre otros. Construcción de la fórmula para obtener el volumen de cuerpos geométricos. Utilización de informaciones para generar respuestas. Justificación de respuestas. Medición de volúmenes utilizando el metro cúbico y unidades arbitrarias. Resolución de situaciones problemáticas de la matemática y de la vida cotidiana. Análisis de los contenidos del curso en que enseña. Diseño de actividades para sus estudiantes. Escucha y sigue orientaciones verbales del profesor. Respeto de los turnos de compañeros y compañeras Valoración de los aportes de la matemática a nuestra vida cotidiana. Valoración y disfrute de relacionar lo que aprende con su trabajo como docente.

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Conceptuales

Procedimentales

Actitudinales

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ACTIVIDADES Taller 1. Poliedros. Área lateral y total. Taller 2.Conos, cilindros y esferas. Volumen.Unidades cúbicas. Taller 3. Volumen de cuerpos geométricos.

PRODUCTOS DEL MÓDULO Diseño de actividades para sus estudiantes. Construcción de modelos de desarrollo plano de prismas. Construcción de un metro cúbico. Construcción de modelos de cuerpos geométricos.

BIBLIOGRAFÍA BASICA SEEC. (1995). Nivel Básico. Serie Innova 2000, 5. Libros de texto de los grados en que enseñan los docentes. Guías de los talleres. Modelos de cuerpos geométricos. Metro cúbico. Cinta métrica.

DURACION 24 horas

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TALLER 1 Poliedros. Área lateral y total

Simbologías Trabajo Individual Trabajo en Pareja Trabajo en Grupo Puesta en Común


Taller 1 Poliedros. Área lateral y total

ACTIVIDAD 1 Cuerpos geométricos Observe a su alrededor, identifique objetos que tengan la forma de cuerpos geométricos. Observe las fotografías siguientes, ¿qué cuerpo geométrico representa cada una?

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ACTIVIDAD 2 Los poliedros De los cuerpos identificados en la actividad anterior, ¿cuáles tienen sus lados con forma de polígonos?

¿Qué nombre reciben estos cuerpos?

Dibujen uno de ellos y escriban su nombre.

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos llamados caras. Se llama arista a cada una de las rectas que unen dos caras de un poliedro. Se denomina vértice a cada punto común a tres o más aristas de un poliedro. Vétice Base

Cara lateral

Arista

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Altura

Base

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ACTIVIDAD 2 ¿Cuál es el origen de la palabra poliedro?

Los poliedros toman su nombre de acuerdo a la cantidad de caras que tienen. ¿Cómo se denomina un poliedro de seis caras? ¿Qué es un pentaedro?

¿Qué es un dodecaedro?

¿Cuál es la menor cantidad de caras que puede tener un poliedro?

ACTIVIDAD 3 Poliedro regular Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos congruentes entre sí. Hay cinco poliedros regulares:

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Identifica cuáles de estos poliedros se encuentran en la caja de cuerpos geométricos.

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ACTIVIDAD 4 Prismas Observe el cuadro siguiente, ¿Son poliedros? Justifique su respuesta.

¿Cuántas caras tiene cada uno? ¿Cuáles son prismas?

¿En qué se parecen los poliedros que son prismas de los que no son prismas?

¿En qué se diferencian?

Éstos dos sólidos SON Prisma

Éstos dos sólidos NO SON prismas

Tome la hoja de patrones dados, recorte el patrón dado y construya un prisma. Imagínese que conversa por teléfono con un amigo, ¿cómo le describiría lo que es un prisma? Escríbalo.

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ACTIVIDAD 5 Nombre de los Prismas Observen uno de los prismas de la caja de materiales. Señalen sus bases. ¿Son los polígonos de ambas bases?

¿Cómo están dispuestas las bases?

Los polígonos también se clasifican según el tipo de polígono que sea su base, según sea el polígono de su base (regular o irregular) y según el tipo de paralelogramo que tengan en sus caras laterales. Según el polígono que forma cada una de sus bases. Completen la tabla:

Nombre de los prismas

Prisma triangular

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ACTIVIDAD 5 Según el polígono de su base son regular e irregular.

Tipos de prismas

Prisma regular

Prisma irregular

Según el tipo de paralelogramo que forme sus caras laterales:

Tipos de prismas

Prisma recto

Prisma oblicuo

Un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares. Un prisma es irregular si sus bases son polígonos irregulares. Un prisma es recto si sus caras laterales son rectángulos o cuadrados. Un prisma es oblicuo de sus caras laterales son romboides o rombos.

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ACTIVIDAD 6

Caras, vértices y aristas Observen los prismas construidos, luego completen la tabla siguiente:

Tipo de prisma

1-Lados polígono base

2-Número de vértices

3-Número de caras

4-Número de aristas

Triangular Rectangular Pentagonal Hexagonal

… Base de n lados

¿Observan algún patrón en estos números? Le ayudaremos a encontrarlo: Observe el polígono de base de cada prisma y la columna de los vértices. El número de vértices, ¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?

Tipo de prisma

1-Lados polígono base

Triangular

3

Rectangular

4

2-Número de vértices 6

¿Cómo se obtiene 2 a partir de 1? 2 x 3 = 6 vértices 2x4=8

Pentagonal Hexagonal … Base de n lados

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ACTIVIDAD 6 De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántos vértices tendrá el prisma? ¿Y si tiene 20? ¿Y si tiene n lados? Escriban la regla que permite obtener el número de vértices de un prisma conociendo el tipo de prisma.

Observe el polígono de base de cada prisma y la columna de las caras, el número de vértices, ¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?

Tipo de prisma

1-Lados polígono base

3-Número de caras

¿Cómo se obtiene 3 a partir de 1?

Triangular Rectangular Pentagonal Hexagonal … Base de n lados De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántas caras tendrá el prisma? ¿Y si tiene 20? ¿Y si tiene n lados? Escriban la regla que permite obtener el número de caras de un prisma conociendo el tipo de prisma.

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ACTIVIDAD 6 Observe el polígono de base de cada prisma y la columna del número de aristas, el número de vértices, ¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?.

Tipo de prisma

1-Lados polígono base

4-Número de aristas

Triangular

3

9

Rectangular

4

12

Pentagonal

5

15

Hexagonal

6

18

n

3n

¿Cómo se obtiene 4 a partir de 1?

… Base de lado n

De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántas aristas tendrá el prisma?

¿Y si tiene 20?

¿Y si tiene n lados?

Escriban la regla que permite obtener el número de aristas de un prisma conociendo el tipo de prisma.

Escriba la regla general que establece el número de vértices, caras y aristas que tiene un prisma según el número de lados que tenga la base.

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ACTIVIDAD 7 Aplicación Suponga que construye un prisma que tenga una base como ésta:

Sin construir el prisma, ¿cómo puede averiguar saber cuántas caras, vértices y aristas tiene?

Julia ha hecho un prisma que tiene 24 aristas. Descríbalo.

Responda cada pregunta. Justifique sus respuestas. Un prisma: ¿Puede un prisma tener cuatro caras?

¿Puede un prisma tener cinco caras?

¿Puede un prisma tener seis caras?

¿Puede un prisma tener siete caras?

¿Puede un prisma tener ocho caras?

¿Cuál es el menor número de caras que puede tener un prisma?

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ACTIVIDAD 8

Área lateral y área total Resuelvan la situación siguiente: Se desea empacar regalos para obsequiar a las madres de los estudiantes del 7º de la escuela Enriquillo. Para el empaque se necesitan cajas como la siguiente, ¿Qué cantidad de cartón se necesita para construir una caja igual que esta?.

5 cm

3 cm 7 cm

En una caja de este tamaño, ¿qué tipo de regalo se podrá empacar?

¿Qué pueden hacer para averiguarlo?

¿Cómo resulta más sencillo averiguarlo?

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ACTIVIDAD 9 Área de la superficie del prisma Una de las formas que puede resolverse el problema anterior es como sigue: se puede calcular el área de cada cara de la caja o prisma. Así, para calcular la cantidad de cartón necesario para construir la caja se puede seguir el procedimiento siguiente:

5 cm

3 cm 7 cm

Puede obtenerse calculando el área de cada cara que lo forma. Cada una de las seis caras que lo forman es un rectángulo. Por tanto,

5 cm

5 cm

3 cm

3 cm

7 cm

7 cm

Calculamos el área de cada cara por separado: 7 cm 3 cm

5 cm

Área = 3 cm x 7 cm = 21

7 cm Área = 5 cm x 7 cm= 35 cm2 5 cm

Área = 3 cm x 5 cm = 15 cm2 3 cm 7 cm

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ACTIVIDAD 9 Recuerden que son seis caras y que las caras opuestas tienen igual superficie. Por tanto, el área total será: 2

2

2

2

2

2

2

Área Total: 35 cm + 35cm + 21cm + 21 cm + 15 cm + 15cm = 142 cm O lo que es lo mismo: 2

2

2

2

Área Total: 2x35 cm + 2x 21cm + 2x15 cm = 142 cm

De este resultado se desprende que el área total es 142 cm2 y la misma incluye las áreas de las caras laterales más las dos caras de las bases.

Otra forma de averígualo es como sigue:

5cm

5 cm

3cm 7cm 7 cm 3 cm 3

5

3

5

¿Qué polígono forman las caras laterales de un prisma cuando éste se desarrolla?

El área lateral es el área del rectángulo de la derecha. La base es este rectángulo es el perímetro de la base del prisma, ¿por qué?

La altura del rectángulo que forman las caras laterales es la altura del prisma. Por lo tanto el área lateral es: A Lateral = Pb× h, entonces, P = 3 cm + 3cm + 5 cm + 5 cm P= 16 cm A Lateral = 16 cm×7 cm A Lateral= 112 cm 2

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ACTIVIDAD 9 El área total se obtiene sumando al área lateral el área de las dos bases del prisma. Como el prisma es cuadrangular se tiene: 3 cm × 5 cm = 15 cm2,

Como son dos polígonos iguales entonces el área total es: ÁreaTotal = A Lateral + 2(3 cm × 5 cm) ÁreaTotal = 112 cm 2 + 30 cm2 ÁreaTotal = 142 cm2

área lateral de un prisma es el perímetro de la base por la altura del prisma:

A Lateral = PBase× altura El área total de un prisma esel área lateral más dos veces el área de la base:

ATotal = A Lateral + 2 ABase

ACTIVIDAD 10 Aplicación D’

C’

A’ B’

Calculen el área total del prisma siguiente si la arista AB mide 8 pulgadas, la arista BB´ mide 15 pulgadas y la arista BC mide 3 pulgadas. C A B

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ACTIVIDAD 10 Calculen el área lateral y el área total de los prismas siguientes:

a-

b-

c-

5 cm

6 cm 24 cm

4cm 14 cm

10 cm

4 cm 6 cm

6 cm

ACTIVIDAD 11 Pirámides Observe los objetos y monumentos de las fotografías siguientes, ¿qué forma tienen?:

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ACTIVIDAD 11 ¿Qué es la base de una pirámide?

¿Qué forma tienen las caras laterales?

Los elementos notables de las pirámides son:

vértice arista lateral

altura

apotema cara lateral

base arista básica Qué clase de triángulos son las caras laterales de una pirámide regular?, ¿por qué?

Observen una de las pirámides de la caja de materiales. Tiene ____ vértices, esto es, hay ____ puntos donde se juntan las caras. ¿Cuántas aristas tiene? Tiene _____ aristas, esto es, hay ____ bordes. En cada borde o arista se juntan dos caras. La pirámide observada se llama _________ porque tiene un _________________ en su base, tiene _____ triángulos como caras laterales.

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ACTIVIDAD 11 ¿Podría construir un sólido que sea a la vez una pirámide y un prisma? ¿Por qué si o por qué no?

Compare las pirámides con los prismas. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?

ACTIVIDAD 12 Vértices, caras y aristas Observen las pirámides de la caja de materiales, luego completen la tabla siguiente mostrando la relación entre el número de lados de la base, los vértices, las caras y las aristas de la pirámide:

Tipo de pirámide

Lados polígono base

Número de vértices

Número de caras

Número de aristas

Triangular Rectangular Pentagonal Hexagonal …

Base de n lados

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ACTIVIDAD 12 Observen el patrón que se genera y respondan: De lo anterior, si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántos vértices tendrá la pirámide?

¿Y si tiene 17?

¿Y si tiene n lados?

Si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántas caras tendrá la pirámide?

¿Y si tiene 17?

¿Y si tiene n lados?

Si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántas aristas tendrá la pirámide?

¿Y si tiene 17?

¿Y si tiene n lados?

Escriba la regla general que establece el número de vértices, caras y aristas que tiene una pirámide según el número de lados que tenga su base.

José dice que ha hecho una pirámide con 13 aristas, pero que se le ha olvidado en su casa. ¿Le crees? ¿Por qué si o por qué no?

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ACTIVIDAD 13 Área total de una pirámide Observen las ilustraciones siguientes, ¿qué representan?.

La figura anterior muestra una pirámide regular y su desarrollo. Como puede observar, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. ¿Cuáles son las áreas que debemos calcular?

Si b es la base de cada cara lateral y a su apotema (altura de cada triángulo), entonces el área de cada cara es A = b x a , que es el área del triangulo. 2

¿Cómo puede calcular el área de los 5 triángulos que forman la superficie lateral de la pirámide? Puede observar que 5b x a el área de los 5 triángulos que conforman la superficie lateral de la

2

pirámide. Observe que 5b es el perímetro de la base de la pirámide. Por tanto, el área de la superficie lateral es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema:

p´a 2

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ACTIVIDAD 13 El área lateral de la pirámide es: A Lateral = p x a

2

El área total de la pirámide es: A Total = p x a + B

2

B = área de la base

ACTIVIDAD 14 Aplicación Halle el área lateral y el área total de una pirámide cuya base es un cuadrado de 3 pies de lado si su apotema mide 8 pies. Halla el área lateral y el área total de las pirámides siguientes:

18 cm

15 cm

7 cm

7 cm 7 cm

7 cm 12 cm

La base de una pirámide regular es un pentágono de 14cm de lado. Si la apotema del polígono base es 10cm y la altura de la pirámide 32cm, ¿cuál es su área total? El área total de una pirámide hexagonal es 520cm2. Si la base tiene un área de 81cm2, ¿cuál es su área lateral?.

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ACTIVIDAD 15 Tarea 1.Traer el metro cuadrado que construyeron en el módulo 3. Lo necesitarán para una actividad del Taller 2 2. Construir un cubo de 1 dm de lado y un cubo de 1 cm de lado. 3. Clasifique los siguientes prismas de acuerdo a sus bases:

3. Busquen en el libro de texto del grado cómo trabaja los temas anteriores. Analicen: Cuáles de estos temas se trabajan. Cuáles actividades proponen. Después de trabajado este taller, ¿cuáles actividades agregarían? Realice todos los ejercicios planteados. ¿Pudo resolverlos? ¿Qué estrategia puede utilizar para resolverlos? Una de las estrategias que puede utilizar es ingresando al foro propuesto en el blog del diplomado. Puede ingresar y realizar sus consultas en: Blog del Diplomado: http://www.matematicaparadocentes.blogspot.com/ Correo electrónico del módulo: ensenanzadelamatematica.intec@gmail.com Todos los que ingresen y consulten al foro recibirán 10 puntos extras en la evaluación del módulo

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ANEXO Las gráficas siguientes muestran el desarrollo de varios prismas. Haz estos dibujos en una cartulina, recórtalos y construye los prismas. Las líneas de trazos indican las pestañas para pegar.

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ANEXO

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ANEXO

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Impreso en Santo Domingo, Reública Dominicana Por Printcorp Servicios Gráficos Corporativos, S.R.L. 750 Ejemplares

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