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Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL SISTEMAS DE COORDENADAS NOS PERMITEN RELACIONAR ALGUNOS ASPECTOS DE LA FÍSICA CON POSICIONES EN EL ESPACIO z

( x, y , z ) y

EXISTEN VARIOS SISTEMAS DE COORDENADAS, EL QUE MÁS UTILIZAREMOS ES EL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS EN ESTE SISTEMA ENCONTRAMOS TRES EJES COORDENADOS, EL EJE X, EL EJE Y Y EL EJE Z EN ÉL, CUALQUIER PUNTO ESTÁ REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (X,Y,Z)

x

r θ

( r ,θ )

OTRO SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO ES EL DE COORDENADAS POLARES PLANAS AQUÍ, UN PUNTO ES REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (r,θ)

Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES 1) CANTIDAD ESCALAR ESTÁ ESPECIFICADA POR UN VALOR CON LA UNIDAD APROPIADA EJEMPLOS: TEMPERATURA (T) – VOLUMEN (V) – MASA (m O M) – TIEMPO (t) ESTE TIPO DE CANTIDADES PUEDEN TENER UN VALOR POSITIVO, UN VALOR NEGATIVO O PUEDEN SER CERO LA TEMPERATURA PUEDE SER POSITIVA (30 ºC), PUEDE SER NEGATIVA (-5 ºC) Y PUEDE SER CERO (0 ºC) MIENTRAS QUE EL TIEMPO, PUEDE SER CERO O POSITIVO (3 min)

SUS OPERACIONES MATEMÁTICAS SE REALIZAN UTILIZANDO LAS REGLAS DE LA ARITMÉTICA

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ALGEBRA VECTORIAL CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES 2) CANTIDAD VECTORIAL ES AQUELLA QUE POSEE TANTO MAGNITUD COMO DIRECCIÓN Y SENTIDO. ES DECIR, ES UN VECTOR EJEMPLOS: VELOCIDAD (v) – DESPLAZAMIENTO (∆r) – FUERZA (F) (AQUÍ DENOTAREMOS A LOS VECTORES CON UNA LETRA EN AMARILLO O CON UNA LETRA Y UNA FLECHA ARRIBA)

ESTE TIPO DE CANTIDAD SE REPRESENTA CON UNA FLECHA EJEMPLO:

r A EXTREMO O PUNTA

ORIGEN Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR: a) MAGNITUD O MODULO: REPRESENTA EL TAMAÑO DEL VECTOR Y SIEMPRE ES UN VALOR POSITIVO

r F

F SE DENOTA CON LA LETRA DE LA MAGNITUD FÍSICA SIN LA FLECHA O CON LA NOTACIÓN DEL VECTOR, ENTRE BARRAS DE VALOR ABSOLUTO EJEMPLO: VECTOR:

r F

MAGNITUD O MODULO: F O

r F

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ALGEBRA VECTORIAL CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR: b) DIRECCIÓN: PUEDE SER HORIZONTAL, VERTICAL O INCLINADA

c) SENTIDO: PUEDE SER HACIA LA DERECHA, HACIA LA IZQUIERDA, HACIA ARRIBA, HACIA ABAJO, SALIENDO DE LA HOJA, ENTRANDO A LA HOJA, ENTRE OTROS SIMBOLO QUE INDICA QUE UN VECTOR ESTÁ SALIENDO DE LA HOJA X

SIMBOLO QUE INDICA QUE UN VECTOR ESTÁ ENTRANDO A LA HOJA

GENERALMENTE, TANTO LA DIRECCIÓN COMO EL SENTIDO DEL VECTOR, SE ENGLOBAN EN UN SOLO TÉRMINO DENOMINADO DIRECCIÓN, Y ES REPRESENTADO POR UN ÁNGULO

Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL COMPONENTES DE UN VECTOR ¿DE QUÉ MANERAS PODEMOS REPRESENTAR A UN VECTOR?

EN ESTE CURSO, LO REPRESENTAREMOS DE 2 FORMAS: 1) CON SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN (ÁNGULO) EJEMPLO: MAGNITUD: 3 N DIRECCIÓN: 65º EN SENTIDO ANTIHORARIO A PARTIR DE +X 2) CON SUS COMPONENTES ESTA REPRESENTACIÓN LA EXPLICAREMOS A CONTINUACIÓN

Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL COMPONENTES DE UN VECTOR SI UN VECTOR ESTÁ REPRESENTADO A TRAVÉS DE SU MAGNITUD Y SU DIRECCIÓN, ES POSIBLE REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANO DE LA SIGUIENTE MANERA:

y

r AY

AX Y AY SON LAS COMPONENTES DEL VECTOR A

r A θ

r Ax

EN ESTE CASO EL VECTOR ESTÁ EN EL PLANO, PERO PUEDE ESTAR EN EL ESPACIO, MÁS ADELANTE EXPONDREMOS ESTA SITUACIÓN

x

LA FIGURA MUESTRA QUE AL TRAZAR LAS LÍNEAS PARA OBTENER LAS PROYECCIONES DEL VECTOR (LÍNEAS SEGMENTADAS), SE FORMAN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON CUALQUIERA DE LOS TRIÁNGULOS, ES POSIBLE DETERMINAR EL VALOR DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR. A ESTE PROCEDIMIENTO LO LLAMAMOS “DESCOMPOSICIÓN DEL VECTOR” Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL COMPONENTES DE UN VECTOR EN BASE AL TRIÁNGULO FORMADO POR A, AX Y LA LÍNEA SEGMENTADA VERTICAL, CALCULAREMOS LAS MAGNITUDES DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR A

y

r AY

r A θ

r Ax

Senθ =

C.O. AY = h A

Cosθ =

C. A. AX = h A

x

ESTAS ECUACIONES DEPENDEN DEL ÁNGULO QUE SE CONOZCA, POR LO QUE ES MUY IMPORTANTE APRENDER A DEDUCIR DICHAS ECUACIONES, ANTES DE MEMORIZARLAS

Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL COMPONENTES DE UN VECTOR EL PROCEDIMIENTO QUE REALIZAMOS EN LA PARTE ANTERIOR NO ES MÁS QUE LA TRANSFORMACIÓN DE UN TIPO DE REPRESENTACIÓN DEL VECTOR (MAGNITUD-DIRECCIÓN), A LA REPRESENTACIÓN DEL VECTOR A TRAVÉS DE SUS COMPONENTES TAMBIÉN ES POSIBLE REALIZAR EL PROCESO INVERSO; PASAR DE LAS COMPONENTES A LA MAGNITUD-DIRECCIÓN LAS COMPONENTES DEL VECTOR AX Y AY, REPRESENTAN LOS CÁTETOS DEL TRIÁNGULO, APLICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS:

y

r AY

r A θ

DIRECCIÓN:

MAGNITUD:

r Ax Tgθ =

x

h = CO 2 + CA2 r 2 2 A = AX + AY

A  CO AY ⇒ θ = Tg −1  Y  = CA AX  AX  Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL VECTORES UNITARIOS LAS CANTIDADES VECTORIALES SUELEN REPRESENTARSE EN TÉRMINOS DE VECTORES UNITARIOS UN VECTOR UNITARIO ES AQUEL QUE TIENE UNA MAGNITUD IGUAL A UNO, Y NO TIENE DIMENSIONES (ES ADIMENSIONAL) ESTOS VECTORES SON UTILIZADOS PARA ESPECIFICAR UNA DIRECCIÓN DETERMINADA EXISTEN TRES VECTORES UNITARIOS QUE SE ENCUENTRAN DIRIGIDOS HACIA LA PARTE POSITIVA DE LOS EJES COORDENADOS X, Y, Z. r r r z SON DENOTADOS COMO i , j , k ,COMO SE MUESTRA

r i x

r k r j

y

UN VECTOR REPRESENTADO CON SUS COMPONENTES, USA ESTOS VECTORES UNITARIOS, DE LA SIGUIENTE MANERA:

r r r r A = AX i + AY j + AZ k

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ALGEBRA VECTORIAL VECTORES UNITARIOS POR OTRA PARTE, A CUALQUIER VECTOR LE PODEMOS DETERMINAR SU VECTOR UNITARIO

r A

r uA

ES DECIR, AQUEL VECTOR CON MAGNITUD UNO Y QUE APUNTARÁ HACIA DONDE APUNTE EL VECTOR DE DONDE SE OBTUVO ESTE VECTOR UNITARIO EL VECTOR UNITARIO DE CUALQUIER VECTOR SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE MANERA:

r r r r DADO EL VECTOR: B = BX i + BY j + BZ k r uB , (VECTOR UNITARIO DEL VECTOR B), SE DETERMINA ASÍ: r r r B , DONDE 2 2 2 B = BX + BY + BZ uB = r B r r r r B i +B j+B k ⇒ uB = X 2 Y 2 Z 2 BX + BY + BZ Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL COSENOS DIRECTORES REPRESENTAN LOS COSENOS DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR UN VECTOR QUE SE ENCUENTRA EN EL ESPACIO (TRIDIMENSIONAL), Y CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS z

γ x

α

r C

C Cosα = rX C

β y

C Cosβ = rY C C Cosγ = rZ C

RECUERDA QUE:

r 2 2 2 C = C X + CY + CZ

ESTOS COSENOS DIRECTORES ESTÁN RELACIONADOS DE LA SIGUIENTE MANERA:

Cos 2α + Cos 2 β + Cos 2γ = 1 Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL IGUALDAD DE DOS VECTORES DOS VECTORES SON IGUALES SI Y SÓLO SI TIENEN: LA MISMA MAGNITUD, LA MISMA DIRECCIÓN Y EL MISMO SENTIDO DEL GRUPO DE VECTORES QUE SE MUESTRAN, ¿CUÁLES SON IGUALES ENTRE SI?

r B

r A r D

r G

A = C, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO

r C

r E r F

B Y F SÓLO TIENEN IGUAL LA DIRECCIÓN D = G, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO D Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD G Y E DIFIEREN EN LA MAGNITUD Elaborado por: Ing. Inés Cedeño


ALGEBRA VECTORIAL VECTOR OPUESTO EL VECTOR OPUESTO DE OTRO VECTOR, ES AQUEL QUE TIENE LA MISMA MAGNITUD Y LA MISMA DIRECCIÓN, PERO SENTIDOS CONTRARIOS

r B

r A r D

r G

A Y C, SON VECTORES OPUESTOS B Y F TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD

r C

r E r F

D Y E TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD D = G, IGUALES EN MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO E Y G TIENEN SENTIDOS OPUESTOS, PERO DIFIEREN EN MAGNITUD

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Fatla Teoría de Vectores [Modo de compatibilidad]  

Elaborado por: Ing. Inés Cedeño EN ÉL, CUALQUIER PUNTO ESTÁ REPRESENTADO POR SUS COORDENADAS (X,Y,Z) OTRO SISTEMA DE COORDENADAS UTILIZADO E...

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