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Corso di Geometria, a.a. 2009/2010, foglio 4 1) Per i seguenti sistemi AX = B si svolgano le operazioni seguenti: a) ridurre a scala la matrice completa; b) dedurre l’esistenza o meno di soluzioni; c) in caso esistano soluzioni, descrivere, utilizzando il teorema di Rouch´e-Capelli, l’insieme delle soluzioni. d) per i sistemi I),II),IV),V), in caso esistano soluzioni, calcolarle esplicitamente nella forma descritta al punto c). ! ! ! ! 1 2 −4 1 2 −3 −4 −6 10 , II) A = −4 −6 10 , I) A = eB= eB= 3 −1 9 3 −1 ! 9 !   1 1 1 1 1 −4 −3 1 0 1 1 2 III) A = 2 −6 −1 2 e B ∈ R2 , IV) A = eB= 1 1 0 3     1 1 1 1 1 V) A = 2 1 1 0 e B = 2 , VI) A ∈ M2,4 (R) di rango 2 e b = 0. 2) Determinare per quali ( valori del parametro t il seguente sistema `e risolubile e per tali valori x+y+z =1 x + ty + z = 2 determinarne le soluzioni: 2x − 2y + 3z = 3 3) Determinare per quali valori del parametro t il seguente sistema ammette un’unica soluzione. Per i valori di t tali che la soluzione non `e unica trovare condizioni su a, b, c, necessarie e sufficienti per ( x + y + tz = a x + ty + z = b l’esistenza di soluzioni: tx + y + z = c 4) Determinare per quali valori di k il seguente sistema lineare `e risolubile e per tali valori descrivere   x + 2y + z + t = −1 x + y − z + 2t = 1 l’insieme delle soluzioni:  2x + ky + kt = 0 −kx − 2z + kt = 2 Se ci sono valori di k tali che la soluzione non `e unica, determinare per tali valori l’insieme delle soluzioni.    2  2 3 −4 −2 2 2 3 −2   −1 1 −3 5) Siano A =  1 3 −2 −2 3 , B =  k . −3 2 7 −k 2 −1 3 a) Determinare per quali valori di k si ha B appartenente allo Span delle colonne di A; b) Per i valori di k tali che: B appartiene allo Span delle colonne di A e A NON ha rango 4, descrivere, utilizzando il teorema di Rouch`e–Capelli, l’insieme {X ∈ R5 | AX = B}.  1 1 3   −2  0 h 1 −1 6) Svolgere l’esercizio precedente considerando A =  −2 5 1 , B =  −3 . −2 3 −1 k a) Determinare per quali valori di h e k si ha B appartenente allo Span delle colonne di A; b) Per i valori di h e k tali che: B appartiene allo Span delle colonne di A e A NON ha rango 3, descrivere, utilizzando il teorema di Rouch`e–Capelli, l’insieme {X ∈ R3 | AX = B}.  1 0 −5 −2   4  1 k 0 3  −1 7) Siano A =  2 1 1 , B =  1 . k 0 1 1 1 h a) Determinarne la dimensione di Ker (A) al variare di k. b) Discutere al variare di h e k la risolubilit`a del sistema AX = B. Per i valori di h, k per cui il sistema `e risolubile, descrivere, utilizzando il teorema di Rouch`e-Capelli, l’insieme delle soluzioni.

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! a d e 0 b f 8) Sia A = con abc 6= 0. Si consideri il sistema lineare AX = B con X, B ∈ R3 . Quale 0 0 c delle seguenti affermazioni `e vera? a) il sistema ammette un’unica soluzione per ogni B b) il sistema ammette un’unica soluzione per qualche B c) esiste B tale che il sistema non ammette soluzioni d) esiste B tale che il sistema ammette infinite soluzioni n x + ky = 1 9) Il sistema kx + y = −1 a) ammette infinite soluzioni per un solo valore di k b) ammette infinite soluzioni per due valori di k c) ammette infinite soluzioni per ogni valore di k d) `e risolubile per ogni k 10) Si consideri il sistema AX = B con A ∈ M3×3 e B ∈ R3 . Se il sistema `e risolubile e la soluzione non `e unica si ha necessariamente a) rango(A) =rango(A|B) < 3 b) rango(A) =rango(A|B) = 3 c) rango(A) =rango(A|B) ≤ 3 d) rango(A) <rango(A|B) 11) Si consideri il sistema AX = B con A ∈ M2×4 e B ∈ R2 . Quale delle seguenti affermazioni `e vera? a) se rango(A) =rango(A|B) il sistema `e risolubile e ci sono infinite soluzioni b) se rango(A) =rango(A|B) = 2 il sistema `e risolubile e la soluzione `e unica c) il sistema ammette infinite soluzioni solo se rango(A) <rango(A|B)

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Foglio 5  

Esercizi Geometria 1 - Migliorini

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