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Corso di Geometria a.a. 2009/10, foglio 1 Nei seguenti esercizi V indica lo spazio dei vettori dello spazio tridimensionale 1) Siano u e v in V linearmente indipendenti, allora u 6= 0 e v 6= 0. Discutere l’affermazione, se vera dimostrarla, se falsa trovare un controesempio. 2) a) Siano u, v, w ∈ V linearmente indipendenti, allora u 6= 0, v 6= 0 e w 6= 0. Discutere l’affermazione, se vera dimostrarla, se falsa trovare un controesempio. b) Se u, v, w ∈ V sono linearmente indipendenti, allora sono a due a due non paralleli. Discutere l’affermazione, se vera dimostrarla, se falsa trovare un controesempio. 3) Siano u, v, w ∈ V a due a due linearmente indipendenti. Allora {u, v, w} `e una base di V . Discutere l’affermazione, se vera dimostrarla, se falsa trovare un controesempio. 4) Sia {v1 , v2 , v3 } una base di V . Siano u = 2v1 − 3v2 + v3 , v = v1 − 7v2 − 3v3 , w = v1 + v2 . Determinare le coordinate di z = 2u − 3v, rispetto alla base {v1 , v2 , v3 }. a) I vettori {u, v, z} sono linearmente indipendenti? sono un sistema di generatori? Qual’ `e la dimensione di Span{u, v, z}? b) I vettori {u, v, 0} sono linearmente indipendenti? sono un sistema di generatori? Qual’ `e la dimensione di Span{u, v, 0}? c) I vettori {u, v, w} sono linearmente indipendenti? Sono un sistema di generatori? Qual’ `e la dimensione di Span{u, v, w}? d) E’ possibile scrivere w come combinazione lineare di {u, v, z}? e) Determinare, se possibile, le coordinate di v1 rispetto a {u, v, w}. 5) Sia {v1 , v2 , v3 } una base di V . Siano u = av1 + v3 , v = −2v1 + v2 + v3 , w = 3v1 + v2 + av3 , determinare per quali valori di a i vettori u, v, w costituiscono una base di V . 6) Sia {v1 , v2 , v3 } una base di V . I vettori {v1 , v2 + v1 , v1 + v2 + v3 } sono ancora una base di V ? I vettori {v2 + v3 , v1 , v1 + v2 + v3 } sono complanari? 7) Sia {v1 , v2 , v3 } una base di V . Siano u = v1 + 3v2 + v3 e v = v2 − 7v3 . Quali sono le coordinate dei vettori u − 2v e 3u − 5v rispetto alla base data? 8) Sia {v1 , v2 , v3 } una base di V . Siano u = v1 + v2 , v = v1 + v3 , w = v1 + v2 − v3 . I vettori {u, v, w} danno una base di V ? In caso affermativo determinare le coordinate dei vettori v1 − v3 , v1 + v2 + v3 , v1 , v2 , v3 rispetto a tale base. 1


9) Esistono in V quattro vettori non nulli a due a due ortogonali? 10) Sia w 6= 0. Determinare A = {v ∈ V | < v, w >= 0, v ∧ w = 0}. 11) Sia w 6= 0 e sia {w}⊥ = {v ∈ V | < v, w >= 0}, ossia {w}⊥ `e l’insieme dei vettori di V ortogonali a w. L’insieme {w}⊥ `e un sottospazio? Se sı qual’`e la sua dimensione? 12) Siano v e w due vettori non paralleli. Verificare che u1 = u2 = w − u1 sono ortogonali tra loro e che u1 + u2 = w

<w,v> <v,v> v

e

13) Sia {i, j, k} una base ortonormale di V positivamente orientata. Siano u = 2i − 3j + k, v = i − 2j − 2k, w = i + k, za = 3i + aj + k a) u e v sono tra loro ortogonali? u e v sono paralleli? b) Per quali valori di a i vettori u e za sono ortogonali tra loro? c) Per quali valori di a i vettori w e za sono ortogonali tra loro? d) Calcolare < u, w >, < v, w > e < 3u − 2v, w >. Il risultato trovato `e coerente con le propriet` a di linearit`a del prodotto scalare? e) Calcolare < u, u >. f) Calcolare (u ∧ v) ∧ w e u ∧ (v ∧ w). g) Esiste a tale che v e za sono paralleli? 14) Siano {u, v, w} in V tali che kvk = kuk = 1, < u, v >= 0 e w = (u + v) ∧ v. Allora {u, v, w} `e una base di V ? 15) Sia {i, j, k} una base ortonormale di V positivamente orientata. Siano v = i − j + 2k e w = 3i + j. Determinare il vettore u, proiezione ortogonale di w nella direzione di v. a) Si considerino i vettori v1 = u e v2 = w − u. Determinare v3 tale che v1 , v2 , v3 `e una base ortogonale positivamente orientata. b) Determinare le coordinate del vettore i + j + k rispetto a tale base. c) I vettori {v, w, v3 } costituiscono una base? d) Determinare il prodotto misto < v ∧w, u >? Verificare col calcolo diretto la risposta. e) Il prodotto misto < v ∧ w, v3 > `e nullo o diverso da zero? Verificare col calcolo la risposta. f) Determinare la proiezione ortogonale del vettore i − j+3k sullo Span{v, w}.

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Foglio 1 - Esercizi Geometria 1 - Migliorini