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Corso di Geometria a.a. 2009/10, Esercizi sulle forme bilineari N.B. per ragioni tipografiche i vettori di Kn saranno scritti come vettori riga 1. Sia V lo spazio dei vettori dello spazio tridimensionale, e 0 6= v0 ∈ V . Si consideri l’applicazione B : V × V −→ R

B(v, w) := hv0 , v ∧ wi.

(a) Mostrare che B `e bilineare antisimmetrica (b) Dire se B `e degenere e nel caso lo sia calcolarne il radicale. 2. Sia B : K3 × K3 −→ K la forma bilineare B ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = 6x1 y2 + 2x2 y2 + x3 y1 − 2x3 y2 . (a) Determinare la matrice di B rispetto alla base canonica e rispetto alla base B = {(1, 1, 1, ), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Si dica se B `e degenere. (b) Determinare la parte simmetrica B s e quella antisimmetrica B a di B e dire se sono degeneri. In caso affermativo determinare i loro radicali. (c) determinare una base ortogonale per B s . (d) esistono vettori isotropi per B s ? (e) Sia K = R. Quante forme quadratiche ci sono, a meno di isomorfismo, su R3 ? A quale di queste `e isomorfa la forma associata a Bs? 3. Sia V := Mn,n (K) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n. Consideriamo l’applicazione B : V × V −→ K

B(X, Y ) := (TrX)(Tr Y ).

(a) mostrare che B `e una forma bilineare simmetrica e determinarne il radicale. (b) trovare una base ortogonale per B. (c) come si pu` o generalizzare l’esercizio? (pensare allo spazio duale) 1


4. Sia B la forma bilineare su K3 definita B(X, Y ) = t XAY con   0 1 0 A =  1 0 0 , 0 0 1 e sia W := Span{(1, 1, 0), (0, 0, 1)}. (a) determinare W ⊥ (b) dire se la restrizione di B a W `e degenere, e in caso affermativo calcolarne il radicale. (c) stesse domande con W := Span{(1, 0, 0), (0, 0, 1)}. (d) esiste una base di K3 che consiste di vettori isotropi? 5. Si consideri la forma bilineare su R3 t XAY , con  1 1  1 3 A= 0 1

data da B(X, Y ) = B(X, Y ) =  0 1 . λ

per quali λ ∈ R la forma bilineare B `e un prodotto scalare (i.e. `e definito positivo)? 6. Si consideri la forma bilineare su R3 data da B(X, Y ) = t XAY , con   1 0 0 A =  0 3 1 . 0 1 2 (a) mostrare che B definisce un prodotto scalare. (b) costruire una base ortonormale per B applicando il procedimento di Gram-Schmidt alla base canonica. (c) usando il risultato del punto precedente, scrivere A nella forma t CC con C invertibile; sempre usando il risultato del punto precedente, scrivere A come prodotto di una matrice triangolare per una matrice ortogonale. 2


(d) trovare una base B che sia ortonormale per il prodotto scalare standard e ortogonale per B. 7. Sia V = Mn,n (R), e sia A una matrice simmetrica. Sia h , i il prodotto scalare su V definito hX, Y i = Tr ( t XY ). Mostrare che l’endomorfismo LA : V −→ V definito da LA (X) = AX `e simmetrico. 8. Sia V = Mn,n (R), e sia h , i il prodotto scalare su V definito hX, Y i = Tr ( t XY ). Sia T : V −→ V l’applicazione T (X) = t X. (a) T `e un endomorfismo simmetrico? (b) studiare la forma bilineare su V definita B(X, Y ) = hT (X), Y i e determinare una base di V ortonormale per h , i e ortogonale per B.

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