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Obtener los primeros términos de una susesión dado el TG, monotonía, acotamiento, convergencia o divergencia.

1. Dada la sucesión con término general: an =

n+1 n

Obtener: i) Los 10 primeros términos ii) Monotonía iii) Acotamiento iv) Convergencia o divergencia

Desarrollo: i)

Para obtener los diez primeros términos, se debe dar valores a “n”, utilizando la fórmula general, según el lugar que ocupa el término a obtener, es decir: a1 =

1+1 =2 1

a6 =

6+1 7 = = 1,16̅ 6 6

a2 =

2+1 3 = = 1,5 2 2

a7 =

7+1 8 = ≈ 1,1429 7 7

a3 =

3+1 4 = = 1, 3̅ 3 3

a8 =

8+1 9 = = 1,125 8 8

a4 =

4+1 5 = = 1,25 4 4

a9 =

9 + 1 10 = = 1, 1̅ 9 9

a5 =

5+1 6 = = 1,2 5 5

a10 =

10 + 1 11 = = 1,1 10 10

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ii) MonotonĂ­a: para establecer la monotonĂ­a hay que identificar el comportamiento de los valores que va tomando la sucesiĂłn a medida que “nâ€? crece, como lo indican los valores en el punto anterior. Los valores de la sucesiĂłn a medida que “nâ€? crece van disminuyendo, por ende es una sucesiĂłn estrictamente decreciente. Recuerda las fĂłrmulas: Si al efectuar la diferencia: đ??šđ??§+đ?&#x;? − đ??šđ??§ , ∀ đ??§ ∈ đ??? , tenemos que : i)

a n+1 â&#x2C6;&#x2019; a n < 0

Lo que implica que la sucesiĂłn es estrictamente decreciente

ii)

a n+1 â&#x2C6;&#x2019; a n > 0

Lo que implica que la sucesiĂłn es estrictamente creciente

iii) Acotamiento: para especificar si la funciĂłn es acotada hay que analizar el comportamiento de la funciĂłn en sus extremos, es decir, el mĂ­nimo y el mĂĄximo valor que podrĂ­a tener la sucesiĂłn. En este caso, como es estrictamente decreciente, tiene un valor mĂĄximo que corresponde a â&#x20AC;&#x153;2â&#x20AC;?, pero no se sabe el valor mĂ­nimo que podrĂ­a tomar esta sucesiĂłn. Una forma de verificaciĂłn es la intuitiva, es decir, identificar el comportamiento de la sucesiĂłn a medida que el valor de â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? crece. Otra forma es obtener el lĂ­mite de la sucesiĂłn cuando â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? tiende a infinito, cualquiera de estos procedimientos es vĂĄlido. En esta ocasiĂłn se utilizarĂĄ la forma intuitiva: Para averiguar quĂŠ es lo que sucede con los valores de la sucesiĂłn cuando â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? toma valores grandes, se va a realizar un procedimiento de intuiciĂłn, es decir, tanteando, como se muestra a continuaciĂłn:

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a10 =

5+1 6 = = 1,2 5 5

a1000 =

1000 + 1 1001 = = 1,001 1000 1000

a10000 =

10000 + 1 10001 = = 1,0001 10000 10000

a100000 =

100000 + 1 100001 = = 1,00001 100000 100000

Como se puede apreciar, mientras más grande sea el valor de “n”, el valor de la sucesión se acerca a 1, que en este caso es la cota inferior. Como existen las dos cotas se dice que la sucesión es acotada.

iv) Convergencia o divergencia: en este caso la sucesión es convergente, ya que la sucesión tiende a número, siendo este el 1.

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MATE22_U1_EJER1  

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