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El Álgebra es uno de los pilares más importantes de las matemáticas, por lo que el conocimiento de sus fundamentos es muy importante para el desarrollo académico de los estudiantes.

León Cárdenas

Jean le Rond D'Alembert

PATRIA

El Álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide.

SERIE UNIVERSITARIA

ALGEBRA

interactivo en esta edición

El atractivo y funcional diseño de este libro y su novedosa metodología, ofrecen una invitación a los lectores para que se acerquen a este acompañados de lápiz y papel, a fin de aprovechar al máximo la oportunidad de ejercitarse con la gran variedad de problemas propuestos que se incluyen, los cuales le ayudaran a preparar mejor sus exámenes. C

M

Y

La obra está dividida en cinco unidades. En la unidad 1 se estudian los números reales; mientras que en la unidad 2 se presenta y analiza el tema de los números complejos; la unidad 3 expone los polinomios; la unidad 4 está dedicada al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, y, por último, en la unidad 5 se aborda el tema de matrices y determinantes. Características principales del texto:

CM

Cuenta con breves, pero claras, explicaciones de cada uno de los fundamentos del Álgebra.

CMY

Se detalla cada uno de los pasos de los procesos para resolver los ejemplos que se plantean.

K

Es un libro flexible; el lector lo puede utilizar según sus propias inquietudes y necesidades.

CY

Muchos de los ejemplos y sus problemas están acompañados de una “Alerta”, que permite al estudiante estar pendiente de detalles importantes, que deberá recordar. Cuenta con más de 500 problemas para resolver, presentados en distintas categorías, según sus características; para ser resueltos con el apoyo de la tecnología o bien relacionados con la vida cotidiana del alumno. Se incluyen “Problemas reto” al final de cada unidad, con el propósito de motivar al estudiante a resolver problemas con un grado de dificultad mayor. Un CD-ROM de apoyo, que se incluye al final del libro, proporciona al estudiante una importante herramienta de estudio, debido a que en este se incluyen: presentaciones, problemas extras y documentos adicionales.

EMPRESA DEL GRUPO

www.editorialpatria.com.mx

ALGEBR A

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Javier León Cárdenas


ÁLGEBRA


ÁLGEBRA

Ing. Javier León Cárdenas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA


info

editorialpatria.com.mx

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Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Estela Delfín Ramírez Producción: Gerardo Briones González Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber Fotografías: Thinkstockphoto Diagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J. Revisión técnica: Alex Polo Velázquez Universidad Autónoma Metropolitana

Álgebra Derechos reservados: © 2014, Javier León Cárdenas © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro Núm. 43 ISBN ebook: 978-607-438-893-0 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014


Prólogo En la antigüedad, los egipcios y los babilonios utilizaron el álgebra para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de los alimentos. Hacia el siglo ix, el matemático y astrónomo persa Al-Jwarizmi desarrolló diferentes métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, por lo que es considerado el padre del álgebra. Siglos más tarde, en 1591, el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda y sencilla, que se utiliza hasta nuestros días. El álgebra es una de las ramas más importantes de las matemáticas; es considerada de gran utilidad para la vida cotidiana de cualquier persona, por esa razón es muy importante que todos los estudiantes de nivel universitario conozcan y practiquen álgebra, estos conocimientos les serán de utilidad a lo largo de toda su formación profesional. Este material de álgebra, más que un libro de texto, es un libro de apoyo para cualquier estudiante universitario que desee poner en práctica cada uno de los conceptos y principios del álgebra. Por su estructura y metodología, el lector tiene la oportunidad de desarrollar diferentes habilidades y capacidades, las cuales le serán de utilidad para la solución de distintos problemas algebraicos; en otras palabras, los estudiantes serán competentes para resolver diferentes situaciones con la aplicación del álgebra. El libro es totalmente flexible; entre sus ventajas destaca el hecho de que el alumno o el profesor pueden elegir diferentes estrategias de uso de la información del libro, y no se ven forzados a estudiar capítulo por capítulo; es decir, es posible ajustarlo a las propias necesidades de cada lector. Los problemas resueltos que se incluyen en todas las unidades de estudio, ofrecen al alumno la posibilidad de entender, paso a paso, la solución a dichos problemas, proporcionando las herramientas necesarias para resolver, él mismo, los problemas que se encuentran al final de cada unidad. La obra se divide en cinco unidades. La unidad 1 está dedicada al estudio de los números reales; mientras que en la unidad 2 se presenta y analiza el tema de los números complejos; en la unidad 3 se expone el tema de los polinomios; la unidad 4 está dedicada al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, y, por último, en la unidad 5 se aborda el tema de matrices y determinantes. También se incluyen dos apéndices: Estructuras algebraicas y Formulario de matemáticas.




Contenido Unidad 1 Números reales 1.1 Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

1 2

1.2 Números reales

11

Problema reto Referencias Direcciones electrónicas

35 35 35

Unidad 2 Números complejos

37

2.1 Introducción

38

2.2 Unidad imaginaria

38

2.3 Formas de expresar un número complejo

38

2.4 Desigualdad del triángulo

41

2.5 Forma polar o trigonométrica de un número complejo 42 2.6 Producto y cociente de números complejos en forma polar 46 2.7 Potencia de un número complejo

50

2.8 Conjugado de un número complejo

52

2.9 Soluciones complejas de una ecuación de segundo grado 53 2.10 Igualdad de números complejos

55

2.11 Operaciones aritméticas

55

2.12 Leyes del álgebra compleja

58

Problema reto Referencias Direcciones electrónicas

70 70 70 VII


Contenido

Unidad 3 Polinomios

71

3.1 Conceptos básicos

72

3.2 Productos notables

77

3.3 Factorización de polinomios

84

3.4 División sintética

89

3.5 Número de raíces de un polinomio

91

3.6 Fórmula general para la ecuación de segundo grado 101 3.7 Fórmula general para resolver una ecuación cúbica

103

3.8 Ecuación cuártica

106

Problemas reto Referencias Direcciones electrónicas

114 114 114

Unidad 4 Sistemas de ecuaciones lineales

115

4.1 Ecuación lineal

116

4.2 Ecuación lineal con dos incógnitas

118

4.3 Sistema de ecuaciones

121

4.4 Sistemas con dos incógnitas

123

4.5 Método de solución de sistemas de ecuaciones de Gauss-Jordan 129 4.6 Ecuaciones con tres incógnitas

134

4.7 Sistemas homogéneos

142

Problema reto Referencias Direcciones electrónicas

146 146 146

Unidad 5 Matrices y determinantes

VIII

147

5.1 Introducción

148

5.2 Matrices

148

5.3 Clasificación de matrices de acuerdo a la forma

150


Grupo Editorial Patria© 5.4 Clasificación de matrices de acuerdo con los elementos 150 5.5 Operaciones con matrices

152

5.6 Independencia lineal

158

5.7  Rango de una matriz

160

5.8  Aplicaciones de matrices

161

5.9  Determinantes

162

5.10  Regla de Sarrus para calcular determinantes

164

5.11  Propiedades de los determinantes

165

5.12  Matriz inversa

168

5.13  Matriz adjunta

172

5.14 Sistemas de ecuaciones lineales resueltas con matrices 173 5.15  Regla de Cramer

176

Problema reto Referencias Direcciones electrónicas

186 186 186

Apéndice 1  Estructuras algebraicas

187

Topología

188

Estructura algebraica

188

Operación binaria

188

Definición de grupo. Propiedades elementales de los grupos. Grupo abeliano. Subgrupo

189

Definición de anillo, tipos de anillo. Definición de dominio entero

191

Definición de campo. Números racionales, números reales y números complejos, como ejemplos de campos con la adición y la multiplicación

192

Espacio vectorial

193

Isomorfismos y homomorfismos entre grupos y entre anillos. Propiedades elementales

193

Referencias Direcciones electrónicas

195 195 IX


Contenido

Apéndice 2  Formulario de matemáticas



196

Fórmulas básicas de álgebra

197

Exponentes y radicales

197

Fórmulas básicas de trigonometría

197

Valores de las funciones de ángulos importantes

198


UNIDAD

1

Números reales Objetivos

Utilizar diversos conjuntos de números. Utilizar el lenguaje de los símbolos y de los sistemas matemáticos formales. Utilizar y demostrar fórmulas y expresiones simbólicas. Comunicarse en, con y sobre las matemáticas, es decir, interpretar textos escritos en diversos lenguajes.

¿Qué sabes?

¿Por qué son importantes los conjuntos? ¿Qué tipo de operaciones se pueden realizar con los conjuntos? ¿Quién fue Giuseppe Peano? ¿Cuáles son los números naturales? ¿Conoces las operaciones mal definidas de los números naturales?


UNIDAD

1

Números reales

1.1  Conceptos básicos de la teoría de conjuntos La expresión conjunto es un término matemático introducido en 1879, por Georg Cantor (1845-1918). Un conjunto es un grupo o una colección de objetos; cada objeto que pertenece al conjunto se denomina elemento o miembro del conjunto. Si T es un conjunto, la notación x ∈T significa que x es un elemento de T. La notación x ∉T significa que x no es un elemento de T. Un conjunto se puede expresar de las siguientes maneras: Descripción verbal: “El conjunto de los números naturales pares menores que 15”.

Alerta El símbolo  |  significa “tal que”.

Extensión: El conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves, por ejemplo: A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }. Por compresión o en forma constructiva del conjunto: { x | x es un número natural par menor que 15 }. Diagramas de Venn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos.

Alerta

Por ejemplo, el conjunto de números naturales pares menores que 9:

Los conjuntos se denotan entre llaves {   }. Por ejemplo, el conjunto de números naturales menores que 9: { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }.

6

2 4

8

Figura 1.1  Diagrama de Venn del conjunto

de números naturales pares menores que 9.

Problema resuelto Dada la descripción verbal: “El conjunto de los días de la semana”, expresarla por extensión, en su forma constructiva o por compresión y por diagrama de Venn. Solución

Por extensión: V = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo } En su forma constructiva o por compresión: V = { x | x es un día de la semana } Por diagrama de Venn:

viernes

lunes

martes jueves

miércoles sábado domingo



Figura 1.2  Diagrama de Venn.


Grupo Editorial Patria© ❚ Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. La notación A ⊂ B significa que A está incluido en B y se lee: “A es subconjunto de B” o “A está contenido en B”.

A

A⊂B B

B⊄A

Figura 1.3

Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es subconjunto de B. En este caso, la notación A ⊄ B significa que A no es un subconjunto de B.

A⊄B

B

A B⊄A

Figura 1.4

Un conjunto que no contiene elementos se conoce como conjunto vacío o conjunto nulo. Se utiliza el símbolo ∅ para denotar el conjunto vacío; sin embargo, es un error escribir { ∅ }, ya que el conjunto vacío no tiene elementos. Por ejemplo, el número de mujeres mayores de 500 años que aún vive. Un conjunto universo U es aquel que contiene a todos los elementos a considerar. Gráficamente se le representa mediante un rectángulo. U

Figura 1.5  Conjunto universo.

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universo U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota por Ac: Ac = { x ∈ U | x ∉ A } U

A Ac

Figura 1.6




UNIDAD

1

Números reales Ejemplo: Un dígito es cada una de las cifras que componen un número en un sistema determinado; en el sistema decimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. U = { x | x son todos los dígitos decimales } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { x | x son todos los dígitos decimales pares } = { 2, 4, 6, 8 } B = { x | x son todos los dígitos decimales impares } = { 1, 3, 5, 7, 9 } C = { x | x = 0 } = { 0 } Obsérvese que: A ⊂ U, B ⊂ U, C ⊂ U U C {0} B {1, 3, 5, 7, 9}

A {2, 4, 6, 8}

Figura 1.7

Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. Ejemplos: A = { x | x es el número de días de la semana } B = { x | x es el número de alumnos en una universidad dada }

❚ Igualdad de conjuntos Si A y B son conjuntos, entonces el conjunto A será igual al conjunto B siempre que se cumplan las dos condiciones siguientes: a) todo elemento de A es un elemento de B, y b) todo elemento de B es un elemento de A. Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados. La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que tiene. Se denota por medio de los símbolos N o #. Por ejemplo, de los conjuntos anteriores N(A) = 7, N(B) = 1 500. Para un conjunto infinito, su cardinalidad no está definida. Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos; se denota por el símbolo =.

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

B = { x | x es un dígito }

A=B

❚ Operaciones con conjuntos La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B, sin repetir ninguno, y se denota por A ∪ B: A ∪ B = { x | x ∈ A o x ∈ B } 


Grupo Editorial Patria©

A B

A∪B

Figura 1.8

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A ∩ B: A ∩ B = { x | x ∈A y x ∈B } De acuerdo con estas definiciones, la cardinalidad de A ∪ B está dada por: N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B) A

B

A∩B

Figura 1.9 

Dos conjuntos son disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, cuando no tienen nada en común.

A

B

A∩B= ∅

Figura 1.10

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A - B: A - B = { x | x ∈ A y x ∉ B }

A

B

A−B

Figura 1.11




UNIDAD

1

Números reales La cardinalidad de A - B es: N(A - B) = N(A) - N(A ∩ B) La cardinalidad del complemento del conjunto A es: N(AC ) = N(U ) - N(A)

Problema resuelto Sean A = { 1, 2, 3, 4 }; B = { 2, 4, 6, 8 }; C = { 3, 4, 5, 6 } Determinar: a)  A ∪ B b)  A ∪ C c )  B ∪ C d)  B ∪ B Solución

a)  A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 } b)  A ∪ C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } c )  B ∪ C = { 2, 4, 6, 3, 5, 8 } d)  B ∪ B = { 2, 4, 6, 8 }

El conjunto potencia de un conjunto A se denota por P(A), o Pot(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Sea A = { m, n, p } Los subconjuntos de A son: { m }, { n }, { p }, { m, n }, { m, p }, { n, p }, { m, n, p }, ∅ Entonces, el conjunto potencia de A es: P(A) = { { m }, { n }, { p }, { m, n }, { m, p }, { n, p }, { m, n, p }, ∅ }

Problema resuelto Dado el conjunto A = { 6, 2, 8, 4, 3 }, determinar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia. Solución

Pot(A) = { { 6 }, { 2 }, { 8 }, { 4 }, { 3 }, { 6, 2 }, { 6, 8 }, { 6, 4 }, { 6, 3 }, { 2, 8 }, { 2, 4 }, { 2, 3 }, { 8, 4 }, { 8, 3 }, { 4, 3 }, { 6, 2, 8 }, { 6, 2, 4 }, { 6, 2, 3 }, { 6, 8, 4 }, { 6, 8, 3 }, { 6, 4, 3 }, { 2, 8, 4 }, { 2, 8, 3 }, { 8, 4, 3 }, { 6, 2, 8, 4 }, { 6, 2, 8, 3 }, { 2, 8, 4, 3,  }, { 6, 8, 4, 3,  }, { 6, 2, 4, 3,  }, { 6, 2, 8, 4, 3 }, { ∅ } }

❚ Conjunto unitario Es todo conjunto que está formado por un solo y único elemento. Ejemplos: A = { 3 } B = { números pares entre 4 y 8 } = { 6 } C = { la capital de Jalisco } = { Guadalajara } D = { x | 2x + 1 = 6 } = { 2.5 } 


Grupo Editorial Patria© ❚ Propiedades de los conjuntos Sean los conjuntos A, B, C dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las operaciones con dichos conjuntos son:

1. Propiedades de identidad

A∪∅=AyA∩∅=∅ A∪U=UyA∩U=A

2. Propiedades de idempotencia

A∪A=A A∩A=A

3. Propiedades de complemento

A ∪ Ac =U A ∩ Ac = ∅ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )

4. Propiedades asociativas

5. Propiedades conmutativas

A∪B=B∪A A∩B=B∩A

6. Propiedades distributivas

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

❚ Leyes de Morgan Las leyes de Morgan establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:

Primera ley de Morgan El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

Demostración:

x ∈ (A ∪ B)c ⇒ x ∉(A ∪ B) ⇒ x ∉ A o x ∉ B ⇒ x ∈ (Ac ∪ BC )

Segunda ley de Morgan El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos: (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

Demostración:

x ∈ (A ∩ B)c ⇒ x ∉(A ∩ B) ⇒ x ∉ A y x ∉ B ⇒ x ∈ (Ac ∩ BC )

Problema resuelto Sean los conjuntos A, B, C. Demostrar que: A ∩(B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Solución

x ∈ (A ∩(B ∪ C )) ⇒ x ∈ A y x ∈ (B ∪ C ) ⇒ x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C ) ⇒ x ∈ A y x ∈ B o x ∈ A y x ∈ C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

Problema resuelto Demostrar el siguiente teorema: Teorema 1: Si A y B son conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅) con cardinalidad finita, entonces: N(A ∪ B)= N(A)+ N(B)




UNIDAD

1

Números reales Solución

Puesto que los conjuntos A - B, B - A y A ∩ B, son mutuamente excluyentes: A ∪ B = (A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A) Y como (A ∩ B = ∅), entonces: N(A ∪ B) = N(A - B) + N(B - A) = N(A) + N(B)

Problema resuelto Sean los conjuntos A y B. Demostrar con diagramas de Venn que: N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B) Solución

Puesto que A ∪ B es: A ∪ B = (A - B) ∪ (B - A) ∪ (A ∩ B)

A

B

A∪B

Figura 1.12

Entonces:

Alerta

N(A ∪ B) = N(A - B) + N(B - A) + N(A ∩ B) = N(A) - N(A ∩ B) + N(B) - N(A ∩ B) + N(A ∩ B)

N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B)

A

B

A

B

Figura 1.13 Entonces: N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B)

Problema resuelto Sean los conjuntos A, B y C. Demostrar con diagramas de Venn que: N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B) - N(A ∩ C ) - N(B ∩ C ) + N(A ∩ B ∩ C )




Grupo Editorial Patria© Solución

Ya hemos demostrado que: N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B), entonces, sea A = A ∪ B y B = C, esto es:

N(A ∪ B ∪ C ) = N(A ∪ B) + N(C ) - N((A ∪ B) ∩ C )

N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)- N((A ∪ B) ∩ C )

N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)- N((A ∪ B) ∩ C )

Alerta B A

Cardinalidad: N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B) - N(A ∩ C ) - N(B ∩ C ) + N(A ∩ B ∩ C )

C

Figura 1.14

De la figura 1.14, tenemos que:

N((A ∪ B) ∩ C ) = N(A ∩ C ) + N(B ∩ C ) - N(A ∩ B ∩ C ),

entonces:

N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)- N(A ∩ C ) - N(B ∩ C ) + N(A ∩ B ∩ C )

Problema resuelto Necesitamos determinar el número de alumnos en un salón de clases. Se sabe que cada uno de los alumnos estudia al menos 1 de las 3 asignaturas siguientes, se les pide que levanten la mano cuando se menciona la asignatura y lo hacen: a) Matemáticas, 48 b) Física, 45 c ) Química, 49 d) Matemáticas y Física, 28 e) Matemáticas y Química, 26 f ) Física y Química, 28 g) Matemáticas, Física y Química, 18 Determinar: a) ¿Cuántos alumnos hay en el salón? b) ¿Cuántos estudian Matemáticas y/o Física pero no Química? c ) ¿Cuántos estudian nada más Química?




UNIDAD

1

Números reales Solución

N(M ) = 48 N(F ) = 45 N(Q) = 49

Física

Mate

N(M ∩ F ) = 28

Química

Figura 1.15 

N(M ∩ F ) = 28

Física

Mate

Química

Figura 1.16 

N(M ∩ Q) = 26

Física

Mate

Química

Figura 1.17 

N(F ∩ Q) = 28

Física

Mate

Química

N(M ∩ F ∩ Q) = 18

10

Figura 1.18 


Grupo Editorial Patria© a)  Usamos la propiedad:

N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)- N(A ∩ C )- N(B ∩C ) + N(A ∩ B ∩ C )

N(M ∪ F ∪ Q) = N(M ) + N(F ) + N(Q) - N(M ∩ F )- N(M ∩ Q)- N(F ∩ Q) + N(M ∩ F ∩ Q)

N(M ∪ F ∪ Q) = 48 + 45 + 49 - 28 - 26 - 28 + 18 = 78

Por tanto, hay 78 alumnos en el salón.

b)  N(QC ) = N(U ) - N(Q) = 78 - 49 = 29

Esto es, hay 29 alumnos que estudian Matemáticas y Física.

c ) Q - (Q ∩ M - Q ∩ M ∩ F ) - (Q ∩ F - Q ∩ M ∩ F ) - Q ∩ M ∩ F = 49 - (26 - 18) - (28 - 18) - 18 = 13

Por lo que, hay 13 alumnos que estudian sólo Química.

Mate 12

10

Física 7

18 10

8 Química 13

Figura 1.19 

❚ Producto cartesiano de dos conjuntos Si tenemos dos conjuntos A y B, y se forman todos los pares posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos, que se denota por: A × B = { (a, b) | a ∈ A y b ∈ B } Ejemplo: A = { 1, 2 }    B = { 3, 4, 5 } A × B = { (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) }

1.2  Números reales ❚ Conjuntos de números Hasta aquí hemos estudiado el concepto de conjunto. Un conjunto puede no tener una estructura particular, pero cuando se introducen formas de combinar los elementos, por medio de “operaciones”, y formas de comparar los elementos, o “relaciones”, se obtiene un sistema matemático. Sistema matemático

Conjunto de elementos

Relaciones para comparar elementos

Operaciones para combinar elementos

Figura 1.20

11


UNIDAD

1

Números reales ❚ Sistema de números naturales Los números naturales son los que usamos para contar, y forman un conjunto infinito. N = { 1, 2, 3, 4, … } Giuseppe Peano (1858-1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones, las cuales conforman los Axiomas de Peano para los números naturales, que permiten estructurar algebraicamente el conjunto N. El conjunto N satisface las siguientes condiciones axiomáticas: 1. Existe al menos un número natural, que llamaremos uno y se denota por 1.

Alerta El símbolo ∃ significa existe.

∃1∈N 2. Existe una aplicación s: N → N, llamada aplicación siguiente, la cual aplica todo elemento n de N en otro elemento n* de N, llamado sucesor o siguiente de n. ∃ s:N → N | ∀n ∈ N, s(n) = n* ∈ N

Alerta

3. El uno no es sucesor de ningún otro elemento de N.

El símbolo ∀ significa para todo.

∀n ∈ N, s(n) = n* ≠ 1 4. Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor; o sea, la aplicación siguiente es inyectiva. ∀n, n′ ∈ N,   s(n) = s(n′) ⇒ n = n′

Alerta El axioma de la inducción completa es la piedra angular para las demostraciones por inducción matemática.

5. Axioma de la inducción completa. Todo subconjunto N′ de N, para el cual se verifique que contenga al uno, y que el sucesor de cualquier elemento de N′ está en N′, coincide con N. (∀N′ ⊂ N)(1 ∈ N′)(∀a ∈ N′ ⇒ a* ∈,N′) → N′ = N

❚ Orden en el sistema de los números naturales Un número natural es más grande que otro si usa más posiciones, es decir, si tiene grupos más grandes. En este sentido, 12 es más grande que 9, ya que 12 usa dos posiciones y 9 sólo una. Si tenemos dos números naturales que usan la misma cantidad de posiciones, primero tenemos que comparar los grupos más grandes, las cifras de la izquierda. Por ejemplo: entre 15 y 23, ¿cuál es el número más grande? Nos fijamos en el dígito de la izquierda y vemos que 23 tiene 2 decenas y que 15 solo tiene 1 decena, entonces 23 es más grande que 15.

❚ Recta numérica Se acostumbra representar a los números naturales junto con muchos otros en una recta numérica, y esto se hace de la siguiente manera: 1) se dibuja una línea recta; 2) se elige el lugar donde se marca el cero; 3) se decide a qué distancia del cero se dibujará el uno, y 4) con esa misma distancia (la unidad) se marcan los siguientes números en orden 0, 1, 2, 3, … En la recta numérica, los números son más grandes mientras más se alejan del cero en la dirección del uno. 0

Figura 1.21

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


Grupo Editorial Patria© En la recta numérica, los números a la derecha de un número son más grandes que este número y los números a la izquierda de un número son más pequeños que el número dado.

a

b

Figura 1.22

En la recta que se muestra en la figura 1.22, a es menor que b, esto se denota por: a < b; el símbolo < denota menor que. Entonces, también se dice b es mayor que a, esto se denota por: b > a; el símbolo > denota mayor que. El símbolo ≤ denota menor o igual que, el símbolo ≥ denota mayor o igual que.

❚ Operaciones en el conjunto de los números naturales Suma 1. Propiedad de cerradura de la suma de naturales. Al sumar dos números naturales cualesquiera, a y b, su suma será otro número natural c. 2. Propiedad conmutativa de la suma. El orden de los sumandos no altera la suma. a+b=b+a 3. Propiedad asociativa de la suma. La suma de números naturales debe hacerse en forma binaria, tomando dos números a la vez; comenzando desde la izquierda o desde la derecha, hasta incorporar todos los sumandos al resultado. (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 En la suma de números naturales no están bien definidas las propiedades del neutro aditivo y del inverso aditivo.

Problema resuelto En las siguientes operaciones, buscar el término desconocido: a)  327 + __________ = 1 208 b)  ________ - 4 121 = 626 Solución

a)  El término buscado es 1 208 - 327 = 881. b)  El término buscado es 626 + 4 121 = 4 747.

Multiplicación 1. Propiedad de cerradura del producto de naturales. Al multiplicar dos naturales cualesquiera a y b, su producto o multiplicación será otro número natural c. 9 × 2 = 18 13


UNIDAD

1

Números reales 2. Propiedad conmutativa de la multiplicación. El orden de los factores no altera el producto. 9 × 2 = 2 × 9 = 18 3. Propiedad asociativa del producto. El producto de naturales debe hacerse en forma binaria, esto es tomando dos factores a la vez, comenzando desde la izquierda o desde la derecha, hasta incorporar todos los factores al producto. 9 × 2 × 3 = (9 × 2) × 3 = 9 × (2 × 3) = 54 4. Propiedad del neutro multiplicativo. Existe un único número natural que al multiplicarse por cualquier otro no lo cambia. Este número es único; se llama el neutro, y es el 1. 5×1=5 No existe la propiedad del inverso multiplicativo en los naturales.

Problema resuelto En las siguientes operaciones, buscar el término desconocido. a)  321 × ___________ = 32 100 b)  28 035 ÷ ________ = 623 c )  4 × (5 + ________ ) = 36 Solución

a)  El número buscado es 32 100/321 = 100. b)  El número buscado es 28 035 ÷ 623 = 45. c )  El número buscado es (36 ÷ 4) - 5 = 4.

Problema resuelto Calcular de dos modos distintos la siguiente operación: 17 × 38 + 17 × 12 = Solución

17 × 38 + 17 × 12 = 646 + 204 = 850 17 × 38 + 17 × 12 = 17 × (38 + 12) = 17 × 50 = 850

Potenciación La potenciación es una forma abreviada de la multiplicación, por tanto tiene las mismas propiedades que esta. Para cualquier número, a, y para cualquier número natural, m:

Donde a es la base y m es el exponente. 14

am = a × a × … × a

      

m factores iguales a a.


Grupo Editorial Patria© Los exponentes cumplen las siguientes propiedades: 1.  an × am = an + m

1 5.  a-n = —n (a ≠ 0) a

an 2.  an ÷ am = —— = an - m (a ≠ 0) am

6.  (a × b)n = an × bn

3.  a0 = 1 (a ≠ 0)

an  a  =  — (a ≠ 0) 7.  an ÷ bn = —— bn  b 

4.  (an)m = an ⋅ m

 a  8.   —  b 

n

-n

b =  — a

n

Problema resuelto • Expresar el siguiente número en forma de potencias: a)  50 000 • Escribir en forma de una sola potencia los siguientes: b)  33 × 34 × 3 = 33 + 4 + 1 c )  57 ÷ 53 = 57 - 3 d)  (53)4 • Utilizando potencias de 10, realizar la descomposición de: e)  3 257 Solución

a)  50 000 = 5 × 10 000 = 5 × 104 b)  33 × 34 × 3 = 33 + 4 + 1 = 38 c )  57 ÷ 53 = 57 - 3 = 54 d)  (53)4 = 512 e) 3 257 = 3 × 1 000 + 2 × 100 + 5 × 10 + 7 × 100 3 257 = 3 × 103 + 2 × 102 + 5 × 101 + 7 × 100

❚ Operaciones mal definidas en el conjunto de los naturales Resta La resta está mal definida en los números naturales, porque no tiene la propiedad de cerradura. Esta característica hace que se formen los números enteros. ◗ Los números enteros En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero. Por eso, hay que ampliar el conjunto de los números, incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o -. De esta manera, han surgido los números enteros, los cuales expresan valores que van de uno en uno, sin embargo, éstos permiten expresar valores positivos y valores negativos. −∞

… −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 1.23

15


UNIDAD

1

Números reales Un número entero consiste de dos partes: 1) el signo y 2) el valor absoluto (es decir, su distancia al 0). El conjunto de los números enteros lo denotamos con la letra Z. Por tanto: Z = { …, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7,… }

| −3 | = 3

| +2 | = 2 +2

−3 Valor absoluto 2

Valor absoluto 3 ∞

… −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 1.24

El valor absoluto de un número x, se denota por  | x | , y está dado por:  x si x > 0 

x =  0 si x = 0

  -x si x < 0

y

f(x) = abs(x)

8 6 4 2 x −9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−2 −4 −6 −8

Figura 1.25  Función valor absoluto (figura elaborada con el programa Graph).

División Por lo que respecta a la división, no está bien definida en el conjunto de los números naturales, porque no tiene la propiedad de cerradura. Esto obliga a formar los números racionales.

Radicación La radicación tampoco está bien definida en el conjunto de los números naturales. Esto obliga posteriormente a formar los números irracionales. 16


Grupo Editorial Patria© ❚ Método de inducción completa El último enunciado del teorema de Peano, también llamado axioma de la inducción completa, permite probar resultados con números naturales generalizando situaciones particulares. El método, consta de dos partes: 1. Paso básico.  Es la demostración deductiva de que se cumple la proposición para algún número natural dado a: Proposición → f (a) verdadera 2. Paso inductivo.  Es la demostración, de carácter también deductivo, de que si la proposición se supone verdadera para un número natural n, también ha de ser verdadera para el número sucesor de n, es decir, para el número n + 1. Proposición → f (n) verdadera ⇒ f (n + 1) verdadera De lo que se infiere que la proposición es verdadera para el número natural a y para todos los números naturales siguientes al número a, es decir es verdadera para el conjunto de los números naturales { a, ∞ }. Evidentemente, si a es el primero de los números naturales, la proposición será verdadera para todo el conjunto N. Ambos pasos parciales son procesos deductivos, por lo que cabría decir que el método de inducción matemática es, en realidad, un proceso de deducción.

Problema resuelto Demostrar que la suma de los n primeros números naturales está dada por la expresión sea: 1+2+…+n=

n(n + 1) ,o 2

n(n + 1) 2

Solución

•  Paso básico Se cumple para n = 1: 1=

11 ( + 1) =1 2

Se cumple para n = 2: 1+2=

2(2 + 1) =3 2

•  Paso inductivo Se supone verdadera para n - 1: 1+2+…+n-1=

(n - 1)n 2

Y veamos si es verdadera para n: 1 + 2 + … + (n - 1) + n =

(n )(n + 1) 2

En efecto: 1 + 2 + … + (n - 1) + n =

(n - 1)n (n - 1)n + 2n n(n + 1) = + (n - 1) + 1 = 2 2 2

17


UNIDAD

1

Números reales

Problema resuelto Demostrar que para todo natural, n, n5 -n, es divisible entre 5. Solución

•  Paso básico Para n = 1, la proposición es válida, ya que: 15 - 1 = 0 = 0 ⋅ 5, 0 es divisible entre 5. La suponemos válida para n - 1. (n - 1)5 - (n - 1) = k ⋅ 5 Y lo demostramos para n: n5 - n = j ⋅ 5

(n - 1 + 1)5 - (n - 1 + 1) = (n - 1)5 + 5(n - 1)4 + 10(n - 1)3 + 10(n - 1)2 + 5(n - 1) + 1 - n

= (n - 1)5 + 5(n - 1)4 + 10(n - 1)3 + 10(n - 1)2 + 5(n - 1) - (n - 1)

= (n - 1)5 - (n -1) + 5(n - 1)[(n - 1)3 + 2(n - 1)2 + 2(n - 1) + 1]

= 5 ⋅ k + 5(n - 1)[(n - 1)3 + 2(n - 1)2 + 2(n - 1) + 1] = j ⋅ 5

Que es lo que queríamos demostrar.

❚ Divisores de un número entero Un divisor de un número entero es simplemente algún otro número por el cual se puede dividir el mismo. Por ejemplo, 100 se divide entre 5; entonces, se dice que 5 es un divisor de 100. Asimismo, también decimos que 5 divide a 100. Si el número no es muy grande (menor que 100), primero debemos recordar las tablas de multiplicar. Si el número se encuentra en alguna tabla de multiplicar, entonces es divisible entre ese número. Por ejemplo, 56 está en la tabla del 7. Por tanto, 56 se puede dividir entre 7 y también se puede dividir entre 8.

❚ Criterios de divisibilidad para determinar divisores Divisibilidad entre 2 Un número entero es divisible entre 2, si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8.

Divisibilidad entre 3 Un número entero es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3. Por ejemplo, 3 + 7 + 5 = 15; esto es, 15 es divisible entre 3. Asimismo, 375 también es divisible entre 3: 375 = 125 3 También se puede usar este método para hallar el residuo, para lo cual se suman las cifras y se prueba dividir entre 3. El residuo de esta división también es el residuo de la división del número original. Por ejemplo, 3 + 8 + 0 = 11, 11 no es divisible entre 3.

126 3 380 08 20 2

3 3 11 2

mismo residuo Figura 1.26 

18


Grupo Editorial Patria© Divisibilidad entre 4 Un número es divisible entre 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4. Por ejemplo, 45 228, 28 es divisible entre 4, y 45 228 también lo es. 11307 4 45228 012 028 0

Divisibilidad entre 5 Si la última cifra de un número es 0 o 5, se dice que el número es divisible entre 5. Por ejemplo: 9044 5 45220 022 020 0

Divisibilidad entre 10 Si la última cifra de un número es 0, siempre es divisible entre 10. Por ejemplo: 4522 10 45220 522 220 20 0

Divisibilidad entre 6 Si un número es divisible tanto entre 2 como entre 3, es divisible entre 6.

Divisibilidad entre 11 Un número es divisible entre 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es cero o múltiplo de 11. Por ejemplo, 121, si se alterna sumando y restando sus cifras, comenzando por la derecha: 1 + 1 - 2 = 0. Así, 0 es divisible entre 11, entonces 121 también lo es.

❚ Divisores Se prueban todos los números enteros entre 1 y la raíz cuadrada de su número. 112

2

56

2

28

2

14

2

7

7

112 = 24 × 7, entonces todos los divisores son: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56 y 112.

1

❚ Números primos Un número es primo cuando es un entero positivo, distinto de 0 y 1, y que únicamente se puede dividir entre sí mismo y entre 1, dando un número entero. 19


UNIDAD

1

Números reales Por ejemplo, divisores de: 3

= > 3 es primo

9

3

= > 9 no es primo, es divisible entre 1, 3 y 9

3

3

3 1

1 El teorema fundamental de la Aritmética establece que todo entero positivo se puede representar como producto de factores primos de una forma única, salvo el orden. Este teorema establece la importancia de los números primos. En esencia, son los “ladrillos básicos” con los que se construyen los enteros positivos.

❚ Máximo común divisor 1. El máximo común divisor (mcd) de dos números se define, como su propio nombre indica, como el número más grande que divide a ambos números. Para calcular el mcd se factorizan ambos números, y el máximo común divisor se obtiene tomando todos los factores (comunes) elevados a los menores exponentes. Ejemplo: Calcular el mcd de 24, 28 y 40. 1. Factorizamos los números. 24

2

28

2

40

2

12

2

14

2

20

2

7

6

2

7

10

2

3

3

1

5

5

28 = 22 × 7

1 40 = 23 × 5

1 24 = 23 × 3

2. Tomamos todos los factores (comunes) elevados a los menores exponentes: 22 Entonces, el mcd es 22 = 4.

❚ Mínimo común múltiplo El mínimo común múltiplo (mcm), como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que ambos números tienen en común. Se obtiene factorizando los números y se consideran todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes); cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.

Problema resuelto Alerta El mcm de dos números es igual a su producto dividido entre su mcd. El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Determinar el mcd y el mcm de: 40 y 60. Solución

Primero, descomponemos a 40 y 60 en sus factores primos. 40 = 23 × 5

60 = 22 × 3 × 5

Después, determinamos el mcm: 23 × 3 × 5 = 120 Ahora, determinamos el mcd: (40)(60)/120 = 2 400/120 = 20

20


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Un jardinero desea colocar 720 jacarandas, 240 fresnos, 360 jacintos y 480 claveles, en el menor número posible de jardineras que contengan el mismo número de plantas, sin mezclar las mismas. ¿Qué cantidad de plantas debe contener cada jardinera y cuántas debe haber? Solución

Todas las plantas: 720 + 240 + 360 + 480 = 1 800 Se van a colocar en jardineras, por tanto el número de jardineras que contengan el mismo número de plantas sin mezclarlas es el máximo comun divisor de: 720, 240, 360 y 480; así: 720 = 24 × 32 × 5 240 = 24 × 3 × 5 360 = 23 × 32 × 5 480 = 25 × 3 × 5

Entonces, el mcd de 720, 240, 360 y 480 es 23 × 3 × 5 = 120. Ahora, el número de plantas que va a tener cada jardinera, esto es el mcm, será: 1 800/120 = 15

❚ Números racionales

x 3 no siempre pertenece al conjunto de los números enteros, por ejemplo: . Por lo que, en y 8 este caso, es necesario definir un nuevo conjunto, que se denota con Q.

El cociente

  p Q =  x | x = tales que p, q ∈ Z , q ≠ 0  q  

Operaciones con números racionales ◗ Suma y resta La suma de números racionales con un denominador común es un número racional cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común. Ejemplo:

5 2 5+2 7 + = = 3 3 3 3

En general, para dos números racionales cualesquiera, la definición de suma es: a c ad + cb + = b d bd En tanto, la definición de resta es: a c ad − cb − = b d bd Ejemplos: 3 7 3(5) + 7(8) 15 + 56 71 + = = = 8 5 (8)(5) 40 40 5 1 4(5) − 6(1) 20 − 6 14 7 − = = = = 6 4 6( 4 ) 24 24 12 Como se puede observar, en el resultado se obtiene una fracción que puede ser reducida a una fracción equivalente. 21


UNIDAD

1

Números reales ◗ Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes, si el cociente de cada una de ellas es igual: a k (a ) = b k (b ) Ejemplo: 15 3(5) 5 = = 18 3(6 ) 6

Problema resuelto Realizar la siguiente suma de fracciones: 1 7 + 6 4 Solución

Primero, calculamos el mcm de 6 y 4: 6

2

4

2

3

3

2

2

1

1

6 = 2 × 3 4 = 22 mcm = 22 × 3

Enseguida, tomamos como denominador común al mcm, y se obtiene el resultado: 1 7 2(1) + 3(7) 2 + 21 23 + = = = 6 4 12 12 12

◗ Multiplicación de números racionales El producto de números racionales es un número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores: a c ac × = b d bd Ejemplo: 2  3 6 3 = = 7  4  28 14

Problema resuelto Un auto circula a 50

km . ¿Qué distancia recorre en 20 minutos? h

Solución

La rapidez en un movimiento rectilíneo uniforme está dada por: v = rapidez =

Así, 20 minutos equivale en horas a:

22

distancia d d ⇒v = o t = o d = vt tiempo t v

1 h. 3


Grupo Editorial Patria© Entonces, la distancia recorrida será: d = 50

km  1  50 2 h = km = 16 km = 16.667 km h  3  3 3 16 3 50 20 2

0.66 3 2.0   20 2

◗ Inverso multiplicativo Si el producto de dos números es 1, se dice que los números son recíprocos o inversos multiplicativos. Ejemplo: 3  8  24 = =1 8  3  24 ◗ División de números racionales La división de números racionales se define como la multiplicación del dividendo por el recíproco del divisor. a a c a d ad ad b ÷ = = o = c b d bc bc bc d Ejemplo: 1 1 2 9 (1)(9 ) 9 4 ÷ = o = = 2 4 9 8 (4 )(2) 8 9 ◗ Notación decimal Dividiendo numerador entre denominador puede expresarse un número racional por medio de la llamada notación decimal. Ejemplo: 1 1 = 0. 2; = 0. 3333... 5 3 Se dice que dos números racionales en notación decimal son iguales, si todos sus dígitos son iguales. Ejemplo: 1 2 = = 0. 125 8 18 Para representar números racionales muy pequeños es útil la notación decimal o las potencias de 10. Ejemplos:

1 = 0. 1 = 10 −1 10

1 = 0. 01 = 10 −2 100

1 = 0. 001 = 10 −3 1 000

1 = 0. 0001 = 10 −4 10 000 23


UNIDAD

1

Números reales

Problema resuelto Escribir en notación científica los siguientes números: a)  0.000 000 000 000 000 425

e)  12 billones

b)  101 354.3

f )  13.4

c )  7 234 000 000 000 000 000 000

g)  0.000 000 002

d)  7 millonésimas

h)  La centésima parte de una milésima

Solución

a) 0.000 000 000 000 000 425 , entonces 0.000 000 000 000 000 425 = 4.25 × 10-16   El número de posiciones es 16 5 b) 1 01354  .3 = 1.01354 × 10

5 posiciones

c ) 7234 000 000 000 000 000 000 = 7.234 × 1021     21 posiciones

d) 1 millonésima es 1 × 10-6, entonces 7 millonésimas = 7 × 10-6 e) Un billón es igual a 1012 = 1 000 000 000 000; es decir, un millón de millones. Entonces, 12 billones = 1.2 × 1013 f ) 13.4 = 1.34 × 101 g) 0. 000 000 002 = 2 × 10-9    9 posiciones

h) La centésima parte de una milésima =

1  1  = 1 × 10-5 100  1 000 

❚ Números irracionales Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción, o sea un cociente de dos números enteros. Ejemplos de números irracionales: El número que se denota con la letra griega π = 3.14159... (Pi) relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro (longitud = 2 × π × radio = π × diámetro). En el caso del número que se denota con e = 2.71828..., y que obtuvo su nombre de la primera letra del apellido de su descubridor, Leonhard Euler (matemático suizo del siglo xviii), aparece como límite de la sucesión de término general:  1  1 + n 

n

Por su parte, el número que se denota con la letra griega φ = 1.61803... (Fi), llamado número de oro, y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras, es muy usado en arte, y además se encuentra en la naturaleza. Los tres números antes descritos tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos, es decir, sus cifras decimales no se repiten en forma periódica. 24


Grupo Editorial Patria© Radicales Se dice que todas las raíces que no son exactas son números irracionales, por ejemplo: √ 2 = 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799… Los cuales son una expresión de la forma: n am , donde a es el radicando, n es el índice y m es el exponente. ◗ Propiedades de los radicales a× b = n

a × nb =

n

a÷ b = n

a÷ b = n

n

a×b a×b

a× a =a m n

a÷b n

an − b × n ab = a

a =

nm

a

a÷b

◗ Simplificación de radicales Para simplificar radicales, debemos considerar que los radicales se pueden escribir como potencias racionales y reducir a los radicales a su más simple expresión. Esto es, dejar el menor número posible dentro del radical. Para extraer los factores de un radical, primero se descompone en factores el radicando, luego se buscan potencias con el mismo exponente que el índice de la raíz y se sacan fuera de la raíz.

Problema resuelto Simplificar

12x 9 .

Solución

Siguiendo los pasos descritos, se tiene: 1

1

2

8

1

12x 9 = (12x 9 ) 2 = (22 × 3 × x 8 × x ) 2 = 2 2 x 2 (3x ) 2 = 2x 4 3x

◗ Suma y resta de radicales Para sumar o restar radicales es necesario que éstos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Cuando los radicales son semejantes, sólo es necesario sumar sus respectivos coeficientes. a n x m + b n x m = (a + b ) n x m

Problema resuelto Realizar la operación:

12 + 48 - 27 .

Solución

Primero, simplificamos cada uno de los radicales:

12 =

22 × 3 = 2 3

48 =

24 × 3 = 22 3

27 =

32 × 3 = 3 3

Ahora, realizamos la operación: 12 + 48 - 27 = 2 3 + 22 3 - 3 3 = 3 3

25


UNIDAD

1

Números reales ◗ Multiplicación de radicales Para multiplicar radicales con el mismo índice, se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice: a b =

ab

Problema resuelto Simplificar

2 6.

Solución

2 6 = 12 =

22 × 3 = 2 3

Problema resuelto Simplificar la siguiente expresión:

(

3 + 2 )( 3 - 2 ) .

Solución

Usando productos notables:

(

3 + 2 )( 3 - 2 ) = 3 - 2 = 1

Problema resuelto Simplificar la expresión: 6 3 × 5 2 . Solución

Multiplicando los radicandos y los coeficientes: 6 3 × 5 2 = 30 6

◗ Racionalización Para racionalizar una raíz cuadrada en el denominador, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Problema resuelto Racionalizar

5 3

.

Solución

Para obtener el resultado, se multiplica el numerador y el denominador de la fracción, así: 5 3

3 3

=

5 3 3

Para racionalizar un denominador que tenga suma que tenga una raíz cuadrada, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado del denominador.

26


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Racionalizar la expresión:

2 2+ 3

.

Solución

El binomio conjugado de

2 + 3 es

2- 3. 2- 3.

Así, multiplicamos al numerador y al denominador de la fracción por:

(

2 2+

( 3) (

2 - 3) 2 - 3)

=

2( 2 - 3 ) 2( 2 - 3 ) = = -2 ( 2 - 3 ) 2-3 -1

❚ Números reales El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales; se denota con el símbolo R.

Propiedades del conjunto de los números reales El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta numérica.

Intervalos de números reales Un intervalo de números reales es un subconjunto de R que tiene la siguiente propiedad: “dados dos números a y b en el intervalo, todos los números comprendidos entre a y b también pertenecen al intervalo”. Gráficamente, un intervalo se identifica en la recta real con un segmento o una semirrecta, con o sin sus extremos, o con toda la recta real. Ejemplos: 1. { x |  2 ≤ x ≤ 4 } = [2, 4] es un intervalo que comprende todos los números entre 2 y 4, inclusive. −∞

… −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 1.27

2. { x |  x > 5 }= (5, ∞) es un intervalo, que se representa en la recta real como una semirrecta, con origen en 5, sin contar este extremo. −∞ … −20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20 …

Figura 1.28

Para los intervalos se utiliza una notación específica. A los intervalos se les clasifica, en intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos. El intervalo cerrado [a, b], con a y b números reales, es el subconjunto de R definido como: [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }. En particular, a y b son elementos de [a, b]. 27


UNIDAD

1

Números reales El intervalo abierto (a, b), con a y b números reales, es el subconjunto de R definido como: (a, b) = { x | a < x < b }. En este caso, a y b no son elementos de (a, b). Los subconjuntos de la forma { x | x > a } y { x | x < a }, también se llaman intervalos abiertos, y para estos se utiliza la notación (a, ∞) y (-∞, a), respectivamente. El conjunto R es también un intervalo abierto, que se denota (-∞, ∞). Por último, los intervalos semiabiertos se denotan de la forma [a, b), (a, b], [a, ∞) y (-∞, a], siendo a y b números reales. Se definen en su forma constructiva de la siguiente manera: [a, b) = { x | a ≤ x < b }

(a, b] = { x | a < x ≤ b }

[a, ∞) = { x | x ≤ a }

(-∞, a] = { x | x ≤ a }

Ejemplo: Si a = -2, y b = 3, entonces [-2, 3) = { x |  -2 ≤ x < 3 }, y (-2, 3] = { x |  -2 < x ≤ 3 }. y

−2 < x < 3

8 6 4 2 x −9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 −2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−4 −6 −8

Figura 1.29

Problema resuelto Resolver la desigualdad  | x |  ≤ 5: Solución

Puesto que la función valor absoluto está dada por:

 x si x >0  | x | =  0 si x = 0  -x si x < 0 

Tenemos dos casos: 1. x > 0 ⇒ | x | = x ≤ 5, entonces el intervalo solución está dado por 0 < x ≤ 5. 2. x < 0 ⇒ | x | = -x ≤ 5, al multiplicar la desigualdad por (-) se invierte el signo de la desigualdad x ≥ -5, de esta forma el intervalo solución está dado por 0 > x ≥ -5.

28


Grupo Editorial Patria© El conjunto solución es la unión de estos dos intervalos solución { x  |  0 < x ≤ 5 } ∪ { x  |  0 > x ≥ -5 } ∪ { x  |  x = 0 }, que es el intervalo: { x  |  -5 ≤ x ≤ 5 } = [-5, 5]

y

0<x<5 −5 < x < 0

8 6 4 2

x −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−4 −6 −8

Figura 1.30

Problema resuelto Resolver la desigualdad: 3 x + 1 < x + 7. Solución

3x-x<7-1 2x<6 ⇒ x < 3, entonces el intervalo solución es (-∞, 3)

y

x<3

8 6 4 2 x −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−4 −6 −8

Figura 1.31

29


UNIDAD

1

Números reales

Problema resuelto 4 ≥ 2. x-7

Resolver la desigualdad: Solución

Para que la desigualdad se cumpla es necesario que:

x-7>0

x>7

Entonces, multiplicando la desigualdad por x - 7 (que es > 0), se tiene que: 4 ≥ 2( x - 7) ⇒ 4 ≥ 2x - 14 ⇒ 18 ≥ 2x ⇒

18 ≥ x 2

Por tanto, el intervalo solución es 9 ≥ x intersección x > 7, se obtiene 7 < x ≤ 9 o (7, 9].

y

7<x<9

15 10 5 x −4 −3 −2 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

−5 −10 −15

Figura 1.32

Números reales Racionales

Fracciones

decimales infinitos periódicos

de

Naturales

Irracionales

Enteros

Cero

decimales infinitos no periódicos Enteros Negativos π

{1, 2, 3, 4, ...}

30

Figura 1.33

0

{..., −4, −3, −2, −1}

e

– √2


UNIDAD

1

Problemas para resolver

1.1  Expresa al conjunto de las vocales, por extensión, en su forma constructiva y con diagrama de Venn. 1.2  ¿Cuál es el conjunto formado por la intersección de los conjuntos { e, x, i, t, o } y { t, r, i, u, n, f, o }? 1.3  Representa la unión de los conjuntos { e, x, i, t, o } y { t, r, i, u, n, f, o }. 1.4  ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos? A = { l, u, n, a } y B = { t, r, i, u, n, f, o } 1.5  Obtener la diferencia A - B si A = { c, o, r, a, z, o, n } y B = { h, i, p, e, r, t, n, s, o }. 1.6  Sean A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 2, 4, 6 }. Determina: A ∩ B, A ∪ B. 1.7  Dados los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 7 }, B = { 3, 4, 6 }, C = { 1, 2, 4, 8, 9, 5 }. Determina: A ∩ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∪ B, A ∩ C, B ∩ C. 1.8  Dados los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 2, 4, 6 }, C = { 2, 4, 8, 9 }. Determina: A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C. 1.9  Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e }, C = { d, f, g }. Determina: A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C. 1.10  ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos? a) A = { x | x es día de la semana } b) B = { vocales de la palabra conjunto } c ) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . .  } 1.11  Demuestra con un diagrama de Venn que: (A - B) ∩ B = ∅. 1.12  Demuestra las propiedades asociativas siguientes:

Grupo Editorial Patria©

c )  x ∈ { o, p, q, x }

(  )

d)  México ∈ { países de Europa }

(  )

e)  Grijalva ∈ { ríos de México }

(  )

1.16  ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos? a)  A = { x | x es día de la semana } b) B = { vocales de la palabra vals } c )  C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . .  } d)  D = { x | x es un habitante de la Luna } e)  E= { x | x es presidente de Marte } 1.17  Escribe los siguientes conjuntos en su forma constructiva. Por extensión

A = { a, e, i, o, u }

B = { 0, 2, 4, 6, 8 }

C = { c, o, n, j, u, n, t, o, s }

D = { 1, 3, 5, 7, 9 }

E = { b, c, d, f, g, h, j, … }

En forma constructiva

1.18  Dados los conjuntos: A = { c, h, a, t }, B = { c, h, a, r, m }, C = { h, r, t, n }. Determina: A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C. 1.19  Se llevó a cabo una investigación con 1 000 personas para determinar qué medio utilizan para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma regular por televisión, 300 personas escuchan las noticias por la radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios. Responde: a)  ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias sólo por la televisión?

a)  A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C b)  A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) 1.13  Indica en un diagrama de Venn los conjuntos: a)  A ∩ (B ∩ C )

b)  ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias sólo por la radio? c )  ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?

b)  (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

1.20  Se realizó una encuesta a 11 personas sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniéndose los siguientes resultados:

1.14  Escribe los siguientes conjuntos: a)  El conjunto de los días de la semana.

• El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7.

b)  El conjunto de las estaciones del año. c )  Los números impares menores que 11.

e) Los números primos menores que 15.

• El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de los dos productos.

1.15  Indica si el enunciado es verdadero o falso, anotando en el inciso una V o una F, según corres­ponda.

• El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3.

a)  6 ∈ { 2, 4, 5, 6, 9 }

(  )

Con base en los resultados de la encuesta, responde:

b)  y ∈ { o, p, q, x }

(  )

a)  ¿Cuántas personas prefieren el producto A?

d)  Los números pares mayores que 10 y menores que 20.

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

31


UNIDAD

1

Problemas para resolver

b)  ¿Cuántas personas prefieren el producto B solamente?

1.24  En cada par de números indica cuál es el mayor:

c )  ¿Cuántas personas prefieren ambos productos?

a)  12 y 15

e)  878 y 1 002

i )  10 345 y 10 545

b)  37 y 41

f )  1 234 y 789

j )  730 604 y 73 064

c )  123 y 132

g)  543 y 544

k)  89 736 y 89 628

d)  321 y 287

h)  823 y 833

l )  476 233 y 467 985

1.21  Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos: Blue Cola y Black Cola. Obteniéndose los siguientes resultados: • El número de estudiantes que prefirieron Blue Cola, pero no Black Cola fue de 3. • El número de estudiantes que no prefirieron Blue Cola fueron 6. Con base en los resultados de la encuesta, responde: a)  ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Blue Cola? b)  ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Black Cola? c )  ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Blue Cola o Black Cola? 1.22  Una industria automotriz ofrece 22 plazas para ingenieros: mecánicos, eléctricos y químicos, distribuidas de la siguiente forma: • Las plazas para ingenieros mecánicos son 11. • Las plazas para ingenieros químicos son 10. • Cinco plazas requieren de ingenieros mecánicos y eléctricos.

1.25  Busca el término desconocido en las siguientes operaciones: a)  ((30 - ______ ) ÷ 5) + 4 = 8 b)  18 + 4 × ______ = 54 c )  30 - ( ______ ÷ 8) = 25 1.26  Calcula de dos modos distintos las siguientes operaciones: a)  6 × 59 + 4 × 59 b)  (6 + 12) ÷ 3 1.27  Realiza las siguientes operaciones, factorizando el factor común: a)  6 × 4 - 4 × 3 + 4 × 9 - 5 × 4 b)  8 × 34 + 8 × 46 + 8 × 20 1.28  Expresa en forma de potencias de 10 las siguientes cifras: a)  3 200

• Cuatro plazas requieren de ingenieros mecánicos y químicos.

b)  3 000 000

• Cuatro plazas requieren de ingenieros eléctricos y quí­ micos.

a)  (3 4 ) 4

e)  2 5 × 2 4 × 2

i )  (2 5 ) 4

• La empresa también necesita para áreas específicas ingenieros con las tres especialidades.

b)  [(5 3 ) 4 ] 2

f )  2 7 ÷ 2 6

j )  [(2 3 ) 4 ] 0

c )  (8 2 ) 3

g)  (2 2 ) 4

k)  (27 2 ) 5

d)  (9 3 ) 2

h)  (4 × 2) 4

l )  (4 3 ) 2

Con base en los requerimientos de la empresa, responde las siguientes preguntas: a)  ¿Cuántos ingenieros con las tres especialidades necesita la empresa? b)  ¿Cuántas plazas ofrece la empresa para ingenieros con única especialidad en ingeniería eléctrica? c )  ¿Cuántas plazas para los que son eléctricos y químicos a la vez pero no mecánicos? 1.23  Se presentan 44 solicitantes para cubrir las plazas que ofrece la empresa que se citan en el problema anterior. Entre los aspirantes hay 29 ingenieros mecánicos, 19 químicos, 6 mecánicos eléctricos, 8 químicos y eléctricos, 9 mecánicos y químicos y 1 mecánico-eléctricoquímico. Con base en el número de candidatos que se presentaron, responde: ¿Cuántos ingenieros eléctricos han presentado solicitud? 32

Problemas aplicados a la realidad

1.29 Escribe en forma de una sola potencia:

1.30  Utilizando potencias de 10, realiza la descomposición de estos números: a)  10 256 b)  125 368 1.31 Escribe cada una de las siguientes operaciones con potencias de 10. a)  54 + 35 b)  782 + 413 c )  645 - 439 1.32  Demuestra con inducción matemática que: 12 + 22 + 32 + � + n2 =

n(n + 1)(n + 2) 6

1.33  Demuestra con inducción matemática que: (n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + n) = 2n ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5…(2n - 1) Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria© 1.34  Demuestra con inducción matemática que: 12 − 22 + 32 − 42 + � + ( −1)n −1n2 = ( −1)n −1

n(n + 1) 2

1.35  Dado n número entero positivo, demuestra por inducción que: 6 + 20 + 34 + … + 2(7n - 4) = n(7n - 1) 1.36  Dado n número entero positivo, demuestra por inducción que: 3 + 6 + 12 + … + 3 × 2n-1 = 3(2n - 1)

En los ejercicios del 1.52 al 1.58,realiza la operación indicada:  1  25 1.52   3 +  + 4 2  1.53 

5  7 1.54   − 1  − 2 2 2  1.55 

1.37  Demuestra que 8n - 1 es divisible entre 7. 1.38  Demuestra que 2(4n + 2) es divisible entre 3. 1.39  Demuestra que n(n + 3) es divisible entre 2. 1.40  Determina el mcd y el mcm de: a)  15 y 30 b)  7 y 14

1  1 1 ÷ + 2  4 3 

1  1 1 2 ÷ + − 7  4 3 9 

 3 1  5 1  1.56   +  ÷  +   4 2  3 6  3 1  2 + 4  1.57   5 1  6 + 3   3 1  −1 + 4 − 3  1.58   1  2 − 4 

c )  9 y 18 d)  3, 6 y 12 e)  8 y 4

km 1.59  Un auto circula a 100 . ¿Qué distancia recorre en h 10 minutos?

1.41  Determina los factores de 546. 1.42  Determina los factores de 1 056. 1.43  Determina los factores de 7 539. 1.44  Determina los números primos del 1 al 100. 1.45  Realiza la descomposición en números primos de 6 936. 1.46  Realiza la descomposición en números primos de 1 200. 1.47  Calcula el mcd de 6 936 y 1 200. 1.48  Se desea repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolates entre cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número exacto de cada uno de esos elementos. ¿Cuál es el mayor número de niños que puede beneficiarse así y qué cantidad de cada objetos recibe cada uno? 1.49  En un importante centro comercial se desea acomodar 1 830 latas de aceite y 1 170 latas de verduras en un cierto número de cajones que contengan el mismo número de latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar las latas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que puedan ponerse en cada cajón?

1.60  En una importante competencia un ciclista circula a velocidad constante; inicia su movimiento en x = -12 m y después de 8 s está en x = + 28 m. Determina su rapidez. 1.61  Determina la distancia que recorre una liebre en 10 s, si en un quinto de minuto recorre 40 metros. 1.62  Una moto y un auto se encuentran a una distancia de 1 000 metros. Si parten simultáneamente en la misma dirección y con rapideces de 25 m/s y 15 m/s, respectivamente. ¿En qué tiempo se produce el encuentro? En ese tiempo, ¿qué distancia recorre la moto y qué distancia recorre el auto? 1.63  Escribe como potencia de 10: a)  1 000 000

d)  mil millones

b)  0.000001

e)  una milésima

c )  0.0000000001

f )  una millonésima

En los ejercicios del 1.64 al 1.69. Simplifica 1.64  5 x 10

1.50  Se tienen tres tubos de 84, 270 y 330 cm3. ¿Cuál es el mayor volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos?

1.65  6 x 8

1.51  ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en pedazos de 5 cm, 2 cm y 3 cm, sin que sobre ni falte nada y cuántos pedazos de esa longitud se podrían sacar de esa varilla?

1.67  8 81

Problemas aplicados a la realidad

1.66  9 64 1.68  2 648 1.69  175

Problemas para resolver con tecnología

33


UNIDAD

1

Problemas para resolver

En los ejercicios del 1.70 al 1.73. Realiza la operación 1.70  2 2 − 4 2 + 2

 | x + 1 |  ≤ 4

1.71  3 4 5 − 2 4 5 + 4 5

1.85  Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen:

1.72  12 − 3 3 + 2 75

 | x + 2 |  ≥ 3

1.73  4 4 + 6 8 − 12 64 En los ejercicios del 1.74 al 1.76. Simplifica la expresión: 1.74  5 2 ( 3 2 − 3 )

1.87  Determina el intervalo solución para la desigualdad:

1.76  ( 2 7 − 27 ) ( 28 − 3 )

x ≤ 3x + 2 ≤ x + 6 1.88  Determina el intervalo solución para la desigualdad:

1.77  Simplifica la expresión y escríbela en notación científica: 4 0.00000001 (1000 )−2 (0.00001) (100 000 )5 (0.001)−3

1.79  Racionaliza 1.80  Racionaliza

1.86  Escribe en forma de intervalo los valores de x que cumplen la siguiente desigualdad:  | x - 2 |  ≥ 5

1.75  (1 + 2 ) ( 3 − 2 )

1.78  Racionaliza

1.84  Expresa, mediante intervalos, los valores de x para los que se cumple la siguiente desigualdad:

4

3x + 2 < 5x + 8 1.89  Determina el intervalo solución para la desigualdad:  | 5 + 4x |  < 17 1.90  Determina el intervalo solución para la desigualdad:

3

0 < | x + 1 |  ≤ 5

15

1.91  Determina el intervalo solución para la desigualdad:

4 3

 | 5 - 2x |  > 7

1

1.92  Determina el intervalo solución para la desigualdad:

5−3 2

1.81  Representa en la recta real los intervalos que satisfacen las siguientes relaciones: a)   | x |  < 1

 | 4 - x |  > 0 1.93  Determina el intervalo solución para la desigualdad:  | x + 9 |  ≥ 8

b)   | x |  ≤ 1

1.94  Determina el intervalo solución para la desigualdad:

c )  | x |  > 1

7- 2x ≥ -3

d)   | x |  ≥ 1

1.95  Determina el intervalo solución para la desigualdad:

1.82  Expresa en forma de intervalo los números que verifican:  | x- 4 |  ≤ 2 1.83  Averigua, escribiendo el resultado en forma de intervalo, qué valores de x son los que cumplen esta desigualdad:

5 > 2- 9x > -4 1.96  Determina el intervalo solución para la desigualdad: 2x + 3 <2 5

 | x - 5 |  ≤ 2

34

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria©

Problema reto 1

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, construyó por primera vez la sucesión que lleva su nombre: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, 2 584, 4 181, 6 765..., Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores. El cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci se aproxima al número de oro (φ = 1,618...). Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí. Esta sucesión de números también aparece en la naturaleza, en el arte (arquitectura, escultura, pintura...) y en la estructura de los mercados financieros de hoy en día, con numerosas aplicaciones prácticas. Resuelve el problema que planteó Leonardo: Tenemos una pareja de conejos. Si en cada parto obtenemos una nueva pareja y cada nueva pareja tarda un mes en madurar sexualmente y el embarazo dura un mes, ¿cuántas parejas tendremos en 12 meses?

Referencias Lehmann, Charles. (1972). Álgebra, Limusa Wiley: México. Seymour, Lipschutz. (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. Serie Schaum, McGraw-Hill: México. Swokowski, Earl W. y Cole Jeffery A. (1998). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 9ª ed., Thomson: México.

direcciones electrÓnicas http://graph.uptodown.com/  (consultada septiembre 2011) http://geogebra.uptodown.com/descargar  (consultada septiembre 2011)

35


UNIDAD

Problemas para resolver 36

1

NĂşmeros reales


UNIDAD

2

Números complejos Objetivo Emplear los números complejos, en sus diferentes representaciones y propiedades, para resolver ecuaciones con una incógnita que contengan números complejos.

¿Qué sabes? ¿Qué son los números complejos? ¿Por qué surgen los números complejos? ¿Cuáles son los componentes de los números complejos?


UNIDAD

2

Números complejos

2.1  Introducción Desde el siglo xvi, en la solución de ecuaciones cuadráticas, se descubrió una clase de números que, al elevarse al cuadrado, resultaban ser números negativos. Debido a que estos “números” sólo existen en la imaginación, se les denominó como imaginarios. En el siglo xviii, el concepto de número avanzó a pasos agigantados hacia la evolución cuando el matemático alemán Carl Friedrich Gauss colocó a los números reales como un subconjunto de los números complejos. Por ejemplo, cuando se trata de resolver ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈ R, se encuentran situaciones en las que el conjunto de los números reales no basta; como en el ejemplo siguiente: x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = -1 Esta ecuación no tiene solución en R, ya que x = ± −1.

2.2  Unidad imaginaria En los números complejos, i es la unidad imaginaria y tiene la propiedad i 2 = -1. Entonces: i =

−1

i2 = i ⋅ i =

i =i

i 4 = i 3 ⋅ i = -i ⋅ i = -i 2 = -(-1) = 1

 3

 2

−1 ⋅ −1 = −1

⋅ i = -1 ⋅ i = -i

i 5 = i 4 ⋅ i = 1 ⋅ i = i

:

Un número imaginario puro es un multiplo constante real de la unidad imaginaria; por ejemplo, z = 8i es un número imaginario puro.

2.3  Formas de expresar un número complejo ❚ Forma binómica Cuando se usa la unidad imaginaria, se construye un número general complejo a partir de dos números reales a y b. Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados z = (a, b) = a + bi Donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. La forma binómica es a + bi. El número real a se llama la parte real de z, en tanto que el número real b se denomina la parte imaginaria de z. Las partes real e imaginaria de un número complejo z se denotan por Re (z) e Im (z), respectiva­ mente. Por su parte, la forma de par ordenado es (a, b).

Problema resuelto Anotar cuáles son las partes real e imaginaria de los siguientes números complejos: a)  2+ 3i b)  -1 - 3i c )  -2 + 4i d)  -3 + 7i

38


Grupo Editorial Patria© Solución

a)  Re = 2, Im = 3     b)  Re = -1, Im = -3     c )  Re = -2, Im = 4     d)  Re = -3, Im = 7

Problema resuelto Expresar el siguiente número complejo en su forma binómica. (2 - 3i )i Solución

Para resolver este problema, realizamos la siguiente multiplicación: (2 - 3i )i = 2i - 3i 2 = 2i -3(-1) = 3 + 2i

❚ Representación geométrica de un número complejo Sea z = a + bi, considérese el plano euclidiano real, R2, y en este un sistema de referencia ortonormal. De esta forma, a cada número complejo z = a + bi le corresponde un punto del plano P(a, b), y recípro­ camente, dado ese punto del plano, se le asocia el número complejo z = a + bi. Así pues, de esta forma, se tiene una biyección entre el plano euclidiano real, R2, y el cuerpo de los números complejos, C. Cuando el plano se utiliza para representar números complejos, se denomina plano complejo o plano z. En éste, al eje de las x se le llama eje real y al eje de las y se le denomina eje imaginario. Por su parte, a la representación de los números complejos en el plano se le llama diagrama de Argand.

Problema resuelto Representar en el plano complejo los siguientes números complejos: a)  2+ 3i     b)  -1 - 3i     c)  -2 + 4i     d)  3 - 7i Solución

Eje imaginario

10 8 6

−2 + 4i

4

2 + 3i

2 −5

−4

−3

−2

−1

−2

1

2

3

4

5 Eje real

−1 − 3i −4 −6 −8

3 − 7i

−10

Figura 2.1

39


UNIDAD

2

Números complejos En el plano, al punto (a, b) se le llama afijo del número complejo z = a + bi.

z=

a+

bi

P(a, b)

b θ O a

Figura 2.2

El ángulo, q, que forma el vector OP con el eje de abscisas en el plano, recibe el nombre de argumento de z. Además, el módulo del vector OP es: |z | = |OP | =

a2 + b 2

El cual coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas. El valor absoluto de z = x + iy se puede expresar como: |z | =

zz

Nota: Más adelante se explicará con detalle el conjugado z. Demostración: z z = ( x + iy )( x − iy ) = x 2 − i 2 y 2 = x 2 + y 2 = |z | 2 ⇒ |z | = Sean z1 y z 2 números complejos. Las identidades siguientes son válidas: i.  | z |  ≥  | Re z |  ≥ Re z ii.  | z |  ≥  | Im z |  ≥ Im z iii.  | z1z 2 |  =  | z1 |  | z 2 |  iv.

z1 z = 1 con |z 2 | ≠ 0 z2 z2

Problema resuelto Determinar el módulo de

40

(4 + 3i )(1 + i ) . 7-i

zz


Grupo Editorial Patria© Solución

Como lo que se pide es el módulo, no es preciso realizar las operaciones indicadas. El módulo de un producto es el producto de los módulos y, por tanto, el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. De esta forma: |(4 + 3i )||(1 + i )| (4 + 3i )(1 + i ) = = 7-i |7 - i |

42 + 32 12 + 12 7 + ( -1) 2

2

=

25 2 50

=

50 50

=1

2.4  Desigualdad del triángulo Si z1 y z 2 son números complejos, entonces:  | z1 + z 2 |  ≤  | z1 |  +  | z 2 |  Demostración:

 | z1 + z 2 | 2 = (z1 + z 2)( z1 + z 2 ) 

= (z1 + z 2)( z1 + z 2 )

= z1z1 + z1z 2 + z2z1 + z2z 2

 =  | z1 | 2 + z1z2 + z2z 1 +  | z 2 | 2

=  | z1 | 2 + z1z2 + z1z 2 +  | z 2 | 2

Por otra parte:

z1z2 + z1z 2 = 2Re(z1z 2 ) ≤ 2 | z1z2 |  = 2 | z1 | | z2 |  =  | z1 | | z2 | Entonces: | z1 + z2 | 2 ≤  | z 1 | 2 + 2 | z 1 | | z2 |  +  | z 2 | 2 = ( | z 1 |  +  | z2 | ) 2 Tomando la raíz cuadrada, se obtiene: | z1 + z2 |  ≤  | z1 |  +  | z 2 | 

Problema resuelto Comprobar la desigualdad del triángulo para z1 = 3 + 5i y z 2 = 8 - 3i. Solución

La desigualdad del triángulo es: | z1 + z2 |  ≤  | z1 |  +  | z 2 | 

z1 + z2 = 3 + 5i + 8 - 3i = 11 - 2i 

|z1 + z 2 | = |11 - 2i | =

|z1 | =

(3 + 5i )(3 - 5i ) =

9 + 25 =

34 = 5.83

|z 2 | =

(8 - 3i )(8 + 3i ) =

64 + 9 =

73 = 8.54

(11 - 8i )(11 + 8i ) = 121 + 4 = 125 = 11.18

Por tanto, sí se cumple que: | z1 + z2 |  ≤  | z1 |  +  | z 2 |  Ya que: 11.18 ≤ 5.83 + 8.54 = 14.37

41


UNIDAD

2

Números complejos

2.5  Forma polar o trigonométrica de un número complejo Sea  | z |  = r, para un número complejo, el argumento q:

z=

a+

bi

P(a, b)

b

θ O

a

Figura 2.3 

De la figura se observa que: sen θ =

b ⇒ b = r sen θ |z |

cos θ =

a ⇒ a = r cos θ |z |

z = a + bi = r (cos q + i sen q) = rei q

Problema resuelto Alerta Fórmula de Euler:

Demostrar la fórmula de Euler: ei q = cos q + i sen q

e i  q = cos q + i sen q con q en radianes. A la forma z = re i  q se le llama forma polar o trigonométrica.

Solución

Las series de Taylor de las funciones seno, coseno y exponencial son: sen x = x -

x3 x5 x7 + ± = 3 ! 5 ! 7!

( -1)n x 2n +1 n = 0 ( 2n + 1)!

cos x = 1 -

x2 x4 x6 + ± = 2! 4! 6!

( -1)n x 2n (2n )! n=0

ex = 1 +

x x2 x3 + + ± = 1! 2 ! 3 !

∑ ∞

xn

∑ n!

n=0

En la serie exponencial sustituimos x = qi, con q real: e qi = 1 +

q q2 2 q3 3 i+ i + i ± = 1! 2! 3!

qni n n=0 n !

Asimismo, sustituimos i 1 = i, i 2 = -1, i 3 = -i, i 4 = 1… y separamos las potencias pares de las impares: e qi = 1 + Entonces:

42

 q q3  q2 q4 + ++i +  2! 4!  1! 3 !  eqi = cos q + i sen q


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Determinar el módulo y el argumento para los siguientes números complejos: a)  2 + 3i     b)  -2 + 4i     c )  -1 - 3i     d)  3 - 7i Solución

Recordemos que su representación en el plano complejo es:

Eje imaginario

10 8 6

−2 + 4 i

4

2 + 3i

2 −5

−4

−3

−2

−1

1

−2

2

3

4

5 Eje real

−1 − 3i −4 −6

3 − 7i

−8 −10

Figura 2.4 

a)  El número complejo 2 + 3i se encuentra en el primer cuadrante (véase figura 2.5).

y

4.0

3.5 I cuadrante 2 + 3i

3.0

2.5 θ x

2.0 Figura 2.5 

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

Por tanto, su módulo es: (2)2 + (3)2 = 13 Y su argumento es q:  3 q = tan-1   = 56.31°  2

43


UNIDAD

2

Números complejos En general, el argumento q se expresa en radianes; entonces, si se recuerda que 1 rad = 57.296°: q=

56.31 rad = 0.9828 rad 57.296

b)  El número complejo -2 + 4i se encuentra en el segundo cuadrante (véase figura 2.6).

y

5.0

II cuadrante

4.5

−2 + 4 i

4.0

3.5 θ

θ′ 3.0 Figura 2.6 

−3.0

−2.8

−2.6

−2.4

−2.2

−2.0

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1.0 x

Por tanto, su módulo es: ( -2)2 + (4 )2 = Y su argumento es q:

20

 4 q′ = tan-1   = -63.43°  -2 

Para obtener q se suman 180°, ya que el argumento es el ángulo que hace el vector con el eje real: q = 180° + q′ = 180° - 63.43° = 116.57° q=

116.57 rad = 2.0345 rad 57.296

c)  El número complejo -1 - 3i se encuentra en el tercer cuadrante (véase figura 2.7).

θ

III cuadrante x −2.0 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 −0.0 −2.0 y θ′ −2.5

−1 − 3i

−3.0

−3.5

Figura 2.7 

44

−4.0


Grupo Editorial Patria© Por tanto, su módulo es: ( -1)2 + ( -3)2 = 10 Y su argumento es q:  -3  q′ = tan-1   = 71.56°  -1 Para obtener q se suman 180°, ya que el argumento es el ángulo que forma el vector con el eje real: q = 180° + q′ = 180° + 71.56° = 251.57° q=

251.57 rad = 4.39 rad 57.296

d)  El número complejo 3 - 7i se encuentra en el cuarto cuadrante (véase figura 2.8).

IV cuadrante θ −6.0 y

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

3.8

x 4.0

θ′

−6.5

−7.0

3 − 7i

−7.5

−8.0

Figura 2.8

Por tanto, su módulo es: (3)2 + ( -7)2 =

58

Y su argumento es q:  -7  q′ = tan-1   = -66.8°  3 Para obtener q se suman 360°, ya que el argumento es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo: q = 360° + q′ = 360° - 66.8° = 293.2°

q=

293.2 rad = 5.12 rad 57.296

45


UNIDAD

2

Números complejos

Problema resuelto Sea 2 - 3i; expresarlo en su forma polar. Solución

Primero, se traza en el plano complejo, como en la figura 2.9:

−2.0 y

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0 x

−2.5

−3.0

−3.5

−4.0

Figura 2.9

Como se observa en la figura, se sitúa en el cuarto cuadrante. Ahora, determinamos su módulo: z = 2 - 3i ⇒ |z | =

22 + ( -3)2 =

4 + 9 = 13

Después, determinamos su argumento:  -3  q = tan-1   = 56.3°  2 Pero, debido a que está en el cuarto cuadrante: q = -56.3° + 360° = 303.7° =

303.7° prad = 1.687 p 180°

Entonces: z = 2 - 3i = 13e1.687 pi

2.6  Producto y cociente de números complejos en forma polar La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que: “Su módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos.” Así: z1z2 = r1ei q1r2ei q2 = r1r2ei (q1 + q2) = ReiQ ⇒ R = r1r2, Q = q1 + q2 46


Grupo Editorial Patria© La división de dos números complejos es otro número complejo tal que: “Su módulo es el cociente de los módulos y su argumento es la diferencia de los argumentos.” Así: i θ1

r z1 re r = 1 i θ = 1 ei ( θ1 + θ2 ) = Rei Θ ⇒ R = 1 , Θ = θ1 − θ 2 2 r z2 r r2e 2 2 Al multiplicar un número complejo z = rei q por ei b, se gira a z un ángulo b alrededor del origen, en sentido antihorario. En tanto, al dividir un número complejo z = rei q entre ei b, se gira a z un ángulo b alrededor del origen, en sentido horario. zei β = rei θ ei β = rei ( θ + β )

o zei β =

Alerta A partir de la representación gráfica de los números complejos, la multiplicación o la división de un número complejo por otro equivale a multiplicar o a dividir su módulo (agrandarlo o acortarlo) y hacerlo girar en el plano complejo.

rei θ = rei ( θ − β ) ei β

z1 = re i (θ + β) β z = re i θ z2 = re i (θ − β)

θ θ−β

θ+β

Figura 2.10

Problema resuelto ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del número complejo 2 - i ? Solución

Como primer paso, se representa al número complejo 2 – i en su forma polar, para ello calculamos su módulo y su argumento: (2)2 + ( -1)2 =

5

El número complejo está en el cuarto cuadrante (véase figura 2.11) y su argumento es:

q′ = tan-1

-1 = -26.56° 2

q = 360° - 26.56° = 333.43° =

333.43° rad = 5.82 rad 57.296°

47


UNIDAD

2

Números complejos

y 2

1

x −1.0

−0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2−i

−1

2.5

Figura 2.11

Entonces: 2-i = Por tanto, 90° en radianes es igual a

5ei 5.82

p . 2

Para hacer girar el afijo un ángulo de 90° en sentido antihorario, lo multiplicamos por el número

complejo de módulo unidad e

i

p

p 2

:  p i  5.82 +  2

i

5ei 5.82e 2 =

5e 

=

5e 7.3908i

e7.3908i = cos(7.3908) + i sen(7.3908) = 0.44680 + 0.89464i

5e 7.3908i =

5 (0.44680 + 0.8964i ) = 0.999 + 2.001i ≈ 1 + 2i

y 1 + 2i

2

1 π – 2 −1.0

−0.5

0.5

−1

48

Figura 2.12

x 1.0

1.5

2.0

2.5

2− i


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 180°, en sentido horario alrededor del origen, el afijo del número complejo 2 - i? Solución

y 2

1

x −1.0

−0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

−1

2.5

2− i

Figura 2.13

La representación polar de 2 - i =

5ei 5.82 .

Por tanto, 180° en radianes es igual a p. Para hacer girar el afijo un ángulo de 180° en sentido horario, lo dividimos entre el número complejo de módulo unidad eip: 5ei 5.82 = e pi

5ei ( 5.82 - p ) =

5e 2.6784i

e2.6784i = cos(2.6784) + i sen(2.6784) = -0.89464 + 0.44679i

5e 2.6784i =

5 ( -0.89464 + 0.44679i ) = -2.0005 + 0.99905i ≈ -2 + i

5

y

4 3 2 −2 + i −5

−4

−3

−2

1 −1

−1

π

x 1

2

2−i

3

4

5

−2 −3 −4 −5

Figura 2.14

49


UNIDAD

2

Números complejos

2.7  Potencia de un número complejo La potencia enésima de un número complejo es otro número complejo tal que: “Su módulo es la potencia enésima del módulo y su argumento es n veces el argumento dado.” Así, sea z = rei q, entonces: zn = (rei q ) n = r neinq Conviene hacer esta operación siempre en forma polar. A partir del modo de cálculo de las potencias de números complejos, se obtiene la fórmula de DeMoivre. Primero, se eleva z = rei q a la n: (rei q ) n = (r (cos q + isen q )) n = r n(cos q + i sen q ) n Por otra parte, r nei n q = r n (cos n q + i sen nq ) Igualando: r n (cos q + i sen q )n = r n (cos n q + i sen n q )

Problema resuelto Determinar (1 + i )4. Solución

Primero, escribimos 1 + i en su forma polar: 1+ i =

ip

2e 4

Posteriormente, elevamos 1 + i escrito en su forma polar a la cuarta: (1 + i )4 =

(

ip

2e 4

)

4

=

( 2)

4

(e ) ip 4

4

= 4eip

Ya tenemos la potencia en su forma polar; si la requerimos en su forma binómica, desarrollamos la exponencial: (1 + i )4 = 4ei p = 4(cos  p + isen  p) = -4

Problema resuelto Calcula z3 si z = -3-i. Solución

Primero, hay que escribir a z = -3-i en su forma complejo, y esto lo representamos al número complejo z = -3-i en el plano complejo:

50


Grupo Editorial Patria©

−4.0

−3.8

−3.6

−3.4

−3.2

−3.0

−2.8

−2.6

−2.4

−2.2

x −2.0

0.0 y −0.5

−1.0

−1.5

−2.0

Figura 2.15

Como se puede observar, se encuentra en el tercer cuadrante. Ahora, calculamos su módulo: z = -3 - i ⇒ |z | =

( -3)2 + ( -1)2 =

9 + 1 = 10

Acto seguido, calculamos el argumento:  -1  1 q = tan-1   = tan-1   = 18.4° 3    3 Pero, z está en el tercer cuadrante, entonces su argumento es: q = 180° + 18.4° = 198.4° = 3.4628 rad La representación polar de z = -3 -i es z = 10ei 3.4628 , entonces z3 =

(

10ei 3.4628 ) = 31.62(ei10.38) = -18.05 - 25.965i 3

Problema resuelto Expresar cos 5q y sen 5q en función de cos q y sen q, usando la fórmula de DeMoivre. Solución

Usando el binomio de Newton desarrollamos (cos q + isen q)5:

1

(cos q + isen q )° = 1

11

(cos q + isen q )1 = cos q + isen q

121

(cos q + isen q )2 = cos2 q + 2i cos q  sen q + i 2sen2 q

1 331

(cos q + isen q )3 = cos3 q + 3i cos2 q sen q  + 3i 2 cos q sen2 q + i 3 sen3 q

14 641

(cos q + isen q )4 = cos4 q + 4i cos3 q sen q + 6i 2 cos2 q sen2 q + 4i 3 cos q sen3 q + i 4 sen4 q

15 101 051

(cos q + isen q )5 = cos5 q + 5i cos4 q sen q + 10i 2 cos3 q sen2 q + 10i 3 cos2 q sen3 q + 5i 4 cos q sen4 q + i 5 sen5 q

51


UNIDAD

2

Números complejos Entonces trabajamos con las potencias de i: (cos q + isen q )5 = (cos5 q - 10 cos3 q sen 2 q + 5 cos q sen4 q) + i(5cos4 q sen q - 10 cos2 q sen3 q + sen5 q) Por otra parte, usando la fórmula de DeMoivre: (cos q + isen q )5 = cos 5 q + isen 5 q Igualamos con la parte real e imaginaria de la expresión anterior y obtenemos: cos 5q = cos5 q - 10 cos3 q sen2 q + 5 cos q sen4 q Y que: sen 5 q = 5 cos4 q sen q - 10 cos2 q sen3 q + sen5 q

Problema resuelto Por medio del uso de la fórmula de Euler demostrar que: cos q =

ei q + e - i q ei q - e - i q y sen q = 2 2i

Solución

Si usamos la fórmula de Euler: ei q = cos q + i sen q y e-i q = cos q - i sen q Ahora bien, si sumamos ambas ecuaciones se obtiene: ei q + e-i q = cos q + i sen q + cos q - i sen q = 2 cos q Entonces: cos q =

ei q + e - i q 2

De igual modo, si restamos las mismas dos ecuaciones se obtiene: ei q = -e-i q = cos q + i sen q - cos q + i sen q = 2i sen q Entonces: sen q =

ei q - e - i q 2i

2.8  Conjugado de un número complejo A un número complejo de la forma a - bi se le llama el conjugado del número complejo a + bi; se

Alerta El conjugado cambia el signo de la parte compleja.

52

simboliza con una línea sobre el número a + bi = a - b. La longitud o norma del vector z es el módulo del número complejo z. En tanto, la distancia entre los puntos z1 y z 2 es  | z1 - z 2 | . Así z está determinado por el punto simétrico de z, respecto al eje real. De esta forma, el simétrico respecto al eje imaginario es - z.


Grupo Editorial Patria© −z–

z

–z

Figura 2.16

Los números complejos de módulo uno  | z |  = 1 pertenecen a la circunferencia de radio uno con centro en el origen del plano complejo y son de la forma: z = ei q (véase figura 2.17). 1.0 y

z = e iθ

0.8 0.6 0.4 θ

0.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 −0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

x 1.0

−0.4 −0.6 −0.8 −1.0

Figura 2.17

2.9  Soluciones complejas de una ecuación de segundo grado Para resolver una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, se utiliza la fórmula general: x =

−b ± b 2 − 4ac 2a

Al término que está dentro de la raíz, b2 - 4ac, se le conoce como discriminante. A partir de este, es posible saber el número y la naturaleza de las soluciones: 1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x ). 2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x ). 3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan). 53


UNIDAD

2

Números complejos

Problema resuelto Resolver la ecuación x2 + 9 = 0. Solución

Primero, despejamos x2:

x2 = -9

Por último, extraemos la raíz cuadrada a ambos términos: x = ± -9 = ± -1(9 ) = ± -1 9 = ±3i

Problema resuelto Resolver la ecuación x2 + x + 2 = 0. Solución

Primero, usamos la fórmula general. En este caso: a = 1, b = 1, c = 2 Entonces:  -1 + i 7  -1 ± 1 - 4(1)(2) -1 ± i 7  2 x = = = 2(1) 2  -1 - i 7  2  La ecuación tiene dos soluciones complejas y una es compleja conjugada de la otra.

Problema resuelto Comprobar que los números complejos z = 1 ± i satisfacen la ecuación z 2 - 2z + 2 = 0. Solución

Como primer paso, sustituimos z = 1 ± i en la ecuación dada:

(1 ± i )2 - 2(1 ± i ) + 2 = 0 ± 1 ± 2i + i 2 - 2 2i + 2 = 0 1 ± 2i  + i 2 - 2 - (± 2i ) + 2 = 0 1-1=0

Problema resuelto Resolver la ecuación z 2 + z + 1 = 0. Solución

Sea z = x + iy, con x y y reales y y ≠ 0, lo sustituimos en la ecuación dada:

54

z 2 + z + 1 = 0

(x + iy)2 + x + iy + 1 = 0


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x2 + 2xiy + i 2y2 + x + iy + 1 = 0

x2 - y2 + x + 1 + i(2xy + y) = 0

Luego, separamos la parte real: x2 - y2 + x + 1 = 0 Después separamos la parte imaginaria: 2xy + y = 0 ⇒ y (2x + 1) = 0 ⇒ 2x = -1 ⇒ x = -

1 2

Entonces: 2

2

 1  1  1  1 2 2  - 2  - y +  - 2  + 1 = 0 ⇒  - 2  +  - 2  + 1 = y ⇒ y =

3 3 =± 4 2

De esta forma, las dos raíces son: z =-

1 3 ±i 2 2

2.10  Igualdad de números complejos Dos números complejos son iguales si sus correspondientes partes imaginarias y reales son iguales. Los números complejos z1 = a1 + ib1 y z 2 = a2 + ib2 son iguales; z1 = z 2, si a1 = a2 y b1 = b2. Es decir, usando los términos de los símbolos Re(z) e Im(z), z1 = z 2 si Re(z1) = Re(z 2) e Im(z1) = Im(z 2). La totalidad de los números complejos o el conjunto de números complejos normalmente se denota por el símbolo C. Debido a que cualquier número real a se puede escribir como z = a + 0i, se denota que el conjunto R de los números reales es un subconjunto de C.

2.11  Operaciones aritméticas Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Si z1 = a1 + ib1 y z 2 = a2 + ib2, estas operaciones se definen como sigue:

❚ Suma z1 + z 2 = (a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ) = (a + c) + i (b + d )

Problema resuelto Realiza la suma de números complejos:  1   3 + 2 i  + ( -2 + 3i ) Solución

Para la solución, se suman sus respectivas partes reales e imaginarias:  1  1  7  3 + 2 i  + ( -2 + 3i ) = (3 - 2) + i  2 + 3 = 1 + 2 i

55


UNIDAD

2

Números complejos ❚ Resta z1 - z 2 = (a, b) - (c, d ) = (a - c, b - d ) = (a - c) + i (b - d )

Problema resuelto Realizar la siguiente resta de números complejos:  1   3 + 2 i  - ( -2 + 3i ) Solución

Para la solución, se restan sus respectivas partes reales e imaginarias.  1  1  5  3 + 2 i  - ( -2 + 3i ) = (3 + 2) + i  2 - 3 = 5 - 2 i

❚ Multiplicación z1 ⋅ z 2 = (a, b) ⋅ (c, d ) = (ac, ad ) + (-bd, bc ) = (ac - bd, ad + bc )

Problema resuelto Realiza la siguiente multiplicación de números complejos:  1   3 + 2 i  ( -2 + 3i ) Solución

Para la solución, se multiplica componente por componente, se sustituye i 2 = 1 y se suman partes reales con partes reales y partes imaginarias con partes imaginarias.  1  1  1   3 + 2 i  ( -2 + 3i ) = (3)( -2) + 3(3i ) -  2 i  (2) +  2 i  (3i )

= -6 + 9i - i +

3 2 i 2

= -6 + 9i - i -

3 2

=-

15 + 8i 2

❚ División Para dividir números complejos de forma binómica se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes. z1 a + bi c − di ac − bd ( −1) + ( −ad + cb )i ac − adi + cbi − bdi 2 = = ⋅ = c2 + d2 z2 c + di c − di c 2 − cdi + cdi − d 2i 2 = 56

ac + bd + (ad + cb )i  ac + bd (cb − ad )  , = 2 c2 + d2  c + d 2 c 2 + d 2 


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Problema resuelto Realizar la división de números complejos: 1 i 2 -2 + 3i 3+

Solución

Primero, multiplicamos por la unidad formada como el cociente del complejo conjugado del denomi­ nador:  1   3 + 2 i  ( -2 - 3i ) ( -2 + 3i ) ( - 2 - 3 i)  =1

Luego, se multiplica, término a término, numerador por numerador y denominador por denominador.  1  1  1   3 + 2 i  ( -2 - 3i ) (3)( -2) + 3( -3i ) +  2 i  ( -2) +  2 i  ( -3i ) = ( -2 + 3i )( -2 - 3i ) ( -2)2 - (3i )2

=

-6 - 9i - i 4 - 9i 2

3 2 i 2

Alerta Recuérdese de los productos notables, al producto de binomios conjugados: (a + b)(a - b) = a2 - b2

Enseguida, se sustituye i 2 = -1 y se suman partes reales con partes reales y partes imaginarias con partes imaginarias, tanto en el denominador como en el numerador:   1  3 3  3 + 2 i  ( -2 - 3i ) -6 - 9i - i - ( -1)  -6 + 2  - 10i 9 10 2 = = =i ( -2 + 3i )( -2 - 3i ) 4 - 9( -1) 13 26 13

Problema resuelto Si z1 = 3 + 7i y z 2 = -3 + 10i, calcular: a)  z1 + z 2     b)  z1 - z 2     c )  z1z 2     d)  z1/z 2 Solución

a) Sumando las partes real e imaginaria, la suma de los dos números complejos z1 y z 2 es:

z1 + z 2 = (3 + 7i ) + (-3 + 10i ) = (3 - 3) + (7 + 10)i = 0 + 17i = 17i.

b) Restando las partes real e imaginaria, la resta de los dos números complejos z1 y z 2 es: c )  d)

z1 - z 2 = (3 + 7i ) - (-3 + 10i ) = (3 + 3) + (7 - 10)i = 6 - 3i z1z 2 = (3 + 7i )(-3 + 10i ) = (3 + 7i )(-3) + (3 + 7i ) (10i ) = -9 – 21i + 30i + 70i 2 = (-9 - 70) + (-21 +30)i = -79 + 9i. z1 (3 + 7i ) ( -3 - 10i ) -9 - 30i - 21i - 70i 2 61 - 51i 61 51i = = = = 109 109 109 z 2 ( -3 + 10i ) ( -3 - 10i ) 9 + 30i - 30i - 100i 2

57


UNIDAD

2

Números complejos

2.12  Leyes del álgebra compleja Sea que z1, z 2 y z3 ∈ C, entonces hay que conocer y aplicar las siguientes leyes.

❚ Ley de cerradura z1 + z 2 ∈ C y z1z 2 ∈ C

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i y z 2 = -1 + 3i, ejemplificar la ley de cerradura. Solución

Lo que indica esta ley es que la suma de dos números complejos debe ser un número complejo; enton­ ces, primero realizamos la suma: z1 + z 2 = 5 + 9i - 1 + 3i = 4 + 12i ∈ C Pero, ¿qué sucede si sumamos z1 = 5 + 9i y z 2 = -1 - 9i ? z1 + z 2 = 5 + 9i - 1 - 9i = 4 ∈ R ⊂ C En este caso, hemos obtenido 4 y es un número real, pero los reales son un subconjunto de los números complejos:

Números complejos

Números reales

Números imaginarios

Figura 2.18

❚ Ley asociativa de la suma z1 + (z 2 + z3) = (z1 + z 2) + z3

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, z 2 = -1 + 3i, y z3 = 4 + 8i, ejemplificar la ley asociativa de la suma.

Solución

z1 + (z 2 + z3 ) = 5 + 9i + (-1 + 3i + 4 + 8i ) = 5 + 9i + (3 + 11i ) = 8 + 20i y: (z 1 + z 2 ) + z 3 = (5 + 9i - 1 + 3i ) + 4 + 8i  = (4 + 12i ) + 4 + 8i = 8 + 20i

❚ Ley conmutativa de la suma z1 + z 2 = z 2 + z1 58


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, z 2 = -1 + 3i, ejemplificar la ley conmutativa de la suma. Solución

z1 + z 2 = 5 + 9i - 1 + 3i = 4 + 12i

z 2 + z1 = -1 + 3i + 5 + 9i = 4 + 12i

❚ Ley asociativa de la multiplicación z1(z 2z3) = (z1z 2)z3

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, z 2 = -1 + 3i, y z3 = 4 + 8i, ejemplificar la ley asociativa de la multiplicación. Solución

z 1(z 2 z 3 ) = (5 + 9i )((- 1 + 3i )(4 + 8i )) = (5 + 9i )(-4 - 8i + 12i + 24i 2 )

= (5 + 9i )(-4 - 8i + 12i - 24) = (5 + 9i  )(-28 + 4i )

= -140 + 20i - 252i  - 36 = -176 - 232i

(z 1 z 2 )z 3 = ((5 + 9i )(-1 + 3i ))(4 + 8i ) = (-5 + 15i - 9i + 27i 2 )(4 + 8i )

= (-32 + 6i )(4 + 8i ) = -128 - 256i + 24i + 48i 2

= -128 - 256i + 24i + 48 = -176 - 232i

❚ Ley conmutativa de la multiplicación z1z 2 = z 2z1

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, z 2 = -1 + 3i, ejemplificar la ley conmutativa de la multiplicación. Solución

z 1 z 2 = (5 + 9i )(-1 + 3i ) = -5 + 15i - 9i + 27i 2 = -5 + 6i - 27 = -32 + 6i

z 2 z 1 = (-1 + 3i )(5 + 9i ) = -5 - 9i + 15i + 27i 2 = -32 + 6i

❚ Ley distributiva z1(z 2 + z3) = z1z 2 + z1z3

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, z 2 = -1 + 3i, y z3 = 4 + 8i, ejemplificar la ley distributiva. Solución

z 1 (z 2 + z 3 ) = (5 + 9i )(-1 + 3i + 4 + 8i ) = (5 + 9i )(3 + 11i ) = (15 + 55i + 27i + 99i  2

= 15 + 55i  + 27i + 99i 2 = -84 + 82i

z 1 z 2 + z 1 z 3  = (5 + 9i )(-1 + 3i ) + (5 + 9i )(4 + 8i )

= -5 + 15i  - 9i + 27i 2 + 20 + 40i + 36i  + 27i 2

= -5 + 15i  - 9i + 27i 2 + 20 + 40i + 36i  + 72i 2 = -84 + 82i

59


UNIDAD

2

Números complejos Tiene elemento neutro aditivo: z1 + 0 = 0 + z1 = z1

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, ejemplifica al elemento neutro aditivo. Solución

z1 + 0 = 5 + 9i + 0 + 0i = 5 + 9i 0 + z1 = 0 + 0i + 5 + 9i = 5 + 9i

Tiene elemento neutro multiplicativo: z1(1) = (1)z1 = z1

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, ejemplificar al elemento neutro multiplicativo. Solución

z1(1) = (1)z1 = z1 El elemento neutro multiplicativo es el 1 real: z1(1) = (5 + 9i )(1) = 5 + 9i (1)z1 = (1)(5 + 9i ) = 5 + 9i

Tiene inverso aditivo: z + z1 = 0 ⇒ z = -z1, ∀ z1 ≠ 0

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, ejemplificar al elemento inverso aditivo. Solución

El elemento inverso aditivo es:

z = -z1 = -(5 + 9i ) = -5 - 9i

5 + 9i - 5 - 9i = 0 + 0i

Tiene inverso multiplicativo: z ⋅ z1 = 1 ⇒ z =

1 , ∀ z1 ≠ 0 z1

Problema resuelto Para z1 = 5 + 9i, ejemplificar al elemento inverso multiplicativo.

60


Grupo Editorial Patria© Solución

El elemento inverso multiplicativo es: z =

1 1 1 5 - 9i 5 - 9i 5 9i = = = = z1 5 + 9i 5 + 9i 5 - 9i 25 + 81 106 106

Se puede comprobar que:  5 9i  25 45i 45i 81i 2 25 + 81 106 (5 + 9i )  = + = = =1  106 106 106 106  106 106  106 106

Problema resuelto Determinar el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de z = 5 - 8i. Solución

El inverso aditivo es: z = -(5 - 8i ) = -5 + 8i El inverso multiplicativo está dado por: z =

5 - 8i 5 + 8i 5 8 1 1 (5 + 8i ) 5 + 8i = = = + = = i 89 89 89 (5 - 8i ) (5 - 8i ) (5 + 8i ) 25 + 40i - 40i - 64i 2 25 + 64

Así, se puede comprobar que:  5 8  25 + 64 89 z z1 = (5 - 8i )  + i = = =1 89 89  89 89 

Problema resuelto Demostrar que: Re( z ) =

z+z z-z y lm( z ) = 2 2

Solución

Sea z = x + iy ⇒ Re(z) = x, Im(z) = y, y z = x - iy

z+z ( x + iy ) + ( x - iy ) 2x = = = 2 = Re( z ) 2 2 2

z+z ( x + iy ) - ( x - iy ) 2iy = = = 2 = iy = Im( z ) 2 2 2

Problema resuelto Trazar la gráfica en el plano complejo de  | z - i + 1|  = 1.

61


UNIDAD

2

Números complejos Solución

Sea z = x + iy. Primero, lo sustituimos en  | z - i + 1|  = 1; entonces:

 | x + iy - i + 1|  = 1. ( x + iy - i + 1)( x - iy + i + 1) = 1

Si elevamos al cuadrado la última ecuación, tenemos que:

(x + iy - i + 1)(x - iy + i + 1) = 1

((x + 1) + i(y - 1))((x + 1) - i(y - 1)) = 1

Por binomios conjugados:

(x + 1)2 - i 2(y - 1)2 = 1

(x + 1)2 + (y - 1)2 = 1

Entonces,  | z - i + 1 |  = 1 es una circunferencia con centro en (-1, 1) y radio 1 (véase figura 2.19).

−2

−1.5

−1

−.5

0 x

2.0

1.5

1

.5

0 y

Figura 2.19

❚ Raíz de números complejos Sea z = ei q, la raíz enésima de z está dada por: n

1

z = (rei θ ) n =

n

re

i

θ n

= Rei Θ

Por lo que la raíz enésima de un número complejo es otro número complejo tal que: “Su módulo es la raíz enésima del módulo.” R = Su argumento es: Θ=

n

r

θ + 2πk , k = 0, 1, 2, 3,� , (n − 1) n

Al igual que las potencias, es conveniente extraer raíces de números complejos expresados en forma polar. 62


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Problema resuelto Calcular la raíz sexta de z = 1 + i. Solución

Primero, expresamos el complejo z = 1 + i en su forma polar; su módulo es: r = |z | = 12 + 12 =

2

Y el argumento es: 1 p q = tan-1 = = 45° 1 4 Entonces: z = 1+ i =

2e

i

p 4

Ahora, encontremos las seis raíces complejas, todas tendrán como módulo: R = ( 2)

1 6

= (2 )

1 1 6 2

1

= 212

Y sus respectivos argumentos: 1

ip

1

i 3p 8

1

i 17 p 24

1

i 25 p 24

1

i 11p 8

1

i 41p 24

k = 0,

Q=

p , 24

z = (2)12 e 24 = 1.0504 + 0.13829i

k = 1,

Q=

p p 3p + (1) = , 24 3 8

z = (2)12 e

k = 2,

Q=

p p 17p + (2) = , 24 3 24

z = (2)12 e

k = 3,

Q=

p p 25 p + (3) = , 24 3 24

z = (2)12 e

k = 4,

Q=

p p 11p + (4 ) = , 24 3 8

z = (2)12 e

k = 5,

Q=

p p 41p + (5 ) = , 24 3 24

z = (2)12 e

1.0

k=2

y

= 0.40544 + 0.97882i

= - 0.64496 + 0.84053i

= -1.0504 - 0.13829i

= -0.40544 - 0.97882i

= 0.64496 - 0.84053i

k=1

0.8 0.6 0.4 0.2

−1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 k=3 −0.2

k=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

−0.4 −0.6 −0.8 Figura 2.20 

k=4

−1.0

k=5

63


UNIDAD

2

Números complejos

Problema resuelto Obtener raíces enésimas de la unidad. Solución

El número z0 = 1 es un número complejo que tiene módulo uno y argumento cero; es decir, escrito en forma polar es z0 = e0i. Entonces, las n raíces de la unidad están dadas por: n

1=e

i

0 + 2k p n

con k = 0, 1, 2, …, n - 1

Por tanto:

k = 0,

Q = 0, Q=

0 + 2p 2p = , n n

z = 1e

i

k = 1,

2p n

 2p   2p  = cos  + i sen   n   n 

k = 2,

Q=

0 + 4p , n

z = 1e

i

4p n

 4p   4p  = cos  + i sen   n   n 

: k = n - 1,

Q=

0 + (n - 1) p , n

z = 1e

i

( n -1) p n

z = 1e0i = 1

 (n - 1) p   (n - 1) p  = cos  + i sen   n  n   

Usando este esquema como ejemplo, obtenemos las raíces cuárticas de la unidad:

k = 0,

Q = 0,

k = 1,

Q=

0 + 2p 2p = , 4 4

z = 1e

k = 2,

Q=

0 + 4p , 4

z = 1ei p = cos(p ) + i sen(p ) = -1

k = 3,

Q=

0 + 6p , 4

z = 1e

z = 1e0i = 1

1.0

i

i

p 2

3p 2

 p  p = cos   + i sen   = i  2  2

 3p   3p  = cos  + i sen  = -i  2   2 

y

0.8 0.6 0.4 0.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 − −1.0

64

Figura 2.21

0.2 0.4 0.6 0.8

x 1.0


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Problema resuelto Determinar el valor de a y b para que se cumpla que: a + 2i = b + 3i

2e

i

7p 4

Solución

Desarrollamos

a + 2i y b + 3i

2e

i

7p 4

.

(a + 2i )(b - 3i ) (ab + 6 ) + i (2b - 3a ) (ab + 6 ) i (2b - 3a ) = = 2 + (b + 3i )(b - 3i ) b2 + 9 b +9 b2 + 9

2e

i

7p 4

=

 7p   7p  2 cos   + i 2 sen   =  4   4 

2

 1  = 1- i + i 2 i  2  2

1

Luego, igualamos las partes reales e imaginarias respectivamente. Así, tenemos que, (ab + 6 ) (2b - 3a ) = 1 y que = -1 . 2 b +9 b2 + 9

Se despeja a de

(ab + 6 ) (2b - 3a ) b2 + 3 = 1 . Obtenemos a = = -1 , entonces: y sustituimos en 2 b +9 b2 + 9 b  b2 + 3  2b 2 - 3b 2 - 9 2b - 3  - (b 2 + 9 )  b  1 b = - = -1 ⇒ b = 1 = = 2 b b2 + 9 b2 + 9 b (b + 9 )

Y: a=

12 + 3 =4 1

65


UNIDAD

2

Problemas para resolver

2.1  Indica cuáles de los siguientes números complejos son reales y cuáles son imaginarios. Indica, para cada uno, cuál es la parte real y cuál es la parte imaginaria. a) -3i

c ) z1 - z 2 = z1 - z2 d) z + z es real puro

3 +i

e) z - z es imaginario puro

d) -6

2.7  En un plano cartesiano, representa los siguientes núme­ ros complejos:

e) -i + 5 2.2  Indica la parte real e imaginaria de los siguientes nú­ meros: a)

(

2, 7

a) z1 + z 2 = z1 + z2 b) z1z 2 = z1 z2

4 1 b) i − 3 3 c )

2.6  Si z1 = x1 + iy1 y z 2 = x2 + iy2, demuestra cada una de las siguientes expresiones:

)

a) z = (0, 1) b) z = ( 3, 3

)

c) z = (2, -2)

b) (-1, 0)

2.8  Escribe cada uno de los números complejos del proble­ ma 2.7 en su forma binómica.

c ) (0, 3) d) (2, 2)

2.9  Escribe cada uno de los números complejos del proble­ ma 2.7 en su forma polar.

1  e)  , 4 3 

2.10  La desigualdad del triángulo es válida para dos núme­ ros complejos cualesquiera; compruébela para cada uno de los siguientes pares de números complejos:

2.3  Calcula los módulos de los siguientes números comple­ jos: a) -3i

a) z1 = 5 + 3i;

z 2 = 6 - 4i

b) z1 = 7 + 18i;

z 2 = 11 - i

b)

4 1 i− 3 3

c ) z1 = 6 + 3i;

z 2 = 12 + i

d) z1 = -8 + 2i;

z 2 = 5 + 9i

c )

3 +i

e) z1 = 9 + 3i;

z 2 = 1 + 5i

d) -6 e) -i + 5 2.4  Convierte los siguientes números complejos a la forma polar.

Para los problemas 2.11 a 2.34, escribe el número complejo resultante en su forma binómica. 2.11  (4 + 3i )(1 + i ).

a) -9 + 3i

2.12  7 - i + (-6 + 3i )-(4 + 3i ).

b) 5 + 3i

2.13  (2 + i )(1 + 2i ).

c ) 5 + 7i d) −i +

1 2

e) -8 - 4i 2.5  Comprueba que z2 = z z para cada uno de los siguientes números complejos: a) 1 + 2i b) 3 - 4i

2.14 

1 i

2.15 

1+ i −i

2.16 

3 + 4i 3 − 4i + 2−i 2+i

2.17 

3 + 2i 1 + 5i − 1 + 5i 3 + 2i

c) 2 - i

2.18  (2 + 3i ) + (7 + 2i )

d) 5 - 2i

2.19  (3 - 2i )-(4 + i )

e)  1 - 7i

2.20  (3 - 4i )-(4 - 3i )

66

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria© 2.21  (-5 - 8i )-(6 - 9i )

z e)  3 1 + z2

2.22  (8 + 2i )(4 - 4i ) 2.23  (3 - 7i )(3 + 7i )

z + z3 f )  1 z2 − z4

2.24  (4 - 6i )(3 + 7i ) 2.25  (3 - 7i )(3 - 5i )

z g)  3 z1

2 − 3i 2.26  4 + 5i 2.27 

18 − 8i 8+i

Para los problemas 2.40 a 2.43, traza la gráfica en el plano complejo de z1, z 2, y de la suma y diferencia indicada como pares ordenados.

2.28 

4 − 5i 7 − 6i

2.40  z1 = 4 + 2i, z 2 = -2 + 5i; z1 + z 2, z1 - z 2

5 − 3i 2.29  5 + 2i

2.42  z1 = 5 + 4i, z 2 = -3i; 3z1 + 5z 2, z1 - 2z 2

2.30 

2.41  z1 = 1 - 2i, z 2 = 1 + i; z1 + z 2, z1 - z 2 2.43  z1 = 4 - 3i, z 2 = -2 + 3i; 2z1 + 4z 2, z1 - z 2

14 − 4i 7+i

2.44  Dado que z1 = 5 - 2i y z 2 = -1 - i, determina un vector z3 en la misma dirección que z1 + z 2, pero que su módulo sea la mitad del módulo de z1 + z 2.

 3 + 5i  (2i ) 2.31    8 + 9i 

2.45

1 1 2.32  + i 3i + 9

a) Dibuja los complejos z1 = -2 - 8i, z 2 = 3i, z3 = -6 - 5i. b) Los puntos en el inciso a) determinan un triángulo con vértices en z1, z 2, y z3, respectivamente; expresa cada lado del triángulo como una diferencia de pares ordena­ dos.

2.33   | 4 + 3i |  2.34   | -5 + 12i |  2.35  Comprueba las identidades siguientes: a) ( 2 − i ) − i (1 − 2i ) + 2i = 0

La fórmula de la distancia entre dos puntos es:

b) (2 - 3i )(-2 + i ) + 1 - 8i = 0

d = ( x 2 − x 1 )2 + ( y 2 − y 1 )2

1 1  c ) (3 + i )(3 − i )  + i − (2 + i ) = 0  5 10  1 + 2i 2 − i 2 d)  + + =0 3 − 4i 5i 5

Recuerda que un triángulo es rectángulo si satisface el teorema de Pitágoras.

5 i e)  − =0 (1 − i )(2 − i )(3 − i ) 2 2.36  Traza la gráfica en el plano complejo de:  | z + i |  ≤ 5. 2.37  Traza la gráfica en el plano complejo de: Re( z - i ) = 2. 2.38  Traza la gráfica en el plano complejo de:  | 2z - i |  = 4.

a

2.39  Dados los siguientes números complejos z1 = 3 + 2i, 1 z 2 = −1 + 3i , z3 = -6i, z 4 = , calcula las siguientes expre­ 8 siones: a) z1 + z 2 - z 4

c = √ a2 + b2

90°

b) (z 2 + z 4) - (z1 + z3) b

c ) z 3−2

d) z 42 + z1 Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Figura 2.22

67


UNIDAD

2

Problemas para resolver

2.46  Con base en el problema 2.45, determina si los puntos z1, z 2 y z3 son los vértices de un triángulo rectángulo.

La mediana en un triángulo es cada una de las rectas que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

2.53  3x2 + 7x + 10 = 0 2.54  x2 + x + 10 = 0 Para los problemas 2.55 a 2.58 realiza las gráficas de las fun­ ciones siguientes. 2.55  y = x2 + 25 2.56  y = x2 - 5x + 15 2.57  y = 3x2 + 7x + 10 2.58  y = x2 + x + 10 2.59  De acuerdo con las gráficas obtenidas en los proble­ mas 2.55 a 2.58 y con base en los resultados de los pro­ blemas 2.51 a 2.54, contesta la pregunta siguiente: ¿cuándo las raíces de la ecuación cuadrática no son números reales, la gráfica de la función cuadrática correspondiente interseca al eje x? 2.60  Comprueba que: a) x2 - 10x + 29 = 0, si x = 5 ± 2i

Figura 2.23

b) x2 + 14x + 58 = 0, si x = -7 ± 3i c ) x2 - 12x + 37 = 0, si x = 6 ± i

Recuerda que el punto medio entre dos puntos está dado por: xm =

x1 + x 2 y + y2 , ym = 1 2 2

d) x2 - 16x + 289 = 0, si x = 8 ± 5i 2.61  Resuelve la ecuación z 2 + z + 1 = 0 y demuestra que z3 = 0. 2.62  Resuelve la ecuación z 4 = -1.

2.47  Los tres puntos z1 = 1 + 5i, z 2 = -4 – i, z3 = 3 + i son los vértices de un triángulo. Determina la longitud de la media­ na de z1 al lado de z3 - z 2. 2.48  Si z = x + 2yi y w = (4 + y) + (x - 1)i, encuentra los valo­ res de los números reales x y y para los cuales se satisface z = w. 2.49  Dados los siguientes números complejos z1 = 3 + i y z 2 = 3 + 4i, encuentra el número x que verifica cada una de las siguientes igualdades:

2.63  Expresa 2i-3 como producto de un número real por i. 2.64  Calcula ( −1 + 3i ) . 3

2.65  Describe el conjunto de puntos z en el plano complejo que satisfacen z = cos q + i sen q, donde q se mide en radia­ nes a partir del eje positivo x. 2.66  Calcula todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0. 2.67  Realiza las siguientes operaciones:

(3e ) a)  i

a) z1x = 1 b) z1 + z 2 - x = 0

2e

π 9

i

3

π 6

c ) z 2 = z1x

b) (1 + i )3

2.50  Calcula las siguientes potencias de i.

( + 3i ) c ) 1

a) i

 10

6

b) i 11

d) 6 1 + 3i

c ) i 12

2.68  Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar: 5 10 + 10i .

d) i 13 Para los problemas 2.51 a 2.54 determina las soluciones de cada una de las ecuaciones.

2.69  Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

2.51  x2 + 25 = 0

2.70  Calcula (2 − 3i ) − (3 + 2i ) ; expresa el resultado en for­ (3 + 2i ) − (2 − 3i ) ma polar.

2.52  x - 5x + 15 = 0 2

68

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria© i 9 − i −9 y representa los afijos de 2i

Para los problemas 2.75 y 2.76, usando la fórmula de DeMoivre, demuestra que:

2.72  Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo

2.75  cos 3q = cos3 q - 3 cos q sen2 q y que sen 3q = 3 cos2 q sen q - sen3 q.

2.71  Calcula el valor de sus raíces cúbicas.

 π π + i sen  . cubo sea: 4  cos 2 2 

2.76  cos 2q = cos2 q - sen2 q y que sen 2q = 2 cos q sen q.

2.73  Escribe en las formas polar y trigonométrica, así como los conjugados y los inversos aditivo y multiplicativo de:

2 − ki 2.77  Determina el valor de k para que el cociente k −i sea:

a) 14 + 4i

a) Un número imaginario puro.

b) 2 + 2i

b) Un número real.

2.74  Calcula todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0.

2.78  ¿Bajo qué circunstancias  | z1 + z 2 |  =  | z1 |  +  | z 2 | ?

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

69


UNIDAD

2

Números complejos

Problema reto 1

Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro en el origen de coor­ denadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, -2).

Referencias Churchill, Ruel V. y James Ward Brown. (1992). Variables compleja y aplicaciones, 5a ed. McGraw-Hill: México. Uspensky, J. V. (1995). Teoría de ecuaciones. Limusa: México.

direcciones electrÓnicas wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm  (visitada el 11 de octubre del 2011).

70


UNIDAD

3

Polinomios Objetivo Analizar y utilizar los conceptos del álgebra de polinomios y sus propiedades para obtener raíces.

¿Qué sabes?

¿Qué es un monomio? ¿Qué es un polinomio? ¿Cómo se clasifican los polinomios? ¿Qué tipo de operaciones puedes realizar con los polinomios? ¿Qué es un binomio conjugado? ¿Qué es factorizar? ¿Conoces el teorema del residuo? ¿Cuántas raíces puede tener un polinomio? ¿Qué es una ecuación cuártica?


UNIDAD

3

Polinomios

3.1  Conceptos básicos ❚ Expresión algebraica La expresión algebraica constituye un conjunto de números y letras unidos por signos de operaciones aritméticas.

❚ Monomios Los monomios son una expresión algebraica cuyos elementos no están separados por los signos de las operaciones de la suma y la resta; en otras palabras, son un conjunto de letras y números relacionados entre sí por todas las operaciones aritméticas, excepto la suma y la resta, por ejemplo axy, bx2y3z2. En general, los monomios están formados por un coeficiente que representa números, variables literales y exponentes de las literales. Por ejemplo: exponentes � � � �� b ��� 2 3 2 coeficiente x y z �� � � � literales

Tipos de monomios De acuerdo con sus características, los monomios se clasifican en: Monomios semejantes Son los que tienen literales iguales, con los mismos exponentes; por ejemplo: 6x2y, 2x2y. Monomios iguales Este tipo de monomio, además de ser semejante, tiene coeficientes iguales; ejemplo: 2x2y, 2x2y. Monomios opuestos Son monomios iguales, pero con el signo del coeficiente diferente o cambiado; ejemplo: 2x2y, -2x2y.

Grado de un monomio El grado de un monomio es igual a la suma de todos los exponentes de literales, éstos con su signo y con todas las literales en el numerador del monomio. Por ejemplo: 2 + 1= 3 � 2x 2 y 1

Valor numérico de un monomio Con frecuencia, cuando se desea encontrar el valor numérico de un monomio, es conveniente usar el símbolo de función. Por ejemplo, sea el monomio f (x) = 5x2, su valor numérico para x = 2 es: f (2) = 5(2)2 = 5(4) = 20.

Operaciones con monomios ◗ Suma y resta Sólo se pueden sumar o restar monomios semejantes. La suma o resta de dos o más monomios seme­ jantes es otro monomio semejante a los anteriores, el cual tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada monomio. Si los monomios no son semejantes, se deja la operación indicada, obteniéndose una nueva expresión conocida como polinomio. Por ejemplo, para los monomios 4x3; -3x; 5x2, su suma es: 4x3 -3x + 5x2 = 4x3 + 5x2 -3x Ordenar en sentido decreciente es la forma más adecuada de presentar y realizar operaciones con los polinomios. 72


Grupo Editorial Patria© La operación suma o resta de monomios también se conoce como reducción de términos seme­ jantes, por ejemplo: 2 3 3 59 3 x + 5x 3 − x 3 = x 3 4 12 ◗ Multiplicación de monomios El producto de dos o más monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y el producto de las variables; el grado final será igual a la suma de los grados de cada uno de los monomios factores:

)

(

11  1  4 3 3 ⋅ 22 4 + 32 2 3 (3x 4 )  y 2   x 2  z 3 = x y z = 2x 2 y 2 z 3 2 3  2⋅3

◗ Potencias Para calcular la potencia de un monomio basta con aplicar las propiedades de las potencias (véase tabla 3.1):

Tabla 3.1  Propiedades de las potencias Propiedades de las potencias con respecto a la multiplicación

Propiedades de las potencias con respecto a la división

i)  Multiplicación de potencias de igual base:

i)  División de potencias de igual base:

an ⋅ am = an+m

an : am =

ii)  Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente:

an = an−m am

ii)  División de potencias de distinta base e igual exponente:

an ⋅ bn = (a ⋅ b)n o (a ⋅ b)n = an ⋅ bn

n

 a  an a n : b n = (a : b )n =   = n  b b (an)m = anm

Potencia de una potencia: Potencia de exponente cero: a0 = 1 Potencia de base 1: 1n = 1

Base entera: n

 1 1n 1 a−n =   = n = n  a a a Potencia de exponente negativo Base racional:  a  b 

−n

n

 b  bn =  = n  a a

Ejemplo: (ax2y3)m = amx2my3m 3

3

 2 5 3  2 23 15 9 8 15 9 5 3 3 3  3 x y  =  3  ( x ) ( y ) = 33 x y = 27 x y 73


UNIDAD

3

Polinomios ❚ Polinomios Es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes. En el polinomio, cada uno de esos monomios se denomina término. Una expresión de la forma: Pn(x) = anx n + an - 1x n - 1 + ... + a2x2 + a1x + a0 en la que a0, a1, a2, ..., an son números dados (los cuales pueden ser reales o complejos) que se llaman coeficientes y donde x es la variable, se llama función racional entera de x o polinomio en x. En este caso, n indica el grado del polinomio. Cada uno de los monomios: anx n, an-1x n-1, ..., a2x2, a1x, a0 están separados por signos de operación. Donde, anx n es el término de mayor grado y a0 es el término de menor grado. Los términos del polinomio se conocen como: a0 = término independiente, a1x = término lineal, a2x2 = término cuadrático, a3x3 = término cúbico. El grado de un polinomio es igual al grado del término de mayor grado. Un polinomio en el que todos sus coeficientes son iguales a cero es un polinomio idénticamente nulo, es decir su grado no está definido. Dos polinomios son iguales si son idénticos término a término.

Clasificación de los polinomios Por el grado, los polinomios se clasifican en: primero, segundo, tercero…, de acuerdo con el término que tiene el valor de la potencia más alto.

Problema resuelto Indicar el grado de los siguientes polinomios: a) P(x) = x2 + 3x - 4 b) R(x) = 3 c ) Q(x) = x5 + 7x3 - 2 d) M(x) = 0 Solución

a) b) c ) d)

Polinomio de grado 2. Polinomio de grado 0. Polinomio de grado 5. Polinomio nulo.

Por el número de términos, los polinomios también se clasifican en: de un término (monomio), de dos términos (binomio), de tres términos (trinomio)…. El número de términos que debe tener un polinomio es igual al grado más uno. Así:

74

Primer grado = dos términos: a1x + a0.

Segundo grado = tres términos: a2x2 + a1x + a0.

Tercer grado = cuatro términos: a3x3 + a2x2 + a1x +a0.


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Evaluar el polinomio en el valor dado: P(x) = x3 -2x2 + x - 5, en x = 1

Alerta Los términos siempre se ordenan de forma decreciente.

Solución

Para este polinomio, se sustituye x = 1, en P(x): P(1) = (1)3 - 2(1)2 + (1) - 5 = -5

❚ Operaciones con polinomios ◗ Suma y resta Como un polinomio no es más que la suma o la resta indicada de varios monomios no semejantes, sumar dos o más polinomios consiste en localizar los términos semejantes que hay entre todos ellos y reducirlos. Para la suma de dos polinomios se suman los coeficientes de los términos semejantes.

Problema resuelto Sumar los siguientes polinomios: P(x) = 2x3 + 5x + 3   Q(x) = 4x + 3x2 + 2x3 Solución

Primero, se ordenan los polinomios de forma decreciente. Inmediatamente después, se reúnen los términos semejantes y se suman: P(x) + Q(x) = 2x3 + 5x + 3 + 2x3 + 3x2 + 4x = 2x3 + 2x3 + 3x2 + 5x + 4x + 3 = 4x3 + 3x2 + 9x + 3

Problema resuelto Sumar los siguientes polinomios: P(x) = 2x2 - 5x4 + 3x + 1; Q(x) = x5 - 3x3 + x - 3; R(x) = x - 2x2 + 4x3. Solución

Primero, ordenamos los polinomios de forma decreciente:

P(x) = 2x2 - 5x4 + 3x + 1 ⇒ P(x) = -5x4 + 2x2 + 3x + 1 Q(x) = x5 - 3x3 + x - 3 ⇒ Q(x) = x5 - 3x3 + x - 3 R(x) = x - 2x2 + 4x3 ⇒ R(x) = 4x3 - 2x2 + x

Enseguida, se colocan unos encima de otros, como si fueran números, haciendo que coincidan los términos correspondientes de cada grado, y luego sumar, monomio a monomio, los términos que no aparecen en un polinomio dado se igualan a cero: 0x5 - 5x4 + 0x3 + 2x2 + 3x + 1 x5 + 0x4 - 3x3 + 0x2 + x - 3 0x5 + 0x4 + 4x3 - 2x2 + x + 0 ___________________________ x5 - 5x4 + x3 + 0x2 + 5x - 2 Entonces: P(x) + Q(x) + R(x) = x5 - 5x4 + x3 + 5x - 2.

75


UNIDAD

3

Polinomios ◗ Polinomio opuesto

Alerta El grado del polinomio suma siempre es igual o menor que el grado del polinomio sumando de mayor grado.

Dados dos polinomios, se dice que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto, se escribe un signo menos (-) adelante del polinomio.

Problema resuelto Determinar el polinomio opuesto de P(x) = x2 + 3x - 4. Solución

El polinomio opuesto de P(x) = x2 + 3x - 4, es: -P(x) = -x2 - 3x + 4 Por tanto, se cumple que P(x) - P(x) = 0.

La suma de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por tanto es el elemento neutro de la suma. Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).

Problema resuelto Realizar la resta de los siguientes polinomios: P(x) = 7x2 - 5x4 + 3x - 15; Q(x) = 5x3 - 7 + 9x2 - 6x Solución

Primero, se determina el opuesto de Q(x), que es -Q(x) = -5x3 + 7 - 9x2 + 6x; luego, se ordenan de forma decreciente P(x) y -Q(x), y se colocan uno sobre el otro, de modo que en la misma columna se encuentren los términos semejantes: P(x) = -5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x - 15 -Q(x) = __________________________________ - 5x3 - 9x2 + 6x + 7 -5x4 - 5x3 - 2x2 + 9x - 8

◗ Multiplicación Para la multiplicación de polinomios se debe seguir el orden de la multiplicación con rigor. El producto de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene por grado final la suma de los grados de cada uno de los polinomios factores. Primero, se multiplica el primer término de uno de los factores por todos los términos del otro; después, el producto del segundo de los términos se multiplica por todos los términos del segundo, y así sucesivamente hasta agotar todos los términos del primer factor. Por último, se reducen todos los términos semejantes y se ordena el polinomio resultante.

Problema resuelto Multiplicar el monomio 2x3 por el polinomio 5x2 - 4x + 8.

76


Grupo Editorial Patria© Solución

5x2 - 4x + 8 × 2x3 ___________

2(5)x5 -2(4)x4 + 2(8)x3 10x5 -8x4 + 16x3

Problema resuelto Multiplicar el polinomio P(x) = 2x2 + x3 + 1 por el polinomio Q(x) = x2 + 3x + 4.

Solución

x3 + 2x2 + 1 × x2 + 3x + 4 ________________ 5 x + 2x4 + x2 + 3x4 + 6x3 + 3x + 4x3 + 8x2 +4 ____________________________

x5 + 5x4 + 10x3 + 9x2 + 3x + 4

El producto que se obtiene es de quinto grado.

Problema resuelto Multiplicar el polinomio P(x) = 4x - 3x3 + 2x2 - 1 por el polinomio Q(x) = 4x + 2x2 + 3. Solución

-3x3 + 2x2 + 4x - 1 × 2x2 + 4x + 3 __________________

-6x5 + 4x4 + 8x3 - 2x2 -12x4 + 8x3 + 16x2 - 4x - 9x3 + 6x2 + 12x - 3 _______________________________ 5 4 -6x - 8x + 7x3 + 20x2 + 8x - 3

La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicado por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que: P(x)[Q(x) + R(x)] = P(x)Q(x) + P(x)R(x)

3.2  Productos notables Con frecuencia, cuando se manejan expresiones algebraicas es conveniente reconocer patrones es­ peciales, los cuales podemos usar para encontrar los productos, sin necesidad de realizar la multipli­ cación. 77


UNIDAD

3

Polinomios ❚ Cuadrado de un binomio Al realizar las multiplicaciones:

a + b

a-b

× a + b

×a-b

a2 + ab

a2 - ab

________

_________

- ab + b2

+ ab + b2

______________

_____________

a2 + 2ab + b2

a2 - 2ab + b2

Es posible reconocer el patrón siguiente: ( a ± b )2 =

a�2

±

cuadrado del primer término

+

2� ab

doble producto de los dos términos del binomio

2 b �

cuadrado del segundo término

Problema resuelto Sin realizar la multiplicación, indicar el valor de las expresiones siguientes: a) (x + 2)2 b) (2x + 5y)2 c ) (5a + 3b)2 d) (x - 4)2 e) (3x - 2y)2 Solución

a) ( x + 2)2 =

x2

b) (2x + 5y )2 =

c ) (5a + 3b )2 =

d) ( x - 4 )2 =

2(2x )(5y )  

+

2 ( 5a )( 3 b) 

+

2 ( x )( - 4)   

+

2(3x )( -2y ) 

doble producto de los dos términos del binomio

( 5 y )2

= 4 x 2 + 20 xy + 25y 2

( 3b )2

= 25a2 + 30ab + 9b 2

cuadrado del segundo término

cuadrado del segundo término

+

doble producto de los dos términos del binomio

cuadrado del primer término

= x 2 + 4x + 4

cuadrado del segundo término

doble producto de los dos términos del binomio

+

( 3 x )2

( 2 )2

doble producto de los dos términos del binomio

+

( 5a )2

cuadrado del primer término

e) (3x - 2y )2 =

78

+

( 2 x )2

( x )2

+

doble producto de los dos términos del binomio

cuadrado del primer término

2 (2)x 

cuadrado del primer término

+

cuadrado del primer término

( -4))2

= x 2 - 8x + 16

cuadrado del segundo término

+

( -2y )2 

cuadrado del segundo término

= 9 x 2 - 12xy + 4 y 2


Grupo Editorial Patria© ❚ Cubo de un binomio Al realizar las multiplicaciones:

a + b

× a + b

a2 + ab

a-b × a-b

_________

____________

a2 - ab - ab + b2

+ ab + b 2

______________

_____________

a2 + 2ab + b2

a2 - 2ab + b2

× a + b

_________________

________________

a + 2a b + ab

a3 - 2a2b + ab2

3

2

2

a2b + 2ab2 + b3

× a-b

- a2b + 2ab2 - b3

_____________________

________________________

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Es posible reconocer el patrón: (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

Problema resuelto Sin realizar la multiplicación, indicar el valor de las expresiones siguientes: a) (x + 4)3 b) (5x + 2y)3 c ) (2x2y + 3b)3 d) (1 - 4y)3 e) (3a3 - 7xy4)3 f ) (3xa4 - 8ya-1)3 Solución

Para la solución, seguimos el patrón (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3: a) (x + 4)3 = x3 + 3x2(4) + 3x(4)2 + 43 = x3 + 12x2 + 48x + 64 b) (5x + 2y)3 = (5x3) + 3(5x)2(2y) + 3(5x)(2y)2 + (2y)3

= 125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3

c ) (2x2y + 3b)3 = (2x2y)3 + 3(2x2y)2(3b) + 3(2x2y)(3b)2 + (3b)3

= 8x6y3 + 36x4y2b + 54x2yb2 + 27b3

d) (1 - 4y)3 = 13 + 3(1)2(-4y) + 3(1)(-4y)2 + (-4y)3 = 13 - 12y + 48y2 - 64y3 e) (3a3 - 7xy4)3 = (3a3)3 + 3(3a3)2(-7xy4) + 3(3a3)(-7xy4)2 + (-7xy4)3

= 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12

f ) (3xa4 - 8ya-1)3 = (3xa4)3 + 3(3xa4)2(-8ya-1) + 3(3xa4)(-8ya-1)2 + (-8ya-1)3

= 27x3a12 - 216x2a7y + 576a2xy2 - 512y3a-3

79


UNIDAD

3

Polinomios ❚ Binomios conjugados Al realizar la multiplicación: a+b

× a-b

_________

a2 + ab

-ab - b2

_____________

a2 -b2

Es posible reconocer el patrón: (a + b)(a - b) = a2 - b2

Problema resuelto Sin realizar la multiplicación, indicar el valor de las expresiones siguientes: a) (x + 4)(x - 4) b) (5x + 2y)(5x - 2y) c ) (2x2y + 3b)(2x2y - 3b) d) (1 - 4y)(1 + 4y) e) (3a3 - 7xy4)(3a3 + 7xy4) f ) (3xa4 - 8ya-1)(3xa4 + 8ya-1) Solución

Para la solución, seguimos el patrón: (a + b)(a - b) = a2 - b2. a) (x + 4)(x - 4) = x2 - 16 b) (5x + 2y)(5x - 2y) = (5x)2 - (2y)2 = 25x2 - 4y2 c ) (2x2y + 3b)(2x2y - 3b) = (2x2y)2 - (3b)2 = 4x4y2 - 9b2 d) (1 - 4y)(1 + 4y) = (1)2 - (4y)2 = 1 - 16y2 e) (3a3 - 7xy4)(3a3 + 7xy4) = (3a3)2 - (7xy4)2 = 9a6 - 49x2y8 f ) (3xa4 - 8ya-1)(3xa4 + 8ya-1) = (3xa4)2 - (8ya-1)2 = 9x2a8 - 64y2a-2

❚ Binomios con término común Al realizar la multiplicación:

x+b

×x+c

__________

x2 + bx

cx + cb

_________________

x2 +(b + c)x + cb

Es posible reconocer el patrón: (x + b)(x + d) = x2 + (b + d)x + bd 80


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Sin realizar la multiplicación, indicar el valor de las expresiones siguientes: a) (x + 4)(x + 2) b) (5x + 3y)(5x + 2y) c ) (2x2y + 3b)(2x2y + 6b) d) (x - 4y)(x + 8y) e) (3a3 - 7xy4)(3a3 + 5y) f ) (3xa4 + 9y)(3xa4 + 8y) Solución

Para la solución, seguimos el patrón: (x + b)(x + d) = x2 + (b + d)x + bd a) (x + 4)(x + 2) = x2 +(4 + 2)x + 8 = x2 + 6x + 8 b) (5x + 3y)(5x + 2y) = (5x)2 + (5x)(3y + 2y)+(3y)(2y)

= 25x2 + (5x)(5y) + 6y2

= 25x2 + 25xy + 6y2

c ) (2x2y + 3b)(2x2y + 6b) = (2x2y)2 + (2x2y)(3b + 6b)+(3b)(6b)

= 4x4y2 + (2x2y)(9b) + 18b2

= 4x4y2 + 18x2yb + 18b2

d) (x - 4y)(x + 8y) = x2 + x(-4y + 8y) + (-4y)(8y)

= x2 + x(4y) - 32y2

= x2 + 4xy - 32y2

e) (3a3 + 7xy4)(3a3 + 5y) = (3a3)2 + (3a3)(7xy4 + 5y)+(7xy4)(5y)

= 9a6 + 21a3xy4 + 15a3y + 35xy5

f ) (3xa4 + 9y)(3xa4 + 8y) = (3xa4)2 + (3xa4)(9y + 8y)+(9y)(8y)

= 9x2a8 + 51xa4y + 72y2

❚ Binomios con término semejante Al realizar la multiplicación:

ax + b

× cx + d

_____________

acx2 + cbx

adx + db

______________________

acx2 +(ad + cb)x + bd Es posible reconocer el patrón: (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd 81


UNIDAD

3

Polinomios

Problema resuelto Sin realizar la multiplicación, indicar el valor de las expresiones siguientes: a) (3x + 4)(2x + 2) b) (5x + 3y)(8x + 2y) c ) (2x2y + 3b)(9x2y + 6b) d) (7x - 4y)(9x + 8y) e) (3a3 + 7y)(20a3 + 5y) f ) (3xa4 + 9y)(8xa4 + 8y) Solución

Para la solución, seguimos el patrón: (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd a) (3x + 4)(2x + 2) = (3)(2)x2 + ((3)(2) + (4)(2))x +(4)(2) = 6x2 + 14x + 8 b) (5x + 3y)(8x + 2y) = (5)(8)x2 + (10y + 24y)+(3y)(2y) = 40x2 +34xy + 6y2 c ) (2x2y + 3b)(9x2y + 6b) = (2)(9)x4y2 + (12b + 27b)x2y + (3b)(6b) = 18x4y2 + 39bx2y + 18b2 d) (7x - 4y)(9x + 8y) = (7)(9)x2 + (56y - 36y)x +(-4y)(8y) = 63x2 + 20xy - 32y2 e) (3a3 + 7y)(20a3 + 5y) = (3)(20)a6 + (15y + 140y)a3 + (7y)(5y) = 60a6 + 155a3y + 35y2 f ) (3xa4 + 9y)(8xa4 + 8y) = (3)(8)x2a8 + (24y + 72y)xa4 +(9y)(8y) = 24a8x2 + 96a4xy + 72y2

❚ Suma y diferencia de cubos Al realizar las siguientes multiplicaciones:

a2 - ab + b2 ×

a2 + ab + b2

a + b

×

a-b

______________

______________

a - a b + ab

a + a b + ab2

3

2

2

3

a2b - ab2 + b3

___________________

a3

- a2b - ab2 - b3

___________________

+ b3

Es posible reconocer el patrón: (a ± b)(a2

2

a3 ±

- b3

ab + b2) = a3 ± b3

Problema resuelto Sin realizar la multiplicación, indicar el valor de las expresiones siguientes: a) (8 + 3a)(64 - 24a + 9a2) b) (1 + 9x4)(1 - 9x4 + 81x8) c ) (8 - 3a)(64 + 24a + 9a2) d) (1 - 9x4)(1 + 9x4 + 81x8)

82


Grupo Editorial Patria© Solución

Para la solución, se usa el producto:

(a ± b)(a2

±

ab + b2) = a3 ± b3

a) (8 + 3a)(64 - 24a + 9a2) = 512 + 27a3 b) (1 + 9x4)(1 - 9x4 + 81x8) = 729x12 + 1 c ) (8 - 3a)(64 + 24a + 9a2) = 512 - 27a3 d) (1 - 9x4)(1 + 9x4 + 81x8) = 1 - 729x12

❚ División Dados un polinomio P(x), llamado dividendo, y un polinomio Q(x), llamado divisor, de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x) ≠ 0, siempre hallaremos un polinomio C(x) llamado cociente y un polinomio R(x) llamado residuo, tal que: P(x) = Q(x)C(x) + R(x) El grado de C(x) estará determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x). Para obtener los polinomios cociente y residuo a partir de los polinomios divi­ dendo y divisor, se procede igual que en la división aritmética. Entonces, primero se encuentra un monomio tal que multiplicado por el coefi­ ciente del término de mayor grado del divisor, iguale a éste con el del dividendo. Luego, se multiplica todo el divisor por dicho monomio y el resultado se baja restando los términos correspondientes del dividendo; enseguida, se suman y se baja el siguiente término del dividendo, y así sucesivamente, hasta que el grado del polinomio, resultante de alguna de las operaciones intermedias, sea menor que el grado del divisor. Éste será, entonces, el residuo de la división. Después se comprueba que: Dividendo = divisor × cociente + residuo

Alerta Cuando realices divisiones, ordena siempre (en sentido decreciente) y completa con ceros, tanto el polinomio dividendo como el polinomio divisor. 2x 2 x� + x 2x 3

−5 ← Cociente − 3x 2

− 5x − 5 ← Dividendo

Divisor

− 2x 3 − 2x 2 ______________________ − 5x 2 − 5x 5_____ x 2_________________ 5x − 5 ← Residuo

Entonces: x2 + x

× 2x - 5

_________

2x3 + 2x2

- 5x2 -5x

_____________

2x3 - 3x2 -5x

⇒ 2x3 -3x2 -5x - 5

Polinomio entre monomio 3x 2 x� 3x 2

4

−5x − 5x

+ 4 ← Cociente 3

+ 4 x 2 ← Dividendo

Divisor

−3x 4 0

− 5x 3 5x 3 0

4x 2 − 4x 2 0 ← Residuo cero es exacta 83


UNIDAD

3

Polinomios Comprobación: 3x2 -5x + 4

×

x2

______________

3x4 -5x3 + 4x2 3x 4 − 5x 3 + 4 x 2 3x 4 5x 3 4 x 2 = 2 − 2 + 2 = 3x 4 − 2 − 5x 3 − 2 + 4 x 2 − 2 = 3x 2 − 5x + 4 2 x x x x

Dividir un polinomio entre un monomio no es más que simplificar la fracción algebraica correspon­ diente. A continuación, se presenta un ejemplo donde se realiza la división de un polinomio entre otro: x 4 + 3x 2 − x + 9 x2 − 3 x6 − x 3 − 3x − 3 6 − x + 3x 4 _______________________________________________ 0

+ 3x 4 − x 3 − 3x − 3 4 2 − 3 x + 9 x ___________________________________ 0 − x 3 + 9 x 2 − 3x − 3 x3 −3x _____________________ 0 + 9x 2 − 6x − 3 −9 x 2 + 27 _____________________ − 6 x + 24

0 Comprobación:

x4 + 3x2 - x + 9 ×

x2 - 3

__________________

x6 + 3x4 - x3 + 9x2

-3x4

- 9x2 + 3x - 27

___________________________

x6

- x3

+ 3x - 27 - 6x + 24

___________________________

x6

-x3

- 3x - 3

3.3  Factorización de polinomios Alerta Se necesita ordenar en sentido decreciente al dividendo y al divisor, antes de hacer la división.

Factorizar es descomponer en factores primos. Por ejemplo, factorizar con números sería: 28 = 22 × 7 Entonces, factorizar un polinomio de n términos es expresar estos términos como un producto de polinomios primos, es decir, polinomios que no se pueden reducir más. En general, la factorización es la operación contraria a la multiplicación.

❚ Factorización de factor común Para realizar este tipo de factorización, se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término (factor común) y luego dividir cada término entre el factor común. El factor común puede ser la variable del polinomio, elevada a la menor potencia, o el máximo común divisor. 84


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Factorizar el siguiente polinomio. P(x) = 2x2 - 4x Solución

Primero, se observa la literal y se determina que el factor común que se encuentra en todos los térmi­ nos es x. Luego, se continúa con la parte numérica, de donde también es posible deducir que el factor común es 2; por tanto, el factor común es 2x: P(x) = 2x2 - 4x = (2x)(x - 2)

❚ Factor común por grupos En este caso, se busca un factor común por grupos a polinomios que no tienen un factor común en todos sus términos. Por ejemplo, sea: P(x) = x5 - 2x4 - 3x + 6 Así, se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma que en cada uno de ellos, P(x) = (x5 - 2x4) + (-3x + 6) haya un factor común, P(x) = x4 (x - 2) - 3(x - 2) Esto es, en cada término debe aparecer el mismo factor, para poder sacarlo nuevamente como factor común: P(x) = (x - 2)(x4 - 3) Al sacar nuevamente el factor común, la expresión queda factorizada a través del factor común por grupos. Es importante, destacar que se pueden formar más de dos grupos.

❚ Trinomio cuadrado perfecto Se llama trinomio cuadrado perfecto al resultado de elevar un binomio al cuadrado.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto Un trinomio ordenado con relación a una variable es cuadrado perfecto cuando el primer y el tercer tér­ minos son cuadrados perfectos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Alerta Recuérdese que: (x + 5)2 ≠ x2 + 52

Procedimiento para factorizar: 1. Se extrae la raíz cuadrada del primer y el tercer términos; en el ejemplo, a y b. 2. Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces: (a + b)(a + b). 3. Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.

85


UNIDAD

3

Polinomios

Problema resuelto Factorizar: P(x) = x2 + 10x + 25 Solución

P(x ) =

x2

tomo la raíz   

+10 x (5 ) x 2 

+

el doble producto del primero x por el  segundo 5 el primero que es x al cuadrado

x

25 

tomo la raíz   

5

 el segundo que es 5 al cuadrado

    = x + 5    signo del medio   término  del trinomio

2

Se trata de un trinomio cuadrado perfecto.

❚ Cubo perfecto Se llama cubo perfecto al resultado de elevar un binomio al cubo. Para factorizar un cubo perfecto es necesario considerar los siguientes puntos: 1. Se escribe un paréntesis. 2. Se saca la raíz cúbica del primer término. 3. Se saca la raíz cúbica del cuarto término. 4. Se toma el signo del último término. 5. Se eleva al cubo el binomio. Entonces: x�3

se saca la raíz cúbica x

+ 15x 2 + 75x + �

125 �

se saca el signo la raíz cúbica del 5 último término

(x + 5)3

Problema resuelto Factorizar la siguiente expresión algebraica: 8a3b3 + 36a2b2c + 54abc2 + 27c3 Solución

De acuerdo con el proceso para factorizar un cubo perfecto, primero se saca la raíz cúbica del primer término y luego se saca la raíz cúbica del último término; entonces, se toma el signo del último término y, por último, se eleva el binomio al cubo. Así: 8 a3b 3 + 36a2b 2c + 54abc 2 + c 3 = (2ab + 3c )3   27  2ab

86

+

3c


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Problema resuelto Factorizar la siguiente expresión algebraica: 125a6b3 - 225a4b2c + 135a2bc2 - 27c3 Solución

De acuerdo con el proceso para factorizar un cubo perfecto, se saca la raíz cúbica del primer término; entonces, se saca la raíz cúbica del último término y, por último, se toma el signo del último término y se eleva el binomio al cubo. Así: 3 4 2 2 2 125 a6 b c 3 = (5a2b - 3c )3  27     - 225a b c + 135a bc -

5a2b

3c

Suma o diferencia de cubos Como se vio antes, la diferencia de dos cubos o la suma de dos cubos es el resultado de multiplicar: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 o (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3 Ahora, para descomponer la suma o la diferencia de cubos, se debe encontrar el binomio y el trinomio que multiplicados den como resultado la suma o la diferencia, según sea el caso. Se denomina diferencia de cubos al producto de un binomio por un trinomio; por tanto, para factorizar se realiza el siguiente proceso: 1. El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas. 2. El trinomio se encuentra elevando el primer término del binomio al cuadrado, más el producto del primer término por el segundo término del binomio, más el cuadrado del segundo término del binomio.

Problema resuelto Factorizar la siguiente expresión algebraica: 27x3 + 216y3 Solución

Para encontrar el binomio, primero se saca la raíz cúbica de cada término: 27 x3 

Se saca la raíz cúbica que es 3x

+

216 y 3 

Se saca la raíz cúbica que es 6y

(3x + 6y) Para encontrar el trinomio del resultado anterior, primero se eleva al cuadrado el primer término del binomio, menos el producto de los dos términos del binomio, más el cuadrado del segundo término del binomio: (3x)2 - (3x)(6y) + (6y)2 9x2 - 18xy + 36y2 Por tanto, la factorización es: (3x + 6y)(9x2 - 18xy + 36y2)

87


UNIDAD

3

Polinomios ❚ Teorema del residuo El residuo de dividir un polinomio, P(x), entre un binomio de la forma (x ± a), es igual al valor numérico ± que toma el polinomio al sustituir x por a.

❚ Teorema del factor Si a es una raíz de f (x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. Por ejemplo: P(x) = x3 - 2x2 + x - 2 y P(2) = (2)3 - 2(2)2 + (2) - 2 = 0 Entonces, una raíz es x = 2 y un factor es (x - 2). Aquí, es posible observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si este es igual a cero, va a indicar que se ha encontrado un factor del polinomio y, con él, una raíz del polinomio, que es una solución a la ecuación polinomial f (x) = 0.

Problema resuelto Calcular las raíces del polinomio: P(x) = x2 + 5x + 6 Solución

Los factores primos del término independiente, que es 6, son ± 2, ± 3. Para este caso, usaremos el teorema del residuo y evaluaremos el polinomio en cada uno de esos factores: P(x) = x2 + 5x + 6 P(2) = (2)2 + 5(2) + 6 = 20 ≠ 0 ⇒ 2 no es raíz de P(x) P(-2) = (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0 ⇒ -2 es raíz de P(x) P(3) = (3)2 + 5(3) + 6 = 30 ≠ 0 ⇒ 3 no es raíz de P(x) P(-3) = (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0 ⇒ -3 es raíz de P(x)

5 x + 5x + 6

y

4 3 2 1 x

−5

−4

−3

−2 raíces

88

Figura 3.1

−1

1 −1

2

3

4

5


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3.4  División sintética Gracias al uso del teorema del residuo, es posible obtener el valor de f (x) para valores de x sin hacer la sustitución directa; no obstante, esto requiere la división de un polinomio entre un binomio. El método para efectuar rápidamente esta división se conoce como regla de Ruffini o división sintética. Entonces, si el residuo es cero entonces x - a es un factor del polinomio y f (a) = 0.Cuando se en­ cuentra un valor de x para el cual f (x) = 0, se dice que se ha encontrado una raíz del polinomio. En el supuesto anterior, a es una raíz del polinomio.

❚ Reglas para la división sintética Para dividir un polinomio f (x) entre x - r, se procede de acuerdo al siguiente proceso: 1. En el primer renglón se escriben los coeficientes del polinomio dividendo,f (x), en orden decrecien­ te an, an - 1, …,a0. Si no aparece alguna potencia de x en f (x) su coeficiente se escribe como cero. En el segundo renglón se escribe en el extremo izquierdo el número r. 2. Se escribe el coeficiente principal an como primer término del tercer renglón y se multiplica por r, escribiendo anr en el segundo renglón debajo de an - 1r. 3. Se suma an - 1 con el producto anr y se escribe la suma anr + an - 1 en el tercer renglón. 4. Se multiplica anr + an - 1 por r, se escribe el producto en el segundo renglón debajo de an - 2 y se suma con an - 2; la suma se escribe en el tercer renglón. 5. Se continúa de esta manera hasta que se usa como sumando a0, la suma se escribe en el tercer ren­ glón. El último número del tercer renglón es el residuo; los números anteriores son los coeficientes del cociente correspondientes a potencias descendentes de x.

Problema resuelto Realizar la división sintética de 3x4 - 8x2 + 5x - 1 entre x - 2. Solución

Primero, se ordena en sentido decreciente y el dividendo se completa con ceros: 3x4 + 0x3 - 8x2 + 5x - 1 Entonces, se escriben, en el primer renglón, los coeficientes del polinomio dividendo; en el mismo orden en que se encuentran en el polinomio. 3   0   -8   5   -1 En el extremo izquierdo, y en el segundo renglón, se escribe el opuesto del término independiente del polinomio divisor.

3

0

-8

5

-1

2

Luego, en el siguiente renglón se baja el primer coeficiente del dividendo, tal como está.

3

0

-8

5

-1

2 3 89


UNIDAD

3

Polinomios Entonces, se multiplica éste por el opuesto del término independiente del divisor y el resultado se sitúa debajo del segundo coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitúa en el último renglón, a la derecha del primer coeficiente.

3

0

3

6 6

2

-8

5

-1

De nuevo, se multiplica ese resultado por el opuesto del término independiente del divisor y el resul­ tado se sitúa debajo del tercer coeficiente del dividendo, y se suman. El resultado de la suma se sitúa en el último renglón a la derecha del resultado anterior, y así sucesivamente hasta completar todos los términos del polinomio.

3

0

-8

5

-1

3

6 6

12 4

8 13

| 25

2

26

El último valor del último renglón es el residuo de la división, en este caso es 25, y los números anterio­ res del último renglón son los coeficientes del polinomio cociente ordenados en sentido decreciente, así: Cociente: 3x3 + 6x2 + 4x + 13 y residuo: 25. Comprobación: 3x3 + 6x2 + 4x + 13 × x-2 __________________________ 3x4 + 6x3 + 4x2 + 13x - 6x3 - 12x2 - 8x - 26 __________________________ 3x4 - 8x2 + 5x - 26 + 25 __________________________ 3x4 - 8x2 + 5x - 1

Problema resuelto Demostrar que f (x) = x3 + x2 - 5x + 3 es divisible entre x + 3. Solución

Primero, se evalúa f (-3): f (-3) = (-3)3 + (-3)2 - 5(-3) + 3 = -27 + 9 + 15 + 3 = 27 - 27 = 0 Entonces, f (x) sí es divisible entre x + 3.

Problema resuelto Si a y b son distintos y f (x) es divisible tanto por x - a como por x - b, demostrar que es divisible entre (x - a)(x - b).

90


Grupo Editorial Patria© Solución

Ya que f (x) es divisible tanto por x - a como por x - b, se tiene que: P(x ) P(x ) = h( x ) y = g( x ) ( x - a) (x - b) Entonces:

P(x) = h(x)(x - a)

P(x) = g(x)(x - b)

h( x )( x - a ) = g( x )( x - b ) ⇒ h( x ) =

( x - b )g( x ) ( x - a)

Por tanto, h(x) y g(x) sí son divisibles entre a y entre b. Esto es: P(x) = (x - b)(x - a)r(x)

Problema resuelto Sin efectuar la división, demostrar que 2x4 - 7x3 - 2x2 + 13x + 6 es divisible entre x2 - 5x + 6. Solución

Se factoriza x2 - 5x + 6: x2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) Luego, se evalúa 2x4 - 7x3 - 2x2 + 13x + 6 en x = 3: P(3) = 2(3)4 - 7(3)3 - 2(3)2 + 13(3) + 6 = 0 Entonces, sí es divisible entre x - 3 y, por tanto, se evalúa 2x4 - 7x3 - 2x2 + 13x + 6 en x = 2: P(2) = 2(2)4 - 7(2)3 - 2(2)2 + 13(2) + 6 = 0 Entonces, también es divisible entre x - 2; esto es: 2x4 - 7x3 - 2x2 + 13x + 6 sí es divisible entre x2 - 5x + 6.

3.5  Número de raíces de un polinomio Un polinomio P(x) de grado n puede tener a lo más n raíces.

❚ Raíces racionales de polinomios enteros Sea el polinomio P(x) = anx n + an-1x n - 1 + … + a1x + a0, de grado n con coeficientes enteros y a0 ≠ 0. En­ p tonces, an recibe el nombre de coeficiente principal. Si es una raíz racional de P(x) = 0, con la fracción q n

p  p  p en su mínima expresión, entonces: an   + an − 1   q  q  q

n−1

 p + ... + a1   + a0 = 0 , que multiplicando  q

por q n se tiene: anp n + an-1p n - 1q + … + a1pq n - 1 + a0q n = 0. 91


UNIDAD

3

Polinomios Esto es: anp n + an-1p n-1q + … + a1pq n - 1 = -a0q n Factorizando p del lado izquierdo de la ecuación: p(anp n - 1 + an - 1p n - 2q + … + a1q n - 1) = -a0q n Entonces, se tiene que p es un divisor del primer miembro de la ecuación, por consiguiente también lo p es del lado derecho. Pero, si p es divisor de -a0q n, como está en su mínima expresión, p no puede q dividir a q y entonces debe ser divisor de a0. Por tanto, p es divisor de a0. De la misma forma, de anp n + an-1p n - 1q + … + a1pq n - 1 + a0q n = 0, se tiene: an-1p n - 1q + … + a1pq n - 1 + a0q n = -anp n Procediendo como la demostración anterior, se tiene que q es divisor de an. De esto, se concluye que las raíces racionales

p de un polinomio con coeficientes enteros q

P(x) = anx n + an - 1x n - 1 + … + a1x + a0 y a0 ≠ 0 son tales que p es divisor de a0 y q es divisor de an. Si el polinomio tiene la forma P(x) = anx n + an-1x n - 1 + … + a1x + a0 con an = 1, buscar las raíces racionales equivale a encontrar las raíces enteras del polinomio, o sea, se deben analizar en los divi­ sores de a0.

Problema resuelto Determinar las raíces del polinomio x3 - 8x2 + 9x + 18. Solución

Los divisores del término independiente 18 son: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Para decidir cuál de los valores es raíz del polinomio, se utiliza la división sintética. Por lo regular, se comienza analizando los enteros más pequeños. Así: f (1) = (1)3 - 8(1)2 + 9(1) + 18 = 20 ≠ 0 ⇒ (x - 1), no es factor. f (-1) = (-1)3 - 8(-1)2 + 9(-1) + 18 = 0 ⇒ (x + 1), sí es factor. f (2) = (2)3 - 8(2)2 + 9(2) + 18 = 12 ≠ 0 ⇒ (x - 2), no es factor. f (-2) = (-2)3 - 8(-2)2 + 9(-2) + 18 = -40 ≠ 0 ⇒ (x + 2), no es factor. f (3) = (3)3 - 8(3)2 + 9(3) + 18 = 0 ⇒ (x - 3), sí es factor. f (-3) = (-3)3 - 8(-3)2 + 9(-3) + 18 = -108 ≠ 0 ⇒ (x + 3), no es factor. f (6) = (6)3 - 8(6)2 + 9(6) + 18 = 0 ⇒ (x - 6), sí es factor. De esta forma, ya tenemos tres factores para x3 - 8x2 + 9x + 18. Por tanto: x3 - 8x2 + 9x + 18 = (x + 1)(x - 3)(x - 6) Entonces, las raíces son: x = -1, x = 3, x = 6.

92


Grupo Editorial Patria©

100

y

80 60 40 20 x −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−20 −40 −60 −80 −100

Figura 3.2

Problema resuelto Determinar las raíces racionales del polinomio: 2x3 - 3x2 - 9x + 10 Solución

Los divisores del término independiente 10 son: ±1, ±2, ±5, ±10 Los divisores del coeficiente principal (2) son: ±1, ±2 Considerando todos los posibles cocientes de la forma

±1, ±

p : q

1 5 , ±2, ±5, ± , ±10 2 2

Para decidir cuál de los valores es raíz del polinomio, se puede utilizar la división sintética. Normalmente se comienza analizando con los enteros más pequeños. Así, se toma x - 1 y se aplica la división sintética: 2 1 2

-3

-9

10

2

-1

-10

-1

-10

|0

Entonces: 2x3 - 3x2 - 9x + 10 = (x - 1)(2x2 - x - 10)

93


UNIDAD

3

Polinomios Para encontrar las raíces racionales de 2x2 - x - 10, se observa que los posibles cocientes son los mis­ mos que en el caso del polinomio original. Por tanto, puede utilizarse el mismo método; sin embargo, al ser este polinomio de segundo grado, es más simple aplicar la fórmula general para polinomios de segundo grado.

 -b +  x1 = -b ± b - 4ac  2 =  ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 ) con x = 2a  -b x2 = 

2x2 - x - 10 = 0 ⇒ a = 2, b = -1, c = -10

 1 + 9 10 5  x1 = 4 = 4 = 2 1 ± ( -1)2 - 4(2)( -10 ) 1 ± 9  x = =  4 4  1 - 9 -8 x2 = = = -2 4 4 

2

b 2 - 4ac 2a b 2 - 4ac 2a

Entonces:  5 2x 3 - 3x 2 - 9 x + 10 = ( x - 1)(2)  x -  ( x + 2) = ( x - 1)(2x - 5)( x + 2) 2  Las raíces racionales del polinomio 2x3 - 3x2 - 9x + 10 son: 1, -2 y

5 2

❚ Polinomios que no tienen raíces racionales Una sencilla regla para verificar si un polinomio con coeficientes enteros tiene o no raíces racionales es la siguiente: “Considérese el polinomio P(x) = anx n + an-1x n-1 + … + a1x + a0, de grado mayor o igual a 2 y cuyos coeficientes sean números enteros; si an, a0 y P(1) son impares, entonces P(x) no tiene raíces racionales.”

Problema resuelto Encontrar las raíces racionales del polinomio: P(x) = 27x8 - 8x7 + 16x6 - 11x5 + 3x4 - 5x3 - 18x - 25 Solución

El coeficiente del término de grado mayor 27x8 es 27; el término independiente es -25, y al evaluar el polinomio en P(1) el resultado obtenido es (-21). Los tres números (27, -25, -21) son impares; por tanto, de acuerdo con la regla citada antes, se concluye que el polinomio no tiene raíces racionales.

Si no es posible contar con el criterio de los enteros impares, entonces se debe proceder de otra forma. 94


Grupo Editorial Patria© ❚ Regla de los signos de Descartes Teorema de Descartes El número de raíces positivas de una ecuación f (x) =0 es menor o igual que el número de variaciones de signo en f (x). Mientras que el número de raíces negativas es menor o igual que el número de varia­ ciones de signo en f (-x). (Cada raíz se cuenta tantas veces como indica su orden de multiplicidad.) Si P(x) es un polinomio, escrito en orden descendente y con término independiente distinto de cero, entonces: 1. El número de raíces positivas de P(x) es igual al número de cambios de signo de los coeficientes del polinomio, o bien, al número de cambios de signo menos un entero par. 2. El número de raíces negativas de P(x) es igual al número de cambios de signo de los coeficientes del polinomio P(-x), o bien, al número de cambios de signo de P(-x) menos un entero par.

Problema resuelto Determinar el número de raíces positivas y de raíces negativas del polinomio: P(x) = x5 + 9x4 + 17x3 - 7x2 + 30x - 50 Solución

El polinomio es de grado 5; por tanto, puede tener a lo sumo 5 raíces reales. Los signos del polinomio P(x) = x5 + 9x4 + 17x3 - 7x2 + 30x - 50, son:

+    +    +    -    +    El número de cambios de signo del polinomio es 3; entonces, puede haber tres raíces positivas o sólo una. Los signos en P(-x) = -x5 + 9x4 - 17x3 - 7x2 - 30x - 50 son:

-    +    -    -    -    Hay dos cambios de signos; entonces, hay dos raíces negativas o ninguna. Siguiendo el procedimiento para encontrar las raíces racionales y usando la división sintética se tiene que, evaluando el polinomio en 1 y en -5, se obtiene: P(1) = (1)5 + 9(1)4 + 17(1)3 - 7(1)2 + 30(1) - 50 = 0

P(-5) = (-5)5 + 9(-5)4 + 17(-5)3 - 7(-5)2 + 30(-5) - 50 = 0

Entonces, (x - 1) y (x + 5):

1

9

-7

17

30

-50

1 10 27 20 50 1________________________________________________ 1 10 27 20 50 |0 P(x) = (x - 1)(x4 + 10x3 + 27x2 + 20x + 50) Dividiendo entre (x + 5): 1

10

27

20

50

-5 -25 -10 -50 -5 _________________________________________ 1 5 2 10 |0 P(x) = (x - 1)(x - 5)(x3 + 5x2 + 2x + 10)

95


UNIDAD

3

Polinomios Evaluamos g(x) = x3 + 5x2 + 2x + 10 en (x + 5): g(-5) = (-5)3 + 5(-5)2 + 2(-5) + 10 = 0 Entonces dividimos g(x) = x3 + 5x2 + 2x + 10 entre (x + 5): 1

5

2

10

0 -5 -10 -5 _________________________________ 1 0 2 |0 P(x) = (x - 1)(x - 5)2(x2 + 2) Como (x2 + 2) no tiene raíces reales, se concluye que el polinomio tiene una raíz positiva y dos negati­ vas. De (x - 5)2 se tiene que la raíz (-5) es una raíz doble; se cuenta dos veces, por su orden de multi­ plicidad.

❚ Cotas para raíces de polinomios En la búsqueda de raíces de polinomios, saber que éstas se encuentran en un intervalo determinado reduce el número de posibilidades, facilitando enormemente los cálculos, las operaciones a realizar y ahorrando tiempo de trabajo. En este sentido, se deben buscar dos números A y B de tal manera que pueda asegurarse que las raíces del polinomio se encuentran en el intervalo [A, B], donde A es una cota inferior y B es una cota superior de las raíces del polinomio.

Teorema Sea P(x) un polinomio. Si b es un número positivo tal que al efectuar la división sintética de P(x) entre (x - b) los coeficientes del cociente y el residuo son todos positivos o cero, entonces b es una cota superior para las raíces de P(x). En tanto, si a es un número negativo tal que al efectuar la división sintética de P(x) entre (x - a) los coeficientes del cociente y el residuo tienen signos, uno positivo o cero y el siguiente negativo o cero alternadamente, o viceversa, entonces a es una cota inferior de las raíces de P(x).

Problema resuelto Demostrar que A = -1 y B = 2 son cotas inferior y superior, respectivamente, para las raíces del polino­ mio P(x) = 6x4 - 11x3 + 10x2 - 11x + 4, y encontrar todas las raíces reales. Solución

Los factores primos de 4 son ±1, ±2, entonces usamos división sintética para dividir P(x) entre (x + 1): 6

-11

10

-11

4

17 38 -6 -27 -1 _______________________________________ 6 27 -17 -38 | 42 De la división sintética se puede observar que los coeficientes tienen signos alternados, entonces A = -1 es una cota inferior para las raíces del polinomio. Efectuando el cociente P(x) entre (x - 2) y usando división sintética: 6

-11

10

-11

4

12 2 24 26 2 _______________________________________ 6 1 12 13 | 30

96


Grupo Editorial Patria© Puesto que los signos de los coeficientes son todos positivos, se establece que B = 2 es una cota supe­ rior para las raíces del polinomio. Por tanto, todas las raíces reales se encuentran en el intervalo [-1, 2]. Como el polinomio es de grado 4, tiene como máximo cuatro raíces reales. Usando la regla de los signos de Descartes, ya que P(x) tiene cuatro cambios de signo, habrá cuatro o dos raíces reales positivas o ninguna. Entonces, calculando: P(-x) = 6x4 + 11x3 + 10x2 + 11x + 4 No existe cambio de signo, o sea, no hay raíces negativas. En estas condiciones, todas las raíces reales se encuentran en el intervalo (0, 2) y pueden ser a lo más cuatro. Buscando las raíces racionales del polinomio, se tiene que los divisores de 4 (término independien­ te) y 6 (coeficiente principal) son: ±1, ±2, ±4, y ±1, ±2, ±3, ±6. 1 1 1 2 4 , ± , ± , ±2, ± , ±4, . 2 3 6 3 3

Entonces, los divisores de 4 y 6 son: ±1, ±

Pero, como las raíces buscadas se encuentran en el intervalo [0, 2], sólo se consideran: 1,

Evaluando el polinomio se encuentra que

1 1 1 2 4 , , , , 2 3 6 3 3 1 4 y son raíces del polinomio: 2 3

 1  4 P ( x ) = 6 x 4 - 11x 3 + 10 x 2 - 11x + 4 =  x -   x -  ( x 2 + 1) 2  3 

❚ Teorema de Bolzano. Teorema de las raíces Si f es una función continua en el intervalo [a, b], es decir toma valores de signo opuesto en los extre­ mos f (a) y f (b), entonces existe al menos una raíz de f en (a, b), esto significa que existe un punto c del intervalo (a, b) en el que f (c) = 0. Para que esto ocurra, la gráfica de la función corta al eje x, pasando de un punto situado por de­ bajo de él a otro que se encuentra por encima, o viceversa. 20

y

10

x −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−10

−20

Figura 3.3

97


UNIDAD

3

Polinomios Sea a < b y sea (f (a))(f (b)) < 0 [f (a) y f (b) tienen signos opuestos. Entonces, f tiene en [a, b] un número impar de raíces. Si (f (a))(f (b)) > 0, entonces f tiene un número par de raíces en [a, b] y en particular puede tener 0.

Problema resuelto Demostrar que f (x) = x2 - 2 tiene al menos una raíz real en el intervalo [1, 2]. Solución

f (x) = x2 - 2 es un polinomio, por tanto es una función continua en todos los reales. Evaluamos: f (1) = 12 - 2 = -1 y f (2) = 22 - 2 = 2 Puesto que ambas evaluaciones son de signo contrario, existe al menos una raíz c, es decir f (c) = 0, dentro del intervalo [1, 2]: f (c ) = c 2 - 2 = 0 ⇒ c = ± 2 , pero c =

22

2 ∈ [1, 2]

y

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 −5

−4

−3

−2

−1

−2

x 1

2

3

4

5

Figura 3.4

❚ Método de bisección A través del método de bisección es posible encontrar dos números a y b con a < b, en los cuales el polinomio P toma valores cuyos signos son distintos. a+b es el punto medio del intervalo [a, b]; si P(x1) = 0, x1 es la raíz bus­ 2 cada, pero si P(x1) ≠ 0, entonces se elige uno de los intervalos [a, x1] o [x1, b] de tal manera que los extremos del intervalo del polinomio tomen valores cuyos signos sean distintos. Este procedimiento se repite en el intervalo elegido. Considerando que x1 =

Observaciones: ■

98

La longitud del intervalo es una estimación del error cometido al aproximar la raíz.


Grupo Editorial Patria© ■

La única restricción para elegir a y b es que los valores P(a) y P(b) tengan signos distintos; en general, entre más pequeña sea la longitud del intervalo, menor será el número de pasos para encontrar la aproximación deseada. Este método se aplica en la busca de raíces tanto racionales como irracionales.

Problema resuelto Aproximar la raíz del polinomio P(x) = 3x3 - 2x + 8, que se encuentra en el intervalo [-2, -1] Solución

Sea el polinomio P(x) = 3x3 - 2x + 8. Evaluando en:

P(-2) = 3(-2)3 - 2(-2) + 8 = -12 < 0

P(-1) = 3(-1)3 -2(-1) + 8 = 7 > 0

Así:

-2

-1

-

+

El punto medio del intervalo [-2, -1] es x1 =

-2 - 1 3 = - = -1.5 . 2 2

Evaluando en: P(-1.5) = 3(-1.5)3 - 2(-1.5) + 8 = 0.875 > 0 Así:

-2

-1.5

-1

-

+

+

La raíz se encuentra en el intervalo [-2, -1.5]. La longitud del intervalo es: |-2 + 1.5| = -0.5 El punto medio del nuevo intervalo es: x 2 =

-2 - 1.5 = -1.75 . 2

Evaluando en: P(-1.75)= 3(-1.75)3 - 2(-1.75) + 8 = -4.5781 < 0 Así:

-2

-1.75

-1.5

-

-

+

La raíz se encuentra en [-1.75, -1.5]. La longitud del intervalo es: |-1.75 + 1.5| = 0.25 Entonces: Se repite el procedimiento: x 3 =

-1.75 - 1.5 3.25 == -1.625 . 2 2

99


UNIDAD

3

Polinomios Evaluando en: P(-1.625) = 3(-1.625)3 - 2(-1.625) + 8 = -1.623 < 0 Así:

-1.75

-1.625

-1.5

-

-

+

La raíz se encuentra en el intervalo [-1.625, -1.5]. Por tanto, la longitud del intervalo es: 0.125 De manera análoga: x 4 =

-6.625 - 1.5 = -1.5625 . 2

Evaluando: P(-1.5625) = 3(-1.5625)3 - 2(-1.5625) + 8 = -0.31909 < 0 Así:

-1.625

-1.5625

-1.5

-

-

+

La raíz se encuentra en el intervalo [-1.5625; -1.5]. La longitud del intervalo es: 0.0625. Repitiendo un paso más del mismo procedimiento, se obtiene la siguiente tabla: Intervalo

Punto medio xn

P(xn)

Signo

Error

[-2, -1]

-1.5

0.875

+

±1

[-2, -1.5]

-1.75

-4.5781

-

±0.5

[-1.75; -1.5]

-1.625

-1.623

-

±0.25

[-1.625; -1.5]

-1.5625

-0.31909

-

±0.125

[-1.5625; -1.5]

-1.5313

+0.29046

+

±0.0625

La raíz aproximada es -1.5313.

y 300 200 100 x −5

−4

−3

−2

−1

1 −100 −200 −300

100

Figura 3.5

2

3

4

5


Grupo Editorial Patria© ❚ Raíces complejas de polinomios enteros Teorema fundamental del álgebra Cualquier polinomio con coeficientes complejos y de grado mayor o igual que 1 tiene al menos una raíz, ya sea real o compleja.

Teorema de los pares conjugados Si P(x) es un polinomio con coeficientes reales y si r = (a + bi ) es una raíz de P, entonces el número complejo conjugado de r, es decir, r = (a - bi ), también es una raíz de P.

Problema resuelto Si i 5 es una raíz del polinomio P(x) = x3 - x2 + 5x - 5, determinar la otra raíz compleja del poli­ nomio. Solución

Las raíces complejas de polinomios con coeficientes reales se presentan en pares conjugados; enton­ ces, como el conjugado de i 5 es -i 5 , sí es raíz del polinomio. Para comprobarlo, evaluemos: P ( -i 5 ) = ( -i 5 ) - ( -i 5 ) + 5 ( -i 5 ) - 5 = 0 3

2

Problema resuelto Encontrar un polinomio con coeficientes enteros de grado 3, si dos de sus raíces son: -3, i. Solución

Como i es raíz del polinomio, su conjugado también debe serlo, entonces las tres raíces del polinomio son: -3,   i,   -i Entonces: P(x) = (x + 3)(x - i )(x + i ) = x3 + 3x2 + x + 3 Si se multiplica el polinomio obtenido por cualquier constante, se obtiene otro polinomio que tiene las mismas raíces.

3.6  Fórmula general para la ecuación de segundo grado Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0 Donde a ≠ 0, para garantizar que en realidad sea una ecuación polinomial de segundo grado. Como a es distinta de cero, se puede dividir entre a cada término de la ecuación: x2 +

b c x+ =0 a a 101


UNIDAD

3

Polinomios Luego, se resta el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad: x2 +

b c x = − a a

Para completar el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo, enseguida se suma el cuadra­ 2

b b2 do de la mitad del coeficiente lineal, por lo que en este caso sumamos   = en ambos miem­ 4a2  2a  bros de la ecuación: 2

x2 +

b b c b2 x+  = − + 2 a a 4a  2a 

Enseguida, se factoriza el trinomio cuadrado perfecto del lado izquierdo: 2

 b c b2  x + 2a  = − a + 4a2 Luego, entonces, se realiza la operación con fracciones en el miembro derecho: 2

 b b 2 − 4ac  x + 2a  = 4a2 Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros:  b b 2 − 4ac  x + 2a  = ± 4a2 Se separan las raíces de la fracción del lado derecho:  b b 2 − 4ac  x + 2a  = ± 2a Se despeja la incógnita que buscamos: x = −

b ± 2a

b 2 − 4ac 2a

Luego, entonces, combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtene­ mos la fórmula general: x =

−b ± b 2 − 4ac 2a

Problema resuelto Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos (véase figura 3.6).

Figura 3.6 

102

x+2

x

x+1


Grupo Editorial Patria© Solución

De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la hipotenusa está dada por: x+2=

x 2 + ( x + 1)2

Elevando ambos miembros al cuadrado:

(x + 2)2 = x2 + (x + 1)2

x2 + 4x + 4 = x2 + x2 + 2x + 1 ⇒ -x2 + 2x + 3 = 0

Entonces, resolvemos con la fórmula general:

-x2 + 2x + 3 = 0

a = -1, b = 2, c = 3  -2 + 4 = -1  -2 ± 4 - 4(3)( -1) -2 ± 4  -2 x = = =  2( -1) -2  -2 - 4  -2 = 3

Puesto que es una longitud x = 3, la hipotenusa es:

32 + 42 =

9 + 16 =

25 = 5 .

3.7  Fórmula general para resolver una ecuación cúbica Sea la ecuación general de tercer grado: a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 Para reducir su primer coeficiente a3 a 1, basta dividir entre a3 todos los términos, es decir: a′3x3 + a′2x2 + a′1x + a′0 = 0

x3 +

x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0

Y se hace un cambio de variable x = x − 3

a′ a′2 2 a′1 0 x+ 0 = x + a′3 a′3 a′3 a′3

a2 , esto es: 3

2

   a2  a2  a2   x −  + a2  x −  + a1  x −  + a0 = 0 3 3 3 x 3 − x 2a2 +

  a  a2  1 2 1 3 2 xa2 − a2 + a2  x 2 − xa2 + 2  + a1  x − 2  + a0 = 0   3 3 27 3 9

x 3 − x 2a2 +

a3 a 1 2 1 3 2 xa2 − a2 + a2 x 2 − xa22 + 2 + a1x − a1 2 + a0 = 0 3 3 27 3 9

 1 a 2   1 3 a23 x 3 − x 2a2 + x  a22 + a1 − a22  +  − a + − a1 2 + a0  + a2 x 2 = 0 3 3   27 2 9 3  103


UNIDAD

3

Polinomios Entonces:  1 a 2   1 3 a23 x 3 + x  a22 + a1 − a22  +  − a + − a1 2 + a0  = 0 3   27 2 9 3 3  La ecuación a resolver es del tipo: x3 + px + q = 0 1 2 3 a1a2 a − + a0 Donde: p = − a22 + a1 y q = 3 27 2 3 La ecuación x3 + px + q = 0 tiene tres raíces que se calculan como sigue: x1 = A + B ⇒ x1 = x1 −

a2 3

x2 = −

a 1 3 ( A + B) + i ( A − B) ⇒ x2 = x2 − 2 2 2 3

x3 = −

a 1 3 ( A + B) − i ( A − B) ⇒ x3 = x3 − 2 2 2 3

Donde: A =

3

q + D, B = 2

3

3

q  p  q − D, D =   +   2  3  2

2

Esta fórmula se conoce como la fórmula de Tartaglia y Cardano.

Problema resuelto Usando la fórmula de Tartaglia y Cardano, encontrar las raíces de la ecuación: 8x3 + 9x2 + 7x + 6 = 0 Solución

El primer paso es dividir la ecuación entre 8: x3 +

9 2 7 3 x + x+ =0 8 8 4

a2 =

9 7 3 , a1 = , a0 = 8 8 4

Luego, identificamos los coeficientes:

Entonces:

p=-

1 2 2 3 a1a2 a + a1 y q = a + a0 3 2 27 2 3

p=-

1 2 1  9 7 29 a + a1 = -   + = 3 2 3  8 8 64

2

104

 7  9  3  8   8  3 135 2 3 a1a2 2  9 q= a2 + a0 = + =   27 3 27  8  3 4 256


Grupo Editorial Patria©

x3 +

29 135 =0 x+ 64 256 3

2

32 279 = 0.27013 442 368

D =

2

 135   29  3 2   64    p  q  29   135  32 279 +  256  =  + = D =  +  =         3 2 3 2 192 512 442 368         3

q + D 2

A=

3

-

A=

3

135 - 256 + 0.27013 = 2

B=

3

-

B=

3

135 - 256 - 0.27013 = 2

3

-0.26367 + 0.27013 =

3

0.00646 = 0.18624

3

-0.26367 - 0.27013 =

3

-0.5338 = -0.81120

q - D 2

Luego, entonces, las tres raíces de la ecuación son:

x1 = A + B = 0.18624 - 0.81120 = -0.62496 ⇒ x1 = -0.62496 -

9 = -1 24

x2 = -

1 3 1 3 (A + B) + i ( A - B ) = - (0.18624 - 0.81120 ) + i (0.18624 + 0.81120 ) 2 2 2 2

x2 = -

1 3 ( -0.62496 ) + i (0.18624 + 0.81120 ) 2 2

x2 = -

1 3 ( -0.62496 ) + i (0.99744 ) 2 2

x 2 = 0.31248 + 0.86381 i ⇒ x 2 = 0.31248 + 0.86381 i -

9 24

x2 = 0.0625 + 0.86381 i x3 = -

1 3 ( A + B) - i (A - B) 2 2

x3 = -

1 3 (0.18624 - 0.81120 ) - i (0.18624 + 0.81120 ) 2 2

x3 = -

1 3 9 ( -0.62496 ) - i (0.99744 ) = 0.31248 - 0.86381 i ⇒ x 3 = x 3 2 2 24

x3 = 0.0625 - 0.86381 i

105


UNIDAD

3

Polinomios

3.8  Ecuación cuártica Una ecuación de cuarto grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 Donde: a4, a3, a2, a1, a0 con a4 ≠ 0. Es posible factorizar por todo a ≠ 0, y la identidad siguiente es válida: (a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 Se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Por tanto, el método siguiente permite obtener, después de un largo cálculo, las cuatro raíces al mismo tiempo. Los pasos de la resolución son, entonces: Dividir la ecuación inicial entre el coeficiente a4 (a4 ≠ 0). Entonces, se obtiene: x4 +

a a3 3 a2 2 a1 x + 0 x3 = 0 x + x + a4 a4 a4 a4

x4 + a′3x3 + a′2x2 + a′1x + a′0 = 0

Se realiza un cambio de variable w = x +

4

a′3 a′ ⇒ x = w − 3 , para quitar el término cúbico. Esto es: 4 4

3

2

    a′3  a′3  a′3  a′3   w − 4  + a′3  w − 4  + a′2  w − 4  + a′1  w − 4  + a′0 = 0 w4 −

3 2 2 1 1 3 4 1 1 w a3 + a2w 2 + wa33 − a2wa3 + a1w − a + a a2 − a a + a0 = 0 8 8 2 256 3 16 2 3 4 1 3

 3 1     1 1 1 3 4 w 4 + w 2  − a32 + a2  + w  wa33 − a2a3 + a1  +  − a3 + a2a32 − a1a3 + a0  = 0 16 4 2  8  8   256 

w4 + pw2 + qw + r = 0

3 p = − a32 + a2 8 q =

1 3 1 a − a a + a1 8 3 2 2 3

r = −

3 4 1 1 a + a a2 − a a + a0 256 3 16 2 3 4 1 3

Si q = 0, entonces la ecuación es bicuadrática. w4 + pw2 + qw + r = 0 Para resolverla se usa una variable u = w2, entonces se resuelve la ecuación: u 2 + pu + r = 0 ⇒ u = 106

− p ± p 2 − 4ac 2a

⇒w = ±

− p ± p 2 − 4ac 2a


Grupo Editorial Patria© Si r = 0 la ecuación es de grado 3: w = 0 w 4 + pw 2 + qw = w (w 3 + pw + q ) = 0  w 1, w 2 , w 3 Ahora, supongamos que q ≠ 0 y r ≠ 0. Como no tenemos término al cubo, esa ecuación cuártica se puede expresar como el producto de dos expresiones al cuadrado, factorizando: (w2 + aw + b)(w2 - aw + g) = 0 Entonces, desarrollando se obtiene:

(w2 + aw + b)(w2 - aw + g) = w4 + w2 (- a2 + b + g) + w(-ab + ag) + bg = 0

w4 + pw2 + qw + r = 0

Por tanto:

p = - a2 + b + g

(1)

q = ag - ab

(2)

r = bg

(3)

Trabajamos algebraicamente con este sistema, multiplicamos por a la ecuación (1) y la sumamos a la ecuación (2):

pa = -a3 + ba + ga

- ab + ga + q =  ___________________ pa + q = -a3 + 2ga ⇒ α3 + pα + q = 2 γα ⇒ γ =

Y de r = βγ ⇒ β =

r γ q = αγ − α

q α2 p + + 2 2 2α

r γ

gq = ag2 - ar ⇒ ag2 - gq - ar = 0

 α2 p  α2 p q  q  + + α − + + q − αr = 0  2 2α  2 2 α   2  2

2

2

Desarrollando:

 q2 q α α4 p α2 p 2 pq  α2q pq q 2 + + + + − αr = 0 α 2 + − − − 2 4 2 4 2 α  2 2 2α  4α

q 2 q α2 α5 p α3 p 2 α pq α2q pq q 2 + + + + + − − − − αr = 0 4α 2 4 2 4 2 2 2 2α

q2 α5 p α 3 p 2 α + + + − αr = 0 4α 4 2 4 107


UNIDAD

3

Polinomios Multiplicando toda la ecuación por 4a: -q2 + a6 + 2pa4 + p2a2 - 4a2r = 0 Ordenando: a6 + 2pa4 + a2(p2 - 4r) - q2 = 0 Ésta es una ecuación de sexto grado, pero no con todos los términos. En realidad se trata de una ecuación bicúbica. Con un cambio del tipo A = a2, nos queda una ecuación cúbica, que ya sabemos resolver. A3 + 2pA2 + (p2 - 4r)A - q2 = 0 Entonces, se resuelve A y se encuentran las tres raíces A1, A2, A3. Y de ahí se encuentran las 6 a, que son: ± A1 , ± A2 , ± A3 . A partir de éstas se calcula b y g. Luego, de ahí se determinan las soluciones para w: (w 2 + αw + β )(w 2 − αw + γ ) = 0

w 2 + αw + β = 0 ⇒ w =

w 2 − αw + γ = 0 ⇒ w =

Haciendo el cambio x = w −

−α ±

α±

α2 − 4 β 2 α2 − 4 γ 2

a′3 , tenemos las cuatro soluciones. 4

Problema resuelto Usando el procedimiento anterior, determina las raíces de: x4 + 8x3 + 2x2 + 3x + 4 = 0 Solución

Para quitar el término cúbico, se realiza un cambio de variable:

108

8 = w -2, 4

x =w-

(w - 2)4 + 8(w - 2)3 + 2(w - 2)2 + 3(w - 2) + 4 = 0

w4 - 22w2 + 59w - 42 = 0


Grupo Editorial Patria© Entonces, p = -22, q = 59, r = -42; por tanto, la ecuación a resolver es:

a6 + 2(- 22)a4 + a2((-22)2 - 4(-42)) - (59)2 = 0

a6 - 44a4 + 652a2 - 3 481 = 0

o A3 - 44A2 + 652A - 3 481 = 0

Resolviendo se encuentra:

A1 = 20.415

A2 = 11.793 + 5.6079i

A3 = 11.793 - 5.6079i

Entonces:

a1 = 4.5183,

a2 = -4.5183

a3 = 3.525 + 0.79544i,

a4 = -3.525 - 0.79544i

a5 = 3.525 - 0.79544i,

a6 = -3.525 + 0.79544i

Usando:

g=

q r a2 p + + y b= g 2 2 2a

g=

(4.5183)2 22 59 + = 5.7365 2 2 2(4.5183)

b=

-42 = -7.3215 5.7365

w =

-(4.5183) ± (4.5183)2 - 4( -7.3215) -(4.5183) ± 7.0499 1.2658 =  = 2 2  -5.7841

w =

(4.5183) ± ( -4.5183)2 - 4(5.7365) (4.5183) ± 1.5909i 2.2592 + 0.79545i =  = 2 2 2.2592 - 0.79545i

Entonces; las x = w - 2:

x1 = 1.2658 - 2 = -0.7342

x2 = -5.7841 - 2 = -7.7841

x3 = 2.2592 + 0.79545i - 2 = -0.2592 + 0.79545i

x4 = 2.2592 - 0.79545i - 2 = -0.2592 - 0.79545i

109


UNIDAD

3

Problemas para resolver

3.1  Efectúa las siguientes operaciones con monomios: a) 5x 4 − 3x 4 +

a) (x2 - 1)2 =

2 4 x = 3

2

2  b)  x − 1 = 3 

b) 7x3y2 - 3y2x3 + 9x3y2 =

c ) (3x2 - 2y)2 =

3 5 2 c)  x 6 + x 6 − x 6 = 4 6 3

2

3 2 d)  x 2 −  = 3 2

4 7 7 4 3 zx y = d)  x 4 y 3 z − y 3 zx 4 + 5 8 12 e) −3x 4 + 4 x 4 − f ) 5x 3 − 4 x 3 −

3.5  Realiza las siguientes multiplicaciones:

2

5  e)  x 3 − x 2  = 4 

2 4 x = 3

3.6  Sean los polinomios: P(x) = 2x2 - x + 5

1 3 x = 5

Q(x) = -x2 + 2x - 2

3.2  Realiza las siguientes operaciones:

R(x) = x + 3

a) (8x2 - 2x + 1) - (3x2 + 5x - 8) =

Efectúa:

b) (2x3 - 3x2 + 5x - 1) - (x2 + 1 - 3x) =

a) R(x) ⋅ P(x) - R(x) ⋅ Q(x)

c ) (7x4 - 5x5 + 4x2 - 7) + (x3 - 3x2 - 5 + x) - (-3x4 + 5 - 8x + 2x3) =

b) P(x) ⋅ R(x) + P(x) ⋅ Q(x)

1 7 d)  x 4 − x 3 + 31x 2 + 12 + 6 4

3.7  Sean los polinomios:

 1 2  x  +  − x 2 + 2x 3 + 3x   6 3 

 2  2 −  − x + + x2  3  3  e) (-5z + 2y) - (2z - 5y - 7x - 1) + (-3z - 4y - 9x) - (-4y + 8x - 5) = f ) (xy - 3x - y + x y) - (x y + 5x ) + (3xy - y - 5x ) = 2

2

2

2

2

2

2

2

2

A =

1 2 3 x y − xy 2 + 3xy 3 2

B=

5 2 1 7 x y − xy + xy 2 6 3 5

C =

3 2 3 2 5 xy + x y − xy 4 4 6

3.3  Efectúa las siguientes operaciones:

Realiza las siguientes operaciones:

a) (4x - 3x3 + 2x2 - 1)(4x + 2x2 + 3) =

a) A -(B + C)

b) (4x3 - 2x + 1)(6x2) =

b) B + C - A

c ) (3x - x3 + 3)(x2 - 3x + 1) =

c ) C -(A - B)

d) (3x + 2)(3x - 2) =

d) B -(A - C) e) A - B + C

9   −5 4  e)  x 3 − 3x + 4  x  5  4 

f ) A + B - C

3.4  Efectúa las siguientes operaciones: a) (3x - 2)(x2 - 1) - (4x3 - 3x + 1) = b) (5x2 - 2)(x2 + 3x - 1) + (x - 1)(x3 + 3x - 1) = c ) (4x + 3)(x2 - 1) - (4x3 - 3x + 1) = d) (3x - 2)(4x2 - 3) - (3x2 + (x - 1)(x + 3)) - 1 =  x 3  ( x + 3)  = e) (2x 2 − 3x + 1)  +  − x  x − 2   2 2  110

Problemas aplicados a la realidad

3.8  Efectúa las operaciones indicadas: 5  1 2 7 2 1 4  a)  x 3 + x 2 + x − 3 −  x + − x 3 − x 2  3 4 3 2 5  8  2 5  1 2 7 2 1 4  b)  x 3 + x 2 + x − 3 +  x + − x 3 − x 2  3 4 3 2 5  8  2 5 1 2 7 2 1 4  c )  x 3 + x 2 + x − 3  x + − x 3 − x 2  3 4 3 2 5  8 2

Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria© 3.13  Factoriza las siguientes expresiones.

5 3 2 2 7 x + x + x−3 3 4 d) 8 1 2 1 3 4 2 x+ − x − x 2 3 2 5

1 1 1 a)  − y + y 2 = 4 3 9 1 2 b)  − x + x 2 = 9 3

3.9  Calcula aplicando los productos notables: a) (x + 1)2 = b) (2x - y)2 =

c ) x 4 +

c ) (m + 2)(m - 2) =

1 2 1 x + = 3 36

2

d) (5x + 3)(5x - 3) = 3.10  Realiza las siguientes divisiones de polinomios:

a b2 = d)  − 9 25 e) a6 - 1 =

a) (15a3 - 27a2 + 12a - 3a5) ÷ 3a

f ) 4x2 - 9 =

b) (5x5 - 3x7 + 4x4 - 5x3) ÷ 2x2

g) 16y2 - x4 =

c ) (12x6 - 9x5 + 6x4) ÷ 3x3

h) 3x6 + 9x2 =

d) (6x5 + 9x3 + 12x2) ÷ 3x2

i ) x3 + 20x2 - 16x =

e) (8x5 - 14x4 - 5x3) ÷ (2x2 - 5x + 3)

3.14  Factoriza las siguientes expresiones.

f ) (x6 - 3x - x3 - 3) ÷ (x2 - 3x)

a) 24x5 + 18x4 - 30x2 =

3.11  Factoriza las siguientes expresiones:

b) x4 - x3 + x - 1 =

a) x2 + 6x + 9 =

c ) x3 + 15x2 + 75x + 125 =

b) x4 - 12x2 + 36 =

d) 4x2 + 12x + 9 =

c ) 9x2 - 12x + 4 =

1 e)  − x 2 = 36

d) 16x2 + 24xy + 9y2 = e) x2 - 9 = f ) 4x2 - 16y2 =

3.15  Factoriza las siguientes expresiones.

g) 4x2 - 16xy + 16y2 =

a) x3 - 3x2 - 1 =

h) 9x2 - 49z2 =

b) -10x + 25 + x2 =

i ) 9x2 + 42xz + 49z2 =

1 c )  x 2 − 9 = 4

x2 j )  − 3xy + 9 y 2 = 4

d) 36x2 - 12x5 + 60x3 =

3.12  Revisa las siguientes expresiones y factorízalas.

e) 6x3 - 3x2 + 4x - 2 =

4 3 9 2 a)  x 2 − xy + y = 25 5 16 b) 16x2y4 - 25 = 2

d) x + 2xy + y - z = 2

2

a) (x3 - x2 + 11x - 10) ÷ (x - 2) b) (8x3 - 3x + x4 + 20 + 12x2) ÷ (x + 3)

c ) (x - y) - z = 2

3.16  Realiza las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. Calcular el cociente y el residuo en todas.

2

2

c ) (6x4 + 20x3 - 41x2 + 50x + 20) ÷ (x + 5) d) (20 - 20x3 + 5x5) ÷ (x - 2)

 2 4 e)  a −  − = 3 9 

3.17  Resuelve las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. Calcular el cociente y el residuo en todas.

f ) a2 - x2 - 2xy - y2 =

a) (20 - 22x3 + 5x5) ÷ (x - 2)

g) a2 - x2 + 2xy - y2 =

1  2 5 2 b)  x 6 + x 5 − 3x 4 − x 3 + x + 4 ÷ ( x − 2) 5 6 3 2 

h) 16y2 - x4 =

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

111


UNIDAD

3

Problemas para resolver d) P(w) = w4 + 4w3 - 27w2 - 34w + 56

 2 11 15 3 1  c )  7x 2 + x 5 + x− x +  ÷ ( x − 3) 3 12 4 2 

e) P(y) = y5 + 7y4 + 10y3 - 18y2 - 27y + 27

3.18  Calcula en los casos siguientes, sin hacer la división, el residuo de las siguientes operaciones.

3.28  Determina el número de raíces positivas y raíces nega­ tivas de cada uno de los siguientes polinomios.

a) (x2 - 3x4 + 3 - x) ÷ (x - 3)

a) P(x) = 2x4 + 3x3 - 7x2 - 12x - 4

9   45 3 3 2 b)  x 5 − x + − x2  ÷  x −  8 2 3 4  

b) P(x) = 9x6 - x4 + 9x2 - 1

3 2 5 2 3 c)  x 5 − x 4 − x 3 − x 2 + x +  ÷ ( x + 1) 3 2 3 4 4

3.29  Demuestra que A es una cota inferior y B es una cota superior para las raíces del polinomio dado y determina to­ das las raíces reales.

d) (x5 - 2x3 + 3x2 - 7) ÷ (x + 1)

c ) P(x) = -x5 + 4x3 - x2 + 4

a) P(x) = 3x4 - 10x3 - 27x2 + 82x - 24, A = - 4, B = 6

1   3 1 1 1 e)  x + x 3 + x 2 − + 4 x 5  ÷  x −  2 4 2 2 4   1  5 f )  x 4 + x − x 2  ÷ ( x − 3) 6 9  3.19  Sin efectuar la división, demuestra que: x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 es divisible entre x + 2. 3.20  Sin efectuar la división demuestra que: x5 - 3x4 + x2 - 2x - 3 es divisible entre x - 3. 3.21  Sin efectuar la división demuestra que 2x6 + x4 + x2 + 2 es divisible entre x2 + 1. Sugerencia: Haz un cambio de variable z = x2. 3.22  Determina el número de raíces positivas en R del poli­ nomio P(x) = -6x2 + x4 - 27. 3.23  Usa el teorema de Bolzano para determinar si existe raíz real en el intervalo [0, 2] para el polinomio: P(x) = x3 + 8x - 9.

b) P(x) = 3x5 - 22x4 + 22x3 + 16x2 - 25x + 6, A = - 2, B = 8 c ) P(x) = 10x5 + 63x4 - 328x3 + 403x2 - 168x + 20, A = - 11, B=4 3.30  Usando el método de bisección, halla las raíces de los siguientes polinomios, en el intervalo indicado, de tal forma que el error cometido sea menor a 0, 01. a) 4x3 - 5x2 + 4x - 5 en [1, 2] b) 50x3 + 89x2 - 278x + 378 en [3, 4] c ) 10x3 - 17x2 - 9x + 39 en [-2, -1] d) x4 - 2x2 - 3 en [-2, -1] 3.31  En cada caso, encuentra un polinomio con coeficien­ tes enteros que satisfaga las condiciones dadas. a) Grado 3; raíces r1 = 2,

r2 = (3 + i )

b) Grado 3; raíces r1 = 3,

r2 = (6 - i )

c ) Grado 4; raíces r1 = i,

r2 = (2 + 2i )

d) Grado 3; raíces r1 = -i,

r2 = 7/3

3.24  Usa el método de bisección para aproximar la raíz del polinomio P(x) = -6x3 + x - 6, que se encuentra en el inter­ valo [-2, -1].

3.32  Para cada uno de los siguientes polinomios, encuentra las raíces del polinomio utilizando la raíz dada.

3.25  Encuentra las raíces reales del polinomio:

a) x4 - x2 - 2

si r1 = -i

P(x) = 8x5 - 12x4 + 89x3 - 23x2 + 228x - 290, si se sabe que −3 + 7i dos de sus raíces son: 1 y . 4

b) x4 + 2x2 + 1

si r1 = i

c ) x4 - 6x3 + 15x2 - 18x + 10

si r1 = 2 + i

3.26  Determina las raíces reales de los siguientes polino­ mios: a) P(x) = 5x3 - 3x + 12

3.34  Encuentra dos números enteros cuyo producto sea 104, de forma que uno de los enteros es tres menos que el doble del otro entero.

b) P(x) = x + 6x - 1 3

2

c ) P(x) = x4 - 10x2 + 9 3.27  Encuentra las raíces reales de cada uno de los siguien­ tes polinomios. a) P(w) = w3 - 3w2 - 28w + 60

3.35  El perímetro de un rectángulo es de 32 cm y el área es de 60 cm2. Determina el largo y el ancho del rec­tángulo. 3.36  Supongamos que la longitud de cierto rectángulo es dos centímetros más que tres veces su ancho. Si el área del rectángulo es de 100 cm2, determina su longi­ tud y su ancho.

b) P(y) = y3 + 10y2 + 33y + 36 c ) P(z) = z3 - 6z2 -13z + 42 112

3.33  Encuentra dos números enteros cuyo producto sea 105, de forma que uno de los enteros es uno más del doble del otro entero.

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria© 3.37  La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 85. Determina los enteros. 3.38  Un huerto tiene 90 árboles. El número de árboles en cada fila es de 3 más del doble del número de filas. Determina el número de filas y el número de árboles por fila. 3.39  Supongamos que la longitud de un cateto de un trián­ gulo rectángulo es 3 cm, más que la longitud del otro cate­ to. Si la longitud de la hipotenusa es de 15 cm, determina la longitud de los catetos. 3.40  En un rectángulo, la base mide el triple que la altura. Si se disminuye 1 cm de cada lado, el área inicial disminuye 15 cm2. Calcula las dimensiones y el área del rectángulo ini­ cial. 3.41  Determina tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7. 3.42  La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno? 3.43  Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x - 5x + 6x = 0 3

2

Problemas aplicados a la realidad

b) x3 - 9x = 0 c ) x3 - 2x2 - 19x + 20 = 0 d) -6x3 + 3x2 + 10x = 0 3.44  Usando la fórmula de Tartaglia y Cardano, resuelve las siguientes ecuaciones. a) x3 - 3x2 - x - 6 = 0 b) 5x3 - 8x2 - 3x + 7 = 0 c ) x3 - 2x2 + x - 2 = 0 d) -6x3 + 3x2 + 10x + 2 = 0 3.45  Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x4 - x3 - 11x2 + 9x + 18 = 0 b) x4 - 10x3 + 10x2 + 9x - 9 = 0 c ) x4 + x3 - 5x2 - 2x + 3 = 0 3.46  Determina el polinomio equivalente a x2 + 1 x + 2 = 29 y encuentra sus raíces. x x +1

Problemas para resolver con tecnología

113


UNIDAD

3

Polinomios

Problemas reto 1

En un triángulo rectángulo, la longitud de uno de los catetos es de 6 m. La longitud del cateto faltante es una raíz del polinomio P(x) = x3 - 4x2 - 30x - 16. Encuentra el perímetro del triángulo.

2

Crea un algoritmo que encuentre tres números impares consecutivos, tales que si al cuadra­ do del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.

Referencias Oteyza de Oteyza, Elena, E. Lam, C. Hernández, A. Carrillo (2003). Álgebra. 2a. ed., Prentice Hall: México. Uspensky, J. V. (1995). Teoría de ecuaciones. Limusa: México.

direcciones electrÓnicas www.youtube.com/watch?v=Y1NoRAsbOJs  (visitada el 11 de octubre del 2011)

114


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales Objetivos Realizar operaciones elementales. Resolver ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Aplicar la solución de ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales en problemas prácticos.

¿Qué sabes?

¿Qué es una ecuación lineal? ¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales? ¿Cuáles son las operaciones elementales entre renglones? ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones usando eliminación de Gauss?


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales

4.1  Ecuación lineal Una ecuación de la forma Ax + By = C, donde A, B y C son números reales y tanto A como B no son cero, es una ecuación lineal en las dos variables x y y, al tiempo que su gráfica es una línea recta.

Problema resuelto Alerta Con dos puntos dados, es posible trazar la gráfica de una recta.

Trazar la gráfica de la siguiente ecuación 4x - 2y = 12. Solución

Primero, se encuentran las intersecciones con los ejes x y y; con ese fin, hacemos x = 0. Esto es:

4(0) - 2y = 12

-2y = 12 y =

12 = -6 -2

Entonces, (0, -6) es una solución, es decir, un punto de la recta; éste es el punto de intersección de la recta con el eje y. Ahora, hacemos y = 0. Esto es:

4x - 2(0) = 12

4x = 12 x =

12 =3 4

Entonces, (3, 0) es una solución, es decir, un punto de la recta; éste es el punto de intersección de la recta con el eje x. Ahora, trazamos la gráfica de la recta 4x - 2y = 12.

6

y

4 2 x −6

−4

−2

2 −2

4

6

Intersección con el eje x

−4 −6

Intersección con el eje y

Figura 4.1

❚ Ecuación Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación de la forma: ax + b = 0 Donde a y b son constantes y a ≠ 0. Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para resolver una ecuación lineal se aplican operaciones algebraicas hasta que sólo quede (se despeje) la incógnita en un lado de la ecuación. 116


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Resolver la ecuación dada: 2 19 -7=x 3 Solución

Primero, despejamos x. Esto es:

2 - 7x 19 =x 3

3(2 - 7x) = -19x

6 - 21x = -19x

6 = -19x + 21x 6 = 2x ⇒ x =

6 =3 2

Para comprobar la solución, hay que sustituir x = 3 en la ecuación dada; entonces: 2 2 - 21 19 -7= =3 3 3

Problema resuelto 5 de la edad de Javier; si ambas edades se suman, la suma excede en 4 años al 3 doble de la edad de Javier. Determinar ambas edades.

La edad de Pepe es

Solución

Sea x la edad de Javier, entonces la edad de Pepe es

5 x ; entonces la ecuación a resolver es: 3

5 x + x = 2x + 4 3 Entonces, despejamos x. Esto es:

5 x + x - 2x = 4 3

5x + 3x - 6 x =4 3

2x 4(3) =4⇒x =6 3 2

Luego, entonces, comprobamos:

5 (6 ) + (6 ) = 2(6 ) + 4 3

10 + 6 = 12 + 4

16 = 16

117


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales

Problema resuelto Supóngase que la renta de un automóvil es de 120 pesos por día, como cuota fija, más 3 pesos adicionales por cada kilómetro recorrido durante el periodo de renta. ¿Cuánto paga un cliente que conduce 145 kilómetros en un día? Solución

Sea y la cantidad a pagar y sea x la cantidad de kilómetros recorridos, entonces: y = 120 + 3x Si x = 145, entonces el cliente tendrá que pagar: y = 120 + 3(145) = 555 Esto es: 555 pesos.

4.2  Ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas, se define como toda expresión del tipo ax + by = c; donde a, b y c son números, tales que a y b son diferentes de 0, mientras que x y y son las incógnitas.

Problema resuelto Alerta Toda ecuación lineal con dos incógnitas tiene un número ilimitado de soluciones.

Determinar si los valores de x y y propuestos son solución de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 5x + 2y = 17,

3 2

x = 4,

y =-

x = 6,

y=2

c ) x - y = 12,

x = 13,

y = -1

d) 4x + 12 = y,

x = -2,

y=4

b)

x + y = 7 , 3

Solución

Se sustituye cada una de las soluciones en las ecuaciones dadas:  3 a) 5(4 ) + 2  -  = 20 - 3 = 17 ; sí es solución.  2 b)

6 + 2 = 2 + 2 = 4 ≠ 7 ; no es solución. 3

c ) 13 - (-1) = 13 + 1 = 14 ≠ 12; no es solución. d) 4(-2) + 12 = -8 + 12 = 4 = 4; sí es solución.

Problema resuelto Determinar cinco soluciones para la siguiente ecuación: 2x + 3y = 12

118


Grupo Editorial Patria© Solución

Primero, se despeja y de la ecuación: 2x + 3y = 12

3y = 12 - 2x

y =

12 2 2 - x =4- x 3 3 3

2 x , se procede a tabular, es decir, se dan valores 3 a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se muestra a continuación: Ahora, para obtener la gráfica de la función y = 4 -

x

2 y=4− x 3

Puntos solución

0

2 4 - (0) = 4 3

(0, 4)

1

2 4 2 12 - 2 10 4 - (1) = - = = 3 1 3 3 3

 10   1, 3 

2

2 4 4 12 - 4 8 4 - (2) = - = = 3 1 3 3 3

 8  2, 3 

3

2 4 6 4 - ( 3) = - = 4 - 2 = 2 3 1 3

(3, 2)

4

2 4 8 12 - 8 4 4 - (4 ) = - = = 3 1 3 3 3

 4  4 , 3 

Los puntos solución que se han evaluado son los puntos (x, y) de la recta, es decir, aquellos que satisfacen la ecuación de la recta:

y

7 6 5 4 3 2

x

1 −5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figura 4.2

119


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales

Problema resuelto Determinar dos soluciones de la ecuación 6x - 4y = 2 y comprobar que éstas también son soluciones de 3x - 2y = 1. Explicar por qué coinciden estas soluciones. Solución

 1 1 , tenemos que un punto solución es  0, -  , y haciendo 2 2  1  2 1 y = 0 en 6x - 4(0) = 2 ⇒ x = = , tenemos que un punto solución es  , 0 6 3 3  Haciendo x = 0 en 6(0) - 4y = 2 ⇒ y = -

3

y

2

1 x −3

−2

−1

1

2

3

−1 −2 −3

Figura 4.3

Enseguida, comprobamos que ambos puntos solución satisfacen la ecuación 3x - 2y = 1:

 1  0, - 2  ⇒ 3(0 ) -

 1 2  -  = 1 ; sí es solución.  2

1   1  3 , 0 ⇒ 3  3  - 2(0 ) = 1 ; sí es solución.

Ahora, veamos por qué; despejamos y de la ecuación 6x - 4y = 2, entonces:

6x- 4y = 2 -4y = 2 - 6x y =

2 - 6x 3 1 = x-4 2 2

Luego, despejamos y de la ecuación 3x - 2y = 1, entonces:

3x - 2y = 1 -2y = 1 - 3x y =

120

1 - 3x 3 1 = x-2 2 2


Grupo Editorial Patria© Como se puede observar, obtenemos la misma expresión para y; entonces, podemos decir que ambas ecuaciones representan la misma recta y, por tanto, tienen los mismos puntos solución. Si multiplicamos toda la ecuación 3x - 2y = 1 por 2, obtenemos la ecuación 6x - 4y = 2, la cual tiene la misma representación geométrica.

3

y

2 3 1 y = –x − – 2 2

1

x −3

−2

−1

1

2

3

−1 −2 −3

Figura 4.4

4.3  Sistema de ecuaciones Se llama sistema de ecuaciones a todo conjunto de ecuaciones distintas. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es determinar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras llamadas incógnitas, cuyo valor hay que averiguar. Para resolver las ecuaciones que tienen más de una incógnita, se necesitan tantas ecuaciones como incógnitas tenga, y a ese conjunto de ecuaciones se le llama sistema.

Alerta Una ecuación no se altera al multiplicarla por un número distinto de cero.

Por ejemplo, el siguiente sistema:

2x + 3y = 7

5x - 2y = 8

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

❚ Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

:

am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm

En este caso, el sistema tiene m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes; los xi se denominan incógnitas, y los bj se denominan términos independientes. 121


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales En el caso de que sean dos las incógnitas, éstas se suelen designar simplemente por x y y, en vez de x1 y x2; mientras tanto, en el caso de que sean tres las incógnitas, éstas se denominan: x, y, z, en lugar de x1, x2 y x3; sin embargo, esto no es importante a la hora de resolver el sistema. Resolver un sistema consiste, entonces, en calcular las incógnitas, para que se cumplan simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. Así pues, se dice que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

❚ Expresión matricial de un sistema Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:  a  x   b  a12 � a1n − 1 a1n  11 1 1       a a � a a b x  21  2   2  22 2n − 1 2n   a  x   b  a32 � a3n − 1 a3n    31  3   3   �  �   �  � � � �         am1 am2 � amn − 1 amn   x n   bn  �������� � ������ �� � � � �� � � � matriz m × n matriz n × 1 matriz m × 1 ������ �������� � �� � � � � ��� � Matriz de Mattriz de Matriz de términos incógnitas independientes coeficientes La matriz formada por A y B conjuntamente se llama matriz ampliada del sistema, es decir:    (A |B) =     

a11

a12 a22

� a1n − 1 � a2n − 1

a21 a31

a2n

a32

� a3n − 1

a3n

a1n

� � � � � am1 am2 � amn − 1 amn

b1   b2  b3   �  bm 

Por ejemplo, la representación matricial del sistema:

2x - 5y = 11

3x + y = 8

es:  2 −5   x   11   3 1  y  =  8       Y su matriz aumentada está dada por:  2 −5 11  (A |B) =    3 1 8 

Problema resuelto Expresar en forma matricial al sistema de ecuaciones y determinar su matriz aumentada.

122

2x + y + z = 3 3x - y + z = -2 4x - y + 2z = 0


Grupo Editorial Patria© Solución

La forma matricial del sistema es:  2 1 1  x  3 -1 1   y    4 -1 2   z

  3  =  -2     0

   

Y su matriz aumentada está dada por:  2 1 1  ( A | B ) =  3 -1 1  4 -1 2

3 -2 0

   

❚ Tipos de sistemas En general, hay tres posibilidades para un sistema de ecuaciones lineales: ■

Ninguna solución

Una sola solución

Número infinito de soluciones

De acuerdo con el número de soluciones, un sistema que tiene una o más soluciones se llama consistente; pero, si éste no tiene ninguna solución, se llama inconsistente. En tanto, un sistema con menos ecuaciones que incógnitas se llama indeterminado. Con frecuencia, estos sistemas tienen un número infinito de soluciones. Por su parte, un sistema en que el número de ecuaciones excede el número de incógnitas se llama superdeterminado. En un sistema superdeterminado, se pueden presentar los tres casos indicados, pero con frecuencia dicho sistema es inconsistente.

4.4  Sistemas con dos incógnitas Los sistemas más simples son aquellos en los que sólo hay dos incógnitas y dos ecuaciones. Existen varios sistemas para resolverlos, los más comunes son: ■

Eliminación (con frecuencia, éste es llamado reducción)

Igualación

Sustitución

Como ya se vio, cada ecuación lineal con dos incógnitas se interpreta geométricamente como una recta, entonces la solución del sistema se limita a estudiar la posición de dos rectas en el plano. Solución de sistemas de ecuaciones por eliminación

1. Se escriben las dos ecuaciones en la forma estándar Ax + By = C

4. Se resuelve la nueva ecuación

2. Se encuentran los opuestos de los coeficientes de una de las variables

5. Se determina el valor de la otra variable

3. Se suman las ecuaciones

6. Se determina el conjunto solución

Figura 4.5

123


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales

Problema resuelto Resolver el siguiente sistema por reducción y representarlo geométricamente. -2x + 3y = 1 -4x + y = -3 Solución

Por eliminación: 1. Ambas ecuaciones están escritas en su forma estándar. 2. Luego, se busca eliminar una de las variables, para eso se encuentran los opuestos de los coeficientes de una de las variables; en este caso, elegimos la x y multiplicamos la primera ecuación por -2:

(-2)(-2x + 3y = 1)

4x - 6y = -2

-4x + y = -3

-4x + y = -3

3. Después, se suman las ecuaciones obtenidas:

4x - 6y = -2

-4x + y = -3 _____________ - 5y = -5

4. Enseguida, se resuelve la nueva ecuación: -5y = -5 ⇒ y = 1 5. Entonces, el valor de la otra variable es: 4x - 6y = -2 ⇒ 4x - 6(1) = -2 ⇒ 4x = -2 + 6 = 4 ⇒ x =

4 =1 4

6. El conjunto solución es: (1, 1).

y 10 2 1 y = –x + – 3 3 x −5

−4

−3

−2

−1

1

−10

y = 4x − 3 −20

124

Figura 4.6

2

3

4

5


Grupo Editorial Patria© Solución de sistemas de ecuaciones por igualación

1. De una ecuación despeja una variable en términos de la otra

4. Resuelve la ecuación

2. De la otra ecuácion despeja la misma variable en términos de la otra

5. Determina el valor de la otra variable

3. Iguala ambas expresiones

6. Determina el conjunto solución

Figura 4.7

Problema resuelto Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x + 4y = -6

5x + 3y = 1

Solución

Por igualación: 1. Numeramos ambas ecuaciones:

3x + 4y = -6

(1)

5x + 3y = 1

(2)

2. Despejamos y de la ecuación (1): y =

-6 - 3x 3x 3 =4 4 2

3. Despejamos y de la ecuación (2): y =

1 - 5x 3

4. Igualamos ambas expresiones para y: -

3x 3 1 5x - = 4 2 3 3

5. Resolvemos la ecuación:

-9x - 18 = 4 - 20x

-9x + 20x = 4 + 18 11x = 22 ⇒ x =

22 =2 11

6. Determinamos la otra variable: y =

1 - 5(2) 1 - 10 9 = = - = -3 3 3 3

7. El conjunto solución es: (2, -3)

125


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales Solución de sistemas de ecuaciones por sustitución

1. De una ecuación despeja una variable en términos de la otra

4. Encuentra el valor de la otra variable

2. Sustituye esa variable en la otra ecuación

5. Se determina el conjunto solución

3. Resuelve la ecuación que se obtiene en el paso anterior

Figura 4.8

Problema resuelto Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

3x + 2y = 13

4x - y = -1

Solución

1. Numeramos las ecuaciones del sistema:

3x + 2y = 13

(1)

4x - y = -1

(2)

2. Despejamos y de la ecuación (1): y =

13 - 3x 2

3. Sustituimos y en la ecuación (2):  13 - 3x  4x -  = -1 2   4. Resolvemos la ecuación anterior:

4x -

13 3 + x = -1 2 2

4x +

3 13 x = -1 + 2 2

11 11 x = ⇒x =1 2 2

5. Sustituimos x = 1 en la ecuación (1):

3(1) + 2y = 13 ⇒ 2y = 13 - 3 = 10 ⇒ y = 6. El conjunto solución es: (1, 5)

126

10 =5 2


Grupo Editorial Patria©

20

y

y = 4x + 1

10 13 3 y = — − –x 2 2 −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x 5

−10

−20

Figura 4.9

7. Comprobamos el resultado:

3(1) + 2(5) = 3 + 10 = 13

4(1) - 5 = -1

Como ya se vio, una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, x y y, consiste en una pareja de números: un valor de x y un valor de y, que satisfacen la ecuación. En un sentido más amplio, una solución de un sistema de dos o más ecuaciones lineales es una solución que satisface, a la vez, todas las ecuaciones en el sistema. Es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales de forma gráfica, dibujando las rectas y determinando dónde se cruzan éstas, pero también se puede resolver algebraicamente. Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene: ■

Una sola (única) solución. Este caso ocurre cuando las dos rectas correspondientes no son paralelas y, entonces, se cruzan en un solo punto (véase figura 4.10). 20

y

10

x −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

Una solución única −10

−20

Figura 4.10

127


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales ■

Ninguna solución. Este caso ocurre cuando las dos rectas son paralelas y distintas (véase figura 4.11).

30

Ninguna solución

y

20

Rectas paralelas jamás se intersecan

10

x −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

Figura 4.11

Un número infinito de soluciones. Este caso ocurre cuando las dos ecuaciones representan la misma recta (véase figura 4.12).

22

y y = mx + b

20 18 16 14 12 10

Un número infinito de soluciones, ya que las dos ecuaciones representan la misma recta. Dada una variable se determina la otra.

8 6 4 2 −5

−4

−3

−2

−1

−2 −4 −6

128

Figura 4.12

x 1

2

3

4

5


Grupo Editorial Patria©

4.5  Método de solución de sistemas de ecuaciones   de Gauss-Jordan El método de eliminación de Gauss-Jordan utiliza las siguientes operaciones elementales de ren­ glones: 1. Reemplazar el renglón i, que denotaremos por Ri, por el renglón a Ri; donde, a es un número distinto de cero. Es decir, multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero. 2. Reemplazar Ri por aRi ± bRj; donde, a y b son números distintos de cero. Es decir, reemplazar un renglón por una combinación lineal con otro renglón. 3. Intercambiar dos renglones. Estas operaciones elementales se usan para escribir cualquier matriz en forma reducida. Una matriz es reducida, o en forma escalonada reducida, si: ■

El primer elemento diferente de cero de cada renglón (llamado el elemento principal de dicho renglón) es 1. Las columnas de los elementos principales contienen cero en cada posición por encima y debajo del elemento principal, lo que se conoce como pivotear. El elemento principal en cada renglón está a la derecha del elemento principal del renglón anterior y los renglones llenos de cero (si hay) están en la parte inferior de la matriz.

El procedimiento de reducir una matriz hasta la forma escalonada reducida se llama método de eliminación de Gauss-Jordan.

Problema resuelto Usando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2x - 3y = 7

-4x + 8y = 14

Solución

Primero, formamos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:  2 -3 7   -4 8 14    Sea R1 el primer renglón y R2 el segundo. Luego, a R1 lo multiplicamos por  2 -3 7    -4 8 14

1 1 y a R2 por - : 2 4  1  R1 ×    2     R × - 1  2  4 

 3  1 2  8   1 - 4

7 2 14 4

  3 7   1 2 2  = 7     1 -2 - 2

    

Como se puede observar de la primera columna, ésta ya sólo tiene 1. Ahora, a R2 le restamos R1:  3 7  1 2 2  7   1 -2 - 2

    3 7 3 7   1   1 2 2 2 2  =  R 2 - R1  1 3 7 7       1 - 1 -2 + 2 - 2 - 2   0 - 2 -7

    

129


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales Enseguida, multiplicamos a R2 por -2:  3 7  1 2 2  1   0 - 2 -7

  3 7   R 2 × ( -2)  1 - 2 2    0 1 14 

   

Luego, para formar ceros arriba del 1 principal de R2, a R1 le sumamos R2 por  3 7  1 2 2   0 1 14

20

  R × 3 +R 1  2 2 

 3 3  1+ 0 - + 2 2   0 1

7 + 21 2 14

3 : 2

  49  = 1 0 2     0 1 14

   

y

y = 1– x + –7 2 4

15

(24.5, 14) y = 2– x − –7 3 3

10

5

x 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

Figura 4.13

Problema resuelto Usando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

5x - 5y = 3

x - y = 12

Solución

Primero, formamos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:  5 -5 3   1 -1 12  Luego, a R1 lo multiplicamos por

1 : 5

 3   5 -5 3   1  1 -1  R × 5 1  1 -1 12   5     1 -1 12 

130


Grupo Editorial Patria© Después, a R2 le restamos R1:  3    1 -1 5  R 2 - R1   1 -1 12 

   3 3  3 -1  1    1 -1   1 -1 5 5 5      3  57  3  + 0 0 12 0 0 1 1 1 1 12  5   5  5   

En este caso, el segundo renglón indica que el sistema no tiene solución, ya que es equivalente a decir que: 57 0= 5 Por tanto, este sistema no tiene solución, ya que está formado por dos rectas paralelas que jamás se intersecan (véase figura 4.14).

y

4 2 −5

−4

−3

−2

−1

1

−2

2

y = x − –3 5

x

4

5

3

−4 −6

y = x − 12

−8 −10 −12 −14 −16

Figura 4.14

Problema resuelto Usando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

7x + 2y = 6

-14x - 4y = -12

Solución

Primero, formamos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:  7 2 6   -14 -4 -12  Luego, a R1 lo multiplicamos por

1 1 y a R2 lo multiplicamos por : 7 14

 7 2 6    -14 -4 -12

 1  R1 ×    7     R × - 1  2  14 

 2  1 7  4   1 14

6 7 12 14

  2   1 7  = 2     1 7

6 7 6 7

    

131


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales Enseguida, a R2 le restamos R1:  2  1 7  2   1 7

   R 2 - R1  

6 7 6 7

 2  1 7   0 0

6 7 0

   

Un renglón lleno de ceros significa que sólo se tiene una ecuación con dos incógnitas, por lo que ambas ecuaciones representan la misma recta. Entonces, el sistema tiene un número infinito de soluciones, es decir, todos los puntos de la recta (véase figura 4.15).

20

y

7 y = 3 − –x 2 10

x −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−10

Figura 4.15

El método de eliminación de Gauss es muy útil; por lo general se utiliza para descartar ecuaciones de un sistema de ecuaciones; por ejemplo, cuando se tienen tres ecuaciones y dos incógnitas.

Problema resuelto Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

-x + 2y = 5

3x + y = 7

2x + 3y = 12

Solución

Primero, formamos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:  -1 2 5  3 1 7   2 3 12

132

   


Grupo Editorial Patria© Así, sean R1 el primer renglón, R2 el segundo renglón y R3 el tercer renglón. Ahora, R1 lo multiplicamos 1 1 y a R3 lo multiplicamos por : por -1, a R2 lo multiplicamos por 3 2  -1 2 5   3 1 7  2 3 12

R1 × -1   1   R 2 ×  3    1 R3 ×    2

      

1 -2 -5 3 1 7 3 3 3 2 3 12 2 2 2

 -5   1 -2  =  1 0.33 2.3 33   1 1 . 5 6    

   

Enseguida, a R3 le restamos R1, y a R2 le restamos R1:  1 -2 -5  1 0.33 2.33  6  1 1.5

  R 2 - R1  R 3 - R1 

 1 -2 -5  1 - 1 0.33 + 2 2.33 + 5  6+5  1 - 1 1.5 + 2

  1 -2 -5  =   0 2.33 7.33   0 3.5 11

   

Luego, a R3 lo dividimos entre 3.5 y a R2 lo dividimos entre 2.33:  1 -2 -5  0 2.33 7.33  11  0 3.5

R2   2.33  R3  3.5

 1 -2   0 2.33  2.33  3.5  0 3.5 

-5 7.33 2.33 11 3.5

     1 -2 -5  =  0 1 3.14   0 1 3.14  

   

Después, a R3 le restamos R2:  1 -2 -5  0 1 3.14   0 1 3.14

  R -R 2  3 

 1 -2 -5  0 1 3.14  0  0 0

   

En este caso aparece una ecuación 0 = 0, la cual no influye, y el elemento a22 es diferente de cero. El sistema es, por tanto, consistente determinado, es decir, tiene una solución única. Las tres ecuaciones se intersectan, como se observa en la figura 4.16:

22

y

20 18 16 14 12 10 8

2 y = 4 − –x 3

1 5 y = –x + – 2 2

6 4 2

−5

−4

−3

−2

−1

−2

x 1

2

3

4

5

−4 −6 −8

y = 7 − 3x

Figura 4.16

133


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales

4.6  Ecuaciones con tres incógnitas Las ecuaciones con tres incógnitas representan un plano en el espacio tridimensional; por ejemplo, la ecuación x + y + z = 1 representa el plano que se muestra en la figura 4.17: 4 3 z

2 1

1

1

2

2

x

3

y

3

4

4

Figura 4.17

❚ Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Para sistemas con más de dos ecuaciones, es decir tres o más, se utiliza el método de Gauss. Para el sistema de ecuaciones:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b1

1. Se forma la matriz aumentada del sistema de ecuaciones:  a a12 11  ( A | B ) =  a21 a22  a  31 a32

a13 a23 a33

b1   b2  b3 

2. Se realizan operaciones elementales de renglón para llevarla a ser una matriz escalonada, es decir, del tipo:  a′ 0 11  ( A | B ) =  0 a′22  0 0 

0 0 a′33

b′1   b′2  b′3 

Al aplicar el método de Gauss podemos encontrarnos con distintos casos: ■

134

Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes distintos de cero, el sistema es consistente determinado y tiene una solución única. Si se obtiene uno o más renglones en los que todos los elementos sean cero, el sistema tiene un número infinito de soluciones, y hay que despejar una o varias incógnitas en términos de otras; es, por tanto, un sistema consistente indeterminado. Si se obtiene uno o más renglones de ceros, salvo el elemento correspondiente al término independiente, que es distinto de cero, y puesto que esto es imposible, el sistema no tiene solución y, por tanto, es inconsistente.


Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto Utilizar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

x - y + 5z = -6

3x + 3y - z = 10

x + 3y + 2z = 5

Solución

1. Se forma la matriz aumentada:  1 -1 5 -6 ( A | B ) =  3 3 -1 10   1 3 2 5

   

2. Se realizan operaciones elementales entre renglones para llevar a la forma de matriz escalonada; entonces, sean R1 el primer renglón, R2 el segundo renglón y R3 el tercer renglón; luego, dividimos R2 entre 3:  1 -1 5 -6   R 2   1 1 -1 10  3  3 3   1 3 2 5

 1 -1 5 -6  3 3 -1 10   1 3 2 5

    

Luego, a R2 le restamos R1 y a R3 le restamos R1:  1 -1 5 -6   1 1 -1 10  3 3  1 3 2 5

 1 -1 -6 5  1 10  1- 1 1+ 1 -5 +6  3 3  1 - 1 3 + 1 2 - 5 5+6

  R -R 1  2  R 3 - R1 

  1 -1 5 -6    =  0 2 -1 28   3 3   0 4 -3 11

    

Después, dividimos R2 entre 2 y R3 entre 4:  1 -1 5   0 2 -16  3  0 4 -3

-6 28 3 11

 R2   2  R3  4

 1 -1 5   0 1 -16  6  3  0 1 4 

-6 28 6 11 4

      

Posteriormente, a R3 le restamos R2:  1 -1 5   0 1 -16  6  3  0 1 4 

-6 28 6 11 4

    R3 - R2   

Acto seguido, dividimos R3 entre

 1 -1 5  16  0 1  6  3 16  0 1- 1 - + 4 6 

-6 28 6 11 28 4 6

  1 -1 5     0 1 -16  = 6   23   0 1 12  

-6 28 6 23 12

      

23 : 12

 1 -1 5   0 1 -16  6  23  0 0 12 

-6 28 6 23 12

 1 -1 5     R 3  0 1 -16   6  23  3  12  0 0 4  

     -1  

-6 28 6

135


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales

Ahora, multiplicamos a R3 por

16 y lo sumamos a R2: 6

 1 -1 5   0 1 -16  6  0 0 1

-6 28 6 -1

  1 -1 5 -6    0 0 0 28 -16  6 6   0 0 1 -1

   1 -1 5 -6  = 0 1 0 2     0 0 1 -1

   

Enseguida, multiplicamos a R3 por -5 y lo sumamos a R1 y también le sumamos R2:  1 -1 5 -6  0 1 0 2   0 0 1 -1

  R + R - 5R 2 3  1 

 1 -1 + 1 5 - 5 -6 + 2 + 5  0 1 0 2  0 1 -1  0

  1 0 0 1  = 0 1 0 2     0 0 1 -1

   

El conjunto solución es, por tanto: x = 1, y = 2, z = -1.

Geométricamente, el punto (1, 2, -1) es la intersección de los tres planos (véase figura 4.18):

0.0 0 0 −0.5

2

z 1 −1.0 −1.5

1 2

x

3

3

x = 1, y = 2, z = −1

Figura 4.18

La solución se comprueba sustituyendo en las tres ecuaciones:

(1) - (2) + 5(-1) = 1 - 7 = -6

3(1) + 3(2) - (-1) = 3 + 7 = 10

(1) + 3(2) + 2(-1) = 1 + 4 = 5

❚ Representación gráfica de los planos Planos coincidentes Si las ecuaciones de los planos son: y y 136

Ax + By + Cz = D A′x + B′y + C′z = D′ A ′ B′ C ′ D ′ = = = =n A B C D


Grupo Editorial Patria© Se dice que los planos son coincidentes, es decir, nAx + nBy + nCz = nD es un múltiplo entero de Ax + By + Cz = D, y ambas se representan con el mismo plano. Por ejemplo, los planos 3x + 2y + 6z = 2 y 12x + 6y + 23z = 8, son coincidentes y representan el mismo plano (véase figura 4.19).

z

2 1 00 0 1

1

2

2 3

3 4

x

4

y

Figura 4.19

Planos paralelos Si las ecuaciones de los planos son: Ax + By + Cz = D

y y

A′x + B′y + C′z = D′ A ′ B′ C ′ D ′ = = ≠ A B C D

los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, pero los términos independientes no, entonces, los planos son paralelos. Por ejemplo, los planos 3x + 2y + 6z = 2 y 6x + 4y + 12z = 8 son paralelos (véase figura 4.20). 1.0

0.8

0.6 z 0.4 4

0.2 2 0.0

0 0

1

y

2

x

3

4

5

Figura 4.20

137


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales Planos secantes Si las ecuaciones de los planos son: Ax + By + Cz = D

y y

A′x + B′y + C′z = D′ A ′ B′ C ′ D ′ ≠ ≠ ≠ A B C D

y si los coeficientes no son proporcionales, los planos son secantes (véase figura 4.21). 2 1

4

Figura 4.21

❚ Sistemas de ecuaciones y su representación gráfica Para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, si el sistema es consistente determinado, éste tiene solución única; es decir, los tres planos se cortan en un punto, que es la solución del sistema. Si el sistema es consistente indeterminado, o sea, si éste tiene un número infinito de soluciones, puede ocurrir que: ■

Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta.

Por ejemplo, el siguiente sistema tiene dos planos coincidentes:

x - y + 5z = -6

2x - 2y + 10z = -12

3x + 3y - z = 10

Usando el método de Gauss-Jordan:  1 −1 5 −6  2 −2 10 −12   3 3 −1 10

138

 1 −1 5  0 0 0 = 16   0 2 − 3

 1 −1 5 −6     R R  2 , 3  1 −1 5 −6  R 2 − R1  2 3  1 10  R 3 − R1   1 1 − 3 3  −6 0 28 3

 1 −1 5   intercambiamos    0 2 − 16 R 2 por R 3 3     0 0 0

 1 −1 −6 5  1 − 1 −1 + 1 5 − 5 −6 + 6  1 10   1 − 1 1 + 1 − 3 − 5 3 + 6 −6 28 3 0

    

    


Grupo Editorial Patria© Si tenemos un renglón lleno de ceros, entonces tenemos dos planos que son coincidentes, y el otro los corta en una recta (véase figura 4.22): 2 1

3x + 3y − z = 10

4

x − y + 5z = −6 2x − 2y + 10z = −12 ■

Figura 4.22

Los tres planos son coincidentes.

Por ejemplo, el sistema tiene tres planos coincidentes: x - y + 5z = -6 2x - 2y + 10z = -12 3x - 3y + 15z = -18

Usando el método de Gauss-Jordan:

 1 −1 5 −6  2 −2 10 −12   3 −3 15 −18

 1 −1 5 −6   R 2 , R 3  1 −1 5 −6  2 3   1 −1 5 −6 

 1 −1 5 −6 = 0 0 0 0   0 0 0 0

   

  R 2 − R1  R 3 − R1 

 1 5 −1 −6  1 − 1 −1 + 1 5 − 5 −6 + 6   1 − 1 −1 + 1 5 − 5 −6 + 6

   

Si tenemos dos renglones llenos de ceros, entonces tenemos que los tres planos son coincidentes (véase figura 4.23): 2

x − y + 5z = −6 2x − 2y + 10z = −12

1

4

3

2

1

0 0 0

3x − 3y + 15z = −18

1 2 3 4

−4

Figura 4.23

139


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales Si el sistema es inconsistente, es decir, sin una solución, puede ocurrir que: ■

Los planos se intersecan por separado; es decir, dos planos son paralelos y el otro los corta (véase figura 4.24):

-x + 3y - z = 4

x + 4y + z = 5

2x - 6y + 2z = 3

4

4 2

−x + 3y − z = 4 x + 4y + z = 5 2x − 6y + 2z = 3

−4

Figura 4.24 

Este sistema es inconsistente, ya que los planos se cortan por separado, por tanto no tiene solución:

 −1 3 −1 4  R1 × ( −1)  1 4 1 5  R2    2 −6 2 3  2

 1 −3 1 −4  1 4 1 5  3   1 −3 1 2

  R −R 1  2  R 3 − R1 

 1 −3 −4 1  1− 1 4 + 3 1− 1 5 + 4  3   1 − 1 −3 + 3 1 − 1 2 + 4

    

 1 −3 1 −4   0 7 0 9   = 11    0 0 0 2 

El último renglón es inconsistente. ■

Los tres planos son paralelos.

-x + 3y - z = 4

3x - 9y + 3z = 20

2x - 6y + 2z = 3

Este sistema es inconsistente, ya que los planos no se cortan, son paralelos (véase figura 4.25).  −1 3 −1 4   3 −9 3 15     2 −6 2 3 

R1 × ( −1)  1 −3 1 −4  1 −3 1 5 R2  2 3   1 −3 1 2 R3 2

 1 −3 1 −4   0 0 0 9   = 11    0 2 0 2 

Los dos últimos renglones son inconsistentes. 140

  R −R 1  2  R 3 − R1 

 1 −3 −4 1  1 − 1 −3 + 3 1 − 1 5 + 4  3   1 − 1 −3 + 3 1 − 1 2 + 4

    


Grupo Editorial Patria©

−4 −4

0 0 0 x

−x + 3y − z = 4

y 2

3x − 9y + 3z = 20

4

2x − 6y + 2z = 3

4 ■

Figura 4.25

Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos:

-x + 3y - z = 4

3x - 9y + 3z = -12

2x - 6y + 2z = 3

Este sistema es inconsistente, ya que sólo quedan dos planos que no se cortan, es decir son paralelos (véase figura 4.26):

−4 −4 −x + 3y − z = 4 3x − 9y + 3z = −12

2 0 0 0 x

2

2x − 6y + 2z = 3 y 2 4

4 Figura 4.26 

 −1 3 −1 4  3 −9 3 −12  3  2 −6 2

   

R1 × ( −1)  1 −3 1 −4  1 −3 1 −4 R2  2 3   1 −3 1 2 R3 2

  R −R 1  2  R 3 − R1 

 1 −3 −4 1  1 − 1 −3 + 3 1 − 1 −4 + 4  3   1 − 1 −3 + 3 1 − 1 2 + 4

    

 1 −3 1 −4   0 0 0 0   = 11    0 0 0 2 

El último renglón es inconsistente y el segundo es la igualdad 0 = 0. 141


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales

4.7  Sistemas homogéneos Un sistema homogéneo es aquel que tiene todos los términos independientes iguales a cero. En este caso hay dos posibilidades: Una solución (trivial) o un número infinito de soluciones. Para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

:

an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0

Consistente, puede ser determinado o indeterminado, si es determinado el valor de cada incógnita debe ser 0, para que se cumplan las ecuaciones. Esta solución, en la que todas las incógnitas son iguales a cero, se llama la solución trivial: x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0. Si el sistema es indeterminado esto será cuando uno o más de los renglones después de la eliminación de Gauss esté(n) lleno(s) de ceros, en dicho caso el sistema tendrá un número infinito de soluciones.

Problemas para resolver 4.1  Determina los puntos de intersección con los ejes x y y, y traza las gráficas de las siguientes ecuaciones: a) x + 5y - 4 = 0

 1 1 1 c )  1 + (3x + 5)  = 8 2 16  2 1 d)  − = 1 x 2

b) 3x + 5y - 10 = 0 c ) 5x - 4y - 20 = 0

5x − 6 11 + 9 x = 3 3

x y d)  + − 1 = 0 2 3

e) 7 +

e) 2x + y - 6 = 0

x − 1 1 3x − 2 + = f )  8 2 3

f ) x + 2y - 3 = 0

2 1 = g)  x − 3 12 + x

g) 7x + 2y + 8 = 0 h) 4x + 2y - 4 = 0 i ) -4x + 2y + 4 = 0 j ) 2x - 3y - 6 = 0 4.2  Determina la solución de las siguientes ecuaciones y compruébala. x + 10 11 − x = a)  2 5

4.4  Un padre tiene 35 años y su hija 2. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será tres veces mayor que la edad de la hija? 4.5  Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 30. ¿Cuál es el número en cuestión?

b) 6x + 4(2 - x) = 3 + 5x 142

4.3  Determina tres números enteros consecutivos tales que 3 2 la diferencia de los del mayor con del número de en 2 5 medio sea igual al menor más 5.

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria© 4.6  Un número multiplicado por 5, sumado con el mismo número y multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número en cuestión?

4.22  Determina cinco puntos solución para cada una de las siguientes ecuaciones; es decir, cinco puntos que pertenecen a la recta respectiva.

4.7  El doble de un número más 12 es igual al triple del número menos 5. ¿Cuál es el número en cuestión?

a) 4x - 3y = -24

4.8  Tres números enteros impares consecutivos suman 90. ¿Cuáles son los números en cuestión?

c) 6x - y = 7

4.9  El doble de un número entero más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 168. Determina el número de que se trata. 1 4.10  En el triángulo ABC, los lados AB = 3BC y BC = AC. Si 2 su perímetro es 90 m. ¿Cuánto mide cada lado?

b) -x - y = 1 4.23  Expresa en forma matricial al sistema de ecuaciones y determina su matriz aumentada. a) 5x - 2y = 4 6x - 3y = 3 b) 3x + 4y = 15

4.11  Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 60 metros. Calcula el lado del cuadrado.

6x + 5y = 21

4.12  Si al lado de un cuadrado se le suman 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado?

8x + 4y = 48

4.13  Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad? 4.14  Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se 3 casaron hace 10 años y la edad de la novia era de la edad 4 del novio. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad? 4.15  La edad de María es el triple de la de Esther y 5 años mayor que la edad de Isabel. Si las edades de Esther e Isabel suman 23 años. Determina la edad de cada una de las tres. 4.16  Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble de edad. Determina las edades en la actualidad del padre y del hijo. 4.17  Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre? 4.18  El departamento de compras de una empresa adquiere 25 lápices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar, productos por los cuales paga en total 980 pesos. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, más 20 pesos y cada lápiz cuesta el doble de cada goma. ¿Cuánto cuesta cada material? 4.19  Pablo tiene el doble de dinero que Tobías y el triple que María. Si Pablo le regala 14 pesos a Tobías, ambos tendrían la misma cantidad. ¿Inicialmente cuánto dinero tiene cada uno? 4.20  Al comprar 3 kg de tomates y 4 kg de papas, un ama de casa pagó 119 pesos. ¿Cuánto vale el kilo de tomates, sabiendo que es 14 pesos más caro que el kilo de papas? 4.21  Una tienda vende café colombiano a 110 pesos el kilo y café brasileño a 90 pesos el kilo; además, se produce una mezcla de 80 kilos de café utilizando los dos tipos y se vende a 100 pesos el kilo. ¿Cuántos kilos de cada tipo se mezclan para conservar los ingresos? Problemas aplicados a la realidad

c ) 7x - 3y = 29 d) 5x - 3y = 7 7x + 2y = 16 e) 8x + 2y = 10 9x - 3y = 6 4.24  Resuelve por eliminación los sistemas del problema anterior. 4.25  Resuelve los siguientes sistemas por igualación y comprueba los resultados. a) 5x - 2y = 4 6x - 3y = 3 b) 3x + 4y = 15 6x + 5y = 21 c ) 7x - 3y = 29 8x + 4y = 48 d) 5x - 3y = 7 7x + 2y = 16 e) 8x + 2y = 10 9x - 3y = 6 4.26  Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y comprueba la solución. a) 5x - 2y = 4 6x - 3y = 3 b) 3x + 4y = 15 6x + 5y = 21 c ) 7x - 3y = 29 8x + 4y = 48 d) 5x - 3y = 7 7x + 2y = 16

Problemas para resolver con tecnología

143


UNIDAD

4

Problemas para resolver

e) 8x + 2y = 10

4.33  La suma de las dos cifras de un número es 9. Si cambiamos el orden de las cifras, el nuevo número excede al anterior en 9 unidades ¿Cuál es el número en cuestión?

9x - 3y = 6 4.27  Resuelve los siguientes sistemas y comprueba su solución. 3x 5y =8 a)  + 2 4

4.35  Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:

3x + 3y = 18 b)

4.34  La suma de las dos cifras de un número es 16. Si cambiamos el orden de sus cifras, el número resultante excede al anterior en 18 unidades. ¿Cuál es el número en cuestión?

a) x + y = 0

3x 4 y 23 + = 2 3 2

-x + y = 2

2x 6 y 23 =  + 4 2 2

x + 3y = -2

7x 5 y 13 = c )  − 4 8 2

x + 2y = 1

8x 6 y = 16  − 2 3

c ) 2x + y = 2

b) x - y = -2 4x - 10y = -14 -x + y = -3

−3x 5y −55 + = d)  4 6 12

y = -2x 4.36  Usando el método de eliminación de Gauss-Jordan, resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

8x 6 y =8  + 4 3

a) x + 2y + z = 0 x - y + 2z = 0

6 x 12y = 19 e)  + 4 3

2x - y = 0 b) x + 2y + z = 5

7x 5 y 4 =  − 5 10 5

x - y + 2z = 7 2x - y = 2

2x 3y =5 f )  + 3 4

c ) 2u - 4v - w = 0 4u - v = 0

5x y  − = 3 3 2

-4u - 2v - 6w = 0 d) 2u - 4v - w = 3

4.28  Dos números suman 37 y su diferencia es 13. Determina cuáles son dichos números. 4.29  Dos números suman 54 y su diferencia es 6. Determina cuáles son dichos números. 4.30  Quince amigos celebran una fiesta de cumpleaños; de todos ellos, hay 3 mujeres más que hombres. Calcula el número de hombres y el número de mujeres utilizando un sistema de ecuaciones.

4u - v = 8 -4u - 2v - 6w = 4 4.37  Generaliza el método de eliminación de Gauss-Jordan y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 9m + 2q = -3 -3m - n + 2p + 2q = 0

4.31  Supón que tienes 13 monedas; de todas ellas, hay monedas de 5 pesos y de 10 pesos, las cuales, en total, suman 100 pesos. Determina cuántas monedas de 5 pesos y cuántas de 10 pesos tienes.

m + n + p + q - 1 = 0

4.32  Ana compró 2 kilos de manzanas y 3 kilos de naranjas por 60 pesos; en la misma tienda, Rocío compró 6 kilos de manzanas y 5 kilos de naranjas por 140 pesos. ¿Cuánto cuesta el kilo de naranjas y cuánto cuesta el kilo de manzanas?

2p + 2q - 3m - n = 0

144

Problemas aplicados a la realidad

4m - 2n - 2q + 3p = 0 b) 2p + 9m = -3 p + q + m + n - 1 = 0 3p - 2q + 4m - 2n = 0 Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria© c ) 5x + 3y - 10z + w = -2

4.41  En un muestreo al azar de 100 mexicanos en edad de votar, se obtuvieron los siguientes resultados: hay 10 personas más que pertenecen al PAN (Partido Acción Nacional) que personas que pertenecen al PRI (Partido Revolucionario Institucional); del total, también se identificaron que las personas que pertenecen al PRI son seis menos que las que pertenecen al PRD. Si se supone que todos los integrantes de la muestra pertenecen a uno de estos tres partidos políticos, ¿cuántos de ellos se identifican con cada partido político?

-x - y + z - w = -1 2y + 5w = 3 4x + 2y + 10z - 3w = 4 d) A - 3B + C + D - E = 0 -4A + 9B + 2C + 3D - E = 0 -B + 5C - E = 0

4.42  El perímetro de un triángulo mide 90 centímetros. El lado más largo es 4 centímetros menor que la suma de los otros dos lados. El doble de la distancia más corta es 9 centímetros menos que el lado más largo. Calcula la longitud de cada lado del triángulo.

A + B + C + 3D − E = 0 6

3A + 8B - 2C - 11D + E = 0 4.38  Encuentra para qué valores de a el siguiente sistema es consistente y calcula su solución para esos valores. s+u-t=1 s-u+t=7 -s + u + t = 3 2s + au + 4t = a 4.39  Para k = 1, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x - ky + 3z = 1 x+y+z=2

4.43  El perímetro de un terreno triangular mide 60 metros. El lado más largo mide 4 metros menos que la suma de los otros dos lados. El triple del lado más corto es 4 metros más que el lado más largo. Determina las longitudes de los tres lados. 4.44  Un fabricante de joyas de fantasía provee a tres tiendas: A, B y C. El total de un día de producción es de 400 joyas de fantasía. De acuerdo con los pedidos, al mayorista A debe enviar el triple de joyas de las que envía al mayorista B, mientras que al mayorista C debe mandar 200 joyas menos de las que manda a los mayoristas A y B juntos. ¿Cuántas joyas debe enviar a cada mayorista, para distribuirles la producción total del día?

-2x + 3y + kz = 3

4.45  Usando eliminación de Gauss, indica si los siguientes sistemas son consistentes y, de ser así, determina su so­ lución.

4.40  Dado el sistema:

a) 2x + y + z = 0

x + 2y - z = 8

x + 2y - z = 0

2x - 3y + z = -1

3x - y + z = 0

3x - y + kz = 5

b) 2x + y + z = 0

a) Determina el valor de k que hace el sistema inconsistente.

x + 2y - z = 5

b) Determina el valor de k que hace al sistema consistente y además z = -1.

c ) 2x + y + z = 0

c ) Para el valor de k determinado en b), resuelve el sis­ tema.

Problemas aplicados a la realidad

2x + 4y - 2z = 0 x + 2y - z = 0 2x + 4y - 2z = 0

Problemas para resolver con tecnología

145


UNIDAD

4

Sistemas de ecuaciones lineales

Problema reto 1

Un asesor de inversiones ofrece tres tipos de inversiones: A, B y C. Las restricciones de la bolsa ofrecen 10 unidades más del tipo C, que el total de los dos otros tipos, y el doble de las de tipo B, que las de tipo A. El asesor de inversiones debe colocar un total de 490 inversiones por mes. ¿Cuántas unidades de cada tipo deben venderse por mes?

Referencias Lehmann, Charles H. (1983). Álgebra. Limusa Noriega Editores: México. Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 12a ed. Cengage: México. Heeren Hornsby, Miller. (2006). Matemática: razonamiento y aplicaciones. 10a ed. Pearson Addison Wisley: México. Grossman, Stanley I. (1998). Aplicaciones de Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica: México. Grossman, Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. 6a ed. Mc-Graw Hill: México.

direcciones electrÓnicas http://huitoto.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni1/seccion11.html (consultada el 20 de agosto del 2011) http://www.uamenlinea.uam.mx/materiales/matematicas/alg_lineal/BECERRIL_ESPINO_ JOSE_Solucion_de_sistemas_de_ecuaciones_line.pdf (consultada el 20 de agosto del 2011)

146


UNIDAD

5

Matrices y determinantes Objetivos Utilizar matrices para representar y resolver problemas. Determinar soluciones de sistemas de ecuaciones usando matriz inversa y matriz con determinantes. Trabajar algebraicamente con matrices. Aplicar la solución de ecuaciones lineales en problemas prácticos.

¿Qué sabes? ¿Cuáles son los diferentes tipos de matrices? ¿Cómo se utilizan las matrices para representar y resolver problemas? ¿Sabes que, dependiendo del valor de un determinante, puedes inferir si tu sistema de ecuaciones está bien planteado? ¿Cuál es el método de Cramer para la solución de sistemas de ecuaciones? ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones usando matriz inversa?


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

5.1  Introducción Como ya vimos en la unidad cuatro, una matriz es un arreglo rectangular de números o literales. Por tanto, esta unidad está dedicada al estudio de las matrices. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico y en la solución de sistemas de ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales. Asimismo, en la actualidad, las matrices también se utilizan en programación, donde la mayoría de los datos se introduce como tablas organizadas en filas y columnas. Por ejemplo, las hojas de cálculo, las bases de datos, etcétera.

5.2  Matrices Se llama matriz de orden m × n a todo arreglo rectangular de elementos aij dispuestos en m renglones y n columnas de la forma:  a  ... a1(n − 1) a1n 11     a21 � a2(n − 1) a2n    A =   m renglones � � � �  a � a(m − 1)(n − 1) a(m − 1)(n )    (m − 1)1   a � am(n − 1) amn   m 1    ���������������� � n columnas

En ocasiones, ésta se denota por A = (aij ), con i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. En el arreglo rectangular, los números reciben el nombre de elementos o entradas de la matriz. Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Por su parte, los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz; el primero denota el renglón (i ) y el segundo la columna (j ). El número aij, es el que está en el i-ésimo renglón y en la j-ésima columna. Así, por ejemplo, el elemento a25 es el elemento que se sitúa en el renglón 2 y la columna 5. El orden de una matriz se define como: número de renglones × número de columnas Así pues, la matriz de m renglones y n columnas es de orden m × n (véase figura 5.1).

3 renglones

      

1

4

7

2

5

8

3

6

9

4 columnas

matriz es 3 × 4

Figura 5.1

Problema resuelto Determinar los elementos a12, a23, a31 y a42 de la siguiente matriz.   A=   

148

1 2 3 4

5 9 13   6 10 14  7 11 15  8 12 16 

10   11  12    


Grupo Editorial Patria© Solución

• El elemento a12 se refiere al elemento que se sitúa en el primer renglón y la segunda columna (véase figura 5.2):

  A =    

1

5

9

2

6

10

3

7

11

4

8

12

13   14  15   16 

Primer renglón

Segunda columna

Figura 5.2

  Así, entonces, el elemento a12 es el 5. • El elemento a23 se refiere al elemento que se sitúa en el segundo renglón y la tercera columna (véase figura 5.3):

 1  2 A =   3   4

5

9

6

10

7

11

8

12

13   14  15   16 

Segundo renglón

Tercera columna

Figura 5.3

  Luego, entonces, el elemento a23 es el 10. • El elemento a31 se refiere al elemento que se ubica en el tercer renglón y la primera columna (véase figura 5.4):

 1  2 A =   3   4 Primera columna

5

9

6

10

7

11

8

12

13   14  15   16 

Tercer renglón

Figura 5.4

  Esto es, el elemento a31 es el 3. • El elemento a42 se refiere al elemento que se ubica en el cuarto renglón y la segunda columna (véase figura 5.5):

  A =    

1

5

9

2

6

10

3

7

11

4

8

12

13   14  15   16 

Cuarto renglón

Segunda columna

Figura 5.5

  Entonces, el elemento a42 es el 8.

149


UNIDAD

5

Matrices y determinantes ❚ Igualdad de matrices La condición necesaria para que dos matrices, A = (aij ) y B = (bij ), sean iguales, (A = B), es que tengan el mismo orden y que cada uno de los elementos de una sea igual al correspondiente de la otra; esto es: aij= bij(i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , n).

5.3  Clasificación de matrices de acuerdo a la forma ❚ Matriz renglón Es una matriz que sólo está constituida por un renglón; es decir, m = 1, y por tanto es de orden 1 × n. También recibe el nombre de vector renglón, ya que al mismo tiempo, representa un vector. Por ejemplo: A = (4   -1   3)

❚ Matriz columna Es una matriz que sólo está constituida por una columna; es decir, n = 1, y por tanto es de orden m × 1. También recibe el nombre de vector columna, ya que, al mismo tiempo, representa un vector. Por ejemplo:  9  A = 1     2 

❚ Matriz cuadrada Esta matriz se caracteriza por tener el mismo número de renglones como de columnas; es decir, m = n. En estos casos, se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n × n. La diagonal principal de este tipo de matriz son los elementos a11, a22, …, ann. En tanto, la diagonal secundaria son los elementos a1n, a2(n - 1), …, an1. Por ejemplo, en la matriz:  1 4 7 A = 2 5 8   3 6 9

   

los elementos de la diagonal principal son 1, 5 y 9, y los elementos de la diagonal secundaria son 7, 5 y 3.

5.4  Clasificación de matrices de acuerdo con los elementos ❚ Matriz nula En este tipo de matriz todos sus elementos son 0; se representa como: A = 0. Por ejemplo:  0 0 0  A = 0 0 0     0 0 0  Por tanto, la matriz A es la matriz nula de orden 3. 150


Grupo Editorial Patria© ❚ Matriz diagonal Es una matriz cuadrada, A = (aij ), en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos; es decir: aij = 0 para i ≠ j. Por ejemplo:  4 0 0  2 0   0 1 0 , A = B =    0 3   0 0 7

   

❚ Matriz escalar Es una matriz diagonal, A = (aij ), en la que todos los elementos de la diagonal son iguales; es decir: aij = c para i = j, y aij = 0 para i ≠ j. Por ejemplo:  4 0 0  3 0   0 4 0 , A = B =    0 3   0 0 4

   

❚ Matriz unidad o identidad Es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

I1 = 1,

 1 0 0  1 0   0 1 0 , = I2 =  I 3    0 1   0 0 1

   , I =  4    

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

    

❚ Matriz triangular Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos. Las matrices triangulares son de dos tipos: ■

Triangular superior. Es aquélla en la que todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos. Es decir, aij = 0 para j < i. Por ejemplo:  1   0   0

4 1 0

6   7   1 

Triangular inferior. Es aquélla en la que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos. Es decir, aij = 0 para i < j. Por ejemplo:  3   6   9

0 4 5

0   0   1  151


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

5.5  Operaciones con matrices ❚ Suma o diferencia de matrices La suma o diferencia de dos matrices, A = (aij ) y B = (bij ), de orden m × n, A ± B, es otra matriz C = (cij ) del mismo orden que los sumandos, en la que cada elemento de C es igual a la suma o a la diferencia de los elementos correspondientes de A y B. Entonces, cij = aij ± bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices, éstas han de tener el mismo orden; por ejemplo, las siguientes matrices no se pueden sumar.  1   2 

2   5  +    3   8 

Figura 5.6

La suma o la diferencia de matrices se representan como A ± B. Entonces, A ± B = [aij ± bij] es una matriz m × n.

Problema resuelto Sumar las matrices A + B.     A =  1 3      B =  5 7   5 7   4 8  Solución

Para obtener la matriz suma, debemos sumar el elemento de A con el elemento correspondiente de B, ya que ambas matrices son 2 × 2; por tanto, la matriz suma será: 2 × 2.

       0  A + B =  1 3  +  5 7  =  1 + 5 3 + 7  =  6 10   5 7   4 8   5 + 4 7 + 8   9 15 

Propiedades de la suma y la diferencia A continuación se relacionan las propiedades que son comunes a la suma y a la diferencia. ■

Ley asociativa. A + (B + C ) = (A + B) + C

Ley conmutativa. A + B = B + A

Elemento neutro. 0 + A = A, aquí el 0 es la matriz nula del mismo orden que la matriz A.

A + (-A) = 0, la matriz -A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A. La diferencia de matrices A y B se representa por A - B, y se define como: A - B = A + (-B).

❚ Producto de una matriz por un número El producto de una matriz, A = (aij ), por un número real, a, es otra matriz, B = (bij ), del mismo orden que A, y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por a; es decir, bij = aaij.

Problema resuelto Multiplicar por 3 la siguiente matriz:  5 2   0 -8   

152


Grupo Editorial Patria© Solución

Para obtener el producto, se debe multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar:    3 ( 5 ) 3 ( 2 )   15 6  3 5 2  =   =   0 -8   3 ( 0 ) 3 ( -8 )   0 -24 

El producto de la matriz A por el número real a se denota por: aA. Donde, al número real a también se le llama escalar y al producto se le conoce como producto de escalares por matrices.

Problema resuelto   Si A =  1 5  , calcular 7A.  3 4  Solución

En este caso, se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar:     7A = 7  1 5  =  7 35   3 4   21 28 

Problema resuelto   Si A =  2 -3  , determinar su inverso aditivo A.  4 -1  Solución

En este caso, se multiplica cada elemento de la matriz por -1:  ( - ) 2 ( - ) - 3   -2 3  -A =   =   ( - ) 4 ( - ) - 1   -4 1 

❚ Propiedades del producto de una matriz por un escalar A continuación se presentan las propiedades del producto de una matriz por un escalar: ■

Primera propiedad distributiva, a(A + B) = aA + aB.   5 6   1 2    5 6  + 3 3  1 2  +   = 3     3 4   7 8   3 4   7 8   6 8   3 6   15 18  3  =  +   10 12   9 12   21 24   18 8 24   3 + 15 6 + 18   30 36  =  9 + 21 12 + 24       18 24   18 24   30 36  =  30 36      153


5

UNIDAD

Matrices y determinantes ■

Segunda propiedad distributiva, (a + h)A = aA + hA.  1 2      = 3 1 2  + 5 1 2   3 4   3 4   3 4 

( 3 + 5) 

     5 10  8 1 2  =  3 6  +    3 4   9 12   15 20   8 16   3 + 5 6 + 10   24 32  =  9 + 15 12 + 20       8 16   8 16   24 32  =  24 32     

Propiedad asociativa mixta, a(hA) = (ah)A.   ( 3 ) (5 )  1 2  = 15  1 2   3 4   3 4      ( 3 )  5 10  =  15 30   15 20   45 60   15 30   15 30   45 60  =  45 60     

Elemento unidad, 1 ⋅ A = A.   (1)  1 2  =  1 2   3 4   3 4   (1)1 (1) 2   1 2    =   (1) 3 (1) 4   3 4   1 2   1 2   3 4  =  3 4 

❚ Producto de dos matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz C, cuyos elementos se obtienen multiplicando los renglones de A por las columnas de B. Es decir, cada elemento del renglón se multiplica por el correspondiente elemento de la columna y, una vez después, se suman los productos obtenidos. pij =

Alerta Para poder multiplicar, primero se debe comprobar que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda matriz, es decir: A� B� = AB �

n ×m m × p

154

n ×p

p

∑a b i =1

ik

kj

Dado lo anterior, es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de renglones de B. Es más, si A es de orden m × p y B de orden p × n, entonces la matriz C será de orden m × n. De acuerdo con lo anterior, la multiplicación de dos matrices está dada por: pij =

m

∑a b k =1

ik

kj


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Problema resuelto Realizar la multiplicación de las matrices A y B, siendo:  -2 5 6   -5 -2 7 A =  -4 7 -1      B =  -3 4 -8     3 -4 2   -2 -9 -7

   

Solución

Primero, se colocan las matrices A y B como se muestra:

 –5 –2 7     –3 4 –8     –2 –9 –7   –2 5 6     –4 7 –1     3 –4 2 

Luego, se multiplica el primer renglón de la matriz A por la primera columna de la matriz B.

 –5 –2 7     –3 4 –8     –2 –9 –7   –2 5 6     –4 7 –1     3 –4 2 

 (–2)(–5) + (5)(–3) + (–2)(6)    

    

Enseguida, se repite el proceso para conformar la matriz producto: Elemento 11: Primer renglón de A por primera columna de B: (-2)(-5) + (5)(-3) + (6)(-2) = -17 Elemento 12: Primer renglón de A por segunda columna de B: (-2)(-2) + (5)(4) + (6)(-9) = -30 Elemento 13: Primer renglón de A por tercera columna de B: (-2)(7) + (5)(-8) + (6)(-7) = -96 Elemento 21: Segundo renglón de A por primera columna de B: (-4)(-5) + (7)(-3) + (-1)(-2) = 1 Elemento 22: Segundo renglón de A por segunda columna de B: (-4)(-2) + (7)(4) + (-1)(-9) = 45 Elemento 23: Segundo renglón de A por tercera columna de B: (-4)(7) + (7)(-8) + (-1)(-7) = -77

155


UNIDAD

5

Matrices y determinantes Elemento 31: Tercer renglón de A por primera columna de B: (3)(-5) + (-4)(-3) + (2)(-2) = -7 Elemento 32: Tercer renglón de A por segunda columna de B: (3)(-2) + (-4)(4) + (2)(-9) = -40 Elemento 33: Tercer renglón de A por tercera columna de B: (3)(7) + (-4)(-8) + (2)(-7) = 39

 –5 –2 7     –3 4 –8     –2 –9 –7   –2 5 6     –4 7 –1     3 –4 2 

 –17 –30 –96     1 45 –77     –7 –40 39 

Problema resuelto Realizar el siguiente producto de matrices:   0 1 2  6 7 8  3 4 5   9 10 11    12 13 14

  =  

Solución

El producto sí se puede realizar, ya que la primera matriz es 2 × 3 y la segunda matriz es 3 × 3; entonces, la matriz resultante es 2 × 3.

  0  3 

1 4

 6 2    9 5    12

8   10 11  =   13 14   0  3 

 6   9   12

7

1 4

2  5 

7 8   10 11   13 14 

 33 36 39     114 126 138   

❚ Propiedades del producto de matrices A continuación se presentan las propiedades del producto de matrices: 1. A(BC ) = (AB)C. 2. El producto de matrices, en general, no es conmutativo; es decir, AB ≠ BA. 3. Si A es una matriz cuadrada de orden n, se tiene AIn = InA = A (In, matriz identidad). 4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que AB = BA = In. En el caso de que dicha matriz B exista, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A-1. 5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A(B + C ) = AB + AC 156


Grupo Editorial Patria© Consecuencias de las propiedades 1. Si AB = 0, no implica que A = 0 o B = 0. Por ejemplo:  1 0  0 0   0 0   0 0  0 1  =  0 0       2. Si AB = AC, no implica que B = C. Por ejemplo:  1 0  0 0   1 0  0 0   0 0  0 1  =  0 0  3 2       

❚ Matriz traspuesta Dada una matriz de orden m × n; A = (aij ), que recibe el nombre de matriz traspuesta de A. Se representa por At, que constituye la matriz que se obtiene de cambiar los renglones por las columnas en la matriz A. Es decir:  a a12 � a1n 11  a a � a2n A =  21 22  � � � �   an1 an 2 � ann

 a  a21 � an1 11    ⇒ A t =  a12 a22 � a2n   � � � �     a1n a2n � ann

     

Así, el primer renglón de A es la primera columna de At, y el segundo renglón de A es la segunda columna de At. De su definición, se deduce que si A es de orden m × n, entonces At es de orden n × m. Por tanto:  1 2   1 3 5  t  3 4  A = ⇒ A =     2 4 6   5 6 

❚ Propiedades de la matriz traspuesta A continuación se presentan las propiedades de la matriz traspuesta: 1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2. (At)t = A. 3. (A + B)t = At + Bt. La matriz traspuesta de la suma de dos matrices es la suma de las traspuestas. 4. (AB)t = Bt × At. La matriz traspuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas en orden contrario.

❚ Matriz simétrica Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji para todo i, j.

❚ Matriz antisimétrica Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = -At, es decir, si aij = -aji para todo i, j.

❚ Descomposición de una matriz Si A es una matriz cuadrada, ésta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma: A =

1 ( A + At + 21 ( A − At 2 ����� �����

)

parte simétrica

)

parte antisimétrica

157


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

Problema resuelto  -3 2 1  Si A =  4 0 -1  , determinar la parte simétrica y la parte antisimétrica A.    3 3 2  Solución

Determinamos At, es decir, cambiamos renglón por columna:  -3 4 3  A = 2 0 3     1 -1 2  t

Así, la parte simétrica de la matriz A está dada por:   -3 2 1   -3 4 3    -6 6 4   -3 3 2  1 ( A + A t ) = 1   4 0 -1  +  2 0 3   = 1  6 0 2  =  3 0 1        2  2  2     4 2 4   2 1 2    3 3 2   1 -1 2   parte simétrica En tanto, la parte antisimétrica de la matriz A está dada por:   -3 2 1   -3 4 3    1 0 -2 -2 1( 1 A - A t ) =   4 0 -1  -  2 0 3   =  2 0 -4    2  2  2     2 4 0   3 3 2   1 -1 2   parte antisimétrica

  0 -1 -1   =  1 0 -2       1 2 0 

5.6  Independencia lineal En R2, dos vectores, a = (x1, y1) y b = (x2, y2), son linealmente independientes cuando no son proporcionales; esto es, no existe ningún número real a que satisfaga que: a = ab

Problema resuelto Indicar si los vectores a = (2, 8) y b = (3, 4) son linealmente independientes. Solución

Si los vectores referidos son linealmente dependientes, entonces existe un número real a que satisface:  2  2 = 3a ⇒ a = a = ab ⇒ ( 2, 8 ) = a ( 3, 4 ) ⇒  3  8 = 4a ⇒ a = 2  Esto es, no existe a que satisfaga la expresión a = ab, ya que no son proporcionales; son linealmente independientes.

Problema resuelto Indicar si los vectores a = (3, 5) y b = (12, 20) son linealmente dependientes.

158


Grupo Editorial Patria© Solución

Si los vectores referidos son linealmente dependientes, entonces existe un número real a que satisface:  3 1 =  3 = 12 a ⇒ a =  12 4 a = ab ⇒ (3, 5) = a(12, 20 ) ⇒   5 = 20 a ⇒ a = 5 = 1  20 4 Estos es, sí existe un número real a que satisface, este a = son linealmente dependientes, ya que son a =

1 . Entonces, los vectores a = (3, 5) y b = (12, 20) 4

1 b. 4

En R3, tres vectores, a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) y c = (x3, y3, z3), son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes; es decir, no existen números reales a y b tales que satisfagan, que: c = aa + bb

Problema resuelto Indicar si los vectores a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) y c = (7, 8, 9) son linealmente independientes. Solución

Los vectores en cuestión, sí son linealmente dependientes; entonces, se deben encontrar dos números a y b que satisfagan la expresión:  a + 4b = 7  c = aa + bb ⇒ (7, 8, 9 ) = a(1, 2, 3) + b(4, 5, 6 ) ⇒  2 a + 5 b = 8  3a + 6 b = 9  Por tanto, debemos resolver el sistema: a + 4b = 7 2a + 5 b = 8 3a + 6 b = 9 Después, formamos la matriz aumentada y usamos el método de eliminación de Gauss:  1 4   2 5  3 6

7 8 9

   1 4 5    R2  1 2  2 R3  1 2  3

 1 4  0 1 R3 - R2   0 1 - 1

7 4 3

 1  4    1- 1 5 - 4   RR2 -- RR1  2  3 1 1- 1 2 - 4  

7   1 4   2  = 0 1 2 - 2   0 0

7 4-7 3-7

  1 4    =  0 -3   2   0 -2  

 1 4-4 7    1 2  R -R 4  0 1 2( )   0 0  0

7 -3 -4

  1 4    0 1  R2  - 2    R  3  0 1  3

7 2 2

   

-2

7-8   1 0   2  = 0 1 0   0 0

-1 2 0

   

Entonces, los vectores a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) y c = (7, 8, 9) sí son linealmente dependientes, ya que: (7, 8, 9) = (-1)(1, 2, 3) + (2)(4, 5, 6)

159


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

5.7  Rango de una matriz Sea la matriz:   A =   

a11

a12

a21

a22

... ... am1 am2

a1n   a2n  ... ...   ... amn  ...

Los renglones se pueden ver como elementos en R n: A = (-A1, A2,..., An) Donde A1, A2,..., An ∈R n. Las columnas son elementos en R m:  A 1  A A = 2  �   Am

   donde A1, A2,..., Am ∈R m.   

 A1  A  Rango A = dim  2  = dim ( A1, A2 ,..., An ) �     Am  Esto es, el rango constituye el número de renglones o columnas linealmente independientes que se encuentra al realizar operaciones elementales sobre la matriz y llevarla a la forma escalonada; entonces, el número de renglones distintos de cero es el número de renglones linealmente independientes.

Problema resuelto Calcular el rango de la matriz siguiente:  1 0 1   2 1 0    Solución

Primero, realizamos operaciones elementales sobre la matriz y luego dividimos al renglón 2 entre 2:    1 0 1   1 0 1  1  2 1 0  R2  1 0     2  2  Posteriormente, al renglón 2 le restamos el renglón 1:  1  1 0 1  0 1    1 1    1 R R -0 0-1 0  2 1 1- 1  2 2  

160

  1 0 1   =  2 renglones ≠ de cero ∴ Rango o =2   0 1 -1    2 


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Problema resuelto Calcular el rango de la siguiente matriz:       

1 1 1 0 1

2 2 3 1 1 3 1 -1 2 2

-1 -2 0 -1 -1

      

Solución

Primero, realizamos operaciones elementales sobre la matriz; esto es, a los renglones 2, 3, 4, 5 les restamos el renglón 1:       

1 1 1 0 1

2 2 3 1 1 3 1 -1 2 2

-1 -2 0 -1 -1

       R -R  2 1  R3 - R1   RR4 --RR1   5 1

1 1- 1 1- 1 0-1 1- 1

2 2 -1   1 3 - 2 1 - 2 -2 + 1   0 1- 2 3 - 2 0 + 1  =  0 1 - 2 -1 - 2 -1 + 1   -1   2 - 2 2 - 2 -1 + 1   0

2 2 -1  1 -1 -1  -1 1 1  -1 -3 0   0 0 0 

Luego, al renglón 2 le sumamos el renglón 3:       

1 0 0 -1 0

 2 2 -1    1 -1 -1   -1 1 1  R + R  2 3  -1 -3 0    0 0 0  

1 2 2 -1 0 1 - 1 -1 + 1 -1 + 1 0 -1 1 1 -1 -1 -3 0 0 0 0 0

  1   0    = 0   -1     0

2 2 -1  0 0 0  -1 1 1  -1 -3 0   0 0 0 

Acto seguido, al renglón 4 le sumamos el renglón 1:       

1 0 0 -1 0

 2 2 -1  1 2 2 -1   0 0 0 0 0 0 0   0 1 1 -1 1 1  R + R  -1 4 1  -1 + 1 -1 + 2 -3 + 2 0 - 1 -1 -3 0    0 0 0 0 0 0 0  

  1 2   0 0    =  0 -1   0 1     0 0

2 0 1 -1 0

-1 0 1 -1 0

      

Enseguida, al renglón 3 le sumamos el renglón 4:       

1 2 0 0 0 -1 0 1 0 0

2 0 1 -1 0

-1 0 1 -1 0

       R +R  3 4      

1 0 0 0 0

2 2 0 0 0 0 1 -1 0 0

-1 0 0 -1 0

      

Después de haber realizado las operaciones elementales, sólo tenemos dos renglones distintos de cero; por tanto, el rango es 2.

5.8  Aplicaciones de matrices Las matrices constituyen una herramienta muy importante para expresar y analizar problemas que surgen en la vida cotidiana. Por ejemplo, con frecuencia, en algunas empresas se requiere calcular y combinar ciertos costos y cantidades de productos. En estos casos, las tablas son una forma de representar dichos datos. Pero, agrupar los datos en un rectángulo, se considera una representación más 161


UNIDAD

5

Matrices y determinantes clara y fácil de los mismos. A esta representación de los datos se denomina matriz, la cual se utiliza en lugar de las tablas. Por ejemplo, un fabricante de gomas de mascar produce chicles de dos sabores: menta y hierbabuena. Para su distribución y venta, elabora paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio que se indica en la siguiente tabla: Tabla 5.1 Unidades

2

5

10

Menta

$4.00

$8.00

$12.00

Hierbabuena

$3.00

$5.00

$8.00

Con base en las estadísticas, la empresa sabe que en un año vende el siguiente número de paquetes de chicles: Tabla 5.2 Paquetes

Menta

Hierbabuena

2

70 000

50 000

5

60 000

40 000

10

50 000

50 000

Para una representación más clara de estos datos, la empresa resume la información en dos matrices A y B, de tamaño 2 × 3 y 3 × 2, respectivamente, con el objetivo de representar las ventas en un año (A) y los precios (B). Así:

2

5

10

 70 000 60 000 50 000 A =  50 000 40 000 50 000

M

H

 4 3  2       8 5  5 B =      12 8  10

5.9  Determinantes En esta sección se define el determinante de una matriz n × n. El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, entonces el determinante de la matriz A se denota por: det(A) o | A | .

❚ Determinante de una matriz de orden 1 Si A = (n) es una matriz de orden uno, entonces det(A) = a. Así pues, si A = (2), entonces det(A) = 2. 162


Grupo Editorial Patria© ❚ Menores y cofactores de una matriz de orden n Sea A una matriz de orden n ≥ 2, definimos el menor Mij asociado al elemento aij de A, como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna j de la matriz A. Entonces, el cofactor cij , asociado al elemento aij de A, está dado por: cij = (-1)i + j Mij .

Problema resuelto   Para la matriz A =  1 3  , determinar: M11, M12, M21, M22 y los cofactores c11, c12, c21, c22.  2 4  Solución

Para determinar el menor M11, eliminamos el primer renglón y la primera columna:

 1 A =   2

3  4 

Entonces, M11 = 4 y c11 = (-1)1 + 1 4 = 4. Para determinar el menor M12, eliminamos el primer renglón y la segunda columna:

 1 A =   2

3  4 

Entonces, M12 = 2 y c12 = (-1)1 + 2 2 = -2. Para determinar el menor M21, eliminamos el segundo renglón y la primera columna:

 1 A =   2

3  4 

Entonces, M21 = 3 y c21 = (-1)2 + 1 3 = -3. Para determinar el menor M22, eliminamos el segundo renglón y la segunda columna:

 1 A =   2

3  4 

Entonces, M22 = 1 y c22 = (-1)2 + 2 1 = 3.

❚ Determinante de una matriz Si A es una matriz de orden n ≥ 2; entonces, el determinante de la matriz A es la suma de los elementos del primer renglón de A, multiplicados por sus respectivos cofactores:

)

det ( A = a11c11 + a12c12 + ... + a1nc1n =

n

∑a c i =1

1i 1i

. 163


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

Problema resuelto   Encontrar el determinante de A =  1 3  .  2 4  Solución

det ( A ) = a11c11 + a12c12 = (1) ( 4 ) + ( 3 ) ( -2 ) = 4 - 6 = -2 O

 1 3   = 4 - 6 = -2 det(A) =    2 4  (-) (+)

Problema resuelto  1 4 7  Encontrar el determinante de A =  2 5 8  .    3 6 9  Solución

det ( A ) = a11c11 + a12c12 + a13c13 = (1) ( -1)

1+1

det ( A ) = -3 + 24 - 21 = 0

5 8 + ( 4 ) ( -1)1+ 2 2 8 + ( 7) ( -1)1+ 3 2 5 6 9 3 9 3 6

5.10  Regla de Sarrus para calcular determinantes A continuación, se describen los pasos de la regla de Sarrus para calcular determinantes: 1. Escribir la matriz A y, enseguida, escribir las primeras dos columnas de A, como se muestra a continuación: a11 a12

a13

a11 a12

a21 a22

a23

a21 a22

a31 a32

a33

a31 a32

2. Calcular los productos indicados por las flechas. Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia la derecha se toman con signo positivo, mientras que los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia la izquierda se toman con signo negativo.  a11   a21   a  31 164

a12 a22 a32 -

a13  a11  a23  a21 a33  a31 +

a12 a22 a32 +

+


Grupo Editorial Patria© 3. Sumar los productos con los signos adecuados, según se determinó en el paso 2. det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a12a21a33 - a11a23a32 - a13a22a31 En general, sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A está dado por: det ( A ) =

n

∑a c i =1

ji

ji

= a j 1c j 1 + a j 2c j 2 + ... + a jnc jn

Alerta La regla de Sarrus únicamente se puede utilizar para determinantes de orden 3.

Desarrollo del j-ésimo renglón. det ( A ) =

n

∑a c i =1

1i 1i

= a1i c1i + a2i c 2i + ... + ani c ni

Desarrollo de la i-ésima columna.

5.11  Propiedades de los determinantes A continuación, se estudian y analizan las propiedades de los determinantes: 1. | At | = A El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.  1 4 7 A = 2 5 8   3 6 9

   

Entonces, se desarrolla por el método de los cofactores: A = (1) ( −1)

1+1

1+ 2 1+ 3 5 8 2 8 2 5 + ( 4 ) ( −1) + ( 7) ( −1) 6 9 3 9 3 6

A = −3 − ( 4 ) ( −6 ) + ( 7) ( −3 ) = −3 + 24 − 21 = 0

 1 2 3  At =  4 5 6     7 8 9  A t = (1) ( −1)

1+1

5 6 8 9

+ ( 2 ) ( −1)

1+ 2

4 6 7 9

+ ( 3 ) ( −1)

1+ 3

4 5 7 8

A t = −3 − ( 2 ) ( −6 ) + ( 3 ) ( −3 ) = −3 + 12 − 9 = 0 2. | A | = 0 Si: • Tiene dos renglones (o columnas) iguales. • Todos los elementos de un renglón (o columna) son nulos. • Los elementos de un renglón (o columna) son combinación lineal del resto de renglones (o columnas). Por ejemplo, como ya vimos, el det(A) = 0 con:  1 4 7  A = 2 5 8     3 6 9  165


UNIDAD

5

Matrices y determinantes Entonces, el tercer renglón es combinación lineal del primer y segundo renglón: (3, 6, 9) = (-1)(1, 4, 7) + (2)(2, 5, 8)

R3 = -R1 + 2R2

3. Un determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.  1 4 7  Por ejemplo, sea la matriz triangular A =  0 5 8  ; calculemos su determinante por el método   de cofactores:  0 0 9  1+ 2 1+ 2 5 8 0 8 0 5 + 4 ( −1) + 7 ( −1) 0 9 0 9 0 0

det ( A ) = 1( −1)

1+1

det ( A ) = 45 = (1) ( 5 ) ( 9 ) 4. Si en un determinante se cambian entre sí dos renglones (o dos columnas), su determinante cam 1 4 7  bia de signo. Por ejemplo, como acabamos de ver, el determinante de A =  0 5 8  es 45.    0 0 9  Ahora, intercambiamos el renglón 2 por el renglón 3:  1 4 7  A = 0 0 9     0 5 8 

y calculamos su determinante: det ( A ) = 1( −1)

1+1

1+ 2 1+ 2 0 9 0 9 0 0 + 4 ( −1) + 7 ( −1) 5 8 0 8 0 5

det ( A ) = −45 5. Si a los elementos de un renglón se le suman los elementos de otro renglón, multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.  1 4 7  Así, en la matriz A =  0 5 8  multiplicamos R2 por 5 y lo sumamos a R3; entonces,    0 0 9   1 4 7   1 4 7  A = 0 5 8    R3 + R2 ( 5 )  0 5 8  0 0 9   0 25 49

 1 4 7   . Ahora, calculamos el determinante de  0 5 8     0 25 49

  por  

el método de cofactores:  1 4 7 det  0 5 8   0 25 49

  = 1( −1)1+1 5 8  25 49 

+ 4 ( −1)

1+ 2

0 8 0 49

+ 7 ( −1)

1+ 3

0 5 0 25

= 245 − 200 = 45

6. Si se multiplica un renglón (o columna) de un determinante por un número real, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. 166


Grupo Editorial Patria©  1 4 7  En la matriz A =  0 5 8  multiplicamos a R3 por 5:    0 0 9   1 4 7   1 4 7 A = 0 5 8   0 5 8     0 0 9   0 0 45

   

Puesto que ésta es una matriz triangular, su determinante es: (1)(5)(45) = 225.

7. Si todos los elementos de un renglón o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes:  1 4 7   0+1 2+2 3+4 A= 6 5 8  = 6 5 8    2 9  3 2 9   3  0 2 3  det ( A = det 6 5 8   3 2 9

)

 1 2 4   + det  6 5 8    3 2 9 

   

   

Entonces, los calculamos con el método de cofactores:

det ( A ) = (1) ( −1)

1+1

 0 2 3 det  6 5 8   3 2 9  1 2 4 det  6 5 8   3 2 9

5 8 + ( 4 ) ( −1)1+ 2 6 8 + ( 7) ( −1)1+ 3 6 5 3 2 3 9 2 9

= 29 − 120 − 21 = −112

  = 0 ( −1)1+1 5 8 + 2 ( −1)1+ 2 6 8 + 3 ( −1)1+ 3 6 5  3 9 3 2 2 9 

= 0 − 60 − 9 = −69

  = (1) ( −1)1+1 5 8 + ( 2 ) ( −1)1+ 2 6 8 + ( 4 ) ( −1)1+ 3 6 5  3 2 3 9 2 9 

= 29 − 60 − 12 = −43

8. | A | | B | = | AB | . El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes. Así, sean las matrices:  3 2 9  A =  5 8 4  ⇒| A | = − 415    7 1 0   7 8 9  B =  10 11 12  ⇒| B | = 24    13 14 7   158 172 114  AB =  167 184 169  ⇒| AB | = 24( − 415) = −9 960    59 67 75  167


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

5.12  Matriz inversa Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n × n de forma que AB = BA = I; en estas condiciones, B es la matriz inversa de A (B = A-1), y, recíprocamente, A es la inversa de B (A = B-1). Se dice que una matriz cuadrada que posee inversa es invertible o no singular.

❚ Propiedades de la inversión de matrices La matriz inversa, si existe, es única: A-1A = AA-1 = I

(AB)-1 = B-1A-1

(A-1)-1 = A (At )-1 = (A-1)t

Existen varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: 1. Directamente. 2. Método de reducción de Gauss-Jordan. 3. Usando determinantes.

Método directo Dada la matriz:  3 4  A =   5 6  Se busca una matriz que cumpla AA-1 = I, es decir:  3 4  a b   1 0   5 6  c d  =  0 1       Entonces, realizamos el producto:

 3 4  a b   5 6  c d  =   

 a b   c d     3 4   5 6   

=

 a b   c d     3 4   5 6   

3a + 4c 3b + 4d 5a + 6c 5b + 6d

De esta forma: 3a + 4c = 1 3a + 4c = 1   3a + 4c 3b + 4d   1 0  5a + 6c = 0 3b + 4d = 0 ⇒ = ⇒  5a + 6c 5b + 6d   0 1  5a + 6c = 0     3b + 4d = 0  5b + 6d = 1 5b + 6d = 1 Para ello, se plantea el sistema de ecuaciones: 168


Grupo Editorial Patria© Resolviendo:

3a + 4c = 1 ⇒ a = 5a + 6c = 0

1 − 4c 3

)

5 (1 − 4c + 18c 5 − 2c  1 − 4c  5 = =0⇒ =c ⇒ 5 + 6c = 3 3 2  3 

 5 1− 4   2  1 − 10 ⇒a= = = −3 3 3 3b + 4d = 0 ⇒ b = −

5b + 6d = 1 ⇒ b =

4d 3

1 − 6d 5

 3 4−   2 3 1 − 6d 4d 20d ⇒ 3 = −2d ⇒ d = − ⇒ b = − =2 =− ⇒ 3 − 18d = −2 2 3 5 3 Entonces, la matriz que se ha calculado es la inversa de la matriz A; es decir, A-1 es:   a b   −3 2 A −1 =  = 5 3  −  c d   2  2

   

Finalmente, multiplicamos por A-1para comprobar:

  3 4   −3 2  5 6  5 −3   2  2

  =  

 −3 2  5 3  − 2  2

   

 3 4   5 6   

=

 −3 2  5 3  − 2  2

   

 3 4   −9 + 10 6 − 6   1 0   5 6   −15 + 15 10 − 9  =  0 1       

Método de reducción de Gauss-Jordan Para calcular la matriz inversa por medio del método de Gauss-Jordan, se realiza el proceso siguiente: 1. Se forma la matriz aumentada (A | In ), obtenida al juntar la matriz identidad In con la matriz dada A.  3 4   5 6

1 0   0 1 

2. Se transforma la matriz A en la matriz identidad In, a través de operaciones elementales entre renglones. Esto significa que todo lo que se haga en un renglón de A debe hacerse en el renglón correspondiente en la matriz identidad In. Entonces:  3 4   5 6

1 0   0 1  169


UNIDAD

5

Matrices y determinantes Así, dividimos entre 3 al primer renglón y entre 5 al segundo renglón, y restamos R1 a R2:

 3 4   5 6

 4  1  1 0 3   0 1  R1  6 1 3 R2  5  5

  4 1 0   1 3 3   6 4 1  R2 −R1  − 0   1− 1 5 3 5  

  1 4 0   1 3 3  = 1 1   2 −   0 − 3 5   15

1 0 3 1 1 − 3 5

     

15 4 Luego, multiplicamos al segundo renglón por − ; enseguida, multiplicamos por − al segundo 2 3 renglón y lo sumamos al primero:

 4   1 3   0 1 

1 0 3 5 3 − 2 2

  4 4     1 3−3  R2  −4  +R1  1   3  0  

1 10 − 3 3 5 2

    2   − 3 2   1 0  = 5 3  −  0 1 3  � � � 2 −   �� 2 2   C =In �����    − 1 D=A

a) Si C = In, entonces D = A-1. b) Si C ≠ In, entonces C tiene un renglón lleno de ceros. En este caso, A no es invertible y A-1 no existe.

Problema resuelto Usando operaciones elementales, determinar la matriz inversa de:  1 4 7  2 5 8   3 6 0

   

Solución

1.  Formamos la matriz aumentada:  1 4 7   2 5 8  3 6 0

1 0 0   0 1 0  0 0 1 

2. Dividimos entre 2 el renglón 2 y entre 3 el renglón 3; luego, restamos al renglón 2 el renglón 1 y al renglón 3 el renglón 2:

 1 4 7   2 5 8  3 6 0

170

  1 4 7 1 0 0   5  4 0 1 0 R  1 2 2   0 0 1  2 0 R3  1 2 3 

1 0 1 0 2 0 0

 0  4 7  1   0  5 -4 4-7  R -R  1 - 1 2 1 2 1  R3 - R2   1- 1 2 - 4 0 - 7  3  

1

0 1 0-1 2 0-1 0

0   0   1   3 


Grupo Editorial Patria©

   Acto seguido, al renglón 2 lo multiplicamos por -

 7  1 4  3 -3  0 2   0 -2 -7     1 4 7  0 1 2  2 R3  -    3 0 0 1  

1

0 1 -1 2 -1 0

 0  7  1 4   0 1 0  2  2  7 - R 1  R 3 2  0 -1  3  2 3  2 

1 0 0 2 1 0 3 3 1 2 1 9 9 9

2 y al renglón 3 lo dividimos entre 2: 3

1 0 2 1 3 3 1 0 2

0   0   1   6 

  1 4 7  0 1 2  R3 + R2  0 0 -3  2 

1 0 2 1 3 3 1 1 6 3

0   0   1   6 

      

   A  hora, multiplicamos al tercer renglón por 2 y lo sumamos al segundo y al tercer renglón lo multiplicamos por 7 y lo sumamos al primero:

   1 4 7  0 1 2  0 0 1  

1 0 0 2 1 0 3 3 1 2 1 9 9 9

   1 4 0  = 0 1 0  0 0 1  

16 14 9 9 8 7 9 9 1 2 9 9

     1 4 7-7    R - 7R  0 1 2 - 2  R12 - 2R33  0 0 1     7 9 2 9 1 9

7 9 2 2 + 3 9 1 9 1+

14 7  0+  9 9  1 4 2  - 0+ 3 9 9  2 1  9 9  0-

       

Por último, multiplicamos al segundo renglón por -4 y lo sumamos al primero:    1 4 0   0 1 0  0 0 1  

16 14 9 9 8 7 9 9 1 2 9 9

7 9 2 9 1 9

      1 4-4 0   1 0  R1+ R2 ( -4 )  0   0 0 1    

16 32 14 28 + 9 9 9 9 8 7 9 9 1 2 9 9

7 8 9 9 2 9 1 9

     =   

    16 14 4 1  -   9 9 9   1 0 0 8 7 2    0 1 0 9 9 9   0 0 1  1 2 1  -   9 9 9       A -1

171


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

5.13  Matriz adjunta Si A es una matriz cuadrada n × n y B es la matriz de sus cofactores, entonces la adjunta de A, que se denota por adj A, es la traspuesta de la matriz B cuadrada n × n.  A  11  A12  T adj A = B =  �  �  �   A1n

A21 ... An1   A22 ... An 2   � � �  � � �  � � �   A2n ... Ann  

Problema resuelto Determinar la matriz adjunta de:  1 4 7   2 5 8     3 6 0  Solución

1. Determinamos los cofactores Aij = (-1)1 + j | Mij |. 5 8 6 0

= -48 , A12 = ( -1)

2 8 3 0

= 24 , A13 = ( -1)

   A21 = ( -1)

4 7 6 0

= 42 , A22 = ( -1)

1 7 3 0

= -21 , A23 = ( -1)

   A31 = ( -1)

4 7 5 8

= -3 , A32 = ( -1

)

1 7 2 8

= 6 , A33 = ( -1)

   A11 = ( -1)

1+1

2 +1

3 +1

1+ 2

2+ 2

3+ 2

2 5 3 6

1+ 3

2+ 3

3+ 3

1 4 3 6

1 4 2 5

= -3

=6

= -3

   Por tanto, la matriz de cofactores es:  -48 24 -3  42 -21 6  6 -3  -3

   

2. La adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:  -48 42 -3  24 -21 6  6 -3  -3

   

❚ Matriz inversa usando la matriz adjunta La matriz inversa es la adjunta entre el determinante; para determinarla seguimos los siguientes pasos: 1. Se calcula el determinante de la matriz; si el determinante es igual a cero, entonces la matriz no tiene inversa:  1 4 7 det  2 5 8   3 6 0

  = 1( −1)1+1 5 8 + ( 4 ) ( −1)1+ 2 2 8 + 7 ( −1)1+ 3 2 5  3 6 6 0 3 0  = −48 − 4 ( −24 ) + 7 ( −3 ) = 27 ≠ 0

172


Grupo Editorial Patria© 2. Se determina la matriz adjunta, que del problema resuelto anterior es:  −48 42 −3  24 −21 6  6 −3  −3

   

3. Se divide entre su determinante, que es 27, y se encuentra la matriz inversa:  −48 42 −3  24 −21 6  6 −3  −3 27

   

 48 42 3 −  − 27 27 27  21 6  24 = − 27 27 27  3 6 3   − 27 27 − 27

  16   − 9     8  = 9   1     − 9

14 9 7 − 9 2 9

1 9 2 9 1 − 9 −

    −1  = A   

5.14  Sistemas de ecuaciones lineales resueltas con matrices La notación matricial proporciona una manera concisa de escribir un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Aquí sólo se estudia el caso cuando n = 3; no obstante, las formulaciones son válidas para cualquier valor de n. Considérese el sistema de ecuaciones lineales: a11x + a12 y + a13 z = b1 a21x + a22 y + a23 z = b2 a31x + a32 y + a33 z = b3 Sea A la matriz de los coeficientes:  a a12 11   a21 a22  a  31 a32

a13   a23  a33 

Sean X y B los vectores columnas definidos por:  b1   x  y y b   2    z   b  3 Entonces, empleando la multiplicación matricial, el sistema de ecuaciones lineales anterior puede escribirse como: AX = B  a a12 11  a a  21 22  a  31 a32

a13 a23 a33

  x  b1    b  = y    2   z   b  3 

Aquí, A es una matriz 3 × 3, X es una matriz 3 × 1 y el producto es una matriz B, 3 × 1. En general, A sería n × n, X es n × 1, y B es n × 1. Ahora, supóngase que A es no singular, es decir, su determinante es distinto de cero. Entonces, la inversa A−1 existe y podemos multiplicar ambos miembros de AX = B por A−1 por la izquierda, para obtener: A−1(AX) = A−1B Pero, tenemos: A−A1(X) = (A−1A)X = IX = X 173


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

Problema resuelto Considérese a tres ebanistas: José, Pedro y Arturo, quienes trabajan a destajo para una compañía de muebles. Por cada juego de alcoba en caoba que trabajan les pagan 500 pesos; si el juego de alcoba es de cedro les pagan 400 pesos y si es de pino tratado les pagan 100 pesos. En este caso, encontramos las matrices A y B, que representan la producción de cada uno, durante los meses de enero y febrero, respectivamente; por su parte, la matriz X es la matriz pago/unidad. Así:

José Pedro Arturo

Producción enero

Producción febrero

Salario / Unnidad

A

B

X

 Caoba Cedro Pino   Caoba Cedro Pino   Caoba 500   0 3  1 2 3   2 Cedro 400  1 1 4  2 0 3  Pino 100     1 2 3  2 1 4  

Calcular las siguientes matrices y establecer qué representa cada una. a)  AX b)  BX c )  A + B d)  (A + B)X Solución

 2 0 3   500   1 300  Ingresos en enero de José  a) AX =  1 1 4   400 =  1 300 =  Ingressos en enero de Pedro          1 2 3   100   1 600  Ingresos en enero de Arturro  1 2 3 b) BX =  2 0 3   2 1 4

  500   1 600  Ingresos en febrero de José    400 =  1 300 =  Ingrresos en febrero de Pedro        e Arturo   100   1 800  Ingresos en febrero de Producción total Caoba Cedro Pino

c )

d)

 2 0 3   1 2 3        A+B =  1 1 4  + 2 0 3  =   1 2 3   2 1 4         3 2 6   500 

 2 900

3

2

6

3

1

7

3

3

7

 José   Pedro  Arturo 

 Ingresos totales de José 

( A + B ) X =  3 1 7   400 =  2 600 =  Ing gresos totales de Pedro         uro  3 3 7   100   3 400  Ingresos totales de Artu

Problema resuelto Mediante el uso de matrices, resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y + 0z = 1 x - 2y + 4z = -3 3 x + y - 5z = 2

174


Grupo Editorial Patria© Solución

Primero, determinamos la matriz de coeficientes, la matriz de incógnitas y la matriz de términos independientes:  2 1 0 A =  1 -2 4   3 1 -5

 x 1    , X =  y  , B =  -3       z   2  

Entonces: AX = B ⇒ X = A-1B Luego, establecemos el determinante de A, para esto calculamos los cofactores de los elementos del primer renglón: -2 4 1 -5

C11 = ( -1)

1+1

= ( -1)

1+1

(10 - 4 ) = 6

C12 = ( -1)

1 4 3 -5

= ( -1)

( -5 - 12 ) = 17

C13 = ( -1)

1 -2 3 1

= ( -1)

(1 + 6 ) = 7

1+ 2

1+ 3

1+ 2

1+ 3

Entonces: det A = a11C11 + a12C12 + a13C13 = 2 ( 6 ) + 1(17) + 0 ( 7) = 12 + 17 = 29 Ahora, calculamos los cofactores que nos faltan para tener la matriz de cofactores: C 21 = ( -1)

2 +1

1 0 1 -5

= ( -1)

2 +1

( -5 ) = 5

C 22 = ( -1)

2 0 3 -5

C 23 = ( -1)

2 1 = ( -1)2 + 3 ( 2 - 3 ) = 1 3 1

C 31 = ( -1)

1 0 -2 4

2+ 2

2+ 3

3 +1

C 32 = ( -1)

2 0 1 4

C 33 = ( -1)

2 1 1 -2

3+ 2

3+ 3

= ( -1)

2+ 2

= ( -1)

3 +1

= ( -1)

3+ 2

( -10 ) = -10

Alerta Si el determinante del sistema es distinto de cero, entonces el sistema tiene solución única.

(4) = 4

( 8 ) = -8

= ( -1)

3+ 3

( -4 - 1) = -5

La matriz C de cofactores es, entonces:  6 17 7 C =  5 -10 1   4 -8 -5

   

Trasponiendo esta matriz, se encuentra la matriz adjunta:  6 5 4 adj A =  17 -10 -8  1 -5  7

   

175


UNIDAD

5

Matrices y determinantes Luego, dividiendo la adjunta entre el determinante, se encuentra la matriz inversa:

A -1

    =   

6 29 17 29 7 29

5 29 10 29 1 29

4 29 8 29 5 29

       

Entonces, la solución es: X = A-1B.

   

  x    y  =  z    

6 29 17 29 7 29

5 29 10 29 1 29

  1   29  1      31   -3  =    2   29 6    - 29 

4 29 8 29 5 29

       

5.15  Regla de Cramer Se dice que un sistema con n ecuaciones lineales y n incógnitas es de Cramer cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es ≠ 0. Así, todo sistema de Cramer es consistente determinado, es decir, tiene solución única.

❚ Explicación de la regla de Cramer Obsérvese la expresión de las soluciones en el caso de n = 3. La inversa es:

A −1

 C C 21 C 31 11 1  =  C12 C 22 C 32 A   C13 C 23 C 33

    

Entonces:  C C 21 C 31  x  11  y  = 1  C C C 32  12 22   A   z   C13 C 23 C 33

    

 b   C11b1 + C 21b2 + C 31b3  1   1   = b  2   C12b1 + C 22b2 + C 32b3  A  b   C b + C b + C b  13 1 23 2 33 3  3 

De donde:

x =

1 (b1 C11 + b2 C 21 + b3 C 31 = A

)

b1

a12

a13

b2

a22

a23

b3

a32

a333

∆ a11

y = 176

1 (C12b1 + C 22b2 + C 32b3 = A

)

b1

a13

a21 b2

a23

a31 b3

a333

=

=

∆x ∆

∆y ∆


Grupo Editorial Patria©

z =

1 (C13b1 + C 23b2 + C 33b3 = A

)

a11 a12

b1

a21 a22

b2

a31 a32

b3

=

∆z ∆

Ésta es la regla de Cramer, la cual es general para cualquier sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Regla de Cramer a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . . . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . . . . . + a2nxn = b2 .. . an1x1 + an2x2 + an3x3 + . . . . . . . + annxn = bn

a12 a22 .. . an2

... ... .. . ...

a1n a2n .. . ann

... ... .. . ...

a1n a2n .. . ann

1

∆x = 2

∆≠0 solución única

a11 a21 . .. an1

b1 b2 .. . bn

... ... .. . ...

a12 a22 .. . an2

∆x = n

a1n a2n .. . ann

a11 a21 . .. an1

a12 a22 .. . an2

... ... .. . ...

b1 b2 .. . bn

                  

a11 a ∆ = .21 .. an1

∆x =

b1 b2 .. . bn1

Solución

∆x ∆x ∆x 1 2 x2 = —, x1 = —, . . . , xn = —n ∆ ∆ ∆

Figura 5.7

Con la regla de Cramer se tienen los siguientes casos: 1. Si D ≠ 0 ⇔ Sistema consistente y determinado. Por ejemplo, usando la regla de Cramer es posible el siguiente sistema: x + y + z = 50 2x = y + 1 2 x = 5z En este caso, la matriz de coeficientes es:  1 1 1  2 −1 0   2 0 −5

   

Ahora, calculamos su determinante:  1 1 1  1+1 −1 0 1+ 2 2 1+ 3 2 −1 0 + 1( −1) + 1( −1) = 5 + 10 + 2 = 17 ∆ = det  2 −1 0  = 1( −1)   2 0 2 −5 0 −5  2 0 −5   50 1 1  1+1 −1 0 1+ 2 1+ 3 1 0 1 −1 = 50 5 + 5 = 255 + 1( −1 + 1( −1 ∆ x = det  1 −1 0  = 50 ( −1 (   0 0 0 −5 0 −5  0 0 −5 

)

)

)

)

177


UNIDAD

5

Matrices y determinantes Entonces: x =

∆x 255 = = 15 ∆ 17

 1 50 1 ∆y = det  2 1 0   2 0 −5

  = 1(−1)1+1 1 0 + 50 (−1)1++ 2 2 0 + 1(−1)1+ 3 2 1 = −5 + 50 (10) − 2 = 493  2 0 0 −5 2 −5 

Entonces: y =

∆y ∆

=

493 = 29 17

 1 1 50  1+1 −1 1 1+ 2 2 1 1+ 3 2 −1 + 1(−1) + 50 (−1) = − (−2) + 50 (2) = 102 ∆ z = det  2 −1 1  = 1(−1)   2 0 2 0 0 0  2 0 0  Entonces: z =

∆z 102 = =6 ∆ 17

2. Si D = Dx1 = Dx2 = . . .  = Dxn = 0 ⇔ Sistema consistente e indeterminado; el sistema tiene un número infinito de soluciones. Por ejemplo: 2x + y + z = 1 x − 2y = −3 3x − 6 y = −9 Calculamos: D, Dx, Dy, Dz  2 1 1  1+1 −2 1+ 2 1+ 3 0 1 0 1 −2 = 0 + (1) ( −1) ∆ = det  1 −2 0  = ( 2 ) ( −1) + (1) ( −1)   3 −6 −6 0 3 0 ����� ����� � ��� �  3 −6 0  0−0=0

0−0=0

−6 + 6 = 0

 1 1 1  1+1 −2 1+ 2 1+ 3 −3 0 −3 −2 0 + (1) ( −1) =0 ∆ x = det  −3 −2 0  = (1) ( −1) + (1) ( −1)   −6 0 −9 0 −9 −6 ����� ����� �����  −9 −6 0  0 − 0= =0

0−0=0

18 +18 = 0

 2 1 1  1+1 −3 1+ 2 1+ 3 0 1 0 1 −3 + (1) ( −1) ∆ y = det  1 −3 0  = ( 2 ) ( −1) + (1) ( −1) =0   −9 0 3 0 3 −9 ����� � ��� � �����  3 −9 0  0−0=0

 2 1 1 ∆ z = det  1 −2 −3   3 −6 −9 178

0−0=0

−9 + 9 = 0

  = ( 2 ) ( −1)1+1 −2 −3 + (1) ( −1)1+ 2 1 −3 + (1) ( −1)1+ 3 1 −2 = 0  3 −6 −6 −9 3 −9 ����� ����� �����  18 8 −18 = 0

−9 + 9 = 0

−6 + 6 = 0


Grupo Editorial Patria© Por otra parte, trabajamos con la matriz aumentada del sistema:

 2 1 1   1 −2 0  3 −6 0

 1 1   1 2   −3  R 1  1 −2 −9  R2  3  1 −2 3

1 2 0 0

1 2 −3 −3

  1  1  2    R3 −R2  1 −2  0 0   

  1 1   1 2 2   5 1 1 = − −3 −   0 − 2 2 2     0 0 0 0

 1 1  1 2 2   1 1 0−  0 −2 − 2 2   0 0 0

1 2

1 2 7 − 2 0

1 2 0 0

1 2 −3 0

 1 1   1 2 2     1 1 R − R 1  2  0 −2 − 0− 2 2     0 0 0

  1 1  1  2 2     1  R2  − 52  0 1 5     0 0 0

1 2 7 5 0

   1  −3 −  2   0 1 2

  2  1 0  5     1  R1+R2  − 21  0 1 5     0 0 0

1 5 7 5 0

      

El sistema tiene un número infinito de soluciones. El conjunto infinito se determina por: x = −

2z 1 1 7 − , y = − z + , z. 5 5 5 5

3. Si D = 0 y algún Dxi ≠ 0 ⇔ Sistema inconsistente. Por ejemplo: 2x + y + z = 1 x − 2y = −3 3x + y +

7 z =2 5

 2 1 1  La matriz de coeficientes es:  1 −2 0    7   3 1  5  Su determinante es:  2 1  1 −2 ∆ = det    3 1

1 0 7 5

 −2 0 1 0  1+1 1+ 2 1+ 3 1 −2 28 7  = 2 (−1) =− − + 7 = −7 + 7 = 0 7 + 1(−1) 7 + 1(−1) 3 1 5 5 3 1  5 5 

Ahora, calculamos Dx:  1 1  −3 −2 ∆ x = det    2 1

1 0 7 5

 −2 0 −3 0  1+1 1+ 2 1+ 3 −3 −2 14 21 12  = 1(−1) =− + +1= ≠0 7 + 1(−1) 7 + 1(−1) 2 1 5 5 5 2 1  5 5 

Puesto que Dx ≠ 0, el sistema es inconsistente; no tiene solución. Ahora, formamos la matriz aumentada del sistema:  2 1 1   1 −2 0 7   3 1 5 

1 −3 2

      179


UNIDAD

5

Matrices y determinantes Luego, dividimos al primer renglón entre 2 y al tercer renglón entre 3, y restamos el renglón 1 a los renglones 2 y 3:

 2 1   1 −2   3 1 

   1 1 1 2 2 1   −3  R  1 −2 0  2 1 7 2  2   R3  1 3 15  3

1 0 7 5

1 2 −3 2 3

 1 1   1 2 2     1 1  0− 1 − 1 −2 − R2 − R1  2 2    R3 −R1  1 1 7 1   1 − 1 3 − 2 15 − 2 

Ahora, multiplicamos el segundo renglón por −  1 1  1 2 2   5 1 −  0 − 2 2  1 1   0 − 6 − 30 

1 2 7 − 2 1 6

  1 1  1  2 2     1   2  0 1 5 R −  2  5  1  R3 (−6)   0 1 5   

1 2 1 2 2 1 − 3 2

−3 −

  1 1   1 2 2     5 1 −  = 0 − 2 2   1 1     0 − 6 − 30  

1 2 7 − 2 1 6

        

2 y el tercer renglón por -6: 5

  1 1 1   1 2 2  2    1 7  R −R  0 1 3 2 5  5  1 1   −1   0 1− 1 5 − 5  

  1     1 2    = 0 1   7   −1 −   0 0 5   1 2 7 5

1 2 1 5 0

1 2 7 5 12 − 5

       

12 El tercer renglón nos muestra la inconsistencia 0 = − ; por tanto, el sistema es inconsistente; no tiene 5 solución.

Problemas para resolver 5.1  Indica los términos 12, 13, 21, 31 y 33 para las siguientes matrices:  −1 3 −1  a)  3 −9 3   2 −6 2   55 23 −11  b)  43 89 23  22 76 12

 2   5.3  Sean A =  4 −3  y B =   , encuentra A + B y  4  −2 1  B + A; ¿es posible? 5.4  Completa la siguiente tabla e indica si se pueden multiplicar las matrices o no, y cuál es el tamaño de la matriz resultante.

   

 2 −1 4  c )  −3 5 −1   2 3 2   5 −3 2    d)  2 2 −1   4 −1 1  5.2  Encuentra A + B y B + A.     a) A =  3 5  , B =  5 −2  .  1 7   2 −6  180

b) ¿Qué concluyes de este resultado? La suma es ________.

Problemas aplicados a la realidad

Matriz A

Matriz B

3×4

4×5

5×6

6×2

5×3

4×6

7×8

8×2

4×2

3×4

5×7

7×2

3×1

1×4

4×3

4×3

2×5

5×4

¿Se pueden multiplicar?

Problemas para resolver con tecnología

Tamaño de matriz de respuesta


Grupo Editorial Patria© 5.5  Para los siguientes incisos, cuando sea posible, encuentra: A + B, B + A, A - B, B - A, A × B, B × A, At, Bt.

5.10  Realiza la descomposición de las siguientes matrices en simétrica o antisimétrica, según corresponda.

 3 0 −1  a) A =  0 4 2  ,    5 −3 1 

 −2 5 6  a) A =  −4 7 −1     3 −4 2 

 1 −5 0 B =  4 1 −2   0 −1 3

 5 0 0  b) A =  0 −3 0  ,    0 0 2 

 3 0 0 B= 0 4 0   0 0 −2

  c ) A =  4 −3 1  , 5 2 2 −  

 2 1  B= 0 1     −4 7 

 1 2  d) A =  3 4  ,    5 6 

 0 2 B =  −1 −2   3 4

   

   

 −5 −2 7 b) B =  −3 4 −8   −2 −9 −7

   

5.11  Una matriz ortogonal es aquella cuya traspuesta es igual a su inversa. Entonces, AAt = I, es decir, es tal matriz que multiplicada por su traspuesta da como resultado la matriz unidad. Esto es:

   

A es ortogonal ⇔ AAt = I ⇒ At = A-1 Comprueba que las siguientes matrices de funciones son ortogonales:

 1  e) A = ( −1, 1) , B =  2     3 

 sen x a) A =   cos x

− cos x  sen x 

  f ) A =  1 2 3  ,  4 5 0 

 b) A =  sen x  cos x

cos x  − sen x 

 1 5 7  B=   2 3 0 

 1 4   −3 6 5.6  Dadas las A =  2 5  y B =  2 5     3 6   1 −4

  . Determina  

la matriz D, tal que A + B - D = 0.

5.12  La matriz involutiva es tal que coincide con su inversa. Esto es: A es involutiva ⇔ A2 = I Demuestra que la siguiente matriz es involutiva:

5.7  Determina los productos AB y BA, si   A =  

1 2 3 4 −2 −3 −4 −5 0 3 2 1 −1 2 −2 0

 5   0   yB =   4   5 

7 −9 4 3 1 −1 6 −8 7 0 3 4

  .  

 −1 0  A =    0 1  ¿Esta matriz también es ortogonal? 5.13  Calcula x y y, para que la matriz A sea

5.8 Evalúa: a) A2 + B2

   A =   

b) 3A + BA c ) A2 - 5B d) A + A2 + B + B2

 3 −3 7 Si: A =  2 6 −2   4 2 5

   

 −9 5 −8 y B =  3 −7 1   −1 2 6

 .  

 1 2  5.9  Sea A =  2 0  , comprueba que AAt y AtA son si  métricas.  −1 3  Problemas aplicados a la realidad

3 5 y 0

 0    3 − 0  5  0 1  x

5.14  Determina la matriz X si se cumple la ecuación: AX + B = C y  0 1 3 A = 1 1 0   2 0 0

Problemas para resolver con tecnología

 1 −1   2 1    , B =  −1 0  , C =  0 1  .       1 −2   3 4   181


UNIDAD

5

Problemas para resolver

5.15  Resuelve el siguiente sistema matricial:   2X + Y =  1 4   2 0 

5.23  Indica para qué valores de k la siguiente matriz tiene inversa.  1 1 k A =  2 1 k +1   3 −2 k − 4

  X − Y =  1 −1   1 0   0 ... 0  5.16  Si A es una matriz cuadrada y A k =  � � �  para    0 ... 0  algún número natural k, se dice que A es una matriz nilpoten 0 ... 0   0 ... 0  te. Si k es tal que A k −1 ≠  � � �  y A k =  � � �  ,      0 ... 0   0 ... 0  se dice que A es nilpotente de orden k. Demuestra que la siguiente matriz es una matriz nilpotente de orden 2.  0 −8 0  A = 0 0 0     0 5 0 

 1 0 1 5.24  Sea la matriz A =  0 1 0  n ∈N.  0 0 1

Demuestra que la siguiente matriz es idempotente:

  . Determina An, para  

5.25  Indica si los vectores a = (18, 28, 29), b = (3, 5, 7) y c = (4, 6, 5) son linealmente dependientes; de ser así, indica los valores a y b de su combinación lineal. 5.26  Dadas las matrices:  0 5      A =  1 1 , B =  1 2 , C =  ,  1 0   3 4   1 0   D = 3 1  1 −1

5.17  Una matriz es idempotente, si es igual a su cuadrado. Es decir, A es idempotente ⇔ A = A2.

   

  5 8   , E =   , determina los números reales  2 7 

p, q, r y s; si existen, tales que E sea una combinación lineal A, B, C y D. 5.27  Calcula el rango de las matrices siguientes:   a)  1 2 3 4   0 5 7 9 

 1 0  A =   −1 0  5.18  Una matriz singular es una matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero; ésta no tiene matriz inversa. Demuestra que la siguiente es una matriz singular.  2 1 1  A =  1 −3 0     3 −9 0 

 14 4 7  b)  2 15 8  3 6 19

   

5.19  Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa, ¿la matriz del ejercicio 5.18 es regular?

  c )   

5.20  Da tres ejemplos de matrices escalares de orden 2; tres ejemplos de orden 3 y tres ejemplos de orden 4.

5.28  Calcula los valores de los parámetros a, b, c, para los cuales el rango de la siguiente matriz sea 1, donde:

 a 0 11  5.21  Demuestra que si A =  0 a22  0 0 

0   0  , entonces A a33 

es no singular si y solo si aii ≠ 0 (i = 1, 2, 3). 5.22  Demuestra que si A es no singular, entonces:

A −1

182

 1   a11  = 0    0 

0 1 a22 0

 0    0   1   a33  Problemas aplicados a la realidad

8 4 19 56  59 14 8 28  8 83 9 5  81 92 8 18 

  B=A =   

1 2 −1 −3

a b 1 c

    

5.29  Calcula las potencias: 2

3

 0 −1   0 −1   0 −1   1 0  ,  1 0  ,  1 0         4 1    5.30  Si x =  2 , y =  5  , calcula:  3  6 Problemas para resolver con tecnología

4


Grupo Editorial Patria© 5.34  Resuelve, usando matriz inversa, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

a) xy t b) x y t 

5.31  Demuestra que una matriz con una fila o columna llena de ceros no puede tener matriz inversa.

a) 2x

−y

x

+2y 3y

5.32 Calcula la matriz adjunta de las siguientes matrices.

   

2

−3x

+2y

−z

=

1

+z

= −7

 6 5 3 f ) A =  2 4 5   1 2 −3

+z

= 0

2y

−z −z

= 1 = 0

−3y

+4z

= −3

x

+2y

+z

= 10

3x

−2y

−5z

= 14

e) 3x

+2y

−2z

= 2

−x

+y

+3z

= 3

x

+4 y

+4z

= 4

   

−y

x

d) 2x

 1 3 −4  e) A =  5 2 −1     9 −6 8 

−1

= −4 =

  c ) A =  3 4  2 5    −2 3 1 d) A =  5 4 −3   1 3 6

=

−z +z

c ) x

−z

−3y

7x   b) A =  1 −3  2 4  

5

x

b)

 −2 3  a) A =    1 −5 

=

f )

3x

−4 y

−2x

−3y

+z

= 2

5x

−y

+z

= 5

5.33  Calcula la matriz inversa A de las siguientes matrices.

g)

x

  a) A =  −2 3   1 −5 

2x

+t

3y

−3z +z

+2t −5t

   

 1 3 −4  e) A =  5 2 −1     9 −6 8     

Problemas aplicados a la realidad

+2z

= 10 = =

4 6

=

0

+3y

−z

x

+y

+2z

= 0

−7z

= 0

−z

= 0

−x

i ) 2x

 −2 3 1 d) A =  5 4 −3   1 3 6

 6 5 3 f ) A =  2 4 5   1 2 −3

+z

1

h) 2x

 3 4  c ) A =    2 5 

=

+y

−x

  b) A =  1 −3   2 4 

+2z

j )

+3y

= 0

x

+y

+2z

= 0

−x

+2y

+2z

= 0

x+y+z =2 3x − 2y − z = 4 −2x + y + 2z = 2

k) 3x − 4 y + 2z = 1

−2x − 3y + z = 2 5x − y + z = 5

Problemas para resolver con tecnología

183


UNIDAD

5

Problemas para resolver

l ) x − y + 3z = −4

5.42  Para los siguientes sistemas homogéneos, indica de qué tipo de sistema se trata:

x+y+z =2

x + 2y − z = 6

a)

m) 2x − y + z = 3

x − 2y − z = 3 4 x − 5y − z = 9

3x + 2y + 4kz = 0 2 x + y + 3z = 0

b) kx − 3y + z = 0

 3 0 8  5.35  Sea A =  3 −1 6  . Comprueba que (A + I)2 = 0,    −2 0 −5  siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula. Indica si A es invertible y, si es así, obtén su matriz inversa A-1. 5.36  En la actualidad, la suma de las edades de una madre y de sus dos hijos es 48. Dentro de 10 años, el doble de la suma de las edades de los hijos excederá en 6 años a la edad de la madre. Cuando nació el hijo menor, la edad de la madre era 26 años más del triple de la edad que tenía el hijo mayor. Calcula la edad de los tres. 5.37  Una empresa otorga un monto de 2 720 000 pesos por concepto de becas para 100 estudiantes hijos de sus empleados. La empresa establece tres tipos de becas diferentes, en función de sus niveles educativos A, B y C: 40 000 pesos para los del nivel A, 16 000 pesos para los del nivel B y 20 000 para los del nivel C. Si para el nivel A destina cinco veces más dinero que para el nivel B, ¿cuántos estudiantes hay en cada nivel? 5.38  La suma de tres números es 2 220. Determina cada número si sabes que la mitad del tercero, más 10 veces el primero, es igual al séxtuplo del segundo; y que el doble del segundo, más 5 veces el primero, es igual a la cuarta parte del tercero. 5.39  Dos familias, que en total suman 40 miembros, considerando hombres, mujeres y niños, deciden salir de paseo. El número de hombres y mujeres juntos es el triple del número de niños. Además, si hubieran acudido dos mujeres más, su número igualaría al de hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños salieron de paseo? 5.40  Una tienda posee tres tipos de latas: A, B y C. Un cliente compra el primer mes 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, y paga 84 pesos. El mes siguiente compra 20 unidades de A y 25 de C, por las que paga 69 pesos. Sabiendo que el precio medio de los tres productos es 1.5 pesos, encuentra el precio de cada una de las unidades. 5.41  Se tienen monedas de tres clases: A, B y C. Las monedas del tipo A tienen un gramo de oro, dos de plata y siete de cobre; las del tipo B tienen tres gramos de oro, dos de plata y cinco de cobre; finalmente, las del tipo C tienen cuatro gramos de oro, tres de plata y tres de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo se deben fundir para obtener una moneda de 22 gramos de oro, 22 de plata y 56 de cobre? 184

x + y + kz = 0

Problemas aplicados a la realidad

c )

x + ky + z = 0 3x − y + kz = 0

(k − 2) x − y + z = 0 x + ( 2k − 1) y − kz = 0 x + ky − z = 0

5.43  Indica para qué valor de a el determinante del siguiente sistema es distinto de cero. x + αy + z = α + 2 x + y + αz = 3 x + y + z = 3α 5.44  Para el problema 5.43 indica cuáles son las soluciones si a ≠ 1 y qué tipo de sistema es. 5.45  Para el problema 5.43 indica cuáles son las soluciones si a = 1 y qué tipo de sistema es. 5.46  Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de Cramer, indica el valor del determinante de cada sistema; traza la gráfica de cada una de las ecuaciones de los sistemas: a) 4 x + 5y = 3 8x − 3y = 10 b) 4 x − 2y = 3 8x − 4 y = 10 c ) 4 x − 2y = 3 8x − 4 y = 6 5.47  Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de Cramer. a) 2x − y + z = 3 4y − z = 5 −x+y =7 b)

5u + 2x − y + z = 3 2u + 4 y − z = 15 7u − x + y = 20 8u + 4 x + 3y + 4z = 8 Problemas para resolver con tecnología


Grupo Editorial Patria© c )

u+v + x − y −z = 2 u + x − 2y = 5 2u − x + z = 3 − 2u + y + z = 0 7u + 9v + x + 3y + 5z = 12

5.50  Usando el teorema de Rouché-Frobenius, indica qué tipo de sistema es el siguiente sistema, y si es posible resuélvelo. 2x − y − 2z = −2 y−x+z =0 x − 2y + z = 8

5.48  Analiza y resuelve el sistema cuando sea consistente. xα + y + z = 5 x + 3y + z = 0 3x + 10 y + 4z = 0

2x − 2y = 6 5.51  Para la siguiente matriz:

5.49  El teorema de Rouché-Frobenius establece que la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales: r = ra

Sistema consistente.

r = ra = n

Sistema consistente determinado.

r = ra ≠ n

Sistema consistente indeterminado.

r ≠ ra

Sistema inconsistente

 5 4 3  1 15 6   2 7 9

   

Construye todas las submatrices 2 × 2 posibles e indica su rango.

Da un ejemplo para cada uno de los casos indicados.

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

185


UNIDAD

5

Matrices y determinantes

Problema reto

1

La suma que aportan tres empresarios a una sociedad civil asciende a 120 millones de pesos. En este caso, el doble de lo que aporta el primero más el triple de lo que aporta el segundo es igual al cuádruple de lo que aporta el tercero. Determina todas las posibles cantidades que puede aportar cada empresario, sabiendo que estas cantidades son enteras (en mi­ llones).

Referencias Grossman, Stanley I. (1988). Aplicaciones de Álgebra lineal, 2a ed. Grupo Editorial Iberoamérica: México. Grossman, Stanley I. (2008). Álgebra lineal. 6a ed., McGraw-Hill Interamericana: México. Miller, Charles D., Herren, Vern E. y Hornsby, John. (2006). Matemática: razonamiento y aplicaciones, 10a Ed. Pearson: México. Lehmann, Charles. (1972). Álgebra. Limusa Noriega Editores: México. Swokowski Earl W. y Cole Jeffery A. (1998). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 9a ed. Thomson: México. Uspensky, J. V. (1995). Teoría de ecuaciones. Limusa: México.

direcciones electrÓnicas http://www.fimee.ugto.mx/profesores/oibarra/documentos/algebralineal_temario.pdf http://algebra-lineal.blogspot.com/

186


APÃ&#x2030;NDICE

Estructuras algebraicas

1


APÉNDICE

1

Estructuras algebraicas

Topología La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos estructurados, ya sean figuras geométricas o espacios, los cuales no se ven alterados por transformaciones continuas, biyectivas o de inversa continua (homeomorfismos). Es decir, la topología es un tipo de geometría que tiene permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etcétera, los objetos, pero siempre y cuando se haga sin romper ni separar lo que estaba unido (es decir, la transformación debe ser continua), ni pegar lo que estaba separado (la inversa también debe ser continua). Por ejemplo, en topología, un círculo es lo mismo que un cuadrado, ya que podemos transformar uno en otro de forma continua, sin romper ni pegar. La palabra topología deriva de dos vocablos de origen griego: Topos: Lugar, extensión oposición. Logos: Ciencia o saber. Entonces, topología se define como: la ciencia de la extensión o del lugar.

Estructura algebraica Una estructura algebraica se considera un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación o ley de composición interna definida en éste. En algunos casos más complejos, se establece y define más de una ley de composición interna; además de otras leyes de composición externa.

Operación binaria Una operación binaria o ley de composición interna (LCI) definida en un conjunto no vacío A, es una aplicación o función * del producto cartesiano de A × A en A:

A×A→A

(a, b) → (a * b)

Lo que significa que para dos elementos que pertenezcan a un conjunto dado A, el resultado de la operación también se encontrará en A; por ejemplo, la suma o la multiplicación en N, en Z, en Q, en R o en C.

❚ Propiedades de las operaciones binarias: cerradura, asociatividad, conmutatividad y elementos idénticos e inversos Ley de cancelación o de cerradura Si a * b = a * c ⇒ b = c (izquierda). Si b * a = c * a ⇒ b = c (derecha). Propiedad asociativa Para todas a, b, c ∈ A se cumple que (a * b) * c = a * (b * c). Propiedad conmutativa Para toda a, b ∈ A se cumple a * b = b * a. Si se tiene una segunda operación ×: Propiedad distributiva Para toda a, b, c ∈ A se cumple que (a × b) * c = (a × b) * (a × c). 188


Grupo Editorial Patria© Elementos notables ■

Elemento neutro e : a * e = e * a = a para toda a ∈ A.

Elemento absorbente z : a * z = z * a = z para toda a ∈ A.

Elemento idempotente: a * a = a.

Elemento inversible: a es invertible si existe a′, tal que aa′ = e.

Cuando se tiene uno o más conjuntos con una o varias operaciones binarias, con determinadas propiedades y determinados elementos notables, se dice que se tiene una estructura algebraica. Si el conjunto sobre el que actúa una operación es finito, es posible representar dicha operación por medio de una tabla. Por ejemplo, la siguiente tabla define las leyes de composición interna en el conjunto: A = {a, b, c }

Tabla A.1 *

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b

Así, esta tabla se interpreta como: a * a = a, a * b = b, a * c = c, etcétera. Ley de composición externa Una ley de composición externa definida en A con operadores de B, es toda función o aplicación * de B × A en A:

A×A→B

(a, b) → (a * b)

Por ejemplo, el producto de un escalar (número real) por un vector da como resultado otro vector. Incluso, se pueden definir operaciones sobre los elementos de un conjunto, cuyo resultado será un elemento de otro conjunto distinto; por ejemplo, el producto escalar de dos vectores. Según las propiedades que deben satisfacer estas leyes de composición, se tienen distintos tipos de estructuras o de sistemas axiomáticos.

Definición de grupo. Propiedades elementales de los grupos. Grupo abeliano. Subgrupo ❚ Definición de grupo Sea (A, *) una estructura algebraica que constituye un conjunto asociado a una operación, la cual, si cumple con cuatro propiedades dadas, recibe el nombre de grupo.

❚ Propiedades elementales de los grupos Como se vio antes, los grupos deben satisfacer cuatro propiedades; las cuales se relacionan a continuación: 1. Ley de composición interna, *. Sea el par (A, *); donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *. 189


APÉNDICE

1

Estructuras algebraicas 2. Asociatividad (asociativa); * es asociativa. 3. Elemento neutro. 4. Elemento simétrico (inverso).

❚ Grupo abeliano Para que una estructura algebraica se considere un grupo abeliano, además de ser un grupo y de cumplir con las cuatro propiedades elementales de los grupos, también debe satisfacer una quinta propiedad: que * sea conmutativa. Esta propiedad establece que si se realiza una operación en dos elementos de un mismo conjunto, no importa el orden en que se coloquen, el resultado siempre deberá ser el mismo.

Problema resuelto Demostrar que (Z, * ) forma un grupo abeliano. Donde Z es el conjunto de los números enteros y * es una operación definida como: a * b = a + b + 6. Solución ■

* es una ley de composición interna en Z, ya que si a y b ∈ Z, a + b + 6 ∈ Z.

* es asociativa, ya que:

(a * b) * c = (a + b + 6) * c = a + b + 6 + c + 6 = a + b + c + 12

a * (b * c) = a * (b + c + 6) = a + b + c + 6 + 6 = a + b + c + 12

* tiene elemento neutro e = -6 , ya que:

∀a∈A

a * e = a ⇒ a + e + 6 = a ⇒ e = -6

y

e * a = a ⇒ e + a + 6 = a ⇒ e = -6

* tiene inverso ∀ a ∈ A, ∃ a′, tal que: a * a′ = e ⇒ a + a′ + 6 = -6 ⇒ a′ = -6 - a - 6 = -a - 12; entonces: a′ = -a - 12 es inverso a derecha.

a′ * a = e ⇒ a′ + a + 6 = -6 ⇒ a′ = -6 - a - 6 = -a - 12 a′ = -a -6 es inverso a izquierda.

* es conmutativa, ya que: a * b = a + b + 6 = b + a + 6 = b * a.

Otros grupos abelianos son: (Z, +), (Q, +), (R, +) y (C, +), los cuales también reciben el nombre de grupos aditivos debido a la operación aditiva. Por su parte, (N, +) no es grupo, ya que no tiene neutro ni inverso de cada elemento. Asimismo, (N0, +) no es grupo, ya que, a pesar de que sí tiene neutro, el 0 no tiene inverso aditivo. De igual modo, (Q, ×) no es grupo, ya que el 0 no tiene inverso multiplicativo. Al igual, (R, ×) no es grupo, ya que el 0 no tiene inverso multiplicativo. Al contrario, (Q - {0}, ×) y (R - {0}, ×) sí son grupos.

❚ Subgrupo Sean (A, *) un grupo y H un subconjunto de A; se dice que H es un subgrupo de (A, *) si y solo si (H, *) es un grupo. 190


Grupo Editorial Patria© Ejemplo: (Z, +) es un subgrupo de (Q, +); donde + es la adición ordinaria. Si G = (A, *) es un grupo, se dice que éste es un grupo finito si el conjunto A es finito; su cardinal se llama orden del grupo.

Definición de anillo, tipos de anillo. Definición de dominio entero Si en estas estructuras algebraicas se introduce una nueva ley de composición interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A, *, ×), las cuales también se consideran estructuras algebraicas. A continuación se analiza cada una de estas nuevas estructuras algebraicas.

❚ Anillo Dados un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna: * y ×, la terna ordenada (A, *, ×) tiene estructura de anillo si y solo si: 1. * es asociativa. 2. * tiene elemento neutro en A. 3. Todo elemento de A es invertible en A respecto de *. 4. * es conmutativa. Estas primeras cuatro propiedades demuestran que (A, *) es un grupo abeliano. 5. × es asociativa. Esta propiedad demuestra que (A, ×) es un semigrupo. Semigrupo: Sea A un conjunto y × una operación binaria en A. Se dice que el par (A, ×) es un semigrupo si la operación × es asociativa. Monoide: Si, en estas condiciones además existe un elemento e ∈ A tal que: ae = ea = a, Entonces, el par (A, ×) se llama un monoide. 6. × distribuye doblemente sobre *. En resumen, se puede decir que: (A, *, ×) es un anillo, si (A, *) es un grupo abeliano; (A, ×) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera. Como la operación * es aditiva y la operación × es multiplicativa, es común representarlas con los conocidos signos de suma (+) y producto (*); no obstante, en todos los casos deberá respetarse la definición que corresponde a cada operación. Con esta precisión debe quedar claro que (A, +, ×) representa una estructura algebraica, tal vez un anillo, y que la operación + y la operación × no representan la suma y el producto conocido, salvo que se exprese. 191


APÉNDICE

1

Estructuras algebraicas Con igual margen de tolerancia en la interpretación de este tema, debemos decir que el elemento neutro de la operación aditiva se representa con 0 (cero), mientras que el elemento neutro de la operación multiplicativa se representa con 1 (uno), sin que éstos sean necesariamente el 0 y el 1 conocidos. Si × es conmutativa, se tiene un anillo conmutativo. Pero, si × posee elemento neutro en A, se tiene un anillo con identidad o anillo con unidad. Si todo elemento de A distinto de cero es invertible en A, respecto de ×, entonces este recibe el nombre de anillo de división. Ejemplos: ■

(N, +, ×) con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en N no existe neutro para la adición.

(N0, +, ×) con las operaciones conocidas no es un anillo, pues N0 carece de inversos aditivos.

(Z, +, ×) con las operaciones conocidas, sí es un anillo conmutativo con unidad.

Definición de campo. Números racionales, números reales y números complejos, como ejemplos de campos con la adición y la multiplicación Los números reales constituyen un conjunto R con dos operaciones binarias, + y *; así, R(+, *) satisface los siguientes axiomas de campo. Axioma 1: Cerradura Si a y b están en R, entonces: a + b, y a * b son números determinados en forma única que también están en R. Axioma 2: Propiedad conmutativa (suma y multiplicación) Si a y b están en R, entonces: a + b = b + a, y a * b = b * a. Axioma 3: Propiedad asociativa (suma y multiplicación) Si a, b y c están en R, entonces: a + (b + c) = (a + b) + c, y a * (b * c) = (a * b) * c. Axioma 4: Propiedad distributiva Si a, b y c están en R, entonces a * (b + c) = ab + ac. Axioma 5: Existencia de elementos neutros R contiene dos números distintos 0 y 1, tales que a + 0 = a, y a * 1 = a, para a ∈ R. Axioma 6: Elementos inversos Si a está en R, entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0. Si a está en R, y a es diferente de 0, entonces existe un elemento 1/a en R tal que a * (1/a) = 1.

❚ Campo La terna ordenada (A, +, ×) es un campo o cuerpo. De esta forma, un campo se caracteriza por las siguientes estructuras: (A, +, ×) es un campo ⇔ 1. (A, +) es un grupo abeliano. 2. (A - {0}, ×) es un grupo abeliano. 3. × distribuye respecto de +. 192


Grupo Editorial Patria© Ejemplos: ■

(Z, +, ×) con las operaciones conocidas, no es campo; pues Z carece de inversos multiplicativos.

(Q, +, ×), (R, +, ×) y (C, +, ×) con las operaciones conocidas, sí son campos.

Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un campo K es un conjunto V, cuyos elementos se denominan vectores. El espacio vectorial está provisto de dos operaciones: una interna, que se denomina suma,y otra externa, que se denomina producto, las cuales cumplen ciertas propiedades. La operación externa multiplica un elemento del conjunto K por un elemento del conjunto V. Esta estructura suele representarse como la cuaterna ordenada (V, +, K, ×), o como la terna ordenada (K, V, + ); asimismo, también es muy usual la expresión sintetizada VK ×. Todas éstas se leen como: Espacio vectorial V sobre el campo K, o simplemente K –espacio vectorial. Las operaciones enunciadas deben cumplir las siguientes propiedades: 1. (V, +) es un grupo conmutativo. a)  + es asociativa. b)  + es conmutativa. c)  + tiene neutro. d)  + tiene inverso. 2. La operación externa asocia de la siguiente manera:

∀a, b ∈ K y ∀x ∈ A

a × (b × x) = (a × b) × x 3. La operación externa distribuye sobre la interna de la siguiente manera:

∀a ∈ K y ∀x, y ∈ A

a × (x + y) = (a × x) + (a × y) 4. La operación externa tiene elemento neutro. Ejemplos: ■

(Rn, +, R, ×) es un espacio vectorial con la suma y el producto conocidos.

Siendo Rn, con n ≥ 1, el conjunto de las n-tuplas de números reales.

(K(x), +, K, ×) es un espacio vectorial con la suma y el producto conocidos; siendo K un campo y K(x) el conjunto de los polinomios de una variable con coeficientes en K. (Rm × n, +, R, ×) en el espacio vectorial de la matrices de orden m × n en el campo de los reales, con la suma y el producto conocidos.

Isomorfismos y homomorfismos entre grupos y entre anillos. Propiedades elementales ❚ Morfismo u homomorfismo Se dice que una aplicación de conjuntos f : A → B es un morfismo de la estructura (A, *) en la estructura (B, ⊗) simplemente un morfismo de A en B, si se cumple que: ∀x, y ∈ A, f (x * y) = f (x) ⊗ f (y) 193


APÉNDICE

1

Estructuras algebraicas Por ejemplo, sean las estructuras (R, +) y (R+, ×) con las operaciones + y × usuales. La aplicación f: R → R+, definida por f (x) = 2x, es un morfismo de estas estructuras, ya que cumple que: f (x + y) = 2x + y = 2x × 2y = f (x) × f (y)

❚ Endomorfismo Se llama así a todo morfismo de A en A.

❚ Monomorfismo Se llama así a todo morfismo inyectivo.

❚ Epimorfismo Se llama así a todo morfismo sobreyectivo.

❚ Isomorfismo Se llama así a todo morfismo biyectivo.

❚ Automorfismo Se llama así a todo endomorfismo biyectivo. Ejemplos: Sean las estructuras (R3, +) y (R2 × 2, +) y la aplicación:  x f (x1, x2, x3 ) =  1  x 2

0   x 3 

Las operaciones consideradas son las de suma de ternas ordenadas de números reales y de suma de matrices. Entonces, como:  x +y 1 f ( x 1 + y 1, x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) =  1  x 2 + y 2

0 x3 + y 3

  x 1  =   x 2

0   y1  + x 3   y 2

0   y 3 

f ( x 1 + y 1, x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) = f ( x 1, x 2 , x 3 ) + f ( y 1, y 2 , y 3 ) Entonces, f es un morfismo. Además de que es inyectivo; es decir, es un monomorfismo, ya que ∀x ≠ y ∈ A. Entonces, se tiene que:  x f ( x 1, x 2 , x 3 ) =  1  x 2

194

 y 0  1  ≠ f ( y 1, y 2 , y 3 ) =   y 2 x 3 

0   y 3 


Grupo Editorial Patria©   Para probar que no es sobreyectivo, basta ver que, por ejemplo:  1 2  no es imagen de nada.  3 4  ■

-f : R → tal que f (x) = 5x un automorfismo respecto a la suma.

Es morfismo, ya que: f (x + y ) = f (x) + f (y) 5(x + y ) = 5x + 5y

 es inyectiva: ∀a ≠ b ⇒ f (a ) ≠ f (b ) ⇒ 5a ≠ 5b f es biyectiva  es sobreyectiva: ∀y ∈ R , ∃x ∈ R tal que f ( x ) = y ⇒ y 1 = 5a, y 2 = 5b,  ■

f : R → R tal que f (x) = x + 8; no es homomorfismo respecto a la adición.

Para ser morfismo debe cumplir que: f (x + y) = f (x) + f (y)

f (x + y) = x + y + 8

f (x) + f (y) = x + 8 + y + 8 = x + y + 16

Entonces: f (x + y) ≠ f (x) + f (y)

Referencias Grossman, Stanley I. (2008). Álgebra lineal, 6a. ed. McGraw-Hill: México. Larotonda, Ángel Rafael. (1973). Álgebra lineal y Geometría. Ed. Eudeba: México.

Direcciones electrÓnicas http://personales.ya.com/casanchi/mat/topologia.pdf http://www.mat.ucm.es/~arrondo/estructuras.pdf

195


APร‰NDICE

2

Formulario de matemรกticas


Grupo Editorial Patria©

Fórmulas básicas de álgebra a+b=b+a (a + b) + c = a + (b + c) a(b + c) = ab + ac a+c a c = + b b b a c ac ⋅ = b d bd ab = ba (ab)c = a(bc) a c ad + bc + = b d bd a c ad ÷ = b d bc Para ax2 + bx + c = 0   x =

−b ± b 2 + 4ac 2a

Exponentes y radicales am ⋅ an = am + n am = am − n an (am)n = am ⋅ n (a ⋅ b)n = an ⋅ bn n

 a an  b  = b n m

an =

n

am

a⋅b = a = b

a

⋅ b

a b

Fórmulas básicas de trigonometría

a a b 90° b c 197


APÉNDICE

2

Formulario de matemáticas sen b =

b a

cos b =

c a

tan b =

b sen β = c cos β

cosec b = sec b =

a 1 = b sen β

a 1 = c cos β

cotg b =

c 1 = b tan β

Valores de las funciones de ángulos importantes

198

β

30°

45°

60°

75°

90°

180°

270°

360°

sen β

0

0.500

0.707

0.866

0.966

1

0

-1

0

cos β

1

0.866

0.707

0.500

0.259

0

-1

0

1

tan β

0

0.577

1.000

1.732

3.732

0

0

cot β

1.732

1.000

0.577

0.268

0

0

β

sen

cos

0 rad

0

1

p rad 2

1

0

p rad

0

-1

3p rad — 2

-1

0

2 p rad

0

1

Algebra serie universitaria patria  
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