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Zeitgerüste, chronologische Abbildungen, chronologische Relatonen, (strikte) Reduktionsformen, Benotungsmaßstäbe, Expertisefunktionen, Reduktionen & Ereignistransformationen I. Albrecht1 1 Institut

für Algebra TU Dresden

28. April 2011


Vorwort

[13], Abbildung 5.8, Seite 115.


Vorwort

[13], Abbildung 8.33, Seite 205.


Abriss

Zur Zeitstruktur Zeitger端ste Gliederungen

Zur Musikstruktur Zu Interpretationen Zu Reduktionen


Abriss

Zur Zeitstruktur Zeitger端ste Gliederungen

Zur Musikstruktur Zu Interpretationen Zu Reduktionen


Zeitgerüst

Definition Ein Zeitgerüst ist ein Paar (T , χ), so dass I

T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger des Zeitgerüsts heißen.

I

χ ⊆ T × T eine binäre Relation auf T ist, genannt die Chronologie des Zeitgerüsts.

I

χ transitiv ist, d.h. ∀(x, y ), (y , z) ∈ χ : (x, z) ∈ χ

I

χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x, y ) ∈ χ : (y , x) ∈ /χ


Zeitgerüst

Definition Ein Zeitgerüst ist ein Paar (T , χ), so dass I

T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger des Zeitgerüsts heißen.

I

χ ⊆ T × T eine binäre Relation auf T ist, genannt die Chronologie des Zeitgerüsts.

I

χ transitiv ist, d.h. ∀(x, y ), (y , z) ∈ χ : (x, z) ∈ χ

I

χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x, y ) ∈ χ : (y , x) ∈ /χ


Zeitgerüst

Definition Ein Zeitgerüst ist ein Paar (T , χ), so dass I

T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger des Zeitgerüsts heißen.

I

χ ⊆ T × T eine binäre Relation auf T ist, genannt die Chronologie des Zeitgerüsts.

I

χ transitiv ist, d.h. ∀(x, y ), (y , z) ∈ χ : (x, z) ∈ χ

I

χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x, y ) ∈ χ : (y , x) ∈ /χ


Zeitgerüst

Definition Ein Zeitgerüst ist ein Paar (T , χ), so dass I

T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger des Zeitgerüsts heißen.

I

χ ⊆ T × T eine binäre Relation auf T ist, genannt die Chronologie des Zeitgerüsts.

I

χ transitiv ist, d.h. ∀(x, y ), (y , z) ∈ χ : (x, z) ∈ χ

I

χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x, y ) ∈ χ : (y , x) ∈ /χ


Zeitgerüst

Definition Ein Zeitgerüst ist ein Paar (T , χ), so dass I

T eine endliche Menge ist, deren Elemente Träger des Zeitgerüsts heißen.

I

χ ⊆ T × T eine binäre Relation auf T ist, genannt die Chronologie des Zeitgerüsts.

I

χ transitiv ist, d.h. ∀(x, y ), (y , z) ∈ χ : (x, z) ∈ χ

I

χ asymmetrisch ist, d.h. ∀(x, y ) ∈ χ : (y , x) ∈ /χ


Beispiel


Chronologische Abbildung

Definition Eine chronologische Abbildung zwischen Zeitgerüsten (T (1) , χ (1) ) und (T (2) , χ (2) ) ist eine Abbildung ϕ : T (1) → T (2) , so dass I

ϕ eine surjektive Abbildung ist

I

ϕ ist schwach-monoton, d.h. ∀(x (1) , y (1) ) ∈ χ (1) : (ϕ(x (1) ), ϕ(y (1) )) ∈ χ (2) ∨ ϕ(x (1) ) = ϕ(y (1) )

I

∀(x (2) , y (2) ) ∈ T (2) × T (2) : ϕ −1 (x (2) ) × ϕ −1 (y (2) ) ⊆ χ (1) ⇔ (x (2) , y (2) ) ∈ χ (2)


Chronologische Abbildung

Definition Eine chronologische Abbildung zwischen Zeitgerüsten (T (1) , χ (1) ) und (T (2) , χ (2) ) ist eine Abbildung ϕ : T (1) → T (2) , so dass I

ϕ eine surjektive Abbildung ist

I

ϕ ist schwach-monoton, d.h. ∀(x (1) , y (1) ) ∈ χ (1) : (ϕ(x (1) ), ϕ(y (1) )) ∈ χ (2) ∨ ϕ(x (1) ) = ϕ(y (1) )

I

∀(x (2) , y (2) ) ∈ T (2) × T (2) : ϕ −1 (x (2) ) × ϕ −1 (y (2) ) ⊆ χ (1) ⇔ (x (2) , y (2) ) ∈ χ (2)


Chronologische Abbildung

Definition Eine chronologische Abbildung zwischen Zeitgerüsten (T (1) , χ (1) ) und (T (2) , χ (2) ) ist eine Abbildung ϕ : T (1) → T (2) , so dass I

ϕ eine surjektive Abbildung ist

I

ϕ ist schwach-monoton, d.h. ∀(x (1) , y (1) ) ∈ χ (1) : (ϕ(x (1) ), ϕ(y (1) )) ∈ χ (2) ∨ ϕ(x (1) ) = ϕ(y (1) )

I

∀(x (2) , y (2) ) ∈ T (2) × T (2) : ϕ −1 (x (2) ) × ϕ −1 (y (2) ) ⊆ χ (1) ⇔ (x (2) , y (2) ) ∈ χ (2)


Chronologische Abbildung

Definition Eine chronologische Abbildung zwischen Zeitgerüsten (T (1) , χ (1) ) und (T (2) , χ (2) ) ist eine Abbildung ϕ : T (1) → T (2) , so dass I

ϕ eine surjektive Abbildung ist

I

ϕ ist schwach-monoton, d.h. ∀(x (1) , y (1) ) ∈ χ (1) : (ϕ(x (1) ), ϕ(y (1) )) ∈ χ (2) ∨ ϕ(x (1) ) = ϕ(y (1) )

I

∀(x (2) , y (2) ) ∈ T (2) × T (2) : ϕ −1 (x (2) ) × ϕ −1 (y (2) ) ⊆ χ (1) ⇔ (x (2) , y (2) ) ∈ χ (2)


Beispiel


Abriss

Zur Zeitstruktur Zeitger端ste Gliederungen

Zur Musikstruktur Zu Interpretationen Zu Reduktionen


Gliederung

Definition γ ⊆ 2T

(1)

heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1) , χ (1) ), falls es

I

ein Zeitgerüst (T (2) , χ (2) )

I

und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1) → T (2) gibt,

I

mit γ = eq(ker ϕ).


Gliederung

Definition γ ⊆ 2T

(1)

heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1) , χ (1) ), falls es

I

ein Zeitgerüst (T (2) , χ (2) )

I

und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1) → T (2) gibt,

I

mit γ = eq(ker ϕ).


Gliederung

Definition γ ⊆ 2T

(1)

heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1) , χ (1) ), falls es

I

ein Zeitgerüst (T (2) , χ (2) )

I

und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1) → T (2) gibt,

I

mit γ = eq(ker ϕ).


Gliederung

Definition γ ⊆ 2T

(1)

heißt γ Gliederung des Zeitgerüsts (T (1) , χ (1) ), falls es

I

ein Zeitgerüst (T (2) , χ (2) )

I

und eine chronologische Abbildung ϕ : T (1) → T (2) gibt,

I

mit γ = eq(ker ϕ).


Untergliedertes Zeitgerüst

Definition Ein Tripel (T , χ, γ) heißt untergliedertes Zeitgerüst, falls I

(T , χ) ein Zeitgerüst und

I

γ eine Gliederung des Zeitgerüsts (T , χ) ist


Untergliedertes Zeitgerüst

Definition Ein Tripel (T , χ, γ) heißt untergliedertes Zeitgerüst, falls I

(T , χ) ein Zeitgerüst und

I

γ eine Gliederung des Zeitgerüsts (T , χ) ist


Untergliedertes Zeitgerüst

Definition Ein Tripel (T , χ, γ) heißt untergliedertes Zeitgerüst, falls I

(T , χ) ein Zeitgerüst und

I

γ eine Gliederung des Zeitgerüsts (T , χ) ist


Chronologische Relation Definition Seien (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) untergliederte Zeitgerüste. Ein Paar (Φ, Ψ) heißt dann chronologische Relation zwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls I

Φ : γ (1) → γ (2) ist surjektiv.

I

Ψ : γ (1) → 2T

I

∀TG ∈ γ (1) : Ψ(TG ) ⊆ TG × Φ(TG ) ist binäre Relation.

I

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (1) : TG 1 × TG 2 ⊆ χ (1) ⇒ Φ(TG 1 ) =

(1) ×T (2)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

Φ(TG 2 ) ∨ Φ(TG 1 ) × Φ(TG 2 ) ⊆ χ (2) I

(2)

(2)

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (2) :

S −1 (2) S (2) Φ (TG 1 ) × Φ−1 (TG 2 ) ⊆ χ (1)

(2)

(2)

TG 1 × TG 2 ⊆ χ (2)


Chronologische Relation Definition Seien (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) untergliederte Zeitgerüste. Ein Paar (Φ, Ψ) heißt dann chronologische Relation zwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls I

Φ : γ (1) → γ (2) ist surjektiv.

I

Ψ : γ (1) → 2T

I

∀TG ∈ γ (1) : Ψ(TG ) ⊆ TG × Φ(TG ) ist binäre Relation.

I

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (1) : TG 1 × TG 2 ⊆ χ (1) ⇒ Φ(TG 1 ) =

(1) ×T (2)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

Φ(TG 2 ) ∨ Φ(TG 1 ) × Φ(TG 2 ) ⊆ χ (2) I

(2)

(2)

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (2) :

S −1 (2) S (2) Φ (TG 1 ) × Φ−1 (TG 2 ) ⊆ χ (1)

(2)

(2)

TG 1 × TG 2 ⊆ χ (2)


Chronologische Relation Definition Seien (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) untergliederte Zeitgerüste. Ein Paar (Φ, Ψ) heißt dann chronologische Relation zwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls I

Φ : γ (1) → γ (2) ist surjektiv.

I

Ψ : γ (1) → 2T

I

∀TG ∈ γ (1) : Ψ(TG ) ⊆ TG × Φ(TG ) ist binäre Relation.

I

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (1) : TG 1 × TG 2 ⊆ χ (1) ⇒ Φ(TG 1 ) =

(1) ×T (2)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

Φ(TG 2 ) ∨ Φ(TG 1 ) × Φ(TG 2 ) ⊆ χ (2) I

(2)

(2)

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (2) :

S −1 (2) S (2) Φ (TG 1 ) × Φ−1 (TG 2 ) ⊆ χ (1)

(2)

(2)

TG 1 × TG 2 ⊆ χ (2)


Chronologische Relation Definition Seien (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) untergliederte Zeitgerüste. Ein Paar (Φ, Ψ) heißt dann chronologische Relation zwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls I

Φ : γ (1) → γ (2) ist surjektiv.

I

Ψ : γ (1) → 2T

I

∀TG ∈ γ (1) : Ψ(TG ) ⊆ TG × Φ(TG ) ist binäre Relation.

I

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (1) : TG 1 × TG 2 ⊆ χ (1) ⇒ Φ(TG 1 ) =

(1) ×T (2)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

Φ(TG 2 ) ∨ Φ(TG 1 ) × Φ(TG 2 ) ⊆ χ (2) I

(2)

(2)

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (2) :

S −1 (2) S (2) Φ (TG 1 ) × Φ−1 (TG 2 ) ⊆ χ (1)

(2)

(2)

TG 1 × TG 2 ⊆ χ (2)


Chronologische Relation Definition Seien (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) untergliederte Zeitgerüste. Ein Paar (Φ, Ψ) heißt dann chronologische Relation zwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls I

Φ : γ (1) → γ (2) ist surjektiv.

I

Ψ : γ (1) → 2T

I

∀TG ∈ γ (1) : Ψ(TG ) ⊆ TG × Φ(TG ) ist binäre Relation.

I

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (1) : TG 1 × TG 2 ⊆ χ (1) ⇒ Φ(TG 1 ) =

(1) ×T (2)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

Φ(TG 2 ) ∨ Φ(TG 1 ) × Φ(TG 2 ) ⊆ χ (2) I

(2)

(2)

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (2) :

S −1 (2) S (2) Φ (TG 1 ) × Φ−1 (TG 2 ) ⊆ χ (1)

(2)

(2)

TG 1 × TG 2 ⊆ χ (2)


Chronologische Relation Definition Seien (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) untergliederte Zeitgerüste. Ein Paar (Φ, Ψ) heißt dann chronologische Relation zwischen untergliederten Zeitgerüsten, falls I

Φ : γ (1) → γ (2) ist surjektiv.

I

Ψ : γ (1) → 2T

I

∀TG ∈ γ (1) : Ψ(TG ) ⊆ TG × Φ(TG ) ist binäre Relation.

I

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (1) : TG 1 × TG 2 ⊆ χ (1) ⇒ Φ(TG 1 ) =

(1) ×T (2)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

Φ(TG 2 ) ∨ Φ(TG 1 ) × Φ(TG 2 ) ⊆ χ (2) I

(2)

(2)

∀TG 1 , TG 2 ∈ γ (2) :

S −1 (2) S (2) Φ (TG 1 ) × Φ−1 (TG 2 ) ⊆ χ (1)

(2)

(2)

TG 1 × TG 2 ⊆ χ (2)


Beispiel


Abriss

Zur Zeitstruktur Zeitger端ste Gliederungen

Zur Musikstruktur Zu Interpretationen Zu Reduktionen


Interpretationsform

Definition Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse. Ein Tripel (S, G , i) heißt dann Interpretationsform, falls I

S ∈ Ob(M ) eine Theorie musikalischer Ereignisse

I

G ∈ Ob(Z ) ein Zeitgerüst

I

i : Z (G ) → M(S) eine Abbildung von Mengen – genannt Beschriftung – ist.


Interpretationsform

Definition Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse. Ein Tripel (S, G , i) heißt dann Interpretationsform, falls I

S ∈ Ob(M ) eine Theorie musikalischer Ereignisse

I

G ∈ Ob(Z ) ein Zeitgerüst

I

i : Z (G ) → M(S) eine Abbildung von Mengen – genannt Beschriftung – ist.


Interpretationsform

Definition Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse. Ein Tripel (S, G , i) heißt dann Interpretationsform, falls I

S ∈ Ob(M ) eine Theorie musikalischer Ereignisse

I

G ∈ Ob(Z ) ein Zeitgerüst

I

i : Z (G ) → M(S) eine Abbildung von Mengen – genannt Beschriftung – ist.


Interpretationsform

Definition Sei M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse. Ein Tripel (S, G , i) heißt dann Interpretationsform, falls I

S ∈ Ob(M ) eine Theorie musikalischer Ereignisse

I

G ∈ Ob(Z ) ein Zeitgerüst

I

i : Z (G ) → M(S) eine Abbildung von Mengen – genannt Beschriftung – ist.


Beispiel

 86

let ring




Morphismen zw. Interpretationsformen

Definition Seien (S (1) , G (1) , i (1) ) und (S (2) , G (2) , i (2) ) Interpretationsformen mit G (1) = (T (1) , χ (1) ) und G (2) = (T (2) , χ (2) ). Ein Paar (σ , ϕ) heißt Morphismus zwischen Interpretationsformen, falls I

ϕ ∈ Z (G (1) , G (2) )

I

σ ∈ M (S (1) , S (2) )

I

im(i (1) )⊆ def(M(σ ))


Morphismen zw. Interpretationsformen

Definition Seien (S (1) , G (1) , i (1) ) und (S (2) , G (2) , i (2) ) Interpretationsformen mit G (1) = (T (1) , χ (1) ) und G (2) = (T (2) , χ (2) ). Ein Paar (σ , ϕ) heißt Morphismus zwischen Interpretationsformen, falls I

ϕ ∈ Z (G (1) , G (2) )

I

σ ∈ M (S (1) , S (2) )

I

im(i (1) )⊆ def(M(σ ))


Morphismen zw. Interpretationsformen

Definition Seien (S (1) , G (1) , i (1) ) und (S (2) , G (2) , i (2) ) Interpretationsformen mit G (1) = (T (1) , χ (1) ) und G (2) = (T (2) , χ (2) ). Ein Paar (σ , ϕ) heißt Morphismus zwischen Interpretationsformen, falls I

ϕ ∈ Z (G (1) , G (2) )

I

σ ∈ M (S (1) , S (2) )

I

im(i (1) )⊆ def(M(σ ))


Morphismen zw. Interpretationsformen

Definition Seien (S (1) , G (1) , i (1) ) und (S (2) , G (2) , i (2) ) Interpretationsformen mit G (1) = (T (1) , χ (1) ) und G (2) = (T (2) , χ (2) ). Ein Paar (σ , ϕ) heißt Morphismus zwischen Interpretationsformen, falls I

ϕ ∈ Z (G (1) , G (2) )

I

σ ∈ M (S (1) , S (2) )

I

im(i (1) )⊆ def(M(σ ))


Untergliederte Interpretationsform

Definition Ein Tupel (S, G , i, γ) heißt untergliederte Interpretationsform, falls I

(S, G , i) eine Interpretationsform ist

I

γ eine Gliederung des Zeitgerüsts G ist


Untergliederte Interpretationsform

Definition Ein Tupel (S, G , i, γ) heißt untergliederte Interpretationsform, falls I

(S, G , i) eine Interpretationsform ist

I

γ eine Gliederung des Zeitgerüsts G ist


Untergliederte Interpretationsform

Definition Ein Tupel (S, G , i, γ) heißt untergliederte Interpretationsform, falls I

(S, G , i) eine Interpretationsform ist

I

γ eine Gliederung des Zeitgerüsts G ist


Beispiel


Relation zw. untergliederten Interpretationsformen

Definition Das Paar (Φ, P) heißt Relation zwischen den untergliederten Interpretationsformen (S (1) , G (1) , i (1) , γ (1) ) und (S (2) , G (2) , i (2) , γ (2) ), falls I

(Φ, P) eine chronologische Relation zwischen (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) ist

I

(Φ, P) ist total, d.h. (1)

(1)

(1)

∀TG ∈ γ (1) ∀t (1) ∈ TG ∃t (2) ∈ Φ(TG ) : ∀t (2) ∈ T (2)

(1)

(1)

∃TG ∈ γ (1) , t (1) ∈ TG :

(1)

(t (1) , t (2) ) ∈ Ψ(TG ) (1)

(t (1) , t (2) ) ∈ Ψ(TG )


Relation zw. untergliederten Interpretationsformen

Definition Das Paar (Φ, P) heißt Relation zwischen den untergliederten Interpretationsformen (S (1) , G (1) , i (1) , γ (1) ) und (S (2) , G (2) , i (2) , γ (2) ), falls I

(Φ, P) eine chronologische Relation zwischen (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) ist

I

(Φ, P) ist total, d.h. (1)

(1)

(1)

∀TG ∈ γ (1) ∀t (1) ∈ TG ∃t (2) ∈ Φ(TG ) : ∀t (2) ∈ T (2)

(1)

(1)

∃TG ∈ γ (1) , t (1) ∈ TG :

(1)

(t (1) , t (2) ) ∈ Ψ(TG ) (1)

(t (1) , t (2) ) ∈ Ψ(TG )


Relation zw. untergliederten Interpretationsformen

Definition Das Paar (Φ, P) heißt Relation zwischen den untergliederten Interpretationsformen (S (1) , G (1) , i (1) , γ (1) ) und (S (2) , G (2) , i (2) , γ (2) ), falls I

(Φ, P) eine chronologische Relation zwischen (T (1) , χ (1) , γ (1) ) und (T (2) , χ (2) , γ (2) ) ist

I

(Φ, P) ist total, d.h. (1)

(1)

(1)

∀TG ∈ γ (1) ∀t (1) ∈ TG ∃t (2) ∈ Φ(TG ) : ∀t (2) ∈ T (2)

(1)

(1)

∃TG ∈ γ (1) , t (1) ∈ TG :

(1)

(t (1) , t (2) ) ∈ Ψ(TG ) (1)

(t (1) , t (2) ) ∈ Ψ(TG )


Beispiel


Abriss

Zur Zeitstruktur Zeitger端ste Gliederungen

Zur Musikstruktur Zu Interpretationen Zu Reduktionen


Strikte Reduktionsform

Definition Sei (S, G , i) eine Interpretationsform mit G = (T , χ) und n ∈ N. Eine strikte Reduktionsform von (S, G , i) ist ein n-Tupel (ρ (j) )1≤j≤n mit I

ρ (j) = (ϕ (j) , σ ) Morphismus zw. (S, G (j) , i (j) ) und (S, G (j+1) , i (j+1) ) (S, G (1) , i (1) ) = (S, G , i), G (j+1) = (T (j+1) , χ (j+1) ), σ = M (S)

I

ρj wählt dominierendes Ereignis aus, −1 ∀t (j+1) ∈ T (j+1) : ∃t (j) ∈ ϕ (j) (t (j+1) ) : i (j+1) (t (j+1) ) = i (j) (t (j) )


Strikte Reduktionsform

Definition Sei (S, G , i) eine Interpretationsform mit G = (T , χ) und n ∈ N. Eine strikte Reduktionsform von (S, G , i) ist ein n-Tupel (ρ (j) )1≤j≤n mit I

ρ (j) = (ϕ (j) , σ ) Morphismus zw. (S, G (j) , i (j) ) und (S, G (j+1) , i (j+1) ) (S, G (1) , i (1) ) = (S, G , i), G (j+1) = (T (j+1) , χ (j+1) ), σ = M (S)

I

ρj wählt dominierendes Ereignis aus, −1 ∀t (j+1) ∈ T (j+1) : ∃t (j) ∈ ϕ (j) (t (j+1) ) : i (j+1) (t (j+1) ) = i (j) (t (j) )


Strikte Reduktionsform

Definition Sei (S, G , i) eine Interpretationsform mit G = (T , χ) und n ∈ N. Eine strikte Reduktionsform von (S, G , i) ist ein n-Tupel (ρ (j) )1≤j≤n mit I

ρ (j) = (ϕ (j) , σ ) Morphismus zw. (S, G (j) , i (j) ) und (S, G (j+1) , i (j+1) ) (S, G (1) , i (1) ) = (S, G , i), G (j+1) = (T (j+1) , χ (j+1) ), σ = M (S)

I

ρj wählt dominierendes Ereignis aus, −1 ∀t (j+1) ∈ T (j+1) : ∃t (j) ∈ ϕ (j) (t (j+1) ) : i (j+1) (t (j+1) ) = i (j) (t (j) )


Relative Reduktionsform

Definition Sei (S, G , i) eine Interpretationsform mit G = (T , χ), γ eine Gliederung von G und n ∈ N. Eine relative Reduktionsform von (S, G , i) ist ein Tupel (R (j) )1≤j≤n mit I

(R (j) ) = (Φ(j) , P(j) ) ist eine Relation zwischen den untergliederten Interpretationsformen (S, G (j) , i (j) , γ (j) ) und (S, G (j+1) , i (j+1) , γ (j+1) ), mit (S, G (1) , i (1) , γ (1) ) = (S, G , i, γ).

I

#T (j+1) ≤ #T (j) mit T (1) = T .


Relative Reduktionsform

Definition Sei (S, G , i) eine Interpretationsform mit G = (T , χ), γ eine Gliederung von G und n ∈ N. Eine relative Reduktionsform von (S, G , i) ist ein Tupel (R (j) )1≤j≤n mit I

(R (j) ) = (Φ(j) , P(j) ) ist eine Relation zwischen den untergliederten Interpretationsformen (S, G (j) , i (j) , γ (j) ) und (S, G (j+1) , i (j+1) , γ (j+1) ), mit (S, G (1) , i (1) , γ (1) ) = (S, G , i, γ).

I

#T (j+1) ≤ #T (j) mit T (1) = T .


Relative Reduktionsform

Definition Sei (S, G , i) eine Interpretationsform mit G = (T , χ), γ eine Gliederung von G und n ∈ N. Eine relative Reduktionsform von (S, G , i) ist ein Tupel (R (j) )1≤j≤n mit I

(R (j) ) = (Φ(j) , P(j) ) ist eine Relation zwischen den untergliederten Interpretationsformen (S, G (j) , i (j) , γ (j) ) und (S, G (j+1) , i (j+1) , γ (j+1) ), mit (S, G (1) , i (1) , γ (1) ) = (S, G , i, γ).

I

#T (j+1) ≤ #T (j) mit T (1) = T .


Beispiel


Benotungsmaßstab

Definition Ein Tripel (N, 4, B) heißt Benotungsmaßstab, falls I

N eine Menge ist,

I

4 eine Ordnungsrelation über N ist

I

und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich (N, 4, B).


Benotungsmaßstab

Definition Ein Tripel (N, 4, B) heißt Benotungsmaßstab, falls I

N eine Menge ist,

I

4 eine Ordnungsrelation über N ist

I

und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich (N, 4, B).


Benotungsmaßstab

Definition Ein Tripel (N, 4, B) heißt Benotungsmaßstab, falls I

N eine Menge ist,

I

4 eine Ordnungsrelation über N ist

I

und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich (N, 4, B).


Benotungsmaßstab

Definition Ein Tripel (N, 4, B) heißt Benotungsmaßstab, falls I

N eine Menge ist,

I

4 eine Ordnungsrelation über N ist

I

und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich (N, 4, B).


Benotungsmaßstab

Definition Ein Tripel (N, 4, B) heißt Benotungsmaßstab, falls I

N eine Menge ist,

I

4 eine Ordnungsrelation über N ist

I

und B ⊆ N mit∀b ∈ B : ↑4 b ⊆ B

Die Elemente von B heißen gute Benotungen bezüglich (N, 4, B).


Expertisefunktion

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,

I

S ∈ Ob(M ) und

I

(N, 4, B) ein Benotungsmaßstab.

I

RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS , N) heißt dann Expertisefunktion zu S bezüglich (N, 4, B).


Expertisefunktion

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,

I

S ∈ Ob(M ) und

I

(N, 4, B) ein Benotungsmaßstab.

I

RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS , N) heißt dann Expertisefunktion zu S bezüglich (N, 4, B).


Expertisefunktion

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,

I

S ∈ Ob(M ) und

I

(N, 4, B) ein Benotungsmaßstab.

I

RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS , N) heißt dann Expertisefunktion zu S bezüglich (N, 4, B).


Expertisefunktion

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,

I

S ∈ Ob(M ) und

I

(N, 4, B) ein Benotungsmaßstab.

I

RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS , N) heißt dann Expertisefunktion zu S bezüglich (N, 4, B).


Expertisefunktion

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse,

I

S ∈ Ob(M ) und

I

(N, 4, B) ein Benotungsmaßstab.

I

RS die Menge aller relativen Reduktionsformen bezüglich S

Jede partielle Abbildung ξ ∈ PMSets(RS , N) heißt dann Expertisefunktion zu S bezüglich (N, 4, B).


Reduktion

Definition Sei I

ξ : RS ⊆ RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N, 4, B).s

I

Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform (R (j) )1≤j≤n ∈ RS , mit

I

ξ ((R (j) )1≤j≤n ) ∈ B


Reduktion

Definition Sei I

ξ : RS ⊆ RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N, 4, B).s

I

Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform (R (j) )1≤j≤n ∈ RS , mit

I

ξ ((R (j) )1≤j≤n ) ∈ B


Reduktion

Definition Sei I

ξ : RS ⊆ RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N, 4, B).s

I

Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform (R (j) )1≤j≤n ∈ RS , mit

I

ξ ((R (j) )1≤j≤n ) ∈ B


Reduktion

Definition Sei I

ξ : RS ⊆ RS → N eine Expertisefunktion bezüglich (N, 4, B).s

I

Eine Reduktion bezüglich ξ ist dann eine Reduktionsform (R (j) )1≤j≤n ∈ RS , mit

I

ξ ((R (j) )1≤j≤n ) ∈ B


Ereignistransformation

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse

I

S ∈ Ob(M ).

Dann heißt jede binäre Relation über M(S) Ereignistransformation bezüglich S.


Ereignistransformation

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse

I

S ∈ Ob(M ).

Dann heißt jede binäre Relation über M(S) Ereignistransformation bezüglich S.


Ereignistransformation

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse

I

S ∈ Ob(M ).

Dann heißt jede binäre Relation über M(S) Ereignistransformation bezüglich S.


Ereignistransformation

Definition Sei I

M : M → PMSets ein System von Theorien musikalischer Ereignisse

I

S ∈ Ob(M ).

Dann heißt jede binäre Relation über M(S) Ereignistransformation bezüglich S.


Literaturverzeichnis I Adámek, Jiří ; Herrlich, Horst ; Strecker, Georg E.: Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats. John Wiley and Sons, Inc, 1990. – PDF verfügbar unter: http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/ Adorno, Theodor W.: Über einige Relationen zwischen Musik und Malerei. In: Anmerkungen zur Zeit. Akademie der Künste, 1967 In: Bense, Elisabeth (Hrsg.) ; Eisenberg, Peter (Hrsg.) ; Haberland, Hartmut (Hrsg.): Beschreibungsmethoden des amerikanischen Strukturalismus. München: Hueber, 1976, S. 211–260


Literaturverzeichnis II

Bogart, Kenneth P.: An obvious proof of Fishburn’s interval order theorem. In: Discrete Mathematics 118 (1993), S. 239–242 Burmeister, Peter: Lecture Notes on Universal Algebra: Many-Sorted Partial Algebras (Fragment). Summer 2002. – Prof. Dr. rer.nat. Peter Burmeister Tel.: (x49-6151) 16-4686 (Sekretariat), Fax 16-3317 E-mail: burmeister@mathematik.tu-darmstadt.de Postadresse: Arbeitsgruppe 1, Fachbereich Mathematik, Technische Universität Darmstadt, Schloßgartenstraße 7, D-64289 Darmstadt.


Literaturverzeichnis III Bußmann, Hadumod: Lexikon der Sprachwissenschaft. 2., völlig neu bearbeitete Auflage. Stuttgart: Kröner, 1990 Fishburn, Peter C.: Intransitive Indifference with Unequal Indifference Intervals. In: Journal of Mathematical Psychology 7 (1970), S. 144–149 Gadamer, Hans-Georg: Die Aktualität des Schönen. Stuttgart : Phillip Reclam jun. GmbH & Co., 1977 Ganter, Bernhard ; Wille, Rudolf: Formale Begriffsanalyse. Springer, 1996. – ISBN 3-540-60868-0


Literaturverzeichnis IV Harris, Zellig S.: Discourse analysis. In: Language 28 (1952), S. 1–30 Kania, Andrew: The Philosophy of Music. In: Zalta, Edward N. (Hrsg.): The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Fall 2010. 2010 Le Poidevin, Robin: The Experience and Perception of Time. In: Zalta, Edward N. (Hrsg.): The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Winter 2009. 2009


Literaturverzeichnis V Lehrdahl, Fred ; Jackendoff, Ray: A Generative Theory of Tonal Music. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1983 Mazzola, Guerino ; Göller, Stefan ; Müller, Stefan: The topos of music: geometric logic of concepts, theory, and performance. Basel; Boston : Birkhauser Verlag, 2002. – – S. Pöppel, Ernst: Time Perception. In: al., Richard H. (Hrsg.): Handbook of Sensory Physiology, Vol. VIII: Perception. Berlin: Springer-Verlag, 1978


Literaturverzeichnis VI

Winkler, Jan T.: Algebraische Modellierung von Tonsystemen, Musiktheorie mit mathematischen Mitteln. M端hltal : Verl. Allgemeine Wissenschaft, 2009


Slides 28.4.2011