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€€‹ˆ’ˆ—…‘Š€Ÿ ƒ…ŽŒ…’ˆŸ (ª®­±¯¥ª² «¥ª¶¨© …. ‚. ’°®¨¶ª®£®, 1-© ª³°±, ¬ ²¥¬ ²¨ª¨, ®±¥­­¨© ±¥¬¥±²° 1999/2000 ³·.£®¤ )

Ž£« ¢«¥­¨¥

1. 2. 3. 4. 5.

‚¥ª²®°» ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ „¥«¥­¨¥ ®²°¥§ª  ¢ ¤ ­­®¬ ®²­®¸¥­¨¨ ‘ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ «®¹ ¤¼, ®¡º¥¬ ¨ ®°¨¥­² ¶¨¿ °¿¬»¥ ­  ¯«®±ª®±²¨

2 7 8 9 15

5.1. °¿¬ ¿ ­  ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ : : : : : : : : : : : 19 5.2. “£®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨ ­  ¯«®±ª®±²¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20

6. «®±ª®±²¨ ¨ ¯°¿¬»¥ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

«®±ª®±²¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : «®±ª®±²¼ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² : : : : : : °¿¬ ¿ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ¥ª®²®°»¥ ´®°¬³«» ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ²

: : : :

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: : : :

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: : : :

21 21 25 26 28

7. ‡ ¬¥­» ª®®°¤¨­ ²

28

8. ®«¿°­»¥, ±´¥°¨·¥±ª¨¥ ¨ ¶¨«¨­¤°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²» 9. ««¨¯±, £¨¯¥°¡®«  ¨ ¯ ° ¡®«  (ƒ)

32 34

7.1. °¿¬®³£®«¼­»¥ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¨ ®°²®£®­ «¼­»¥ ¬ ²°¨¶» : : : : : 30 7.2. “£«» ©«¥°  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31

9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ƒ : : : : : : : : : : ƒ ª ª ª®­¨·¥±ª¨¥ ±¥·¥­¨¿ : : : : : : : : : : : : : Ž¯²¨·¥±ª¨¥ (´®ª «¼­»¥) ±¢®©±²¢  ª®­¨ª : : : : : : €­ «¨²¨·¥±ª¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ª®­¨ª : : : : : : : : : „¨°¥ª²®°¨ «¼­»¥ ±¢®©±²¢  ª®­¨ª : : : : : : : : : : ”®ª «¼­»© ¯ ° ¬¥²°. ®«¿°­»¥ ³° ¢­¥­¨¿ ª®­¨ª

10.Ž¡¹ ¿ ²¥®°¨¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

: : : : : :

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10.1. Š ­®­¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10.2. ˆ­¢ °¨ ­²» ¬­®£®·«¥­  ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨ : : : : : : : : : 10.3. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª ­®­¨·¥±ª®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¯® ¨­¢ °¨ ­² ¬ 10.4.  ±¯ ¤ ¾¹¨¥±¿ ª°¨¢»¥ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

: : : : : :

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: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

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: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

: : : : : : : : : :

34 35 38 40 45 46

48 48 52 55 58


10.5. ’¥®°¥¬» ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¤«¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  : : : : : : : : : : 59 10.6. ’¥®°¥¬   ±ª «¿. \®±²°®¥­¨¥" ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¯® ¯¿²¨ § ¤ ­­»¬ ²®·ª ¬. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61

11.¥°¥±¥·¥­¨¥ ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ± ¯°¿¬®© 11.1.  µ®¦¤¥­¨¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨© : 11.2. „¨ ¬¥²°» ¨ ¶¥­²°» ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  11.3. ‘®¯°¿¦¥­­»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ : : : : 11.4. ƒ« ¢­»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¨ ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ : : : : :

: : : :

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: : : :

: : : :

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: : : :

: : : :

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: : : :

: : : :

63 65 67 70 72

12.‚¨¤ ¨ ° ±¯®«®¦¥­¨¥ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  13.Š ± ²¥«¼­»¥ ª ª°¨¢»¬ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

74 77

14.€´´¨­­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿

82

15.€´´¨­­ ¿ ¨ ¬¥²°¨·¥±ª ¿ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¿ ª¢ ¤°¨ª 16.®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

89 91

13.1. ®«¿°  ²®·ª¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ª®­¨ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 79 14.1. ˆ§®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84

16.1. Ž±­®¢­»¥ ¢¨¤» ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¨ ¨µ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ±¢®©±²¢  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96 16.2. Ž¡¹ ¿ ²¥®°¨¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  : : : : : : : : : : : : : : : 104 16.3. €´´¨­­ ¿ ¨ ¬¥²°¨·¥±ª ¿ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 108

17.«¥¬¥­²» ¯°®¥ª²¨¢­®© £¥®¬¥²°¨¨

17.1. ®¯®«­¥­¨¥ ¯«®±ª®±²¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17.2. ‘¢¿§ª  ª ª ¬®¤¥«¼ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ : : : : : : 17.3. °®¥ª²¨¢­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ : : : : : : : : : : : : : 17.4. °®¥ª²¨¢­®- ´´¨­­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ : : : : : : : : 17.5. °®¥ª²¨¢­ ¿ ¯°¿¬ ¿ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17.6. Š°¨¢»¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ­  ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

109 109 110 113 114 114 117

1. ‚¥ª²®°» ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥

‡ ¬¥· ­¨¥ 1.1. ‘«¥¤³¥¬ ­ £«¿¤­®-£¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬, ¢®§¬®¦¥­  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¯®¤µ®¤. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.2. ‡ ª°¥¯«¥­­»© ¢¥ª²®° | ­ ¯° ¢«¥­­»© ®²°¥§®ª, ². ¥. ³¯®°¿¤®·¥­­ ¿ ¯ °  ²®·¥ª. ³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¢¥ª²®°» ,! AB; ,! CD; : : : ,! Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.3. ‚¥ª²®° AA ­ §»¢ ¥²±¿ ­³«¥¢»¬ ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ 0A . 2


Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.4.

„«¨­  ¢¥ª²®° 

| ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ¥£® ª®­¶ ¬¨:

j,! ABj := (A; B ):

‚ · ±²­®±²¨, ¤«¨­  ¢¥ª²®°  ° ¢­  ­³«¾ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­ ­³«¥¢®©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.5. ‡ ª°¥¯«¥­­»¥ ¢¥ª²®°» ª®««¨­¥ °­», ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¿¬ ¿, ª®²®°®© ®­¨ ¯ ° ««¥«¼­». ³«¥¢®© ¢¥ª²®° ±·¨² ¥²±¿ ¯ ° ««¥«¼­»¬,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ ª®««¨­¥ °­»¬ «¾¡®¬³ ¢¥ª²®°³. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.6. ‡ ª°¥¯«¥­­»¥ ¢¥ª²®°» ª®¬¯« ­ °­», ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯«®±ª®±²¼, ª®²®°®© ®­¨ ¯ ° ««¥«¼­». Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.7. ‡ ª°¥¯«¥­­»¥ ¢¥ª²®°» ° ¢­», ¥±«¨ ®­¨ ª®««¨­¥ °­», ®¤¨­ ª®¢® ­ ¯° ¢«¥­» ¨ ° ¢­» ¯® ¤«¨­¥. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.8.  ¯®¬­¨¬, ·²® ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ M ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¯ ° S (². ¥. S  M M ), ¯°¨·¥¬ ¢»¯®«­¥­»  ª±¨®¬» (³±«®¢¨¥ (m; n) 2 S ®¡»·­® § ¯¨±»¢¥²±¿ ª ª m  n):  m  m (²®¦¤¥±²¢ )  ¨§ m  n ±«¥¤³¥² n  m (±¨¬¬¥²°¨·­®±²¨)  ¨§ m  n ¨ n  k ±«¥¤³¥² m  k (²° ­§¨²¨¢­®±²¨) ¤«¿ «¾¡»µ m; n; k 2 M . ‚ ½²®© ±¨²³ ¶¨¨ M ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ­  ­¥¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¬­®¦¥±²¢ , ±®±²®¿¹¨¥ ¨§ ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢, ½ª¢¨¢ «¥­²­»µ ®¤­®¬³. ²¨ ¬­®¦¥±²¢  ­ §»¢ ¾²±¿ ª« ±± ¬¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨. Š« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨, ±®¤¥°¦ ¹¨© m 2 M , ®¡®§­ · ¥²±¿ [m].

‹¥¬¬  1.9.

 ¢¥­±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ § -

ª°¥¯«¥­­»µ ¢¥ª²®°®¢.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž·¥¢¨¤­®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.10.

‚¥ª²®°®¬

2

(¨«¨

±¢®¡®¤­»¬ ¢¥ª²®°®¬

) ­ §»¢ ¥²±¿ ±®®²¢¥²-

±²¢³¾¹¨© ª« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨. ³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¢¥ª²®°» ,! AB; ,! CD; : : : (µ®²¿ ¯° ¢¨«¼­¥¥ [,! AB]; [,! CD]; : : :) ¨«¨ a; b; : : :,   ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±«  | ; ; ; ; : : : ®­¿²¨¿ ª®««¨­¥ °­®±²¨ ¨ ª®¬¯« ­ °­®±²¨ ¯¥°¥­®±¿²±¿ ­  (±¢®¡®¤­»¥) ¢¥ª²®°».

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.11. 1)

‘«®¦¥­¨¥

‹¨­¥©­»¥ ®¯¥° ¶¨¨ ­ ¤ ¢¥ª²®° ¬¨ :

¯® ¯° ¢¨«³ ²°¥³£®«¼­¨ª : 6 @

@

@

@

R @ : 

   

 

 

b

a

a+b

3


2)

“¬­®¦¥­¨¥

¢¥ª²®°  ­  ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®:  , ,

, ,

 , , ,

b = a

, ,

a

¯® ¯° ¢¨«³: 1) b ª®««¨­¥ °¥­ a; 2) jbj = jj  jaj; 3) b ±®­ ¯° ¢«¥­ ± a, ¥±«¨  > 0, ¨ ¯°®²¨¢®­ ¯° ¢«¥­, ¥±«¨  < 0. ²¨ ®¯¥° ¶¨¨ ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­» ­  ¬­®¦¥±²¢¥ (±¢®¡®¤­»µ) ¢¥ª²®°®¢.

‘¢®©±²¢  «¨­¥©­»µ ®¯¥° ¶¨© ­ ¤ ¢¥ª²®° ¬¨ :

1. a + b = b + a (ª®¬¬³² ²¨¢­®±²¼ ±«®¦¥­¨¿ = ¯° ¢¨«® ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ); 2. a + (b + c) = (a + b) + c ( ±±®¶¨ ²¨¢­®±²¼ ±«®¦¥­¨¿ = ¯° ¢¨«® ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª ); 3. a + 0 = a (±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ­³«¥¢®£® ¢¥ª²®°  = [0A]); 4. a + (,1)  a = 0 (±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ®¡° ²­®£®); 5. ( )a = ( a) ( ±±®¶¨ ²¨¢­®±²¼); ) 6: ( + )a = a + a (¤¨±²°¨¡³²¨¢­®±²¼); 7: (a + b) = a + b 8. 1  a = a (¥¤¨­¨¶ ). Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.12. Œ­®¦¥±²¢® ± ®¯¥° ¶¨¥© ±«®¦¥­¨¿ ¨ ®¯¥° ¶¨¥© ³¬­®¦¥­¨¿ ­  ·¨±« , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬¨ ½²¨¬  ª±¨®¬ ¬, ­ §»¢ ¥²±¿ «¨­¥©­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥ ®±­®¢­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¯°® ®¯¥° ¶¨¨ ­ ¤ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ ¬®£³² ¡»²¼ ¢»¢¥¤¥­» ¨§ ½²¨µ  ª±¨®¬, ¡¥§ ¯°¨¢«¥·¥­¨¿ ª®­ª°¥²­®£® ®¯¨± ­¨¿ ®¯¥° ¶¨© (­®, ­ ¯°¨¬¥°, ½²® ­¥ ®²­®±¨²±¿ ª ¤«¨­ ¬ ¨ ². ¯.). ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥  ª±¨®¬» ®¡° §³¾² ¯®«­³¾ ±¨±²¥¬³. ®«¥¥ ²®£®, ®­  ¨§«¨¸­¥ ¯®«­  (·²® ¬®¦­® ¢»¡°®±¨²¼ ?). Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.13. ‹¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¢¥ª²®°®¢ a ; : : :; an ± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ ; : : :; n 2 R ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®° ¢¨¤  a + : : : + n an. …±«¨ ¢±¥ i ° ¢­» ­³«¾, ²® «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ²°¨¢¨ «¼­®©,   ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ | ­¥²°¨1

1

1 1

¢¨ «¼­®©.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.14. ‚¥ª²®°» a ; : : :; an

«¨­¥©­® § ¢¨±¨¬», ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¨µ ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿, ° ¢­ ¿ ­³«¾, ². ¥. ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ·¨±«  ; : : :; n , ­¥ ¢±¥ ° ¢­»¥ ­³«¾, ·²® a + : : : + n an = 0. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¢¥ª²®°» «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬», ². ¥. ¨§ ° ¢¥­±²¢  a + : : : + nan = 0 ¢±¥£¤  ±«¥¤³¥² = = : : : = n = 0. 1

1

1 1

1 1

1

2

4


‹¥¬¬  1.15.

‘¨±²¥¬  ¢¥²®°®¢ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬  ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

®¤¨­ ¨§ ­¨µ ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ®±² «¼­»µ.

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

³±²¼ ¨¬¥¥²±¿ ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ¢¥ª²®°®¢, ° ¢­ ¿ ­³«¾: a + : : : + n an = 0. Ž¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢, ±ª ¦¥¬, i, ­¥ ° ¢¥­ ­³«¾. ’®£¤          ai = ,  a + : : : + , i,  ai, + , i  ai + : : : + , n  an: i i i i „®±² ²®·­®±²¼. ³±²¼ ai = a + : : : + i, ai, + i ai + : : : nan. ’®£¤  (,1)ai + a + : : : + i, ai, + i ai + : : : nan = 0 | ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ (¯¥°¢»© ª®½´´¨¶¨¥­² | ­¥­³«¥¢®©) «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿, ° ¢­ ¿ ­³«¾. 2 ‹¥¬¬  1.16. ³±²¼ a ; : : :; ak | «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬  ¢¥ª²®°®¢. ’®£¤  a ; : : : ; ak ; ak ; : : : ; an | «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬ ¿ ±¨±²¥¬ , ª ª®¢» ¡» ­¥ ¡»«¨ ¢¥ª²®°» ak ; : : :; an. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. 1 1

1

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1

+1

1

1 1

1 1

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+1

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+1

+1

+1

+1

1

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+1

+1

„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ a + : : : k ak = 0 | ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿, ²® a + : : : k ak + 0  ak + : : : + 0  an = 0 ² ª¦¥ ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿. 2 ‹¥¬¬  1.17. 1 1

1 1

+1

1) „¢  ¢¥ª²®°  «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

®­¨ ª®««¨­¥ °­». 2) ’°¨ ¢¥ª²®°  «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­¨ ª®¬¯« ­ °­». 3) —¥²»°¥ ¢¥ª²®°  ¢±¥£¤  «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬».

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¯¥° ¶¨¨ ³¬­®¦¥­¨¿ ­  ·¨±«®.

2. ® «¥¬¬¥ 1.15 ¨§ «¨­¥©­®© § ¢¨±¨¬®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® c = a + b, ². ¥. c ª®¬¯« ­ °¥­ a ¨ b. Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ a ¨ b ª®««¨­¥ °­», ²®£¤  ®­¨ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» ¨ ¯® «¥¬¬¥ 1.16 a; b; c «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬». …±«¨ ¦¥ a ¨ b ­¥ª®««¨­¥ °­», ²® c ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ c = a + b, \¤®±²°®¨¢ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬". 3. …±«¨ ª ª¨¥-«¨¡® 3 ¢¥ª²®°  ª®¬¯« ­ °­», ²® ®­¨ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ¯³­ª²³,   ¯® «¥¬¬¥ 1.16 § ¢¨±¨¬» ¢±¥ 4. …±«¨ ¦¥ ² ª¨µ 3 ¢¥ª²®°®¢ ±°¥¤¨ a; b; c; d ­¥², ²® ¯ °» a ¨ b, c ¨ d ­¥ª®««¨­¥ °­»,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¿¾² (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯ ° ««¥«¼­®£® ¯¥°¥­®± ) ¤¢¥ ¯«®±ª®±²¨, ª®²®°»¥ ­¥ ¯ ° ««¥«¼­» (¨­ ·¥ ¢±¥ 4 ¡»«¨ ¡» ª®¬¯« ­ °­»). ’®£¤  ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° f ¯°¿¬®© ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ° ±ª« ¤»¢ ¥²±¿, ± ®¤­®© ±²®°®­», ¢ «¨­¥©­³¾ ª®¬¡¨­ ¶¨¾ a ¨ b,   ± ¤°³£®© | c ¨ d (±°. ± ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ¯. 2): a + b = f = c + d: 5


…±«¨ ¯°¨ ½²®¬ ®¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢, ±ª ¦¥¬, , ° ¢¥­ 0, ²® b; c; d ª®¬¯« ­ °­», ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,

a + b , c , d = 0

2

| ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.18. ­  ¯°¿¬®© (±®®²¢., ­  ¯«®±ª®±²¨, ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥) ­ §»¢ ¥²±¿ ³¯®°¿¤®·¥­­»© ­ ¡®° ¨§ 1 (±®®²¢., 2, 3) «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1.19. „«¿ ¯°¿¬®© ½²® ®§­ · ¥², ·²® ¢¥ª²®° ­¥­³«¥¢®©. ’¥®°¥¬  1.20.  §¨±®¬

‚±¿ª¨© ¢¥ª²®° ¯°®±²° ­±²¢  (±®®²¢., ¯«®±ª®±²¨, ¯°¿¬®©) ®¤­®-

§­ ·­® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¨ ¢¥ª²®°®¢ ¤ ­­®£® ¡ §¨± .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®ª ¦¥¬ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ª®¬¡¨­ ¶¨¨. ³±²¼ e ; e ; e | ¤ ­­»© 1

2

3

¡ §¨±,   a | ¯°®¨§¢®«¼­»© ¢¥ª²®°. ® «¥¬¬¥ 1.17 (¯. 3) ¢¥ª²®°» a; e ; e ; e «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬», ² ª ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ a+ e + e + e = 0. ³±²¼ = 0. ’®£¤  e + e + e = 0 | ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² «¨­¥©­®© ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ¢¥ª²®°®¢ ¡ §¨± . ‡­ ·¨², 6= 0 ¨ ¨±ª®¬ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿       a= , e + , e + , e : „®ª ¦¥¬ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼. ³±²¼ ¨¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ° §«¨·­»¥ ²°®©ª¨: ; ; ¨

; ; , ¯°¨·¥¬ 1

2

3

1 1

3 3

1 1

1

2 2

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2

1

3

2

3

1

1

2

2 2

2

3

3

a= e + e + e = e + e + e : 1 1

2 2

3 3

1 1

2 2

3 3

’®£¤  0 = ( , )e + ( , )e + ( , )e | ­¥²°¨¢¨ «¼­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² «¨­¥©­®© ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ¡ §¨± . €­ «®£¨·­® ¤«¿ ¯°¿¬®© ¨ ¯«®±ª®±²¨. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.21. Š®®°¤¨­ ² ¬¨ (¨«¨ ª®¬¯®­¥­² ¬¨ ) ¢¥ª²®°  a ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨±  e ; e ; e ­ §»¢ ¾²±¿ ² ª¨¥ (®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¥­­»¥) ·¨±«  ; ; , ·²® a = e + e + e . ³¤¥¬ § ¯¨±»¢ ²¼ ² ª¦¥ a( ; ; ). 1

1

2

1 1

1

1

2

2

2

3

3

3

3

1

2 2

‹¥¬¬  1.22.

3 3

1

2

2

3

3

Š®®°¤¨­ ²» ±³¬¬» ¢¥ª²®°®¢ ° ¢­» ±³¬¬¥ ª®®°¤¨­ ². Š®®°¤¨­ ²»

a ° ¢­»  ;  ;  (¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿). 1

2

3

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ a = e + e + e , b = e + e + e . ® ±¢®©±²¢ ¬ 1 1

1, 2, 5, 6, 7:

2 2

3 3

1 1

2 2

3 3

a + b = ( e + e + e ) + ( e + e + e ) = = e + e + e + e + e + e = ( + )e + ( + )e + ( + )e ; a = ( e + e + e ) = ( e ) + ( e ) + ( e ) = ( )e + ( )e + ( )e : 2 1 1

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

3 3

2 2

3 3

1 1

3 3

3 3

2 2

6

1 1

1

2 2

1

3 3

1

3 3

2

1

2

1

2

3

2

2

3

3

3

3


Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.23.

¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ § ¤ ¥²±¿ ¢»¡®°®¬ °¥¯¥°  | ¯°®¨§¢®«¼­®© ²®·ª¨ O ¨ ¡ §¨±  e ; e ; e . Š®®°¤¨­ ²» ²®·ª¨ X ®²­®±¨²¥«¼­® °¥¯¥°  Oe e e ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ª ª ª®®°¤¨,! ¢ ¡ §¨±¥ e ; e ; e : ­ ²» ¢¥ª²®°  , OX ,OX ,! = x e + x e + x e (¨µ ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ « ²¨­±ª¨¬¨ ¡³ª¢ ¬¨). ‡ ¯¨±»¢ ¥¬ X (x ; x ; x ). ‹¥¬¬  1.24. ³±²¼ X (x ; x ; x ) ¨ Y (y ; y ; y ) | ª®®°¤¨­ ²» ¤¢³µ ²®·¥ª. ’®£¤  ,,! ª®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®°  XY ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨± , ¢µ®¤¿¹¥£® ¢ ¤ ­­³¾  ´´¨­­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ° ¢­» (y , x ; y , x ; y , x ). €´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² 1

2

3

1 2 3

1

2

3

1 1

2 2

3 3

1

1

2

3

1

1

1

2

2

3

2

2

3

3

3

,!(x ; x ; x ) ¨ „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾  ´´¨­­®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ,OX ,! ,! = ,! ,!. ® «¥¬¬¥ 1.22 ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬»© °¥§³«¼² ². OY (y ; y ; y ),   , XY OY , , OX 1

1

2

2

2

3

3

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.25.  §¨± ­ §»¢ ¥²±¿

¥±«¨ ¢¥ª²®°» e ; e ; e ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­». …±«¨ ®­¨ ª ²®¬³ ¦¥ ¥¤¨­¨·­®© ¤«¨­», ²® ¡ §¨± ­ §»¢ ¥²±¿ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»¬. €´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¿¬®³£®«¼­®©, ¥±«¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ¡ §¨± ®°²®­®°¬¨°®¢ ­. ®°²®£®­ «¼­»¬,

1

2

3

2. „¥«¥­¨¥ ®²°¥§ª  ¢ ¤ ­­®¬ ®²­®¸¥­¨¨

³±²¼ § ¤ ­» ¤¢¥ ²®·ª¨ A ¨ B ±¢®¨¬¨  ´´¨­­»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ (a ; a ; a ) ¨ (b ; b ; b ) (¢ ­¥ª®²®°®¬ °¥¯¥°¥) ¨ ®²­®¸¥­¨¥  .  ©¤¥¬  ´´¨­­»¥ ª®®°¤¨­ ²» AX j =  , ². ¥. ¤¥«¿¹¥© ®²°¥§®ª ¢ ¤ ­­®¬ (x ; x ; x ) ² ª®© ²®·ª¨ X ®²°¥§ª  AB , ·²® jjXB j  ®²­®¸¥­¨¨. ,! ¢ ¤ ­­®¬ ¡ §¨±¥ ¯® «¥¬¬¥ 1.24 ° ¢­», ±®®²¢¥²Š®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®°®¢ ,! AX ¨ , XB ±²¢¥­­®, (x , a ; x , a ; x , a ) ¨ (b , x ; b , x ; b , x ). ® «¥¬¬¥ 1.22 ³±«®¢¨¥ ®²­®¸¥­¨¿ (¯®±ª®«¼ª³ ¢¥ª²®°» ±®­ ¯° ¢«¥­») ¯¥°¥©¤¥² ¢ ±®¢®ª³¯­®±²¼ ³±«®¢¨©: (x , a ) = (b , x ); (x , a ) = (b , x ); (x , a ) = (b , x ); ¨¬¥¾¹¨µ ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¸¥­¨¥ + bi ; xi = ai + i = 1; 2; 3:  ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¨ ®²°¨¶ ²¥«¼­»¥  ¨«¨ , ² ª ·²® ³±«®¢¨¥ ¤¥«¥­¨¿ ¢ ½²®© ®¡¹¥© ´®°¬¥ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤ ,! ,! AX = , XB: ”®°¬³«» ®²¢¥²  ¡³¤³², ª®­¥·­®, ²¥¬¨ ¦¥, ·²® ¨ ¢»¸¥. 1

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

7

3

2

3


3. ‘ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 3.1.

‘ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¤¢³µ (­¥­³«¥¢»µ) ¢¥ª²®°®¢ ­ §»¢ ¥²±¿ ·¨±«®, ° ¢­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¤«¨­ ½²¨µ ¢¥ª²®°®¢ ­  ª®±¨­³± ³£«  ¬¥¦¤³ ­¨¬¨: ha; bi := jaj  jbj  cos a;db: …±«¨ ®¤¨­ ¨§ ¢¥ª²®°®¢ ­³«¥¢®©, ²® ¯®«®¦¨¬ ha; bi := 0. ‹¥¬¬  3.2. ³±²¼ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥ e ; e ; e ¢¥ª²®° a ¨¬¥¥² ª®®°¤¨­ ²» a ; a ; a . ’®£¤  ai = ha; eii; i = 1; 2; 3: „®ª § ²¥«¼±²¢®. Š®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®°  ¬®£³² ¡»²¼ ­ ©¤¥­» ¯³²¥¬ ¯°®¥ª¶¨© ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤¥ (². ª. ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ¤®ª § ­ ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ai = jaj  cos a;dei = jaj  jeij  cos a;dei = ha; eii: 2 1

1

’¥®°¥¬  3.3.

2

2

3

3

‘ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨, ®¯°¥¤¥-

«¿¾¹¨¬¨ ¥£® ®¤­®§­ ·­®: 1) 2) 3) 4)

ha; bi = hb; ai ha + b; ci = ha; ci + hb; ci ha; bi =  ha; bi ha; ai = jaj  0

(±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼); ;

(2)+3) = «¨­¥©­®±²¼ ¯® ¯¥°¢®¬³  °£³¬¥­²³);

2

, ¢ · ±²­®±²¨,

ha; ai = 0 , a = 0

(¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼ ¨

±¢¿§¼ ± ¤«¨­®©).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³­ª²» 1, 3 ¨ 4 ®·¥¢¨¤­». …±«¨ c = 0, ²® ¯. 2 ¢»¯®«­¿¥²±¿. …±«¨ ¦¥ c = 6 0, ²® ¬®¦­® ¯³²¥¬ ¤¥«¥­¨¿ ­  jcj ² ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¯¯. 1 ¨ 3 ±¢¥±²¨ ª ±«³· ¾ jcj = 1. ‚ ½²®© ±¨²³ ¶¨¨ ° ±±¬®²°¨¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± e = c; e ; e . ’®£¤  1

2

3

±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±ª «¿°­»¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾² ± ¯¥°¢»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨: ha; ci = ha; e i = a ; hb; ci = hb; e i = b : ®±ª®«¼ª³ ª®®°¤¨­ ²» ±³¬¬» ° ¢­» ±³¬¬¥ ª®®°¤¨­ ², ²® ha + b; ci = a + b = ha; ci + hb; ci: ®ª ¦¥¬, ·²® ±¢®©±²¢  1-4 ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¾² §­ ·¥­¨¿ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. ‘¢®©±²¢® 4 ®¯°¥¤¥«¿¥² ha; ai. ‚ ±¨«³ ¯¯. 1 ¨ 4 ¨¬¥¥¬ ha + b; a + bi = ha; ai + ha; bi + hb; ai + hb; bi = 2ha; bi + ha; ai + hb; bi; ha; bi = 21  fha; ai + hb; bi , ha + b; a + big : 2 1

1

1

1

1

8

1


’¥®°¥¬  3.4.

‚ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¡ §¨±¥

¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤

e ;e ;e 1

2

3 ±ª «¿°­®¥ ¯°®-

ha; bi = a b + a b + a b : 1 1

2 2

3 3

„®ª § ²¥«¼±²¢®. X 3

ha; bi = ha e + a e + a e ; bi = haiei; bi = 2)

1 1

=

X 3

i=1

2 2

3 3

i=1

aihb e + b e + b e ; eii = =;

2 3)

1 1

‘«¥¤±²¢¨¥ 3.5.

2 2

3)

3 3

X 3

i;j =1

X 3

i=1

X 3

aihei; bi = 1)

i=1

aihb; eii =

aibj hei; ej i = a b + a b + a b : 1 1

2 2

2

3 3

‚ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³£®« ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®° ¬¨ ®¯°¥-

¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©

ha; bi = jaha;j  bjibj = q a b + a bq+ a b : a +a +a  b +b +b 1 1

2 1

2 2

2 2

3 3

2 3

2 1

2 2

2 3

4. «®¹ ¤¼, ®¡º¥¬ ¨ ®°¨¥­² ¶¨¿

‚»·¨±«¨¬ ¯«®¹ ¤¼ S ¯ ° ««¥«®£° ¬¬  (a; b), ­ ²¿­³²®£® ­  ¢¥ª²®°  a ¨ b ­  ¯«®±ª®±²¨. ³±²¼ § ¤ ­ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± e ; e ¯«®±ª®±²¨, ² ª ·²® a = (a ; a ), b = (b ; b ). ’®£¤  (¥±«¨ ³£®« ¬¥¦¤³ a ¨ b ° ¢¥­ ') v u q u S = jaj  jbj  sin ' = jaj  jbj  1 , cos ' = jaj  jbj  t1 , (a (a+ ba )+ a(bb +) b ) = q q = (a + a )  (b + b ) , (a b + a b ) = (a b ) + (a b ) , 2a b a b = ja b , a b j:  ¯®¬­¨¬, ! ·²® ¢»° ¦¥­¨¥ a b , a b ­ §»¢ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ det ¬ ²°¨¶» a a . b b Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.1. Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­®© ¯«®¹ ¤¼¾ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬  ! (a; b) ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨±  e ; e ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥«¨·¨­  Sor (a; b) = det ab ab . …¥  ¡±®«¾²­ ¿ ¢¥«¨·¨­  ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯«®¹ ¤¼¾ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ,   §­ ª (¢ ±«³· ¥ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ a ¨ b) ­ §»¢ ¥²±¿ ®°¨¥­² ¶¨¥© ¯ °» a; b ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨±  e ; e . 1

1

2

1

2

2

1 1

2

2 1

2 2

2 1

2 2

1 1

2 2

1 2

1

2

1

2

1

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2

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2

2 1

2

2 2

2 2 2 1

1 1 2 2

1) 2)

2 2

1 2

2 1

2

1

2

1

2

1

‹¥¬¬  4.2.

2

2

Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­ ¿ ¯«®¹ ¤¼ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:

Sor (a; b) = ,Sor(b; a) (ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼); Sor (a + b; c) = Sor (a; c) + Sor (b; c), 9

2 1


3) 4)

Sor (a; b) = Sor (a; b) Sor (a; a) = 0.

(2+3=«¨­¥©­®±²¼ ¯® ¯¥°¢®¬³  °£³¬¥­²³);

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚±¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ±«¥¤³¾² ­¥¬¥¤«¥­­® ¨§ ´®°¬³«». ‹¥¬¬  4.3. a; b e ;e Ž°¨¥­² ¶¨¿ ¯ °»

ª° ²· ©¸¨© ¯®¢®°®² ®²

e.

®²­®±¨²¥«¼­® ¡ §¨± 

2

2 ¯®«®¦¨²¥«¼­ , ¥±«¨

1

a ª b ¯°®¨±µ®¤¨² ¢ ²®¬ ¦¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¨, ·²® ¨ ®² e

1 ª

2

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³¤¥² ¯°®¢¥¤¥­® ±° §³ ¤«¿ ²°¥µ¬¥°­®£® ±«³· ¿. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.4. (a; b; c), ¯®±²°®Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­»¬ ®¡º¥¬®¬ ¯ ° ««¥¯¨¯¥¤ 

¥­­®£® ­  ¢¥ª²®° µ a, b ¨ c ¯°®±²° ­±²¢ , ®²­®±¨²¥«¼­® ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨±  " := (e ; e ; e ) ­ §»¢ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ 0 1 a a a Vor" (a; b; c) = det B @ b b b CA = a b c + b c a + c a b , b a c , a c b , c b a : c c c 1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 2 3

1 2 3

1

2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

3

‚ ±«³· ¥ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢ a; b; c ¥£® §­ ª ­ §»¢ ¥²±¿ ®°¨¥­² ¶¨¥© ²°®©ª¨ a; b; c ®²­®±¨²¥«¼­® ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨±  e ; e ; e . ®±«¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­¥ª®²®°»µ ±¢®©±²¢ ¬» ¤®ª ¦¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ®¯° ¢¤»¢ ¾¹¥¥ ½²® ­ §¢ ­¨¥. 1

’¥®°¥¬  4.5.

2

3

€¡±®«¾²­ ¿ ¢¥«¨·¨­  ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®£® ®¡º¥¬  ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ 

° ¢­  ®¡º¥¬³ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ .

‹¥¬¬  4.6.

³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­ ¡ §¨±

e ;e ;e 1

2

3 ¨ ­¥ª®²®°»© ¢¥ª²®° ¢° ¹ ¥²±¿ ¢

¯«®±ª®±²¨ ¨«¨ ¢®ª°³£ ®±¨ ± ¯®±²®¿­­®© ±ª®°®±²¼¾. ’®£¤  ¥£® ª®½´´¨¶¨¥­²» ¿¢«¿¾²±¿ ­¥¯°¥°»¢­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ ¢°¥¬¥­¨. €­ «®£¨·­® ¤«¿ ° ±²¿¦¥­¨¿ ¨«¨ ±¦ ²¨¿ ¢¥ª²®° .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±®ª«¼ª³ ª®¬¯®­¥­²» ¢¥ª²®°  ®²­®±¨²¥«¼­® ®¤­®£® ´¨ª±¨°®-

¢ ­­®£® ¡ §¨±  ¿¢«¿¾²±¿ «¨­¥©­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ®²­®±¨²¥«¼­® ¤°³£®£® ¡ §¨± , ²® ¤«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» ¤®±² ²®·­® ° ±±¬®²°¥²¼ ³¤®¡­»© ¡ §¨±. „«¿ ¢° ¹¥­¨¿ ² ª®¢»¬ ¡³¤¥² e =®±¼ ¢° ¹¥­¨¿ ¯°¨·¥¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¢° ¹¥­¨¿ ¢¨¤­® ± ª®­¶  e ¯°®²¢ · ·®¢®© ±²°¥«ª¨, e =­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¯°®¥ª¶¨¨ ­ · «¼­®£® ¯®«®¦¥­¨¿ ¢¥ª²®° . ’®£¤  (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¢»¡®°  ±ª®°®±²¨ ¢° ¹¥­¨¿) ¢° ¹ ¾¹¨©±¿ ¢¥ª²®° ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ª®®°¤¨­ ²» (  cos t;  sin t; ). „«¿ ° ±²¿¦¥­¨¿ ¦¥ | ( t; t; t), £¤¥ t ¯°®¡¥£ ¥² ­¥ª®²®°»© ®²°¥§®ª. ²¨ ´®°¬³«» ¯®ª §»¢ ¾² ¨±ª®¬³¾ ­¥¯°¥°»¢­³¾ § ¢¨±¨¬®±²¼. 2 3

3

‹¥¬¬  4.7 (¨§ ª³°±   «£¥¡°»).

1

Ž¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ° ¢¥­ ­³«¾ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®-

£¤ , ª®£¤  ®¤­  ¨§ ¥£® ±²°®ª ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¤°³£¨µ.

10


‹¥¬¬  4.8.

Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­»© ®¡º¥¬ ° ¢¥­ ­³«¾ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢¥ª-

²®°» ª®¬¯« ­ °­».

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬». ’¥®°¥¬  4.9. a; b; c §¨± 

e ;e ;e 1

2

 §¨±

2

¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ®°¨¥­² ¶¨¾ ®²­®±¨²¥«¼­® ¡ -

3 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ­¥¯°¥°»¢­®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥© ¢ ¯°®±²° ­-

±²¢¥ ¡ §¨±®¢ ¥£® ¬®¦­® ¯¥°¥¢¥±²¨ ¢

e ; e ; e (¯®¤ ­¥¯°¥°»¢­®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥© ¯®­¨1

2

3

¬ ¥²±¿ ² ª®¥ ±¥¬¥©±²¢® ¡ §¨±®¢, ª ¦¤ ¿ ª®®°¤¨­ ²  ª ¦¤®£® ¢¥ª²®°  ª®²®°»µ

)

¿¢«¿¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¥© ¯ ° ¬¥²°  .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬, ² ª ¿ ¤¥´®°¬ ¶¨¿ ±³¹¥±²¢³¥². ’®£¤  ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼

Vor" (a(t); b(t); c(t)) ¿¢«¿¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¥© ¯ ° ¬¥²°  t ¨ ¯°¨­¨¬ ¥² ¢±¥ ¯°®¬¥¦³²®·­»¥ §­ ·¥­¨¿. ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ §­ ·¥­¨¥ Vor" (a; b; c) < 0, ²® ¢ ª ª®©-²® ¬®¬¥­² ¤®«¦¥­ ¯®«³·¨²¼±¿ 0, ² ª ª ª Vor" (e ; e ; e ) = 1. ²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥. Ž¡° ²­®, ¯®±²°®¨¬ ¯® «¥¬¬¥ 4.6 ­¥¯°¥°»¢­³¾ ¤¥´®°¬ ¶¨¾: ±­ · «  ±®¢¬¥±²¨¬ a ± e ² ª, ·²®¡» b «¥¦ « ¢ ¯«®±ª®±²¨ e ; e ± ²®© ¦¥ ±²®°®­», ·²® ¨ e . ‡ ²¥¬ ±®¢¬¥±²¨¬ b ± e .  § §­ ª +, ²® e ¨ c «¥¦ ² ± ®¤­®© ±²®°®­» ®² ¯«®±ª®±²¨ ¨ ¨µ ¬®¦­® ±®¢¬¥±²¨²¼. 2 1

2

1

1

2

3

2

2

3

‘«¥¤±²¢¨¥ 4.10 (¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ).

„¢  ¡ §¨±  ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢³¾ ®°¨¥­² -

¶¨¾ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ��®£¤  ± ª®­¶  ²°¥²¼¥£® ¢¥ª²®°  ª° ²· ©¸¥¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ®² ¯¥°¢®£® ª® ¢²®°®¬³ ®±³¹¥±²¢«¿¥²±¿ ¢ ®¤­³ ±²®°®­³

)

(«¨¡® ¯°®²¨¢, «¨¡® ¯® · -

±®¢®© ±²°¥«ª¥ .

‘«¥¤±²¢¨¥ 4.11.

‚±¥ ¡ §¨±» ° ±¯ ¤ ¾²±¿ ­  ¤¢  ª« ±± , ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¥© ª ¦-

¤®£® ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦­® ±¢¿§ ²¼ ­¥¯°¥°»¢­®© ¤¥´®°¬ ¶¨¥©.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.12.

‡ ¤ ­¨¥¬ ®°¨¥­² ¶¨¨ ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¡®° ®¤­®£® ¨§ ½²¨µ ª« ±±®¢. Ž¡»·­® ¯°¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ \¯°®²¨¢" (±¬. ±«¥¤±²¢¨¥ 4.10) ®°¨¥­² ¶¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯° ¢®©,   ¢ ¤°³£®¬ ±«³· ¥ | «¥¢®©. °®±²° ­±²¢® ± ¢»¡° ­­®© ®°¨¥­² ¶¨¥© ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬ (®. ¯.). ‡ ¬¥· ­¨¥ 4.13. Œ®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¬ ²°¨¶  ¨§ ª®®°¤¨­ ² ²°¥²¼¥£® ¡ §¨±  ¢ ¯¥°¢®¬ ° ¢­  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¬ ²°¨¶ ²°¥²¼¥£® ¢® ¢²®°®¬ ¨ ¢²®°®£® ¢ ¯¥°¢®¬. Ž¯°¥¤¥«¨²¥«¨ ¯°¨ ½²®¬ ¯¥°¥¬­®¦ ¾²±¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¥ ¡ §¨±» ¢­³²°¨ ®¤­®£® ª« ±±  ¨¬¥¾² ¯®«®¦¨²¥«¼­»© ®¡º¥¬ ¤°³£ ®²­®±¨²¥«¼­® ¤°³£ .

‹¥¬¬  4.14. b; a; c a; b; c „®ª § ²¥«¼±²¢®. ®¢¥°­¥¬ ²°®©ª³ b; a; c ª ª ²¢¥°¤®¥ ²¥«® ² ª, ·²®¡» b ±®¢¯ «® ± Ž°¨¥­² ¶¨¿

¯°®²¨¢®¯®«®¦­  ®°¨¥­² ¶¨¨

.

a,   a | ± b. ’®£¤  c ¨ ®¡° § c ®ª ¦³²±¿ ± ° §­»µ ±²®°®­ ®² ¯«®±ª®±²¨ a; b. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.15. Ž°¨¥­²¨°®¢ ­­»¬ ®¡º¥¬®¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¯®±²°®¥­­®£® ­  ¢¥ª²®° µ a; b; c ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®£® ¯°®±²° ­±²¢  ­ §»¢ ¥²±¿ ·¨±«® Vor (a; b; c), 11


° ¢­®¥ ¯®  ¡±®«¾²­®© ¢¥«¨·¨­¥ ®¡º¥¬³ ½²®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ¨ ¨¬¥¾¹¥¥ §­ ª \+", ¥±«¨ ²°®©ª  a; b; c ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­ , ¨ §­ ª \-" ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥. ‡ ¬¥²¨¬ (ª ª ¢¨¤­® ¨§ ®¡®§­ ·¥­¨¿), ·²® ­®¢®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­¥ ±¢¿§ ­® ± ª®­ª°¥²­»¬ ¡ §¨±®¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.16. ‚¥ª²®°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¤¢³µ ¢¥ª²®°®¢ a ¨ b ¢ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®° c, ®¡®§­ · ¥¬»© [a; b], ¨ ®¯°¥¤¥«¿¥¬»© ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. …±«¨ ¢¥ª²®°» a ¨ b ­¥ª®««¨­¥ °­», ²® c ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨: 1) ¤«¨­  c ° ¢­  ¯«®¹ ¤¨ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬  (a; b); 2) ¢¥ª²®° c ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ a ¨ b; 3) ²°®©ª  a; b; c ¨¬¥¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ®°¨¥­² ¶¨¾. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®°¨¥­² ¶¨¨ ² ª®© ¢¥ª²®° c ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¥­. …±«¨ ¢¥ª²®°» a ¨ b ª®««¨­¥ °­», ²® c := 0. ‹¥¬¬  4.17. ³±²¼ e ; e ; e | ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®°¨¥­²¨°®¢ ­­»© ®°²®­®°¬¨°®¢ ­1

2

3

­»© ¡ §¨±. ’®£¤ 

[e ; e ] = e ; [e ; e ] = ,e ; [e ; e ] = e : „®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž·¥¢¨¤­®. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.18. —¨±«® ha; b; ci := h[a; b]; ci ­ §»¢ ¥²±¿ ±¬¥¸ ­­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ²°®©ª¨ a; b; c. ’¥®°¥¬  4.19. ha; b; ci := Vor (a; b; c). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ’®, ·²® §­ ª¨ ±®¢¯ ¤ ¾², ±° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®°¨¥­² ¶¨¨. °®¢¥°¨¬ ±®¢¯ ¤¥­¨¥  ¡±®«¾²­»µ ¢¥«¨·¨­, ². ¥. ·²® ¬®¤³«¼ ±¬¥¸ ­­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ° ¢¥­ ®¡º¥¬³ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ . jha; b; cij = j [a; b] j  jcj  j cos (c; d [a; b])j = S  h = jVor (a; b; c)j; 1

2

3

1

3

2

2

3

1

¯®±ª®«¼ª³ c ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­® ¯«®±ª®±²¨, ­ ²¿­³²®© ­  a ¨ b. ‡¤¥±¼ ·¥°¥§ S ®¡®§­ ·¥­  ¯«®¹ ¤¼ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , ¯®±²°®¥­­®£® ­  ¢¥ª²®° µ a ¨ b,   h | ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¢»±®²  ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ . 2

’¥®°¥¬  4.20.

‘¬¥¸ ­­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ª®±®±¨¬¬¥²°¨·­® ¯® «¾¡®© ¯ °¥  °£³¬¥­-

²®¢ ¨ «¨­¥©­® ¯® ª ¦¤®¬³ ¨§ ­¨µ: 1) 2)

ha; b; ci = ,hb; a; ci = hb; c; ai = ,hc; b; ai = hc; a; bi = ,ha; c; bi ha + b; c; di = ha; c; di + hb; c; di ha; b; ci = ha; b; ci ha; b + c; di = ha; b; di + ha; c; di ha; b; ci = ha; b; ci ha; b; c + di = ha; b; ci + ha; b; di ha; b; ci = ha; b; ci ;

;

;

;

;

.

12

;


„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1) ® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾  ¡±®«¾²­ ¿ ¢¥«¨·¨­  (². ¥. ®¡º¥¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ) ­¥ ¬¥­¿¥²±¿. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¯°® §­ ª¨ ±«¥¤³¥² ¨§ «¥¬¬» 4.14. 2) ‹¨­¥©­®±²¼ ¯® ²°¥²¼¥¬³  °£³¬¥­²³ ®·¥¢¨¤­ . ˆ§ ½²®£® ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¯. 1 ±«¥¤³¥² «¨­¥©­®±²¼ ¯® ®±² «¼­»¬  °£³¬¥­² ¬. 2

’¥®°¥¬  4.21. [a; b] = ,[b; a]

‚¥ª²®°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:

1)

2) 3)

;

[a; b] = [a; b]; [a + b; c] = [a; c] + [b; c].

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¯. 1 ¨ 2 ±° §³ ¢»²¥ª ¾² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¯. 3 ° ±±¬®²°¨¬ ¢¥ª²®° d = [a + b; c] , [a; c] , [b; c]. ’®£¤  hd; di = h[a + b; c] , [a; c] , [b; c]; di = ha + b; c; di , ha; c; di , hb; c; di = 0: 2

‡­ ·¨², d = 0,   ½²® ¨ ¥±²¼ ¯. 3.

’¥®°¥¬  4.22.

e ;e ;e

³±²¼

1

[a; b] = det ab ab

! ! a a a a  e + det b b  e + det b b  e 0 1 a a a ha; b; ci = det B@ b b b CA : c c c

2

3

2

3

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3 | ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®°¨-

2

¥­² ¶¨¨. ’®£¤ 

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1

3

1

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1

2

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1

2

1

2

3

¥°¢®¥ ° ¢¥­±²¢® ±¨¬¢®«¨·¥±ª¨ § ¯¨±»¢ ¾² ¢ ¢¨¤¥

0 1 e e e [a; b] = det B @ a a a CA b b b „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬®© ¨ «¥¬¬®© 4.17: [a; b] = [a e + a e + a e ; b e + b e + b e ] = a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] + 1

1 1

2 2

3 3

1 1

2 2

2

3

1

2

3

1

2

3

3 3

1 1

1

1

1 2

1

2

1 3

1

e3

0

,e2

+a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] +a b [|e {z; e }] = 2 1

2

1

2 2

,e3

2

2

2 3

2

3

3 1

3

e1

0

1

3 2

e2

3

2

3 3

3

,e1

= (a b , a b )e + (a b , a b )e + (a b , a b )e = ! ! ! a a a a a a = det b b  e + det b b  e + det b b  e : 2 3

3 2

2

3

2

3

1

1

3 1

1 3

3

1

3

1

13

2

1 2

2

2 1

3

1

2

1

2

3

3

0

3


„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¢²®°®£® ±®®²­®¸¥­¨¿ ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ±¬¥¸ ­­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, ¯¥°¢»¬ ±®®²­®¸¥­¨¥¬ ¨ § ¯¨±¼¾ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ: ! ! ! a a a a a a ha; b; ci = h[a; b]; ci = det b b  c + det b b  c + det b b  c = 0 1 a a a = det B @ b b b CA : 2 c c c

‘«¥¤±²¢¨¥ 4.23.

2

3

2

3

1

1

2

3

1

2

3

1

2

3

3

1

3

1

2

1

2

1

2

3

³±²¼ ¢ ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¢»¡° ­ ®°²®­®°¬¨°®-

" = (e ; e ; e ) ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®°¨¥­² ¶¨¨. ’®£¤  ha; b; ci = Vor (a; b; c) = Vor" (a; b; c) ¤«¿ «¾¡»µ ¢¥ª²®°®¢ a; b; c. ‚ · ±²­®±²¨, ¬» ¤®ª § «¨ ²¥®°¥¬³ 4.5, ±´®°¬³«¨°®" ¢ ­­³¾ ¢ ­ · «¥ ¯ ° £° ´ : jVor (a; b; c)j ° ¢­¿¥²±¿ ®¡º¥¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ¯ ¢ ­­»© ¡ §¨±

1

2

3

° ««¥«¥¯¨¯¥¤ .

³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ det (A) ·¥°¥§ jAj.

‘«¥¤±²¢¨¥ 4.24.

a ¨ b ¯°®(«¾¡®© ®°¨¥­² ¶¨¨ !) ª ª

a a

+

b b

:

«®¹ ¤¼ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ , ¯®±²°®¥­­®£® ­  ¢¥ª²®° µ

±²° ­±²¢  § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ

v

u u a a a a

S ((a; b)) = t

b b

+

b b

2

’¥®°¥¬  4.25.

3

3

1

2

3

3

1

2

1

2

1

2

ˆ¬¥¾² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«»:

[a; [b; c]] = bha; ci , cha; bi

1)

2

2

(´®°¬³«  ¤¢®©­®£® ¢¥ª²®°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿

¨«¨ \¡ ¶ ¬¨­³± ¶ ¡");

[a; [b; c]] + [b; [c; a]] + [c; [a; b]] = 0

2)

(²®¦¤¥±²¢® Ÿª®¡¨).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1). ‚»¡¥°¥¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨± e ; e ; e ¯®«®¦¨²¥«¼­®© 1

2

3

®°¨¥­² ¶¨¨ ² ª, ·²® a = (a ; a ; a ); b = (b ; b ; 0); c = (c ; 0; 0); ². ¥. e ±®­ ¯° ¢«¥­ ± c, e «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ b; c. ’®£¤ 

! b 0 0 b b b

[b; c] =

0 0

;

0 c

;

c 0

= (0; 0; ,b c );

!

a a a a a a

[a; [b; c]] =

0 ,b c

;

,b c 0

;

0 0

= (,a b c ; a b c ; 0): 1

1

2

3

1

2

1

2

2

2

3

3

2 1

2 1

1

1

1

1

1

14

2

1

2 1

2

2 2 1

1 2 1


‘ ¤°³£®© ±²®°®­»,

ha; ci = a c ;

bha; ci = (a c b ; a c b ; 0);

1 1

ha; bi = a b + a b ; 1 1

®²ª³¤ 

1 1 1

cha; bi = (a b c + a b c ; 0; 0);

2 2

1 1 1

2

2 2 1

bha; ci , cha; bi = (,a b c ; a c b ; 0) = [a; [b; c]]: 2 2 1

2). ® ¯. 1) :

1 1 2

1 1 2

[a; [b; c]] + [b; [c; a]] [c; [a; b]] [a; [b; c]] + [b; [c; a]] + [c; [a; b]]

= = = =

bha; ci , cha; bi cha; bi , ahb; ci ahb; ci , bha; ci 0

5. °¿¬»¥ ­  ¯«®±ª®±²¨

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.1.

­  ¯«®±ª®±²¨ | ¬­®¦¥±²¢®, § ¤ ¢ ¥¬®¥ ¢ ­¥ª®²®°®©  ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¥¬ ¢¨¤  F (x; y) = 0, £¤¥ F | ¬­®£®·«¥­: X ij F (x; y) = aij x y ; i; j = 0; 1; 2; : : : €«£¥¡° ¨·¥±ª ¿ «¨­¨¿ (ª°¨¢ ¿)

i;j n

—¨±«® n ­ §»¢ ¥²±¿ ±²¥¯¥­¼¾ ¬­®£®·«¥­  F ¨ ¯®°¿¤ª®¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ª°¨¢®©, ¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ aij ± i + j = n ®²«¨·¥­ ®² 0.  ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ³° ¢­¥­¨¥¬ ª°¨¢®© ­ §»¢ ¥²±¿ ( x = f (t); ¨«¨ ~r = ~r (t); y = g(t): £¤¥ t | ¯ ° ¬¥²°. °¨¬¥° 5.2. Žª°³¦­®±²¼ x + y = 1 ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¤ ­  ¢ ¢¨¤¥ ( x = cos t; y = sin t: 2

2

 ° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®© ­  ¯«®±ª®±²¨: ( x = x + t; ~r = ~r + ~at; ¨«¨ y = y + t: 0

0

0

15


6     :     ,  ,  , , 0 , -

~a

~r

‡¤¥±¼ ~r = (x ; y ) | ­¥ª®²®° ¿ ²®·ª  ­  ¯°¿¬®© (­ · «¼­ ¿),   ~a = ( ; ) | ­¥ª®²®°»© ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®° (­ ¯° ¢«¿¾¹¨©). ‚»° ¦ ¿ t, ¯®«³· ¥¬ ª ­®­¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®© x,x = y,y :

‡ ¬¥· ­¨¥ 5.3. ‚ ª ­®­¨·¥±ª®¬ ³° ¢­¥­¨¨ ¤®¯³±ª ¥²±¿ ° ¢¥­±²¢® ­³«¾ ­¥ª®²®°»µ (­¥ ¢±¥µ) §­ ¬¥­ ²¥«¥©. °¨ ½²®¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ·¨±«¨²¥«¼ ¯°¨° ¢­¨¢ ¥²±¿ ª 0. °¨¬¥° 5.4. x,x = y ,y , x=x : 0

¥°¥©¤¥¬ ª ®¡¹¥¬³ ³° ¢­¥­¨¾ :

(x , x ) , (y , y ) = 0; Ax + By + C = 0; 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

£¤¥

A = ; B = , ; C = y , x : ˆ² ª, ¢±¿ª ¿ ¯°¿¬ ¿ § ¤ ¥²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª . Ž¡° ²­®, ¢±¿ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  § ¤ ¥² ¯°¿¬³¾. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ° ±±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥ Ax + By + C = 0. ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, A 6= 0. ‚®§¼¬¥¬ ¢ ª ·¥±²¢¥ ­ · «¼­®© ²®·ª¨ (x ; 0), £¤¥ x ®¯°¥¤¥«¨¬ ¨§ ³° ¢­¥­¨¿ Ax + C = 0; x = , CA : ‚ ª ·¥±²¢¥ ­ ¯° ¢«¿¾¹¥£® ¢¥ª²®°  ¢»¡¥°¥¬ (,B; A). ’®£¤  ¨±µ®¤­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ° ¢­®±¨«¼­® ª ­®­¨·¥±ª®¬³ x + CA = y , 0 : ,B A 0

0

0

0

0

’¥®°¥¬  5.5.

0

°¿¬»¥ ­  ¯«®±ª®±²¨ ¥±²¼ ¢ ²®·­®±²¨  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ «¨­¨¨ ¯¥°-

¢®£® ¯®°¿¤ª . °¨ ½²®¬ ¤¢  ³° ¢­¥­¨¿

F (x; y) := A x + B y + C = 0 1

1

1

16

1


¨

F (x; y) := A x + B y + C = 0 2

2

2

2

§ ¤ ¾² ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ¯°¿¬³¾ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­¨ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»

 6= 0, ·²® F = F , A = A , B = B , C = C . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ³¦¥ ¤®ª § ­®. „®±² ²®·­®±²¼ ¢® ¢²®°®¬ ®·¥¢¨¤­ . „®ª ¦¥¬ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ ³° ¢­¥­¨¿ § ¤ ¾² ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ¯°¿¬³¾. Š ª ¬» ¯®ª § «¨, ¥¥ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° (,B ; A ) ¨«¨ (,B ; A ). Ž­¨ ª®««¨­¥ °­», ² ª ·²® ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥  6= 0, ·²® (±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ´¨ª±¨°®¢ ­  !), ². ¥. ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥

² ª ·²®

1

2

1

2

1

1

2

2

1

A = A ; 1

1

2

2

B = B :

2

1

2

 ±±¬®²°¨¬ «¾¡³¾ ²®·ª³ (x ; y ) ¯°¿¬®©. ’®£¤  0

0

A x + B y + C , (A x + B y + C ) = 0; 1

0

1 0

1

2

0

2 0

2

C , C = 0; C = C : 2 ‹¥¬¬  5.6. ‚¥ª²®°» ( ; ), ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0, ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ®¤­®°®¤­»¬ ³° ¢­¥­¨¥¬ A + B = 0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ª« ±±¥ «¾¡®£® ¢¥ª²®°  ( ; ), ¯ ° ««¥«¼­®£® ¯°¿¬®©, ¨¬¥¥²±¿ ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¼ ,! PQ, £¤¥ P ,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ Q, «¥¦¨² ­  ¯°¿¬®©. ’®£¤ , ¥±«¨ P (xP ; yP ),   Q(xQ; yQ), ²® 1

2

1

AxP + ByP + C = 0;

2

AxQ + ByQ + C = 0;

² ª ·²®

A(xQ , xP ) + B (yQ , yP ) = 0; A + B = 0: Ž¡° ²­®, ¥±«¨ A + B = 0, ²® ®²«®¦¨¬ ¥£® ®² ²®·ª¨ (xP ; yP ) ­  ¯°¿¬®©. ’®£¤  ¤°³£®© ª®­¥¶ (xQ; yQ) = (xP + ; yP + ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¾ AxQ+ByQ+C = A(xP + )+B (yP + )+C = (AxP +ByP +C )+(A +B ) = 0+0 = 0: 2

’¥®°¥¬  5.7.

A x

+ B y + C = 0 ¨ A x + B y + C = 0

A B

= ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ (¢ ®¤­®© ²®·ª¥), ¥±«¨

A B 6 0, ¨ ¯ ° ««¥«¼­» (¢ ². ·. ¬®£³²

A B

= 0. ±®¢¯ ¤ ²¼), ¥±«¨

A B

„¢¥ ¯°¿¬»¥ ± ³° ¢­¥­¨¿¬¨

1

1

2

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

2

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬»¥ ¯ ° ««¥«¼­» ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¨µ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨¥ ¢¥ª²®°» ª®««¨­¥ °­», ². ¥. (,B ; A ) ª®««¨­¥ °¥­ (,B ; A ), ·²® ®§­ · ¥² 1

17

1

2

2


A B , B A

° ¢¥­±²¢® ­³«¾ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿

,B A

=

A B

. Œ¥²®¤®¬ ¨±ª«¾·¥­¨¿ ¯®«³· ¥¬ ¨ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.8. ³±²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­® (!) ³° ¢­¥­¨¥ ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© F (x; y) = Ax + By + C = 0. ®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¤«¿ F ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ¬­®¦¥±²¢® F ²®·¥ª (x; y), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ­¥° ¢¥­±²¢³ F (x; y) > 0. €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ®²°¨¶ ²¥«¼­ ¿ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ F, ª ª F (x; y ) < 0. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5.9. ®ª  ¬» ­¥ ¤®ª § «¨, ·²® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¯®«³¯«®±ª®±²¨. 1

1

1

1

2

2

2

2

+

’¥®°¥¬  5.10.

P ¨ Q «¥¦ ² ¢ ®¤­®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨, ²® ¨ ¢¥±¼ ®²°¥§®ª PQ «¥¦¨² ¢ ­¥©. …±«¨ P ¨ Q «¥¦ ² ¢ ° §­»µ ¯®«³¯«®±ª®±²¿µ, ²® ®²°¥§®ª PQ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¤ ­­³¾ ¯°¿¬³¾. ‚ · ±²­®±²¨, F ¨ F, ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¯®«³¯«®±ª®±²¨ …±«¨ ²®·ª¨

+

± £° ­¨¶¥©, ° ¢­®© ¤ ­­®© ¯°¿¬®©.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P (xP ; yP ), Q(xQ; yQ). Š®®°¤¨­ ²» ²®·¥ª ®²°¥§ª  PQ

¨¬¥¾² ¢¨¤

8 <x = :y =

’®£¤ 

xP +xQ + yP +yQ +

;

;  > 0:

xQ +B yP + yQ +C  +  = 1 [F (P )+F (Q)]; F (X ) = Ax+By +C = A xP + + + + + ¯°¨·¥¬ ¬­®¦¨²¥«¼ ±²°®£® ¯®«®¦¨²¥«¥­. ‡­ ·¨², ¥±«¨ P ¨ Q ¯°¨­ ¤«¥¦ ² F ¨«¨ F,, ². ¥. F (P ) ¨ F (Q) ®¤­®£® §­ ª , ²® F (X ) ²®£® ¦¥ §­ ª . …±«¨ ¦¥ F (P ) ¨ F (Q) ° §­»µ §­ ª®¢, ²® ¯°¨  = jF P j ¨  = jF Q j ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ F (X ) ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ 0. 2 ‡ ¬¥· ­¨¥ 5.11. ‚¥ª²®° (A; B ) ¯°¨ ½²®¬ \³ª §»¢ ¥²" ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ±¬»±«¥. …±«¨ ®²«®¦¨²¼ ¥£® ®² ­¥ª®²®°®© ²®·ª¨ (x ; y ) ­  ¯°¿¬®©, ²® ¥£® ª®­¥¶ ®ª ¦¥²±¿ ¢ F . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, +

1 ( )

1 ( )

0

0

+

A(x + A) + B (y + B ) + C = (Ax + By + C ) + A + B = A + B > 0: 0

0

0

2

0

2

2

2

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.12. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ­  ¯«®±ª®±²¨, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ´¨ª±¨°®¢ ­­³¾ ²®·ª³, ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬,   ± ¬  ´¨ª±¨°®¢ ­­ ¿ ²®·ª  | ¶¥­²°®¬ ¯³·ª . Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ­  ¯«®±ª®±²¨, ¯ ° ««¥«¼­»µ ¤ ­­®© ¯°¿¬®©, ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥±®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬. (’¥°¬¨­®«®£¨¿ ±¢¿§ ­  ± ¯°®¥ª²¨¢­®© £¥®¬¥²°¨¥©.)

’¥®°¥¬  5.13.

°¿¬ ¿

l ± ³° ¢­¥­¨¥¬ F = Ax + By + C = 0 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² (±®¡-

±²¢¥­­®¬³ ¨«¨ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬³) ¯³·ª³, § ¤ ¢ ¥¬®¬³ ¯ °®© ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ

l

1 ¨

l

2 ± ³° ¢­¥­¨¿¬¨

F = A x + B y + C = 0, F = A x + B y + C = 0, ²®£¤  ¨ 1

1

1

1

2

2

2

2

²®«¼ª® ²®£¤  ª®£¤  ¥¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥²°¨¢¨ «¼­®© «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ³° ¢­¥­¨©

l

1 ¨

l : F = F + F . 2

1

2

18


„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ¯³·ª : l \ l = P (x ; y ). °¿¬ ¿ l ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ½²®¬³ ¯³·ª³ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  P 2 l. ³±²¼ P = 6 P | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª  l.  ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥ Fe := F (P )  F , F (P )  F = 0: ±®¡±²¢¥­­®£®

1

2

0

0

0

0

¥®¡µ®¤¨¬®±²¼.

0

2

0

1

1

0

2

²® ³° ¢­¥­¨¥ ­¥ ±² °¸¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨. °¨ ½²®¬ F (P ) ¨ F (P ) ­¥ ¬®£³² ®¡  e Be ) 6= 0. ° ¢­¿²¼±¿ 0. ’ ª ª ª (A ; B ) ¨ (A ; B ) ­¥ª®««¨­¥ °­», ²® ¯®«³· ¥¬, ·²® (A; ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨ ¨ § ¤ ¥² ¯°¿¬³¾. ®¤±² ¢«¿¿ P ¨ P ¢ Fe , ³¡¥¦¤ ¥¬±¿, ·²® ½²  ¯°¿¬ ¿ ·¥°¥§ ­¨µ ¯°®µ®¤¨², ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ l. ® ²¥®°¥¬¥ 5.5 ¤ ­­®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ F F = Fe = (F (P ))  F + (,F (P ))  F = 0;  6= 0: „®±² ²®·­®±²¼. F (P ) = F (P ) + F (P ) = 0, P 2 l .  ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¯³·ª : l kl , l 6= l . ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ P | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª  l .  ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥ Fe := F (P )  F , F (P )  F = 0: ²® ³° ¢­¥­¨¥ ­¥ ±² °¸¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨. °¨ ½²®¬ F (P ) ¨ F (P ) ­¥ ° ¢­¿¾²±¿ e Be ) = 0, «¨¡® 0. ’ ª ª ª (A ; B ) ¨ (A ; B ) ª®««¨­¥ °­», ²® ¯®«³· ¥¬, ·²® «¨¡® (A; ½²®² ¢¥ª²®° ­¥­³«¥¢®© ¨ ª®««¨­¥ °¥­ (A ; B ) ¨ (A ; B ). ®±ª®«¼ª³ Fe = 0 ¨¬¥¥² e Be ) = 0 ¤®«¦­® ±«¥¤®¢ ²¼ Ce = 0, ². ¥. F ¨ F °¥¸¥­¨¿, ­ ¯°¨¬¥°, P , ²® ¨§ (A; ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»,   §­ ·¨², ¯® ²¥®°¥¬¥ 5.5 l = l , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¿¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¾¹¥¥ ¯°¿¬³¾, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ P ¨ ¯ ° ««¥«¼­³¾ l ¨ l , ². ¥. l. „®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ § ¢¥°¸ ¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ±®¡±²¢¥­­®¬ ±«³· ¥. „®±² ²®·­®±²¼. F = F + F , §­ ·¨², (A; B ) ª®««¨­¥ °¥­ (A ; B ) ¨ (A ; B ).  § ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®©, ²® (A; B ) 6= 0. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, lkl kl . 2 ‘«¥¤±²¢¨¥ 5.14. ’°¨ ¯°¿¬»¥ Aix + Biy + Ci = 0, i = 1; 2; 3, ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ®¤­®¬³ 1

1

1

2

0

2

0

2

0

2

0

1

0

1

1

0

0

2

2

0

0

1

2

1

2

0

2

0

1

1

0

2

1

1

1

2

0

2

0

2

1

1

2

2

0

1

1

0

1

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

2

¯³·ª³ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

A B C

A B C

= 0:

A B C

1

1

1

2

2

2

3

3

3

5.1. °¿¬ ¿ ­  ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ‹¥¬¬  5.15. ‚¥ª²®° n := (A; B ) ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚¥ª²®°», ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¯°¿¬®©, § ¤ ¾²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ (±¬. «¥¬¬³ 5.6) A + B = 0 ¨«¨ (². ª. ª®®°¤¨­ ²» ¯°¿¬®³£®«¼­»¥) hn; ( ; )i = 0. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.16. ‚¥ª²®° n = (A; B ) ­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬ «¼¾ ª ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0. (°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¨ ³° ¢­¥­¨¥ ´¨ª±¨°®¢ ­».) 19


°¥¤«®¦¥­¨¥ 5.17. ­¥­¨¥¬

 ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨

Ax + By + C = 0 ° ¢­®

P (x ; y ) ¤® ¯°¿¬®© l, § ¤ ­­®© 0

0

³° ¢-

(P; l) = jAxp+ By + C j : A +B „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P (x ; y ) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª  ­  ¯°¿¬®©. ’®£¤ 

!

,,! d , , ! nij = jA(x ,px ) + B (y , y )j =

(P; l) = jPP j 

cos P P; n

= jhP jP; nj A +B = j(Ax + By +pC ) , (Ax + By + C )j = jAxp+ By + C j : 2 A +B A +B Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.18. “° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0 ­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬ «¼­»¬, ¥±«¨ A + B = 1, ². ¥. ¢¥ª²®° ­®°¬ «¨ n = (A; B ) ¨¬¥¥² ¥¤¨­¨·­³¾ ¤«¨­³. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5.19. Š ¦¤ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¨¬¥¥² ¤¢  ­®°¬ «¼­»µ ³° ¢­¥­¨¿. Ž­¨ ¯®«³· ¾²±¿ ¨§ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ³° ¢­¥­¨¿ Ax + By + C = 0 ª ª ! B C A  pA + B x + pA + B y + pA + B = 0: Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.20. „«¿ ­®°¬ «¼­®£® ³° ¢­¥­¨¿ F (x; y) = Ax + By + C = 0 ¢¥«¨·¨­  F (x; y) ­ §»¢ ¥²±¿ ®²ª«®­¥­¨¥¬ ²®·ª¨ (x; y) ®² ¯°¿¬®©. ˆ¬¥¥¬ (¤«¿ ­®°¬ «¼­®£® ³° ¢­¥­¨¿) ( +1; ¥±«¨ (x; y) 2 F : F (x; y) = "  ((x; y); l); " = , 1; ¥±«¨ (x; y) 2 F, 2

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

2

0

1

2

2

2

1

0

1

2

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+

5.2. “£®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨ ­  ¯«®±ª®±²¨ ³±²¼ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ¨¬¥¾² ³° ¢­¥­¨¿ A x + B y + C = 0 ¨ A x + B y + C = 0. ’®£¤ 

h n ; n i

= q jA A +qB B j :

cos ' =

jn j  jn j A + B  A + B 1

1

2

2

2

1

1

2

1

2 1

2

’®£¤  (±¬. °¨±.)

20

2

2 1

1

2

2 2

2 2


A S S

A A

(1)

  

A

A  A   A (1) S  A S +  (1) S A  >  1 , S  AK  A 2 S A S  (2) A  S + A  S   S  S  (2) S , S  S (2)  S +   S  (2) S   , S  S S

S

F

F

n

n

,

(2)

F

F

F

F

´®°¬³« 

cos = q A A +qB B A +B  A +B § ¤ ¥² ¢¥«¨·¨­³ ³£«  ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨, ° ¢­®£® ¯¥°¥±¥·¥­¨¾ F \ F, (¨«¨ F, \ F ). 1

2 1

2

2 1

1

2

2 2

2 2

(1) +

(2) +

(2)

(1)

6. «®±ª®±²¨ ¨ ¯°¿¬»¥ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥

6.1. «®±ª®±²¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ®ª  ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°®¨§¢®«¼­ ¿  ´´¨­­ ¿. ³±²¼ ~a ¨ ~b | ¤¢  «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ ¢¥ª²®° , ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯«®±ª®±²¨. ²® ¡ §¨± ¯«®±ª®±²¨. ®½²®¬³ «¾¡®© ¢¥ª²®° ®¤­®§­ ·­® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ¨µ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¨. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢§¿¢ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ²®·ª³ ¯«®±ª®±²¨ ± ° ¤¨³±¢¥ª²®°®¬ ~r , ¯®«³·¨¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ¯«®±ª®±²¨ ~r = ~r + t~a + s~b; 0

0

£¤¥ s ¨ t | ¯ ° ¬¥²°». ˆ§ ½²¨µ ³° ¢­¥­¨© (¨«¨ ¨§ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ±®®¡° ¦¥­¨©) ¿±­®, ·²® ²®·ª  ± ° ¤¨³±-¢¥ª²®°®¬ ~r «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ~r , ~r , ~a ¨ ~b 0

21


ª®¬¯« ­ °­», ². ¥. «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬». ¥°¥µ®¤¿ ª  ´´¨­­»¬ ª®®°¤¨­ ² ¬ ¨ ¢±¯®¬¨­ ¿ ²¥®°¥¬³ ¨§  «£¥¡°», ¯®«³· ¥¬ ³° ¢­¥­¨¥

x , x y , y z , z

a a a

= 0:

b b b

0

Ž¡®§­ · ¿

0

0

1

2

3

1

2

3

a a

A :=

b b

;

a a

B :=

b b

; C :=

ab

,x ,y ,z D := ,(Ax + By + Cz ) =

a a a

b b b ¯°¥®¡° §³¥¬ ³° ¢­¥­¨¥ ª ¢¨¤³ 2

3

3

1

1

2

3

3

1

1

0

0

0

0

0

0

1

2

3

1

2

3

a b

2

;

2

;

A(x , x ) + B (y , y ) + C (z , z ) = 0; 0

0

0

Ax + By + Cz + D = 0: ®±ª®«¼ª³ ~a ¨ ~b ­¥ª®««¨­¥ °­», ²® (A; B; C ) 6= 0. “¢¨¤¥²¼ ½²® ¬®¦­®, ­ ¯°¨¬¥°, ¨§ ±«¥¤³¾¹¥£® ° ±±³¦¤¥­¨¿. „®¯³±²¨¬, ai ¨ bj | ª®®°¤¨­ ²» ­¥ª®²®°»µ ¢¥ª²®°®¢ ~a0 ¨ ~b0 ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² "0 = (e0 ; e0 ; e0 ) ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®°¨¥­² ¶¨¨. ²¨ ²°®©ª¨ ·¨±¥« ­¥­³«¥¢»¥ ­¥¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»¥, ² ª ·²® ~a0 ¨ ~b0 ­¥ª®««¨­¥ °­». ‡­ ·¨², [~a0; ~b0] 6= 0. ® ª®¬¯®­¥­²» ½²®£® ¢¥ª²®°  (¢ "0) ¢ ²®·­®±²¨ ° ¢­» (A; B; C ). ˆ² ª, Ax + By + Cz + D = 0 | ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª . Ž­® ­ §»¢ ¥²±¿ 1

2

3

®¡¹¨¬ ³° ¢­¥­¨¥¬ ¯«®±ª®±²¨.

Ž¡° ²­®, ° ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  Ax + By + Cz + D = 0. ’®£¤  ®¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ¯°¨ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ­ ¯°¨¬¥°, A, ­¥ ° ¢¥­ 0.  ±±¬®²°¨¬ ²®·ª³ M (, DA ; 0; 0) ¨ ¢¥ª²®°» ~a = (,B; A; 0) ¨ ~b = (,C; 0; A). ‚¥ª²®°» ­¥ª®««¨­¥ °­», ¯®½²®¬³ ³° ¢­¥­¨¥

x + DA y z

,B A 0

= 0

,C 0 A

§ ¤ ¥² ¯«®±ª®±²¼, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ ²®·ª³ M ¯ ° ««¥«¼­® ~a ¨ ~b. ® ¥±«¨ ¬» ° ±¯¨¸¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼, ²® ¯®«³·¨¬ ¢ ²®·­®±²¨ ¨±µ®¤­®¥ ³° ¢­¥­¨¥. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¨  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ®² ²°¥µ ¯¥°¥¬¥­­»µ | ½²® ®¤­® ¨ ²® ¦¥ (­¨ª ª®© ®¤­®§­ ·­®±²¨ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ ¤ ¦¥ ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®©  ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ­¥ ³²¢¥°¦¤ ¥²±¿). 22


‡ ¬¥· ­¨¥ 6.1. ‚ ¯®«­®©  ­ «®£¨¨ ±® ±«³· ¥¬ ¯°¿¬®© ­  ¯«®±ª®±²¨, ¯«®±ª®±²¼ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥, § ¤ ­­ ¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ F (x; y; z) = Ax + By + Cz + D = 0, ° §¡¨¢ ¥² ¯°®±²° ­±²¢® ­  ¤¢  ¯®«³¯°®±²° ­±²¢ 

F = f(x; y; z) j F (x; y; z) > 0g;

F, = f(x; y; z) j F (x; y; z) < 0g:

+

‚¥ª²®° (A; B; C ) ®¯¿²¼ ³ª §»¢ ¥² ­  F . +

‹¥¬¬  6.2.

‚¥ª²®°

²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

( ; ; ) ¯ ° ««¥«¥­ ¯«®±ª®±²¨ Ax + By + Cz + D = 0 ²®£¤  ¨ A + B + C = 0.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. €­ «®£¨·­® ¯°¿¬®© ­  ¯«®±ª®±²¨. ’¥®°¥¬  6.3.  

2

«®±ª®±²¨ ¨ , § ¤ ­­»¥ ³° ¢­¥­¨¿¬¨ A x + B y + C z + D = 0 A x + B y + C z + D = 0 ¯ ° ««¥«¼­» ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢¥ª²®°» (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ª®««¨­¥ °­», ². ¥. AA12 = BB21 = CC12 . ²¨ ¯«®±ª®±²¨ ±®¢¯ A1 = B1 = C1 = D1 . ¤ ¾² ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  A2 B2 C2 D2 1

¨

2

2

1

1

2

1

2

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

2

1

1

1

1

2

2

2

ˆ§ ³±«®¢¨¿ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®±²¨ ±«¥¤³¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢  °¥¸¥­¨© ³° ¢­¥­¨© A + B + C = 0 ¨ A + B + C = 0 ±®¢¯ ¤ ¾², ². ¥. ¯«®±ª®±²¿¬ ¯ ° ««¥«¼­» ®¤­¨ ¨ ²¥ ¦¥ ¬­®¦¥±²¢  ¢¥ª²®°®¢,   §­ ·¨², ¯«®±ª®±²¨ ¯ ° ««¥«¼­». ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. (Œ®¦­® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬®© ¨ ´ ª²®¬ ¨§ ²¥®°¨¨ «¨­¥©­»µ ±¨±²¥¬, ®¤­ ª® ¯°¨¢¥¤¥¬ ¯®«­®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®). Ž¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ¯¥°¢®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¤®«¦¥­ ¡»²¼ ®²«¨·¥­ ®² ­³«¿. ¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨, ½²® A . ’®£¤  ¯® «¥¬¬¥, ­¥ª®««¨­¥ °­»¥ ¢¥ª²®°» (,B ; A ; 0) ¨ (,C ; 0; A ) ¯ ° ««¥«¼­» ¯«®±ª®±²¨  ¨, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ®¡° §³¾² ¡ §¨±. ®±ª®«¼ª³  k  , ²® „®±² ²®·­®±²¼. 1

1

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

A  (,B ) + B  A + C  0 = 0; 2

1

2

1

1

2

A  (,C ) + B  0 + C  A = 0;

2

2

1

2

2

1

®²ª³¤ 

A =B; A =C: A B A C ¥°¥©¤¥¬ ª® ¢²®°®© ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨. „®±² ²®·­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ . ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ® ¯¥°¢®© · ±²¨ A = A , B = B ¨ C = C . ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª  ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¥©, ² ª ·²® 1

1

1

1

2

2

2

2

2

0

0

1

2

1

2

1

0

0 = (A x + B y + C z + D ) , (A x + B y + C z + D ) = D , D : 1

0

1 0

1 0

1

2

°®¯®°¶¨®­ «¼­®±²¼ ·¥²¢¥°®ª ³±² ­®¢«¥­ .

‘«¥¤±²¢¨¥ 6.4. ª ¾²±¿

0

2 0

2 0

2

1

2

2

«®±ª®±²¨  ¨  (¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬») ¯¥°¥±¥(¯® ¯°¿¬®©) ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢¥ª²®°» (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) 1

2

1

­¥ª®««¨­¥ °­».

23

1

1

2

2

2


Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.5.

­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ´¨ª±¨°®¢ ­­³¾ ¯°¿¬³¾. ¥±®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬ ¯«®±ª®±²¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯ ° ««¥«¼­»µ ¤ ­­®© ¯«®±ª®±²¨.

’¥®°¥¬  6.6.

‘®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬ ¯«®±ª®±²¥©

F = Ax + By + Cz + D = 0 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¯³·ª³ ¯«®±ª®±²¥©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¬³ ¤¢³¬¿ ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¯«®±ª®±²¿¬¨ F = A x + B y + C z + D = 0 ¨ F = A x+B y +C z +D = 0 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  F = F + F , £¤¥ ¨ ­¥ ° ¢­» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­³«¾. «®±ª®±²¼

1

1

2

1

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

2

2

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®«­®±²¼¾  ­ «®£¨·­® ±«³· ¾ ¯°¿¬»µ.  ¯®¬­¨¬ ®±­®¢­»¥ ½² ¯».  ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ¯³·ª :  \  = l. «®±ª®±²¼  ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ½²®¬³ ¯³·ª³ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  l  . ³±²¼ P 62 l | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª  .  ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥ Fe := F (P )  F , F (P )  F = 0: ±®¡±²¢¥­­®£®

¥®¡µ®¤¨¬®±²¼.

1

2

0

2

0

1

1

0

2

²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨ ² ª ª ª (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ­¥ª®««¨­¥ °­» (¨­ ·¥ ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ±®¡±²¢¥­­»¬ ¯³·ª®¬). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ § ¤ ¥² ¯«®±ª®±²¼. °¨ ½²®¬ l ¨ P ¢ ­¥© ±®¤¥°¦ ²±¿. ‡­ ·¨², ½²® . „ «¼¸¥ ³¬­®¦ ¥¬ ­  ª®­±² ­²³. „®±² ²®·­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ .  ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ­¥±®¡±²¢¥­­®£® ¯³·ª :  k ,  6=  . ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ P | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª   , ¯ ° ««¥«¼­®©  ¨  .  ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥ Fe := F (P )  F , F (P )  F = 0: 1

1

1

2

2

2

0

1

2

1

2

0

2

1

0

1

1

0

2

2

²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ² ª ª ª (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) e B; e Ce ) = 0, «¨¡® ½²®² ¢¥ª²®° ­¥­³«¥¢®© ¨ ª®««¨­¥ °¥­ ª®««¨­¥ °­», ²® «¨¡® (A; (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ). ®±ª®«¼ª³ Fe = 0 ¨¬¥¥² °¥¸¥­¨¿, ­ ¯°¨¬¥°, P , ²® ¨§ e B; e Ce ) = 0 ¤®«¦­® ±«¥¤®¢ ²¼ D f = 0, ². ¥. F ¨ F ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»,   §­ ·¨², (A;  =  , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¿¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¾¹¥¥ ¯«®±ª®±²¼, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ P ¨ ¯ ° ««¥«¼­³¾  ¨  , ². ¥. . „®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ § ¢¥°¸ ¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ±®¡±²¢¥­­®¬ ±«³· ¥. „®±² ²®·­®±²¼ ®·¥¢¨¤­ . 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.7. ‘®¡±²¢¥­­®© ±¢¿§ª®© ¯«®±ª®±²¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ´¨ª±¨°®¢ ­­³¾ ²®·ª³. ¥±®¡±²¢¥­­®© ±¢¿§ª®© ¯«®±ª®±²¥© ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯«®±ª®±²¥©, ¯ ° ««¥«¼­»µ ¤ ­­®© ¯°¿¬®©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 6.8. ’°¨ «¾¡»¥ ¯«®±ª®±²¨, ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ ®¤­®¬³ ¯³·ª³, ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¾² ±¢¿§ª³. (±¬. § ¤ ·³ ¨§ § ¤ ·­¨ª  ® ¢§ ¨¬­®¬ ° ±¯®«®¦¥­¨¨ ²°¥µ ¯«®±ª®±²¥©) 1

1

1

1

2

2

1

2

2

0

1

1

1

2

2

0

24

1

2

2

2


’¥®°¥¬  6.9.

F = Ax + By + Cz + D = 0 ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ±¢¿§ª¥ ¯«®±ª®±²¥©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¬³ ²°¥¬¿ ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¯«®±ª®±²¿¬¨ Fi = Ai x + Bi y + Ci z + Di = 0, (i = 1; 2; 3) ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  F = F + F + F (¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨, ·²® ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨« ±¼ ¯«®±ª®±²¼, ². ¥. ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª ), ¨«¨, ½ª¢¨¢ «¥­²­®,

A B C D

A B C D

= 0:

A B C D

A B C D

«®±ª®±²¼

1

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

1

2

2

3

3

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¥¦¤¥ ¢±¥£® ¯®ª ¦¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼ ¯®±«¥¤­¨µ ¤¢³µ ³±«®¢¨©.

‚ ®¤­³ ±²®°®­³ ®·¥¢¨¤­®. ‚ ¤°³£³¾: ¤®¯³±²¨¬, ·²® ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ° ¢¥­ ­³«¾ (¯°¨ ³±«®¢¨¨ ±¢¿§ª¨). ’®£¤  ±²°®ª¨ «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬». „®¯³±²¨¬, ·²® ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°¨ F ° ¢¥­ ­³«¾, ². ¥. § ¢¨±¨¬» ³° ¢­¥­¨¿ Fi = 0, (i = 1; 2; 3). ®±ª®«¼ª³ ¨¬¥¥¬ ±¢¿§ª³, ²® ² ª®£® ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥² (¯®«³· ¥¬, ° §®¡° ¢ ±«³· ¨). ‘®¡±²¢¥­­»© ±«³· ©. ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ²°¥µ ¯«®±ª®±²¥©. „®±² ²®·­®±²¼. …±«¨ ¨¬¥¥¬ «¨­¥©­³¾ ª®¬¡¨­ ¶¨¾, ²® ¨§ Fi(x ; y ; z ) = 0, (i = 1; 2; 3), ±«¥¤³¥², ·²® ¨ F (x ; y ; z ) = F (x ; y ; z ) + F (x ; y ; z ) + F (x ; y ; z ) = 0. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¢±¥µ ·¥²»°¥µ ¯«®±ª®±²¥©. ’®£¤  ¢ ³ª § ­­®© ¬ ²°¨¶¥ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ±²®«¡¶®¢ ± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ (x ; y ; z ; 1) ­¥²°¨¢¨ «¼­  ¨ ° ¢­  ­³«¾. ‡­ ·¨², ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ° ¢¥­ ­³«¾. ¥±®¡±²¢¥­­»© ±«³· ©. ³±²¼ ( ; ; ) | ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®©, ª®²®°®© ¯ ° ««¥«¼­» ¯«®±ª®±²¨ ±¢¿§ª¨. „®±² ²®·­®±²¼. …±«¨ ¨¬¥¥¬ «¨­¥©­³¾ ª®¬¡¨­ ¶¨¾, ²® ¨§ Ai + Bi + Ci = 0, (i = 1; 2; 3), ±«¥¤³¥², ·²® «¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ( A + A + A ) +: : : ² ª¦¥ ° ¢­  ­³«¾. Ž±² «®±¼ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ª°¨²¥°¨¥¬ ¯ ° ««¥«¼­®±²¨ ¢¥ª²®°  ¨ ¯«®±ª®±²¨. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ‹¨­¥©­ ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ±²®«¡¶®¢ ± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ ( ; ; ; 1) ° ¢­  0, ·²® ¢«¥·¥² ° ¢¥­±²¢® ­³«¾ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿. 2 0

0

0

0

0

3

3

0

0

0

0

1

1

0

0

0

2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

2

2

3

3

6.2. «®±ª®±²¼ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² °¥¤«®¦¥­¨¥ 6.10.  ±±¬®²°¨¬ ¯«®±ª®±²¼ Ax + By + Cz + D = 0. ’®£¤  ¢¥ª²®° n := (A < B; C ) ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ ¯«®±ª®±²¨.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚¥ª²®° ( ; ; ) ¯ ° ««¥«¥­ ¯«®±ª®±²¨ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  0 = A + B + C = hn; ( ; ; )i; ². ¥. ¢¥ª²®° n ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°¥­ «¾¡®¬³ ¢¥ª²®°³ ¯«®±ª®±²¨ . 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.11. ²®² ¢¥ª²®° n, § ¢¨±¿¹¨© ®² ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¨ ³° ¢­¥­¨¿, ­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬ «¼¾ ª ¯«®±ª®±²¨. 25


’¥®°¥¬  6.12.

³±²¼ ¯«®±ª®±²¼

 ¨¬¥¥² ³° ¢­¥­¨¥ Ax + By + Cz + D = 0,   P

0 ±

(x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª . ’®£¤  (P; ) = jAxp+ By + Cz + Dj : A +B +C „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P (x ; y ; z ) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª  . ’®£¤ 

,!P; nij jA(x , x ) + B (y , y ) + C (z , z )j d !

jh, , , ! P

p (P; ) = jPP j

cos P P; n

= jnj = = A +B +C = j(Ax + By + Czp+ D) , (Ax + By + Cz + D)j = jAxp+ By + Cz + Dj : 2 A +B +C A +B +C “£«» ¬¥¦¤³ ¯«®±ª®±²¿¬¨, ­®°¬ «¼­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¨ ². ¤. ² ª¦¥ ®¯°¥¤¥«¿¾²¿ ¨ ¢»·¨±«¿¾²±¿ ¯®«­®±²¼¾  ­ «®£¨·­® ±«³· ¾ ¯°¿¬»µ ­  ¯«®±ª®±²¨. ª®®°¤¨­ ² ¬¨

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2

6.3. °¿¬ ¿ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ’¥ª³¹¨© ¢¥ª²®° ²®·ª¨ ­  ¯°¿¬®© § ¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ~r = ~r + ~a  t, £¤¥ ~r | ° ¤¨³±-¢¥ª²®° ­ · «¼­®© ²®·ª¨,   ~a | ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© (±¬. °¨±. 1). 0

     :   3      ,   ,   , 0  ,  , 

~a

~r

~r

¨±. 1. …±«¨ ¢ ª®®°¤¨­ ² µ ~a = ( ; ; ), ²® ¯®«³· ¥¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ 8 > < x = x + t y = y + t > : z = z + t 0

0

0

¥§ ¯ ° ¬¥²°  ®­¨ ¬®£³² ¡»²¼ § ¯¨± ­» ª ª ª ­®­¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ x,x = y,y = z,z :

0

0

26

0

0


‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¯°¿¬ ¿ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ³¦¥ ¤¢³¬¿ «¨­¥©­»¬¨ ³° ¢­¥­¨¿¬¨, ¨­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ª ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¤¢³µ ¯«®±ª®±²¥©. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ~a 6= 0, ¤®¯³±²¨¬, ·²® 6= 0 ¨ ¢®§­¨ª ¾² ¤¢¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨

(x , x ) , (y , y ) = 0 (x , x ) , (z , z ) = 0 Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¨¬¥¥¬ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¤¢³µ ¯«®±ª®±²¥©, ². ¥. ±¨±²¥¬³ ( A x+B y +C z +D = 0 A x+B y +C z +D = 0 0

0

0

0

1

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2

2

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¯°¨·¥¬ (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ­¥ª®««¨­¥ °­». 1

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°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.13.

2

2

‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ° -

! B C C A A B

( ; ; ) :=

B C

;

C A

;

A B

:

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„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³ª § ­­»© ¢¥ª²®° ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®°­»¬ ¯°®¨§-

¢¥¤¥­¨¥¬, ² ª ª ª ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ­¥ ®¡¿§ ­  ¡»²¼ ¯°¿¬®³£®«¼­®©.  ¤® ¤®ª § ²¼, ·²® (1) ³ª § ­­»© ¢¥ª²®° ¿¢«¿¥²±¿ ­¥­³«¥¢»¬ ¨ (2) ®­ ¯ ° ««¥«¥­ ¯«®±ª®±²¿¬, ². ¥. ( A +B +C = 0 A +B +C = 0  ·­¥¬ ± (2):

A B C

C

+ B

C A

+ C

A B

=

A B C

= 0: A

B

C A

A B

A B C

B C

1

1

1

2

2

1

1

1

1

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1

1

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1

1

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1

1

2

2

2

€­ «®£¨·­®, ¤«¿ ¢²®°®£® ³° ¢­¥­¨¿. (1). „®¯³±²¨¬, ·²® ¢¥ª²®° ­³«¥¢®©. ’®£¤  B =C; C =A; A =B B C C A A B ¨ ¢¥ª²®°» (A ; B ; C ) ¨ (A ; B ; C ) ª®««¨­¥ °­». °®²¨¢®°¥·¨¥. (Œ®¦­® ² ª¦¥ ¤®ª §»¢ ²¼, ° ±±³¦¤ ¿ ± ¢¥ª²®°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¢ ¤°³£®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ².) 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

27


6.4. ¥ª®²®°»¥ ´®°¬³«» ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² 1. “£®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨ ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ³° ¢­¥­¨¿¬¨ ~r = ~r + ~a  t ¨ ~r = ~r + ~a  t: cos ' = jh~a ;~a ij = q j + q + j j~a j  j~a j + +  + + : 2. “£®« ¬¥¦¤³ ¯°¿¬®© ~r = ~r + ~a  t ¨ ¯«®±ª®±²¼¾ Ax + By + Cz + D = 0: jA + B p+ C j sin ' = p : A +B +C  + + 3.  ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ±ª°¥¹¨¢ ¾¹¨¬¨±¿ ¯°¿¬»¬¨ ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ³° ¢­¥­¨¿¬¨ ~r = ~r + ~a  t ¨ ~r = ~r + ~a  t. ®±²°®¨¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ±® ±²®°®­ ¬¨ ~r , ~r , ~a ¨ ~a . ’®£¤  ¨±ª®¬®¥ ° ±±²®¿­¨¥ | ¢»±®²  ½²®£® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ :

0 1

B x , x y , y z , z C

A

det @

r , ~r ij = v  = VS = jh~a ;~ja[~a ;~;~

: u a ]j u

t

+

+

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1

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1

2

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2

2

2

2

2

2

4.  ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨ ± ° ¤¨³±-¢¥ª²®°®¬ ~r ¤® ¯°¿¬®© ± ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ³° ¢­¥­¨¥¬ ~r = ~r + ~a  t. ®±²°®¨¬ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ±® ±²®°®­ ¬¨ ~r , ~r ¨ ~a . 1

0

’®£¤  ¨±ª®¬®¥ ° ±±²®¿­¨¥ | ¢»±®²  ½²®£® ¯ ° ««¥«¥«®£° ¬¬ :  = j~aS j = j[~r ,j~a~rj ;~a ]j = v

u u y , y z , z z , z x , x

+

x , x y , y t

+

p + + = 1

0

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2

0

:

7. ‡ ¬¥­» ª®®°¤¨­ ²

 ¯®¬­¨¬, ·²®  ´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ § ¤ ¥²±¿ °¥¯¥°®¬ ,! = x~e + y~e + z~e . Oe e e ,   ²®·ª  M ¯°¨®¡°¥² ¥² ª®®°¤¨­ ²» (x; y; z), ¥±«¨ , OM  ±±¬®²°¨¬ ² ª¦¥ ¤°³£®© °¥¯¥° O0e0 e0 e0 ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ².  §«®¦¨¬ ­®¢»¥ ¢¥ª²®°» ¯® ±² °®¬³ ¡ §¨±³: 8 0 > < ~e 0 = c ~e + c ~e + c ~e ~e = c ~e + c ~e + c ~e > : ~e 0 = c ~e + c ~e + c ~e 1 2 3

1

1 2 3

1

11

1

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2

31

3

2

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1

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2

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3

3

13

1

23

2

33

3

28

2

3


Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 7.1.

Œ ²°¨¶¥© ¯¥°¥µ®¤ 

®² Oe e e ª O0e0 e0 e0 ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶  1 c c c c C A; c c 1 2 3

1 2 3

0 c C=B @c c ². ¥. ² ª ¿ ¬ ²°¨¶ , ¯® ±²®«¡¶ ¬ ª®²®°®© ±²®¿² ª®®°¤¨­ ²» ­®¢»µ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢ ±² °®¬ ¡ §¨±¥. ‡ ¬¥· ­¨¥ 7.2. Š ª ¡»«® ¯®ª § ­®, ­ ¯°¬¥°, ¯°¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ®°¨¥­² ¶¨¨, e0 e0 e0 ¿¢«¿¥²±¿ ¡ §¨±®¬ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  C ­¥¢»°®¦¤¥­ , ². ¥. det C 6= 0.  ¯®¬­¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ±¢®©±²¢  ®¯¥° ¶¨© ­ ¤ ¬ ²°¨¶ ¬¨. ³±²¼ A = kaij k | ¬ ²°¨¶  m  n, ² ª ·²® ¢ ­¥© m ±²°®ª ¨ n ±²®«¡¶®¢, i = 1; : : : ; m, j = 1; : : :; n. ³±²¼ B = kbklk | ¬ ²°¨¶  n  p. °®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¬ ²°¨¶ A ¨ B (·¨±«® ±²®«¡¶®¢ A ¤®«¦­® ±®¢¯ ¤ ²¼ ± ·¨±«®¬ ±²°®ª B ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶  C ° §¬¥°  m  p, ¬ ²°¨·­»¥ ½«¥¬¥­²» ª®²®°®© ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ´®°°¬³«®© n X cij := aik bkj ; 11 21 31

12

13

22

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33

1 2 3

k=1

(\³¬­®¦¥­¨¥ i-© ±²°®ª¨ A ­  j -© ±²®«¡¥¶ B "). T T ’° ­±¯®­¨°®¢ ­­®© ¬ ²°¨¶¥© ª ¬ ²°¨¶¥ A ­ §»¢ ¥²±¿ ² ª ¿ ¬ ²°¨¶  A = kaij k ° §¬¥°  n  m, ·²® aTij = aji. ‚»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ±¢®©±²¢  (¢® ¢±¥ ¯³­ª² µ, ª°®¬¥ ¯¥°¢®£®, ¬ ²°¨¶» ª¢ ¤° ²­»¥): 1) (AB )T = B T AT , 2) det AT = det A, 3) det (AB ) = det A  det B , 4) (AT ), = (A, )T (¥±«¨ ®¡° ²­ ¿ ¬ ²°¨¶  ±³¹¥±²¢³¥²). 1

’¥®°¥¬  7.3.

1

Š®®°¤¨­ ²» ²®·ª¨ ¢ ±² °®© ¨ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ±¢¿§ ­»

±®®²­®¸¥­¨¿¬¨

£¤¥

O0

0 1 0 0 x B@ y CA = C B@ xy0 z z0

1 0 1 CA + B@ xy CA ; z 0

(1)

0 0

C | ¬ ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  ®² ±² °®£® ¡ §¨±  ª ­®¢®¬³, (x ; y ; z ) | ª®®°¤¨­ ²» (­®¢®£® ­ · «  ª®®°¤¨­ ²) ¢ ±² °®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ², (x; y; z) ¨ (x0; y0; z0) 0

0

0

| ª®®°¤¨­ ²» ¤ ­­®© ²®·ª¨ ¢ ±² °®© ¨ ­®¢®© ±¨±²¥¬ µ ª®®°¤¨­ ², ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.

29


„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž¡®§­ ·¨¬ ¤ ­­³¾ ²®·ª³ ·¥°¥§ M . ’®£¤  ,!0 + ,,! ,,! ,OM ,! = ,OO O0M; OO0 = x ~e + y ~e + z ~e ; ,,! O0 M = x0~e 0 + y0~e 0 + z0~e 0 = 0

= x0(c

1

2

0

2

0

3

3

~e + c ~e + c ~e ~e + c ~e + c ~e ) + z0(c ~e + c ~e + c ~e ) = = (x0c + y0c + z0c ) ~e + (x0c + y0c + z0c ) ~e + (x0c + y0c + z0c ) ~e ; ,OM ,! = (x + x0c + y0c + z0c ) ~e + +(y + x0c + y0c + z0c ) ~e + (z + x0c + y0c + z0c ) ~e : 2 11

1

21

11

2

31

12

3

) + y0(c

1

13

12

1

1

21

21

‘«¥¤±²¢¨¥ 7.4.

22

23

2

32

22

0

0

22

11

2

23

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0

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1

31

13

23

2

32

33

33

3

3

1

31

32

33

3

Š®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®°®¢ ¢ ±² °®© ¨ ­®¢®© ±¨±²¥¬ µ ±¢¿§ ­» ±®®²-

0 1 0 01 B@ CA = C B@ 0 CA : 0

­®¸¥­¨¿¬¨:

‡ ¬¥· ­¨¥ 7.5. ‚±¿ª®¥ ±®®²­®¸¥­¨¥ ¢¨¤  (1) ± ­¥¢»°®¦¤¥­­®© ¬ ²°¨¶¥© C ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°®¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ­® ª ª ¯¥°¥µ®¤ ª ­¥ª®²®°®© ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ². ‚ · ±²­®±²¨, ¯°¨¬¥­¿¿ ª ª®®°¤¨­ ² ¬ ¡ §¨±­»µ ¢¥ª²®°®¢, ¯®«³· ¥¬ ®¤­®§­ ·­®±²¼.

’¥®°¥¬  7.6.

C | ¬ ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  ®² Oe e e ª Oe0 e0 e0 ,   D | ¬ 0 0 0 00 00 00 ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  ®² Oe e e ª Oe e e . ’®£¤  CD | ¬ ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  ®² Oe e e 00 00 00 ª Oe e e . ³±²¼

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

„®ª § ²¥«¼±²¢®. (” ª²¨·¥±ª¨ ½²® ¯¥°¢®¥ ±¢®©±²¢® ²° ­±¯®­¨°®¢ ­¨¿.) 0 1 0 01 0 00 1 x x x B@ y C B C B 0 A = C @ y A = CD @ y00 CA : z z0 z00

2

7.1. °¿¬®³£®«¼­»¥ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¨ ®°²®£®­ «¼­»¥ ¬ ²°¨¶» Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 7.7. Š¢ ¤° ²­ ¿ ¬ ²°¨¶  C ­ §»¢ ¥²±¿ ®°²®£®­ «¼­®©, ¥±«¨ C T = C , , ². ¥. C T C = E ¨ CC T = E . 1

’¥®°¥¬  7.8.

Œ ²°¨¶ 

C

¿¢«¿¥²±¿ ®°²®£®­ «¼­®© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

®­  ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© ¯¥°¥µ®¤  ®² ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨±  ª ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬³.

30


„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ±®®²­®¸¥­¨¥ C T C = E . ‚ ¬ ²°¨¶¥ C T ¢ i-© ±²°®ª¥ 0

§ ¯¨± ­» ª®®°¤¨­ ²» ~e i ¢ ¡ §¨±¥ ~e j (² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ i-¬ ±²®«¡¶¥ C ). ®½²®¬³, ¥±«¨ ~e j | ¯°®¨§¢®«¼­»© ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨±, ²® ¯° ¢¨«® ³¬­®¦¥­¨¿ ¬ ²°¨¶ \±²°®ª  ­  ±²®«¡¥¶" § ¯¨¸¥²±¿ ª ª

h~e 0i;~e 0j i = Eij = ij ;   ½²® ¨ ¥±²¼ ³±«®¢¨¥ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®±²¨ ¡ §¨±  ~e 0j .

“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 7.9.

2

2  2 ¨¬¥¾² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢: ! ! cos ' , sin ' cos ' sin ' C = sin ' cos ' ; C = sin ' , cos ' : “£®« ' ¬®¦­® ±·¨² ²¼ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¬ [0; 2 ). Ž°²®£®­ «¼­»¥ ¬ ²°¨¶»

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ®°²®£®­ «¼­³¾ ¬ ²°¨¶³ ª ª ¬ ²°¨¶³ ¯¥°¥µ®¤  ®² 0 0

®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¡ §¨±  ~e ;~e ª ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­®¬³ ¡ §¨± ³ ~e ;~e . ’®£¤  ¢¥ª²®° ~e 0 ¨¬¥¥² ª®®°¤¨­ ²» (cos '; sin ') ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® '. ¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»© ¥¬³ ¢¥ª²®° ¥¤¨­¨·­®© ¤«¨­» (¤¢ ) ° ¢¥­ ( sin ';  cos '). 2 ‡ ¬¥· ­¨¥ 7.10. ‚ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ det 1,   £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« | ¯®¢®°®² ­  ³£®« '. ‚® ¢²®°®¬ ±«³· ¥ det C = ,1,   £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯®¢®°®²  ­  ³£®« ' ¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ~e , ¯®¢¥°­³²®£® ­  ³£®« '. 1

2

1

2

1

1

“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 7.11. C 1 „®ª § ²¥«¼±²¢®. 1 = det E = det (C T C ) = det (C T )det C = (det C ) . 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 7.12. Ž°²®£®­ «¼­ ¿ ¬ ²°¨¶  ± ®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ +1 ­ §»¢ ¥²±¿ Œ­®¦¥±²¢® ² ª¨µ ¬ ²°¨¶ ° §¬¥°­®±²¨ n  n ®¡®§­ · ¥²±¿ SO(n). ( !) cos ' , sin ' ‡ ¬¥· ­¨¥ 7.13. Œ» ¯®ª § «¨, ·²® SO(2) = . Ž¯¨± ­¨¥ Ž¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ®°²®£®­ «¼­®© ¬ ²°¨¶»

¢¥­

«¾¡®£® ¯®°¿¤ª  ° -

.

2

±¯¥-

¶¨ «¼­®© ®°²®£®­ «¼­®©.

sin ' cos '

SO(3) ±®±² ¢«¿¥² ±®¤¥°¦ ­¨¥ ±«¥¤³¾¹¥£® ¯³­ª² .

7.2. “£«» ©«¥°   ±±¬®²°¨¬ ¯¥°¥µ®¤ ®² ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬» Oe e e ª ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ 0 Oe e0 e0 . ‘·¨² ¥¬, ·²® ®­¨ ®¤¨­ ª®¢®© ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®°¨¥­² ¶¨¨. …±«¨ ~e 0 = ~e , ²® ¢±¥ ±¢®¤¨²±¿ ª § ¬¥­¥ ª®®°¤¨­ ² ­  ¯«®±ª®±²¨ ± det = +1. …±«¨ ~e 0 = ,~e , ²® ¢±¥ ±¢®¤¨²±¿ ª § ¬¥­¥ ª®®°¤¨­ ² ­  ¯«®±ª®±²¨ ± det = ,1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¢¥ª²®°» ~e ¨ ~e 0 ­¥ª®««¨­¥ °­». ²® ­®°¬ «¼­»¥ ¢¥ª²®°» ª ¯«®±ª®±²¿¬  = Oe e ¨ 0 = 0e0 e0 . ’®£¤  f~ := k ~~ee 33 ;~;~ee 33 k ¿¢«¿¥²±¿ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨¬ ¢¥ª²®°®¬ ¯°¿¬®© d ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ½²¨µ ¯«®±ª®±²¥©. °®¨§¢¥¤¥¬ ¯¥°¥µ®¤ ®² °¥¯¥°  1 2 3

1 2 3

3

3

3

1 2

3

[ [

1 2

31

0

0

] ]

3 3


Oe e e ª Ofge , ±®µ° ­¿¿ ®°¨¥­² ¶¨¾. ²® ¢° ¹¥­¨¥ ¢®ª°³£ ~e ­  ­¥ª®²®°»© ³£®« ' (³£®« ®² ~e ª f~, ' 2 [0; 2)). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  0 1 cos ' , sin ' 0 C=B @ sin ' cos ' 0 CA : 0 0 1 ’¥¯¥°¼ ¯°®¢¥¤¥¬ ¢° ¹¥­¨¥ ¢®ª°³£ f~ ² ª, ·²®¡» ~e ±®¢¬¥±²¨«±¿ ± ~e 0 . ‚ ±¨«³ ¢»¡®°  ­ ¯° ¢«¥­¨¿ f~ ½²® ¢° ¹¥­¨¥ ­  ³£®«  2 [0; ]. ®«³· ¥¬ ¯¥°¥µ®¤ ª ­¥ª®²®°®¬³ °¥¯¥°³ Ofhe0 , ¯°¨·¥¬ ¯«®±ª®±²¼ Ofh ±®¢¯ ¤ ¥² ± Oe0 e0 ,   ¬ ²°¨¶  ¥£® ° ¢­  0 1 1 0 0 D=B @ 0 cos  , sin  CA : 0 sin  cos  Ž±² «®±¼ ®±³¹¥±²¢¨²¼ ¢° ¹¥­¨¥ ¢®ª°³£ ~e 0 (². ¥. ¢ ¯«®±ª®±²¨ Ofh = Oe0 e0 ), ·²®¡» ±®¢¬¥±²¨²¼ f~ ± ~e 0 . °¨ ½²®¬, ¢ ±¨«³ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ®°¨¥­² ¶¨©, ®¡° § ~e ¯¥°¥©¤¥² ¢ ~e 0 . ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  0 1 cos , sin 0 F =B 2 [0:2): @ sin cos 0 CA ; 0 0 1 ‚ ±¨«³ ²¥®°¥¬» 7.6, °¥§³«¼²¨°³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  ®² Oe e e ª Oe0 e0 e0 ° ¢­  0 10 10 1 cos ' , sin ' 0 1 0 0 cos , sin 0 CDF = B @ sin ' cos ' 0 CA B@ 0 cos  , sin  CA B@ sin cos 0 CA = 0 0 1 0 sin  cos  0 0 1 0 10 1 cos ' , sin ' cos  sin ' sin  cos , sin 0 =B @ sin ' cos ' cos  , cos ' sin  CA B@ sin cos 0 CA = 0 sin  cos  0 0 1 0 1 cos ' cos , sin ' cos  sin , cos ' sin , sin ' cos  cos sin ' sin  =B @ sin ' cos + cos ' cos  sin , sin ' sin + cos ' cos  cos , cos ' sin  CA ; sin  sin sin  cos cos  £¤¥ ' 2 [0; 2) | ³£®« ®² ~e ª f~, 2 [0; 2) | ³£®« ®² f~ ª ~e 0 ,    2 [0; ] | ³£®« ¬¥¦¤³ ~e ¨ ~e 0 . 1 2 3

3

3

1

3

3

3

1 2

3

1 2 2

1

2

1 2 3

1

3

1 2 3

1

3

8. ®«¿°­»¥, ±´¥°¨·¥±ª¨¥ ¨ ¶¨«¨­¤°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²»

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 8.1.

®«¿°­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ­  ®°¨¥­²¨°®¢ ­­®© ¯«®±ª®±²¨ § ¤ ¥²±¿ ¢»¡®°®¬ ²®·ª¨ O, ­ §»¢ ¥¬®© ­ · «®¬ ¨«¨ ¯®«¾±®¬, ¨ «³· , ¢»µ®¤¿¹¥£® ¨§ ²®·ª¨ O, ­ §»¢ ¥¬®£® ¯®«¿°­®© ®±¼¾.

32


²®·ª¨ M | ½²® ° ¤¨³±, ° ¢­»© ° ±±²®¿­¨¾ ®² M ¤® ¯®«¾± : r = jOM j, ¨ ³£®« ', ° ¢­»© ³£«³ ¬¥¦¤³ ¯®«¿°­®© ®±¼¾ ¨ «³·®¬ OM , ¯°¨·¥¬ ³£®« ¨§¬¥°¿¥²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®°¨¥­² ¶¨¥© (² ª¨¬ ®¡° §®¬ ' ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬ ·¨±«®¬, ®¯°¥¤¥«¥­­»¬ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® 2k, k 2 Z). „«¿ ²®·ª¨ O ³£®« ' ­¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿, ² ª ·²® ¯®«¿°­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ ½²®© ²®·ª¥ ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­». …±«¨ ³ ­ ± ¨¬¥¥²±¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­»© ¯°¿¬®³£®«¼­»© °¥¯¥°, ­ · «® ª®®°¤¨­ ² ª®²®°®£® ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯®«¾±®¬,   ¢¥ª²®° ~e ­ ¯° ¢«¥­ ¯® ¯®«¿°­®© ®±¨, ²® £®¢®°¿², ·²® ¤ ­­»¥ ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ¨ ¯®«¿°­ ¿ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¥±²¥±²¢¥­­® ±¢¿§ ­». ¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯®«³· ¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ®«¿°­»¥ ª®®°¤¨­ ²»

1

“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 8.2.

„«¿ ¥±²¥±²¢¥­­® ±¢¿§ ­­»µ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ¨ ¤¥ª °²®¢®© ±¨-

±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ¨¬¥¾² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¨¥ ´®°¬³«», ¢»° ¦ ¾¹¨¥ ®¤­¨ ·¥°¥§ ¤°³-

(

£¨¥:

p

' (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ³£«  2k ) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³« ¬¨ cos ' = p x ; sin ' = p y ; x +y x +y ¨«¨ y  8 > arctg ¯°¨ x > 0; x ;  > <  + arctg y ; ¯°¨ x < 0; x '=> =2; ¯°¨ x = 0; y > 0; > :, =2; ¯°¨ x = 0; y < 0: ‚ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¨¬¥¾²±¿ ¤¢  ¥±²¥±²¢¥­­»µ ®¡®¡¹¥­¨¿ ¯®«¿°­®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ². ‚»¡¥°¥¬ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ 1) ®°¨¥­²¨°®¢ ­­³¾ ¯«®±ª®±²¼  (½ª¢ ²®°¨ «¼­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ), 2) ²®·ª³ O ­  ­¥© (¯®«¾± ), 3) «³· Ox ­  ¯«®±ª®±²¨ (¯®«¿°­ ¿ ®±¼ ), 4) ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­³¾ ª  ®±¼ Oz (§¥­¨²­ ¿ ®±¼ ). „«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ²®·ª¨ M ¯°®±²° ­±²¢  ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ M 0 ¥¥ ®°²®£®­ «¼­³¾ ¯°®¥ª¶¨¾ ­  ,   ·¥°¥§ M 00 | ¥¥ ®°²®£®­ «¼­³¾ ¯°®¥ª¶¨¾ ­  Oz. –¨«¨­¤°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²» (; '; z ) ²®·ª¨ M ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ; ' | ¯®«¿°­»¥ ª®®°¤¨­ ²» M 0 ­  ¯«®±ª®±²¨  (². ¥.  = jOM 0 I , ' | ³£®« ®² Ox ª OM 0),   z | ª®®°¤¨­ ²  M 00 ­  ®±¨ Oz. „«¿ ²®·¥ª §¥­¨²­®© ®±¨  = 0,   ª®®°¤¨­ ²  ' ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­ . ‘´¥°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²» (r; ';  ) ²®·ª¨ M ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:  r = jOM j (° ¤¨³± ), Ž¡° ²­®,

r = x +y

x = r cos ' y = r sin ':

2

2,  

2

2

2

33

2


 ' | ³£®« ®² Ox ª OM 0 ( ),   | ³£®« ®² OM 0 ª OM (±® §­ ª®¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ ­ ¯° ¢«¥­¨¾ Oz) ( ),  2 [,=2; =2]. „«¿ ²®·¥ª §¥­¨²­®© ®±¨  = =2,   ª®®°¤¨­ ²  ' ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­ . „«¿ ²®·ª¨ O: ¤®«£®² 

¸¨°®² 

r = 0,   ' ¨  ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­».  ±±¬®²°¨¬ ¯°¿¬®³£®«¼­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² Oe e e , £¤¥ ~e ¨¬¥¥² ­ ¯° ¢«¥­¨¥ Ox, ~e 2 , ¯°¨·¥¬ ®°¨¥­² ¶¨¿ ~e ;~e ¯®«®¦¨²¥«¼­  ¤«¿ ¯«®±ª®±²¨ ,   ~e ¨¬¥¥² ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ®±¨ Oz. ƒ®¢®°¿², ·²® ¤ ­­ ¿ ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¥±²¥±²¢¥­­® ±¢¿§ ­  ± ³ª § ­­»¬¨ ¢»¸¥ ±´¥°¨·¥±ª®© ¨ ¶¨«¨­¤°¨·¥±ª®©. ’®£¤  ¯°¿¬®³£®«¼­»¥ ¨ ¶¨«¨­¤°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²» ±¢¿§ ­» ´®°¬³« ¬¨: 8 z = z; > 8 p > > > x =  cos '; < <  = xx + y ; y =  sin '; cos ' = px2 y2 ; > > : z = z; > > : sin ' = pxy2 y2 ; 1 2 3

2

1

1

2

3

2

2

+ +

(ª®­¥·­®, ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¡®«¥¥ ª®­ª°¥²­»¥ ¢»° ¦¥­¨¿, ª ª ¤«¿ ¯®«¿°­»µ ª®®°¤¨­ ²). °¿¬®³£®«¼­»¥ ¨ ±´¥°¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨­ ²» ±¢¿§ ­» ´®°¬³« ¬¨: p 8 r = x +y ; > 8 > z > > x =  cos  cos '; < <  = arcsin px2 y2 z2 ; y =  cos  sin '; cos ' = pxx2 y2 ; > > : z =  sin ; > > : sin ' = pxy2 y2 ; 2

2

+

+

+

p

+

(¯®±ª®«¼ª³ r cos  = x + y ). 2

2

9. ««¨¯±, £¨¯¥°¡®«  ¨ ¯ ° ¡®«  (ƒ)

9.1. ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ƒ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.1. ««¨¯±®¬ ­ §»¢ ¥²±¿ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¬¥±²® ²®·¥ª (ƒŒ’) X ­  ¯«®±ª®±²¨, ±³¬¬  ° ±±²®¿­¨© ª®²®°»µ ¤® ¤¢³µ ¤ ­­»µ ²®·¥ª F ¨ F ° ¢­  § ¤ ­­®¬³ ·¨±«³ (±¬. °¨±. 2): jF X j + jF X j = 2a: ’®·ª¨ F ¨ F ­ §»¢ ¾²±¿ ´®ª³± ¬¨. °¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® a > c  0, £¤¥ 2c = jF F j. ‚ ±«³· ¥ a = c ¯®«³· ¥¬ ®²°¥§®ª,   ¢ ±«³· ¥ c = 0 | ®ª°³¦­®±²¼. 1

1

1

2

2

1

34

2

2


X

F

  D   DD 

F

2c

1

2

¨±. 2.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.2.

ƒ¨¯¥°¡®«®© ­ §»¢ ¥²±¿ ƒŒ’ X ­  ¯«®±ª®±²¨, ¬®¤³«¼ ° §­®±²¨ ° ±±²®¿­¨© ª®²®°»µ ¤® ¤¢³µ ¤ ­­»µ ²®·¥ª F ¨ F ° ¢¥­ § ¤ ­­®¬³ ·¨±«³ (±¬. °¨±. 3):

jF X j , jF X j

= 2a: ’®·ª¨ F ¨ F ­ §»¢ ¾²±¿ ´®ª³± ¬¨. 1

1

1

2

2

2

H H

H H

H H

H H

H H

H H

H H

F

1

 

 

 

 

 

 

 

H H

 

 

H H

  H  H  H  H  H  H

2c

H H

 

 

 

 

 

 

 

F

2

H H

H H

H H

H H

H H

H H

H H

¨±. 3. °¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® c > a > 0, £¤¥ 2c = jF F . ‚ ±«³· ¥ a = c ¯®«³· ¥¬ ¤¢  ¯°®²¨¢®­ ¯° ¢«¥­­»µ «³· , ¢»µ®¤¿¹¨µ ¨§ ´®ª³±®¢. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.3.  ° ¡®«®© ­ §»¢ ¥²±¿ ƒŒ’ X ­  ¯«®±ª®±²¨, ° ¢­®³¤ «¥­­»µ ®² ¤ ­­®© ²®·ª¨ F , ­ §»¢ ¥¬®© ´®ª³±®¬, ¨ ¯°¿¬®© d, ­ §»¢ ¥¬®© ¤¨°¥ª²°¨±®© (±¬. °¨±. 4). °¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® F 62 d. 1

2

9.2. ƒ ª ª ª®­¨·¥±ª¨¥ ±¥·¥­¨¿ ’¥®°¥¬  9.4. ‘¥·¥­¨¥ ¯°¿¬®£® ª°³£®¢®£® (¡¥±ª®­¥·­®£® 35

¢ ®¡¥ ±²®°®­»

)

ª®­³± 


d r

F

¨±. 4. ¯«®±ª®±²¼¾, ­¥ ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ ¢¥°¸¨­³, ¿¢«¿¥²±¿ «¨¡® ½««¨¯±®¬, «¨¡® £¨¯¥°¡®«®©, «¨¡® ¯ ° ¡®«®©.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. “ª § ­­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ¬®¦¥² ° ±¯®« £ ²¼±¿ ²°¥¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨: 1) ¯¥°¥±¥ª ²¼ ®¤­³ ¯®«®¢¨­ª³ ª®­³± ; 2) ¯¥°¥±¥ª ²¼ ®¡¥ ¯®«®¢¨­ª¨ ª®­³± ; 3) ¡»²¼ ¯ ° ««¥«¼­®© ®¡° §³¾¹¥© ª®­³± .   °¨±³­ª¥ ¨§®¡° ¦¥­® ±¥·¥­¨¥ ¯«®±ª®±²¼¾, ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ ¢¥°¸¨­³, ¨ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®© ¤ ­­®© (² ª ·²® ¤ ­­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ¨§®¡° ¦ ¥²±¿ ¯°¿¬®©): 

HH

3

HH H HH HH H

   

 

  

 

 

        

   H   H    H   H   H u  H    HH     HH      HH    HH     H    HH H   HH    HH  

S

2

36

1


®«¥¥ ²®·­®, ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ±«³· ¥ 1 ¯®«³· ¥²±¿ ½««¨¯±, 2 | £¨¯¥°¡®«  ¨ 3 | ¯ ° ¡®« . Ž±­®¢­»¬ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ¨­±²°³¬¥­²®¬ ¡³¤³² ¸ °» „ ­¤¥«¥­  | ¸ °», ¢¯¨± ­­»¥ ¢ ª®­³± ¨ ª ± ¾¹¨¥±¿ ¤ ­­®© ¯«®±ª®±²¨. ¥°¢»© ±«³· ©. ³±²¼ c | ¨­²¥°¥±³¾¹¥¥ ­ ± ±¥·¥­¨¥ ª®­³±  ¯«®±ª®±²¼¾ . Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ F ¨ F ²®·ª¨ ª ± ­¨¿ ¸ °®¢ „ ­¤¥«¥­  ¨ ¯«®±ª®±²¨ ,   ·¥°¥§ c ¨ c | ®ª°³¦­®±²¨ ª ± ­¨¿ ¸ °®¢ ± ª®­³±®¬. ³±²¼ X | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª  ­  ±¥·¥­¨¨ c. ³±²¼ X ¨ X | ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ SX ± c ¨ c ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. 1

2

1

2

1

2

1

2

’®£¤  (° ¢­» ª ± ²¥«¼­»¥, ¯°®¢¥¤¥­­»¥ ª ¸ °³ ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨)

jXF j = jXX j; jXF j = jXX j; jXF j + jXF j = jXX j + jXX j = jX X j = const: 1

1

‚²®°®© ±«³· ©.

1

2

2

1

2

2

1

‘®µ° ­¨¬ ¯°¥¦­¨¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿.

37

2


’®£¤  (° ¢­» ª ± ²¥«¼­»¥, ¯°®¢¥¤¥­­»¥ ª ¸ °³ ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨)

jXF j = jXX j; jXF j = jXX j;

jXF j , jXF j

=

jXX j , jXX j

= jX X j = const: 1

1

’°¥²¨© ±«³· ©.

1

2

2

1

2

2

1

2

‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¸ ° „ ­¤¥«¥­  ²®«¼ª® 1.

³±²¼ c | ®ª°³¦­®±²¼ ª ± ­¨¿ ¸ °  ± ª®­³±®¬,  | ¯«®±ª®±²¼, ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ½²³ ®ª°³¦­®±²¼, ¯°¿¬ ¿ d =  \  , Y | ¯°®¥ª¶¨¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ²®·ª¨ X ¨±±«¥¤³¥¬®£® ±¥·¥­¨¿ ­  d, Y | ²®·ª  ¯¥°±¥·¥­¨¿ SX ± c . Š ª ª ± ²¥«¼­»¥ ª ¸ °³, ¯°®¢¥¤¥­­»¥ ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨, ° ¢­» jXF j = jXY j. „ «¥¥, SY ,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ XY ­ ª«®­¥­  ª ¯«®±ª®±²¨  ¯®¤ ³£«®¬ =2 , , £¤¥ | ³£®« ¬¥¦¤³ ®¡° §³¾¹¥© ª®­³±  ¨ ¥£® ®±¼¾. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», Y X ¯ ° ««¥«¼­  ²®© ¥¤¨­±²¢¥­­®© ®¡° §³¾¹¥© ª®­³± , ª®²®°®© ¯ ° ««¥«¼­  ¯«®±ª®±²¼ . ‡­ ·¨², ®­  ®¡° §³¥² ±  ² ª¦¥ ³£®« =2 , . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, jXY j = jXY j ª ª ­ ª«®­­»¥ ª ¯«®±ª®±²¨  ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨ ¯®¤ ®¤­¨¬ ³£«®¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, jXF j = jXY j. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.5. ‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ½²®© ²¥®°¥¬®© ƒ ¥¹¥ ­ §»¢ ¾² ª®­¨ª ¬¨. ‡ ¬¥· ­¨¥ 9.6. ®§¦¥ ¬» ¤®ª ¦¥¬ ²¥®°¥¬³ ¡®«¥¥ ®¡¹¥£® µ ° ª²¥° : ±¥·¥­¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¯«®±ª®±²¼¾ ¿¢«¿¥²±¿ ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª . 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

9.3. Ž¯²¨·¥±ª¨¥ (´®ª «¼­»¥) ±¢®©±²¢  ª®­¨ª ‡ ¬¥· ­¨¥ 9.7. ¥¸¨¬ ¢±¯®¬ £ ²¥«¼­³¾ § ¤ ·³: ¤«¿ ¤ ­­®© ¯°¿¬®© l ¨ ¤¢³µ ²®·¥ª A ¨ B , «¥¦ ¹¨µ ¯® ®¤­³ ±²®°®­³ ®² ­¥¥, ­ ©²¨ ² ª³¾ ²®·ª³ X 2 l, ·²® ±³¬¬  ° ±±²®¿­¨© jXAj + jXB j ¬¨­¨¬ «¼­ . ®±²°®¨¬ ²®·ª³ B 0, ±¨¬¬¥²°¨·­³¾ B ®²­®±¨²¥«¼­® l. 38


B

A

H HH H HH H

, , ,

, ,

, HH , HH, @ @ @

X

l @ @

@ @ @

B0

Ÿ±­®, ·²® jAX j + jXB 0j ¬¨­¨¬ «¼­® ¯°¨ X = (AB 0) \ l. ® jXB j = jXB 0j, ² ª ·²® ¬¨­¨¬³¬ ¤®±²¨£ ¥²±¿ ¯°¨ ° ¢¥­±²¢¥ ®±²°»µ ³£«®¢, ®¡° §³¥¬»µ AX ¨ BX ± l. ‡ ¬¥· ­¨¥ 9.8. Š ¦¤ ¿ ¨§ ª®­¨ª ¨¬¥¥² ¢ ª ¦¤®© ±¢®¥© ²®·ª¥ ª ± ²¥«¼­³¾. ’®·ª  ª ± ­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­®© ²®·ª®© ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ª®­¨ª¨ ¨ ª ± ²¥«¼­®©. Š ± ²¥«¼­ ¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­®© ¯°¿¬®©, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥© ½²®¬³ ²°¥¡®¢ ­¨¾ (ª°®¬¥ ¯°¿¬»µ, ¯ ° ««¥«¼­»µ ®±¨ ¯ ° ¡®«»). ˆ­²³¨²¨¢­® ½²¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ®·¥¢¨¤­», ­® ±²°®£®¥ ° ±±³¦¤¥­¨¥ ²°¥¡³¥² §­ ­¨¿ ³° ¢­¥­¨© ª®­¨ª ¨ ±¯®±®¡  ­ µ®¦¤¥­¨¿ ª ± ²¥«¼­®© ¯® ³° ¢­¥­¨¾ (  ² ª¦¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ , ·²® ¯®±«¥ ¯®¤µ®¤¿¹¥© § ¬¥­» ª®®°¤¨­ ² ½²  \ «£¥¡° ¨·¥±ª¨" ®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ª ± ²¥«¼­ ¿ ±² ­¥² \ª ± ²¥«¼­®© ª £° ´¨ª³"). ®±«¥ ½²®£® ¬®¦­®  ­ «¨²¨·¥±ª¨ ­ ©²¨ ²®·ª³ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ (°¥¸¨²¼ ±¨±²¥¬³) ¨ ³¡¥¤¨²¼±¿ ·²® ®­  °®¢­® ®¤­ . ¥®¡µ®¤¨¬»© ¬ ²¥°¨ « (ª®­¥·­®, ­¥ ¨±¯®«¼§³¾¹¨© °¥§³«¼² ²®¢ ¤ ­­®£® ¯³­ª² ) ¡³¤¥² ° §®¡° ­ ¯®§¦¥. ‡ ¬¥· ­¨¥ 9.9. Ž±­®¢­®¥ ¯° ¢¨«® ®¯²¨ª¨ ª°¨¢»µ: «³· ®²° ¦ ¥²±¿ ®² ª°¨¢®© ª ª ®² ¥¥ ª ± ²¥«¼­®©.

’¥®°¥¬  9.10.



‹³·¨, ¢»µ®¤¿¹¨¥ ¨§ ®¤­®£® ´®ª³± 

½««¨¯± ,

ª®­¶¥­²°¨°³-

¾²±¿ ¢ ¤°³£®¬.



‹³·¨, ¢»µ®¤¿¹¨¥ ¨§ ®¤­®£® ´®ª³± 

£¨¯¥°¡®«»,

¯®±«¥ ®²° ¦¥­¨¿ \¨±µ®¤¿²"

¨§ ¤°³£®£®, ². ¥. ¯°®¤®«¦¥­¨¥ ®²° ¦¥­­®£® «³·  §  ²®·ª³ ®²° ¦¥­¨¿ ¯®¯ ¤ ¥² ¢ ¤°³£®© ´®ª³±.



‹³·¨, ¢»µ®¤¿¹¨¥ ¨§ ´®ª³± 

¯ ° ¡®«»,

¯®±«¥ ®²° ¦¥­¨¿ ±² ­®¢¿²±¿ ¯ ° «-

«¥«¼­»¬¨ ¤°³£ ¤°³£³.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ««¨¯±. ³±²¼ «³· ¢»¸¥« ¨§ ´®ª³±  A ¨, ®²° §¨¢¸¨±¼ ®² ²®·ª¨

X ½««¨¯± , ­¥ ¯®¯ « ¢ ¤°³£®© ´®ª³± B . ‡­ ·¨², ¥±«¨ l | ª ± ²¥«¼­ ¿ ¢ ²®·ª¥ X , ²® ³£®« ¯ ¤¥­¨¿ ­  l ­¥ ° ¢¥­ ³£«³ ®²° ¦¥­¨¿ ¯® § ¬¥· ­¨¾ 9.9. ‡­ ·¨², ¯® § ¬¥· ­¨¾ 9.7, jAX j + jBX j ­¥ ¬¨­¨¬ «¼­® ¯°¨ ¯°®¡¥£ ­¨¨ X ¯® l. ® ½²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¬³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ½««¨¯± , ² ª ª ª ®±² «¼­»¥ ²®·ª¨ ª ± ²¥«¼­®© «¥¦ ² ¢­¥ ¥£® (¯® § ¬¥· ­¨¾ 9.8). 39


ƒ¨¯¥°¡®« . €­ «®£¨·­® ½««¨¯±³.  ° ¡®« .  ±±¬®²°¨¬ ¯ ° ¡®«³ ± ´®ª³±®¬ F ¨ ¤¨°¥ª²°¨±®© d. ³±²¼ l |

±¥°¥¤¨­­»© ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° ª Y F . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯ ° ¡®«», ²°¥³£®«¼­¨ª ° ¢­®¡¥¤°¥­­»© ¨ l ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ X . „®ª ¦¥¬, ·²® l ¿¢«¿¥²±¿ ª ± ²¥«¼­®© ª ¯ ° ¡®«¥ ¢ ²®·ª¥ X . °¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢­®¥, ²®£¤  (¯® § ¬¥· ­¨¾ 9.8) ¨¬¥¥²±¿ ¥¹¥ ®¤­  ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ l ± ¯ ° ¡®«®© | X 0 6= X ,   Y 0 | ¥¥ ¯°®¥ª¶¨¿ ­  ¤¨°¥ª²°¨±³ d. ’®£¤  (¯® ±¢®©±²¢³ ±¥°¥¤¨­­®£® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° ) jY X 0j = jX 0F ,   ² ª ª ª X 0 | ²®·ª  ¯ ° ¡®«», ²® jY 0X 0j = jX 0F j. ‡­ ·¨², jX 0Y 0j = jX 0Y j, ­® ¤«¨­  ­ ª«®­­®© ¤®«¦­  ¡»²¼ ¡®«¼¸¥ ¤«¨­» ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, l ¿¢«¿¥²±¿ ª ± ²¥«¼­®©. °¨ ½²®¬ ³£«» ¬¥¦¤³ Y X ¨ l ¨ ¬¥¦¤³ FX ¨ l ° ¢­», ² ª ·²® ®²° ¦¥­­»© «³· «¥¦¨² ­  ¯°®¤®«¦¥­¨¨ Y X ?d. 2

‘«¥¤±²¢¨¥ 9.11.

««¨¯± ¨ ¯ ° ¡®«  ± ®¡¹¨¬¨ ´®ª³± ¬¨ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¯®¤ ¯°¿¬»¬

³£«®¬.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ le ¨ lh | ª ± ²¥«¼­»¥ ¢ ²®·ª¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ª ½««¨¯±³ ¨ £¨¯¥°¡®«¥, ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ® ¤®ª § ­­®© ²¥®°¥¬¥, ³£«» ¡³¤³² ² ª¨¬¨, ª ª ®¡®§­ ·¥­® ­  °¨±³­ª¥: C

C

C C

lh C

C

C

C C  e  PP i PP  C   PP  PP C PPC  CPP   7 PP  PP  C   PP   C  PP  q P   C   C  C 1 C

l

F

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 2 + 2 =  ¨ + = =2.

F

2

2

9.4. €­ «¨²¨·¥±ª¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ª®­¨ª

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.12. ( ­ «¨²¨·¥±®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ƒ)

­ §»¢ ¥²±¿ ª°¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ¢ ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¥¬ x + y = 1; (a  b); (2) a b 2

2

2

2

40

««¨¯±®¬


£¨¯¥°¡®«®©

¯ ° ¡®«®©

|

x , y = 1; a b

|

2

2

2

2

y = 2px;

(3)

(p > 0):

2

(4)

’¥®°¥¬  9.13. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ««¨¯±. ‚¢¥¤¥¬ ¯°¿¬®³£®«¼­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ª ª ¯®ª €­ «¨²¨·¥±ª¨¥ ¨ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ƒ ½ª¢¨¢ «¥­²­».

§ ­® ­  °¨±³­ª¥

y

6

X (x; y)

r

HH H HH HH Hr

O

F (,c; 0)

x

-

F (c; 0)

1

2

’®£¤  £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ fX j jXF j + jXF j = 2ag ¯¥°¥¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ q q r + r = 2a; r = (x + c) + y ; r = (x , c) + y ; q q (x + c) + y = 2a , (x , c) + y ; q (x + c) + y = 4a + (x , c) + y , 4a (x , c) + y ; q a , cx = a (x , c) + y ; a , 2a cx + c x = a x + a c , 2a cx + a y ; a , a c = (a , c )x + a y ; x + y = 1; b := a , c : (5) a b ¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ ³° ¢­¥­¨¿ ¢¨¤­®, ·²® ½««¨¯± § ª«¾·¥­ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª, ¯°¨·¥¬ ­  £° ­¨¶¥ ¥£® «¥¦ ² «¨¸¼ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ± ®±¿¬¨: 1

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

41

2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2


y

6

b x

O

,a F (,c; 0) r

r

a

F (c; 0)

1

-

2

,b ²®² ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ±® ±²®°®­ ¬¨ 2a ¨ 2b ­ §»¢ ¥²±¿ ®±­®¢­»¬ ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª®¬ ½««¨¯± . Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ²®·ª  (x; y) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¾ (5), ². ¥.

y = b , ab x : ’®£¤  s q r := (x + c) + y = x + 2cx + c + b , ab x = s s a , b c x + 2cx + c + b = = x + 2 cx + c + b = a a

c =

a x + a

= a + ac x;

£¤¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ¯®¤ §­ ª®¬ ¬®¤³«¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­®, ² ª ª ª jxj < a,

ac x

< c. €­ «®£¨·­®, r = a , ac x: ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤«¿ «¾¡®© ²®·ª¨, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥© ³° ¢­¥­¨¾ (5) ¢»¯®«­¿¥²±¿ r + r = 2a, ². ¥. ®­  ¯°¨­ ¤«¥¦¨² £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¬³ ½««¨¯±³. °¥¦¤¥, ·¥¬ ¯¥°¥©²¨ ª ±«³· ¾ £¨¯¥°¡®«», ¤ ¤¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.14. Ž²­®¸¥­¨¥ 2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

p

e := ac = a a, b ­ §»¢ ¥²±¿ ½ª±¶¥­²°¨±¨²¥²®¬ ½««¨¯± . ƒ¨¯¥°¡®« . ‚¢¥¤¥¬ ¯°¿¬®³£®«¼­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥ 42

2

2


y

6

0 r

r

F (,c; 0)

-

F (c; 0)

1

x

2

€­ «®£¨·­® ½««¨¯±³, ³¯°®¹ ¿ ±®®²­®¸¥­¨¥ jr , r j = 2a ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ £¨¯¥°¡®«», ¯°¨µ®¤¨¬ ª ³° ¢­¥­¨¾ x , y = 1; b := c , a : (6) a b „«¿ £¨¯¥°¡®«» ¯®«®¦¨¬ ½ª±¶¥­²°¨±¨²¥² ° ¢­»¬ 1

2

2

2

2

2

2

p

2

2

e := ac = a a+ b : ’ ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤«¿ ½««¨¯±  e > 1,   ¤«¿ £¨¯¥°¡®«» e < 1. Ž¡° ²­»¥ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¯°®¢®¤¨¬ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¤«¿ ½««¨¯± , ¨ ¯®«³· ¥¬ r = ja + exj;

2

2

r = ja , exj;

1

2

¯°¨·¥¬ ¤«¿ ¯° ¢®© ¢¥²¢¨ £¨¯¥°¡®«» (². ¥. ¯°¨ x > 0)

r = ,a + ex;

r = a + ex; 1

2

  ¤«¿ «¥¢®© ¢¥²¢¨ £¨¯¥°¡®«» (². ¥. ¯°¨ x < 0)

r = ,a , ex;

r = a , ex;

1

2

·²® ¨ § ¢¥°¸ ¥² ®¡° ²­®¥ ° ±±³¦¤¥­¨¥. Ž±­®¢­®© ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª ±® ±²®°®­ ¬¨ 2a ¨ 2b ¤«¿ £¨¯¥°¡®«» ¨¬¥¥² ¢¨¤

43


y

Q

Q Q Q Q

 

6

b

Q Q Q Q Q Q

 

   

(x)

 



   Q Q  Q   QQ  Q  Q  Q  Q  Q  Q  Q  Q  Q  Q  Q  Q  Q  Q Q Q

0

,a

a

x

,b

…£® ¤¨ £®­ «¨ ¨¬¥¾² ³° ¢­¥­¨¿

y =  ab x

¨ ¿¢«¿¾²±¿  ±¨¬¯²®² ¬¨ £¨¯¥°¡®«». „®ª ¦¥¬ ½²®, ­ ¯°¨¬¥°, ¤«¿ y = ab x. ˆ¬¥¥¬ (±¬. °¨±.) s b (x) = a x , b xa , 1; 2

2

b (x , px , a ) = 0: lim ( x ) = lim x!1 x!1 a  ° ¡®« . „«¿ ¯ ° ¡®«» ¯®«®¦¨¬ ½ª±¶¥­²°¨±¨²¥² ° ¢­»¬ ¥¤¨­¨¶¥: e = 1. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ¸ª®«¥ ®¡»·­® ° ±±¬ ²°¨¢ ¾² ¯ ° ¡®«³ y = a x . ’³² ¬» ¬¥­¿¥¬ ®±¨ ¨ ¯¥°¥®¡®§­ · ¥¬ ¯ ° ¬¥²°: a = 1=2p. ®«³· ¥¬ y = 2px. —¨±«® p ­ §»¢ ¥²±¿ 2

2

2

2

´®ª «¼­»¬ ¯ ° ¬¥²°®¬.

‚»¡¥°¥¬ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ª ª ¯®ª § ­® ­  °¨±³­ª¥, ¯®«®¦¨¢ p ° ¢­»¬ ° ±±²®¿­¨¾ ¬¥¦¤³ ¤¨°¥ª²°¨±®© ¨ ´®ª³±®¬.

44


y

d

6

X (x; y)

J J

J J

(, p ; 0)

0

0

x

J

F ( p ; 0)

-

2

’®£¤  ±®®²­®¸¥­¨¥ ¨§ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯ ° ¡®«» ¯°¨¬¥² ¢¨¤: s  p x , 2 + y = x + p2 ; x , px + p4 + y = x + px + p4 ; y = 2px: Ž¡° ²­®, ¤«¿ ª°¨¢®©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®© ³° ¢­¥­¨¥¬ y = 2px, ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ d ¯°¿¬³¾ y = ,p=2,   ·¥°¥§ F | ²®·ª³ (p=2; 0). ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ²®·¥ª ½²®© ª°¨¢®© ¢±¥£¤  x  0, ² ª ·²® ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ¥¥ ²®·ª¨ X (x; y) ¨¬¥¥¬ (X; d) = p=2 + x,   s s

  p (X; F ) = x , 2 + y = x , 2p + 2px =

x + p2

= x + p2 ; ¨ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯ ° ¡®«» ¨¬¥¥² ¬¥±²®. 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

9.5. „¨°¥ª²®°¨ «¼­»¥ ±¢®©±²¢  ª®­¨ª ‘®±² ¢¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ² ¡«¨¶³ (£¤¥ ­®¢»¬ ¡³¤¥² ²®«¼ª® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¤¨°¥ª²°¨± ½««¨¯±  ¨ £¨¯¥°¡®«»). ³° ¢­¥­¨¥ c ´®ª³±(») ½ª±¶¥­²- ¤¨°¥ª²°¨±  °¨±¨²¥² p 2 2 x + y = 1 c = a , b F ; = (c; 0) e = c < 1 x =  a =  a2 ½««¨¯± a22 b22 a e c p x £¨¯¥°¡®«  a2 , yb2 = 1 c = a + b F ; = (c; 0) e = ac > 1 x =  ae =  ac2 ¯ ° ¡®«  y = 2px | F = ( p ; 0) e=1 x =  ae ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ®ª°³¦­®±²¨ (². ¥. ½««¨¯±  ± a = b ¨ e = 0) ¤¨°¥ª²°¨±» ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­». 2

2

2

2

12 12

2

2

45


’¥®°¥¬  9.15.

Ž²­®¸¥­¨¥

° ±±²®¿­¨¿

®²

²®·ª¨

(®²«¨·­®© ®² ®ª²³¦­®±²¨) ¤® ´®ª³±  ª ° ±±²®¿­¨¾ ¤® ±®®²¢¥²±²¢³¾(¡«¨¦ ©¸¥©) ¤¨°¥ª²°¨±» ¯®±²®¿­­® ¨ ° ¢­® ½ª±¶¥­²°¨±¨²¥²³.

ª®­¨ª¨ ¹¥©

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ¯ ° ¡®«» ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥.

 ±±¬®²°¨¬ ±«³· © ½««¨¯± . ’®£¤  (¤«¿ «¥¢®£® ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ¯°¥¤»¤³

´®ª³± , a ¹¥© ²¥®°¥¬») jF X j = r = a + ex,   (X; d ) = x + e = x + ae , ² ª ·²® 1

1

1

jF X j = e: (X; d) 1

„«¿ £¨¯¥°¡®«» ­ ¤® «¨¸¼ ¢ ¤¢³µ ¬¥±² µ ¯®¬¥­¿²¼ §­ ª¨. 2 ‡ ¤ ·  1. „®ª § ²¼ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ˆ¬¥­­®, ¯³±²¼ ¤ ­  ¯°¿¬ ¿ d ¨ ²®·ª  j = e > 0, ¿¢«¿¥²±¿ ½««¨¯±®¬ F 62 d. „®ª § ²¼, ·²® ƒŒ’ X , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ j(FX X; d) (¯°¨ e < 1), £¨¯¥°¡®«®© (¯°¨ e > 1) ¨«¨ ¯ ° ¡®«®© (¯°¨ e = 1). ‡ ¤ ·  2. „ ²¼ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¤¨°¥ª²®°¨ «¼­®£® ±¢®©±²¢ , ¨±¯®«¼§³¿ ¸ °» „ ­¤¥«¥­ .

9.6. ”®ª «¼­»© ¯ ° ¬¥²°. ®«¿°­»¥ ³° ¢­¥­¨¿ ª®­¨ª Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.16. ”®ª «¼­»© ¯ ° ¬¥²° p ª®­¨ª¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ³° ¢­¥­¨¾ (2), (3) ¨«¨ (4), ½²® ·¨±«® p ¨§ ³° ¢­¥­¨¿ ¢ ±«³· ¥ ¯ ° ¡®«», ¨ ·¨±«® p := ba ¢ ¤¢³µ ¤°³£¨µ ±«³· ¿µ. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤, p § ¢¨±¨² ®² ³° ¢­¥­¨¿. Ž¤­ ª®, ´®ª «¼­»© ¯ ° ¬¥²° ¨¬¥¥² ¯°®±²®© £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« (±¬. ²¥®°¥¬³ 9.18) Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 9.17. ”®ª «¼­®© µ®°¤®© ­ §»¢ ¥²±¿ µ®°¤  (². ¥. ®²°¥§®ª, ±®¥¤¨­¿¾¹¨© ¤¢¥ ²®·ª¨ ª°¨¢®©), ¯°®µ®¤¿¹¨© ·¥°¥§ ´®ª³± ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­® ´®ª «¼­®© ®±¨ | ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨, ±®¤¥°¦ ¸¥© ®¤¨­ ´®ª³± (  §­ ·¨², ¨ ¢²®°®©, ¥±«¨ ¨µ ¤¢ ). 2

’¥®°¥¬  9.18. p „®ª § ²¥«¼±²¢®. ®«®¢¨­  ¤«¨­» ´®ª «¼­®© µ®°¤» ° ¢­  ¤«¿ ƒ ±®®²¢¥²”®ª «¼­»© ¯ ° ¬¥²°

±²¢¥­­®:

° ¢¥­ ¯®«®¢¨­¥ ¤«¨­» ´®ª «¼­®© µ®°¤».

v ! s u u b =b; c tb 1 , = b a a a v ! s u u b =b; c tb , 1 = b a a a 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

46

2

2


r p 2p 2 = p: 2 ‚¢¥¤¥¬ ¯®«¿°­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¯®¬¥±²¨¢ ¯®«¾± ¢ ±«³· ¥ ½««¨¯±  ¢ ®¤¨­ ¨§ ´®ª³±®¢ ¨ ­ ¯° ¢¨¢ ¯®«¿°­³¾ ®±¼ ¢ ±²®°®­³ ¤°³£®£®, ¯®¬¥±²¨¢ ¯®«¾± ¢ ±«³· ¥ £¨¯¥°¡®«» ¢ ®¤¨­ ¨§ ´®ª³±®¢ ¨ ­ ¯° ¢¨¢ ¯®«¿°­³¾ ®±¼ ¢ ±²®°®­³ ¤°³£®£®,   ¢ ±«³· ¥ ¯ ° ¡®«» ¯®¬¥±²¨¢ ¯®«¾± ¢ ´®ª³± ¨ ­ ¯° ¢¨¢ ¯®«¿°­³¾ ®±¼ ®² ¤¨°¥ª²°¨±»: O

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F

1

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-

Ž°¨¥­² ¶¨¿ §¤¥±¼ ­¥ ¢ ¦­ , ² ª ª ª ¨­²¥°¥±³¾¹¨¥ ­ ± ª®­¨ª¨ ±¨¬¬¥²°¨·­» ®²­®±¨²¥«¼­® ³ª § ­­®© ¯®«¿°­®© ®±¨. ‚¢¥¤¥­­ ¿ ¯®«¿°­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¥±²¥±²¢¥­­® ±¢¿§ ­­®© ± ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬®©, ¢ ª®²®°®© ¬» ¢»¯¨±»¢ «¨ ³° ¢­¥­¨¿. ®½²®¬³ ¬» ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ¥¥ ´®ª «¼­®© ¯®«¿°­®© ±¨±²¥¬®© ª®®°¤¨­ ².

’¥®°¥¬  9.19.

‚ ´®ª «¼­®© ¯®«¿°­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¿ ½««¨¯± , ¯ -

° ¡®«» ¨ ¢¥²¢¨ £¨¯¥°¡®«», ¡«¨¦ ©¸¥© ª ¯®«¾±³, ¡³¤³² § ¯¨±»¢ ²¼±¿ ®¤­®© ´®°-

r = 1 , epcos ' ;

¬³«®©:

  ³° ¢­¥­¨¥ ¤°³£®© ¢¥²¢¨ £¨¯¥°¡®«» |

r = , 1 , epcos ' :

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °®¢¥¤¥¬ ¤«¿ ½««¨¯± . ³±²¼ X | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª  ½««¨-

¯± , OR | ¯®«®¢¨­  ´®ª «¼­®© µ®°¤», Q | ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¥¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¿ ± ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°®¬ ª ¤¨°¥ª²°¨±¥, ¯°®¢¥¤¥­­»¬ ·¥°¥§ ²®·ª³ X : d Q X 6 Rr O ' F F 1

u

u

1

2

47


³±²¼ (r; ') | ¯®«¿°­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ²®·ª¨ X . ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¤¨°¥ª²®°¨ «¼­»¬ ±¢®©±²¢®¬. ˆ¬¥¥¬: ORj = e; jORj = p; jQX j = r cos '; (jR; d) j = p; (Q; d ) = (R; d ) = jOR e e e = (X;r d ) = jXQj +r(Q; d ) = jXQrj + p = r cos r' + p ; e e p r = er cos ' + p; r = 1 , e cos ' : (7) —²®¡» ¯®ª § ²¼, ·²® ¬» ­¥ ¯°¨®¡°¥«¨ «¨¸­¨µ ²®·¥ª, § ¬¥²¨¬, ·²® ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¤ ¥² ¤«¿ ª ¦¤®£® ' 2 [0; 2) °®¢­® ®¤­® ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ §­ ·¥­¨¥ r. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ´®ª³±, ¯¥°¥±¥·¥² ¬­®¦¥±²¢® °¥¸¥­¨© ³° ¢­¥­¨¿ (7) °®¢­® ¢ ¤¢³µ ²®·ª µ. Ž±² «®±¼ ¯®ª § ²¼, ·²® ²¥¬ ¦¥ ±¢®©±²¢®¬ ®¡« ¤ ¥² ¨ ½««¨¯±. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ ¯°¿¬ ¿ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ´®ª³± (,c; 0), ² ª ·²® ¥¥ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ x = ,c + t; y = t: ’®·ª¨ ¥¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ± ½««¨¯±®¬ ­ µ®¤¿²±¿ ¨§ ª¢ ¤° ²­®£® ³° ¢­¥­¨¿ ®² t: (,c + t) + ( t) = 1; a b (b + a )t , 2c b t + (c , a )b = 0: „«¿ ¤¨±ª°¨¬¨­ ­²  D ¨¬¥¥¬ (² ª ª ª c = a , b ): 1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

D=4 = c b , (c , a )b (b + a ) = 2

2 4

2

2

2

2

2

2

2

= c b ,c b ,c b a +a b +a b = = ,a b + b a + a b + a b = b a ( + ) > 0: ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, °¥¸¥­¨© ¤¢ . 2 ‡ ¤ ·  3. °®¢¥±²¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¢ ®±² «¼­»µ ±«³· ¿µ. 2

4 2

2 4

2

2 4

4 2

2

2

2 2 2

2 4

2

2

2 4

4 2

2

2

4 2

4 2 2

2

2

10. Ž¡¹ ¿ ²¥®°¨¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

10.1. Š ­®­¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ‘®£« ±­® ®¡¹¥¬³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ª°¨¢»¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  § ¤ ¾²±¿ ¢ ­¥ª®²®°®©  ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ­  ¯«®±ª®±²¨ ³° ¢­¥­¨¥¬ ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨ F (x; y) = 0, £¤¥ F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = (8) 11

2

12

22

48

2

1

2

0


!

! ! x + 2(a ; a ) x + a = X T QX + 2LX + a = (9) y y 0 10 1 0 1 a a a x x B C B C B = (x; y; 1) @ a a a A @ y A = (x; y; 1) A @ y C (10) A a a a 1 1 ¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ aij ®²«¨·¥­ ®² ­³«¿. Œ ²°¨¶  Q ° §¬¥°  2  2 ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© ª¢ ¤° ²¨·­®© · ±²¨,   ¬ ²°¨¶  L ° §¬¥°  1  2 ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© «¨­¥©­®© · ±²¨, ‡ ¬¥· ­¨¥ 10.1. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³ª § ­­»¥ ¬ ²°¨¶» ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬, ². ¥. ¥±«¨ ­ ¯°¨¬¥°, 0 1 0 1 x x B C B F (x; y) = (x; y; 1) A @ y A = (x; y; 1) B @ y C A; 1 1 ²® A = B . °¥¤«®¦¥­¨¥ 10.2. °¨ § ¬¥­¥ ª®®°¨­ ² (x; y) ! (x0; y0) ³° ¢­¥­¨¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨ F (x; y ) = 0 ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ³° ¢­¥­¨¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨ = (x; y) aa

11 12

a a

12

1

22

2

11

12

1

12

22

2

1

2

0

0

0

F 0(x0; y0) := F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = 0:

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥­  ª®®°¤¨­ ² ®±³¹¥±²¢«¿¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥ ! x = c y c

11 21

c c

12

!

22

! ! x0 + x : y0 y 0

0

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, deg F 0  2. …±«¨ deg F 0  1, ²® ¯°®¤¥« ¢ ®¡° ²­³¾ § ¬¥­³ ª®®°¤¨­ ², ¯®«³·¨¬, ·²® deg F  1. °¨¸«¨ ª ¯°®²¨¢®°¥·¨¾. 2 ‡ ¬¥· ­¨¥ 10.3. „«¿ ª°¨¢»µ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , ². ¥. ¯°¿¬»µ, ¡»«® ¯®«³·¥­®, ·²® ¤¢  ³° ¢­¥­¨¿ F = 0 ¨ G = 0 § ¤ ¾² ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ª°¨¢³¾ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  F = G ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿ . „«¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ½²® ­¥ ² ª. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.4. Š¢ ¤°¨ª®© ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ª« ±± ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ³° ¢­¥­¨© 2-®© ±²¥¯¥­¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ³¬­®¦¥­¨¿ ­  ­¥ª®²®°»© ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼: (F = 0)  (G = 0)

,

F = G;  6= 0:

°¨ § ¬¥­¥ ª®®°¤¨­ ² (x; y) ! (x0; y0) ª¢ ¤°¨ª  F (x; y) = 0 ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ª¢ ¤°¨ª³

F 0(x0; y0) := F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = 0:

„ «¥¥ ¡³¤¥² ¤®ª § ­®, ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£® § ¬¥· ­¨¿ ¡³¤¥² ¢¥°­»¬ ¤«¿ ²¥µ ª¢ ¤°¨ª, ª®²®°»¥ ±®±²®¿² ¡®«¥¥, ·¥¬ ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨ (  ¥±«¨ ±·¨² ²¼ ¯¥°¥¬¥­­»¥ ª®¬¯«¥ª±­»¬¨, ²® ¢±¥£¤ ). 49


°¨¬¥° 10.5.

| ª¢ ¤°¨ª , § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ¢ ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¥¬ ¢¨¤  x + y = ,1. Œ­¨¬»¥ ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¯°¿a b ¬»¥ | ³° ¢­¥­¨¥¬ y + a = 0, a 6= 0. Ž¡  ³° ¢­¥­¨¿ § ¤ ¾² ­  ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯«®±ª®±²¨ ¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ²®·¥ª, ­® ª®¬¯«¥ª±­»µ °¥¸¥­¨© ³ ­¨µ ° §­»¥ ¬­®¦¥±²¢ . Œ­¨¬»© ½««¨¯±

2

2

2

2

2

2

’¥®°¥¬  10.6. ³° ¢­¥­¨¿¬¨ ¤ ­­®© ª¢ ¤°¨ª¨ )

„«¿ «¾¡®© ª¢ ¤°¨ª¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨-

­ ², ¢ ª®²®°®© ®­  ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢

( ­ §»¢ ¥¬»µ ª ­®­¨·¥±ª¨¬¨

:

x a x a x a x a x a y y y y

2

1)

2 2

2)

2 2

3)

2 2

4)

2 2

5)

6) 7) 8) 9)

2

2 2 2 2

+ yb = 1, (a  b > 0), ½««¨¯±; 2

2

+ yb = ,1, (a  b > 0), ¬­¨¬»© ½««¨¯±; 2

2

+ yb = 0, (a  b > 0), ¯ °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬­¨¬»µ ¯°¿¬»µ; 2

2

, yb = 1 (a > 0; b > 0) 2

2

,

, £¨¯¥°¡®« ;

, yb = 0 (a  b > 0) 2

, ¯ °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ;

2

= 2px, (p > 0), ¯ ° ¡®« ; , a = 0, (a > 0), ¯ °  ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ; + a = 0, (a > 0), ¯ °  ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ; = 0, ¯ °  ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. 2

2

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ¯°¿¬®³£®«¼­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ². ‚ ­¥© ª¢ ¤°¨ª  ¨¬¥¥² ¢¨¤ (8) { (9). Ž±­®¢­ ¿ · ±²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±®±²®¨² ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¤¢³µ «¥¬¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¤¢³¬ § ¬¥­ ¬ ª®®°¤¨­ ², ¨«¨ ¤¢³¬ ¸ £ ¬ ² ª ­ §»¢ ¥¬®£® ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ª°¨¢®© ª ª ­®­¨·¥±ª®¬³ ¢¨¤³. ‹¥¬¬  10.7. a0

12

®¤µ®¤¿¹¨¬ ¯®¢®°®²®¬ ®±¥© ª®®°¤¨­ ² ¬®¦­® ¤®¡¨²¼±¿ ²®£®, ·²®

= 0, £¤¥ ¸²°¨µ ®§­ · ¥² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ª®½´´¨¶¨¥­² ³° ¢­¥­¨¿ ª¢ ¤°¨ª¨

¢ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ².

„®ª § ²¥«¼±²¢®. («¥¬¬»)  ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­»© ¯®¢®°®²: ! ! 0! x = cos ' , sin ' x : y

sin ' cos ' 50

y0


’®£¤ 

F 0(x0; y0) := F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = a (cos ' x0 , sin ' y0) + +2a (cos ' x0 , sin ' y0) (sin ' x0 + cos ' y0) + a (sin ' x0 + cos ' y0) + «¨­¥©­ ¿ · ±²¼ : Š®½´´¨¶¨¥­² ¯°¨ 2x0y0, ². ¥. a0 , ° ¢¥­ 2

11

12

2

22

12

,a cos ' sin ' + a (cos ' , sin ') + a cos ' sin ' = 11

2

12

2

22

= (a , a ) sin22' + a cos 2': Œ» µ®²¨¬ ­ ©²¨ ² ª®¥ ', ·²®¡» a0 = 0, ². ¥. 2' = a , a : ctg 2' = cos sin 2' 2a ‡ ¤ ·  ° §°¥¸¨¬ , ² ª ª ª ¥±«¨ ¡» a = 0, ²® ­¥ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¡» ­¨ª ª®£® ¯®¢®°®² . ‚ ¯®¢¥°­³²®© (¸²°¨µ®¢ ­­®©) ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¬­®£®·«¥­ F ¯°¨¬¥² ¢¨¤ 22

12

11

12

11

22

12

12

F 0(x0; y0) =  x0 +  y0 + 2b x0 + 2b y0 + b = 0: 1

‹¥¬¬  10.8.

2

Œ­®£®·«¥­ ¢¨¤ 

2

2

1

2

(11) ¯ ° ««¥«¼­»¬

2

0

(11)

¯¥°¥­®±®¬ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ®¤­®¬³

¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢: 1) 2) 3)

F 00 =  (x00) +  (y00) +  ( ;  6= 0); F 00 =  (y00) + 2b x00 ( ; b 6= 0); F 00 =  (y00) +  ( 6= 0). 1

2 2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

2

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1:  ;  6= 0: ’®£¤  ¢»¤¥«¿¥¬ ¯®«­»¥ ª¢ ¤° ²»: 1

2

F 0(x0; y0) =  x0 +  y0 + 2b x0 + 2b y0 + b = ! ! ! b b b b 0 =  x0 +  + y +  + b ,  ,  = 1

1

1

1

2

2

2

1

2

2

2

0

2

0

2

=  (x00) +  (y00) + ; 2

1

£¤¥

2

2

2 1

2 2

1

2

2

x00 := x0 + b ; y00 := y0 + b ; | ´®°¬³«» § ¬¥­» ª®®°¤¨­ ², ®¡° ²­®© ª ¨±ª®¬®©. 2:  = 0;  6= 0 (¥±«¨  = 0;  6= 0, ²® ¯®¬¥­¿¥¬ ª®®°¤¨­ ²» ¬¥±² ¬¨). ‚®§¬®¦­» ¤¢  ±«³· ¿.  ) …±«¨ b 6= 0, ²® F 0(x0; y0) =  y0 + 2b x0 + 2b y0 + b = 1

2

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

51

2

0


! ! b b 0 =  + 2b x + b ,  = =  (y00) + 2b x00; £¤¥ ! 1 b 00 0 x := x + 2 b b ,  ; y00 := y0 + b ; | ´®°¬³«» § ¬¥­» ª®®°¤¨­ ², ®¡° ²­®© ª ¨±ª®¬®©. ¡) …±«¨ b = 0, ²® F 0(x0; y0) =  y0 + 2b y0 + b = ! ! b b 0 =  y +  + b ,  =  (y00) + ; £¤¥ x00 := x0; y00 := y0 + b ; | ´®°¬³«» § ¬¥­» ª®®°¤¨­ ², ®¡° ²­®© ª ¨±ª®¬®©. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . 2 ‚¥°­¥¬±¿ ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ²¥®°¥¬» ¨ ° §¡¥°¥¬ ° §«¨·­»¥ ±«³· ¨ ³° ¢­¥­¨© ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬». Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ®£®¢ °¨¢ ²¼ ®·¥¢¨¤­»¥ ®¯¥° ¶¨¨, ª®£¤  ³¬­®¦ ¥¬ ³° ¢­¥­¨¥ ­  ­¥­³«¥¢®© ±ª «¿° ¨«¨ ¬¥­¿¥¬ ­ §¢ ­¨¿ ª®®°¤¨­ ². 1). 1.  ¨  | ®¤­®£® §­ ª ,  | ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®£®. ®«³· ¥¬ ³° ¢­¥­¨¥ ½««¨¯± . 2.  ;  ;  | ®¤­®£® §­ ª . ®«³· ¥¬ ³° ¢­¥­¨¥ ¬­¨¬®£® ½««¨¯± . 3.  ¨  | ®¤­®£® §­ ª ,  = 0.  °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬­¨¬»µ ¯°¿¬»µ. 4.  ¨  | ° §­»µ §­ ª®¢,  6= 0. ƒ¨¯¥°¡®« . 5.  ¨  | ° §­»µ §­ ª®¢,  = 0.  °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ. 2). 6.  °¡®« . 3). 7.  < 0.  °  ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ. 8.  > 0.  °  ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ. 9.  = 0.  °  ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. 2 2

y0 +

2

2

1

2

2

2

0

1

1

2

2

2

0

2

1

2 2

2

2

2

2

2

0

2

2 2

2

0

2 2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

‘«¥¤±²¢¨¥ 10.9.

“° ¢­¥­¨¥ ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨ ­  ¯«®±ª®±²¨ § ¤ ¥² ®¤­³ ¨§ ±«¥¤³-

¾¹¨µ ª°¨¢» (ª ª ¬­®¦¥±²¢® ²®·¥ª):

½««¨¯±; £¨¯¥°¡®« ; ¯ ° ¡®« ; ¯ °  ¯¥°¥±¥-

ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ; ¯ °  ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ; ¯ °  ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ; ²®·ª ; ¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢®.

10.2. ˆ­¢ °¨ ­²» ¬­®£®·«¥­  ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.10. ”³­ª¶¨¿ J ®² ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ¬­®£®·«¥­  F ­ §»¢ ¥²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬ ¨­¢ °¨ ­²®¬, ¥±«¨ ®­  ­¥ ¬¥­¿¥²±¿ ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² ®²­®© ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ª ¤°³£®©, ². ¥. J (a ; a ; a ; a ; a ; a ) = J (a0 ; a0 ; a0 ; a0 ; a0 ; a0 ): 11

12

22

1

2

0

11

52

12

22

1

2

0


Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.11. ‘³¬¬  ¤¨ £®­ «¼­»µ ½«¥¬¥­²®¢ ¬ ²°¨¶» A ­ §»¢ ¥²±¿ ¤®¬ ¬ ²°¨¶»

A:

Tr A := a + a + : : : + ann: 11

’¥®°¥¬  10.12.

±«¥-

22

‘«¥¤³¾¹¨¥ ²°¨ ´³­ª¶¨¨:

S := Tr Q;

 := det Q;

 := det A

¿¢«¿¾²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬¨ ¨­¢ °¨ ­² ¬¨.

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ¯¥°¥µ®¤ ®² (x; y) ª ¤°³£®© ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®��°¤¨­ ² (x0; y0):

! x = c y c

11 21

c c

12

!

! ! x0 + x ; y0 y 0

22

0

! c c £¤¥ C := c c | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ®°²®£®­ «¼­ ¿ ¬ ²°¨¶ .  °¿¤³ ± C ° ±±¬®²°¨¬ ¥¹¥ 3  3-¬ ²°¨¶³ 0 1 c c x D := B @ c c y CA : 0 0 1 ’®£¤  ¢»¯®«­¿¥²±¿ ±®®²­®¸¥­¨¥ 0 1 0 01 0 10 0 1 x x c c x x B@ y C B C B C B 0 A = D @ y A = @ c c y A @ y0 CA : 1 1 0 0 1 1 „®ª ¦¥¬ ¢±¯®¬®£ ²¥«¼­³¾ «¥¬¬³. 11

12

21

22

‹¥¬¬  10.13.

11

12

0

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0

11

12

0

21

22

0

A0 ¨ Q0, ®²¢¥· ¾¹¨¥ ¬­®£®·«¥­³ F 0(x0; y0) := F (x(x0; y0); y(x0; y0)); ±¢¿§ ­» ± ¬ ²°¨¶ ¬¨ A ¨ Q ±®®²­®¸¥­¨¿¬¨ A0 = DT AD; Q0 = C T QC: Œ ²°¨¶»

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

0 1 0 1T 0 1 x x x B C B C B 0 0 0 F (x ; y ) = (x; y; 1) A @ y A = @ y A A @ y C A= 1 1 1 0 0 0 11T 0 0 1 0 01 x x x =B @D B @ y0 C ACA AD B@ y0 CA = (x0; y0; 1)DT AD B@ y0 CA : 1 1 1 53


‚ ±¨«³ § ¬¥· ­¨¿ 10.1 ½²® ®§­ · ¥², ·²® A0 = DT AD. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ¨ ¢²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. 2 °®¤®«¦¨¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬». ˆ§ «¥¬¬», ®°²®£®­ «¼­®±²¨ C ¨ ¿¢­®£® ¢¨¤  D ¯®«³· ¥¬ det Q0 = det (C T QC ) = det C T det Qdet C = (det C ) det Q = det Q; det A0 = det (DT QD) = det DT det Adet D = (det D) det A = det A; ² ª ª ª det C = 1,   det A = det C . ˆ­¢ °¨ ­²­®±²¼  ¨  ³±² ­®¢«¥­ . ® «¥¬¬¥ ! ! ! 0 a0 ! a c c a a c c 0 T Q = C QC; a0 a0 = c c a a c c = ! ! c a + c a c a + c a c c = c a +c a c a +c a c c ; a0 = c a + c c a + c c a + c a ; a0 = c a + c c a + c c a + c a ; a0 + a0 = a (c + c ) + 2a (c c + c c ) + a (c + c ): ‚±¯®¬­¨¬ ¿¢­»© ¢¨¤ ¤¢³¬¥°­»µ ®°²®£®­ «¼­»µ ¬ ²°¨¶: ! ! cos ' , sin ' cos ' sin ' ¨«¨ sin ' cos ' sin ' , cos ' : ’ ª ·²® c + c = cos ' + sin ' = 1; c c + c c = cos '( sin ')  sin ' cos ' = 0; c + c = sin ' + cos ' = 1: 0 0 ‡­ ·¨², a + a = a + a . 2 ‡ ¬¥· ­¨¥ 10.14. “ª § ­­»¥ ¨­¢ °¨ ­²» ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¨­¢ °¨ ­² ¬¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ³¬­®¦¥­¨¿ ³° ¢­¥­¨¿ ­  ­¥­³«¥¢®¥ . ²  ®¯¥° ¶¨¿ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ § ¬¥­®© ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ². ‡ ¤ ·  4. Œ®¦­® «¨ ­ ©²¨ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª¨© ª« ±± § ¬¥­, ·²®¡» ±®µ° ­¿«¨±¼ ³ª § ­­»¥ ¨­¢ °¨ ­²» ? ‡ ¬¥· ­¨¥ 10.15. ˆ­¢ °¨ ­²­®±²¼ S ¨  ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨§ ­¥ª®²®°®© ¡®«¥¥ ®¡¹¥© ²¥®°¥¬», ª®²®°³¾ ¬» ±¥©· ± ¤®ª ¦¥¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.16. • ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¬ ¬­®£®·«¥­®¬ ¬ ²°¨¶» Q ­ §»¢ ¥²±¿ Q := det (Q , E ), £¤¥ E | ¥¤¨­¨·­ ¿ ¬ ²°¨¶ . ’¥®°¥¬  10.17. Š®½´´¨¶¨¥­²» µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­  ¬ ²°¨¶» Q 2

2

11

12

11

21

11

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22

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11 11 12 11

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11

22 12 12

2 12

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11 21 12

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12 22 12

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22

11 21

2

2

2

2

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22

2 21

2 22

12 22

2 21

11

21 12

2 22

22

¿¢«¿¾²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬¨ ¨­¢ °¨ ­² ¬¨.

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

Q () = det (Q0 , E ) = det (C T QC , E ) = det (C T QC , C T C ) = = det (C T (Q , E )C ) = (det C ) det (Q , E ) = Q(): 2 0

2

54


10.3. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª ­®­¨·¥±ª®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¯® ¨­¢ °¨ ­² ¬ Š ª ¡»«® ¯®ª § ­® ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» ® ¯°¨¢¥¤¥­¨¨ ª ª ­®­¨·¥±ª®¬³ ¢¨¤³, «¾¡®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  § ¬¥­®© ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ®¤­®¬³ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢ 1) F =  (x) +  (y) +  ( ;  6= 0); 2) F =  (y) + 2b x ( ; b 6= 0); 3) F =  (y) +  ( 6= 0).   ½²®¬ ½² ¯¥ ¡»«¨ ¯°®¢¥¤¥­» ²®«¼ª® § ¬¥­» ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² (­¨ª ª ¨µ ³¬­®¦¥­¨© ­  ­¥­³«¥¢»¥ ¬­®¦¨²¥«¨ ¥¹¥ ­¥ ¯°®¨§¢®¤¨«®±¼), ¯®½²®¬³ ¢±¥ ¨­¢ °¨ ­²» ±®µ° ­¨«¨±¼. ‡­ ·¨², ¥±«¨ ¬» ±¬®¦¥¬ ¯® ¨­¢ °¨ ­² ¬ ¢ ½²®¬ ¢¨¤¥ ­ ©²¨ ³° ¢­¥­¨¥, ²® ¨ ¢ ¨±µ®¤­®¬ ²®¦¥. ‘³· © 0 A 1 S    0 0 B 1 @ 0  0 CA  +       0 0 0  1 0 0 b C ‘®±² ¢¨¬ ² ¡«¨¶³ B 2 0 , b @ 0  0 A  b 0 0 0 1 0 0 0 B@ 0  0 CA 3  0 0 0 0  Ž·¥¢¨¤­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. °¥¤«®¦¥­¨¥ 10.18. ’¨¯» ª¢ ¤°¨ª 1 , 3 ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ §­ ·¥­¨¿¬¨ 1

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

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1

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1

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

2 2 1

1

¨­¢ °¨ ­²®¢

 6= 0; 2)  = 0,  6= 0; 3)  = 0,  = 0, S 6= 0.  ±±¬®²°¨¬ ª ¦¤»© ±«³· © ®²¤¥«¼­®. 1. F =  (x) +  (y) +  ( ;  6= 0). °¥¤«®¦¥­¨¥ 10.19. Š®½´´¨¶¨¥­²»  ¨  ¿¢«¿¾²±¿ ª®°­¿¬¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­  ¬ ²°¨¶» Q. !  ,  0 „®ª § ²¥«¼±²¢®. Q = det 0  ,  = ( , )( , ). 2 ˆ² ª, ¢ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ®²¢¥² ±«¥¤³¾¹¨©:  ¨  ­ µ®¤¿²±¿ ª ª ª®°­¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­   , S +  = 0,    = =. 1)

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

55

2

2


‘«¥¤±²¢¨¥ 10.20. 2. F =  (y) + 2b x

• ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬­®£®·«¥­ ¨¬¥¥² ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ª®°­¨.

( ; b 6=s0). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥  = S , b =  ,  S . ²® ¯ ° ¡®«  ± ´®ª «¼­»¬ ¯ ° ¬¥²°®¬ s p = , S . 3. F =  (y) +  ( 6= 0). ’³²  = S , ­® ¢»·¨±«¨²¼  ·¥°¥§ S ,  ¨  ­¥¢®§¬®¦­®. ¥®¡µ®¤¨¬ ¥¹¥ \¯®·²¨ ¨­¢ °¨ ­²". Ž¯°¥¤¥«¨¬ ´³­ª¶¨¾ K ´®°¬³«®©

a a a a

K :=

a a

+

a a

: 2

2

1

2

2

1

1

3

2

2

2

2

‹¥¬¬  10.21.

11

1

22

2

1

0

2

0

Š®°­¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­  ¬ ²°¨¶»

A ­¥

¬¥­¿¾²±¿

¯°¨ § ¬¥­ µ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ² ± ®¡¹¨¬ ­ · «®¬.

0 1 c c 0 „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¬ ²°¨¶  D = B@ c c 0 CA ®°²®£®­ «¼­ . 0 0 1 „ «¼¸¥ ¤®±«®¢­® ª ª ¢ ²¥®°¥¬¥ 10.17. 2

’¥®°¥¬  10.22.

ɱǬ

 =  = 0, ²® ´³­ª¶¨¿ K

11

12

21

22

¿¢«¿¥²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬ ¨­¢ °¨-

 ­²®¬.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬­®£®·«¥­ A ¨¬¥¥² ¢¨¤

a

a ,  a

a a ,  a

=

a a a ,

11

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2

0

!

a a a a a a

= , + (a + a + a ) ,

a a

+

a a

+

a a

 +  = = , + (a + S ) , (K + )  + : ‚ ±¨«³ ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬» k ¨­¢ °¨ ­²¥­ ¯°¨ ¯°¿¬®³£®«¼­»µ § ¬¥­ µ, ±®µ° ­¿¾¹¨µ ­ · «®. ‚ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ²°¥¡³¥¬  =  = 0. ®±ª®«¼ª³ ¤®¡¨²¼±¿ a = 0 ¬®¦­® ®¤­¨¬ ¨ ²¥¬ ¦¥ ¯®¢®°®²®¬ ¤«¿ ±¨±²¥¬, ®²«¨· ¾¹¨µ±¿ ­  ±¤¢¨£, ²® ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ³¦¥ a = 0 ³ ¨±µ®¤­®£® ³° ¢­¥­¨¿. ®±ª®«¼ª³ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥  = a a = 0, ²® ¡¥§ ®£° ­¨·¥­¨¿ ®¡¹­®±²¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® a = 0,   a 6= 0. ˆ§  = ,a a = 0 ¯®«³· ¥¬ a = 0. ’®£¤  F ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤ F = a y + 2a y + a .  ±±¬®²°¨¬ ±¤¢¨£ 3

0

11

22

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11 22

11

1

22

x = x0 + x ;

22

2

2

y = y0 + y :

0

0

56

0

2 1 22


’®£¤  F 0 = a (y0 + y ) + 2a (y0 + y ) + a = a (y0) + 2(a y + a )y0 + (a y + 2a y + a ); a0 = a ; a0 = a y + a ; a0 = a y + 2a y + a : °¨ ½²®¬ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 A=B @ 0 a a CA ; A0 = B@ 0 a0 a0 CA : 0 a a 0 a0 a0 ’®£¤  K = a a , a ,   K 0 = a (a y + 2a y + a ) , (a y + a ) = a a , a = K: 2 ‚¥°­¥¬±¿ ª ²°¥²¼¥¬³ ±«³· ¾: F =  y +  , 0 1 0 0 0 A=B @ 0  0 CA ; S =  ;  =  = 0; 0 0  K =  ;  = KS : 22

0

2

22

22 0

22

2

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2

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22

2

22

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2 0

0

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2

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2

2 2

22 0

2

2

2

2

’¥®°¥¬  10.23.

‘«¥¤³¾¹ ¿ ² ¡«¨¶  ¤ ¥² ­¥®¡µ®¤¨¬»¥ ¨ ¤®±² ²®·­»¥ ³±«®¢¨¿

¯°¨­ ¤«¥¦­®±²¨ ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ª ®¤­®¬³ ¨§ ¤¥¢¿²¨ ¢¨¤®¢ ¢ ²¥°¬¨­ µ ¨­¢ °¨ ­²®¢:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

««¨¯± Œ­¨¬»© ½««¨¯±  °  ¬­¨¬»µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ ƒ¨¯¥°¡®«   °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ  ° ¡®«   °  ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ  °  ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ  °  ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ „®ª § ²¥«¼±²¢®. °®¢¥¤¥¬ ¤«¿ ½««¨¯± .

>0 >0 >0 <0 <0 =0 ==0 ==0 ==0

S < 0 S > 0 =0  6= 0 =0  6= 0 K<0 K>0 K=0

0 1 0 0 2 a F = xa + yb , 1 = 0; A = B @ 0 b2 0 CA ; 0 0 ,1  = a1  b1 > 0; S = a1 + b1 > 0;  = , a1  b1 < 0: °¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ª ¤°³£®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¨­¢ °¨ ­²» ­¥ ¨§¬¥­¿²±¿. …±«¨ ³¬­®¦¨¬ F ­  ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ª®­±² ­²³, ²® §­ ª¨ ¨­¢ °¨ ­²®¢ ®±² ­³²±¿ ¯°¥¦­¨¬¨,   ¥±«¨ 2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

57

2

2


³¬­®¦¨¬ F ­  ®²°¨¶ ²¥«¼­³¾ ª®­±² ­²³, ²® §­ ª  ­¥ ¨§¬¥­¨²±¿,   §­ ª¨ S ¨  ¨§¬¥­¿²±¿, §­ ·¨², §­ ª S  ®±² ­¥²±¿ ¯°¥¦­¨¬. Ž¡° ²­®, ° ±±¬®²°¨¬ ª¢ ¤°¨ª³ ±  > 0 ¨ S  < 0. ’ ª ª ª  6= 0, ²® ®­  ¯°¨¢¥¤¥²±¿ ª ¯¥°¢®¬³ ²¨¯³:

F =  (x) +  (y) +  ( ;  6= 0); 0 1  0 0 A=B @ 0  0 CA ; S =  +  ;  =    =   : 0 0  ’ ª ª ª  > 0, ²®  ¨  ®¤­®£® §­ ª , §­ ·¨², ¨ S ²®£® ¦¥ §­ ª . ’ ª ª ª S  < 0, ²®  ¤°³£®£® §­ ª , ¨  = = ²®¦¥. ®½²®¬³ ¯®±«¥ ¤¥«¥­¨¿ ­  , ¯°¨µ®¤¨¬ ª ³° ¢­¥­¨¾ ½««¨¯± . 2 2

1

2

2

1

2

1

2

1

‘«¥¤±²¢¨¥ 10.24.

1

2

1

2

1

2

2

®±ª®«¼ª³

ª®½´´¨¶¨¥­²»

ª ­®­¨·¥±ª®£®

³° ¢­¥­¨¿

¢»° ¦ -

¾²±¿ ·¥°¥§ ¨­¢ °¨ ­²» ¨ ±¥¬¨¨­¢ °¨ ­², ²® ³° ¢­¥­¨¿ ®¯°¥¤¥«¥­» ®¤­®§­ ·­®.

°¨¬¥° 10.25. Ž¯°¥¤¥«¨²¼ ²¨¯ ª°¨¢®© x , 5xy + 4y + x + 2y , 2 = 0. 0 1 1 ,5=2 1=2 1 C A=B @ ,5=2 4 A; 1=2 1 ,2 2

2

S = 5;  = 4 , 254 = , 49 ;  = ,8 , 54 , 45 , 1 , 1 + 25 2 = 0; ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ¯ °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ. °¨¬¥° 10.26. Ž¯°¥¤¥«¨²¼ ²¨¯ ª°¨¢®© 5x + 12xy , 22x , 12y , 19 = 0. 0 1 5 6 ,11 A=B @ 6 0 ,6 CA ; ,11 ,6 ,19 S = 5;  = ,36;  = 2  36  11 + 36  19 , 36  5 = 792 + 504 = 1296; ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® £¨¯¥°¡®« . ‡ ¤ ·  5.  ©²¨ (± ¯®¬®¹¼¾ ¨­¢ °¨ ­²®¢) ª ­®­¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ½²¨µ ª°¨¢»µ. 2

10.4.  ±¯ ¤ ¾¹¨¥±¿ ª°¨¢»¥ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.27. €«£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ª°¨¢ ¿ F (x; y) = 0 ­ §»¢ ¥²±¿ ¹¥©±¿, ¥±«¨ F = F  F , £¤¥ F ¨ F | ¬­®£®·«¥­» ­¥­³«¥¢®© ±²¥¯¥­¨. 1

2

°¥¤«®¦¥­¨¥ 10.28. ±®¤¥°¦¨² ¯°¿¬³¾

f

1

° ±¯ ¤ ¾-

2

…±«¨  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ª°¨¢ ¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¯®°¿¤ª 

Ax + By + C = 0, ²® F = f  F , ². ¥. 1

¼¥§ ®±² ²ª .

58

¬­®£®·«¥­

F

F =0

¤¥«¨²±¿ ­ 


„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A 6= 0 (¤«¿ B 6= 0  ­ «®£¨·­®).  §¤¥«¨¬ ¬­®£®·«¥­ F ­  f ª ª ¬­®£®·«¥­» ®² x ± ®±² ²ª®¬ r(y). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® r = 6 0, ². ¥. ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  y , ·²® r(y ) = 6 0. ‚»¡¥°¥¬ x ² ª, ·²®¡» 0

0

0

f (x ; y ) = Ax + By + C = 0; 0

0

0

x = , A1  (By + C ):

²:¥:

0

0

’®£¤  (x ; y ) 2 ff = 0g  fF = 0g ¨ 0

0

0

0 = F (x ; y ) = f (x ; y )  F (x ; y ) + r(y ) = 0  F (x ; y ) + r(y ) = r(y ): 0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

2

°®²¨¢®°¥·¨¥.

‘«¥¤±²¢¨¥ 10.29.

F (x; y) = 0 ±®¤¥°¦¨² ¯°¿¬³¾ Ax + By + C = 0, ²® F = (Ax + By + C )  (A x + B y + C ). ²® ¢®§¬®¦­® ±¤¥« ²¼ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤   = 0. …±«¨ ª°¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

1

1

1

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¯®«³· ¥²±¿ ±° §³ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£® ¯°¥¤«®-

¦¥­¨¿,   ¢²®°®¥ | ¨§ ¯¥°¢®£® ¨ ²¥®°¥¬» ®¡ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¢¨¤  ª°¨¢®© ¯® ¨­¢ °¨ ­² ¬. 2

°¨¬¥° 10.30.

F (x; y) = x , 5xy + 4y + x + 2y , 2 = x , (5y , 1)x + (4y + 2y , 2); x ; = 5y , 1 2(3y , 3) ; x = 4y , 2; x = y + 1; F (x; y) = (x , x )  (x , x ) = (x , 4y + 2)  (x , y , 1): ‡ ¤ ·  6. „®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ a 6= 0, ²® ª¢ ¤° ²­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ F (x; y) = 0 ®²­®±¨²¥«¼­® x ¨¬¥¥² ±®¨¬ ¤¨±ª°¨¬¨­ ­²®¬ ª¢ ¤° ²­»© ²°¥µ·«¥­ ®²­®±¨²¥«¼­® y, ¤¨±ª°¨¬¨­ ­² ª®²®°®£® ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼ ° ¢¥­ a 1. ‚ · ±²­®±²¨, ª®°¥­¼ ¨§¢«¥ª ¥²±¿ ²®·­® ¯°¨  = 0. 2

2

2

12

2

1

1

2

2

11

1

’¥®°¥¬  10.31. 

°®¨§¢®«¼­»© ®°²®£®­ «¼­»© ¨­¢ °¨ ­²

J

¬­®£®·«¥­  ¢²®°®©

±²¥¯¥­¨, ¯®«¨­®¬¨ «¼­® § ¢¨±¿¹¨© ®² ¥£® ª®½´´¨¶¨¥­²®¢, ¿¢«¿¥²±¿ ¬­®£®·«¥­®¬ ®²

S ,  ¨ .

10.5. ’¥®°¥¬» ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¤«¿ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª   ¯®¬­¨¬, ·²® ª¢ ¤°¨ª  | ½²®  «£¥¡° ¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ³¬­®¦¥­¨¿ ­  ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼.

’¥®°¥¬  10.32.

‘³¹¥±²³¥² ¨ ¥¤¨­±²¢¥­  ª¢ ¤°¨ª , ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ¤ ­­»¥ ° §-

«¨·­»¥ ¯¿²¼ ²®·¥ª, ­¨ª ª¨¥ ·¥²»°¥ ¨§ ª®²®°»µ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©.

59


„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ Pi(xi; yi), i = 1; : : : ; 5, | ½²¨ ²®·ª¨ ¢ ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®-

³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ². „«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ³° ¢­¥­¨¿ ¨±ª®¬®© ª¢ ¤°¨ª¨ ¢®§­¨ª ¥² ±¨±²¥¬  ¨§ 5 «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨©:

a xi + 2a xiyi + a yi + 2a xi + 2a yi + a = 0; 11

2

12

2

22

1

2

i = 1; : : : 2;

0

®² 6 ­¥¨§¢¥±²­»µ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ³¬­®¦¥­¨¿ ­  ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼. ’ ª ¿ ±¨±²¥¬  ¢±¥£¤  ¨¬¥¥² °¥¸¥­¨¥. Ž­® ®¤­®§­ ·­® ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ³¬­®¦¥­¨¿ ­  ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼, ¥±«¨ ³° ¢­¥­¨¿ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬». „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥. ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ¯¿²®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ©¨¥© ¯¥°¢»µ ·¥²»°¥µ, ² ª ·²�� «¾¡ ¿ ª¢ ¤°¨ª , ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ P ; : : :; P , ¯°®µ®¤¨² ¨ ·¥°¥§ P .  ±±¬®²°¨¬ ¤¢  ±«³· ¿. 1: ²°¨ ²®·ª¨ ¨§ P ; : : :; P , ­ ¯°¨¬¥°, P ; P ; P «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©, ª®²®°³¾ ®¡®§­ ·¨¬ l. 1

1

4

4

1

r

4

2

3

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P

5

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 2

r  1  

   r  5

P

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3

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P

°®¢¥¤¥¬ ¯°¿¬³¾ m, ±®¤¥°¦ ¹³¾ P ¨ ­¥ ±®¤¥°¦ ¹³¾ P . ’ ª ª ª 4 ²®·ª¨ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©, ²® m 6= l ¨ m [ l | ª¢ ¤°¨ª , ­¥ ±®¤¥°¦ ¹ ¿ P . °®²¨¢®°¥·¨¥. 2: ­¨ª ª¨¥ ²°¨ ²®·ª¨ ¨§ P ; : : :; P ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. ’®£¤  ®¯°¥¤¥«¥­» ¤¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨: q := (P P ) [ (P P ) ¨ q := (P P ) [ (P P ). PP PP## PP  # PP  P PP # PP #  PPP # hhhP P #  hhh # hhhh P  4

5

5

1

1

1

2

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3

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2

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3

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1

r

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# # #

4

hhh r hhh h   

P

r

5

® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, P 2 q , P 2 q . ® q \ q = fP ; P ; P ; P g. °®²¨¢®°¥·¨¥.

2

5

1

5

2

1

60

2

1

2

3

4


’¥®°¥¬  10.33.

…±«¨ ¤¢  ³° ¢­¥­¨¿ ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨

F = 0 ¨ G = 0 § ¤ ¾² ®¤­³

¨ ²³ ¦¥ ª°¨¢³¾, ². ¥. ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ¬­®¦¥±²¢® ²®·¥ª, ¯°¨·¥¬ ±®¤¥°¦ ¹³¾ ¡®«¥¥

F = G,  6= 0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ƒŒ’, ¯®¤¯ ¤ ¾¹¨¥ ¯®¤ ´®°¬³«¨°®¢ª³ ²¥®°¥¬», ­ §®¢¥¬ ±®¤¥°¦ ²¥«¼­»¬¨ (ƒ ¨ ¯ °» ¯°¿¬»µ, ¡»²¼ ¬®¦¥² ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ), ¯°®·¨¥ | ­¥±®¤¥°¦ ²¥«¼­»¬¨ (²®·ª  ¨ ¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢®). „«¿ ¢±¥µ ±®¤¥°¦ ²¥«¼­»µ ª°¨¢»µ, ª°®¬¥ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ, ±³¹¥±²¢³¾² ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ ¨¬ 4 ²®·ª¨, ­¥ «¥¦ ¹¨¥ ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. ®½²®¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ¤«¿ ­¨µ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬». Ž±² «±¿ ±«³· © ¤¢³µ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. ³±²¼ F = 0 ¨ G = 0 ±®¤¥°¦ ² Ax + Bx + C = 0. ’®£¤  ¯® ¯°¥¤«®¦¥­¨¾ ® ° ±¯ ¤ ¾¹¨µ±¿ ª°¨¢»µ, F = (Ax + By + C )  (A x + B y + C ); G = (Ax + By + C )  (A x + B y + C ): Š®£¤  °¥·¼ ¨¤¥² ® ±®¢¯ ¢¸¨µ ¯°¿¬»µ, ²® ¢²®°»¥ ±®¬­®¦¨²¥«¨ ¤®«¦­» ®¯°¥¤¥«¿²¼ ²³ ¦¥ ¯°¿¬³¾ Ax + Bx + C = 0,   §­ ·¨², ¯® ²¥®°¥¬¥ ®¡ ³° ¢­¥­¨¿µ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª , § ¤ ¾¹¨µ ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ª°¨¢³¾, A x + B y + C =  (Ax + Bx + C ); A x + B y + C =  (Ax + Bx + C ); 2 ² ª ·²® G =  F . ®¤­®© ²®·ª¨, ²®

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

2

10.6. ’¥®°¥¬   ±ª «¿. \®±²°®¥­¨¥" ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¯® ¯¿²¨ § ¤ ­­»¬ ²®·ª ¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 10.34. ˜¥±²¨¢¥°¸¨­­¨ª®¬ ­ §»¢ ¥²±¿ ³¯®°¿¤®·¥­­»© ­ ¡®° A ; : : : ; A ¸¥±²¨ ²®·¥ª ­  ¯«®±ª®±²¨, ­ µ®¤¿¹¨µ±¿ ¢ ®¡¹¥¬ ¯®«®¦¥­¨¨, ². ¥. ­¨ª ª¨¥ 3 ²®·ª¨ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. …£® ±²®°®­» : A A , A A , ... A A . °®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ±²®°®­» : A A ¨ A A , A A ¨ A A , A A ¨ A A . X T A   XXXXX  T   A A A  A    T A A ZZZ    A DS T  C  Z   @ DS T   A C S 

@   D T 

C @  S A  D A

A  TT C @  S  D A C   D S A

@ A  A  AA C S @  A A  C A @   S A 1

6

1

1

2

4

5

2

3

5

6

3

2

2

4

6

3

6

1

1

4

1

6

2

2

5

6

2

3

4

6

4

5

1

3

3

5

1

‡ ¬¥· ­¨¥ 10.35. ¨ª ª¨¥ 3 ²®·ª¨ ƒ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. ²® ±«¥¤³¥² ¨§ ° ±±¬®²°¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°¿¬®©, § ¤ ­­®© ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨, ± ª°¨¢®©. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³· ¥¬ ³° ¢­¥­¨¥ ­¥ ±² °¸¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ­  ¯ ° ¬¥²°. ‡­ ·¨², ¥±«¨ ª°¨¢ ¿ ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ± ¯°¿¬®© ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¯® 2 ²®·ª ¬, ²® ®­  ¯°¿¬³¾ ±®¤¥°¦¨². ®¤°®¡­»¥ ¢»ª« ¤ª¨ ¡³¤³² ¯°®¢¥¤¥­» ¢ ±«¥¤³¾¹¨µ ¯ ° £° ´ µ. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ³¯®°¿¤®·¥­­»© ­ ¡®° 6 ° §«¨·­»µ ²®·¥ª ƒ § ¤ ¥² ¸¥±²¨¢¥°¸¨­­¨ª. 61


’¥®°¥¬  10.36 ( ±ª «¿).

’®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»µ ±²®°®­ ¸¥±²¨-

¢¥°¸¨­­¨ª , ¢¯¨± ­­®£® ¢ ƒ, «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P = (A A ) \ (A A ), P = (A A ) \ (A A ), P = (A A ) \ (A A ). „®ª ¦¥¬, ·²® P 2 (P P ). 1

6

1

1

3

1

2

4

5

2

2

3

5

6

3

3

4

2

 ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¿ ª°¨¢»µ ²°¥²¼¥© ±²¥¯¥­¨

P (x; y) = a x +a x y+a y +a y +a x +a xy+a y +a x+a y+a = 0; ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ 8 ²®·¥ª: A ; : : :; A ; P ; P . ‚®§­¨ª ¥² ®¤­®°®¤­ ¿ ±¨±²¥¬  ¨§ 8 ³° ¢­¥­¨© ­  10 ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ aijk . ®ª ¦¥¬, ·²® ½²¨ 8 ³° ¢­¥­¨© «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬». °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ½²® ­¥ ² ª, ². ¥. ®¤­® ¨§ ³° ¢­¥­¨© «¨­¥©­® ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ®±² «¼­»¥. ²® ®§­ · ¥², ·²® «¾¡ ¿ ª³¡¨·¥±ª ¿ ª°¨¢ ¿, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ 7 ²®·¥ª, ¯°®µ®¤¨² ¨ ·¥°¥§ ¢®±¼¬³¾. „®¯³±²¨¬, ³° ¢­¥­¨¥, ®²¢¥· ¾¹¥¥ P , ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ®±² «¼­»¥.  ±±¬®²°¨¬ ª³¡¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥, ° ¢­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ³° ¢­¥­¨¿ ­ ¸¥© ª¢ ¤°¨ª¨ ­  ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®©, ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ P , ­® ­¥ ·¥°¥§ P . °®²¨¢®°¥·¨¥. €­ «®£¨·­® ¤«¿ P . ³±²¼ ²¥¯¥°¼ \§ ¢¨±¨¬ ¿" ²®·ª  | A . ’®£¤  ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ª³¡¨ª¨ (A A ) [ (A A ) [ (A A ). €­ «®£¨·­® ¤«¿ ®±² «¼­»µ Ai. ˆ² ª 8 ³° ¢­¥­¨© «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬» ¨ «¾¡®¥ °¥¸¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¤¢³µ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬»µ °¥¸¥­¨©. „¢  °¥¸¥­¨¿, ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨¥ ° §«¨·­»¥ ƒŒ’ ¡³¤³² «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬» (®² ¯°®²¨¢­®£®). ‚ · ±²­®±²¨, ª³¡¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ƒŒ’ (A A ) [ (A A ) [ (A A ) ¨ (A A ) [ (A A ) [ (A A ) «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬». ‡­ ·¨², ³° ¢­¥­¨¥ Q [ (P P ), £¤¥ Q | ¨±µ®¤­ ¿ ª®­¨ª , ¢»° ¦ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ¨µ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¨. ‡­ ·¨²,     P 2 (A A ) [ (A A ) [ (A A ) \ (A A ) [ (A A ) [ (A A )  Q [ (P P ): 111

3

112

2

122

2

222

1

3

2

011

6

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2

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4

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6

1

2

6

2

3

4

5

6

1

1

2

‚ ±¨«³ § ¬¥· ­¨¿ 10.35 P ­¥ ¬®¦¥² «¥¦ ²¼ ­  Q. ‡­ ·¨², P 2 (P P ). 2 ’¥®°¥¬   ±ª «¿ ¯®§¢®«¿¥² ¯°®¢®¤¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¯®±²°®¥­¨¿ ²®«¼ª® ± ¯®¬®¹¼¾ «¨­¥©ª¨. ®±²°®¥­¨¥ 1. „®¯³±²¨¬, ­ ¬ ¨§¢¥±²­» 5 ²®·¥ª A ; : : :; A , «¥¦ ¹¨¥ ­  ª¢ ¤°¨ª¥ (¤«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ¨µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® «¥¦ ¹¨¬¨).  ±±¬®²°¨¬ ²®·ª³ P = (A A ) \ (A A ) ¨ ¯°¿¬»¥ l = (A A ) ¨ l = (A A ). ’®£¤  ¯® ª ¦¤®© ²®·ª¥ P ­  ¯°¿¬®© l ¬» ¬®¦¥¬ ¯®±²°®¨²¼ ²®·ª³ A ­  ª®­¨ª¥ ¯® ±«¥¤³¾¹¥¬³ ¯° ¢¨«³. °®¢¥¤¥¬ ¯°¿¬³¾ (P P ) ¤® ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ± l ¢ ²®·ª¥ P . ’®£¤  A = (P A ) \ (P A ). ®±²°®¥­¨¥ 2. ®±ª®«¼ª³ ª ± ²¥«¼­ ¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«¼­»¬ ¯®«®¦¥­¨¥¬ ±¥ª³¹¥©, ²®, ³±²°¥¬«¿¿ A ! A , ¬» ¯°¨µ®¤¨¬ ª ±«¥¤³¾¹¥¬³. „®¯³±²¨¬, ­ ¬ ¨§¢¥±²­» 5 ²®·¥ª A ; : : :; A , «¥¦ ¹¨¥ ­  ª¢ ¤°¨ª¥ (¤«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ¨µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® «¥¦ ¹¨¬¨). Œ» µ®²¨¬ ¯®±²°®¨²¼ ª ± ²¥«¼­³¾ ¢ ²®·ª¥ A . ®±²°®¨¬ ²®·ª¨ P = (A A ) \ (A A ), P = (A A ) \ (A A ). ³±²¼ P = (P P ) \ (A A ). ’®£¤  (P A ) | ¨±ª®¬ ¿ ª ± ²¥«¼­ ¿. 3

3

1

1

1

1

2

4

5

2

2

2

5

3

3

3

4

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3

3

1

6

1

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6

2

2

2

5

5

5

1

1

2

2

4

5

3

3

4

5

5

62

1

2

1

3

2

3


’¥®°¥¬  10.37 ( ¯¯ ). 

’¥®°¥¬   ±ª «¿ ¢¥°­  ¨ ¢ ±«³· ¥ ¤¢³µ ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ

¯°¿¬»µ, ¥±«¨ ¯®²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» ¢¥°¸¨­» ¢¯¨± ­­®£® ¸¥±²¨¢¥°¸¨­­¨ª  «¥¦ «¨ ·¥°¥§ ®¤­³ ­  ª ¦¤®© ¨§ ¯°¿¬»µ, ². ¥.

A ;A ;A 1

4 | ­  ®¤­®©,   ®±² «¼­»¥ | ­ 

3

¤°³£®©.

‚­¨¬ ²¥«¼­® ¯°® ­ «¨§¨°®¢ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬»  ±ª «¿, ¬®¦­® ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¢¥°­  ² ª¦¥

’¥®°¥¬  10.38 (®¡° ²­ ¿ ²¥®°¥¬   ±ª «¿). 

…±«¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°®-

²¨¢®¯®«®¦­»µ ±²®°®­ ¸¥±²¨¢¥°¸¨­­¨ª  «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©, ²® ¢®ª°³£ ­¥£® ¬®¦­® ®¯¨± ²¼ ª®­¨ª³.

‡ ¤ ·  7. °®¢¥±²¨ ¯®¤°®¡­®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬»  ¯¯ . ‡ ¤ ·  8. °®¢¥±²¨ ¯®¤°®¡­®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ®¡° ²­®© ²¥®°¥¬»  ±ª «¿. 11. ¥°¥±¥·¥­¨¥ ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ± ¯°¿¬®©

 ±±¬®²°¨¬ ª°¨¢³¾ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ,, § ¤ ­­³¾ ¢ ­¥ª®²®°®©  ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¥¬ F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = 0; ¨ ¯°¿¬³¾ l, § ¤ ­­³¾ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ( x = x + t : y = y + t „«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ , ¨ l ¯®¤±² ¢¨¬ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ¢ F = 0: a (x + t) +2a (x + t)(y + t)+ a (y + t) +2a (x + t)+2a (y + t)+ a = 0; ¨«¨ F t + 2F t + F = 0; £¤¥ F = a + 2a + a = q( ; ); F = (a x + a y + a ) + (a x + a y + a ); F = F (x ; y ): Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 11.1. ¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®° ( ; ) ¨¬¥¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ,, ¥±«¨ F = q( ; ) = a + 2a + a = 0. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ½²® ±¢®©±²¢® ­¥ ¬¥­¿¥²±¿ ¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨ ³° ¢­¥­¨¿ ­  ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼, ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ ±¢®©±²¢®¬ ª¢ ¤°¨ª¨,   ­¥ ª°¨¢®©. 2

11

12

22

2

1

2

0

0

0

11

0

2

12

0

0

22

2

2

22

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2

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12

0

12 0

2

0

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0

0

0

22 1

2

12

0

22 0

2

0

2

2

63

11

2

12


°¥¤«®¦¥­¨¥ 11.2.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥

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ª®°°¥ª²­®,

². ¥. ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ².

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ” ª²¨·¥±ª¨ ­¥®¡µ®¤¨¬»¥ ¢»ª« ¤ª¨ ³¦¥ ¯°®¢®¤¨«¨±¼: ¥±«¨ ¨¬¥-

¥²±¿ § ¬¥­  ª®®°¤¨­ ² (² ª ª ª ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ²®«¼ª® ± ª¢ ¤° ²¨·­®© · ±²¼¾, ²® ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ±¤¢¨£  ­¥²) ± ¬ ²°¨¶¥© C , ²® ! ! ! = C 0 ; Q0 = C T QC; £¤¥ Q = a a :

0 a a 11

12

12

22

’®£¤ 

! !T ! 0 !!T 0 ! q( ; ) = ( ; )Q = Q = C 0 QC 0 = 0 !!T 0 ! 0 !!T 0 ! = 0 C T QC 0 = 0 Q0 0 = q0( 0; 0): ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, °¥§³«¼² ² ¯®¤±² ­®¢ª¨ ¢¥ª²®°  ¢ ª¢ ¤° ²¨·­³¾ · ±²¼ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ². 2

’¥®°¥¬  11.3.

°¿¬ ¿

l ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£®

­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ª°¨-

, «¨¡® ¨¬¥¥² ± ­¥© 2 ®¡¹¨¥ ²®·ª¨ (° §«¨·­»¥ ¨«¨ ±®¢¯ ¢¸¨¥) l  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¯® ®²­®¸¥¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  , «¨¡® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ,, «¨¡® ¨¬¥¥² ± ­¥© ®¤­³

¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

«¨¡® ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ± ­¥©. °¿¬ ¿ ­¨¾ ª ª°¨¢®©

®¡¹³¾ ²®·ª³, «¨¡® ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ± ­¥©.

‡ ¬¥· ­¨¥ 11.4. \„¢¥ ±®¢¯ ¢¸¨¥ ²®·ª¨" ®§­ · ¥², ·²® ¨¬¥¥²±¿ ±ª®«¼ ³£®¤­®

¡«¨§ª ¿ ¯°¿¬ ¿, ¨¬¥¾¹ ¿ 2 ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ (±¥ª³¹ ¿).  ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ²®·ª¨, ®²«¨·­»¥ ®² ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ, ¢±¥µ ²®·¥ª ¯ °» ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­®© ²®·ª¨ ¯ °» ¬­¨¬»µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ. „®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥ F t + F t + F = 0, £¤¥ F = q( ; ),   ( ; ) | ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° l. …±«¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ²® F = q( ; ) 6= 0 ¨ ª¢ ¤° ²­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ­¥¢»°®¦¤¥­®. Ž­® ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ 2, 1 ¨«¨ 0 °¥¸¥­¨©. °¨ ½²®¬ 1 °¥¸¥­¨¥, ª®£¤  ¯®«­»© ª¢ ¤° ². Œ» ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ­ · «¼­ ¿ ²®·ª  (x ; y ) «¥¦¨² ­  ª°¨¢®©. ’®£¤  F = 0 ¨ ¢²®° ¿ ²®·ª  ±®¢¯ ¤ ¥² ± ­ · «¼­®©, ¥±«¨ F = 0. „®¯³±²¨¬, ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ ¬ «®¬ ¨§¬¥­¥­¨¨ ²®·ª¨ (x ; y ) ¤® ¤°³£®© ²®·ª¨ (x ; y ) ­  ª°¨¢®©, ¢±¥ ° ¢­® ¡³¤¥¬ ¯®«³· ²¼ F = 0. ²® ®§­ · ¥², ·²® ®¡  ª®½´´¨¶¨¥­²  ¯°¨ ¨ (ª ª ¢¥ª²®°) ª®««¨­¥ °­» ¤«¿ ¢±¥µ ¡«¨§ª¨µ ²®·¥ª, ². ¥. a x + a y + a = , : a x +a y +a 2

2

1

0

2

2

0

0

0

1

0

0

1

1

11

1

12 1

1

12

1

22 1

2

64

1


‡­ ·¨², ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ (x ; y ), ª°¨¢ ¿ ±®¤¥°¦¨² ¨­²¥°¢ « ¯°¿¬®©, ¨ ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¿¢«¿¥²±¿ ° ±¯ ¤ ¾¹¥©±¿. Ž²¡°®±¨¢ ¨±ª«¾·¥­¨¿ (±®¢¯ ¢¸¨¥, ¬­¨¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¨ ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿), ¢¨¤¨¬, ·²® ¢ ½²¨µ ±«³· ¿µ ­¨ª ª ¿ ¯°¿¬ ¿ ­¥ ¬®¦¥² ¯¥°¥±¥·¼ ² ª®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯® ®¤­®© ²®·ª¥. (Œ» ¤®ª §»¢ «¨ ¤«¿ ¡«¨§ª®© ¯ ° ««¥«¼­®©, ·²®¡» ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ° ±±³¦¤¥­¨¥ ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 11.12 ® £¥®¬¥²°¨·¥±ª®© µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©. …±«¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¢®§¬³¹¥­¨¥ ¯®¢®°®²®¬, ²® ° ±±³¦¤¥­¨¥ ³¯°®¹ ¥²±¿ (±¬. ­ µ®¦¤¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­»µ ­¨¦¥).) …±«¨ ¦¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ²® F = 0 ¨ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤ 2F t + F = 0. …±«¨ F 6= 0, ²® ¨¬¥¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿. …±«¨ F = 0,   F 6= 0, ²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¯³±²®. …±«¨ F = F = 0, ²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ l ¨ , ±®¢¯ ¤ ¥² ± l. 2 0

0

2

1

0

1

1

0

1

0

‘«¥¤±²¢¨¥ 11.5. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥. ’®£¤  ¯°¿¬ ¿, ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ½²¨ ²°¨ ²®·ª¨, ¨ª ª¨¥ ²°¨ ²®·ª¨ ª®­¨ª¨ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©.

¨¬¥¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¨ ¶¥«¨ª®¬ ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ª°¨¢®©. ‡­ ·¨², ª°¨¢ ¿ ° ±¯ ¤ ¥²±¿ ­  ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ¨ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ª®­¨ª®©. 2

11.1.  µ®¦¤¥­¨¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨© “° ¢­¥­¨¥ ¤«¿  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©: a + 2a + a = 0: …±«¨ a 6= 0, ²® 6= 0, ² ª ª ª ¨­ ·¥ ¨ = 0. „¥«¨¬ ­  : ! ! a + 2a + a = 0; ¨«¨ a k + 2a k + a = 0, £¤¥ k = . ’®£¤  q p , a  a ,a a , a  , : k= = a a Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 11.6. Š¢ ¤°¨ª  F = 0 ¨¬¥¥² ½««¨¯²¨·¥±ª¨©, £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¨«¨ ¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ²¨¯, ¥±«¨, ±®®²¢¥±²¢¥­®,  > 0,  < 0 ¨«¨  = 0. ‹¥¬¬  11.7. ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª®°°¥ª²­®, ². ¥. §­ ª  ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ² ¨ ³¬­®¦¥­¨¿ ³° ¢­¥­¨¿ ­  ­¥­³«¥¢®¥ . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²®  | ¨­¢ °¨ ­² ²®«¼ª® ®°²®£®­ «¼­»µ § ¬¥­, ­® ¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼­®© § ¬¥­¥ sgn 0 = sgn det Q0 = sgn det (C T QC ) = sgn (det C ) det Q = sgn : °¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ®² F ª   F , ±µ®¤­»¬ ®¡° §®¬,  ¯¥°¥µ®¤¨² ¢   . 2 11

2

12

22

2

2

11

2

11

11

2

12

12

22

22

12

2 12

11 22

11

12

11

2

2

65


’¥®°¥¬  11.8.

Š°¨¢»¥ ½««¨¯²¨·¥±ª®£® ²¨¯  ­¥ ¨¬¥¾²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° -

¢«¥­¨©; ª°¨¢»¥ £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª®£® ²¨¯  ¨¬¥¾² ¤¢   ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨¿; ª°¨¢»¥ ¯ ° ¡®«¨·¥±ª®£® ²¨¯  ¨¬¥¾² ®¤­®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥.

p, , a  „®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ a =6 0, ²® ¡»«  ¯®«³·¥­  ´®°¬³«  k = , ¨§ a ª®²®°®© ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±«¥¤³¥² ®·¥¢¨¤­»¬ ®¡° §®¬. €­ «®£¨·­® ¤«¿ ±«³· ¿ a = 6 0. …±«¨ ¦¥ a = a = 0, ²®  = ,a < 0 ¨ ³° ¢­¥­¨¥ ¤«¿  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ 12

11

11

11

22

2 12

22

­ ¯° ¢«¥­¨© ¯°¨¬¥² ¢¨¤

q( ; ) = 2a = 0; ®²ª³¤  ¯®«³· ¥¬ ¤¢   ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨¿: (0; 1) ¨ (1; 0). 2 °¨¬¥° 11.9. €±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ £¨¯¥°¡®«» x ,y =1 a b ¤®«¦­» ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ , = 0; k = =  a : a b

b ’. ¥.  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ £¨¯¥°¡®«» | ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¥¥  ±¨¬¯²®². °¨¬¥° 11.10. “ ½««¨¯±  x +y =1 a b ­¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©: + = 0; , = = 0: a b °¨¬¥° 11.11.  ° ¡®«  ¨¬¥¥² ®¤­®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ (­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¥¥ ®±¨): y , 2px = 0 ¤ ¥² q( ; ) = = 0 ¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ (1; 0). ‡ ¤ ·  9. “±² ­®¢¨²¼, ·²®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¯ °» ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ | ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ½²¨µ ¯°¿¬»µ ( ­ «¨²¨·¥±ª¨ ¨ ·¥°¥§ ²¥®°¥¬³ ® ·¨±«¥ ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿). “±² ­®¢¨²¼, ·²®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¯ °» ¯ ° ««¥«¼­»µ ¨«¨ ±®¢¯ ¢¸¨µ ¯°¿¬»µ | ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ½²¨µ ¯°¿¬»µ. 12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

‘«¥¤±²¢¨¥ 11.12 (¨§ ²¥®°¥¬» 11.3, ¯°¨¬¥°®¢ ¨ § ¤ ·¨).

„«¿

±®¤¥°¦ ²¥«¼-

­»µ ª°¨¢»µ, §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ±®¢¯ ¢¸¨µ ¯°¿¬»µ, ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨: ¯°¿¬ ¿

l ¨¬¥¥² ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥-

­¨¥ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ¯ ° ««¥«¼­ ¿ ¥© ¯°¿¬ ¿, ¯¥°¥±¥ª ¾¹ ¿ ª°¨¢³¾ °®¢­® ¢ ¤¢³µ ²®·ª µ.

66


11.2. „¨ ¬¥²°» ¨ ¶¥­²°» ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª   ±±¬®²°¨¬ ­¥¯³±²³¾ ª°¨¢³¾ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ,, § ¤ ­­³¾ ¢ ­¥ª®²®°®©  ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¥¬ F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = 0; 2

11

12

2

22

1

2

0

¨ ¯°¿¬³¾ l ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿, § ¤ ­­³¾ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ ( x = x + t : y = y + t 0

0

³±²¼ l ¯¥°¥±¥ª ¥² , ¢ ¤¢³µ (¢®§¬®¦­® ±®¢¯ ¢¸¨µ) ²®·ª µ, ¨ (x ; y ) | ±¥°¥¤¨­  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ®²°¥§ª  (µ®°¤»). ®±ª®«¼ª³ ¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ t ¨ t , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ²®·ª ¬ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, ¬» ¨¬¥«¨ ³° ¢­¥­¨¥ 0

0

1

2

F t + 2F t + F = 0; 2

2

1

0

£¤¥

F = a + 2a + a = q( ; ); F = (a x + a y + a ) + (a x + a y + a ); F = F (x ; y ); 2

11

2

1

11

0

0

12

0

2

22

12 0

1

12

0

22 0

2

0

¯°¨·¥¬ ¢ ­ ¸¥¬ ±«³· ¥ F 6= 0. ® ²¥®°¥¬¥ ‚¨¥²  ¤«¿ t = 0, ®²¢¥· ¾¹¥£® (x ; y ), ³±«®¢¨¥ ±¥°¥¤¨­» µ®°¤» ¯°¨¬¥² ¢¨¤ 0 = t = t +2 t = , FF ; F = 0: ’¥®°¥¬  11.13. ‘¥°¥¤¨­» µ®°¤ ª°¨¢®© , ¤ ­­®£® ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ( ; ) «¥¦ ² ­  ¯°¿¬®© 2

0

0

1

2

1

0

0

1

2

(a x + a y + a ) + (a x + a y + a ) = 0: 11

12

1

12

22

2

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ±¨«³ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¯¥°¥¤ ²¥®°¥¬®©, ®±² «®±¼ ¤®ª § ²¼, ·²® ¤ ­­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ § ¤ ¥² ¯°¿¬³¾, ². ¥. ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨,   ­¥ ­³«¥¢®©. ¥°¥¯¨¸¥¬: (a + a )x + (a + a )y + (a + a ) = 0 …±«¨ ¡»

( ( a + a = 0;  a + a = 0;

+

a + a = 0; 

a + a = 0; 11

12

12

22

1

11

12

11

12

22

12

2

2

12

22

2

¨ a + 2a + a = 0, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ­¥ ±¨¬¯²®²¨·­®±²¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¿.

2

11

2

12

22

2

67


Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 11.14. °¿¬ ¿ (a x + a y + a )+ (a x + a y + a ) = 0 ­ §»¢ ¥²±¿ 11

12

1 2

12

22

2

ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  F = a x + : : : = 0, ±®¯°¿¦¥­­»¬ ¤ ­­®¬³ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ­ ¯° ¢«¥­¨¾ ( ; ). Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 11.15. –¥­²° ª°¨¢®© , | ² ª ¿ ²®·ª  M (x ; y ), ·²® ¢¬¥±²¥ ± «¾0 ¡®© ²®·ª®© P ±®¤¥°¦¨² ¨ ²®·ª³ P , ±¨¬¬¥²°¨·­³¾ P ®²­®±¨²¥«¼­® M . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, M | ¶¥­²° ±¨¬¬¥²°¨¨ ,. ¤¨ ¬¥²°®¬

11

0

‹¥¬¬  11.16.

³±²¼

M (x ; y ) 0

0

| ¶¥­²° ª°¨¢®©

,.

0

‘³¹¥±²¢³¾² ¤¢¥ ° §«¨·­»µ

¯°¿¬»µ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§

M

¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥

,.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ²®·ª¨ ¨ ¯°¿¬»µ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. „«¿ ƒ ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ²®·ª¨ P ¨ Q, ®²«¨·­»¥ ®² M , ­¥±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ®²­®±¨²¥«¼­® M ¨ «¥¦ ¹¨¥ ­  ,. ’®£¤  (PM ) \ ,  fP; P 0g, (QM ) \ ,  fQ; Q0g, £¤¥ P 0 ¨ Q0 | ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥

±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ²®·ª¨. ®«¥¥ ²®£®, ²°¥²¼¨µ ²®·¥ª ¢ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿µ ­¥², ² ª ª ª ½²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ±«¥¤±²¢¨¾ 11.5. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ­³¦­»¥ ¯°¿¬»¥. 2

’¥®°¥¬  11.17. °¿¤ª 

’®·ª 

M (x ; y ) ¿¢«¿¥²±¿ ¶¥­²°®¬ ­¥¯³±²®© ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®0

0

F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = 0 11

2

12

22

2

1

2

0

²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

(

a x +a y +a = 0 a x +a y +a = 0 11

0

12 0

1

12

0

22 0

2

(³° ¢­¥­¨¿ ¶¥­²° )

‚ ²¥°¬¨­ µ · ±²­»µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ³° ¢­¥­¨¿ § ¯¨¸³²±¿ ¢ ¢¨¤¥

1 @F (x ; y ) = 0: 1 @F (x ; y ) = 0; 2 @x 2 @y „®ª § ²¥«¼±²¢®. ) ³±²¼ ( i; i), i = 1; 2, | ­ ¯° ¢«¿¾¹¨¥ ¢¥ª²®°» ¯°¿¬»µ, ®¯°¥¤¥«¥­­»µ ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥. ’®£¤  (x ; y ), ª ª ±¥°¥¤¨­  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ µ®°¤, ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¤¨ ¬¥²° ¬, ². ¥. ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¿¬ 0

0

0

0

0

0

i(a x + a y + a ) + i(a x + a y + a ) = 0; 11

0

12 0

1

12

0

22 0

2

i = 1; 2:

Ž¡®§­ ·¨¢ ¢»° ¦¥­¨¿ ¢ ±ª®¡ª µ ·¥°¥§ u ¨ v ±®®²¢¥²±¢¥­­®, ¯®«³·¨¬, ·²® u ¨ v ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±¨±²¥¬¥ «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨© ( u+ v = 0 u+ v = 0 1

1

2

2

°¨ ½²®¬ ³° ¢­¥­¨¿ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬», ² ª ª ª ¢¥ª²®°  ( i; i) ­¥ª®««¨­¥ °­». ‡­ ·¨², ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¢®§¬®¦­®±²¼: u = v = 0. 68


( ³±²¼ ²®·ª  M (x ; y ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² \³° ¢­¥­¨¿¬ ¶¥­²° ". ¥°¥©¤¥¬ ª ­®0

0

¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² (x0; y0):

x0 = x , x ;

y0 = y , y ;

x = x0 + x ;

y = y0 + y :

0

² ª ·²®

0

0

’®£¤ 

0

F 0(x0; y0) = a (x0+x ) +2a (x0+x )(y0+y )+a (y0+y ) +2a (x0+x )+2a (y0+y )+a = 11

0

2

12

0

0

22

2

0

1

0

2

0

0

= a (x0) +2a x0y0 + a (y0) +2(a x + a y + a )x0 +2(a x + a y + a )y0 + F (x ; y ) = = a (x0) + 2a x0y0 + a (y0) + a0 = 0: Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ²®·ª  (x0; y0) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ½²®¬³ ³° ¢­¥­¨¾, ²® ¨ (,x0; ,y0) | ²®¦¥,   ª®®°¤¨­ ²» M ¢ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥: (0; 0). 2 11

2

12

22

2

11

11

‘«¥¤±²¢¨¥ 11.18.

0

2

12 0

1

12

12

2

22

2) ­¥ ¨¬¥¥² ¶¥­²° 

22 0

2

0

0

0

¥¯³±² ¿ ª°¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

, =0 ,  = 0;  =6 0 , , ==0

1) ¨¬¥¥² ¥¤¨­±²¢¥­­»© ¶¥­²°

0

F (x; y) = a x + : : : = 0 11

2

;

, ². ¥.

| ¯ ° ¡®« ;

3) ¨¬¥¥² ¶¥«³¾ ¯°¿¬³¾ ¶¥­²°®¢

.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ³° ¢­¥­¨¿ ¶¥­²°  (

a x +a y +a = 0 a x +a y +a = 0 11

0

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0

22 0

2

a a

¨¬¥¾² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¸¥­¨¥ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

a a

=  6= 0. …±«¨ ¬» ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ r ° ­£ ¬ ²°¨¶» ! a a a B= a a a ²® ¯°¨  = 0 ±¨±²¥¬  ­¥ ¨¬¥¥² °¥¸¥­¨© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  r = 2, ¨ ¨¬¥¥² ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®£® °¥¸¥­¨© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  r = 1 (­³«¥¢»¬ ° ­£ ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥²). Ž·¥¢¨¤­®, ·²®  6= 0 ¢«¥·¥² r = 2,   r = 1 ¢«¥·¥²  = 0. „®ª ¦¥¬ ®¡° ²­»¥ ¨¬¯«¨ª ¶¨¨. ˆ² ª, ¯³±²¼  =  = 0 ¨ ¯°¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢­®¥ ²°¥¡³¥¬®¬³, ². ¥. r = 2. ‡­ ·¨², ²°¥²¼¿ ±²°®ª  ¬ ²°¨¶» 0 1 a a a A=B @ a a a CA a a a 11

12

1

12

22

2

11

12

1

12

22

2

1

2

0

69

11

12

12

22


(®¯°¥¤¥«¨²¥«¥¬ ª®²®°®© ¿¢«¿¥²±¿ ) ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ¯¥°¢»¥. ‚ · ±²­®±²¨, a = a + a , a = a + a ¯°¨ ­¥ª®²®°»µ  ¨ . ²® ®§­ · ¥², ·²® ¯®±«¥¤­¨© ±²®«¡¥¶ ¬ ²°¨¶» B ¢»° ¦ ¥²±¿ ·¥°¥§ ¤¢  ¯¥°¢»µ, ª®²®°»¥, ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» (² ª ª ª  = 0). ‡­ ·¨², r = 1. °®²¨¢®°¥·¨¥. Œ¥²®¤®¬ «®£¨·¥±ª®£® ¨±ª«¾·¥­¨¿ ¯®«³· ¥¬ ¢²®°³¾ ®¡° ²­³¾ ¨¬¯«¨ª ¶¨¾. 2 1

11

12

2

12

22

‘«¥¤±²¢¨¥ 11.19. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘°¥¤¨ ¯°¿¬»µ ²®£® ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿, ª®²®°®¬³ ‹¾¡®© ¤¨ ¬¥²° ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ¢±¥ ¶¥­²°» ª°¨¢®©.

±®¯°¿¦¥­ ¤ ­­»© ¤¨ ¬¥²°, ­ ¤® ¢»¡° ²¼ ²³, ª®²®° ¿ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ¤ ­­»© ¶¥­²°. ‹¨¡® ½²® ²®·ª , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ µ®°¤¥, «¨¡® ¯°®¤®«¦¥­¨¾ ¬­®¦¥±²¢  ±¥°¥¤¨­ µ®°¤. ‚ «¾¡®¬ ±«³· ¥ ½²® ²®·ª  ¤¨ ¬¥²° . 2

11.3. ‘®¯°¿¦¥­­»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¿

’¥®°¥¬  11.20. ¶¥­²°, ². ¥. ­¨¾

( ; ),

ɱǬ

 6= 0,

­¥¯³±² ¿

ª°¨¢ ¿

¢²®°®£®

¯®°¿¤ª 

¨¬¥¥²

¥¤¨­±²¢¥­­»©

²® ¤¨ ¬¥²°, ±®¯°¿¦¥­­»© ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ­ ¯° ¢«¥-

¨¬¥¥² ­ ¯° ¢«¥­¨¥

( ; ),

² ª¦¥ ¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬.

( ; ), ¨¬¥¥² ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ( ; ). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘®¯°¿¦¥­­»© ª ( ; ) ¤¨ ¬¥²° ¨¬¥¥² ³° ¢­¥­¨¥ (a x + a y + a ) + (a x + a y + a ) = 0:  ¯° ¢«¥­¨¥ (u; v) ¯°¿¬®© ax+by+c = 0, ª ª ¬» §­ ¥¬, ¤®«¦­® ®¡­³«¿²¼ ®¤­®°®¤­³¾ · ±²¼: au + bv = 0. ‚ ­ ¸¥¬ ±«³· ¥:  !     (a + a ) + (a + a ) = ( ; )A  = 0: (12) °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ( ; ) |  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥. ’®£¤  ) +  (a  + a ) = 0:  (|a  + a

{z } | {z } °¨ ½²®¬ ¤¨ ¬¥²°, ±®¯°¿¦¥­­»© ­ ¯° ¢«¥­¨¾

11

11

12

1

12

12

12

11

22

2

22

12

12

V

22

W

‚¬¥±²¥ ± (12) ¯®«³· ¥¬ ±¨±²¥¬³ (

V + W = 0; + W = 0: …±«¨ V ¨ W ­¥ ®¡° ¹ ¾²±¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢ ­®«¼, ²® ( ; ) ¨ ( ; ) ª®««¨­¥ °­», ¢ · ±²­®±²¨, ( ; ) ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ¨«¨ ( ; )  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ | ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ (­¥ £®¢®°¿ ® ²®¬, ·²® ¯® £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ±®®¡° ¦¥­¨¿¬ ®­® ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ª®««¨­¥ °­»¬). ‡­ ·¨², V = W = 0, ². ¥. a  + a  = 0 a  + a  = 0: V

11

12

12

22

70


®  6= 0, ¨ ½²  ±¨±²¥¬  ¨¬¥¥² ²®«¼ª® ²°¨¢¨ «¼­®¥ °¥¸¥­¨¥  =  = 0, ·²® ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨¬ ¢¥ª²®°®¬ ¤¨ ¬¥²° . ‚²®° ¿ · ±²¼ ²¥®°¥¬» ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ¿¢­®£® ¢¨¤  ³° ¢­¥­¨¿ (12) (­ ¤® ²° ­±¯®­¨°®¢ ²¼). 2

‘«¥¤±²¢¨¥ 11.21.

„«¿ ª°¨¢®© ± ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¶¥­²°®¬ «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿ ­¥ ±¨¬¯²®-

²¨·¥±ª®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ¶¥­²°, ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨ ¬¥²°®¬.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ²  ¯°¿¬ ¿ | ¤¨ ¬¥²°, ±®¯°¿¦¥­­»© ª ­ ¯° ¢«¥­¨¾ ±®¯°¿¦¥­­®£® ¤¨ ¬¥²° . 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 11.22. „¢  ¤¨ ¬¥²°  ª°¨¢®© ± ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¶¥­²°®¬, ¤¥«¿¹¨¥ ¯®¯®« ¬ µ®°¤», ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¤°³£®¬³ ¤¨ ¬¥²°³, ­ §»¢ ¾²±¿ ±®¯°¿¦¥­­»¬¨

¤¨ ¬¥-

²° ¬¨.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 11.23. „¢  ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ( ; ) ¨ ( ; ) ­ §»¢ ¾²±¿ ­ ¯° ¢«¥­¨¿¬¨

(12).

±®¯°¿¦¥­­»¬¨

(®²­®±¨²¥«¼­® ¤ ­­®© ª°¨¢®©), ¥±«¨ ®­¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³° ¢­¥­¨¾

‡ ¬¥· ­¨¥ 11.24. ˆ§ ¤®ª § ­­®£® ¿±­®, ·²® ±®¯°¿¦¥­­»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¢±¥£¤  ¨¬¥¾² ±®¯°¿¦¥­­»¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿. Ž¡° ²­®¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥¢¥°­®.

’¥®°¥¬  11.25.

…±«¨ ª°¨¢ ¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¯ ° ¡®«®©, ². ¥.

 = 0,  6= 0, ²® ¢±¥ ¥¥

¤¨ ¬¥²°» ¨¬¥¾²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥.

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ( ; ). ’®£¤  ±®¯°¿¦¥­­»© ¤¨ ¬¥²°   ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ( ; ), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ (a + a ) + (a + a ) = 0; ®²ª³¤ , ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¬­®¦¨²¥«¿,  = ,(a + a );  = a + a : ˆ¬¥¥¬ (¯®±ª®«¼ª³  = 0): ( a  + a  = , = 0;  + a  + a  =  = 0;

 11

12

12

12

22

22

11

12

12

22

11

12

a ( ) + 2a   + a ( ) = 0; ². ¥. ­ ¯° ¢«¥­¨¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥. 2 ‡ ¤ ·  10. „®ª § ²¼, ·²® «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ¯ ° ¡®«¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨ ¬¥²°®¬. ‡ ¤ ·  11. “¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¯°¥¤»¤³¹ ¿ ²¥®°¥¬  ¢¥°­  ¤«¿ ±³¹¥±²¢¥­­»µ ª°¨¢»µ ¯ ° ¡®«¨·¥±ª®£® ²¨¯ ,   ­¥ ²®«¼ª® ¤«¿ ¯ ° ¡®«». ‡ ¤ ·  12. ‡ ¯¨± ²¼ ³° ¢­¥­¨¥ ½««¨¯±  ¢ ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ², ®±¿¬¨ ª®²®°®© ±«³¦ ² ¤¢  ±®¯°¿¦¥­­»µ ¤¨ ¬¥²° ,   ¡ §¨±­»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ | ¯®«®¢¨­» µ®°¤ ½²¨µ ¤¨ ¬¥²°®¢. 11

2

12

22

71

2


11.4. ƒ« ¢­»¥ ¤¨ ¬¥²°» ¨ ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ ‚ ½²®¬ ¯ ° £° ´¥ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿ ¯°¿¬®³£®«¼­®©. ³±²¼ l | ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨ ±®¤¥°¦ ²¥«¼­®© ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ,, ². ¥. , ¢¬¥±²¥ ± «¾¡®© ²®·ª®© P ±®¤¥°¦¨² ¨ P 0, ±¨¬¬¥²°¨·­³¾ P ®²­®±¨²¥«¼­® l. “° ¢­¥­¨¥ ,: F (x; y) = a x + : : : = 0. ‚®§¬®¦­» ¤¢  ±«³· ¿: ¥°¢»© ±«³· ©: ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®¥ ª l ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬. …±«¨ ³ , ­¥² ²®·¥ª ¢­¥ l, ²® , = l. …±«¨ ¦¥ ² ª ¿ ²®·ª  P ¨¬¥¥²±¿, ²® ±¨¬¬¥²°¨·­ ¿ ,,! ¥© ®²­®±¨²¥«¼­® l ²®·ª  P 0 ² ª¦¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ,. ®±ª®«¼ª³ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ PP 0 |  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ²® ¨ ¢±¿ ¯°¿¬ ¿ (PP 0) ¤®«¦­  ±®¤¥°¦ ²¼±¿ ¢ ,. ˆ² ª, , ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ° ±¯ « ±¼ ­  (PP 0) ¨ ­¥ª®²®°³¾ ¯°¿¬³¾ m, ª®²®° ¿ ² ª¦¥ ¤®«¦­  ¡»²¼ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ®²­®±¨²¥«¼­® l. ‚®§¬®¦­» ²°¨ ±«³· ¿: m = (PP 0), mk(PP 0) ¨ m = l. ˆ² ª, ¥±«¨ ®¤­  ¨§ ®±¥© ±¨¬¬¥²°¨¨ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­   ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ­ ¯° ¢«¥­¨¾, ²® ¢®§¬®¦­» ±«¥¤³¾¹¨¥ ¢ °¨ ­²»: 1) , | ±®¢¯ ¢¸¨¥ ¯°¿¬»¥. Ž±¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ± ¬  ½²  ¯°¿¬ ¿ ¨ «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¥© ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­ ¿. 2) , | ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¯°¿¬»¥. Ž±¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ° ¢­®³¤ «¥­­ ¿ ®² ­¨µ ¯°¿¬ ¿ ¨ «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¥© ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­ ¿. 3) , | ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»¥ ¯°¿¬»¥. ˆ¬¥¥²±¿ ·¥²»°¥ ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ (¯°¿¬»¥ ¨ ¡¨±±¥ª²°¨±» ³£«®¢). ‚²®°®© ±«³· ©: ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®¥ ª l ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 11.26. ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®¥ ±®¯°¿¦¥­­®¬³ ¥¬³ ¤¨ ¬¥²°³ ­ §»¢ ¥²±¿ £« ¢­»¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¥¬ ª°¨¢®© ,,   ¤¨ ¬¥²° ­ §»¢ ¥²±¿ £¤ ¢­»¬ ¤¨ ¬¥²°®¬. 11

2

’¥®°¥¬  11.27.

ƒ« ¢­»© ¤¨ ¬¥²° ¿¢«¿¥²±¿ ®±¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨ ª°¨¢®©

,.

Ž¡° ²­®,

¤«¿ ±®¤¥°¦ ²¥«¼­»µ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª , ®²«¨·­»µ ®² ¯ °» ¯ ° ««¥«¼­»µ, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¨«¨ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»µ ¯°¿¬»µ

(². ¥.

)

¯®«³·¨¢¸¨µ±¿ ¢ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ,

®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ £« ¢­»¬ ¤¨ ¬¥²°®¬.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¤¨ ¬¥²° ±®±²®¨² ¨§ ±¥°¥¤¨­ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»µ

µ®°¤, ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ ®±¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨. Ž¡° ²­®, ¯® ° ±±³¦¤¥­¨¾ ¯°® ¯¥°¢»© ±«³· ©, ¬» ¨±ª«¾·¨«¨ ²¥ ±«³· ¨, ª®£¤  ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­   ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬³ ­ ¯° ¢«¥­¨¾. ®½²®¬³ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®¥ ®±¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ | ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥. Š ª ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨, ®­  ¤¥«¨² µ®°¤» ½²®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¯®¯ « ¬, ¨ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ¿¢«¿¥²±¿ ¤¨ ¬¥²°®¬. ®±ª®«¼ª³ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­», ²® £« ¢­»¬. 2 72


’¥®°¥¬  11.28.

‚¥ª²®°

( ; ) § ¤ ¥² £« ¢­®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ª°¨¢®© F = a x +: : : = 11

0, ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­ ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ ³° ¢­¥­¨¿ ! ! ! a a Q = ; £¤¥ Q = a a ;  

11

12

12

22

2

 | ­¥­³«¥¢®© ª®°¥­¼ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ³° ¢­¥­¨¿ det (Q , E ) =  , S +  = 0: 2

’ ª®© ¢¥ª²®° ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬ ¢¥ª²®°®¬ ¬ ²°¨¶»

±®¡±²¢¥­­®¬³ §­ ·¥­¨¾

.

Q,

®²¢¥· ¾¹¨¬

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ( ; ) | £« ¢­®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥. ’®£¤  ³° ¢­¥­¨¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ±®¯°¿¦¥­­®£® ¤¨ ¬¥²° 

(a x + a y + a ) + (a x + a y + a ) = 0; 11

12

1

12

22

2

¯°¨·¥¬ ¥£® ­®°¬ «¼ n ¯® ³±«®¢¨¾ ª®««¨­¥ °­  ( ; ), ². ¥. ! ! a + a

n= a +a = ; ¨«¨ ! ! Q = : ¥°¥¯¨¸¥¬: ! ! 0 (Q , E ) = 0 : ²  ±¨±²¥¬  ¨¬¥¥² ­¥­³«¥¢®¥ °¥¸¥­¨¥ ( ; ). „«¿ ½²®£® ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ¥¥ ¤®«¦¥­ ° ¢­¿²¼±¿ ­³«¾: det (Q , E ) = Q() =  , S +  = 0.  ±±¬®²°¨¬ ¥£® ª®°¥­¼ . …±«¨  = 0, ²® ±¨±²¥¬  ¯¥°¥¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥: ( a +a = 0 + a +a = 0

11

12

12

22

2

11

12

12

22

a + 2a + a = 0; ². ¥. ( ; ) |  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥. Ž¡° ²­®, ¥±«¨  6= 0, ²® ( a + a =  + a + a = 

2

11

12

11

12

12

22

22

2

a + 2a + a = ( + ) 6= 0: 11

2

12

22

73

2

2

2


’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­ ¯° ¢«¥­¨¥, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ±®¡±²¢¥­­»¬ ¢¥ª²®°®¬ Q, ®²¢¥· ¾¹¨¬  6= 0, ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, £« ¢­®¥, ² ª ª ª ³±«®¢¨¥ ª®««¨­¥ °­®±²¨ ( ; ) ¨ ­®°¬ «¨ ª ±®¯°¿¦¥­­®¬³ ¤¨ ¬¥²°³, ª ª ¬» ¯®ª § «¨, ½ª¢¨¢ «¥­²­» ³±«®¢¨¾ ! ! 0 (Q , E ) = 0 : 2 ‹¥¬¬  11.29. ³±²¼  6=  | ª®°­¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ³° ¢­¥­¨¿. ’®£¤  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ ¢¥ª²®°» ( ; ) ¨ ( ; ) ­¥ª®««¨­¥ °­». „®ª § ²¥«¼±²¢®. ’®£¤  ®¤¨­ ¨§ ª®°­¥© ®²«¨·¥­ ®² 0, ¯³±²¼ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ |  . Š°®¬¥ ²®£®, ®·¥¢¨¤­®, ¬®¦­® ±·¨² ²¼ ¢¥ª²®°» ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨, ®¡®§­ ·¨¬ ¥£® ·¥°¥§ ( ; ). ’®£¤  ! ! !  =Q = ; ·²® ¢®§¬®¦­® ²®«¼ª® ¯°¨ ­³«¥¢®¬ ¢¥ª²®°¥ ( ; ). 2 1

2

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2

2

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‘«¥¤±²¢¨¥ 11.30. )

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¨ £¨¯¥°¡®«  ¨¬¥¾² °®¢­® ¤¢¥ ®±¨ ±¨¬¬¥²°¨¨, ª®²®°»¥ ²¥¬ ± ¬»¬

±®¢¯ ¤ ¾² ± ®±¿¬¨ ª ­®­¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ².  ° ¡®«  ¨¬¥¥² °®¢­® ®¤­³

Ox ª ­®­¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ². „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼  ¨  | ª®°­¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­ . …±«¨ ®­¨ ° §«¨·­»¥ ¨ ­¥­³«¥¢»¥, ²® ¨¬¥¥¬ ¯® «¥¬¬¥ ¤¢  ° §­»µ £« ¢­»µ ­ ¯° ¢«¥­¨¿. 2 ‡ ¬¥· ­¨¥ 11.31. „«¿ ®ª°³¦­®±²¨, ª®£¤   =  , «¾¡®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ £« ¢­»¬. ®±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹³¾ ± ®±¼¾ 1

2

1

2

12. ‚¨¤ ¨ ° ±¯®«®¦¥­¨¥ ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

‚¨¤ ª ­®­¨·¥±ª®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¬» ³¬¥¥¬ ¢»·¨±«¿²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¨­¢ °¨ ­²®¢. Š°®¬¥ ²®£®, ¬» ³¬¥¥¬ ¯°¨¢®¤¨²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®¤¡®°  ³£«  ', ¨ ². ¤. ‘¥©· ± ¬» ®¡±³¤¨¬ ¤°³£®©  «£®°¨²¬, ¡®«¥¥ ³­¨¢¥°± «¼­®£® µ ° ª²¥°  (­ ¯°¨¬¥°,  ­ «®£¨·­»©  «£®°¨²¬ ¡³¤¥² ° ¡®² ²¼ ¤«¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥©). 1. ¥¸ ¥¬ ³° ¢­¥­¨¿ ¶¥­²° : ( @F  @x = a x + a y + a = 0;  @F@y = a x + a y + a = 0; 1 2 1 2

11

12

1

12

22

2

³±²¼ (x ; y ) | °¥¸¥­¨¥ (¢®§¬®¦­® ­¥ ¥¤¨­±²¢¥­­®¥). ‘«³· © ¯ ° ¡®«» ° ±±¬®²°¨¬ ®²¤¥«¼­®. 2. °®¨§¢®¤¨¬ ±¤¢¨£: ( 0 x = x,x ; y0 = y , y ; 0

0

0

0

74


F 0(x0; y0) = a (x0) + 2a x0y0 + a (y0) +  = 0;  = F (x ; y ) (ª®½´´¨¶¨¥­²» ª¢ ¤° ²¨·­®© · ±²¨ ®±² «¨±¼ ¯°¥¦­¨¬¨). 3. ˆ¹¥¬ ª®°­¨  ;  µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­ 

a ,  a

 , S +  = 0; ¨«¨

a a , 

= 0 11

1

2

12

2

22

0

0

2

11

2

12

12

22

¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¨¬ ±®¡±²¢¥­­»¥ ¢¥ª²®°  ( ; ), ( ; ). …±«¨  ¨  ° §«¨·­»¥ ­¥­³«¥¢»¥, ²® ¯®«®¦¨¬ e00i := q 1 ( i; i); i = 1; 2: i + i 1

2

1

2

2

1

2

2

…±«¨ ®­¨ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ (­¥­³«¥¢»¥), ²® ¬ ²°¨¶  ª¢ ¤° ²¨·­®© · ±²¨ ³¦¥ ¤¨ £®­ «¼­  (a = 0). ‚ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² 12

F 00(x00; y00) =  (x00) +  (y00) +  = 0: 2

1

2

2

’ ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤¥©±²¢³¥¬ ¢ ±«³· ¥ …±«¨ ¢ F 0 ¨¬¥¥¬  = 0 ¨«¨ ®ª § «®±¼  = 0, ²® ª°¨¢ ¿ ¨ ­ ¤® ° ±ª« ¤»¢ ²¼ ­  ¬­®¦¨²¥«¨. Ž±² «±¿ ±«³· © ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ±­ · «  ­ µ®¤¨¬  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ( ; ) ¨§ a + 2a + a = 0: „¨ ¬¥²°, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®¬³ ­ ¯° ¢«¥­¨¾, @F = 0 +  ,  @F @x @y ¿¢«¿¥²±¿ ®±¼¾. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯ ° ¡®«» ²¥¯¥°¼ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¯¨± ­® ¢ ¢¨¤¥ ( x , y) + Ax + By + C = 0: (13) ‚¥°¸¨­  (x ; y ) ­ µ®¤¨²±¿ ¨§ ±¨±²¥¬» ½««¨¯±  ¨«¨ £¨¯¥°¡®«».

° ±¯ ¤ ¾¹ ¿±¿

1

¯ ° ¡®«».

11

2

12

22

2

2

0

0

,  @F@x +  @F@y = 0;

F (x; y) = 0:

Š ­®­¨·¥±ª ¿ ±¨±²¥¬ :

e = " p 1+ ( ; );

e = p 1+ (, ; ); " = 1. ‡­ ª ³ e ¢»¡¨° ¥²±¿ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ±®®¡° ¦¥­¨©. “° ¢­¥­¨¥ (13) ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¯ ° ¡®«  «¥¦¨² ¢ ®²°¨¶ ²¥«¼­®© ¯®«³¯«®±ª®±²¨ ¯°¿¬®© Ax + By + C = 0. 1

2

2

2

1

75

2

2


‡­ ·¨², ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¥¥ ¢¥²¢¥©, ²®·­¥¥, ¯° ¢¨«¼­®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ e , ®¡° §³¥² ²³¯®© ³£®« ± (A; B ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, §­ ª ¢»¡¨° ¥²±¿ ¨§ ³±«®¢¨¿ "(A + B ) < 0. Š ­®­¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°®¹¥ ¢±¥£® ­ ©²¨, ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ®±³¹¥±²¢¨¢ ¯¥°¥µ®¤ ª ª ­®­¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ². °¨¬¥° 12.1. Ž¯°¥¤¥«¨²¼ ¢¨¤ ¨ ° ±¯®«®¦¥­¨¥ ª°¨¢®© 5x +12xy , 22x , 12y , 19 = 0. 1. –¥­²°: ( ( 10x + 12y , 22 = 0; x = 1; ) 12x , 12 = 0; y = 1: 2. ‡ ¬¥­ : ( x = x0 + 1 y = y0 + 1 °®¬¥¦³²®·­®¥ ³° ¢­¥­¨¥: F 0(x0; y0) = 5(x0) + 12x0y0 + F (1; 1) = 5(x0) + 12x0y0 , 36 = 0: ! ! 5 6 5 ,  6 3. Q = 6 0 , Q , E = 6 , , Q() =  , 5 , 36 = 0,  = 9,  = ,4. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ª ­®­¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ (x00; y00): 1

2

0 0

2

2

2

1

2

F 00(x00; y00) = 9(x00) , 4(y00) , 36 = 0; 2

2

(x00) , (y00) = 1 4 9 2

2

| ª ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤. 4. „«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ e00: ! ! !   , 4 6 (Q ,  E ) = 6 ,9 = 00 ; · ±²­®¥ °¥¸¥­¨¥: = 3; = 2; ˆ§ ­¥£® e00 ¯®«³· ¥²±¿ ­®°¬¨°®¢ ­¨¥¬,   e00 ¥¬³ ®°²®£®­ «¥­: e00 = p1 (3; 2); e00 = p1 (,2; 3): 13 13 Žª®­· ²¥«¼­® ¯®«³· ¥¬: ª°¨¢ ¿ ¿¢«¿¥²±¿ £¨¯¥°¡®«®© ± ³ª § ­­»¬ ª ­®­¨·¥±ª¨¬ ¢¨¤®¬ ¨ ª ­®­¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬®© ± ­ · «®¬ (1; 1) ¨ ¡ §¨±­»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ e00 ¨ e00 ­ ©¤¥­­»¬¨ ¢ ¯.4. °¨¬¥° 12.2. Ž¯°¥¤¥«¨²¼ ¢¨¤ ¨ ° ±¯®«®¦¥­¨¥ ª°¨¢®© x ,4xy+4y +4x,3y,7 = 0. 1. –¥­²°: ( 2x , 4y + 4 = 0; ±¨±²¥¬  ­¥±®¢¬¥±²­  ) ¯ ° ¡®« . ,4x + 8y , 3 = 0; 2. €±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥: , 4 + 4 = 0; ( , 2 ) ; · ±²­®¥ °¥¸¥­¨¥: = 2; = 1: 1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

76

2

2


3. Ž±¼ ±¨¬¬¥²°¨¨: @F = (,1)  (2x , 4y + 4) + 2  (,4x + 8y , 3) = 0; , @F + @x @y ,10x + 20y , 10 = 0; x , 2y + 1 = 0 | ®±¼. 4. ‚¥°¸¨­ : ( ( x , 2y = ,1 x , 2y = ,1 ; (x , 2y) + 4x , 3y , 7 = 0 4x , 3y = 6 2

®²ª³¤  ¢¥°¸¨­ : (3; 2). 5. Š ­®­¨·¥±ª¨© ¡ §¨±:

e0 = "  p1 (2; 1); e0 = p1 (,1; 2); 5 5 ¯°¨·¥¬ " = 1 ­ µ®¤¨²±¿ ¨§ ³±«®¢¨¿ "(4  2 , 3  1) < 0, ² ª ·²® " = ,1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, § ¬¥­  ª®®°¤¨­ ²: ! ! ! x = p1 ,2 ,1 x0 +  3  : y y0 2 5 ,1 2 6. Š ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤: p (x , 2y) + 4x , 3y , 7 = (, 5y0 , 1) , p4 (2x0 + y0) + 12 + p3 (x0 , 2y0) , 6 , 7 = 5 5 p p p = 5(y0) + 2 5y0 + 1 , p5 x0 , 10 5y0 , 1 = 5(y0) , 5x0 = 0; 5 (y0) = 2  p1 x0: 2 5 2

1

2

2

2

2

2

13. Š ± ²¥«¼­»¥ ª ª°¨¢»¬ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 13.1.

Ž±®¡®© ²®·ª®© ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ­ §»¢ ¥²±¿ ¶¥­²°, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨© ª°¨¢®© (²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ, ¢±¥ ²®·ª¨ ¯ °» ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª  ¯ °» ¬­¨¬»µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ). @F ²¨ ²®·ª¨ µ ° ª²¥°¨§³¾²±¿ ³±«®¢¨¥¬ @F @x (x ; y ) = @y (x ; y ) = 0. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 13.2. Š ± ²¥«¼­®© ª ª°¨¢®© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  , ¢ ­¥®±®¡®© ²®·ª¥ (x ; y ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¿¬ ¿, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ ½²³ ²®·ª³ ¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹ ¿ , ¢ ¤¢³µ ±®¢¯ ¢¸¨µ ²®·ª µ, «¨¡® ±®¤¥°¦ ¹ ¿±¿ ¢ ,. 0

0

0

77

0

0

0


’¥®°¥¬  13.3.

Š ± ²¥«¼­ ¿ ª ª°¨¢®©

F (x; y) = a x + 2a xy + a y + 2a x + 2a y + a = 0 ¢ ­¥®±®¡®© ²®·ª¥ (x ; y ) ¨¬¥¥² ³° ¢­¥­¨¥ @F (x ; y )(x , x ) + @F (x ; y )(y , y ) = 0 @x @y 2

11

0

22

2

1

2

0

0

0

¨«¨

12

0

0

0

0

0

(a x + a y + a )x + (a x + a y + a )y + (a x + a y + a ) = 0: 11

0

12 0

1

12

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬ ¿

0

22 0

(

2

1

0

2 0

(14)

0

x = x + t y = y + t ¯¥°¥±¥ª ¥² ª°¨¢³¾ ¢ ²®·ª µ, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ °¥¸¥­¨¿¬ ³° ¢­¥­¨¿ F t + 2F t + F = 0; £¤¥ F = a + 2a + a = q( ; ); @F (x ; y ); ( x ; y ) +

F = (a x + a y + a ) + (a x + a y + a ) = @F @x @y F = F (x ; y ) = 0; ¯®±ª®«¼ª³ ²®·ª  «¥¦¨² ­  ª°¨¢®©. “±«®¢¨¥ ª ± ­¨¿: F = 0, ². ¥. @F (x ; y ) = 0; ( x ; y ) +

@F @x @y ² ª ·²® · ±²­®¥ °¥¸¥­¨¥ (­ ¯° ¢«¥­¨¥) @F (x ; y ): ( x ; y ) ;

= = , @F @y @x ®±ª®«¼ª³ ²®·ª  ­¥®±®¡ ¿, ²® ½²® ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®°. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ±ª®«¼ ³£®¤­® ¬ «®¬ ¢®§¬³¹¥­¨¨ (¯®¢®°®²¥) ¢¥ª²®°  ¡³¤¥² ³¦¥ F 6= 0, ². ¥. ±¥ª³¹ ¿, ²® ½²® ¤¢¥ ±®¢¯ ¢¸¨¥ ²®·ª¨. ®«³· ¥¬ @F (x ; y )(x , x ) + @F (x ; y )(y , y ) = 0 @x @y ¨«¨ (a x + a y + a )(x , x ) + (a x + a y + a )(y , y ) = 0: ‘ ³·¥²®¬ F (x ; y ) ½²® ¤ ¥² (a x + a y + a )x + (a x + a y + a )y + (a x + a y + a ) = 0: 2 0

0

2

2

11

2

1

11

0

0

12

0

1

0

2

22

12 0

2

1

12

0

22 0

0

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

11

0

11

0

0

0

12 0

12 0

1

0

0

1

0

12

0

0

12

22 0

78

0

2

0

0

22 0

1

2

0

0

2 0

0

0


13.1. ®«¿°  ²®·ª¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ª®­¨ª¨ ³±²¼ ª®­¨ª  , § ¤ ­  ³° ¢­¥­¨¥¬ F (x; y) = a x + : : : ¢ ¯°®¨§¢®«¼­®©  ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ². ’®£¤  ³° ¢­¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­®© (14) ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¯¨± ­® ¢ ¢¨¤¥ 0 1 xC B (x ; y ; 1)A @ y A = 0; (15) 1 11

0

2

0

£¤¥ A | ¬ ²°¨¶  F .  ±±¬®²°¨¬ «¾¡³¾ ²®·ª³ P (x ; y ) ¯«®±ª®±²¨, ®²«¨·­³¾ ®² ¶¥­²°  ª°¨¢®©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 13.4. °¿¬ ¿ ± ³° ¢­¥­¨¥¬ 15 ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«¿°®© ²®·ª¨ P ®²­®±¨²¥«¼­® ª®­¨ª¨ ,. ‡ ¬¥· ­¨¥ 13.5. “±«®¢¨¥ ®²«¨·¨¿ P ®² ¶¥­²°  £ ° ­²¨°³¥², ·²® ¯®«³· ¥¬ ¯°¿¬³¾, ². ¥. ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®£®,   ­¥ ­³«¥¢®£® ¯®°¿¤ª . °¨¬¥° 13.6. …±«¨ ²®·ª  P (x ; y ) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ,, ²® ¯®«³· ¥¬, ·²® ¯®«¿°  ¿¢«¿¥²±¿ ª ± ²¥«¼­®©. 0

0

°¥¤«®¦¥­¨¥ 13.7.

0

0

P ¬®¦­® ¯°®¢¥±²¨ ª ª®­¨ª¥ , ¤¢¥ ª ± ²¥«¼M ¨ N , ²® MN ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«¿°®© P .

…±«¨ ¨§ ²®·ª¨

­»µ ± ²®·ª ¬¨ ª ± ­¨¿

„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ (xk ; yk ) | ª®®°¤¨­ ²» 0 1 ²®·ª¨ ª ± ­¨¿ ª ± ²¥«¼­®©, ¯°®¢¥-

x ¤¥­­®© ¨§ ²®·ª¨ P (x ; y ), ²® (xk ; yk ; 1)A B @ y CA = 0 | ³° ¢­¥­¨¥ ½²®© ª ± ²¥«¼­®©. 10 1 x C B ®±ª®«¼ª³ P ¥© ¯°¨­ ¤«¥¦¨², ²® (xk ; yk ; 1)A @ y A = 0: ’° ­±¯®­¨°³¿, ¯®«³· ¥¬, 1 ·²® (xk ; yk) ¤®«¦­  ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ±¨±²¥¬¥ 8 F0(xk; yk1) = 0; | ³° ¢­¥­¨¥ , > > < xk B > ( x ; y ; 1) A @ yk CA = 0; | ³° ¢­¥­¨¥ ¯®«¿°» ². P > : 1 0

0

0

0

0

0

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, (xk ; yk ) | ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯®«¿°» ± ª®­¨ª®©, ¨ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¤®ª § ­®. 2 ‡ ¬¥· ­¨¥ 13.8. ®ª  ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ´®°¬ «¼­® § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ². ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ¬®¦­® ¢»¢¥±²¨ ¨§ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ±¯®±®¡®¢ ¯®±²°®¥­¨¿ (±¬. ­¨¦¥), ­® ¬» ¤®ª ¦¥¬ ½²® ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­®.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 13.9.

®«¿°  ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ².

79


„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¯®¬­¨¬ (±¬. x ¯°® ¨­¢ °¨ ­²»), ·²® ¬ ²°¨¶  A ¨ ª®¬¯®­¥­²» (x; y; 1) ¬¥­¿¾²±¿ ¯® § ª®­ ¬ A0 = DT AD, 0 1 0 01 0 10 0 1 x x c c x x C B C B C B C B 0 @ y A = D @ y A = @ c c y A @ y0 A : 1 1 0 0 1 1 Ž²ª³¤  ¨§ (15) ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬»© °¥§³«¼² ². 2

’¥®°¥¬  13.10. ­»µ ¨§

P

11

12

0

21

22

0

A; B ¨ C; D | ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¤¢³µ ±¥ª³¹¨µ, ¯°®¢¥¤¥­E ¨ F | ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ AD ± BC ¨ AC ± BD, ’®£¤  ¯°¿¬ ¿ (EF ) ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«¿°®© P .

³±²¼

ª ª®­¨ª¥, ²®·ª¨

±®®²¢¥²±²¢¥­­®.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. F

 



 

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B B  B

B

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B

B B B



x

B (( B (((( ( (  (((( (B u (((" B (  ( u " B ((( b " (((( ( b ( " ( B ((  bu " u h hhhh B " b  hhhh "" b B b hh  hh u hhh bb B  hhhh u b Bhhh b  hhh B hh h  B 

A

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B



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D

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 ±±¬®²°¨¬  ´´¨­­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ³ ª®²®°®© ¯°¿¬»¥ AB ¨ CD ¿¢«¿¾²±¿ ®±¿¬¨,   ²®·ª  P | ­ · «®¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, A ¨ B ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² y = 0,   §­ ·¨², A ¨ B ¨¬¥¾² ª®®°¤¨­ ²» (x ; 0) ¨ (x ; 0) ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, £¤¥ x ¨ x | ª®°­¨ ³° ¢­¥­¨¿ a x + 2a x + a = 0: (16) €­ «®£¨·­®, C ¨ D ¨¬¥¾² ª®®°¤¨­ ²» y ¨ y , ¯°¨·¥¬ a y + 2a y + a = 0: (17) ®«³· ¥¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ \¢ ®²°¥§ª µ": x + y = 1; (AD) : x y 1

11

2

2

1

1

0

1

22

2

2

2

0

1

80

2

2


x + y = 1; x y x + y = 1; (AC ) : x y x + y = 1: (BD) : x y °¨ ½²®¬ (AD) \ (BC ) = E ¨ (AC ) \ (BD) = F . “° ¢­¥­¨¥ EF ¨¬¥¥² ¢¨¤ x + x + y + y = 2; x x y y ¯®±ª®«¼ª³ E ¨ F ¥¬³ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² (ª ª ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© ¯ °¥ ³° ¢­¥­¨© ¨§ ·¥²»°¥µ, § ¯¨± ­­»µ ¢»¸¥). ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, x + x  x + y + y  y = 2: (EF ) : xx yy ˆ§ ³° ¢­¥­¨© (16) ¨ (17) ¯® ²¥®°¥¬¥ ‚¨¥²  ¯®«³· ¥¬ x + x = , 2aa ; x x = aa ; y + y = , 2aa ; y y = aa ; ®²ª³¤  ,2a  x + ,2a  y = 2; (EF ) : a a ¨«¨ a x + a y + a = 0: Š ª «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯®«¿°» ²®·ª¨ P , ¨¬¥¾¹¥© ª®®°¤¨­ ²» (0; 0) ¢ ¨±¯®«¼§³¥¬®© ±¨±²¥¬¥. 2 (BC ) :

1

2

1

1

11

1

2

2

2

1

2

2

1 2

0

2

1

2

1

2

1

1

1

1

2

1

11

2

1

‘«¥¤±²¢¨¥ 13.11.

22

1 2

0

22

2

0

1

2

0

2

0

’®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¤¨ £®­ «¥© ·¥²»°¥µ³£®«¼­¨ª®¢, ®¡° §®¢ ­-

­»µ ±¥ª³¹¨¬¨, ¯°®¢¥¤¥­­»¬¨ ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨ ª ¤ ­­®© ª®­¨ª¥, «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®© | ¯®«¿°¥ ½²®© ²®·ª¨.

‘«¥¤±²¢¨¥ 13.12.

‚

 ¢²®¯®«¿°­»¬, ². ¥.

³±«®¢¨¿µ

²¥®°¥¬»

PEF

²°¥³£®«¼­¨ª

¿¢«¿¥²±¿

¤«¿ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» ¯°®²¨¢®¯®«®¦­ ¿ ±²®°®­  ¿¢«¿¥²±¿

¥¥ ¯®«¿°®©.

’¥®°¥¬  13.13. ª®£¤ 

’®·ª 

P

¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¯®«¿°¥ ²®·ª¨

Q ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¯®«¿°¥ P .

Q ²®£¤ 

¨ ²®«¼ª® ²®£¤ ,

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘° §³ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ±¨¬¬¥²°¨¨ ³° ¢­¥­¨¿ ¯®«¿°». Ž¤­® ±®®²­®¸¥­¨¥ ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ¤°³£®¥ ¯°¨ ²° ­±¯®­¨°®¢ ­¨¨. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 13.14. ’®·ª , ¤«¿ ª®²®°®© ±²°®¨²±¿ ¯®«¿° , ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«¾±®¬

½²®© ¯®«¿°».

81


‡ ¬¥· ­¨¥ 13.15. „«¿ ¢­¥¸­¨µ ²®·¥ª ¯®«¾± ®¯°¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ·­® ¯® ¯°¥¤«®¦¥-

­¨¾ 13.7. „«¿ ¢­³²°¥­­¨µ ½²® ±«¥¤³¥² ¨§ ¤¢®©±²¢¥­­®±²¨: ¯°®¢¥¤¥¬ ¤¢¥ µ®°¤» ¨ ². ¤. (±¬. ±¯®±®¡ ¯®±²°®¥­¨¿ ­¨¦¥). ‡ ¬¥· ­¨¥ 13.16. ‚ ®¡»·­®© (­¥¯°®¥ª²¨¢­®©) £¥®¬¥²°¨¨ ­¥ ¢±¿ª ¿ ²®·ª  ¨¬¥¥² ¯®«¿°³ (­ ¯°¨¬¥°, ¶¥­²° ­¥ ¨¬¥¥²) ¨ ­¥ ¢±¿ª ¿ ¯°¿¬ ¿ ¨¬¥¥² ¯®«¾±, ². ¥. ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«¿°®© (¤¨ ¬¥²° ¶¥­²° «¼­®© ª°¨¢®©). ‘¥©· ± ¬» ®¡±³¤¨¬ ¥¹¥ ®¤¨­ ±¯®±®¡ ¯®±²°®¥­¨¿ ¯®«¿°». Œ» ¡³¤¥¬ ¨¬¥²¼ ¤¥«® ± ¢­³²°¥­­¨¬¨ ²®·ª ¬¨. ³±²¼ P | ² ª ¿ ²®·ª . °®¢¥¤¥¬ ·¥°¥§ ­¥¥ ¤¢¥ ±¥ª³¹¨¥ (µ®°¤»),   ·¥°¥§ ¨µ ª®­¶» | ¯ °» ª ± ²¥«¼­»µ. …±«¨ P ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¶¥­²°®¬, ²® ¯°¿¬»¥ ¢­³²°¨ µ®²¿ ¡» ®¤­®© ¯ °» ­¥ ¯ ° ««¥«¼­». ’ ª ·²® ¯®«³· ¥¬ «¨¡® ¤¢¥ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, «¨¡® ²®·ª³ ¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¥. Œ®¦­® ¯°®¢¥±²¨ ° ±±³¦¤¥­¨¥ ¨ ¢® ¢²®°®© ±¨²³ ¶¨¨, ­® ¬» ¯°®±²® ¢»¡¥°¥¬ ¤°³£³¾ µ®°¤³. ˆ² ª, ¨¬¥¥¬ ¤¢¥ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿: E ¨ F . “²¢¥°¦« ¥²±¿, ·²® EF | ¯®«¿°  P . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯® ¯°¥¤«®¦¥­¨¾ 13.7, ²®·ª  P ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¯®«¿° ¬ ¨ E ¨ F , §­ ·¨², ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬¥, E ¨ F ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ¯®«¿°¥ P . ‡ ¤ ·  13. (’¥®°¥¬  °¨ ­¸®­ ) „¨ £®­ «¨ ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª , ®¯¨± ­­®£® ®ª®«® ª®­¨ª¨, ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥. “ª § ­¨¥ : „¨ £®­ «¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¯®«¿° ¬¨ ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»µ ±²®°®­ ¢¯¨± ­­®£® ¸¥±²¨³£®«¼­¨ª , ®¡° §®¢ ­­®£® ²®·ª ¬¨ ª ± ­¨¿. € ½²¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯® ²¥®°¥¬¥  ±ª «¿ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. ’®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ | ¥¥ ¯®«¾±. 14. €´´¨­­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.1. ­ §»¢ ¥²±¿ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ­  ±¥¡¿. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.2. Ž²®¡° ¦¥­¨¥ ¯«®±ª®±²¨ (¯°®±²° ­±²¢ ) ¢ ±¥¡¿ ­ §»¢ ¥²±¿ °¥®¡° §®¢ ­¨¥¬

¥±«¨ ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ¤¢¥  ´´¨­­»¥ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ², ·²® ª®®°¤¨­ ²» «¾¡®© ²®·ª¨ ¢ ®¤­®© ¨§ ­¨µ ¿¢«¿¾²±¿ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ ¥¥ ®¡° §  ¢ ¤°³£®©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 14.3. Ž·¥¢¨¤­®, ·²®  ´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬. ‡ ¬¥· ­¨¥ 14.4. „®¯³±²¨¬, ¯¥°¢ ¿ ¨§ ´¨£³°¨°³¾¹¨µ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨  ´´¨­­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ f ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨­ ² Oe e e ´¨ª±¨°®¢ ­  ( ­ «®£¨·­® ¤«¿ ¯«®±ª®±²¨). ³±²¼ Mi | ª®­¶» ¢¥ª²®°®¢ ei, ®²«®¦¥­­»µ ®² ²®·ª¨ O. ’®£¤  ¢²®° ¿ ±¨±²¥¬  ,,,,,,,! ®¡¿§ ²¥«¼­® ¨¬¥¥² ¢¨¤ O0 = f (O), e0i = f (O)f (Mi ) (i = 1; 2; 3; ¨«¨ i = 1; 2 ¤«¿ ¯«®±ª®±²¨). ²® ±° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ª®®°¤¨­ ².

 ´´¨­­»¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬,

1 2 3

’¥®°¥¬  14.5.

Oe e e ¨ O0 e0 e0 e0 | ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ², ´¨£³°¨°³¾¹ ¿ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨. ³±²¼ C | ¬ ²°¨¶  f (§ ¢¨±¿¹ ¿ 0 ®² °¥¯¥° ): ¯® ±²®«¡¶ ¬ ¢»¯¨± ­» ª®®°¤¨­ ²» ei ¢ ±² °®¬ ¡ §¨±¥. ³±²¼ 0 (x ; y ; z ) | ª®®°¤¨­ ²» O ¢ ±² °®¬ °¥¯¥°¥.  ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ²®·ª³ 0

0

³±²¼

f

|  ´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥,

0

82

1 2 3

1 2 3


P

¨ ¥¥ ®¡° §

P 0 = f (P ).

(x; y; z) ¨ (x0; y0; z0) ¢ ±² °®¬ °¥¯¥°¥ 0e1 0 1 0 1 x xC Bx C B C B (18) @ ye A = C @ y A + @ y A : ze z z

’®£¤  ¨µ ª®®°¤¨­ ²»

±¢¿§ ­» ´®°¬³« ¬¨

0

0

0

Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ´¨ª±¨°®¢ ­   ´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ², ²® «¾¡ ¿ ´®°¬³«  ¢¨¤ 

(18) ± ­¥¢»°®¦¤¥­­®© ¬ ²°¨¶¥© C

§ ¤ ¥² ­¥ª®²®°®¥  ´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥.

€­ «®£¨·­® ¤«¿ ¯«®±ª®±²¨.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬ ²°¨¶  C | ½²® ¬ ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  ®² ¡ §¨±  0 0 0 e e e ª ¡ §¨±³ e e e : 1 2 3

1 2 3

e0 = c e + c e + c e ; e0 = c e + c e + c e ; e0 = c e + c e + c e : „«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ²®·ª¨ P (x; y; z) ¨ ¥¥ ®¡° §  Pe (xe; ye; ze) (¢±¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ ¯¥°¢®­ · «¼­®¬ °¥¯¥°¥) ¨¬¥¥¬

,!e ,,!0 ,,0!e OP = OO + O P ; ,!e

1

11 1

21 2

31 3

2

12 1

22 2

32 3

3

13 1

23 2

33 3

,,0!e

,OO ,!0 = x e + y e + z e ; 0

1

0

2

0

O P = x e0 + y e0 + z e0 ;

3

1

2

3

OP = xe e + ye e + ze e = x e + y e + z e + x e0 + y e0 + z e0 = = x e +y e +z e +x (c e +c e +c e )+y (c e +c e +c e )+z (c e +c e +c e ); 0e1 0 1 0 1 0 1 x x c + y c + z c + x B@ ye CA = B@ x c + y c + z c + y CA = C B@ xy CA + B@ xy CA : ze xc + yc + zc + z z z ’¥ ¦¥ ¢»ª« ¤ª¨, ¯°®¢¥¤¥­­»¥ ¢ ®¡° ²­®¬ ¯®°¿¤ª¥, ¯®ª §»¢ ¾², ·²® ¢¥°­® ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. °¨ ½²®¬ ³±«®¢¨¥ ­¥¢»°®¦¤¥­­®±²¨ ¬ ²°¨¶» C £ ° ­²¨°³¥², ·²® ¸²°¨µ®¢ ­­ ¿ ±¨±²¥¬  ¿¢«¿¥²±¿ °¥¯¥°®¬, ². ¥. «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬ . 2 1

0

1

0

2

0

3

‘«¥¤±²¢¨¥ 14.6.

2

3

11 1

0

21 2

1

0

31 3

2

0

12 1

3

1

22 2

32 3

2

3

13 1

11

12

13

0

0

21

22

23

0

0

31

32

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0

0

…±«¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥

f

23 2

33 3

¿¢«¿¥²±¿  ´´¨­­»¬ ®²­®±¨²¥«¼­® ®¤-

­®£® °¥¯¥° , ²® ¨ ®²­®±¨²¥«¼­® «¾¡®£®.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ f ¿¢«¿¥²±¿  ´´¨­­»¬ ®²­®±¨²¥«¼­® °¥¯¥°  Oe e e , ²®£¤  1 2 3

¯® ²¥®°¥¬¥ ¨¬¥¾² ¬¥±²® ´®°¬³«» (18). ³±²¼ Oeee | ¯°®¨§¢®«¼­»© °¥¯¥°. ³±²¼ D | ¬ ²°¨¶  ¯¥°¥µ®¤  ®² Oe e e ª Oeee, ² ª ·²® 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 x x x x x x C B C B C B B C B C B ,  @ y A = D @ y A + @ y A ; @ y A = D @ y A + @ y CA : z z z z z z 1 2 3

1 2 3

0

1 2 3

1

0

1

1 1

0

83


’®£¤  ª®®°¤¨­ ²» (xe; ye; ze) ®¡° §  Pe = f (P ) ¨ ª®®°¤¨­ ²» (x; y; z) ²®·ª¨ P ¢ °¥¯¥°¥ O eee ±¢¿§ ­» ´®°¬³« ¬¨ 0 1 0 1 0e 1 0e1 0 1 0 1 x x x x x x  B@ ye CA = D, B@ ye CA + B @ y CA = D, C B@ y CA + D, B@ y CA + B@ y CA = z z z ze ze z 0 1 0 1 0 1 0 1 x x x x B C B C B C B , , ,  = D C D @ y A + D C @ y A + D @ y A + @ y C A: z z z z | {z } ¯®±²®¿­­»© ¢¥ª²®° °¨¬¥­¿¿ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬», ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. 2 Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.7. Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¤¥©±²¢¨¥  ´´¨­­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ f ­  ¯°¥¤,,,,,,! ±² ¢¨²¥«¿µ ¢¥ª²®°®¢ ´®°¬³«®© f (,! AB) = f (A)f (B ). ‘«¥¤±²¢¨¥ 14.8. „¥©±²¢¨¥ f ­  ¢¥ª²®° µ ª®°°¥ª²­® ®¯°¥¤¥«¥­® ¢ ª®®°¤¨­ ² µ ´®°¬³«®© 0 e 1 0 1 B@ e CA = C B@ CA ; e e e ) | ª®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®°  f (v). ‚ e ; ; £¤¥ ( ; ; ) | ª®®°¤¨­ ²» ¢¥ª²®°  v ,   ( 1 2 3

1

1

1

1

1 1

1

0

1

1

0 0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

· ±²­®±²¨, ¤«¿ «¨­¥©­»µ ª®¬¡¨­ ¶¨© ¢¥ª²®°®¢

f

’¥®°¥¬  14.9.

X i

! X i vi = i f (vi): i

‚±¿ª®¥  ´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥

1) ¯¥°¥¢®¤¨² ¯°¿¬»¥ ¢ ¯°¿¬»¥,

¯«®±ª®±²¨ | ¢ ¯«®±ª®±²¨, ±®µ° ­¿¿ ±¢®©±²¢®

¯ ° ««¥«¼­®±²¨,

2) ±®µ° ­¿¥² ®²­®¸¥­¨¥ ¤«¨­ ®²°¥§ª®¢ ­  ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ. „®ª § ²¥«¼±²¢®. “° ¢­¥­¨¿ ¯°¿¬»µ ¨ ¯«®±ª®±²¥© ¢ ¯¥°¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ±®¢¯ ¤ ¾² ± ³° ¢­¥­¨¿¬¨ ¨µ ®¡° §®¢ ®²­®±¨²¥«¼­® ¢²®°®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨­ ². ²® ¤®ª §»¢ ¥² ¯³­ª² 1). ³­ª² 2) ±«¥¤³¥² ¨§ ±«¥¤±²¢¨¿ ¯°® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¢¥ª²®°®¢. 2 ‡ ¤ ·  14. „®ª § ²¼ ®¡° ²­®¥: ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¯«®±ª®±²¨ ¨«¨ ¯°®±²° ­±²¢  ± ³±«®¢¨¿¬¨ 1) ¨ 2) ¿¢«¿¥²±¿  ´´¨­­»¬.

14.1. ˆ§®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.10. €´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬ (¨«¨ ¨§®¬¥²°¨¥© ), ¥±«¨ ®­® ±®µ° ­¿¥² ° ±±²®¿­¨¿ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨: (f (P ); f (Q)) = (P; Q): 84


‡ ¤ ·  15. „®ª § ²¼, ·²®  ´´¨­­®±²¨ ¬®¦­® ­¥ ²°¥¡®¢ ²¼, ². ¥. ¨§ ±®µ° ­¥­¨¿ ° ±±²®¿­¨¿  ´´¨­­®±²¼ ±«¥¤³¥² ¢±¥£¤ .

°¥¤«®¦¥­¨¥ 14.11. „®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª®¢, ¢ · ±²­®±²¨ ³£«®¢, ¯® ²°¥¬ ±²®°®­ ¬. ˆ§®¬¥²°¨¿ ±®µ° ­¿¥² ³£«» ¬¥¦¤³ ¯°¿¬»¬¨.

2

’¥®°¥¬  14.12.

³±²¼

f |  ´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥,   Oe e e

1 2 3 | ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿

±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ². ’®£¤  ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­»:

1) f | ¨§®¬¥²°¨¿; 2) ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© °¥¯¥° O0 e0 e0 e0 = f (O)f (e )f (e )f (e ) ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®³£®«¼1

1 2 3

2

3

­»¬;

3)

f

¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ª®®°¤¨­ ²­®© § ¯¨±¨

¬ ²°¨¶ 

C

¿¢«¿¥²±¿ ®°²®£®-

­ «¼­®©.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚²®°®© ¨ ²°¥²¨© ¯³­ª² ½ª¢¨¢ «¥­²­» ¯® ²¥®°¥¬¥ 7.8.

ˆ§ 1) ±«¥¤³¥² 2) ² ª ª ª ¨§®¬¥²°¨¿ ±®µ° ­¿¥² ¤«¨­»,   ¯® ¯°¥¤«®¦¥­¨¾, ¨ ³£«». Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ²®·ª¨ P ¨ Q ¨¬¥¾² ª®®°¤¨­ ²» (x ; y ; z ) ¨ (x ; y ; z ) ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬» Oe e e . ’®£¤  ¨µ ®¡° §» Pe ¨ Qe ¨¬¥¾² ²¥ ¦¥ ª®®°¤¨­ ²» ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ O0e0 e0 e0 . ® ´®°¬³«¥ ¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ° ±±²®¿­¨¿ ¢ ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¨¬¥¥¬ ¢ ¯¥°¢®© ¨ ¢²®°®© ±¨±²¥¬ µ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®: q (P; Q) = (x , x ) + (y , y ) + (z , z ) ; q e Qe ) = (x , x ) + (y , y ) + (z , z ) : 2 (P; Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.13. °¥®¡° §®¢ ­¨¥, § ¤ ­­®¥ ¢ ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ´®°¬³« ¬¨ 1

1

1

2

2

2

1 2 3

1 2 3

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

ye = ,y;

xe = x + a;

­ §»¢ ¥²±¿ ±ª®«¼§¿¹¥© ±¨¬¬¥²°¨¥©. ²® ª®¬¯®§¨¶¨¿ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨ ±¤¢¨£  ¢¤®«¼ ­¥¥.

’¥®°¥¬  14.14 (˜ «¿).

‚±¿ª ¿ ¨§®¬¥²°¨¿ ¯«®±ª®±²¨ ¿¢«¿¥²±¿ «¨¡® ¯ ° ««¥«¼-

­»¬ ¯¥°¥­®±®¬, «¨¡® ¯®¢®°®²®¬ ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ²®·ª¨, «¨¡® ±ª®«¼§¿¹¥© ±¨¬¬¥²°¨¥© ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®©.

85


„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¯®¬­¨¬, ·²® ®°²®£®­ «¼­»¥ ¬ ²°¨¶» 2  2 ¨¬¥¾² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢:

! cos ' , sin ' C = sin ' cos ' ;

! cos ' sin ' C = sin ' , cos ' :

 ±±¬®²°¨¬ ±­ · «  ¨§®¬¥²°¨¨ ± det C = 1 (¨§®¬¥²°¨¨ ¯¥°¢®£® °®¤ ). …±«¨ ' = 0, ²® C = E ¨ f ¿¢«¿¥²±¿ ¯ ° ««¥«¼­»¬ ¯¥°¥­®±®¬: ! ! ! xe = x + x : ye y y 0

0

…±«¨ ' 6= 0 (± ²®·­®±²¼¾ ¤® 2k), ²® ­ ©¤¥¬ ­¥¯®¤¢¨¦­»¥ ²®·ª¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f , ². ¥. ² ª¨¥ P , ·²® f (P) = P. ˆ¬¥¥¬ ¤«¿ ª®®°¤¨­ ² (x; y) ²®·ª¨ P ³° ¢­¥­¨¿ ( xe = x cos ' , y sin ' + x = x ; ye = x sin ' + y cos ' + y = y ( x(cos ' , 1) , y sin ' = ,x : x sin ' + y(cos ' , 1) = ,y ®±ª®«¼ª³ ' 6= 0, ²® cos ' 6= 1 ¨ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ±¨±²¥¬»

cos ' , 1 , sin '

= (cos ' , 1) + sin ' 6= 0:

sin ' cos ' , 1

0

0

0

0

2

2

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­¥¯®¤¢¨¦­ ¿ ²®·ª  P(x; y) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­ .  ±±¬®²°¨¬ ­®¢³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² (x0; y0), § ¤ ­­³¾ ±®®²­®¸¥­¨¿¬¨ x0 = x , x; y0 = y , y (². ¥. ±¤¢¨­¥¬ ­ · «® ª®®°¤¨­ ² ¢ ²®·ª³ P). ‚ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ´®°¬³«» ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ f ¡³¤³² ¨¬¥²¼ ¢¨¤ xe0 = x0 cos ' , y0 sin '; ye0 = x0 sin ' + y0 cos '; ². ¥. ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¢®°®²®¬ ­  ³£®« '.  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¨§®¬¥²°¨¾ ¢²®°®£® °®¤ : det C = ,1. ®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ±³¹¥±²¢³¥² ­¥¯®¤¢¨¦­»© (±¢®¡®¤­»©) ¢¥ª²®°. ˆ¬¥¥¬ ¤«¿ ¥£® ª®®°¤¨­ ² ( ; ) ±¨±²¥¬³ ³° ¢­¥­¨© ( cos ' + sin ' = sin ' , cos ' = ; ! ! ! cos ' , 1 sin ' = 0 : sin ' ,(cos ' + 1)

0 86


°¨ ½²®¬

sin '

= 1 , cos ' , sin ' = 0

cos ' , 1

sin ' ,(cos ' + 1)

¤«¿ «¾¡®£® ³£«  '. ®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² ­¥­³«¥¢®¥ °¥¸¥­¨¥ ( ; ).  ±±¬®²°¨¬ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² ± ²¥¬ ¦¥ ­ · «®¬, ·²® ¨ ¨±µ®¤­ ¿, ¨ ¡ §¨±­»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ e0 := p 1+ ( ; ); e0 := p 1+ (, ; ): ! 1 ? 0 0 0 ®±ª®«¼ª³ f (e ) = e , ²® C = 0 ? . ’ ª ª ª C 0 ®°²®£®­ «¼­  ¨ det C 0 = ,1, ²® ! 1 0 0 C = 0 ,1 . ‡­ ·¨², ¢ ¸²°¨µ®¢ ­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² f ¨¬¥¥² ´®°¬³«» xe0 = x0 + a; ye0 = ,y0 + b; £¤¥ a ¨ b | ­¥ª®²®°»¥ ª®­±² ­²». ¥°¥©¤¥¬ ª ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² (x00; y00), ¯®«®¦¨¢ x00 = x0; y00 = y0 , 2b : ’®£¤  ¤«¿ ®¡° §  (xf00; yf00) ²®·ª¨ (x00; y00) ¨¬¥¥¬ xf00 = x00 + a; yf00 = ye0 , 2b = ,y0 + b , 2b = ,y00 , 2b + b , 2b = ,y00; ². ¥. ±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾ ®²­®±¨²¥«¼­® ®±¨ O00x00. 2 ‚ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¢¢¥¤¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¯®­¿²¨¿: Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 14.15. ‚¨­²®¢®¥ ¢° ¹¥­¨¥ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯®¢®°®²  ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨ ±¤¢¨£  ¢¤®«¼ ­¥¥; ±ª®«¼§¿¹ ¿ ±¨¬¬¥²°¨¿ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯«®±ª®±²¨ ¨ ±¤¢¨£  ¯ ° ««¥«¼­® ¥©; §¥°ª «¼­®¥ ¢° ¹¥­¨¥ | ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¯®¢®°®²  ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®© ¨ ±¨¬¬¥²°¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®© ¥© ¯«®±ª®±²¨. °¥¦¤¥, ·¥¬ ¯¥°¥©²¨ ª ¯°®±²° ­±²¢¥­­®¬³  ­ «®£³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬», ¤®ª ¦¥¬ ¢±¯®¬®£ ²¥«¼­³¾ «¥¬¬³. 2

1

1

‹¥¬¬  14.16.

2

2

2

2

2

2

1

‹¾¡ ¿

®°²®£®­ «¼­ ¿

²°¥µ¬¥°­ ¿

¢¥ª²®°, ®²¢¥· ¾¹¨© ±®¡±²¢¥­­®¬³ §­ ·¥­¨¾

1

¬ ²°¨¶ 

¨¬¥¥²

±®¡±²¢¥­­»©

.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®±ª®«¼ª³ ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ± ¨§®¬¥²°¨¿¬¨, ²® ±®¡±²¢¥­­»© ¢¥ª²®°, ¥±«¨ ² ª®¢®© ±³¹¥±²¢³¥², ­¥ ¬®¦¥² ¨§¬¥­¨²¼ ¤«¨­³. ®½²®¬³ ±®¡±²¢¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ° ¢­»¬ ²®«¼ª® 1.

‘ ¤°³£®© ±²®°®­», µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¬­®£®·«¥­ ¨¬¥¥² ¢ ±«³· ¥ ¯°®±²° ­±²¢  ±²¥¯¥­¼ 3,   ¥£® ª®°­¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­» ¨«¨ ¯®¯ °­® ª®¬¯«¥ª±­® ±®¯°¿¦¥­». ‡­ ·¨², µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ¢¥¹¥±²¢¥­¥­, ¨ ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ° ¢¥­ 1. 2 87


’¥®°¥¬  14.17.

‚±¿ª ¿ ¨§®¬¥²°¨¿ ¯°®±²° ­±²¢  ¿¢«¿¥²±¿ ®¤­¨¬ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ

¯°¥®¡° §®¢ ­¨©:

1) ( ) 2) 3) „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚»¡¥°¥¬ ®°²®­®°¬¨°®¢ ­­»© ¡ §¨±, ¢§¿¢ ¢ ª ·¥±²¢¥ e ±®¡±²¢¥­¢¨­²®¢®¥ ¢° ¹¥­¨¥

¢ · ±²­®±²¨, ¯ ° ««¥«¼­»© ¯¥°¥­®± ;

±ª®«¼§¿¹ ¿ ±¨¬¬¥²°¨¿; §¥°ª «¼­®¥ ¢° ¹¥­¨¥.

1

­»© ¢¥ª²®° ¨§ «¥¬¬». ’®£¤  ¢ ½²®¬ ¡ §¨±¥ ¬ ²°¨¶  f ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤: 0 1 0 0 1 C = @ 0 G A; 0 £¤¥ G | ®°²®£®­ «¼­ ¿ 2  2-¬ ²°¨¶ . ³±²¼ det G = ,1, ²®£¤  ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» 14.14 ±«¥¤³¥², ·²® e ¨ e ! 1 0 ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²® G = 0 ,1 ,   ¤«¿ ¬ ²°¨¶» f ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¢¥ ¢®§¬®¦­®±²¨: 0 1 0 1 1 0 0 , 1 0 0 C=B @ 0 1 0 CA ; C = B@ 0 1 0 CA : 0 0 ,1 0 0 ,1 ® ²¥¬ ª®®°¤¨­ ² ¬, £¤¥ (,1), ¯°®¨§¢¥¤¥¬ ±¤¢¨£, ª ª ¢ ²¥®°¥¬¥ 14.14. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¯®«³·¨¬ ¢ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ¤¢  ¢ °¨ ­²  ´®°¬³« f : xe0 = x0 + a xe0 = ,x0 0 ye0 = y + b ; ye0 = y0 + b : e(z0) = ,z0 e(z0) = ,z0 ‚ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ¨¬¥¥¬ ±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾,   ¢® ¢²®°®¬ | ¢¨­²®¢®¥ ¢° ¹¥­¨¥ ­  ³£®« . ! cos ' , sin ' ³±²¼ ²¥¯¥°¼ det G = 1. ’®£¤  G = sin ' cos ' . …±«¨ ' = 0, ²® ¯®«³· ¥¬ «¨¡® ¯ ° ««¥«¼­»© ¯¥°¥­®± (· ±²­»© ±«³· © ¢¨­²®¢®£® ¢° ¹¥­¨¿), «¨¡®, ¥±«¨ ¢ «¥¢®¬ ¢¥°µ­¥¬ ³£«³ ±²®¨² (,1), ±¤¥« ¢ ®¯¿²¼ ±¤¢¨£ \­  ¯®«®¢¨­³ ±¢®¡®¤­®£® ·«¥­ ", ®²®¡° ¦¥­¨¥ ± ´®°¬³« ¬¨ xe0 = ,x0 ye0 = y0 + b ; ze0 = z0 + c ². ¥. ±ª®«¼§¿¹³¾ ±¨¬¬¥²°¨¾. …±«¨ ' 6= 0, ²® ² ª ¦¥ ª ª ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© · ±²¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» 14.14, ­ ©¤¥¬ ²®·ª³ (y; z) ¨ ¯°®¨§¢¥¤¥¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ±¤¢¨£ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²® ¢ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² (x0; y0; z0) ´®°¬³«» f ¡³¤³² xe0 = x0 + a ye0 = y0 cos ' , z0 sin ' ze0 = y0 sin ' + z0 cos ': 2

88

3


‚ ±«³· ¥ (+) ¯®«³·¨«¨ ¢¨­²®¢®¥ ¢° ¹¥­¨¥. ‚ ±«³· ¥ (,), ±¤¥« ¢ ®¯¿²¼ ±¤¢¨£ \­  ¯®«®¢¨­³ ±¢®¡®¤­®£® ·«¥­ ", ¯®«³·¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ± ´®°¬³« ¬¨ xe0 = ,x0 ye0 = y0 cos ' , z0 sin ' ze0 = y0 sin ' + z0 cos '; ². ¥. §¥°ª «¼­®¥ ¢° ¹¥­¨¥. 2 15. €´´¨­­ ¿ ¨ ¬¥²°¨·¥±ª ¿ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¿ ª¢ ¤°¨ª

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 15.1. „¢¥ ±³¹¥±²¢¥­­»¥ ª¢ ¤°¨ª¨

(±®®²¢., ¬¥²°¨·¥±ª¨ ) ½ª¢¨¢ «¥­²­», ¥±«¨ ®¤­  ¨§ ­¨µ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¢¥¤¥­  ¢ ¤°³£³¾  ´´¨­­»¬ (±®®²¢., ¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬) ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬ ª ª ¬­®¦¥±²¢® ²®·¥ª. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 15.2. „¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ±¨«¼­®  ´´¨­­® (±®®²¢., ¬¥²°¨·¥±ª¨ ) ½ª¢¨¢ «¥­²­», ¥±«¨ ®¤­  ¨§ ­¨µ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥¢¥¤¥­  ¢ ¤°³£³¾  ´´¨­­»¬ (±®®²¢., ¨§®¬¥²°¨·¥±ª¨¬) ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬ ª ª ¬­®¦¥±²¢® ²®·¥ª ¨ ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ª°¨¢®© ¢ «¾¡®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ±®¢¯ ¤ ¥² (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿) ± ³° ¢­¥­¨¥¬ ¢²®°®© ª°¨¢®© ¢ ®²®¡° ¦¥­­®© ±¨±²¥¬¥. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ®¡° § ±³¹¥±²¢¥­­®© ª¢ ¤°¨ª¨ ¯°¨  ´´¨­­®¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨ | ª¢ ¤°¨ª , ¨¬¥¾¹ ¿ ¢ ®²®¡° ¦¥­­®¬ °¥¯¥°¥ ²® ¦¥ ³° ¢­¥­¨¥, ·²® ¨±µ®¤­ ¿ ª¢ ¤°¨ª  ¢ ¨±µ®¤­®¬ °¥¯¥°¥. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤«¿ ±³¹¥±²¢¥­­»µ ª¢ ¤°¨ª ¯®­¿²¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ¨ ±¨«¼­®© ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ±®¢¯ ¤ ¾².

’¥®°¥¬  15.3.

 ´´¨­­®

„¢¥ ±³¹¥±²¢¥­­»¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¬¥²°¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­» ²®£¤  ¨

²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»© ª ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤. „«¿ ­¥±³¹¥±²¢¥­­»µ ®¤¨­ ª®¢»© ª ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤ ¿¢«¿¥²±¿ ¤®±² ²®·­»¬ ³±«®¢¨¥¬ ¬¥²°¨·¥±ª®© ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨. „¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ±¨«¼­® ¬¥²°¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­» ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»© ª ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®±² ²®·­®±²¼. ‹¾¡ ¿ ª¢ ¤°¨ª  ¨¬¥¥² ¢ ­¥ª®²®°®© ¯°¿¬®³£®«¼-

­®© (ª ­®­¨·¥±ª®©) ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ª ­®­¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ®¤­®£® ¨§ ¤¥¢¿²¨ ²¨¯®¢, ¯°¨·¥¬ ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ (¢ ®²«¨·¨¥ ®² ª ­®­¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬»), ª ª ¯®ª §»¢ ¥² ²¥®°¨¿ ¨­¢ °¨ ­²®¢ ¨ ±¥¬¨¨­¢ °¨ ­² . ³±²¼ ¤¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ª ­®­¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ¢ ±¨±²¥¬ µ Oe e ¨ O0e0 e0 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ’®£¤  ¨§®¬¥²°¨¿, ¯¥°¥¢®¤¿¹ ¿ ¯¥°¢»© °¥¯¥° ¢® ¢²®°®©, ¯¥°¥¢®¤¨² ¯¥°¢³¾ ª¢ ¤°¨ª³ ¢® ¢²®°³¾. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ¬¥²°¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­»¥ ±³¹¥±²¢¥­­»¥ ª¢ ¤°¨ª¨.  ±±¬®²°¨¬ ª ­®­¨·¥±ª³¾ ±¨±²¥¬³ Oxy ¤«¿ ¯¥°¢®© ¨§ ­¨µ ¨ ¥¥ ®¡° § O0x0y0 ¯°¨ ¤ ­­®© ¨§®¬¥²°¨¨. ‚ ¯¥°¢®© ±¨±²¥¬¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¨¬¥¾² ³° ¢­¥­¨¿ F (x; y) = 0 ¨ F (x; y) = 0, ¯°¨·¥¬ F | ª ­®­¨·¥±ª®¥. ’®£¤  ¢²®° ¿ ª¢ ¤°¨ª  ¨¬¥¥² ¤¢  1 2

1 2

1

2

1

89


³° ¢­¥­¨¿ ¢ ��®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ²: ²® ¦¥, ·²® ¯¥°¢ ¿ ª°¨¢ ¿ ¨¬¥«  ¢ ¨±µ®¤­®© ±¨±²¥¬¥, ². ¥. F (x0; y0) = 0 ¨ ²®, ·²® ¯®«³· ¥²±¿ § ¬¥­®© ª®®°¤¨­ ², ². ¥. F 0(x0; y0) = F (x(x0; y0); y(x0; y0)) = 0. ® ¯®±ª®«¼ª³ ª¢ ¤°¨ª  ±³¹¥±²¢¥­­ ¿, ²® ®­¨ ®²«¨· ¾²±¿ «¨¸¼ ­  ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, F (x0; y0) = 0 | ª ­®­¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¨ ¤«¿ ¢²®°®© ª¢ ¤°¨ª¨. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ¤®¡ ¢¨²¼ ³±«®¢¨¥ ±¨«¼­®© ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨, ²® ®² ±³¹¥±²¢¥­­®±²¨ ¢ ¯®±«¥¤­¥¬ ° ±±³¦¤¥­¨¨ ¬®¦­® ®²ª § ²¼±¿. 2 1

2

2

1

‹¥¬¬  15.4.

„«¿ «¾¡®© ª¢ ¤°¨ª¨ ±³¹¥±²¢³¥²  ´´¨­­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ², ¢

ª®²®°®© ®­  ¨¬¥¥² ®¤­® ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ³° ¢­¥­¨©: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

x x x x x y y y y

2 2 2 2 2

2 2 2 2

+ y = 1, ½««¨¯±; + y = ,1, ¬­¨¬»© ½««¨¯±; + y = 0, ¯ °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¬­¨¬»µ ¯°¿¬»µ; , y = 1, £¨¯¥°¡®« ; , y = 0, ¯ °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ; , 2x = 0, ¯ ° ¡®« ; , 1 = 0, ¯ °  ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ; + 1 = 0, ¯ °  ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ; = 0, ¯ °  ±®¢¯¤ ¾¹¨µ ¯°¿¬»µ. 2 2 2

2 2

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¥¬ ª ­®­¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¨ ° ±²¿£¨¢ ¥¬ ®±¨. ’¥®°¥¬  15.5.

2

„¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ±¨«¼­®  ´´¨­­® ½ª¢¨¢ «¥­²­» ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®-

£¤ , ª®£¤  ®­¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ­ §¢ ­¨¿.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® «¥¬¬¥,  ­ «®£¨·­® ²¥®°¥¬¥ ® ¬¥²°¨·¥±ª®© ª« ±±¨´¨ª ¶¨¨,

¯®«³· ¥¬, ·²® ª¢ ¤°¨ª¨ ®¤­®£® ­ §¢ ­¨¿  ´´¨­­® ½ª¢¨¢ «¥­²­». Ž¡° ²­®, ¤®ª ¦¥¬, ·²® ª¢ ¤°¨ª¨ ± ° §«¨·­»¬¨ ­ §¢ ­¨¿¬¨  ´´¨­­® ­¥½ª¢¨¢ «¥­²­». “ ƒ ­¨ª ª¨¥ ²°¨ ²®·ª¨ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ®±² «¼­»µ ª¢ ¤°¨ª. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨  ´´¨­­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿µ ±®µ° ­¿¥²±¿ ³±«®¢¨¥ ·¨±«  ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¨ ¤¥«¥­¨¿ ¢ ¤ ­­®¬ ®²­®¸¥­¨¨, ²® ¶¥­²° ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ¶¥­²°,    ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ | ¢  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥. ’ ª ª ª ³ ¯ ° ¡®«» ­¥² ¶¥­²° ,   ³ ½««¨¯±  ¨ £¨¯¥°¡®«» | ¥±²¼, ¯°¨·¥¬ ³ ½««¨¯±  ­¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©,   ³ £¨¯¥°¡®«» | ¥±²¼, ²® ½««¨¯±, £¨¯¥°¡®«  ¨ ¯ ° ¡®«   ´´¨­­® ­¥½ª¢¨¢ «¥­²­». 90


‘³¹¥±²¢¥­­»¥ ° ±¯ ¤ ¾¹¬¥±¿ ª°¨¢»¥ ° §«¨· ¾²±¿ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨ (² ª ª ª ²³² ±¨«¼­ ¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼ ° ¢­®±¨«¼­  ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨).  ª®­¥¶, ³ ¬­¨¬®£® ½««¨¯±  ­¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©,   ³ ¯ °» ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ | ¥±²¼. 2

‘«¥¤±²¢¨¥ 15.6.

„¢¥

±³¹¥±²¢¥­­»¥

ª¢ ¤°¨ª¨

 ´´¨­­®

½ª¢¨¢ «¥­²­»

²®£¤ 

¨

²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ­ §¢ ­¨¿.

„«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­ §¢ ­¨¿ (²¨¯ ) ª¢ ¤°¨ª¨ ¯°¨¬¥­¿¾² ¬¥²®¤ ‹ £° ­¦  ¢»¤¥«¥­¨¿ ¯®«­»µ ª¢ ¤° ²®¢.  ¯°¨¬¥°, ° ±±¬®²°¨¬ ª°¨¢³¾

x , 4xy + 6y + 2x + 4y , 10 = 0; (x , 2y + 1) , 4y + 4y , 1 + 6y + 4y , 10 = 0; (x , 2y + 1) + 2y + 8y , 11 = 0; p p (x , 2y + 1) + ( 2y + 2 2) , 8 , 11 = 0; p p! ! x ,p2y + 1 + 2yp+ 2 2 , 1 = 0; 19 19 (x0) + (y0) , 1 = 0; ½««¨¯±. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥£¤  ¨¬¥¥¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ± ²°¥³£®«¼­®© ¬ ²°¨¶¥©, ². ¥. ­¥¢»°®¦¤¥­­®¥. 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

16. ®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª 

®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  § ¤ ¾²±¿ ¢ ­¥ª®²®°®©  ´´¨­­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² ³° ¢­¥­¨¥¬

F (x; y; z) = a| x + a y + a z + {z 2a xy + 2a xz + 2a yz} + q(x; y; z) ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼ + 2| a x + 2a{z y + 2a z} +a = 0: (19) l(x; y; z) ®¤­®°®¤­ ¿ «¨­¥©­ ¿ · ±²¼ °¨ ½²®¬ ²°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼ ¡»«  ®²«¨·­  ®² ­³«¿. …±«¨ ¢¢¥±²¨ ®¡®§­ · ¥­¨¿ 0a a a a 1 0 1 0 1 a a a x B C a a a a C B C B Q := B a a a ; A := B C ; L := ( a ; a ; a ) ; X := @ A @ y CA ; @ A a a a a a a a z a a a a 11

2

22

2

1

11

12

13

12

22

23

13

23

33

33

2

12

2

3

23

0

11

12

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1

12

22

23

2

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23

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3

1

2

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0

91

13

1

2

3


²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¬¥² ¢¨¤

0x1 B y CC X T QX + LX + a = (x; y; z; 1)A B B@ z CA = 0: (20) 1 Š ª ¨ ° ­¼¸¥ ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ª¢ ¤°¨ª®© ¬­®£®·«¥­ ¢²®°®© ±²¥¯¥­¨ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ³¬­®¦¥­¨¿ ­  ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼. ®ª  ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®³£®«¼­®©. 0

’¥®°¥¬  16.1 (¨§ ª³°±  «¨­¥©­®©  «£¥¡°»).

³±²¼

±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­  ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼

¢

­¥ª®²®°®©

q(x; y; z).

¯°¿¬®³£®«¼­®©

’®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ¤°³£ ¿

¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ± ²¥¬ ¦¥ ­ · «®¬, ¢ ª®²®°®© ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼ ¯°¨¬¥² ¤¨ £®­ «¼­»© ¢¨¤

q0(x0; y0; z0) =  (x0) +  (y0) +  (z0) ; 2

1

£¤¥

 ; ; 1

2

3 | ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿

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2

2

Q, ². ¥.

2

3

ª®°­¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®-

Q() = det (Q , E ) = 0; e0 ; e0 ; e0 ¿¢«¿¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨

  ­®¢»¥ ¡ §¨±­»¥ ¢¥ª²®° 

1

2

3

±®¡±²¢¥­­»¬¨

¢¥ª²®° ¬¨. ‚ · ±²­®±²¨, ¢±¥ ±®¡±²¢¥­­»¥ §­ ·¥­¨¿ ¢¥¹¥±²¢¥­»,   ±®¡±²¢¥­­»¥ ¢¥ª²®° , ®²¢¥· ¾¹¨¥ ° §«¨·­»¬ ±®¡±²¢¥­­»¬ §­ ·¥­¨¿¬, ®°²®£®­ «¼­».

‹¥¬¬  16.2.

„«¿

«¾¡®£®

¬­®£®·«¥­ 

¢²®°®©

±²¥¯¥­¨

¢

¯°®±²° ­±²¢¥

±³¹¥-

±²¢³¥² ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ², ¢ ª®²®°®© ®­ ¯°¨­¨¬ ¥² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¯¿²¨ ¢¨¤®¢:

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

F = x F = x F = x F = x F = x 1 1 1 1

1

2 2 2 2

2

+  y +  z +  (   6= 0); +  y + 2b z (  b 6= 0); + y + (  6= 0); + 2c y ( c 6= 0); + ( 6= 0): 2 2 2

2

3

2

2

1

3

1

2

1

2

2

3

2 3

2

1 2

1

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ±¨«³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬» ¬®¦¥¬ ­ ©²¨ ² ª³¾ ¯°¿¬®³£®«¼-

­³¾ ±¨±²¥¬³, ¢ ª®²®°®© ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ · ±²¼ ¤¨ £®­ «¼­ , ². ¥.

F =  x +  y +  z + 2b x + 2b y + 2b z + b = 0: 1

2

2

2

3

2

1

 ±±¬®²°¨¬ ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ ±«³· ¨. 92

2

3

0


(i) °¨    = 6 0 ¨¬¥¥¬ ! ! ! ! b b ( b ) ( b ) ( b ) b F =  x+  + y+  + x+  + b ,  ,  ,  = 1

2

3

2

1

1

1

1

2

2

3

2

2

3

0

3

2

1

2

2

1

3

2

2

3

=  (x0) +  (y0) +  (z0) + : (ii) °¨  = 0 ¨   6= 0 ¨¬¥¥¬ ! ! ! b b ( b ) ( b ) F =  x +  +  y +  + 2b z + b ,  ,  =    0 0 =  (x ) +  (y ) + 2b z +  =  x +  y + 2b z + 2b =  x +  y + 2b z0: (iii) °¨  = = 0 ¨   6= 0 ¨¬¥¥¬ ! ! ! b ( b ) ( b ) b F = x+  + y+  + b ,  ,  = 2

1

3

1

2

1

2

2

3

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2

2

2

1

0

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2

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1

2

1

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3

2

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3

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2

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2

2

3

3

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2

2

1

1

2

2

2

2

1

0

2

1

2

2

=  (x0) +  (y0) + : (iv) ³±²¼  =  = 0 ,  6= 0 ¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ b ¨ b ­¥ ° ¢¥­ ­³«¾. ’®£¤  ¨¬¥¥¬ ! ! b ( b ) F =  x +  + 2b y + 2b z + b ,  =  (x0) + 2c y0; £¤¥ q b 0 c = (b ) + (b ) x = x+  ; !! 1 1 ( b ) 0 y = q b y+b z+ 2 b ,  (b ) + (b ) z0 = q 1 (,b y + b z) : (b ) + (b ) 2

1

3

2

2

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1

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2

2

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3

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2

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1

2

’ ª ¿ \­®°¬¨°®¢ª " ´³­ª¶¨© ¯¥°¥µ®¤  £ ° ­²¨°³¥² ®°²®£®­ «¼­®±²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¬ ²°¨¶» ¨, ²¥¬ ± ¬»¬, ®°²®£®­ «¼­®±²¼ § ¬¥­». …±«¨ ¦¥ b = b = 0, ²® ¬» ±° §³ ¨¬¥¥¬ ¢»° ¦¥­¨¥ ª®­¥·­®£® ¢¨¤ . (v) ³±²¼  =  = b = b = 0 ¨  6= 0. ’®£¤  ¨¬¥¥¬ ! ! ( b ) b F =  x +  + b ,  =  (x0) + : 2

3

3

2

2

1

‹¥¬¬  ¤®ª § ­ .

3

1

1

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0

2 93

1

1

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1

2


’¥®°¥¬  16.3.

„«¿ «¾¡®© ª¢ ¤°¨ª¨ ±³¹±²¢³¥² ¯°¿¬®³£®«¼­ ¿ ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨-

­ ², ¢ ª®²®°®© ®­  ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ 17 ¢¨¤®¢:

1) xa + yb + zc = 1 (a  b  c > 0) (½««¨¯±®¨¤); 2) xa + yb + zc = ,1 (a  b  c > 0) (¬­¨¬»© ½««¨¯±®¨¤); 3) xa + yb , zc = 1 (a  b > 0) (®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤); 4) , xa , yb + zc = 1 (a  b > 0) (¤¢³¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤); 5) xa + yb , zc = 0 (a  b > 0) (ª®­³± (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª )); 6) xa + yb + zc = 0 (a  b > 0) (¬­¨¬»© ª®­³± (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª )); 7) xp + yq = 2z (p  q > 0) (½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤); 8) xp , yq = 2z (p  q > 0) (£¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤); 9) xa + yb = 1 (a  b > 0) (½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°); 10) xa + yb = ,1 (a  b > 0) (¬­¨¬»© ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°); 11) xa + yb = 0 (a  b > 0) (¤¢¥ ¬­¨¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨); 12) x , y = 1 (a  b > 0) (£¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°); a b x 13) a , yb = 0 (a  b > 0) (¤¢¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯«®±ª®±²¨); 14) y = 2px (p > 0) (¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤°); 15) y = a (a > 0) (¤¢¥ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯«®±ª®±²¨); 16) y = ,a (a > 0) (¤¢¥ ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯«®±ª®±²¨); 17) y = 0 (¤¢¥ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¨): „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘­ · «  ¯°¨¬¥­¿¥¬ «¥¬¬³,   ¯®²®¬ ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨§ ²¨¯®¢ (i){(v) ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¢±¥ ±«³· ¨.  ¯°¨¬¥°, ¢®§¼¬¥¬ (i). ‚®§¬®¦­» ±«³· ¨: …±«¨ ¢±¥ i ®¤­®£® §­ ª ,    | ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®£®, ²® ¤¥«¥­¨¥¬ ­  ,t ¨ ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 1) (½««¨¯±®¨¤). …±«¨ ¢±¥ i ¨  ®¤­®£® §­ ª , ²® ¤¥«¥­¨¥¬ ­  t ¨ ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 2) (¬­¨¬»© ½««¨¯±®¨¤). …±«¨ ¢±¥ i ®¤­®£® §­ ª ,    = 0, ²® ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 6) (¬­¨¬»© ª®­³±). …±«¨ i ° §­»µ §­ ª®¢,    = 0, ²® ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 5) (ª®­³±). …±«¨ i ° §­»µ §­ ª®¢, ¯°¨·¥¬ ³ ®¤­®£® ²®² ¦¥ §­ ª, ·²® ¨ ³  , ²® ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ¨ ¤¥«¥­¨¥¬ ­  ,t ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 3) (®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤). 2

2

2

2 2

2 2

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2 2

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2 2

2

2

2

2

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2

2

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2 2

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2

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2

2

2

2

94


…±«¨ i ° §­»µ §­ ª®¢, ¯°¨·¥¬ ³ ¤¢³µ ²®² ¦¥ §­ ª, ·²® ¨ ³  , ²® ¯¥°¥¬¥­®© ®±¥© ¨ ¤¥«¥­¨¥¬ ­  ,t ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ 4) (®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±«³· © (i) ¤ ¥² 1){6). €­ «®£¨·­® ± ¤°³£¨¬¨: (i) 1, 2, 3, 4, 5, 6 (ii) 7, 8 (iii) 9, 10, 11, 12, 13 (iv) 14 (v) 15, 16, 17

2

’¥®°¥¬  16.4. ª®®°¤¨­ ²,

)

Š ­®­¨·¥±ª®¥

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„®ª § ²¥«¼±²¢®. ’ ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ±«³· ¥ ª°¨¢»µ, ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ª®½´´¨¶¨-

¥­²» (¢ · ±²­®±²¨, ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼  ¨ ±«¥¤ S ) ¨ ª®°­¨ i µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®£® ¬­®£®·«¥­  ¬ ²°¨¶» Q ¿¢«¿¾²±¿ ®°²®£®­ «¼­»¬¨ ¨­¢ °¨ ­² ¬¨,   ² ª¦¥ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¼  ¬ ²°¨¶» A. ’ ª¦¥ ¨­¢ °¨ ­²­» ° ­£¨ r ¨ R ¬ ²°¨¶ Q ¨ A. ’®£¤  ¯®¢¥°µ­®±²¼ ®¤­®§­ ·­® ®²­®±¨²±¿ ª ®¤­®¬³ ¨§ ²¨¯®¢ (i){(v), ² ª ª ª (i) r = 3; R = 3 ¨«¨ R = 4 (ii) r = 2, R = 4 (iii) r = 2, R = 2 ¨«¨ R = 3 (iv) r = 1, R = 3 (v) r = 1, R = 1 ¨«¨ R = 2 ‚­³²°¨ ²¨¯  (i) i | ¨­¢ °¨ ­²»,    = =. ‚­³²°¨ ²¨¯  (ii)  ;  | ¨­¢ °¨ ­²»,   (b ) = ,  . Ž±² «¼­»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨, ¿¢«¿¿±¼ ¶¨«¨­¤°¨·¥±ª¨¬¨, ¨¬¥¾² ª ­®­¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¨¥ z. „®¯³±²¨¬, ¨¬¥¥²±¿ § ¬¥­  ¯°¿¬®³£®«¼­»µ ª®®°¤¨­ ², ¯¥°¥¢®¤¿¹ ¿ ®¤­® ¨§ ² ª¨µ ³° ¢­¥­¨© ¢ ¤°³£®¥. ’®£¤  x ¨ y ­¥ § ¢¨±¿² ®² z0 (¨ ¯®½²®¬³ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ±¢®¤¨²±¿ ª ¤®ª § ­­®¬³ ¤¢³¬¥°­®¬³ ±«³· ¾). ®ª ¦¥¬ ½²®, ­ ¯°¨¬¥°, ¤«¿ ³° ¢­¥­¨¿ ¢¨¤  x + y +  = 0. ³±²¼ x = c x0 + c y0 + c z0 + c ¨ y = c x0 + c y0 + c z0 + c ,   °¥§³«¼²¨°³¾¹¥¥ ¢»° ¦¥­¨¥ ­¥ § ¢¨±¨² ®² z0. ’®£¤  c c = ,c c c c = ,c c c c = ,c c c c = ,c c ; ¢ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤­® ¨§ c ¨ c ®²«¨·­® ®² 0, ²® ¤¢¥ ¯¥°¢»¥ ±²°®ª¨ ¬ ²°¨¶» ¯¥°¥µ®¤  «¨­¥©­® § ¢¨±¨¬» ¨ ¯®«³· ¥¬ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥. “° ¢­¥­¨¿ ° ±¯ ¤ ¾¹¨µ±¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥© (11, 13, 15, 16, 17) ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ®¤­®§­ ·­® ² ª¦¥ ¨§ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ±®®¡° ¦¥­¨© (²¥®°¨¿ ¯«®±ª®±²¥©). 2 1

3

1

2

2

12

2

2

22

32

2

11

2

11 31

12 32

21 31

22 32

31 31

32 32

1 31

2 32

31

32

95

21

31

1


16.1. Ž±­®¢­»¥ ¢¨¤» ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¨ ¨µ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ±¢®©±²¢  1) ½««¨¯±®¨¤. xa + yb + zc = 1 2

2

2

2

2

2

z

6

,a ,

, , , ,

, ,

y

,6  , ,

-

a

x

®±ª®«¼ª³ jxj  a, jyj  b, jzj  c, ²® ½««¨¯±®¨¤ ®£° ­¨·¥­.

’¥®°¥¬  16.5.

«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¥±²¼ ª°¨¢ ¿ ¯®-

°¿¤ª  ­¥ ¢»¸¥ ¤¢³µ.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚»¡¥°¥¬ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¢ ª®²®°®© ³° ¢­¥­¨¥ ¯«®±ª®±²¨: 2

z = 0. ’®£¤  ³° ¢­¥­¨¥ ±¥·¥­¨¿ G(x; y) := F (x; y; 0) = 0.

‘«¥¤±²¢¨¥ 16.6. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ²® ¥¤¨­±²¢¥­­»¥ ­¥¯³±²»¥ ®£° ­¨·¥­­»¥ ª°¨¢»¥ 0, 1 ¨«¨ 2-£® ¥¯³±²®¥ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ ½««¨¯±®¨¤  | ½««¨¯± ¨«¨ ²®·ª .

¯®°¿¤ª .

2

3) ®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ (°¨±. 5 a) xa + yb , zc = 1 2

2

2

2 2

2 2

2

2

2

‚ ±¥·¥­¨¨ ¯«®±ª®±²¼¾ z = 0 ¯®«³· ¥²±¿ ½««¨¯± xb + yb = 1, ­ §»¢ ¥¬»© £®°«®¢»¬. Ž¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ § ¬¥· ²¥«¼­»¬ ±¢®©±²¢®¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.7.  §®¢¥¬ ¯°¿¬®«¨­¥©­®© ®¡° §³¾¹¥© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¯°¿¬³¾, ¶¥«¨ª®¬ ¢ ­¥© ±®¤¥°¦ ¹³¾±¿. Š ª ¯° ¢¨«®, ½²® ¯®­¿²¨¥ ­¥ ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ª ° ±¯ ¤ ¾¹¨¬±¿ ¯®¢¥°µ­®±²¿¬.

’¥®°¥¬  16.8. ®¡° §³¾¹¨µ.

Ž¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨¬¥¥² ¤¢  ±¥¬¥©±²¢  ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ

—¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³ ¯°®µ®¤¨² °®¢­® ®¤­  ¯°¿¬ ¿ ª ¦¤®£® ±¥¬¥©-

±²¢ , ¨ ½²¨ ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ °®¢­® ¯® ½²®© ²®·ª¥. „¢¥ ° §«¨·­»¥ ¯°¿¬»¥ ¨§ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢  ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿,   ¨§ ° §­»µ | ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¨«¨ ¯ ° ««¥«¼­».

96


z

z

6

6

, , , , @ , : , ,@   @, , , , ,@ , , @ , @ , @ , @ @ , @

y

@ @

 , , ,

,

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, ,

x

y

-

x

 )

¡) ¨±. 5.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³ª § ­­»¥ ±¢®©±²¢  ¿¢«¿¾²±¿  ´´¨­­»¬¨,   ­¥ ¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨, ¯®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ ²¥®°¥¬³ ¤«¿ £¨¯¥°¡®«®¨¤  x +y ,z = 2

2

2

1. ¥°¥¯¨¸¥¬ ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥

x ,z = 1,y ; 2

2

(x , z)(x + z) = (1 , y)(1 + y):

2

Ž²±¾¤  ±° §³ ¢¨¤¨¬ ¤¢  ±¥¬¥©±²¢  ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ: ( (  ( x , z ) =  (1 , y ) (x , z) = (1 + y) ; I: II: (x + z) = (1 + y) (x + z) = (1 , y) £¤¥  ¨  | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« , ­¥ ®¡° ¹ ¾¹¨¥±¿ ¢ ­³«¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­®. ’®£¤ 

 

= , ,  < 0;

 ,

=  +  > 0;

 ,

 

2

2

2

2

² ª ·²® ¯ °» ¯«®±ª®±²¥© ¢ ¯¥°¥±¥·¥­¨¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¤ ¾² ¯°¿¬³¾. ³±²¼ ²®·ª  (x ; y ; z ) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² £¨¯¥°¡®«®¨¤³. ’®£¤ , ¢§¿¢ ¤«¿ I  = x + z ¨  = 1 + y ,   ¤«¿ II |  = x + z ¨  = 1 , y , ¯®«³·¨¬ ¯°¿¬»¥, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ ¤ ­­³¾ ²®·ª³. ®±ª®«¼ª³ ®¤­® ¨§ ·¨±¥« 1 , y ¨«¨ 1 + y ®²«¨·­® ®² 0, ²® ¯ °  (; ) ®¯°¥¤¥«¥­  ¯® ²®·ª¥ (x ; y ; z ) ®¤­®§­ ·­® (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¬­®¦¨²¥«¿) ¤«¿ ª ¦¤®£® ±¥¬¥©±²¢ . ˆ² ª, ·¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³ ¯°®µ®¤¨² °®¢­® ®¤­  ¯°¿¬ ¿ ª ¦¤®£® ±¥¬¥©±²¢ . ®ª ¦¥¬, ·²® ¤°³£¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ­¥². „®¯³±²¨¬, ·²® ®¡° §³¾¹ ¿ ¯ ° ««¥«¼­  ¯«®±ª®±²¨ z = 0, ². ¥. ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ z = z . ’®£¤  ®­  ¤®«¦­  ±®¤¥°¦ ²¼±¿ ¢ ®ª°³¦­®±²¨ x + y = 1 + z , ·²® ­¥¢®§¬®¦­®. ˆ² ª, ¢±¿ª ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ¯¥°¥±¥ª ¥² z = 0,   §­ ·¨², ¨ £®°«®¢®© ½««¨¯± (®ª°³¦­®±²¼). ‚ ±¨«³ ¢° ¹ ²¥«¼­®© 0

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97

0


±¨¬¬¥²°¨¨ ¤®±² ²®·­® ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ®¤­³ ¥£® ²®·ª³, ­ ¯°¨¬¥°, (1; 0; 0). ³±²¼ ·¥°¥§ ­¥¥ ¯°®µ®¤¨² ¯°¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ± ­¥ª®²®°»¬ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨¬ ¢¥ª²®°®¬ ( ; ; ): 8 > < x = 1 + t y = t > : z = t ² ª ·²® ³° ¢­¥­¨¥ (°¥§³«¼² ² ¯®¤±² ­®¢ª¨ ¢ ³° ¢­¥­¨¥ £¨¯¥°¡®«®¨¤ ) ( + , )t + 2 t = 0 ¤®«¦­® ¨¬¥²¼ °¥¸¥­¨¥¬ «¾¡®¥ t, ®²ª³¤  ( ( + , = 0 = 0 2 = 0

, = 0 2

2

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2

2

2

2

2

2

‡­ ·¨², ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° (± ²®·­®±²¼¾ ¤® ­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿) ° ¢¥­ (0; 1; 1), ². ¥. ¨¬¥¾²±¿ ¤¢¥ ¢®§¬®¦­®±²¨,   ¨µ ¬» ³¦¥ ­ ¸«¨ | ½²® ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¢®£® ±¥¬¥©±²¢  ¨ ¯°¿¬ ¿ ¢²®°®£®. ˆ² ª, ¤°³£¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ­¥². ˆ§  ­ «®£¨·­®£® ±®®¡° ¦¥­¨¿ ¯®«³· ¥¬, ·²® ¯°¿¬»¥ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢  ­¥ ¬®£³² ¯¥°¥±¥ª ²¼±¿. ³±²¼ ®­¨ ¯ ° ««¥«¼­» ®¤­®¬³ ¢¥ª²®°³ ( ; ; ). ‡­ ·¨², ®­ ¯ ° ««¥«¥­ ª ¦¤®© ¨§ 4-µ ¯«®±ª®±²¥©, ´¨£³°¨°³¾¹¨µ ¢ § ¯¨±¨ ¤¢³µ ¯°¿¬»µ ±¥¬¥©±²¢ . ’®£¤  ®­ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥­³«¥¢»¬ °¥¸¥­¨¥¬ ±¨±²¥¬» 4-µ «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨© ± ¬ ²°¨¶¥© 0   , 1 BB  ,  CC B@ 0 0 ,0 CA 0 ,0 0 …±«¨  = 0 = 0, ²® ¯°¿¬»¥ ±®¢¯ ¤ ¾². …±«¨  = 0 ¨ 0 6= 0, ². ¥. ¬®¦­® ±·¨² ²¼  = 0 = 1, ²® ° ­£ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ²°¥µ (¯®±ª®«¼ª³ ¤®«¦­® ¡»²¼ 0 = u ¨ 0 = ,u). €­ «®£¨·­® ¢ ®¡° ²­®© ±¨²³ ¶¨¨. ‡­ ·¨², ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²®  = 0 = 1,    ¨ 0 | ­¥­³«¥¢»¥. ’®£¤  ¤«¿ ³±«®¢¨¿ rk < 3 ­¥®¡µ®¤¨¬®

  ,

 1 ,

 , 

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1 , 1

= , + 1 + 0 ,  , 1 + 0 = 2(0 , ) = 0;

0 ,0 0 1 ,0 1

2

2

·²® ¢ ¤ ­­®© ±¨²³ ¶¨¨ ¢®§¬®¦­® ²®«¼ª® ¥±«¨  = 0 ¨ ¯°¿¬»¥ ±®¢¯ ¤ ¾². ˆ² ª, ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢  ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿. ‘¥¬¥©±²¢  ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿, ² ª ª ª ®²®¡° ¦¥­¨¥ (x; y; z) 7! (,x; ,y; ,z) ¯¥°¥¢®¤¨² ¯°¿¬»¥ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢  ¢ ¯°¿¬»¥ ¤°³£®£®, ¯ ° ««¥«¼­»¥ ±¢®¨¬ ¯°®®¡° § ¬. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ¡» ¯°¿¬ ¿ ¯°¨­ ¤«¥¦ «  ®¡®¨¬ ±¥¬¥©²¢ ¬, ²® ¥¥ ®¡° § | ² ª¦¥, ¨ ²¥¬ ± ¬»¬, ¬» ¨¬¥«¨ ¡» ¤¢¥ ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¯°¿¬»¥ ¨§ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢ . ’¥¯¥°¼ ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ¯°¿¬»¥ l ¨ l ¨§ ° §­»µ ±¥¬¥©±²¢. ³±²¼  | ¯«®±ª®±²¼, ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ l ¨ ­¥ª®²®°³¾ ²®·ª³ P 2 l , P 62 l . ®½²®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ 1

2

1

2

98

1


¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ £¨¯¥°¡®«®¨¤ , ¿¢«¿¿±¼ ¯® ²¥®°¥¬¥ 16.5 ª°¨¢®© ¯®°¿¤ª  ­¥ ±² °¸¥ 2, ¤®«¦­® ¡»²¼ ¯ °®© ¯ ° ««¥«¼­»µ ¨«¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯°¿¬»µ. Ž¤­  ¨§ ­¨µ | l ,   ¤°³£ ¿ | ­¥ª®²®° ¿ ¯°¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ l 3 P . Ž­  ­¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ¨ ­¥ ±ª°¥¹¨¢ ¥²±¿ ± l , ¯®½²®¬³, ¯® ¤®ª § ­­®¬³, ­¥ ¬®¦¥² ¯°¨­ ¤«¥¦ ²¼ ¯¥°¢®¬³ ±¥¬¥©±²¢³,   §­ ·¨², ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¢²®°®¬³, ¨ ¢ ±¨«³ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¯°¿¬®© ¢²®°®£® ±¥¬¥©±²¢ , ¯°®µ®¤¿¹¥© ·¥°¥§ P , ±®¢¯ ¤ ¥² ± l . 2 4) ¤¢³¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ (°¨±. 5 ¡) , xa , yb + zc = 1 «®±ª®±²¼ z = 0 ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¥² £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¨ ° §¤¥«¿¥² ¥£® ­  ¤¢¥ · ±²¨, ­ §»¢ ¥¬»¥ ¯®«®±²¿¬¨ . 1

1

2

2

2

2

2

2

2

’¥®°¥¬  16.9. „®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ­¥ ¬®¦¥² ¯¥°¥±¥ª ²¼ ¯«®±ª®±²¼ z = „¢³¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ.

0. ‡­ ·¨², ®­  «¥¦¨² ¢ ¯«®±ª®±²¨ z = z . ® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ x + y = z ,1 a b c ®£° ­¨·¥­® (½««¨¯±, ²®·ª  ¨«¨ ;) ¨ ­¥ ¬®¦¥² ±®¤¥°¦ ²¼ ¯°¿¬³¾. 2 x y z 5) ª®­³± ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  (°¨±. 6  )) a + b , c = 0 z 6 0

@ @

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, , , , , : 

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¨±. 6. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ³° ¢­¥­¨¥ ®¤­®°®¤­® (¢²®°®£® ¯®°¿¤ª ): F (x; y; z) = ; 2 F (x; y; z), ¨ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, «¾¡ ¿ ¯°¿¬ ¿, ±®¤¥°¦ ¹ ¿ O ¨ ­¥ª®²®°³¾ ¤°³£³¾ ²®·ª³ ª®­³± , ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¿¬®«¨­¥©­®© ®¡° §³¾¹¥©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.10. ³±²¼ , | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ª°¨¢ ¿, «¥¦ ¹ ¿ ¢ ¯«®±ª®±²¨ ,   ²®·ª  O ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² . Š®­¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¼¾ ­ ¤ , ± ¶¥­²°®¬ ¢ O ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ¢¨¤  OX , X 2 , (°¨±. 6 ¡)). °¿¬»¥ OX ­ §»¢ ¾²±¿ ®¡° §³¾¹¨¬¨,   ª°¨¢ ¿ , | ­ ¯° ¢«¿¾¹¥© ª®­¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¨. 99


’¥®°¥¬  16.11.

Š®­¨·¥±ª ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ­ ¤ ½««¨¯±®¬ ¿¢«¿¥²±¿ ª®­³±®¬ ¢²®°®£®

¯®°¿¤ª .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚»¡¥°¥¬ ² ª³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² ± ¶¥­²°®¬ ¢ O, ·²® ¯«®±ª®±²¼  § ¤ ¥²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ z = h = 6 0 (°¨±. 6 ¢)). …±«¨ ¬» ¢»¡¥°¥¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ®±¥©

Ox ¨ Oy ¯ ° ««¥«¼­® £« ¢­»¬ ®±¿¬ ½««¨¯±  ,, ²® ³° ¢­¥­¨¥ ½««¨¯±  ¢ ¯«®±ª®±²¨  ¯°¨¬¥² ¢¨¤: F (x; y) = a (x , x ) + a (y , y ) , 1 = 0; £¤¥ 0 < a  a . ’®£¤  ³° ¢­¥­¨¥ ª®­¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ­ ¤ ­¨¬:   (x; y; z) = z F xz h; yz h = 0: „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ²®·ª   x (yx; y; z), z 6= 0, ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¯®¢¥°µ­®±²¨  x ²®£¤   ¨ ²®«¼ª® ²®y £¤ , ª®£¤  ²®·ª  z h; z h; h ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª°¨¢®©, ². ¥. F z h; z h = 0. ® ¯°¨ ±¤¥« ­­®¬ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨ z 6= 0 ¤ ­­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ° ¢­®±¨«¼­® ¢»¢®¤¨¬®¬³. Ž±² «®±¼ ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ z = 0 ¢»¢®¤¨¬®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ¨ ¥£® ¬­®¦¥±²¢® °¥¸¥­¨© ±®¢¯ ¤ ¥² ± O. Ž¯°¥¤¥«¥­­®±²¼ ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ¢® ¢²®°®¬ ±®¬­®¦¨²¥«¥ ±²¥¯¥­¼ 1=z ° ¢­  2 ¨ ¯°¨ ³¬­®¦¥­¨¨ ¯°®¯ ¤ ¥². ®±«¥ ³¬­®¦¥­¨¿ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¥¢° ¹ ¥²±¿ (¯°¨ z = 0) ¢ h q(x; y) = 0. ®±ª®«¼ª³  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨© ³ ½««¨¯±  ­¥², ²® x = y = 0. ˆ² ª, y , y  ! x , x  (x; y; z) = z a z h +a z h , 1 = 0: ®±«¥ § ¬¥­» x0 = x , x , y0 = y , y , z0 = z ¯®«³· ¥¬ (x0; y0; z0) = a h (x0) + a h (y0) , (z0) = 0; ². ¥. ª®­³±. 2 ‡ ¤ ·  16. —²® ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±®¡®© ª®­¨·¥±ª¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ­ ¤ £¨¯¥°¡®«®© ¨ ¯ ° ¡®«®© ? Ž²¢¥²: ®¡»·­»© ª®­³± ¡¥§ ¤¢³µ ¨«¨ ®¤­®© ¯°¿¬®©. 7) ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ (°¨±. 7  )) xp + yq = 2z 11

11

0

2

22

0

2

22

2

2

2

2

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11

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0

22

0

11

2

2

22

2

2

2

2

2

’¥®°¥¬  16.12. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „®±«®¢­® ª ª ± ¤¢³¯®«®±²­»¬ £¨¯¥°¡®«®¨¤®¬. 8) £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ (°¨±. 7 ¡)) xp , yq = 2z Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.13. ¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®° ( ; ; ) § ¤ ¥²

««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ.

2

2

2

 ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° -

F = 0, ¥±«¨ ®­ ®¡³«¿¥² ª¢ ¤° ²¨·­³¾ ´®°¬³ ³° ¢­¥­¨¿ q( ; ; ) = a + a + a + 2a + 2a + 2a = 0:

¢«¥­¨¥ ¤«¿ ¯®¢¥°µ­®±²¨

11

2

22

2

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2

100

12

13

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z

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6

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y  , ,

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¡) ¨±. 7.

’¥®°¥¬  16.14.

€±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ­¥ § ¢¨±¿² ®² ¢»¡®°  ±¨±²¥¬»

ª®®°¤¨­ ².

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®±«®¢­®, ª ª ¤«¿ ª°¨¢»µ. ’¥®°¥¬  16.15.

2

°¿¬®«¨­¥©­»¥ ®¡° §³¾¹¨¥ «¾¡®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¨¬¥¾²  ±¨¬¯²®-

²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼

8 > < x = x + t y = y + t > : z = z + t | ¯°¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿. ®¤±² ¢¨¢ ¢ ³° ¢­¥­¨¥ F = 0, ¯®«³·¨¬ F t + 2F t + F = 0 ¤«¿ «¾¡®£® t. ‡­ ·¨², F = q( ; ; ) = 0. 2 0

0

0

2

0

’¥®°¥¬  16.16.

2

1

2

ƒ¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ ¨¬¥¥² ¤¢  ±¥¬¥©±²¢  ®¡° §³¾¹¨µ,

¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³. Ž¡° §³¾¹¨¥ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢  ¯®¯ °­® ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿ ¨ ¯ ° ««¥«¼­» ®¤­®© ¯«®±ª®±²¨,   ° §­»µ | ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. €±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ( ; ; ) £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª®£® ¯ ° ¡®«®¨¤  ­ µ®¤¿²±¿ ¨§ ³° ¢­¥­¨¿ p , q = 0, ². ¥. «¥¦ ² ¢ ¯«®±®ª±²¿µ 2

2

 : p p , p q = 0;  : p p + p q = 0: ‘ ³·¥²®¬ ³° ¢­¥­¨¿ ¯ ° ¡®«®¨¤  ! ! x + y = 2z x , y pp pq pp pq 1

1

101


½²® ®§­ · ¥², ·²® ¨¬¥¾²±¿ ¤¢  ±¥¬¥©±²¢  ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ 8 8 <  pxp , pyq = k <  pxp + pyq = k I : : k px + py = 2 z ; II : : k px , py = 2 z : p q p q „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ¬» ¨¬¥¥¬ ®¡° §³¾¹³¾, ¯ ° ««¥«¼­³¾, ±ª ¦¥¬,  , ²® ° ±±²®¿­¨¥ (±® §­ ª®¬) ®² «¾¡®© ¥¥ ²®·ª¨ ¤®  ¯®±²®¿­­®, ². ¥. ± ­¥ª®²®°®© ª®­±² ­²®© k ¬» ¨¬¥¥¬ pxp , pyq = k, ®²ª³¤  ¨§ ³° ¢­¥­¨¿ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¯®«³· ¥¬ ¢²®°®¥ ³° ¢­¥­¨¥ (I). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤°³£¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ­¥². —¥°¥§ ª ¦¤³¾ ²®·ª³ ¯ ° ¡®«®¨¤  ¯°®µ®¤¨² °®¢­® ¯® ®¤­®© ®¡° §³¾¹¥© ª ¦¤®£® ±¥¬¥©±²¢ , ² ª ª ª k ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ®¤­®§­ ·­®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ­¨ª ª ¿ ¢¥°²¨ª «¼­ ¿ ¯°¿¬ ¿ ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¿¬®«¨­¥©­®© ®¡° §³¾¹¥©. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ x = const, y = const, ®²ª³¤  ¨ z = const. „¢  ±¥¬¥©±²¢  ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ®¡¹ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¨¬¥¥² ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ( ; ; ). ’®£¤  ®­ ¤®«¦¥­ ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ®¤­®°®¤­®© · ±²¨ ¯¥°¢»µ ³° ¢­¥­¨© ®¡¥¨µ ±¨±²¥¬: 8

< pp , pq = 0; : p p + p q = 0; ®²ª³¤  = = 0 ¨ ¯°¿¬ ¿ ¢¥°²¨ª «¼­ , ·²® ­¥¢®§¬®¦­®. Ž¡° §³¾¹¨¥ ¨§ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢  ­¥ ¬®£³² ¯¥°¥±¥ª ²¼±¿, ² ª ª ª ½²® ¯°®²¨¢®°¥·¨«® ¡» ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨. Ž­¨ ­¥ ¬®£³² ¡»²¼ ¯ ° ««¥«¼­», ² ª ª ª ¨µ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨¥ p p ¢¥ª²®°  | ( p; q; k) ± ° §«¨·­»¬¨ k. ‡­ ·¨², ®­¨ ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿, ¯°¨·¥¬ (¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾) ¯ ° ««¥«¼­» ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¯«®±ª®±²¨. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ l ¨ l | ®¡° §³¾¹¨¥ ¨§ ° §­»µ ±¥¬¥©±²¢. ®ª ¦¥¬, ·²® ®­¨ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿.  ±±¬®²°¨¬ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ ¯ ° ¡®«®¨¤ , ¯°®µ®¤¿¹¥¥ ·¥°¥§ l ¨ P 2 l , P 62 l . ²® ª°¨¢ ¿, ¯®°¿¤ª  ­¥ ¢»¸¥ 2, §­ ·¨² ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ¤¢³µ ¯°¿¬»µ l ¨ l. °¥¤¯®«®¦¨¬ l 6= l , ¯°¨·¥¬ ®­¨ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ (¢ ²®·ª¥ P ). ‡­ ·¨², l ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¢²®°®¬³ ±¥¬¥©±²¢³, ². ¥. ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¯¥°¢®¬³. ® ²®£¤  ®­  ¤®«¦­  ±ª°¥¹¨¢ ²¼±¿ ± l ¨ ­¥ ¬®¦¥² «¥¦ ²¼ ± ­¥© ¢ ®¤­®© ¯«®±ª®±²¨. ‡­ ·¨², l = l . „®¯³±²¨¬, l kl . ’®£¤  ª®®°¤¨­ ²» ( ; ; ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³° ¢­¥­¨¿¬ p p , p q = 0; p p + p q = 0; ®²ª³¤  = = 0 ¨ ®¡° §³¾¹ ¿ ¢¥°²¨ª «¼­ , ·²® ­¥¢®§¬®¦­®. 2 ‚¥°­¥¬±¿ ª £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¬. ˆµ  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨© ª®­³± ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ x + y , z = 0: (21) a b c ˆ§ ³° ¢­¥­¨¿ ®¤­®¯®«®±²­®£® £¨¯¥°¡®«®¨¤  ¨¬¥¥¬ ¤«¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ z: s z = c xa + yb , 1; 1

1

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

102


¨§ ³° ¢­¥­¨¿ (21) |

s

z = c xa + yb ; ®²ª³¤  c ,! 0 z , z = q x2 y2 q x2 + y2 , 1 + + 2 2 2 2 a b a b €­ «®£¨·­® ¤«¿ ¤¢³¯®«®±²­®£®. 2

2

2

2

2

2

(x + y ! 0): 2

1

°¥¤«®¦¥­¨¥ 16.17.

€±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿

2

( ; ; ) ®¤­®¯®«®±²­®£® £¨-

¯¥°¡®«®¨¤  ±®¢¯ ¤ ¾² ± ­ ¯° ¢«¥­¨¿¬¨ ®¡° §³¾¹¨µ ¥£®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ª®­³±  ¨ ¿¢«¿¾²±¿ °¥¸¥­¨¿¬¨

(21).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©. ’¥®°¥¬  16.18.

2

¨ª ª¨¥ ²°¨ ° §«¨·­»µ ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ ®¤­®¯®«®±²-

­®£® £¨¯¥°¡®«®¨¤  ¨§ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢  ­¥ ¯ ° ««¥«¼­» ®¤­®© ¯«®±ª®±²¨.

‹¾¡»¥

²°¨ ¯®¯ °­® ±ª°¥¹¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¯°¿¬»¥, ­¥ ¯ ° ««¥«¼­»¥ ®¤­®© ¯«®±ª®±²¨, ¿¢«¿¾²±¿ ¯°¿¬®«¨­¥©­»¬¨ ®¡° §³¾¹¨¬¨ ­¥ª®²®°®£® ®¤­®¯®«®±²­®£® £¨¯¥°¡®«®¨¤ .

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ²°¨ ¯°¿¬®«¨­¥©­»µ ®¡° §³¾¹¨µ ¨§ ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢ . „®¯³±²¨¬, ®­¨ ¯ ° ««¥«¼­» ®¤­®© ¯«®±ª®±²¨. ’ ª ª ª ¶¥­²° «¼­®¥ ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ ( ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£®) ª®­³±  ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¨«¨ ®¤­®© ¯°¿¨®©, ²® ¤¢¥ ¨§ ²°¥µ ¯°¿¬»µ ¤®«¦­» ¡»²¼ ¯ ° ««¥«¼­». °®²¨¢®°¥·¨¥.  ±±¬®²°¨¬ ²°¨ ¯®¯ °­® ±ª°¥¹¨¢ ¾¹¨¥±¿ ¯°¿¬»¥ ¨ ­¥ª®²®°³¾  ´´¨­­³¾ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¢ ª®²®°®© ®­¨ ¨¬¥¾² ¢¨¤: ( ( ( x = x x = x y = y l : l : l : y = y z = z z = z 1

1

2

2

1

3

3

2

3

‘«¥¤³¾¹ ¿ ª¢ ¤°¨ª  ±®¤¥°¦¨² ¢±¥ ½²¨ ¯°¿¬»¥: (x , x )(y , y )(z , z ) , (x , x )(y , y )(z , z ) = 0: 1

3

2

2

1

3

²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ª¢ ¤°¨ª , ² ª ª ª ª®½´´¨¶¨¥­² ¯°¨ x ° ¢¥­ ­³«¾,  , ±ª ¦¥¬ ¯°¨ xy ° ¢¥­ ,z +z 6= 0, ² ª ª ª ¯°¿¬»¥ ±ª°¥¹¨¢ ¾²±¿. ˆ§ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¨ ª¢ ¤°¨ª ¨ ¤®ª § ­­»µ ±¢®©±²¢ ±«¥¤³¥², ·²® ½²® | ®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ (³ ¶¨«¨­¤°®¢ ² ª¨µ ®¡° §³¾¹¨µ ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼, ½²® ¬» ¤®ª ¦¥¬ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯°¥¤«®¦¥­¨¨ 16.19). 3

2

2

3

 ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ­¥° ±¯ ¤ ¾¹¨¥±¿ ¶¨«¨­¤°» 9) ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤° xa + yb = 1 12) £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤° xa , yb = 1 14) ¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤° y = 2px 2

2

2

2

2

2

2

2

2

103


°¥¤«®¦¥­¨¥ 16.19.

‚±¥ ¯°¿¬®«¨­¥©­»¥ ®¡° §³¾¹¨¥ ­¥° ±¯ ¤ ¾¹¨µ±¿ ¶¨«¨­¤°®¢

(®¡° §³¾¹¨¥ ¶¨«¨­¤°®¢ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯®  ­ «®£¨¨ ± ª®) ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯ ° ««¥«¼­» ¬¥¦¤³ ±®¡®©. „®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ¯°¿¬®«¨­¥©­³¾ ®¡° §³¾¹³¾ ¨ ±¯°®¥ª²¨°³¥¬ ¥¥ ­  ¯«®±ª®±²¼ z = 0. ’®£¤  °¥§³«¼² ² ¯°®¥ª¶¨¨ ¤®«¦¥­ ¶¥«¨ª®¬ ¯°¨­ ¤«¥¦ ²¼ ­ ¯° ¢«¿¾¹¥© (ª®­¨ª¥), ·²® ¢®§¬®¦­® ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¯°®¥ª¶¨¿ | ²®·ª , ². ¥. ¯°¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿ ¯ ° ««¥«¼­  ®±¨ Oz, ². ¥. ®¡° §³¾¹¨¬. ¿¢«¿¾²±¿ ¨µ ®¡° §³¾¹¨¬¨ ­¨·¥±ª¨¬¨ ¯®¢¥°µ­®±²¿¬¨

2

16.2. Ž¡¹ ¿ ²¥®°¨¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª   ±±¬®²°¥¢ ³° ¢­¥­¨¥ (19), ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§­ ·¥­¨¿ (· ±²­»¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥): Fx = 2(a x + a y + a z + a ); Fy = 2(a x + a y + a z + a ); Fz = 2(a x + a y + a z + a ): ¥°¥±¥·¥­¨¥ ¯°¿¬®© 8 > < x = x + t y = y + t > : z = z + t ± ¤ ­­®© ¯«®±ª®±²¼¾ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ F t + 2F t + F = 0; £¤¥ F = q( ; ; ); 2F = ( Fx + Fy + Fz )j x0;y0 ;z0 ; F = F (x ; y ; z ): 11

12

13

1

12

22

23

2

13

23

33

3

0

0

(22)

0

2

2

1

0

(23)

2 1 0

’¥®°¥¬  16.20.

0

0

)

0

°¿¬ ¿ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¨¬¥¥² ± ¯®¢¥°µ­®±²¼¾

«¨¡® ¤¢¥ ®¡¹¨¥ ²®·ª¨ °¿¬ ¿

(

(¢®§¬®¦­®, ±®¢¯ ¢¸¨¥), «¨¡® ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¯®¢¥°µ­®±²¨.

 ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£®

­ ¯° ¢«¥­¨¿

«¨¡®

«¥¦¨²

­ 

¯®¢¥°µ­®±²¨,

«¨¡®

¨¬¥¥² ± ­¥© ¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ®¡¹³¾ ²®·ª³, «¨¡® ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¥² ¥¥.

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ±±¬®²°¨¬ ³° ¢­¥­¨¥ F t + F t + F = 0, £¤¥ F = q( ; ; ),   ( ; ; ) | ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° l. …±«¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ²® F = q( ; ; ) = 6 0 ¨ ª¢ ¤° ²­®¥ ³° ¢2

2

1

0

2

2

­¥­¨¥ ­¥¢»°®¦¤¥­®. Ž­® ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ 2, 1 ¨«¨ 0 °¥¸¥­¨©. °¨ ½²®¬ 1 °¥¸¥­¨¥, ª®£¤  ¯®«­»© ª¢ ¤° ². Œ» ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ­ · «¼­ ¿ ²®·ª  (x ; y ; z ) «¥¦¨² ­  ª°¨¢®©. ’®£¤  F = 0 ¨ ¢²®° ¿ ²®·ª  ±®¢¯ ¤ ¥² ± ­ · «¼­®©, ¥±«¨ F = 0. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ±ª®«¼ ³£®¤­® ¬ «®¬ ¢®§¬³¹¥­¨¨ (¯®¢®°®²¥) ¢¥ª²®°  ( ; ; ) ¡³¤¥² ³¦¥ F 6= 0, ². ¥. ±¥ª³¹ ¿, ²® ½²® ¤¢¥ ±®¢¯ ¢¸¨¥ ²®·ª¨. 0

0

0

1

1

104

0


…±«¨ ¦¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥, ²® F = 0 ¨ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤ 2F t + F = 0. …±«¨ F 6= 0, ²® ¨¬¥¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿. …±«¨ F = 0,   F 6= 0, ²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¯³±²®. …±«¨ F = F = 0, ²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ l ¨ , ±®¢¯ ¤ ¥² ± l. 2 2

1

0

1

1

0

1

’¥®°¥¬  16.21.

0

‘¥°¥¤¨­» µ®°¤ ¤ ­­®£® ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿

«¥¦ ² ¢ ®¤­®© ¯«®±ª®±²¨

( ; ; )

Fx + Fy + Fz = 0;

(24)

­ §»¢ ¥¬®© ¤¨ ¬¥²° «¼­®© ¯«®±ª®±²¼¾, ±®¯°¿¦¥­­®© ¤ ­­®¬³ ­¥ ±¨¬-

¯²®²¨·¥±ª®¬³ ­ ¯° ¢«¥­¨¾.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ l, § ¤ ­­ ¿ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ (22), ¯¥°¥±¥ª ¥² ¯®¢¥°µ­®±²¼ ¢ ¤¢³µ (¢®§¬®¦­® ±®¢¯ ¢¸¨µ) ²®·ª µ, ¨ (x ; y ; z ) | ±¥°¥¤¨­  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ®²°¥§ª  (µ®°¤»). „«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ t ¨ t , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ²®·ª ¬ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿, ¬» ¨¬¥«¨ ³° ¢­¥­¨¥ (23), ¯°¨·¥¬ ¢ ­ ¸¥¬ ±«³· ¥ F 6= 0. ® ²¥®°¥¬¥ ‚¨¥²  ¤«¿ t = 0, ®²¢¥· ¾¹¥£® (x ; y ), ³±«®¢¨¥ ±¥°¥¤¨­» µ®°¤» ¯°¨¬¥² ¢¨¤ 0 = t = t +2 t = , FF ; F = 0: „®ª ¦¥¬, ·²® ¤ ­­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ § ¤ ¥² ¯«®±ª®±²¼, ². ¥. ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¯¥°¢®© ±²¥¯¥­¨,   ­¥ ­³«¥¢®©. ¥°¥¯¨¸¥¬: (a + a + a )x +(a + a + a )y +(a + a + a )z +(a + a + a ) = 0 …±«¨ 8

8 > > < a + a + a = 0;

< a + a + a = 0;  a + a + a = 0; 

a + a + a = 0; + > > : a + a + a = 0;

: a + a + a = 0;  0

1

0

0

2

2

0

0

0

11

12

0

13

12

22

1

2

1

1

2

23

13

23

2

33

11

12

13

11

12

22

23

12

12

22

13

23

33

13

23

1

2

2

13

23

33

2

¨ q( ; ; ) = 0, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ­¥ ±¨¬¯²®²¨·­®±²¨ ­ ¯° ¢«¥­¨¿.

‹¥¬¬  16.22.

3

2

„«¿ ¢±¿ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ±³¹¥±²¢³¾² ²°¨ ­¥ª®¬-

¯« ­ °­»µ ­¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨¿.

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

“° ¢­¥­¨¥ ¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨© q( ; ; ) = 0 ®¯°¥¤¥«¿¥², ª ª ¢¨¤­® ¯®±«¥ ¤¨ £®­ «¨§ ¶¨¨, ª®­³±, ¬­¨¬»© ª®­³± ¨«¨ ¯ °³ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ (¡»²¼ ¬®¦¥², ¬­¨¬»µ) ¯«®±ª®±²¥©. ‚±¥£¤  ¤«¿ ­¨µ ¬®¦­® ­ ©²¨ ²°¨ ¨±ª®¬»µ ­ ¯° ¢«¥­¨¿. 2

’¥®°¥¬  16.23. ±²¥¬»

–¥­²°»

(±¨¬¬¥²°¨¨) ­¥¯³±²®© 8 > < Fx = 0 F = 0 > : Fyz = 0: 105

¯®¢¥°µ­®±²¨ ­ µ®¤¿²±¿ ¨§ ±¨-

(25)


„®ª § ²¥«¼±²¢®. ) ³±²¼ (x ; y ; z ) | ¶¥­²°. ³±²¼ ( i ; i; i), i = 1; 2; 3, | 0

0

0

0

0

­ ¯° ¢«¿¾¹¨¥ ¢¥ª²®°» ¯°¿¬»µ, ®¯°¥¤¥«¥­­»µ ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥© «¥¬¬¥, ¯°¨·¥¬ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ ¯®¢¥°µ­®±²¼. ’®£¤  (x ; y ; z ), ª ª ±¥°¥¤¨­  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ µ®°¤, ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¤¨ ¬¥²° «¼­»¬ ¯«®±ª®±²¿¬, ². ¥. ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³° ¢­¥­¨¿¬ 0

i(a x + a y + a z + a ) + i(a x + a y + a z + a )+ 11

0

12 0

13 0

1

12

0

22 0

23 0

2

+ i (a x + a y + a z + a ) = 0; i = 1; 2; 3: Ž¡®§­ ·¨¢ ¢»° ¦¥­¨¿ ¢ ±ª®¡ª µ ·¥°¥§ u, v ¨ w ±®®²¢¥²±¢¥­­®, ¯®«³·¨¬, ·²® u, v ¨ w ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±¨±²¥¬¥ «¨­¥©­»µ ³° ¢­¥­¨© 8 > < u+ v+ w = 0 u+ v+ w = 0 > : u+ v+ w = 0 13

0

23 0

33 0

3

1

1

1

2

2

2

3

3

3

°¨ ½²®¬ ³° ¢­¥­¨¿ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬», ² ª ª ª ¢¥ª²®°  ( i; i; i) ­¥ª®««¨­¥ °­». ‡­ ·¨², ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¢®§¬®¦­®±²¼: u = v = w = 0. ( ³±²¼ ²®·ª  M (x ; y ; z ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² \³° ¢­¥­¨¿¬ ¶¥­²° ". ¥°¥©¤¥¬ ª ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ² (x0; y0; z0): 0

0

0

x0 = x , x ;

y0 = y , y ;

z0 = z , z ;

x = x0 + x ;

y = y0 + y ;

z = z0 + z :

0

² ª ·²®

0

0

’®£¤ 

0

0

0

F 0(x0; y0; z0) = a (x0 + x ) + 2a (x0 + x )(y0 + y ) + a (y0 + y ) + a (z0 + z ) + 11

0

2

12

0

0

22

2

0

33

0

2

+2a (x0 + x )(z0 + z )+2a (y0 + y )(z0 + z )+2a (x0 + x )+2a (y0 + y )+2a (z0 + z )+ a = = a (x0) + 2a x0y0 + a (y0) + 2a x0z0 + 2a y0z0 + a (z0) + +2(a x + a y + a z + a )x0 + 2(a x + a y + a z + a )y0+ +2(a x + a y + a z + a )z0 + F (x ; y ; z ) = = a (x0) + 2a x0y0 + a (y0) + 2a x0z0 + 2a y0z0 + a (z0) = 0: Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¥±«¨ ²®·ª  (x0; y0; z0) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ½²®¬³ ³° ¢­¥­¨¾, ²® ¨ (,x0; ,y0; ,z0) | ²®¦¥,   ª®®°¤¨­ ²» M ¢ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥: (0; 0; 0). 2 13

0

0

2

11

11

23

0

12 0

’¥®°¥¬  16.24.

2

0

12

13

11

0

0

12

2

22

13 0

1

0

13

1

23 0

22

12

33 0 2

2

0

23

0

1

13

23

23 0

0

0

0

2

33

22 0 0

3

2

0

33

2

®¢¥°µ­®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ¶¥­²° «¼­®©, ². ¥. ¨¬¥¥² ¥¤¨­±²¢¥­­»©

¶¥­²°, ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

 = det Q 6= 0. 106


„®ª § ²¥«¼±²¢®. Œ ²°¨¶  ±¨±²¥¬» ³° ¢­¥­¨© ¶¥­²°  ±®¢¯ ¤ ¥² ± Q. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.25. ¥ ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿

2

£« ¢­»¬, ¥±«¨ ±®¯°¿¦¥­­ ¿ ¥¬³ ¤¨ ¬¥²° «¼­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¥¬³. ‘«¥¤³¾¹¨¥ ¤¢  ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¬» ¯°¨¢®¤¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ,  ­ «®£¨·­®£® ±«³· ¾ ª°¨¢»µ.

’¥®°¥¬  16.26 (*). ¬ ²°¨¶»

ƒ« ¢­»¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾² ± ±®¡±²¢¥­­»¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨

Q ª¢ ¤° ²¨·­®© · ±²¨.

’¥®°¥¬  16.27 (*).

«®±ª®±²¼,

±®¯°¿¦¥­­ ¿

£« ¢­®¬³

­ ¯° ¢«¥­¨¾,

¿¢«¿¥²±¿

¯«®±ª®±²¼¾ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¯®¢¥°µ­®±²¨.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.28. ’®·ª  P (x ; y ; z ) ¯®¢¥°µ­®±²¨ F = 0 ­ §»¢¥²±¿

®±®¡®©, ¥±«¨ Fx(x ; y ; z ) = Fy (x ; y ; z ) = Fz (x ; y ; z ) = 0. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ®±®¡»¥ ²®·ª¨ | ½²® ¶¥­²°», ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨. ®¢¥°µ­®±²¼ ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥®±®¡®©, ¥±«¨ ®­  ­¥ ¨¬¥¥² ®±®¡»µ ²®·¥ª. ¥®±®¡»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨: ½««¨¯±®¨¤», £¨¯¥°¡®«®¨¤», ¯ ° ¡®«®¨¤», ¶¨«¨­¤°», ¯ °  ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯«®±ª®±²¥©. Ž±®¡»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨: ª®­³±», ¯ °  ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯«®±ª®±²¥©, ¯ °  ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¥©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.29. ®¢¥°µ­®±²¼ ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥¢»°®¦¤¥­­®©, ¥±«¨ det A 6= 0. ¥¢»°®¦¤¥­­»¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨: ½««¨¯±®¨¤», £¨¯¥°¡®«®¨¤», ¯ ° ¡®«®¨¤». Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 16.30. Š ± ²¥«¼­ ¿ ¯°¿¬ ¿ ª ¯®¢¥°µ­®±²¨ F = 0 ¢ ­¥®±®¡®© ²®·ª¥ P | ¯°¿¬ ¿, ¨¬¥¾¹ ¿ ± ¯®¢¥°µ­®±²¼¾ ¤¢¥ ®¡¹¨¥ ²®·ª¨, ±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ ± P , «¨¡® ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¨. 0

0

0

0

’¥®°¥¬  16.31. P

0

0

0

0

0

0

0

0

Œ­®¦¥±²¢® ª ± ²¥«¼­»µ ¯°¿¬»µ ª ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢ ­¥®±®¡®© ²®·ª¥

±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯«®±ª®±²¼¾

Fx(x ; y ; z )(x , x ) + Fy (x ; y ; z )(y , y ) + Fz (x ; y ; z )(z , z ) = 0

(26)

(a x + a y + a z + a )x + (a x + a y + a z + a )y+ + (a x + a y + a z + a )z + (a x + a y + a z + a ) = 0;

(27)

0

¨«¨

0

11

0

0

0

13

12 0

0

23 0

0

13 0

0

0

1

33 0

0

12

3

1

0

0

0

22 0 2 0

0

0

23 0

3 0

0

2

0

­ §»¢ ¥¬®© ª ± ²¥«¼­®© ¯«®±ª®±²¼¾ ª ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢ ­¥®±®¡®© ²®·ª¥.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ P = (x ; y ; z ), ²®£¤  ¤«¿ ¯°¿¬®© (22) F = F (P ) = 0 0

0 2

0

0

¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ­ µ®¤¿²±¿ ¨§ F t + 2F t = 0, ² ª ·²® ª ± ­¨¥ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ ±«³· ¥ F = 0, ². ¥. Fx(P ) + Fy (P ) + Fz (P ) = 0: ²® ³±«®¢¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬ ¨ ¤®±² ²®·­»¬. €­ «®£¨·­® ²¥®°¨¨ ª°¨¢»µ ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ±®¢¯ ¢¸¨¥ ²®·ª¨ ¯°¨ F 6= 0 ¨ ¯°¿¬®«¨­¥©­ ¿ ®¡° §³¾¹ ¿, ¥±«¨ F = 0. 2 2

1

1

2

2

107


’¥®°¥¬  16.32.

°¿¬®«¨­¥©­»¥ ®¡° §³¾¹¨¥ ®¤­®¯®«®±²­®£® £¨¯¥°¡®«®¨¤  ¨ £¨-

¯¥°¡®«¨·¥±ª®£® ¯ ° ¡®«®¨¤ , ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ ¤ ­­³¾ ²®·ª³ ®¡° §³¾² ±¥·¥­¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ª ± ²¥«¼­®© ¯«®±ª®±²¼¾ ¢ ¤ ­­®© ²®·ª¥.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¿¬®«¨­¥©­»¥ ®¡° §³¾¹¨¥ ¿¢«¿¾²±¿ ª ± ²¥«¼­»¬¨ ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, «¥¦ ² ¢ ª ± ²¥«¼­®© ¯«®±ª®±²¨. „°³£¨µ ²®·¥ª ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ­¥², ² ª ª ª ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ | ª°¨¢ ¿ ¯®°¿¤ª  ­¥ ¢»¸¥ ¤¢³µ. 2

16.3. €´´¨­­ ¿ ¨ ¬¥²°¨·¥±ª ¿ ª« ±±¨´¨ª ¶¨¿ ¯®¢¥°µ­®±²¥© ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ®±ª®«¼ª³ ¬» ­¥ ¤®ª § «¨ ²¥®°¥¬» ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¤«¿ ±³¹¥±²¢¥­­»µ ¯®¢¥°µ­®±²¥©,   ²®«¼ª® ²¥®°¥¬³ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ª ­®­¨·¥±ª®£® ³° ¢­¥­¨¿, ²® ¬» ¤®ª ¦¥¬ ª« ±±¨´¨ª ¶¨®­­»¥ ²¥®°¥¬» ¤«¿ ±¨«¼­»µ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¥©.

’¥®°¥¬  16.33.

„¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ±¨«¼­® ¬¥²°¨·¥±ª¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­»

²®£¤  ¨ ²®«ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»© ª ­®­¨·¥±ª¨© ¢¨¤.

’¥®°¥¬  16.34.

„¢¥ ª¢ ¤°¨ª¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ±¨«¼­®  ´´¨­­® ½ª¢¨¢ «¥­²­» ²®-

£¤  ¨ ²®«ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­¨ ¨¬¥¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ­ §¢ ­¨¿.

„®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬ ¤®±«®¢­® ¯®¢²®°¿¥² ±«³· © ª°¨¢»µ, §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢   ´´¨­­®© ­¥½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ¯®¢¥°µ­®±²¥© ± ° §­»¬¨ ­ §¢ ­¨¿¬¨. °®¢¥¤¥¬ ¥£®. °¥¦¤¥ ¢±¥£® § ¬¥²¨¬, ·²® ° ­£¨ r ¨ R ¿¢«¿¾²±¿  ´´¨­­»¬¨,   ­¥ ²®«¼ª® ®°²®£®­ «¼­»¬¨ ¨­¢ °¨ ­² ¬¨. ®½²®¬³ ­ ¤® ¤®ª § ²¼ ­¥½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼ «¨¸¼ ¢ ¯°¥¤¥« µ ª ¦¤®£® ¨§ ª« ±±®¢ (i){(v). ’®·ª  (¬­¨¬»© ª®­³±), ¯°¿¬ ¿ (¯ °  ¬­¨¬»µ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¯«®±ª®±²¥©), ¯ °  ¯ ° ««¥«¼­»µ, ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨µ±¿ ¨«¨ ±®¢¯ ¤ ¾¹¨µ ¯«®±ª®±²¥©, ®·¥¢¨¤­®,  ´´¨­­® ­¥½ª¢¨¢ «¥­²­» ­¨ ¤°³£ ¤°³£³, ­¨ ¤°³£¨¬ ¯®¢¥°µ­®±²¿¬. „«¿ ¯³±²»µ ¬­®¦¥±²¢: ¬­¨¬»© ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤° ¨¬¥¥² 1  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥, ¬­¨¬»© ½««¨¯±®¨¤ ­¥ ¨¬¥¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©, ¯ °  ¬­¨¬»µ ¯ ° ««¥«¼­»µ ¯«®±ª®±²¥© ¨¬¥¥² ¶¥«³¾ ¯«®±ª®±²¼  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨©. Š°®¬¥ ²®£®, ½««¨¯±®¨¤ ®£° ­¨·¥­ ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ¤°³£¨µ ­¥° ±±¬®²°¥­­»µ ¯®¢¥°µ­®±²¥©. ‚ ²¨¯¥ (ii) ®±² «±¿ ®¤¨­ ª®­³±. „«¿ ®±² ¢¸¨µ±¿ ¨¬¥¥¬ ’¨¯  §¢ ­¨¥ (i) ®¤­®¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ¤¢³¯®«®±²­»© £¨¯¥°¡®«®¨¤ ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤ £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¯ ° ¡®«®¨¤

 «¨·¨¥ ¶¥­²°®¢ 1 1 ­¥² ­¥² 108

°¿¬®«¨­. ®¡° §³¾¹¨¥ ¥±²¼ ­¥² ­¥² ¥±²¼


’¨¯  §¢ ­¨¥ (iii) ½««¨¯²¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤° £¨¯¥°¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤° ¯ ° ¡®«¨·¥±ª¨© ¶¨«¨­¤° ’¥®°¥¬  ¤®ª § ­ .

 «¨·¨¥ ¶¥­²°®¢ €±¨¬¯²®². ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ¯°¿¬ ¿ ®¤­® ¯°¿¬ ¿ ¤¢¥ ¯«®±ª®±²¨ ­¥²

2

17. «¥¬¥­²» ¯°®¥ª²¨¢­®© £¥®¬¥²°¨¨

17.1. ®¯®«­¥­¨¥ ¯«®±ª®±²¨ ®¯®«­¥­­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ | ½²® ¯«®±ª®±²¼, ª ª®²®°®© ¯°¨±®¥¤¨­¥­» ­¥ª®²®°»¥ \¡¥±ª®­¥·­® ³¤ «¥­­»¥" ½«¥¬¥­²» (²®·ª¨). ˆ¬¥­­®, ª ¦¤®¬³ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬³ ¯³·ª³ ±² ¢¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ­¥±®¡±²¢¥­­ ¿ ²®·ª . °¨ ½²®¬ ±·¨² ¥²±¿, ·²® ±®¡±²¢¥­­»© ¯³·®ª ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ¢ ±®¡±²¢¥­­®© ²®·ª¥,   ­¥±®¡±²¢¥­­»© | ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­®©. Ž¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¢±¥µ ­¥±®¡±²¢¥­­»µ ²®·¥ª ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥±®¡±²¢¥­­®© ¯°¿¬®©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»¯®«­¥­» ±«¥¤³¾¹¨¥  ª±¨®¬»: AI. —¥°¥§ ¤¢¥ «¾¡»¥ ° §«¨·­»¥ ²®·ª¨ ¯°®µ®¤¨² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿. AII. „¢¥ «¾¡»¥ ° §«¨·­»¥ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥±¥ª ¾²±¿ ¢ ¥¤¨­±²¢¥­­®© ²®·ª¥. …±«¨ ¬» § ¡»¢ ¥¬ ¯°® ²®, ·²® ­¥ª®²®°»¥ ²®·ª¨ ¡»«¨ ­¥±®¡±²¢¥­­»¬¨, ². ¥. ¯°¨±®¥¤¨­¥­­»¬¨, ²® ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¯®­¿²¨¾ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨. „«¿ ²®£®, ·²®¡» ½²¨  ª±¨®¬» § ¯¨± ²¼ ¢ ¡®«¥¥ ±¨¬¬¥²°¨·­®¬ ¢¨¤¥, ¢¢®¤¨²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯®­¿²¨¥ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 17.1. ’®·ª  ­ §»¢¥²±¿ ¨­¶¨¤¥­²­®© ¯°¿¬®©, ¥±«¨ ²®·ª  «¥¦¨² ­  ½²®© ¯°¿¬®©. °¿¬ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­¶¨¤¥­²­®© ²®·ª¥, ¥±«¨ ¯°¿¬ ¿ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ½²³ ²®·ª³. €ª±¨®¬» ¯°¨¬² ¢¨¤: AI. „«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ° §«¨·­»µ ²®·¥ª ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¨­¶¨¤¥­²­ ¿ ¨¬. AII. „«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ° §«¨·­»µ ¯°¿¬»µ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª , ¨­¶¨¤¥­²­ ¿ ¨¬. ‘´®°¬³«¨°³¥¬ ±«¥¤³¾¹¨© °¨­¶¨¯ ¤¢®©±²¢¥­­®±²¨: …±«¨ ¢¥°­® ­¥ª®²®°®¥ ®¡¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ® ²®·ª µ, ¯°¿¬»µ ¨ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ ­  ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨, ²® ¢¥°­® ¨ ¤¢®©±²¢¥­­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ²®·ª¨ ¨ ¯°¿¬»¥ ¬¥­¿¾²±¿ ¬¥±² ¬¨. Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ®¡±³¦¤ ²¼ ¯®«­»© ­ ¡®°  ª±¨®¬,   ² ª¦¥ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®±²¼ ¨ ² ª ¤ «¥¥. Œ» ¯°®±²® ¯®±²°®¨¬ ¥±²¥±²¢¥­­³¾ ¬®¤¥«¼ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨, ¤«¿ ª®²®°®© ¡³¤³² ¢»¯®«­¥­» ³ª § ­­»¥  ª±¨®¬» ¨ ¯°¨­¶¨¯ ¤¢®©±²¢¥­­®±²¨.

109


17.2. ‘¢¿§ª  ª ª ¬®¤¥«¼ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 17.2. ‘¢¿§ª®© ¯°¿¬»µ ¨ ¯«®±ª®±²¥© ± ¶¥­²°®¬ O ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ ¯°®±² ­±²¢¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¿¬»µ ¨ ¯«®±ª®±²¥©, ¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ¤ ­­³¾ ²®·ª³ O. Ž¡®§­ · ²¼±¿ ±¢¿§ª  ¡³¤¥² ²®© ¦¥ ¡³ª¢®© O. °¿¬ ¿ ±¢¿§ª¨ ¨­¶¨¤¥­²­  ¯«®±ª®±²¨, ¥±«¨ ®­  ¢ ­¥© ±®¤¥°¦¨²±¿, ¯«®±ª®±²¼ ±¢¿§ª¨ ¨­¶¨¤¥­²­  ¯°¿¬®©, ¥±«¨ ®­  ·¥°¥§ ­¥¥ ¯°®µ®¤¨². Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 17.3. ¥°±¯¥ª²¨¢­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ®±³¹¥±²¢«¿¥² ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¯®¯®«­¥­­®© ¯«®±ª®±²¨ ­  ±¢¿§ª³, ². ¥. ®²®¡° ¦¥­¨¥ ²®·¥ª ¯®¯®«­¥­­®© ¯«®±ª®±²¨ ­  ¬­®¦¥±²¢® ¯°¿¬»µ ±¢¿§ª¨, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬.  ±±¬®²°¨¬ ¯®¯®«­¿¥¬³¾ ¯«®±ª®±²¼  ª ª «¥¦ ¹³¾ ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. ³±²¼ ²®·ª  O ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨²  ¨ ®¯°¥¤¥«¿¥² ±¢¿§ª³. Š ¦¤®© ±®¡±²¢¥­­®© ²®·ª¥  ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ¯°¿¬³¾ ±¢¿§ª¨, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ ­¥¥. Š ¦¤®© ­¥±®¡±²¢¥­­®© ²®·ª¥ , ². ¥. ­ ¯° ¢«¥­¨¾ ¨«¨ ­¥±®¡±²¢¥­­®¬³ ¯³·ª³ ­  , ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ¯°¿¬³¾ ±¢¿§ª¨, ¨¬¥¾¹³¾ ²® ¦¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¥. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¢»¯®«­¥­» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³±«®¢¨¿.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 17.4.

°¨ ¯¥°±¯¥ª²¨¢­®¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥µ®¤¿² ¢ ¯«®±-

ª®±²¨ ¨ ±®µ° ­¿¥²±¿ ®²­®¸¥­¨¥ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨.

®½²®¬³ ¯°¿¬»¥ ±¢¿§ª¨ ­ §»-

¢ ¾² \²®·ª ¬¨",   ¯«®±ª®±²¨ | \¯°¿¬»¬¨" ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨.

‡ ¬¥· ­¨¥ 17.5. °¨ ¯¥°±¯¥ª²¨¢­®¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ­¥±®¡±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥-

µ®¤¨² ¢ ¯«®±ª®±²¼ ±¢¿§ª¨, ¯ ° ««¥«¼­³¾ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®¯®«­¥­­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ±¢¿§ª¥ ± ¢»¤¥«¥­­®© ¯«®±ª®±²¼¾,   ¯°®¥ª²¨¢­ ¿ ¯«®±ª®±²¼ | ¯°®±²® ±¢¿§ª¥. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ Oe e e | ¯°®¨§¢®«¼­»© °¥¯¥° ± ¶¥­²°®¬ ¢ O.  ±±¬®²°¨¬ ­ ¯° ¢«¿¾¹¨© ¢¥ª²®° ¯°¿¬®© l ¨§ ±¢¿§ª¨ O. „®¯³±²¨¬, ·²® ®­ ¨¬¥¥² ª®®°¤¨­ ²» (x ; x ; x ). Š®®°¤¨­ ²» ¤°³£®£® ­ ¯° ¢«¿¾¹¥£® ¢¥ª²®°  l ¡³¤³² ®²«¨· ²¼±¿ ®² ­¨µ ­¥­³«¥¢»¬ ¬­®¦¨²¥«¥¬. ’°®©ª  ·¨±¥« (x : x : x ), ®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ®¤­®°®¤­»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ l ®²­®±¨²¥«¼­® ³ª § ­­®£® °¥¯¥° . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥ ²°¨ ·¨±«  x ; x ; x ­¥ ¬®£³² ¡»²¼ ­³«¥¢»¬¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­®.  ±±¬®²°¨¬ ¯«®±ª®±²¼  : x = 1 ¨ °¥¯¥° Ee e ¢ ­¥©, £¤¥ E ¨¬¥¥² ¢ Oe e e ª®®°¤¨­ ²» (0; 0; 1) (±¬ °¨±. 8). °¨ ±®®²¢¥²±²¢¨¨, ®¡° ²­®¬ ª ¯¥°±¯¥ª²¨¢­®¬³, ²®·ª¥ (x : x : x ) ± x 6= 0 ®²¢¥· ¥² ²®·ª  ¯«®±ª®±²¨  ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ x = xx ; y = xx : 1 2 3

1

2

3

1

1

2

2

3

3

3

1 2

1 2 3

1

1

2

3

3

2

3

3

Ž±² «¼­»¬ ²®·ª ¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ­¥±®¡±²¢¥­­»¥ ²®·ª¨ ¯®¯®«­¥­­®© ¯«®±ª®±²¨ . “° ¢­¥­¨¥ ¯°¿¬®© ¢ ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¨¬¥¥² ¢¨¤ a x + a x + a x = 0; 1

1

2

2

110

3

3




e1 E   e 

,

2

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1



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3

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   , , 2 ,  1     ,  , ,

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, ,

1

¨±. 8. £¤¥ ²°®©ª  (a ; a ; a ) ®¯°¥¤¥«¥­  ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ­¥­³«¥¢®£® ¬­®¦¨²¥«¿,   a ; a ; a ­¥ ®¡° ¹ ¾²±¿ ¢ ­³«¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¿¬ ¿ ² ª¦¥ ¯°¨®¡°¥² ¥² \®¤­®°®¤­»¥ ª®®°¤¨­ ²»" (a : a : a ). …±«¨ a ¨«¨ a ­¥ ®¡° ¹ ¾²±¿ ¢ ­³«¼, ²® ½²® ®¡»·­ ¿ ¯°¿¬ ¿, ¯®¯®«­¥­­ ¿ ­¥±®¡±²¢¥­­®© ²®·ª®©. …±«¨ ¦¥ a = a = 0, a 6= 0, ²® ½²® ­¥±®¡±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿ x = 0. 1

2

3

1

1

1

2

2

3

3

2

1

2

3

3

°¥¤«®¦¥­¨¥ 17.6. ª®®°¤¨­ ² ¬¨

X , Y ¨ Z ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ ± ®¤­®°®¤­»¬¨ (x : x : x ), (y : y : y ) ¨ (z : z : z ) «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®© 1

’°¨ ²®·ª¨

2

3

1

²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

2

3

1

2

3

x x x

y y y

= 0:

z z z

1

2

3

1

2

3

1

2

3

„®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¢¥­±²¢® ­³«¾ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿ ¥±²¼ ³±«®¢¨¥ ª®¬¯« ­ °­®±²¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¢¥ª²®°®¢.

’¥®°¥¬  17.7.

2

„«¿ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¬®¤¥«¨ ±¢¿§ª¨ ¢»¯®«­¥­ ¯°¨­¶¨¯

¤¢®©±²¢¥­­®±²¨.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. “±«®¢¨¥ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨ ¢ ª®®°¤¨­ ² µ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ a x + a x + a x = 0; 1

±¨¬¬¥²°¨·­®¬ ¯® ¤¢³¬ ®¡º¥ª² ¬.

1

2

2

2 111

3

3


’¥®°¥¬  17.8 („¥§ °£ ). ³£®«¼­¨ª 

ABC

¨

A0B 0C 0,

³±²¼

­ 

¯°®¥ª²¨¢­®©

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§ ¤ ­»

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¯°¨·¥¬ ®¤­®¨¬¥­­»¥ ¢¥°¸¨­» ¨ ±²®°®­», ²®·­¥¥, ¯°¿-

AA0, BB 0 ¨ CC 0 ¯¥°¥±¥ª -

¬»¥, ¨µ ±®¤¥°¦ ¹¨¥, ­¥ ±®¢¯ ¤ ¾². ’®£¤  ²°¨ ¯°¿¬»¥

¾²±¿ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥ ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°¿¬»µ

AB ¨ A0B 0, BC ¨ B 0C 0, AC ¨ A0C 0 «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. „®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž¡®§­ ·¨¬ ³ª § ­­»¥ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ·¥°¥§ P , Q ¨ R, ) ³±²¼ S | ²®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°¿¬»µ AA0, BB 0 ¨ CC 0. ³±²¼ a; b; c; a0; b0; c0; p; q; r; s | ­¥ª®²®°»¥ ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¨ (²°®©ª¨) ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² ²®·¥ª A; B; C; A0; B 0; C 0; P; Q; R; S : a = (a ; a ; a ); : : : ’®£¤  ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ ; 0; ; 0; ; 0 8 > < s = a + 00a00 s = b + b > : s = c + 0c0 ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ½²®£® ­¥®¡µ®¤¨¬® ¡»«® ­¥±®¢¯ ¤¥­¨¥ a ¨ a0 ¨ ². ¤. ’®£¤  8 > < u := b , c = 00c0 0, 0b0 00 v := c , a = a , c > : w := a , b = 0b0 , 0a0 1

2

3

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, u ®²¢¥· ¥² ²®·ª¥ «¥¦ ¹¥© ¨ ­  ¯°¿¬®© BC ¨ ­  B 0C 0, ². ¥. Q. €­ «®£¨·­®, v | ­¥ª®²®°»© ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¼ ª®®°¤¨­ ² R,   w | P . ‘«®¦¨¢ ¯®·«¥­­® ° ¢¥­±²¢ , ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨¥ u, v ¨ w, ¯®«³·¨¬ u + v + w = (0; 0; 0), ². ¥. ²®·ª¨ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®© (¯«®±ª®±²¨ ±¢¿§ª¨). ( ¥°¥´®°¬³«¨°³¥¬ ¤®ª § ­­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¢¨¤¥. 0 0 0 ³±²¼ ­  ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ § ¤ ­» ¤¢¥ ²°®©ª¨ ²®·¥ª ABC ¨ A B C , ­¨

A B C A0 B0 C0 0 B C A C A B B 0 C 0 A0 C 0 A0 B 0 A 6= A A 6= A0 B 6= B 0 B 6= B0 C 6= C 0 C 6= C0 abc A A0 B B 0 C C 0 A B C A A0 B B0 C C0 a b c A B C ®¤­  ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ¨­¶¨¤¥­²­  ®¤­®© ¯°¿¬®©, ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ ¯°¿¬»¥, ¨­¶¨¤¥­²­»¥ ,

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® ¯°¨­¶¨¯³ ¤¢®©±²¢¥­­®±²¨, ¬» ¤®ª § «¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¤¢®©±²¢¥­­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥.

ABC A0B0 0C00 A B C A B 0 C0 A0 C0 A0 B0 C0 B C A C A B B A 6= A0 A 6= A0 B 6= B 0 B 6= B0 C 6= C 0 C 6= C0 A B C A A0 B B0 C C00 a b c A A B B0 C C 0 A B C a b c ³±²¼ ­  ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ § ¤ ­» ¤¢¥ ²°®©ª¨ ¯°¿¬»µ

¨

­¨ ®¤­  ¨§ ª®²®°»µ ­¥ ¨­¶¨¤¥­²­  ®¤­®© ²®·ª¥, ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ ²®·ª¨, ¨­¶¨¤¥­²­»¥ ,

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¨­¶¨¤¥­²­» ®¤­®© ²®·ª¥.

® ½²® ¨ ¥±²¼ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. 112

2

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Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§

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’®£¤  ²°¨ ¯°¿¬»¥

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17.3. °®¥ª²¨¢­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 17.9. ‚±¿ª®¥  ´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , ®±² ¢«¿¾¹¥¥ ¶¥­²° ±¢¿§ª¨ O ­  ¬¥±²¥, ®²®¡° ¦ ¥² ¯°¿¬»¥, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ O ¢ ­¥ª®²®°»¥ ¤°³£¨¥ ¯°¿¬»¥, ¯°®µ®¤¿¹¨¥ ·¥°¥§ O. ‚®§­¨ª ¾¹¥¥ ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ±¢¿§ª¨ ¢ ±¥¡¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¥ª²¨¢­»¬. ¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±«¥¤³¥², ·²® ¯°®¥ª²¨¢­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¯¥°¥¢®¤¨² ¯°¿¬»¥ ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ ¢ ¯°¿¬»¥, ±®µ° ­¿¿ ®²­®¸¥­¨¥ ¨­¶¨¤¥­²­®±²¨. …±«¨ C | ¬ ²°¨¶   ´´¨­­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ ¢ °¥¯¥°¥ Oe e e , ²® ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¯°®¥ª²¨¢­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ § ¯¨¸¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ 0f1 0 1 x x B C B f @ x A=C @ x C A; xf x £¤¥  | ¯°®¨§¢®«¼­»© ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼. ‚ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ  ´´¨­­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ­  ¯«®±ª®±²¨: f c x +c x = c x+c y+c ; xe = xxf = cc xx + (28) +c x +c x c x+c y+c f +c x +c x = c x+c y+c : (29) ye = xxf = cc xx + c x +c x c x+c y+c Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 17.10. ”³­¤ ¬¥­² «¼­®© ·¥²¢¥°ª®© ­ §»¢ ¥²±¿ ·¥²¢¥°ª  ²®·¥ª X X X E ²®·¥ª ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨, ­¨ª ª¨¥ ²°¨ ¨§ ª®²®°»µ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯°¿¬®©. ‚ ¬®¤¥«¨ ±¢¿§ª¨ ½²® ·¥²»°¥ ¯°¿¬»¥, ­¨ª ª¨¥ ²°¨ ¨§ ª®²®°»µ ­¥ «¥¦ ² ­  ®¤­®© ¯«®±ª®±²¨. ‚±¿ª ¿ ±¨±²¥¬  ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² ®¯°¥¤¥«¿¥² ´³­¤ ¬¥­² «¼­³¾ ·¥²¢¥°ª³ X = (1 : 0 : 0), X = (0 : 1 : 0), X = (0 : 0 : 1), E = (1 : 1 : 1). Ž¡° ²­®, ª ¦¤ ¿ ·¥²¢¥°ª  ²¥¬ ¦¥ ±¯®±®¡®¬ ®¯°¥¤¥«¿¥² ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ª®½´´¨¶¨¥­²  ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®±²¨ ®¤­®§­ ·­® ²°®©ª³ ¢¥ª²®°®¢ e ; e ; e . ® ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®±²¼ ­¥ ¢«¨¿¥² ­  ²°®©ª³ ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ², ª®²®° ¿ ®¯°¥¤¥«¥­  ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ª®½´´¨¶¨¥­² . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ·¥²¢¥°ª  ®¯°¥¤¥«¿¥² ±¨±²¥¬³ ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ². ‡ ¤ ·  17. ³±²¼ X X X E ¨ X 0 X 0 X 0 E 0 | ¤¢¥ ´³­¤ ¬¥­² «¼­»¥ ·¥²¢¥°ª¨. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² °®¢­® ®¤­® ¯°®¥ª²¨¢­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ®¤­³ ¢ ¤°³£³¾. ‡ ¤ ·  18. Š ª ±«¥¤±²¢¨¥, ¤«¿ «¾¡®© ¯°¿¬®© ±³¹¥±²¢³¥² ¯°®¥ª²¨¢­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ¥¥ ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­³¾. ‡ ¤ ·  19. –¥­²° «¼­ ¿ ¯°®¥ª¶¨¿ ¯«®±ª®±²¨ ­  ¯«®±ª®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¥ª²¨¢­»¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬. 1 2 3

1

2

1

1

2

2

3

3

1

11

1

12

2

13

3

11

12

13

3

31

1

32

2

33

3

31

32

33

2

21

1

22

2

23

3

21

22

23

3

31

1

32

2

33

3

31

32

33

3

1

2

3

1

1

2

3

1

2

3

113

2

3


17.4. °®¥ª²¨¢­®- ´´¨­­»¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 17.11. °®¥ª²¨¢­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ' ¯®¯®«­¥­­®© ¯«®±ª®±²¨ (². ¥. ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨, ³ ª®²®°®© ¢»¤¥«¥­  ­¥±®¡±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿), ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ½²³ ¢»¤¥«¥­­³¾ ¯°¿¬³¾ ¢ ±¥¡¿, ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¥ª²¨¢­®- ´´¨­­»¬. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¤«¿ ½²®£® ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ¤¢¥ ° §«¨·­»¥ ­¥±®¡±²¢¥­­»¥ ²®·ª¨ ¯¥°¥¸«¨ ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­»¥. ®±ª®«¼ª³ ¯°¿¬ ¿ ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ¯°¿¬³¾, ¢ · ±²­®±²¨, ­¥±®¡±²¢¥­­ ¿, ²® ­¨ª ª ¿ ±®¡±²¢¥­­ ¿ ²®·ª  ­¥ ¬®¦¥² ®²®¡° §¨²¼±¿ ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­³¾. ®½²®¬³ ¬®¦­® ¤ ²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 17.12. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ f ®£° ­¨·¥­¨¥ f ­  ±®¡±²¢¥­­»¥ ²®·ª¨, ². ¥. ­¥¯®¯®«­¥­­³¾ ¯«®±ª®±²¼. ’®£¤  f ®²®¡° ¦ ¥² ­¥¯®¯®«­¥­­³¾ ¯«®±ª®±²¼ ­  ±¥¡¿. 0

0

°¥¤«®¦¥­¨¥ 17.13. f „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¢¢¥¤¥­» ®¤­®°®¤­»¥ ª®®°¤¨­ ²» ¨ x = 0 | ­¥±®¡±²¢¥­Ž²®¡° ¦¥­¨¥

0 ¿¢«¿¥²±¿  ´´¨­­»¬.

3

­ ¿ ¯°¿¬ ¿. ³±²¼ f ¨¬¥¥² ¬ ²°¨·­³¾ § ¯¨±¼ xf = c x + c x + c x xf = c x + c x + c x xf = c x + c x + c x 1

11

1

12

2

13

3

2

21

1

22

2

23

3

3

31

1

32

2

33

3

…±«¨ ¯°¨ «¾¡»µ x ¨ x ¨§ x = 0 ±«¥¤³¥² xf = 0, ²® c = c = 0 ¨ ¨§ (28) ¨ (29) ¯®«³· ¥¬ 1

2

3

3

31

xe = cc x + cc y + cc ; ye = cc x + cc y + cc : 12

11

32

13

33

33

33

21

22

23

33

33

33

2

17.5. °®¥ª²¨¢­ ¿ ¯°¿¬ ¿ °®¥ª²¨¢­ ¿ ¯°¿¬ ¿ (¯°¿¬ ¿, ¯®¯®«­¥­­ ¿ ®¤­®© ²®·ª®©) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿  ­ «®£¨·­»¬ ®¡° §®¬. ®«¼ ¬®¤¥«¨ ±¢¿§ª¨ ²¥¯¥°¼ ¨£° ¥² ±®¡±²¢¥­­»© ¯³·®ª ¯°¿¬»µ ­  ¯«®±ª®±²¨, ² ª ·²® ¥£® ¯°¿¬ ¿, ¯ ° ««¥«¼­ ¿ ¯®¯®«­¿¥¬®© ¯°¿¬®©, ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¡¥±ª®­¥·­® ³¤ «¥­­®© ²®·ª¥. °®¥ª²¨¢­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ¢ ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² µ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ´®°¬³« ¬¨ ( xf = c x + c x ; det C = det kc k 6= 0: ij xf = c x + c x 1

11

1

12

2

2

12

1

22

2

°®±²®¥ ®²­®¸¥­¨¥ ²°¥µ ° §«¨·­»µ ²®·¥ª

A,A

2 ¨

A. ·¨±«® , ·²® , A,,A! =   , A,,A!. Ž¡®§­ ·¥­¨¥:  = A AA 1

3

2

3

114

1

1

3

2

3

A

3 ­  ¯°¿¬®©

| ½²® ² ª®¥


(¨«¨ ±«®¦­®¥) ®²­®¸¥­¨¥ ·¥²»°¥µ ° §«¨·­»µ ²®·¥ª A , A , A ¯°¿¬®© | ½²® A :AA: (A A A A ) := A AA AA „¢®©­®¥

1

1

2

3

4

‚  ´´¨­­»µ ª®®°¤¨­ ² µ

1

3

1

4

2

3

2

4

x :x (A A A A ) = xx , ,x x Ž·¥¢¨¤­» ±¢®©±²¢  ¤¢®©­®£® ®²­®¸¥­¨¿: 1) (A A A A ) = (A A A A ), 2) (A A A A ) = (A A 1A A ) . „®®¯°¥¤¥«¨¬ ¤¢®©­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ (A A A 1) := A A = x AA x 1

1

2

3

4

1

2

4

3

3

3

4

1

2

1

2

3

4

1

‹¥¬¬  17.14.

2

2

4

3

1

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3

2

4

3

1

3

3

2

3

3

1

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1

2

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2

2

x y x y

3

3 3

3

3 ¨

A

4 ­ 

,x : ,x 1 2

,x : ,x 1

2

‚ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² µ

x

y (A A A A ) =

x

y

2

x

y

:

x

y

1

1 2

2

x y x y

4

4 4

4

:

(x : y):

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ° ¢ ¿ · ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­  ª®°°¥ª²­®, ². ¥. ­¥ ¬¥­¿¥²±¿ ¯°¨ § ¬¥­ µ (xi; yi) ! (xi; yi) ¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ´®°¬³«®© ¢  ´´¨­­»µ ª®®°¤¨­ ² µ ¯°¨ yi = 1, ¯°¨·¥¬, ¥±«¨ y = 0, ²® ¨¬¥¥¬ ´®°¬³«³ ¤«¿ (A A A 1). 2 ’¥®°¥¬  17.15. 4

1

2

3

„¢®©­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ ·¥²»°¥µ ²®·¥ª ­  ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯°¿¬®© ­¥

§ ¢¨±¨² ®² ¢»¡®°  ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ².

! 0 ! x x „®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ § ¬¥­¥ ¢¨¤   y = C y0 ¨¬¥¥¬ ! 0 x0 ! x x x i j i j y y = C yi0 yj0 ; i j i j

0 0

x x

i j ij

y y

= det C 

xyi0 xyj0

: i j i j ®¤±² ¢«¿¿, ¢¨¤¨¬, ·²® i ¨ det C ±®ª° ¹ ¾²±¿. 2

‘«¥¤±²¢¨¥ 17.16.

„¢®©­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿ ¯°¨ ¯°®¥ª²¨¢­»µ ¯°¥®¡° §®-

¢ ­¨¿µ ¯°¿¬®©.

115


°®±²®¥ ®²­®¸¥­¨¥ ­¥ ±®µ° ­¿¥²±¿ ¯°¨ ¯°®¥ª²¨¢­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿µ (¢ ®²«¨·¨¥ ®²  ´´¨­­»µ). ®«¥¥ ¯®«­»© ®²¢¥² ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ .

’¥®°¥¬  17.17.

„«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ²°®¥ª ° §«¨·­»µ ²®·¥ª

­  ¯°¿¬®© ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¥¤¨­±²¢¥­® ² ª®¥ ¯°®¥ª²¨¢­®¥

f (Ai) = A0i, i = 1; 2; 3.

A0 ; A0 ; A0 ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ f , ·²® A ;A ;A 1

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„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ¬®¤¥«¨ ¯³·ª  ¯°¿¬»µ ¢»¡¥°¥¬ ­  ¯°¿¬»µ ¢¥ª²®°  ² ª, ·²® 0 0 0 e = e + e , e = e + e (±¬. °¨±. 9). °®¥ª²¨¢­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ®²¢¥· ¥² ¯ °¥ 2

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¨±. 9. °¥¯¥°®¢ Oe e ¨ O0 e0 e0 . „®ª ¦¥¬ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼. ³±²¼ ¨¬¥¥²±¿ ­ °¿¤³ ± ¯®±²°®¥­­»¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥¬ ' ¨ ¤°³£®¥ | . ’®£¤  ¨¬¥¥²±¿ ²®·ª  A , ² ª ¿, ·²® '(A ) 6= (A ). ® ¯®«®¦¥­¨¥ ®¡° §  ²®·ª¨ A ¯®«­®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¤¢®©­»¬ ®²­®¸¥­¨¥¬ A ± A ; A ; A , ² ª ª ª ¤¢®©­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ ¨­¢ °¨ ­²­® ¯°¨ § ¬¥­¥ ª®®°¤¨­ ²,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ ¯°¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨. 2 1 3

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‹¥¬¬  17.18.

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li (i = 1; 2; 3; 4) | ·¥²»°¥ ¯°¿¬»¥ ¨§ ®¤­®£® ¯³·ª  ­  ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨,   ¯°¿¬ ¿ l ½²®¬³ ¯³·ª³ ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨². Ž¡®§­ ·¨¬ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ l ± li ·¥°¥§ Ai (i = 1; 2; 3; 4). ’®£¤  ¤¢®©­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ (A A A A ) § ¢¨±¨² «¨¸¼ ®² li ¨ ­¥ § ¢¨±¨² ®² l . ³±²¼

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„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼ ¤°³£³¾ ¯°¿¬³¾, ²® «³·¨ ¯³·ª  ®±³¹¥±²¢«¿¾²

¯°®¥ª²¨¢­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ (¶¥­²° «¼­ ¿ ¯°®¥ª¶¨¿), ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ± l ¢ ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ± ¤°³£®© ¯°¿¬®©. ® ²¥®°¥¬¥ 17.15 ¤¢®©­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ ±®µ° ­¿¥²±¿. 2

116


17.6. Š°¨¢»¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ­  ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ Š°¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ­  ¯°®¥ª²¨¢­®© ¯«®±ª®±²¨ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ®¤­®°®¤­®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¢ ­¥ª®²®°®© ®¤­®°®¤­®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨­ ²: q(x) = a (x ) + 2a x x + a (x ) + 2a x x + 2a x x + a (x ) = 0: Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¯°¨ ¯°®¥ª²¨¢­®¬ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¨ ®­  ¯¥°¥©¤¥² ¢ ª°¨¢³¾ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª , ¨ ·²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª®°°¥ª²­®, ². ¥. ­¥ § ¢¨±¨² ®² ³¬­®¦¥­¨¿ ²°®©ª¨ ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ² ­  ­¥­³«¥¢®© ¬­®¦¨²¥«¼. ® ²®© ¦¥ ²¥®°¥¬¥ ¨§ «¨­¥©­®©  «£¥¡°», ª®²®°®© ¬» ¯®«¼§®¢ «¨±¼, ª®£¤  £®¢®°¨«¨ ® ¯®¢¥°µ­®±²¿µ, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯°®¥ª²¨¢­ ¿ § ¬¥­  ª®®°¤¨­ ², ·²® ¢ ­®¢®© ±¨±²¥¬¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¬¥² ¢¨¤ q0(x0) =  (x0 ) +  (x0 ) +  (x0 ) = 0: ‚ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² §­ ª®¢ i ¢®§¬®¦­» ¯¿²¼ ±«³· ¥¢: 1  ¨  ®¤­®£® §­ ª ,    | ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®£®, § ¬¥­®© ¡ §¨±  ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ (x00) + (x00) , (x00) = 0: 2 ¢±¥ i ®¤­®£® §­ ª , ³° ¢­¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ª ¢¨¤³ (x00) + (x00) + (x00) = 0: 3  = 0,    ¨  ° §­»µ §­ ª®¢, ²®£¤  (x00) , (x00) = 0: 4  = 0,    ¨  ®¤­®£® §­ ª , ²®£¤  (x00) + (x00) = 0: 5  =  = 0, ²®£¤  (x00) = 0: Œ» ¤®ª § «¨ ±«¥¤³¾¹³¾ ²¥®°¥¬³. 11

1

2

12

1

2

22

1

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2

1

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23

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33

3

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2

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3

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2

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2

2

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2

2

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3

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2

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’¥®°¥¬  17.19.

3

2

2

1

2

2

2

‘³¹¥±²¢³¥² ±¨±²¥¬  ®¤­®°®¤­»µ ª®®°¤¨­ ², ¢ ª®²®°®© ¤ ­­ ¿

ª°¨¢ ¿ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ¨¬¥¥² ®¤¨­ ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ¢¨¤®¢:

1 2 3 4 5

(x ) (x ) (x ) (x ) (x ) 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

+ (x ) + (x ) , (x ) + (x ) =0

’¥®°¥¬  17.20.

2 2 2 2

2 2 2

2

, (x ) = 0 (®¢ «) 3

2

+ (x ) = 0 (¬­¨¬»© ®¢ «) =0 (¯ °  ° §«¨·­»µ ¯°¿¬»µ) =0 (¯ °  ¬­¨¬»µ ¯°¿¬»µ) (¯ °  ±®¢¯ ¢¸¨µ ¯°¿¬»µ) 3

2

‘³¹¥±²¢³¥²

°®¢­®

¯¿²¼

³ª § ­­»µ

ª« ±±®¢

½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨

ª°¨¢»µ ¢²®°®£® ¯®°¿¤ª  ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°®¥ª²¨¢­»µ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨©.

117


„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ±¨«³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬» ­³¦­® ²®«¼ª® ¯®ª § ²¼, ·²® ª°¨-

¢»¥ ¨§ ° §­»µ ª« ±±®¢ ­¥½ª¢¨¢ «¥­²­». ²® ±«¥¤³¥² ±° §³ ¨§ ²®£®, ·²® ¯°¿¬»¥ ¯¥°¥µ®¤¿² ¢ ¯°¿¬»¥ ¨ ·²® ° ­£ ¬ ²°¨¶» ±®µ° ­¿¥²±¿. 2 ‡ ¬¥· ­¨¥ 17.21. Š ª ¬» ³¦¥ ¢¨¤¥«¨,  ´´¨­­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ | ½²® ¯°®¥ª²¨¢­®¥, ¯¥°¥¢®¤¿¹¥¥ ­¥±®¡±²¢¥­­³¾ ¯°¿¬³¾ ¢ ­¥±®¡±²¢¥­­³¾, ¨ ®£° ­¨·¥­­®¥ ­  ±®¡±²¢¥­­»¥ ²®·ª¨. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®¥ª²¨¢­»¥ ª« ±±» ¬®£³² ±®¤¥°¦ ²¼ ­¥±ª®«¼ª®  ´´¨­­»µ. ˆ¬¥­­®, ®¢ « | ½²® ½««¨¯±, £¨¯¥°¡®«  ¨ ¯ ° ¡®« , ¬­¨¬»© ®¢ « | ¬­¨¬»© ½««¨¯±, ° §«¨·­»¥ ¯°¿¬»¥ | ¯ ° ««¥«¼­»¥ ¨«¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¥±¿ ¯°¿¬»¥,  ­ «®£¨·­® ¤«¿ ¬­¨¬»µ. °¨ ½²®¬ ½««¨¯± | ®¢ «, ­¥ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨© ­¥±®¡±²¢¥­­³¾ ¯°¿¬³¾, £¨¯¥°¡®«  | ®¢ «, ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨© ­¥±®¡±²¢¥­­³¾ ¯°¿¬³¾, ¯ ° ¡®«  | ®¢ «, ª ± ¾¹¨©±¿ ­¥±®¡±²¢¥­­®© ¯°¿¬®©.

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Лекции Троицкий