Issuu on Google+

РЕГИ ОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ИО «MATHMAN»

МАТЕМАТИКА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ, 2009


ГОСУДАРСТВЕННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ГИМНАЗИЯ-ИНТЕРНАТ №664 ГОРОДА САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Ильязов И.Ф. Региональная олимпиада «Mathman»: математика / И.Ф. Ильязов. – Санкт-Петербург: Гимназия-интернат №664, 2009. – 24 с.

© Гимназия-интернат №664 © И.Ф. Ильязов 2


СОДЕРЖАНИЕ Задачи по математике за 2008 год Задачи для учеников 7 классов

4

Задачи для учеников 8 классов

7

Задачи для учеников 9 классов

10

Задачи для учеников 10 классов

13

Задачи по математике за 2009 год Задачи для учеников 7-8 классов

16

Задачи для учеников 9-10 классов

20

3


Задачи по математике за 2008 год Задачи для учеников 7 классов 0, 3 0, 003 + равно: 0, 003 0,3 Б) 10, 0001 В) 100, 01 Г) 1000,1

1. Значение выражения А) 1, 0001

1

2. Вычислите 1−

1 1 2

1−

А) 0

Б)

Д) другой ответ

1 2

В) -1

Д) другой ответ

Г) 1

3. Вычислить: 1 − 2 − 4 − 8 − 16 = ?

А) 19

Б) 13

В) -13

Г) 11

Д) 14

4. Упростите выражение a − ( 3 − ( a − 7 ) − a ) + 5

А) a + 9

Б) − a + 9

В) a − 5

Г) 3a + 9

Д) 3a − 5

 6 1  y2 + 6 y + 9 + 5. Упростите выражение:  2 . ⋅ 5  y −9 3− y  y −3 y −3 y+3 y+5 А) Б) − В) − Г) − 3 5 5 5

7 5

Д)

6. На рисунке АВ = ВС = СD, ∠ABC = 64 0 . Найдите ∠ CBD . B

А) 29

0

Б) 34

0

В) 36

7. Упростите выражение:

А) abc 8. Если

А) 1

Б) a + b + c

0

A Г) 390

C Д) другой ответ

a −b b−c c−a + + ab bc ca В) 1 Г) 0

D

Д) −1

m 1 n − 2m равно: = , то значение выражения n 3 m Б) 3 В) -1 Г) -3 Д) другой ответ

9. В произведении a ⋅ b каждый множитель уменьшили на 3. На сколько уменьшилось это произведение? А) на a + b + 3 Б) на 3a + 3b В) на 3 ( a + b − 3 ) Г) на 9 Д) другой ответ 10. Многочлен 3x 4 − 6 x3 − 3x 2 + 6 x разложили на множители. Какое из указанных ниже выражений не является множителем? А) x − 2 Б) x − 1 В) x Г) x + 1 Д) x + 2 4


11. На рисунке AB CD , СК ⊥ CD , ∠ PAB = 120 0 , ∠ PKC = 75 0. Найдите ∠ APK . A B P

А) 450

Б) 400

В) 350

K

Г) 300

C Д) 250

D

12. В театральном зале 28 рядов по 26 мест в каждом. Все места пронумерованы, начиная с 1 ряда. В каком ряду находится место под номером 397? А) 14 Б) 15 В) 16 Г) 17 Д) другой ответ 521 + 521 + 521 + 521 + 521 . 13. Сократите дробь: 524 1 1 1 4 1 А) Б) В) Г) Д) 5 25 50 25 100 14. Какое из указанных ниже чисел самое большое? 2 22 2 А) 22 22 Б) 2 222 В) 222 Г) 2 2 Д) 22 2 15. Найдите последнюю цифру числа 82008 . А) 2 Б) 4 В) 6 Г) 8 Д) другой ответ 16. На рисунке AB CD , ∠ ABF = 60 0 , ∠ CDE = 40 0 , ∠ FED = 50 0. Найдите ∠ EFK . A B E К F C D А) 200 Б) 250 В) 300 Г) 400 Д) 500 17. Расстояние между двумя городами равно 420 км. На карте расстояние равно 2,1 см. Каков масштаб карты? А) 1:20000000 Б) 1:2000000 В) 20000000:1 Г) 2000000:1 Д) другой ответ 18. Сумма одной трети и одной четверти некоторого числа составляет половину этого числа увеличенного на 10. Определите это число. А) 150 Б) 120 В) 90 Г) 30 Д) 20 19. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если длину увеличить на 20%, а ширину – на 10%? А) 30% Б) 45% В) 32% Г) 19% Д) 24% 20. a тетрадей стоят b рублей. Определите стоимость c тетрадей, если цену каждой из них снизить на 20%. 5bc 4bc 5ac 4ac А) Б) В) Г) Д) другой ответ 4a 5a 4b 5b

5


21. На рисунке АВС – равносторонний треугольник, BD = EC . Найдите ∠ AKD . B D E К

А) 30

0

A Б) 450

В) 50

0

C Г) 600

Д) 750

22. Из корзины яблок взяли половину всего количества яблок, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. В итоге в корзине осталось 10 яблок. Сколько яблок первоначально было в корзине? А) 100 Б) 140 В) 160 Г) 220 Д) 250 23. На свои деньги Петя мог купить 8 бубликов и 7 пирожных либо 5 бубликов и 8 пирожных. Сколько он мог бы купить одних бубликов? А) 42 Б) 36 В) 29 Г) 21 Д) 17 24. На соревнованиях по фигурному катанию все 9 судей поставили за технику исполнения и за артистизм спортсмена только оценки 5,6 и 5,7. Сумма всех оценок оказалась равной 101,9. Сколько оценок 5,7 получил спортсмен? А) 16 Б) 15 В) 11 Г) 8 Д) другой ответ 25. Сколько целых значений может принимать a , если

А) только одно

Б) два

В) три

Г) четыре

1 a 1 < < . 5 30 3 Д) пять

26. Какое наибольшее значение может принимать число B , если C < B < A и ABC + BCA + CAB = 1665. А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 7 1 1 5 27. Если a + b = , a + c = , b + c = , то какое из следующих утверждений верно? 3 4 6 А) a < c < b Б) b < c < a В) c < a < b Г) a < b < c Д) ни одно из данных утверждений не верно 28. a , b, c - различные натуральные числа. Если a + b = 10 и b − 1 = c 2 , то чему равна сумма всех возможных значений a ? А) 2 Б) 5 В) 7 Г) 9 Д) 10 29. Если x и y – натуральные числа, удовлетворяющие уравнению 2 x + 3 y = 27 , то число возможных значений у равно А) 5 Б) 4 В) 3 Г) 2 Д) другой ответ 30. Если a , b , c - целые числа, a ⋅ c = 8 , a ⋅ b = 12 , то наибольшее значение выражения a + b + c равно А) 9 Б) 10 В) 12 Г) 21 Д) другой ответ

6


Задачи для учеников 8 классов 0,12 6 330 1. Если ⋅ ⋅ = 1 , то n равно 120 n 0,33 А) 1 Б) 0,6 В) 6 Г) 60 Д) -1 1 1 1 1 1 2. Если S = 1 − + − + ... + − . Какое из следующих утверждений верно? 2 3 4 99 100 1 1 А) S > 1 Б) < S < В) S < 0 Г) S > 2 Д) никакое 4 2 3. Неполное частное от деления числа x на 3 равно y , а остаток равен 2. Остаток от деления числа y на 8 равен 3. Тогда остаток от деления x на 24 равен А) 5 Б) 6 В) 9 Г) 11 Д) 15 4. Значение выражения

А)

1 4

Б) ±

1 4

252 − 242 равно 16 7 7 В) Г) ± 4 4

Д)

1 2

5. Между какими последовательными целыми числами находится значение выражения

(

)

15 − 27 ⋅ 3

А) -3 и -2

Б) -2 и -1

В) -4 и -2

Г) -4 и -3

Д) -4 и -1

6. На рисунке АВС и АDE – равносторонние треугольники. AB = AE , AE ⊥ AC. Найдите ∠EDB. E B D

А) 10

0

Б) 15

0

A В) 240

C Г) 300

Д) определить нельзя

7. Если в выражении x 2 − y 2 значения у увеличить на 2, то значение исходного выражения А) увеличится на 2 Б) увеличится на 4 В) уменьшится на 4 Г) уменьшится на 4у+4 Д) не измениться 8. Какое из указанных ниже выражений следует прибавить к выражению

1 , чтобы получить a

1 a+3

А)

1 3

Б) 3

В)

1 a+3

Г)

−3 a ( a + 3)

Д)

1 a ( a + 3)

9. Если a b − 5 = c b + 8 , где а, b, c – натуральные числа, то какое из следующих утверждений обязательно верно? А) а и с – нечетные числа Б) а и с – четные числа В) если а – четное, то с – нечетное число Г) если с – четное, то b – нечетное число Д) ни одно 7


10. На сколько процентов увеличится покупательная способность населения (т.е. количество товаров которое можно приобрести на данную сумму денег), если цены на все товары снизить на 20%? А) на 100 Б) на 200 В) на 250 Г) на 300 Д) на 400 11. На рисунке ∠BAD = 640 , ∠BDA = 530 , ∠BDC = 590 , ∠DCB = 600. Какая сторона самая длинная? C B

А) BD

A Б) AD

D

В) CD

Д) все одинаковые

Г) BC

12. Через трубу в бассейн вливается m литров воды за a часов, а через другую – n литров воды за b часов. Сколько воды вольется в бассейн за t часов, если открыть обе трубы. t (m + n) t ( ma + nb ) m n А) Б) В) t ( ma + nb ) Г) t  +  Д) определить нельзя a+b 2  a b 13. Если a > 0, b < 0, то, какое из утверждений не верно?

А) 3 a + 4b > 0

Б) 2 a (10 − 3b ) > 0

В) −2 a ( −3a + b ) > 0

Г)

3b − 4a <0 2b

Д) ни одно

14. Какое из указанных множеств содержится в множестве решений неравенства 5 x − 14 < 8 x − 20 А) [ 0; 2 ] Б) [1; 2 ] В) [ 2;3] Г) [1;3] Д) ни одно 15. Если x > −1, y > 12, то, какие из указанных, ниже неравенств обязательно верно? А) xy > −12 Б) xy < 12 В) −12 < xy < 12 Г) xy < −12 Д) ни одно 16. На фотографии палка, прислоненная к забору, имеет длину 2см, а высота забора 4,5см. Какова настоящая высота забора, если настоящая длина палки 1м? А) 2,25 м Б) 4,5 м В) 45 см Г) 22,5 см Д) 2,5 м 17. Если длину прямоугольника уменьшить на 2 единицы, а его ширину увеличить на 2 такие же единице, то, как изменится его площадь? А) увеличится Б) уменьшится В) останется без изменения Г) определить нельзя Д) ответ зависит от начальных значений длины и ширины 2 ? 3 Д) определить нельзя

18. Какое из чисел: 0,7 или 0,65 является лучшим приближением числа

А) 0,7

Б) 0,65

В) одинаковы

Г) 0,69

19. Графики функций y = 5 x − b и y = kx + 4 симметричны относительно начала координат. Каковы знаки коэффициентов b и k ? А) b > 0, k > 0 Б) b > 0, k < 0 В) b < 0, k > 0 Г) b < 0, k < 0 Д) определить нельзя 20. Какое из указанных ниже неравенств верно при любых значениях a и b ? А) a 2 + b 2 ≤ 2ab Б) a 2 + b 2 > 2ab В) a 2 + b 2 > ab Г) a 2 + b 2 < ab Д) ни одно

8


21. На рисунке АВС – равносторонний треугольник, BD = EC . Найдите ∠ AKD . B D K К E

А) 30

0

A Б) 450

В) 60

C Г) 750

0

Д) 850

22. Если ( 2 x + 1)( x − 3 ) = 0 , то 2 x + 1 может быть равно 1 1 А) только 0 Б) только − В) 0 или 7 Г) − или 7 2 2 2

Д) только 7

2

23. Если ( x − 3) + ( 3 y + 48 ) = 0 , то разность x − y равна А) -13 Б) 19 В) -19 Г) 13 Д) 0 24. Длины сторон прямоугольника являются корнями уравнения 3 x 2 − 5 x + 1 = 0 . Чему равен его периметр? 5 10 А) 5 Б) В) 10 Г) Д) 15 3 3 25. Если x1 и x2 корни уравнения 3 x 2 + 17 x − 35 = 0 , то какое из указанных ниже утверждений верно? А) x1 + x2 > x1 x2 Б) x1 + x2 = x1 x2 В) x1 + x2 < x1 x2 Г) это уравнение не имеет корней Д) ни одно 26. Об уравнении ax 2 + a ( a − 1) x − a = 0 известно, что a – некоторое целое число. Тогда какое из следующих утверждений не верно А) Существует такое a , что уравнение имеет 2 корня Б) Существует такое a , что уравнение не имеет корней В) Существует такое a , что любое значение x является его корнем Г) Все утверждения верны Д) Все утверждения не верны 27. Функция f ( x ) = x 2 − 2 x определена на множестве [ −2; 2 ] . Каково множество значений этой функции? А) [ 0; 4 ] Б) [ −1; 4 ] В) [ 0;8 ] Г) [ −1;8 ] Д) [ 0;1] 28. Если f ( x ) = x 2 + ax + b, p ( x ) = bx + a и уравнение f ( x ) = p ( x ) имеет два коня разных знаков, то какое утверждение обязательно верно? А) a > 0, b > 0 Б) a < 0, b < 0 В) a > b Г) a < b Д) a = b 29. Если f ( x ) = x 2 + bx + c, f (1) > 0, f ( 4 ) < 0 , то

А) b > 0, c > 0

Б) b > 0, c < 0

В) b < 0, c > 0

Г) b < 0, c < 0

Д) b = c = 0

30. Четырехугольный пирог разрезали по диагоналям на 4 куска. Три куска взвесили: получилось 120 г, 200 г и 300 г, а четвертый съели. Сколько весил съеденный кусок? 120

А) 120 г

300 200

Б) 180 г

В) 280 г

Г) 330 г 9

Д) 390 г


Задачи для учеников 9 классов 1. В каком из указанных ниже выражений вместо … следует поставить знак ≥ , чтобы получилось верное числовое неравенство? 1 1 7 7  4  4 А) 976 ⋅ ( −2 ) ...976 : ( −2 ) Б) 1324 ⋅ ...1324 : В) 716 : ...716 ⋅ Г) 32 ⋅  −  ...32 :  −  6 6 3 3  5  5  3  3 Д) 29 ⋅  −  ...29 :  −   7  7 2. Расстояние между двумя городами равно 420 км. На карте расстояние равно 2,1 см. Каков масштаб карты? А) 1:20000000 Б) 1:2000000 В) 20000000:1 Г) 2000000:1 Д) 2000:1 3. Если a , b, c - последовательные натуральные числа, причем a < b < c , то значение a + 2b + 3c + 4 выражения равно 6 А) 2a + 1 Б) a + 2 В) a + 3 Г) a + 12 Д) a + 1 4. Если в прямоугольнике длину a увеличить в 2 раза, а ширину b уменьшить в 2 раза, то периметр полученного прямоугольника можно вычислить по формуле b b a+b  А) P = 2  2a +  Б) P = 2 ( a + b ) В) P = 2a + Г) P = a + b Д) P = 2 2 2  5. Если длина прямоугольника a = 2, 4 ± 0,1 , а ширина b = 1,8 ± 0,1 , то приближенное значения его периметра равно А) 4, 2 ± 0,1 Б) 8, 4 ± 0,1 В) 8, 4 ± 0, 2 Г) 8, 4 ± 0, 4 Д) 4, 2 ± 0, 4 6. В произведении a ⋅ b каждый множитель уменьшили на 3. На сколько уменьшилось это произведение? А) на a + b + 3 Б) на 3a + 3b В) на 3 ( a + b − 3 ) Г) на 9 Д) на 3 7. Как изменится цена товара, если ее сначала увеличить на 20%, а затем уменьшить на 20%? А) останется прежней Б) увеличится В) уменьшится Г) изменение зависит от цены товара Д) не достаточно данных 8. Если a , b , c - целые числа, a ⋅ c = 8 , a ⋅ b = 12 , то наибольшее значение выражения a + b + c равно А) 9 Б) 10 В) 12 Г) 21 Д) 35 9. Один рабочий изготавливает n деталей за a часов, другой рабочий изготавливает n таких же деталей за b часов. Сколько деталей изготавливают оба рабочих за 1 час? n n n n 2n 2n А) Б) В) Г) Д) + a b a+b ab a+b ab 10. a тетрадей стоят b рублей. Определите стоимость c тетрадей, если цену каждой из них снизить на 20%. 5bc 4bc 5ac 4ac 20ac А) Б) В) Г) Д) 4a 5a 4b 5b b

10


11. Известно, что A = 44 2 + 37 2 , B = 43 2 + 38 2 . Сравните A и B . А) A > B Б) A = B В) A < B Г) сравнить нельзя

Д) недостаточно данных

12. Сколько различных пар целых чисел (a; b ) удовлетворяют условию ab = −6 ? А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 8 Д) 9 13. Если x , y - натуральные числа, удовлетворяющие уравнению 2 x + 3 y = 27 , то число возможных значений y равно А) 5 Б) 4 В) 3 Г) 2 Д) 1 14. Три прямые заданы уравнениями: 1) y − x = 5 , 2) 2 y + 5 = 2 x , 3) y + x = 5 . Какие из этих прямых параллельны? А) 1 и 2 Б) 1 и 3 В) 2 и 3 Г) все прямые параллельны Д) среди этих прямых параллельных нет 15. Графики функций y = 5 x − b и y = kx + 4 симметричны относительно начала координат. Каковы знаки коэффициентов k и b ? А) b > 0 , k > 0 Б) b > 0 , k < 0 В) b < 0 , k > 0 Г) b < 0 , k < 0 Д) b = k = 0 16. Многочлен 3 x 3 − 2 x 2 + x − 7 делится на многочлен x 2 − 3 x + 1 с остатком, равным А) − 19 x Б) 19 x − 14 В) − 32 x Г) − 32 x − 14 Д) x − 14 17. Если А) -13

(x − 3)2 + (3 y + 48)2 Б) 19

= 0 , то разность x − y равна В) -19 Г) 13 Д) 3

18. При каких значениях a степень многочлена ( a 2 − 1) ( 3x − 4 ) ( 2 − 7 x 4 ) + ( a + 1) ( 3 − x − x 2 )( 2 x 2 − 1) равна 4? А) ни при каких a Б) только при a = 1 В) при a = 1 или a = −1 Г) при любых значениях a Д) другой ответ 19. Найдите все значения a , при которых уравнение x 2 − 7 x + a 2 − 64 = 0 имеет два корня разных знаков. А) a < 0 Б) a > 0 В) − 8 ≤ a ≤ 8 Г) − 8 < a < 8 Д) другой ответ 20. Найти сумму всех корней уравнения (x 2 − 2 x − 5 ) = (3 x + 1)4 . А) -6 Б) -10 В) 10 Г) 6 Д) другой ответ 4

21. Если f ( x ) = x 2 + ax + b , p ( x ) = bx + a и уравнение f ( x ) = p (x ) имеет два корня разных знаков, то какое утверждение обязательно верно? А) a > 0 , b > 0 Б) a < 0 , b < 0 В) a > b Г) a < b Д) a = b 22. Известно, что f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 . Сравните f (0.73 ) и f (0.87 ) . А) f (0.73) > f (0.87 ) Б) f (0.73) = f (0.87 ) В) f (0.73) < f (0.87 ) Г) сравнить нельзя Д) другой ответ 23. Решением неравенства ax 2 + bx + c > 0 является промежуток ( x1 ; x 2 ) , где x1 и x 2 - числа одного знака. Каковы знаки коэффициентов a и c ? А) a > 0 ; c > 0 Б) a > 0 ; c < 0 В) a < 0 ; c > 0 Г) a < 0 ; c < 0 Д) определить нельзя

11


24. Для какой из указанных ниже функции, множество (− ∞;0 ) является ее областью определения? 1 1 1 1 1 А) f ( x ) = Б) f ( x ) = В) f ( x ) = Г) f ( x ) = Д) f ( x ) = x x −x x+ x x x +1 25. Укажите все значения a , при которых функция y = (6 + 3a )x + 5 не является возрастающей? А) a < −2 Б) a ≤ −2 В) a > −2 Г) a ≥ −2 Д) a = −2

26. Если f ( x ) = x 2 + bx + c, f (1) > 0, f ( 4 ) < 0, то

А) b > 0 ; c > 0

Б) b > 0 ; c < 0

В) b < 0 ; c > 0

Г) b < 0 ; c < 0

Д) b = с = 0

27. Об уравнении ax 2 + a ( a − 1) x − a = 0 известно, что a - некоторое целое число. Тогда какое из следующих утверждений не верно? А) Существует такое a , что уравнение имеет 2 корня. Б) Существует такое a , что уравнение не имеет корней. В) Существует такое a , что любое значение x является его корнем. Г) Все утверждения верны. Д) Все утверждения не верны. 28. Сколько положительных членов содержит последовательность, заданная формулой общего члена x n = 18 − 3n ? А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 7 29. Геометрическая прогрессия задана формулой общего члена bn = 3 ⋅ 2 2 − n . Чему равен знаменатель этой прогрессии? 1 1 А) 2 Б) -2 В) Г) − Д) 1 2 2 30. Известно, что последовательность a1 ; a 2 ; a 3 ; …- арифметическая прогрессия. Какая из указанных ниже последовательностей не является арифметической прогрессией? А) 2a1 ; 2a 2 ; 2 a 3 ; …

Б) a1 + 1 ; a 2 + 2 ; a3 + 3 ; … В) a1 + a 2 ; a 2 + a3 ; a3 + a 4 ; … Г) все указанные последовательности являются арифметическими прогрессиями Д) ни одна

12


Задачи для учеников 10 классов 1. Если x +

А) 34

1 1 = 6, то x 2 + 2 равно x x Б) 36 В) 38

Г) 43

Д) 48

2. Укажите верное высказывание А) Пифагор был знаком с Евклидом Б) Ньютон и Эйнштейн переписывались В) Эйлер жил в Петербурге Г) Ломоносов читал труды Лобачевского Д) Великая теорема Ферма была доказана в 19 веке 3. Автомобиль проехал 300 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч, а вторую – 60 км/ч. Средняя скорость движения равна А) 60 км/ч Б) 70 км/ч В) 75 км/ч Г) 80 км/ч Д) 90 км/ч 4. Эйфелева башня имеет высоту 300 м и сделана целиком из железа. Ее вес 8000 тонн. Сделана ее точная железная копия, которая весит 1 кг. Какова высота копии? А) 0,0375 м Б) 8 см В) 80 см Г) 1,5 м Д) 8 м 5. Какое из чисел расположено ближе к 1? А) (0,1)100 Б) (0,9)1000 В) (1,1)10 6. Число

А)

(

Г) 50,01

Д) 20,1

3 + 2 2 равно

3+ 2

)

2

Б) 1 + 2

В)

3+ 2 2

Г) 1 + 2 2

Д)

3+ 8

7. У пиратов в ходу монеты в 1,2 и 5 пиастров. В кармане у Флинта 10 пиастров. Тогда число монет у него в кармане не может быть равно А) 8 Б) 7 В) 6 Г) 4 Д) 3 8. Число 2 ⋅ 22000 + 3 ⋅ 22001 равно А) 22002 Б) 22003

В) 22004

Г) 3 ⋅ 22002

Д) другой ответ

9. Цена билета в театр выросла на 40%, а выручка снизилась на 16%. На сколько процентов уменьшилось число зрителей? А) 10% Б) 16% В) 20% Г) 40% Д) 60% 10. Выражение 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + … - 60 равно А) – 60 Б) – 30 В) 0 Г) 36

Д) 60

11. В комнате находятся 2 собаки, 4 птички и 3 мухи. Сколько лап у всех животных вместе? А) 22 Б) 34 В) 16 Г) 36 Д) 24 12. Сколько целых чисел находятся между числами 1,12 и 18,03? А) 18 Б) 19 В) 16 Г) 17 Д) невозможно определить 13. Какое число меньше всех других? А) 1995 Б) 9519 В) 1995

Г) 1995

13

Д) 19952


14. Миша пишет целые числа от 1 до 1995. Сколько раз он напишет цифру 0? А) 199 Б) 489 В) 589 Г) 169 Д) 714 15. Поезд проходит мост длиной 250 метров за 1 минуту, а мимо телеграфного столба он проходит за полминуты. Какова длина поезда? А) 100 м Б) 125 м В) 150 м Г) 250 м Д) 300 м 16. Угол α равен 30º

α 50º

А) 200

40º

Б) 250

В) 300

Г) 350

Д) 600

17. После двукратного повышения цены на 25% банка сока стала стоить 3750 рублей. Какова была ее исходная цена? А) 2040 руб. Б) 1875 руб. В) 2500 руб. Г) 2700 руб. Д) 2400 руб. 18. Чему равна сумма квадратов разности кубов чисел 2 и 1 и числа 3? А) 40 Б) 54 В) 58 Г)90

Д) 98

19. Какую цифру надо вставить вместо *, чтобы число 567*80 делилось на 90? А) 0 Б) 2 В)3 Г)4 Д) 1 20. Какой угол образуют стрелки часов в половине второго? А) 1800 Б) 1200 В) 1300 Г) 1500 Д) 1350 21. Ваня задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 9, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумал Ваня? А) 20 Б) 30 В) 40 Г) 50 Д) 60 22. Когда Гулливер попал в Лилипутию, то обнаружил, что там все ровно в 12 раз короче, чем на его родине. Сможете ли вы сказать, сколько лилипутских спичечных коробков помещается в спичечной коробке Гулливера? А) 1023 Б) 1298 В) 1536 Г) 1612 Д) 1728 23. У всех 25 учеников на родительское собрание пришли папы и мамы. Мам было 20, а пап – 10. У скольких учеников на родительское собрание пришли и папы, и мамы? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4 Д) 5 24. Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий? А) 12 Б) 22 В) 4 Г) 6 Д) 8 25. В ящике лежат шары: 5 красных, 7 синих и 1 зеленый. Сколько шаров надо вынуть, чтобы достать 2 шара одного цвета? А) 10 Б) 12 В) 3 Г) 4 Д) 5 26. Старший брат идет от школы до дома 30 минут, а младший – 40 минут. Через какое время старший брат догонит младшего, если тот вышел из школы на 5 минут раньше? А) 25 Б) 20 В) 15 Г) 10 Д) 5

14


27. Лошадь может съесть воз сена за 1 месяц, коза – за 2 месяца, а овца – за 3 месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена? 1 6 8 2 А) 1 месяц Б) месяца В) месяца Г) месяца Д) месяца 2 11 21 7 28. На школьной олимпиаде по шахматам выступило 6 команд, в каждой команде было по 5 учеников. Сколько всего партий было сыграно на олимпиаде, если каждая команда играла с каждой по одной игре? А) 25 Б) 20 В) 15 Г) 10 Д) 5 29. Улитка ползает по столбу высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а за ночь опускается на 4 м. За какое время улитка доберется от подножия до вершины столба? А) 4,5 суток Б) 5 суток В) 5,5 суток Г) 6 суток Д) 6,5 суток 30. В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята? А) Вика, Соня, Боря, Денис и Алла Б) Вика, Алла, Денис, Боря и Соня В) Алла, Соня, Вика, Денис и Боря Г) Денис, Вика, Алла, Боря и Соня Д) Алла, Вика, Боря, Соня и Денис

15


Задачи по математике за 2009 год Задачи для 7-8 классов 1. Поезд длиной 1 км медленно движется со скоростью 1 км/ч и вползает в туннель, длина которого 1 км. За сколько времени он полностью пройдет туннель? А) 1 час Б) 1 час 30 мин В) 2 часа Г) 3 часа Д) 30 мин 1 1 1 равно + + 10 100 1000 3 3 111 111 А) Б) В) Г) 1110 1000 1000 1110 2. Число

Д)

3 111

3. Из данных чисел выберите число, ближайшее к

А) 0,001

Б) 0,01

В) 0,1

Г) 1

20 ⋅ 0, 3 ⋅1997 . 10000

Д) 10

4. Известно, что 7% от числа а равно 107% от числа b . Найдите отношение

А)

1 100

Б)

107 7

В)

7 100

Г)

7 114

Д)

b . a

7 107

5. Какое максимальное число точек пересечения могут иметь 8 окружностей? А) 16 Б) 64 В) 38 Г) 44 Д) 56 6. Полный бидон с молоком весит 7 кг, а наполн��нный наполовину – 4 кг. Сколько весит бидон? А) 1 кг Б) 0,5 кг В) 1,5 кг Г) 2 кг Д) 2,5 кг 7. В классе 35 учеников, причем число мальчиков составляет 75% от числа девочек. Сколько мальчиков в классе? А) 10 Б) 15 В) 20 Г) 25 Д) 30

a 2 + 2аb a 1 8. Если = , то число 2 равно b 3 b + 2 аb 7 15 7 7 А) Б) В) Г) 1 Д) 1 15 7 8 8 9. 45% от

А) 108

7 от 240 рано 12 21 Б) 140 В) 80

Г) 63

Д) 6300

10. Какая из дробей самая большая? 7 66 555 4444 А) Б) В) Г) 8 77 666 5555

Д)

33333 44444

11. На плоскости проведены 4 прямые. Пусть n - количество их точек пересечения. Тогда n не может быть равно А) 0 Б) 2 В) 3 Г) 5 Д) 6

16


12. Сколько имеется треугольников с периметром 15 см, каждая из сторон которых измеряется целым числом сантиметров? А) 1 Б) 5 В) 7 Г) 19 Д) 45 13. Какое наибольшее число осей симметрии может иметь фигура, составленная из трех равных отрезков? А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6 Д) 9 14. Если a : b = 9 и b : с = 5 : 3 , то ( a − b ) : ( b − с ) равно

А) 7 :12

Б) 25 : 8

В) 4 :1

Г) 5 : 2

15. Известно, что a + b + c = 7 и

А)

19 10

Б)

17 10

В)

9 7

3 2

Г)

Д) 6 :15

1 1 1 7 а b с равно + + = . Тогда + + a + b b + c a + c 10 a+b b+c a+c 10 Д) 7

16. Определите, соответствуют ли ниже понятия и круговые схемы друг другу. 1. Учебное пособие (А), книга (В), таблица (С), таблица логарифмов (D):

В А

D C

Ответ: __________________ 2. Часть речи (А), существительное (В), глагол (С), наречие (D), глагол прошедшего времени (Е): C

B

E D

Ответ: __________________ 3. Рота (А), взвод (В), отделение (С):

А

В

С

Ответ: __________________

17


17. Определите, соответствуют ли ниже понятия и круговые схемы друг другу. 1. Время (А), минута (В), секунда (С), час (D):

А

С B

D

Ответ: __________________ 2. Студент (А), спортсмен (В), рабочий (С): C B A

Ответ: __________________ 3. Инженер (А), строитель космических кораблей (В), рабочий (С), конструктор (D): B D

A C

Ответ: __________________ 18. Определите, соответствуют ли ниже понятия и круговые схемы друг другу. 1. Хищник (А), млекопитающее (В), травоядное С): B

A

C

Ответ: __________________

18


2. Преступление (А), взятка (В), грабеж (С): А

В

C

Ответ: __________________ 3. Орудие преступления (А), пистолет (В), огнестрельное оружие (С):

А С В

Ответ: __________________ 19. Числа a и b удовлетворяют равенству

выражения

2a b + = 2 . Найдите все возможные a+b a−b

3a − b . a + 5b

20. Найдите все такие целые числа с, при которых дробь

19

c+7 является целым числом. c−4


Задачи для учеников 9-10 классов 1. Выражение

А) 32 x 5 y 5 z 5

5

( 2 xyz ) равно 15 Б) 10 ( xyz ) В) 32 x 2 yz 2

2. Произведение

А)

7

12

Б)

12

3

Г) 7 + xyz

Д) 10 xyz

4 ⋅ 4 8 равно

12

В)

7

32

Г)

12

32 Д) 212 32

1 1 = 6 , то x 2 + 2 равно x x Б) 36 В) 38 Г) 43 Д) 47

3. Если x +

А) 34

4. На плоскости через данную точку провели 20 прямых. Наибольшее число прямых углов, которые могут появиться при этом, равно А) 10 Б) 20 В) 30 Г) 40 Д) 50 2000

 5 +1  5 −1  5. Произведение чисел  и     2   2  52000 − 1 52000 + 1 А) Б) В) 41000 Г) 1 Д) 0 42000 42000

2000

равно

6. Какое из чисел расположено ближе к 1? 100

А) ( 0,1)

1000

Б) ( 0,9 )

10

В) (1,1)

Г) 5 0,01 Д) 20,1

7. Если −1 < 2 x + 3 < 1 , то число −2x + 4 находится между А) 4 и 6 Б) −2 и 0 В) 0 и 2 Г) 2 и 4 Д) 6 и 8 8. Для скольких целых чисел n число

А) 0 Б) 1

n + 11 целое? n+7

В) 2 Г) 6 Д) 8

9. Цена на сахар снизилась на 20%. На сколько процентов больше сахара, чем раньше, можно купить теперь на 100 рублей? А) 20% Б) 25% В) 40% Г) 50% Д) 15% 10. Сколько процентов 6 процентов составляет от 40 процентов? 3 100 А) 15% Б) 24% В) % Г) % Д) 6% 20 24 11. Число

А)

(

3+ 2

3 + 2 2 равно

)

2

Б) 1 + 2

В)

3+ 2 2

Г) 1 + 2 2 Д)

3+ 8

12. Отношение углов треугольника 1:5: 6. Длина наибольшей стороны – 6 см. Какова длина высоты, опущенной на наибольшую сторону? А) 1 см Б) 1,5 см В) 2 см Г) 2,5 см Д) 3 см

20


13. В треугольнике ABC медианы, выходящие из вершин B и C , перпендикулярны. Чему равно CA 2 + BA 2 ? А) BC 2 Б) 2BC 2 В) 3BC 2 Г) 4BC 2 Д) 5BC 2 14. Какая из следующих функций ограничена на [ 6;∞ ) ?

А) x ⋅ sin x Б) x +

1 x

В) 5 − x 2 Г)

x+5 Д) 1 + х x −5

15. Влажность скошенной травы равна 60% , а влажность сена - 15% . Сколько килограммов сена получится из тонны травы? 8000 А) Б) 460 В) 850 Г) 900 Д) 615 17 16. Сколько целых решений имеет уравнение 2 х ( 6 − х ) = 8 х ? А) 0 Б) 1 В) 2 Г) 3 Д) 4 17. Известно, что a + b + c = 7 и

А)

19 10

Б)

17 10

В)

9 7

Г)

3 2

1 1 1 7 а b с равно + + = . Тогда + + a + b b + c a + c 10 a+b b+c a+c 10 Д) 7

2х2 + 7 x + 7 12 х 2 − ( 9b − 8 ) x + 12 определена на всей числовой оси и принимает только положительные значения. 18. Найдите все значения параметра b , при которых функция g ( x ) =

 y = a − 1 − x 19. При каких значениях параметра а система уравнений  имеет  x ( a − 1 − x ) = 3a − 8 единственное решение? 20. Найдите все значения параметра а , при которых уравнение только два решения.

21

7 x 2 + 2ax − 5a 2 = x + a имеет


ЛИТЕРАТУРА 1. Все задачи «Кенгуру» / Составители: Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – Спб., 2003. 2. Аганов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. – М., 2003 3. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс. – М., 2003.

22


Ильязов Ильдар Фяритович Региональная олимпиада «Mathman»: математика

Формат 60×80 Усл. печ. л. 0,5 Тираж 50 экз.

Гимназия-интернат №664 города Санкт-Петербург 115088, г. Санкт-Петербург, пр. Ударников, д.17, стр.2 www. 664.classnote.ru 23


ГИМНАЗИЯ-ИНТЕРНАТ №664

24


Сборник заданий по математике олимпиады "Mathman"