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Anteprima Estratta dall' Appunto di Analisi 2 Università : Politecnico di Milano Facoltà : Ingegneria

Indice di questo documento L' Appunto Le Domande d'esame

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Cognome............................Nome................................Matricola........................

Analisi Matematica 2 - EDA Prof. Monica Conti 15 febbraio 2005 • Le risposte alle domande devono essere scritte su questi fogli nello spazio sotto il testo. • Ogni risposta deve essere giustificata.

y 0 + 2xy 2 = 0 y(0) = −1

e.

co

(

m

1. Dato il problema di Cauchy

rib

(a) dimostrare che il problema dato ha una e una sola soluzione

Ct

(b) determinare la soluzione, specificando qual `e il pi` u ampio intervallo su cui `e definita

AB

Svolgimento: (a) Richiamiamo il Teorema di esistenza e unicit`a locale: dato il seguente problema di Cauchy: (

y 0 = f (x, y) y(x0 ) = y0

con f (x, y) e fy (x, y) funzioni continue in I X J, con I e J intervalli appartenenti ad R. Allora ∀(x0 , y0 ) ∈ I X J, ∃! soluzione del problema di Cauchy. In questo esercizio f (x, y) = −2xy 2 , quindi f e tutte le sue derivate sono continue in R2 (dato che f ha un’esperssione polinomiale). (b) Risolviamo l’equazione differenziale come un’equazione a variabili separabili: dy = −2xy 2 , dx di conseguenza: Z Z dy = −2xdx + C y2 1

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