El teorema de las probabilidades totales solamente se áplica cuando los acontecimientos alternativos son excluyentes. Pero, puede ser necesario calcular las probabilidades de acontecimientos complejos constituidos por la aparición de al menos uno de dos o más alternativas que no son excluyentes. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara al lanzar dos veces una moneda al aire? Sabemos que la probabilidad de sacar cara en la primera moneda es 1/2 y que la de sacar cara en la segunda moneda es también 1/2. Pero la suma de estas probabilidades separadas es 1, o sea la certeza y no es de ningún modo seguro que al menos saldrá cara una vez, pues pueden salir ambas cruces. El quid de la cuestión aquí, es que los dos acontecimientos no son excluyentes, pues pueden producirse ambos. Para calcular la probabilidad de la aparición de acontecimientos no excluyentes alternativos, el teorema de las probabilidades totales no es aplicable directamente. Pero hay dos métodos que pueden usarse para calcular las probabilidades de este tipo. El primer método de calcular la probabilidad de que se produzca al menos uno de dos acontecimientos no excluyentes exige el desmembramiento o análisis de los casos favorables en acontecimientos excluyentes; En el problema de hallar la probabilidad de que al menos aparezca una cara al lanzar dos veces una moneda al aire, los casos igualmente posibles son cara-cara, caracruz, cruz-cara y cruz-cruz. Estos casos son excluyentes y cada uno de ellos tiene la probabilidad ¼. Los tres primeros son favorables, esto es, si se produce alguno de los tres será verdad que en las dos tiradas, cara aparece al menos una vez. Por consiguiente, la probabililiad de obtener cara al menos una vez es igual a la surna de las probabilidades separadas de todos los casos favorables excluyentes, o sea 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. El otro método para calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos acontecimientos no excluyentes depende del hecho de que ningún caso puede ser simultáneamente favorable y desfavorable y del hecho de que todo caso debe ser, o bien favorable, o bien desfavorable. Si 'a' designa un acontecimiento, por ejemplo el de obtener al menos una cara al lanzar dos veces al aire una moneda, designaremos con a el acontecimiento desfavorable a a, es decir, el acontecimiento de no obtener ninguna cara al lanzar al aire dos veces una moneda. Puesto que ningún caso puede ser al mismo tiempo favorable y desfavorable, a ya son excluyentes, esto es, no pueden darse los dos y puesto que todo caso debe ser, o bien favorable, o bien desfavorable, es seguro que debe producirse a o a. Puesto que cero es la probabilidad que asignamos a un acontecimiento que consideramos imposible, y uno la probabilidad asignada a un acontecimiento cuya aparición es segura, son verdaderas las dos ecuaciones siguientes: P(a ya) = O P(a o a) = 1 donde P(a ya) es la probabilidad que ocurran a ya, y P (a o a) es la probabilidad de que ocurra a o a. Puesto que a ya son excluyentes, es aplicable el teorema de las probabilidades totales y tenemos: Pla o al = Pla) p(a) De las dos últimas ecuaciones se obtiene: P(a) -1- P(a) = 1 de lo cual resulta p(a) = 1 – (a). Por lo tanto, podemos calcular la probabilidad de que se produzca un suceso, calculando primero la probabilidad de que el suceso no se produzca y luego restando de 1 ese número. Aplicado al suceso de obtener al menos una cara al arrojar al aire una moneda dos veces, podemos ver fácilmente que el único caso en que el suceso no ocurre es cuando sale cruz las dos veces. Este es el caso desfavorable, que por el teorema de las probabilidades compuestas es 1/2 X 1/2 = 1/4; de donde la probabilidad de que se produzca el acontecimiento de sacar al menos una cara al lanzar al aire una moneda dos veces, es 1 -1/4 = 34. He aquí otro ejemplo de un suceso compuesto por casos alternativos pero no excluyentes: si se extrae una bolilla de cada una de dos urnas, la primera de las cuales contiene dos bolillas blancas y cuatro negras, y la segunda tres blancas y nueve negras, ¿ cuál es la probabilidad de obtener al menos una bolilla blanca ? Este problema puede resolverse por cualquiera de los dos métodos analizados en los párrafos anteriores. Podemos dividir los casos favorables en alternativas excluyentes. Estas son: una bolilla blanca de la primera urna y una negra de la segunda, una negra de la primera y una blanca de la segunda, y dos blancas. Las probabilidades respectivas de estos tres casos son: 2/6 X 9/12 = 1/4, 4/6 X 3/12 = = 1/6 y 2/ 6 X 3/12 = 1/12. Luego, el teorema de las probabilidades totales para alternativas excluyentes nos da
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