Issuu on Google+

Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа Конкурс научно-технического творчества молодежи (НТТМ) Интернет-сайт: http://ify.ulstu.ru. Ульяновск, 2011 год УДК.539.374

Исследование напряженно-деформированного состояния вязкопластической полосы ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» Трофимова Елена, студентка 3 курса физико-математического факультета Научный руководитель: Пономарева Татьяна Тажутиновна, к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа Напряженное состояние жесткопластической полосы рассмотрено в работах [1,2], из вязкопластического материала  в [3], [4]. Рассмотрим вязкопластическую полосу, ослабленную двумя симметричными выточками, уравнение которых имеет вид y   h  qx 6 ,   1, q  const , (1)

где 2h  наименьшая ширина образца. Основными соотношениями для решения задачи будут: уравнения равновесия  xy  y  x  xy  0  0  x  y x y , , (2)

 ,  ,  где x y xy компоненты напряжения; условие пластичности для вязкого материала  x   y    x   y 2  4 xy   xy 2  4k 2

,

(3)

 , , где x y xy – компоненты скорости деформации, k  предел текучести,   коэффициент вязкости; формулы Коши u   v   1  u  v  xy x  y 2  y x  y , x , , (4) u, v где – компоненты скорости перемещения. Согласно ассоциированному закону пластического течения для компонент скорости деформации, из (3) имеем  x   y  2  x   y     x   y   xy  4  xy   xy    0 , , . (5) Решение будем искать в виде  ij   ij0   ij  ij   ij0   ij u  u 0  u  v  v 0  v    0    , , , , , 0 0 0  y   xy   xy  0 , (6)


Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа Конкурс научно-технического творчества молодежи (НТТМ) Интернет-сайт: http://ify.ulstu.ru. Ульяновск, 2011 год где   малый безразмерный параметр, индекс «ноль» приписан компонентам невозмущенного состояния   0 , индекс «штрих» – компонентам возмущенного состояния. 0 В дальнейшем положим, что   0 . Откуда получим 0 0  x0  2k ,  x   y  0

(7) (начальное состояние недеформированное). Для компонент возмущенного состояния уравнения равновесия (2) и формулы Коши (4) сохраняют свой вид. Учитывая (6) и (7), линеаризируем соотношения (3) и (5). Для первого приближения получим  x   y    x   y   0 , (8) 1    x   y  0  xy  0   4k  x , , . (9) Линеаризированные граничные условия, аналогично [2], имеют вид  y  0  xy  12kqx5 , при y  h . (10) Согласно (4), (9), для нахождения компонент u  и v  получим систему двух дифференциальных уравнений u  v  u  v   0  0 x y  y  x , , (11) решение которой, согласно (1), будем искать в виде полиномов шестой степени. 6 Так как v   qx при y  h , то u   6qx 5 y  20qx 3 y 3  6qxy 5  45qhx 3 y 2  1 1  3qhx 5  22 qhxy 4  15qh 3 x 3  45qh 3 xy 2  9 qh 5 x 2 2 , 6 4 2 2 4 6 4 v   15qx  15qx y  15qhx y  qy  15qhx y  1 1  45qhx 2 y 3  4 qhy 5  45qh 3 x 2 y  15qh 3 y 3  8 qh 5 y 2 2 . (12) Тогда из (4), (6), (12) компоненты скорости возмущенного состояния  x  30qx 4 y  60qx 2 y 3  6qy 5  15qhx 4  135qhx 2 y 2  1 1  21 qhy 4  45qh 3 x 2  45qh 3 y 2  9 qh 5 2 2 , 4 2 3 5 4  y  30qx y  60qx y  6qy  15qhx  135qhx 2 y 2 

1 1  21 qhy 4  45qh 3 x 2  45qh 3 y 2  9 qh 5 2 2 ,  xy  0 .

деформации

(13)


Молодежный инновационный форум Приволжского федерального округа Конкурс научно-технического творчества молодежи (НТТМ) Интернет-сайт: http://ify.ulstu.ru. Ульяновск, 2011 год Используя соотношения (8), (13), исключим из линеаризированных  уравнений равновесия компоненту напряжения  x :  y  xy   30q  8qx 3 y  8qxy 3  4qhx 3  18qhqhxy 2  6qh 3 x x y ,  xy  y  0 x y . (14) Решение системы (14) запишем в виде полиномов пятой степени с неопределенными коэффициентами, которые определим методом неопределенных коэффициентов, согласно линеаризированным граничным условиям (10), тогда:  xy  12kqx5  60kqxy 4  90qhxy 3  60k  3 qh 3 xy , 4 2 3 2 2  y  60kqx y  120k  2 qx y  270qhx y  30qhx 4 

 45qhy 4  30kqh3 x 2  30k  2 qh 3 y 2 .

(15)  Согласно (15), (8) и (13), получим компоненту напряжения  x :  x  60k   qx 4 y  120k   qx 2 y 3  12qy 5  45qhy 4 

 30k  30 qh 3 x 2  30k  6 qh 3 y 2  19qh 5 ,

(16) Таким образом, мы определили возмущенное состояние в первом приближении. В данной работе исследуется напряженно-деформированное состояние вязкопластической полосы, ослабленной пологой выточкой. Определены полиномиальные решения компонент скоростей перемещения, скоростей деформации, напряжения возмущенного состояния. Полученные результаты могут быть применены в технологии машиностроения, горной промышленности, авиастроении, при исследовании конструкций на прочность. Список литературы 1. Ишлинский, А. Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута / Прикладная математика и механика. 1943. – Т. 7. – Вып. 2. – С. 109-130. 2. Онат, Е., Прагер, В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца / В. сб. «Механика». – М. : Наука, 1955. – № 4. – С. 9397. 3. Ивлев, Д. Д., Рыбакова, Т. И. Об устойчивости вязкопластической полосы // ДАН. – 1998. – Т. 358. – № 4. –С. 490-491. 4. Пономарева, Т. Т. Напряженно-деформированное состояние вязкопластической полосы, ослабленной пологой выточкой // Сборник научных трудов студентов, аспирантов и докторантов. Вып. 10. – Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2001. – С. 170–173.


/Trofimova_E