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ERATÓSTENES Eratóstenes, nació en Cirene (Libia) en el año 276 a.C. Estudió en Atenas y después fue nombrado bibliotecario de la gran biblioteca del museo en Alejandría. Trabajó en geografía, astronomía, matemáticas, filosofía, cronología, gramática, crítica literaria y también era poeta. Sus compañeros le llamaban péntalos, porque era un atleta capaz de tomar parte de cinco pruebas distintas, y también le llamaban beta porque destacó en distintos campos, pero en todos ellos fue considerado como el segundo más importante.


ERATÓSTENES Hace más de 2000 años, cuando Eratóstenes trabajaba en la biblioteca de Alejandría encontró por casualidad un documento en el que se decía que en Asuán (Siena), al sur de Egipto, en determinadas fechas (exactamente en el mediodía del solsticio de verano) la luz del Sol se reflejaba en el fondo de un pozo. Dedujo que si esto era cierto sería debido a que los rayos del Sol caían perpendiculares al suelo y los objetos verticales no tendrían sombra. Pero en Alejandría, donde él estaba, esto no ocurría. Y Eratóstenes intentó encontrar una explicación...


RAZONÓ ASÍ:

Alejandría

...pero, en el mismo momento, en Alejandría sí las hay...

Asuán

...la superficie de la Tierra debe ser curva.

Si en Asuán no hay sombras...


RAZONÓ ASÍ: Porque, si la Tierra fuera plana, dos objetos en distintos lugares proyectarían la misma sombra.


NUESTRO EXPERIMENTO: Mediremos la sombra de dos objetos en dos lugares: Bergara (Guipúzcoa) y Hellín

Si la Tierra es curva, esas sombras medirán distinto. Con la diferencia de esas sombras y un poco de Matemáticas, podremos calcular el radio de la Tierra.


¿QUÉ NECESITAMOS MEDIR? • El ángulo que forman los rayos

Este

del Sol con el gnomon en Bergara y en Hellín.

Para ello necesitamos la altura del gnomon (palo utilizado para provocar la sombra), la longitud de la sombra y un poco de trigonometría.

• La distancia entre Bergara y Hellín Podemos medirla sobre un mapa (utilizando la escala y una “regla de tres”) o también utilizando el programa Google Earth.


ADEMÁS... ...necesitamos que el Sol, Bergara, Hellín y el centro de la Tierra estén en el mismo plano, para simplificar los cálculos. Como Bergara (longitud 2°24'48.09"O) y Hellín (longitud 1°42'11.92"O) están en el mismo meridiano (aproximadamente, pues están a menos de un grado de longitud), el momento más adecuado para realizar las mediciones será cuando el Sol pase por ese meridiano. En ese instante el sol alcanza su altura máxima y las sombras que produce serán las más cortas de todo el día. Como no sabemos a qué hora ocurre esto, realizaremos varias medidas y, a partir de ellas, podremos saber cuándo ocurrió y cuál fue la sombra más corta.


Y así calculamos el instante y la longitud de la sobra mínima Se marcaron posiciones de la sombra del gnomon en diferentes instantes (desde las 11:45 hora local hasta las 13:45 hora local)

A partir de dichas medidas se encontró el punto de mínima sombra y el instante en el que se produjo (13:11 hora local). En ese momento el sol cruzó nuestro meridiano (“transito del sol”) y además la sombra marcó la dirección Norte/Sur)


¿QUÉ HACER CON LAS MEDIDAS? Una vez que tengamos la medida de la sombra más corta, podemos calcular el ángulo que necesitábamos:

altura

Â

sombra

 = arctg sombra altura


Resultados obtenidos en Bergara Hora tránsito: 13:14 minutos Altura del gnomon: 78 cm Longitud de la sombra en el momento del tránsito (sombra mínima): 67 cm

altura

Â

sombra

tg = sombra altura  = arctg sombra = altura = arctg 67 =40’66º 78


Resultados obtenidos en Hellín Hora tránsito: 13:11 minutos Altura del gnomon: 80 cm Longitud de la sombra en el momento del tránsito (sombra mínima): 58 cm

altura

Â

sombra

tg = sombra altura  = arctg sombra = altura = arctg 58 =35’94º 80


La distancia utilizando Google Earth es 514’40 km


La distancia utilizando mapas y escalas result贸 513 km 隆una buena aproximaci贸n (comparada con el valor obtenido con Google Earth)!


¿Y ahora qué? En este momento tenemos tres datos:

^ = Ángulo medido en Bergara P^ = Ángulo medido en Hellín B D = Distancia entre Bergara y Hellín Rayos de sol (¡paralelos!)

= ángulo medido en Bergara = ángulo medido en Hellín = ángulo en el centro de la Tierra


Y ESTE ES EL RAZONAMIENTO:

+

= 180ยบ

(por ser รกngulos suplementarios)


Y ESTE ES EL RAZONAMIENTO:

+ +

= 180ยบ +

= 180ยบ

(por ser los รกngulos de un triรกngulo)


Y ESTE ES EL RAZONAMIENTO:

+ + es decir:

=

= 180ยบ + +

= 180ยบ


Y ESTE ES EL RAZONAMIENTO:

+ + = o, lo que es lo mismo:

=

= 180ยบ + +

= 180ยบ


Y ESTE ES EL RAZONAMIENTO: Ya tenemos el ángulo formado por Bergara y Hellín en el centro de la Tierra.

=

= 40’66º - 35’94 = 4’72º

Ahora, utilizando nuestros conocimientos de geometría, en particular la fórmula para la longitud de un arco de circunferencia:

2·π·R L = 360º ·nº

L

EL RADIO DE LA TIERRA!! 360º ·513 360º · L R= = = 6227 km 2 · π · nº 2 · π · 4’72º

¡¡YA PODEMOS DESPEJAR


Análisis de los resultados BERGARA-HELLÍN Radio de la tierra obtenido: 6227 km Radio de la tierra REAL: 6370 km Error absoluto cometido: 6370 km - 6227 km = 143 km Error absoluto cometido

·100 = 2 % = 143 6370

Longitud de la circunferencia terrestre: 39125 km Longitud REAL de la circunferencia terrestre: 40000 km


Anรกlisis de los resultados HELLรN-BERGARA-SORIA-DURANGO-ALGORTA-BURGOS


Análisis de los resultados NIVEL NACIONAL E INTERNACIONAL www.astronomia2009.es

Actividad organizada con motivo del año internacional de la astronomía


CRÉDITOS: • Departamentos que han colaborado Matemáticas y Física y Química • Alumnos participantes 1º Bachiller , 4º ESO 26-Marzo-2009


Medida del radio de la tierra

26-Marzo-2009


Radiotierra  
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