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Lic. Walter Guerrero Guerreo


Expresiones Algebraicas • Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. • Ejemplos

a) x 2 2 xy b) 2 x

y 2 x3

x. y 2 x c) 2 x 1 2


Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas Racionales

Enteras

Irracionales

Fraccionarias

3


Expresión Algebraica Racional • Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación • Ejemplo 2

2

x x. y 2 2y 1

3

4


5

Ejemplos de expresiones racionales

1)

x 3 2x 5 2

2)

x 5x x3 25 x 2

3)

x x 6 x2 2 x 3


6

Simplificaci贸n de expresiones racionales Procedimiento para simplificar expresiones racionales 1. Factorice completamente el numerador y el denominador de la expresi贸n racional. 2. Cancele o divida aquellos factores que sean comunes (iguales) en el numerador y en el denominador.


7

Ejemplos Simplifique cada expresi贸n racional.

4x xy 1) 16 y 2

2)

4w 2 1 2w

x 4 y

x

x

4 y 4 y

4 y

y 4

2 2w 1 1 2w

2 2w 1 2w 1

2 1

2


8

3)

x 2 10 xy 24 y 2 x 2 5 xy 4 y 2

3

4)

8 x 27 2x 3

x 6y x 4y

x 6y x y

x 4y x y

2 x 3 4 x2 6 x 9 2x 3

4x

2

6x 9


9

Suma y resta de expresiones racionales Procedimiento para sumar y/o restar expresiones racionales. 1. Para sumar o restar expresiones racionales con el mismo denominador; sumamos o restamos los numeradores conservando el denominador común. 2. Para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos, a. Encuentra un denominador común, el denominador común recomendado es el mínimo común múltiplo.


10

b. Encuentra las expresiones equivalentes usando el denominador comĂşn. c. Suma o resta los numeradores y coloca el resultado sobre el denominador comĂşn. d. Simplifica si es posible.


11

Efect煤e la operaci贸n indicada.

1)

5x 3 x 7

2x 5 x 7

5x 3 2 x 5 x 7 2

2)

2x x 3 x 2

x 3x 4 x 3 x 2

2x

x 2 3x 4

2

x 3 x 2

7x 2 x 7

2 x x 3x 4 x 3 x 2

x

2

5x 4 x 3 x 2


12

3)

x 4 x 2 x

2

x 4 x 1

3x 5 x 1

3x 5 x 2

x 2 x 1

x 4x 4

3x

2

6 x 5 x 10

x 2 x 1

x

2

2

x 4 x 4 3x 6 x 5 x 10 x 2 x 1


13

x2

x 4 x 4 3x 2 6 x 5 x 10 x 2 x 1 2

2x 2x 6 x 2 x 1


14

4)

2y

2

y 7y 3

2

y 3 y 1 2 2 4 y 4 y 3 2 y 3y 9

y y 3 + 2y 1 y 3 2y 1 2y 3 y 2y 3

y 3 y 3

y

2

2y 1 2y 3 y 3

y2 1 2y 3 y 3 1 2y 1


y 2y 3

y2 1 2 y 1

y 3 y 3

2y 1 2y 3 y 3 2y

2

3y

y

2

6y 9

2y

3

y

2

2y 1

2y 1 2y 3 y 3

2y

2

3y

2

3

y 6y 9 2y y 2y 1 2y 3 y 3

2

2y 1

15


16

2 y2 3y

y 2 6 y 9 2 y3 y 2 2 y 1 2y 1 2y 3 y 3

2 y 3 4 y 2 5 y 10 2y 1 2y 3 y 3


17

Multiplicaci贸n de expresiones racionales Procedimiento para multiplicar expresiones racionales 1. Factorizar los numeradores y denominadores de las expresiones racionales. 2. Dividir los factores comunes que hayan entre los numeradores y denominadores. 3. Multiplicar los numeradores y colocar el resultado sobre la multiplicaci贸n de los denominadores.


18

Ejemplos 1.

2.

x

2

4

x2

3x 2

x2

2x 8 2 x 9

x 1 2x 4

x 3 x 4

x 2 x 2

1 2

x 1 x 1 x 2 2 x 2

x 2 x 4 x 3 x 3 x 2 ; x x 3

3, x

x 3 x 4 3, x

4


19

3.

x

2

2x 8 x 2 16

x 4 x 2 x 4 x 4 x 4 x 2

x 4 x 2

1 , x 4, x 2

x 2x 4. 2 x 1

4, x

2

x x 2

x 1 x 1 x 1 x 2

x 1 x 2

x x 1

, x 1, x

1, x

2


Divisi贸n de expresiones racionales Procedimiento para dividir expresiones racionales 1. La divisi贸n se cambia a la multiplicaci贸n por el reciproco del divisor. 2. Factorizar los numeradores y denominadores de las expresiones racionales. 3. Dividir los factores comunes que hayan entre los numeradores y denominadores. 4. Multiplicar los numeradores y colocar el resultado sobre la multiplicaci贸n de los denominadores.

20


Ejemplos Lleva a cabo la operaci贸n indicada. 2

1.

x 9 2 x 4

x 3 x 3

x 3 2x 4

x 2 x 2

x 3 x 3 2 x 2 x 2 x 2

x

2

2 x 3

x 3

x 2

2

2x 1 x x 2 2. 3 2 x x 3x 3 x 1 x 1 x 2 x 1 x x

2

1

3 x

2

1

21

x 3 2 x 2 2x 6 x 2


x 1 x 1

x 2 x 1

2

2

x x

1

x 1 x 1 x x

2

3 x 1 x x 2

1

3 x 3 x

2

1 1

x 2 x 1 3x 3 2 x 2x

22


3.

x

2

6x 9 2 x 3x

23

2

x 2x 3 2 3x 3x

x 3 x 3

3x x 1

x x 3

x 3 x 1

3


Definici贸n Una fracci贸n compleja es una divisi贸n de dos expresiones racionales. Ejemplos x

y x

1)

x

y y

3)

a 3 a 3a

2)

1 5 x 1 5 2 x x

24


25

Procedimiento para simplificar fracciones complejas. 1. Simplifica las operaciones en el numerador. 2. Simplifica las operaciones en el denominador. 3. Cambia la divisi贸n a la multiplicaci贸n por el reciproco del divisor. 4. Multiplica las expresiones racionales.


26

Procedimiento alterno para simplificar fracciones complejas 1. Encuentra el denominador comĂşn de los denominadores en las expresiones racionales del numerador y del denominador. 2. Multiplica el numerador y el denominador de la fracciĂłn compleja por el denominador comĂşn.


27

Ejemplos: Simplifique cada fracci贸n compleja.

1)

3 4 1 4

2 3 1 6

2)

1 c d 1 d c

3 12 4 1 12 4

2 3 1 6

1 cd c d 1 cd d c

9 8 3 2

2

17 1

cd c 2 cd d

17

c cd 1 d cd 1

c d


28

x 1 xy 2 2 2 xy x y

3)

2

x y 2

x y

2

2

1 x

x y2

x y2

1 x2 y

1

1 x x y2

2

xy x3

x y2 1 x2 y

x y

3


29

4)

x x

1 2

x2 x x2 2 x

x x

2 1

x2 2 x x2 x

1 1 2 x x 1 1 2 x x x 1 1 x

1 1 2 x x 1 1 2 x x

2

x 2 x


30

Simplifica la fracci贸n compleja simplificando el numerador y el denominador primero.

5)

x x

1 2

x x

2 1

x 1 2 x x 1 x2

1 1 2 x x 1 1 2 x x

x x2 1 2 x

1 x2 x 2 x

x 1 x2 2 x x 1

x 1 x 1

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Definición y ejemplos de las expresiones algebraicas racionales