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Théodolite et coordonnées

5 Gisements et distances

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Théodolite et coordonnées 1 Détermination du gisement et de la distance 1.1 Le gisement

Définition. Le gisement d'une direction AB est l'angle horizontal mesuré positivement dans le sens horaire entre l’axe des ordonnées du système de projection utilisé et cette direction AB. On le note GAB ou aussi VAB Représentation Mathématique, c’est l’angle positif en sens horaire entre l’axe des ordonnées du repère et le vecteur. G est compris entre 0 et 400 gon. GAB est l’angle entre le Nord (ordonnées) et la direction AB.

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Théodolite et coordonnées GBA est l’angle entre le Nord et la direction BA. La relation qui lie GAB et GBA est GBA = GAB + 200

Calcul d'un gisement à partir des coordonnées cartésiennes Considérons les coordonnées de deux points A(EA, NA) et B(EB, NB) . La relation suivante permet de calculer GAB :

Tan GAB = EB – EA NB - NA Remarque : L’équation Tan G = K (G étant le gisement inconnu et K la valeur calculée à partir des coordonnées), ne peut se résoudre qu'à l'aide d'une calculatrice. Mais attention, cette équation a plusieurs solutions, il existe donc plusieurs valeurs possibles pour G. Votre calculatrice ne vous donnera que la valeur comprise entre -100 gon et +100 gon.

–100 gon < G < 100 gon

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Théodolite et coordonnées En effet, tan G= tan(200 +G) = tan(G – 200).

Votre calculatrice ne donne pas forcément l'angle G qui correspond au problème que vous cherchez à résoudre. La calculatrice donne la valeur de l'angle auxiliaire g. Pour obtenir GAB, il faut donc tenir compte de la position du point B par rapport au point A ; on parle de quadrants : ● Quadrant 1 : B est à l'est et au nord de A (∆E > 0 et ∆N> 0).  GAB = g ● Quadrant 2 : B est à l'est et au sud de A (∆E> 0 et ∆N< 0). GAB = 200 + g (avec g< 0) ● Quadrant 3 : B est à l'ouest et au sud de A (∆E< 0 et ∆N< 0). GAB = 200 + g (avec g> 0) ● Quadrant 4 : B à l'ouest et au nord de A (∆E< 0 et ∆N> 0). GAB = 400 + g (avec g< 0)

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Théodolite et coordonnées 1.2 La distance Considérons les points A (EA, NA) et B (EB, NB) La distance entre ces deux points est :

D=

(EB – EA)² + (NB – NA)²

2 Utilisation du gisement pour calculer des coordonnées

Il est très fréquent de connaître un point S (ES, NS) et de chercher les coordonnées d’un point P visible depuis S. On dit que P est rayonné depuis S si l’on peut mesurer la distance horizontale DSP et le gisement GSP. Quel que soit le quadrant, on peut alors calculer les coordonnées du point P par les formules suivantes :

EP = ES + DSP x sin GSP NP = NS + DSP x cos GSP A défaut de mesurer directement GSP, on mesure un angle avec une direction dont le gisement est connu ou bien on calcule un G0 moyen de station

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Théodolite et coordonnées Application : Le point S a pour coordonnées Lambert (m) les valeurs (680 379,84 ; 210 257,06), Sachant que : DSP = 45,53 m et GSP = 172,622 gon. Calculez les coordonnées Ep et Np de P.

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