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MATEMÁTICA II NÚMEROS COMPLEJOS

1. NUMEROS COMPLEJOS Definimos la unidad compleja: i / i 2 = −1 Dado un número complejo z = a + bi , lo representamos en el plano complejo de la siguiente forma:

C a + bi

b

ρ ϕ

a

Al eje “de las x”, lo denominamos eje real, y es donde representaremos la parte real del número complejo, el eje “de las y” es donde representaremos la parte imaginaria del número complejo: Re( z ) = Re(a + bi ) = a Im( z ) = Im(a + bi ) = b

Representación polar de un número complejo cos ϕ = senϕ =

a

ρ

→ a = ρ cos ϕ

b

→ b = ρ senϕ ρ a + bi = ρ cos ϕ + ( ρ senϕ ) i = ρ ( cos ϕ + isenϕ )

Donde ρ es el módulo del número complejo y se define de la siguiente forma: ρ = z = a2 + b2 =

2

2

[ Re( z)] + [ Im( z )]

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Propiedades del módulo: z ≥ 0 ∀z ∈ 

1.

z =0↔ z=0

2. α z = α . z ∀α ∈ ; ∀z ∈  3. z + u ≤ z + u ∀z ∈ ; ∀u ∈  ϕ se denomina argumento del número complejo, se define de la siguiente forma: b  

ϕ = Arctg   ; y toma valores en el intervalo ( −π , π ] a

Por

lo

tanto

un

número complejo z = a + bi , se z = ρ ( cos ϕ + isenϕ ) = ρ , donde ρ = z = a 2 + b 2 y ϕ ∈ ( −π , π ] ϕ

puede

escribir

como

Observación ¿cómo pasamos de la forma polar a la forma binómica de un complejo?  2 π π 2  z = 2π = 2  cos + isen  = 2  +i  = 2 + 2i 4 4 4 2    2

¿cómo pasamos de la forma binómico a la forma polar? z = 1− i 2 z = 12 + ( −1) = 2   ⇒ z = 2 −π 4  1 −   ϕ = Arctg   = − π 4   1  

En la tabla de tangente, encontramos dos ángulos para los cuales la tangente vale -1, en este caso nos quedamos con el de argumento negativo: ϕ

tgϕ 0 

0  3π

4



−π 

1

−1 

4

−1

-1

z = 1− i



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Operaciones con números complejos  z = a + bi u = c + di

Dados los números complejos 

1. Igualdad Dos complejos son iguales, si y solo tanto su parte real como su parte imaginaria es igual: a = c z=u⇔ b = d

2. Suma de complejos (Resta) Para sumar complejos, se suman por un lado la parte real de ambos complejos y por otro su parte imaginaria: z + u = ( a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i

Ej z1 = 2 + i   z1 + z2 = 3 − 2i ⇒ z2 = 1 − 3i   z1 − z2 = 1 + 4i

La suma de complejos verifica: • Conmutativa: z + u = u + z • Asociativa: ( z + u ) + v = z + ( u + v ) • Existencia del neutro: z + 0 = (a + bi ) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = z • Existencia del opuesto: z + (− z ) = (a + bi ) + (− a − bi ) = (a + (− a )) + (b + (−b))i = 0 + 0i = 0

3. Producto de complejos z.u = (a + bi )(c + di ) = ac + ad .i + bc.i + bd .i 2 = ( ac − bd ) + ( ad + bc)i

Ej

( −2 + 3i )( −3 − i ) = 6 + 2i − 9i − 3i 2 = 9 − 7i

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Utilizando la notación polar: z = a + bi = ρ  ϕ  → z.u = ( ρ .r )ϕ +θ u = c + di = r  θ 

Demostración: z = ρ = ρ ( cos ϕ + isenϕ )  ϕ  → u = r = r ( cos θ + isenθ )  θ  z.u = ρ ( cos ϕ + isenϕ ) .r ( cos θ + isenθ ) =

ρ .r cos ϕ .cos θ + i.senθ cos ϕ + i.senϕ cos θ + i 2 senϕ .senθ  =     ρ .r ( cos ϕ .cos θ − senϕ .senθ ) + i. ( senθ cos ϕ + senϕ cos θ )  =     sen(ϕ + θ ) cos + ϕ θ ( )   ρ .r cos (ϕ + θ ) + i.sen (ϕ + θ )  = ( ρ .r )ϕ + θ

Ej z1 = 2π  2 ⇒ z .z = 2  1 2 3π 2 z2 = 1π 

El producto de complejos verifica: • Conmutativa: z.u = u.z • Asociativa: ( z.u ) .v = z. ( u.v ) • Existencia del neutro: z.1 = (a + bi).(1 + 0i) = a + bi = z • Existencia del inverso: −b  a2 ab ab b2  a z.z = (a + bi )  2 + 2 i = 2 − 2 i+ 2 i− 2 i2 = 2 2  2 2 2 2 a +b a +b  a +b a +b  a +b a +b 2 2 a b + 2 =1 2 2 a + b a + b2 • Distributiva: ( z + u )v = z.u + u.v −1

Def. Conjugado de un número complejo: z = a + bi ⇒ z = a − bi Ejemplo: z = −2 + 3i → z = −2 − 3i Av. 18 de Julio 1333 Oficina 203 Tels. 29009681-098349852

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Módulo, opuesto y conjugado de un número complejo

z = a + bi

ρ

z = a − bi

− z = −a − bi

4. Cociente de complejos Para “dividir” dos complejos multiplicamos y dividimos por el conjugado de el de abajo:

( 2 − i )( −3 − 2i ) = −6 − 4i + 3i + 2i 2 = −8 − i = −8 − 1 i 2−i = −3 + 2i ( −3 + 2i )( −3 − 2i ) 9 + 6i − 6i − 4i 2 13 13 13 5. Potencia de complejos Para esta operación utilizamos el complejo siempre en su forma polar

z = rϕ ⇒ z k = r k kϕ Ej z = 2π ⇒ z 8 = 288.π = 2562π 4

4

Raíces complejas de un polinomio a. P1 ( x) = x 2 − 2 x + 17 x 2 − 2 x + 17 = 0 → x =

2 ± 4 − 68 2 ± −64 2 ± 64. −1 = = = 2 2 2

2 ± 8.i = 1 ± 4i 2

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b. P2 ( x) = x 3 − x 2 + 4 x − 4 P2 ( x) = x 3 − x 2 + 4 x − 4 1 −1 4 −4 1 1

1

0

4

0

4

0

x 2 + 4 = 0 → x 2 = −4 → x = ± −4 = ± 4. −1 = ±2i

1  raices 2i −2i 

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