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CÁLCULO HOJA 2

HOJA 2. Integrales. Propiedades. Regla de Barrow 1 . Halla el máximo y el 1+ x 1 1 1 1 x8 1 mínimo de f en [ 0,1] . Si se sabe que ∫ x8 dx = , deduce que ≤∫ dx ≤ 9 9 9 2 0 1+ x 0

1. Consideremos la función f dada por f ( x) =

1

1

1 5

2. Si se sabe que ∫ x 4 dx = , que se puede decir del valor de ∫ x 4 senxdx 0

0

1

3. Sea una función continua en » tal que

2

0

1

2

3

1

2

∫ f =∫ f

2

2

1

0

0

0

3

∫ f =∫ f

2

3

f = 4, ∫ f = 8 y ∫ f = 12 . Entonces:

∫f

3

=0

2

3

0

2

∫ f =∫ f

4

1

3

4. Sean f una función continua y F una primitiva de f . Se sabe que

3

f =∫ f ,

1

2

entonces se cumple F (1) = F ( 2 ) . V o F? 6

5. Sean f y g continuas. Se sabe que

∫f

=3 y

4

6

6

4

4

∫ 2 f + 5g = −4 . Entonces ∫ g =

1 −2 2 −1 3 10 4 −10

6. Calcular las siguientes integrales 1

2

1

1 1  2 ∫1  3x − 4 x + 7 − x 2 + x dx

2

1

4

7

1   ∫0  2 x − x + 1  dx

−2

4

π

∫ e dx 6x − 5 x + 1 ∫1 2 x dx

Av. 18 de Julio 1333 Oficina 203 Tels. 29009681-098349852

3

5

8

−3

2

π

6

0

∫ 2senx cos x + cos 4

2

x − 2 cos xdx

4

2

x − sen 2 xdx

0

4

∫ 1 + tg

∫ ( 2 x + 4 − x )dx −1

2

1 ∫1 ( x − x ) x dx

−x

2

9

∫ 1

(

31+ x 2 x

) dx 2

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1


CÁLCULO HOJA 2

7. El valor del número a tal que

2

2

−1

−1

∫ a. x dx = ∫ ( x + 1) dx es:

1 1 2 3 3 9 5 4 11 5

8. Sea f una función con derivada continua que verifica: f ′ ( x ) = e1− x ∀x ∈ » y además f (1) = 0 . Calcular f ( 0 ) 9. Sean f y g funciones con derivada segunda continua en » tales que f ′′ ( x ) = g ′′ ( x ) ∀x ∈ R . Cualesquiera sean f y g en las condiciones dadas se cumple: 1 ∃ k ∈ R / f ( x) = g ( x) + K ∀x ∈ R 2

∃ a, b / f ( x) = g ( x) + ax + b ∀x ∈ R

3

f ( x) = g ( x) ∀x ∈ R

4

f ′( x) = g ′( x) ∀x ∈ R

1

10.

Sea f continua y g con derivada continua que cumplen:

∫f

= −3 ;

0 2

2

∫ 3 f + g ′ = −8 ; g (2) = 5 ; g (1) = 1 . Hallar

∫f

1

0

11. Sean: f : f ( t ) = Arctg

( t)

g : g ( t ) = ( t + 1) Arctg

con t > 0

( t)−

t

con t > 0

x

F : F ( x ) = ∫ f ( t ) dt con x > 0 1

a. pruebe que g es una primitiva de f b. calcule F ( x )

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