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CÁLCULO HOJA 2

HOJA 2. Teorema fundamental del cálculo x

1. Sea H ( x ) = ∫ t 2 .et dt . Entonces H ′ ( x ) = 2

−x

1 2 x 2 .e x

0

2

2 0 3 x 2 .e x

2

(

2

2 x −x 4 x . e +e

2

)

x

2. Sea F ( x ) = ∫ et dt + ∫ e−t dt . Entonces para todo x se cumple: −x

1

−x x −x x −x x 1 F ′ ( x ) = e + e 2 F ′ ( x ) = −e + e 3 F ′ ( x ) = 2e 4 F ′ ( x ) = 2e

x2

3. Sea f : [ 0, + ) → » continua. Si se sabe que la

∫ 0

1 λ = 1 y f (t ) = t

2

2 λ = 0 y f (t ) = t

4

x6 f (t )dt = λ + ∀x ∈ » . Entonces: 3

3 λ = 1 y f (t ) = t 4 4 λ = 0 y f (t ) = t 2

4. Sea f una función con derivada continua en » de la cual se sabe que f (1) = 1 x

y que F ( x ) = ∫ f = xe − x + ax + b ∀x ∈ » 0

Hallar a, b y f x

5. Sean las funciones F ( x ) = ∫ f ( t ) dt y f ( t ) , cuyo gráfico es el de la figura: 1

1 2 3 4

Av. 18 de Julio 1333 Oficina 203 Tels. 29009681-098349852

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1


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Indicar cuales de estas afirmaciones es verdadera. • F tiene un máximo relativo en x=2 • F(x ) < 0 ∀x ∈ [1,4] • F tiene un mínimo relativo en x=3 • F es creciente en [1,3] x

6. Sea F ( x ) = ∫ f ( t ) dt y el gráfico de f: 0

1

F es decreciente en [0,2]

2 F tiene un mínimo en x = 1

3 F tiene un máximo en x = 1 4

7. Sea u ( x ) =

F es creciente en [0,2]

x t e ( t − 1) ex −∫ dt . Entonces ∀x > 0 se cumple que: x 1 t2

1 u(x) = 0

2 u(x ) = e

3 u(x ) = x

4 u(x ) = ex

x

8. Sean f una función en [1, +∞ ) y k un número real tale que

∫ f ( t ) dt = k − xe

1− x

1

Calcula k y f

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2

.


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9. Se considera la función f : » → » dada por f ( t ) = x

∫ f (t )dt = Arctg ( x

2

0

10.

+ 1) −

π 4

2t . Probar que t + 2t 2 + 2 4

∀x ∈ »

+ Se consideran las siguientes funciones definidas en » :

x

x

F : F ( x ) = ∫ cos ( Lt )dt y G : G ( x ) = ∫ sen 2 ( Lt )dt 2

1

1

a. calcula F ( x ) + G ( x ) ∀x ∈ » + b. demuestre que x

F ( x ) − G ( x ) = x cos ( Lx ) .sen ( Lx ) − ∫ cos ( Lt ) sen ( Lt )dt ∀x ∈ » + 1

x3

11. La función derivada de F ( x ) = ∫ L (1 + t 2 ) dt es 1

A F ′ ( x ) = L (1 + x C

6

)

F ′ ( x ) = 3 x 2 L (1 + x5 )

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B

F ′ ( x ) = 3 x 2 L (1 + x 6 )

D F ′ ( x ) = 3x 2 L (1 + x 6 ) − L2

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