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CÁLCULO T.V.M.

2. TEOREMA DEL VALOR MEDIO Sea f(x ) continua en [a, b] , el teorema del valor medio afirma que por lo menos existe un “c”, que cumple que si consideramos el rectángulo de base b-a y altura f(c), el área de este va a ser igual a la integral de la función en ese mismo intervalo:

b

⇒ ∃c ∈ [a, b] / ∫ f (x )dx =  f (c ) .(b − a ) a

valor medio

Ejemplos 1. Ubica aproximadamente el o los números “c” del Teorema del Valor Medio en cada uno de los gráficos que siguen:

Av. 18 de Julio 1333 Oficina 203 Tels. 29009681-098349852

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1


CÁLCULO T.V.M.

f(c)

f(c)

C

C1

C2

c

f(c) f(c)

C

2

2

0

0

2. Hallar el o los “c” del T.V.M para la integral ∫ x3dx , sabiendo que ∫ x 3dx = 4 2

Por T.V.M. ∃c ∈ [ 0, 2] / ∫ x3 dx = f ( c )( 2 − 0 ) 0

2

∫ x dx = 4 ⇒ 4 = 2 f ( c ) ⇒ f ( c ) = 2 ⇒ c 3

0

 

f ( x ) = x3 ⇒ f ( c ) = c 3

3

= 2 ⇒ c = 3 2 ∈ [ 0, 2]

2

3. Hallar el o los “c” del T.V.M para la integral

∫ f ( x )dx , sabiendo que 0

1

∫ x − 1dx = − 1 2

2

y ∫ −3 x 2 + 3dx = −4

0

x −1 f ( x) =  2  −3 x + 3

1

si x ≤ 1 si x > 1 2

Por T.V.M. ∃c ∈ [ 0, 2] / ∫ f ( x )dx = f ( c )( 2 − 0 ) 0 2

1

2

∫ f ( x )dx = ∫ x − 1dx + ∫ −3x 0

0

1

2

1 9 9 + 3dx = − − 4 = − 9 ⇒ − = 2 f ( c ) ⇒ f ( c ) = − 2 2 2 4

9 5 1º . si x ∈ [ 0,1] ⇒ f ( x) = x − 1 ⇒ f ( c ) = c − 1 = − ⇒ c1 = − ∉ [ 0,1] 4 4 c = 7 ∈ (1, 2] 9  2 4 2 2 2º. si x ∈ (1, 2] ⇒ f ( x) = −3 x + 3 ⇒ f ( c ) = −3c + 3 = − ⇒  4 c = − 7 ∉ 1, 2 4 ( ]  3 Av. 18 de Julio 1333 Oficina 203 Tels. 29009681-098349852

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Teorema del Valor Medio  

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