Didac 56-57

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DIDAC

NUEVA ÉPOCA / NÚMEROs 56-57 / JULIO-DICIEMBRE 2010 Y ENERO-JULIO 2011 / UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA

Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Sumario

Teresita Gómez Fernández

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Una palabra de la editora

Artículos

Mario Sánchez 4

¿Qué pueden obtener los profesores de matemáticas al estudiar matemática educativa?

Lucía Zapata-Cardona 9

Algunas reflexiones acerca del conocimiento pedagógico disciplinar del profesor de estadística

Gilberto González Girón 15 Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números

Marisol Silva Laya 21 ¿Por qué fallan los alumnos al resolver Adriana Rodríguez Fernández problemas matemáticos?

Eduardo Mario Lacués Apud 29 Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos

Romà Pujol Pujol, Lluís Bibiloni Matos 36 Polisemia del signo « – » en la introducción Jordi Deulofeu Piquet del número entero

Rosa del Carmen Flores Macías 43 Una propuesta de enseñanza para favorecer Raúl Castellanos Cruz la transición de la aritmética al álgebra en alumnos de secundaria Adriana Nieto Díaz 50 Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística

María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, 56 Un camino hacia la conceptualización desde María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo la propuesta de un variado repertorio de tareas

Patricia Salinas, Juan Antonio Alanís, 62 Cálculo de una variable. Reconstrucción Ricardo Pulido para el aprendizaje y la enseñanza

José Luis Ramírez Alcántara 71 Colaborar para aprender y enseñar matemáticas Manuel Juárez Pacheco en línea

Eduardo Miranda Montoya 76 Epistemología de la transformada de Laplace y sus implicaciones en la didáctica de las matemáticas

Noticias bibliográficas

MariCarmen González Videgaray 82 Reseña: Manual de Investigación para las ciencias sociales: un enfoque de enseñanza basado en proyectos

¿Qué se está haciendo en la uia?

Edmundo Palacios Pastrana, Alfredo Sandoval Villalbazo 85 Línea de investigación: Didáctica de las matemáticas


Una palabra de la editora

Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

Hace más de cien años se creó la International Commission on Mathematical Instruction (icmi), organismo que agrupa a 85 países con el propósito de promover la reflexión, la colaboración, el intercambio y la difusión de ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en los distintos niveles educativos. A pesar de que la actividad del icmi y otras organizaciones similares ha sido intensa, las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas prevalecen y han sido ampliamente documentadas. En todos los campos de la enseñanza es sabido que no basta con conocer la materia: hay que saber enseñarla, pero quizá tratándose de las matemáticas este precepto es más determinante; prueba de ello es el gran número de programas de grado y posgrado sobre didáctica de las matemáticas existentes en todo el mundo, en comparación con los dedicados a otras didácticas específicas. Sin embargo, el divorcio entre la amplia investigación y la práctica de la enseñanza en matemáticas, como sucede en muchos otros campos, es patente. Los resultados de estas investigaciones difícilmente llegan a los docentes; éstos se forman, generalmente, en la práctica —a pesar de la extensa oferta de programas— y pocas veces buscan enriquecerla con material proveniente de aquéllas. Las causas son complejas y de muy diversa naturaleza, y no nos ocuparemos aquí de ellas. Sólo daremos cuenta de que la convocatoria para publicar artículos 2 • Una palabra de la editora Teresita Gómez Fernández. Didac 56-57 (2011): 2-3

en el presente número doble de didac fue testigo de este fenómeno: además de las aportaciones de académicos con amplia trayectoria en el estudio de la didáctica de las matemáticas, se recibieron numerosos artículos de profesores que compartían una forma de dar clase, una secuencia didáctica, un tip, una preocupación, una queja, un sentimiento… aportaciones, sin duda, valiosas, pero que reflejaban una casi total ausencia tanto de referentes de lo que la bibliografía ya había reportado sobre el punto como de una reflexión sistematizada sobre su propia práctica; en algunos casos reflejaban dogmatismos sobre una determinada forma de proceder, y, dicho sea de paso, en ocasiones cuestionable desde las más legítimas aportaciones de la pedagogía. No obstante, y reconociendo el valor que tiene poner en letras algo tan personal como la propia experiencia y someterlo a juicio de los editores, se orientó a la mayoría de los autores para que su texto adquiriera mayor calidad editorial. En algunos casos los autores se fueron quedando en el camino; en otros los efectos fueron favorables y los artículos resultantes se incluyen en este número. Los doce artículos que publicamos en este número doble pueden agruparse en diferentes tipos. Los primeros abordan la cuestión desde el punto de vista de uno de los sujetos del proceso: el profesor. Mario Sánchez analiza las opiniones y experiencias de un grupo de profesores que han cursado estudios en matemática educativa. Elegimos iniciar con


este artículo con la intención de motivar al lectorprofesor a reflexionar sobre su propio proceder en relación con su preparación como docente. Lucía Zapata-Cardona, en un abordaje similar, explora el conocimiento pedagógico disciplinar pertinente para los profesores de estadística. En un segundo grupo se encuentran tres textos relacionados más directamente con el estudiante, con sus aproximaciones cognitivas y con los procesos del pensamiento involucrados en su aprendizaje de las matemáticas. Gilberto González Girón trata las tendencias existentes acerca de las ideas sobre el pensamiento y sostiene que si el profesor conoce los factores que intervienen en este proceso logrará mejores resultados de aprendizaje. Marisol Silva y Adriana Rodríguez se cuestionan sobre las razones por las cuales los alumnos de primaria fallan al resolver problemas matemáticos y nos ofrecen los resultados de una investigación a partir de la cual desarrollan una tipología de las principales limitaciones encontradas. Eduardo Lacués explica las dificultades asociadas a la apropiación de habilidades para el uso competente de los sistemas matemáticos de símbolos, al tiempo que proporciona recomendaciones para su enseñanza. En el siguiente grupo, el más amplio, se presentan distintas propuestas de enseñanza. Romà Pujol, Lluís Bibiloni y Jordi Deulofeu realizan una tipología de la enseñanza de la introducción al conjunto de los enteros y sugieren una metodología híbrida, con una introducción empírica y actividades basadas en el método deductivo. Rosa del Carmen Flores y Raúl Castellanos formulan una propuesta para la transición de la aritmética al álgebra, basada en la estrategia de solución de problemas, orientada a fomentar la autonomía del estudiante. La misma estrategia (resolución de problemas) es propuesta por Adriana Nieto para el aprendizaje de la estadística, con el objetivo de desarrollar en el estudiante la habilidad de pensar en forma crítica. Magdalena

Pagano, Alejandra Pollio, Berenice Verdier y Javier Villarmarzo proponen un repertorio de tareas variado, no rutinario, para conseguir la conceptualización de distintos objetos matemáticos por parte del estudiante. Patricia Salinas, Juan Antonio Alanís y Ricardo Pulido proponen una forma de enseñar cálculo a nivel universitario considerando las distintas fuentes del curriculum, basada también en la solución de problemas. En el campo de los ambientes virtuales, José Luis Ramírez y Manuel Juárez proponen técnicas colaborativas para lograr aprendizajes significativos. Se incluye, asimismo, un artículo de una naturaleza distinta a la de los anteriores, relacionado de manera directa con el objeto de conocimiento propiamente: la génesis de los conceptos matemáticos. Eduardo Miranda explica la epistemología de la transformada de Laplace y sus implicaciones en la didáctica. Decidimos incluir, a manera de reseña, la presentación que realizó MariCarmen González sobre el Manual de investigación para las ciencias sociales: Un enfoque de enseñanza basado en proyectos, de Benilde García, debido a que en ese texto se recurre a las matemáticas, de modo que puede ser un recurso valioso para el profesorado de esta disciplina. Para cerrar, Edmundo Palacios y Alfredo Sandoval nos describen lo que se está haciendo en la uia con respecto a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Una vez más, contamos con las ilustraciones de Lucía Cristerna, estudiante de diseño gráfico de la Universidad Iberoamericana. Finalmente, queremos agradecer a los especialistas que colaboraron con nosotros en el proceso editorial para validar los contenidos propiamente matemáticos. Teresita Gómez Fernández Enero 2011 Una palabra de la editora • 3 Teresita Gómez Fernández. Didac 56-57 (2011): 2-3


¿Qué pueden obtener los profesores de matemáticas al estudiar matemática educativa? Mario Sánchez*

Estudiante de doctorado, Roskilde University, Dinamarca** Profesor, Instituto Politécnico Nacional, México

❂ Resumen Este artículo muestra las opiniones y experiencias de un grupo de seis profesores mexicanos de matemáticas que han cursado estudios de maestría en matemática educativa. Los profesores narran qué los motivó a cursar dichos estudios, mencionan los aspectos positivos y negativos de esa experiencia y comentan si dichos estudios han influido en su práctica docente. La mayoría de los profesores fueron motivados a iniciar estos estudios debido a la necesidad profesional de mejorar su labor como profesores de matemáticas. Algunos profesores aseguran que la matemática educativa no los ha proveído de soluciones directas a los problemas relacionados con su práctica, pero todos coinciden en que estos estudios han cambiado la manera en que perciben su práctica docente. Palabras clave: desarrollo de profesores de matemáticas, relación entre teoría y práctica, matemática educativa. Abstract This paper shows the views and experiences of a group of six Mexican mathematics teachers who have completed graduate studies in mathematics education. Teachers explain what motivated them to pursue that sort of education, they mention the positive and negative aspects of the experience, and discuss whether those studies have influenced their teaching practice. Most teachers were motivated to start these studies due to the professional need to improve their mathematics teaching practice. Some teachers say that mathematics education has not provided them with direct solutions to the problems related to their teaching practice, but everyone agrees that these studies have changed the way they perceive their teaching practice. Key words: mathematics teachers’ development, the relationship between theory and practice, mathematics education.

Introducción Quiero comenzar este texto con una anécdota. Un amigo mío, investigador en matemática educativa 1, había recibido una invitación para viajar al extran* Correo electrónico del autor: marios@ruc.dk ** Con el apoyo del Programa Alßan, Programa de Becas de Alto Nivel de la Unión Europea para América Latina. Beca No. E06D101377MX.

jero y dar algunas asesorías académicas en un par de universidades. Mientras se encontraba desarrollando esas actividades, tuve contacto con él por medio de internet y platicamos de su experiencia. Me contó que había conversado con otros colegas investigadores en matemática educativa y que también se había entrevistado con algunos profesores de matemáticas. Al referirse a estos últimos, mi amigo me dijo:

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“Hablar con los profesores es cosa especial, porque a veces no entienden cosas”. Sé que la frase anterior puede parecer despectiva hacia los profesores de matemáticas, pero éste no es el caso. Creo que ésa es una frase que refleja un fenómeno añejo que surge de la relación entre profesores de matemáticas e investigadores en matemática educativa. Mientras, por un lado, algunos investigadores sienten que sus teorías, métodos y resultados no son del todo comprendidos o apreciados por los docentes de matemáticas, algunos profesores afirman, por el otro, que los investigadores sólo disfrazan con discursos rimbombantes la falta de soluciones directas y aplicables a los problemas cotidianos asociados a su práctica docente y al aprendizaje de los estudiantes. La distancia entre estas dos esferas de la educación matemática (la teoría de los investigadores y la práctica de los profesores), pero sobre todo la búsqueda de una manera de reducirla, ha sido un foco de atención constante para la comunidad internacional de investigadores especializados en la formación de profesores de matemáticas. Este interés puede verse desde hace al menos una década en la literatura especializada, cuando Barbara Jaworski afirmó que una de las causas de la relación problemática entre la teoría y la práctica es que las teorías educativas no toman en cuenta las condiciones y restricciones de los estudiantes y los salones de clase, las cuales afectan a los profesores y la enseñanza (2001: 184). Durante los siguientes diez años la relación entre teoría y práctica ha sido atendida específicamente mediante grupos de discusión en reuniones académicas internacionales (como el grupo temático Inter-Relating Theory and Practice in Mathematics Teacher Education, organizado durante el congreso cerme 3. Véase Jaworski, Serrazina, Koop y Krainer, 2004), publicaciones enfocadas al tema (como el número especial de la revista Journal of Mathematics Teacher Education, año 2007, volumen 9, número

2) y propuestas prácticas (como los proyectos de investigación educativa) en las que existe una muy estrecha colaboración entre profesores de matemáticas e investigadores. Este tipo de investigación colaborativa es también conocida como action research (véase, por ejemplo, Krainer, 2006). Sin embargo, creo que iniciativas como las anteriormente mencionadas, en particular las discusiones académicas en congresos y la publicación de investigaciones especializadas en el tema, tienden a reflejar solamente el punto de vista de los investigadores. Es como mirar el problema de la relación teoría-práctica sólo con la óptica de la investigación. Con este artículo intento abrir un espacio a la opinión de los profesores y las profesoras de matemáticas sobre el tema, considerando su experiencia al realizar estudios de maestría en el área de matemática educativa. Las opiniones de los profesores, de diferentes estados de la República Mexicana, se recolectaron con la aplicación de un cuestionario: ¿Qué es lo que obtuvieron al acercarse al mundo de la teoría educativa? ¿Recomendarían hacer lo mismo a otros? Considero que estas experiencias y opiniones sobre su acercamiento a la matemática educativa serán relevantes tanto para los profesores intersados en conocer más sobre esta disciplina como para los investigadores interesados en el tema de la relación teoría-práctica en el desarrollo y la formación de profesores de matemáticas. Método para desarrollar el escrito Para realizar este escrito fue necesario contactar, primero, a un grupo de profesores de matemáticas que estuvieran dispuestos a compartir sus opiniones sobre su experiencia como estudiantes de posgrado en matemática educativa, y diseñar, después, un cuestionario para vislumbrar la influencia (si es que hubo alguna) de estos estudios en su práctica y visión profesional.

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Todos los profesores con los que tuve contacto son egresados de un programa de maestría en matemática educativa, albergado por el Instituto Politécnico Nacional de México, dirigido a profesores de matemáticas en servicio 2. Éste es un programa educativo no presencial basado en el uso de internet, lo cual ha favorecido que profesores de diferentes regiones de México y Latinoamérica se enrolen en estos estudios (véase Mariscal, Rosas y Sánchez, 2008). Así, decidí seleccionar a un grupo de profesores y profesoras egresados de este programa pero residentes en diferentes lugares de México. Mi intención era integrar un grupo con diversidad cultural y de género que enriqueciera con diferentes opiniones el estudio. Los profesores que participaron en este proyecto fueron conovocados mediante correo electrónico. Es un grupo integrado por cuatro mujeres y dos hombres de los estados de México, Tamaulipas, Yucatán y el Distrito Federal. Sus edades fluctúan entre los 31 y los 44 años. Su experiencia como profesores de matemáticas va de los seis a los 20 años de práctica. Cinco de ellos imparten clases actualmente en el nivel bachillerato y una a nivel universitario. El cuestionario utilizado en este trabajo consta de dos partes. La primera se enfoca a conocer los antecedentes del profesor (edad, años de experiencia, lugar de trabajo, nivel educativo en que se desempeña), mientras que la segunda trata de rescatar algunas de las opiniones y experiencias al cursar sus estudios de posgrado en matemática educativa. En particular se les preguntó a los profesores cuáles fueron las razones que los llevaron a iniciar sus estudios de posgrado, cuáles fueron los aspectos positivos y negativos de su experiencia durante dichos estudios, cómo han influido en su práctica docente y si recomendarían a otros profesores de matemáticas involucrarse en este tipo de estudios. Desde el primer momento se explicó a los profesores que sus opiniones serían incluidas en un artículo de divulgación, pero manteniendo su identidad en el anonimato. También se les explicó que no se esperaba que ellos se expresaran de manera positiva o negativa acerca de la matemática

educativa, sino que proporcionaran simplemente respuestas y opiniones sinceras a partir de su propia experiencia. En la siguiente sección de este escrito se condensan las respuestas de los profesores. La opinión de los profesores En esta sección del texto presentaré algunas de las respuestas de los profesores. Además, trataré de identificar tendencias o direcciones comunes en éstas. En particular, me enfoco en las que proporcionaron a las siguientes preguntas: 1. ¿Por qué decidiste estudiar matemática educativa?, 2. Si existe, ¿cuál fue el aspecto o característica que más te gustó y que menos te gustó de la matemática educativa?, 3. ¿Los estudios que has realizado en matemática educativa han influenciado tu práctica como profesor(a) de matemáticas?, y 4. ¿Recomendarías a otro profesor(a) estudiar matemática educativa? 1. ¿Por qué decidiste estudiar matemática educativa? La mayoría de los profesores entrevistados expresó que fue una necesidad profesional, ligada al interés de mejorar su trabajo como docentes, la que los motivó a estudiar matemática educativa. Esta necesidad es expresada a través de frases como: “Me gusta mucho mi trabajo y quise prepararme más. La actualización es necesaria e indispensable, sobre todo en la docencia”, o “[fue] la sensación de necesitar otras herramientas para enseñar más eficientemente matemáticas”. Sólo una profesora expresó que fue guiada por una necesidad, digamos, institucional: “[fue una] necesidad, ya que en mi localidad no se contaba con suficientes profesionistas en el área y nivel académico que se incorporaran a la planta docente en el nivel superior”. 2. ¿Cuál fue el aspecto o característica que más te gustó y que menos te gustó de la matemática educativa? Cuando se refieren a los aspectos positivos, algunos profesores mencionan que el acceso a las teorías didácticas les permitió construir explicaciones sobre los fenómenos que tienen lugar en su salón de clases. Por ejemplo: “En la práctica cotidiana, tenemos la costumbre de culpar al docente del bajo rendimien-

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to de los alumnos, o culpar a los alumnos de sus bajas calificaciones. En este aspecto, la matemática educativa me ayudó a entender que no podemos trivializar estos problemas. A través de ella abrí los ojos a una realidad que no conocía. La lectura de diferentes teorías, de diferentes problemáticas, que incluso pueden darse en el propio conocimiento, me ayudaron a entender que no debemos aventurarnos a dar explicaciones o justificaciones simples, apresuradas y sin argumentos”. Entre los aspectos negativos, los profesores hacen referencia a la falta de aplicaciones o soluciones más directas para su propia práctica docente. Una profesora afirmó: “Lo que menos me gustó tal vez sería el darme cuenta que a veces nuestras aportaciones no necesariamente son prácticas u oportunas. La realidad escolar es muy compleja. Nos enfrentamos a diferentes escuelas, a diferentes alumnos, a diferentes docentes, a diferentes contextos y realidades”. Otra de las profesoras comentó: “Que casi no nos enseñaron más que lo básico del uso de las nuevas tecnologías (classpad, calculadoras graficadoras, sensores, etcétera)”. 3. ¿Los estudios que has realizado en matemática educativa han influenciado tu práctica como profesor(a) de matemáticas? De manera por demás interesante, todos los profesores entrevistados aseguraron que sus estudios tuvieron una influencia positiva en su práctica docente. Algunos afirman que la visión de su propia práctica ha cambiado: “Ahora veo diferente las cosas. Mi práctica docente ya no puede ser igual. Me he vuelto más observadora, más sensible, más analítica. Y me parece más complejo lo que hago. No me atrevo a dar una explicación sin antes entender muy bien qué sucede o leer al respecto y no necesariamente encuentro respuestas inmediatas. Mi práctica requiere ahora de mayor reflexión”, mientras que otros han encontrado motivación y nuevos elementos para intentar cosas nuevas en su salón de clases: “Me han llevado, por el momento, a diseñar pequeñas secuencias didácticas, tratando de que por medio de ellas se construyan algunas nociones, empleando herramientas tecnológicas”. Un profesor comenta al respecto: “He implementado estrategias

diferentes, como, por ejemplo, el trabajo en equipos con la intencionalidad de que los alumnos discutan, analicen, argumenten, hagan planteamientos de hipótesis, con el fin de que puedan construir su propio conocimiento”. 4. ¿Recomendarías a otro profesor(a) estudiar matemática educativa? Ésta es otra de las preguntas del cuestionario donde las respuestas son convergentes. Todos coinciden en que recomendarían a un colega estudiar matemática educativa. El principal argumento que proporcionan para sustentar su recomendación es que este tipo de estudios modificarán de manera positiva la forma en que perciben su práctica docente. Aquí presento tres ejemplos: “Sí [lo recomendaría]. Porque pienso que, como a mí, podría llevarlo a analizar situaciones que vivimos a diario en el aula y en la escuela, y que esto de algún modo afectaría su quehacer como docente, con suerte con beneficio para sus estudiantes”. Un segundo profesor emitió una respuesta similar: “Como lo mencioné, da una perspectiva más amplia del quehacer matemático escolar, es decir, se da sentido y comprensión a lo que pasa en el aula mientras se intenta aprender-enseñar la matemática; no es un mero proceso pedagógico, sino un marco amplio para revisar la praxis educativa en matemáticas con todos los elementos desde el estudiante, profesor, saber”. Otro profesor aseguró: “Claro que sí recomendaría a otro profesor estudiar matemática educativa, ya que esto le va a permitir cambiar su forma de ver la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. En el medio donde trabajo la mayoría de los profesores piensa que con el hecho de saber bien matemáticas es suficiente”. Comentarios finales A través de este escrito he intentado dar voz a los docentes de matemáticas que se han acercado al universo teórico de la matemática educativa con la finalidad de que nos compartan su experiencia al respecto. Me parece que sus opiniones iluminan algunos aspectos de la problemática relación teoría-práctica que tanto interés ha despertado en la

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comunidad de investigadores especializados en la formación de profesores de matemáticas. Mi interpretación de los comentarios proveídos por los profesores es que muchos de ellos se acercan a la matemática educativa en busca de soluciones, técnicas o incluso recetas que les permitan resolver los problemas y retos que día a día enfrentan en sus salones de clases. Sin embargo, la matemática educativa no ha logrado proporcionarles las soluciones directas que ellos buscan. Es aquí donde encuentro relevante preguntar: ¿Qué es, entonces, lo que ellos obtienen mediante el estudio de dicha disciplina, que los lleva incluso a recomendar este tipo de estudios a otros profesores de matemáticas? Creo que, a través del contacto con la matemática educativa, los profesores se hacen más sensibles y conscientes del complejo escenario en el que se desarrolla su trabajo, y de la importancia de su rol en el proceso de estudio de las matemáticas. Comienzan a hacer visibles y a cuestionar diversos aspectos de su cultura docente que antes pasaban inadvertidos, como la influencia de sus propias ideas y creencias en su práctica, el efecto de sus decisiones y acciones dentro del salón de clases, las posibles interpretaciones de las respuestas y los comportamientos de sus estudiantes, o la naturaleza misma del conocimiento que pretenden transmitir. Así lo expresa uno de los profesores entrevistados: Me he dado cuenta que mi forma personal de ver las matemáticas y su enseñanza influyen en mi práctica docente; me he dado cuenta que el qué se enseña es muy importante; esto tiene que ver con la naturaleza del conocimiento y con el considerar formas diferentes a las tradicionales de abordarlo. [La matemática educativa es] una disciplina científica que sirve para ver el porqué los estudiantes contestan de tal o cual manera, no sólo la búsqueda

de errores sino de la comprensión científica de lo que sucede mientras el estudiante hace matemáticas.

Probablemente otros profesores de matemáticas, al escuchar estas opiniones, tengan la curiosidad suficiente para acercarse al mundo de la investigación en matemática educativa. Estoy seguro de que vale la pena. Por otro lado, espero que los investigadores encuentren la sensibilidad y humildad necesarias para colaborar con y aprender de los profesores de matemáticas. Estoy convencido de que ambas esferas, la de los profesores y la de los investigadores, tienen mucho que ofrecer una a la otra. Notas 1 También llamada didáctica de las matemáticas o educación matemática. 2 Se puede encontrar más información sobre este programa de posgrado en: <www.matedu.cicata.ipn.mx>. Referencias Jaworski, Barbara. “The plurality of knowledge growth in mathematics teaching”. Mathematics Teacher Education. Critical International Perspectives. Coords. Barbara Jaworski, Terry Wood y Sandy Dawson. Londres: Falmer Press, 1999: 180-206. Jaworski, Barbara, Lurdes Serrazina, Andrea Peter Koop y Konrad Krainer. “Inter-relating theory and practice in mathematics teacher education”. Proceedings of the Third Conference of the European Society for Research in Mathematics Education. Coord. Maria Alessandra Mariotti. Italia: erme, 2004: 1-11 (consulta: 2 de noviembre de 2009) <http://ermeweb.free.fr/CERME3/Groups/TG11/ TG11_introduction_cerme3.pdf>. Krainer, Konrad. “Editorial: Action research and mathematics teacher education”. Journal of Mathematics Teacher Education 9. 3 (2006): 213-219 (consulta: 2 de noviembre de 2009) <http://dx.doi.org/10.1007/s10857-0069009-5>. Mariscal, Elizabeth, Alejandro Miguel Rosas y Mario Sánchez. “Programa de matemática educativa en línea del cicataipn”. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, volumen 21. Coord. Patricia Lestón. México: clame, 2008: 517-526 (consulta: 1 de diciembre de 2009) <http://bit. ly/4OtTpQ>.

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Algunas reflexiones acerca del conocimiento pedagógico disciplinar del profesor de estadística Lucía Zapata-Cardona*

Profesora Universidad de Antioquia, Colombia

❂ Resumen El texto hace una revisión en torno a la pregunta: ¿cuál es el conocimiento pedagógico disciplinar que deben tener los profesores de estadística? Y se analiza desde diferentes posturas epistemológicas. Se inicia desde las generales, como el conocimiento del profesor y el conocimiento matemático para la enseñanza, hasta llegar a las particulares, como el conocimiento estadístico para la enseñanza. Sin lugar a dudas tener claridad sobre el conocimiento pedagógico disciplinar de los profesores de estadística podría iluminar los programas de formación de profesores. Palabras clave: educación estadística, formación de profesores, conocimiento pedagógico disciplinar. Abstract This paper presents a review around the question: what is the pedagogical content knowledge required for statistics teachers? The review is done from different epistemological perspectives. Initially, the review is done from general perspectives such as teacher’s knowledge and mathematical knowledge for teaching up to particular perspective such as statistical knowledge for teaching. Without doubt be clear about the pedagogical content knowledge for statistics teachers may illuminate professional development for teachers. Key words: statistics education, teacher education, pedagogical content knowledge.

Introducción La estadística es un área de reciente aparición en muchos de los currículos del mundo. Sin embargo, una gran cantidad de los profesores responsables de enseñar estadística tiene poca experiencia en las temáticas requeridas. Algunos de ellos ni siquiera la han usado en su propio ejercicio como estudiantes ni en su preparación como profesores. En muchos * Correo electrónico de la autora: luzapata@ayura.udea.edu.co

países, por ejemplo, la enseñanza de la estadística recae en los profesores de matemáticas, pese a las evidencias de que su conocimiento pedagógico disciplinar es diferente al requerido para enseñar estadística (Groth, 2007). Esto no siempre es favorable para la cátedra. Estudios anteriores (Batanero, 2001; Stohl, 2005) han demostrado que cuando la cátedra de estadística es asignada a los profesores de matemáticas, las temáticas se abordan muy superficialmente, ya que se hace de

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manera muy formal o se hace énfasis en el aspecto computacional. Los estándares de matemáticas para el pensamiento aleatorio que se empiezan a sugerir en el mundo (como los del National Council of Teachers of Mathematics, nctm, 1989, 2000) requieren que el profesor de estadística esté en condiciones de ayudar a sus estudiantes a hacer algo más que cálculos y representaciones gráficas de datos; el profesor también debe tener la capacidad de ayudar a sus estudiantes a interpretar, predecir, comparar, conjeturar, justificar, diseñar experimentos y proponer modelos alternativos. Muchos de los profesores que actualmente enseñan estadística cuentan con una sólida formación en matemáticas, pero su preparación no se caracteriza por su fortaleza en el componente aleatorio. En varios países los programas con que se prepara a los profesores de matemáticas sólo ofrecen un curso básico de estadística, y en la mayoría de los casos este curso es presentado de una manera muy teórica, sin proporcionar el conocimiento pedagógico estadístico necesario para enseñar eficientemente la materia. Además, muy pocos programas de formación de profesores de matemáticas ofrecen un curso en didáctica de la estadística. En este artículo no se pretende plantear que los profesores de matemáticas que tienen bajo su responsabilidad la enseñanza de la estadística deban ser expertos, sino que puedan abordar el área con una visión no determinística, y considerar que en los fenómenos estocásticos la variación es una característica esencial que debe ser tomada en cuenta y que una sólida formación en matemáticas no es suficiente para abordar con éxito la enseñanza de la estadística. Sin embargo, reconocidos autores interesados en la educación estadística han encontrado en sus investigaciones que muchos profesores de matemáticas y estadística en primaria y secundaria no se sienten cómodos enseñando conceptos estadísticos porque no han tenido la preparación apropiada para tal fin o porque no han tomado cursos en estadística (Begg y Edwards, 1999). Es necesario resaltar que en nuestro ámbito muchos de quienes actualmente están enseñando estadística

en las escuelas primarias y secundarias se titularon como profesores de matemáticas mucho antes de que la estadística fuera incluida en los currículos. Esto nos lleva a formular la hipótesis de que los profesores de matemáticas que tienen la responsabilidad de enseñar estadística lo hacen de manera intuitiva. Es necesario, entonces, caracterizar la naturaleza de las aproximaciones de los profesores a la enseñanza de la estadística. Es necesario también caracterizar el conocimiento pedagógico estadístico del profesor para abordar la enseñanza desde una perspectiva no determinística. Estos insumos podrán guiar el diseño de programas de formación y calificación docente en esta área. ¿Cuál es el conocimiento pedagógico disciplinar que debe tener el profesor de estadística? Esta pregunta sobre el conocimiento que debe tener el profesor ha sido abordada desde varias posturas epistemológicas. Algunas de ellas son: el conocimiento del profesor (Shulman,1986, 1987, 1992), el conocimiento matemático para la enseñanza (Ball, 2005; Ball, Hill y Bass, 2005; Hill, Rowan y Ball, 2005), los constructos establecidos por la comunidad académica en educación estadística (Batanero, 2002; Ben-Zvi y Garfield, 2004; Gal, 2002, 2003), el conocimiento estadístico para la enseñanza (Groth, 2007; Nicholson y Darnton, 2003) y los criterios para la instrucción en estadística (Franklin y Garfield, 2006; Garfield, 1995; Shaughnessy, 2003). Estos referentes teóricos pueden iluminar desde varios puntos de vista el conocimiento del profesor de estadística y serán descritos a continuación. El conocimiento del profesor. Estas investigaciones han causado gran controversia. Shulman (1986, 1987, 1992) introdujo la expresión “conocimiento pedagógico disciplinar” (algunos lo han traducido como conocimiento pedagógico de contenido), la cual provocó una ola de artículos sobre el conocimiento de los profesores en disciplinas específicas y la importancia de dicho conocimiento para el éxito de la enseñanza. El conocimiento pedagógico disciplinar está relacionado con la representación

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y formulación de conceptos, con las técnicas pedagógicas, con lo que hace fácil o difícil aprender los conceptos, con las preconcepciones de los estudiantes y con las teorías epistemológicas. Este conocimiento también involucra las estrategias que usan los estudiantes para enfrentarse a ciertas situaciones de aprendizaje, sus concepciones previas, sus concepciones erróneas, que podrían tener en un dominio en particular, y las potenciales aplicaciones erradas de un conocimiento previo. En el marco teórico de Shulman, el conocimiento pedagógico disciplinar es la intersección del conocimiento disciplinar y el conocimiento pedagógico. Esto no se refiere simplemente a la consideración de ambos conocimientos desde un enfoque aislado. Esta concepción es una amalgama del conocimiento disciplinar y el conocimiento pedagógico que permite la transformación del conocimiento disciplinar en formas pedagógicas poderosas. El conocimiento pedagógico disciplinar representa la mezcla de la disciplina y la pedagogía en una comprensión de cómo son organizados, adaptados y representados aspectos particulares del área de conocimiento para facilitar la instrucción. Desde esta concepción, tener conocimiento disciplinar y estrategias pedagógicas generales, aunque necesarias, no es suficiente para capturar el conocimiento del profesor. Para caracterizar las complejas formas en las que los profesores piensan acerca de cómo debería ser enseñado un contenido en particular, el conocimiento pedagógico disciplinar es el que está involucrado en el proceso de enseñanza. Este proceso incluye las formas de representar y formular el saber disciplinar para hacerlo comprensible para los aprendices. Conocimiento matemático para la enseñanza. Tomando en consideración el constructo de conocimiento matemático para la enseñanza, Ball y sus colegas (Ball, 2005; Ball et al., 2005; Hill et al., 2005) resaltan en especial el conocimiento matemático que los profesores necesitan para facilitar el aprendizaje de sus estudiantes. Estos autores conciben el conocimiento matemático del profesor con cuatro componentes principales 1. Conocimiento disciplinar

común, 2. Conocimiento disciplinar especializado, 3. Conocimiento disciplinar y de estudiantes, 4. Conocimiento disciplinar y de enseñanza. Ball (2005) define el conocimiento disciplinar común como el conocimiento matemático y las habilidades esperadas de cualquier adulto educado. Este conocimiento incluye la habilidad para identificar respuestas incorrectas y definiciones imprecisas en libros de texto, habilidad para realizar las tareas asignadas a los estudiantes y saber usar correctamente la notación acordada por la comunidad académica. El conocimiento disciplinar especializado es definido como el conocimiento matemático y las habilidades requeridas por los profesores en su trabajo, que es diferente del conocimiento matemático necesitado por otro adulto educado que haga un trabajo diferente al de profesor de matemáticas. Esto incluye la habilidad para analizar errores y evaluar ideas alternativas, dar explicaciones matemáticas, usar representaciones matemáticas y ser explícito en el lenguaje matemático. El conocimiento disciplinar y de estudiantes fusiona el conocimiento disciplinar con el conocimiento de las formas de razonar de los estudiantes en torno al conocimiento disciplinar. Esta fusión requiere: a) Conocimiento del desarrollo matemático de los estudiantes en contextos particulares, b) Habilidad para comprender las interpretaciones de los estudiantes y razonamientos incompletos, y c) Conocimiento de cuáles son las mejores formas de ayudar a los estudiantes para facilitar el aprendizaje durante la instrucción. Finalmente, Ball define el conocimiento disciplinar y de enseñanza como una combinación entre saber enseñar y saber matemáticas. Este conocimiento incluye la habilidad para jerarquizar y dar prioridad a ciertos contenidos sobre otros y la habilidad para encontrar múltiples formas de representar el contenido para facilitar el aprendizaje. Investigación en educación estadística: cultura estadística y razonamiento estadístico. La investigación en educación estadística ha generado dos constructos

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ampliamente aceptados en la comunidad académica: cultura estadística y razonamiento estadístico. La sociedad actual está fundamentada en la toma de decisiones basada en la información; los ciudadanos necesitan una sólida comprensión de la estadística básica para tomar decisiones informadas. Pero, ¿cuál es el nivel de conocimiento estadístico requerido para un ciudadano informado? Los educadores estadísticos (Gal, 2003) han intentado responder a esta pregunta mediante el constructo de cultura estadística, que incluye las habilidades básicas necesarias para entender la información estadística. La idea de cultura estadística está orientada a los consumidores de estadística a través de los medios de comunicación, sitios de internet, periódicos y magazines. Una persona estadísticamente culta puede leer, interpretar, organizar, evaluar y apreciar información estadística relacionada con contextos sociales en los cuales está inmerso (Batanero, 2002; Ben-Zvi y Garfield, 2004; Gal, 2002, 2003). Los profesionales de la estadística saben que las conclusiones determinantes para los estudios de mercado, por ejemplo, no pueden basarse en evidencias anecdóticas. Estos profesionales saben que deben entender el contexto en el cual trabajan y encontrar formas de resumir y representar los datos que tengan sentido, y que aun así consideren la presencia de la variabilidad. De esta forma, el trabajo de los profesionales de la estadística requiere conocimientos complejos de métodos formales de estadística: saber plantear preguntas apropiadas, diseñar experimentos, recoger datos y analizarlos con procedimientos estadísticos formales y sacar conclusiones del análisis. Este nivel de conocimiento es abordado por la comunidad de la educación estadística mediante el constructo de razonamiento estadístico. El conocimiento estadístico para la enseñanza. La investigación en el conocimiento estadístico para la enseñanza es una área de reciente debate y tiene su fundamento en las investigaciones sobre el conocimiento del profesor (Shulman, 1986, 1987, 1992) y el conocimiento matemático para la enseñanza (Ball et al., 2005). Sin embargo, la investigación en

el conocimiento estadístico para la enseñanza no es simplemente una extensión de la investigación en el conocimiento matemático para la enseñanza. Groth (2007) inició un trascendental debate con respecto a la caracterización del conocimiento estadístico para la enseñanza y propuso los primeros criterios para esta caracterización. Argumentó que no es suficiente tener un gran conocimiento matemático para enseñar eficientemente estadística e insiste en las diferencias entre estas dos disciplinas. Uno de los argumentos más sólidos para defender la diferencia entre el conocimiento matemático y el conocimiento estadístico para la enseñanza está asociado a la naturaleza misma de las matemáticas. En esencia, la naturaleza de las matemáticas es determinística, mientras la naturaleza de la estadística es estocástica, y como tal la enseñanza de estas disciplinas debe ser abordada respetando su naturaleza. Hacer estadística involucra muchas actividades que no son matemáticas, como construir un significado para los datos mediante el analisis del contexto y elegir el diseño experimental apropiado para responder las preguntas de interés. Otro de los argumentos que este investigador ofrece para abordar la enseñanza de la estadística con una perspectiva diferente a la de las matemáticas es que la estadística no es una rama de las matemáticas, sino una ciencia independiente, con naturaleza propia. Es cierto que la estadística utiliza herramientas de las matemáticas, como lo hace también la física, pero no por eso debe ser considerada una rama de las matemáticas. La estadística necesita un contexto, mientras que las matemáticas pueden ser abordadas desde un planteamiento teórico. Groth considera que el conocimiento estadístico para la enseñanza tiene un componente de conocimiento común y uno de conocimiento especializado. El conocimiento estadístico común está asociado a las habilidades para desempeñarse como un ciudadano estadísticamente culto, para comprender la terminología estadística, leer y dar sentido a las estadísticas encontradas en los medios de comunicación, ser un consumidor crítico de la estadística y tener habilidades informales para la inferencia

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estadística. Este conocimiento puede ser asociado al constructo de cultura estadística discutido en la sección “Investigación en educación estadística”. El conocimiento estadístico especializado es un conocimiento específico que los profesores necesitan en su trabajo y va mucho más allá del conocimiento que un ciudadano estadísticamente culto necesita para desempeñarse exitosamente en una sociedad regida por la información. Este conocimiento especializado requiere del profesor un profundo y bien conectado conocimiento del material estadístico introductorio y ser un consumidor y productor de estadísticas para el diseño de experimentos, para la recolección de información, para el análisis de datos y para sacar conclusiones acordes con el análisis. El constructo de razonamiento estadístico discutido en la sección previa sirve para ilustrar el conocimiento estadístico especializado. Sin un conocimiento profundo de los procesos y conceptos en un currículo de estadística, el profesor estaría muy mal equipado para articular las explicaciones en el salón de clases y facilitar la comprensión de los procesos estadísticos de sus estudiantes. Criterios para la instrucción en estadística. Existen varios intentos de establecer un marco conceptual para analizar la enseñanza de la estadística. Hace más de una década, Garfield (1995) hizo una detallada revisión de la literatura relacionada con la enseñanza y el aprendizaje de la estadística y formuló diez principios para el aprendizaje. Estos principios fueron útiles para orientar el desarrollo del currículo de estadística en los últimos niveles del bachillerato en Estados Unidos (Advance Placement Statistics), pero fueron planteados desde una concepción muy general del aprendizaje. Más tarde, Shaughnessy (2003) sugirió una lista de recomendaciones para la enseñanza de la probabilidad, a partir de los bajos resultados de los estudiantes en la Evaluación Nacional de Progreso Educativo 1996 (naep, por sus siglas en inglés). Las recomendaciones de Shaughnessy proponían hacer explicitas las conexiones entre probabilidad y estadística pero seguían siendo tan generales como las propuestas por Garfield. Más recientemente,

Franklin y Garfield (2006), con un multidisciplinario y extenso equipo de trabajo (profesionales en estadística, matemáticas, educación matemática, educación estadística, cognición y otras), diseñaron la Guía para Evaluación e Instrucción en Educación Estadística (gaise, por sus siglas en inglés), que incluye una lista de recomendaciones y ejemplos para la enseñanza de la estadística. La ventaja que tiene este marco teórico con respecto a los propuestos por Garfield y Shaughnessy es que es contextualizado para cada nivel educativo desde el preescolar hasta el universitario. Esto permite evidenciar, por ejemplo, cómo el estándar de las medidas de tendencia central abordadas en el nivel básico de primaria tiene un enfoque y una profundidad diferentes cuando es abordado en el nivel secundario o universitario. Algunas de las recomendaciones del proyecto gaise son: 1. Enfatizar la cultura estadística y desarrollar pensamiento estadístico, 2. Usar datos reales, 3. Hacer hincapié en la comprensión conceptual más que en el mero aprendizaje de procedimientos, 4. Promover el aprendizaje activo en el salón de clases, 5. Usar tecnología para desarrollar conceptos y analizar datos, 6. Usar la evaluación para mejorar y evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Como se aprecia en esta revisión, la investigación en el conocimiento del profesor ha sido prolífica, pero la investigación en el conocimiento pedagógico disciplinar del profesor de estadística aun es muy limitada. Necesitamos sumar esfuerzos para unificar estos criterios y fortalecer la formación de los profesores de estadística. Conclusiones Estas reflexiones nos llevan a pensar que la respuesta a la pregunta sobre el conocimiento pedagógico disciplinar del profesor de estadística no es inmediata y que son varios los aspectos que deben ser revisados y conectados. Es claro que el conocimiento pedagógico disciplinar del profesor de estadística es un asunto complejo, que además de involucrar el conocimiento disciplinar en estadística (qué enseñar) involucra conocimientos en otras áreas, como filosofía (por qué enseñar), sociología (a quién ense-

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ñar), psicología (cómo enseñar). Sin duda alguna, el éxito de cualquier currículo de estadística depende en gran medida de cómo entienden los profesores los fenómenos estocásticos y cómo conciben la enseñanza de la estadística. También depende de una profunda comprensión de los errores sistemáticos de los estudiantes, del uso apropiado de las herramientas y representaciones y de un amplio repertorio de tareas que ayuden a los estudiantes a fortalecer una visión no determinística del mundo y hacer las conexiones con la estadística. El diseño exitoso de programas de formación de profesores de estadística supone claridad sobre cómo entendemos el conocimiento pedagógico disciplinar. Referencias Ball, D.L. “Mathematics teaching and learning to teach project”. Documento presentado ante la American Educational Research Association: Annual Meeting, 2005. Ball, D.L., H.C. Hill y H. Bass. “Knowing mathematics for teaching: Who knows math well enough to teach third grade and how can we decide?” American Educator (otoño, 2005): 14-46. Batanero, C. Didáctica de la estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística/Universidad de Granada, 2001. _____. “Los retos de la cultura estadística: Conferencia inaugural.” Documento presentado en las Jornadas Interamericanas de Enseñanza de la Estadística, 2002. Begg, A., y R. Edwards. “Teachers’ ideas about teaching statistics”. Documeto presentado en el Combined Annual Meeting of the Australian Association for Research in Education and the New Zealand Association for Research in Education, 1999. Ben-Zvi, D., y J. Garfield. “Statistical literacy, reasoning, and thinking: Goals, definitions, and challenges”. The Challenge of Developing Statistical Literacy, Reasoning and Thinking. Dordrecht: Kluwer, 2004: 3-15. Franklin, C.A., y J.B. Garfield. “The gaise project: Developing statistics education for grades pre-K-12 and college courses”. Thinking and reasoning with data and chance. Sixtyeighth. Libro Annual del National Council of Teachers of Mathematics. Reston, VA: nctm, 2006: 345-375. Gal, I. “Adults’ statistical literacy: Meanings, components, responsibilities” International Statistical Review, 70 (2002): 1-25. _____. “Expanding conceptions of statistical literacy: An analysis of products from statistics agencies”. Statistics Education Research Journal, 2 (2003): 3-21.

Garfield, J. “How students learn statistics”. International Statistical Review, 63 (1995): 25-34. Groth, R. “Toward a conceptualization of statistical knowledge for teaching”. Journal for Research in Mathematics Education, 38 (2007): 427-437. Hill, H.C., B. Rowan y D.L. Ball. “Effects of teachers’ mathematical knowledge for teaching on student achievement”. American Educational Research Journal, 42. 2 (2005): 371-406. National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, va: nctm, 1989. _____. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, va: nctm, 2000. Nicholson, J.R., y C. Darnton. “Mathematics teachers teaching statistics: What are the challenges for the classroom teacher?” Documento presentado en la 54th Session of the International Statistical Institute, Voorburg, The Netherlands, 2003. Shaughnessy, J.M. “Research on students’ understanding of probability”. A Research Companion to Principles and Standards. Reston, VA: nctm. 2003: 216-226. Shulman, L. “Those who understand: Knowledge growth in teaching”. Educational Researcher, 15, 2 (1986): 4-14. _____. “Knowledge and teaching: Foundations of the new reform”. Harvard Educational Review, 57, 1 (1987): 1-22. _____. “Ways of seeing, ways of knowing, ways of teaching, ways of learning about teaching”. Journal of Curriculum Studies, 23, 5 (1992): 393-396. Stohl, H. “Probability in teacher education and development”. Exploring Probability in School: Challenges for Teaching and Learning. Nueva York: Springer, 2005: 345-366.

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Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números Gilberto González Girón*

Profesor titular Facultad de Psicología Universidad Nacional Autónoma de México

❂ Resumen Actualmente hay consenso sobre la idea de que el pensamiento no es un fenómeno unitario susceptible de una definición fácil. Hay dos tendencias: la teoría del continuo cognitivo, que postula que el pensamiento es un continuo de la intuición al análisis, y la teoría adaptativa, que sostiene que el organismo emplea un conjunto de heurísticas simples que va evolucionando para lograr el éxito en su medio ambiente. El trabajo muestra cómo estas ideas afectan el aprendizaje de la aritmética y el álgebra. Si el docente conoce los factores que intervienen en el razonamiento humano y el grado de dificultad intrínseca de los conceptos matemáticos seguramente logrará mejores resultados de aprendizaje. Palabras clave: razonamiento, intuición, aprendizaje, números. Abstract Today there is a consensus that thinking is not a unitary phenomenon capable of easy definition. They are two trends: the continuous cognitive theory postulates that thinking is a continuum from intuition to analysis and adaptive theory, which holds that the organism has a set of simple heuristics that have evolved to achieve success in the environment. This work shows how these ideas affect learning arithmetic and algebra. If the teacher knows the factors involved in human reasoning and also the mathematical intrinsic difficulty of concepts he can achieve better learning outcomes. Key words: reasoning, intuition, learning, numbers.

Tendencias teóricas de la psicología del razonamiento Actualmente hay un consenso creciente entre los investigadores sobre la idea de que el pensamiento no es un fenómeno unitario susceptible de una definición fácil. De las contribuciones de Brunswik se han derivado dos grandes tendencias teóricas de desarrollo de la psicología del razonamiento. La primera es la denominada “teoría del continuo * Correo electrónico del autor: ggiron@correo.unam.mx

cognitivo”, desarrollada por Hammond, quien sostiene que el pensamiento cae en un continuo entre la intuición y el análisis, siendo normalmente cuasi racional la actividad cognitiva humana; una especie de compromiso entre la intuición y el análisis. La segunda tendencia es la llamada “caja de herramientas adaptativas”, desarrollada por Gigerenzer y colaboradores, quienes han llevado a cabo un programa de investigación bajo la premisa de que el organismo cuenta con un conjunto de heurísticas simples que Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números • 15 Gilberto González Girón. Didac 56-57 (2011): 15-20


va evolucionando para lograr el éxito en su medio ambiente. Por un lado las limitaciones cognitivas de la persona y por el otro la estructura del medio ambiente (Doherty y Ryan, 2004: 27-28). Tales tendencias conducen a dos líneas de investigación diferentes pero no necesariamente antagónicas entre sí. En efecto, la primera enfatiza la importancia de la intuición como punto de partida para llegar al análisis, mientras que la segunda se enfoca al desarrollo de heurísticas, es decir, estrategias para la solución de problemas que incrementan la probabilidad de llegar a la solución correcta, pero no garantizan que así sea. Partiendo de la intuición avanzamos a formas de pensamiento racional analítico, las cuales representamos mediante modelos mentales que nos generan estrategias para la solución de problemas. No hay evidencia conductual de que la deducción sea un proceso cognitivo especialmente diferenciado ni tampoco de que ocupe un lugar específico en el cerebro. El razonamiento es un conjunto de procesos que construyen y evalúan implicaciones entre conjuntos de proposiciones. Las implicaciones pueden ser deducciones o inducciones, y las proposiciones son pensamientos que pueden ser falsos o verdaderos y se expresan mediante frases. Los procesos pueden ser conscientes (como las inferencias deductivas) o inconscientes (como las intuitivas). Nuestro cerebro contiene una jerarquía de procesadores que se comunican entre ellos, intercambiando instrucciones y datos para dar una conclusión. Las inferencias con demasiadas posibilidades bloquean el sistema de razonamiento, dando como resultado la obstinación. El tiempo requerido para arribar a la conclusión de una inferencia crece exponencialmente con el número de premisas, mientras que el tiempo disponible para esperar una respuesta no (Johnson-Laird, 2006: 25, 26). El razonamiento formal tiene que ver con los principios del buen razonamiento, la lógica y las matemáticas. Los conceptos lógicos, probabilísticos y matemáticos, en general, no parecen mezclarse bien con nuestras estrategias de razonamiento cotidiano. Tales conceptos fueron desarrollados a lo 16 • Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números

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largo de siglos de esfuerzo intelectual, de tal manera que actualmente representan un gran reto para cada generación de estudiantes. Emergieron como intentos de racionalizar y sistematizar las intuiciones humanas enraizadas en el contexto cotidiano. Sin embargo, un razonamiento fluido y efectivo en situaciones cotidianas va de la mano de la efectividad de razonamiento en los más elementales problemas (Chater y Oaksford, 2004). Los razonadores usan diversas aproximaciones clasificadas como estrategias pero derivadas del mismo mecanismo inferencial; los modelos mentales usan estructuras abstractas tridimensionales diferentes a las imágenes visuales. Las imágenes visuales son íconos mientras que los modelos mentales tienden a ser íconos pero contienen además símbolos que representan conceptos abstractos. Una estrategia es la serie de procesos mentales que un individuo usa para solucionar una tarea cognitiva. La gente usa muchas estrategias diferentes cuando hace inferencias, activando áreas cerebrales distintas, dependiendo de su repertorio personal, de sus características (sexo, edad, etc.) y de las exigencias propias de la tarea: rapidez vs. precisión; facilidad vs. dificultad (Lemaire y Fabre, 2005: 11-15). La dificultad de las matemáticas y la representación de las relaciones La esencia del entendimiento de un concepto consiste en tener una representación mental o modelo que refleje su estructura. Las representaciones son estructuras mentales internas que corresponden a las estructuras del mundo real; las usadas en matemáticas tienen diferentes códigos, y los principales son las imágenes y las proposiciones. Las proposiciones son más abstractas que las imágenes y tienen un grado de independencia de contenido. Para lograr un conocimiento coherente en matemáticas, las asociaciones deben ser reforzadas por la experiencia, ya que no ocurren de manera automática sólo por ser lógicas. La dificultad de la representación relacional tiene el mayor impacto en el pensamiento matemático y puede definirse en términos de la dimensionali-


a × b = c × d, la proporción a / b = c / d es una relación entre cuatro variables relacionadas; tetradimensionales (English y Halford, 1995: 21-28).

dad; esto es, la cantidad de items independientes de información involucrados en el concepto. Hay cuatro niveles de relación: unitaria, binaria, terciaria y cuaternaria. • Relaciones unitarias: Categorías definidas por un solo atributo, una sola cosa; por ejemplo, grandes, gordos, etc., a = constante; unidimensionales. • Relaciones binarias: relaciones entre dos cosas, mayor que, más rico que, menos viejo que (>, <, =); bidimensionales: a > b. • Relaciones terciarias: relaciones entre tres cosas, el padre, la madre y el hijo, operaciones binarias (+, -, ×, /); tridimensionales: a + b = c. • Relaciones cuaternarias: relaciones entre cuatro cosas, la balanza o el subibaja,

Psicología del razonamiento aplicada al aprendizaje de los números Los modelos mentales de los números deben representar tres clases de relaciones: relaciones entre los conjuntos, relaciones entre los números y relaciones entre los números y los conjuntos. Los números y sus relaciones comprenden el sistema numérico, del cual el estudiante debe tener una representación adecuada, un modelo. Para entender la propiedad de numerosidad, o valor cardinal de un número, el niño debe aprender a relacionar el nombre del número con la cantidad de elementos del conjunto. Por ejemplo, el número 3 se usa para representar: tres personas, tres juguetes, tres frutas, tres historias, tres ideas o cualquier colección de objetos o ideas de tres elementos. La idea de conjunto es abstracta en sí misma, puesto que sus elementos pueden variar en tamaño, color, textura, proximidad o ubicación relativa; solamente es aprendida por intuición. Sin embargo, los seres humanos somos capaces de representar, desde muy pequeños, conjuntos hasta de cuatro elementos sin necesidad de instrucción explícita, lo cual constituye la base para construir el concepto de número. Las relaciones entre los conjuntos pueden ser de muy diversa índole, pero las requeridas para el aprendizaje del concepto de número son únicamente tres, las que tienen que ver con la cantidad de elementos de los conjuntos: “más que”, “menos que”, “igual a”, que también aprendemos por intuición. Una vez percibidas, tales relaciones entre los conjuntos deben ser transferidas a relaciones similares entre los números. La correspondencia entre los números y los conjuntos debe ser percibida de manera tal que las relaciones de numerosidad entre los conjuntos sean las mismas que entre los números, la misma estructura en los conjuntos y los números. Una manera útil de enseñar a los niños los primeros números es pedir a uno de ellos, mientras Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números • 17 Gilberto González Girón. Didac 56-57 (2011): 15-20


los demás observan, que levante el brazo derecho y cuando lo hagan preguntar: ¿cuántos brazos tienes arriba? “Uno”, responderá. Se muestra el número 1 junto a la palabra escrita, al mismo tiempo que se pronuncia el vocablo “uno”. Así asociarán la cantidad de elementos del conjunto (un brazo arriba) con las tres maneras de representarlo: simbólica, verbal y escrita. A continuación se le dice: “Levanta el brazo izquierdo”, preguntando ¿cuántos brazos tienes ahora arriba? “Dos”, responderá. Se muestra ahora el número 2. “Tenías un brazo arriba, agregaste otro y ahora tienes dos”. A continuación se le dice: “Baja tu brazo izquierdo”, preguntando de nuevo ¿cuántos brazos tienes arriba? “Uno”, deberá responder. “Tenías dos brazos arriba, quitaste uno y te quedó uno”. Para terminar el procedimiento se le pide que baje el brazo que mantiene arriba, preguntándole ¿cuántos brazos están arriba? “Ninguno”, deberá contestar. Se le dice “cero”, al mismo tiempo que se le muestra el símbolo 0, asociándolo con la palabra “nada”. Mediante esta secuencia el niño aprende los números uno y dos, relacionados con sus respectivos conjuntos. También aprende, intuitivamente, que el conjunto vacío tiene su número, representado por el cero. Además, aprende el inicio de las relaciones de orden superior, incrementar-decrementar, que más adelante utilizará para aprender los números subsecuentes: 3, 4, 5… Las relaciones de orden superior utilizan relaciones como argumentos, mientras que las relaciones simples utilizan elementos. Los vocablos agregaste y quitaste son muy importantes porque representan los verbos empleados para designar acciones de agregar-quitar elementos a los conjuntos. Siempre deben utilizarse los mismos vocablos para evitar confusiones al niño. El lenguaje verbal o escrito es, por naturaleza, ambiguo, mientras que el lenguaje matemático tiende a eliminar la ambigüedad. El docente de matemáticas debe emplear un lenguaje preciso, aunque redundante, y buenas analogías que reflejen la correspondencia de las relaciones concretas a las más abstractas. Una vez que el niño ha aprendido a relacionar los diez números básicos con sus respectivos conjuntos 18 • Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números

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y la relación de orden superior incrementar-decrementar estará en posibilidad de contar y representar conjuntos de hasta nueve elementos. Si quiere ir más allá deberá dar un salto. ¿Qué pasa si agrega un elemento más al conjunto de nueve elementos que ya tiene? No hay forma de representar el nuevo conjunto a menos que el niño adquiera el concepto de valor de posición, que implica la identificación de una relación de orden superior; formar un “montoncito” de diez elementos, representado con el número 10. Luego podrá ir agregando elementos de uno en uno para representar del 11 a 19. Empleando el mismo modelo, agregará otro montoncito, que representará al número 20. Utilizando la misma estrategia podrá seguir contando elementos y representándolos con números. Ahora el niño estará en posibilidad de captar, también por intuición, el concepto de infinito; lo hará porque sabe que puede seguir agregando elementos de uno en uno indefinidamente. Ha adquirido, de manera intuitiva, primero el concepto de número y posteriormente un modelo apropiado de numeración. Los matemáticos definen el sistema de los números naturales como un conjunto ordenado en el cual una relación asimétrica, transitiva y binaria queda definida. El niño ha desarrollado un modelo mental con el cual puede contar y representar conjuntos desde el vacío hasta el infinito. Las propiedades de los números y sus operaciones Una vez aprendida la representación de conjuntos mediante números, éstos se transforman en elementos abstractos que pueden manipularse como objetos. Pueden ser transformados mediante operaciones numéricas y seguirán implícitamente representando conjuntos. Para aprender a operar (transformar) números se requiere ampliar cada vez más el modelo elemental incluyendo nuevas relaciones y reglas. Las operaciones numéricas implican relaciones entre tres elementos que pueden variar; por lo tanto, son relaciones ternarias, más difíciles de comprender que las binarias ya conocidas “mayor que”, “menor que”, “igual a”. Por lo tanto, tienen un grado de dificultad mayor y demandan mayor madurez


en el niño. Cualquier suma queda representada así: a + b = c, en donde a, b y c son elementos que pueden variar y los signos + y = son relaciones entre elementos. Si a y b son números naturales también lo será c. Esto es lo que se conoce como “propiedad de cerradura” de los números naturales, una regla de orden superior que involucra la relación suma como elemento dentro del sistema de números naturales. Tanto los docentes como los estudiantes consideran esta regla demasiado obvia y no le dan la atención que requiere. Sin embargo, al pasar a la operación inversa de la suma, la resta, puede verse que la regla ya no opera porque 7 – 4 = 3, pero 4 – 7 = -3, que no es número natural, sino entero. Para pasar del sistema de los números naturales al de los enteros es necesario agregar los números negativos (…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…). Esto implica que el modelo mental previamente aprendido por el niño deberá ampliarse con nuevas relaciones y reglas. El sistema de números enteros contiene nuevas relaciones entre los números. Ahora cada número, excepto el 0, tiene un opuesto (1, -1), (2, -2), (3, -3)… Esto se conoce en matemáticas como la “propiedad del inverso aditivo”. Esto es, cualquier número sumado a su inverso dará como resultado el número 0, llamado “elemento idéntico de la suma”. Otras propiedades de los números son las conocidas como conmutatividad y asociatividad; por ejemplo, 3 + 5 = 5 + 3. Después de hacer algunos ejercicios de este tipo, y no habiendo encontrado contraejemplos, se llega a la aceptación de la regla: a + b = b + a, llamada “propiedad conmutativa de la suma”. Pueden hacerse diferentes agrupaciones entre los números; por ejemplo, (5 + 3) + 8 = 5 + (3 + 8). En general: (a + b) + c = a + (b + c), “propiedad asociativa de la suma”. Las propiedades de los números normalmente no quedan bien representadas en el pensamiento de los alumnos, por lo cual no son incluidas en estrategias posteriores de razonamiento como las requeridas por el álgebra. La multiplicación también es una operación binaria entre tres elementos, al igual que la suma, pero ahora uno de los elementos es un conjunto de

conjuntos: $$$ $$$ $$$ $$$, donde cuatro veces $$$ da como total doce $, o 4(3$) = 12$. También es posible contar los elementos de uno en uno o sumar: 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Combinando la suma y la multiplicación encontramos otra relación, conocida como transitividad: (3 + 3) + (3 + 3) = (3 + 3) × 2; o (3 + 3)2. Las relaciones de conmutatividad, asociatividad y transitividad son relaciones de relaciones de tres elementos, por lo que son equivalentes a relaciones cuaternarias, lo cual aumenta el grado de dificultad: (a + b) c = d. La división, operación inversa de la multiplicación, no cumple con la propiedad de cerradura, ya que al dividir dos números enteros entre sí no necesariamente se obtendrá como resultado un número entero. Por ejemplo: 9 / 2 = 3 + (1 / 2). Para tener un sistema cerrado será necesario ampliar el modelo de los números enteros a otro que incluya fracciones de números enteros. Este nuevo sistema es el de los números racionales, conformados por la razón entre dos números enteros a / b, siendo a y b enteros, con la salvedad de que b no puede ser cero. Las operaciones con números racionales son, de entrada, complejas, ya que cada número racional representa una relación binaria entre la parte y el todo, a diferencia de un número natural, que representa un solo elemento. Para enseñar números racionales se requieren buenas analogías. Una analogía útil para la enseñanza de la suma es la de la hoja de papel. A un grupo de estudiantes se les muestra una hoja de papel que se divide por la mitad, preguntando ¿cuánto es esto? “Un medio, o la mitad”, responderán. Se escribe en el pizarrón: 1 2

luego se muestra la otra mitad repitiendo la pregunta y obteniendo la misma respuesta. Juntando las dos mitades de nuevo se pregunta ¿cuánto es esto? La respuesta será “una hoja, o un entero”. Se escribe la operación: 1 2

+

1 2

=

2 2

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Otra hoja de papel se divide en tres partes, repitiendo el procedimiento de manera similar, escribiendo nuevamente la operación.

1 1 1 3 + + = 3 3 3 3 Es muy importante que los números enteros sean representados como racionales para que los estudiantes tengan en mente que están utilizando un sistema numérico diferente. El ejercicio se completa juntando un pedazo de cada hoja y preguntando ¿cuánto es un medio más un tercio? Ante la imposibilidad de responder directamente, el docente divide la mitad de la hoja en tres partes y el tercio de hoja en dos partes escribiendo: 3 6

+

2 6

=

5 6

Así, la necesidad de igualar los denominadores se vuelve evidente en la suma. Usando analogías apropiadas se logrará la conformación de modelos representación de los números racionales. De la aritmética al álgebra El álgebra agrega a la aritmética el manejo de números desconocidos (variables), representados con letras (x, y, z), que a su vez representan conjuntos. Cuando el estudiante tiene una representación mental apropiada de la aritmética la representación algebraica se facilita enormemente, pero cuando no la tiene se convierte en una pesadilla, frustrante por la incapacidad para comprender los textos de álgebra, plagados de símbolos. Las reglas de operación algebraica son básicamente las mismas que las de la aritmética, con el añadido de emplear letras como variables; por ejemplo, (5x² – 2) + 7x = (5x² + 7x) – 2. Si el estudiante ha desarrollado modelos de representación de los distintos números (5, -5, ⅔, 2.173), de sus relaciones y operaciones, al pasar al álgebra tales modelos aritméticos le servirán de plataforma para incorporar los nuevos a base de conglomerados de números y letras (monomios); por ejemplo, 5x². Ahora será capaz de interpretar tal expresión como el producto de tres cantidades: 5(x)(x) que conforman 20 • Psicología del razonamiento en el aprendizaje de los números

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un núcleo. Aprenderá intuitivamente a manejar los monomios como unidades y luego a relacionarlas y operarlas utilizando como estrategias los modelos aritméticos previamente adquiridos. Conclusión La investigación en el campo de la psicología del pensamiento racional avanza, por un lado, en la idea de que la intuición es el punto de partida para llegar al análisis racional; por el otro, en el desarrollo de heurísticas, estrategias de pensamiento basadas en modelos previamente adquiridos. En las matemáticas elementales hay una gran cantidad de conceptos que requieren ser aprendidos de manera intuitiva, como: conjunto, número, espacio, volumen, infinito y otros más. Partiendo de dichos conceptos y mediante la inferencia racional podrán construirse modelos de pensamiento que generarán estrategias de razonamiento (heurísticas) apropiadas para la solución de problemas de matemáticas. El aprendizaje intuitivo y la comprensión racional de las reglas que representan las relaciones entre los números constituyen la base del aprendizaje de las matemáticas elementales, que cualquier individuo debe dominar. Una didáctica basada en analogías creativas que muestren con claridad la correspondencia entre las relaciones concretas y las abstractas será muy útil en la construcción de modelos adecuados de representación mental. Referencias Chater, N., y M. Oaksford. “Rationality, rational analysis, and human reasoning”. Psychology of Reasoning. Eds. Ken Manktelow y Man Cheung Chung. Nueva York: Psychology Press, 2004: 43-74. Doherty, E.M., y D.T. Ryan. “Reasoning and task environment: The Brunswikian approach”. Psychology of Reasoning. Eds. Ken Manktelow y Man Cheung Chung. NuevaYork: Psychology Press, 2004: 11-42. English, D.L., y S.G. Halford. Mathematics Education: Models and Processes. Mahwah, N.J. Erlbaum, 1995. Johnson-Laird, P. How we Reason. Nueva York: Oxford, 2006. Lemaire, P., y L. Fabre. “Strategic aspects of human cognition”. Methods of Though: Individual Differences in Reasoning Strategies. Eds. Maxwell J. Roberts y Elizabeth J. Newton, 2005: 11-26.


¿Por qué fallan los alumnos al resolver problemas matemáticos? Marisol Silva Laya*

Académica e investigadora titular Instituto de Investigaciones para el Desarrollo de la Educación Universidad Iberoamericana Ciudad de México

Adriana Rodríguez Fernández

Asistente de investigación Instituto de Investigaciones para el Desarrollo de la Educación Universidad Iberoamericana Ciudad de México

❂ Resumen México registra resultados insatisfactorios en el aprendizaje de las matemáticas en educación básica. El presente artículo recoge hallazgos de una investigación sobre las dificultades que enfrentan alumnos de sexto grado al resolver problemas matemáticos. Entre las limitaciones más serias reporta la falta de conocimientos conceptuales previos (lagunas en el conocimiento), un problema severo de comprensión lectora, un limitado repertorio de estrategias de resolución y el uso de estrategias irreflexivas ante problemas de altos niveles de dificultad, como realizar operaciones aunque carezcan de sentido. Concluye que es necesario promover que los alumnos construyan nociones y procedimientos matemáticos como recursos propios y no recetas. Palabras clave: matemáticas, resolución de problemas, constructivismo, educación básica. Abstract Mexico has low learning outcomes in mathematics in elementary school. This article describes research findings on the difficulties of 6th grade students in solving mathematical problems. The most serious constraints are: lack of prior conceptual knowledge (knowledge gaps), a severe problem of reading comprehension, a limited repertoire of solving strategies and thoughtless use of strategies for problems of high levels of difficulty (operations but meaningless). It concludes that it is necessary to encourage students to construct their own mathematical concepts and procedures instead of only mechanical process. Key words: mathematics, solve problems, constructivism, elementary education.

* Correo electrónico de la autora: marisol.silva@uia.mx

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Tal parece que para que el alumno pueda construir

• Siete de cada 10 estudiantes de 6° de prima-

su conocimiento y llevar a cabo la obligatoria

ria contaban apenas con los conocimientos, habilidades y destrezas escolares mínimos o presentaban carencias importantes. Esto los ubica en un nivel de dominio básico (52.3%) y también por debajo del básico (17.4%). Algunos de los temas en los que se observa un bajo desempeño fueron: fracciones, conversión de unidades de medición y habilidades relacionadas con imaginar cuerpos e identificar sus características geométricas. La resolución de problemas de porcentajes también es un tema donde se presentan dificultades. • En el caso de los estudiantes de 3° de secundaria, poco más de la mitad (51.1%) presentó un dominio por debajo del básico y tres de cada 10 se ubicaron en el nivel básico. En general, muestran un desarrollo insuficiente de los conocimientos y habilidades establecidos en todas las áreas del currículum de matemáticas, pero en especial presentan serias deficiencias ante la resolución de problemas en los que tienen que hacer razonamientos complejos, que requieren elaborar conjeturas, hacer generalizaciones o inferencias y vincular resultados. También se observó un desempeño muy deficiente en lo que se refiere al seguimiento de instrucciones para la construcción de figuras y elementos geométricos; la identificación de los cambios de longitud, área y volumen de una figura o cuerpo geométrico, al reducirlo o aumentarlo a escala; la solución de problemas donde se requiere utilizar equivalencias entre unidades de medida y con el uso de fracciones (inee, 2006: 22-23, 25).

interacción activa con los objetos matemáticos, incluyendo la reflexión que le permite abstraer estos objetos, es necesario que estos objetos se presenten inmersos en un problema y no en un ejercicio (Larios, 2000: 5).

El tema de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas ha ocupado un lugar muy importante en la esfera educativa y actualmente se revitaliza al considerar que las habilidades en este campo forman parte de las competencias clave para una vida exitosa y un buen funcionamiento en la sociedad (ocde, 2003a: 10). El proyecto “Definición y selección de competencias clave” (Deseco), impulsado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde), clasifica las destrezas matemáticas como herramientas interactivas —junto con la lengua hablada y escrita y las habilidades para la computación— necesarias para resolver múltiples tareas en diversas situaciones. En fin, las competencias matemáticas forman parte de las herramientas esenciales para tener un buen funcionamiento tanto en la sociedad como en el lugar de trabajo, así como para establecer un diálogo efectivo con otros. Las distintas evaluaciones que se aplican en México para medir los logros académicos alcanzados por los niños de primaria y secundaria en el área de matemáticas muestran sistemáticamente resultados insatisfactorios. Esto indica que la educación básica enfrenta limitaciones para formar las competencias que los jóvenes requieren para desenvolverse plenamente en la sociedad. Algunos datos que ilustran esta situación son los siguientes: Los Exámenes de la Calidad y el Logro Educativos (Excale) aplicados por el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (inee) en el 2005 para explorar los niveles de logro de alumnos de 6° de primaria y 3° de secundaria arrojaron resultados preocupantes, y son aún más dramáticos para este último grado:

Los resultados de la Evaluación Nacional de Logro Académico de los Centros Educativos (enlace) para la asignatura de matemáticas en 2009, realizada por la Dirección General de Evaluación de la Secretaría de Educación Pública (sep), muestran que más de las dos terceras partes (69%) de los niños de

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primaria se hallan en un nivel insuficiente o elemental en el dominio de las matemáticas. En secundaria se acentúan las deficiencias, ya que de cada cien estudiantes sólo diez alcanzan satisfactoriamente los objetivos de matemáticas (sep, 2010). Las deficiencias en los aprendizajes reveladas por las pruebas nacionales se corroboran con los resultados del Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes (pisa, por sus siglas en inglés). En el 2003, dicha evaluación puso énfasis en las competencias en el área de matemáticas que tienen los jóvenes de 15 años. Sus resultados no fueron alentadores para México, pues su desempeño se ubicó entre los últimos cuatro lugares de un total de 40 países. Además, mientras que sólo 8.2% de los jóvenes de los demás países que forman parte de la ocde se encontraba en el “nivel 0” de la escala de matemáticas, 38.1% de los mexicanos se ubicó en ese nivel, al tiempo que 4% de los jóvenes de la ocde se ubicó en el nivel 6 y en México tal proporción fue menor a 1% (ocde, 2004b: 89-95). Si bien estas calificaciones nos dan un diagnóstico general de los logros alcanzados, brindan información limitada sobre el desempeño del estudiante. Para comprender mejor los logros y deficiencias en el aprendizaje es necesario profundizar en las estrategias que emplean al dar respuesta a tareas que involucran el uso de las matemáticas. Conocer el método y las estrategias empleadas por los estudiantes en la resolución de problemas matemáticos, así como comprender los factores que intervienen en esta tarea, puede contribuir al mejoramiento de la enseñanza de esta disciplina. La búsqueda de alternativas para sacar adelante esta tarea cobra relevancia. El presente artículo se basa en los resultados de una investigación realizada durante 2007 y 2008 con estudiantes de 6º de primaria de nueve escuelas particulares que trabajan con el Modelo de Matemáticas Constructivas (mmc), desarrollado por el Centro de Investigaciones de Modelos Educativos (cime). Este Centro, preocupado por mejorar su modelo, solicitó al Instituto de Investigaciones para el Desarrollo de la Educación (Inide) la evaluación de los procesos y los resultados de la misma1.La in

vestigación nos condujo a preguntamos por qué los alumnos fallan al resolver cierto tipo de problemas y no en otros y cuáles son los factores que entran en juego2. El análisis de tales factores y las formas en que los alumnos hacen uso de ellos se presentan en los siguientes cinco apartados. 1. Conocimientos previos Las personas construimos conocimientos a partir de nuestras experiencias previas, creencias o ideas, que en su conjunto conforman lo que Novack (1988) denomina “estructuras conceptuales”. Los conocimientos previos en matemáticas son aquellos recursos —nociones, conceptos, fórmulas, algoritmos— con los que cuenta el estudiante para enfrentarse a un determinado problema (Barrantes, 2006: 2). Los resultados de la investigación revelaron que los conocimientos conceptuales previos son herramientas clave para tener éxito en la resolución de problemas, especialmente en aquellos que demandan la aplicación de conceptos específicos —como los de geometría: área y perímetro—, en cuyo caso los vacíos conceptuales obstaculizaron la obtención de respuestas correctas. Estos hallazgos coinciden con los reportados por Solaz-Portolés y Sanjosé (2008: 5), quienes destacan la enorme influencia que el conocimiento conceptual tiene en la resolución correcta de los problemas. A pesar de ser un recurso indispensable, los estudiantes no cuentan con los suficientes conocimientos conceptuales previos para resolver los problemas matemáticos. Las carencias se agudizan en las áreas de geometría y variación proporcional, donde confluyen, al menos, tres limitaciones: 1. estrechez en el manejo de conceptos y las relaciones entre ellos, 2. uso indiscriminado de algoritmos, y 3. una exigua actitud exploradora de las situaciones problemáticas y sus condiciones. En el esquema 1 se ejemplifican dichas limitaciones. La resolución de este problema implica el manejo de conceptos de proporción y porcentaje, así como saber calcularlo. Los errores más frecuentes se relacionan con el uso del algoritmo de la regla de tres sin una noción clara de las cantidades que están en juego

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Esquema 1

Cálculo de proporciones

y sus relaciones proporcionales. Así, hubo alumnos que identificaron que 30 flores equivalían al 100%, pero no pudieron determinar las cantidades sobre las cuales debían calcular las proporciones. De esto se desprende la recomendación de que los maestros presten más atención a los vacíos que experimentan sus estudiantes en torno a los conocimientos previos involucrados en los diferentes problemas que trabajan en las clases. Partir de esta información permitiría diseñar actividades que conduzcan a clarificarlos hasta lograr que todos cuenten con las nociones para abordar con eficacia las diferentes actividades de aprendizaje. Los alumnos deben construir las nociones y conceptos básicos de las matemáticas por ellos mismos, de tal manera que se vuelvan recursos propios y no recetas al momento de resolver los problemas. 2. Comprensión del problema La comprensión supone entender la pregunta, discriminar los datos y las relaciones entre éstos y entender las condiciones en las que se presentan. Si los conocimientos previos son clave, la comprensión es determinante. Los resultados del estudio referido mostraron una correlación más fuerte de esta variable en la resolución de problemas que la variable anterior. Así, entre los niños que entendieron los problemas la proporción de respuestas correctas fue muy alta (entre 75% y 92.6%). En contraste, la no comprensión condujo a resultados equivocados también en una proporción alta (entre 80% y 90%). Sin duda, comprender exactamente lo que se pregunta, así como las nociones del problema —lo cual está ligado a los conocimientos previos—, es

indispensable para enfrentar con eficacia una tarea como la que nos convoca. Es menor la proporción de estudiantes que comprenden que la de aquellos que cuentan con conocimientos conceptuales suficientes. Este dato coincide con los hallazgos de Valle et al. (2007: 8) sobre la baja frecuencia de alumnos que comprenden los problemas en una olimpiada de matemáticas. Al igual que estos autores, consideramos que la comprensión trasciende el ámbito matemático e implica por parte del estudiante el dominio de la lectura y la valoración crítica de textos, en particular en lo que se refiere localizar información específica, hacer inferencias simples, captar relaciones entre componentes e identificar información implícita. Vale la pena agregar que también se requiere de un marco conceptual adecuado, aunque esto no es suficiente. Un ejemplo que ilustra la confusión de la pregunta se presenta en el esquema 2. En el ejemplo se observa que el alumno realiza correctamente las operaciones pero se confunde con la pregunta final, ya que respondió cuántos quesos le quedaron a José (A), en lugar de cuántos vendió (C). Este tipo de problemas se utiliza con frecuencia en muchas evaluaciones oficiales, y más que competencias matemáticas pone a prueba competencias lectoras y capacidad de concentración, ya que por lo general este tipo de preguntas “despista” al estudiante. La recomendación más importante que se desprende de este análisis refiere a la necesidad de que los maestros sean conscientes de la trascendencia de este factor e intensifiquen las estrategias pedagógicas para impulsarlo. Tal vez sea necesario bajar la presión entre

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Esquema 2

Confusión de la pregunta

los estudiantes por llegar a una solución; es decir, por pensar sólo en el resultado antes que en los procesos. Todo parece indicar que el proceso debe ser realzado. Al mismo tiempo, es imprescindible combatir algunas creencias prevalecientes, como la idea de que los problemas matemáticos tienen sólo una respuesta correcta y una manera única de arribar a ella. 3. Concepción del plan El diseño de un plan supone el establecimiento de pasos o tareas para llegar a un objetivo. Para esto es preciso que los estudiantes perciban las relaciones existentes entre los diferentes elementos, con el fin de derivar acciones que conduzcan al resultado correcto. Valle et al. (2007: 3) explican que se trata de ver qué liga a los datos, a fin de encontrar la idea de la solución y trazar un plan para alcanzarla. Los resultados de nuestra investigación revelan que este paso tiene importancia en la medida que permite al alumno trabajar para lograr un objetivo definido. Ante la ausencia de un plan, los estudiantes tienden a echar mano de estrategias irreflexivas que en la mayoría de los casos desembocan en errores. La didáctica de las matemáticas debe poner énfasis en este proceso, especialmente para propiciar un trabajo más ordenado por parte de los niños. Habría que estimular la reflexión sobre la importancia que tiene establecer un procedimiento a seguir de acuerdo con la incógnita y la relación entre los datos. Al mismo tiempo, habría que tener presente que la comprensión del problema es un requisito fundamental para diseñar un plan. Trabajar en estos dos pasos de manera interrelacionada podría propiciar desempeños más eficaces. Las preguntas sugeridas por Polya

(1965: 20) pueden ser de utilidad para ayudar a los alumnos a establecer un plan: ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Podría enunciarlo de otra forma? ¿Ha empleado todos los datos? El análisis de los planes de los alumnos permitió detectar la importancia de implementar y fomentar formas creativas de aproximarse a los problemas matemáticos. En este sentido, compartimos la posición de Escareño (2005: 77) y Fuenlabrada (2005: 32) sobre la importancia de permitir a los niños ensayar formas novedosas y particulares de resolver problemas, más allá de los métodos convencionales. Los alumnos con acercamientos más creativos podrían socializar sus procedimientos y colaborar con sus compañeros en el desarrollo de estrategias, explotando así la zona de desarrollo próximo sugerida por Vygotsky. Al mismo tiempo, es relevante tomar en cuenta el impacto que tienen las creencias de los alumnos al momento de resolver un problema matemático. Al parecer siguen reproduciendo la creencia de que “los estudiantes corrientes no pueden esperar entender matemática, simplemente esperan memorizarla y aplicarla cuando la hayan aprendido mecánicamente” (Shoenfeld, citado en Barrantes, 2006: 6). Es apremiante combatir este tipo de creencias y favorecer en el aula un clima que fortaleza la autoeficacia y los autoconcepto de los alumnos. 4. Ejecución del plan (heurísticas) La ejecución del plan se refiere a las estrategias que implementa un alumno para resolver un problema. De acuerdo con Polya (1965: 27), al ejecutar el plan se comprueba cada uno de los pasos seguidos. Si el

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plan está bien concebido su realización es factible, y si además se poseen los conocimientos y el entrenamiento necesarios debería ser posible llevarlo a cabo sin contratiempos. Si aparecen dificultades será necesario regresar a la etapa anterior para realizar ajustes al plan o incluso para modificarlo por completo. Por su parte, Schoenfeld (citado en Barrantes, 2006: 2) resalta la importancia de contar con un buen repertorio de estrategias para la resolución de problemas; sin embargo, advierte que es necesario tener presente que las reglas heurísticas no son infalibles y el éxito de su aplicación depende mucho de la experiencia, el juicio y el buen sentido de quien las use. Para analizar las estrategias empleadas por los estudiantes, la investigación retomó la división propuesta por Rizo y Campistrous (1999: 37) en dos grandes categorías: reflexivas e irreflexivas. Las primeras requieren de un proceso de análisis previo, que permite asociar la vía de solución a factores estructurales, mientras que las irreflexivas responden a

un proceder prácticamente automatizado, sin pasar por un análisis. Los hallazgos del estudio muestran que hay una mayor incidencia de procedimientos reflexivos que irreflexivos, pero su frecuencia fue mucho menor al tratarse de problemas más difíciles, específicamente los de geometría. Se puede afirmar que la ausencia de marcos conceptuales adecuados y la deficiente comprensión se combinan de manera desafortunada en los problemas más complejos, agotando las posibilidades de razonamiento lógico de los niños y conduciéndolos a echar mano de métodos que están fuera de toda lógica. Ante la ausencia de comprensión y de un plan justificado, los alumnos recurren frecuentemente a la realización de operaciones con los datos proporcionados, aunque éstas carezcan de sentido. Esto confirma los hallazgos de Rizo y Campistrous (1999: 39), quienes advierten una “tendencia ejecutora” entre los niños y la creencia de que “un problema siempre debe conducir a resolver operaciones”.

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La estrategia irreflexiva más frecuente fue tratar adivinar la operación correcta, lo que corrobora que persiste la creencia en las matemáticas como algo desligado de la realidad, en donde sólo hay que aplicar algoritmos y fórmulas irreflexivamente. Se advierte que el repertorio de estrategias empleadas por los estudiantes no es muy amplio y tiende a concentrarse prácticamente en una: la selección de la operación pertinente según la incógnita. Si bien ésta puede ser una estrategia efectiva, no siempre condujo a respuestas correctas y su efectividad, contradictoriamente, tiende a disminuir en los problemas más fáciles (números fraccionarios y tratamiento de la información). Aun en problemas de geometría, donde la estrategia más idónea sería diseñar un dibujo, fue ésta la predilecta por los niños. Esto confirma la tendencia ejecutora ya mencionada. Es decir, los niños parecen recurrir de manera automática a la realización de cálculos, aunque éstos no sean indispensables. Los hallazgos sobre los procedimientos exhibidos por los alumnos parecen confirmar algunas de las conclusiones del trabajo de Arteaga y Guzmán (2005: 46) sobre la importancia de trabajar con problemas de diferente naturaleza para estimular el desarrollo de estrategias y habilidades diversas en los niños. Para tal efecto podría ser de gran ayuda el trabajo colaborativo, con la intención de analizar y valorar distintos procedimientos en la exploración de los problemas y en la búsqueda de soluciones. Así se avanzaría hacia la construcción del conocimiento de manera colectiva. Al mismo tiempo, trabajar con diferentes procedimientos, especialmente estrategias reflexivas —como ordenar los datos y tenerlos presentes y apoyarse en esquemas y dibujos—, son heurísticas que fortalecen la comprensión del problema y pueden conducir a formas más eficaces de resolverlos. 5. Verificación de resultados Por último, se confirma la importancia de la verificación de los resultados después de realizar la tarea. Muchos alumnos, al explicar nuevamente el procedimiento realizado, detectaron sus propios

errores, lo cual, desde el paradigma constructivista, devuelve a las evaluaciones su verdadero sentido dentro de un proceso cíclico y no como cúspide del mismo. Es preciso fomentar esta visión retrospectiva entre los niños. Consideraciones finales Nuestra preocupación central es cómo podemos apoyar a nuestros niños para que tengan un mejor desempeño en la resolución de problemas. Para esto parece necesario: • Afianzar las nociones básicas de los estudiantes, prestar más atención a los vacíos que experimentan en torno a los conocimientos conceptuales críticos, como los de geometría. • Centrar el trabajo pedagógico en que los alumnos construyan las nociones y los con ceptos básicos de las matemáticas por ellos mismos, de tal manera que se vuelvan recursos propios y no recetas al momento de resolver los problemas. • Poner más atención en la lectura de comprensión y en estimular el establecimiento de relaciones entre los datos, así como en la generación de inferencias a partir de las situaciones planteadas. • Implementar y fomentar formas creativas de aproximarse a los problemas matemáticos. Utilizar problemas verdaderos —retos significativos— y clarificar el tipo de competencias a evaluar. • Recurrir a verdaderos problemas —esto es, situaciones reales o hipotéticas plausibles para el alumno— que planteen retos significativos y que, como propone Alsina (2007: 90), activen su interés y su mente. Es necesario desestimar el uso de ejercicios que demandan respuestas mecánicas, que sólo recurren a la memorización de un algoritmo. Notas 1 Agradecemos a las autoridades del Centro de Investigaciones de Modelos Educativos (cime) permitirnos difundir los resultados de este estudio. Hacemos una mención especial a Gustavo

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Saldaña Jattar y Olga Santillán González por su participación en la realización de la investigación. 2 El mmc se sustenta en un enfoque constructivista, por lo que para el análisis retomamos el marco conceptual de la teoría constructivista del aprendizaje y su aplicación en el campo de las matemáticas, así como algunas aproximaciones teóricas y metodológicas al análisis de las estrategias de resolución de problemas matemáticos, particularmente los aportes de Polya y Shoenfeld. Referencias Alsina, C. “Si Enrique VIII tuvo 6 esposas, ¿cuántas tuvo Enrique IV? El realismo en educación matemática y sus implicaciones docentes”. Revista Iberoamericana de Educación, 43 (2007): 85-101. Arteaga, J., y J. Guzmán. “Estrategias utilizadas por los alumnos de quinto grado para resolver problemas verbales de matemáticas”. Educación Matemática, año/vol. 17, núm. 1 (abril de 2005): 33-53. Campistrous, L., y C. Rizo. “Estrategias de resolución de problemas en la escuela. Cuba”. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 2, núm. 3 (1999): 31-45. Barrantes, H. “Resolución de problemas. El trabajo de Allan Schoenfeld”. Cuadernos de Investigación y Formación

en Educación Matemática, núm. 1 (2006). Disponible en: <http://www.cimm.ucr.ac.cr/cuadernos/cuaderno1/ Cuadernos%201%20c%204.pdf>. Escareño, F. “Enseña a resolver problemas aritméticos con ayuda de representaciones”. Aprender a enseñar matemáticas. Coords. A. Guerrero y I. Vidales. México: Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Nuevo León, 2005 (Altos Estudios, 2). Fuenlabrada, I. “Los problemas, recurso metodológico en el que los números y sus relaciones encuentran significado”. Aprender a enseñar matemáticas. Coords. A. Guerrero y I. Vidales. México: Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Nuevo León, 2005 (Altos Estudios, 2). Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (inee). El aprendizaje del español y las matemáticas en la educación básica en México: Sexto de primaria y tercero de secundaria. México: inee-Dirección de Pruebas de Medición, 2006. Larios, V. “Constructivismo en tres patadas”. Revista Electrónica de Didáctica de las Matemáticas, año 1, núm. 1. Disponible en: <http://www.uaq.mx/matematicas/redm/>. Novack, J. “Constructivismo humano: un consenso emergente”. Revista de Investigación y Experiencias Didácticas: Enseñanza de las Ciencias, 6 (3) (1988): 213-223. Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde). “La definición y selección de competencias clave. Resumen ejecutivo” (consulta: 10 de marzo de 2009). Disponible en: <http://www.deseco.admin.ch/bfs/deseco/en/index/03/02.parsys.78532.downloadList.94248. DownloadFile.tmp/2005.dscexecutivesummary.sp.pdf> (2004a). Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (ocde). “Informe pisa 2003: Aprender para el mundo del mañana” (consulta: 10 de marzo de 2010) <http://www. oecd.org/dataoecd/59/1/39732493.pdf> (2004b). Polya, G. Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas, 1965. Valle, M.C., M.A. Juárez y M.E. Guzmán. “Estrategias generales en la resolución de problemas de la olimpiada mexicana de matemáticas”. Revista Electrónica de Investigación Educativa, 9 (2). (consulta: 12 de agosto de 2009). Disponible en: <http://redie.uabc.mx/vol9no2/contenido-valle.html> (2007). Secretaría de Educación Pública (sep). “Estadísticas de la prueba enlace”. Dirección General de Evaluación (consulta: 10 de marzo de 2010). Disponible en: <http://enlace.sep. gob.mx/ba/db/stats/COMPARA_NAC_2006_2009.xls> (2010). Schoenfeld, A. Mathematical Problem Solving. Orlando: Academia Press, 1985. Solaz-Portolés, J., y V. Sanjosé. “Conocimiento previo, modelos mentales y resolución de problemas. Un estudio con alumnos de bachillerato”. Revista Electrónica de Investigación Educativa, 10 (1) (consulta: 05 de mayo de 2009). Disponible en: <http://redie.uabc.mx/contenido/vol10no1/contenido-solaz.pdf> (2008).

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Marisol Silva Laya, Adriana Rodríguez Fernández. Didac 56-57 (2011): 21-28


Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos Eduardo Mario Lacués Apud *

Profesor titular Departamento de Matemática Universidad Católica del Uruguay

❂ Resumen Se presentan los Sistemas Matemáticos de Símbolos (sms) como sistemas externos de representación y se discute su rol en las matemáticas, enfatizando que parte de la construcción matemática consiste en el uso competente de estos sistemas. Por un lado, se abordan algunos aspectos de su enseñanza y su aprendizaje, en particular de algunas dificultades asociadas a la apropiación de habilidades para un uso competente de los sms. Por otro, se indican los resultados de una investigación en un curso inicial de álgebra lineal que muestra que algunos diseños didácticos, concebidos con la intención de enseñar aspectos del uso de los sms, pueden conducir a una mejor apropiación por parte de los estudiantes que les permite utilizarlos más competentemente, en particular en procesos como los de construir generalizaciones. Se establecen algunas conclusiones y se proponen posibles desarrollos posteriores. Palabras clave: sistemas matemáticos de símbolos, álgebra lineal, enseñanza y aprendizaje de matemáticas. Abstract Mathematical Symbol Systems (mss) are presented as external representations, and its role in Mathematics is discussed, highlightening that part of mathematical construction consist of the competent use of these systems. On one side, some issued about its teaching and learning are mentioned, particularly some difficulties related to the acquisition of skills in the competent use of mss. On other hand, the results of an investigation in an introductory Linear Algebra course are discussed, showing that didactic designs conceived to intentionally teach the role of some features of mss can help students to achieve a better acquisition of skills in its use, in particular, in process such as the construction of generalizations. Some conclusions are pointed and further developments are proposed. Key words: mathematical symbol systems, linear algebra, teaching and learning of mathematics.

* Correo electrónico del autor: elacues@ucu.edu.uy

Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos • 29 Eduardo Mario Lacués Apud. Didac 56-57 (2011): 29-35


En este texto se abordan algunos aspectos del estudio de los Sistemas Matemáticos de Símbolos (sms) y se argumenta sobre la necesidad de considerarlos un objeto de enseñanza. En la primera parte se presentan los sms como un sistema externo de representación, y es posible referirse a sus dimensiones sintáctica, semántica y pragmática. En este sentido, son relevantes las preguntas sobre los procesos de construcción de representaciones sociales y su relación con las representaciones mentales, en lo que Pozo (2001) llama co-construcción. En la segunda parte se mira a los sms como parte esencial de las matemáticas y se analizan algunas de las dificultades asociadas a su aprendizaje. En la tercera parte se presentan los resultados de un experimento de enseñanza en un curso inicial de álgebra lineal, los cuales muestran que la intervención didáctica puede conducir a una mejor apropiación, por parte de los estudiantes, de habilidades en el uso de sms, en particular para construir generalizaciones. Finalmente, se presentan consideraciones que indican algunas posibles líneas de desarrollo en el estudio de la enseñanza de los sms. Los sms como sistemas externos de representación Por sistemas externos de representación se entiende una combinación consensuada de signos que sirve para describir alguna entidad, refiriendo algunas características de lo representado a través de algunas particularidades en la configuración simbólica que se está usando como representante. Sherin y Lee (2005) citan a Palmer para establecer que esta noción de representación implica la aceptación de la existencia de dos mundos, uno representado y otro representante, que se relacionan entre sí, y que para disponer de un sistema de representación es necesario atender a los cinco aspectos siguientes: a) Cuál es el mundo representado. b) Cuál es el mundo representante. c) Cuáles aspectos del mundo representado van a ser modelados. 30 • Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos

Eduardo Mario Lacués Apud. Didac 56-57 (2011): 29-35

d) Cuáles aspectos del mundo representante constituyen el modelo. e) Cuáles son las correspondencias entre los dos mundos. En el ámbito de la educación matemática, James Kaput aparece como representante del punto de vista de los sistemas de símbolos. Kaput (1987) da una definición precisa de lo que entiende por sms: comienza por definir un esquema de símbolos como una colección realizable concretamente de caracteres, junto con reglas más o menos explícitas para identificarlos y combinarlos; una terna formada por un esquema de símbolos, un campo de referencia y una ley que establece una correspondencia entre los dos anteriores es un sms. Como una peculiaridad distintiva de los sms, remarca que son sistemas de símbolos cuyo mundo representado es, a la vez, un sistema de símbolos. Siguiendo con la presentación de Kaput, hay dos procesos cognitivos que pueden asociarse a los sms: por un lado, la lectura de la información presentada en un sms y la codificación de información en cierto sms; por otro, la elaboración o producción de nueva información una vez que la antigua ha sido codificada. Esta última actividad está dividida, a su vez, en dos: la elaboración sintáctica —en la que el ejecutante se limita a la manipulación de símbolos de acuerdo con las reglas válidas para el caso— y la elaboración semántica —en la que el individuo es capaz de razonar con las entidades representadas por el sms—. Esta distinción es crucial porque sirve de marco para analizar el problema de la construcción del sentido. Una pregunta pertinente es qué significa construir el sentido a partir de una representación, o, más ampliamente, a partir de varias representaciones del mismo objeto, dado que la misma entidad matemática puede frecuentemente representarse en diferentes sms. Una respuesta dada a esta pregunta, desde la perspectiva de los sistemas de símbolos, es que el sentido viene dado por el conjunto de traducciones que hacen posible vincular el mundo representado con cada uno de los mundos representantes. En cada


caso, los procesos de traducción entre el mundo representado y el representante son diferentes, y más aún, hay aspectos del mundo representado que se muestran mejor, en el sentido de que son más inmediatamente accesibles en alguno de los mundos representantes que en otros. Por lo tanto, la construcción del sentido no solamente está dada en los procesos de traducción entre el mundo representado y cada uno de los representantes, sino, además, entre los diferentes mundos representantes. Con base en esta respuesta, la sola competencia para ejecutar algoritmos en forma estrictamente sintáctica, que en muchos casos es el indicador utilizado para evaluar los desempeños en matemáticas, no puede ser considerada como suficiente evidencia de haber conseguido construir significados. En efecto, una persona puede llevar a cabo rutinas de cálculo tipificadas y no ser capaz de adecuar estas rutinas a casos similares, o no poder anticipar resultados basándose en argumentos sobre el campo de referencia, o no lograr interpretar los resultados obtenidos en términos del mundo representado. Las relaciones entre los diferentes mundos representados sirven, retomando a Kaput, para dar una nueva visión de la relación entre sintaxis y semántica. Para este autor, la sintaxis en un sistema de representación consiste en el conjunto de reglas que permiten transformaciones válidas en ese sistema, en tanto que la semántica se define en relación con otro sistema de representación y está conformada por la colección de correspondencias entre estos dos sistemas. De esta forma, la relación entre dos mundos representantes se vuelve casi simétrica: lo que es sintaxis en uno de ellos es semántica en el otro. Sin embargo, hay un punto notable en esta argumentación que vale la pena resaltar. Kaput destaca que para la adquisición de pericia en el uso de sms es una ventaja disponer de un sistema de representación cuyo esquema sintáctico sirva para evocar algunas de las relaciones entre las entidades representadas. Si esto no ocurre los procesos de traducción se vuelven más difíciles, en tanto que descansan en reglas que aparecen como artificiales.

En la siguiente sección se volverá sobre este tema. Para cerrar la presente se muestra una situación para ejemplificar las relaciones entre sintaxis y semántica, referida a las reglas de transposición de términos en una ecuación y sus vínculos con las definiciones de diferencia y cociente. Verbalmente, la diferencia entre dos números es un tercero que sumado con el segundo da el primero; algebraicamente ponemos a – b = c si y sólo si a = b + c. La regla sintáctica que permite transformar la ecuación en otra equivalente resulta entonces la expresión de la definición en términos algebraicos. Una situación similar se da en relación con la definición de cociente entre dos números. En caso de que no se hayan establecido vínculos entre estas representaciones, el estudiante o bien aplicará mecánicamente las reglas de transposición o bien no podrá elaborar formulaciones algebraicas y trabajará verbalmente. Quien haya conseguido construir traducciones apropiadas puede moverse con mayor flexibilidad en una tarea. Por eso la resolución de una ecuación por parte de un estudiante puede ser encarada de, al menos, tres formas. Pongamos, por ejemplo, que la tarea es resolver la ecuación de primer grado 2 × -3 = 1. a) En un caso, el alumno puede actuar con apego a las reglas sintácticas: la ecuación 2x – 3 = 1 es equivalente a la ecuación 2x = 1 + 3, es decir 2x = 4, y ésta es equivalente a x = 4/2, que da la solución x = 2. b) Por otro lado, interpretando verbalmente el significado de la ecuación como que la diferencia entre una cierta cantidad y 3 es 1, resulta que la cantidad es 4; notando luego que la cantidad es el doble de la incógnita, se obtiene que el valor de ésta es 2. c) Finalmente, cabe la posibilidad de un proceso mixto, en el que algunos pasos se efectúen en un marco y los restantes en otro. Un aprendiz que sólo pueda resolver la ecuación utilizando reglas sintácticas (que casi siempre es lo único exigido en la evaluación de los aprendizajes Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos • 31 Eduardo Mario Lacués Apud. Didac 56-57 (2011): 29-35


sobre este tema), o que sólo pueda hacerlo en forma verbal, no ha construido puentes entre las dos representaciones, y, por lo tanto, la elaboración de significado que ha conseguido es más pobre que la de quien puede flexiblemente pasar de una representación a otra y elegir cuál es la mejor en cada caso para avanzar en el proceso de solución, como se describe en el inciso c. Esta discusión puede ampliarse si se incorporan otras representaciones, como la geométrica o la numérica. Enseñanza y aprendizaje de sms Cuando se habla de Sistemas Matemáticos de Símbolos, la ubicación del adjetivo “matemáticos” calificando al sustantivo “sistemas” es deliberada y pretende poner énfasis en que no son los símbolos los que se consideran matemáticos, sino los sistemas que integran ciertos símbolos y una lengua vernácula. Ésta es la posición que defiende Puig (2003) al señalar que quien dota de significado al texto es el sistema y no los signos ni la lengua por sí mismos. Esta puntualización ayuda a situar el problema de la apropiación de los objetos matemáticos por parte de un estudiante, con los que entra en contacto a través de los signos (palabras, símbolos matemáticos) que integran el discurso matemático. Este discurso se conforma en torno a un conjunto de consensos que dota de un significado preciso, compartido por la comunidad matemática, a las expresiones que se usan para comunicar resultados o argumentar en torno a la validez de enunciados en matemáticas. Una de las características distintivas de las matemáticas es que con muy pocos símbolos organizados sistemáticamente es posible describir desde procedimientos de cálculo extremadamente complejos hasta relaciones lógicas entre enunciados, así como interpretar partes de la realidad o diseñar intervenciones para modificarla en cierta dirección. Esta característica de las matemáticas explica, según Romberg (1991), gran parte de su poder y, a la vez, de las dificultades que se enfrentan para aprenderla. En muchos casos, los sms evocan algunos de los procesos asociados a las entidades que representan. 32 • Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos

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En este caso, las reglas sintácticas que rigen las transformaciones de expresiones en otras están más próximas a la intuición que cuando los sms son de carácter más arbitrario. Romberg resalta este último aspecto: La identificación y la utilización de los símbolos pueden organizarse en ámbitos como los enunciados simbólicos que caracterizan el ámbito, las tareas implicadas que deben llevarse a cabo, las reglas que deben seguirse para representar, transformar y realizar los procedimientos y el conjunto de situaciones que generalmente se han utilizado para crear los símbolos, las relaciones entre ellos y las reglas significativas (Romberg, 1991: 374).

La dificultad que implica para el principiante apropiarse de este discurso y usarlo competentemente es de las menos atendidas desde la enseñanza de las matemáticas. Carolyn Kieran (1992) presentó una recopilación de los resultados de investigación que hasta ese momento estaban disponibles. Una de las conclusiones es que tanto desde la enseñanza como desde los libros de texto existe una desatención a este problema. Más aún, señala que desde el momento en que los libros de texto son la principal referencia de los profesores, sobre todo de los novatos, no es extraño que lo que no figure en ellos no aparezca en las prácticas de aula. Kieran señala tres etapas históricas en el desarrollo del lenguaje algebraico. La primera, que ella llama retórica, se caracteriza por una ausencia total de formalismo. Con los trabajos de Diofanto se marca el comienzo de la segunda, que se extiende hasta el siglo xv, cuando en Europa matemáticos como Vieta comienzan a elaborar métodos generales para abordar la resolución de diferentes problemas algebraicos a partir de los procedimientos diofánticos, dando inicio a la tercera etapa, la simbólica. En la primera fase, el trabajo del ejecutante se realiza casi directamente sobre los objetos mismos. La introducción de procedimientos para manipularlos, característica de la segunda etapa, distancia al ejecutante de la naturaleza de los objetos, y este proceso alcanza su culminación en la etapa simbólica.


Resulta, pues, que el dominio en el uso de sms permite tomar distancia de las formas más concretas de formulación de los problemas. Llevado a un extremo, esto puede significar que los estudiantes sean capaces de ejecutar algoritmos correctamente, sin tener en cuenta los problemas a los que esos algoritmos originalmente dieron respuesta. Rubinstein y Thompson (2001) presentan una serie de desafíos a los que se enfrentan los aprendices cuando establecen contacto con los sms: al tratar de verbalizar la información presentada en un formato simbólico, puede ser que necesiten utilizar un discurso bastante extenso y difícil de articular; por otro lado, la misma formulación simbólica puede

ser verbalizada de diferentes maneras, todas ellas equivalentes desde el punto de vista estrictamente matemático, pero que marcan matices de diferencia al momento de planificar o ejecutar acciones; en ocasiones, las formulaciones simbólicas no se leen de derecha a izquierda, y los procesos de búsqueda a derecha e izquierda o hacia arriba y abajo para leer correctamente son engorrosos. Otra de las características que los sms comparten con el lenguaje es que muchos de sus significados dependen del contexto en el que se formulan las sentencias, y para el aprendiz constituye un problema identificar cuáles son las pertinentes. La tabla 1 resume y ejemplifica algunas de las dificultades reseñadas.

Tabla 1

Algunas características problemáticas de los sms El mismo signo representa 0 y 1 representan, respectivamente: entidades diferentes a) los enteros cero y uno, b) los neutros de la suma y del producto en un campo, c) los neutros de la suma y del producto en un álgebra de Boole. (a, b) representa: a) un intervalo abierto en el conjunto de los números reales (R), b) un par ordenado, c) las coordenadas de un punto en el plano, d) un vector en el espacio vectorial R2. Símbolos diferentes represen- (a, b) representa el conjunto {x∈R / a < x < b}. tan la misma entidad. (f  g) (x) y f (g (x)) representan la imagen de x por medio de la función compuesta f  g. El mismo símbolo en una El primer par de paréntesis en (f  g) (x) indica el resultado de una operación entre funciones (la misma formulación tiene composición), en tanto el segundo par señala que se está calculando la imagen de un elemento significados contextuales di- por medio de la composición indicada. ferentes. La x en el denominador de indica que la variable respecto a la cual se deriva parcialmente es la primera, en tanto la x dentro del paréntesis señala la primera coordenada del punto donde se calcula esta derivada. La verbalización de una for- La fórmula para las raíces de la ecuación de segundo grado, ax2 + bx + c = 0 es , mulación puede ser engoque se lee: “las soluciones son el cociente entre el doble del coeficiente del término de segundo rrosa. grado, de la suma o la resta del opuesto del coeficiente del término de primer grado con la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de este coeficiente y el cuádruplo del producto del coeficiente de término de segundo grado con el término independiente”. La lectura de ciertas formulaciones requiere de procesos de búsqueda hacia izquierda y derecha.

( x + 1) x ( x + 3) 2 + x2

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Un experimento de enseñanza de los sms en álgebra lineal En el experimento que se describe se compararon los efectos de la enseñanza tradicional con los producidos por dos diseños instruccionales diferentes, destinados a explicitar algunos aspectos del uso de los sms. Se utilizó un test inicial para estudiar la existencia de diferencias significativas entre los tres grupos, que dio resultados negativos, por lo que se supusieron homogéneos. Por otro lado, para estudiar las consecuencias de las intervenciones diseñadas se utilizaron las producciones de los integrantes de los tres grupos en tareas de resolución de problemas programadas a lo largo del curso, lo que dio evidencias de diferencias significativas a favor de cada grupo experimental respecto al grupo de control, aunque no entre los grupos experimentales. Esto indica que ambas intervenciones tuvieron una influencia positiva en la adquisición de pericia en el uso de los sms, aunque no pueda decidirse a partir de este experimento cuál es la mejor.

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Los participantes en este experimento fueron alumnos que ingresaron a carreras de grado en ingeniería en 2006 en la Facultad de Ingeniería y Tecnologías (fit) de la Universidad Católica del Uruguay (ucu) y que cursaron en el primer semestre de ese año álgebra lineal. Estos estudiantes estaban separados en tres grupos por razones administrativas, cada uno de ellos con un profesor diferente, por lo que al azar se determinó a uno de los grupos como grupo de control (gc), en tanto que los otros dos fueron designados como grupo experimental 1 y grupo experimental 2 (ge1 y ge2, respectivamente), cada uno con una intervención didáctica propia, que se describirá posteriormente. Como parte de la evaluación del curso se seleccionaron diez problemas de entre los que integran las tareas habituales del curso, cuya solución requiere el uso de los sms. Se propuso que cada estudiante compusiera, individualmente, una carpeta con las soluciones a estos problemas. Un único profesor, diferente a los que tenían asignados los grupos, tuvo


a su cargo las tareas de corrección, que debían ser devueltas a los alumnos en el plazo de una semana. Los integrantes del ge1 recibieron una intervención didáctica consistente en que el mismo profesor que llevó a cabo la corrección escribió sugerencias o recomendaciones enfatizando alguno de los aspectos pertinentes de los sms en relación con la tarea, para cada estudiante de este grupo, a partir de la forma en que hacía uso de los sms. Para el ge2 la intervención consistió en la exposición de las soluciones a nueve problemas, elegidos porque servían para explicitar aspectos del uso de los sms. Estos problemas fueron resueltos por el mismo profesor que tuvo a su cargo las correcciones de ge1, en cuatro sesiones distribuidas entre la segunda y tercera semanas de clases. A partir de las calificaciones obtenidas en la resolución de los problemas integrantes de la carpeta, se elaboraron conjuntos de notas. La comparación entre estos conjuntos dio como resultado la existencia de diferencias significativas entre el rendimiento de cada grupo experimental y el del grupo de control, mientras que no se constataron diferencias significativas entre los dos grupos experimentales. Este resultado indica que las intervenciones desarrolladas tienen un efecto positivo en la adquisición de habilidades en el uso de los sms. También parece establecer que no hay diferencias entre una instrucción concentrada y otra distribuida a lo largo del curso. Teniendo en cuenta las características de cada intervención, esto puede ser interpretado en el sentido de que el principal efecto ocurre en las primeras instancias de la intervención, mientras que las siguientes sólo inciden marginalmente. Esta interpretación es consistente con la postura que asume Berger (2004): basada en las nociones zona de desarrollo proximal de Vygotski, afirma que el uso funcional de los signos, a la vez de ser condición necesaria para la construcción de significados matemáticos, se constituye en productor de al menos parte de esos significados. En otra dirección de análisis de los resultados, se constató que en los problemas donde los sms eran el instrumento adecuado para construir gene

ralizaciones, tanto el ge1 como el ge2 tuvieron un desempeño significativamente mejor que el de gc. Esto es especialmente importante porque indica que estos aspectos del uso de los sms pueden ser adquiridos de mejor manera por los alumnos cuando hay una enseñanza diseñada intencionalmente para mostrar su uso. Conclusiones y sugerencias Algunos aspectos del uso de los sms pueden ser enseñados de manera que se promueva una mayor competencia en los estudiantes en relación con su utilización. Esta enseñanza puede llevarse a cabo en el marco de las actividades regulares de los cursos de matemáticas, lo que vuelve importante el diseño de intervenciones didácticas con esta intención. Teniendo en cuenta la presencia creciente del uso de sistemas de enseñanza asistidos por computadora y de software matemático en los cursos de la disciplina, se hace necesario indagar la relación entre el uso de tecnologías y la apropiación de habilidades en relación con los sms. Referencias Berger, M. “The functional use of a mathematical sign”. Educational Studies in Mathematics, 55 (2004): 81-102. Kaput, J. “Towards a theory of symbol use in mathematics”. Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, ed. por C. Janvier. Hillsdale, Estados Unidos: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., 1987, pp. 159-195. Kieran, C. “El aprendizaje y la enseñanza del álgebra escolar” (consulta: 15 de diciembre de 2009) <http://ued.uniandes.edu.co/ued/servidor/em/recinf/traducciones/default. html>. Pozo, J.I. Humana mente: el mundo, la conciencia y la carne. Madrid: Ediciones Morata, 2001. Puig, L. “Signos, textos y sistemas matemáticos de signos”. Matemática educativa: aspectos de la investigación actual, ed. Por E. Filloy. México: Fondo de Cultura Económica, 2003 (consulta 15 de diciembre de 2009) <http://www. uv.es/puigl/mexico00.pdf>. Rubinstein, R., y D. Thompson. “Learning mathematical symbolism: Challenges and instructional strategies”. Mathematics Teacher, vol. 94, núm 4 (2001): 265-271. Sherin, B., y V. Lee. “On the interpretation of scientific representations”, documento presentado ante la Annual Meeting of the American Educational Research Association, Montreal, 2005 (consulta: 15 de diciembre de 2009) <http://www.victorsworld.net/SherinLee2005.pdf>. Enseñanza y aprendizaje de los sistemas matemáticos de símbolos • 35 Eduardo Mario Lacués Apud. Didac 56-57 (2011): 29-35


Polisemia del signo « – » en la introducción del número entero* Romà Pujol Pujol**

Catedrático de matemáticas, Institut de l’Arboç Profesor asociado de didáctica de la matemática Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona

Lluís Bibiloni Matos

Profesor de didáctica de la matemática Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona

Jordi Deulofeu Piquet

Profesor de didáctica de la matemática Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències Experimentals Universitat Autònoma de Barcelona

❂ Resumen La didáctica de la primera introducción al conjunto de los enteros (números negativos) constituye el centro de interés de este artículo. Clasificamos las tipologías de enseñanza de este contenido curricular y sugerimos una introducción híbrida a través de un puente didáctico entre una introducción empírica, que constituye a menudo una primera introducción en la enseñanza obligatoria, y el método deductivo. La polisemia del signo menos es enfatizada, esclarecida y combinada con algunas pinceladas del método deductivo para mejorar esta primera introducción que actualmente se implementa en la matemática escolar a través de modelos concretos. Palabras clave: número entero, polisemia Abstract The didactics of the first introduction to the set of the integers (negative numbers) constitutes the key focus of this article. We classify the teaching typologies of this curriculum content and we suggest a hybrid introduction through a bridge between an empirical introduction, which is frequently a first introduction to compulsory education, and the deductive method. The polysemy of the minus sign is emphasized, elucidated and mixed with some brushstrokes of deductive method to improve this first introduction as it is implemented nowadays in school mathematics through empirical methods. Key words: whole number, polysemy * Este artículo se ha realizado en el marco del proyecto edu2009-07298, financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovación del Gobierno de España, y el plan de actuación del grupo de investigación consolidado premat (2009sgr364) de la Generalitat de Catalunya. ** Correo electrónico del autor: Roma.Pujol@uab.cat 36 • Polisemia del signo « – » en la introducción del número entero

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Introducción En los primeros años de vida, las niñas y los niños identifican la suma, que denotamos por el signo « + », con la acción añadir. De hecho, aprenden a sumar tal como la acción añadir les dicta que deben hacerlo. También identifican la resta, que denotamos por el signo « – », con la operación restar. En este caso aprenden a restar tal como la acción quitar les dicta que deben hacerlo. La transparencia de dichas identificaciones les permite aprender a sumar y restar, y a expresar simbólicamente, en el momento adecuado, las operaciones. En particular, la acción quitar, la operación restar y el signo « – » toman una profunda vinculación entre sí. Poco después de la primera década de vida, y por regulación de los currículos de matemáticas, se introduce el número negativo. El signo « – », estrechamente relacionado hasta ese momento con la acción quitar y la operación restar, pasa a ser utilizado para denotar los números negativos; pero esto no siempre ha sido así. Tal como apuntan Crowley y Dunn (1985: 253), históricamente el signo menos no siempre ha sido usado con esa doble función. Otras notaciones fueron usadas, aunque no universalmente establecidas. Una de ellas es la utilizada por el árabe Al-Jwarizmi, quien colocaba un pequeño círculo o un punto encima o al lado del número para indicar que era negativo. También los antiguos hindús utilizaron otra de dichas notaciones al indicar los números negativos rodeándolos con un círculo. Se puede vivir perfectamente en este mundo sin establecer ninguna relación entre la “pluma” de un ave y una “pluma” estilográfica, pero es educativo conocerla. Análogamente, se pueden desconocer los motivos por los cuales el signo « – », que el niño utiliza para denotar la resta, es utilizado posteriormente para denotar los números negativos, pero es educativo conocerlos. ¿Sería posible ofrecer en la actualidad una enseñanza que permita esclarecer por

qué utilizamos para denotar los números negativos el mismo signo que con anterioridad utilizamos para la resta? En las líneas siguientes veremos que la polisemia en la que recae el uso del signo « – » puede ser esclarecida y que, además, esto facilita el posterior aprendizaje de las operaciones entre números enteros. Facilitamos una propuesta de enseñanza que, de acuerdo con Klein (1927: 38), participa del complemento necesario para una total comprensión. Clasificación de las propuestas de enseñanza del número entero De acuerdo con Bruno (2001: 417-420), la introducción del número negativo en la matemática escolar puede seguir, según el conjunto numérico de partida considerado, tres caminos. Desde el número natural puede introducirse el entero; también es posible introducir el número negativo a partir del racional positivo y, en tercer lugar, también a partir del real positivo. Cabe destacar que el proceso seguido por la historia de la matemática sugiere familiarizar al estudiante con el racional positivo antes de inmiscuirlo en el número negativo, por lo cual queremos acentuar el interés didáctico de la segunda propuesta. No obstante, la primera es la más extendida y por ese motivo partimos del número natural y nos ocupamos de la introducción del número entero. Arcavi y Bruckheimer (1981: 31-33) clasifican las posibles introducciones de la estructura multiplicativa y Cid (2003: 2) las hace extensivas a la introducción del número entero. Sintetizamos brevemente esta clasificación, puesto que permitirá situar nuestra propuesta: i. Instructiva. Se basa en la imposición de la terminología con la que denotamos el número negativo y de las reglas que rigen sus operaciones. ii. Inductiva. Se basa en la búsqueda de regularidades numéricas. Para ello se acepta

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la terminología con la que denotamos los números negativos. Listas de operaciones entre números enteros ordenados muestran comportamientos que dictan los resultados de las operaciones. iii. Modelos concretos. Toma su fuerza en el sentido común del aprendiz. La terminología con la que se denotan los números negativos se acepta por convenio y las reglas que rigen sus operaciones se explican a partir de la evidencia empírica de situaciones cercanas al estudiante. iv. Deductiva. Se basa en el principio de permanencia de las leyes formales. Se desvincula del sentido común del aprendiz y de la búsqueda de regularidades numéricas. Sin embargo, permite obtener las reglas que rigen las operaciones entre números enteros. v. Constructiva. Se basa en la presentación axiomática del conjunto de los números enteros, sus operaciones y sus propiedades. Otorga una indudable solidez al conjunto presentado pero no revela el motivo de dicha presentación. Introducción del número entero por un método híbrido La enseñanza del número entero a través de modelos concretos se basa en el sentido común del estudiante, lo cual le otorga una riqueza de la que no dispone el resto de introducciones, aunque padece algunos inconvenientes. Según Cid (2002: 537), “la aritmética elemental no permite poner de manifiesto la utilidad de los números negativos, o de los números enteros en particular, porque todos los problemas que se plantean en ese ámbito pueden resolverse perfectamente en términos de números positivos”. Pero si la introducción del número entero a través de modelos concretos la alimentamos con la potencia del método deductivo conseguimos: cercanía a la realidad cotidiana de los estudiantes, gracias a los modelos concretos, y la obtención de las reglas que rigen las operaciones entre números enteros, gracias al método deductivo. Ejemplificamos a continua-

ción lo expuesto, procediendo a partir del modelo concreto de los ascensores. Denotar la planta baja de un edificio por el número cero, la primera planta por el número 1 y así sucesivamente es aceptado de forma generalizada. Sin embargo, el primer subterráneo puede ser denotado de diferentes formas: “S1”, “Subterráneo 1”, “Parking 1”, “–1”. Las tres primeras intentan comunicar una ubicación con palabras o sus abreviaturas. No obstante, utilizar “–1” requiere alguna explicación, tal como hemos destacado en la introducción de este artículo. Los niños familiarizados con los números naturales y con sus operaciones elementales equiparan la planta baja con el número cero y un determinado piso con un cierto número natural. Identifican que subir una cierta cantidad de pisos se corresponde con sumar al número que identifica el piso donde están el número que indica la cantidad de pisos que han subido o quieren subir. De forma análoga identifican que bajar una cierta cantidad de pisos se corresponde con restar al número del piso donde se encuentran el que indica la cantidad de pisos que han bajado o quieren bajar. Dado esto por conocido, ¿existe alguna razón para denotar el primer subterráneo de alguna determinada forma o se trata sólo de un convenio? Figura 1

Una introducción híbrida. Del modelo concreto del ascensor al método deductivo.

La coyuntura de estar en el segundo piso y subir uno la expresamos matemáticamente por

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“2 + 1 = 3”. De forma análoga, si estamos en el primer subterráneo y subimos un piso estaremos en la planta baja, y ello lo expresamos matemáticamente por “? + 1 = 0”. Pero para el alumno que sólo está familiarizado con los números naturales no existe ningún número que sumado a uno tenga por resultado cero. De forma parecida, si estamos en el primer subterráneo y subimos tres pisos estaremos en el segundo, y esto lo expresamos matemáticamente por “? + 3 = 2”. Sin embargo, el primer subterráneo existe, y si queremos indicarlo con un número, éste debería satisfacer las relaciones anteriores. En cualquiera de los dos ejemplos mostrados, si aceptamos que algún número debe cumplir con dichas relaciones, entonces es tal que cuando lo sumamos se comporta como si restásemos uno. ¡Buen motivo para denotarlo por “–1”! De forma similar, si estamos en el segundo subterráneo y subimos tres pisos estaremos en el primer piso, y ello lo expresamos matemáticamente por “?? + 3 = 1”. Análogamente, si estamos en el segundo subterráneo y subimos cinco pisos estaremos en el tercero, y ello lo expresamos por “?? + 5 = 3”. En cualquiera de los dos ejemplos mostrados, si aceptamos que algún número debe cumplir con dichas relaciones, entonces es tal que cuando lo sumamos se comporta como si restásemos dos. ¡Buen motivo para denotarlo por “–2”! La revisión bibliográfica realizada en el estudio de Pujol (2008) congrega investigaciones sobre dificultades y errores, propuestas de enseñanza y estudios sobre la epistemología del número negativo. Sin embargo, no hemos apreciado en ninguna de las publicaciones consultadas propuesta alguna que esclarezca la polisemia en la que recae el uso del signo « – ». Tampoco ninguna de las propuestas de introducción del número entero (Arcavi y Bruckheimer, 1981; Cid, 2003) clarifica dicha polisemia. La suma de números enteros en la propuesta híbrida La introducción del número entero por el método híbrido “modelos concretos-método deductivo”, expuesto en el apartado anterior, honra la génesis histórica. Con Cid (2002: 538-539), “lo que el

estudio de la epistemología de los números negativos pone de manifiesto es que la génesis de dichos números se produjo en el seno del álgebra y que su aceptación estuvo dificultada por la exigencia de la matemática clásica de interpretar los objetos algebraicos como objetos de la aritmética elemental”. La propuesta que mostramos surge de una situación cercana a alumnos y alumnas y conduce, expresado en forma retórica, a la búsqueda de un número que sumado al número uno tenga por resultado el número cero; expresado en forma simbólica buscamos la solución de esta ecuación: “? + 1 = 0”. Esto facilita una introducción simultánea entre el número negativo y los preliminares del lenguaje algebraico y se corresponde con la coyuntura vivida por la historia de la matemática expuesta por Freudenthal (1983: 432). Operaciones como “–5 + 7” o “–5 – 7” obtienen respuesta simplemente gracias al significado del signo « – ». Si “–5” es un número que cuando lo sumamos se comporta como si restásemos 5, entonces “–5 + 7 = 2”. Además, la introducción híbrida permite visualizar el resultado en el modelo del ascensor, en la recta numérica y también en otros modelos. Aceptamos que el efecto que la resta de números naturales tiene en el modelo del ascensor, o en la recta numérica, se mantiene con números enteros y por consiguiente “–5 – 7 = –12”. Las preguntas relativas a la terminología utilizada y al comportamiento de la suma de números enteros nacen de una situación cotidiana, pero las respuestas no se limitarán al modelo cuando éste no sea convincente. Con Klein (1927: 32-33) “se presenta, pues, aquí por primera vez, el paso de la matemática práctica a la formal, para cuya completa comprensión es precisa en alto grado la capacidad de abstracción”. Posteriormente, la utilización del número entero en problemas cercanos al alumno será clave para dar sentido práctico a su existencia. Históricamente fue Albert Girard (1595-1632) el primero que no sólo tuvo en cuenta la validez algebraica del número negativo, sino que además lo interpretó geométricamente (González et al., 1990: 33). Al- Jwarizmi (~780-850) atesoró problemas que

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invitan a usar el lenguaje algebraico; tal vez álgebra retórica en un primer momento. Su resolución conduce, en algunas ocasiones, a soluciones negativas, que no eran contempladas en el siglo ix, cuando se publicó El libro del Álgebra de Al-Jwarizmi (2009). Fue Descartes (1596-1650) quien dio a conocer las cantidades negativas, aunque fuese negando su existencia, y éste es uno de los frutos que se desprenden de aplicar el álgebra a la geometría (Descartes, 1999: 102-103). Tal como dice D’Alembert, citado por González et al. (1990: 27), “el álgebra es generosa, a menudo da más de lo que se le pide”. La resta de números negativos Los participantes en la fase empírica de la investigación realizada por Iriarte et al. (1991: 13) afrontaron la búsqueda de una situación real en la que tuviera sentido –(–3). Los resultados obtenidos descubren enormes dificultades, incluso entre los estudiantes del primer curso de formación de maestros. Parece, pues, que el esclarecimiento de la terminología utilizada para denotar el número negativo y la suma de enteros debería ser contenido más que suficiente para una primera introducción. En nuestra vida cotidiana no convivimos con el producto ni con la división de números negativos, y muy raramente con la resta. Mientras el álgebra no requiera respuestas, interrogantes como hallar el valor de –(–3) tal vez deberían posponerse. Forzar la interpretación de dicha expresión u otras similares en contextos reales podría conducir a situaciones como la expuesta por Cid (2002: 534): Un alumno podría pensar que (+70) – (–10) = +70 porque “si tengo 70 pesetas y me perdonan una deuda de 10 pesetas sigo teniendo 70 pesetas”. Naturalmente, el profesor utiliza otro razonamiento dentro de ese mismo modelo, pero hay que reconocer que el primero es perfectamente válido desde el punto de vista del “sentido común”, que es a lo que se apela cuando se trabaja con modelos familiares a los niños. De la misma manera, podríamos deducir que (–6) – (–2) = +4, diciendo que “entre 6 grados bajo cero y 2 grados bajo cero hay 4 grados de diferencia y 4 es lo mismo que +4”.

Históricamente, con Freudenthal (1983: 433), el motivo al cual deben su existencia los números negativos fue la necesidad de dar validez general a los métodos de resolución de ecuaciones. Una introducción simultánea con el álgebra permite denotar –(–3) por x, es decir, –(–3) = x. Si aceptamos para los números negativos la segunda noción común de los Elementos de Euclides (1991-1996), que dice que si a cosas iguales añadimos cosas iguales los totales son iguales, entonces también será cierto que (–3) + x = (–3) – (–3), es decir, (–3) + x = 0. Puesto que –3 es un número que cuando lo sumamos se comporta como si restásemos 3, entonces x = 3; como consecuencia –(–3) = 3. Cuando los modelos concretos no dan respuestas satisfactorias, interviene el método deductivo. He aquí la potencia del método híbrido. El producto de números enteros “Menos por menos da más” es frecuentemente “piedra de escándalo” para muchos, según Klein (1927: 33). Peterson (1972) muestra catorce formas distintas de introducir el producto de números negativos, pero no apreciamos modelos híbridos. Es fácil que la enseñanza del producto de números enteros tome la introducción instructiva, pero esto conduce a destacadas dificultades. Léonard y Sackur (1990) muestran que la proporción de éxitos entre los participantes en la fase empírica de su investigación ante la realización de sumas y restas con números enteros disminuye cuando se les enseña el producto. Según los citados autores, el aprendizaje del producto de números enteros provoca que los alumnos apliquen a sumas y restas la regla de los signos para el producto, dando lugar a errores que en un principio no se producían. Las diferentes introducciones del producto de números negativos que se pueden encontrar en los libros de texto están cabalmente tratadas en Gómez (2001: 257-275). Para la selección de una propuesta de enseñanza cabe destacar que el apego a la evidencia inmediata, a la intuición primaria de número como cantidad, dificultó históricamente la aceptación del número negativo (Iriarte et al.,

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1991: 13). Además, a juicio de Schubring, uno de los hechos que obstaculizaron el proceso de conceptualización del número negativo fue la tardía diferenciación entre número, cantidad y magnitud, extraído de Cid (2000: 7). El hecho de que los números sólo pudieran tener sentido como medidas de cantidades de magnitud constituyó un obstáculo epistemológico al reconocimiento matemático de los números negativos (Cid, 2002: 539). El producto de un entero positivo por uno negativo puede ser expresado como la suma de enteros negativos. En este caso la interpretación dada al signo « – » basta para abordar la interrogante. Sin embargo, el producto entre números enteros negativos tiene algunas particularidades que apuntaremos a continuación.

La justificación de la regla de los signos de Mac-Laurin (1698-1746), recogida en su Tratado de álgebra (1748) y que tomamos de Gómez (2001: 263-264), focaliza la atención en las operaciones y se aleja de las interpretaciones físicas. Laplace (1749-1827) recurre a la conservación de la suma, el producto y la propiedad distributiva. Estas posiciones condujeron a la que actualmente se llama introducción deductiva (Arcavi y Bruckheimer, 1981: 32-33; Cid, 2003: 2-3). El modelo híbrido que proponemos añade a estos posicionamientos la transparencia dada a la polisemia en la que recae el uso del signo « – », tal como mostramos en las concreciones siguientes. (–1) + 1 = 0, puesto que –1 es un número que cuando lo sumamos se comporta como si restásemos 1. Si aceptamos que la propiedad distributiva, conocida y aceptada para números naturales, sea también cierta para los números negativos, entonces: 0 = (–1) + 1 = (–1) ((–1) + 1) = (–1) (–1) + (–1) 1 = (–1) (–1) –1. De donde (–1) (–1), si algún valor debe tener, sólo puede ser 1. Conclusiones El uso del signo « – » para denotar los números negativos tiene una razón de ser y no se trata de un convenio vacío de significado. Esclarecer dicha notación es ineludible si queremos facilitar el uso de este medio de comunicación que llamamos matemáticas. De acuerdo con la posición de Cockcroft (1985: 4): Las matemáticas proporcionan un medio de comunicación de la información conciso y sin ambigüedad porque hacen un uso amplio de la notación simbólica. Sin embargo, es la necesidad de usar e interpretar esta notación y de entender las ideas y conceptos abstractos que le sirven de base lo que resulta un escollo para mucha gente. En efecto, la notación simbólica que capacita a las matemáticas para que se usen como medio de comunicación y así ayudar a hacerlas “útiles”, puede también hacer las matemáticas difíciles de entender y usar.

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¿Se puede demostrar que « – » por « – » es « + »? Para que sea posible es necesario dar significado al signo « – ». Si no denotáramos los números negativos con el mismo signo que usamos para la resta, la regla de los signos no sería enunciada de esta forma. Sin embargo, y tal como hemos mostrado en las líneas anteriores, la regla de los signos es consecuencia de extender a los números negativos las propiedades que con toda claridad cumplen los positivos. La propuesta educativa presentada arranca con el modelo de los ascensores y se inmiscuye en el método deductivo, a partir de la idea de Laplace, cuando el modelo no facilita respuestas satisfactorias. Pero esto admite diversas variantes, según el modelo de partida escogido y la justificación histórica utilizada. La incidencia en el aprendizaje del dechado de combinaciones posibles debe venir de la mano de argumentos fundamentados en la investigación didáctica.

Freudenthal, Hans. Didactical phenomenology of mathematical structures. Dordrecht (Holanda): D. Reidel Publishing Company, 1983. Gómez, Bernardo. “La justificación de la regla de los signos en los libros de texto: ¿Por qué menos por menos es más?” Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Eds. Pedro Gómez y Luis Rico. Granada: Universidad de Granada, 2001: 257-275. González, José Luis, et al. Números enteros. Madrid: Síntesis, 1990. Iriarte, María Dolores, Manuela Jimeno e Inmaculada VargasMachuca. “Obstáculos en el aprendizaje de los números enteros”. SUMA 7 (1991): 13-18. Klein, Felix. Matemática elemental desde un punto de vista superior, 1. Madrid: [s.n.], 1927. Léonard, François, y Catherine Sackur. “Connaissances locales et triple approche, une méthodologie de recherche”. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10. 2.3 (1991): 205-240. Peterson, John C. “Fourteen different strategies for multiplication of integers or why (-1) × (-1) = (+1)”. The Arithmetic Teacher, 19. 5 (1972): 396-403. Pujol, Romà. Una reconsideració dels nombres enters per a l’ensenyament postobligatori. Tesis doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona, 2008.

Referencias Al-Jwarizmi, Mohammed ibn-Mussa. El libro del álgebra. Tres Cantos (Madrid): Nivola, 2009. Arcavi, Abraham, y Maxim Bruckheimer. “How shall we teach the multiplication of negative numbers?”. Mathematics in School, 10. 5 (1981): 31-33. Bruno, Alicia. “La enseñanza de los números negativos: formalismo y significado”. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 4. 2 (2001): 415-427. Cid, Eva. “Obstáculos epistemológicos en la enseñanza de los números negativos”. Actas del XV Jornadas del Seminario Interuniversitario de Investigación en Didáctica de las Matemáticas. Boletín SI-IDM, 10 (2000). ___. “Los modelos concretos en la enseñanza de los números negativos”. Actas de las X Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas, 2 (2002): 529-542. ___. La investigación didáctica sobre los números negativos: estado de la cuestión. Universidad de Zaragoza: Pre-publicaciones del Seminario Matemático “García de Galdeano”, 2003. Cockcroft, Wilfred Halliday. Las matemáticas sí cuentan. Informe Cockcroft. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia, 1985. Crowley, Mary L., y Kenneth A. Dunn. “On multiplying negative numbers”. Mathematics Teacher, 78. 4 (1985): 252-256. Descartes, René. La geometria. Barcelona: Institut d’Estudis Catalans, 1999. Euclides de Alejandría. Elementos. Madrid: Gredos, 19911996.

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Una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmética al álgebra en alumnos de secundaria Rosa del Carmen Flores Macías*

Profesora titular Facultad de Psicología Universidad Nacional Autónoma de México

Raúl Castellanos Cruz

Doctorante Facultad de Psicología Universidad Nacional Autónoma de México

❂ Resumen Se presenta una propuesta instruccional para apoyar la transición de la aritmética al álgebra durante la solución de problemas. La propuesta se basa en el empleo de una estrategia de solución de problemas diseñada de tal forma que el alumno pueda ser autónomo en su empleo y en la comprensión de las ecuaciones algebraicas mediante una representación gráfica. Se hace especial énfasis en que el alumno comprenda el significado de conceptos como incógnita, igualdad, literal, así como los procedimientos algebraicos en el contexto de la solución de un problema. Palabras clave: álgebra, solución de problemas. Abstract An instructional proposal is presented to support the transition from the arithmetic to algebra in solving word problems. The proposal is based on the use of a strategy designed in such a way that the student may be autonomous in their use and understands the algebraic equations using a graphical representation. The focus is in the understanding the meaning of concepts such as unknown variable, literal, equality as well as algebraic procedures in the context of solving a problem. Key words: algebra, word problem solution.

Ante la pregunta “¿para ti qué son las matemáticas?”, un alumno respondió: “Una cueva tenebrosa”. La analogía es perfecta para describir la situación de muchos alumnos de secundaria cuando empiezan * Correo electrónico de la autora: rcfm@servidor.unam.mx

a aprender álgebra, pues el sentido de las tareas se vuelve oscuro y extraño. Sus conocimientos aritméticos no son suficientes, se enfrentan a ejercicios en los que hay letras y números que se suman, restan, multiplican o dividen y en los que se les plantea que tienen que resolver problemas encontrando el valor

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de las letras y haciendo operaciones extrañas; escuchan frases como “si está sumando pasa restado” o “si está dividiendo pasa multiplicando”, situaciones que para los alumnos no tienen sentido (Castellanos y Flores, 2006: 131-148). Diferentes autores (Kieran, 1992; Kieran y Filloy, 1989; MacGregor y Stacey, 2000; Pizón y Gallardo, 2000) señalan las siguientes dificultades de los alumnos en la transición de la aritmética al álgebra.

con un valor fijo más que como números generalizados o como variables.

Desconocimiento del significado de la igualdad. Los alumnos manejan el signo de igual como una señal de hacer algo e ignoran el significado de la igualdad como un equilibrio entre los dos miembros de la ecuación.

Generalización equivocada de procedimientos aritméticos. Haber aprendido a pensar y operar con símbolos numéricos dificulta la comprensión de la operación con letras y las reglas de operación en las ecuaciones.

Omisión parcial de la incógnita. Los estudiantes no perciben la incógnita en el segundo miembro en ecuaciones; por ejemplo, en x + 2x = 3 + x ignoran la x del miembro derecho y presentan 3x = 3 como resultado de la ecuación anterior.

Resistencia a emplear ecuaciones. En los problemas de preálgebra que se prestan también para una solución aritmética, los alumnos primero los resuelven con una operación aritmética y luego intentar adivinar la ecuación, pero sin comprender cabalmente el significado de ésta.

Interpretación equivocada de la concatenación de términos algebraicos. La concatenación en aritmética denota adición; por ejemplo, 45 significa 40 + 5; sin embargo, en álgebra se refiere a la multiplicación, por ejemplo 5b es 5 × b, lo que confunde a los alumnos.

Dificultades en el empleo de los signos y expresiones. Dos dificultades centrales en el aprendizaje del álgebra son la “condensación” (cuando se tiene más de un significado para una expresión) y la “evaporación” (una pérdida del significado de los símbolos).

Conjunción de términos no semejantes. En álgebra los términos diferentes deben tratarse en forma independiente; es común que el estudiante ignore las diferencias; por ejemplo, en 3 + 5x = 8x los alumnos consideran como semejantes las expresiones 3 y 5x.

Inversión incorrecta de operaciones. Los alumnos desconocen el procedimiento que lleva a la transposición de términos en una ecuación o bien la realizan con una regla incorrecta.

Dificultades para expresar formalmente los métodos y procedimientos que se usan para resolver problema. La confianza en métodos intuitivos y que se centren en conseguir “de alguna forma” la respuesta va en contra de que vean las relaciones enunciadas en el problema y de que sistematicen su método de solución. Equivocaciones en la interpretación de las variables. La experiencia de los niños en la escuela con las letras de ecuaciones se reduce a fórmulas como A = b × h; esto puede provocar que los alumnos traten las letras en ecuaciones como incógnitas

Desde una perspectiva cognitiva, estas dificultades pueden tener dos orígenes: a) Dificultades debidas a la falta de comprensión de los componentes y las reglas de solución de la ecuación, y b) Dificultades debidas a un conocimiento incompleto o erróneo de conceptos como igualdad, incógnita, variable; a estas circunstancias habrá que añadir una tercera: que los estudiantes tienen muy pocas experiencias aprendiendo álgebra en el contexto de la solución de problemas. En conjunto, lo anterior justifica apoyar

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la transición de la aritmética al álgebra con procedimientos de enseñanza que hagan transparentes las reglas de la ecuación y el significado de los conceptos y que se sitúen en la solución de problemas y no sólo en ejercitar el conocimiento sobre ecuaciones. En este trabajo presentamos una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmética al álgebra basada en el razonamiento mediante una estrategia de solución de problemas y el empleo de representaciones gráficas, a partir de las cuales el alumno pueda comprender las relaciones matemáticas implícitas en los problemas, el empleo de símbolos y operaciones algebraicas y la relación de éstas con su conocimiento aritmético. La propuesta de enseñanza se ubica el nivel de preálgebra, con problemas en los que se emplean ecuaciones de primer grado. Pensar empleando una estrategia de solución de problemas Usualmente los alumnos de secundaria se enfrentan a los problemas de manera precipitada, tratando de encontrar “pistas” que les den la solución, y obvian el proceso de reflexión y análisis. Por esta razón proponemos que los alumnos orienten su trabajo empleando la estrategia que se presenta en la tabla 1; los alumnos resuelven los problemas analizando por su cuenta cada paso de la estrategia. Esto puede realizarse de manera individual, trabajando en parejas o en pequeños grupos, o con todo el grupo. En el procedimiento instruccional sobresalen los siguientes aspectos (Flores, 2004: 179-190): 1. Cada acción de la estrategia implica el uso de ciertos conocimientos matemáticos. Es importante señalar que si bien la estrategia implica pasos secuenciados, al solucionar el problema el alumno aprende que en ocasiones es necesario regresar a un paso de la secuencia para poder continuar con la solución. Por ejemplo, después de llegar a una solu ción que no es congruente con su entendimiento, el alumno puede volver a leer e intentar otra solución.

2. El profesor enseña a los alumnos a modelar, mediante una representación gráfica, las relaciones expresadas en el problema. Mediante este modelo se encuentra una solución que sirve de apoyo para identificar la ecuación adecuada y para comprobar la veracidad del resultado obtenido. 3. Cada niño cuenta con una tarjeta de auto-instrucciones (tercera columna). Ésta le ayuda a recordar las acciones que hay que realizar en cado paso de la estrategia. El alumno la consulta cuando lo considera necesario. Con la práctica, la estrategia se automatiza y la tarjeta se deja de emplear. 4. El maestro dialoga con los alumnos para identificar sus conocimientos y el entendimiento del problema. Mediante preguntas y explicaciones induce a los alumnos a que razonen, justifiquen sus acciones y, en su caso, las replanteen; a que identifiquen algún error; modelen mediante una representación gráfica las relaciones expresadas en el problema; identifiquen la ecuación adecuada. Estas interacciones ayudan a los alumnos a establecer o clarificar los significados. 5. El maestro apoya a cada alumno partiendo de la identificación de sus conocimientos y el entendimiento del problema. Por ejemplo, en el caso de una solución incorrecta, primero identifica cómo entendió el problema y en qué basó su entendimiento. A partir de esta información induce a los alumnos a que encuentren las similitudes y las diferencias entre el problema que pueden solucionar y el que no solucionan adecuadamente. 6. Cada problema se trabaja de principio a fin, sin límite de tiempo. Primero se practican los problemas más simples y gradualmente se introducen los más complejos. 7. Con el avance de las sesiones y luego de cerciorarse del progreso de los alumnos, el maestro promueve que cada alumno tome el control y la responsabilidad del manejo de la estrategia. El maestro se limita sólo a hacer

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aclaraciones pertinentes, aportar comentarios sobre la aplicación de la estrategia y su autorregulación. Se busca conseguir el paso gradual de la regulación externa en el empleo de la estrategia a la regulación interna por parte de los alumnos. 8. Una sesión típica inicia leyendo el proble ma y discutiendo de qué trata; los alumnos proceden a resolverlo con su propio modelo de solución, con dibujos, tablas o de forma aritmética; posteriormente se utiliza el tablero de fichas para generar la ecuación y resolverla. El grupo representa la solución por medio del tablero, y a la par escribe la ecuación algebraica conforme a lo que se realiza en el tablero. Gradualmente los alumnos toman el control y la responsabilidad completa en la solución del problema.

Solucionar mediante una representación gráfica de la ecuación El tablero de fichas que empleamos es una adaptación de la propuesta de Pizón y Gallardo (2000). Se trata de un rectángulo de 65 por 41 centímetros dividido en dos partes iguales (lado izquierdo y lado derecho) con un signo igual en medio. Las fichas son blancas y representan valores con signo positivo, o negras y representan valores con signo negativo; tienen forma de triángulos y representan la incógnita, o círculos y representan coeficientes y constantes numéricas. Cabe señalar que originalmente el tablero se utilizó para resolver ecuaciones sin el contexto de un problema y presentaba una dificultad para que los alumnos comprendieran la relación multiplicativa entre cociente e incógnita. A continuación se ejemplifica el empleo del tablero con la solución del siguiente problema: “Josué

Tabla 1

Elementos de la estrategia de solución de problemas Pasos de la estrategia

Análisis y planificación

Resolución y monitoreo de la solución

Evaluación de la solución

Acciones

Autoinstrucciones

• Leer respetando la puntuación • Expresar lo que se comprendió del problema

Leo el problema

• Identificar la interrogante

Digo la pregunta

• Identificar la información numérica relevante que se empleará en la solución

Busco los datos

• Solucionar el problema con los conocimientos que se tienen

Soluciono el problema como yo sé

• Modelar el problema en el tablero a la par que se escribe la ecuación

Represento la ecuación con las fichas y escribo la ecuación

• Vincular la representación del tablero con la ecuación escrita

Con apoyo del tablero resuelvo mi ecuación

• Comprobar la ecuación sustituyendo el valor de la incógnita • Comprobar la correspondencia entre resultado y pregunta • Redactar el resultado relacionándolo con la incógnita

Lo platico

Compruebo mi ecuación Compruebo mi resultado Escribo completa la respuesta

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tiene 15 pesos más que César y juntos tienen 49 pesos para hacer un convivio. Necesitan saber cuánto aporta cada uno para dicho convivio”. El proceso de solución se presenta aludiendo a los diferentes momentos de la estrategia. Los ejemplos que se presentan y las alusiones a alumnos corresponden a los que participaron en el estudio (Castellanos y Flores, 2006). 1.

Análisis y planificación

Los alumnos leen el problema y discuten qué es lo que tienen que averiguar y cuál es la mejor forma de hacerlo. En este punto es importante orientar la discusión, favoreciendo la identificación de las diferentes relaciones en el problema: ¿qué se necesita saber?, ¿qué información se tiene?, ¿cómo se puede emplear?, etcétera. 2. Resolución y monitoreo de la solución

En este momento los alumnos ponen su plan en práctica y a la par que avanzan, monitorean o supervisan que su solución tenga sentido, se van dando cuenta de si lo que hacen los lleva a una respuesta correcta. Es la fase más larga de la estrategia e implica encadenar la solución aritmética con la algebraica. Solución de acuerdo con conocimientos aritméticos. Para que los alumnos den un significado al problema, antes de emplear el tablero –especialmente si se están iniciando en los problemas de preálgebra–, es importante que tengan la posibilidad de emplear su conocimiento aritmético, ya que éste es el puente para la comprensión de la solución algebraica. La mayoría de los alumnos que participaron en el estudio resolvieron el problema como se ilustra en el siguiente ejemplo: Figura 1

Ejemplo de solución aritmética

Como se aprecia en la solución, para los alumnos es claro que entre Josué y César reunirán la cantidad para el convivio y que Josué aportará una cantidad mayor. Para solucionar, separan la cantidad que pondrá Josué y dividen el resto entre dos; determinan que en principio cada uno pondrá una cantidad similar pero que a Josué hay que agregarle una cantidad extra establecida en el problema. Algunos alumnos no alcanzan a ver esta relación y primero dividen la cantidad total y a una de las partes le agregan la cantidad extra. Si los alumnos continúan resolviendo el problema con este error les será difícil comprender la ecuación. Generación de la ecuación. Los alumnos identifican que la incógnita se refiere a la cantidad en la que Josué y César coinciden, sin considerar lo que Josué pondrá de más, y que esta incógnita se representa con la letra x. Posteriormente se representan estas relaciones en el tablero: Figura 2

El lado izquierdo representa la expresión x + x + 15 y el derecho el 49. Es importante que los alumnos tomen conciencia de que el signo de igual implica equivalencia entre ambas expresiones y que ésta se debe respetar durante todo el proceso de solución. Igualmente, que el círculo junto al triángulo representa el coeficiente y la incógnita, es decir, “una x”; esta representación se duplica señalando la cantidad que pone Josué y la que pone César. Para facilitar la manipulación de las cantidades se emplea un círculo mayor para representar las decenas y uno más pequeño para las unidades.

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Solución de la ecuación: Durante este proceso los alumnos representan la ecuación en el tablero a la par que van escribiendo la solución de la ecuación.

En seguida se realizan las operaciones señaladas en la ecuación, las fichas negras anulan a las blancas y ambas salen del tablero, de forma que queda así:

a) Agrupación de términos semejantes. Aquí los alumnos aplican un procedimiento algebraico por el cual se identifica que se trata de calcular la incógnita duplicada (2x). Los alumnos suelen obviar la relación multiplicativa en esta expresión, por lo que es importante hacérselas notar para que posteriormente comprendan su transformación como divisor al modificarse la equivalencia. En este momento el tablero queda como sigue:

Figura 5

Figura 3

La ecuación representada es: 2x + 15 = 49 b) Despeje de la incógnita. Para despejar se aplica un valor inverso en ambos miembros de una igualdad, de manera que ésta se mantiene pero los miembros se modifican. Usualmente sólo se dice a los alumnos expresiones coloquiales como “si está sumando pasa restando”, lo que dificulta comprender el procedimiento en la ecuación. Cuando se trata de una adición o una sustracción, las fichas negras hacen evidente este procedimiento, que implica la anulación de la constante del lado izquierdo de la ecuación. Es importante que a los alumnos les quede claro que es necesario dejar sólo el término formado por el coeficiente y la incógnita. El tablero queda así: Figura 4

La ecuación representada es 2x = 34. Los alumnos no deben perder de vista que la expresión 2x representa la cantidad que pondrán César y Josué, cada uno por su parte, y que 34 es la cantidad que pondrán entre los dos sin considerar la cantidad extra que sólo pondrá Josué. Ahora, de nuevo se aplica el valor inverso para dejar sola a la x (la incógnita) del lado izquierdo de la ecuación. Es importante que los alumnos recuerden que el número junto a la incógnita (el coeficiente) la está multiplicando y que para despejarla se debe agregar a ambos lados de la igualdad el inverso correspondiente, es decir, dividiendo entre el valor del coeficiente. La división se representa separando el dividendo y el divisor con una barra del mismo material que las fichas. Figura 6

La ecuación representada es 2x / 2 = 34 / 2. En este momento los alumnos pueden hacer el reparto mediante un cálculo mental o empleando el algoritmo de la división. Les será de utilidad, para que no pierdan el sentido de lo que están haciendo, recordar que están calculando cuánto deberá poner Josué y cuanto César. Después de efectuada la división el tablero queda así: Figura 7

La ecuación representada es 2x + 15 – 15 = 49 – 15. 48 • Una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmética al álgebra en alumnos de secundaria

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La ecuación representada es x = 17. El alumno ahora sabe que cada uno debe poner 17 pesos, sin considerar la cantidad extra que pone Josué. 3. Evaluación de la solución

Comprobación de la ecuación: Ahora lo que sigue es comprobar si el valor encontrado para la incógnita es correcto, lo que se hace sustituyéndolo en la ecuación:

x + x + 15 = 49 (17) + (17) + 15 = 49 34 + 15 = 49

Al hacer la sustitución, el alumno ubica que César pondrá 17 pesos y Josué pondrá el valor de la x más 15 pesos, es decir, 32 pesos. Sumando ambas cantidades se obtienen 49 pesos. En el proceso de comprobación el alumno necesita tener claro qué representa cada cantidad, es decir, las relaciones que se expresan en el problema. Si se limita a checar que las operaciones sean correctas cabe la posibilidad de que no entienda el vínculo entre lo que plantea el problema y la solución. Conclusiones Los resultados de la aplicación de la propuesta de enseñanza están reportados en Castellanos y Flores (2006). Lo más sobresaliente de esta experiencia es que se hace evidente que la construcción de la solución de un determinado problema de preálgebra se inicia cuando, al comprenderlo, el alumno lo representa poniendo en juego sus conocimientos aritméticos y que le sirven como puente para construir su entendimiento del álgebra. En este proceso habrá filiaciones y rupturas, pues habrá ciertos significados que se conserven (por ejemplo, el significado de la multiplicación) y otros que se descarten (por ejemplo, al multiplicar en el algoritmo se opera con números y en la ecuación se opera con números e incógnitas). El tipo solución que un alumno utiliza depende en gran medida de que las formas de representación le sean claras; éstas juegan un papel central en la comprensión del álgebra, pues pueden

constituir un puente hacia la comprensión de los aspectos conceptuales implicados en la solución mediante una ecuación (Flores, 2005: 7-34). La transición de la aritmética al álgebra para muchos alumnos resulta confusa y oscura, por lo que es importante diseñar situaciones de enseñanza a partir de las cuales ellos puedan reconocer similitudes y diferencias entre ambas formas de solución. La presente propuesta tiene la potencial limitación de implicar un tiempo mayor de enseñanza y demandar una supervisión cercana del profesor. Ambas limitantes se compensan si se considera el nivel de comprensión que logran los alumnos y que se adapta a estudiantes con diferente nivel de entendimiento. La propuesta de Pizón y Gallardo sentó un precedente importante para el desarrollo de nuestra propuesta, que esperamos sirva a los profesores, de la misma manera, para desarrollar la suya propia.

Referencias Castellanos, R., y M.R.C. Flores. “El aprendizaje de ecuaciones algebraicas de primer grado mediante el empleo de una estrategia de solución de problemas y una representación gráfica”. Problemas de aprendizaje en la adolescencia: Experiencias en el programa Alcanzando el Éxito en Secundaria. Comps. R. Flores y S. Macotela. México: Universidad Nacional Autónoma de México, 2006: 131-148. Flores, M.R.C., A. Farfán y C. Ramírez. “Solución de problemas de adición y sustracción en alumnos con problemas de aprendizaje”. Revista Mexicana de Psicología, 21, 2, (2004): 179-190. Flores, M.R.C. “El significado del algoritmo de la sustracción en la solución de problemas”. Educación Matemática, 17 (2) (2005): 7-34. Kieran, C. “The learning and teaching of school algebra”. Handbook of Research on Learning and Teaching Mathematics. Ed. por D.A. Grouws. Nueva York: MacMillan, 1992: 390-419. Kieran y Filloy. “El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica”. Enseñanza de las Ciencias, 7 (3) (1989): 229-240. MacGregor, M., y K. Stacey. “Incógnitas con valores cambiantes y múltiples referentes en el álgebra de los alumnos”. Educación Matemática, 12(3) (2000): 30-40. Pizón, M., y A. Gallardo. “Semántica versus sintaxis en la resolución de ecuaciones lineales”. Educación Matemática, 12(2) (2000): 81-96.

Una propuesta de enseñanza para favorecer la transición de la aritmética al álgebra en alumnos de secundaria • 49 Rosa del Carmen Flores Macías, Raúl Castellanos Cruz. Didac 56-57 (2011): 43-49


Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística Adriana Nieto Díaz*

Docente Universidad Iberoamericana Ciudad de México

❂ Resumen En la didáctica de la estadística se considera que los procesos de enseñanza y aprendizaje deben desarrollarse mediante un trabajo en equipo entre el docente y el estudiante, en el cual el alumno, sujeto activo, debe estar comprometido con la construcción del conocimiento y el docente debe orientarlo en esa construcción. Para lograr lo anterior, una metodología que actualmente es considerada la más conveniente para aprender estadística es la resolución de problemas, ya que se considera que una situación problemática genera contenidos relevantes y duraderos. El aprendizaje basado en problemas (abp) es considerado una estrategia que pretende cambiar la instrucción didáctica tradicional con un enfoque de aprendizaje centrado en el estudiante, en la cual se reta a los estudiantes a desarrollar la habilidad de pensar en forma crítica. Se considera que el abp es un camino a un mejor aprendizaje, orientando a los estudiantes para aprender a aprender. Palabras clave: trabajo en equipo, aprendizaje basado en problemas, aprendizaje centrado en el estudiante, aprendizaje de la estadística, aprender a aprender. Abstract In the didactics of the Statistics, it thinks that the processes of education and of learning must develop by means of a teamwork between the teacher and the student, in whom the pupil, active subject, must be compromised by the construction of the knowledge and the teacher to must orientate it towards the achievement of this construction. To achieve the previous thing, a methodology that nowadays it is been considered the most suitable to learn Statistics is the resolution of problems, since it thinks that a problematic situation generates relevant and lasting contents. The problem-based learning (pbl) is considered to be a strategy that tries to change the didactic traditional instruction to an approach of learning centered on the student, in which is challenged to the students to developing the skill of thinking about critical form. The pbl is a way to a better learning, orientating the students to learn to learn. Keywords: teamwork, problem-based learning, student centered learning, learning Statistics, learn to learn.

Correo electrónico de la autora: andi_ags@hotmail.com.

50 • Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística

Adriana Nieto Díaz. Didac 56-57 (2011): 50-55


En nuestros días, las matemáticas y la estadística (como ciencia con base matemática que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio) constituyen una de las áreas más importantes del currículum escolar tanto a nivel básico como a nivel medio y superior por su carácter formativo, que desarrolla la capacidad de pensamiento y reflexión lógica; por su carácter funcional, de aplicación a problemas y situaciones de la vida diaria, y, como comenta Ferrero de Pablo, por su papel instrumental, de formalización del conocimiento de otras materias. Ferrero sostiene que “el estudio de la matemática potencia el desarrollo global de las capacidades mentales de los escolares y la formación de su personalidad; es de gran utilidad en la vida diaria, y también es un instrumento esencial en el desarrollo de la ciencia, de la cultura y, en general, de todos los aspectos de la actividad humana” (Ferrero de Pablo, 2002: 570). Por su parte, la estadística cobra importancia por su amplia aplicación en las diversas disciplinas, desde las ciencias de la salud hasta las ciencias sociales, el control de calidad, la toma de decisiones en áreas de negocios o en instituciones gubernamentales. Ahora bien, siendo las matemáticas y la estadística áreas tan importantes para la formación, ¿por qué la generalidad de los estudiantes es apática para aprenderlas? En el informe Cockcroft (1985, apartado núm. 342) se hace un estudio completo sobre la enseñanza de las matemáticas, en el cual se exponen varias razones por las cuales se considera una asignatura “difícil de enseñar y difícil de aprender”: • La excesiva abstracción de los contenidos, ya que es una materia jerarquizada; esto es, la comprensión de cualquier cuestión depende en gran medida de la comprensión previa de otras cuestiones. • La metodología de la enseñanza, pues las matemáticas se enseñan por apartados, sin

interacción entre los distintos contenidos ni conexión con otras ciencias, y mucho menos con la vida. • Se favorece una enseñanza mecanicista en donde el desarrollo del pensamiento no tiene cabida. • La rigidez se induce al usar un libro de texto, ya que los profesores siguen los libros al pie de la letra, pues son los únicos instrumentos que les dan seguridad. • La gran diversidad de rendimiento y ritmo de aprendizaje entre los educandos es un factor importante. En las instituciones educativas, sobre todo de nivel superior, la preocupación fundamental es identificar las dificultades que tienen los estudiantes en el área y los errores que se comenten en la enseñanza de la estadística al hacer uso de la teoría de probabilidad y otras ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal y el análisis matemático, para lo cual se diseñan actividades didácticas adecuadas a fin de superar estas dificultades, tomando en cuenta las teorías existentes en el área (Batanero, 2001). Para mejorar la enseñanza de la estadística en todos los niveles educativos y en todos los contextos se fundó el Instituto Internacional de Estadística (isi, International Statistical Institute), que favoreció la creación de la Asociación Internacional para la Enseñanza Estadística (iase, International Association for Statistical Education) en 1991. El nacimiento de la iase representó el final de un largo movimiento que se inició en 1949, inmediatamente después de la segunda guerra mundial, con la fundación del Comité de Educación Estadística dentro del isi, mediante el cual el Instituto promocionó la formación universitaria de profesionales de la estadística a nivel internacional, mientras que en los países en vías de desarrollo el isi se preocupaba de la enseñanza de estadísticos oficiales. A nivel mundial, la enseñanza de la estadística ha cobrado gran importancia en los últimos años Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística • 51 Adriana Nieto Díaz. Didac 56-57 (2011): 50-55


en la formación general del ciudadano. Algunos países, como España, Inglaterra, Italia y Estados Unidos, han dedicado grandes esfuerzos a diseñar currículos y materiales específicos, aparte de una intensa preparación de los profesores, como menciona Batanero (2001), para permitirles abordar con éxito los objetivos educativos correspondientes. Muchos profesores precisan incrementar su conocimiento no sólo sobre la materia, sino también sobre los aspectos didácticos del tema. Esta preparación incluye también el conocimiento de las dificultades y los errores que los alumnos encuentran en el aprendizaje de la estadística. La didáctica de la estadística está centrada en la Escuela Española, dirigida por Carmen Batanero (2001) en la Universidad de Granada, y en algunos estudiosos estadounidenses, como Shaughnessy (1992) y J. Mouse, P. Bouhuijs y H. Schmidt (2001). Ellos sostienen que abordar el problema del aprendizaje en la situación escolar no es algo trivial sino complicado, debido a la diversidad de factores psicológicos, cognitivos, sociales y más que se ven involucrados, requiriendo del uso del método científico para ser abordado. Se han tenido muchos resultados, y, con todo, las aportaciones siguen siendo incipientes, por lo que se requiere más investigación. Definir la mejor forma de enseñar es fundamental en el aprendizaje de la estadística; los expertos consideran que los procesos de enseñanza y aprendizaje deben desarrollarse mediante un trabajo en equipo entre el docente y el estudiante, en el cual el alumno, sujeto activo, debe estar comprometido con la construcción del conocimiento y el docente debe orientarlo para lograr esa construcción. Aunado a esto, los estudiantes deben hacer uso de los paquetes de computación, trabajar con datos de la vida cotidiana, analizar críticamente los resultados obtenidos y comunicarlos eficazmente por escrito y oralmente. La estadística debe ser aprendida, como comenta Bee (2002), a través de “hacer”, “escribir” y “hablar”. El docente debe estimular a sus estudiantes enriqueciendo los conceptos básicos que ya poseen para aumentar su complejidad con analogías o anécdotas. 52 • Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística

Adriana Nieto Díaz. Didac 56-57 (2011): 50-55

Es por ello que los educadores debemos hacer de la estadística una ciencia que no sólo sea interesante, sino también útil para los escolares; se deben presentar contenidos agradables que den confianza y seguridad a los estudiantes desde sus primeros años; hay que hacer uso de metodologías que les permitan aprender; además, debemos promover el uso de calculadoras y computadoras para que eliminen las tareas rutinarias sin dejar de incentivar el trabajo manual, a fin de propiciar el pensamiento creativo. Para lograr lo anterior, una metodología, que actualmente se considera la más conveniente para aprender estadística, es la resolución de problemas, ya que se piensa que una situación problemática genera contenidos relevantes y duraderos. La enseñanza a través de la resolución de problemas permite a los estudiantes conceptualizar, generalizar y utilizar información basada en sus investigaciones para modelar situaciones de problemas complejos, en los cuales pueden reflexionar sobre sus acciones y comunican sus interpretaciones. Aprender resolviendo problemas de manera estructurada despierta la curiosidad del estudiante, provocando cierta tensión en el proceso de resolución y satisfacción por el descubrimiento de la solución. El aprendizaje basado en problemas (abp) es considerado una estrategia instruccional del modelo constructivista de aprendizaje que pretende dar a la instrucción didáctica tradicional un enfoque de aprendizaje centrado en el estudiante. El aprendizaje basado en problemas reta a los estudiantes a desarrollar la habilidad de pensar en forma crítica, a analizar problemas, a encontrar y utilizar recursos adecuados para el aprendizaje. Se considera que el abp es un camino para un mejor aprendizaje, que lleva a los estudiantes a aprender a aprender (Batanero, 2001). La estrategia del abp pretende desarrollar habilidades para la solución de problemas y adquirir información por medio del aprendizaje autodirigido. Los problemas forman un enfoque organizador y proporcionan estímulos para el aprendizaje centrado en el estudiante, trabajando de manera cooperativa en grupos pequeños (equipos) y teniendo como guía al docente.


El aprendizaje se lleva a cabo mediante el siguiente proceso tipo, aplicado a grupos de, máximo, 20 estudiantes, organizados en equipos de trabajo de aproximadamente cinco integrantes, que se reúnen con la facilidad de un tutor a analizar y resolver un problema seleccionado o diseñado especialmente para el logro de ciertos objetivos de aprendizaje:

Paso 1. Presentación del problema. Se presentará un problema al inicio de la clase, o durante la clase anterior, con una pequeña exposición por parte del educador, aclarando los objetivos de aprendizaje y analizando el escenario en discusión grupal. En esa misma sesión se elaborará, en los grupos de trabajo, una lista de preguntas sobre lo que se requiere saber para enfrentar y resolver el problema, identificando los temas clave del mismo y designando funciones y tareas a los integrantes del equipo para la siguiente sesión. Paso 2. Listado de necesidades. En la siguiente sesión se identificará la información recopilada en distintas fuentes por parte de cada integrante del grupo, analizándola y replanteando la necesidad de tener más información para proceder a su búsqueda. Los temas toman profundidad y relevancia en la medida que los miembros del grupo participan y comparten la información.

Paso 3. Elaboración de un esquema de trabajo. Hacer un esquema de trabajo, contemplando posibles acciones para cubrir las necesidades de conocimiento previamente identificadas, señalando recomendaciones, soluciones o hipótesis. Se genera un proceso de discusión con todo el grupo y continúa el trabajo al interior de los equipos hasta llegar a una posible solución al problema planteado.

Paso 4. Presentación y soporte de solución. Plantear los resultados haciendo un reporte con recomendaciones, con estimaciones sobre los resultados, con inferencias sobre el problema, basándose en los datos obtenidos y en los antecedentes.

A lo largo de todo el proceso se deberá evaluar el progreso en intervalos regulares de tiempo, como una forma de retroalimentación, de tal manera que sirva de estímulo para mejorar el desarrollo del proceso. La retroalimentación se debe ejecutar en tres dimensiones: • La relación del grupo con el contenido de aprendizaje. • La relación de los miembros dentro del grupo. • La relación de los miembros con el tutor del grupo. En lo que respecta a la evaluación del compañero, la autoevaluación y la evaluación al tutor, se pueden utilizar guías con categorías de evaluación (rúbricas). Éstos son formatos que se usan para evaluar y retroalimentar el desempeño de los alumnos por sus propios compañeros, el autodesempeño y el desempeño del tutor como facilitador. El procedimiento antes descrito puede desarrollarse, por ejemplo, con un caso de estudio, como el que se presenta a continuación (figura 1), con el Figura 1

Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística • 53 Adriana Nieto Díaz. Didac 56-57 (2011): 50-55


cual se desea abordar la temática denominada “distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas” en la asignatura de estadística descriptiva. El procedimiento del abp se inicia con la presentación ante el grupo del caso de estudio, aclarando que el objetivo de aprendizaje se logrará dando respuesta a la pregunta planteada en el artículo, basándose en la teoría de probabilidad para la distribución de variables aleatorias discretas. Los estudiantes identificarán los temas clave del mismo y designarán funciones y tareas a cada uno de los integrantes del equipo mediante un esquema de trabajo. En la siguiente sesión, tras la recopilación de información de diferentes fuentes, se realizará un análisis de la misma y se plantearán los posibles resultados, o bien se hará evidente la necesidad de tener más información para proceder a buscarla hasta llegar a una conclusión que proporcione una respuesta al cuestionamiento planteado. Los estudiantes lograrán identificar una posible solución al problema, la cual podríamos definir como una distribución en la que se tienen n = 14 casos, de los cuales x = 13 nacimientos de niñas para una probabilidad binomial de p = 0.50 resultaría:

Lo que nos indica que la probabilidad de que 13 de 14 parejas procreen niñas simplemente por azar es de 0.9%, es decir, muy poco probable, lo que nos hace pensar que la técnica de Microsort es efectiva. Así, los estudiantes podrían plantear sus resultados haciendo un reporte con recomendaciones, estimaciones sobre los resultados, inferencias sobre el problema, basándose en los datos obtenidos y en los antecedentes. De esta forma, mediante el trabajo activo, los estudiantes (independientes y con autodirección en su aprendizaje y orientados a la solución de un problema contextualizado en su área de estudio) adquirirán aprendizajes diversos, tanto de conocimientos propios del curso de estadística como de integración de conocimientos, habilidades y acti54 • Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística

Adriana Nieto Díaz. Didac 56-57 (2011): 50-55

tudes, como experimentar, observar, comprender y aplicar conceptos, hallar relaciones, crear modelos, razonar, interpretar datos, explicar, hallar conclusiones argumentadas y tomar decisiones en nuevas situaciones. La principal diferencia del aprendizaje basado en problemas con otras estrategias basadas en trabajo de grupo o aprendizaje centrado en el estudiante es que se enfoca a la introducción de conceptos en los estudiantes, de tal forma que los reta a resolver problemas del mundo real. En contraste con el enfoque tradicional de asignar una aplicación del problema al final de una unidad conceptual, el abp utiliza problemas para motivar, enfocar e iniciar el aprendizaje del alumno (Batanero, 2001). Es importante mencionar que el abp implica cambios en las circunstancias educativas, como los roles del educador y los educandos, y la actitud de los estudiantes; estos cambios suelen generar ciertas implicaciones, como: a) Transición difícil Comenzar a trabajar con el abp no es asunto sencillo, no se hace con facilidad y rapidez; tanto los alumnos como los profesores deben cambiar su perspectiva de los procesos de enseñanza y aprendizaje, asumiendo responsabilidades y realizando acciones comunes en un ambiente convencional. b) Modificación curricular Al trabajar con base en los problemas, los contenidos del programa pueden abordarse de manera distinta, es decir, desde diferentes ángulos, por lo que es importante conocer el plan de estudios de la carrera y los contenidos de los otros cursos para poder determinar las relaciones que se pueden establecer entre las distintas materias y enriquecer, así, no sólo el curso de estadística, sino otras materias del plan de estudios de la carrera. c) Requerimiento de mayor tiempo Debido a que en el abp no se realiza una simple transmisión de información, como en los métodos convencionales, se requiere de más tiempo por parte


de los alumnos para lograr los aprendizajes y del profesor para preparar los problemas y dar atención a los alumnos con asesorías y retroalimentación. d) Se eleva el costo Resulta más costoso en la medida que requiere mayor capacitación por parte de los docentes que han de aplicar la estrategia del abp; además, precisa de mayor tiempo para lograr los objetivos de aprendizaje en los grupos pequeños, pues la atención se torna personalizada y el proceso adquirirá el ritmo en el que el alumno aprenda los temas cumpliendo con los objetivos. e) Rol y funciones del profesor En esta perspectiva, se requiere romper con ciertos paradigmas de la educación tradicional, como considerar al profesor el sujeto principal de la educación y al alumno el mero receptor, para pasar a un plano en el que los docentes desalienten una sola respuesta correcta y ayuden a los estudiantes a aprender a elaborar preguntas, formular problemas, explorar alternativas y tomar decisiones efectivas. El profesor juega varios roles (Salinas, 2002), como conferencista, facilitador, entrenador, planeador y asesor. Como tutor, el profesor debe guiar a los estudiantes conforme van desarrollando el problema, evaluar el nivel de comprensión, corregir errores mediante formulación de preguntas y dirigir la búsqueda de datos en áreas en donde el conocimiento es insuficiente. El profesor se convierte en el promotor del aprendizaje mediante una relación más cooperativa con el educando. Realiza una actividad científica apoyada en la investigación con espíritu autocrítico; esto es, deja de ser el agente principal para ceder el papel central del aprendizaje al estudiante. En este sentido, es común pensar que el trabajo del docente se vuelve “ligero” al desplazar su responsabilidad al alumno, pero esto no es así, ya que ambos son corresponsables; llevan una relación que les exige a ambas partes investigación permanente, así como análisis, crítica y reflexión.

Con el abp no se pretende resolver totalmente la problemática de los estudiantes en relación con el aprendizaje de las matemáticas, pero puede ser usado por el docente como una alternativa didáctica (como una forma de trabajo) en una parte de su curso, combinado con otras técnicas y estrategias, con el propósito de mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de la estadística, encauzando al estudiante a la construcción de un pensamiento flexible respecto a la aplicación de técnicas, métodos y conceptos relacionados con escenarios de incertidumbre en problemas del mundo real de manera total y competente. En realidad, el aprendizaje de la estadística debe tener una combinación entre la construcción de los contenidos matemáticos basados en la comprensión de conceptos para después fijar estos conceptos a través de una ejercitación gradual y continua, y, por último, los conceptos matemáticos cobran sentido cuando, tras las fases de comprensión y fijación, son aplicados a situaciones de la vida real o a la adquisición de otros conceptos. Con esto se logra desarrollar la capacidad mental de los escolares, que aprenden a solucionar problemas. El abp debe ser concebido como un punto de partida hacia la modificación de actitudes en los estudiantes y en sus profesores, porque la educación radica en el cambio de actitud en el ser humano, que lo engrandece a partir de su esencia. Referencias Batanero, Carmen. Didáctica de la estadística. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada, 2001. Bee, Estela. Las Jornadas Interamericanas sobre la Enseñanza de la Estadística organizadas por IASI. Ottawa, Canadá, 2002. Cockcroft, W. Las matemáticas sí cuentan. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia, 1985. Ferrero de Pablo, Luis. Enciclopedia de pedagogía, tomo 3. Universidad Camilo José Cela. España: Espasa, 2002. itesm. “El aprendizaje basado en problemas como técnica didáctica” (consulta 12 de febrero del 2010) <http://www. sistema.itesm.mx/va/dide/inf-doc/estrategias/abp.pdf>. Salinas, Bertha. “Ponencia presentada en el Primer Congreso de Egresados de la Maestría en Educación de la Universidad Virtual del Tecnológico de Monterrey”. Monterrey, n.l., agosto 29 y 30 del 2002. Una estrategia didáctica para el aprendizaje de la estadística • 55 Adriana Nieto Díaz. Didac 56-57 (2011): 50-55


Un camino hacia la conceptualización desde la propuesta de un variado repertorio de tareas María Magdalena Pagano*

Profesora Permanente Departamento de Matemática Universidad Católica del Uruguay

Alejandra Pollio

Docente Universidad Católica del Uruguay

María Berenice Verdier

Docente Universidad Católica del Uruguay

Javier Villarmarzo

Docente Universidad Católica del Uruguay

❂ Resumen Nuestra experiencia como educadores nos enseña lo difícil que es lograr que nuestros estudiantes consigan una cabal conceptualización de los objetos matemáticos que les permita disponer de ellos en las más variadas situaciones, tanto en su calidad de instrumento como en su calidad de objeto. Un recorrido por la bibliografía existente nos remite a la necesidad de exponer al estudiante ante un amplio rango de manipulaciones de tareas que involucren las diferentes representaciones semióticas del concepto a adquirir y los ineludibles procesos de tratamiento y conversión. En este artículo se exponen una serie de tareas, propuestas a estudiantes universitarios, con el fin de enfrentarlos a situaciones no rutinarias que los obliguen a moverse de un tipo de representación a otra y de esta manera ampliar la imagen del concepto a adquirir. Palabras clave: conceptualización, procesos de tratamiento y conversión. Abstract Our experience as educators tells us how difficult it is to get our students to get a full conceptualization of mathematical objects, allowing them to immediately dispose of them in the most varied situations, both as instrument and as object. A tour of the existing literature leads us to the need to expose students to a wide range of tasks that involve manipulations of the different semiotic representations ∗

Correo electrónico de la autora: mapagano@ucu.edu.uy

56 • Un camino hacia la conceptualización desde la propuesta de un variado repertorio de tareas

María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo. Didac 56-57 (2011): 56-61


of the concept to acquire, and the inevitable treatment and conversion processes. This article presents a number of tasks proposed to students in order to confront non-routine situations that require them to move from one type of representation to another and so extend the concept image. Keywords: conceptualisation, treatment and conversion processes.

Introducción En este artículo se presenta una experiencia de cátedra con la que se fomenta en los estudiantes la resolución de tareas no tipificadas, como un paso imprescindible para la conceptualización. Se presenta, en primer lugar, el marco teórico que sustenta la propuesta, así como algunos antecedentes obtenidos a través investigaciones previas. Se analizan después, a manera de ejemplo, algunas tareas propuestas a estudiantes universitarios1 de un primer curso de cálculo referentes al concepto de extremo relativo y absoluto. Se explica, asimismo, el objetivo perseguido por cada una las tareas y los procesos en los que se involucra el estudiante. Para finalizar, se incluyen algunos comentarios y observaciones. Marco teórico y antecedentes La construcción de conceptos matemáticos (conceptualización), de acuerdo con las corrientes contemporáneas en la didáctica de la matemática, sólo se logra cuando el estudiante pasa del concepto como instrumento al concepto como objeto matemático (Vergnaud, 1990). Dada la inaccesibilidad tangible de los objetos matemáticos, el proceso de conceptualización sólo puede realizarse a partir de “manipulaciones” con diferentes representaciones semióticas de los objetos matemáticos, y estas manipulaciones, a su vez, deben ser contextualizadas; esto es, sólo pueden realizarse en contextos en los cuales los objetos matemáticos cumplen roles específicos (instrumentos). D’Amore (2004), citando a Duval, Chevallard, Godino y Batanero, considera que el aprendizaje conceptual pasa necesariamente por la adquisición de una o más representaciones semióticas. La se

miótica se presenta como una característica indispensable para garantizar el paso hacia la noética. Esta adquisición de las diferentes representaciones semióticas depende de tres actividades fundamentales: representación, tratamiento y conversión. La aprehensión de un concepto está estrechamente vinculada a la capacidad del estudiante de representar el concepto en un determinado registro, de realizar un tratamiento de la representación al interior del registro y de la posibilidad de conversión de un registro a otro. Es fundamental, entonces, a la hora de pensar actividades para nuestros alumnos, planificarlas tomando en cuenta estos tres requerimientos. Esto es, presentar la actividad en un determinado registro que requiera de los estudiantes representar el concepto en ese mismo registro, realizar un variado repertorio de tratamientos en dicho registro y luego realizar una conversión entre registros. Para que tal propuesta de actividades tenga éxito, el registro en que se presenta la tarea debe variar de una actividad a otra y los procesos de conversión o traducción involucrados deben hacerse en ambos sentidos. Janvier (1987) enfatiza la necesidad de realizar los procesos de traducción (conversión) en ambos sentidos. Por ejemplo, en el caso de actividades vinculadas al concepto de función, función derivada, extremos relativos y absolutos, el estudiante debe ser capaz de pasar del registro algebraico al registro gráfico, pero también de realizar la conversión del registro gráfico al registro algebraico. Dificultades como ésta han sido expuestas en una anterior investigación (Pagano, Pollio, Verdier, 2009). En otra línea de investigación, Vinner (1991) hace referencia a lo que denomina imagen conceptual, diferenciándola de la definición conceptual

Un camino hacia la conceptualización desde la propuesta de un variado repertorio de tareas • 57 María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo. Didac 56-57 (2011): 56-61


y ubicándolas como dos celdas de la estructura cognitiva que han de interactuar. En la misma línea, Malgorzata Przenioslo (2001) precisa que el aprendizaje, la comprensión, la aplicación y el desarrollo de los conceptos matemáticos involucran la construcción de un cierto tipo de estructura mental: la imagen conceptual. Esto es, la imagen conceptual no es un concepto estanco, es una estructura que se construye a través de las diferentes interacciones que el estudiante realiza con el objeto de aprendizaje. Por lo tanto, en el proceso nunca acabado de la aprehensión conceptual el estudiante debe ser capaz de reconocer, aplicar, representar, tratar y convertir el concepto en una amplia gama de situaciones. Todo concepto está, de manera continua, en una fase de construcción, y es en la propia construcción donde aparecen los aspectos más ricos de su significado. Un concepto no se construye de una vez y para siempre, sino que a partir de las diferentes “manipulaciones” de sus representaciones se logra penetrar en los diferentes aspectos de su significado. En este sentido se entiende que las actividades que se presentan a continuación sean útiles para favorecer la adquisición conceptual de los conceptos de extremo relativo y absoluto. Análisis de las diferentes actividades propuestas A continuación se presentan una serie de tareas propuestas en un primer curso de cálculo al inicio de los estudios universitarios en carreras de economía, las cuales son analizadas considerando el tipo de aprendizaje que se pretende fomentar; en contrapartida con prácticas más convencionales en el tratamiento del tema, pretenden romper con las prácticas habituales en el cálculo y determinación de extremos relativos y absolutos de una función. Es habitual en los cursos de cálculo que, luego de introducir la definición de extremo relativo y absoluto,2 y de presentar en muchos casos un variado repertorio de ejemplos, se enfrente a los estudiantes sólo con ejercicios estandarizados donde las funciones a estudiar resultan ser continuas y derivables en R o en intervalos o subintervalos contenidos en R. Esta práctica desarrolla en los estudiantes un pro-

cedimiento algorítmico que se reduce a la búsqueda de los ceros de la derivada y en el mejor de los casos a un estudio de signo de la derivada para clasificar el extremo. En caso de que el intervalo sea cerrado es posible inducir al estudiante a analizar el comportamiento de la función en los extremos del mismo, pero probablemente el estudiante obvie utilizar la definición de extremo relativo o absoluto pues no le es útil o necesaria. Las actividades aquí expuestas apelan al uso de la definición de extremo relativo y absoluto y al conocimiento de algunas características particulares de la función, sin que sea posible, necesario o conveniente, según el caso, recurrir al estudio de ceros y signos de la derivada. Involucran, además, la necesidad de partir de diferentes registros de representación, realizar tratamientos al interior del registro, realizar conversiones de un registro a otro y hacer un uso explícito del instrumento para la resolución de una situación particular. Es por este motivo que se consideran tareas idóneas en el camino hacia la conceptualización. Tarea 1

a) Analice las gráficas presentadas en las figuras 1, 2, 3 y 4, identifique cuáles presentan extremos relativos e indique en qué puntos del dominio se presentan. b) Intente dar una formulación algebraica para las funciones representadas en las figuras 1 y 2; a partir de estas formulaciones determine sus máximos y mínimos relativos. Compare los procedimientos y los resultados con los utilizados en el ítem anterior. Con esta tarea se busca que a partir de un conjunto de gráficos los estudiantes apliquen la definición de extremos relativos y los teoremas referidos a los mismos para su identificación y determinación. Es una tarea presentada en el registro gráfico y consta de dos incisos. El inciso a consiste en identificar los extremos relativos en cada uno de los gráficos, lo cual implica

58 • Un camino hacia la conceptualización desde la propuesta de un variado repertorio de tareas

María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo. Didac 56-57 (2011): 56-61


Figura 1

Figura 2

Figura 3

una lectura y una interpretación del gráfico y la aplicación de la definición de extremo relativo para su reconocimiento. La dificultad de la tarea es la naturaleza de los propios gráficos y permite ver la comprensión de la definición de extremo relativo más allá de las técnicas que provee el cálculo para detectarlos. En el inciso b se pide hallar expresiones algebraicas para las funciones representadas por las figuras 1 y 2. Cualquiera de las funciones expuestas pueden expresarse por combinaciones de funciones elementales, conocidas por los alumnos en este nivel, por lo que la dificultad no radica en encontrar formulaciones algebraicas apropiadas sino en respetar la presencia de los puntos de discontinuidad detectados en las gráficas. Esta tarea requiere de un cambio del registro gráfico al registro algebraico. Ya en el registro algebraico, independientemente de los procedimientos que elijan los estudiantes, la actividad para la determinación de los extremos será de tratamiento dentro del registro, contando con la dificultad de la discontinuidad de la función, que los limita en la aplicación de las técnicas estándar para este tipo de tareas. Tarea 2

Explore la existencia de máximo y/o mínimo absoluto de las siguientes funciones en los dominios indicados e indique los procedimientos utilizados.

1. f(x) = ex-1 Dom. f = R

2. f(x) = ex-1 Dom. f = [0,2]

3. f(x) =

4. f: [-2,2] → R / f(x) =

Figura 4

5. f: {x ∈ N / 0 < x < 1000} → N / f(n) = número de cifras de n Esta segunda tarea, presentada en un registro algebraico, tiene como objetivo que los estudiantes

Un camino hacia la conceptualización desde la propuesta de un variado repertorio de tareas • 59 María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo. Didac 56-57 (2011): 56-61


identifiquen los extremos absolutos a través del análisis de las características de las propias funciones. El recorrido finito de las funciones 3 y 5 es el principal conflicto que se les presenta a los estudiantes para poder realizar con éxito lo pedido. Otro conflicto importante es la imposibilidad de realizar las gráficas en el caso de las funciones 3 y 4, si bien pueden recurrir a una visualización mental aproximada de las mismas para resolver la actividad.

Tarea 4

Sea f: [-3,3] → R continua y derivable cuyo gráfico se presenta en la figura 5. Figura 5

Tarea 3

Parte 1: En el texto Matemáticas para el análisis económico (Sydsaeter y Hammond, 1996) se plantea la siguiente situación: ¿qué número es mayor: πe o eπ? Obviamente, con una calculadora científica se podría resolver tal situación y la respuesta resultaría válida en un contexto no científico, pero qué se debe hacer para demostrar matemáticamente el resultado obtenido. Parte 2: La solución a dicho problema no parece evidente. Veamos, entonces, la situación desde otro ángulo, para lo cual es necesario resolver la siguiente tarea:

Dada

Lx f (x) = x

a) Hallar el dominio de f b) Hallar máximo y/o mínimo absoluto de f, en caso de que exista c) Demostrar en un contexto matemático la respuesta dada a la pregunta original (¿Es esto posible?). La tarea anterior es propicia para presentar un pequeño problema de investigación donde se da a los estudiantes la oportunidad de investigar sobre la primera parte de la propuesta para luego sugerirles la solución brindada en la segunda parte. Éste es un problema idóneo para fomentar el rol de los conceptos matemáticos como instrumentos en contextos donde cumplen roles específicos.

Se considera ahora la función g(x) = 2 f(x) -1, definida en el mismo dominio. a) Estudiar crecimiento y concavidad de g b) Determinar los máximos y mínimos relativos y absolutos de g, indicando los elementos que utiliza para su determinación c) Efectuar un bosquejo de g En particular, esta tarea se presenta en un registro gráfico y es a partir de un tratamiento en este registro que el estudiante puede resolver el inciso a, si bien es posible que haga una conversión al registro algebraico y realice tratamientos en éste a partir de la expresión de la derivada primera y segunda de g. De todas maneras este procedimiento exige un mayor nivel de abstracción que cuando se trabaja con una ecuación concreta para la función g. El inciso b implica una conversión al registro numérico, así como un tratamiento al interior del mismo para determinar los valores extremos de la función. El inciso c apela a una actividad de síntesis que permita utilizar los resultados de los dos ítems anteriores. Tarea 5

Dada f: [-4, 8] → R tal que el gráfico de su derivada es el que se presenta en la figura 6.

60 • Un camino hacia la conceptualización desde la propuesta de un variado repertorio de tareas

María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo. Didac 56-57 (2011): 56-61


Figura 6

a) Hallar los puntos críticos de f1 b) Indicar en qué intervalos f es creciente y en qué intervalos es decreciente c) ¿Tiene f máximo y mínimo absoluto en el intervalo [-4, 8]? Justifique y en caso afirmativo indique en qué puntos podrían hallarse. d) Si f(0) = 0, determine el signo de f en el intervalo (-2, 4) Esta actividad es considerada una tarea no convencional desde el momento en que se espera un tratamiento al interior del registro gráfico para obtener información sobre la función a partir de información sobre su derivada. Es habitual que este trabajo se pida en el sentido contrario y generalmente sea presentado desde un registro algebraico. El estudiante debe ser capaz de abstraerse del gráfico, en el sentido que lo que ve en el mismo debe ser traducido para poder ser interpretado y ésta es la dificultad mayor a la hora de obtener la respuesta correcta al inciso d. Algunas reflexiones finales Es necesario destacar que en la mayoría de las actividades planteadas para el concepto de extremo relativo no es necesario recurrir al cálculo de la derivada. El objetivo de la propuesta es que se reconozcan los extremos desde su definición sin necesidad de recurrir indefectiblemente al estudio de la derivada. Por otro lado, se espera que el alumno reconozca la diferencia entre extremo relativo y absoluto sin que esto le impida aceptar que pueden coincidir. Para aprovechar estas tareas como medio de consolidación de los conceptos de extremo relativo y absoluto es importante plantear a los estudiantes ciertas pautas de trabajo. Una de ellas es sugerirles

que busquen los elementos sobresalientes de la definición para luego descubrir dichos elementos en las situaciones presentadas. Otra es pedirles que describan las diferencias entre extremos relativos y absolutos apoyándose en las tareas. Se estima que una adecuada combinación de tareas que involucre trabajar en diferentes registros con sus correspondientes procesos de tratamiento y conversión ayudará en el proceso de conceptualización. Obviamente, la presentación aislada de este tipo de tareas no será una solución inmediata al problema de conceptualización de los estudiantes, pero un trabajo sistemático con un variado repertorio de tareas no estereotipadas presentadas en diferentes registros que obliguen a los estudiantes a enfrentarse a procesos de tratamiento y conversión serán un valioso aporte en su camino hacia la conceptualización. Notas 1 Las tareas presentadas no son necesariamente inéditas. Muchas de ellas son modificaciones de tareas presentadas en los textos; la idea de este trabajo es discutir la pertinencia de un variado repertorio de tareas que el docente puede encontrar o modificar a partir de los textos y proponer a sus estudiantes. Las tareas en sí mismas no son parte de la elaboración del artículo. 2 Se considera punto crítico a un punto del gráfico de la función donde la derivada es cero o no existe. Referencias D’Amore, B. “Conceptualización, registros de representaciones semióticas y noética”. Revista Uno, 35 (2004): 90-106. Godino, J. “Competencia y comprensión matemática: ¿qué son y cómo se consiguen?” Revista Uno, 29 (2002): 9-19. Janvier, C. “Translation processes en mathematics education”. Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. Ed. C. Janvier. Hillsdale, Nueva Jersey: Laurence Erlbaum Associates, Publishers, 1987: 27-32. Przenioslo, Malgorzata. “Images of the limit of function formed in the course of mathematical studies at the university”. Educational Studies in Mathematics, 55 (2004):103-132. Pagano, M., A. Pollio y M. Verdier. Procesos de tratamiento y traducción en la enseñanza de la derivada. Análisis de un caso. Puerto Montt, VI Congreso Iberoamericano de Educación Matemática (VI Cibem), 2009, 1083-1097. Sydsaeter, K., y P. Hammond. Matemáticas para el análisis económico. Madrid: Prentice Hall, 1996. Vergnaud, G. “La théorie des champs conceptuels en recherches”. Didactique des Mathématiques, 19, París, 1990. Vinner, S. “The role of definitions in the teaching and learning of mathematics”. Advanced Mathematical Thinking. Ed. D. Tall. Dordretch: Kluwer Academic Publishers, 1991.

Un camino hacia la conceptualización desde la propuesta de un variado repertorio de tareas • 61 María Magdalena Pagano, Alejandra Pollio, María Berenice Verdier, Javier Villarmarzo. Didac 56-57 (2011): 56-61


Cálculo de una variable. Reconstrucción para el aprendizaje y la enseñanza Patricia Salinas*

Departamento de matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

Juan Antonio Alanís

Departamento de matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

Ricardo Pulido

Departamento de matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

❂ Resumen En este trabajo se describe a grandes rasgos una propuesta sobre el qué y el cómo enseñar cálculo en las distintas carreras universitarias en las que la enseñanza y el aprendizaje de esta rama de las matemáticas es fundamental. La propuesta surge en el marco de un proyecto académico de rediseño curricular al interior de una institución de educación superior y su construcción responde a la investigación educativa realizada dentro de la misma. Se apoyará la pertinencia de la reconstrucción del discurso del cálculo y de la forma en que se interactúe con él en el aula al interpretar la información de las fuentes del currículo: la social, la psicopedagógica y la epistemológica. Se hará especial énfasis en la integración de las fuentes para conformar un discurso adecuado ante demandas sociales actuales para la educación científica. Palabras claves: cálculo, enseñanza, aprendizaje y fuentes curriculares. Abstract This paper outlines a proposal on what and how to teach Calculus in different university courses in which the teaching and learning of this branch of mathematics is essential. The proposal arises in the context of an academic project of redesigning the curriculum within a higher education institution and its construction meets the educational research conducted within the same. The relevance of the reconstruction of the discourse of calculus and of the way of having interaction with it in the classroom will be supported throw the interpretation of information from the curriculum sources: social, psychology and epistemology. Special emphasis will be on integration of sources to construct a suitable proposal to current social demands for science education. Key words: calculus, teaching, learning and curriculum sources. *Correo electrónico de la autora: npsalinas@itesm.mx 62 • Cálculo de una variable. Reconstrucción para el aprendizaje y la enseñanza

Patricia Salinas, Juan Antonio Alanís, Ricardo Pulido. Didac 56-57 (2011): 62-69


Introducción Una parte sustancial del sector curricular de matemáticas en el nivel universitario contempla una secuencia de cursos relacionados con el cálculo. Resulta común que, en su diseño, características como el rigor y el carácter formal de los contenidos matemáticos antepongan al estudiante una imagen del cálculo como conjunto de conceptos y procedimientos que debe conocerse uno tras otro. La matemática contenida en los libros de texto y los programas analíticos se manifiesta como una teoría que prioriza la posición que ocupan los conocimientos en un encadenamiento lógico y que enfatiza la solución de ejercicios rutinarios donde se practican habilidades algorítmicas. Esto induce una perspectiva de enseñanza en el profesor, quien, a su vez, presupone una concepción de aprendizaje. Suele encontrarse que la actitud de los estudiantes ante el conocimiento matemático presentado en el aula resulta ser pasiva, aceptando que, para acreditar el curso de matemáticas, bastará saber hacer lo que el profesor enseña para ser evaluado: una serie de rutinas de solución para conjuntos de ejercicios estereotipados. Sin embargo, la habilidad en la aplicación mecánica de una regla memorizada no necesariamente manifiesta el desarrollo de procesos de pensamiento vinculados a la matemática. La evidencia de este paradigma tradicional en la enseñanza del cálculo es reconocible en diversos reportes de investigación educativa y es cuestionado por los altos índices de reprobación, el aprendizaje sin comprensión y la actitud negativa hacia el aprendizaje (Salinas y Alanís, 2009: 355-382). Para analizar esta problemática desde una perspectiva general es pertinente recurrir a las fuentes del currículo. La utilidad de un modelo de diseño curricular reside en su carácter provocador de la reflexión anticipada sobre la práctica de la enseñanza, las condiciones contextuales donde se realiza, la naturaleza de los contenidos que incorpora y a quiénes

va dirigido (Casarini, 1997: 3-22). Esta perspectiva conduce a la reflexión del qué se enseña, el cómo se enseña y el para qué se enseña cálculo en la universidad, cuestiones que recobran su importancia en la actualidad ante recientes acciones de organismos como la unesco y la oced. La unesco manifiesta que la educación científica y tecnológica es un instrumento para la consecución del desarrollo sostenible y la reducción de la pobreza. Sin embargo, declara, los sistemas educativos afrontan el problema de que esa enseñanza ha perdido pertinencia, por no haberse adaptado a los cambios actuales en materia de ciencia y tecnología. Por otra parte, el programa pisa desarrollado por la oced representa el esfuerzo por evaluar competencia lectora, científica y matemática, enfocándose en la solución de problemas y no tanto en el dominio del contenido curricular. El requerir sus resultados para la toma de decisiones en la política educativa habla de la importancia del desarrollo de la competencia de resolver problemas. Para el diseño de esta evaluación se consideran aspectos como el que el contexto asociado a los problemas sea real, esto es, asociado con cierta importancia para la sociedad. Se busca que los problemas no sean solucionables directamente a través de un determinado proceso que el estudiante haya estudiado previamente o practicado en la escuela, sino que se requiera evocar variados conocimientos y estrategias para confrontarlos. A nuestro juicio, declaraciones como las anteriores, emitidas desde una perspectiva de formación integral para enfrentar los nuevos retos del mundo, están demandando un cambio de paradigma en la enseñanza de la matemática en general; definitivamente aplicable al cálculo en particular. La fuente social del currículo nos advierte sobre aspectos ineludibles de la realidad educativa que deben guiar el diseño curricular. La solución de problemas (no de ejercicios) debería ser el incentivo para aprender cálculo.

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En la matemática educativa, reconocida hoy como campo de investigación autónomo, múltiples investigaciones se vienen desarrollando para conocer la problemática educativa en relación con la enseñanza del cálculo. Cantoral, Farfán, Lezama y Martínez dan testimonio de un acercamiento fructífero al abordarla, rescatando el papel de la práctica social en el aula para la construcción del conocimiento matemático y sus procesos de representación (2006, 83-102). El propósito del presente escrito es delinear un cambio de paradigma que ha surgido en la matemática educativa y que puede ser situado en términos de la forma de concebir el aporte de la fuente epistemológica, psicopedagógica y social del currículo. Coincidimos con Nieda y Macedo (1997) en la confluencia e intersección entre los aportes de estas fuentes; por ello aclaramos que los apartados en este escrito responden a una organización y no a la independencia de lo que se discute en cada uno de ellos. Esperamos que nuestra convicción de integrar estas fuentes para el diseño del sector curricular de cálculo quede suficientemente plasmada a lo largo de estos apartados. En el último se discurrirá el tipo de estructuración del nuevo discurso que se está proponiendo, así como la forma de interactuar con ese conocimiento en el aula universitaria. Consideraciones sobre la fuente social Elegimos ésta como la primera fuente de la cual hablar porque, en primera instancia, nos invita a analizar las demandas sociales y culturales que el medio formula a la universidad. En particular, ante la demanda de una educación en ciencias de calidad, la importancia del cálculo en el currículo es clave. Edwards, cuyo libro sobre el desarrollo histórico del cálculo se ha constituido en una consulta clásica sobre la génesis y evolución de problemas fundamentales en la matemática, nos instruye sobre la problemática que ha dado origen al cálculo y que ha hecho que éste funcione como el principal lenguaje cuantitativo de la ciencia (1979: 189-267). Kleiner nos expresa que el cálculo es uno de los grandes logros intelectuales de la civilización que “ha

servido por tres siglos como la principal herramienta cuantitativa para la investigación de los problemas científicos” (2001: 138). Estando nuestro interés puesto en un sector curricular que forma parte de las carreras profesionales, resulta adecuado mirar hacia las demandas de los cursos de especialidad a los que los estudiantes ingresarán. Debemos pensar en el perfil del estudiante que egresa del sector curricular de cálculo para ingresar a cursos de otras áreas en las cuales el cálculo será utilizado. Esto nos lleva a reconocer el carácter instrumental del sector curricular, pues su función es brindar las herramientas matemáticas que serán requeridas en el análisis de situaciones enmarcadas en diversos contextos, en los cuales se desarrollan dichos cursos. Informarse sobre el tipo de uso que se hace del conocimiento matemático es una actividad que debe nutrir al diseño curricular para jugar un papel congruente con su carácter. Sin embargo, estamos convencidos de que obtener esta información no es simple; requiere de hacer investigación y encontrar la lupa desde la cual se pueda interpretar la realidad social del aula universitaria, donde se actúa bajo la influencia de ideologías que reflejan diferentes concepciones del conocimiento científico. Es aquí donde la integración con otra fuente del currículo, la epistemológica, deberá ser contemplada. El cálculo desarrollado por Newton y Leibniz (s. xvii) mostró ser una herramienta poderosa en la modelación de fenómenos naturales, lo que facilitó el desarrollo de otras ciencias, y ése es el cálculo que aparece actualmente en textos de ciencias básicas e ingeniería. Sin embargo, en la comunidad matemática ese cálculo fue sustituido por la propuesta de Cauchy (s. xix), que satisfizo un requerimiento interno de rigor y es el que tradicionalmente se enseña en las aulas de los cursos de matemáticas (Arcos, 2004: 78-110). Pulido (1997), en su investigación doctoral, reporta la incongruencia entre el contenido matemático tradicional del cálculo con el uso que se hace del cálculo en la física. En particular, la toma del elemento diferencial es una estrategia efectiva en el

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Patricia Salinas, Juan Antonio Alanís, Ricardo Pulido. Didac 56-57 (2011): 62-69


estudio de diferentes fenómenos físicos; sin embargo, el contenido tradicional del cálculo relega el uso esencial del diferencial al dejarlo sólo en aplicaciones de aproximación de cantidades que hoy cualquier calculadora realiza. La pertinencia del discurso tradicional del cálculo queda en duda, ¿para qué enseñar cálculo en la universidad? La respuesta a esta pregunta debe necesariamente ser congruente con el discurso del cálculo que se lleva al aula. La fuente epistemológica tendrá mucho que aclarar al respecto. Consideraciones sobre la fuente psicopedagógica Esta fuente del currículo nos pone en la presencia de la enseñanza y el aprendizaje, y del papel de profesores y estudiantes. Lejos de hacer un análisis exhaustivo de los eventos concernientes, quisiéramos sólo apuntar hacia la concepción del aprendizaje que, si acaso no de manera consciente, influye en el desenlace de dichos eventos. No olvidemos que actuamos ante la demanda social de una educación

científica que desarrolle la competencia de resolver problemas. Las concepciones acerca de cómo aprenden los estudiantes y cómo construyen los conocimientos científicos se han ido conformando a partir de la psicología cognitiva y, en los últimos años, a partir de investigaciones realizadas desde la didáctica de las ciencias (Nieda y Macedo, 1997). Interpretamos en esto último la integración de la fuente psicopedagógica y epistemológica. En la matemática educativa se enmarcan diversas investigaciones, algunas de ellas de corte cognitivo; de hecho, un estadio en la evolución de esta disciplina es el de la didáctica sin escuela, donde se incluye un cierto acercamiento cognitivo a la problemática en el cual las dificultades en el aprendizaje de los estudiantes son descritas y explicadas con base en marcos teóricos construidos para ello (Cantoral y Farfán, 2003: 255-270). El tipo de investigaciones actuales que observan el aprendizaje del estudiante ante el conocimiento matemático pueden ser ubicadas, a nuestro juicio, tomando en cuenta ciertos aspectos de las teorías de Piaget, Vygotsky y Ausubel. Ante el modelo piagetiano se toma conciencia de que el aprendizaje es un proceso constructivo interno, personal y activo, y que toma en cuenta las estructuras mentales del que aprende. Procesos de asimilación y acomodación explican el modo en que nueva información se incorpora a las estructuras preexistentes, reorganizándolas. La consideración de que la construcción de conocimientos es social nos ubica en ideas de Vygotsky; en el aula escolar cobra importancia la interacción, tanto entre profesor y estudiantes como entre estudiantes. De esta forma se concede a la acción didáctica la posibilidad de facilitar el andamiaje para influir en el mayor desarrollo cognitivo personal. Por otro lado, el término aprendizaje significativo es acuñado en la teoría de Ausubel para distinguir de un aprendizaje repetitivo o memorístico y señalar el papel que juegan los conocimientos previos en la adquisición de nuevas informaciones. Es indispensable tomar en cuenta lo que el estudiante sabe en relación con aquello que

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se le quiere enseñar, eso es lo fundamental bajo este enfoque (Nieda y Macedo, 1997). A nuestro parecer, el término acuñado por Ausubel resulta un tanto desafortunado cuando la visión que se tiene de la matemática está restringida a la de sistema conceptual lógicamente estructurado, sugiriendo que los conceptos y procedimientos matemáticos sean tratados según el orden y forma en que se presenta la teoría en los libros de texto, reforzando al paradigma tradicional. Pero la matemática no es sólo un sistema conceptual; una visión más amplia enfatiza su carácter como actividad de solución de problemas reales y como lenguaje utilizado en la comunicación y solución de los mismos (Salinas y Alanís, 2009: 355-382). La pregunta ¿cómo enseñar cálculo en la universidad? excede a la información que la fuente psicopedagógica pueda brindar, pues ese cómo depende necesariamente de nuestra concepción de la matemática. Nuevamente, la fuente epistemológica nos da luz al respecto. Consideraciones sobre la fuente epistemológica Casarini señala que la fuente epistemológica enfrenta a la toma de decisiones sobre los contenidos relacionados a un saber específico (1997: 37-75). La matemática educativa está consciente de ello y lo manifiesta en el desarrollo de investigaciones de corte epistemológico que ubican al saber matemático en su dimensión social. A través de incursionar en la génesis del conocimiento del cálculo se ha tomado conciencia de la importancia de la matemática como actividad de solución de problemas y de la necesidad de mostrar esa cara de la matemática en el aula escolar. Investigaciones enmarcadas en el acercamiento socioepistemológico (Cantoral y Farfán, 2003: 255-270) han dado luz sobre los orígenes del cálculo como la rama de la matemática que estudia el cambio y la variación. Ante esta perspectiva, las nociones y procedimientos del cálculo adquieren un significado al surgir para dar respuesta a una problemática real. Cabe remarcar que la palabra significado que hemos usado intenta recuperar para el estudiante un para qué de las nociones y los procedimientos en cuestión.

En Salinas y Alanís (2009) se expone con mayor amplitud el alcance de ese significado ante la solución de problemas relacionados con la práctica de predecir el valor de una magnitud que cambia con respecto a otra magnitud. Para el establecimiento de esta problemática de predicción como el hilo conductor del discurso sobre el cálculo ha sido menester contar con dos investigaciones doctorales, la de Juan Antonio Alanís (1996) y la de Ricardo Pulido (1997). Es a partir de su análisis y de sesiones de discusión para contrastar con la investigación del uso del cálculo en las carreras profesionales que se ha podido rescatar una acepción de problema que reivindica a éste como provocador del surgimiento de las nociones y procedimientos del cálculo. Esta acepción, diametralmente distinta a la de ejercicio, resulta más adecuada al desarrollo de la competencia de solución de problemas que se demanda en la actualidad. Perspectiva para la reconstrucción En los planes de estudio de las carreras profesionales que ofrece el Tecnológico de Monterrey se incluyen componentes que aportan a una formación integral, atendiendo al desarrollo de todo el potencial humano. En la componente de educación general aparecen las competencias científicas y de razonamiento matemático. El proyecto de construcción del currículo para los planes de estudio del 2011 nos propone enfrentar al estudiante ante el conocimiento para incitar la solución de problemas mediante el razonamiento matemático y la aplicación del conocimiento científico, tal y como se establece en las características de los programas profesionales del Tecnológico de Monterrey. Reenfocar la enseñanza en busca de un aprendizaje que implique que un razonamiento matemático que tenga sentido y significado para el estudiante constituye un replanteamiento sustancial en la forma de arribar a las nociones y procedimientos del cálculo. Estamos proponiendo una estructuración diferente de los contenidos que sea acorde con la problemática que el estudio del cambio y la variación proveen. En este sentido, el orden de los contenidos

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difiere del tradicional, y la importancia de ciertas nociones se destaca haciendo que el tiempo en aula se dedique más al manejo de ideas que hagan surgir las nociones y los procedimientos fundamentales al abordar la situación problemática en cuestión. Para concretar esta forma de presentar el contenido en el aula proponemos que en el diseño de cada curso del sector curricular se vea delineada una presentación del conocimiento que recorra tres fases: la de interacción inicial con cierta problemática, la de esbozo de la teoría construida para darle solución y la de aplicación a nuevas situaciones problema donde la interacción inicial se vea superada con el conocimiento que ha sido generado durante la segunda fase. Para la primera fase (interación con la problemática) es necesario el diseño de situaciones de aprendizaje donde sean presentados escenarios con los cuales los estudiantes puedan interactuar en cierta medida, provocando con ello la evocación de aprendizajes previos, intentando dar solución al problema planteado y valorando la necesidad de nuevos conocimientos que permitan profundizar en su comprensión. Para la segunda fase (acercamiento a la teoría), en la cual se haría hincapié en aspectos teóricos y del lenguaje matemático, deberá insistirse en las ideas que acompañan al surgimiento de las nociones, procedimientos y resultados del cálculo en respuesta a la problemática en estudio. A la vez, se debe desarrollar la habilidad en el manejo de los procesos algebraicos y gráficos involucrados, además del adecuado uso de la notación matemática. La tercera fase (nuevas aplicaciones) contempla la aplicación del conocimiento construido, que va más allá de los casos contemplados en la fase inicial al ampliar el rango de situaciones en las que dicho conocimiento permite estudiar a profundidad la problemática. Es recomendable considerar aplicaciones que sean de interés para las diferentes carreras profesionales, considerando escenarios que sean tomados en cuenta en los cursos de especialidad a los cuales un gran porcentaje de la población de estudiantes estará inscrito.

A continuación describimos algunos ejemplos de cada una de las fases:1 Primera fase: Un coche se mueve sobre una carretera recta a una velocidad constante de 40 metros/segundo y al momento de observarlo el coche se encuentra a 30 metros a la derecha del punto de referencia O de la carretera. Queremos predecir su posición con respecto al tiempo transcurrido. Una taza de café se ha calentado en el horno de microondas y alcanza una temperatura de 80°C, se remueve del horno y se expone al medio ambiente donde la temperatura es de 20°C. Para propósitos prácticos, en los primeros 10 minutos la temperatura de la taza de café decrece uniformemente a una razón de 3°C por minuto. Queremos predecir su temperatura con respecto al tiempo. Estas situaciones darán lugar al establecimiento del Modelo Lineal como la solución al problema de predicción cuando una magnitud depende uniformemente de otra. La noción de velocidad manejada en la primera situación evoluciona a la noción de razón de cambio, donde la palabra razón significa en el lenguaje matemático el cociente. Será dicha razón de cambio la que llegará a ser conceptualizada en la siguiente fase. Es importante señalar que la dependencia uniforme entre dos magnitudes es una idea aplicable a las situaciones en las que dicha dependencia no es uniforme. Al subdividir el evento en intervalos cada vez más pequeños, la suposición de la dependencia uniforme se torna plausible y conveniente para la generación del modelo matemático que representa a la magnitud. Será de este modo que se generen modelos polinomial, exponencial y seno, habiendo tratado con magnitudes que manifiestan ese comportamiento. Segunda fase: Planteamos dos situaciones donde se tiene el modelo matemático que representa algebraicamente a una magnitud y se busca profundizar en el establecimiento de la razón instantánea de cambio en un valor particular. La primera situación, nuevamente en el escenario del movimiento en línea recta, trata de la expresión cuadrática para la caída libre de cuerpos, y en la segunda se provee un modelo cuadrático que se ha ajustado para representar el comportamiento de la temperatura de la taza de

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café, comentado en la primera fase. El procedimiento para aproximar la razón instantánea de cambio se generaliza para las variables x e y sin pensar en su significado real, dando con ello lugar al concepto de derivada, quedando ésta definida formalmente. Tercera fase: El corazón de una persona late a un ritmo constante de dos latidos por segundo. Cuando la persona recibe un susto, el ritmo al que late el corazón se altera y puede modelarse matemáticamente con la función R(t) = 2 + 10te-t/4. ¿En qué momento el ritmo al que late el corazón es el máximo y cuál es su valor? ¿Qué sucede a largo plazo con la razón de cambio de ritmo al que late el corazón? Para este momento del desarrollo del curso, la teoría incluye las reglas de derivación y se ha establecido una estrategia de solución para la determinación de valor máximo o mínimo de una función. El análisis a largo plazo de la magnitud es tratado con la noción de límites al infinito surgida con el establecimiento formal del universo de funciones algebraicas y trascendentes para modelar diversos comportamientos de magnitudes. Consideramos que con esta forma de estructurar el contenido del cálculo es posible que el estudiante fortalezca la idea que ha acompañado a la génesis de este conocimiento matemático; a saber, que sus nociones y procedimientos surgen al enfrentar la necesidad de resolver problemas relacionados con la variación que experimentan diferentes magnitudes bajo estudio. A su vez, podrá apreciar que dicha problemática sigue siendo actual cuando se le vierte del significado relacionado con las diferentes áreas de especialidad y las magnitudes en ellas involucradas. Un aprendizaje de las nociones y procedimientos estudiados que tome en cuenta desde el primer curso de matemáticas la movilización del conocimiento hacia una problemática bien identificada resulta motivador para el estudiante que comprende la utilidad de las nociones y los procedimientos matemáticos. Hablamos de apreciar el conocimiento matemático en su calidad de herramienta útil para comprender y generar procesos cognitivos con mayor probabilidad de ser transferibles a diferentes situaciones. Si no se logra la movilización de la información obtenida en

un campo disciplinar, difícilmente se está impulsando una perspectiva de desarrollo de competencias (Díaz Barriga, 2006). A través de esta forma de presentar el conocimiento matemático se contribuye, además, al desarrollo de competencias transversales como las de comunicación, trabajo en equipo, resolución de problemas, razonamiento y capacidad de aprender. En particular, la competencia de trabajar en equipo es apoyada por el hecho de que las situaciones-problema propuestas en el aula en la primera fase (incluso probablemente en la tercera) sean tratadas de la forma planteada a continuación: primeramente, los estudiantes analizan el problema que se les propone de manera individual, intentando dar la solución que en ese momento pueden discernir; después de 5 o 10 minutos de interacción individual, se procede

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a trabajar en pequeños equipos colaborativos de 10 a 15 minutos, durante los cuales el profesor recorre el aula observando los procedimientos utilizados por los equipos y buscando sintetizar estrategias comunes, además de observar errores o suposiciones erróneas, e incluso tomando en cuenta el empleo de la notación matemática en sus procedimientos. Por último, la parte final de la clase es para que el profesor retome en plenaria sus observaciones y conduzca al grupo hacia la reflexión de los procesos cognitivos que fueron activados por el problema abordado. Comentario final En este escrito estamos proponiendo un qué enseñar, donde nociones y procedimientos del cálculo surjan al abordar problemas relacionados con la práctica de predecir el valor de una magnitud que está cambiando; un cómo, donde los estudiantes tengan oportunidad de ser partícipes en la generación de conocimientos; y un para qué enseñar, que permea el nuevo discurso al considerar problemas reales en los cuales el estudiante encuentra significado a su aprendizaje. Hemos compartido el trazado de una ruta para la reconstrucción del discurso del cálculo que resulte apropiado a las nuevas demandas educativas. Nos damos por satisfechos si logramos evidenciar un problema educativo y una manera de resolverlo enmarcada en las fuentes del currículo. En nuestro caso, contamos con una primera concreción en el libro Elementos del cálculo. Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza, con el cual hemos implementado esta propuesta en nuestra institución educativa. La investigación que informe del modo en que este acercamiento habita en el aula la realizamos con plena conciencia de que no estamos pretendiendo ofrecer la solución a la problemática evidenciada; la investigación educativa no tiene fin, los nuevos conocimientos emergidos de esta ruta (o de otras) siempre permitirán la mejora en el camino de construcción. Sin embargo debemos enfatizar que estamos plenamente convencidos de que las dificultades que podamos encontrar en este camino

de construcción no son en definitiva aciertos que el paradigma tradicional de la enseñanza del cálculo posea. Nota 1 Ejemplos extraídos de: Salinas, Alanís y Pulido, 2002. Referencias Alanís, Juan Antonio. La predicción: un hilo conductor para el rediseño del discurso escolar del cálculo. Tesis de doctorado (no publicada). cinvestav del ipn, México (1996). Arcos, José Ismael. “Rigor o entendimiento, un viejo dilema en la enseñanza de las matemáticas: el caso del cálculo infinitesimal”. Tiempo de Educar, 5. 10 (2004): 77-110. Cantoral, Ricardo, y Rosa Farfán. “Mathematics education: A vision of its evolution”. Educational Studies in Mathematics, 5. 3 (2003): 255-270. Cantoral, Ricardo, Rosa Farfán, et al. “Socioepistemología y representación: algunos ejemplos”. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, número especial, (2006): 83-102. Casarini, Martha. Teoría y diseño curricular. México: Trillas, 1997. Edwards, Charles Henry. The Historical Development of the Calculus. Nueva York: Springer-Verlag, 1979. Kleiner, Israel. “History of the infinitely small and the infinitely large in calculus”. Educational Studies in Mathematics 48. (2001): 137-174. Nieda, Juana, y Beatriz Macedo. “Las fuentes del currículo. Capítulo 3”. Biblioteca Digital de la Organización de Estados Iberoamericanos (oei) s/f. (consulta 2 de marzo de 2010) <http://www.oei.es/oeivirt/curricie/curri03.htm> oecd. “Learning mathematics for life: A perspective from pisa.” Organisation for economic co-operation and development (oecd) s/f. (consulta 12 de marzo de 2010) <http://titania.sourceoecd.org/vl=22960630/cl=22/nw=1/ rpsv/cw/vhosts/oecdthemes/99980029/v2009n26/contp11.htm>. Pulido, Ricardo. Un estudio teórico de la articulación del saber matemático en el discurso escolar: la transposición didáctica del diferencial en la física y la matemática escolar. Tesis de doctorado (no publicada). cinvestav del ipn, México. (1997). Salinas, Patricia, y Juan Antonio Alanís. “Hacia un nuevo paradigma en la enseñanza del cálculo”. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 12. 3 (2009): 355-382. Salinas, Patricia, Juan Antonio Alanís, Ricardo Pulido et al. Elementos del cálculo. Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza. México: Trillas, 2002. unesco. “Enseñanza de la ciencia y la tecnología”. Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (unesco) s/f. (consulta 10 de marzo del 2010) <http://www.unesco.org/es/science-and-technology/>.

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70 • Didac 56-57 (2011)


Colaborar para aprender y enseñar matemáticas en línea José Luis Ramírez Alcántara*

Profesor-investigador Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet)

Manuel Juárez Pacheco

Profesor-investigador Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet)

❂ Resumen Un recurso educativo esencial en la educación superior contemporánea es el uso de ambientes virtuales en los que se ofrecen cursos a distancia en línea; actualmente está abierto el debate sobre las mejores prácticas educativas que deben caracterizar esta modalidad, particularmente en educación matemática. En este trabajo se presenta la puesta en práctica de la técnica colaborativa instrucción acelerada en equipos (tai, team accelerated instruction), en un curso en línea de matemáticas discretas para estudiantes que ingresan al posgrado en ciencias de la computación del Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet), la cual fundamentó las actividades de docentes y estudiantes. Palabras clave: aprendizaje colaborativo, e-learning, matemáticas discretas, tai. Abstract An essential resource in contemporary higher education is the use of virtual environments to offer distance learning courses en línea; currently, the issue on the best educational practices that should characterize this kind of educational services it is open, particularly in mathematical education. This paper presents the implementation of team accelerated instruction (tai) collaborative approach in an online course in discrete mathematics, for students enrolled the postgraduate course in computer science from the National Center of Research and Technological Development (Cenidet), which substantiate the activities of teachers and students. Key words: collaborative learning, e-learning, discrete mathematics, tai.

Correo electrónico del autor: jlram@cenidet.edu.mx Colaborar para aprender y enseñar matemáticas en línea • 71 José Luis Ramírez Alcántara, Manuel Juárez Pacheco. Didac 56-57 (2011): 71-75


E-learning y enseñanza y aprendizaje de las matemáticas Desde que se inició el uso de la tecnología computacional para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se le asignaron diversos roles; inicialmente el de un profesor paciente que explica una y otra vez a los estudiantes (sistemas tutores), que ofrece información y retroalimentación adecuada para el avance (sistemas tutores inteligentes) y genera ejercicios. Posteriormente los dispositivos tecnológicos se han utilizado para desarrollar habilidades matemáticas específicas (Logo) y operar fenomenológicamente con conceptos matemáticos (Cabrí, Maple, Matemática, Geogebra, etc.). Todas estas formas de uso se desarrollaron en ambientes cara a cara. En la actualidad, con el surgimiento de los ambientes virtuales de aprendizaje, educación en línea o e-learning, se abren nuevas posibilidades para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Aunque no son muchas las experiencias en esta área, particularmente en procesos formales de educación superior, el uso de sistemas de administración del aprendizaje (lms, learning management systems) en cursos a distancia se ha convertido en un nuevo ámbito para la educación matemática en la modalidad e-learning. Por la juventud del área, está abierto el debate sobre las características de las prácticas educativas adecuadas y la forma de darles soporte en ambientes web y específicamente en lms. Lo que aquí se presenta se basa en la técnica desarrollada en un curso de matemáticas discretas en línea para estudiantes que ingresan a la maestría en ciencias de la computación en el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet), institución de posgrado del Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica (snest), que ofrece programas de maestría y doctorado en mecánica, electrónica, mecatrónica y computación. El curso fue desarrollado después de varios años de impartir propedéuticos convencionales en los que se identificaron las deficiencias recurrentes en los estudiantes, como, por ejemplo, el desconocimiento de los lenguajes lógico y de conjuntos, el de las estructuras lógicas de los enunciados, el uso

inadecuado de las definiciones, la mala lectura de un texto formal de matemáticas, la incapacidad para identificar la estructura de los teoremas, la ausencia de estrategias para hacer demostraciones, el mal uso de los métodos de demostración por reducción al absurdo e inducción matemática, el uso inadecuado de los cuantificadores, etc. Eliminar estas carencias se convirtió en el objetivo central del curso y en la base para definir la estrategia de intervención didáctica y diseñar los materiales. En este trabajo sólo se describe la interacción colaborativa entre los estudiantes, entre los estudiantes y los profesores y entre los profesores mismos, encaminada al dominio de los contenidos y a la construcción de significados durante el curso. Estas interacciones se describen a partir de las actividades realizadas, que se diseñaron con base en la técnica colaborativa instrucción acelerada en equipos (tai, team accelerated instruction; Slavin, 1994), lo cual implicó, como se describe más adelante, organizar tres tipos de actividades. En cuanto a la práctica de los profesores, se describe particularmente la docencia en colaboración realizada por dos de los profesores del curso en las actividades de retroalimentación sincrónica. Aprender matemáticas en colaboración El aprendizaje cooperativo tiene una larga historia, puesto que los profesores por lo general han permitido e incluso alentado que sus estudiantes trabajen ocasionalmente en proyectos, en discusiones y debates en grupo. En el texto “Una guía práctica para el aprendizaje colaborativo en matemáticas universitarias” (Hagelgans, 1995: 8-37) se hace una propuesta para mejorar el aprendizaje de las matemáticas desde el aprendizaje colaborativo. En este mismo texto se hace referencia a la técnica colaborativa tai, diseñada específicamente para la enseñanza de las matemáticas de tercero a sexto grados (del K12 estadounidense), que en la enseñanza secundaria se utilizó como método de instrucción correctiva en esta área (Slavin, 1994). A través de internet es posible observar cómo se ha extendido y utilizado a nivel mundial esta técni-

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ca; tanto que su uso se ha ampliado de la educación básica a la educación media y superior, en áreas de las matemáticas como álgebra, geometría, cálculo, ecuaciones diferenciales y álgebra lineal (Dubinsky, 1993). Los reportes incluyen, en muchos de los casos, el uso de nuevas tecnologías para apoyar partes del proceso (como en el caso de Hagelgans, 1995), pero las referencias a trabajos en educación a distancia en matemáticas sólo señalan, en su mayoría, su potencialidad (Karadag, 2008), o insisten en el cuidado de conservar en esta modalidad al menos dos de los principios básicos del aprendizaje colaborativo: la interdependencia positiva y la responsabilidad por el aprendizaje individual (Felder y Brent, 2001). Quienes usan la técnica de tai la han tomado como base para desarrollar técnicas cooperativas propias que se ajusten al nivel escolar de los contenidos matemáticos (Blázquez y Marín, 2007). En el grupo de matemáticas y nuevas tecnologías del cerme 41 se reporta un trabajo que si bien está fundamentado desde las comunidades de práctica

(De la Cerda et al., 2005), la base de la “interacción matemática” se acerca inicialmente a la solución de problemas utilizando la técnica de tai. En México, los proyectos efit y emat2 declaran que los trabajos de los estudiantes, cara a cara, se realizan en colaboración pero no especifican la forma de organización y trabajo, sólo expresan algunos elementos generales sobre el trabajo en equipos. Colaboración y distancia en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas con la técnica de tai La técnica de tai fue diseñada para resolver los problemas teóricos y prácticos de la instrucción individualizada y satisface los criterios siguientes (Slavin, 1994): a) La operación de tai debe ser tan simple que los estudiantes desde tercer grado lo puedan manejar; b) Los estudiantes se sentirán motivados por proceder rápida y adecuadamente a través de los materiales y podrían fracasar cuando platican o buscan respuestas fáciles; c) Se les deben proveer numerosos puntos de verificación del dominio para no perder tiempo en el material que ya dominan o tener dificultades serias que requirieran la ayuda del profesor. En cada punto de verificación del conocimiento se les deben proveer actividades alternativas y pruebas paralelas; d) Los estudiantes tendrían que ser capaces de contrastar el trabajo de uno y otro, aun cuando la revisión de los estudiantes fuera posterior a la verificación realizada en la secuencia instruccional y el procedimiento de contrastación tendría que ser simple para dar fluidez al estudiante que hace la confrontación. El diseño de las actividades del curso se basó en los criterios de la técnica de tai. Un elemento fundamental fue la conservación del seguimiento individual (Kaufman y Felder, 2000) y, al mismo nivel, compartir y debatir en pareja para promover la reflexión sobre las acciones y los procesos de resolución de problemas, la utilización de los conceptos y las habilidades que los estudiantes deberían desarrollar o reforzar. Con el diseño de los materiales se reforzó la colaboración, al plantear a los estudiantes desde el inicio del curso tres formas de trabajo: a) Individual,

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al leer, realizar ejercicios y resolver problemas; b) En parejas, al compartir y debatir las soluciones y las dificultades que de manera individual encontraron en los ejercicios y problemas. Esta actividad se realizó de forma sincrónica (chat) y asincrónica (foro y correo electrónico), y, finalmente, c) En grupo general, preguntando y respondiendo a cuestiones no resueltas en parejas. Estas actividades se realizaron a través de foros para cada tema y con asesoramiento sincrónico (chat) dos veces por semana durante dos horas. En estas sesiones se proporcionó una asesoría de media hora para cada equipo, aun cuando el resto del grupo pemanecía pendiente de las discusiones que se generaban entre los participantes. Esta estructura de actividades aseguró el trabajo individual y en parejas, y dejó como último recurso la resolución de dudas por los profesores. El diseño de estas actividades es también resultado del trabajo colaborativo realizado por los profesores antes y durante la realización del curso (Durán y Miguel, 2003). En los cuatro meses y medio que duró la etapa de diseño fue intensa la interacción entre los dos profesores a cargo del curso; la mayor parte de las interacciones se realizaron cara a cara con la finalidad de definir los objetivos, las habilidades a desarrollar y la amplitud y profundidad del contenido matemático. En el caso de las asesorías sincrónicas que se planearon, se debió diseñar también un modelo de participación que permitiera la dirección del proceso y al mismo tiempo dar respuestas rápidas y oportunas a las preguntas de los estudiantes, considerando que también los profesores estarían trabajando en localidades distantes una de la otra. Con estas consideraciones se configuró un modelo de participación que implicaba coordinar las acciones de los dos profesores en una situación sincrónica. El modelo consta de tres posibles formas de colaboración sincrónica, que se describe a continuación: 1. Colaboración en background: en esta forma el profesor A iniciaba la sesión de chat con los estudiantes y dirigía el proceso por un tiempo. El profesor B debía llevar un recuento de las

preguntas planteadas por los estudiantes y utilizando la mensajería interna de Moodle daría indicaciones o haría observaciones a las respuestas dadas a los estudiantes. El profesor B no interviene directamente en el chat, aunque los estudiantes sí sabían de su presencia. 2. Colaboración como apoyo al líder: en esta forma el profesor A tiene el peso de la dirección de la sesión y el profesor B interviene esporádicamente, aclarando o puntualizando algún elemento planteado por el profesor líder. En esta forma el profesor B interviene directamente en el chat, pero no resta autoridad al profesor A. 3. Coordinación en colaboración: en esta forma ambos profesores coordinan la sesión interviniendo indistintamente para aclarar o complementar las respuestas a algunas preguntas o dificultades de los estudiantes. La coordinación de sus intervenciones está dada por el dominio del tema y la información requerida por los estudiantes. Con estas formas de coordinación colaborativa se dieron mejores respuestas a las dudas planteadas por los estudiantes, y los profesores pudieron conocer con mayor detalle tanto el nivel de desarrollo de cada uno de ellos como las dificultades y deficiencias que aún no habían superado. A manera de conclusión La colaboración en los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas es un factor fundamental tanto para los estudiantes como para los profesores ante las nuevas condiciones y medios que se tienen para mejorar el nivel de conocimientos y habilidades, pero, en general, la colaboración no se da de manera espontánea, por lo que el diseño de la instrucción debe establecer estrategias y técnicas que fomenten en los estudiantes y profesores hábitos de participación conjunta. La aplicación de la técnica de tai para el aprendizaje de las matemáticas discretas en cursos a distancia en línea permitió a los estudiantes de ciencias de la computación, antes

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de iniciar el posgrado, compartir sus experiencias y conocimientos en un proceso de retroalimentación mutua sin perder su propia responsabilidad sobre el aprendizaje. Los estudiantes se vieron en la necesidad de expresar y comunicar sus dudas desde el principio del curso, lo que les exigió una mayor reflexión en su proceso de estudio, y tanto los materiales utilizados como el diseño tecnopedagógico, implementado en Moodle, favorecieron la colaboración entre ellos. En cuanto a la asesoría sincrónica por chat que los profesores ofrecieron a los estudiantes, la organización por equipos pero en forma de grupo permitió atender de mejor manera las dudas y preguntas de los estudiantes y favoreció la optimización del tiempo de asesoría, evitando la reiteración de preguntas, lo que les dio a los estudiantes la oportunidad de plantear preguntas de mayor profundidad sobre el tema. En esta actividad se puso a prueba el diseño para la intervención de los profesores, y particularmente la interacción con fluidez, ejerciendo los roles preestablecidos. Se reconoce que el diseño de esta interacción permitió a los profesores reflexionar sobre el contenido y tipo de error o dificultad que expresaban los estudiantes, y le daba al profesor que no dirigía la asesoría la oportunidad de plantear una mejor respuesta o dar mejores elementos para ayudar a los estudiantes. Este tipo de actividad colaborativa entre profesores implica que los involucrados amplíen su capacidad para recibir críticas y recomendaciones del otro profesor. Esta actividad conjunta requiere también capacitación y entrenamiento para lograr la coordinación adecuada y el respeto de los tiempos de intervención. En esta experiencia, dado el tipo de población estudiantil y su alta motivación para el ingreso al posgrado, se lograron buenos resultados en la aplicación de esta técnica colaborativa. Consideramos que, en el caso de los profesores, su disponibilidad y experiencia en la materia les permitió superar las diferencias de opinión y las dificultades técnicas que se presentaron durante las sesiones sincrónicas.

Referencias Blázquez-Entonado, Florentino, y Santiago Marín. “Co-operative learning in the teaching of mathematics in secondary education”. Educational Action Research, 11.1 (2007): 93-120. Dubinsky, Edward. “Computers in teaching and learning discrete mathematics and abstract algebra”. Advanced Technologies in the Teaching of Mathematics and Science. Ed. D.L. Ferguson. nato asi Series/Computer and System Sciences. Springer-Verlag (1993): 525-564. Durán, David, y Ester Miguel. “Cooperar para enseñar y aprender”. Cuadernos de Pedagogía, 331 (enero de 2003): 73-76. Felder, Richard M., y Rebecca Brent. “Effective strategies for cooperative learning”. Journal of Cooperation & Collaboration in College Teaching, 10(2) (2001): 69-75. Hagelgans, Nancy et al. A Practical Guide to Cooperative Learning in Collegiate Mathematics. The Mathematical Association of America. Notes, núm. 37. Washington: maaa, 1995. Karadag, Z. Improving Online Mathematical Thinking. icme 11, Proceedings, 6-13 de julio. Monterrey, México, 2008. Kaufman, Deborah, y Richard M. Felder. “Accounting for individual effort in cooperative learning teams”. Journal of Engineering Education, 89(2) (2000): 133-140. Lacerda, João Filipe de, Yishay Mor, Richard Noss y Madalena Santos. “Sustaining interaction in a mathematical community of practice”. cerme 4. Febrero de 2005 en Sant Feliu de Guíxols, España. Work Group 9. (2005): 17-21 (consulta: 17 de febrero de 09). Disponible en: <http:// cerme4.crm.es/>. Slavin, R.E. Cooperative Learning. Theory, Research, and Practice. Boston: Allyn and Bacon. 1994.

Notas 1 <http://cerme4.crm.es/>. 2 <http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx/>.

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Epistemología de la transformada de Laplace y sus implicaciones en la didáctica de las matemáticas Eduardo Miranda Montoya*

Profesor investigador Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (iteso)

❂ Resumen La meta en este trabajo es analizar los principales aspectos de la evolución de conceptos que dieron origen a la forma particular de la transformada de Laplace (tl). La investigación de corte epistemológico permitió encontrar al menos dos marcos de referencia donde aparecen como concepto la integral de Laplace, por un lado, y la tl, por el otro. Ambas surgen como una herramienta operacional para resolver problemas donde se involucran series de potencias o como parte de una metodología de solución de ecuaciones diferenciales mediante factores de integración adecuados. Palabras clave: transformada de Laplace, epistemología Abstract The goal in this work is to analyze the main aspects of the evolution of concepts that gave rise to the particular form of the Laplace Transform (lt). The investigation of possible epistemic break to find at least two frames of reference where they appear as the Laplace integral concept on one side and the LT on the other. Both emerge as an operational tool to solve problems which involve power series or as part of a methodology for solving differential equations by appropriate integration factors. Key words: Laplace transform, epistemology

Introducción En las escuelas de ingeniería, los cursos de ecuaciones diferenciales tratan la transformada de Laplace (tl) como una forma operacional de resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. A diferencia de temas curriculares como las derivadas o las integrales, que son tratados por los libros de texto y los profesores de matemáticas a través de las experiencias escolares previas para que el estudiante construya y atribuya ∗

Correo electrónico del autor: emiranda@iteso.mx.

significados a los conceptos, esto no sucede con la tl. Aparece en el aula de manera artificiosa, como un instrumento cuyas propiedades formales son útiles porque resuelven ciertos tipos de problemas. Ante la intencionalidad de su enseñanza, cualquier elemento de construcción o de reconstrucción de significados carece de claridad o está ausente. Si bien es cierto que la tl puede ser interpretada por una función, ésta pertenece a una clase de funciones diferente de las experiencias escolares previas del estudiante. Este hecho difícilmente podría ser

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entendido si sólo partimos de la estructura matemática que aparece en los textos para la tl. Por esta razón, la investigación se enfocó a dos aspectos: uno de corte epistemológico y otro de corte cognitivo. En este trabajo sólo se toma el primero de esos aspectos, el epistemológico, que trata de responder a la pregunta ¿cuáles fueron las ideas y problemas que dieron origen y significado a la tl? Mientras que el aspecto cognitivo trata de responder a la pregunta ¿cómo se usarían estas ideas epistemológicas para su incorporación a la didáctica de las matemáticas? Antecedentes. La transformada de Laplace La definición de la tl de una función f(t), comúnmente presentada en el medio escolar, es:

L{f(t)} =

siempre y cuando la integral exista para ciertos valores del parámetro s. Esta expresión aparece ordinariamente por primera vez en el medio escolar universitario en los cursos de ecuaciones diferenciales. La enseñanza de la tl se transmite de manera muy similar a su presentación en los textos. La instrucción comienza con su definición, para seguir con el cálculo de la tl de diversas funciones; después se analizan sus propiedades y se finaliza con las aplicaciones en la solución de algunas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, en cursos de análisis de señales o control (cursos posteriores al de ecuaciones diferenciales) es frecuente ver la enseñanza de la tl como un caso particular de la transformada de Fourier y en otros casos como la versión continua de la transformada Z. En todo caso, la definición de la tl invita a la reflexión, pues en ella aparecen componentes para los cuales no se dan antecedentes en los programas de estudio ni explicaciones del porqué es así. A través de conocimientos previos del cálculo se puede

pensar que la expresión representa el área bajo la curva de la función f(t)e-st en el intervalo [0, ∞), pero surgen diferentes tipos de cuestionamientos: • ¿Por qué se tiene que multiplicar una función f(t) por el factor e-st para después integrar? • ¿Cuál es la razón de definir esta integral desde 0 hasta ∞ y no con otros límites? • ¿Cómo es que se relacionó esta expresión con la solución de ecuaciones diferenciales? • ¿Cómo está relacionada la tl con la transformada de Fourier o con la transformada Z? Con base en estos cuestionamientos se establece una epistemología a través del análisis de textos y las formas en que se enseña la tl en el medio escolar, además de analizar las ideas y los problemas que le dieron origen. El estatus epistemológico de la tl en el medio escolar Para este análisis preliminar se desarrolló un cuestionario cuya finalidad es buscar información sobre las creencias, concepciones y experiencias de alumnos y profesores de la tl en el medio escolar. Este cuestionario se aplicó a estudiantes de ingeniería del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (iteso) del estado de Jalisco. En la primera pregunta se pide una explicación sobre lo que significa la fórmula de la tl y su utilidad y en la segunda se indaga sobre sus habilidades para el uso de la tl. Este cuestionario lo respondieron nueve estudiantes de la carrera de ingeniería en electrónica que ya usan la tl como herramienta de análisis de circuitos, tres profesores de matemáticas y dos profesores ingenieros en electrónica. Como común denominador, cuatro estudiantes y cuatro profesores definieron la tl mediante la expresión L{f(t)} = F(s) =

.

Los demás no se acordaron.

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En los profesores de ingeniería electrónica se encontraron diferentes significados. Uno de ellos definió la tl como L{f(t)} = , con s = σ + jω, y explicó lo que quería decir tal expresión de la siguiente manera: “...la transformada sirve para proyectar la función f(t) sobre exponenciales de frecuencia compleja”. Mientras que para los otros profesores “la transformada es un operador que transforma una función”. Asimismo, todos los encuestados indicaron que la tl es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales; algunos calificaron el método como rápido y eficiente, y otros mencionaron que la tl transforma las ecuaciones para resolverlas por medios algebraicos. Finalmente, tres profesores coincidieron en que ellos enseñan y manejan la tl en forma algorítmica, pero que no saben cómo se originó la definición de esa transformada ni cómo es que se llegó a pensar en su utilidad. Vemos, de esta manera, que la tl representa en las experiencias escolares sólo una entidad con

propiedades cuya existencia y significación no se explican claramente. De alguna manera, los textos escolares contribuyen a establecer ese marco de referencia. En los programas de estudio de ingeniería se encontró que la tl aparece por primera vez en los cursos de ecuaciones diferenciales y forma parte de los cursos de ingeniería (Teoría de Control, Sistemas Lineales, etc.) y algunos de probabilidad. La revisión de los textos ayudó a precisar, al menos, cuatro formas de introducir la tl en el medio escolar, que se resumen en cuadro 1. De esa revisión de textos también se pudo observar que: • En Spiegel (Spiegel, 1983) se dice que la tl se originó debido a los trabajos de Heaviside y sus métodos operacionales, aunque no se dice cómo es tal relación. • En algunos textos de Señales y Sistemas, Control o Series de Fourier (Gary, 1983; Kamen, 1990), pareciera que existe la preocupación de cimentar la definición de la tl sobre la transformada de Fourier.

Cuadro 1

Formas de introducción de la transformada de Laplace en el medio escolar Definición directa de la tl

Definición de la tl a partir de la transformada de Fourier

Definición de la tl a partir de series de potencias

Dada una función f(t) definida para t ≥ 0, la tl de la función f(t) es la función F(s) definida como

La transformada de Fourier de una función f es la integral

L{f(t)} = F(s) =

entonces un análogo natural Y si s es el número complejo lo es la integral impropia tal que p = -is y además f(t) = 0 para t < 0 entonces se obtiene la integral ...reemplazando x por e-s se obtiene

para todos los valores de s para los cuales la integral converge.

“...si escribimos a una serie de potencias como

que es la tl.

Definición de la tl a partir de las transformaciones integrales Dados K(s,t) y f(t), se llama transformación integral lineal de f(t) sobre K(s,t) a la expresión

donde K(s,t) se conoce como el kérnel o núcleo de la transformación, y f(t) debe pertenecer a un espacio vectorial de funciones definidas para t positivo.

integral que se conoce como la transformada de Laplace de la función f(t)...”

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• Otros explican la existencia del factor e-st como forma de hacer convergente la integral, siempre y cuando la función f sea de orden exponencial (Kolmogórov y Fomín, 1975). • En textos dirigidos a ingeniería electrónica (Ziemer, 1993) se da un argumento de tipo físico para decir que la integración se hace desde 0 hasta ∞ porque la función f(t), que puede asociarse a un voltaje o corriente eléctrica, sólo actúa sobre el circuito sí t ≥ 0. Resumiendo, los profesores reflejan en su modo de enseñar la tl los contenidos de los textos; es decir, la enseñanza de la tl está limitada a la manipulación de la expresión integral, calculando la transformada de funciones, probando y aplicando propiedades de la tl para encontrar la solución de alguna clase de ecuaciones diferenciales. Una epistemología de la tl En esta sección se buscarán, en el desarrollo histórico de la tl, indicadores sobre su significado epistémico, etapas de desarrollo con sus progresos o regresiones. Acerca del origen de la tl, Widder menciona que la integral tuvo como antecedente expresiones de la forma , o y que todas se denominan integrales de Laplace (Widder, 1929). Por otra parte, al revisar los desarrollos de la tl en la historia (Miranda, 2001) se puede afirmar que desde sus orígenes estas integrales fueron creadas explícitamente como un método operacional con la única finalidad de resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales o en diferencias. Lo que cambió en cada etapa histórica de desarrollo de la tl fue el tipo de operaciones realizadas para resolver esas ecuaciones, y es sobre la base de esas operaciones que se pueden reconocer los tres periodos de su evolución conceptual. Las etapas conceptuales de la TL Etapa 1. Multiplicación: las integrales indefinidas: En esta etapa, la multiplicación es la operación esencial para resolver una ecuación diferencial. En

este caso la multiplicación de una ecuación diferencial por una función adecuada (la exponencial emx) es la manera en que la ecuación de orden “n” es transformada en otra ecuación de orden “n-1”, cuya solución se puede conocer (o ya es conocida). En particular, Euler estudia (en Benítez, 1993) métodos de solución de ecuaciones diferenciales de orden mayor a uno mediante el argumento de multiplicar una ecuación diferencial An y(n) + An(n-1) +...+A y’ + A y = f(x) por un factor emx, con 1 y 1 0 la finalidad de transformar la ecuación diferencial en una ecuación exacta, dependiendo del parámetro “m” y de reducir la ecuación en otra de un grado menor a la original Bn-1 y(n-1) +...+B1 y’ + B0 y = . La aplicación de estos argumentos llevó de modo indirecto a la obtención de las integrales indefinidas de la forma , que sin duda son expresiones que anteceden a la tl. Etapa 2. Sustitución: las integrales definidas: El contexto inicial en el que esta etapa de conocimiento se desarrolla es el de la probabilidad. En este tenor, Laplace afirmó (Laplace, 1812) que la solución de una ecuación en diferencias o diferencial f(s) se puede expresar en la forma integral f(s) =

El método de solución de ecuaciones diferenciales y en diferencias desarrollado por Laplace y que también fue usado por Boole (Boole, 1859) y Poincaré (Poincaré, 1885) recibió el nombre de “método de integrales definidas”, o “método de Laplace” (ml). La idea era sustituir la integral

en la ecuación a resolver para determinar la función U(t), así como los límites de integración a y b. Como consecuencia de este periodo aparecen integrales de la forma , y .

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Etapa 3. Multiplicación: las integrales impropias: Algunos de los contextos en donde estas ecuaciones son problemas de la desintegración radiactiva y de circuitos eléctricos es donde se busca determinar comportamientos en tiempos muy grandes (t = ∞) a partir de estados iniciales (en t = 0), por lo cual la integral es particularizada a la integral impropia . En particular, Bateman pu blica (Bateman, 1910) la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales para calcular la cantidad de sustancias radioactivas de la forma

;

;

.

A cada ecuación de este sistema la multiplica por e-xt e integra desde 0 hasta ∞ y obtiene expresiones de la forma

Debe notarse que el método usado por Bateman es ya el método de la tl actual. Formalización de la tl y su aparición en el medio educativo Después de esta etapa, la tl entra en un estado de formalización y sistematización de sus propiedades. En este contexto se encuentran los trabajos de Doetsch (Doetsch, 1943), quien publica una serie de artículos y libros en donde se escribe por primera vez acerca de la tl como la herramienta matemática con rigor matemático. En esos textos se define la como una integral de Laplace f(s) =

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=


transformación funcional denominada tl, que forma parte de un conjunto de transformaciones in-tegrales de la forma general en , la que K(x, y) es el núcleo de la transformación. Al parecer, fue el texto de Gardner y Barnes relativo al análisis de sistemas lineales (Gardner y Barnes, 1942) donde aparece por primera vez la tl en el medio educativo. En ese texto, la tl se expone como un caso particular de la transformada de Fourier y es interpretada como una herramienta similar a la función logaritmo. Algunas implicaciones para la didáctica En el aula es frecuente observar que los profesores usan explícita o implícitamente todo tipo de conocimientos, de métodos y de convicciones acerca de la forma en que se busca, se aprende o se organiza un saber. Esto constituye un conjunto de “representaciones epistemológicas” que se construyen de forma empírica para responder a las necesidades didácticas. A diferencia de esas representaciones epistemológicas empíricas, el análisis epistemológico formal tiende a apoyar el análisis didáctico en la construcción del conocimiento matemático bajo el principio de que los problemas que han motivado la introducción y evolución de este u otro conocimientos están constituidos por la significación del concepto. Este análisis epistemológico permite dar un significado histórico a los conceptos matemáticos, pero también proporciona argumentos que sirven a la didáctica para presentar estos conceptos en el aula. En este contexto, Sierpinska encontró (Sierpinska, 1996) que en el aprendizaje de conceptos matemáticos existen dos modos de pensamiento: en el primero el objeto de pensamiento es dado directamente (intuición) y en el segundo el objeto de pensamiento es dado indirectamente (pensamiento discursivo). Al modo intuitivo se le llama sintético y al modo discursivo se le llama analítico. En el modo analítico el objeto es creado tan sólo a partir de la definición; sus propiedades solamente se derivan de su definición. Para el caso de la tl hemos visto que su enseñanza parte de la definición de una expresión integral, y a partir de allí se exploran sus propiedades

y aplicaciones. Esto es, en la enseñanza de la tl no se consideran elementos que puedan describir la estructura de ésta, de modo que un estudiante pudiera intuir el porqué de su forma y sus componentes, así que también se puede decir que la enseñanza de la tl se inicia en el modo analítico del concepto. En el marco de estas observaciones parece importante considerar un estatus epistemológico en la didáctica acerca de las ideas que llevaron a la construcción de la expresión correspondiente a la tl; tal estatus epistemológico podría ser el germen de una revisión en la práctica educativa que probablemente llevará al estudiante a construir o al menos a intuir el porqué la expresión de la tl es como se da en las definiciones. Referencias Bateman, H. “The solution of a system of differential equationes occurring in the theory of radiactive transformations”. Trad. Phil.Camb. EU, 1910. Soc., 15: 423-427 Benítez, M.L. “Significación de los objetos matemáticos centrado en las ecuaciones diferenciales lineales de 2º orden”. Tesis de maestría. IPN-Cinvestav. México, 1993. Boole, G. “A treatise on differential equations”. EU: Chelsea Publishing Co., 1859. Derrick, G. “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones”. México: Addison Wesley Iberoamericana, 1981. Doetsch, G. “Theorie und anwendung der Laplace transformation” (versión en Estados Unidos de la edición alemana de 1937). Nueva York: Dover Publicationes, 1943. Gardner, M., y J. Barnes. “Transient on linear systems, studied by the Laplace transformation”, vol. 1. Londres: John Willey & Sons, 1942. Gary, R.J. “Linear systems fundamentals”. Estados Unidos: Mc Graw Hill, 1983. Kamen, E. “Introducction to signals and systems”. Estados Unidos: McMillan, 1990. Kolmogórov, A.N., y S.V. Fomín. “Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional” Moscú: Mir, 1975. Laplace, P. “Théorie analytique des probabilités”. M.V. Courcier. Imprimeur Libraire, pour les Mathématiques, Francia, 1812. Laplace, P. “Ensayo filosófico sobre las probabilidades”, traducción de Pilar Castrillo. México: Alianza Editorial, 1988. Miranda, E. “Entendimiento de la transformada de Laplace. Caso de una descomposición genética”. Tesis doctoral no publicada. Departamento de Matemática Educativa, IPNCinvestav. México, 2001. Sierpinska, A. “Problems related to the design of the teaching and learning process in linear álgebra”. Research Conference in Collegiate Mathematics Education. Central Michigan University, EU, 1996.

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Noticias Bibliográficas Reseña*

Manual de investigación para las ciencias sociales: un enfoque de enseñanza basado en proyectos México: unam/El Manual Moderno, 2009 Benilde García Cabrero MariCarmen González Videgaray**

Profesora titular Facultad de Estudios Superiores Acatlán Universidad Nacional Autónoma de México

Muy buenas tardes. Agradezco a la doctora Benilde García Cabrero su amable invitación para presentar el Manual de investigación para las ciencias sociales: un enfoque de enseñanza basado en proyectos, editado por El Manual Moderno. Agradezco también la compañía del doctor Arturo Silva Rodríguez y la doctora Lizbeth Vega Pérez. Gracias también a ustedes por su asistencia a este evento. Me parece que la presentación de un libro tiene como objetivo despertar en la audiencia curiosidad e interés por la obra. Tal vez esta tarea sería más sencilla si se tratara de un libro de poemas o una novela. Sin embargo, en esta ocasión hablaremos de un manual metodológico que puede leerse con el mismo deleite que una narración placentera, así que hay muchos argumentos para motivar su lectura.

Para comenzar, cuando uno tiene en su mano el libro coordinado por Benilde García Cabrero lo primero que resalta es su tamaño agradable, su peso ligero y su portada colorida. Sólo con una mirada curiosa se da uno cuenta de que la portada nos muestra el perfil de un hombre vestido de vitral, con la cabeza literalmente partida en dos. La parte superior de su cráneo llega hasta la contraportada y no nos queda claro si las hipótesis nulas entran o salen de su cerebro. Lo que sí es evidente es que se trata de un libro que se escribió pensando en el lector, con la idea de lograr que no pierda la sonrisa ni siquiera al quebrarse la cabeza con la estadística y echarse un clavado en los métodos de investigación. Así, al leer este manual percibimos que los autores estuvieron conscientes de que a muchas personas no sólo no les gustan

la estadística ni las matemáticas, sino que casi las odian. Cuando estas personas hojean un libro de investigación y encuentran páginas y páginas con ecuaciones y resultados de programas de cómputo sienten la tentación de lanzarlo muy lejos. Desafortunadamente esta actitud ocasiona que nuestra nación se aleje de la investigación cuando, como dice un amigo, los países desarrollados no investigan porque son ricos, sino que son ricos precisamente porque investigan. Así que imagínense ustedes lo que vale un buen libro acerca de los métodos de investigación. Éste es el caso del texto que nos reúne aquí el día de hoy. Notamos que, con el fin de atraer a los enemigos acérrimos de la estadística, el equipo de autores de este libro fue exquisitamente sagaz. Con creatividad y magia, en lugar de ecuaciones y símbolos griegos,

* Texto de la presentación del libro llevada a cabo en el Centro Cultural Bella Época en abril de 2010. ** Correo electrónico de la autora: mcgv@unam.mx. 82 • Manual de investigación para las ciencias sociales: un enfoque de enseñanza basado en proyectos, de Benilde García Cabrero

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colocaron mapas conceptuales, tablas explicativas, gráficas y hasta una caricatura sobre la ciencia. Al pasar las páginas del manual ni el más intolerante podría asustarse de su contenido. En la introducción de la obra, los autores señalan en primer lugar la desarticulación que existe entre la enseñanza de la metodología de la investigación y la estadística. Yo me atrevería a decir que, más allá de esto, existe también una falta de articulación entre los contenidos de las carreras universitarias y el acercamiento a la investigación. De hecho, parecería que la investigación es una especie de asignatura flotante que no tiene nada que ver con el trabajo que realizarán los jóvenes en su profesión. Es más, algunos de ellos han bautizado a esta materia como una asignatura “de relleno”. Estas actitudes de autoridades, maestros y alumnos denotan la falta de conciencia sobre el funcionamiento de nuestra economía actual, cuya base es precisamente el conocimiento. Hace algunas décadas era posible estudiar de una vez “para toda la vida”. Un profesionista podía ejercer su labor durante muchos años apoyado tan sólo en lo que había aprendido en la universidad. Ahora, como suele decirse, lo único permanente es el cambio. El trabajo actual exige el desarrollo de la habilidad de aprender, claro, pero también de las habilidades de des-aprender y re-aprender. Pensemos en algunos ejemplos cercanos: ¿Cuántas veces hemos aprendido, des-aprendido y re-aprendido a usar un sistema operativo en la computadora? ¿Qué sensación tuvimos cuando creíamos haber dominado Word y

apareció Office 2007? ¿Cómo fue que modificamos nuestros hábitos de limpieza hasta volvernos adictos al gel ante el peligro de la influenza ah1n1? Y estos nuevos aprendizajes no significan que debamos regresar a la escuela, sino que debemos fomentar el aprendizaje autodirigido. Pero, a su vez, el aprendizaje autodirigido implica contar con un pensamiento crítico y ser capaz de indagar en el conocimiento. Por ello la investigación es una actividad indispensable en todas las áreas del conocimiento. Dicho de otra manera: sólo podremos mantenernos vigentes si sabemos investigar. Y la investigación no es únicamente una forma de ampliar nuestra visión del mundo: su objetivo primordial es crear conocimiento. Ésta es la forma en que avanzan las ciencias y no es una actividad restringida a un grupo de señores raros con lentes y batas blancas que trabajan en un laboratorio. Saber investigar es la mejor forma de salir adelante de los problemas cotidianos. Por todas estas razones es muy bienvenido este manual, que promueve un aprendizaje contextual de la investigación a través de la realización de proyectos. A veces los estudiantes, con excesiva bondad de su parte, dicen de un maestro que “sabe la materia pero no sabe enseñar”. Este libro demuestra lo contrario: los autores se centran en el alumno y saben enseñar a través de su escritura. Conocedores de que uno de los temas más problemáticos de la aplicación de la estadística es la selección de la prueba estadística apropiada para cada pregunta de investigación, nos

brindan un árbol de decisión que facilita este proceso. La estructura del manual es lógica y se presenta en tres secciones: se parte de cómo planear y desarrollar un proyecto de investigación, en seguida se explica la forma de analizar los datos recabados y, por último, se detalla la forma de elaborar y presentar un proyecto de investigación. En la primera sección, Benilde García, Luis Márquez y José Luis Ávila nos guían en una parte del trabajo que suele congelarnos: la delimitación del tema de investigación. Para ello nos sugieren situarnos en la frontera del conocimiento a través de la revisión de la literatura relevante, tanto en papel como en forma electrónica. Nos brindan también muy buenas pistas sobre cómo formular una pregunta de investigación que, dentro de la metodología cuantitativa, se convertirá en una hipótesis a comprobar. Nos explican cómo contrastar variables o valores observables de una forma sistemática y ordenada que generará los mismos resultados aquí y en China. Por último, introducen también con claridad conceptos que no son triviales, como la población y las muestras, los diseños de investigación, la validez y la confiabilidad. En la sección dos, Lizbeth Vega, Benilde García, Alejandra Valencia y Michael L. Hoover se abocan al análisis estadístico de los datos. Comienzan con un diagrama explicativo de las categorías de este análisis, donde identifican las formas de sistematizar los datos, el análisis descriptivo y el inferencial. Dentro de la sistematización establecen los fundamentos para organizar los da-

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tos en matrices que dan paso al uso de aplicaciones de software. Dentro del análisis descriptivo nos ayudan a presentar y resumir los datos a través de gráficas y tablas. Nos explican con claridad las medidas clásicas, que a pesar de ser sencillas suelen confundir a los alumnos: tendencia central, dispersión, posición y forma. Además, nos dan un panorama visual con técnicas gráficas y estadísticas para explorar los datos. En esta misma sección se expone el análisis inferencial, que es donde casi siempre comienzan los problemas de interpretación y donde muchos estudiantes se rinden. Con mucho tino, los autores nos introducen a las distribuciones de probabilidad, en las que destacan la normal y sus propiedades. De allí pasan a explicarnos los famosos estimadores puntuales y por intervalo, que forman la base teórica de las pruebas de hipótesis. A su vez, estas pruebas son la expresión matemática y lógica de la investigación cuantitativa y son los procedimientos con los que se avanza en el conocimiento. Los

autores refuerzan sus ideas con ejemplos y tablas. Además, nos dan un recorrido por un conjunto amplio de pruebas y revisan su instrumentación en aplicaciones de software como spss, para concluir con la potencia de la prueba y su relación con el nivel de significancia. Si el análisis estadístico se lleva 74 de las 180 páginas del manual, podemos intuir su relevancia dentro de la investigación. Para terminar, en la sección tres, Estela Jiménez y Benilde García nos explican la forma apropiada de elaborar un reporte de investigación sin suponer que eso ya debíamos saberlo. Especifican la famosa aunque poco conocida estructura imryd. Esto es: introducción, material y métodos, resultados y discusión. En estos cajones es posible acomodar con facilidad cada una de las partes del reporte. Las autoras detallan también las tres formas de presentar los resultados en una investigación: la forma discursiva, las tablas o cuadros y las gráficas o figuras. Explican la forma de construirlas y presentarlas dentro

del documento. Por ejemplo, las figuras pueden incluir diagramas, organigramas, fotografías, esquemas, etc. A su vez, las gráficas pueden ser de línea, barras, columnas, circulares, o de dispersión. Las autoras ponen énfasis en el análisis e interpretación de los datos, tanto cuantitativos como cualitativos; al fin y al cabo, éste es el fin último de la investigación. Para concluir, nos dan sugerencias para redactar la discusión. Por ejemplo, la manera de contrastar nuestros resultados con el marco teórico que habíamos planteado y con los resultados de otros autores. Nos dicen también cómo evaluar la investigación, cómo destacar nuestros hallazgos principales, cómo escribir nuestras recomendaciones, limitaciones, investigaciones futuras y conclusiones. De esta forma, el equipo autoral nos guía en el camino de la investigación, paso a paso, de forma nítida y motivadora. ¿Por qué limitan su texto a las ciencias sociales? Es lo único en que no estaría de acuerdo: me parece que las ideas son útiles para todas las áreas del conocimiento. En resumen, si eres alumno universitario o profesor, o investigador, o simplemente quieres contar con herramientas de inteligencia para tener éxito en tu trabajo, esta obra es para ti. Gracias a todos y que disfruten la lectura.

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¿Qué se está haciendo en la uia?

Línea de investigación: Didáctica de las matemáticas Edmundo Palacios Pastrana

Coordinador Programa de Servicio Departamental de Matemáticas

Alfredo Sandoval Villalbazo

Director Departamento de Física y Matemáticas

Problema El Departamento de Física y Matemáticas atiende la formación matemática de estudiantes con intereses diversos: ingenieros, administradores, psicólogos y otros futuros profesionales cuyos estudios requieren diferentes niveles de aprendizaje de las matemáticas. La estructura departamental de la Universidad Iberoamericana orienta la adquisición de diferentes niveles de formación en sus estudiantes. Así, el área básica pretende dar un perfil común a formaciones fundadas en diversas áreas del conocimiento; por ejemplo, cálculo I se ofrece tanto a las ingenierías como a los estudiantes de finanzas. Esto obliga al profesor a buscar maneras variadas de hacer llegar el mensaje pedagógico a alumnos con distintos intereses. Sin embargo, el área básica sólo es el primer paso a formaciones más específicas relacionadas con cada profesión.

Una vez planteada la situación de la manera anterior, tenemos dos problemas fundamentales: 1. La pobre formación matemática de la mayoría de los estudiantes en la educación media superior. 2. L a formación demasiado específica de los profesores ante un entorno que requiere enfoques interdisciplinares. En el primer caso hemos detectado serios problemas de analfabetismo matemático, al grado de que los estudiantes son incapaces de calcular operaciones básicas de aritmética de los números reales; el caso de las “fracciones” es particularmente acentuado. Dicho analfabetismo les impide seguir con fluidez los cursos universitarios de matemáticas y de otros campos que requieren de ellas. En el caso de los profesores, nos encontramos con problemas

relacionados con la cuestión didáctica, así como con problemas en la interacción propiamente dicha con los estudiantes, llegando en algunos casos a problemas básicos de disciplina. En ambos casos nos encontramos inmersos en un mundo de serios problemas con la educación nacional, que no logra dar estructura a los que pasan por ella, sin olvidar otros problemas extracurriculares, como los reportados por la prensa diariamente. Las sociedades actuales son producto del conocimiento, a diferencia de lo que sucedía en otras épocas, en las que el progreso económico se fundaba en “materiales” como el carbón u otros. En la actualidad se requiere que los individuos manejen fluidamente conceptos, ideas y objetos abstractos, que no son directamente observables. La ciencia y la tecnología requieren una sólida formación en lo “formal”, en particular en

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matemáticas, que, además de sus aplicaciones directas, estructura la mente del sujeto, permitiéndole abordar problemas de diversa índole. Un ejemplo de lo anterior es el ya clásico uso de la topología por Lacan en su relectura de Freud. Como en el caso de una estructura jerárquica, los organigramas son estructuras algebraicas que muestran los niveles de una manera gráfica e inmediata. Lacan inventa el uso de formas topológicas como los nudos para dar cuenta de diferentes concepciones de lo mental, que son ecos de nociones que Freud introdujo en el análisis de la psique. En vista de lo anterior, el Departamento de Física y Matemáticas de la Universidad Iberoamericana Ciudad de México se aboca a la enseñanza de las matemáticas desde el concepto de las sociedades del conocimiento y de la interdisciplinariedad, con el convencimiento de que la interacción de individuos provenientes de diversos dominios ayudará a resolver problemas de importancia estratégica para la nación. En dicha tarea educativa, la naciente línea de investigación en didáctica de las matemáticas propone las siguientes líneas de trabajo: Cursos propedéuticos Después de un acucioso proceso de selección, en colaboración con el equipo de Vicerrectoría Académica, así como con el Departamento de Letras, se han venido ofreciendo cursos propedéuticos para aquellos estudiantes que en el examen de admisión obtuvieron resultados insatisfactorios en matemáticas. En dichos cursos se da una formación general sobre los temas de cultura

general matemática, así como sobre los elementos básicos que son requeridos en los cursos de la licenciatura. Dichos cursos han mostrado efectividad, de manera que seguirán siendo impartidos en un formato flexible pero obligatorio. Asesorías Para asegurar que el mensaje didáctico llegue a los estudiantes, el Departamento ofrece también el servicio de asesoría a lo largo de todo el semestre. En caso de que, a juicio de un profesor, algún estudiante requiera de ayuda, los profesores de tiempo completo y algunos de asignatura ofrecen su tiempo a quienes, en el desarrollo de un curso, necesiten afinar aquellos detalles que, por la rapidez de algún curso, “queden en el aire”. Se trata de ofrecer ayuda puntual en temas varios del saber matemático. Dichas asesorías se ofrecen en distintos horarios, abarcando 60 horas a la semana.1 En muchos casos se usa material informático para apoyar la transmisión del conocimiento. Formación de profesores En colaboración con la Dirección de Servicios para la Formación Integral (dsfi), se ofrecen periódicamente cursos de actualización al personal docente en diversos rubros didácticos. En dichos cursos se desarrollan, por ejemplo, las nociones de competencias, tan fundamentales en el servicio departamental que estructura a la Universidad Iberoamericana Ciudad de México en su totalidad. La dsfi, en colaboración con el Departamento de Física y Matemáticas, ofrece elementos que

favorecen la formación humanista que los profesores de matemáticas requieren para llevar a cabo su labor docente. Investigación Finalmente, y en el tono de la academia tradicional en física-matemáticas, se tienen colaboraciones con otras instituciones en el área de investigación en didáctica de las matemáticas. En dicha área se ponen a discusión y a prueba diversas teorías didácticas especializadas en matemáticas, con la particularidad de buscar una educación matemática desde el humanismo que funda a la Universidad Iberoamericana Ciudad de México y a todas las universidades del Sistema Universitario Jesuita (suj). En los procesos educativos que se ofrecen en el Departamento de Física y Matemáticas siempre se tienen en cuenta los avances de la tecnología y se hace uso exhaustivo, según los requerimientos, de diversos métodos informáticos para completar la formación de los estudiantes. Notas 1 Los horarios se encuentran en línea en el sitio web del Departamento: <http:// fismat.uia.mx/>.

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Nuestros próximos números

Número 58. Julio-diciembre 2011

Número 59. Enero-junio 2012

Responsabilidad social y educación

Motivación y docencia

Algunos tópicos en torno a los cuales pueden girar las colaboraciones:

Algunos tópicos en torno a los cuales pueden girar las colaboraciones:

• Modelos de responsabilidad social • Pertinencia de los programas educativos • Calidad de la educación • Compromiso ambiental en la educación • Acceso a la educación • Filantropía versus responsabilidad social • Grupos de interés en las instituciones educativas • Seguimiento de egresados de los programas educativos • Estudiantes responsables • Responsabilidad del profesorado • Formación para el ejercicio responsable de la profesión • Extensión universitaria • Significado social de la producción del conocimiento • Estrategias didácticas para la formación social • Proyectos formativos con impacto social • Currículo oculto y realidad social • Políticas educativas responsables

• Motivación intrínseca y extrínseca • Factores psicológicos de la motivación • Motivación y personalidad docente • Expectativas del estudiantado • La motivación en el constructivismo • Secuencias didácticas y motivación • Necesidades, intereses y expectativas • Motivación y heterogeneidad del alumnado • Elementos cognitivos de la motivación • Motivación y control • Innovación educativa • Estrategias generadoras de motivación • Motivación y eficacia pedagógica • Trabajo autónomo y motivación • Motivación del profesorado • Generación de ambientes para el aprendizaje • Motivación y comunicación • Factores personales, institucionales y contextuales en la motivación • Recursos didácticos • Motivación y currículum

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Didac

Pauta editorial para artículos

1. Todo artículo es dictaminado por el Consejo Editorial para su aprobación, manteniendo el anonimato entre autores y dictaminadores. Los editores se reservan el derecho de realizar los ajustes de estilo que juzguen convenientes. La recepción de un artículo no garantiza su publicación. 2. Los originales deberán enviarse por correo electrónico a la siguiente dirección: didac@uia.mx. 3. Todas las contribuciones deberán ser inéditas en español. 4. El contenido debe estar orientado a incidir en algún aspecto de la educación a cualquier nivel, como apoyo al trabajo docente. 5. El contenido debe corresponder al tema propuesto para el número determinado de la revista en que se pretende que aparezca. En caso de no corresponder con el tema y cumplirse los demás criterios, el artículo podrá ser aprobado para ser incluido en otro número. 6. Se aceptarán principalmente artículos de divulgación. Los resultados de investigación como tales no serán aceptados, a menos que se dé un tratamiento orientado a cumplir con el punto 4 de estas pautas. 7. La extensión deberá ser de un mínimo de cuatro páginas tamaño carta y un máximo de diez (seis para las reseñas), escritas a doble espacio en 12 puntos. La fuente será tipo Times New Roman, en versión Word. Los márgenes serán de 2.5 cm en todos los lados. 88 • Didac 56-57 (2011)

8. Se deberá adjuntar un resumen en español y uno en inglés de entre 120 y 160 palabras. 9. Se sugiere señalar divisiones dentro del artículo que favorezcan su claridad. 10. Los cuadros, gráficos e ilustraciones deberán presentarse numerados e incluirse en páginas separadas. 11. Las notas deberán ser breves y se utilizarán sólo cuando sean indispensables. Deberán aparecer al final del artículo y no serán de carácter bibliográfico, sino de comentario. Para las referencias bibliográficas deben seguirse las pautas especificadas en los puntos 12 y 13 de este documento. 12. Después de una cita textual o de hacer referencia a un autor o a una obra, se colocará un paréntesis donde se especifique el apellido del autor del documento, el año y la página. En el caso de citar más de una obra del mismo autor y del mismo año, se distinguirá cada una con un índice alfabético en minúsculas. Ejemplos:

Este argumento ha sido desarrollado anteriormente (Domínguez, 2001: 128-146)

Domínguez ha desarrollado este argumento (2001: 128-146)

Este argumento ha sido explorado por varios autores (Domínguez, 2001: 128-146; Marsh, 1999: 41-77)

El planteamiento anterior no coincide con la tesis de Rueda y Díaz-Barriga (2002a: 87-112)


Diversos autores han hecho el mismo planteamiento (Delgado, 1999: 21-52; Rueda y Díaz Barriga, 2002b: 195-213)

“(...) estos elementos no podrían estar disociados” (Morin, 2004: 84)

bro (si es diferente al del capítulo o parte del libro). Número de la edición (nunca si es la primera). Volumen. Nombre de la colección y número. Ciudad: Editorial, año: páginas. Bazdresch Parada, Juan E. “La integración afectiva”. Unidad, diversidad y conciencia: introducción al problema del hombre. Coords. Ignacio Hernández-Magro, y Patricia Villegas. México: Universidad Iberoamericana, 1996: 95-98.

13. La bibliografía referida en el texto se deberá incluir al final del artículo, bajo el título de “Referencias”. No deberán incluirse obras que no hayan sido referidas en el texto. Deberán aparecer en orden alfabético, empleando sangría francesa, con mayúsculas y minúsculas, en el siguiente formato:

Artículos: Autor. “Título del artículo” (entrecomillado). Nombre de la revista (itálicas) volumen y/o número en arábigos (año): páginas.

Libros: Autor. Título (itálicas). Número de la edición (nunca si es la primera). Volumen. Nombre de la colección y número. Ciudad: Editorial, año.

Cantón, Manuel, y Pedro Sánchez. “Desarrollo de un instrumento para la detección del lector deficiente”. Educación y Ciencia 4. 9 (2001): 78-84. Página web: Autor. “Título del artículo” (entrecomillado). Nombre del sitio (itálicas). Fecha de publicación. ((fecha de) consulta (día de mes de año)) <URL completo>.

Rogers, Carl. El proceso de convertirse en persona. Mi técnica terapéutica. Buenos Aires: Paidós, 1966. Hasta tres autores: Sastre, Genoveva, Montserrat Moreno, y Aurora Leal. (…) Más de tres autores: Quirk, Randolph et al. (...) Autores corporativos y documentos oficiales: Fondo de las Naciones Unidas para la Infancia (UNICEF). 50 años a favor de la infancia. México: UNICEF, 1996. Capítulo o parte de libro: Autor. “Título del capítulo” (entrecomillado). Título del libro (itálicas). Autor del li-

Burín, Mabel. “Género y psicoanálisis: subjetividades femeninas vulnerables”. Psico-Mundo. s/f. (consulta 6 de febrero de 2004) <http://www.psiconet.com/foros/genero>.

Otras fuentes: Consultar el MLA Handbook for Writers of Research Papers, 6ª edición. Nueva York: Modern Language Association of America, 2003.

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£ 17 Otoño ‘90 Medios didácticos £ 19 Otoño ‘91 y Primavera ‘92 Comunidad de cuestionamiento £ 21 Primavera ‘93 Reflexiones sobre la educación £ 22 Otoño ‘94 Temas generales £ 23 Primavera ‘94 Temas generales £ 24 Otoño ‘94 Temas generales £ 27 Primavera ‘96 Temas generales £ 29 Primavera ‘97 Habilidades en la educación

£ 35 Primavera ‘00 La educación superior al principio del milenio

£ 46 Otoño ‘05 Desafios para el profesorado del siglo XXI

£ 36 Otoño ‘00 Las nuevas competencias en la educación

£ 47 Primavera ‘06 Educar en la diversidad (1era. parte)

£ 37 Primavera ‘01 Las competencias en la educación

£ 48 Otoño ‘06 Educar en la diversidad (2da. parte)

£ 38 Otoño ‘01 Evaluación educativa £ 39 Primavera ‘02 Cómo aprenden hoy los alumnos £ 40 Otoño ‘02 Educar en la incertidumbre £ 41 Primavera ‘03 Comunicación educativa

£ 30 Otoño ‘97 Modelos pedagógicos y humanistas

£ 42 Otoño ‘03 Diseño curricular e innovaciones metodológicas

£ 32 Otoño ‘98 El alumno hoy

£ 43 Primavera ‘04 Formación Integral

£ 33 Primavera ‘99 ¿Para qué educamos?

£ 44 Otoño ‘04 Tecnología para el aprendizaje

£ 34 Otoño ‘99 Las nuevas tecnologías en la educación

£ 45 Primavera ‘05 Gestión de los sistemas educativos

£ 49 Primavera ‘07 Formación por competencias £ 50 Otoño ‘07 Arte y educación £ 51 Primavera ‘08 Educación para la paz y los derechos humanos £ 52 Otoño ‘08 Ambientes de aprendizaje £ 53 Primavera ‘09 Educación y salud £ 54 Otoño ‘09 Educación tecnológica £ 55 Primavera ‘10 Rol de la universidad en el siglo XXI