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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 1

IDENTIFICACIÓN UNIDAD ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS ASIGNATURA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD TEMÁTICA LA INTEGRAL COMPETENCIA

RESULTADOS DE APRENDIZAJE El estudiante: 1. Calcula área bajo una curva utilizando la suma de Riemman 2. Utiliza la notación sigma y sus propiedades para el planteamiento de una integral como sumas de área. 3. Determina la antiderivada de funciones utilizando las reglas básicas de integración para dar solución a problemas de aplicación en diferentes contextos 4. Interpreta la integral definida y su resultado de acuerdo a su entorno de aplicación 5. Utiliza el teorema del valor medio para calcular integrales sencillas

Interpretar el significado geométrico y analítico de la integral definida teniendo en cuenta sus propiedades para la resolución de problemas

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Utilice el proceso de límite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función dada, el eje x , sobre el intervalo establecido. Dibujar la región y verificar su respuesta aplicando el primer teorema fundamental del cálculo. a. y  8  2 x  x 2 ,  2,0

y  4 x  x 2 , 1,4 y  9  x 2 ,  1,3

b. c.

y  6 x 2  13 x  5 , 1,4

d.

2. Sabiendo que:

halle:

a)

b)

d)

e)

c) f)

3. Cuáles de las siguientes funciones son integrables en el intervalo  2,2 y cuáles no? Exponga sus razones a. y  ln x

y  x 3  senx 1 c. y  x 1 x  11 d. y  x2 e. y  tan x b.

4. Evalúe las siguientes integrales a)

3

0

e u 1 du

b)

 4

0

sen  sen tan 2  d sec 2 

5

c)

t2  t 1 1 t dt e

2  x dx

1

VERSIÓN:

d)

FECHA: II-2010


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e)

3

10 x 1 dx

f)

 (4  x )dx

j)

0

4

i)

4

 4

0

 4

0

1  cos 3  d cos 

tan  cos  d

g)

k)

0 .5

0 .3

5

1

2

6 1 t2

dt 2

dt 6t

1 

h) y 3 y  2 dy y  1 

l) ( y  1) 3 y  y dy 0

5. Determine el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4] y encuentre el valor de C que hace posible este valor. 6. Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) = e0,023t. Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años. 7. Una compañía productora automóviles, aproximo el modelo:

de dispositivos neumáticos para una empresa ensambladora de número de dispositivos vendidos mensualmente U(t) mediante el

1  U (t )  200 5t   donde t es el tiempo en meses 2  a) Encuentre el promedio de dispositivos neumáticos vendidos durante el primer año b) Determine el valor C que garantiza este valor medio 8. Encuentre G (x )

 G ( x)   G ( x)   G ( x)  

a. G ( x)  b. c. d.

x

(2t  1)dt

6 senx

0 x3

x2

(u 2  cos u )du

( sen 4 w tan w)dw

x 2 1

1

2  senv dv

9. Explique con exactitud: a) La proposición “La derivación y la integración son procesos inversos”

 1  8

 2  8

 8  8

b) Como utilizaría la notación sigma para escribir 5   3  5   3  ...  5   3

c) Suma superior y suma inferior d) La integral definida como el área de una región 10. En la función definida gráficamente por:

se sabe que

=8

y

= 6. Halle:

VERSIÓN:

FECHA: II-2010


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a)

b)

e indique qué representa.

11. Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada.

a

b

c

d

EVALUACIÓN 1. Utilice el proceso de limite para determinar el área de la región entre la gráfica de la función

y

9 2 x  3x , el eje x sobre el intervalo  4,0 . Dibujar la región y verificar su respuesta 2

aplicando el primer teorema fundamental del cálculo. 2. Determine si el enunciado es verdadero o falso, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre 10

a) Si

a i 1

2 i

 100 y

10

a i 1

i

 20 entonces

10

 (a i 1

i

 1) 2  110

b) Si F ( x )  f ( x ) para toda x en a,b , entonces c) La integral de la corriente d)

b

a

b

a

f ( x)dx  F (b)  F (a )

I (t )dt representa la carga

 x cos xdx  xsenx  cos x  c

3. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad en el instante v(t )  t 3  6t (medida en metros por segundo). Determine: a) La posición x(t ) de la partícula en función del tiempo t. Si x(1)  3 b) La velocidad media en el intervalo de tiempo 0  t  5

VERSIÓN:

FECHA: II-2010

t es


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4. Evalué las siguientes integrales. 4

a)

 (3x  x  2 )dx

4

b)

 4

0

cot sen d

c)

5

2

(t  1) 2 4

t

2

dt

d) ( y  1) 3 y  y dy 0

Recuerda que los indicadores que debes alcanzar con esta guía son los siguientes:  Calcular el área mediante la utilización de rectángulos inscritos o circunscritos.  Evaluar la integral definida con la ayuda de las sumatorias de Riemman.  Aplicar las propiedades y teoremas a la solución de una integral definida  Resolver la derivada de una Integral definida

BIBLIOGRAFÍA BASICA  LARSON Ron, CALCULO, EDITORIAL MC Graw Hill - CODIGO 515,15L334c  STEWART James , CALCULO CONCEPTOS Y APLICACIONES, EDITORIAL Thomson CODIGO 515,1S811c SUGERIDA  PURCELL Edwin J , CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA, EDITORIAL Pearson- Prentice Hall- CODIGO 515,15P985C  LEITHOLD , MATEMATICAS PREVIAS AL CALCULO - EDITORIAL Oxford Univ. PressCODIGO 515,1L499m  EDWARD, C.H Y D.E PENNEY. Cálculo y geometría analítica. Editorial Prentice – Hall Hispanoamericana. México ALGUNAS REFERENCIAS EN LA WEB:  www.vitutor.com  www.matematicasbachiller.com  www.matemáticas.net.

VERSIÓN:

FECHA: II-2010

La Integral  

Cálculo de integrales, teorema fundamental del cálculo, teorema del valor medio para integrales, área bajo la curva,

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