Page 1

Grundläggande matematik

HurDetFunkar

MATEMATIK Detta kompendiet är gjort av Anna Malmberg och skall fungera som ett av flera stöd för dig som studerar matematik. Många tror sig vara dåliga på matematik för att de inte kan räkna ut saker snabbt i huvudet men oftast vinner dessa elever i längden därför att de är noggrannare med att lära sig de rätta räkneteknikerna och det matematiska språket. Själv hade jag svårast med att inse att jag behövde jobba med baskunskaperna och det var också dessa jag hade svårast att lära. Sedan det jobbet väl var gjort märkte jag inte att matematikkurserna blev svårare, det är då bara nya tekniker och uppställningar.

Hur lyckas man med sina matematikstudier? Självklart måste du ta ansvar för ditt eget arbete men säg också till din lärare i tid om du tycker något är svårt eller oklart. En god dialog med din lärare är en förutsättning för att denne ska kunna hjälpa dig på bästa sätt. Det finns många små enkla recept som din lärare kan ge dig för att du ska komma i gång så länge som du är beredd att göra din del av jobbet. Ta reda på vad du behöver kunna, innan du börjar räkna. Till varje avsnitt finns mål angivna. Om du redan kan en sak behöver du inte göra alla sådana uppgifter. Läs bokens exempel noga. Använd också boken för att ta reda på sådant du gjort tidigare men kanske glömt. Gör dina uppgifter så snyggt att vem som helst kan förstå din text och dina beräkningar. På slutprovet får man många gånger några gratispoäng för en rimlig ansats även om man inte lyckas lösa uppgiften. Markera alltid ett tydligt svar och glöm inte att ange en enhet om det skall vara en sådan i svaret. Stryk allt som du inte vill ha bedömt på provet. 1. Förstå problemet, återberätta gärna med egna ord. 2. Planera lösningen; med hjälp av liknande problem du stött på eller genom att förenkla problemet, titta på vilka enheter som ingår och vilka som efterfrågas, rita bilder eller gör diagram o s v, välj metod 3. Genomför planen 4. Granska resultatet; Kan det vara rimligt? Kan man få fram svaret på annat sätt? - Det är bättre att lösa ett problem på fem olika sätt än att lösa fem olika problem. 5. För de allra högsta betygen, ge generella lösningar i stället för numeriska exempel. Följer du dessa punkter och ger matematiken den tid den behöver kommer det helt säkert att gå bra för dig. Använd alltid och ha alltid med dig tillåtna matematiska hjälpmedel så som: Dator Bok Linjal Passare Gradskiva Miniräknare Formelsamling


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

INNEHÅLLSFÖRTECKNING Matematik 1a kursplan ............................................................................................................... 4 TERMINOLOGI = hur det heter på matte språket .................................................................... 5 Likhetstecknet = fungerar som en balansvåg ......................................................................... 5 Synonymer = Samma sak har olika namn och kan se olika ut ............................................... 5 Decimalform Bråkform Blandadform Procentform ................................. 5 GRUNDLÄGGANDE MATEMATIK ...................................................................................... 6 Additions- och subtraktionsalgoritmen=uppställning för plus och minus ............................. 6 Avrunda ett tal ........................................................................................................................ 6 Närmevärden .......................................................................................................................... 7 Tumregler för beräkning av närmevärden .............................................................................. 7 Överslagsräkning .................................................................................................................... 7 MULTIPLIKATION = GÅNGER ............................................................................................. 8 Multiplikationsalgoritmen ...................................................................................................... 8 Multiplikation och division med 10, 100 och 1000 ska gå som en dans................................ 9 Matematiska tricks ............................................................................................................. 9 DIVISION = DELA MED = DIVIDERA MED ...................................................................... 10 Divisionsalgoritmen eller uppställningen, liggande stolen .................................................. 10 Tre olika räknemetoder för division ..................................................................................... 11 Bråk en divisionsmetod ........................................................................................................ 12 Förlänga och förkorta ........................................................................................................... 12 Faktorisera ........................................................................................................................ 12 Delbarhet och primtal ............................................................................................................... 13 BRÅK ....................................................................................................................................... 16 Summa och differens av två bråk ......................................................................................... 16 Summa och differens av heltal och bråk .............................................................................. 16 Multiplikation och division av två bråk ............................................................................... 16 Multiplikation och division av ett heltal och ett bråk ........................................................... 16 PRIORITERINGSREGLERNA= I vilken ordning vi ska räkna ............................................. 17 POTENSER, EXPONENTER OCH PREFIX ......................................................................... 18 Prefix .................................................................................................................................... 18 Potens ................................................................................................................................... 18 Potensregler .......................................................................................................................... 18 EN TRIANGEL ÄR TRE FORMLER..................................................................................... 19 PROCENT=hundradelar .......................................................................................................... 21 Procentenheter ...................................................................................................................... 21 Förändringsfaktorn = ff ........................................................................................................ 21 Lägesmått ............................................................................................................................. 22 Spridningsmått ..................................................................................................................... 22 Diagram ................................................................................................................................ 23 SANNOLIKHETSLÄRA......................................................................................................... 24 Några grundbegrepp ur sannolikhetsläran ............................................................................ 24 SKALA..................................................................................................................................... 25 KOORDINATSYSTEM .......................................................................................................... 26 Grafer ................................................................................................................................... 26 Funktioner ............................................................................................................................ 27 Linjära funktioner ................................................................................................................. 27 PROPORTIONSLÄRA ELLER FÖRHÅLLANDE ................................................................ 28 GEOMETRI ............................................................................................................................. 31 Trigonometri ............................................................................................................................. 33

hurdetfunkar.se

2


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Vektorer och skalärer ............................................................................................................... 34 Pil-representation av vektor ................................................................................................. 34 Hur de hela talen från 1 till 100 är uppbyggda ......................................................................... 35 Lathund för enhetsomvandlingar ............................................................................................. 36

hurdetfunkar.se

3


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Matematik 1a kursplan 100 poäng Kurskod: MATMAT01a. Kursen matematik 1a omfattar punkterna 1-7 under rubriken Ämnets syfte. Se www.skolverket.se Här ges endast det centrala innehållet och målen. Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla förmåga att: 1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen. 2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg. 3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat. 4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar. 5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang. 6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling. 7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang. Taluppfattning, aritmetik och algebra Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt strategier för att använda digitala verktyg. Strategier för att använda hjälpmedel från karaktärsämnena, till exempel formulär, mallar, tumregler, föreskrifter, manualer och handböcker. Hantering av algebraiska uttryck och för karaktärsämnena relevanta formler samt metoder för att lösa linjära ekvationer. Geometri Egenskaper hos och representationer av geometriska objekt, till exempel ritningar, praktiska konstruktioner och koordinatsystem. Geometriska begrepp valda utifrån karaktärsämnenas behov, till exempel skala, vektorer, likformighet, kongruens, sinus, cosinus, tangens och symmetrier. Metoder för mätning och beräkning av storheter som är centrala för karaktärsämnena. Enheter, enhetsbyten och behandling av mätetal som är centrala för karaktärsämnena samt hur man avrundar på ett för karaktärsämnena relevant sätt. Samband och förändring Fördjupning av procentbegreppet: promille, ppm och procentenheter. Begreppen förändringsfaktor och index samt metoder för beräkning av räntor och amorteringar för olika typer av lån. Begreppen förhållande och proportionalitet i resonemang, beräkningar,mätningar och konstruktioner. Skillnader mellan linjära och exponentiella förlopp. Sannolikhet och statistik Beskrivande statistik med hjälp av kalkylprogram samt granskning av hur statistiska metoder och resultat används i samhället och i yrkeslivet. Begreppen beroende och oberoende händelser samt metoder för beräkning av sannolikheter vid slumpförsök i flera steg med exempel från spel och risk- och säkerhetsbedömningar. Problemlösning Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Hur matematiken kan användas som verktyg i behandlingen av omfångsrika problemsituationer i karaktärsämnena. Matematikens möjligheter och begränsningar i dessa situationer. Matematiska problem av betydelse för privatekonomi, samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria. hurdetfunkar.se

4


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

TERMINOLOGI = hur det heter på matte språket Summa = term + term Ex 8=4+4=2+4+2=2+6

addition

Differens = term - term Ex 4 = 8 – 4 = 10 – 6 = 6 - 2

subtraktion

Produkt = faktor • faktor Ex 20 = 2 • 10 = 4 • 5 = 2 • 2 • 5

multiplikation

Kvot =

täljare nämnare

Dessa ord måste man kunna för att förstå vad läraren pratar om och vad boken vill att vi ska utföra. Det är lika viktigt att lära sig mattespråket som det är att lära sig räkna. Det är precis som att lära sig vilket språk som helst, det går inte att tala med någon om man bara kan glosor.

division

Likhetstecknet = fungerar som en balansvåg Likhetsteknet ,=, är den viktigaste symbolen i matematik och får endast användas där det står samma sak på vänster och höger sida om tecknet trots att uttrycken kan ha olika utseende. Ex 4 = 6-2 = 4 + 1 -1 = 8/2 = 2•2 = 1 + 3 = -1+5

Synonymer = Samma sak har olika namn och kan se olika ut Precis som i svenskan har matematiken massor med synonymer, samma sak kan skrivas på många sätt som kan se olika ut. Det underlättar för oss om vi kan lära oss dessa både för att man ska förstå vad som efterfrågas och för att inte krångla till saker i onödan. Framförallt är det viktigt att förstå var vi kan sätta ut ett likhetstecken och var vi inte kan göra det.

Decimalform

Bråkform

Blandadform

Procentform

1,0 = 1

1 1 1

1

100%

0,01

0,01 100 1 100 100

1 100

1%

1 4

25%

0,25

0,25 100 25 100 100

25 4 25

1 4

1,25

1,25 100 125 100 100

5 25 4 25

5 4

1 4 1 1 1 4 4

125%

Blandad form finns bara hos tal där decimalformen är större än ett.

Det finns också andra saker som är lika men ser olika ut 1 km=1000 m= 10 000dm= 100 000cm =1 000 000mm 1 mil=10 km=100hm=10 000 m= 100 000dm= 1000 000cm =10 000 000mm 1 kg=1000g=10 000dg=100 000cg =1000 000mg hurdetfunkar.se

5


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

GRUNDLÄGGANDE MATEMATIK Jämna tal; alla tal som slutar på 0, 2, 4, 6, 8 Udda tal; alla tal som slutar på 1, 3, 5, 7, 9 tiondel tiotal tusental

tusendel

5272,528 hundratal

hundradel

ental = endel

Plus och minus Oavsett om vi räknar plus eller minus i huvudet eller på papper går det i stort sett ut på att addera eller subtrahera tiotal med tiotal och ental med ental osv. Tre decimaler Ex 43 + 22= (40+20)+(3+2) = 60+5 = 65 En decimal Bakom varje heltal finns ett osynligt kommatecken. Ex 3 = 3,0 = 3,00 = 3,000 osv

Additions- och subtraktionsalgoritmen=uppställning för plus och minus Då vi räknar plus och minus för hand ska kommatecknet alltid stå under varandra, då hamnar automatiskt tiotalen under tiotalen och entalen under entalen osv. 12+9,45

1

12,00 +9,45 21,45 335,05+49+2

1

335,05 49,00 + 2,00 386,05

Det är lättare att räkna plus och minus om man har samma antal decimaler

12-9,45

10 10 10 Då vi räknar minus

Plusuppställningen fungerar även då vi adderar fler än två tal. Detta gäller inte för minus

335,05-49-2

12,00 - 9,45 2,55 10

3 3 5,05 - 5 1,00 2 8 4,05

måste alltid det största talet stå längst upp

Det finns ingen uppställning för flera minustal. Du måste lägga ihop de negativa talen alltså de tal med ett minustecken på vänster sida för sig. -49-2 = -(49+2) = -51

Avrunda ett tal Många gånger ombeds vi att avrunda ett tal. Det avrundade talet kallas för ett närmevärde. Vi tänker oss en tallinje 8

8,5

9

Trots att punkten 8,5 ligger precis mitt mellan punkten 8 och 9 avrundas denna punkten uppåt till närmevärdet 9 då vi ska avrunda till närmaste heltal. Alla tal som slutar på 5, 6, 7, 8, 9 avrundas uppåt. Alla tal som slutar på 1, 2, 3, 4 avrundas neråt. Talet 5272,528 avrundas till 5000 om det avrundas till närmaste tusental.

hurdetfunkar.se

6


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Närmevärden Vi har talet 7 354,825 som vi nu ska avrunda till olika närmevärden; Vi ska alltid titta på siffran bakom det tal som vi ska avrunda till för att veta om vi ska avrunda uppåt eller neråt. närmaste heltal 7 354,825 7 355 närmaste hundratal 7 354,825 7 400 närmaste ental 7 354,825 7 355 närmaste hundradel 7 354,825 7 354,83 närmaste tusental 7 354,825 7 000 till två decimaler 7 354,825 7 354,83

Tumregler för beräkning av närmevärden Vid multiplikation och division av närmevärden: Låt det närmevärde som har minst antal värdesiffror bestämma antalet siffror i slutresultatet. Vid addition och subtraktion av närmevärden: Låt det närmevärde som har minst antal decimaler bestämma antalet decimaler i slutresultatet. Antalet värdesiffror i ett tal tycker många är svårt att bedöma men titta noga på följande exempel så kommer du att fatta galoppen. Ex 0,1 020 har fyra gällande siffror (värdesiffror). Ex 0,0 000 001 020 har fyra gällande siffror, de andra nollorna är bara där för att bestämma storleksordningen på talet . Ex 1,020 har fyra gällande siffror. Ex 1,020 000 har sju gällande siffror. Ex 0,020 000 har fem gällande siffror. Ex 1,20 har tre gällande siffror. Ex 1 020 har tre eller fyra gällande siffror, här kan man inte veta om osäkerheten ligger i tredje eller fjärde siffran oftast behandlar man dock talet som om det hade tre gällande siffror. Ex 1 020 000 har tre, fyra, fem, sex eller sju gällande siffror, oftast behandlar man dock talet som om det hade tre gällande siffror. Ex 1 020 002 sju gällande siffror. Använd tumreglerna och ge aldrig svaret med för många värdesiffror eller för många decimaler. I början kan det kännas som att man slarvar när man avrundar svaren och inte anger svaret med lika många decimaler som miniräknaren visar men det är precis tvärt om.

Överslagsräkning Vid multiplikation: Den ena faktorn ökas och den andra minskas 2,71 85 3 80 240 Vid addition: Den ena termen ökas och den andra minskas 751 453 700 500 Vid division: Både täljare och nämnare ökas eller minskas

548 1,53

600 2

Vid subtraktion: Båda termerna ökas eller minskas 6321 834 6300 800 500

hurdetfunkar.se

7


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

MULTIPLIKATION = GÅNGER Multiplikationsalgoritmen Vid multiplikation med tal som man inte klarar att räkna i huvudet kan man ställa upp talet och räkna ut det för hand. Nedan finns några exempel vilka du kan träna in tekniken med:

72 3 = 216

73 5 = 365

7 2 3 2 1 6

7 3 5 1 3 6 5

47 13 = 611 4 1 1 4 + 4 7 6 1

56 53 = 2968

7 3 2 1

5 5 1 6 + 2 8 0 2 9 6

1

72 354 = 255488 3 5 7 7 0 + 2 4 7 8 2 5 4 8

4 2 3 2 1 8 8

6 3 3 1 8 8

845 4 = 3380 8 4 5 4 2 1 3 3 8 0 96 14 = 1344 9 1 3 8 + 9 6 1 3 4

6 1 4 2 4 4

72 354 = 255488

72 3,54 = 2554,88

7 2 1 3 5 4 2 8 8 3 6 0 2 1 6 2 5 4 8 8

3, 5 7 7 0 + 2 4 7 8 2 5 4, 8

4 2 3 2 1 8 8

Vid multiplikation med decimaltal ska man multiplicera talen som om de vore heltal och sedan sätta dit så många decimaler som talen tillsammans bestod av från början. Antalet decimaler är det samma som antalet siffror efter kommatecknet.

hurdetfunkar.se

8


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Multiplikation och division med 10, 100 och 1000 ska gå som en dans Att multiplicera och dividera med 10, 100, 1000 är lätt att lära sig och väldigt viktigt att kunna. Detta är sådant man ska kunna räkna i huvudet. talen blir 10,100 eller 1000 gånger större

Vid multiplikation med 10, 100 eller 1000 flyttar man kommatecknet åt höger 2 10 = 20 3250 10 = 32 500 0,45 10 = 4,5 2 100 = 200 3250 100 = 325 000 0,45 100 = 45 2 1000 = 2000 3250 1000 = 3 250 000 0,45 1000 = 450 Multiplikation med andra tiotal, hundratal och tusental är lika enkelt. Först räknar man ut siffrorna i talet sedan lägger man på nollorna.

2 40 = 80 2 500 = 1000 2 6000 = 12000

3250 20 = 6 5000 3250 300 = 975 000 5000 5000 = 25 000 000

talen blir 10,100 eller 1000 gånger mindre

0,45 2 = 0,90 = 0,9 Tal blir 0,9 2 = 1,8 dubbelt så 0,5 2 = 1

stora vid multiplikation med 2

Vid division med 10, 100 eller 100 flyttar man kommatecknet åt vänster 2/10 = 0,2 3250/10 = 325 0,45/10 = 0,045 2/100 = 0,02 3250/100 = 32,5 0,045/10 = 0,0045 2/1000 = 0,002 3250/1000 = 3,25 0,45/1000 = 0,00045 Matematiska tricks

Ju mer man lär sig att leka med talen desto roligare blir matematiken

Att dividera med 0,5 är det samma som att multiplicera med 2

25/0,5 =25 2 = 50

44/0,5=44 2 = 88

632/0,5=632 2 = 1264

Att multiplicera med 0,5 är det samma som att dividera med 2

25 0,5 =25/2 = 12,5

44 0,5=44/2 = 22

632 0,5=632/2 = 316

Att dividera med 0,1 är det samma som att multiplicera med 10

2/0,1 =2 10 = 20

325/0,1 = 325 10 = 3250

4,5/0,1 =4,5 10 = 45

Att multiplicera med 0,1 är det samma som att dividera med 10

2 0,1 =2/10 = 0,2

325 0,1 = 325/10 = 32,5

4,5 0,1 =4,5/10 = 0, 45

Att dividera med 0,25 är det samma som att multiplicera med 4

2/0,25 =2 4 = 8

325/0,25 = 325 4 = 1300

4,5/0,25 =4,5 4 = 18

Att multiplicera med 0,25 är det samma som att dividera med 4

2 0,25 =2/4 = 0,5

328 0,25 = 328/4 = 82

4,4 0,25 =4,4/4 = 1,1

Detta beror på att 0,5=1/2 och 0,1=1/10 samt att 0,25=1/4. Tänk på om du multiplicerar eller dividerar med ett tal som är större eller mindre än ett och undersök vad som då sker.

hurdetfunkar.se

9


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

DIVISION = DELA MED = DIVIDERA MED Glöm aldrig den enkla regeln att nämnaren står nederst och att svaret man får kallas kvot.

täljare nämnare

kvot

Vid divison med två är det enklast att tänka att kvoten är hälften 8,6/2=4,3 Vid divison med fyra är det enklast att tänka att kvoten är hälften av hälften 8,6/2=4,3=4,30 8,6/4=2,15

Divisionsalgoritmen eller uppställningen, liggande stolen Det finns många olika sätt att räkna division men även om algoritmerna ser olika ut så fungerar de i stort på samma sätt. Det finns också tekniker som gör att man kan ”dela” utan att behöva använda någon algoritm.

393 131 3 1 3 1 3 9 3 3 3 0 9 9 0 3 3 0 0 0

759 253 3 2 5 3 7 5 9 3 6 1 5 1 5 0 9 9 0 0 0

8118 2706 3 2 7 0 6 8 1 1 8 3 6 2 1 2 1 0 0 1 0 1 8 1 8 0 0 0 0

6420 1070 6 1 0 7 0 6 4 2 0 6 6 0 4 0 4 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0

25,2 6,3 4 0 6, 3 2 5, 2 4 0 2 5 2 4 0 1 2 1 2 0 0 0

564 141 4 1 4 1 5 6 4 4 4 1 6 1 6 0 0 4 4 0 0 0

hurdetfunkar.se

10


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Det går även att räkna division med decimaltal men ska man ställa upp och räkna ut decimaltal måste man alltid först förlänga talet både i täljaren och nämnaren så att åtminstone nämnaren blir utan decimaler, lägg särskilt märke till att alla sidor om likhetstecknet är lika.

48,9 0,5

48,9 10 0,5 10

489 58,44 97,8 Detta kallas att förlänga talet 5 0,12

489 97,8 5 0 9 7 ,8 4 8 9 5 0 4 8 4 5 0 3 9 3 5 0 4 0 4 0 0 0 0 0

5 4 1 0 0

5844 12 4 8 8 4 8 0 4 9 6 0 8 8 0 0

487

7 4 1 2

4 4 0

58,44 100 0,12 100

5844 12

25 8,3 3 0 8 ,3 3 3 2 5 3 0 2 5 2 4 0 1 0 9 1 0 9 1 0 9 0 0 0 0 1

Tre olika räknemetoder för division De tre olika räknemetoderna för division. Välj den du tycker är enklast och bli riktigt bra på den, kortdivision och bråkräkningsmetoden tas upp längre fram i kompendiet. Bråkräkningsmetoden går bara att använda på tal som går jämt ut och det är en jätte bra metod på tal som är lätta att faktorisera d v s dela upp i faktorer.

Kort division 195/3 = 65 1

1 9 5 3

65

-

Liggande stolen 195/3 = 65 6 5 1 9 5 3 1 8 1 5 - 1 5 0 0

Bråkräkning 195/3 = 65 faktor

1 9 5 3

faktor

3 6 5 3

65

På matte språket heter detta att faktorisera 195 =3 65 och förkorta bort 3:an

Förr använde man en metod som kallades trappan som divisionsuppställning. Den påminner om liggande stolen men man byter plats på täljare och nämnare. hurdetfunkar.se

11


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

täljare nämnare

Bråk en divisionsmetod

kvot

Det lättaste sättet att dividera tal där man kan hitta gemensamma faktorer är bråkmetoden. Denna metod används mest på tal där kvoten inte blir ett decimaltal, man kan också använda denna metod för att förlänga eller förkorta tal.

Förlänga och förkorta Vi kan göra om decimaltal genom att förlänga talet i både täljaren och nämnaren så att täljare och nämnare blir utan decimaler.

93,6 0,6

93,6 10 0,6 10

936 5,64 Detta kallas att förlänga talet 6 0,04

5,64 100 0,04 100

564 4

Faktorisera Om vi vill använda bråkräkningen som en divisionsmetod så gäller det att hitta faktorer som är gemensamma både i täljare och nämnare, faktor * faktor = Produkt = multiplikation. Stegvis slår man bort faktorer tills det inte går att slå bort fler faktorer. Går det inte att slå bort fler faktorer har man fått sitt svar trots att talet kanske fortfarande är i bråkform.

936 6

468 2 468 1 2 3 3

156 3 1 156 156 Detta kallas att förkorta talet 3

564 4

282 2 282 1 2 2 2

141 2 1 141 141 Jämna tal kan man alltid börja med att dela med 2 2 Om täljaren är mindre än nämnaren blir kvoten alltid mindre än ett.

84 21

4 3 7 1 1 4 3 7

4 Blir kvoten större eller mindre än ett?

Om täljaren är större än nämnaren blir kvoten alltid större än ett.

68 14

2 2 17 2 17 1 2 7 7

21 84

3 7 1 1 1 4 3 7 4

1 4

Gör alltid en uppskattning av svarets storleksordning innan du börjar räkna, åtminstone så du vet om svaret kommer att bli större eller mindre än ett.

34 När det bara finns primtal kvar i täljare och nämnare är man klar 7

Se primtalstabellen där alla tal från ett till hundra är faktoriserade Att kunna förlänga och förkorta tal har man stor användning av i matematiken. Det är lätt att förstå att man får förlänga och förkorta tal om man kommer ihåg den matematiska regeln att a/a=1 på samma sätt som att 2/2=1, 3/3=1 och / =1. Om man vill förlänga ett heltal kan man tänka att 2

hurdetfunkar.se

2 1

0,25

2 4 1 4

8 4

12


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Dessa tal är samma tal som vi dividerat med hjälp av liggande stolen och jag kommer även att visa hur de beräknas med kort division. Här är de beräknade med bråkmetoden även om denna metod nog är lite svår på så här stora tal eftersom det kan vara svårt att hitta faktorerna hos talet.

393 3

3 131 1 131 131 3

759 3

3 253 1 253 253 3

8118 3

3 2706 1 2706 2706 3

6420 6

3 1070 2 3210 1 1 1070 1070 2 3 3

252 fullständigt faktoriserad

25,2 4

25,2 10 4 10

252 40

täljare nämnare

kvot

faktor•faktor = produkt

faktorform

2 2 3 3 7 3 3 7 1 1 2 2 2 5 2 5

bråkform

63 6,3 10 decimalform

40 fullständigt faktoriserad faktorform

564 4

2 141 2 282 1 1 141 141 2 2 2

489 5

3 163 5

5844 12

2 1461 3 487 2 2922 1 1 1 487 487 2 6 2 3 3

25 3

5 5 3

25 3

489 5

97,8 Talet 163 råkar vara ett primtal, dessa tal går inte att faktorisera

8,3333 8,3 När man får den här typen av kvot är det bättre att ge svaret på bråkformen.

Delbarhet och primtal •Ett tal är delbart med 2 om talet är jämt, d v s slutar med 0, 2, 4, 6 eller 8 •Ett tal är delbart med 5 om talet slutar med o eller 5 •Ett tal är delbart med 3 om talets siffersumma är delbar med 3 ex 51 siffersumma=5+1=6 eftersom 6 är delbar med 3 är 51 och 51=3•17

Ej primtal Ej primtal Ej primtal

Primtal är ett heltal som är större än 1 och som bara är helt delbart med sig självt och 1. Det finns oändligt många primtal Ex 101 är ett primtal ej delbart med 2, ej delbart med 3, ej delbart med 5 och ej delbart med 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 o s v. 91 är ej ett primtal eftersom 91=7•13

hurdetfunkar.se

13


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Kort division = En metod för att kunna dela. Då man räknar plus, minus och gånger brukar man börja alla beräkningar från höger men då vi räknar ”dela med” ska vi börja från vänster, man börjar alltså alltid att dela den största positionssiffran av talet. Det verkar som man på de flesta högstadier i dag slutat med algoritmer som den liggande stolen och allt mer använder sig av tekniker som kortdivision. Steg 1

Steg 2

Steg 3

3 9 3 = 1 3 1 3 3 9 3 = 1 3 1 3 3 9 3 = 1 3 1 3

2

Steg 1

8 1 1 8 =2 7 0 6 3

1

Steg 1 Du kan göra kortdivisionen på en rad men visas här på flera rader för att stegvis visa hur man går till väga. Detta är en jätte bra metod som är ganska ny i skolan vilket gör att dina föräldrar troligtvis inte känner till den.

1

Steg 2

7 5 9 =2 5 3 3

Steg 3

7 5 9 =2 5 3 3

Steg 1

2

Steg 2

8 1 1 8 =2 7 0 6 3 8 1 1 8 =2 7 0 6 3

Steg 2

8 1 1 8 =2 7 0 6 3

6 4 2 0 =1 0 7 0 6 4

Steg 3

6 4 2 0 =2 0 7 0 6

Steg 4

6 4 2 0 =2 0 7 0 6

1

Steg 4

6 4 2 0 =1 0 7 0 6 4

1

Steg 3

7 5 9 =2 5 3 3

Det går även att räkna kortdivision med decimaltal men ska man ställa upp och räkna ut decimaltal måste man alltid först förlänga talet både i täljaren och nämnaren så att åtminstone nämnaren blir utan decimaler.

2,52

2,52 10

25, 2

0, 4

0, 4 10

4

hurdetfunkar.se

6,3 Detta kallas att förlänga talet

5,64 0,04

5,64 100 0,04 100

564 4

14


Grundläggande matematik

HurDetFunkar 1 0

4

Steg 1

Steg 1

4 8 9 =0 9 7,8 5

1 0 8

4 3

Steg 2

Steg 2

4 8 9 =0 9 7,8 5

5 8 4 4 =4 8 7 1 2 8

3 4

Steg 3

5 8 4 4 =4 8 7 1 2

Steg 3

4 8 9 =0 9 7,8 5

5 8 4 4 =4 8 7 1 2 2

4 0

Steg 4

4 8 9 =0 9 7,8 5

Steg 1

2 5 3

0 8,3 3 3 3

2 1

I bland kan det hända att talen inte går jämt ut då brukar man runda av svaret med lämpligt antal decimaler. Det finns faktiskt regler för hur många decimaler man skall ta med i svaret men tar man med en eller två decimaler så brukar det oftast bli rätt.

Steg 2

2 5 3

0 8,3 3 3 3

1

Steg 3

2 5 3

0 8,3 3 3 3 1

Steg 4

6 4 3

0 8,3 3

Glöm inte avrundningsreglerna!!!!!!!! Alla tal där siffran bakom slutar på 5,6,7,8,9 avrundas uppåt Alla tal där siffran bakom slutar på 1,2,3,4 står kvar oförändrad Vi ska alltid titta på siffran bakom det tal som vi ska avrunda till för att veta om vi ska avrunda uppåt eller neråt.

Vi har talet 7 354,825 som vi nu ska avrunda till olika närmevärden; närmaste heltal 7 354,825 7 355 närmaste ental 7 354,825 7 355 närmaste tusental 7 354,825 7 000

hurdetfunkar.se

närmaste hundratal 7 354,825 7 400 närmaste hundradel 7 354,825 7 354,83 till två decimaler 7 354,825 7 354,83

15


Grundläggande matematik

BRÅK

HurDetFunkar

Kvot

=

täljare nämnare

Det finns massor av olika sätt att tänka och ställa upp bråkräkning, ofta kan man rita figurer för att förenkla bråkräkningen vilket ofta boken gör. Tänkt på att den blandade formen 1 1 2 2 =2,5 inte är det samma som produkten 2 = 1 . Ett annat sätt att säga samma sak är 2 2 2 1 1 att skriva 2 d v s 2,5 är inte lika med 1. 2 2 2 Om ett svar är avrundat ska man använda symbolen i stället för symbolen =

Summa och differens av två bråk A.

S.

Vid addition av två bråk måste nämnarna vara lika stora, sedan adderar man täljarna 2 5 2 2 5 3 4 15 4 15 19 3 6 1 1 1 3 3 3,17 3 2 3 2 2 3 6 6 6 6 6 6 6 Samma för subtraktion av två bråk 2 5 2 2 5 3 4 15 4 15 11 1 6 5 5 5 1 1 1,83 3 2 3 2 2 3 6 6 6 6 6 6 6

Summa och differens av heltal och bråk A.

S.

Vid addition av ett heltal och ett bråk kan man göra så här 5 2 5 2 2 5 4 5 4 5 9 4 2 1 2 4 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Samma för subtraktion av ett heltal och ett bråk 5 2 5 2 2 5 4 5 4 5 1 0 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

4

1 2

4,5

0,5

Multiplikation och division av två bråk M.

Två bråk multipliceras med täljare mot täljare och nämnare mot nämnare 2 2 2 2 4 0,08 7 7 7 7 49 D. Vid division av två bråktal ska bråket i nämnaren vändas upp och ner på och multipliceras med bråket i täljaren. På mattespråket heter det att bråket i täljaren multipliceras med det inverterade talet i nämnaren. 2 2 72 2 7 2 7 1 Detta måste 7 7 72 7 2 7 2 alla kunna.

Multiplikation och division av ett heltal och ett bråk M. Vid multiplikation med ett bråk ska heltalet multipliceras med bråkets täljare 2 3 2 6 3 0,86 7 7 7 D. Vid division med ett bråk ska heltalet multipliceras med (det upp och nervända = det inverterade) bråket 2 3 13 7 3 7 21 10 2 1 1 1 3 3 10 10 10,5 2 2 7 7 7 2 2 2 2 2 2

hurdetfunkar.se

16


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

PRIORITERINGSREGLERNA= I vilken ordning vi ska räkna Vi kommer förr eller senare att stöta på något som kallas för Exponenter och potenser, i den mån de finns skall dessa beräknas först och jag beskriver dem därför i korthet här. Produkten av flera lika faktorer kan skrivas i potensform t ex 2 2 2 = 23 = 8 5 5+ 3 2 2 2 = 52 + 3 * 23 = 25 + 3 * 8 = 25 + 24 = 49 (I det här fallet var det enklast att räkna ut exponenterna först) Prioriteringsreglerna brukar dock anges i följande ordning. 1. PARENTESERNA

Bör räknas först, man kan tänka sig det som står innanför parentesen som ett enda tal. 2+ (4-1) 3 =2+3 3 = 2+32 = 2+9 = 11 Observera att bråkstrecket fungerar som en osynlig parentes.

2. MULTIPLIKATION och DIVISION, beräknas sedan. Man behöver inte sätta ut multiplikationstecken mellan parenteserna, inte heller mellan bokstäver och siffror 2 a=2a. Däremot måste man sätta ut multiplikationstecknet mellan siffror och siffror eftersom den 1 blandade formen 2 =2,5 inte är det samma som produkten 2 1 2 2 = 1 2 2 Jämna antal minus = positivt svar Udda antal minus = negativt svar

3. ADDITION och SUBTRAKTION

(-1) (-1) = (-1)(-1) = (-1)2 (-1) (-1) (-1) = (-1)3

=+1 = -1

-5 – 6 = -11 -5 + (-6) = -5 -6 = -11 -5 – (-6) = -5 + 6 = 6 – 5 = 1

Nästan alla miniräknare kan dessa prioriteringsregler förutom de räknare som tyvärr finns på de flesta grundskolor. De kan inte ens räkna ut uttryck som 2 3+ 2 2 = 6 + 4 = 10. De räknar istället 2 3 + 2 2 (6+2) 2 = 8 2=16 vilket är ett alldeles felaktigt svar. Kolla din miniräknare för att kontrollera om den kan prioriteringsreglerna så du vet om du kan lita på den eller ej!!!!! Eftersom multiplikation och division har samma prioritet gör många ett vanligt misstag då de räknar uttryck av typen; detta gäller alla miniräknare

3

3 0,75 Detta ska slås in på miniräknaren som 3/4, 3/2/2 eller 3/(2 2) 2 2 4 Det finns också andra liknande uttryck där det är lätt att slå in fel på miniräknaren trots att man har ställt upp talet korrekt. Det är därför viktigt att alltid försöka göra en uppskattning om vad svarets storleksordning kommer att vara innan man börjar greja med talet och ännu viktigare är det att verkligen ställa upp talet. hurdetfunkar.se

17


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

POTENSER, EXPONENTER OCH PREFIX -12

10 10-9 10-6 p n piko nano mikro miljon del

10-3 m milli

10-2 c centi

10-1 d deci

tusendel

hundradel

tiondel

1

10 da deka

102 h hekto

103 k kilo

106 M mega

109 G giga

1012 T tera

tio

hundra

tusen

miljon

miljard

biljon

Prefix Prefix är det namn som kan skrivas i stället för siffror t ex 1km=1000m, k, är prefixet för 1000. Prefixet anger alltså mängden av en enhet. Miljon 1 000 000 = 106 Miljard 1 000 000 000 = 109 Biljon 1 000 000 000 000 = 1012 Triljon 1 000 000 000 000 000 = 1015 Kvadriljon 1 000 000 000 000 000 000 = 1018

Potens En potens är ett sätt att skriva upprepad multiplikation eller upprepad division. upprepad multiplikation 3 3 3 3 34 eller 10 10 10 10 10 105

1 upprepad division 3 3 3 3

1 34

1 3 eller 10 10 10 10 10 4

1 105

Potensen 34 , har basen 3 och exponenten 4.

exponent

10

5

34

bas

En potens med basen 10, t ex 102

Tiopotensform Grundpotensform

Ett tal skrivet som en produkt av ett tal a i decimalform och en tiopotens med heltalsexponent n d.v.s a . 10n. Tal a får vara lika med eller större än 1 men mindre än 10 . Ex 7,4 . 103.

7,4 • 103 tal mellan 1 och 9

tiopotens

Potensregler Potenser

hurdetfunkar.se

För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller y ax a xa y a x y ax y ax a xy y a 1 x ax a n n a xb x (ab)x a a x b b 1 a0 1 a x x a

18


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

EN TRIANGEL ÄR TRE FORMLER Innan man har lärt sig ekvationer kan man ha hjälp av dessa trianglar då boken vrider och vänder på frågeställningarna. Dessa fungerar som små fusklappar men glöm inte att de flesta problem av den här typen oftast kan lösas med hjälp av vanligt sunt förnuft och proportionalitetstänkande. Proportionalitetstänkande innebär att man alltid tar reda på hur saker förhåller sig till varandra.

Triangelns formler bild cm-m-km

skala =

bild verklighet

verklighet = Skala

bild skala

bild = verklighet skala

Jämförpris

Triangelns formler skala verklighet Sträcka pris cm - m- km kr-öre m - km min vikt Tid s kg-hg-g - h - min

jämförpris(V) Hastighet kr/kg-kr/hg-10öre/kg m/s - km/h- m/min

jämförpris =

vikt =

pris Jämförpris

pris = vikt

Jämförpris

pris vikt

jämförpris

Triangelns formler pris Sträcka kr-öre m - km volym Tid sliter=dm - h - min3

jämförpris(V) Hastighet kr/litern m/s - km/h- m/min

jämförpris =

volym =

pris volym

pris Jämförpris

pris = volym jämförpris

hurdetfunkar.se

19


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Hastighetsproblem

Triangelns formler hastighet =

sträcka m - km tid s - h - min

hastighet (V) m/s - km/h- m/min

tid =

sträcka tid

sträcka hastighet

sträcka = tid

hastighet

Omvandlingsproblem Då man går från km/h till m/s kan man endera gå stegvis eller direkt använda förändringsfaktorn 1m/s = 3,6 km/h Om du inte kommer ihåg om du skall multiplicera eller dividera med 3,6 kan du försöka komma ihåg att hastigheter alltid ser lite större ut i km/h än i m/s. Detta är endast skenbart eftersom de är exakt lika stora om man bortser från avrundningsfelet.

km/h

m/s

103 km/h =

72 m/s =

103000m 60 60 s

72 / 1000 km 1 / 60 60 h

3,6

103 1000 m 3,6 1000 s 72 60 60 km 1 1000 h

103 m 3,6 s

28,61111m/s

72 3,6 km 1h

29 m/s

259,2km/h

260 km/h

Av andra ofta förekommande problem kan du här göra dina egna trianglar

antal gynsamma utfall antal möjliga utfall

hurdetfunkar.se

sannolikhet

20


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

PROCENT=hundradelar

Decimalform 4,05

Bråkform 4, 05 100 405 81 5 1 100 100 20 5

81 20

Blandadform 1 4 20

Procentform 405 %

Procentenheter Om räntan höjs från 9 % till 11 % 2 procentenheters ökning Om räntan höjs från 9 % till 11 % har den alltså ökat med 2 procentenheter men den har även ökat med ca 22% vilket vi får från (delen /det hela)= 2% / 9% ≃ 22% = 22 procent

1 10 2 0, 01 100 1 1 %o = 1 tusendel= 10 3 0, 001 1000 1 1 ppm = 1 miljondel = 10 6 0,000001 1000000 1 % = 1 hundradel =

Det nya Använd den procentuella förändringen för att beräkna förändringsfaktorn. Triangelformeln ger dig det nya direkt om du räknar med rätt förändringsfaktor. (Om det nya är lägre än det gamla har det skett en procentuell minskning, vi får då en förändringsfaktor ffa< 1 ) (Om det nya är större än det gamla har det skett en procentuell ökning vi får då en förändringsfaktor ffp> 1 )

1 ff a p = pålägg a = avdrag ff p

Förändringsfaktorn = ff 3 % ökning 184 % ökning 3 % sänkning

hurdetfunkar.se

ffp = 1,03 ffp = 2,84 ffa = 0,97

( 1 + 0,03 = 100% +3 % ) ( 1 + 1,84 = 100% +184 % ) ( 1 - 0,03 = 100% -3 % )

21


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

STATISTIK, Insamling, beskrivning och tolkning av data Frekvens anger hur många gånger ett värde eller en observation förekommer. Relativa frekvensen = Rf = frekvensen i procentform

Lägesmått medelvärde

summan av observationerna antalet observationer

Från det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, fås medelvärdet 2+5+5+6+8+9+9 44 Medelvärde= 6,3 7 7 Från det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, fås medelvärdet -9+(-2) +0+2+4+5+9+13 22 Medelvärde= 2,8 8 8 typvärde den observation som förekommer flest gånger ( högsta frekvensen) . Ibland finns inget typvärde - ibland finns mer än ett. Från det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, fås typvärdena 5 och 9 I det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, saknas typvärde

median mittobservationen eller medelvärdet av de båda mittersta observationerna Från det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, fås medianen 6 Från det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, fås medianen

2 4 2

6 2

3

Spridningsmått Variationsbredd största värde - minsta värde Det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, har variationsbredden 9 2 7 Det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, har variationsbredden 13 ( 9) 22 Kvartilavståndet = övre kvartilen - nedre (undre) kvartilen. Övre kvartilen kallas också 75-percentilen och ska vara ett tal sådant att 75 % av observationerna har ett mindre värde. (I praktiken väljer man då vanligen medianen i materialets övre hälft.) Nedre kvartilen kallas också 25-percentilen och ska vara ett tal sådant att 25 % av observationerna har ett mindre värde. (I praktiken väljer man då vanligen medianen i materialets nedre hälft.) Beräkningen av kvartilavståndet framgår av följande exempel. Det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, har kvartilavståndet 9 5 4 Det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, har kvartilavståndet 7 ( 1) 8 Standardavvikelsen är ett slags medelvärde av de olika observationernas avvikelser från materialets medelvärde. Beräkningen kan med fördel överlåtas till miniräknaren. Det statistiska materialet: 2 5 5 6 8 9 9, har standardavikelsen 2,6 Det statistiska materialet: -9 -2 0 2 4 5 9 13, har standardavikelsen 6,8

hurdetfunkar.se

22


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Diagram Cirkeldiagram, används ofta för att illustrera storleksförhållandet mellan andelar. De olika andelarna representeras som olika stora cirkelsektorer. Linjediagram, används för att illustrera förändringar över en tidsperiod. Om y-axeln i ett linjediagram är avbruten skall detta markeras tydligt, t ex genom att axeln veckas. Tidsaxeln x saknar egentlig nollpunkt och behöver inte veckas. Stapeldiagram, används för att jämföra olika företeelser. Stapeldiagrammet har vanligen endast en graderad axel. I ett stapeldiagram skall den graderade axeln alltid börja på noll. Veckad axel får inte förekomma. Det ska vara lika breda staplar som ofta anger, sort, art, namn mm Stolpdiagram: Utifrån en frekvenstabell kan statistisk informationen åskådliggöras i ett s.k. stolpdiagram. Ett sådant diagram används ofta när observationerna består av tal. Längs en horisontell axel placeras observationerna och längs en vertikal axel anges frekvensen, dvs. antalet observationer. För varje typ av observation ritas sedan ett vertikalt tjockt streck, dvs. en ”stolpe” i diagrammet. Ett stolpdiagram kan även användas för att visa den relativa frekvensen. Histogram: För ett statistiskt material med många olika observationer av tal kan det vara meningsfullt att klassindela, dvs. gruppera, observationerna innan ett diagram ritas. Dessa grupperingar kallas klasser och diagramtypen som då används kallas histogram. Det intervall som väljs för varje klass kallas klassbredd. Frekvensen för varje klass representeras av staplar. Till skillnad från stapeldiagram, ska staplarna här placeras intill varandra, utan mellanrum. Exempel: På en förlossningsavdelning föddes det under en vecka 70 barn. Deras vikter i gram var: 3600 1670 2120 2910 3450 3190 2940 4330 3800 3900 3320 2340 1990 3670 2710 4420 3990 3540 3620 2510 2090 3310 3040 3530 2230 2640 2640 3960 3460 3860 2230 1890 3650 2470 3250 3060 3510 3810 3480 3490 3770 4670 3440 2650 1770 3270 3550 3220 2570 3570 3880 3840 3560 2750 3470 3780 3150 3740 2880 4480 3710 3950 2550 2750 4150 4240 3400 3110 2340 4840. För att kunna visa denna information i ett histogram, görs till att börja med en klassindelning med klassbredden 500 g = 0,5 kg. Därefter räknas hur många barn som hör hemma i respektive klass. Observera att man måste bestämma sig till vilken klass varje gräns ska höra. I nedanstående tabell hör exempelvis 2000 g hemma i intervallet 2000–2500, 2500 hör hemma i intervallet 2500–3000, osv. Klass (gram) Antal barn 0 vikt < 500 0 500 vikt < 1000 0 1000 vikt < 1500 0 1500 vikt < 2000 4 2000 vikt < 2500 7 2500 vikt < 3000 12 3000 vikt < 3500 17 3500 vikt < 4000 23 4000 vikt < 4500 5 4500 vikt < 5000 2 Observera att enheten kg används i histogrammet. Dessutom har den horisontella axeln veckats eftersom det inte finns några observationer i de tre första klasserna. Ändpunkterna i delintervallen (dvs. 1,5 kg, 2,0 kg, 2,5 kg, …) kallas klassgränser. Mittpunkten i varje delintervall (dvs. 1,75 kg, 2,25 kg, 2,75 kg, …) kallas klassmitt. hurdetfunkar.se

23


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

SANNOLIKHETSLÄRA P

probability

sannolikheten för en händelse

antalet gynsamma utfall antalet möjliga utfall

H U

Några grundbegrepp ur sannolikhetsläran U=Utfallsrum = de möjliga utfallen t ex. Kast med tärning: U={1,2,3,4,5,6}=6, kast med mynt U={krona, klave}=2 H=Händelse = de gynnsamma utfallen t ex. Udda resultat vid kast med tärning: H={1,3,5}=3, att få en sexa: H={6}=1 Oftast så kallar man de två olika händelserna för händelse A och händelse B. A={1,3,5}=6 och B={6}=1 P=Sannolikhet= andelen positiva utfall för en viss händelse

3 . Sannolikheten är 6 alltid ett tal mellan 0 och 1 och kan utryckas i både procentform eller i bråkform 0 P( A) 1 om H=U så måste händelsen inträffa P(U ) 1 Sannolikheten att få ett udda tal vid kast med tärning P(udda)

P( A)

K = Komplement händelse motsatsen till en viss händelse. Komplementhändelsen till udda resultat vid kast med tärning K={2,4,6}=3, sannolikheten för en händelse + sannolikheten för komplementhändelsen är alltid 1, eller P( A) P(B) 1 . udda + jämna 3 3 P(udda) P( jämna) 1 möjliga 6 Oberoende händelser: Kombinerade sannolikheten att A och B skall inträffa. P( A och B) P( A) P( B) t ex två klave i rad P(klave och klave) 0,5 0,5 0, 25 . Detta kallas oberoende sannolikhet altså när två händelser är oberoende av varandra dvs om sannolikheten för den ena händelsen inte påverkar sannolikheten för den andra. I så fall är sannolikheten för att båda händelserna inträffar = produkten av sannolikheten för var och en av händelserna. Beroende händelser: Om en händelse är beroende på en tidigare händelse har vi en beroende sannolikhet. P( A och B) P( A) P( B givet A) t ex sannolikheten att dra två kungar 4 3 i rad ur en kortlek P(kung och kung ) 52 51 Multiplikationsregeln: Sannolikheten för en gren = produkten av sannolikheten längs grenen, då vi använder oss av ett träddiagram som kan liknas vid ett träd med roten upp och grenarna nedåt. Additionsregeln: Då vi använder oss av ett träddiagram ska de grenar som ger våra sannolikheter adderas. Oddset för en händelse definieras som oddset

hurdetfunkar.se

P( H inträffar) P( H inträffar inte)

24


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

SKALA

Om skalan är >1 så är bilden en förstoring längd i bild , a Om skalan är <1 så är bilden en förminskning skala längd i verkligheten, b Anta att vi har en cirkel där vi dubblar radiens längd, då blir omkretsen dubbelt så stor men arean blir 4 gånger så stor. Detta beror på att längden inte är proportionell med arean, däremot är längden i kvadrat proportionell mot arean.

Tar vi ett klot ser vi förstås på samma sätt att omkretsen blir dubbelt så stor då vi dubblar radien och arean blir 4 gånger så stor, dessutom ser vi att volymen blir 8 gånger så stor. Längden i kvadrat är alltså proportionell mot arean och längden upphöjt i tre är proportionell mot volymen.

Dessa samband gäller för samtliga geometriska figurer oberoende deras form.

Detta är bra att komma ihåg då man arbetar med skala längd i bild , a om längdskalan skala längd i verkligheten, b

hurdetfunkar.se

a b

så är areaskalan

a b

och volymskalan

a b

2

3

25


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

KOORDINATSYSTEM Varje punkt, P, i ett koordinatsystem består av två koordinater, x och y . Koordinaterna x och y utgör alltså ett talpar som skrivs ( x , y ). Obs! ordningen med vilken koordinaterna skrivs är viktig. Ett koordinatsystem utgörs av två tallinjer vilka kallas y -axel och x -axel. Om de skär varandra under räta vinklar har vi ett rätvinkligt koordinatsystem. De båda tallinjerna skär varandra i den punkt som svarar mot koordinaterna (0, 0), denna punkt kallas origo. I ett koordinatsystem delar koordinataxlarna planet i fyra kvadranter vilka numreras motsols med början i den kvadrant som bara har positiva koordinater.

Då man beräknar sträckor i ett koordinatsystem måste man vara noggrann med koordinaternas tecken.

Grafer Grafer är ett samlingsbegrepp för en mängd punkter utritade i ett diagram eller koordinatsystem. Den ovanstående rektangeln skulle på så sätt kunna utgöra en graf men ni har också tidigare stött på grafer i statistikkapitlet. En speciell typ av graf kallas för funktioner vilket vi nu ska ge oss i kast med.

hurdetfunkar.se

26


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Funktioner En funktion beskriver ett samband t ex ”ju fler timmar du effektivt studerar matematik desto fler poäng får du på provet”. Vi säger att y är en funktion av x eller som i vårt fall antalet poäng på provet är en funktion av hur många timmar du effektivt studerar. En funktion kan beskrivas med hjälp av en värdetabell, med en graf eller med en formel. Anta att vi har följande funktion: Utryckt med formel y 2 x 2 1 eller f ( x) 2 x 2 1 Uttryckt med värdetabell Uttryckt med graf 2 x Med hjälp av värdetabellen plottar man en graf y 2( x) 1 och sammanbinder punkterna till i detta fall med en kurva. Då man märker att punkterna inte -2 y 2( 2) 2 1 2 4 1 9 hamnar i en rät linje kan det vara bra att ta till -1,5 y 2( 1,5) 2 1 2 2, 25 1 5,5 några extra värden i värdetabellen. -1

y

2( 1) 2 1 2 1 1 3

-0,5

y

2( 0,5) 2 1 2 0, 25 1 1,5

0

y

2(0)2 1 2 0 1 1

0,5

y

2( 0,5) 2 1 2 0, 25 1 1,5

1

y

2(1) 2 1 2 1 1 3

1,5

y

2(1,5) 2 1 2 2, 25 1 5,5

2

y

2(2) 2 1 2 4 1 9

Linjära funktioner Anta att vi har följande funktion: Uttryckt med formel y 2x 1 eller f ( x) Uttryckt med värdetabell Uttryckt med graf x y 2( x) 1 -3

y 2( 3) 1

6 1

5

-2

y 2( 2) 1

4 1

3

-1

y 2( 1) 1

2 1

1

0

y 2(0) 1 0 1 1

1

y 2(1) 1 2 1 3

2

y 2(2) 1 4 1 5

3

y 2(3) 1 6 1 7

2x 1

Linjära funktioner utrycks alltid på formen y

kx m . I det ovanstående fallet kan k , y2 y1 y identifieras som siffran 2 men k beskriver även lutningen på linjen k . x2 x1 x m är en konstant som talar om var linjen skär y -axeln, d v s där x 0

hurdetfunkar.se

27


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

PROPORTIONSLÄRA ELLER FÖRHÅLLANDE Den som förstår vad den gör kan lösa allehanda problem utan chanstagningar, ekvationer eller formler. Utan att kanske ha hört ordet proportionalitet har de flesta elever löst problem av den typen ända i från åtminstone sjätte klass. I sjätte klass löste man problem, ofta i tre steg 1. Ställ upp sambandet enligt förutsättningarna i uppgiften. 2. Tag reda på vad detta samband ger för en ”enhet” 3. Ange sambandet för det som ska beräknas och gör beräkningen. Ex. Tre äpplen kostar 3,75kr. Hur mycket kostar fem äpplen? 1.

3 äpplen

2.

1 äpple

3.

5 äpplen

3,75 kr

Här har jag lagt enheten som söks i frågan till höger, i detta fall vill man ha svaret i enheten, kr.

Första steget anger det man känner till från början.

Steg två anger vad ett äpple kostar. Det är för många lätt att inse att det motsvarar en tredjedel av vad tre 3, 75 kr 5kr äpplen kostar men vi kan också tänka att vi delar båda våra uttryck med 3 eftersom 3/3=1. Detta steg behöver 3 4 aldrig räknas ut, istället kan man bära med sig hela uttrycket 3,75 kr 3,75 5 kr 5 6,25 kr Svar fem äpplen kostar 6,25 kr 3 3

Steg tre ger det fullständiga uttrycket vilket man räknar ut med miniräknaren. Att man i det här steget multiplicerar med fem kan man lätt förstå eftersom fem äpplen kostar fem gånger mer än ett äpple. Man kan också tänka sig att man multiplicerar båda våra uttryck med fem eftersom 5 1 5 . Det enda vi måste känna till här för att ingenting ska slås in fel på miniräknaren är att vid multiplikation med ett bråk och ett heltal så gäller att heltalet multipliceras med bråkets täljare. 1 31 3 täljare Ex. 3 kvot = 1,5 2 2 2 nämnare Innan man lämnar in sitt svar bör man göra en rimlighetsbedömning av svaret. Är det rimligt att fem äpplen kostar 6,25 kr. Det första vi kan fundera över är förstås om fem äpplen kostar mer eller mindre än tre äpplen. Vi bör inse att fem äpplen kostar mer än tre äpplen, så vårt svar är åtminstone inte helt felräknat. Hur mycket mer än tre äpplen kostar fem äpplen? Det kan vara lätt att lura sig att fem äpplen skulle kosta två gånger mer än tre äpplen men tar vi två gånger tre äpplen så får vi sex äpplen. Sex äpplen kostar 3,75 2 7,5 kr, nu har vi ringat in vårt svar. Vi vet att fem äpplen kostar mer än 3,75 kr och mindre än 7,5 kr. Vårt svar verkar korrekt. Jag har också sett att en del elever tänker att om 3 äpplen kostar 3,75 kr så kostar 6 dubbelt så mycket alltså 7,5 kr. Då kan man ju dra bort kostnaden för 1 äpple från kostnaden av 6 äpplen för att få kostnaden för 5 äpplen. Detta är jätte smart men även här måste vi då räkna ut kostnaden för ett äpple som är 3,75kr/3=1,25kr. Kostnaden för 5 äpplen blir alltså 7,5kr 1,25kr = 6,25 kr. Vårt redan tidigare beräknade svar är alltså definitivt korrekt.

hurdetfunkar.se

28


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Det ovanstående sättet att lösa problem kallas reguladetri och är en metod som användes mycket förr för att lösa problem, alla sorts problem. I skolan i dag går man ofta igenom ett nytt moment varje ny lektion i matematik men jag tror inte att man nog påpekar att vi egentligen håller på med samma typer av frågor och att även om metoderna ser olika ut så bygger de egentligen på en enda sak. Hur förhåller sig komponenterna till varandra? I nionde klass kan man även lösa proportionalitetsproblem om man får dem ritad som en graf eller genom att man själv ritar grafen utifrån en värdetabell. Om grafen beskriver en direkt proportionalitet kommer grafen att vara en rät linje genom origo. 5/4 är linjens lutning och beskriver med vilken hastighet kostnaden ökar per äpple jag köper. Linjens lutning 5/4=1,25 talar om vad äpplena kostar per st. Lutningen på linjen kan alltid y2 y1 räknas ut som k = x2 x1 6, 25 3,75 2,5 5 . Vitsen 5 3 2 4 med att använda sig av ”förhållande-ekvationer” är dock att slippa räkna ut k . Om man vill veta om en värdetabell beskriver en direkt proportionalitet kan man undersöka y om kvoten n blir samma för alla värdepar eller om grafen är en rät linje genom origo. Alla xn problem av den här typen kan vi lösa med hjälp av vad vi kan kalla ”proportionalitetsekvationer”. Om vi vill sätta upp ovanstående problem som en ekvation i stället för att läsa ut svaret i koordinatsystemet eller genom att använda oss av värdetabellen 3, 75 kr a kr sätter man upp ekvationen och löser den. Förslag på lösning, där jag väljer 3 st 5 st att faktorisera talen i stället för att söka den gemensamma faktorn att dela täljare och nämnare med. Denna metod är enklare eftersom den gemensamma faktorn ibland kan vara svår att 3,75 kr 5 st 375 5 kr 125 3 5 kr 25 5 5 kr 25 kr hitta. a kr 6, 25 kr 3 st 300 3 100 4 25 4 ”Proportionalitetsekvationer” eller ”förhållande-ekvationer” är en räknemetod som anger hur a c man från att känna tre av fyra tal a, b, c och d vilka uppfyller villkoret bestämmer det b d fjärde. Det vi måste beakta är om problemet verkligen beskriver en proportionalitet, det andra sättet att titta på samma problemställning är med hjälp av hur enheterna förhåller sig till varandra. Med förhållandet mellan två tal menas talens kvot t ex 5 : 4 = 5/4. Trots att man framgångsrikt kan lösa problem med hjälp av förhållande ekvationer tas dessa ekvationer inte upp förrän man börjar diskutera likformighet i gymnasiets A-kurs. ”Förhållande-ekvationer” och ”proportionalitetsekvationer” är exakt samma sorts ekvationer och löser exakt samma problem. I ”förhållande-ekvationer” tittar man dock på hur variablerna av samma sort

hurdetfunkar.se

29


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

a kr 5 st , här har jag istället satt kr till kr och st till st vilket 3, 75 kr 3 st ger samma resultat då jag löser ut x . Det senaste sättet att sätta upp ekvationen hade passat de gamla grekerna bättre. Vilken metod känns mest naturlig för dig? förhåller sig till varandra,

Följande samband kan vara bra att känna till a c b d Invertering om så är b d a c a c a b Alternering om så är b d c d a c a b c d Sammansättning om så är b d b d En direkt proportionalitet, där y och x är variabler, är ett samband av typen y kx , man säger att y är proportionell mot x och k kallas för proportionalitetskonstanten. k anger alltså hur y beror av x och kan kännas i gen som den lutning linjen har. k är alltså en yn y1 y2 konstant som är densamma oberoende av vilket talpar vi tar kvoten av: k ... x1 x2 xn k En omvänd proportionalitet där, y och x är variabler, är ett samband där y man säger x att y är omvänt proportionell mot x men k är fortfarande en proportionalitetskonstant även om k nu är konstant oberoende av vilket talpar vi tar produkten av: k y1 x1 y2 x2 ... yn xn

Vi kan också med samma tänk lösa problem där vi har med en omvänd proportionalitet att göra. Anta att du kör från A till B på 1timme och 50minuter med hastigheten 45km/h. Hur lång tid skulle det ta om vi åkte med hastigheten 55km/h?

Denna ekvation skulle vi kunna ställa upp som, konstant, k v1 45 tiden och hastigheten i minuter respektive min/h får vi 110 60 45 110 45 2 55 då x 90 min 1 h och 30 min Svar x 55 55

hurdetfunkar.se

t1 v2 t2 . Om vi uttrycker 55 x , vi löser ut x och får 60

1 h och 30 min .

30


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

GEOMETRI 1dimension = längd = omkrets = längdenheter mm-cm-dm-m-dam-hm-km KURVA ELLER KRÖKT LINJE LINJE

LINJE

2 dimensioner = yta = area = längdenheter i kvadrat = (längdenhet)2 mm2- -cm2- -dm2- -m2- -dam2- -hm2- -km2 CIRKEL TRIANGEL REKTANGEL

area b l area

b h 2

KVADRAT

cirkel area omkrets

RÄTVINKLIG TRIANGEL

r2 d

2 r

cirkel med dubbel radie area (2r ) 2 22 r 2 4 r 2 omkrets (2d ) 2 (2r ) 2 d

PARALLELLOGRAM

4 r

LIKSIDIG TRIANGEL CIRKELSEKTOR

area b h PARALLELTRAPETS LIKBENT TRIANGEL

area

hurdetfunkar.se

h

(a b) 2

31


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

3 dimensioner = kropp = volym =längdenheter i kubik = (längdenheter)3 = mm3- - -cm3- - -dm3- - -m3- - -dam3- - -hm3- - -km3 CYLINDER

Volym

PYRAMID

RÄTBLOCK

r2 h

PRISMA Mantelarea

2 rh

Volym b l h

KLOT

bredden länden höjden

KUB KON

klot 4 r3 3 yta eller area

volym

omkrets

volym 1m 1m 1m 13 m3 1m3

4 r2

10dm 10dm 10dm 103 dm3 1000dm3

2 r

100cm 100cm 100cm 1003 cm3 1000000cm3

klot med dubbel radie 4 (2r )3 23 4 r 3 8 4 r 3 32 r 2 h 3 3 3 3 yta eller area 4 (2r ) 2 22 4 r 2 16 r 2 omkrets 2 (2r ) 2 2 r 4 r volym

kon r 2h 3 mantelarea rs

PARALLELEPIPED

volym

kon med dubbla längder (2r ) 2 (2h) 22 2 r 2 h 3 3 mantelarea (2r )(2 s) 4 rs

volym

hurdetfunkar.se

23 r 2 h 3

8 r 2h 3

32


Grundl채ggande matematik

Trigonometri

hurdetfunkar.se

HurDetFunkar

Enhetscirkeln

33


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Vektorer och skalärer Många fysikaliska storheter går att beskriva med ett enkelt tal (och en enhet). Detta gäller t ex. massa, laddning, energi, temperatur, etc… Dessa storheter kallas för skalärer. I många andra fall är det inte så enkelt. Hastighet, kraft, acceleration, rörelsemängd, förflyttning, etc….. är storheter, där det inte hjälper mycket att veta storleken om man inte också vet riktningen. Alla dessa storheter är vektorer och måste beskrivas med vektoralgebra

Pil-representation av vektor En vektor kan representeras som en pil med en längd som relaterar till storleken av vektorstorheten och en riktning som motsvarar vektorstorhetens. Ett fetstilt A eller ett A med en piltangent över är vanlig notation för en vektor. |A| kallas beloppet av A och är längden av vektorn A men inte riktningen. Ser du någonsin beloppet av ett negativt tal så menas det att du ska ge det positiva värdet.

hurdetfunkar.se

34


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Hur de hela talen från 1 till 100 är uppbyggda Tal som hittas i multiplikationstabellerna 4 = 2*2 6 = 2*3 8 = 2*4 = 2*2*2 9 = 3*3 10 = 2*5 12 = 2*6 = 2*2*3 14 = 2*7 15 = 3*5 16 = 2*8 = 4*4 = 2*2*2*2 18 = 3*6 = 3*2*3 20 = 2*10 = 5*4 = 5*2*2 21 = 3*7 24 = 4*6 = 2*2*2*3 25 = 5*5 27 = 3*9 = 3*3*3 28 = 4*7 = 2*2*7 30 = 3*10 = 5*6 = 2*3*5 32 = 4*8 =2*2*2*2*2 35 = 5*7 36 = 6*6 = 2*3*2*3 40 = 4*10 = 5*8 = 2*2*2*5 42 = 6*7 = 2*3*7 45 = 5*9 48 = 6*8 = 2*3*2*2*2 49= 7*7 50 = 5*10 = 5*2*5 54 = 6*9 = 2*3*3*3 56 = 7*8 = 7*2*2*2 60 = 6*10 = 2*3*2*5 63 = 7*9 = 7*3*3 64 = 8*8 =2*2*2*2*2*2 70 = 7*10 = 7*2*5 72 = 8*9 = 2*2*2*3*3 80 = 8*10 = 2*2*2*2*5 81 = 9*9 = 3*3*3*3 90 = 9*10 = 3*3*2*5 100 = 10*10 = 2*5*2*5

Övriga tal 1 = 1*1 = 1/1 22 = 2*11 P 26 = 2*13 R 33 = 3*11 I 34 = 2*17 M 38 = 2*19 T 39 = 3*13 A 44 = 4*11 = 2*2*11 L 46 = 2*23 S 51 = 3*17 T 52 = 4*13 = 2*2*13 A 55 = 5*11 B 57 = 3*19 E 58 = 2*29 L 62 = 2*31 E N 65 = 5 *13 66 = 6*11 68 = 4*17 = 2*2*17 69 = 3* 23 74 = 2*37 75 = 5*15 =5*3*5 76 = 4*19 = 2*2*19 77 = 7*11 78 = 2*39 = 2*3*13 82 = 2*41 primtal över 100 84 = 2*42 = 6*14 =2*3*2*7 101 85 = 5*17 103 86 = 2*43 107 Det finns 87 = 3* 29 109 oändligt 88 = 8*11 = 4*22 = 2*2*2*11 113 många 91 = 7*13 131 primtal. 92 = 2*46 = 2*2*23 137 93 = 3*31 139 94 = 2*47 149 95 = 5*19 151 96 = 8*12=2*2*2*2*2*3 157 98 = 2*49 = 2*7*7 163….. 99 = 3*33= 3*3*11 Om vi tänker oss två olika tal vilka som helst. Vi kan kalla dessa tal a och b Produkt = faktor * faktor multiplikation Vid multiplikation spelar ordningen täljare Kvot = division på faktorerna a och b ingen roll nämnare a*b=b*a. Summa = term + term addition Vid addition spelar ordningen på Differens = term - term subtraktion termerna a och b ingen roll a+b =b+a

hurdetfunkar.se

Primtal 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

35


Grundläggande matematik

HurDetFunkar

Lathund för enhetsomvandlingar 9

10 G

106 M mega

103 k kilo

102 h hekto

giga

miljard

miljon

tusen

hundra

mil

ar

10-3 m milli

tio

tiondel

hundradel cm centimeter

m kubikmeter hl hektoliter

kg kilogram

hg hektogram

l liter

1dygn = 24h = 1440 min = 86400s 1h = 60 min = 3600s 1min = 60s

hurdetfunkar.se

mikro

nano

tusendel

miljon del

miljard del

mm millimeter

m mikro meter mm2

cm2

cm3

nm

mm3

kubikcentimeter

dl deciliter enheter för massa g gram

tidsenheter 1år = 12 månader 52 veckor = 365 dygn (366 dygn om skottår) = 31,536 106s Vi säger ofta att en månad är 4 veckor men detta gäller endast för månader med 28 dagar i sig. Det blir därför mycket enklare om man lär sig dessa data.

10-9 n

kvadratdecimeter

kvadratmeter

kubikdecimeter

kl kiloliter

10-6

dm2

volymsenheter dm3

3

ton

10-2 c centi

1

längdenheter dm m decimeter meter areaenheter m2

km

hektar

(deka)

10-1 d deci

10

cl centiliter

ml milliliter

l

mg milligram

SI-enheter m = meter längd ( l ) kg = kilogram massa ( m ) s = sekund tid ( t ) K = kelvin temperatur ( T ) A =ampere elektrisk ström (I) mol =mol substansmängd (n) cd = candela ljusstyrka (I)

Då man använder sig av formler ska man alltid omvandla upp-gifternas värden till SI-enheter, framförallt uppgifter som inkluderar tidsbegreppet. Det vanligaste felet vi gör är när vi jobbar med hastigheter. Räkna alltid om km/h till m/s genom omvanlingsfaktorn 1 m/s = 3,6 km/h

36

Grundläggande matematik  

En sammanfattning om grunderna i matematik

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you