Page 1

HKJSMS Newsle er   2013‐2014 Issue 2 

February 2014 

From the Editor Dear Readers,  As we enter the year of the Horse, the HKJSMS is once  again ready for everyone to enjoy. We wish a frui ul  year ahead for everyone. Thanks to all the writers and  everyone suppor ng the newsle er.  Ma hew Kan

Contents: Tangent Half‐Angle Subs tu on…………………………………………………………………………………………………………………………………..P.2  Interval Bisec on Method—Release your inner Casio…………………………………………………………………………………………………..P.4  Complex Numbers…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………P.7  Applica ons of Logarithm……………………………………………………………………………………………………………………………………………..P.8  Geometry……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………P.10  Maths Apprecia on…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….P.11  Math Jokes and Puzzles……………………………………………………………………………………………………………………………………………….P.12 

1


Tangent Half-Angle Substitution

d d  t (tan ) d d 2 dt 1 2  1  1 t2  sec  (1  tan 2 )  d 2 2 2 2 2 2dt d  1 t2

By Helson Go The Tangent Half‐Angle is a subtle but powerful method of  Integra on. Its main purpose is to find Integrals that com‐ bine trigonometric func ons and constants, for instance  2 d

 1  cos   sin 

 

Such integrals could not be solved using simple subs tu on  or reduc on formulae due to the constant part in the inte‐ gral.  

Deriva on using Ra onal Parameteriza on of a Unit Circle  A deriva on method that suits intui on is through parame‐ teriza ons of a circle. Through which, coordinates of each  point on the circle can be represented as func on of a pa‐ rameter, i.e. a special variable. This method needs men on‐ ing also because it is arguably the origin of the Tangent‐Half  Angle Subs tu on, having first been used as far back as the  Classical period.  

This is where the Tangent Half‐Angle subs tu on becomes  Those who learnt about parametric equa ons may be famil‐ useful. It transforms trigonometric func ons into ra onal  iar with the first parameteriza on,  func ons to enable usage of other techniques. However,   x  cos t although Tangent Half‐Angle subs tu on is very versa le, it    y  sin t can get extremely complicated. Therefore, simpler or more    straigh orward methods are always preferred, if available  Coordinates of a point (x,y) lying on the circumference of a  The Tangent‐Half Angle method, as its name suggests, is  circle are related to the angle of eleva on t between a line  based on the half‐angle iden ty of tangents, i.e.  drawn from that point to the origin and the posi ve x‐axis.   When subs tu ng  t  tan

The second parameteriza on is based on the simultaneous  equa ons 

 2

 x2  y 2  1   y  m( x  1)

Then cos( ) 

1 t2 1 t2

sin( ) 

2t 1 t2

d 

2dt 1 t2

Deriva on using Trigonometric Iden

.

The upper equa on is equa on of a unit circle, and the sec‐ ond is equa on of a line passing through (‐1,0) with a varia‐ ble slope m.  Solving the simultaneous  equa ons yields 

es

The most straigh orward way to derive these formulae is to  use trigonometric iden es taught in Module 2, shown be‐ low. 

y

2t 1 t2

x

1 t2 1 t2

,

Equa ng  

Deriva on for sine  

2t   y  1  t 2  2 x  1 t 1 t2 

sin   2sin cos 2 2  2t cos 2 2

sec 2

 2

2 2

1  tan 2

2 1 t2

   and  

2

 x  cos t   y  sin t

Deriva on for Cosine  cos   2 cos 

2 sec

2

 2

2

2

1

1  tan

2 1 t 1  1 t2 1 t2

Deriva on for Differen al 

,   

we obtain 

2

1 

 

2

1

cos( ) 

2

2

 

2

1 t2 1 t2

sin( ) 

;

2t 1 t2


Example 1 

x  3sin   sin  

Here we use the example shown above, 

x sin 2   cos 2   1  cos 2   1  sin 2   1  ( ) 2 3

Using the tangent half‐angle subs tu on (Check page 1 for  the formulae), we obtain   



2

 2

1  cos  sin 

2

1

9  x2 3  9  x2 3  x x 3

Thus, the final expression is 

in terms of θ, i.e.  

tan

makes the final expression wri en  

2 ln(tan

We find 

1 dt  2 ln(t  1)  c t 1 2

9  x2 x2  9 3

tan

Now we have a much easier and more manageable integral.  Using simple subs tu on to deal with this integral gives us: 

Subs tu ng   t  tan

cos   1 

Subs tu ng the values of sine and cosine found into the half  angle formula for tangent, i.e. 

2dt ( ) dt 1 t2 2  2 2 1 t 2t t 1 1  2 2 1 t 1 t

Using a Pythagorean Iden ty 

2 d  1  cos   sin 

2

x 3

3 4 tan

 1)  c



Example 2 

 2

3

c   2

3  9  x2 4( )2 x

3x

c

12  4 9  x 2  2 x

c

Example 3  The second example is an example exhibi ng the ability of  the Tangent Half‐Angle subs tu on to deal with complicated  This is an exhibi on of the universality of Tangent Half‐ problems  Angle. A seemingly simple trigonometric equa on that is  actually extremely complicated can be solved via the Tan‐ 9  x 2 dx gent Half‐Angle Subs tu on:    15  3 9  x2  4 x   sin 4  cos    The first step is use Trigonometric Subs tu on, a standard  Due to the 4θ, subs tu on is notoriously rigorous. However,  it is not sophis cated, requiring only algebraic work. To pre‐ vent was ng effort describing a very complicated opera on,  only the steps that are cri cal to understanding of the solu‐ on will be shown here. 

technique. By subs tu ng   x  3sin 

We obtain 

9  9sin 2  d (3sin  )

 15  3

9  9sin 2   12sin 



3d sin  5  3cos   4sin 

 

Now apply Tangent Half‐Angle Subs tu on (The actual oper‐ a on is given to you as an exercise) we obtain 

 4t

2

3dt  4t  1

We start with  sin 4  cos  , sin 4  cos   0

 

3dt 3dt 3 d (2t  1)    4t  1  (2t  1) 2 2  (2t  1) 2 3 3  c   c 2(2t  1) 4t  2 3  c  4 tan  2 2

 

From here on, using Tangent‐Half Angle subs tu on with

Using simple subs tu on, we have 

 4t

t  tan

2

In order to return the final answer to be in terms of x, we  manipulate some trigonometric iden es    Given   3 

 2


Interval Bisection Method—Release your Inner Casio

2sin 2 cos 2  cos   0 4sin  cos  (1  2sin 2  )  cos   0 cos  (4sin   8sin 3   1)  0 1 t2 2t 2t 3 [4( )  8( )  1]  0 1 t2 1 t2 1 t2 8t (1  t 2 ) 8(2t )3 (1  t 2 ) 1  t 2   0 (1  t 2 ) 2 (1  t 2 ) 4 1 t2

By David Chong   

and simplifying or factorizing suitably, we obtain,  (t  1)(t  1)(t 2  4t  1)(t 4  4t 3  14t 2  4t  1)

Solve this expression gives us several values of t, shown be‐ low  t  1

The Mo va on 

t  2 3 t  1 5  5  2 5 t  1 5  5  2 5

Applying inverse tangent gives us the values for   hence    n 

2 3   2n  10 7   2n  10

  2n 

10 9   2n  10

  2n 

Have you ever stumbled upon an equa on that you have no  idea how to solve? Or, have you ever lost faith in your own  algebra and wished that there is another way to check your  answers?  If  your  answer  is  “yes”,  you’ve  come  to  the  right  place.  But  if  it’s  a  “no”,  this  ar cle  is  s ll  worth  reading.  Why?  It  releases  the  inner poten al  of  your  standard  issue  Casio calculator. 

But what’s more unfortunate is that we aren’t always able to  write  the  unknown  as  the  subject,  or  at  least  not  in  some  simple closed form. Don’t believe in me? By all means, try to  solve the equa on below:  

6 5   2n  6

When we are solving an algebraic equa on of an unknown,  we o en tackle them by doing the same thing on two sides –  namely transposi on, squaring both sides (at the expense of  extraneous  solu ons),  exponen a on,  taking  square  roots  (not always jus fied, at least not in the reals), so on and so  forth,  in  order  to  make  our  unknown  the  subject  of  the  equa on. If this is possible, then we could replace the coeffi‐ cients  of  the  powers  or  elementary  func ons  of  our  un‐ known with arbitrary constants, barring the restraints of our  opera ons, say, in the quadra c equa on, when b2 – 4ac is  unfortunately smaller than 0, we couldn’t get any real solu‐ ons. 

 

This problem is so abstract; it seems there may be no appli‐ ca on in the world. Naturally, be er methods of solving  such problems exist at higher levels, and the value of this  example lies in it being a problem that forces us to use the  Tangent‐half angle subs tu on but also retains a set of solu‐ ons that are not surds. 

Where   is the familiar (I hope) Euler’s number, 2.71828… 

h p://www.wolframalpha.com/input/?i=sin4x%3Dcosx

For those who didn’t give up at first sight, I commend your  perseverance, but  me to take a break and reflect. What are  you solving this equa on for? You want to find the value of t.  But let’s accept it, we can’t write it in a simple exact closed  form. Now take a step back. If we can’t precisely determine  it,  is  an  approxima on  really  that  bad?  Maybe  to  you,  but  not bad at all to me, since you can make it as precise as you  like, as long as you can accept the fact that it is not dead‐on,  as  we  will  see  later,  so  I  will  con nue  on  with  my  blabber  anyways. 

The Idea 

If you are interested in this problem, use the link below to  inves gate more.  

             

For the sake of my convenience, we will denote g(t) = t ‐ e‐t,  and  our  problem  becomes  finding  t  such  that  g(t) = 0.  This  does not simplify our problem, but it certainly helps stream‐ lining  the  nota ons.  Now,  conjure  some  deeply  burrowed  memories  from  your  math  lessons.  Do  you  remember  how  to find zeroes of a func on graphically? Oh yes you do. Draw  the graph of the func on and find its intersec on with the x‐ axis.  But  we’re  a  li le  bit  smarter  (and  regre ably  I  am  only  a  li le bit smarter) than that. First, we have to no ce that our  g(t) is a con nuous func on, since the func on of a straight 

4


and the exponen al func on are both con nuous func ons,  (3d.p.),  which  is  a  nega ve  number,  and  that  is  all  that  and our g(t) is just their difference. Loosely speaking, a con‐ ma ers.   nuous func on is a func on (which automa cally forces us  g(t)  to  draw  its  graph  from  le   to  right,  since  one  input  cannot  have more than one output for a func on) whose graph can  be drawn without li ing the pen. To do the magic, evaluate g (0) and g(1):  (1, 0.632)    No ce that 1‐1/e is some constant larger than zero, since 1/ e  <  1.  Now,  we  have  determined  two  points  on  the  graph  paper:  g(t) 

O

t (0.5, ‐0.107) 

Now we are in the same situa on – we have a root of g(t) in  between 0.5 and 1. Had we obtained a posi ve number, we  could just do the reverse and discard (1, 0.632) in favour of  (0.5,  some  posi ve  number).  Assuming  that  f(a)  is  nega ve  and f(b) is posi ve, our algorithm becomes:  If f((a+b)/2) > 0 => take (a+b)/2 as the new b. Then there is a  root between a and “new b”. 

(1, 1‐1/e)  O 

If f((a+b)/2) = 0 (exactly) => this is the root you want. What  more are you asking for? 

(0, ‐1)  Now try to draw a line that goes from le  to right. It is bound  to intersect with the horizontal axis no ma er how you draw  it. That could only mean one thing: g(t) has a zero lying be‐ tween 0 and 1. If we flip over the points about the horizontal  axis, the situa on is s ll the same, and the con nuous func‐ on in considera on has a zero in the interval. To write this  down more generally: 

If f((a+b)/2) < 0 => take (a+b)/2 as the new a. Then there is a  root between “new a” and b.  Did  it  improve?  Definitely!  We  have  successfully  increased  our  accuracy  by  cu ng  down  half  of  the  range!  And  since  the situa on is essen ally the same, we can apply the meth‐ od repeatedly un l the interval is as small as we want. Bril‐ liant,  right?  This  method  of  approxima ng  a  zero  is  called  the interval bisec on method. 

Given a con nuous func on f(x), if f(a) and f(b) has different  The only pi all is that we cannot construct a and b. We have  signs, there is a zero of f(x) lying between a and b.  to be observant and guess them. As in our example, 0 and 1  The Theory  are just wild guesses. But since they happen to be of oppo‐ The above fact enables us to confirm the existence of a zero  site  signs,  we  can  just  proceed.  You  can  write  a  systema c  of f(x) between a and b by considering f(a) and f(b). At first  guessing  programme  if  you  like,  but  that’s  just  brute  force,  glance, this fact might look useless for our purpose, since it  and uses up computa onal  me unnecessarily. My advice is  tells us nothing about how to construct a and b, let alone the  to rely on our own brains for the ini al guess, since the hu‐ value of the zero! But look more closely. The zero is between  man  guessing  ins nct  is  much  be er  than  the  computer’s  a  and  b.  How  would  this  help  us  to  determine  the  value  of  guessing ins nct (which assumes the value of 0).  the zero approximately?  The execu on: WARNING – INCOMING GEEK LANGUAGE  Let’s  look  at  what  is  meant  by  “approximately”.  Normally,  Now,  how  to  we  write  a  programme  on  our  standard  issue  we  said  that  something  is  approximately  something  in  the  Casio  calculators  so  that  it  will  loop  the  algorithm  for  us?  sense  that  e  is  approximately  2.718  to  3  decimal  places.  There are many advanced loops available in Casio 50FH, but  However, saying this is equivalent to saying “the value of e is  let’s not forget about simpler (and faster) yet commonplace  in  between  2.7175  and  2.7185”.  See?  Specifying  the  range  3650P,  in  which  we  could  only  construct  loops  “by  hand”  that a constant falls into is also an approxima on of it. The  with  label  and  goto  commands.  Now,  open  the programme  narrower the range, the more accurate our approxima on is.  wri ng window, which is mode‐6‐1‐1 (programme no. 1) for  So, if, magically, we could find a and b such that f(a) and f(b)  50FH, and mode–mode–mode‐1 for 3650P.  are  of  different  signs,  and  we  have  a  way  to  narrow  down  A good habit (or, just my weird habit) to start a programme  the range, we can claim that we have a way to approximate  is  to  write  clear  memory  by  shi ‐9‐1  (shi ‐mode‐1  on  the zero of f in between a and b. Now, what’s the best way  3650P).  This  clears  the  memory  of  your  stored  variables  to narrow down an interval? Cut it into half!  (ABCDXYM),  and  you  can  safely  assume  that  the  variables  Let’s look back to our numerical example. Let’s cut the inter‐ start with a value of 0.  val  into  half  by  evalua ng  g(0.5).  It’s  me  to  take  out  your  To  separate  commands,  we  use  the  colon  :  .  This  can  be  calculator  if  you  haven’t  already,  since  this  ar cle  is  about  typed by the EXE bu on. To type variables we use alpha (one  the  applica on  of  calculators  in  mathema cs.  I  got  ‐0.107  of  the  4  bu ons  at  the  top)  ‐‐>  the  bu on  with  a  variable  wri en on the upper right corner. This works just like the  5 


shi bu on. To input values to variables, we use the single‐   lined  arrow  —>  which  can  be  found  in  the  programme  bu on (orange one on 50FH, shi ‐3 for 3650P). So, we start  And  give  an  answer  to  3  significant  figures  (telling  them  a  our programme with  9d.p.  answer  would  give  out  your  calculator  method,  so  I  wouldn’t advise it).  ClrMemory:0—>A:1—>B:  This bit determines our star ng points, since we have evalu‐ And… The a er”math”  ated that g(0)<0 and g(1)>0.  Now into the mathema cs of the algorithm. In the previous  Now,  to  write  a  loop,  we  need  a  label  (Lbl)  –  goto  (goto)  parts, I have men oned that we could repeat the procedure  clause,  which  can  be  found  in  the  programme  bu on.  We  as many  mes as we like, so that the approxima on can get  start  our  algorithm  by  defining  C as  the  midpoint  of  the  in‐ as  accurate  as  we  like,  meaning  that  the  size  of  the  error  interval can be as small as we like. So how exactly does this  terval:  work?  ClrMemory:0—>A:1—>B:Lbl 1:(A+B)/2—>C:  Take a closer look to the algorithm. We start with an error of  And we evaluate g(C), which is C ‐ e‐C. Let’s call the value of g (b‐a),  and  we  halve  the  error  a er  each  step.  So,  a er  n  (C) D.  steps, the error interval would be:  ClrMemory:0—>A:1—>B:Lbl 1:(A+B)/2—>C:C‐e^(‐C)—>D:  Now, the sign of D dictates what we do on our next step. If  D>0, then we replace B with C; if D<0, we replace A with C. If  D=0,  then  it  doesn’t  hurt  for  either  clause  to  happen.  You  could  write  a  separate  clause  for  D=0,  but  I  deem  it  as  an  unwanted  waste  of  programing  space  (even  the  Lbl‐goto  formula on of the loop is, but it is for applicability to 3650P.  As if I have a choice!), since we are only allows to store 680  characters  in  50FH  and  360  for  3650P.  So,  how  to  put  the  above  condi onal  statement  into  Casio  language?  We  can  use the double‐lined arrow => for these simple condi onals.  You can find it in the programme bu on. Basically statement  P=>ac on  Q  means  that  if  statement  P  is  sa sfied,  then  do  ac on Q. So: 

Now we rearrange this expression and write n as the subject: 

No ce that n is posi ve since (b‐a)>ϵ so the term inside the  logarithm is larger than 1. Also, if the n that follows from the  formula is not an integer, round it up, because we can only  perform  integral  number  of  procedures,  and  rounding  up  gives and error smaller than our requirement, which is okay  (rounding  down,  however,  does  not  work,  since  we  end  up  with an error larger than our tolerance). 

So we  see  that  as  long  as  we  are  okay  with  an  error  larger  ClrMemory:0—>A:1—>B:Lbl  1:(A+B)/2—>C:  C‐e^(‐C)—>D:D than  zero,  we  can  take  as  many  steps  we  need  to  produce  ≧ 0=>C—>B:D<0=>C—>A:  the  approxima on.  Thus  we  can  say  that  the  method  is  ro‐ bust, or is guaranteed to converge, since nothing (apart from  The strict/not strict inequali es can also be found in the pro‐ compu ng  me) can stop us from ge ng as close as we like.  gramming  bu on.  Now  here  comes  the  crucial  part.  How  This  can be  credited  to  the  fact  that  the  error  a er  n  steps  accurate do we want the answer to be? Or, how small do we  has  no  dependence  on  f(x),  since  the  method  does  not  de‐ want  to  interval  to  become?  As  much  as  the  calculator  can  pend on the nature of f(x) except a requirement on its con ‐ display is the usual answer. For Casio is should be 9 decimal  nuity. This is not so for other methods, some of which con‐ places  (check  my  coun ng).  So,  for  simplicity,  let’s  take  a  verges  much more  rapidly  i.e.  given the  same  tolerance we  ‐10 tolerance of 10 :  need  less  steps  to  reach  our  desired  accuracy,  such  as  the  ClrMemory:0—>A:1—>B:Lbl 1:(A+B)/2—>C: C‐e^(‐C)     Newton‐Ralphson method. Consider it a trade‐off.  —>D:D ≧ 0=>C—>B:D<0=>C—>A:B‐A>E‐10=>Goto 1:A 

And this is about it for this method and its use on a standard  scien fic calculator. Exploring mathema cs with your devic‐ The  choice  of  10‐10  is  also  because  of  the  small  amount  of  es  does  pay  you  serendipitous  dividends  –  and  once  your  characters it occupies, by the way. Typing Exp – 1 0 will give  soul is at one with your calculator, like mine did, good things  ‐10 a  display  of  E‐10,  which  means  precisely  10 .  The  clause  will happen, I assure you…  basically  means  that  if  the  difference  between  (new)  B  and  (new) A is larger than our tolerance, loop back to label 1. If  not, the loop will terminate and the “A” at the back is just a  way to display it.  Now  press  “On”  to  leave  the  programming  window.  Press  programming  bu on,  then  1  to  run  the  first  programme,  which is the slot we have wri en the programme. What val‐ ue  of  A  did  you  get?  I  got  0.56714329.  Now  check  g (0.56714329).  I  got,  ‐6.42192  x  10‐10,  which  is  (I  hope)  rea‐ sonably close to 0.  Now, brag to your friend about how you can solve “the un‐ solvable equa on”  6 


Complex Numbers

Addi on and subtrac on are quite trivial: 

By Frankie Lam

which is similar to the vector addi on and subtrac on.  Solve

.

Mathema cians in the 16th century encountered similar  Mul plica on:  seemingly “unsolvable” quadra c, as well as cubic and quar‐ c equa ons. For example, by subs tu ng a = 1, b = 0, and      c= 1 into the quadra c formula    Division is a bit tricky: 

  to obtain the solu on, one concludes   which simply can’t be represented on the real number line.  

In complex numbers, there are also some special opera ons  Therefore, in order to resolve the problem, mathema cians  unseen in the real number system, such as the complex con‐ addressed a new type of numbers, called complex numbers  jugate and the aforemen oned argument and norm.  with C as the symbol for its set. These numbers can be ex‐ pressed in the form of a + bi, where  and i is called the imagi‐   equa on  nary unit which sa sfies the  Complex conjugate:   

The complex conjugate of a complex number z is usually de‐ noted as   or   For z = a + bi, its conjugate  = a ‐ bi ; we  could then see that a real number’s conjugate is essen ally  itself. 

In other words,    offering the solu on needed for the problem stated in the  beginning of this ar cle. In the expression men oned above,  a is called the real part, denoted as Re(Z); and b is called the  as if b = 0  imaginary part, denoted as Im(z). Note that ,  then the number is regarded as a real number; on the con‐ trary, if a = 0 then the number is referred to as “purely imag‐ inary”. 

Proper es of Complex Numbers 

Argument:

For any two complex numbers, z1 and z2, we CANNOT say  whether z1 is larger or z2 is larger. It means we cannot direct‐ ly compare two complex numbers, while we could easily  dis nguish a “larger” one from two real numbers.  

The argument of a complex number z is usually denoted as  arg(z). It is defined as the angle measured counterclockwise  from the posi ve real axis on the argand diagram to the line  connected from the origin the number. It can be calculated  by: 

The set of complex number  has a field structure, implying  closure under addi on and mul plica on, obeying the asso‐ cia ve and commuta ve property of addi on and mul plica‐ on, existence of addi ve and mul plica ve iden ty ele‐ ments (0 and 1 respec ve‐ ly), as well as the existence of  addi ve and mul plica ve  inverses (ie. subtrac on and  division). It also comes with a well‐defined “distance from  origin” called the “norm” and an “angular distance” called  the “argument”, of which we will further discuss later.    Opera ons on Complex Numbers  From now on, it is useful to think of  a complex plane, with the x‐axis  being the real part and the y‐axis  being the imaginary part. Such la‐ beling on the coordinate system is  called an Argand diagram.  

Norm: The norm of a complex number z is usually denoted as   or  a bit like the  For z = a + bi, its norm is defined as    magnitude of a vector. Note that   

 

Note that     One could see a couple of interes ng iden quence of the opera ons listed above. 

es as a conse‐

1. The product of a complex number and its complex conju‐ gate is equal to its norm squared.    2.  

7


Exponen als: As complex numbers are also dimensionless, they can also  be an exponent of some other complex numbers. The expo‐ nent is widened into the complex number set by the iden ‐ ty: eix = cos x + i sin x, where x is conven onally a real num‐ ber from 0 to 2π .  One could verify that this is indeed consistent with the defi‐ ni on of e from the Taylor expansion:   

plica on and division process is quite cumbersome as  shown before, this form makes the process a lot easier:   

That’s it! Apart of simpler calcula on process, it also allows  us to view complex mul plica on and division in an illumi‐ na ng way. We see that in mul plica on, the norms of the  two complex numbers are mul plied, and their angles of  rota on are added up. Division is the opposite process.   

Some interes ng problems le  for you to speculate: 

Subs tu ng ix in x, 

1. What is   

 

2. What is log(i)?  3. What is sin i, cos i, tan i ? 

4. Does     

?

5.  Are there any algebraic opera ons on complex numbers  s.t. another type of numbers outside   can be yielded?  (Is the set   closed?) 

By subs tu ng π in x and rearranging the terms, one yields  to famous Euler’s formula,   

?

Point of Interest: Quaternions, Octonions, Sedenions, Cayley ‐Dickson Construc on 

We also see that: 

 

Application of Logarithm

By Yoyo Lam

Which can be used to deduce various trigonometric iden ‐ es, for example:   

Mathema cs is closely linked with Science. Common  logrithm, which is commonly used in Science, is a good ex‐ ample. It is applicable in different area.  Introduc on 

If x= by, then y= logb x 

      Complex numbers represented on a polar coordinate sys‐ tem:  Just as when we do coordinate geometry, it is some mes  convenient to use the Cartesian system and some mes the  polar coordinates; we can also represent the complex num‐ bers on a polar coordinate system. A complex number, in  this system, would be represented as er+iθ , where er is the  norm of the complex number and θ is the argument of such.  The form er+iθ is also called the exponen al form.  You might think it is unreasonable to use such nota on due  to the irra onality of the natural constant; and the complica‐ on of computa on that the exponent would bring. Howev‐ er, this is exactly the strength of the form. Whereas the mul‐

which means  y  is  the  logarithm  of  x  with  base  b.  The  loga‐ rithm  with  base  10  is  called  the  common  logarithm.  Com‐ mon logarithm is commonly used in science and engineering.  Natural  logarithm  has  e  as  its  base,  which  mainly  used  in  pure  mathema cs.  The  binary  logarithm  has  2  as  its  base,  which  is  used  in  computer  science.  In  this  ar cle,  we  will  focus  on  the  applica on  of  common  logarithm  in  natural  science.   History  A Scotsman, John Napier brought up the method of loga‐ rithm publicly in 1614, in a book called Descrip on of the Wonderful Rule of Logarithms. Mathema cians from differ‐ ent countries helped spread the concept to other places.  Therefore, logarithm become well‐known in the world, and  con nued to be used nowadays. The inven on of logarithm  is convenient to many scien sts as they can perform compu‐ ta ons more easily.  

8


5.9 is moderate earthquake; 6.0‐6.9 is a strong earthquake;  7.0‐7.9 is a major earthquake. If the magnitude on the Rich‐ Logarithm is used in Chemistry to find out pH value of a solu‐ ter  scale  is  8.0  or  above,  it  is  a  great  earthquake.  It  may  on. pH is the measure of the acidi‐ cause severe damages to buildings and roads, serious casual‐ ty  or  alkalinity  of  a  solu on.  Solu‐ es occur. Earthquakes occur day and hour in different plac‐ on with pH lower than 7 is said to  es. be  acidic,  while  solu on  with  pH  higher  than 7 is  said  to  be  alkaline.  Solu on  with  pH  7  is  said  to  be  neutral.    The  equa on  to  calculate the pH value is   Chemistry 

–log[ (H+)] (H+) is the concentra on of Hydrogen ions in a solu on. For  example,  a  solu on  has  0.001  M  of  Hydrogen  ions.  The  pH  value of the solu on will be –log (0.001)= 3.   Solu on  with  pH  1,2  is  a  strong  acid,  such  as  Hydrochloric  Acid ; while pH 5,6 is a weak acid, like Ethanoic Acid . Solu‐ on  with  pH  8,9  is  a  weak  alkaline,  for  example  ammonia  ;  while pH 13,14 is a strong alkaline, such as Sodium Hydrox‐ ide.  Strong acid  and base  is compound  that  completely dis‐ sociate in water, while weak acid and base is compound that  partly dissociates in water.   

Physics

There was an earthquake happened on May 12, 2008, which  is  known  as  Sichuan  earthquake  or  Wenchuan  earthquake.  Logarithm is used in Phys- The magnitude on the Richter Scale of this earthquake meas‐ ics to calculate the sound ured  at  8.0,  which  means  it  caused  a  lot  of  casual es  and  intensity level. Sound Inten- destruc ons.  sity level is used to describe sound level. The equation Astronomy  to calculate the sound intensity level is

β = 10 log (I/I0) where I0 is the lowest sound intensity that can be heard by human. I0 is found to be 10-12 W/m2 by scientists. Sound intensity level is measured in decibels (dB).

In Astronomy,  people  use  a  scale  called  apparent  magnitude  For example, the sound intensity produced by a MP3 player is 10-4 W/m2. The sound intensity level will be 10 log (m) tomeasure brightness of a star seen by observers on the  earth. It is measuredon a logarithmic scale. The dimmer the  (10-4/10-12)= 80 dB. star,  the  larger  is  the  magnitude.  A  bright  star  may  have  a  If sound intensity level is lower than 10-12 W/m-2, people nega ve apparent magnitude.   cannot hear thesound. If sound intensity level is higher than that value, there will be discordant sound. The apparent magnitude can be calculated by the formula   Geography 

m= C‐2.5 log b

Richter Scale in Geography is a logarithmic scale, which use  where C is a constant and b is the brightness of a star.  to quan fy the energy released during an earthquake. Rich‐ For example, the sun has an apparent magnitude ‐26.7, full  ter  Scale  was  developed  by  an  American  scien st  called  moon ‐12.6, Venus at it brightest ‐4.7. The faintest star ob‐ Charles Francis Richter in 1935. It is widely used in  servable with the naked eye has an apparent magnitude 6.   the world. The formula is   Common  logarithm  is  widely  used  in  science.  Logarithm  is  log E=1.5M+K  also  applicable  in  many  different  aspects.  Can  you  find  out  where M is magnitude of an earthquake and K is a constant.  other examples, such as applica on in engineering?  When  magnitude  on  the  Richter  Scale  is  less  than  2.0,  it  is    said  to  be  a  Microearthquake,  most  people  cannot  felt  the    earthquake  and  it  is  recordedby  seismographs.  When  it  is  between 2.0 and 3.9, it is a minor earthquake, it rarely caus‐ es  damage,  but  there  may  be  shaking  of  indoor  objects.  If  magnitude is 4.0‐4.9, it is said to be a light earthquake; 5.0‐

9


Geometry By Joyce Tam Geometry is a large branch of Mathema cs, including Euclid‐ ean  geometry,  Differen al  geometry,  Topology  and  geome‐ try  and  Algebraic  geometry.  It  covers  a  wide  area,  from  points to planes and from planes to space. In the following, I  am not going to discuss detailed mathema cal knowledge of  geometry, instead I would mainly explore how it contributes  to the development of science.    History  Geometry  has  a  long  history  as  it  first  appeared  in  ancient  Egypt  and  Mesopotamia  in  the  2nd  millennium  BC.  It  was  also a major component of Mathema cs in ancient Greece.  Classic  geometry  was  focused  in  compass  and  straightedge  construc ons,  which  was  o en  set  as  mathema cal  ques‐ ons  in  ancient  Greece.  There  were  quite  a  number  of  fa‐ mous  Greek  mathema cians  who  have  great  achievements  in geometry, such as Thales, Pythagoras and Plato. Geometry  was  then  revolu onized  by  Euclid,  a  student  of  Plato,  who  introduced  mathema cal  rigor  and  the  axioma c  meth‐ od s ll in use today.   1.Riemannian geometry and General rela vity  

2. Conic sec on in Astronomy and Physics     Conic  sec on  was  studied  deeply  and  named  by  an  ancient  Greek  mathema ‐ cian,  Apollonius  of  Perga.  However,  the  applicability of conic sec on in Astronomy  was  discovered  by  Johannes  Kepler  about  2000 years later. The Kepler's laws of plan‐ etary  mo on  states  that  the  orbit  of  every  planet  is  an  el‐ lipse with the Sun at one of the two foci and was proved to  be  applicable  in  the  solar  system  by  Isaac  Newton  in  1687.  Kepler's laws challenged the long‐accepted geocentric mod‐ els  of  Aristotle  and  Ptolemy, ensured  the  heliocentric  theo‐ ry of Nicolaus Copernicus by asser ng that the Earth orbited  the  Sun,  proving  that  the  planets'  speeds  varied,  and  using  ellip cal  orbits  rather  than  circular orbits with epicycles.     Furthermore,  Edmond  Halley,  a  Bri sh  scien st,  accurately  predicted  the  moment  of  which  the  distance  between  Hal‐ ley's Comet and the Earth was  the shortest by using the New‐ ton’s  Law  and  the  concept  of  conic  sec on.  This  raised  peo‐ ple’s interest in having a deep‐ er  explora on  in  conic  sec‐ ons.      On the other hand, different conic sec ons have dis nct and  interes ng op cal proper es. We make use of their proper‐ es  to  improve  our  lives.  For  example,  scien sts  improved  the design of astronomical telescopes by using the property  of hyperbola. Moreover, the most commonly used solar wa‐ ter  heaters  consist  of  parabola  minor  surfaces,  in  order  to  ensure heat energy from the sun is well collected.    3.Knot theory in chemistry Another  big  step  of  modern  science  is  the  discovery of DNA, which is the gene c materi‐ al  of  all  cells.  This  is  related  to  geometric  to‐ pology. Scien sts unknot DNA by using princi‐ ples  of  topology  so  as  to  analyze  the  infor‐ ma on  of  it  more  easily.  Principles  of  knot  theory  have  helped  explain  the  structure  of  how  enzymes  unpack DNA. In addi on, to determine the le  handed wind‐ ing of DNA around histones, topological methods have been  influen al.  Nowadays,  DNA  is  useful  in  crime  inves ga on  and parentage tes ng. 

As  everyone  knows,  physics  has  the  closest  rela on  with  Mathema cs  among  different  branches  of  natural  science.  General  rela vity  is  a  theory  of  gravita on  that  was  devel‐ oped by Albert Einstein between 1907 and 1915, sta ng that  the  observed  gravita onal  effect  between  masses  results  from  their  warping  of  space me.  The  core  of  it  is  the  Ein‐ stein's  equa ons.  Einstein  was  able  to  formulate  the  equa‐ on  with  reference  to  the  concepts  of  Riemannian  geome‐ try,  in  which  the  geometric  proper es  of  a  space  (or  a  space me)  are  described  by a  quan ty  called  a  metric.  The  metric encodes the informa on needed to compute the fun‐ damental  geometric  no ons  of  distance  and  angle  in  a  curved  space  (or  space me).  Einstein's  equa ons  provide  a  precise  formula on  of  the  rela onship  between  space me  geometry  and  the  proper es  of  ma er,  using  the  language  of mathema cs. General rela vity not only implies the exist‐ ence  of  black  holes,  it has  also  become  the  basis  of  cur‐ rent  cosmological  models  of  a  consistently  expanding  uni‐ verse.  Therefore,  the  discovery  has  brought  a  big  step  for‐ Geometry  requires  imaginary  and  s ll has a  lot  of  room for  ward of the development of Astrophysics. discovery.  It  is  appearing  everywhere  in  our  everyday  life.  Apart from science, it can also be found in art work, architec‐ ture in art work and so on. Let’s look for more use of it in our  daily lives! 

10


Maths Appreciation

The Swiss architect Le Corbusier, famous for his contribu‐ ons to the modern interna onal style, centered his design  philosophy on systems of harmony and propor on. Le Cor‐ busier's faith in the mathema cal order of the universe was  By Irene Lam  closely bound to the golden ra o and the Fibonacci series,  which he described as "rhythms apparent to the eye and  A perfect body figure has long been pursued by people re‐ gardless of gender, age and race in the course of history, of  clear in their rela ons with one another. And these rhythms  this, golden ra o plays an important role in concre zing the  are at the very root of human ac vi es. They resound in  man by an organic inevitability, the same fine inevitability  concept of “perfect”. Nevertheless, golden ra o does not  only contribute to the defini on of a perfect body shape, it  which causes the tracing out of the Golden Sec on by chil‐ dren, old men, savages and the learned."   exists in nature where the arrangement of branches along  stems of plants, veins in leaves, to the  propor on of chemi‐ Le Corbusier explicitly used the golden ra o in his Modulor  cal compounds, and even the branches of animals nerves. In  system for the scale of architectural propor on. He saw this  our daily live, golden plays an important role in aesthe cs,  system as a con nua on of the long tradi on of Vitruvius,  pain ngs, design and music, while its contribu on to archi‐ Leonardo da Vinci's "Vitruvian Man", the work of Leon  tecture is the most significant as seen from our magnificent  Ba sta Alber , and others who used the propor ons of the  though mysterious ancient edifice‐‐‐ the Egyp an Pyramids  human body to improve the appearance and func on of  and the Parthenon. Let us start apprecia ng the beauty of  architecture. In addi on to the golden ra o, Le Corbusier  nature and the ancient’s intelligence with the guide of math‐ based the system on human measurements, Fibonacci num‐ ema cs.  bers, and the double unit. He took sugges on of the golden 

The Parthenon  The Parthenon's façade as well as  elements of its façade and else‐ where are said by some to be  circumscribed by golden rectan‐ gles. Other scholars deny that the  Greeks had any aesthe c associa‐ on with golden ra o. For example, Midhat J. Gazalé says, "It  was not un l Euclid, however, that the golden ra o's mathe‐ ma cal proper es were studied. In the Elements (308 BC)  the Greek mathema cian merely regarded that number as  an interes ng irra onal number, in connec on with the mid‐ dle and extreme ra os. Its occurrence in regular pentagons  and decagons was duly observed, as well as in the dodecahe‐ dron (a regular polyhedron whose twelve faces are regular  pentagons). It is indeed exemplary that the great Euclid, con‐ trary to genera ons of mys cs who followed, would soberly  treat that number for what it is, without a aching to it other  than its factual proper es." And Keith Devlin says, "Certainly,  the o  repeated asser on that the Parthenon in Athens is  based on the golden ra o is not supported by actual meas‐ urements. In fact, the en re story about the Greeks and  golden ra o seems to be without founda on. The one thing  we know for sure is that Euclid, in his famous textbook Ele‐ ments, wri en around 300 BC, showed how to calculate its  value." Near‐contemporary sources like Vitruvius exclusively  discuss propor ons that can be expressed in whole numbers,  i.e. commensurate as opposed to irra onal propor ons.  A 2004 geometrical analysis of earlier research into the  Great Mosque of Kairouan reveals a consistent applica on of  the golden ra o throughout the design, according to Bous‐ sora and Mazouz. They found ra os close to the golden ra o  in the overall propor on of the plan and in the dimensioning  of the prayer space, the court, and the minaret. The authors  note, however, that the areas where ra os close to the gold‐ en ra o were found are not part of the original construc on,  and theorize that these elements were added in a recon‐ struc on. 

ra o in human propor ons to an extreme: he sec oned his  model human body's height at the navel with the two sec‐ ons in golden ra o, then subdivided those sec ons in gold‐ en ra o at the knees and throat; he used these golden ra o  propor ons in the Modulor system. Le Corbusier's 1927 Villa  Stein in Garches exemplified the Modulor system's applica‐ on. The villa's rectangular ground plan, eleva on, and inner  structure closely approximate golden rectangles.   Another Swiss architect, Mario Bo a, bases many of his de‐ signs on geometric figures. Several private houses he de‐ signed in Switzerland are composed of squares and circles,  cubes and cylinders. In a house he designed in Origlio, the  golden ra o is the propor on between the central sec on  and the side sec ons of the house.   In a recent book, author Jason Elliot speculated that the  golden ra o was used by the designers of the Naqsh‐e Jahan  Square and the adjacent Lo ollah mosque.   Egyp an pyramids  In the mid‐nineteenth century, Röber studied various Egyp‐ an pyramids including Khafre, Menkaure and some of the  Giza, Sakkara, and Abusir groups, and was interpreted as  saying that half the base of the side of the pyramid is the  middle mean of the side, forming what other authors iden ‐ fied as the Kepler triangle; many other mathema cal theo‐ ries of the shape of the pyramids have also been explored.   One Egyp an pyramid is remarkably close to a "golden pyra‐ mid"—the Great Pyramid of Giza (also known as the Pyramid  of Cheops or Khufu). Its slope of 51° 52' is extremely close to  the "golden" pyramid inclina on of 51° 50' and the π‐based  pyramid inclina on of 51° 51'; other pyramids at Giza  (Chephren, 52° 20', and Mycerinus, 50° 47') are also quite  close. Whether the rela onship to the golden ra o in these  pyramids is by design or by accident remains open to specu‐ la on.[82] Several other Egyp an pyramids are very close to  the ra onal 3:4:5 shape.  

11


Maths Jokes and Puzzles

Adding fuel to controversy over the architectural authorship  of  the  Great  Pyramid,  Eric  Temple  Bell,  mathema cian  and  historian, claimed in 1950 that Egyp an mathema cs would  not  have  supported  the  ability  to  calculate  the  slant  height  By Veronica Lau  of the pyramids, or the ra o to the height, except in the case  of  the  3:4:5  pyramid,  since  the  3:4:5  triangle  was  the  only  Q: Why do they never serve beer at a math party?  right triangle known to the Egyp ans and they did not know  the Pythagorean theorem, nor any way to reason about irra‐ A: Because you can't drink and derive...  onals such as π or φ.   Q: What happened to the plant in math class? A: It grew  square roots.  Michael Rice asserts that principal authori es on the history  of  Egyp an  architecture  have  argued  that  the  Egyp ans  were well acquainted with the golden ra o and that it is part  of mathema cs of the Pyramids, ci ng Giedon (1957). Histo‐ rians of science have always debated whether the Egyp ans  had  any  such  knowledge  or  not,  contending  rather  that  its  appearance in an Egyp an building is the result of chance.   In 1859, the pyramidologist John Taylor claimed that, in the  Great Pyramid of Giza, the golden ra o is represented by the  ra o of the length of the face (the slope height), inclined at  an angle θ to the ground, to half the length of the side of the  square  base,  equivalent  to  the  secant  of  the  angle  θ.  The  above  two  lengths  were  about  186.4  and  115.2  meters  re‐ spec vely. The ra o of these lengths is the golden ra o, ac‐ curate  to  more  digits  than  either  of  the  original  measure‐ ments.  Similarly,  Howard  Vyse,  according  to  Ma la  Ghyka,  reported  the  great  pyramid  height  148.2  m,  and  half‐base  116.4 m, yielding 1.6189 for the ra o of slant height to half‐ base, again more accurate than the data variability. 

Q: Why don't you do arithme c in the jungle? A: Because if  you add 4+4 you get ate!  Q: Why is 6 afraid of 7?  A: Because 7 8 9  Q: How do you know when you've reached your Math Pro‐ fessors voice‐mail?  A: The message is "The number you have dialed is imaginary.  Please, rotate your phone by 90 degrees and try again..." 

Teacher: Why are you doing your mul plica on on the floor?   Student: You told me not to use tables.     History vs Math   Once a math teacher and a history teacher had a fight  wheather maths is be er or history........... History teacher: I  will call all of Stalins army and kill you. Math teacher: Then I  will put all the army in the bracket and mul ply it by zero.  

Nature

Adolf Zeising, whose main interests were  mathema cs and philosophy, found the  golden ra o expressed in the arrange‐ ment of branches along the stems of  plants and of veins in leaves. He extended    his research to the skeletons of animals  and the branchings of their veins and  nerves, to the propor ons of chemical  compounds and the geometry of crystals,  even to the use of propor on in ar s c  endeavors. In these phenomena he saw the golden ra o op‐ era ng as a universal law. In connec on with his scheme for  golden‐ra o‐based human body propor ons, Zeising wrote  in 1854 of a universal law "in which is contained the ground‐ principle of all forma ve striving for beauty and complete‐ ness in the realms of both nature and art, and which perme‐ ates, as a paramount spiritual ideal, all structures, forms and  propor ons, whether cosmic or individual, organic or inor‐ ganic, acous c or op cal; which finds its fullest realiza on,  however, in the human form."   In 2010, the journal Science reported that the golden ra o is  present at the atomic scale in the magne c resonance of  spins in cobalt niobate crystals.   Since 1991, several researchers have proposed connec ons  between the golden ra o and human genome DNA.  

(Answers on next page) 

However, some have argued that many of the apparent man‐   ifesta ons of the golden ra o in nature, especially in regard  to animal dimensions, are in fact fic ous.     12 


Answers to Puzzles: 

13

HKJSMS newsletter mar 2014  
Advertisement