Exercices ⎧ ⎧ x=2 x=2 ⎪ 5. ⎪⎨ . F 2 ; 10 . ⇔ ⎨ 8 10 1 3 ⎪⎩ y = 3 x + 3 ⎪⎩ y = 3
(
)
On détermine les coordonnées du point d’intersection des droites d1 et d3 : ⎧ y = 2x − 4 ⎧ y = 2x − 4 ⎪⎧ y = 2x − 4 ⎪⎧ y = − ⎪ ⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ 1 9 1x − 9 ⇔ ⎨ y = x − 2x − 4 = x =1 ⎩⎪ ⎩⎪ x = 1 ⎪⎩ ⎪⎩ 4 4 4 4
51 Soit A (0,8 ; 0,8) et B (1,30 ; 0) 1. On détermine le coefficient directeur la droite ⎧ ⎧ y de = 2x − 4 y = 2x − 4 ⎪⎧ y = 2x − 4 ⎪⎧ y = −2 ⎪ ⎪ (AB) : ⇔⎨ . y A − yB 0,8 − 0 ⎨ y 8= 1 x − 9 ⇔ ⎨ 2x − 4 = 1 x − 9 ⇔ ⎨ m= = =− . x =1 ⎩⎪ ⎩⎪ x = 1 ⎪⎩ 4 4 4 0,8 − 1,30 ⎪⎩ 5 4 xA − xB On détermine les coordonnées du point d’intersection On calcule l’ordonnée à l’origine de la droite (AB) : des droites d2 et d3 : 0 = − 8 × 1,30 + p ⇔ p = 10,4 = 2,08 . 5 5 ⎧ ⎧ 3 13 ⎧ y = − 3 x + 13 ⎪ y = −2x + 2 ⎪ ⎪ y = − 3 x + 13 2 2 L’équation de la droite (AB) est y = − 8 x + 2,08 . 2 2 ⇔ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ 5 ⎪ y = 1x − 9 ⎪ − 3 x + 13 = 1 x − 9 ⎪⎩ x=5 La hauteur à laquelle l’échelle touche le mur corres4 4 4 4 2 ⎩ ⎩ 2 pond à l’ordonnée à l’origine de la droite (AB), soit ⎧ ⎧ 3 13 ⎧ y = − 3 x + 13 2,08m. ⎧⎪ y = −1 ⎪ ⎪ y = −2x + 2 ⎪ y = − 3 x + 13 2 2 2 2 2 2 ⇔⎨ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ 2. L = 1,3 + 2,08 ≈ 2,45 m. ⎨ ⎩⎪ x = 5 ⎪⎩ ⎪ y directeur = 1 x − 9 de la ⎪ − 3 x + 13 = 1 x − 9 x=5 52 1. On détermine le coefficient 4 4 2 4 4 ⎩ 2 ⎩ droite (RS) : On trouve A (3 ; 2), B (1 ; –2) et C (5 ; –1). yR − yS 3 2 + 1 1 55 1. La parallèle à d passant par l’origine du . m= = =− = xR − xS 3 − 9 −6 2 repère a pour coefficient directeur celui de d et pour On détermine le coefficient directeur de la droite (TU) : ordonnée à l’origine 0. Donc l’équation de cette droite yT − yU 3 4 1 1 − + est y = −3 x . m= = =− =− . xT − xU 10 − 4 6 2 2. Le coefficient directeur est –3 et la droite passe Les droites (RS) et (TU) ont le même coefficient direcpar le point de coordonnées (–2 ; 0) ; donc la droite a teur, elles sont donc parallèles. pour équation y = −3 x − 6 . On détermine le coefficient directeur de la droite (RU) : 56 1. Sur l’intervalle [0 ; 2][3 ; 4], la vitesse augy − yU m= R = 2 + 1 = 3 = −3. mente linéairement au cours du temps, le mouvexR − xU 3 − 4 −1 ment de la rame est accéléré. On détermine le coefficient directeur de la droite (TS) : Sur l’intervalle [2 ; 3][4 ; 4,5], la vitesse est constante y − yS m= T = −4 + 1 = − 3 = −3. au cours du temps, le mouvement est uniforme. xT − xS 10 − 9 1 Sur l’intervalle [4,5 ; 6], la vitesse diminue linéaireLes droites (RU) et (TS) ont le même coefficient direcment au cours du temps, le mouvement est décéléré. teur, elles sont donc parallèles. 0,3 = 0,15 km . min–2. 2. a = 2. Un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles 2 deux à deux est un parallélogramme, le quadrilatère 3. a = 0 km . min–2. −0,5 RSTU est donc un parallélogramme. = −1. 4. a = 6 − 4,5 3 53 Soit F’ le milieu de [EG] : 1 5. 0 = − × 6 + p ⇔ p = 2 . 3 xF ' = 12 + 6 = 9 et yF ' = 4 + 3 = 3,5. 2 2 L’équation de la droite (EF) est y = − 1 x + 2 . 3 On détermine le coefficient directeur de la droite (KF’) : y = − 1 × 5 + 2 = 1. yK − yF ' 3 3 −1,5 − 3,5 m= = = −2,5. La vitesse atteinte à 5 minutes du point A est : 11 − 9 xK − xF ' 1 km . min–1. On détermine le coefficient directeur de la droite (KF) : 3 y − yF −1,5 − 6 m= K = = −2,5 . 57 Soit H1 le projeté orthogonal du point H sur la xK − xF 11 − 8 droite (AB) et H2 le projeté orthogonal du point H sur Les coefficients directeurs des droites (KF’) et (KF) la droite (AD). sont égaux, les deux droites sont donc parallèles et Dans le repère (A, H1, H2), l’équation de la droite (AH) les points K, F et F’ sont alignés. a pour équation y = x et l’équation de la droite (FC) Le point K appartient bien à la médiane issue de F est y = x − 1. du triangle EFG. Les droites (FC) et (AH) ne sont pas confondues. 54 On détermine les coordonnées du point d’inter58 L’équation de la droite (DB) est y = − 58 x + 5 et section des droites d1 et d2 : l’équation de la droite (EF) est y = 2 . ⎧ y = 2x − 4 ⎧ y = 2x − 4 Les du point G satisfont le système ⎪⎧ y = 2 ⎪ ⎪ ⎪⎧ y = 2x − 4 coordonnées ⇔ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ d’équation suivant : 3 13 3 13 x=3 ⎪⎩ x = 3 ⎪⎩ ⎪⎩ y = − 2 x + 2 ⎪⎩ 2x − 4 = − 2 x + 2 ⎧ ⎧ y =2 y =2 ⎧ ⎪ ⎪ x−4 y = 2x − 4 ⎧⎪ y = 2 ⎧⎪ y = 2x − 4 ⎪ ⇔ . ⎨ ⎨ ⇔⎨ . ⇔⎨ x = 24 = 4,8 y = −5x +5 3 x + 13 ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ x + 13 2x − 4 = − 5 8 x=3 ⎩ ⎩ ⎩⎪ x = 3 ⎩⎪ ⎪⎩ 2 2 2 180