Issuu on Google+

‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬

‫ﺑﺎزي ﻫﺎي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ‬ ‫ﺳﻌﻴﺪ ﻣﻠﻜﻲ )‪(83106508‬‬ ‫ﺗﻴﺮﻣﺎه ‪1387‬‬


‫• ﻣﻘﺪﻣﻪ‪:‬‬ ‫ﻫﺪف از اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﺮرﺳﻲ ﺷﺎﺧﻪ اي از ﻧﻈﺮﻳﻪ ﺑﺎزي ﻫﺎﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ آن ﺑﺎزي ﻫﺎي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻨﺪ‪ .‬ﻓﻌﻼ ﻗﺼﺪ ﻧﺪارﻳﻢ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ را ارﺋﻪ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ وﻟﻲ ﺟﻠﻮﺗﺮ ﺑﻪ آن ﺧﻮاﻫﻴﻢ رﺳﻴﺪ‪ .‬ﺑﺎزي ﻫﺎي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﺟﺰو ﺑﺎزي ﻫﺎي ﺗﺮﻛﻴﺒﻴﺎﺗﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ دو ﺑﺎزﻳﻜﻦ اﺳﺖ و در آن ﻫﺎ ﺧﺒﺮي از ﺷﺎﻧﺲ‬ ‫)ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺗﺎس( و ﺑﻠﻮف ﻧﻴﺴﺖ‪ .‬ﭼﻴﺰي ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺑﺎزي ﻫﺎ ﻣﻬﻢ اﺳﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎزي در زﻣﺎن ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﭘﺎﻳﺎن ﻣﻲ ﭘﺬﻳﺮد‪.‬‬ ‫ﻧﻈﺮﻳﻪ ﺑﺎزي ﻫﺎي ﺗﺮﻛﻴﺒﻴﺎﺗﻲ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺷﺎﺧﻪ ﻋﻠﻤﻲ ﻫﻨﻮز دوران ﻧﻮزادي ﺧﻮد را ﻃﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻫﺎي زﻳﺎدي از ﺑﺎزي ﻫﺎي ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻪ ﭼﺎپ‬ ‫رﺳﻴﺪه اﻧﺪ ﻛﻪ ﻧﻘﻄﻪ آﻏﺎز آن ﻫﺎ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ ﺗﻮﺳﻂ ﺑﻮﺗﻮن در ﺳﺎل ‪ 1902‬ﺑﻮده اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻣﻨﺴﺠﻢ ﺑﺎزي ﻫﺎي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ در دﻫﻪ ‪ 1930‬ﺑﻪ ﻃﻮر‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ‪ ،‬ﺗﻮﺳﻂ اﺳﭙﺮاﮔﻮ و ﮔﺮاﻧﺪي ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺖ و ﻛﻤﻲ ﭘﺲ از آن ﺗﻮﺳﻂ ﮔﺎي و اﺳﻤﻴﺖ ﺗﻮﺳﻌﻪ و ﮔﺴﺘﺮش ﻳﺎﻓﺖ‪ .‬ﭘﺲ از آن ﻛﺎﻧﻮي ﻧﻈﺮﻳﻪ ﺑﺎزي‬ ‫ﻫﺎي ﭘﺎرﺗﻴﺰاﻧﻲ را ﻛﻪ ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺷﮕﺮﻓﻲ ﺑﻮد‪ ،‬اراﺋﻪ و ﺗﻮﺳﻌﻪ داد‪ .‬ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺟﺬاﺑﻴﺖ ﻃﺒﻴﻌﻲ اﻳﻦ ﺑﺎزي ﻫﺎ‪ ،‬اﻳﻦ ﺷﺎﺧﻪ ارﺗﺒﺎط ﻫﺎﻳﻲ ﺑﺎ دﻳﮕﺮ ﺷﺎﺧﻪ ﻫﺎي‬ ‫رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻛﺪﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ﮔﺮاف‪ ،‬ﺳﺎﺧﺘﺎر اﻋﺪاد‪ ،‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻲ‪ ،‬ﻣﻨﻄﻖ رﻳﺎﺿﻲ‪ ،‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻣﺘﺮوﻳﺪﻫﺎ‪ ،‬ﻧﻈﺮﻳﻪ ﺷﺒﻜﻪ ﻫﺎ و ﺟﺰ آن دارد‪.‬‬ ‫اﻛﺜﺮ ﻣﻄﺎﻟﺐ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻨﺎﺑﺮ آﻣﻮﺧﺘﻪ ﻫﺎي ﻣﻦ از ﺑﺎزي ﻫﺎي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﻧﺎﺷﻲ ﻣﻲ ﺷﻮد و ﺳﻌﻲ ﻛﺮده ام ﻛﻪ در آن از ﻣﺜﺎل ﻫﺎي ﻛﺘﺎب ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ]‪[1‬‬ ‫ﻛﻤﻚ ﺑﮕﻴﺮم‪.‬‬


‫•‬

‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ اوﻟﻴﻪ‪:‬‬ ‫ﭘﻴﺶ از ﺷﺮوع ﻻزم اﺳﺖ ﺗﻌﺮﻳﻔﻲ از ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ اراﺋﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :1‬ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﺑﺎزي اي اﺳﺖ ﻛﻪ ﺣﺮﻛﺖ ﻫﺎي ﻣﺠﺎز ﻓﻘﻂ ﺑﻪ وﺿﻌﻴﺖ ﺑﺎزي ﻣﺮﺗﺒﻂ اﺳﺖ و ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ ﻧﻮﺑﺖ ﻛﺪام ﺑﺎزﻳﻜﻦ اﺳﺖ رﺑﻄﻲ ﻧﺪارد‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺎﻻ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ ﻓﺮﻗﻲ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ 1‬و ‪ 2‬وﺟﻮد دارد اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ 1‬اول ﺑﺎزي را ﺷﺮوع ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ دو ﻓﺮض ﻣﻬﻢ اﻳﻦ‬ ‫ﻛﻪ ﺑﺎزي در زﻣﺎن ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﭘﺎﻳﺎن ﻣﻲ ﭘﺬﻳﺮد‪ .‬ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﻲ ﻛﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪ اي ﻧﺎ ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ از ﺣﺮﻛﺖ ﻫﺎي ﺑﺎزي وﺟﻮد ﻧﺪارد و ﻓﺮض دوم اﻳﻦ ﻛﻪ ﺑﺎزﻳﻜﻨﻲ ﻛﻪ‬ ‫ﻧﺘﻮاﻧﺪ ﺣﺮﻛﺖ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎزﻧﺪه ﺑﺎزي اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :2‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫ﺑﺎزﻳﻜﻨﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎزي را ﺷﺮوع ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :3‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫ﺑﺎزﻳﻜﻨﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎزي را ﺷﺮوع ﻧﻤﻲ ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ از اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ﺑﺎ اﻳﻦ دو ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺮاي دو ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻳﻚ ﺑﺎزي اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻳﻜﺴﺮي ﻣﺜﺎل ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ را‬ ‫روﺷﻦ ﺗﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺎﻻ ﺑﺎزي ﻫﺎﻳﻲ ﻣﺜﻞ ﺷﻄﺮﻧﺞ )ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ وﺟﻮد ﻓﺮق ﺑﻴﻦ ﻣﻬﺮه ﻫﺎي ﺳﻴﺎه و ﺳﻔﻴﺪ و ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﺑﻮدن ﺑﺎزي( و ﺗﺨﺘﻪ ﻧﺮد )ﺑﻪ‬ ‫ﺧﺎﻃﺮ ﺗﺎﺛﻴﺮ ﺗﺎس ﺑﺮ ﺑﺎزي و ﻓﺮق ﻛﺮدن ﻣﻬﺮه ﻫﺎ( از ﺟﻤﻠﻪ ﺑﺎزي ﻫﺎﻳﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫•‬

‫ﺑﺎزي ﻧﻴﻤﺒﻞ‪:‬‬ ‫ﺑﺎزي ﺳﺎده اي را در اﻳﻨﺠﺎ ﻣﻌﺮﻓﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ در آن ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﺪ دﺳﺖ ﻛﻢ ﺗﺎ وﻗﺘﻲ ﻛﻪ دوﺳﺘﺎﻧﺘﺎن ﻫﻢ راز و رﻣﺰ ﺑﺎزي را ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ‪ ،‬آن ﻫﺎ را ﺷﻜﺴﺖ‬ ‫ﺑﺪﻫﻴﺪ‪.‬‬

‫ﭼﻨﺪ ﺳﻜﻪ ﻳﺎ ﻣﻬﺮه را روي ﻧﻮاري ﻛﻪ ﺧﺎﻧﻪ ﺑﻨﺪي ﺷﺪه اﺳﺖ ﻗﺮار دﻫﻴﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻧﻮﺑﺖ‪ ،‬در ﻫﺮ ﺣﺮﻛﺖ ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﺳﻜﻪ را ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺣﺮﻛﺖ دﻫﻴﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺤﺪودﻳﺖ دﻳﮕﺮي وﺟﻮد ﻧﺪارد‪ ،‬ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﺪ ﺳﻜﻪ ﺧﻮد را روي ﺳﻜﻪ دﻳﮕﺮي ﻗﺮار دﻫﻴﺪ ﻳﺎ از روي ﺳﻜﻪ دﻳﮕﺮي ﺑﭙﺮﻳﺪ‪ ،‬ﺣﺘﻲ اﮔﺮ ﺑﺎ اﻳﻦ ﭘﺮش ﺳﻜﻪ از‬ ‫ﻧﻮار ﺑﻴﺮون ﺑﺮود‪ .‬در ﻫﺮ ﺧﺎﻧﻪ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﺪ ﻫﺮ ﺗﻌﺪاد ﺳﻜﻪ ﻛﻪ ﺑﺨﻮاﻫﻴﺪ ﺑﮕﺬارﻳﺪ‪ .‬در اﻳﻦ ﺑﺎزي ﺑﻨﺎ ﺑﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺑﺎزﻧﺪه ﻛﺴﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺘﻮاﻧﺪ ﺣﺮﻛﺘﻲ اﻧﺠﺎم‬ ‫دﻫﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻛﻪ ﺑﻔﻬﻤﻴﻢ در اﻳﻦ ﺑﺎزي ﭼﻪ ﻛﺴﻲ ﺑﺮﻧﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﻳﻜﺴﺮي وﺿﻴﻌﺖ ﻫﺎي ﺧﺎص را ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬


‫وﺿﻌﻴﺖ ‪1‬‬ ‫ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﺷﻤﺎ در اﻳﻦ ﺑﺎزي‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻞ از اﻳﻨﻜﻪ‬

‫ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺎزي ﺷﻮد ﻳﺎ ؟ اﮔﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫ﺑﺎزي را ﺑﻪ وﺿﻴﻌﺖ ‪ 2‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﻨﺪ آن ﮔﺎه‪ ،‬آﻳﺎ‬

‫ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎزي را‬

‫ﭼﻪ ﺣﺮﻛﺘﻲ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺒﺮد؟‬

‫وﺿﻌﻴﺖ ‪2‬‬ ‫در وﺿﻌﻴﺖ ‪ ،2‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫ﺑﺎﻳﺪ اول ﺣﺮﻛﺖ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻫﺮ ﺣﺮﻛﺘﻲ ﻛﻪ‬

‫اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪ ،‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﺳﻜﻪ دﻳﮕﺮ ﻫﻢ دﻗﻴﻘﺎ ﻫﻤﺎن ﺣﺮﻛﺖ را اﻧﺠﺎم‬

‫دﻫﺪ و ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﺎزي ﺑﻪ وﺿﻌﻴﺘﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ ﻛﻪ ﻳﺎ دو ﺳﻜﻪ دوﺑﺎره روي ﻫﻢ ﻗﺮار دارﻧﺪ و ﻧﻮﺑﺖ ﺑﺎزي ﺑﺎ‬ ‫اﺳﺖ و‬

‫ﻧﻮار ﺧﺎرج ﺷﺪه اﻧﺪ ﻛﻪ در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﭼﻮن ﻧﻮﺑﺖ ﺑﺎزي‬

‫ﺣﺮﻛﺖ ﻧﺪارد‪،‬‬

‫ﺑﺎزﻧﺪه و‬

‫اﺳﺖ و ﻳﺎ اﻳﻨﻜﻪ دو ﺳﻜﻪ از‬

‫ﺑﺮﻧﺪه ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬

‫ﺣﺎل در وﺿﻌﻴﺖ ‪ 3‬ﻛﺪام ﻳﻚ از دو ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺎزي ﺑﺎﺷﻨﺪ؟‬

‫وﺿﻌﻴﺖ ‪3‬‬ ‫ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫ﺳﻜﻪ ﺧﺎﻧﻪ ‪ 7‬را در ﺧﺎﻧﻪ ‪ 3‬ﻗﺮار ﻣﻲ دﻫﺪ و ﺑﺎ دﻳﮕﺮ ﺑﺎزي ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺣﺎﻟﺖ ﻗﺒﻞ ﻣﺘﻘﺎرن ﻣﻲ ﺷﻮد و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻫﺮ ﺣﺮﻛﺘﻲ ﻛﻪ‬

‫ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﺸﺎﺑﻪ آن را اﻧﺠﺎم دﻫﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ‬

‫ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺑﺎزي‬

‫اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪،‬‬

‫ﺑﺮﻧﺪه ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬

‫ﺑﻪ ﻋﻤﻠﻲ ﻛﻪ در ﻫﺮ دو ﺑﺎزي وﺿﻌﻴﺖ ‪ 1‬و ‪ 3‬اﻧﺠﺎم دادﻳﻢ و ﺑﺎزي را ﻣﺘﻘﺎرن ﻛﺮدﻳﻢ‪ ،‬ﻋﻤﻞ ﻣﺘﻘﺎرن ﺳﺎزي ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻴﻢ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ اﻳﻦ ﻋﻤﻞ در ﻛﺘﺎب ﺑﺎزي‬ ‫ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ]‪ [1‬اﺻﻞ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺳﺎزي ﻧﺎم ﺑﺮده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻋﻤﻞ ﻣﺘﻘﺎرن ﺳﺎزي ﺑﺮاي ﻫﻤﻪ وﺿﻌﻴﺖ ﻫﺎي ﺑﺎزي ﻧﻴﻤﺒﻞ ﻛﺎر ﻧﻤﻲ ﻛﻨﺪ )ﻻاﻗﻞ در ﻳﻚ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻛﺎر ﻧﻤﻲ ﻛﻨﺪ!(‪ .‬ﻣﺜﻼ وﺿﻌﻴﺖ ‪ 4‬را در‬ ‫ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪.‬‬

‫وﺿﻌﻴﺖ ‪4‬‬ ‫•‬

‫ﺑﺎزي‬

‫و ‪:‬‬

‫در اﻳﻨﺠﺎ ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ دو ﺗﻌﺮﻳﻒ دﻳﮕﺮ اراﺋﻪ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬


‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :4‬ﻳﻚ وﺿﻌﻴﺖ از ﻳﻚ ﺑﺎزي دﻟﺨﻮاه را‬

‫ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻴﻢ اﮔﺮ در آن ﺑﺎزي ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻧﻔﺮ اول )ﻳﻌﻨﻲ ( ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اي ﺗﺎ اﻧﺘﻬﺎي ﺑﺎزي‪ ،‬ﺑﺎزي ﻛﻨﺪ‬

‫ﻛﻪ اﮔﺮ ﻧﻔﺮ دوم )ﻳﻌﻨﻲ ( ﻫﺮ ﺑﺎزي اي ﻛﻪ اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪،‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :5‬ﻳﻚ وﺿﻌﻴﺖ از ﻳﻚ ﺑﺎزي دﻟﺨﻮاه را‬

‫ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫ﻣﻲ ﮔﻮﻳﻴﻢ اﮔﺮ در آن ﺑﺎزي ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻧﻔﺮ دوم )ﻳﻌﻨﻲ ( ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اي ﺗﺎ اﻧﺘﻬﺎي ﺑﺎزي‪ ،‬ﺑﺎزي‬

‫ﻛﻨﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻧﻔﺮ اول )ﻳﻌﻨﻲ ( ﻫﺮ ﺑﺎزي اي ﻛﻪ اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪،‬‬

‫ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬

‫در واﻗﻊ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺗﻌﺮﻳﻒ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺳﺎده ﻛﺮد‪:‬‬ ‫وﺿﻌﻴﺘﻲ ﻛﻪ در آن ﺣﺮﻛﺘﻲ ﻧﺪارﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺎزي‬ ‫ﻓﻘﻂ ﺑﺘﻮان ﺑﻪ وﺿﻌﻴﺖ ﻫﺎي‬ ‫•‬

‫اﺳﺖ‪ .‬وﺿﻌﻴﺘﻲ ﻛﻪ در آن ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﺘﻮان ﺑﻪ ﻳﻚ وﺿﻌﻴﺖ‬

‫ﺑﺮوﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺎزي‬

‫ﺑﺮوﻳﻢ‪ ،‬ﺑﺎزي‬

‫اﺳﺖ‪ .‬وﺿﻌﻴﺘﻲ ﻛﻪ در آن‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﺣﺎل ﺑﻪ ﺷﺮح ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻬﻤﺘﺮﻳﻦ ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ اﺳﺖ ﻣﻲ ﭘﺮدازﻳﻢ‪.‬‬ ‫ﺑﺎزي اول را ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ ﻧﻴﻤﺒﻞ ﻧﺎﻣﻴﺪﻳﻢ‪ ،‬ﻛﻪ ﻳﻜﻲ از ﺷﻜﻞ ﻫﺎي ﻣﺘﻨﻮع ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻴﻢ ﺑﺎ ﭼﻨﺪ ﻛﭙﻪ ﻟﻮﺑﻴﺎ ﺑﺎزي ﻣﻲ ﺷﻮد‪ .‬وﻗﺘﻲ ﻧﻮﺑﺖ ﺣﺮﻛﺖ‬ ‫ﺷﻤﺎﺳﺖ‪ ،‬ﻳﻚ ﻛﭙﻪ را اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻲ ﻛﻨﻴﺪ و ﻫﺮ ﭼﻨﺪ ﺗﺎ ﻟﻮﺑﻴﺎ ﻛﻪ ﺑﺨﻮاﻫﻴﺪ ﺑﺮ ﻣﻲ دارﻳﺪ‪ ،‬ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﺪ ﺣﺘﻲ ﻛﻞ ﻟﻮﺑﻴﺎﻫﺎي ﻳﻚ ﻛﭙﻪ را ﺑﺮدارﻳﺪ‪ ،‬اﻣﺎ ﺑﺎﻳﺪ دﺳﺖ‬ ‫ﻛﻢ ﻳﻚ ﻟﻮﺑﻴﺎ را ﺑﺮدارﻳﺪ‪ .‬در ﻧﻴﻤﺒﻞ ﺳﻜﻪ اي را ﻛﻪ ﺧﺎﻧﻪ ﺷﻤﺎره ‪ 6‬اﺳﺖ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﺪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺧﺎﻧﻪ ﻫﺎي ‪ 0،1،2،3،4،5‬و ﻳﺎ ﺑﻪ ﺑﻴﺮون ﻧﻮار ﺑﺒﺮﻳﺪ‪ .‬در‬ ‫ﻧﻴﻢ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﺪ ﻳﻚ ﻛﭙﻪ ‪ 6‬ﺗﺎﻳﻲ ﻟﻮﺑﻴﺎ را ﺑﻪ ﻛﭙﻪ اي ﺑﺎ ‪ 1،2،3،4،5‬و ﻳﺎ ﺻﻔﺮ ﻟﻮﺑﻴﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﻨﻴﺪ‪ .‬ﭘﺲ اﮔﺮ ﺑﻠﺪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﻛﻪ در ﻧﻴﻢ ﭼﻄﻮر ﺑﺮﻧﺪه ﺷﻮﻳﺪ‪ ،‬در‬ ‫ﻧﻴﻤﺒﻞ ﻫﻢ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﺪ ﺑﺮﻧﺪه ﺷﻮﻳﺪ‪.‬‬ ‫را در ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ؟ و ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﺣﺮﻛﺖ ﻫﺎ زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻪ در وﺿﻌﻴﺖ‬

‫ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﻢ وﺿﻌﻴﺖ ﻫﺎي‬

‫ﻫﺴﺘﻴﺪ‪ ،‬ﭼﻴﺴﺖ؟ اﺑﺘﺪا ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻓﻘﻂ‬

‫ﻳﻚ ﻛﭙﻪ ﻟﻮﺑﻴﺎ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬ﻣﺴﻠﻤﺎ ﻛﻞ ﻛﭙﻪ را ﺑﺮﻣﻲ دارﻳﺪ‪ :‬ﻃﺮف ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻧﻤﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺣﺮﻛﺘﻲ اﻧﺠﺎم دﻫﺪ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲ ﺑﺎزد! ﺣﺎل ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ دﻗﻴﻘﺎ‬ ‫دو ﻛﭙﻪ ﻟﻮﺑﻴﺎ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ .‬اﮔﺮ ﺗﻌﺪاد ﻟﻮﺑﻴﺎﻫﺎي دو ﻛﭙﻪ ﻳﻜﻲ ﻧﺒﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻴﺪ از ﻛﭙﻪ ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﺑﻜﺎﻫﻴﺪ ﺗﺎ ﺑﻪ اﻧﺪازه ﻛﭙﻪ ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ ﺷﻮد‪ .‬آﻧﮕﺎه از ﻋﻤﻞ‬ ‫اﺳﺖ و در ﺷﺮاﻳﻄﻲ ﻛﻪ دو ﻛﭙﻪ ﻧﺎﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ ﺑﺎزي‬

‫ﻣﺘﻘﺎرن ﺳﺎزي اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﭘﺲ در ﺷﺮاﻳﻂ دو ﻛﭙﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎزي‬

‫اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل اﮔﺮ ﺑﻴﺶ از دو‬

‫ﻛﭙﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﭼﻪ ﺟﻮاﺑﻲ دارﻳﻢ؟‬ ‫اﻛﻨﻮن ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﻛﻤﻲ آﺷﻨﺎ ﺷﺪه اﻳﻢ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﻲ دﻗﻴﻖ ﺗﺮ آن ﻫﺎ ﻣﻲ ﭘﺮدازﻳﻢ‪.‬‬

‫• ﺟﻤﻊ دو ﺑﺎزي‬ ‫آﻳﺎ ﺗﺎ ﺑﻪ ﺣﺎل ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻓﻜﺮ ﻛﺮده ﺑﻮدﻳﺪ ﻛﻪ دو ﺑﺎزي را ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻫﻢ زﻣﺎن اﻧﺠﺎم دﻫﻴﺪ؟ ﻳﻌﻨﻲ ﻣﺜﻼ دو ﺑﺎزي‬ ‫و ‪ .‬ﻫﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ در ﻧﻮﺑﺖ ﺧﻮد ﺑﻪ دﻟﺨﻮاه ﺧﻮدش ﻳﻚ ﺣﺮﻛﺖ در ﺑﺎزي‬ ‫ﻧﻤﺎد‬

‫و ﻳﺎ ﻳﻚ ﺣﺮﻛﺖ در ﺑﺎزي‬

‫و‬

‫دارﻳﻢ و دو ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫اﻧﺠﺎم ﻣﻲ دﻫﺪ‪ .‬ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺑﺎزي ﺟﺪﻳﺪ‬

‫را ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲ ﺑﺮﻳﻢ‪ .‬ﻣﺜﻼ ﺟﻤﻊ ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ و ﻧﻴﻤﺒﻞ از اﻳﻦ ﻧﻮع اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻋﻤﻠﮕﺮ ﺷﺮﻛﺖ ﭘﺬﻳﺮ )‬ ‫اﻛﻨﻮن ﺑﻴﺎﻳﻴﺪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ‬

‫و ‪،‬‬

‫)‬ ‫و ﻳﺎ‬

‫)‬

‫((‬

‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬وﺿﻌﻴﺖ ﺑﺎزي‬

‫‪P‬‬

‫‪N‬‬

‫(‬

‫و ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ‬

‫را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬

‫)‪(G,H‬‬

‫ﻫﺴﺖ‪.‬‬


‫‪P‬‬ ‫?‬

‫‪N‬‬ ‫‪P‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ﺟﺪول‬

‫ﭼﺮا وﻗﺘﻲ‬

‫و‬

‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ در ﺑﺎزي‬ ‫ﻛﻪ وﺿﻌﻴﺖ ﺑﺎزي را در‬ ‫ﭼﺮا وﻗﺘﻲ‬

‫ﺑﺎزي‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫‪ ،‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫)ﻧﻔﺮ اول( ﺑﺎزي اي از‬ ‫ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺷﻜﻞ اﮔﺮ‬

‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ‬

‫و ﺑﺎزي‬

‫در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫ﺣﺮﻛﺘﻲ را در‬

‫و‬

‫ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫وﻟﻲ وﻗﺘﻲ‬

‫در‬

‫اﻧﺠﺎم ﻣﻲ دﻫﺪ ﻛﻪ وﺿﻌﻴﺖ ﺑﺎزي را در‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺎزي‬

‫‪1‬‬

‫اﺳﺖ ﻛﻪ‬

‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺎزي‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻋﻀﻮ ﺧﻨﺜﻲ ﻋﻤﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫ﭼﻪ ﻣﻲ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ؟ ﺗﻤﺎم ﺳﺨﺘﻲ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﺑﺎزي ﻫﺎي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﻋﺪم وﺟﻮدﺟﻮاب‬

‫در ﻣﻮرد ﺑﺎزي‬

‫ﻣﺸﺨﺺ ﺑﺮاي‬

‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ‬

‫ﻣﻲ ﻛﻨﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺎﺑﺮ ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ‬

‫در آن ﺑﺎزي ﺧﻮد را ﻛﺮده اﺳﺖ‪ .‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ‬

‫ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﻗﺒﻠﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎزي‬ ‫و‬

‫ﺑﺎزي ﻣﻨﺎﺳﺐ را در‬

‫اﻧﺠﺎم ﻣﻲ دﻫﺪ‪.‬‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﻛﻪ در آن‬

‫‪1‬‬

‫را اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪ ،‬ﺣﺎل ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬ ‫ﺑﺎزي ﻛﻨﺪ‪،‬‬

‫)ﻧﻔﺮ دوم( ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺣﺮﻛﺘﻲ را در‬

‫اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‬

‫در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﺳﺖ!‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪( ) :6‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ ﻳﻚ ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ ﻳﻚ ﻛﭙﻪ اي ﺑﺎ‬ ‫)(‬

‫) (‬

‫ﻣﻨﻈﻮر اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎزي‬

‫و‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻋﻤﻞ ﻣﺘﻘﺎرن ﺳﺎزي دارﻳﻢ ﻛﻪ‬ ‫اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ﻫﺮ ﺟﺎ ﻧﻮﺷﺘﻴﻢ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :7‬ﺑﺎزي‬

‫را ﺑﺎ ﺑﺎزي‬

‫ﻗﻀﻴﻪ ‪ :1‬ﺑﺎزي‬

‫ﺑﺎ ﺑﺎزي‬

‫اﺛﺒﺎت‪ :‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺎزي‬

‫ﻟﻮﺑﻴﺎ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ‬ ‫از ﻟﺤﺎظ‬

‫)(‬

‫و‬ ‫و‬

‫ﺑﺎ ﺑﺎزي‬

‫اﮔﺮ‬

‫ﺑﻮدن‪ ،‬ﻳﻜﻲ اﻧﺪ‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدل ﮔﻮﻳﻴﻢ اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﺑﺎزي دﻟﺨﻮاه ‪،‬‬ ‫ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ اﮔﺮ و ﻓﻘﻂ اﮔﺮ‬

‫) (‬

‫‪ .‬از‬

‫‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫ﺑﺎزي‬ ‫ﺻﻔﺤﻪ‬

‫ﻳﻚ ﺑﺎزي‬ ‫را ﺑﻪ‬

‫‪1‬‬

‫اﺳﺖ‪ .‬زﻳﺮا اﮔﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫در ﻫﺮ ﻛﺪام از دو ﺑﺎزي‪ ،‬ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺎزي را ﺑﻪ‬

‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﻨﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺎزي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ‬

‫ﺻﻔﺤﻪ ﻫﺎي ﺑﺎزي ﻫﺎ را ﻣﺘﻘﺎرن ﻣﻲ ﻛﻨﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ‬

‫ﺣﺎل ﺑﺮﻋﻜﺲ‪ ،‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ‬

‫و‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ .‬ﭘﺲ‬

‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫‪1‬‬

‫ﻣﻲ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﺣﺮﻛﺖ ‪،‬‬

‫ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ دﻳﮕﺮ‬

‫ﺣﺮﻛﺘﻲ دارد ﻛﻪ دوﺑﺎره‬

‫‪.‬‬

‫ﻳﻚ ﺑﺎزي دﻟﺨﻮاه اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪.‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬


‫ﺑﺎزي ﺧﻨﺜﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل دارﻳﻢ‪:‬‬

‫ﭼﻮن ﻗﺒﻼ ﻧﺸﺎن دادﻳﻢ ﻛﻪ‬

‫‪.‬‬

‫ﭘﺲ دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻌﺎدل ﺑﻮدن دو ﺑﺎزي‬

‫و‬

‫ﻳﻜﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﻧﻤﺎد ~ را ﺑﺮاي ﻣﻌﺎدل ﺑﻮدن ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲ ﺑﺮﻳﻢ‪.‬‬

‫ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻤﻮم‬

‫وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ) (‬

‫ﻗﻀﻴﻪ ‪ :2‬ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ‪،‬‬

‫~ ‪.‬‬

‫ﺑﺮاي اﺛﺒﺎت اﻳﻦ ﻗﻀﻴﻪ ﻓﺮض ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺧﻮاﻧﻨﺪه ﺑﺎ درﺧﺖ ﻳﻚ ﺑﺎزي آﺷﻨﺎ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬اﮔﺮ ارﺗﻔﺎع درﺧﺖ ﺑﺎزي‬

‫اﺛﺒﺎت‪ :‬ﺣﻜﻢ را ﺑﻪ ﻛﻤﻚ اﺳﺘﻘﺮا روي ارﺗﻔﺎع درﺧﺖ ﺑﺎزي‬ ‫ﻗﺮار دارد‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎ ﻳﻚ )‪(0‬‬

‫ﺑﺎزي در ﻳﻚ وﺿﻌﻴﺖ‬

‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺣﻜﻢ ﺑﺮاي ﺗﻤﺎم ﺑﺎزي ﻫﺎ ﺑﺎ ارﺗﻔﺎع ﻧﺎﺑﻴﺸﺘﺮ از‬ ‫‪2, … ,‬‬

‫وﺿﻌﻴﺖ ﻫﺎي‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم‬

‫‪1,‬‬

‫ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻳﻌﻨﻲ‬

‫ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ‪ ،‬ﭼﻮن ﻧﻴﻢ ﺑﺪون ﻣﻬﺮه ﻧﻴﺰ ﺑﺎزي‬

‫در ﺣﺎﻟﺖ ﭘﺎﻳﺎﻧﻲ اﺳﺖ و‬

‫اﺳﺖ و‬

‫درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ و ارﺗﻔﺎع درﺧﺖ ‪1 ،‬‬

‫‪.‬‬ ‫ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ‬

‫اﺳﺖ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫~‬

‫ﺑﺎ ﻳﻚ ﺣﺮﻛﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺷﻮد و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ) (‬

‫‪ . :‬ﺣﺎل اﺣﺘﻴﺎج داﻳﻢ ﻛﻪ‬

‫را ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪( ) :8‬‬

‫ﻛﻪ در آن ‪0‬‬ ‫)‬

‫ﺣﺎل ادﻋﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ اﮔﺮ‬

‫‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻛﻮﭼﻜﺘﺮﻳﻦ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ )از ﺟﻤﻠﻪ ﺧﻮد ﺻﻔﺮ( اﺳﺖ ﻛﻪ در‬ ‫(‬

‫‪1, … ,‬‬

‫‪ ،‬آن ﮔﺎه ) (‬

‫ﻧﻴﺎﻣﺪه اﺳﺖ‪.‬‬

‫) (‬

‫~ ﻳﻌﻨﻲ ﺑﺎﻳﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ‬

‫‪.‬‬

‫دو ﺣﺎﻟﺖ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫)ﻧﻔﺮ اول( در ﻧﻮﺑﺖ ﺧﻮد از ﺑﺎزي‬

‫ﺣﺎﻟﺖ ‪ :1‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬ ‫) (‬ ‫) (‬

‫) (‬ ‫) (‬

‫و در ﻧﺘﻴﺠﻪ‬

‫ﺑﻪ‬

‫‪1, … ,‬‬

‫(‬

‫‪1, … ,‬‬

‫ﺷﻮد‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺎﻳﺪ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﻢ‬

‫~‬

‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺎﺑﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻌﺎدل ﺑﻮدن ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ‬

‫(‬

‫ﭘﺲ‬

‫ﭘﺲ‬ ‫) (‬

‫ﺑﺎزي ﻛﻨﺪ ]اﮔﺮ ‪0‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ‪ [.‬و ) (‬

‫‪ . :‬ﺣﺎل ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬

‫ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ در ﺑﺎزي‬ ‫~‬

‫‪ .‬دارﻳﻢ ﻛﻪ‬ ‫‪.‬‬

‫را ﺑﻪ ) (‬

‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﻨﺪ‪.‬‬

‫ﺑﺎزي اي را اﻧﺠﺎم دﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﺎزي ﺗﺒﺪﻳﻞ‬

‫در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪:‬‬ ‫) (‬

‫) (‬

‫‪.‬‬

‫ﭼﻮن ﻛﻪ‬ ‫ﭘﺲ ) (‬

‫~ ﻣﺴﺘﻘﻞ از اﻳﻨﻜﻪ‬

‫ﭼﻪ ﺣﺮﻛﺘﻲ اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪.‬‬

‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﺑﺰاري ﻛﻪ دارﻳﻢ ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ و ﻣﻌﺎدﻻ ﺑﺎزي ﻧﻴﻤﺒﻞ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ‪ .‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫‪1, 2, … ,‬‬

‫) ﻳﺎ‬

‫) (‬

‫ﭘﺲ‬

‫) (‬

‫‪.‬‬

‫)ﻧﻔﺮ اول( در ﻧﻮﺑﺖ ﺧﻮد از ﺑﺎزي ) (‬

‫ﺣﺎﻟﺖ ‪ :2‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬ ‫ﭼﻮن )‬

‫ﺑﺎزي ﻛﻨﺪ و وﺿﻌﻴﺖ ﺑﺎزي را ﺑﻪ‬

‫‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا دارﻳﻢ ) (‬ ‫‪ .‬ﭼﻮن )‬

‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺎﻳﺪ ﻧﺸﺎن دﻫﻴﻢ‬

‫ﺗﺎﻳﻲ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎزي‬

‫دﻗﻴﻘﺎ ﺑﺮاﺑﺮ )‬

‫(‬

‫…‬

‫ﺑﻮدن( ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ روﺷﻲ ﺑﺮاي ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن اﻳﻨﻜﻪ ﺑﺎزي ) (‬

‫)‪( 1‬‬

‫)‪( 2‬‬ ‫) (‬

‫ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ‬

‫ﻛﻮﭘﻪ اي ﺑﺎ ﻛﻮﭘﻪ ﻫﺎي‬

‫اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺮاي ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن ﺟﻮاب‬

‫ﻣﻌﺎدل ﻛﺪام ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻴﺎﺑﻴﻢ‪.‬‬


‫~) (‬

‫ادﻋﺎ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ) (‬

‫) (‬

‫‪.‬‬

‫ﻛﻪ در آن‬

‫در واﻗﻊ ﻣﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻳﻚ ﻧﻴﻢ ‪ 3‬ﻛﻮﭘﻪ اي ﺑﺎ ﻛﻮﭘﻪ ﻫﺎي ‪ , ,‬ﺗﺎﻳﻲ ﻛﻪ ‪0‬‬ ‫از ﻛﻮﭘﻪ ﺗﺎﻳﻲ ﺗﻌﺪادي ﻟﻮﺑﻴﺎ ﺑﺮﻣﻲ دارد و از آن‬

‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺎزﻳﻜﻦ‬ ‫‪0‬‬

‫ﺗﺎ ﻟﻮﺑﻴﺎ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ رﻗﻤﻲ ﻛﻪ ﺑﺎ‬

‫ﭘﺲ رﻗﻢ ام ‪ 1 ،‬اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ رﻗﻢ ام‬ ‫ﺗﺎﻳﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮد ﻛﻪ ‪0‬‬

‫ﺑﺮداﺷﺖ و آن را ﺑﻪ ﻛﻮﭘﻪ‬

‫‪ ،‬ﻳﻚ ﺑﺎزي‬

‫ﭘﺲ رﻗﻢ ام ‪ 1‬اﺳﺖ و رﻗﻢ ام‬

‫در ﻣﺒﻨﺎي دو ﺑﺎ ﻫﻢ ﺗﻔﺎوت دارﻧﺪ در رﻗﻢ ام اﺳﺖ‪ .‬ﭼﻮن‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل ﭼﻮن‬

‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ ﭘﺲ ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻛﻮﭘﻪ‬

‫‪ .‬زﻳﺮا ﻓﻘﻂ ﺗﺎ رﻗﻢ اول‬

‫آن ﻗﺪر ﻣﻬﺮه‬

‫ﺑﺎ‬

‫ﻓﺮق دارد‪.‬‬ ‫) (‬

‫) (‬

‫ﺣﺎل ﺑﺮاي ﺣﻞ ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ )‬

‫(‬

‫ﭘﺲ ‪0‬‬

‫) (‬ ‫)‪( 2‬‬

‫…‬

‫‪ ...‬و ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻳﻚ ﺑﺎزي )‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ‬

‫و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ) (‬

‫…‪2‬‬

‫ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ‪ .‬اﮔﺮ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‬

‫) (‬

‫)‪( 1‬‬ ‫‪1‬‬

‫(‬

‫ﺟﺎي دو ﻛﭙﻪ اول‪ ،‬ﺗﻚ ﻛﭙﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺶ را ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ و‬ ‫ﺑﺎﻗﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﻣﺎﻧﺪ ﻛﻪ‬

‫اﺳﺖ و اﮔﺮ ﻧﺎﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ‬

‫) (‬

‫‪.‬‬

‫ﻳﺎ‬

‫ﺑﻮدن آن ﺑﻪ اﻳﻦ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد ﻛﻪ‬

‫اﺳﺖ‪.‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﻄﺎﻟﺐ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه روﺷﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﺮ ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﺮاي ﺣﻞ ﻳﻚ ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﺑﻪ‬ ‫ﻧﺤﻮي ﺑﺎزي ﻧﻴﻢ ﻣﻌﺎدل آن را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪ :9‬اﮔﺮ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ) (‬

‫ﻳﻚ ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪( ) ،‬‬

‫)‪( 2‬‬

‫درﻧﺘﻴﺠﻪ‬

‫ﻋﺪدي اﺳﺖ ﻛﻪ‬

‫ﺧﻮش ﺗﻌﺮﻳﻒ اﺳﺖ‪ ،‬زﻳﺮا اﮔﺮ ) ‪( 1‬‬ ‫)‪( 1‬‬

‫ﺑﺎ ﺗﻚ ﻛﻮﭘﻪ ) (‬

‫~ و )‪( 2‬‬

‫و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ دارﻳﻢ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫ﺗﺎﻳﻲ ﻣﻌﺎدل اﺳﺖ‪.‬‬

‫~ آن ﮔﺎه دارﻳﻢ ) ‪( 2‬‬

‫~) ‪( 1‬‬

‫‪ .‬اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ را ﺑﺎ ﻃﺮح ﻳﻚ ﺑﺎزي ﭘﺎﻳﺎن ﻣﻲ دﻫﻴﻢ‪:‬‬

‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻚ ﻣﻴﺰ ﺑﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ‪ 1387‬ﺳﺎﻧﺘﻲ ﻣﺘﺮ ﻣﺮﺑﻊ دارﻳﻢ و ‪ 1387‬ﺗﺎ ﺳﻜﻪ ﺑﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ‪ 1‬ﺳﺎﻧﺘﻲ ﻣﺘﺮ ﻣﺮﺑﻊ‪ .‬ﻫﺮ ﻛﺲ در ﻧﻮﺑﺖ ﺧﻮد ﺣﻖ دارد ﻳﻚ‬ ‫ﺳﻜﻪ را در ﺻﻔﺤﻪ ﻃﻮري ﻗﺮار دﻫﺪ ﻛﻪ ﺗﻤﺎم آن ﺳﻜﻪ روي ﺻﻔﺤﻪ ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺮ روي ﺳﻜﻪ دﻳﮕﺮي ﻗﺮار ﻧﮕﻴﺮد‪ .‬اي ﺑﺎزي را‬ ‫اﻟﻒ( آﻳﺎ‬

‫ﻳﻚ ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ اﺳﺖ؟‬

‫ب( )‪(2008‬‬

‫ﺑﺎزي‬

‫اﺳﺖ ﻳﺎ ؟‬

‫ﺑﻨﺎﻣﻴﺪ‪.‬‬


‫• ﻣﻨﺎﺑﻊ‬ ‫ ﺗﺮﺟﻤﻪ دﻛﺘﺮ ﺳﻴﺪ ﻋﺒﺪاﷲ ﻣﺤﻤﻮدﻳﺎن و آﻧﺎﻫﻴﺘﺎ آرﻳﺎﭼﻬﺮ‬،‫ ﮔﺎي‬.‫ ﻧﻮﺷﺘﻪ رﻳﭽﺎرد ك‬،‫ﻛﺘﺎب ﺑﺎزي ﻣﻨﺼﻔﺎﻧﻪ‬

.1

http://www.cut-the-knot.org/recurrence/Nimble.shtml http://yucs.org/~gnivasch/cgames/index.html

.2 .3


hhhhhhhhhhhhhhhdh