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Finito di stampare nel mese di settembre 2013 per conto di Hevelius Edizioni & Betelgeuse s.r.l. da Aesse Stampa - Benevento ISBN 978-88-86977-87-6


Raffaele Mauro

FUNZIONI ALEATORIE E PROCESSI DI TRAFFICO una introduzione

HEVELIUS EDIZIONI


Il presente volume è stato stampato con il contributo di Famas System S.p.A. – Egna (BZ) (contratto codice SAP UNITN 30102440 – “Indagini metodologiche ed applicative nel campo dell’Ingegneria del Traffico e delle Infrastrutture Viarie”)


Indice 1. INTRODUZIONE AI PROCESSI ALEATORI E DI TRAFFICO 11 1.1. Generalità sulle funzioni aleatorie ...................................................... 11 1.1.1. Tipi di processi aleatori ........................................................... 14 1.2. Processi aleatori di traffico notevoli.................................................... 17 1.2.1. Processo degli arrivi e processo dei conteggi di traffico ........ 17 1.2.2. Processo dei distanziamenti temporali .................................... 22 1.2.3. Processi delle velocità ............................................................. 26 1.2.4. Processi delle densità veicolari ............................................... 28 1.3. Processi empirici di traffico nello spazio e nel tempo. Variabili macroscopiche del deflusso .................................................. 29 Riferimenti bibliografici ............................................................................... 33

2. CARATTERIZZAZIONE STATISTICA DELLE FUNZIONI ALEATORIE 35 2.1. Statistiche dei processi aleatori ........................................................... 35 2.2. Stazionarietà dei processi aleatori....................................................... 43 2.3. Ergodicità di un processo aleatorio..................................................... 48 2.4. Cenni sulla determinazione delle caratteristiche di un processo aleatorio ............................................................................................... 54 Riferimenti bibliografici ............................................................................... 61

3. ALCUNI PROCESSI ALEATORI NOTEVOLI 63 3.1 Principali processi aleatori ................................................................. 63 3.1.1 Processi puramente casuali o di rinnovamento ....................... 63 3.1.2 Processi Markoviani ............................................................... 64 3.1.3 Rumore bianco ......................................................................... 65 3.1.4 Processi gaussiani ................................................................... 66 3.2 Processi autoregressivi e a media mobile............................................ 67 3.2.1 Processo autoregressivo AR(p) ............................................... 67


3.2.2 Modello a media mobile MA(q) ............................................... 68 3.2.3 Processi ARMA(q,p) e ARIMA(p,d,q) ...................................... 68 3.2.4 Passeggiata aleatoria (Random Walk) .................................... 71 3.3 Alcuni cenni ai problemi di inferenza .................................................. 73 Riferimenti bibliografici ............................................................................... 76

4. STAZIONARIETÀ DEL DEFLUSSO VEICOLARE

77 4.1. Equilibrio statistico e stazionarietà del deflusso ................................. 77 4.2. Portata di traffico e stazionarietà del deflusso .................................... 78 4.3. Criteri per la verifica della stazionarietà del deflusso ........................ 81 4.4. Alcune osservazioni conclusive ............................................................ 84 Riferimenti bibliografici ............................................................................... 85

5. IL PROCESSO DEI CONTEGGI DI TRAFFICO .................................. 87 5.1 Identificazione e stima delle leggi di probabilità per i conteggi di traffico ............................................................................... 87 5.2 Un ulteriore criterio di identificazione delle leggi di probabilità del processo dei conteggi ................................................................... 100 5.3 Stazionarietà dei deflusso e processo dei conteggi ............................ 102 Riferimenti bibliografici ............................................................................. 106

6. IL PROCESSO DEI DISTANZIAMENTI VEICOLARI 107 6.1. Identificazione e taratura delle leggi di probabilità per i distanziamenti veicolari ..................................................................... 107 6.1.1. Leggi dicotomiche dei distanziamenti veicolari .................... 118 6.2. Processo dei conteggi di traffico e processo dei distanziamenti veicolari ............................................................................................. 120 Riferimenti bibliografici ............................................................................. 123


7. PROCESSI DELLE VELOCITÀ 125 7.1 Leggi di probabilità delle velocità attuate ......................................... 125 7.2 Processi delle velocità e condizioni di deflusso ................................. 128 7.2.1. Processo delle velocità per il flusso non condizionato .......... 128 7.2.2. Processo delle velocità per la marcia a plotone.................... 129 7.2.3. Processo delle velocità flusso per il flusso condizionato ...... 130 7.2.4. Considerazioni sulla identificazione dei processi delle velocità istantanee ........................................................ 132 7.3 Caratterizzazione statistica dei processi delle velocità ..................... 133 7.3.1. Caratterizzazione statistica del processo delle velocità nella marcia a plotone .......................................................... 133 7.3.2. Caratterizzazione del processo delle velocità nel flusso condizionato ................................................................ 136 7.4 Cenni alla procedura per il trattamento dei dati di velocità istantanee per il processo ARIMA (0,1,1) .......................................... 140 Riferimenti bibliografici ............................................................................. 142 Ulteriori indicazioni bibliografiche .......................................................... 143


È nota l’importanza che riveste la caratterizzazione matematica dei processi di traffico in Ingegneria Stradale e, più in generale, in molti ambiti dell’Ingegneria dei Trasporti. Mi è parso quindi opportuno riportare in una trattazione elementare, ma spero sistematica, alcune nozioni essenziali di teoria delle funzioni aleatorie, in uno all’esame di aspetti relativi ai processi degli arrivi , dei distanziamenti veicolari e delle velocità attuate. L’impostazione è dichiaratamente discorsiva e sintetica, priva di qualsiasi ambizione di completezza o di originalità espositiva. Nel testo non mancano però esempi numerici per meglio chiarire le applicazioni dei risultati presentati; sono sviluppate completamente talune caratterizzazioni statistiche per illustrare le peculiarità di specifici approcci modellistici; sono richiamati puntuali riferimenti bibliografici per eventuali approfondimenti tematici. La materia presentata copre solo pochi aspetti dello studio in condizioni di incertezza dei fenomeni di traffico. Non sono considerati, ad esempio, due argomenti fondamentali, quali le catene di Markov o i fenomeni transitori. Per le catene di Markov sono disponibili in letteratura molte ottime trattazioni, anche di livello introduttivo, cui senz’altro rimando. Per gli stati transitori non vi sono invece sintesi organiche finalizzate alle principali applicazioni di Ingegneria Stradale. La complessità del tema necessita di un inquadramento ed una esposizione specifici che da tempo mi propongo di affrontare. Mi auguro che il presente lavoro, anche con i suoi limiti, possa, comunque, risultare di una qualche utilità pratica e didattica, e anche di stimolo e di incentivo ad approfondire argomenti di così rilevante interesse applicativo. Ringrazio, infine, Michele Corradini che, pur non coltivando più (ahi me e ahi lui!) l’Ingegneria Stradale, ha inteso aiutarmi anche questa volta in modo fondamentale, assolvendo in pieno al gravoso compito dell’editing del manoscritto. Palma Campania - Trento Settembre 2013

Raffaele Mauro


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1. INTRODUZIONE AI PROCESSI ALEATORI E DI TRAFFICO Il capitolo contiene una introduzione discorsiva ai processi aleatori (o casuali). La conoscenza dei processi aleatori è il prerequisito per lo studio della seconda parte di questo volume. Essa è dedicata ad alcuni risultati di Ingegneria del Traffico utilizzabili in Ingegneria Stradale. Per comprendere quanto segue sono necessarie conoscenze di base di Calcolo delle Probabilità e di Statistica Matematica come esposte ad esempio in [1]. 1.1. Generalità sulle funzioni aleatorie Le funzioni aleatorie costituiscono una generalizzazione della nozione di variabile aleatoria. Queste funzioni sono state introdotte per fornire modelli probabilistici di fenomeni e di sistemi che evolvono in condizioni di incertezza [2]. Si consideri, quindi, un esperimento casuale ࣟ . Il generico esito di ࣟ sia associato ad una funzione reale o complessa di due variabili x(ω,t). In x(ω,t), ω è il generico punto campione dello spazio campione ȳ probabilizzato, relativo all’esperimento casuale ࣟ . La variabile t (parametro del processo) varia in un dominio  (spazio parametrico).  è indicato anche come durata del processo. Con queste posizioni l’applicazione ω → x(ω,t) si definisce funzione aleatoria o processo aleatorio. Un processo aleatorio è detto anche casuale o stocastico. Qui si userà solo la locuzione processo casuale come sinonimo di processo aleatorio. Nel caso più generale, x(ω,t) è una funzione vettoriale di vettori. T è contenuto in Թ୬ e può risultare continuo o discreto. Nel seguito si esaminerà il solo caso particolare di x(ω,t) funzione scalare reale con  contenuto sulla retta reale Թ ( ‫ ك‬Թ).


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1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

Fig. 1 – Esempio di processo aleatorio e di sezione del processo

x(ω,t) può risultare anche a più valori. La Fig. 1 è relativa ad uno spazio di probabilità con spazio campionario di quattro punti Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}. Estratto un punto ω* di Ω, se si fa variare t, si descrive una funzione x(ω*,t), determinazione di x(ω,t) (Fig. 1). x(ω*,t) è detta una realizzazione (o un membro, o una traiettoria del processo). L’insieme dei membri di un processo aleatorio si indica con Λ = {x(ω,t)} (famiglia delle realizzazioni). Nel seguito per le realizzazioni si ometterà il generico punto campione ω. Le realizzazioni associate ai possibili “i” risultati dell’esperimento casuale, verranno semplicemente indicate con la notazione xi(t), i = 1, 2, …, n. Se si fissa un valore – ‫( כ‬Fig. 1) di –, da x(ω,t) si ricava una variabile aleatoria (v.a.) X(ω,t*). X(ω,t*) è detta sezione del processo all’istante t = t*. Le determinazioni di X(ω,t*) conseguono, evidentemente, sempre dai risultati del medesimo esperimento (di spazio campione ȳ) sul quale è definito il processo casuale.


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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Per semplicità la v.a. X(ω,t) nel generico punto t si indica, omettendo ω, solo con X(t). Infine, se si fissano ω e t, ω = ω*, t = t* si ottiene un numero reale x(ω*,t*) = X(ω*,t*). x(ω*,t*) = X(ω*,t*) si dice stato del processo aleatorio. Nella Fig. 1, ad esempio, in corrispondenza di ω = ω2 e t = t* si è ottenuto lo stato x(ω2,t*) = X(ω2,t*). Esempio Consideriamo l’estrazione da un’urna di tre simboli, fiore, cuore e stella in modo che ω1 = fiore, ω2 = cuore, ω3 = stella. Definiamo Λ = {x(ω,t)} in modo che x1 = x(ω1,t) = t; x2 = x(ω2,t) = t2; x3 = x(ω3,t) = 1+t. Λ è dato da Λ = {x(ω,t)} = {t; t2; 1+t}. Il processo aleatorio in esame, se t è definito su tutto Թ, è quindi così costituito: dalla bisettrice del primo e terzo quadrante; da una parabola con vertice nell’origine e tutta a valori positivi; da una retta di intercetta (-1;+1). In definitiva, le realizzazioni di Λ sono continue su Թ, in numero finito (3) e di durata illimitata. La sezione del processo, ad es. a t*=2, è la realizzazione della variabile aleatoria X(ω,2), ovvero è rappresentata dai valori (stati) X(ω1,2) = 2, X(ω2,2) = 4, X(ω3,2) = 3. È da dire, però, che in generale, le funzioni che costituiscono un processo aleatorio non sono regolari come quelle di questo esempio. Infatti spesso non sono rappresentabili in forma chiusa. Inoltre, i membri di Λ possono anche essere in numero infinito. Quanto fin qui detto si riassume nella seguente definizione: sia ࣟሺ:ǡ ࣣǡ ܲሻ uno spazio di probabilità. Secondo le notazioni usuali, Ω è lo spazio campione; ࣣ è una ߪ-algebra di sottoinsiemi di Ω; ܲ una misura di probabilità su ࣣ. Un’applicazione ‫ݔ‬ሺ߱ǡ ‫ݐ‬ሻ definita su : ൈ Թ che: a) per ogni fissato ‫ ك ܶ א ݐ‬Թ è una variabile aleatoria; b) per ߱ ‫ א‬: (ovvero, se si è effettuata una prova in Ω) è una funzione di ‫ ;ݐ‬c) per ߱ e ‫ ݐ‬fissati è un numero


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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reale, è detta funzione aleatoria o processo aleatorio (o casuale). La classe delle funzioni di t, ߉ ൌ  ሼ‫ݔ‬ሺ߱ǡ ‫ݐ‬ሻሽǡ ottenute da ‫ݔ‬ሺ߱ǡ ‫ݐ‬ሻ al variare di ω in Ω, si definisce famiglia delle realizzazioni del processo aleatorio. Si nota che: in base ad a) un processo aleatorio può riguardarsi come una famiglia di variabili aleatorie X(ω,t) descritte da un parametro t appartenente ad un definito insieme parametrico T. X(ω,t) deve quindi risultare una funzione misurabile relativamente a ࣣ e ad un campo di Borel sull’insieme X dei valori ammissibili di X(ω,t). Se la famiglia di funzioni Λ = {x(ω,t)}, con t variabile in T, è dotato di una struttura di spazio topologico vettoriale, esso è uno spazio funzionale. In questo caso la funzione aleatoria x(ω,t) applica lo spazio astratto Ω in uno spazio di funzioni Ȧ ሼɘ հ šሺɘǡ –ሻǢ : ื Ȧሽ Una definizione di processo aleatorio più completa di quella sopra riportata necessita del ricorso all’Analisi Funzionale ed alla nozione di Filtrazione. Una Filtrazioneሺࣣ୲ ሻ୲‫א‬୘ è una famiglia di sotto-σ-algebre di ࣣ non decrescente in t. Questo approccio esula dagli scopi della presente trattazione. Per esso può vedersi ad es. [3]. 1.1.1. Tipi di processi aleatori La classificazione di un processo aleatorio può ottenersi a partire dalla natura del dominio T e del codominio di x(ω,t). Così, se  ‫ ك‬Թ, con T continuo, il processo è detto a parametro (o tempo (1)) continuo. Se T è discreto, T = {t1, t2, t3,…,tn} - con  variabile nell’insieme Ժ degli interi o in un suo sottoinsieme - il processo è detto a parametro discreto. In quest’ultimo caso, a volte, gli istanti tn∈T risultano anche equispaziati: tn = nϑ, dove ϑ è un tempo costante.

(1)

In genere il parametro t è assunto sempre crescente e per questo è detto indipendentemente dal suo significato fisico, tempo generalizzato, o tempo, senza ulteriore aggettivazione.


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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Infine, se il codominio di x(ω,t) è continuo, il processo è detto ad ampiezza continua. Se il codominio x(ω,t) è discreto, il processo è detto ad ampiezza discreta. Nella Tab. 1 è riportata la classificazione appena esposta. Nella Fig. 2 sono consegnati esempi di realizzazioni di processi appartenenti ai diversi tipi individuati.

Processi

ad AMPIEZZA CONTINUA

ad AMPIEZZA DISCRETA

A TEMPO CONTINUO

processi a tempo continuo e ad ampiezza continua (Fig. 2a)

processi a tempo continuo e ad ampiezza discreta (Fig. 2b)

A TEMPO DISCRETO

processi a tempo discreto e ad ampiezza continua (Fig. 2c)

processi a tempo discreto e ad ampiezza discreta (Fig. 2d)

Tab. 1 – Classificazione dei processi aleatori

Se si considera ora una parte finita di una singola realizzazione di un processo aleatorio con – sempre crescente, si ottiene una serie temporale (o storica (2)). Anche essa è classificabile come la funzione aleatoria cui è connessa (cfr. Tab. 1). La parte di realizzazione x(ω,t) di Fig. 2a compresa tra gli istanti tj e tk è una serie storica, a tempo continuo e ad ampiezza continua, determinata per il periodo di osservazione della durata T = tj - tk. Nel considerare situazioni sperimentali concrete si assumerà valido il seguente postulato: il risultato di una sequenza (finita) di misure ordinate in base ad un parametro crescente è una serie temporale. Il postulato equivale a ritenere ogni sequenza di misure non note a priori come estratta da un processo casuale. Di quest’ultimo vanno determinate poi le caratteristiche probabilistiche (struttura statistica). L’identificazione di un processo casuale a partire da un processo empirico è oggetto dell’analisi statistica delle serie storiche [4] (cfr. il successivo punto 3.3). Se il processo è definito per – ‫ ؿ  א‬Թ, la realizzazione stessa è evidentemente una serie temporale.

(2)


16

1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

Fig. 2 – Esempi di realizzazioni di processi aleatori: a) a tempo t continuo ed ampiezza continua; b) a t continuo ed ampiezza discreta; c) a t discreto ed ampiezza continua; d) a t discreto ed ampiezza discreta


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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1.2. Processi aleatori di traffico notevoli Nel seguito si definiscono alcuni processi aleatori direttamente connessi a misure di traffico. Essi sono ottenuti da osservazioni di correnti veicolari in una sezione o in un tronco stradale. Gli enti rilevati sono numeri di transiti, velocità istantanee, distanziamenti e densità veicolari, traiettorie. 1.2.1. Processo degli arrivi e processo dei conteggi di traffico Si osservi una corrente veicolare che transita in una sezione stradale S per un periodo T. Si effettui l’esperimento che ora si descrive. A partire da un istante iniziale t0=0, durante T, si registrino sull’asse t i tempi t1, t2,…,tn. Ciascuno dei ti corrispondente ad un passaggio veicolare attraverso S (Fig. 3a). Gli istanti ti di manifestazione dei transiti sono, evidentemente, casuali. La corrispondenza tra la sequenza dei passaggi veicolari (flusso casuale di eventi [2]) e quella degli istanti ti costituisce il processo puntuale degli arrivi relativo all’esperimento considerato. In corrispondenza di ciascun ti si riporti poi un segmento sempre di eguale ampiezza (un “impulso”) indicante appunto un transito (Fig. 3b). Si ottiene il segnale y(t), isomorfo al processo puntuale degli arrivi, n

y(t) =

¦ į(t − t ) i

t, t i ∈ T

i = 1, 2, ..., n

(1)

i =1

y(t) è costituito da impulsi δ(⋅) (delta di Dirac) ad area unitaria, ciascuno dei quali è centrato in un istante aleatorio ti di transito (Fig. 3b). La (1) definisce un processo a tempo continuo e ad ampiezza discreta. Dalla (1) si ottiene un ulteriore processo aleatorio. Con essa si possono calcolare i valori di una funzione di t, N(t), che rappresenta il numero di passaggi rilevati nell’intervallo (0,t) di T. Si conviene di scegliere l’istante di inizio dell’osservazione t0=0 in modo che in esso non si registri alcun transito.


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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1

Fig. 3 – Esempio di flusso casuale ordinato di eventi e di processo dei conteggi di traffico su di una corsia: a) flusso di eventi; b) segnale impulsivo connesso; c) processo dei conteggi (processo contatore)

La predetta funzione, non determinabile prima della effettuazione delle osservazioni, è a valori interi ed a gradino. Infatti, in corrispondenza di ogni istante – ୧ nel quale si registra un passaggio, N(t) si incrementa di una unità (Fig. 3c). Con la (1) si ha t

N(t) =

³ y(u ) du

–‫كא‬Թ

(2)

t 0 =0

Per come definito il funzionale (2) è, in definitiva, continuo a tratti (Fig. 3c), con un insieme numerabile di discontinuità di prima specie. N(t) è quindi di tipo càdlàg (3). La serie temporale di Fig. 3c è un esempio di realizzazione della (2). N(t) definisce il processo contatore degli arrivi N(ω,t). N(ω,t) risulta a tempo continuo e ampiezza discreta. Questo processo è indicato anche come processo dei conteggi di traffico.

(3)

Dal francese “continue à droit, limitè a gauche”.


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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A partire dalla (2), si definisce il rapporto tra il numero di veicoli N = N(t) che attraversano una sezione stradale S in un intervallo temporale T di osservazione e l’intervallo stesso:

N (3) T q è detto volume di traffico (o tasso di flusso) misurato nella sezione S nell’intervallo T. q=

Si divida l’intervallo T in sottointervalli consecutivi contigui (e disgiunti) Δti, i = 1, 2, 3…, n, tutti della stessa ampiezza Δt, T = Σi ǻti = n Δt. Se si misura il numero N(¨ti) = xi di veicoli transitati in ciascun Δti, con la (3) si ottiene la sequenza

q i = x i /Δt i

i = 1, 2, 3, ..., n

(4)

La (4) definisce il processo aleatorio q(ω,t) dei tassi di flusso. La rappresentazione cartesiana della (4) è una spezzata ottenuta attribuendo i

l’i-esimo tasso di flusso qi all’istante t i = ¦ ǻt k , i = 1, 2, 3, …, n. k =1

Nella Fig. 4 è consegnato un esempio di serie storica estratta dal processo dei tassi di flusso registrati in un intervallo T di osservazione di circa 90 minuti. T è stato suddiviso in sottointervalli di ampiezza Δt = 20 s. I tassi della Fig. 4 sono espressi in equivalenti orari (veicoli/ora ‫ ؠ‬veic/h). Il processo aleatorio dei tassi di flusso è di fondamentale importanza in Ingegneria Stradale. In base ad esso, infatti, si definisce in modo rigoroso, come si vedrà nel seguito, la portata di traffico Q. I processi aleatori connessi agli arrivi relativi a più di una corsia e, in generale, alle carreggiate, si analizzano con le modalità che si evincono dall’esempio che segue. La Fig. 5 si riferisce ad una strada a carreggiate separate con due corsie per senso di marcia. I flussi di eventi (arrivi) vengono registrati come transiti in una sezione trasversale per ciascuna corsia e dislocati sui relativi assi dei tempi. Questi flussi di eventi (F1, F2, F3, F4) vengono composti con la procedura di immediata comprensione che si deduce dalla stessa Fig. 5. Si ottiene in questo modo il flusso di eventi complessivo F.


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

20 qi (veic/h/corsia)

Fig. 4 – Esempio di realizzazione di un processo dei tassi di flusso

Fig. 5 – Esempio di composizione di flussi di eventi


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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A partire da F, ripercorrendo quanto prima esposto con riferimento al deflusso sulla singola corsia, è immediato ottenere il relativo segnale impulsivo. Da esso si definiscono agevolmente i processi dei conteggi (contatore) e dei tassi di flusso complessivi. Ritornando ora al processo dei conteggi va notato, infine, che quest’ultimo è anche utilizzato nelle analisi deterministiche dei fenomeni di attesa [5]. La Fig. 6 attiene ad un sistema a coda ad un canale, con servizio del tipo “first in–first out”. In essa sono riportati gli andamenti delle cumulate degli arrivi A(t) e delle partenze D(t). Queste cumulate sono approssimate in modo continuo (approssimazione fluida). È immediato comprendere che A(t) e D(t) sono realizzazioni di processi dei conteggi. In particolare, A(t) si registra a monte della coda; D(t) al punto di servizio (sezione di allontanamento dal sistema di attesa). Dalla Fig. 6 si evincono, tra l’altro, gli istanti ti e tf nei quali, rispettivamente, inizio a formarsi e si esaurisce la coda.

Fig. 6 – Approssimazione fluida del processo contatore degli arrivi e delle partenze per un sistema a coda ad un canale


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1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

Inoltre, in corrispondenza del generico istante t ∈ [ti ; tf] possono valutarsi la lunghezza Lc(t) = A(t) – D(t) ed il tempo di attesa d(t) = wc(t) in coda per il veicolo giunto all’istante t. 1.2.2. Processo dei distanziamenti temporali Si osservi una corrente veicolare osservata in una sezione stradale S per un intervallo di tempo T. Si effettui l’esperimento (Fig. 7) che ora si descrive.

Fig. 7 – Esempio di flusso di eventi con indicati i distanziamenti temporali veicolari τ

A partire da un istante iniziale t0, durante T si rilevino in successione gli intervalli temporali τi (τ1, τ2, ..., τn) tra le coppie dei veicoli che attraversano S(4). La corrispondenza tra il transito delle coppie di veicoli e le sequenze degli intervalli casuali τi costituisce il processo aleatorio Θ(ω,t) dei distanziamenti veicolari temporali relativo all’esperimento considerato. Una realizzazione di questo processo può ordinarsi come serie storica in due modi: a) con riferimento ai veicoli in transito; b) associando i τi ad istanti convenzionali ti (i =1, 2, ..., n) tutti mutuamente equidistanziati. Nel primo modo l’i-esimo distanziamento tra il veicolo i-esimo e quello (i+1) della sequenza dei transiti è indicato con τi. Esso è attribuito all’(i+1)-esimo veicolo. Con le misure disponibili si può formare quindi una spezzata (Fig. 8). La Fig. 8 è ottenuta con i dati della Tab. 2, relativa ai distanziamenti temporali tra 60 veicoli osservati in T = 5 min. I τ vengono nella pratica tecnica in genere misurati “fronte-fronte” o “retro-retro” dei veicoli defluenti avendo come traguardo la sezione S di osservazione. (4)


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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Fig. 8 – Spezzata dei distanziamenti veicolari temporali relativa alle misure della Tab. 2. Distanziamento di soglia misura n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

τi (s) tra veic. i e veic. i+1 10 1 3 1 4 5 10 1 1 1 6 1 6 4 10

misura n° 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

τi (s) tra veic. i e veic. i+1 2 6 3 7 4 1 5 2 4 3 1 3 5 9 23

misura n° 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

τi (s) tra veic. i e veic. i+1 8 14 2 6 7 3 2 5 1 1 24 3 26 5 3

misura n°

Tab. 2 – Misure di distanziamenti veicolari temporali

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

τi (s) tra veic. i e veic. i+1 4 1 3 4 2 1 5 8 2 4 2 7 1 4 -


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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Nella seconda modalità di rappresentazione con τi si indica l’i-esima misura delle n ottenute. τi è attribuito ad una ascissa convenzionale temporale ti (i = 1, 2, …, n). Si ottiene così (Fig. 9) un segnale di impulsi su T ad aree pari alle determinazioni τi e centrati nei ti IJ(t) =

n

¦IJ

i

į (t − t i )

t, t i ∈ T

i = 1, 2, ..., n

(5)

i =1

dove δ(⋅) è, come nella (1), l’operatore delta di Dirac. La (5) definisce un processo a tipo discreto e ad ampiezza continua. Nella Fig. 9 sono riportati in base alla (5) ancora i dati della Tab. 2. Riconsiderando la Fig. 8, in essa è mostrato anche, con linea a tratti, il valore medio IJ della Tab. 2, IJ =

59

¦ IJ /59 ≅ 0,5 s. i

i =1

Fig. 9 – Segnale associato alla serie storica dei distanziamenti temporali della Tab. 2


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

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La parte tratteggiata al di sotto di questa linea consente di individuare quali veicoli marcino distanziati ad intervalli minori di IJ = 0,5 s , formando gruppi che rappresentano concentrazioni veicolari propagantisi nel tempo come un’onda. La individuazione di un valore IJ al quale comparare i distanziamenti τ misurati è noto come criterio di soglia. Questo criterio è adoperato nelle applicazioni come il modo più semplice per discriminare veicoli liberi da veicoli condizionati. Per come definito, similmente al processo degli arrivi, un unico processo dei distanziamenti temporali può evidentemente ottenersi considerando più correnti disposte su più corsie e di direzioni non necessariamente concordi. La Fig. 10, relativa ai flussi degli arrivi della Fig. 3, schematizza quanto appena detto.

Fig. 10 – Esempio di composizione dei processi dei distanziamenti temporali per più corsie osservate simultaneamente


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

26

Fig. 11 – Processo dei distanziamenti temporali del k-esimo ordine (con k = 3)

Il tipo di processo dei distanziamenti fin ora presentato è stato definito considerando, nel flusso di eventi degli arrivi, gli intervalli temporali τ tra coppie di veicoli successivi. Si operi, invece, considerando, a partire da un passaggio, solo il veicolo (k+1)-esimo successivo (trascurando gli altri intermedi). La corrispondenza tra questo flusso di eventi (passaggi) e la sequenza dei distanziamenti τi tra i veicoli considerati (Fig. 11) definisce il processo casuale dei distanziamenti temporali del k-esimo ordine. I processi dei distanziamenti del k-esimo ordine, detti di Erlang, rivestono particolare importanza nelle applicazioni di Ingegneria del Traffico [2] [6]. 1.2.3. Processi delle velocità Si consideri ancora un flusso ordinato di eventi costituito da passaggi di veicoli in una sezione stradale S osservati per un tempo T. Sia v1, v2, …, vn la sequenza delle velocità istantanee vi dei veicoli predetti, ordinata in base alla successione dei transiti in S. La corrispondenza tra la sequenza dei passaggi e quella delle velocità vi definisce il processo aleatorio V(ω,t) delle velocità istantanee relativo all’esperimento considerato (Fig. 12). Sugli elementi di questo processo è possibile calcolare la statistica

v=

1 1 n

La (6) è la media armonica delle vi.

n

¦ i =1

1 vi

(6)


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

27

Fig. 12 – Esempio di realizzazione del processo empirico delle velocità istantanee e del livello delle velocità

Sul suo significato e sul suo impiego si dirà nel seguito (cfr. il punto 1.3). La media aritmetica v i delle velocità attuate fino al passaggio i-esimo è data da i

¦v

j

j=1

i = 1, 2, ..., n (7) i La (7) definisce un ulteriore processo aleatorio V(ω, t) di particolare interesse applicativo. vi =

Infatti, con la (7) si ottengono stime di prima approssimazione dei livelli del processo aleatorio delle velocità istantanee in una sezione S. Una realizzazione del processo (7) è riportata con una punteggiata in Fig. 12.


28

1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

Come per altri processi di traffico, anche quelli delle velocità (cfr. Fig. 5 e Fig. 10) possono rilevarsi per correnti disposte su più corsie e comunque direzionate. 1.2.4. Processi delle densità veicolari Si fa riferimento ad una localizzazione di veicoli su di un tratto stradale di lunghezza L osservato ad un istante t (Fig. 13). Sia m il numero di questi veicoli.

Fig. 13 – Localizzazione di veicoli su un tratto stradale L

La densità veicolare (istantanea) k è il rapporto

m (8) L Il processo delle densità veicolari K(ω,t) relativo ad L è definito dalla corrispondenza tra le localizzazioni di veicoli osservate in t1, t2, …, tn, …. e le rispettive densità k1, k2, …, kn, …., fornita dalla (8). k=

Nelle applicazioni, per evidenti motivi di pratica effettuazione dei rilievi, le determinazioni di densità vengono dedotte indirettamente dalle misure di altre variabili del deflusso. Queste misure sono riferite in genere ad intervalli di rilievo di piccola ampiezza (Δt di qualche secondo). Nella Fig. 14 è riportato un esempio di processo casuale delle densità veicolari registrate ed ordinate per intervalli successivi di Δt = 5 s su un elemento di una corsia autostradale. La precedente definizione di processo delle densità veicolari può facilmente estendersi, come nel caso di arrivi e distanziamenti (cfr. i punti 1.2.1, 1.2.2) alle localizzazioni di veicoli su più corsie.


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

29

Fig. 14 – Esempio di realizzazione del processo empirico delle densità veicolari su un tronco di una corsia autostradale

1.3. Processi empirici di traffico nello spazio e nel tempo. Variabili macroscopiche del deflusso Si considera ora un tipo di processo aleatorio più generale di quelli fin qui presentati. Per esso al risultato di un esperimento casuale (osservazione) corrisponde non una singola funzione, ma un insieme di funzioni. Sia quindi / ‫ ؠ‬T x L un generico dominio del piano tempo (t) - spazio (s). Si esaminano i veicoli che passano in /. A ciascun transito “i” �� associabile la rispettiva traiettoria si = si(t) in / La corrispondenza tra i transiti i e le tracce si definisce il processo casuale delle traiettorie veicolari relativo ad /  La considerazione del processo delle traiettorie veicolari consente, tra l’altro, di dedurre una fondamentale relazione di Ingegneria del Traffico.


30

1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

Fig. 15 –Traiettorie veicolari in un dominio /

Quale che sia l’andamento delle velocità dei veicoli in /, si scelga un generico tratto Δs interno ad L, a cavallo di una generica sezione S. Δs è di limitata lunghezza (tratto tra le sezioni A-B di Fig. 15). Δs sia tale cioè che le traiettorie dei veicoli che vi transitano possano ritenersi rettilinee. Di conseguenza, le velocità nello stesso tratto risultano praticamente costanti. Un generico veicolo “i” che attraversa Δs nel tempo Δti presenta una velocità nello spazio (di viaggio) Δs/Δti di fatto pari a quella istantanea vi valutata in una qualsiasi delle sezioni tra A-B.

vi =

ǻs ǻt i

(9)

Per comodità di lettura nella Fig. 16 si riproduce il sottodominio elementare di / , Δs x T, della Fig. 15. Se T è di ampiezza tale che tutti gli “n” veicoli che entrano in Δs ne escono, il volume q = n / T è costante in tutto Δs. Inoltre, per l’ampiezza di Δs, come già detto, l’insieme delle “n” velocità istantanee vi e quello delle “n” velocità del viaggio Δs/Δti coincidono.


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

31

Fig. 16 – Traiettorie veicolari in un dominio tempo-spazio elementare

Si ha quindi per la velocità media nello spazio vs

vs =

n ⋅ ǻs

(10)

n

¦ ǻt

i

i =1

Per la (9), la (10) coincide con la (6).

vs =

n ⋅ ǻs n

¦ ǻt

i

i =1

=

1 1 n

n

¦ i =1

1 vi

=v

(11)

Si vuole ora valutare in media la densità veicolare k su Δs per ogni istante t di T. Per calcolare k si pesa la presenza di ciascun veicolo i che transita su Δs con Δti/T. Δti/T rappresenta la durata percentuale rispetto a T della occupazione del tratto da parte del veicolo i (Fig. 16). k si pone allora pari a: n

¦

ǻt ǻt ǻt ǻt ǻt i 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + ... + 1 ⋅ i + ... + 1 ⋅ n T T T T i =1 (12) k= = ǻs T ⋅ ǻs Se si divide ora il volume q costante attraverso Δs nell’intervallo T, q = n / T, per la velocità media di viaggio con la (11) si ottiene: n

¦

n

ǻt i

¦

ǻt i q n i =1 i =1 = ⋅ = v T n ⋅ ǻs T ⋅ ǻs

(13)


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

32

La (13) coincide con l’espressione (12) della densità veicolare D. Dalla (12) e dalla (13) risulta quindi: q=k⋅v

(14)

La (14) costituisce la relazione fondamentale del deflusso e può essere scritta per ogni sezione S∈L. Essa instaura la cosiddetta analogia idrodinamica del deflusso veicolare. A partire dalla (14) si sviluppa una classe di modelli deterministici di traffico che trovano molteplici applicazioni concrete in Ingegneria Stradale [6]. Va sottolineata la notevole circostanza che per la deduzione della (14) non è stato necessario ipotizzare condizioni di sorta per la regolarità del deflusso che transita in /.

Esempio Con riferimento alla Fig. 16, Δs = 50 m, T = 20 s, i =3, n = 5, Δt1 = 1,39 s, Δt2 = 1,80 s, Δt3 = 2,42 s, Δt4 = 1,70 s, Δt5 = 2,18 s. Per le vi si ottiene vi = Δs/Δti e, quindi, in km/h: v1 = 129,50 km/h, v2 = 100,00 km/h, v3 = 74,38 km/h, v4 = 105,88 km/h, v5 = 82,57 km/h. Per la v con la (11) si ha

v=

5 = 94,84 km/h 1 1 1 1 · § 1 + + + + ¨¨ ¸¸ © 129,50 100,00 74,38 105,88 82,57 ¹

Il flusso q è pari a q = 5/20 = 0,25 veic/s ≡ 900 veic/h. Con la (14) per la densità risulta k = 900/94,84 = 9,49 veic/km. Questo valore di k coincide evidentemente con quello fornito direttamente dalla (12) k = (1,39 + 1,80 + 2,42 + 1,70 + 2,18) /(20 ⋅ 0,05) = 9,49 veic/km


1. Introduzione ai processi aleatori e di traffico

33

Riferimenti bibliografici [1] P.Baldi, “Introduzione alla probabilità con elementi di statistica”, McGraw-Hill, Milano, 2003 [2] V.S.Pugachev, I.N.Sinitsyn, “Stochastic system theory and application”, World Scientific, Singapore, 2001 [3] A.D.Ventsel, “Teoria dei processi stocastici”, Editori Riuniti, Roma, 1983 [4] E.Bee Dagum, “Analisi delle serie storiche - Modellistica, previsione e scomposizione”, Springer-Verlag Italia, Milano, 2002 [5] R.Mauro, “Calculation of roundabout”, Springer, Heidelberg, 2010 [6] T.Esposito, R.Mauro, “Fondamenti di Infrastrutture Viarie, vol.II - La progettazione funzionale delle strade”, Hevelius Edizioni, Benevento, 2003


35

2. CARATTERIZZAZIONE ALEATORIE

STATISTICA

DELLE

FUNZIONI

Il capitolo contiene le nozioni essenziali per caratterizzare statisticamente un processo aleatorio. Vengono in particolare introdotte le proprietà di stazionarietà e di ergodicità che risultano fondamentali per le applicazioni concrete. 2.1. Statistiche dei processi aleatori Sia, come indicato al capitolo precedente, X(t) la variabile casuale sezione di un processo aleatorio šሺɘǡ –ሻ all’istante generico t∈T.

Fig. 1 – Variabili aleatorie sezioni del processo non somiglianti (le leggi di probabilità delle sezioni X(t) sono istante per istante diverse)


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

36

In genere, ad istanti t di T diversi corrispondono X(t) diverse (Fig. 1). Ne segue che le funzioni di distribuzione (f.d.d.)(1) delle X(ti) e quelle congiunte delle n-uple X(ti), X(tj), …, X(tn) – ∀ n∈N+; ∀ i,j = 1, 2, …, n – risultano funzioni del tempo. Con il consueto significato dei simboli per le f.d.d. e le densità di probabilità (f.d.p.) si pone quindi

F(x,t) = P[X(t)≤ x]

f(x,t) =

∂F(x, t) ∂x

(1) (2)

In generale si pone

F(xi , x j ,...,x n ; t i , t j ,..., t n ) = P[X(ti ) ≤ x i ; X(t j ) ≤ x j ;....;X(tn ) ≤ x n ] f(xi , x j ,..., x n ; t i , t j ,..., t n ) =

∂F(xi , x j ,..., x n ; t i , t j ,..., t n ) ∂x i ⋅ ∂x j ⋅ ....⋅ ∂x n

(3) (4)

Può darsi ora la seguente definizione: “si dice famiglia delle distribuzioni finite associata al processo x(ω,t) l’insieme delle funzioni di distribuzione congiunte (3). Le (3) si ottengono considerando tutte le n-uple di istanti t = [t1, t2,..., tn] nell’insieme T e per tutti gli ordini finiti n =1,2,3,…”. Per il significato di funzione di distribuzione, la conoscenza della famiglia delle distribuzioni sotto specifiche condizioni permette la descrizione statistica completa di un processo x(ω,t). A questo proposito, risulta fondamentale il seguente teorema di Kolmogorov (1933): “una famiglia di funzioni di distribuzioni finite caratterizza probabilisticamente in modo completo un processo casuale solo se le funzioni di distribuzione (3), risultano simmetriche e coerenti.” Una F(xi , x j ,..., x n ; t i , t j ,..., t n ) è simmetrica se è invariante rispetto ad ogni permutazione contemporanea di xi e ti. Essa è coerente quando per qualche

(1)

Come è noto, le funzioni di distribuzione sono dette anche funzioni di ripartizione.


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

37

xi→∞, i = 1,2,…,n, tende alla funzione di distribuzione delle restanti X(tr), r≠i. Questo tipo di approccio è, però, del tutto teorico. Lo studio dei sistemi di n variabili aleatorie diviene molto complesso appena n > 3, come è ben noto dalla teoria delle probabilità. Nella pratica si ricorre quindi ad idonee statistiche che rappresentano in modo sintetico le principali proprietà delle funzioni aleatorie. Queste statistiche hanno lo stesso ruolo dei momenti delle variabili casuali e vengono comunemente dette caratteristiche del processo. Tra di esse le principali risultano la funzione mediam(t), la funzione di autocorrelazione B(t,t′) e quella di autocovarianza C(t,t′). Si definisce, quindi, funzione media m(t) di una funzione aleatoria x(ω,t), la statistica che per ogni t eguaglia la media E[X(t)] della corrispondente sezione del processo. In simboli +∞

³

m(t) = E[X(t)] = x f(x,t) dx

(5)

−∞

Esempio Sia Ω{ω1, ω2} uno spazio campione ed Y e Z due v.c. su Ω tali che: Y(ω1) = 0; Y(ω2) = 1; Z(ω1) = 2; Z(ω2) = 3. Inoltre questi valori siano associati tutti alla stessa probabilità p = 0,5. Risultano così E[Y] = 0,5; E[Z] = 0,25. Si consideri ora il processo casuale x (Ȧ, t) ≡ Y + Z ⋅ t

(6)

Tutti i possibili esiti di x(ω,t) sono rappresentati dalle due rette x(ω1,t) = 2t; x(ω2,t) = 1+3t (Fig. 2). Per la media m(t) si ottiene (ricordando che l’operatore media è un operatore lineare) dalla (6) m(t) = E[Y]+ E[Z⋅ t] = E[Y]+ E[Z]⋅ t = 0,5 + 2,5 ⋅ t. m(t) è rappresentata dalla retta tratteggiata di Fig. 2.


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

38

Fig. 2 – Esempio di processo stocastico e di funzione media

Come nel caso delle variabili aleatorie, la media m(t) (o speranza matematica) di un processo rappresenta un insieme di valori intorno ai quali si distribuiscono le sue possibili realizzazioni. Alla media è allora associabile, ∀ t, lo stesso significato di indice di posizione attribuito al valore atteso di una v.c. Si considerino ora due istanti generici t e t′ dello spazio parametrico T di x(ω,t) (Fig. 3 e Fig. 4). Si definisce funzione di autocorrelazione B(t,t′) il momento prodotto delle sezioni di x(ω,t) in t e t′. In simboli si ha +∞ +∞

B(t,t' ) = E[ X(t) X(t')] =

³ ³ x x' f(x,x'; t, t' ) dx dx'

(7)

−∞ −∞

B(t,t′) è quindi una funzione delle due variabili t, – ᇱ ∈T. Nelle applicazioni, al posto delle variabili sezione di x(ω,t), X(t) ed X(t′), si considerino, in genere, le variabili sezioni centrate intorno alle rispettive medie   X(t) = X(t) − m(t) X(t' ) = X(t' ) − m(t' ) (8)


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

Fig. 3 – Esempio di processo aleatorio ad autocovarianza debolmente variabile con il tempo

Fig. 4 – Esempio di processo aleatorio ad autocovarianza rapidamente decrescente al crescere di T

39


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

40

Per un processo con sezioni tutte centrate intorno alla media risulta evidentemente

ˆ (t)] = 0 m(t) = E[(X

(9)

La funzione di autocorrelazione (7) delle (8) è detta funzione di autocovarianza C(t,t′):

C(t,t' ) = E[(X(t) − m(t))⋅ (X(t') − m(t'))]

(10)

Se si pone t = t′ dalla (10) si ottiene una nuova funzione solo di t che assume il significato, ∀ t, di varianza Var(t) delle sezioni del processo. In simboli si ha

C(t, t) = E[(X(t) − m(t)) 2 ] = Var( t ) = σ 2 ( t )

(11)

Infine, a partire dalla (10) e dalla (11) si introduce una nuova funzione ρ(t,t′) delle coppie di istanti t,t′. Essa è data da C(t, t' ) ȡ(t, t' ) = (12) σ 2 (t) ⋅ σ 2 (t' ) La (12) rappresenta la autocovarianza normata, detta anche coefficiente di autocorrelazione.

Esempio Con riferimento allo stesso processo dell’esempio x(ω,t) ≡ Y + Zt, si ottiene, per la funzione di autocorrelazione (7)

precedente

B(t, t' ) = E[(Y - Zt) ⋅ (Y − Zt ' )] = E[Y 2 ] − E[YZ](t + t ' ) + E[ Z 2 ]tt ' Si ricordi che E[Y2], E[YZ], E[Z2] sono delle costanti, mentre le variabili risultano t,t′. Si lascia al lettore la determinazione numerica di queste medie. È da dire esplicitamente che nell’analisi delle serie storiche si è soliti chiamare funzione di autocorrelazione non la (7), come a rigore dovrebbe essere, ma la funzione di autocovarianza normata (12).


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

41

Per come definite (2), le funzioni B(t,t′), C(t,t′) e ρ(t,t′) sono simmetriche, nel senso che B(t, t' ) = B(t' , t) (13) C(t, t' ) = C(t' , t) (14) ȡ(t, t' ) = ȡ(t' , t) (15) L’introduzione della funzione di autocovarianza permette di ottenere per una funzione aleatoria ulteriori informazioni rispetto a quelle deducibili dalla conoscenza delle sole m(t) e σ2(t). Infatti l’autocovarianza, come covarianza tra X(t) e X(t′), misura la tendenza delle due variabili aleatorie sezioni del processo ad assumere valori simultaneamente maggiori o minori delle rispettive medie (ossia una misura di quanto variano concordemente). A questo proposito, si osservino nella Fig. 3 e nella Fig. 4 le famiglie di realizzazioni di due distinti processi aleatori. I due processi presentano la stessa media m1(t) = m2(t). In ciascuna delle Fig. 3 e Fig. 4 sono anche riportate due linee tratteggiate entro cui sono contenute le realizzazioni xi(t). Queste linee tratteggiate rappresentano le determinazioni degli scarti quadratici medi σ 2 ( t ) (cfr. la (11)) dei due processi in oggetto. Le due statistiche m(t) e σ2(t) non rendono quindi conto della profonda differenza nella struttura evolutiva delle due funzioni aleatorie considerate. Le traiettorie del primo processo (Fig. 3) infatti risultano ad andamento sostanzialmente regolare. Esse sono prive cioè delle oscillazioni intorno alla media che caratterizzano realizzazioni dell’altra funzione aleatoria (Fig. 4). Ciò nonostante, i valori m(t) e σ2(t) del primo coincidono con quelli del secondo. La differenza di struttura tra i due processi è evidenziata, invece, dal comportamento delle relative funzioni di autocovarianza, come risulta da quanto si espone in seguito. I pedici i e j indichino le determinazioni relative alle generiche traiettorie, i-ma e j-ma nelle sezioni individuabili in . (2)

E’ noto che la media di un prodotto di v.c. non risente dell’ordine di presentazione delle variabili sulle quali essa opera.


42

2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

Fig. 5 – Esempio di processo aleatorio ad autocovarianza debolmente variabile nel tempo

Fig. 6 – Esempio di processo aleatorio ad autocovarianza rapidamente variabile nel tempo


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

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Con gli andamenti delle traiettorie del processo di Fig. 3, se risulta, ad es., in t, xi(t) > xj(t), al generico t′ si ritrova, nella maggior parte dei casi, xi(t′) > xj(t′). Inoltre, i valori delle fluttuazioni intorno alla media della sezione del processo(3) in X(t) sostanzialmente si conservano in X(t′). Il legame statistico tra X(t) e X(t′) si mantiene, cosĂŹ, al variare delle coppie di tempi t,t′ in T della stessa natura ed, in pratica, della stessa intensitĂ . Ne risulta per la funzione di autocovarianza una debole variabilitĂ  (decrescenza) in T(4), C(t,t′) ≅ cost. ∀ t,tâ€˛âˆˆT. Diversamente, per il processo di Fig. 4, le rapide oscillazioni delle traiettorie intorno alla media rendono non individuabili legami statistici stabili tra le realizzazioni. In questo caso il legame statistico tra due sezioni generiche X(t) e X(t′) non si conserva per sezioni relative ad un’altra coppia di istanti disposti su T. Ciò accade anche se la predetta coppia di istanti è vicina a quella precedentemente considerata. Ne consegue per il processo della Fig. 4 che la sua funzione di autocovarianza è rapidamente decrescente al crescere di t. Per esercizio, il lettore può ripercorrere le considerazioni fin qui svolte per i processi di Fig. 3 e di Fig. 4 anche per quelli rappresentati in Fig. 5 e Fig. 6. 2.2. StazionarietĂ  dei processi aleatori In genere un sistema dinamico che tende all’equilibrio evolve attraverso uno o piĂš stadi (detti transitori) prima di raggiungere le condizioni di regime (Fig. 7). Per un sistema dinamico incerto le condizioni di equilibrio vanno connotate statisticamente.

(3) Le fluttuazioni intorno alla media in una sezione áˆşÂ–áˆť del processo sono le quantitĂ  Âœŕ­§ áˆşÂ–áˆť ŕľŒ š୧ áˆşÂ–áˆť ྆ Â?áˆşÂ–áˆť, ovvero le determinazioni della v.a. “sezione centrata áˆşÂ–áˆťâ€? del processo áˆşÂ–áˆť ŕľŒ áˆşÂ–áˆť ྆ Â?áˆşÂ–áˆť. (4) La costanza di áˆşÂ–ÇĄ – ᇹ áˆť, per coppie di istanti –, –Ԣ comunque disposti su  è una forma particolare di stazionarietĂ , quella in autocovarianza. La stazionarietĂ  in autocovarianza è una particolare forma di stazionarietĂ  debole (cfr. il successivo punto 2.2).


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2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

Fig. 7 – Evoluzione di un sistema dinamico

In termini qualitativi un sistema dinamico incerto è in equilibrio statistico quando le sue caratteristiche probabilistiche non variano durante T. T indica, al solito, il periodo di osservazione prescelto. In queste circostanze le leggi di probabilità che ricorrono nell’analisi del fenomeno che si studia si dicono stazionarie. Parimenti, un processo aleatorio è stazionario relativamente a determinate sue statistiche se queste ultime non dipendono dal parametro t. Ciò equivale alla invarianza delle predette statistiche rispetto ad una generica traslazione sull’asse dei tempi. Possono così darsi diverse specificazioni per la stazionarietà. Esse dipendono dalle condizioni di regolarità statistica più o meno restrittive che si individuano per un processo. La caratterizzazione matematica rigorosa delle varie forme di stazionarietà esula dagli scopi di questa trattazione. Si rimanda per essa ad es. ad [1], [2]. Nel seguito si danno solo alcuni brevi cenni sulla stazionarietà forte (o completa) e qualche nozione introduttiva più ampia sulla stazionarietà debole (o ridotta).


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

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Un processo casuale è stazionario in senso forte se, per tutti gli insiemi di sezioni X(t1), X(t2), …, X(tn) da esso estraibili e per tutte le possibili dimensioni  della distribuzione multivariata, si ottiene ୶ ሺš୧ ǡ š୨ ǡ ǥ ǡ š୬ Ǣ– ୧ ǡ – ୨ ǡ ǥ ǡ – ୬ ሻ ൌ  ୶ ሺš୧ ǡ š୨ ǡ ǥ ǡ š୬ Ǣ – ୧ ൅ ɒǡ – ୨ ൅ ɒǡ ǥ ǡ – ୬ ൅ ɒሻ (16) ‫‹׊‬ǡ Œ ൌ ͳǡʹǡ ǥ ǡ ‫ –׊‬୧ ǡ – ୨ ǡ ǥ ‫ א‬Ǣ‫׊‬ɒ ‫ א‬Թ La stazionarietà in senso forte implica che, se esistono, i momenti congiunti delle v.c. n-ple componenti il processo, fino all’ordine ’, non siano funzioni di t. Nella stazionarietà di ordine finito k la (16) è soddisfatta non per n qualsiasi ma solo per n ≤ k. Se la (16) vale per n = k allora essa vale per qualunque n < k. Infatti, la funzione di distribuzione di ordine k determina tutte quelle di ordine più basso. La stazionarietà in senso debole richiede, invece, che: a) la media m(t) del processo sia costante m(t) = cost. ∀ t ∈ T b) che l’autocovarianza dipenda solo da τ e risulti finita in τ = 0 (∀ t = t′) C(t,t′) = c(τ) τ = t′−t ∀ t,t′ ∈ T c(0) < + ∞

(17) (18) (19)

Esempio Si consideri il processo aleatorio x(ω,t) definito su Ω ={ω1, ω2, ω3}. Le realizzazioni a t generico X(ω1, t) = 2, X(ω2, t) = sen(2t), X(ω3,t) = cos(2t) sono equiprobabili con p(ω1) = p(ω2) = p(ω3) = 1/3. Per la media si ottiene immediatamente m(t) = E[X(t)] =1/3[2+sen(2t)+cos(2t)]. m(t), dipendendo da –, depone per la non stazionarietà di x(ω,t). Dalla proprietà di simmetria della funzione di autocovarianza discende, per un processo stazionario in senso debole che c(τ) = c(−τ) (20) Infatti, per essere C(t,t′) = C(t′,t) si ottiene

C(t, t + τ) = C(t', t'−τ)

(21)


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

46

e per la dipendenza supposta di C(⋅,⋅) solo da τ (giacché il processo è stazionario debole) segue la (20). Nel caso di processo a tempo discreto due sezioni prescelte che distano mutuamente di un tempo τ si dicono lag . Dalla proprietà appena enunciata per l’autocovarianza segue che un processo debolmente stazionario è anche costante in varianza. Ciò risulta immediatamente dalla (18) quando t = t′

C(t, t) = σ 2 (t ) = c(0) = cost.

(22)

Evidentemente, nella ipotesi di stazionarietà in senso debole, le proprietà precedenti rispetto a ɒ valgono per la funzione ρ(⋅) (cfr. la (12). Si ha cioè ȡ(t, t' ) = r(τ) = c(τ)/c(0)

τ = t′−t

∀ t, t′ ∈ T

ȡ(t, t ) = r(0) = σ (t)/σ (t) = 1 2

2

(23) (24)

Se si considera ora che un qualsiasi processo può rendersi a media costante (nulla) (cfr. la (9)) la condizione di invarianza di c(τ) per traslazione lungo l’asse dei tempi, è l’unica che debba richiedersi per la stazionarietà in senso debole. È da notare che la stazionarietà in senso forte implica quella in senso debole se e solo se i primi due momenti, (17) e (18), del processo sono finiti. Questa condizione non è necessaria affinché un processo sia stazionario in senso forte. La stazionarietà debole non implica necessariamente quella forte. Infatti, la validità delle (17) e (18) non implica la (16). Inoltre, possono darsi anche altre definizioni di stazionarietà debole diverse da quelle stabilite con le (17), (18), (19) (cfr. [1], [2]). Si parla, così, ad es., di stazionarietà (debole) in autocorrelazione. Ciò accade se, con media variabile con t, la sola dipendenza da τ è richiesta alla funzione (7), B(t,t′): B(t,t′) = b(τ), τ = t′−t, ∀ t,t′ ∈ T.


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

Fig. 8 â&#x20AC;&#x201C; Esempi di serie stazionarie e non stazionarie [6]

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2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

48

Infine, nelle applicazioni, spesso con stazionarietà in senso debole si intende unicamente la costanza della media m(t) o della media e della varianza σ2(t) del processo al variare di t in T. Nel primo caso si parla di stazionarietà in media. Nel secondo caso si dice che la stazionarietà è in media e varianza. La presenza o meno di stazionarietà in media, in varianza e in covarianza può riconoscersi anche nelle singole realizzazioni di un processo. Dette caratteristiche possono cioè individuarsi anche su di una serie storica. L’analisi esplorativa delle serie storiche consente di effettuare questo tipo di indagine. In Fig. 8 è consegnata una chiara esemplificazione di serie stazionarie e non stazionarie. In genere nelle applicazioni la stazionarietà debole - in m(t) e σ2(t) - di un processo aleatorio viene postulata in base alle caratteristiche del fenomeno considerato. 2.3. Ergodicità di un processo aleatorio La definizione rigorosa di ergodicità e delle sue forme richiede alcune conoscenze sulla convergenza in probabilità che non possono evidentemente darsi in questa sede. Si ricorda qui solo che una successione Yn di v.a. si dice convergere in probabilità verso una v.a. Y se, dato comunque un ε>0, si ha lim P[| Yn − Y |≥ ε] = 0.

n →∞

Per convergenza in probabilità riferita alla ergodicità può vedersi ad es. [1], [3]. Per introdurre in modo elementare il concetto di ergodicità si consideri la Fig. 9a dove sono riportate  realizzazioni xi(t) di un processo generico x(ω,t). Sia X(t*) una sezione del processo all’istante t*. Si consideri inoltre la media di insieme a t*


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

m ( t*) =

n

¦ i =1

x i ( t*) n

49

t *∈ T

(25)

Si ricorda che con xi(t*) si indicano le realizzazioni di X(t) in t*. In Fig. 9b è riportata, invece, una sola delle realizzazioni del processo indicata genericamente con x(t). Per x(t) si sono individuati  istanti ti e m sue determinazioni x(ti). Si può calcolare quindi un’ulteriore media mx m

¦ x (t ) i

xm = mx =

i =1

(26) ti ∈T m mx è la media temporale relativa alla realizzazione generica x(t) del processo. Quando il processo è stazionario, al crescere indefinito di n, la media di insieme m ( t*) tende alla media (5) del processo, m(t) = cost., valutata in t*.

tm-1 tm

b)

a)

Fig. 9 – a) realizzazioni di un generico processo x(ω,t); b) singola realizzazione di x(ω,t)


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

50

Infatti, m ( t*) è la stima corretta della (5) (5). Un processo stazionario si dice ergodico in media se la media temporale di ciascuna delle realizzazioni delle f.a. tende al valore della media di insieme quando, rispettivamente, nella (25) e nella (26) n→∞ e m→∞. In modo rigoroso la definizione di ergodicità come qui riportata dovrebbe darsi per “quasi tutte” le realizzazioni del processo. Per alcune (rare) realizzazioni potrebbe infatti non riscontrarsi l’eguaglianza tra la relativa mx e la media di insieme del processo (per n ed m comunque grandi). La probabilità del verificarsi di tali realizzazioni è, però, nulla. Le medie di insieme e quelle temporali sono studiate in dettaglio in [2]. L’ergodicità può definirsi anche per altre statistiche di processo, ad es. per l’autocovarianza. Così, in generale, nel caso di processo a tempo continuo ed ampiezza continua, l’ergodicità si esprime come T

1 ϕ[ x ( t )] dt T →∞ 2T −T

E{ϕ[X( t )]} = lim

³

dove ϕ(⋅) è una qualsiasi funzione reale. X(t) come sempre è una v.a. sezione del processo x(ω,t) e x(t) ne è una realizzazione. In sintesi, relativamente ad un parametro di un processo (media, varianza, autocorrelazione, ecc.) l’ergodicità implica che: 1) il processo è stazionario; 2) le medie temporali sono eguali per quasi tutte le realizzazioni del processo, tanto che si può parlare di una media temporale; 3) le corrispondenti medie di insieme e medie temporali sono eguali con probabilità 1. In definitiva, può dirsi che l’ergodicità relativamente ad una statistica caratteristica del processo “consiste nel fatto che ciascuna singola realizzazione della funzione aleatoria è un ‘rappresentante plenipotenziario’ di tutta la In questo caso, evidentemente, comunque si scelga l’istante – al crescere di  si ottiene sempre più il valore limite di  ഥ ሺ–ሻǡ  ഥ ሺ–ሻ ൌ ሺ–ሻ ൌ …‘•–Ǥ (5)


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

51

famiglia delle realizzazioni. Così, una realizzazione di lunga durata può sostituire, per le informazioni che fornisce, un insieme di realizzazioni della stessa durata” [4]. In questa direzione, la Fig. 8 mostra chiaramente nei grafici della colonna sinistra tipiche realizzazioni di processi ergodici in media, varianza e autocovarianza. Il problema della individuazione delle condizioni necessarie e sufficienti per la ergodicità dei processi aleatori si presenta molto articolato. Ad es. la condizione di ergodicità rispetto alla media è la seguente (Slutsky, 1937): condizione necessaria e sufficiente perché un processo stazionario sia ergodico rispetto al valore medio m(t) è che risulti ݈݅݉௡՜ஶ ͳȀ݊ሺσ௡௃ୀଵ ‫ݎ‬ሺ݆ሻሻ ൌ ͲǤ Si ricorda che r(τ) è il coefficiente di autocorrelazione fornito dalla (12) e particolareggiato con la (23). L’andamento di r(τ) (correlogramma) fornisce molte informazioni sulle caratteristiche evolutive di un processo casuale. Nella Fig. 10 sono consegnati due esempi di correlogramma campionati per una serie storica stazionaria (a) ed alternante (b). Nella Fig. 11 è riportato l’andamento di un correlogramma campionato per una realizzazione di un processo non stazionario (con trend). Il correlogramma calcolato su una serie storica si ottiene da

§ N−k · r (k ) = ¨¨ ( x t − x )( x t + k − x ) ¸¸ © t =1 ¹

¦

N

¦ (x

t

− x) 2

k = 0, 1, 2, 3...

t =1

x è la media su tutti gli N valori della serie storica in esame x =

N

¦x

t

/N

t =1

(cfr. la (26) x = m x ). È da dire, comunque, esplicitamente, che dalla stazionarietà di un processo non ne consegue sempre la ergodicità (Fig. 12). Quest’ultima (che nel seguito sarà considerata come relativa a media e autocovarianza) viene in genere supposta in base alla natura del problema studiato. In definitiva anche l’ergodicità, come la stazionarietà, viene in genere postulata in base alle caratteristiche del fenomeno esaminato [3].


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

52

a)

b)

Fig. 10 â&#x20AC;&#x201C; a) serie stazionaria con correlazione a corto termine con il suo correlogramma; b) serie alternante con il suo correlogramma


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

Fig. 11 â&#x20AC;&#x201C; Serie non stazionaria con il suo correlogramma

Fig. 12 â&#x20AC;&#x201C; Classi di processi aleatori

53


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

54

2.4. Cenni sulla determinazione delle caratteristiche di un processo aleatorio La stima delle caratteristiche di un processo aleatorio può effettuarsi, in generale, a partire da un campione di realizzazioni del processo. Si disponga, quindi, di n realizzazioni. Si consideri un insieme di istanti t1, t2, …, tm (quando possibile equispaziati), detti punti di riferimento, e le relative sezioni X(t1), X(t2),…, X(tm). Da ciascuna delle X(ti) si ricavano n determinazioni di riferimento per ciascun ti (i = 1, 2, …, m)

x(t 1 ) = {x 1 (t 1 ), x 2 (t 1 ), ..., x n (t 1 )}

x(t 2 ) = {x 1 (t 2 ), x 2 (t 2 ), ..., x n (t 2 )}

(27)

.... x(t m ) = {x 1 (t m ), x 2 (t m ), ..., x n (t m )} Nel complesso si ottengono š dati raggruppabili come in Tab. 1.

ti

‫ܜ‬૚

‫ܜ‬૛

ǥ

ǥ

‫ܓܜ‬

ǥ

ǥ

‫ܕܜ‬

‫ܠ‬૚ ሺ‫ܜ‬ሻ

šଵ ሺ–ଵ ሻ

šଵ ሺ– ଶ ሻ

ǥ

ǥ

šଵ ሺ– ୩ )

ǥ

ǥ

šଵ ሺ– ୫ ሻ

‫ܠ‬૛ ሺ‫ܜ‬ሻ

šଶ ሺ–ଵ ሻ

šଶ ሺ– ଶ ሻ

ǥ

ǥ

šଶ ሺ– ୩ )

ǥ

ǥ

šଶ ሺ– ୫ ሻ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

‫ ܑܠ‬ሺ‫ܜ‬ሻ

š୧ ሺ–ଵ ሻ

š୧ ሺ– ଶ ሻ

ǥ

ǥ

š୧ ሺ– ୩ )

ǥ

ǥ

š୧ ሺ– ୫ ሻ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

ǥ

‫ ܖܠ‬ሺ‫ܜ‬ሻ

š୬ ሺ–ଵ ሻ

š୬ ሺ– ଶ ሻ

ǥ

ǥ

š୬ ሺ– ୩ )

ǥ

ǥ

š୬ ሺ– ୫ ሻ

xi(t)

Tab. 1 – Esempio di organizzazione delle informazioni relative al campionamento di un processo aleatorio

Con i dati di Tab. 1 si ottengono le stime: - della funzione media, rappresentata, sezione per sezione, da: n x i (t k ) m(t k ) = n i =1 - della varianza, data da

¦

(28)


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie n

¦ [x (t i

σ 2 (t k ) =

k)

55

− m( t k )] 2

i =1

n −1

(29)

- della covarianza con n

¦ [x (t i

C(t k , t O ) =

i =1

k)

− m(t k )] [x O (t O ) − m(t O )]

(30) n −1 Per l’insieme temporale (t1, …, tm) considerato possono così valutarsi per punti gli andamenti delle curve m( t ), σ 2 ( t ) e della superficie C ( t , t ' ). Sempre per punti dalla (29) e dalla (30), ricordando la (12) si ottiene la stima della superficie di autocovarianza normata ρ ( t , t ' ). Le relazioni analitiche approssimanti m( t ), σ 2 ( t ), C ( t , t ' ) e ρ ( t , t ' ) si ottengono con i metodi del calcolo numerico. È evidente che le predette stime sono tanto più attendibili quanto più è elevata la numerosità  delle realizzazioni ed  dell’insieme dei punti di riferimento. Una numerosità significativa permette inoltre di ottenere informazioni dirette sulla struttura probabilistica del processo. Si consideri a questo scopo, ad es. la Fig. 13. Una stima F( x, t ' ) di F(x,t) in t′ è immediatamente fornita da n (31) F( x , t ' ) = N dove n è il numero di realizzazioni (linee tratteggiate), tra tutte le N del campione, tali che le ordinate in t′ non superano x. Lo stesso ragionamento può effettuarsi per valutare ad es. la funzione di distribuzione congiunta F( x ' , x ' ' ; t ' , t ' ' ). Risulta n (32) F( x ' , x ' ' ; t ' , t ' ' ) = N dove n è, questa volta, il numero di realizzazioni che in t′ e t′′ non superano rispettivamente x′ e x′′ (linee tratteggiate di Fig. 14). Se il processo è ergodico e T è di conveniente durata si assume: - come stima della media la (26), della varianza la (33) con m=0; - come stima della autocovarianza (Fig. 15)


56

2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

Fig. 13 â&#x20AC;&#x201C; Stima della funzione di distribuzione (funzione di ripartizione) a partire da un campione di realizzazioni di un processo aleatorio

Fig. 14 â&#x20AC;&#x201C; Stima della funzione di distribuzione congiunta in due istanti a partire da un campione di realizzazioni di un processo aleatorio


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

57

Fig. 15 – Stima della funzione di autocovarianza a mezzo di una sola realizzazione di un processo ergodico

c(τ) =

1 n−m [ x ( t i ) − m x ][x ( t i + m) − m x ] n − m i =1

¦

(33)

m T e m = 0, 1, 2, … fino a valori tali che c (τ) ≅ 0 o oscilli n debolmente intorno allo zero. La stima delle funzioni di distribuzione F(x) si consegue facilmente con relazioni del tipo dove τ =

n

F( x ) =

¦ Δt

i

i =1

(34) T I Δti sono gli intervalli di T, in numero di n, in tutti i punti dei quali la realizzazione del processo risulta inferiore al valore x. Per un approfondimento degli aspetti connessi agli stimatori di insieme e temporali ed alla ergodicità può vedersi ad es. [3], [5]. Molto chiaro e completo anche per le indicazioni bibliografiche sui predetti stimatori permane ancora [6].

Esempio Si registrano le velocità (in m/s) vi(sj) di i = 1, 2,…, 12 veicoli in Sj, j = 0, 1, …, 6 sezioni di un rettifilo di ascissa sj.


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

58

Le sezioni distano mutuamente 0,4 km. Per ciascuno dei 12 veicoli si calcola la differenza tra la velocità registrata in Sj+1 e Sj e si attribuisce a sj (35) x i (s j ) = v i (s j+1 ) − v i (s j ) xi(sj) è un punto della traiettoria i del processo X(ω,s) definito dalla (35). Qui l’ascissa generica sj ha evidentemente il ruolo di “tempo generalizzato” tj. Quindi si pone x(ω,s) = x(ω,t) e xi(sj) = xi(tj). Seguendo lo schema della Tab. 1 la funzione aleatoria x(ω,t) è campionata nella Tab. 2, i cui dati sono ripresi da [4].

t

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

1

0,64

0,74

0,62

0,59

0,35

-0,09

-0,39

2

0,54

0,37

0,06

-0,32

-0,60

-0,69

-0,676

3

0,34

0,50

0,37

0,26

-0,52

-0,72

0,42

4

0,23

0,26

0,35

0,55

0,69

0,75

0,80

5

0,12

0,20

0,24

0,18

-0,20

-0,42

-0,46

6

-0,16

-0,12

-0,15

0,05

0,29

0,43

0,63

7

-0,22

-0,29

-0,38

-0,24

-0,06

0,07

-0,16

8

-0,26

-0,69

-0,70

-0,61

-0,43

-0,22

0,29

9

-0,50

-0,60

-0,68

-0,62

-0,68

-0,56

-0,54

10

-0,30

0,13

0,75

0,84

0,78

0,73

0,71

11

-0,69

-0,40

0,08

0,16

0,12

0,18

0,33

12

0,18

-0,79

-0,56

-0,39

-0,42

-0,58

-0,53

n° realizzaz.

Tab. 2 – Campionamento del processo aleatorio in studio

Con la (28), dai dati di Tab. 2 si ha la stima della funzione m ( t ). t

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

ሺ–ሻ

-0,007

-0,057

0,000

0,037

-0,057

-0,093

0,036

Tab. 3 – Stima della funzione media m(t)


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

59

La (30) fornisce con i dati di Tab. 2 la stima di Tab. 4 della matrice di autocorrelazione (varianza ed autocovarianza) del processo x(ω,t) in esame.

t t′ 0

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

0,1632

0,1379

0,0795

0,0457

-0,0106

-0,0642

-0,0648

0,2385

0,2022

0,1621

0,0827

0,0229

0,0251

0,2356

0,2152

0,1527

0,0982

0,0896

0,2207

0,1910

0,1491

0,1322

0,2407

0,2348

0,1711

0,2691

0,2114

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4

0,2878 Tab. 4 – Stima della matrice di autocorrelazione

Nella Tab. 4, poiché la matrice è simmetrica, si omettono i termini al di sotto della diagonale principale. Sulla diagonale principale stanno le stime delle varianze (Tab. 5). t

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

ı (t)

0,1632

0,2385

0,2356

0,2207

0,2407

0,2691

0,2878

2

Tab. 5 – Stima della varianza σ2(t)

Estraendo la radice quadrata si trova lo scarto quadratico medio ɐሺ–ሻ in funzione del tempo (Tab. 6). t

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

ı(t)

0,404

0,488

0,485

0,470

0,491

0,519

0,536

Tab. 6 – Stima dello scarto quadratico medio σ (t)

Dividendo i valori riportati nella Tab. 4 per i prodotti degli scarti quadratici medi corrispondenti si ottiene la tabella dei valori stimati della funzione di correlazione normata ȡ(t, t' ) (15) della Tab. 7.


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

60

t t′ 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

1

0,700 1

0,405 0,856 1

0,241 0,707 0,943 1

-0,053 0,345 0,643 0,829 1

-0,306 0,090 0,390 0,612 0,923 1

-0,299 0,095 0,344 0,524 0,650 0,760 1

Tab. 7 – Stima dei valori della funzione di autocorrelazione normata

Si ipotizza ora che x(ω,t) sia stazionario. Un stima della media E[X(t)] = cost. si ottiene evidentemente da m (0) + m (0,4) + ... + m (2,4) m= ≅ 0,02 km/h 7 Analogamente per σ2(t) ı 2 (0) + ı 2 (0,4) + ... + ı 2 (2,4) ı 2 (t) = ≅ 0,236 (km/h) 2 7 ı (t) = 0, 236 ≅ 0,486 km/h Si valuta infine la funzione di correlazione normata di quel processo stazionario con cui si può sostituire la funzione aleatoria x(ω,t). Per un processo stazionario la funzione di correlazione (e quindi la funzione di correlazione normata) dipende solo da τ = t′-t; di conseguenza, per τ costante la funzione di correlazione deve essere costante. Nella Tab. 7 a τ costante corrispondono: la diagonale principale (τ = 0) e le parallele a questa diagonale (τ = 0,4; τ = 0,8; τ = 1,2,ecc.). Prendendo la media delle stime della funzione di correlazione lungo le parallele alla diagonale principale si ottengono i valori della funzione r(τ) (Tab. 8). L’andamento della funzione r(τ) è rappresentato nella Fig. 16. t

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

r(τ)

1,00

0,84

0,60

0,38

0,13

-0,10

-0,30

Tab. 8 – Stima della funzione di autocorrelazione normata nell’ipotesi di stazionarietà del processo studiato


2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

61

Fig. 16 – Andamento della funzione di autocorrelazione normata nell’ipotesi di stazionarietà del processo studiato

Infine, va notato che la caratterizzazione dei processi aleatori a fini applicativi può completarsi con lo studio di altri rilevanti argomenti. Si tratta ad es. delle funzioni aleatorie complesse, dello sviluppo canonico delle funzioni aleatorie e della loro rappresentazione spettrale. Questi temi, come il calcolo differenziale delle funzioni aleatorie, esula dalla portata di questo lavoro. Per essi può vedersi ad es. [3], [7], [8], [9].

Riferimenti bibliografici [1] G.Cariolaro, G.Pierobon, “Processi aleatori”, III ed, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 1994 [2] G.Nolfe, A.Bonocore, “Lezioni Scientifiche Italiane, Napoli, 2010

di

processi

stocastici”,

Edizioni

[3] A.Papoulis, S.Unnikrishna Pillai, “Probability, random variables and stochastic processes”, MCGraw Hill, Boston, 2002 [4] E.S.Ventsel, “Teoria delle Probabilità”, Edizioni Mir, Mosca, 1983


62

2. Caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie

[5] E.Parzen, “Stochastic Processes”, Holden-Day, San Francisco, 1962 [6] D.Piccolo, C.Vitale, “Metodi statistici per l’analisi economica”, Il Mulino, Bologna, 1984 [7] D.Piccolo, “Introduzione all’analisi delle serie storiche”, La Nuova Italia Scientifica, Roma, 1990 [8] S.Bittanti, “Serie temporali e processi casuali”, Pitagora Editrice, Bologna, 2005 [9] P. Baldi, “Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni”, Pitagora Editrice, Bologna, 1984


63

3. ALCUNI PROCESSI ALEATORI NOTEVOLI Si presentano alcuni processi che si sono mostrati di particolare interesse per lo studio del deflusso veicolare. La trattazione è prevalentemente definitoria. Prescinde cioè dalla completa caratterizzazione statistica delle funzioni aleatorie. Per ciascuna di esse sono comunque forniti gli opportuni riferimenti bibliografici per eventuali approfondimenti. I modelli di questo capitolo verranno spesso richiamati nel seguito, in particolare quando si tratterà dei processi delle velocità istantanee. 3.1 Principali processi aleatori Trattasi di processi che ricorrono frequentemente come modelli nello studio di numerosi fenomeni. Il loro impiego si è rivelato particolarmente utile anche nelle analisi di traffico. 3.1.1

Processi puramente casuali o di rinnovamento

Un processo è puramente casuale (p.c.) se, comunque si scelgono vicine le sezioni ti e tj del processo, e comunque sia ampia la numerosità , le v.a. sezione X(t1), X(t2), …, X(tn) risultano statisticamente indipendenti. Per le f.d.p. congiunte, si ottiene quindi n

f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) =

∏ f (x ) i

∀ i, j = 1, 2, ..., n; ∀ n ∈ N

(1)

i =1

Per semplicità di notazione si è omessa nella (1) la indicazione dei tempi (t1, t2,…, tn) come argomento della f.d.p. (cfr. la (4) del Cap.2). Un processo puramente casuale è anche detto di rinnovamento. Per esso il coefficiente di autocorrelazione è sempre nullo comunque si scelga τ = tj − ti, mentre non è sempre vero il viceversa, nel senso che, per il significato di ρ(τ) (cfr. la (12) del Cap.2), da ρ(τ)=0 per τ qualsiasi non discende necessariamente la indipendenza tra le v.a. sezioni del processo.


3. Alcuni processi aleatori notevoli

64

Nelle applicazioni, tuttavia, la condizione di rinnovamento viene spesso assunta se ρ(τ) è costantemente nulla fino ad un certo valore del lag, “τ”. Per un completa trattazione a fini applicativi dei processi di rinnovamento può vedersi [1]. 3.1.2

Processi Markoviani (1)

Un processo è markoviano se, comunque si scelga una sezione X(tk) a t = tk, per la sua f.d.p. condizionata dalle k−1 v.a. sezioni precedenti (ai tempi, cioè, t1, t2,…, tk−1) si ottiene

f ( x k / x 1 , x 2 ,..., x k −1 ) = f (x k / x k −1 ) ∀ k = 1, 2, ..., n; ∀ n ∈ N

(2)

Per semplicità di notazione si è omessa nella (2) la indicazione dei tempi (t1, t2,…, tn) come argomento della f.d.p. (cfr. la (4) del Cap.2). La (2) equivale a ritenere che l’informazione sul sistema al tempo tk, noto che sia lo stato a tk−1 non si accresce se si conoscono gli stati ai tempi t1, t2,…, tk−2. È possibile inoltre dimostrare facilmente che un processo markoviano è completamente descritto statisticamente dalle sole funzioni di probabilità univariate e bivariate delle sezioni. Si mostra infatti che per un ̶̶ qualsiasi risulta n

∏ f (x

f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) = f ( x 1 )

k

/ x k −1 )

∀ k = 1, 2,..., n; ∀ n ∈ N

(3)

2

In tutto quanto fin qui detto sui processi puramente casuali e markoviani si è implicitamente supposto che le v.a. sezioni X(t) siano continue. Le definizioni possono però evidentemente estendersi anche ai processi ad ampiezza discreta (2).

(1)

Dal nome del matematico A.A. Markov (1856 – 1922), tra i fondatori della teoria delle funzioni aleatorie. (2) E’ noto che una d.d.p. può assumere l’aspetto di una f.d.p. utilizzando nella descrizione delle distribuzioni di probabilità la δ di Dirac.


3. Alcuni processi aleatori notevoli

3.1.3

65

Rumore bianco

Si consideri un processo le cui sezioni X(t), qualunque sia –, risultino rappresentate dalla stessa variabile aleatoria at con media E[a] e varianza Var[a] costanti. Inoltre, comunque si scelgano gli istanti ti e tj su T, le sezioni X(ti) e X(tj) siano statisticamente indipendenti. Il processo definito da

X(t) ≡ a t ≡ a m( t ) = cos t.

(4) (5)

Var[a ] = σ a2 = cos t.

(6)

è detto rumore bianco (White Noise, W.N.). Per essere le ƒ୲ indipendenti sarà anche per lag di ampiezza  qualsiasi(3) C(k ) = Cov[X( t ), X( t + k )] = 0 (7) e così anche per tutti i coefficienti Ԓሺሻ. Per essi qualunque sia  ് Ͳ, risulta ρ(k)= 0, tranne che per ρ(0) per il quale ρ(0) =1. Questa proprietà del correlogramma (ovvero dell’andamento della funzione ρ(k)) rende un processo W.N. immediatamente riconoscibile dagli altri processi aleatori. Inoltre, per essere per definizione m(t) e Var(t) costanti il processo W.N. è stazionario in senso debole. È possibile anche mostrare che un processo di rumore bianco è stazionario in modo completo ed anche di rinnovamento. Un processo W.N. è gaussiano se le singole at sono distribuite normalmente. In Ingegneria il rumore bianco è spesso indicato come “innovazione”. Ciò perché esso è un nuovo “apporto” in ciascuna unità di tempo successiva, dovuto al realizzarsi della v.a. at. Il rumore bianco è trattato in più punti in [2].

(3)

Nei processi che si considerano nel seguito di questo capitolo la distanza temporale tra le sezioni è in genere indicata come “k”. Ciò per uniformità alle notazioni prevalenti in letteratura.


3. Alcuni processi aleatori notevoli

66

Esempio Si consideri una successione di lanci t = 1, 2, …, n di un dado regolare. Se si riporta per ogni lancio t = 1, 2, …, n il risultato ottenuto la sequenza di numeri compresi tra 1 e 6 è una realizzazione di un processo W.N. con media e varianza m( t ) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 Var( t ) = [(1 − 3,5) 2 + (2 − 3,5) 2 + ... + (6 − 3,5) 2 ] / 6 = 2,92

3.1.4

Processi gaussiani

Un processo x(ω,t) si dice gaussiano se per ogni insieme t1, t2,…, tn le variabili casuali sezione X(t1), X(t2), …, X(tn) hanno densità di probabilità congiunta normale. Deve quindi risultare

f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) =

1 (2π) | Α | n

e

1 n 2| Λ| k = i

n

¦ ¦ Αij ( x i − m ki )( x j − m kj ) k= j

Gli elementi αij della matrice di autocovarianza Λ sono dati da

α ij = E[(x i − m ki )(x j − m kj )] = B( t i , t j ) − m ki m kj Un processo gaussiano gode delle proprietà che seguono: a) la densità di probabilità di ordine n, e quindi l’intero processo, è completamente determinata in termini di valor medio mkt e di autocorrelazione B(⋅,⋅); b) se il processo è stazionario in senso debole allora si ha B( t i , t j ) = B( t i − t j ) = b(τ) m ki = m kj = m k Ne segue che le funzioni di probabilità congiunte, che sono unicamente funzioni del valor medio mk e della autocorrelazione b(τ), dipendono in tal caso dalle differenza ti−tj e non dai valori assoluti di ti e tj. Il processo x(ω,t) è quindi stazionario anche in senso stretto. È da notare esplicitamente che, affinché un processo risulti gaussiano, non


3. Alcuni processi aleatori notevoli

67

basta che sia normale la densità di probabilità univariata f(x,t) delle generiche sezioni X(t), t∈T. L’importanza dei processi gaussiani risiede, tra l’altro, nella circostanza che ora si riporta. Per serie storiche realizzazioni finite di processi normali stazionari e invertibili, la procedura proposta in [6] e fondata sulla funzione di autocorrelazione per modelli ARMA (cfr. il punto 3.2.3) rappresenta uno strumento statisticamente efficiente per risalire dalla serie storica medesima al processo stocastico che lo origina. 3.2 Processi autoregressivi e a media mobile A questa classe di processi appartengono alcuni modelli che si sono rivelati particolarmente utili, tra l’altro, nelle analisi di serie storiche economiche e nel trattamento dei dati di velocità istantanee. Per i modelli autoregressivi a media mobile è stata inoltre messa a punto una completa procedura statistica di particolare efficienza nota come approccio alla Box e Jenkins [6] (cfr. il punto 3.3). 3.2.1 Processo autoregressivo AR(p) Qui e nei punti seguenti, per uniformità alla notazione prevalente in letteratura per questo tipo i processo, si pone X(t) = Xt. Un processo è auto regressivo di ordine p, AR(p), se è del tipo X t = φ1 ⋅ X t −1 + φ 2 ⋅ X t − 2 + ... + φ p ⋅ X t − p + a t

(8)

Tutti i tempi t−i presenti nelle formule si ritengono evidentemente compresi in T. Le Ԅ୧ sono costanti reali ed at è rumore bianco di media nulla e varianza σ a2 . Il processo (8) si chiama auto regressivo perché può riguardarsi come una regressione di xt su se stessa, ma determinato in istanti precedenti, ovvero, come “una somma ponderata di valori fissati di š alla quale si aggiunge un disturbo calcolato nel valore attuale at”. Se al secondo membro della (8) si aggiunge una costante δ si ottiene il modello AR(p) completo


3. Alcuni processi aleatori notevoli

68

X t = δ + φ1 ⋅ X t −1 + φ 2 ⋅ X t − 2 + ... + φ p ⋅ X t − p + a t

(9)

Per il valore medio, la varianza e l’autocovarianza si ottiene

E[X t ] = δ /(1 − φ1 − φ 2 − ... − φ p )

(10)

Var[ X t ] = Var[a t ] = φ1C(1) + φ 2 C(2) + ... + φ p C(p) + C( k ) = φ1C(k − 1) + φ 2 C(k − 2) + ... + φ p C(k − p)

σ a2

(11)

k = 1, 2,..., p

(12)

In particolare per il modello (8) è (δ = 0)

E[X t ] = 0

(13)

3.2.2 Modello a media mobile MA(q) Un processo è a media mobile di ordine p, MA(q), se è del tipo X t = a t − ș1 a t −1 − ș 2 a t − 2 − ... − ș q a t −q

t ∈T

(14)

Xt è, cioè, funzione lineare degli ƒ୲ che sono determinazioni di un rumore bianco, in particolare, con E[at] = 0 e Var[at] = σ2 pesate con coefficienti reali Ʌ୧ . Un processo MA(q) è sempre stazionario. Se le at hanno media nulla risulta anche

E[X t ] = 0 Var[X t ] = (1 + ș 1 + ș 2 + ... + 2

2

C(k) = (−ș k + ș 1 ⋅ ș k −1 + ... + ș q ⋅ ș q − k )

ρ(k) = 0

(15) ș q ) ⋅ ı a2 2

(k = 1, ..., q)

(k > q)

(16) (17) (18)

3.2.3 Processi ARMA(q,p) e ARIMA(p,d,q) Se si “compongono” due processi, uno AR(p), l’altro MA(q), il processo che ne risulta X t = φ1 X t −1 + φ 2 X t − 2 + ... + φ p X t − p + a t − θ1a t −1 − θ 2 a t − 2 ... − θ q a t − q

(19)

è detto misto autoregressivo – media mobile ARMA(p,q). Un ulteriore rilevante classe di processi, derivante da quelli ARMA(p,q), è rappresentato dai modelli auto regressivi di ordine ’, integrati † volte e media mobile di ordine “, ARIMA(p,d,q) X t − φ1 X t −1 − ... − φ p + d X t − p − d = a t − θ1a t −1 − ... − θ q a t −q

(20)


3. Alcuni processi aleatori notevoli

69

La (20) è una delle possibili forme di rappresentazione di un modello ARIMA(p,d,q) [2] [6]. I modelli ARIMA, anche se introdotti per lo studio delle serie non stazionarie, sono di portata molto generale. Da essi originano, a seconda della specificazione dei parametri p,d,q molti processi particolari. Si possono così interpretare andamenti delle serie rilevate sia stazionari sia non stazionari. Tra tutte le possibili particolarizzazioni della classe dei processi ARIMA(p,d,q) si cita il modello ARIMA(0,1,1). Come si vedrà nel seguito, il tipo ARIMA(0,1,1) è di particolare interesse per l’Ingegneria Stradale. Esso è della forma

X t = φX t −1 + a t − θa t −1

(21)

La f.a. (21) è non stazionaria ed è anche nota come modello IMA(0,1,1) (modello a media mobile integrata). Nella Fig. 1 è riportata una realizzazione ottenuta per simulazione del processo IMA(0,1,1)

X t = X t −1 + a t − 0,6a t −1

(22)

La Fig. 1 mette bene in evidenza la non stazionarietà del processo (22). È da sottolineare, comunque, che i processi ARIMA non sono idonei a rappresentare evoluzioni di tipo esplosivo, ma adatti per processi omogenei.

Fig. 1 –Realizzazione per simulazione di un processo IMA(0,1,1)


3. Alcuni processi aleatori notevoli

70

Fig. 2 – Esempio di realizzazione di un processo esplosivo

Nella Fig. 2 è riportato un esempio di realizzazione di processo non stazionario esplosivo che chiarisce intuitivamente questa locuzione. Per quanto attiene alla omogeneità essa consiste nella proprietà del processo di comportarsi, nella sua evoluzione, indipendentemente dall’aggiunta di una costante (arbitraria) “c” a ciascuno dei suoi termini fino all’istante t−1. Infatti può scriversi X t = (X t −1 + c) + φ1 [(X t −1 + c) − (X t −2 + c)] + ... + φ p [(X t −p + c)

− (X t −p −1 + c)] + a t − θ1a t −1 − ... − θ q a t −q

(23)

ovvero

X t =[X t −1 + ij1 (X t −1 − X t −2 ) + ... + ij p (X t −p − X t −p −1 ) + a t − ș1 ⋅ a t −1 − ... − ș q ⋅ a t −q ] + c

(24)

L’aumento di tutti i termini fino all’istante t−1 fa aumentare anche Xt di “c” e, quindi, il comportamento del processo (andamento temporale) risulta indipendente da “c”. La costante “c” è detta livello del processo. La caratterizzazione statistica dei processi AR(p), MA(q) e ARIMA(p,d,q) – invertibilità, condizioni di stazionarietà, ecc. – e le loro mutue relazioni sono argomenti molto specialistici non affrontabili in questa sede. Per essi si rimanda senz’altro a [2] [3] [6].


3. Alcuni processi aleatori notevoli

71

3.2.4 Passeggiata aleatoria (Random Walk) Questo tipo di processo è definito dalla somma di variabili casuali che possono presentarsi con le caratteristiche probabilistiche più diverse. Sono comprese dalle semplici distribuzioni univariate al caso di sistemi di v.a. soggette a particolari condizioni di tipo statistico. Nella forma più semplice una passeggiata aleatoria (Random Walk) è rappresentata da (si pone ancora X(t) = Xt)

X t = X t −1 + a t

t = 0,1, ..., n

(25)

Nel processo (25) “il valore attuale Xt è uguale a quello precedente Xt−1 aumentato dal disturbo at”. Se si conviene di porre X0 = 0 (scelta comunque sempre possibile) si trae

X1 = X 0 + a 1 = a 1 X 2 = X1 + a 2 = a 1 + a 2

(26) (27)

….

X n = a 1 + a 2 + ... + a t =

n

¦a

t

(28)

t =1

e, nell’ipotesi che ogni ƒ୧ abbia media Ɋ e varianza σ2, se vi è indipendenza delle ai stesse

E[X t ] = t ⋅ μ

Var[ X t ] = t ⋅ σ 2

(29)

Dalla (25) è evidente che una passeggiata a caso è un processo non stazionario. Nella Fig. 3 è consegnata una realizzazione della (25) ottenuta per simulazione dalla quale si evince un tipico andamento di questo processo e la sua evidente non stazionarietà. Nella Fig. 4 è rappresentata un’altra passeggiata aleatoria tratta da una serie storica rilevata. In essa le at sono ancora indipendenti e risultano normalmente distribuite. Il processo Random Walk (R.W.) ha numerosissime applicazioni anche ingegneristiche. Il processo R.W. e gli altri da esso derivati sono nel dettaglio trattati in [4].


72

3. Alcuni processi aleatori notevoli

Fig. 3 â&#x20AC;&#x201C; Esempio di realizzazione di passeggiata aleatoria

Fig. 4 â&#x20AC;&#x201C; Ulteriore esempio di realizzazione di passeggiata aleatoria


3. Alcuni processi aleatori notevoli

73

3.3 Alcuni cenni ai problemi di inferenza L’aspetto principale dell’analisi statistica delle serie storiche è costituito dalla specificazione, a partire dalla serie stessa, di un modello teorico, cioè di un processo aleatorio(4). In altri termini, la serie è ritenuta una realizzazione del processo medesimo (cfr. il punto 1.1.1). Nota quindi una sequenza di determinazioni di un carattere si procede in tre fasi. Esso sono: 1) identificazione del modello; 2) stima dei parametri del modello; 3) controllo della conformità del modello ai dati osservati. L’approccio operativo appena delineato è tipico della inferenza statistica. Ciascuna delle fasi 1), 2), 3) è molto articolata e complessa. Per esse è richiesta la conoscenza di strumenti statistici avanzati, anche per una prima analisi di tipo quantitativo. L’esame delle fasi 1 e 3 esula quindi dagli scopi di questo testo. Chi è interessato allo studio degli aspetti inferenziali delle serie storiche può senz’altro riferirsi a [2] [3] [5] [6]. Qui si precisano soltanto alcuni concetti generali del problema così come derivanti dalla impostazione dovuta a Box e Jenkins [6]. L’approccio citato è ritenuto oggi il più idoneo allo studio delle serie temporali. Secondo questo indirizzo, alla fase di identificazione è affidata la scelta della classe di modelli (ad es. ARMA, ARIMA, ecc.). All’interno di essa si specifica, poi, a mezzo della stima dei parametri, il processo particolare, ritenuto idoneo per la serie assegnata. L’individuazione della classe “generatrice” è una operazione che richiede “scienza ed esperienza”. Infatti, non ha in genere esito univoco. Essa consente solo di restringere la scelta ad un numero ragionevole di modelli tra i quali poi procedere alla definizione del modello definitivo. (4)

Per una distinzione di significati tra modello e processo nell’ambito dell’analisi delle serie storiche può vedersi [2].


74

3. Alcuni processi aleatori notevoli

Il principale strumento statistico adoperato nella fase di identificazione è rappresentato dalla stima, operata sui dati della serie, della funzione di autocovarianza normata. La stima dei parametri avviene invece per “successivi approcci”, da preliminare a finale, utilizzando stime di partenza (o preliminari) effettuate già nella prima fase di identificazione del modello. Per quanto attiene poi alle verifiche della bontà del modello, i metodi che si utilizzano si basano sull’esame dei residui tra valori rilevati e valori teorici desunti dal processo aleatorio identificato e tarato. Questa fase finale nello sviluppo della procedura è di importanza non inferiore alle due che la precedono. Infatti, i risultati del controllo delle conformità tra serie storica e processo aleatorio prescelto più indurre a modifiche anche sostanziali di quest’ultimo, con risultati decisivi sugli effetti finali della indagine statistica. Anche in questo caso possono utilizzarsi i residui che si presentano come utili indicatori della direzione nella quale indirizzare le modifiche del modello.

Fig. 5 – Schema logico di identificazione dei processi ARMA [2]


3. Alcuni processi aleatori notevoli

75

Fig. 6 – Fasi e strumenti per la costruzione di un modello ARIMA [2]

In Fig. 5 e Fig. 6 sono infine riportati due diagrammi a blocchi tratti da [2]. Il primo è relativo allo schema logico di identificazione dei processi ARMA. Il secondo attiene e agli strumenti statistici per la costruzione di un modello ARIMA. I due diagrammi sintetizzano anche aspetti essenziali delle procedure di inferenza sulle serie temporali in generale. Da quanto qui brevemente accennato sui problemi di inferenza appare chiara la importanza della proprietà di ergodicità da porre sempre a base della procedura di stima. Infatti proprio grazie alla ergodicità, il contenuto di informazione di una sola realizzazione di idonea durata consente di ottenere stime attendibili delle caratteristiche della funzione aleatoria nel suo complesso.


3. Alcuni processi aleatori notevoli

76

Riferimenti bibliografici [1] A.Papoulis, S.Unnikrishna Pillai, “Probability, random variables and stochastic processes”, MCGraw Hill, Boston, 2002 [2] D.Piccolo, C.Vitale, “Metodi statistici per l’analisi economica”, Il Mulino, Bologna, 1984 [3] E.Bee Dagum, “Analisi delle serie storiche − Modellistica, previsione e scomposizione”, Springer−Verlag Italia, Milano, 2002 [4] G.Nolfe, A.Bonocore, “Lezioni Scientifiche Italiane, Napoli, 2010

di

processi

stocastici”,

Edizioni

[5] F.Battaglia, “Metodi di previsione statistica”, Springer−Verlag Italia, Milano, 2007 [6] G.E.P.Box, G.M.Jenkins, “Time series analysis: forecasting and control”, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976


77

4. STAZIONARIETÀ DEL DEFLUSSO VEICOLARE La definizione delle condizioni di stazionarietà del deflusso costituisce uno dei principali aspetti dello studio, a fini applicativi, del fenomeno circolatorio. Le procedure di controllo e di progettazione geometrico-funzionale delle infrastrutture vengono infatti prevalentemente sviluppate ipotizzando queste condizioni. Nel presente capitolo si richiamano le nozioni di equilibrio statistico e di stazionarietà per il deflusso veicolare. Si fornisce poi una definizione rigorosa di portata di traffico. Infine si illustrano alcuni procedimenti sequenziali per la individuazione di successivi periodi di stazionarietà all’interno di una corrente di traffico. 4.1. Equilibrio statistico e stazionarietà del deflusso È stato già notato (cfr. il punto 2.2) che le condizioni operative nel tempo di un sistema reale possono riguardarsi come una successione di stati. Se il sistema è incerto ciascuno di essi è caratterizzato da una certa probabilità di essere attinto. La descrizione della predetta evoluzione richiede quindi, nelle sue forme più complete, la conoscenza delle probabilità associate ad ognuna delle possibili modalità del sistema. Queste probabilità, a parità di stato, possono variare da istante ad istante. Si ì dice allora che il sistema è in fase transitoria. Se a partire da un determinato istante le probabilità degli stati si mantengono costanti nel tempo il sistema ha raggiunto l’equilibrio statistico e lo si definisce in stato stazionario. È da ricordare, a questo proposito, che, spesso, per giudicare se un sistema è in stato stazionario si rinuncia all’accertamento della invarianza temporale delle distribuzioni congiunte di probabilità degli stati (cfr. il punto 2.2). La verifica di stazionarietà si limita così a riconoscere la costanza nel tempo


4. Stazionarietà del deflusso veicolare

78

di opportune statistiche (ad es. medie, varianze, momenti congiunti, ecc.) di uno o più parametri che evolvono aleatoriamente. Questi parametri si ritengono connessi alle condizioni operative del sistema. Come si è visto nel Cap.2, le due accezioni di stato stazionario appena richiamate corrispondono, in teoria dei processi aleatori, rispettivamente alla stazionarietà in senso stretto (stazionarietà forte) ed in senso lato (stazionarietà debole). La più comune forma di stazionarietà debole è quella in media e varianza. Come si dirà meglio nel seguito, un elemento di infrastruttura può intendersi, invece, in stato stazionario se la domanda di traffico che lo interessa non varia nel tempo per una durata illimitata. Essa deve risultare, inoltre, sistematicamente servita senza che si instaurino fenomeni di congestione veicolare. A fini tecnici, la stazionarietà si ritiene in genere attinta se la domanda di traffico che interessa l’elemento di infrastruttura è costante per un periodo di tempo finito T, ma sufficientemente ampio da consentire la stabilizzazione delle condizioni operative del sistema intorno a valori medi costanti delle variabili di stato. Le determinazioni puntuali di queste ultime devono risultare, inoltre, disperse in modo contenuto intorno ai predetti valori medi. Si ricorda che come variabili di stato per i nodi sono, ad esempio, assunti le lunghezze di coda ed i tempi di attesa agli ingressi. Per le infrastrutture lineari lontane dai nodi le variabili di stato sono in genere rappresentate dalla densità veicolare e dai tempi medi di percorrenza. I concetti appena esposti si precisano ricorrendo alla definizione rigorosa di portata di traffico. 4.2. Portata di traffico e stazionarietà del deflusso Sia q(ω,t) un processo di tassi di flusso. Esso è definito in una sezione stradale S durante T con la (4) del Cap.1. Si supponga che q(ω,t) sia stazionario ed ergodico in media (cfr. il precedente punto 2.3). In questo caso la media E[q(t)] del processo è costante in T, E[q(t)] = cost.


4. Stazionarietà del deflusso veicolare

79

Inoltre, E[q(t)] coincide con la media temporale calcolata su di una singola realizzazione di q(ω,t). La predetta realizzazione sia costituita da una sequenza di qi, i = 1, 2,…, n ((4) del Cap.1). Si ha quindi n

¦

1 n

E[q(t)] =

qi =

i =1

1 n

n

¦ Δt

xi

i=1

(1)

i

I Δti sono della stessa ampiezza

Δt =

T n

(2)

=N

(3)

Risulta poi n

¦x

i

i =1

dove N è il numero complessivo di passaggi veicolari registrati in S durante T. Con la (2) e la (3) si ha poi, per la (1)

E[q(t )] =

1 n

n

¦ i =1

xi 1 = Δt i n Δt

n

¦x i =1

i

=

N T

(4)

La (4) coincide con la (3) del Cap.1. Quindi, se il processo dei tassi di flusso qi è stazionario ed ergodico in media, la media del processo è pari al volume di traffico osservato in S durante T. In questo caso la (4) si indica con Q

Q=

N T

(5)

Q si denomina portata di traffico relativa alla sezione S durante T e si esprime in genere in equivalente orario (veicoli/ora ≡ veic/h). Per controllare l’indipendenza della portata dal tempo durante T si possono utilizzare test statistici sequenziali. Se la media dei qi non è costante durante T, questo si suddivide in una successione di sottoperiodi T1, T2, …, Ti, …., Tn.


80

4. Stazionarietà del deflusso veicolare

Si verifica poi se ciascun Ti è caratterizzato da una media E[q(t)]i costante del rispettivo processo q(ω,t) dei tassi di flusso. Così ad ogni Ti compete un proprio valore E[q(t)]1 = N1/T1, E[q(t)]2 = N2/T2, …, E[q(t)]i = Ni/Ti,…, E[q(t)]n = Nn/Tn della portata Qi. In definitiva, il deflusso osservato in una sezione S può dirsi stazionario per un periodo T se è costante con t∈T la media del processo dei tassi di flusso in S. Per esemplificare, nella Fig. 1 [1] è rappresentata una sequenza di tassi qi = xi/Δti. Essi sono stati registrati nella sezione di una corsia autostradale durante intervalli Δti di ampiezza Δt = 20 sec. I successivi Δti sono contenuti in un T di circa 90 min. T è risultato suddivisibile in tre periodi T1 ≅ 28 min, T2 ≅ 45 min, T3 ≅ 16 min nei quali la portata è costante. In essi quindi il flusso è stazionario. Le determinazioni di Q sono risultate rispettivamente di Q1 = 700 veic/h, Q2 = 1.210 veic/h, Q3 = 1.660 veic/h.

Fig. 1 – Realizzazione del processo dei tassi di flusso e periodi di portata costante per una corrente veicolare


4. Stazionarietà del deflusso veicolare

81

Nella Fig. 1 si individuano anche, all’interno dei 90 min di osservazione, i periodi di deflusso di passaggio da un periodo stazionario al successivo. Nei predetti periodi il deflusso è detto in regime transitorio (cfr. il punto 2.2). 4.3. Criteri per la verifica della stazionarietà del deflusso Sia {qi} = q1, q2, …, qn, qi = xi/Δti una sequenza di tassi di flusso misurati in una sezione S durante un periodo T. La costanza in media di questa serie storica equivale a quella della serie {xi} = x1, x2, …, xn poiché i Δti sono tutti pari ad un valore Δt prefissato, Δti = Δt ∀ i, = 1, 2, …, n. Per controllare che una realizzazione {xi} = x1, x2, …, xn estratta da un processo dei conteggi risulti a media costante, è possibile ricorrere un test del tipo “distribution free”. Tale test ha il vantaggio, diversamente da altri (ad es. il test del rapporto di probabilità sequenziale dovuto al Wald [2]) di non richiedere alcuna ipotesi statistica sulla legge degli arrivi. Con esso la costanza della media del processo è controllata verificando l’ipotesi di indipendenza della sequenza {xi} da quella dei primi “n” numeri naturali [3]. La statistica di test impiegata è il coefficiente di correlazione campionaria  tra le due sequenze R=

1 n

n

¦i x i =1

i

−x

n +1 2

ª1 2 2 º «12 s (n − 1)» ¬ ¼

1

(6)

2

con x e s2 rispettivamente media e varianza campionaria degli elementi di {xi}. La distribuzione della (6) si ottiene ritenendo che gli n valori di R calcolati nelle n permutazioni degli elementi di {xi} siano equiprobabili. I valori estremi di R sono evidentemente -1 e +1. Si ottiene R = +1 se la sequenza dei conteggi cresce linearmente con i numeri naturali, R = −1 se per i


4. Stazionarietà del deflusso veicolare

82

naturali crescenti gli {xi} decrescono. Scegliendo n opportunamente grande (in genere n > 10) è possibile limitare l’ampiezza della zona di accettazione del test. Inoltre è possibile adottare in luogo della (6), l’altra statistica da essa deducibile ª (n - 2) R 2 º t=« 2 » ¬ 1− R ¼

1/ 2

(7)

La (7) è distribuita secondo una t di Student con (n-2) gradi di libertà. Con esse si rifiuta l’ipotesi di stazionarietà al livello Ƚ quando

| t | ≥ tα 2

(8)

La numerosità n deve essere tale che l’ampiezza Δt di equiripartizione di T risulti maggiore di un certo valore minimo: a) per poter ritenere i successivi elementi di {xi} indipendenti; b) per rendere non rilevanti al suo interno le variazioni non lineari del flusso. Fluttuazioni di tal tipo, infatti, non sono rilevabili dal test adottato che ha potenza massima contro l’ipotesi alternativa di trend lineare. Per questi motivi si assumono Δt dell’ordine dei 20 sec. e n = 30, ottenendo per l’intervallo di osservazione T = 10′. Ciò equivale ad assumere per definizione il flusso costante negli intervalli inferiori ad es. a 10′. La verifica b) si conduce in generale [4] considerando per gli elementi di {xi} il coefficiente di autocorrelazione dato da: § ȝ ȝ · (σ 2 ) 2 1 · § σ 2 Δt 1 (σ 2 ) 2 − ¸¸ ¨¨ 3 + + − 33 ¸¸ ȡ = ¨¨ 33 − 4 4 12 ¹ © ȝ 6 2μ 4μ 3ȝ ¹ © 6ȝ

−1

(9)

dove μ, σ2 e ɐଶ e μ3 sono, nell’ordine, media, varianza e terzo centrale delle sezioni del processo dei distanziamenti veicolari τ tra gli arrivi (cfr. il punto 1.2.2). Con la (9) è così possibile, dalla ampiezza prescelta per Δt, calcolare ρ e valutare se esso è tanto piccolo da poter accettare l’ipotesi di assenza di relazioni statistiche tra gli elementi della sequenza dei conteggi.


4. Stazionarietà del deflusso veicolare

83

Se non si dispone invece di informazioni sui distanziamenti è possibile ricorrere ad un test di correlazione seriale. Per esso si adopera la statistica n

R=

¦x

i

x i+1

(10)

i =1

La (10) per n sufficientemente grande (n > 15) è distribuita normalmente con media e con varianza data da

μR =

(11)

S 2 2 − S 4 S1 − 4 S1 S 2 + 4 S1 S3 + S 2 − 2 S 4 + − μR n −1 (n − 1) (n - 2) 4

σ 2R =

S12 − S 2 n −1

2

2

(12)

dove

Sk =

n

¦X

k i

(13)

i =1

La conoscenza della distribuzione teorica di R permette di effettuare un comune test bilaterale al livello di significatività Ƚ prescelto. Così, si rifiuta l’ipotesi di indipendenza se:

| R |≥ Rα 2

(14)

Il test del rapporto di correlazione campionaria (6), fissati i valori di n, Δt e T, viene in genere applicato in due modi. Con il primo, assunta una dimensione del test α = 0,05, si trattano i conteggi relativi ai primi trenta Δti a partire dall’istante di osservazione. Se la stazionarietà è verificata, si aggiungono gli arrivi relativi a tre ulteriori sottointervalli consecutivi e si escludono quelli contenuti nei primi tre. Il test si ripete su questa nuova sequenza e su altre, fino a registrare una realizzazione non stazionaria di {xi}. La procedura prosegue sugli arrivi nell’intervallo Δti avente come minuto iniziale l’ultimo minuto del precedente intervallo temporale per il quale si era rifiutata l’ipotesi di stazionarietà del flusso. Il test così applicato, per essere la numerosità n del campione non molto grande, presenta spesso un intervallo di accettazione non piccolo. Per ovviare a ciò si può modificare la procedura di formazione dei campioni


4. Stazionarietà del deflusso veicolare

84

per ottenere realizzazioni di {xi} di numerosità via via crescenti. Ne seguono intervalli di accettazione sempre più ristretti. A partire dall’istante iniziale si aggiungono a uno a uno i conteggi relativi Δti successivi. Si esegue di volta in volta il test su campioni sempre più ampi, fino a interrompere il trattamento dei dati appena si verifica la perdita di stazionarietà del flusso. Il procedimento viene iterato a partire dal valore del conteggio relativo all’ultimo minuto della precedente sequenza. Si individua così un ulteriore periodo a flusso costante, reiterando il calcolo fino all’analisi completa dei dati disponibili. Il test così strutturato può però presentare una notevole inerzia, non segnalando nella maggior parte dei casi la presenza di un trend. La scelta tra le due procedure illustrate va quindi effettuata in base al caso concreto di studio. Le tecniche per l’identificazione dei periodi di stazionarietà fin qui descritte sono state recentemente implementate in [5]. 4.4. Alcune osservazioni conclusive Nella pratica tecnica, come noto, la verifica funzionale ed il progetto geometrico di un elemento infrastrutturale si conduce, in genere, sotto ipotesi di costanza nel tempo della domanda di traffico. Si fa in particolare riferimento ai traffici di progetto relativi ad un’ora opportunamente scelta (compresa, ad es., tra la 30a e la 100a ora di punta). Durante quest’ora, il volume di traffico dei sottoperiodi in essa inclusi viene quindi supposto costante ed il suo valore complessivo si amplifica con il fattore dell’ora di punta, phf. Il phf viene così introdotto per tener conto delle fluttuazioni di traffico che nella realtà avvengono nell’interno dell’ora medesima. In definitiva, così operando, il proporzionamento geometrico e le condizioni operative vengono verificati in base ad una portata pari all’equivalente orario del flusso relativo al sottoperiodo di punta. Questo modo di procedere non è, però, a rigore, corretto. Infatti, utilizzando la portata del sottoperiodo di punta, ritenuta per di più


4. Stazionarietà del deflusso veicolare

85

applicata indefinitamente (in conformità alla condizione di stato stazionario), si ottengono valori delle variabili di stato del sistema (es. lunghezza di coda, densità veicolare, ecc.) sensibilmente superiori a quelli attuati. In particolare, il valore di queste variabili tende a diventare infinito in condizioni critiche, cioè quando la domanda si approssima, eguaglia o supera la capacità dell’elemento di infrastruttura. Queste circostanze comportano un sovradimensionamento degli elementi geometrici dello schema ed una valutazione non realistica della qualità della circolazione (Livello di Servizio). Nella realtà, le punte di traffico o le condizioni critiche si manifestano per intervalli di tempo più o meno estesi, ma, comunque, finiti e, dunque, con effetti limitati. È opportuno, allora, porre a base del calcolo l’andamento dei flussi di domanda nel periodo temporale di analisi e, quindi, tra l’altro, la effettiva durata degli eventuali picchi di traffico presenti. Ciò comporta la considerazione delle fasi transitorie di evoluzione del sistema nel passaggio da uno stato stazionario all’altro. Una dettagliata esemplificazione di questo tipo di analisi è contenuta ad es. in [6] con riferimento alle intersezioni.

Riferimenti bibliografici [1] P.Ferrari, F.Giannini, “Ingegneria Stradale – vol 1 – Geometria e progetto di strade”, ISEDI; Torino, 1999 [2] A.Wald, “Sequential Analysis”, NY: J.Wiley, New York, 1947 [3] H.G.Kendall, A.Stuart, “The Advanced Theory of Statistics - Vol.II”, UK: Griffin, London, 1967 [4] D.R.Cox, P.A.Lewis, “The statistical analysis of series of events”, NY: J.Wiley & S., New York, 1966


86

4. Stazionarietà del deflusso veicolare

[5] R.Mauro, F.Branco, “Update on the Statistical Analysis of Traffic Countings on Two-Lane Rural Highways”, Modern Applied Science, Vol.7, n°6, 2013 [6] R.Mauro, “Calculation of roundabouts - Capacity, Waiting Phenomena and Reliability, Springer, Heidelberg, New York, 2010


87

5. IL PROCESSO DEI CONTEGGI DI TRAFFICO È nota l’importanza in Ingegneria Stradale del processo dei conteggi di traffico. Infatti, ad esso ed al processo dei distanziamenti temporali si ricorre, tra l’altro, nello studio in forma chiusa od in simulazione di nodi e di tronchi. Il capitolo contiene le nozioni essenziali per caratterizzare statisticamente a fini applicativi un processo contatore degli arrivi veicolari. Si delineano altresì le relazioni tra stazionarietà del deflusso e processo dei conteggi. 5.1 Identificazione e stima delle leggi di probabilità per i conteggi di traffico Al precedente punto 1.2.1 è stato definito con la (2) il processo contatore degli arrivi N(ω,t). N(ω,t) è detto anche processo dei conteggi di traffico. Nel seguito, per semplicità di notazione, con X(t) si intende (cfr. la (2) del Cap.1) X(t) = N(t). X(t) è quindi la variabile aleatoria “numero di veicoli X” che attraversa in un intervallo di durata t una sezione stradale S (1). Nella Tab. 1 sono riportate, per le sezioni X(t) del processo dei conteggi di traffico, le distribuzioni di probabilità (d.d.p.) più utilizzate nelle applicazioni. La binomiale è definita per valori interi da 0 ad n; n è un numero intero positivo ed uno dei due parametri della distribuzione. La Poisson e la binomiale negativa sono definite per 0 e su tutto l’insieme dei numeri interi positivi. Siano quindi x e s2 rispettivamente la media e la varianza campionaria relative alla variabile aleatoria X(t), numero di passaggi di veicoli. X(t) è campionato in una sezione S, in intervalli tutti ampi t all’interno di un periodo T.

(1)

Come di consueto si indicano in maiuscolo la variabile aleatoria, in minuscolo, con la stessa lettera, una sua generica determinazione.


5. Il processo dei conteggi di traffico

88 Distribuzione

Binomiale §n· x ¨¨ ¸¸p (1 − p) n − x ©x¹

Poisson ȝ −ȝ e x!

Binomiale negativa § x + k − 1· k ¨¨ ¸¸p (1 − p) x k − 1 © ¹

media μ

np

μ

k ⋅ (1 − p) p

varianza σ2

np ⋅ (1 − p)

μ

ȝ

(1 − p) −1 > 1

1

p <1

p = (x − s2 ) / x n = x 2 /( x − s 2 )

ȝ=x

p = x / s2 k = x 2 /(s 2 − x )

d.d.p.

ı2

stima dei parametri

x

k ⋅ (1 − p) p2

Tab. 1- Distribuzioni teoriche dei conteggi di traffico: distribuzioni di probabilità (d.d.p.), momenti, stima dei parametri

Si espone un consolidato criterio frequentemente utilizzato [1] per la scelta di un modello dei conteggi che fornisca, a partire da dati sperimentali, la probabilità P(X(t) = x; t). P(X(t) = x; t) − nel seguito indicata con P(X = x) − indica la probabilità del transito durante t di x veicoli (2) in S. Se la media x e la varianza s2 campionarie risultano assimilabili, x ≅ s 2 , è possibile supporre che la distribuzione statistica rilevata sia conforme ad una legge di Poisson. Per essa, infatti, media μ e varianza σ2 teoriche risultano pari ad uno stesso valore che definisce anche completamente il modello. Se la media statistica risulta invece maggiore della varianza campionaria, può dedursi che la variabilità delle misure è minore di quella attesa per arrivi puramente poissoniani di uguale media. In tal caso si può controllare l’accordo dei dati sperimentali con il modello Binomiale Positivo o con quello di Poisson generalizzato. Di essi si parlerà tra breve. Per i predetti due modelli la media è, appunto, maggiore della varianza. (2)

La idoneità di questo modello, come quella di altri che possono prescegliersi, a rappresentare i dati va poi comunque provata con la effettuazione di test di conformità.


5. Il processo dei conteggi di traffico

89

μ e σ2 individuano anche completamente le due distribuzioni. La d.d.p. della Poisson Generalizzata può, inoltre, sotto opportune approssimazioni, essere definita completamente dalla sola media. In termini di traffico, la circostanza che x > s 2 è stata riscontrata frequentemente per condizioni di flusso lontane dalla circolazione libera, quando in genere le portate risultano molto rilevanti. La distribuzione di Poisson Generalizzata può utilizzarsi come legge di conteggi, anche per alti valori di portata, sempre che sia conservata la stazionarietà del flusso durante il periodo di osservazione degli arrivi. Infine, se la media statistica risulta minore della varianza, a parità di media si è in presenza di conteggi più dispersi di quelli derivabili da arrivi puramente poissoniani. In questo caso la scelta si orienta, in genere, verso una distribuzione Binomiale Negativa, altrimenti detta legge di Pascal. Questo modello presenta, similmente ai dati, speranza matematica minore della varianza. Anche in questo caso media e varianza individuano completamente il modello. Conteggi per i quali si è ottenuto x < s 2 e conformità ad una legge di Pascal, sono stati per lo più rilevati per condizioni di flusso che si instaurano a valle di regolazioni semaforiche. Qualche autore ha utilizzato però questa distribuzione come modello degli arrivi anche su strade a più corsie. Nella Tab. 2 è sintetizzato il criterio esposto di scelta del modello in base ai valori misurati di media x e varianza s2. Valore di s 2 / x

Distribuzione suggerita

>1

Binomiale Negativa

≅1

Poisson

<1

Binomiale o Poisson Generalizzata

Tab. 2 - Criterio di selezione del modello dei conteggi


5. Il processo dei conteggi di traffico

90

Per quanto concerne la legge di Poisson Generalizzata, essa è completamente definita da due parametri reali positivi, k e λ, ed ha espressione, quando k è intero positivo,

P( X = x ) =

k

¦ i =1

e − λ ⋅ (λ) x ⋅k +i −1 ( x ⋅ k + i − 1)!

x = 0, 1, 2, ...

Tra k e λ sussiste, per il tramite di x , la relazione Ȝ = k ⋅ x + 1/2 ⋅ (k − 1)

(1)

(2)

La deduzione di k e di λ in base ai valori della media e della varianza dei conteggi x si effettua con il nomogramma di Fig. 1 dovuto ad Haight [2].

Fig. 1 – Nomogramma per il calcolo dei parametri della d.d.p. di Poisson Generalizzata


5. Il processo dei conteggi di traffico

91

Secondo altre indicazioni è possibile, però, attribuire a k, in modo approssimato, ma spesso accettabile per le applicazioni al traffico, valori interi tra 1 e 3 per intervalli di flusso q tra 0 e 1500 veicoli/h ed ottenere, tramite la (2), univocamente anche il valore di λ in funzione della sola media dei conteggi. Quest’ultima risulta, quindi, come già prima detto, l���unica statistica per individuare completamente il modello. La Tab. 3 sintetizza quanto appena detto. Valore del flusso q [veic/h]

Valore di k

Valore di λ

0 ÷ 500

1

Ȝ=x

501 ÷ 1000

2

Ȝ = 2 ⋅ x + 1/2

1001 ÷ 1500

3

Ȝ = 3⋅ x +1

Tab. 3 - Valori di k e di λ in funzione di Q

Quando k è positivo qualsiasi, l’espressione (1) si modifica poiché il calcolo di P(x) necessita del ricorso alla funzione Gamma Incompleta, che è una generalizzazione dell’operatore fattoriale quando l’argomento è un numero positivo non intero. L’esame di questa forma della legge di Poisson Generalizzata è argomento specialistico che esula dagli scopi di questo testo [2]. E’ da dire comunque che nelle applicazioni la determinazione di k che si consegue dall’elaborazione dei dati sperimentali viene in genere, senza particolare pregiudizio dei risultati finali, approssimato al numero intero positivo più vicino al valore stimato. Quale che sia la legge degli arrivi utilizzata, per il significato della media μ che compare nelle espressioni delle d.d.p. di Tab. 1, se q è il volume unitario (relativo all’unità di tempo) e la valutazione della probabilità del numero di passaggi è richiesta con riferimento ad un intervallo di durata t, tra μ, q e t intercorre, evidentemente, la relazione ȝ = q⋅t


92

5. Il processo dei conteggi di traffico

Fig. 2 â&#x20AC;&#x201C; Andamenti delle d.d.p. Binomiale e di Poisson


5. Il processo dei conteggi di traffico

93

ovvero, in termini di stima, ȝ =q⋅t = x

(3)

In questo modo, se ad es. si adopera una legge di Poisson deve scriversi:

(q t) x ⋅ e − q t (4) x! Nella Fig. 2 per i valori dei parametri ivi indicati sono consegnati alcuni andamenti delle d.d.p. Binomiale e di Poisson. P(X = x) =

Con l’intento di chiarire il significato dei parametri delle leggi di probabilità fin qui riportate e le modalità di applicazione delle stesse, si svolge a partire dai dati di Tab. 4, tratti da [1], l’esempio che segue.

Esempio Nella Tab. 4 è consegnato un insieme di determinazioni del numero x di passaggi veicolari in una corsia di una strada extraurbana, registrate in 64 intervalli ciascuno di ampiezza t = 15 sec (colonna I). I

II

III Poisson Frequenze x ≡ veicoli/15 osservate Frequenze s P(x) fi teoriche x1 = 0 0 0,00057 0,04 x2 = 1 0 0,00426 0,27 x3 = 2 0 0,01592 1,02 x4 = 3 3 0,03962 2,54 x5 = 4 0 0,07398 4,74 x6 = 5 8 0,11052 7,07 x7 = 6 10 0,13757 8,80 x8 = 7 11 0,14678 9,39 x9 = 8 10 0,13703 8,77 x10 = 9 11 0,11372 7,28 x11 = 10 9 0,08493 5,44 x12 = 11 1 0,05767 3,69 x13 > 12 1 0,07743 4,95 64 1,00000 64,00

IV Binomiale Frequenze P(x) teoriche 0,00004 0,00 0,00060 0,04 0,00393 0,25 0,01604 1,03 0,04563 2,92 0,09588 6,14 0,15389 9,85 0,19247 12,32 0,18956 12,13 0,14751 9,44 0,09040 5,79 0,04317 2,76 0,02088 1,33 1,00000 64,00

V Poisson generalizzata Frequenze P(x) teoriche 0,00000 0,00 0,00014 0,01 0,00191 0,12 0,01190 0,76 0,04290 2,75 0,10056 6,44 0,16524 10,58 0,20071 12,85 0,18741 11,99 0,13864 8,87 0,08324 5,33 0,04136 2,65 0,02599 1,65 1,00000 64,00

Tab. 4 - Distribuzione statistica e distribuzione teorica di conteggi di traffico


5. Il processo dei conteggi di traffico

94

Le frequenze fi riscontrate per ciascun valore argomentale xi di x sono quelle della colonna II. Per queste serie statistiche risultano 13

¦x

i

⋅ f i = 478 veic

¦x

2 i

⋅ f i = 3822 veic

i =1 13 i =1

e, quindi, con la numerosità del campione N = Ȉ f = 64 , si ottengono i valori della media x e della varianza s2 campionarie del numero di veicoli che transitano in 15' nella sezione stradale considerata: x = qt =

478 = 7,469 veic / 15 sec 64 2

3822 - ( 478 / 64) = 3,999 (veic / 15 sec) 2 (3) 63 Si ricorda che nella espressione al secondo membro della media x , per il significato fisico di quest’ultima, la quantità q è il flusso medio nell’unità di tempo (qui q = 7,469/15 = 0,498 veic/sec ) e t è l’ampiezza degli intervalli all’interno dei quali si contano i veicoli transitati (in questo caso t = 15 sec ). s2 =

La relazione x = qt è in accordo con la (3), poiché, quale che sia la d.d.p. individuata per interpretare i dati, x rappresenta la stima della media del modello dei conteggi. Risultando il rapporto tra media e varianza statistiche

x 7,469 = = 1,868 s 2 3,999 maggiore dell’unità è possibili orientare la scelta delle legge di probabilità verso una Binomiale da particolareggiare con i dati rilevati. Quest’ultima dipende da due parametri p ed n; n è fornito da

(3)

Nel calcolo di s2 si è utilizzata la relazione intercorrente tra i momenti di una distribuzione di frequenze, secondo le quale s 2 = ( m 2 − x 2 ⋅ N ) /( N − 1) dove m 2 = ¦ x i2 ⋅ f i è il momento secondo della distribuzione di frequenze.


5. Il processo dei conteggi di traffico

95

(7,469) 2 x2 = = 16,077 x − s 2 7,469 - 3,999 che si approssima a n = 16 , giacché per la d.d.p. Binomiale n deve essere un intero positivo. n=

Per p si ottiene

x − s 2 x 7,469 = = = 0,467 x n 16 Se si pone q = 1 − p = 1 − 0,467 = 0,533 , a partire dalla espressione generale p=

§n· n! P( X = x ) = ¨¨ ¸¸p x (1 − p) n − x = p x q n −x x! ( n − x )! ©x¹ la legge cercata assume la forma

x = 0; 1; 2; ...

§16 · 16! P( X = x ) = ¨¨ ¸¸(0,467) x (0,533) 16 − x = (0,467) x (0,533) 16 − x x! (16 − x )! ©x¹ con media ȝ = n ⋅ p = 16 ⋅ 0,467 = 7,472 veic/15sec

e varianza

σ 2 = n ⋅ p ⋅ q = 16 ⋅ 0,467 ⋅ 0,533 = 3,982 (veic/15sec) 2 . In alternativa alla legge Binomiale, ricorrendo la circostanza che x / s 2 > 1 , può adottarsi come modello teorico, da sottoporre poi comunque ad un test di conformità, una distribuzione di Poisson Generalizzata. Per la sua individuazione occorre stimare dai dati in possesso i parametri k e λ, che la definiscono completamente e che sono tra loro connessi dalla relazione (2). Poiché con i valori di x = 7,469 veic / 15 sec e s 2 = 3,999 (veic / 15 sec) 2 dal nomogramma di Fig. 1 si ricava k = 2, dalla (2) si ottiene (4) λ = 2 ⋅ x + 0,5 = 2 ⋅ 7,469 + 0,5 = 15,438 Con q = x = 7,469 veic/15sec ≅ 1800 veic/h , con le indicazione della Tab.3 si ottiene k = 3 al posto di k = 2. Questa differenza di determinazione per il valore numerico dello stesso parametro è abbastanza frequente quando, nel trattamento dei medesimi dati, si ricorre a procedure statistiche di genesi diversa. Evidentemente, per la taratura definitiva si adotta il parametro che individua il modello più aderente ai risultati sperimentali.

(4)


5. Il processo dei conteggi di traffico

96

Dall’espressione generale delle legge di Poisson Generalizzata P(X = x ) =

k

¦ i =1

e − λ ⋅ (λ ) x ⋅k + i −1 ( x ⋅ k + i − 1)!

x = 0, 1, 2, ...

la cui media e varianza non sono esprimibili in generale in forma chiusa, si ottiene la d.d.p. relativa ai dati considerati P(X = x ) =

2

¦ i =1

e −15, 438 ⋅ (15,438) 2⋅x + i −1 ( 2 ⋅ x + i − 1)!

Infine, nonostante il rapporto x / s 2 > 1 non deponga per l’adozione come modello di una d.d.p. di Poisson, essa viene comunque applicata ai dati considerati per il ruolo rilevante che possiede in molti problemi di Ingegneria Stradale. Il solo parametro che definisce completamente questa legge è le media μ, risultando

ȝ x −ȝ e x! Per la varianza si ottiene, inoltre, σ 2 = μ . P( X = x ) =

x = 0, 1, 2, ...

Nel caso dei conteggi di Tab. 4 la P(x) si particolarizza in

(7,469) x −7,469 e x! con media μ = 7,469 veic / 15 sec e varianza σ 2 = 7,469 (veic / 15 sec) 2 . Il valore di quest’ultima è in evidente disaccordo con la stima effettuata dalle osservazioni pari a s 2 = 3,999 (veic / 15 sec) 2 . P( X = x ) =

Comunque, le probabilità relative ai valori argomentali di x risultano, con questa distribuzione, quelle della colonna III di Tab. 4. In essa, accanto alle distribuzioni di probabilità ottenute dai modelli considerati, sono riportate le frequenze teoriche 64 ⋅ P( x ) . Dal confronto di queste ultime con le frequenze sperimentali fi della colonna II è possibile notare come la legge di Poisson approssimi in modo insoddisfacente la serie statistica (x,f), mentre precisioni migliori per le frequenze si ottengono con il modello Binomiale e di Poisson Generalizzato. Quest’ultimo può quindi, in questo caso, costituire un’alternativa al più usuale


5. Il processo dei conteggi di traffico

97

modello dei conteggi Binomiale. Una valutazione quantitativa dello scarto tra serie empirica e teorica si consegue solo con la effettuazione di un test di conformità. Si vuole infine mostrare l’andamento delle leggi teoriche degli arrivi di Tab. 1 a parità di media. Si valutano quindi le probabilità per la variabile aleatoria “arrivo di X veicoli in un intervallo di 20 sec” quando X assume i valori X = 1, 2, 3, ..., 11 o più veicoli, supponendo una corrente di portata Q = 720 veic/h = 0,2 veic/sec. Con il significato dei simboli e le relazioni di Tab. 1 si ottiene: - distribuzione di probabilità di Poisson Risultano ȝ = 0,2 ⋅ 20 = 4 veic/20 sec ; σ 2 = 4 (veic/20 sec) 2

e quindi

μ x ⋅ e −μ 4 x ⋅ e −4 = x! x! - distribuzione di probabilità Binomiale P(x ) =

Assumendo l’intervallo unitario (20 sec) diviso in venti parti uguali di 1 sec si ha: ȝ = n ⋅ p = 4 veic/20sec da cui p = 0,2

1 - p = 0,8

ı 2 = n ⋅ p ⋅ (1 − p) = 3,2 (veic/20sec) 2

e quindi

P(x) =

20! ⋅ 0,2 x ⋅ 0,8 20− x (20 − x)! x!

- distribuzione di probabilità Binomiale Negativa Si ipotizza, dato il valore di μ, k = 2, per cui risulta ossia ȝ = k ⋅ (1 − p)/p 4 = 2 ⋅ (1 − p)/p da cui p = 0,3334;

1 − p = 0,6666; σ 2 =

2 ⋅ 0,6666 (0,3334)

2

= 12 ( veic / 20 sec) 2


5. Il processo dei conteggi di traffico

98

Con questi valori si ottiene § x + k − 1· k (x + 1)! ¸¸ ⋅ p ⋅ (1 − p) x = P(x) = ¨¨ ⋅ (0,3334) 2 ⋅ (0,6666) x k − 1 x! © ¹ - distribuzione di Poisson Generalizzata

Dato il valore di Q = 720 veic/h si sceglie (Tab. 3) k =2; risulta x = ȝ = 4 veic/20sec e, quindi, sempre dalla Tab. 3, 1 (k − 1) = 8,5 2 Con questa determinazione risulta, in generale, per la (1) λ=k⋅x+

2x ª Ȝ 2x Ȝ 2x +1 º 8,5 2x +1 º −8,5 ª 8,5 ⋅« + ⋅« + »=e » i =1 ¬ (2x)! (2x + 1)!¼ ¬ (2x)! (2x + 1)!¼ Una valutazione quantitativa dello scarto tra serie empirica e teorica si consegue solo con la effettuazione di un test di conformità.

P(x) =

2

e − Ȝ ⋅ λkx + i −1

¦ (kx + i − 1)! = e

−Ȝ

I valori delle probabilità P(x) sono riepilogati nella Tab.5 e rappresentati nella Fig. 3.

0,0115

Binomiale Negativa 0,1112

Poisson Generalizzata 0,0019

0,0576 0,1369

0,1483 0,1482

0,0277 0,1175

0,1952 0,1952

0,2054 0,2182

0,1318 0,1098

0,2320 0,2628

P(5)

0,1562

0,1746

0,0878

0,1924

P(6) P(7)

0,1041 0,0595

0,1091 0,0545

0,0683 0,0520

0,0982 0,0369

P(8) P(9)

0,0297 0,0132

0,0222 0,0074

0,0390 0,0289

0,0106 0,0024

P(10)

0,0053

0,0020

0,0212

0,0004

P(11 o più)

0,0037

0,0006

0,0535

0,0172

Poisson

Binomiale

P(0)

0,0183

P(1) P(2)

0,0732 0,1464

P(3) P(4)

Tab. 5 - Valori delle probabilità con differenti leggi ed a parità di media


5. Il processo dei conteggi di traffico

99

P(x)

d.d.p. di Poisson

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0

1

2

3

4

P(x)

5

6

7

8

9

10

11 o più

x

7

8

9

10

11 o più

x

8

9

10

11 o più

x

d.d.p. Binomiale

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0

1

2

3

P(x)

4

5

6

d.d.p. Binomiale Negativa

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0

1

2

3

P(x)

4

5

6

7

d.d.p. di Poisson Generalizzata

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 o più

x

Fig. 3 – Andamento di differenti leggi di probabilità a parità di media


5. Il processo dei conteggi di traffico

100

5.2 Un ulteriore criterio di identificazione delle leggi di probabilità del processo dei conteggi In aggiunta al criterio di selezione indicato in Tab. 2 si riporta un ulteriore criterio per la scelta preliminare di un modello per X(t) in funzione di opportune statistiche dei dati. Esso si è dimostrato in alcuni ambiti di ricerca [3] più efficiente del semplice confronto tra i valori della media e della varianza. Per poter disporre di una quantità di informazioni maggiore di quella connessa al solo raffronto di

ҧ ൌ • ଶ Ȁšത con ൌ ɐଶ ȀɊ, si compara anche la statistica L = m 3 / s 2 con L = m 3 / s 2 . Sul piano (I, 0, L) il punto (I, L) è diversamente collocato per ogni diversa distribuzione teorica (Fig. 4). Esso giace sul segmento di retta AC se è riferibile ad una distribuzione Binomiale;; sulla semiretta con origine in C se rappresentativo di una distribuzione Binomiale Negativa; coincide, infine, con il punto C se connesso alla legge di Poisson.

a) b) b)

c)

c)

a)

Fig. 4 – Distribuzioni di probabilità sul piano (I, 0, L)


5. Il processo dei conteggi di traffico

101

Il posizionamento dei punti campionari ( I, L) sul piano (I,0,L) in prossimitĂ  dellâ&#x20AC;&#x2122;uno o dellâ&#x20AC;&#x2122;altro dei luoghi geometrici individuati orienta cosĂŹ alla scelta del modello teorico da sottoporre poi a test di conformitĂ . Ă&#x2C6; opportuno però notare esplicitamente che questo metodo, come ogni procedura statistica di supporto a decisioni, pur risultando molto utile e di semplice applicazione, non è sempre univocamente discriminativo. Nella Fig. 4 è riportata anche la curva L = f(I) relativa alla distribuzione di Neyman tipo A biparametrica [4]: La d.d.p. di questâ&#x20AC;&#x2122;ultima risulta: p (0) = e -m1 (1 â&#x2C6;&#x2019; e â&#x2C6;&#x2019; m2 )

p (n + 1) =

m1 m 2 e â&#x2C6;&#x2019;m 2 n +1

m k2 p (n â&#x2C6;&#x2019; k) k = 0 k! n

ÂŚ

(5)

n = 0, 1,2,...

(6)

dove m1 e m2 si stimano con le relazioni: m 1 = x 2 /(s 2 â&#x2C6;&#x2019; x )

(7)

m 2 = (s 2 â&#x2C6;&#x2019; x ) / x

(8)

Le relazioni L = f(I) per i modelli appena richiamati, dedotte dalle espressioni delle relative Îź, s2 e Îź3 sono consegnate in Tab. 6. Distribuzione

Relazione tra I e L

POISSON

ŕľ&#x152; ŕľ&#x152;Íł

BINOMIALE

 ŕľ&#x152; Í´ ŕľ&#x2020; Íł

Ô&#x2013;á&#x2C6;žÍ˛ÇĄÍłá&#x2C6;ż

BINOMIALE NEGATIVA

 ŕľ&#x152; Í´ ŕľ&#x2020; Íł

Ô&#x2013;á&#x2C6;žÍłÇĄ Îťá&#x2C6;ž

NEYMAN TIPO A

 ŕľ&#x152; ŕľ&#x2026; Íł ŕľ&#x2020; ÍłČ&#x20AC; Ô&#x2013;á&#x2C6;žÍłÇĄ Îťá&#x2C6;ž

Tab. 6 â&#x20AC;&#x201C; Relazione tra I e L per diversi modelli dei conteggi.

La distribuzione Binomiale negativa e Neyman tipo A biparametrica appartengono alla piĂš vasta famiglia di modelli probabilistici detti di tipo aggregato o contagioso. Essi rivestono notevole importanza in Biometria quando gli elementi delle popolazioni indagate si presentano e vengono rilevati generalmente in gruppi o in aggregati [3].


102

5. Il processo dei conteggi di traffico

Relativamente al traffico la condizione equivalente può essere quella della marcia a plotoni. È ragionevole, quindi, in tale circostanza, ricercare un buon adattamento con i conteggi rilevati e una delle distribuzioni del tipo aggregato o contagioso e, in particolare, esplorare l’attitudine della distribuzione Binomiale Negativa a rappresentare un modello degli arrivi per condizioni di traffico ulteriori rispetto a quelle ad essa già prima riferite in questo capitolo. 5.3 Stazionarietà dei deflusso e processo dei conteggi Ai punti precedenti si sono esaminate le distribuzioni di probabilità (d.d.p.) (univariate) utilizzabili per una sezione X(t) del processo dei conteggi x(ω,t)=N(ω,t). La trattazione ha così riguardato la funzione aleatoria N(ω,t) in un singolo generico istante t di T. Si vuole ora, a fini applicativi, connotare l’evoluzione di N(ω,t) in T. In questo caso il processo va connesso alle caratteristiche statistiche della corrente di traffico della quale è una espressione. Si esaminano nel seguito le relazioni tra le d.d.p. di Tab. 1 e la stazionarietà del deflusso come intesa al Cap.4. La stazionarietà valutata per N(ω,t) è quella debole in media e varianza. Quale che sia la legge di probabilità di una sezione X(t) di N(ω,t) (cfr. la Tab. 1), per evidenti motivi deve risultare (9) E[X(t)] = ȝ(t) = q(t) ⋅ t q(t) è il volume di traffico relativo all’intervallo (0,t) su T (di ampiezza Δt = t)(5). Se il deflusso è stazionario, si è visto al Cap.4 che q(t) = q = cost. ∀ t∈T. In questo caso q si dice portata di traffico e si indica con Q. La (9) si scrive quindi (10) ȝ(t) = Q ⋅ t

(5)

Si ricorda che la probabilità P(X(t)=x), x = 0,1,..., n è valutata rispetto all’intervallo (0,t), Δt = t.


5. Il processo dei conteggi di traffico

103

Dalla (10) si trae che, se il deflusso è stazionario, la portata di traffico è la media in t del processo dei conteggi nell’unità di tempo. Se X(t) è una variabile aleatoria (v.a.) di Poisson ∀ t∈T, risulta anche che ) (cfr. la Tab. 1), ȝ(t) = σ 2 ( t ). Con la (10) si ha σ 2 (t) = Q ⋅ t

(11)

La (10) e la (11) mostrano che al variare di t in T anche se il volume di traffico è costante, media e varianza del processo N(ω,t) sono funzioni di t. Ne segue che la stazionarietà del deflusso non implica la stazionarietà del processo dei conteggi N(ω,t). Questa conclusione è generale. Essa vale cioè anche se le sezioni X(t) non sono v.a. di Poisson o, in particolare, non risultano somiglianti in T. L’affermazione si prova facilmente considerando le espressioni dei parametri μ e σ2 che definiscono le d.d.p. dei conteggi di traffico (cfr. la Tab. 1). La dimostrazione si lascia al volenteroso lettore. Si richiamano ora alcune peculiarità per i principali tipi di processi poissoniani. La stazionarietà del deflusso è un fondamentale requisito affinché, sotto limitati valori di Q, le X(t) siano v.a. di Poisson. Si consideri a questo proposito un flusso di eventi F (arrivi di veicoli) come definito al punto 1.2.1. Si richiede inoltre che F risulti, in un periodo T: a) stazionario; b) senza memoria; c) ordinario. Un flusso che gode di queste proprietà è detto elementare (o omogeneo) di Poisson: a) la stazionarietà di F equivale alla stazionarietà del deflusso in T (come inteso al Cap.4); b) l’assenza di memoria si ha se il numero di eventi in un qualsiasi intervallo Δti < T è indipendente da quello registrato in ogni altro intervallo Δtj < T. Δti e Δtj sono ipotizzati disgiunti, '– ୧  ‫ –' ת‬୨ ൌ ‫;׎‬ c) l’ordinarietà comporta che tra t e t+Δt la probabilità di due o più eventi


5. Il processo dei conteggi di traffico

104

(arrivi) sia trascurabile rispetto alla probabilità di un solo evento (arrivo). t è un qualsiasi istante di T. Δt è da assumere molto piccolo. Si dimostra (cfr. ad es. [5], [6]) che se F è elementare (o omogeneo), allora X(t) ∀ t∈T è una v.a. di Poisson (4) di media (10) e varianza (11) P(X( t ) = x ) = [(Qt ) x e − Qt ] / x!

x = 0, 1, 2,..., n

(12)

In questo caso il processo N(ω,t) è detto anche esso elementare (o omogeneo) di Poisson. Si consideri ora una corrente con deflusso non stazionario. Per essa il volume di traffico q è funzione di t, q=q(t). Se il flusso di arrivi F della predetta corrente permane senza memoria ed ordinario, F si dice non stazionario (o non omogeneo) di Poisson. In questo caso il processo dei conteggi N(ω,t) che ne deriva è detto anche esso non omogeneo di Poisson. Tale processo è detto anche di Poisson generalizzato di I tipo. Le leggi di probabilità delle sezioni X(t) di N(ω,t) assumono allora l’aspetto P(X( t ) = x ) = [λx e − λ ] / x!

x = 0, 1, 2,..., n

(13)

t

³

λ ( t ) = q(τ)dτ t ∈ T

(14)

0

E[X( t )] = λ( t )

(15)

Per un processo non omogeno di Poisson si ha anche P[(X = x ), t , t 0 ] = [λx e − λ ] / x!

x = 0, 1, 2,..., n

(16)

t0 +t

λ(t ) =

³ q(τ)dτ

t0, t0 + t ∈T

(17)

t0

P[( X = x ), t , t 0 ] indica la probabilità di contare x arrivi in un intervallo ampio t a partire dall’istante (generico) t0.

Inoltre, per la (17), λ = λ ( t , t 0 ). Quindi λ dipende non solo dall’ampiezza t ma anche dalla sua posizione su T (tramite t0). Si rimuova, infine, per F anche l’ipotesi di assenza di memoria e/o quella di ordinarietà. Si possono ottenere processi di conteggi che generalizzano


5. Il processo dei conteggi di traffico

105

ulteriormente quello di Poisson elementare. Per essi si rimanda a [7]. In [8] è riportata una recente analisi molto generale sui processi di Poisson. Comunque, le osservazioni sperimentali hanno mostrato che, in accordo con le ipotesi statistiche alla base della sua deduzione, il processo elementare di Poisson (12) è un realistico modello dei conteggi su una o più corsie quando in T: a) non intervengono cause esterne perturbatrici del deflusso (stazionarietà del deflusso q(t) = Q = cost ∀ t∈T); b) il distanziamento temporale tra i veicoli è tale che essi non si influenzino mutuamente. Quest’ultima circostanza implica che il modello può essere tanto più conforme ai dati sperimentali quanto più il flusso è rado. Si giustifica così il ricorso ad un processo di Poisson per valori di portata fino a 400÷500 veic/h. La legge di Poisson (12) per X(t) sezione di N(ω,t) non è quindi in genere utilizzabile in assenza di stazionarietà del deflusso o per alti valori di portata. In queste circostanza i flussi di eventi (arrivi) non sono elementari. Si ricorre così per le sezioni X(t) del processo dei conteggi a leggi di probabilità altre da quella elementare di Poisson. Alcune di tali leggi sono state dettagliatamente richiamate appena prima (cfr. la (13)) o ai punti precedenti di questo capitolo. Per quanto attiene, infine, al processo N(ω,t) nel suo insieme è plausibile ritenere che esso risulti, per bassi valori del deflusso, di tipo puramente casuale (di rinnovamento) (cfr. il punti 3.1). Al crescere del flusso aumenta il mutuo condizionamento veicolare. Ne segue che il processo tende via via a risultare sempre più autocorrelato, presentandosi con caratteristiche di memoria sempre meno limitate nel tempo.


106

5. Il processo dei conteggi di traffico

Riferimenti bibliografici [1] D.L.Gerlough, M.J.Huber, “Traffic flow theory”, TRB report 165, Washington D. C., 1975 [2] F.A.Haight, “The generalized Poisson distribution”, Ann.Inst.Statist.Math, 11, 101-105 [3] A.Gore, S.Paranjpe, “A course in mathematical and statistical ecology”, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2001 [4] R.Mauro, F.Branco, “Update on the Statistical Analysis of Traffic Countings on Two-Lane Rural Highways”, Modern Applied Science, Vol.7, n°6, 2013 [5] E.S.Ventsel, “Teoria delle Probabilità”, Edizioni Mir, Mosca, 1983 [6] A.D. May, “Traffic Flow Fundamentals”, Prentice Hall, 1990 [7] G.Cariolaro, G.Pierobon, “Processi aleatori”, III ed, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 1994 [8] M.Cao, A.H.Tai, L.Y.Chan, “New statistical distributions for group counting in Bernoulli and Poisson processes”, Test, n°21, 29-53, 2012


107

6. IL PROCESSO DEI DISTANZIAMENTI VEICOLARI È nota l’importanza in Ingegneria Stradale del processo dei distanziamenti veicolari. Infatti, ad esso ed a quello dei conteggi di traffico si ricorre, tra l’altro, nello studio in forma chiusa o in simulazione di nodi e di tronchi. Il capitolo contiene le nozioni essenziali per caratterizzare statisticamente a fini applicativi un processo dei distanziamenti temporali tra i veicoli. Si delineano altresì alcuni aspetti delle relazioni tra processo dei distanziamenti e processi dei conteggi di traffico.

6.1. Identificazione e taratura delle leggi di probabilità per i distanziamenti veicolari Al precedente punto 1.2.2 è stato definito il processo Θ(ω,t) dei distanziamenti temporali tra i veicoli di una corrente di traffico. Nel seguito con Θ(t) si intenderà la sezione del processo Θ(ω,t) al tempo t∈T. La f.d.p. univariata della sezione generica Θ(t), f(τ,t) verrà per semplicità indicata con f(τ). In Tab. 1 sono riportate per Θ(t) le funzioni densità di probabilità (f.d.p.) più utilizzate nelle applicazioni. τ e s2 sono rispettivamente la media e la varianza campionarie del distanziamento veicolare, in genere valutate su sequenze di misure τ di Θ(t). Come si mostra nel seguito di questo capitolo (cfr. il punto 6.2), se i passaggi sono distribuiti con una d.d.p. di Poisson, il distanziamento Θ(t) tra gli stessi è una variabile esponenziale (Fig. 1). Questo modello può quindi risultare, come quello di Poisson per i conteggi, tanto più conforme ai dati sperimentali, quanto più il flusso è rado, ovvero non superiore a 400÷500 veic/h. La legge esponenziale fornisce però valori di densità di probabilità diversi da zero per intervalli temporali molto piccoli, al limite nulli. Ciò è fisicamente impossibile quando si osserva una sola corrente veicolare, giacché i veicoli sono di lunghezza finita.


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

108

Distribuzione

Esponenziale negativa

Esponenziale traslata

Erlang

Log-normale

λe−λτ (λτ)k −1 (k − 1)!

§ (lnIJ − Į) 2 exp ¨ − ¨ 2ȕ 2 IJȕ 2ʌ ©

1 +c λ

k λ

exp (α + β2 / 2)

1

1

k

λ

2

λ2

λ2

1 =τ λ 1 = s2 λ2

c = τ − s2 1 λ2 = 2 s

per τ < c

0

f.d.p.

λe −λτ

media μ

1 λ

varianza σ2

stima dei parametri

1 1 −c Ȝ

exp{− (IJ − c)/(1/Ȝ − c)} per τ ≥ c

1

· ¸ ¸ ¹

exp(2α + β2 )[exp(β 2 ) − 1]

τ s2 τ2 k= 2 s

λ=

§ Į = ln ¨ IJ ©

· 1 + cIJ2 ¸ ¹

ȕ 2 = ln(1 + cIJ2 ) dove cIJ2 = s 2 / τ 2

Tab. 1 - Distribuzioni teoriche dei distanziamenti Θ: f.d.p.; momenti; stima dei parametri

f (τ) 0,35 0,30 0,25 0,20

λ = 0,25 veic/sec

0,15 0,10 0,05 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Fig. 1 – Funzione densità di probabilità Esponenziale Negativa

τ (sec)


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

109

f (τ) 0,35 0,30 0,25 λ = 0,25 veic/sec c = 1 sec

0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

τ (sec)

Fig. 2 – Funzione densità di probabilità Esponenziale Negativa traslata

Nell’intento di superare questa incongruenza è stata proposta la funzione di probabilità esponenziale traslata (Fig. 2) [1]. Nella sua formulazione compare il più piccolo distanziamento ritenuto fisicamente possibile nelle condizioni di deflusso esaminate. Esso è indicato con “c” nell’espressione di Tab. 1 e può stimarsi dai dati o assumersi in primo tentativo di ampiezza pari a 0,5 o 1 sec. Nel caso si considerino due o più correnti parallele o dirette in senso opposto, se il flusso non è rado, può non essere del tutto infrequente osservare il passaggio pressoché contemporaneo di due veicoli nella stessa sezione. In presenza di distanziamenti anche piccoli, contraddistinti da frequenze non elevate, così come al crescere delle mutue interferenze tra i veicoli, può ipotizzarsi per τ una distribuzione di Erlang. I parametri k e λ si valutano facilmente dalle statistiche campionarie τ e s2, salvo approssimare k al numero intero maggiore più vicino al rapporto k = τ2 / s2.


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

110

In Fig. 3a e Fig. 3b sono riportati gli andamenti della f.d.p. di Erlang al variare di k per due ipotesi relative al parametro λ. f (τ) 0,50 0,40 k =1

0,30 0,20

k =2 k =3

0,10

k =8

0,00

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20 τ (sec)

Fig. 3a –Funzione densità di probabilità di Erlang con λ = 0,5 ed alcuni valori di k

f (τ) 0,30 k =8

0,25 k =1 0,20

k =3

0,15

k =2

0,10 0,05 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 τ (sec)

Fig.3b - Funzione densità di probabilità di Erlang per alcuni valori di k e con media costante μ = k/λ = 4 sec


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

111

La Fig. 3a riguarda l’ipotesi λ = cos t , per cui la media della distribuzione cresce linearmente con k. In Fig. 3b è riportata l’influenza di k nell’ipotesi di media costante, ossia k / λ = cos t; questo secondo caso è quello che interessa per modellare i distanziamenti. La f.d.p. di Erlang è un caso particolare per k numero intero positivo della più generale funzione di probabilità Gamma f (τ) =

λe − λτ (λτ) k −1 Γ( k )

dove ∞

³

Γ(k ) = y k −1 e − y dy 0

è un integrale (funzione speciale gamma) che è tabellato al variare di k tra i numeri reali. Più precisamente per Γ(•) sussiste la relazione ricorrente Γ(k ) = ( k − 1) ⋅ Γ (k − 1), essendo Γ (k ) tabellata per k compreso fra 1 e 2.

In situazioni di condizionamento veicolare è stata proposta come modello dei distanziamenti anche la v.a. log-normale. Essa si è rivelata idonea ad interpretare il distanziamento veicolare quando le condizione del deflusso restringono la maggior parte dei valori attuati di τ in un piccolo numero di classi relative a pochi secondi (Fig. 4). In sintesi, un criterio spesso utilizzato per la scelta di un modello probabilistico per Θ(t) è il seguente: se il flusso è rado e la media e lo scarto quadratico medio (s.q.m.) campionari τ e s 2 sono assimilabili, τ ≅ s 2 , è possibile orientarsi per una f.d.p. esponenziale. Per essa infatti media e s.q.m. teorici risultano pari ad uno stesso valore con il quale si definisce anche completamente il modello. Se ciò non accade, può dedursi che la variabilità dei distanziamenti è diversa da quella connessa ad arrivi puramente poissoniani. Può in questo caso tentarsi una interpretazione dei dati con altre leggi, più idonee a rendere, in termini di caratteristiche di τ, le condizioni del deflusso comunque lontane dalle condizioni di circolazione libera.


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

112

f (τ) 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0

1

2

3

4

5

6

7

8

τ (sec)

Fig. 4 – Funzione densità di probabilità di Log-normale (μ = 2,5 sec; σ2 = 4,15 sec2)

In particolare, è possibile dimostrare (cfr. il punto 6.2) che la f.d.p. di Erlang è la legge dei distanziamenti associata ad arrivi distribuiti con una Poissoniana Generalizzata (cfr. la (1) del Cap.5). In quanto tale, in linea di principio, è utilizzabile in presenza di alti valori di flusso q. A ciò fare va opportunamente caratterizzata nel valore del parametro k, che è crescente con q. Le f.d.p. di Θ(t) fin qui considerate (cfr. la Tab. 1) possono tutte ottenersi da una legge di Pearson di tipo III particolareggiando in modo opportuno i tre parametri della stessa. Per queste deduzioni può vedersi [2]. Per determinare i parametri di una legge di probabilità di distanziamenti veicolari si ricorre in genere a sequenze {τi}= τ1, τ2,… τn di misure dei distanziamenti medesimi ottenute osservando le correnti in esame per un tempo T in una sezione S. Sui membri di {xi} si calcolano le statistiche costituenti le stime dei predetti parametri (cfr. la Tab. 1). Se le sezioni di Θ(t) sono somiglianti, il criterio di stima appena richiamato può applicarsi alla individuazione della f.d.p. della generica sezione Θ(t) del processo ipotizzando la ergodicità di quest’ultimo (cfr. il punto 2.3). Infatti, in questo caso, le informazioni ottenute su di una sola realizzazione di Θ(ω,t) (la sequenza {τi} di


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

113

τ), purché di numerosità significativa, possono ritenersi valide per il processo nel suo insieme. Nel seguito si assumerà per valida la ergodicità del processo Θ(ω,t) esaminato relativamente alle statistiche che ricorono nei calcoli. Quale che sia la legge dei distanziamenti prescelta per la sezione Θ(t) di Θ(ω,t), per il significato della media μ, se q è il volume unitario della corrente cui sono riferiti i distanziamenti veicolari deve aversi (in genere τ è espresso in sec, quindi q è in veic/sec) μ=

1 q

(λ = q )

(1)

In questo modo, se ad es. si adopera una f.d.p. esponenziale può scriversi

f (τ) = qe − qτ

(λ = q )

(2)

mentre per l’esponenziale traslata risulta

f ( τ) =

­ exp®− (τ − c) 1 ¯ −c q 1

§ 1 ·½ ¨¨ − c ¸¸¾ © q ¹¿

τ≥c

(3)

Per la legge di Erlang (e per la f.d.p. Gamma), in base alla (1), può porsi μ=

1 k = q λ

(4)

e quindi λ = kq

(5)

Se si ricorre alla relazione di Fig. 5 di origine sperimentale è possibile, noto il flusso (espresso in equivalente orario) determinare k come il valore intero più vicino a quello che si legge in corrispondenza del flusso considerato ed ottenere un ulteriore criterio di stima per λ rispetto a quello diretto dei parametri che consegue al trattamento di dati sperimentali ( λ = τ / s 2 ; k = τ 2 / s 2 ). Se si interpretano i dati con una f.d.p. Gamma, il cui parametro k può essere, nel caso di applicazioni ai distanziamenti veicolari, un numero positivo non necessariamente intero, k si legge senza altre approssimazioni direttamente dalla Fig. 5 o dalla stima k = τ 2 / s 2 . Con la posizione (5) la f.d.p. di Erlang può riscriversi


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

114

f (τ) =

kq ( kqτ) k −1 e − kqτ ( k − 1)!

(6)

ed essere completamente individuata una volta noto il flusso. La legge esponenziale è un caso particolare della f.d.p. di Erlang e può dedursi da essa per k = 1 , che è il valore corrispondente, secondo il grafico di Fig. 5, a portate dell’ordine dei 400÷500 veic/h, in accordo con le ipotesi di validità della esponenziale. Poiché il distanziamento veicolare è una variabile aleatoria continua, per esso non è possibile (e non ha senso) determinare la probabilità che Θ(t) assuma un determinato valore τ. È possibile invece valutare la probabilità che Θ(t) abbia una durata minore o maggiore di un determinato valore t o che sia compresa tra due intervalli temporali di ampiezza t1 e t2.

q (veic/h/corsia)

Fig. 5 – Relazione tra il flusso ed il parametro k della f.d.p. di Erlang


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

115

Queste determinazioni, come si comprende facilmente, sono rilevanti per le applicazioni. Come è noto, la probabilità P (Θ(t) ≤ t ) è fornita dalla Funzione cumulata di probabilità (detta anche Funzione di Ripartizione) F(τ) della v.a. τ espressa da τ

³

τ≥0

F ( τ) = P ( τ ≤ t ) = f ( ε ) d ε

(7)

0

L’integrale al terzo membro della (7), per essere τ generico, è una funzione di τ. Per semplicità di notazione, la v.a. distanziamenti veicolari Θ(t), sezione generica di Θ(ω,t) in t, verrà indicata omettendo t, Θ(t) = Θ. La valutazione dell’integrale quando ad f(τ) si sostituiscono le espressioni dei distanziamenti (2), (3), (6) fornisce le Funzioni di Ripartizione che seguono: v.a. esponenziale negativa

F(τ) = 1 − e − qτ

v.a. esponenziale traslata

F(τ) = 1 − e −[( τ−c) /(1 / q −c)] F(τ) = 1 − e − kqτ

v.a. di Erlang

(8) k −1

(kqτ) n! n =0

¦

(9) n

(10)

Nota la funzione di ripartizione, la probabilità P ( τ 1 ≤ Θ ≤ τ 2 ) che il distanziamento veicolare sia compreso tra i valori τ1 e τ2 è data da P ( τ 1 ≤ Θ ≤ τ 2 ) = Fτ (Θ 2 ) − Fτ (Θ 1 )

Θ 2 > Θ1

(11)

Esempio La media τ e la varianza s2 di un campione significativo di distanziamenti registrati in una sezione, per un periodo di flusso con q = 0,25 veic/sec , risultano di τ = 1 / q = 4 sec e s 2 = 9,61 sec 2 .

La deviazione standard è più piccola della media; si adotta, per interpretare i dati raccolti, una esponenziale traslata da sottoporre poi ad un test di conformità. Si stimano i parametri secondo quanto indicato in Tab. 1:

Ȝ=

1 1 = = 0,323 veic/sec s 3,1

c = τ − s 2 = 4 − 3,1 = 0,9 sec


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

116

La (9) diviene

F(τ) = 1 − e −[( τ −0,9) /( 4−0,9)] = 1 − e −0,323⋅( τ −0,9) Se si vuole conoscere, ad es., la probabilità che il distanziamento sia minore di 2,0 sec o di 3,5 sec si ottiene immediatamente

P(Θ ≤ 2,0 sec) = F(2,0) = 1 − e −0,323⋅(2-0,9) = 0,299 P(Θ ≤ 3,5 sec) = F(3,5) = 1 − e −0,323⋅(3,5-0,9) = 0,568 Quindi, ad es., la probabilità che il distanziamento sia compreso tra 2,0 sec e 3,5 sec vale, per la (11) P(2,0 ≤ Θ ≤ 3,5) = F(3,5) - F(2,0) = 0,269 Infine, se si è interessati a conoscere la probabilità che Θ sia maggiore di un certo valore τ, si ha immediatamente P (Θ > τ) = 1 − P(Θ ≤ τ) = 1 − F(τ) Così, la probabilità che sia τ > 3,5 sec è pari a P(τ > 3,5) = 1 − 0,568 = 0,432

Esempio Si dispone di una serie statistica di arrivi veicolari e si intende caratterizzare i distanziamenti temporali (non registrati) associati a questa successione di passaggi nella sezione stradale di osservazione. Si adoperano, per esemplificare, i dati della Tab.4 del Cap.5. Questi sono conformi ad una d.d.p. di Poisson Generalizzata (cfr. la (1) del Cap.5). Come già detto in precedenza, se in un flusso teorico di eventi gli arrivi sono distribuiti con una legge di Poisson Generalizzata, il distanziamento temporale tra questi ultimi è descritto da una f.d.p. di Erlang. È lecito quindi ritenere che anche i distanziamenti τ associati alla serie dei passaggi veicolari rilevata sia una variabile aleatoria di Erlang, in particolare, caratterizzata da un valore del parametro k pari a quello stimato per la legge dei conteggi, k = 2 . Poiché il flusso unitario è di q = 0,498 veic/sec, la (10) si scrive, ricordando che per la (5) λ = k ⋅ q = 2 ⋅ 0,498 = 0,996,


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

117

P(Θ ≤ τ) = F(τ) = 1 − e −0,996 ⋅τ [1 + 0,996 ⋅ τ] E, quindi, ad es.,

P(Θ ≤ 1,5 sec) = F(1,5) = 1 − e −0,996 ⋅(1,5) [1 + 0,996 ⋅1,5] = 0,44 Utilizzando l’espressione di F(τ) si procede, come già fatto nell’esempio precedente, nel calcolo della probabilità di altri eventi relativi a τ. Per quanto attiene alla f.d.p. log-normale, la sua funzione cumulata di probabilità F(τ), diversamente che per le altre leggi dei distanziamenti qui considerate, non è esprimibile in forma chiusa, ma è data da § ln τ − α · ¸¸ (12) F(τ) = Φ¨¨ © β ¹ dove Φ(•) è la funzione di distribuzione della variabile aleatoria normale ridotta, che è tabellata, e α e β sono rispettivamente la media e la deviazione standard della variabile aleatoria ln τ.

Esempio Sono stati registrati in una sezione stradale di osservazione distanziamenti veicolari aventi media τ e varianza s2 campionarie di τ = 2,5 sec e s 2 = 4,15 sec 2 .

Si ritiene di adottare come legge teorica una f.d.p. log-normale ­ (ln τ − α ) 2 ½ exp®− ¾ 2β 2 τ ⋅ β ⋅ 2π ¯ ¿ Con le indicazioni della Tab. 1 si calcolano: 1

f ( τ) =

c2 =

s2 τ

2

=

4,15 = 0,664 6,25

β = ln(1 + c 2τ ) = 0,509 2

§ τ α = ln¨¨ ¨ 1+ c2 τ © Si ha dunque

· ¸ = 0,662 ¸¸ ¹


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

118

f ( τ) =

­ ln(τ − 0,662) 2 ½ 1 exp®− ¾ 1,018 1,787 ⋅ τ ¯ ¿

mentre per la funzione cumulata di probabilità si ha § ln τ − α · § ln τ − 0,662 · ¸¸ = Φ¨¨ F(τ) = Φ¨¨ ¸¸ © 0,713 ¹ © β ¹ Se si desidera, ad es., valutare le probabilità degli eventi Θ ≤ 1,8 sec e Θ ≤ 3,2 sec si ottiene § 0,588 - 0,662 · P(Θ ≤ 1,8 sec) = F(1,8) = Φ¨¨ ¸¸ = Φ (−0,104) 0,713 © ¹ § 1,16 - 0,662 · P(Θ ≤ 3,2 sec) = F(3,2) = Φ¨¨ ¸¸ = Φ (0,703) © 0,713 ¹ Dalle tabelle che riportano i valori della funzione di distribuzione della variabile normale si traggono i valori delle probabilità cercate, che risultano F(1,8) = 0,459 F(3,2) = 0,759 La probabilità che un distanziamento sia compreso fra 1,8 e 3,2 sec vale P(1,8 sec ≤ Θ ≤ 3,2 sec) = F(3,2) − F(1,8) = 0,30

6.1.1.

Leggi dicotomiche dei distanziamenti veicolari

Le funzioni f(τ) riportate in Tab. 1 non consentono di distinguere il comportamento, rispetto a τ, dei veicoli liberi e di quelli condizionati (1) presenti nel flusso, giacché ottenute dal trattamento globale delle misure sperimentali, effettuato senza discriminare i dati relativi all’una o all’altra categoria di veicoli. Se si è interessati ad esplicitare il contributo che queste ultime danno alla distribuzione dei distanziamenti temporali in una determinata corrente, il modello più utilizzato allo scopo è del tipo f ( τ) = b ⋅ g (τ) + (1 − b) ⋅ h ( τ) (13) dove b è la percentuale, su tutto il traffico, dei veicoli liberi e g(τ) e h(τ) le f.d.p. componenti f(τ) e relative rispettivamente ai mezzi liberi e condizionati. (1)

Si ricorda che con “veicoli condizionati” si intendono i veicoli i cui conducenti, contrariamente a quelli dei mezzi definiti “liberi”, sono costretti dallo stato del sistema ad attuare una velocità inferiore a quella desiderata.


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

119

Nota f(τ) la determinazione di g(τ) e h(τ) è fornita dalle tecniche statistiche correnti di risoluzione delle “miscele” di leggi di probabilità. Le distribuzioni del tipo (13) sono anche dette dicotomiche o composte e sono state proposte da vari ricercatori nell’intento di interpolare dati sperimentali per i quali le leggi di probabilità prima illustrate non risultavano idonee. Fra queste la più semplice è la iperesponenziale che assume la forma: τ

τ

1 − 1 − f (τ) = b ⋅ ⋅ e τ1 + (1 − b) ⋅ ⋅ e τ2 τ1 τ2

(14)

in cui b e 1-b rappresentano, rispettivamente, la percentuale dei veicoli liberi e quella dei veicoli condizionati (che marciano in plotone); τ1 e τ 2 sono i distanziamenti medi dei veicoli, rispettivamente, liberi e condizionati. Media e varianza della (14) risultano:

μ = b ⋅ τ1 + (1 − b) ⋅ τ 2 σ 2 = b ⋅ (2 − b) ⋅ τ12 + (1 − b 2 ) ⋅ τ 22 − 2b ⋅ (1 − b) ⋅ τ1 ⋅ τ 2

(15)

Per utilizzare la (14) è necessario stimare, a partire dai dati sperimentali, i tre parametri b, τ1 , τ 2 ; ciò può essere fatto con il metodo dei momenti (2), tenendo presente che per la iperesponenziale il terzo momento si scrive:

M 3 = 6 ⋅ [b ⋅ τ13 + (1 − b) ⋅ τ 23 ] A titolo di esempio, con valori dei parametri b = 0,60; τ 2 = 1,6 sec la (14) diviene

f ( τ) = 0,05 ⋅ e −0,0833⋅τ + 0,25 ⋅ e −0, 625⋅τ

τ1 = 12 sec;

(16)

La (16) è riportata nella Fig. 6 in cui sono anche indicati, tratteggiati, i contributi dei due termini. Il distanziamento medio dell’intera corrente risulta τ = 0,6 ⋅12 + 0,4 ⋅1,6 = 7,84 sec (2)

Si ricorda che il momento di ordine k di una variabile aleatoria X rispetto all’origine è la speranza matematica della sua potenza k-esima: ­°¦ x ik ⋅ p( x i ) per v.a. discreta m k = E[X k ] = ® k °¯³ x ⋅ f ( x ) dx per v.a. continua in cui la sommatoria e l’integrale sono estesi agli intervalli di definizione.


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

120

cui corrisponde una portata Q ≅ 460 veic/h. Due nuovi modelli di tipo dicotomico per i distanziamenti veicolari sono stati sviluppati in [3].

f (t) 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20 t (sec)

Fig. 6 - Funzione densità di probabilità della iperesponenziale (b = 0,6; IJ 1 = 12 sec; IJ 2 = 1,6 sec)

6.2. Processo dei conteggi di traffico e processo dei distanziamenti veicolari Si accenna ad alcuni aspetti dei legami intercorrenti tra leggi degli arrivi X(t) e dei distanziamenti veicolari Θ(t) [4]. Si consideri un flusso di eventi ed i relativi intervalli Θ(ti) tra arrivi successivi. La v.a. tempo Tk è la somma dei primi k intervalli Θ(ti) tra arrivi successivi. I Θ(ti) sono intervalli temporali all’interno dei quali non si registrano arrivi. Ciascun Θ(ti) termina con il rispettivo i-esimo arrivo. k

Risulta Tk = ¦ Θ i (si è posto Θ(ti) =Θi). i =1

Se è nota la funzione cumulata di probabilità di Tk, Fk ( τ) = P (Tk ≤ τ), è possibile agevolmente calcolare la d.d.p. di N(τ).


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

121

Si ricorda che X(τ) = N(τ) è il numero di arrivi nell’intervallo (0,τ) (cfr. la (2) del Cap.1). Quindi, sia

Pk (τ) = P(X(τ) = k )

k = 0,1,...,n

(17)

Poiché vale la relazione tra eventi {X (τ) < k + 1} ≡ {[X (τ) = k ] ∪ [X (τ) < k ]}

(18)

si ha P(X (τ) = k ) = P(X (τ) < k + 1) − P(X (τ) < k )

(19)

L’evento {Tk >τ} equivale all’altro {X(τ)<k}

{Tk > τ} ≡ {X(τ) < k}

(20)

La (20) indica che se il k-esimo arrivo si verifica dopo τ il numero di arrivi all’istante τ deve risultare minore di k e viceversa. In definitiva risulta

Pk (τ) = P(X(τ) = k ) = P(Tk +1 > τ) − P(Tk > τ)

(21)

La (21) equivale a

Pk (τ) = P(Tk ≤ τ) − P(Tk +1 ≤ τ) = Fk (τ) − Fk +1 (τ)

(22)

Considerando la relazione tra eventi

{Tk ≤ τ} ≡ {X(τ) ≥ k}

(23)

si ha

Fk (τ) = P(Tk ≤ τ) = P(X(τ) ≥ k ) =

¦ i=k

Pi (τ) = 1 −

k −1

¦ P (τ) i

(24)

i =0

La (22) e la (24) sono del tutto generali, poiché per la loro deduzione non è stata effettuata nessuna ipotesi sulle v.a. sezione Θ(t), quale la mutua indipendenza statistica al variare di t ∈T o, sempre al variare di t in T, sulla loro somiglianza. Con l’ausilio della (24) non risulterà difficile allo studioso lettore ottenere in forma chiusa, quando si pone k=1, i risultati che ora si espongono. Se il processo degli arrivi (flusso di eventi) è omogeneo di Poisson (il deflusso è stazionario) (cfr. il punto 5.3 e la (12) del Cap.5) il distanziamento temporale tra due veicoli successivi è una v.a. esponenziale.


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

122

Si ha cioè che se i conteggi N(t) = X(t) sono distribuiti con la (12) del Cap.5, la f.d.p. dei distanziamenti tra gli stessi è data da

f (τ) = Qe −Qt

(25)

Se il processo degli arrivi (flusso di eventi) è non omogeneo di Poisson (il deflusso non è stazionario) (cfr. il punto 5.3 e le (13), (16) del Cap.5) il distanziamento temporale tra due veicoli successivi, il primo dei quali registrato all’istante t0, è una v.a. esponenziale ad esponente integrale. Si ha cioè che se i conteggi degli arrivi N(t) = X(t) sono distribuiti con la (16) del Cap.5, le f.d.p. dei distanziamenti tra coppie di veicoli è data da

­° t 0 + τ ½° f (τ) = q(t 0 + τ) exp®− q(ξ)dξ¾ τ > 0 (26) °¯ t 0 °¿ I simboli della (26) hanno lo stesso significato che nelle (13)÷(17) del Cap.5.

³

La (26) si particolarizza in funzione dell’andamento nel tempo del volume di traffico q(t). Così, ad es., se si ipotizza (per la non stazionarietà del deflusso) un volume di traffico q(t) variabile linearmente q(t ) = a + b ⋅ t (27) la (26) risulta

f ( τ) = [a + b( t 0 + t )] exp{−a ⋅ τ − b ⋅ t 0 ⋅ τ − b ⋅ τ 2 / 2} τ > 0

(28)

Nel caso che i conteggi X(t) siano distribuiti con una legge di Poisson Generalizzata (cfr. la (1) del Cap.5), la f.d.p. univariata dei distanziamenti veicolari è una funzione di Erlang (per k cfr. la Fig. 5) f (τ) =

kq ( kqτ) k −1 e − kqτ ( k − 1)!

(29)

Se si ipotizzano per il processo dei conteggi d.d.p. diverse da quelle di Poisson (cfr. il Cap.5) appena prima richiamate non sempre dalla applicazione della (24) si perviene a f.d.p. dei distanziamenti veicolari esprimibili in forma chiusa. La (24) consente comunque sempre la determinazione in forma tabellare dei valori delle leggi di probabilità dei distanziamenti, nota quelle dei conteggi. Infine, è realistico attendere come riscontro sperimentale che per bassi valori


6. Il processo dei distanziamenti veicolari

123

del deflusso il processo Θ(ω,t) dei distanziamenti veicolari risulti puramente casuale (di rinnovamento – cfr. il punto 3.1.1), quale che sia la legge di probabilità delle sezioni Θ(t) di Θ(ω,t). Al crescere del flusso aumenta il mutuo condizionamento dei veicoli. Ne segue che il processo dei distanziamenti, come quelli degli arrivi e dei conteggi, tende via via a risultare sempre più autocorrelato. Si presenta così con caratteristiche di memoria sempre meno limitate nel tempo. Su questi aspetti avanzati dei problemi di caratterizzazione probabilistica dei tempi tra arrivi casuali in un flusso di eventi, in particolare sui flussi a memoria limitata, possono vedersi [5] e [6].

Riferimenti bibliografici [1] D.L.Gerlough, M.J.Huber, “Traffic flow theory”, TRB report 165, Washington D. C., 1975 [2] A.D. May, “Traffic Flow Fundamentals”, Prentice Hall, 1990 [3] R.Mauro, F.Branco, “Two vehicular headways time dichotomic models”, Modern Applied Science, vol.6, n° 12, 2012 [4] P.Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, McGrawHill, Milano, 2004 [5] E.S.Ventsel, “Teoria delle Probabilità”, Edizioni Mir, Mosca, 1983 [6] G.Cariolaro, G.Pierobon, “Processi aleatori”, III ed, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 1994


125

7. PROCESSI DELLE VELOCITÀ Al precedente punto 1.2.3 sono stati introdotti i processi delle velocità istantanee e dei livelli delle stesse. Il capitolo contiene le specificazioni di questi processi in relazione a determinate condizioni di deflusso. Vengono in particolare dedotti tre modelli che si sono mostrati in diverse ricerche anche recenti del tutto conformi alle situazioni sperimentali indagate. 7.1 Leggi di probabilità delle velocità attuate Con riferimento alle velocità attuate dal singolo veicolo, si verifica sperimentalmente che, nella maggior parte dei casi, la distribuzione delle velocità istantanee dei veicoli osservati singolarmente al passaggio in una sezione dell’asse è di tipo normale. La f.d.p. f(v,t) della sezione generica V(t) del processo V(ω,t) (cfr. il punto 1.2.3) è quindi completamente definita una volta ottenuta la stima mv e s2 rispettivamente dei parametri di media E[ v( t )] = μ( t ) e varianza Var[ v( t )] = σ 2 ( t ) , risultando ª ( v − μ( t )) 2 º 1 f ( v, t ) = ⋅ exp « − » 2σ 2 ( t ) »¼ 2 π ⋅ σ( t ) «¬ Le condizioni di stato del sistema di del trasporto stradale si riflettono sugli andamenti della f(v,t) poiché concorrono alla formazione dei valori μ(t) e σ2(t). Ad esempio, nella Fig. 1 sono riportate due f.d.p., a) e b), di velocità istantanee, conformi alle omologhe distribuzioni statistiche rilevate nella stessa sezione. La f.d.p. a) è relativa ad un traffico rado, di sole autovetture, in condizioni ambientali buone. La f.d.p. b) attiene ad un traffico sostenuto e misto di autovetture e veicoli commerciali, sotto pioggia. È immediato notare come nelle condizioni di circolazione più severe tra le due esaminate (nel caso b), le velocità istantanee si distribuiscono intorno ad un valore centrale (ȝ = 70 km/h) e con una dispersione (σ) minori del modello relativo al caso a).


126

7. Processi delle velocità

f(v,t)

Fig. 1 – Esempi di f.d.p. di velocità istantanee

In questa direzione, particolare rilevanza assume come distribuzione di confronto quella relativa alle velocità desiderate, anch’essa, in genere, gaussiana. Per una assegnata popolazione di utenti, le velocità desiderate si stimano come coincidenti con quelle attuate dai conducenti in assenza di interferenze con altri veicoli. Queste circostanze si ritengono realizzate con un flusso molto rado (flusso libero) su di un tratto di strada di andamento ininfluente sul moto del veicolo isolato, di giorno e in condizioni climatiche buone (configurazione ideale di strada e traffico). La comparazione tra gli andamenti delle distribuzioni delle velocità desiderate con quelle di velocità attuate in condizioni non ideali, può fornire indicazioni sintetiche sugli effetti che globalmente dette condizioni esplicano sull’utenza nel condizionarne il comportamento. Se le relazioni V(t), t∈T, del processo V(ω,t) sono distribuite normalmente, la stazionarietà in media ed in varianza di V(ω,t) implica evidentemente la costanza con t di μ(t) e σ2(t), ovvero, la invarianza di f(v,t) con t∈T. La normalità di tutte le f(v,t) ∀ t∈T, non è però sufficiente a rendere il processo V(ω,t) gaussiano.


7. Processi delle velocità

127

Infatti (cfr. il punto 3.1.4), un processo x(ω,t) si definisce gaussiano se per ogni insieme t1, t2, …, tn le X(t) v.a. sezioni del processo hanno densità di probabilità congiunta normale. Questa condizione non segue però dalla normalità della f.d.p. univariata. Accanto alla legge normale sono state proposte per le sezioni V(t) di V(ω,t) anche delle altre f.d.p. [1]. Esse sono rappresentate dalla log-normale e dalle densità di probabilità composte (dicotomiche). La f.d.p. log-normale è stata già presentata al punto 6.1 come particolare legge di probabilità per i distanziamenti veicolari. Come per questi ultimi essa è utile per interpretare le velocità istantanee quando le condizioni del deflusso restringono la maggior parte dei valori attuati di V(t) in un piccolo numero di classi. Gli altri valori di V(t) che residuano sono invece distribuiti lungo una estesa coda destra (cfr. la Fig.4 del Cap.6). Le f.d.p. composte sono state introdotte per descrivere, come per i distanziamenti (cfr. il punto 6.2), correnti di traffico costituite da insiemi di veicoli caratterizzabili come liberi e condizionati o soggetti a specifici diversi limiti di velocità (e.g. veicoli leggeri o pesanti). A seconda della composizione veicolare e del regime del deflusso della corrente esaminata, sono così possibili diverse combinazioni di f.d.p. Ad es. una legge di probabilità dicotomica per V(t) può ottenersi come combinazione lineare f(v) = bg(v)+(1-b)h(v) di una f.d.p. normale (e.g. g(v)) e di una lognormale per una o per l’altro dei sottoinsiemi di veicoli pesanti (in percentuale b e (1-b) su tutto il traffico). In genere è realistico orientare la modellazione di velocità attuate verso una legge composta quando le distribuzioni statistiche delle misure si presentano come bimodali. In questo caso è spesso agevole distinguere ed identificare le due f.d.p. che compongono la legge dicotomica ricercata.


7. Processi delle velocità

128

È da notare, infine, che le velocità attuate sono state da tempo oggetto di sistematiche indagini (che tutt’ora continuano [2]) per le strade bidirezionali a due corsie, mentre per le strade a carreggiate separate non risultano disponibili studi parimenti numerosi e significativi. 7.2 Processi delle velocità e condizioni di deflusso Si considerano correnti su singola corsia osservate in una sezione S per un periodo T. A seconda che il deflusso risulti libero, a plotoni o uniformemente condizionato possono ipotizzarsi tre diversi tipi di comportamento dei conducenti. A partire da questi comportamenti si individuano tre diversi processi delle velocità istantanee. Detti modelli vengono dapprima presentati in modo descrittivo. Ne viene poi data in dettaglio la caratterizzazione statistica. 7.2.1. Processo delle velocità per il flusso non condizionato Questa classe (classe A) include i conducenti che non sono in alcun modo influenzati dal veicolo che li precede sulla stessa corsia. I veicoli così condotti sono detti “liberi”. La sequenza delle velocità cui essi danno luogo è un Processo di Rinnovamento (cfr. il punto 3.1.1). Questo è costituito da una successione di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite:

Vt = Vt + a t

(1)

Vt = Vt -1

(2)

per le quali risulta

dove - Vt la velocità del veicolo transitato all’istante t (t indica in progressione il transito registrato e vale t = 1, 2, …, n);


7. Processi delle velocità

-

129

Vt e Vt-1 sono le medie condizionate, detti livelli, ai tempi t e t−1 dalla

precedente realizzazione del processo (cfr. il punto 1.2.3, la Fig.12 del Cap.1 ed il punto 3.2.3); - at sono variabili aleatorie indipendentemente ed identicamente distribuite con media nulla e varianza finita non nulla (W.N. – cfr. il punto 3.1.3). 7.2.2. Processo delle velocità per la marcia a plotone Vi appartengono (classe B) i conducenti che riducono la loro velocità per adeguarla a quella del veicolo che precede e che mantengono da questo un sufficiente distanziamento spaziale. Evitano così fluttuazioni marcate del proprio regime di moto in funzione di quelle del mezzo di testa. I veicoli condotti da questi utenti marciano a plotone con un capofila libero (la cui velocità attuata non è condizionata da altri). È stato verificato sperimentalmente [3] [4] che essi danno luogo a processi delle velocità del tipo Vt = Vt - j + į(j)İ t

(3)

dove - Vt è la velocità del veicolo, nella fila in movimento, che dista j veicoli da quello di testa del plotone. Detto veicolo è transitato, evidentemente, all’istante t-j nella sezione di osservazione; - δ(j) è un operatore discreto che vale: δ(j)=0 se si sta osservando il capofila (ne risulta Vt pari alla velocità di un veicolo libero); δ(j) = 1 se j ≠ 0 (si sta registrando la velocità di un mezzo all’interno del plotone); - εt sono variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con media nulla e varianza finita e non nulla (W.N. – cfr. il punto 3.1.3). La caratterizzazione probabilistica della (3) è riportata al successivo punto 7.3.1. Il processo (3) è di particolare rilevanza per le strade bidirezionali a due corsie. Su di esse, infatti, anche per flussi radi, se il sorpasso è impedito dalla geometria dell’asse, la marcia a plotone può risultare di prevalente riscontro.


7. Processi delle velocità

130

7.2.3. Processo delle velocità per il flusso condizionato Vi appartengono (classe C) gli utenti che marciano avvicinandosi al veicolo che precede molto di più di quanto non facciano i conducenti appartenenti al precedente insieme B. Chi sceglie questo tipo di alternativa cerca di ridurre al minimo lo spazio che lo separa dal veicolo precedente. Evita così, tra l’altro, che tale spazio possa essere occupato dai mezzi che si spostano da una eventuale corsia parallela. In definitiva, il conducente, si oppone al progressivo spostamento verso il fondo del plotone. Dato questo comportamento di guida, espressa Vt con la (1) è stato verificato sperimentalmente [3] [4] che, se all’istante t−1 vi è uno scostamento at-1 dal livello del processo, cioè dalla media condizionata Vt -1 , tale scostamento influisce sulla velocità all’istante t. Questa influenza si esercita poi solo in media, cioè sul livello Vt , ma non sulla distribuzione degli scostamenti at dalla Vt . Si ha quindi:

Vt = Vt-1 + Ȝa t −1

(4)

dove λ è un coefficiente con valori tra 0 ed 1 che misura l’entità dell’influenza che mediamente un veicolo esercita sulla velocità del successivo. Ipotizzando tra Vt e Vt la relazione Vt = Vt + a t , con la (4) si ottiene

Vt = Vt-1 + a t + Ȝa t −1

(5)

Vt -1 = Vt -1 + a t −1

(6)

Vt-1 = Vt -1 - a t −1

(7)

Vt = Vt -1 + a t - ϑa t −1

(8)

Per essere poi ovvero

sostituendo la (7) nella (5) dove ϑ = 1 − λ. at e at-1 sono una sequenza di variabili aleatorie indipendenti normali ed identicamente distribuite con media nulla e varianza finita (e costante con t) σ2. La (8) definisce un processo autoregressivo integrato di media mobile del primo ordine ARIMA(0,1,1) (cfr. il punto 3.2.3).


7. Processi delle velocità

131

È stato già detto al punto 3.2.3 che con questo tipo di funzione aleatoria si tende alla rappresentazione di un fenomeno evolutivo incerto non stazionario utilizzando due componenti: una componente autoregressiva (AR) “spiega” il presente in funzione del passato fino ad una certa “distanza” (e.g. Vt in funzione di Vt-1, Vt-2,…); una componente a media mobile (MA) rappresenta le determinazioni attuali (e.g. Vt) come il risultato di una successione di impulsi casuali. Questi ultimi sono statisticamente costituiti da variabili casuali normali incorrelate, a media nulla e a varianza σ2 (e.g. at, at-1, at-2, …). In definitiva, come già detto al punto 3.2.3, un processo ARIMA(p,q,d) è nella forma generale del tipo Vt − ϕ1 Vt −1 − ... − ϕ p + d Vt − p −d = a t − ϑ1 a t −1 − ... − ϑ q a t −q

(9)

per p = 0, q = 1, d = 1, con le ϕ = 1, si ottiene appunto la (8). A partire dalla (8) è possibile ottenere la relazione tra i livelli Vt del processo ad istanti successivi k

Vt = Vt -k + Ȝ ¦ a t − j

(10)

j=1

che mostra come l’andamento nel tempo dei livelli Vt a partire dall’istante t- k possa riguardarsi come il risultato di una passeggiata aleatoria generata dalla variabile λat (cfr. il punto 3.2.4). La deduzione della (10) è contenuta al successivo punto 7.3.2. Ancora a partire dalla (8), ponendo Wt = Vt − Vt −1 , risulta

Wt = a t − (1 − Ȝ) a t −1 = a t - ϑa t −1

(11)

La (11) rappresenta un processo aleatorio MA(1), di media mobile del primo ordine (cfr. il punto 3.2.2). Esso è stazionario, ma non di rinnovamento, giacché, dipendendo Wt da due successive realizzazioni di at, tra due Wt consecutive ricorrono legami in correlazione non nulli. Si ricorda che E[at] = 0 e Var[at] = σ2 =cost.). È da notare che: - il processo ARIMA(0,1,1) è determinato dai due parametri λ e σ2. Essi si stimano sul processo MA(1) (11) utilizzandone la stazionarietà;


132

7. Processi delle velocità

- per l’andamento nel tempo del livello Vt se λ è basso, cioè se i veicoli si condizionano poco reciprocamente (ovvero, pur non essendo λ piccolo, è piccola la dispersione σ2 delle at) si deduce dalla (10) che è poco probabile che Vt si discosti molto da un valore costante. Ne segue che il processo delle velocità istantanee Vt può ritenersi stabile. Se, invece, λ e σ2 sono entrambi elevati, il processo delle velocità è significativamente instabile. Il processo (8) è di particolare rilevanza per le corsie autostradali, in particolare per la corsia più veloce (esterna). Infatti, la stabilità del processo delle velocità attuate sulle corsie di sorpasso ha ruolo fondamentale nell’affidabilità del sistema autostradale, come mostrato in [3], [4], [5] e [6] in esito a significative indagini sperimentali su autostrade italiane e straniere. 7.2.4. Considerazioni sulla identificazione dei processi delle velocità istantanee In generale, una sequenza di valori di velocità istantanee rilevate in una sezione di misura, se risulta sufficientemente lunga, può contenere un susseguirsi di realizzazioni di processi appartenenti ai tre tipi richiamati al precedenti paragrafi (classi A, B, C). In particolare, è realistico attendere una prevalenza di realizzazioni di processi di classe A (di Rinnovamento) o di classe C (ARIMA(0,1,1)) a seconda che il flusso risulti rispettivamente libero o condizionato. È da notare però che, se si pone λ = 0 nella relazione (4) rappresentante un processo di classe C, si ottiene l’espressione di un processo di tipo A (cfr. la (2)). Pertanto, l’applicazione ad una generica sequenza di velocità istantanee di un test sequenziale in grado di riconoscere le realizzazioni di processi autoregressivi di media mobile del primo ordine (tipo C) consente di fatto di individuare anche quelli di rinnovamento (tipo A) e, per esclusione, quelli di tipo B. Inoltre, come già osservato in precedenza, il fenomeno della instabilità delle correnti veicolari riguarda i soli processi attuati dagli utenti della classe C,


7. Processi delle velocità

133

ovvero quelli di tipo ARIMA del primo ordine. Sono questi ultimi, quindi, che interessa individuare ai fini delle applicazioni. Al successivo punto 7.4 è dato un cenno alla procedura di trattamento di misure di velocità istantanee per individuare sequenze di realizzazioni di processi ARIMA del tipo delle (8) in una corrente veicolare. 7.3 Caratterizzazione statistica dei processi delle velocità Per esemplificare nel dettaglio sulla deduzione di un modello probabilistico di traffico si riporta ai punti che seguono la caratterizzazione statistica dei processi delle velocità (3) ed (8). 7.3.1. Caratterizzazione statistica del processo delle velocità nella marcia a plotone Si considera un deflusso costituito da una sequenza di plotoni, ciascuno guidato da un veicolo libero, seguito da veicoli che cercano di mantenere la velocità del veicolo leader. Inseriti fra i successivi plotoni possono esistere anche sequenze di veicoli liberi. Come esposto al punto 7.2.1, la successione delle velocità lungo una corsia che possono venire registrate in un posto di osservazione quando passa una sequenza di veicoli liberi è formata da una sequenza di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite. Invece, al transito di un plotone si ha una successione di velocità che si discostano da quella del veicolo leader di residui aleatori indipendenti ed identicamente distribuiti con media nulla, come già detto al punto 7.2.2. La struttura probabilistica di quest’ultimo processo è stata dedotta la prima volta in [7], ricavata con approccio modellistico diverso in [8]. La trattazione che segue, mutuata da [8], è stata recentemente riproposta in [4] per la taratura e validazione sperimentale dei modelli identificati in base a misure di velocità attuate in autostrada.


7. Processi delle velocità

134

Sia p la probabilità che il conducente di un veicolo che passa dinanzi al posto di osservazione appartenga alla classe di comportamento B (cfr. il punto 7.2.2) (tale veicolo è qui chiamato veicolo B) e q=1−p la probabilità che il veicolo sia libero. La probabilità che un plotone abbia lunghezza x, cioè sia formato da x veicoli B oltre al veicolo libero di testa, è data da:

p(x) = q p x

(12)

Sia Vt la velocità di un veicolo transitato per il posto di osservazione all'istante t e sia j il numero di veicoli che lo separano dalla testa della coda. Sarà evidentemente j=0 se tale veicolo è libero, mentre se j è diverso da zero il veicolo transitato all'istante t-j è libero, e gli altri, fino all'istante t, sono tutti B. Tenendo presente quanto si è detto circa la velocità dei veicoli B, si ha:

Vt = Vt − j + δ( j) ε t

(13)

dove le εt sono una sequenza di variabili aleatorie indipendenti ed 2 identicamente distribuite con media nulla e varianza σε . δ(j) è una funzione di j così definita:

δ( j) =

0 per j = 0 1 per j ≠ 0

(14)

Dalla (13), detta V la media delle velocità dei veicoli liberi, si ha:

E[Vt ] = V

(15)

E[Vt2 ] = E[Vt2− j ] + E[δ 2 ( j)] E[ε 2t ]

(16)

essendo Vt-j, δ(j) e εt variabili aleatorie indipendenti. Sia σ 2 la varianza della distribuzione delle velocità dei veicoli liberi. Si ha:

E[Vt2− j ] = V 2 + σ 2

(17)

Ricordando che p è la probabilità che il veicolo transitato all’istante t sia un veicolo B e, quindi, che sia j≠0, si ha

E[δ 2 ( j)] = p per cui la (16) diviene

(18)


7. Processi delle velocità

135

E[Vt2 ] = V 2 + σ 2 + p σε2

(19)

La varianza del processo delle velocità è quindi data da:

σ 2 = Var[Vt ] = E[Vt ]2 = σ 2 + p σε2

(20)

Calcoliamo ora la covarianza fra la velocità all’istante t e quella all’istante t-k, essendo k > 0. Se k > j i due veicoli appartengono a plotoni diversi, le due velocità sono indipendenti e la covarianza è nulla. Si ha quindi:

E[Vt Vt −k / j < k] = V 2 Se k = j si ha

Vt = Vt − j + ε t Vt −k = Vt − j E[Vt Vt −k / j = k] = E[(Vt − j + ε t )Vt − j ] = E[Vt − j ]2 = V 2 + σ 2

(21)

Se k < j si ha

Vt = Vt − j + ε t Vt −k = Vt − j + ε t −k E[Vt Vt −k / j > k] = E[(Vt − j + ε t )(Vt − j + ε t −k )] = E[Vt − j ]2 = V 2 + σ 2 (22) Quindi la media del prodotto misto E[Vt Vt −k ] , condizionata all’essere j ≥ k è:

| E[Vt Vt −k ] / k ≤ j |= V 2 + σ 2

(23)

La probabilità che risulti j ≥ k è p e che sia j < k è 1−p . k

k

Pertanto la media incondizionata del prodotto misto risulta:

E[Vt Vt −k ] = (1 − p k ) V 2 + p k (V 2 + σ 2 ) = V 2 + p k σ 2

(24)

da cui si ricava la covarianza Cov[Vt Vt −k ] :

Cov[Vt Vt −k ] = E[Vt Vt −k ] − V 2 = p k σ 2

(k > 0)

(25)

Il coefficiente di correlazione ρk risulta:

ρk =

Cov[Vt Vt −k ] σ

2

=

pk σ 2 = pk 2 2 σ + σε

1 1+ p

σ ε2 σ2

(k > 0)

(26)


7. Processi delle velocità

136

Cioè del tipo αβk-1, in cui

α=

p 1 = 2 σ 1 σ ε2 1 + p ε2 + p σ2 σ

e

β=p

Se le velocità dei veicoli liberi e i residui εt sono distribuiti in modo normale, la (15), la (20) e la (25) o (26) definiscono completamente la struttura probabilistica del processo. 7.3.2. Caratterizzazione del processo delle velocità nel flusso condizionato La trattazione che segue, mutuata da [8], è stata recentemente riproposta in [4] e [6] per la validazione e la taratura dei modelli identificati in base a misure di velocità attuate in autostrada. Si è già visto al precedente punto 7.2.3 che in regime di flusso condizionato: a) tra i livelli delle velocità a t e t-1 sussiste la relazione V t = V t −1 + λ ⋅ a t −1

(27)

λ∈ [0,1] definisce l’entità della influenza che un veicolo esercita in media sulla velocità del successivo b) at-1 è pari a a t −1 = Vt −1 − V t −1

c)

Vt = V t + a t = V t −1 + a t + λ ⋅ a t −1

(28) (29)

Con la (28) sostituita nella (29) si ottiene

Vt = Vt −1 + a t − ϑ ⋅ a t −1

(30)

con ϑ = 1 − λ. Le at, at-1, … costituiscono una sequenza di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con media nulla e varianza finita σ2 (processo W.N.). Il processo (30) è un processo integrato di media mobile del primo ordine (ARIMA (0,1,1)). Si considerino ora gli operatori differenza ∇, somma S e spostamento all’indietro B e in avanti F, definibili con l’ausilio della sequenza generica


7. Processi delle velocità

137

… … … x m … … … x0 … … … x t - operatore differenza: ∇x t = x t − x t −1 - operatore somma: S x t = ∇ −1x t =

t

¦xj

j= −∞

- operatore spostamento all’indietro: B xt = x t −1 - operatore spostamento in avanti: F x t = B−1x t = x t +1 Per questi operatori valgono le proprietà commutativa e associativa della somma e del prodotto e la proprietà distributiva del prodotto, ovvero le regole dell’algebra ordinaria. Con gli operatori ∇ e B l’equazione (30) diviene

∇Vt = (1 − ϑB) ⋅ a t

(31)

1 − ϑB = (1 − ϑB)B + (1 − B) = (1 − ϑB)B + ∇ = λV + ∇

(32)

ed ancora, Sostituendo la (31) nella (32) si ha:

∇Vt = λa t −1 + ∇a t

(33)

Applicando ad ambo i membri della (33) l’operatore S per il quale è anche Sa t −1 =

¦a j=1

t− j

si ottiene ∞

Vt = λ ¦ a t − j + a t

(34)

j=1

La (34) definisce la velocità all’istante t in funzione degli scostamenti verificatisi dall’inizio del processo al tempo t. Calcolando la media condizionata di ambo i membri della (34) si ha quindi ∞

V t = λ¦ a t − j

(35)

j=1

Analogamente, giacché le medie degli at-j, condizionate dalla storia del processo fino all’istante t−1, sono le realizzazioni, già verificatesi degli at-j,


7. Processi delle velocità

138

mentre la media di at, non ancora verificatasi, è nulla, calcolando la media di ambo i membri della (34) condizionata dalla storia del processo verificatasi fino all’istante t−k−1, si ha: V t−k = λ

¦ a t− j

(36)

j = k +1

Per cui la (34) può scriversi ∞

Vt = V t − k ⋅ λ ¦ a t − j + a t

(37)

j=1

che esprime la velocità all’istante t come dovuta al seguito della realizzazione di un processo già verificatosi fino all’istante t−k−1. Si deduce dalla (37) che la media di Vt condizionata dalla storia verificatasi fino all’istante t−k−1 resta costante al crescere di t, quando si tiene fisso l’istante in cui si valuta il livello Vt-k. Tale media può essere espressa non solo dalla (35) o (36), ma anche come combinazione lineare delle velocità Vt-j misurate durante la precedente realizzazione del processo. Ponendo nella (31) ∇Vt = Wt , si ottiene il processo stazionario delle Wt poiché tali sono le sequenze degli at. Con l’operatore B, la (31) può scriversi a t = (1 − ϑB) −1 Wt = (1 + ϑB + ϑ 2 B 2 + ... + ϑ k B k )(1 − ϑ k +1 B k +1 ) −1 Wt (38) da cui (1 − ϑ k +1 B k +1 ) −1 a t = (1 + ϑB + ϑ 2 B 2 + ... + ϑ k B k ) Wt

(39)

a t − ϑ k +1a t − k −1 = Wt + ϑWt −1 + ... + ϑ k Wt − k −1

(40)

Cioè Per essere at e Wt processi stazionari, al tendere di k all’infinito il termine k +1

ϑ a t − k −1 tende a zero se ϑ < 1. La sequenza a secondo membro della (40) è una sequenza convergente. Si ha cioè

at =

¦ϑ k =0

La (41) può ancora scriversi

k

Wt −k

(41)


7. Processi delle velocità

at =

¦ k =0

139

ϑ k ⋅ (1 − B) ⋅ Vt − k =

¦ (1 − B) ⋅ ϑ

k

B k ⋅ Vt =

k =0

ª º ª = Vt «(1 − B) ⋅ ϑ k B k » = Vt «1 + k =0 ¬ ¼ ¬ ∞

¦

¦

ϑk Bk − B ⋅

k =1

¦ϑ k =0

k

º Bk » = ¼

(42)

∞ ∞ ª º = Vt «1 + ϑB ⋅ ϑk Bk − B ⋅ ϑk Bk » k =0 k =0 ¬ ¼

¦

¦

cioè ∞ ª ª º a t = Vt «1 − (1 − ϑ) ⋅ B ⋅ ϑ k B k » = Vt «1 − λ ⋅ «¬ k =0 ¬ ¼ Ne segue che

¦

(

j

j−1

¼

j=1

)

Vt = λ ⋅ ¦ (1 − λ ) j−1 ⋅ Vt − j + a t j=1

º

¦ (B (1 − λ) )»»

(43)

(44)

Confrontando le (41), (29) e (34) risulta ∞

j=1

j=1

(

V t = λ ⋅ ¦ a t − j = λ ⋅ ¦ (1 − λ ) j−1 ⋅ Vt − j

)

(45)

E così ancora si ha V t−k = λ ⋅

¦ a t − j = λ ⋅ ¦ ((1 − λ ) j−1 ⋅ Vt − k − j ) ∞

j = k +1

j=1

(46)

La (46) indica che “la media delle velocità in un istante t qualsiasi, condizionata dalla realizzazione verificatasi fino ad un istante t−k precedente, è una media mobile delle velocità misurate fino all’istante t−k, ottenute impiegando i pesi λ(1−λ)j-1 decrescenti con legge esponenziale”. Con la (35) e la (36) si ha k

V t = Vt−k + λ ⋅ ¦ a t− j

(47)

j=1

Con la (47) “l’andamento nel tempo dei livelli Vt a partire dall’istante t−k è il risultato di una passeggiata aleatoria generata dalla variabile λat” (cfr. il punto 3.2.4). Tale andamento è un processo aleatorio non stazionario poiché la media è costante uguale a Vt−k, ma la varianza cresce indefinitamente col tempo: se si indica con σ2 la varianza costante della variabile at; λσ è la deviazione standard delle v.a. λat che genera la passeggiata aleatoria. Con at distribuita normalmente,


140

7. Processi delle velocità

λσ definisce compiutamente la distribuzione di λat e rappresenta così la misura della stabilità del processo delle velocità generato su una corsia nell’ipotesi comportamentale assunta per i conducenti che è alla base delle (27) e (29). Dall’analisi della (47) è possibile trarre indicazioni sulla maggiore o minore probabilità che il flusso sia stabile all’evolvere del tempo. Infatti se i veicoli si condizionano poco e, quindi, λ è basso o se è piccola la variabilità di at (σ piccola) anche in presenza di un λ non basso secondo le (47) Vt tende a non discostarsi molto da un andamento costante nel tempo. Tale circostanza non si verifica se λ e σ sono elevati, per cui, il processo delle velocità si presenta come costantemente instabile. Come già detto in precedenza, è stato dimostrato anche recentemente [4] [6] che l’affidabilità del sistema autostradale dipende, per il tramite della stabilità del flusso, dalle variazioni di λ e σ, ovvero dalle grandezze delle quali queste ultime sono funzione. In particolare per quanto attiene al parametro λ, se la portata è scarsa ed i veicoli si succedono lungo la corsia a distanze in media molto grandi, il valore di λ è praticamente nullo e dalla (27) si deduce che il livello delle velocità è costante con il tempo. Dalla (29) discende così che le velocità, misurate nei successivi istanti, risultano v.a. normali indipendentemente distribuite con media costante V e varianza σ2 uguale a quella delle at, cioè il processo delle velocità è un processo di rinnovamento. Si ritrova così il processo delle velocità proprio dei veicoli liberi (classe A, cfr. il punto 7.2.1). Sugli aspetti dell’affidabilità delle correnti veicolari e del suo calcolo in funzione delle variazioni dei parametri λ e σ e delle grandezze dalle quali questi ultimi dipendono, si rimanda a [3], [4], [5], [6] e [9]. 7.4 Cenni alla procedura per il trattamento dei dati di velocità istantanee per il processo ARIMA (0,1,1) Per verificare l’ipotesi di appartenenza di una sequenza di velocità istantanee registrate ad un processo autoregressivo integrato di media mobile del primo ordine (cfr. la (8)) si stimano preliminarmente i parametri λ e σ2, assumendo


7. Processi delle velocità

141

come vera la predetta ipotesi. Essa si verifica poi, a taratura del modello avvenuta, con un test sulla indipendenza delle variabili aleatorie at che rappresentano gli scarti tra le velocità attuate ed il livello del relativo processo. In sintesi, i parametri λ si stimano ai minimi quadrati a partire dalla applicazione ricorrente di relazioni tra le differenze wt = vt – vt-1 delle velocità istantanee in istanti successivi (cfr. la (11)) e le medie condizionate di variabili aleatorie ausiliarie. Queste ultime si assumono distribuite identicamente agli scarti at. Le σ2 si valutano con la statistica 2

n § aˆ t · ¨ aˆ t − ¸ ¨ ¸ n t =1 © t =1 ¹ ˆ dove a t sono le stime dei residui at ottenute applicando la relazione

1 ıˆ = n 2

n

¦

¦

(48)

t -1

aˆ t = ¦ w t − j (1 − Ȝˆ ) j + (1 − Ȝˆ ) t aˆ 0

(49)

j= 0

Nella (49) Ȝˆ è la stima di λ ed aˆ 0 è la stima del residuo iniziale a0, ottenibile come funzione della differenza tra le velocità w0 = v1 –v0. Una puntuale descrizione, a fini operativi, del metodo di stima adoperato per λ e σ2 è contenuta in [10]. Per quanto attiene infine alla verifica dell’indipendenza degli scarti aˆ t stimati come prima sinteticamente indicato essa si consegue constatando, con due test, la nullità del coefficiente di correlazione ρk fino all’ordine k = 25 stimando ρk con l’espressione n -k

ȡk =

¦ (a t − a)(a t +k − a) t =1

n

¦ (a t − a)

(50) 2

t =1

dove a, stima delle medie delle at, è fornita da n ˆ a a=¦ t t =1 n

(51)

Si verifica poi l’appartenenza della stima a ad una distribuzione di media nulla.


142

7. Processi delle velocità

Riferimenti bibliografici [1] A.D. May, “Traffic Flow Fundamentals”, Prentice Hall, 1990 [2] AA.VV., “Modelling operating speed”, TR Circular E-C 151, TRB, Washington D.C., 2011 [3] P. Ferrari, “The reliability of motorway transport system”, Transp. Res. B, 22(4), 291-310, 1988 [4] R.Mauro “Traffic analysis, development of models and systems for estimating reliability on the A22 Freeway, Italy (Analisi di traffico, elaborazione di modelli e sistemi per la stima dell’affidabilità per l’Autostrada A22, Italia)”, Technical report, part I,II,II, Autostrada del Brennero S.p.A., Trento, Italy (in Italian) [5] P. Ferrari, “The control of motorway reliability”, Transp. Res. A, 25(6), 419-427, 1991 [6] R.Mauro, O.Giuffrè, A.Granà, “Speed stochastic processes and freeway reliability estimation: Evidence from the A22 Freeway, Italy”, in pubblicazione su Journal of Transportation Engineering posted ahead of print July 2,2013. doi.10.1061/(ASCE)TE.1943-5436.0000599 [7] L. Breiman, R. Lawrence, “A simple stochastic model for freeway traffic”, Transp. Res. Board, 11(3), 177-182, 1977 [8] P. Ferrari, “Rapporto finale P.F.T., Ricerca VI 1b3 “Scelta di una funzione dei parametri dei processi circolatori atti a rappresentare i livelli di servizio”, Piva, 1985 [9] P.Ferrari, “Freeway capacity: reliability and control”, Concise Encyclopaedia of Traffic and Transportation Systems, M.Papageorgiou eds, Pergamon Press, Oxford, U.K. [10] G.E.P. Box, G.M. Jenkins, “Time series analysis: forecasting and control”, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1976


143

Ulteriori indicazioni bibliografiche La bibliografia sui processi aleatori e sulle applicazioni degli stessi in ingegneria è vastissima e, per molti aspetti, da tempo consolidata. Si indicano di seguito, senza alcuna pretesa di completezza, alcuni volumi, con i quali l’autore ha da tempo consuetudine di consultazione, che integrano i riferimenti bibliografici riportati alla fine di ciascun capitolo. Per una trattazione ampia ed accessibile con la ordinaria preparazione matematica degli ingegneri può vedersi l’insuperato V. S. Pugachev, Theory of random functions and its application to Control problems, Pergamon Press, Oxford, 1965 Si tratta ancora oggi di un testo fondamentale, indispensabile per affrontare lo studio di V. S. Pugachev, I. N. Sinitsyn, Stochastic Systems, Theory and applications, World Scientific, Singapore, 2001 In questo volume si presentano in modo sistematico e generale questioni avanzate, ad un livello di formalizzazione intermedio, ma sempre finalizzate direttamente alle applicazioni, relative ai modelli matematici di sistemi incerti descritti nel dettaglio. La teoria spettrale delle funzioni aleatorie, la approssimazione ottima delle risposte di sistemi dinamici casuali e i metodi di caratterizzazione statistica delle funzioni casuali in base a dati sperimentali è trattata in modo limpido e sintetico in un altro classico della Scuola sovietica A.A. Sveshnikov, Applied methods of the theory of random functions, Pergamon Press, Oxford, 1966. Anche il libro appena citato di Sveshnikov ha egregiamente resistito al tempo, come d’altro canto accade per l’eserciziario E.Wentzel, L.Ovcharov, Applied problems in Probability Theory, Mir Pubblishers, Moscow, 1986 del quale i capitoli 9 (Random Functions) e 10 (Flow of events. Markov stochastic processes) sono uno strumento indispensabile per impadronirsi con efficaci esempi di calcolo di molte questioni attinenti i processi casuali. Sui modelli markoviani, sui processi semi-markoviani e decisionali una trattazione esaustiva, condotta senza strumenti matematici avanzati, è contenuta nella terza ristampa di R. A. Howard, Dynamic probabilistic System, Vol I e II, Dover publications, Inc, Mineola, New York, 2007 che è corredato di numerosi esempi esplicativi della teoria presentata e molti interessanti spunti di approfondimento nelle parti dedicate ai problemi da risolvere.



Funzioni aleatorie e processi di traffico