Issuu on Google+

tu

ffi

ffinÊtrs

#

ffi *# #

ry

ff, ar n

À

ffi

(?

c ;U

U1

C

VI

U

o o ru ru rTï

VI

m

Íï1

ín \-

m 7, €

n

Vt }[

C z, U *?I


Cursus door

zes eeuwen wiskunde

drs J.H. Derks


Inhoud Europa tot aan de Renaissance ................................................. 1

1. A

Van verval tot herleving ..................................................... 1 1) 400–1000: Germanen op de ruïnes van de Romeinse beschaving ...... 1 2) Opkomst van de steden....................................................... 3

B

Twee eeuwen van bloei ...................................................... 4 1) Leonardo van Pisa ............................................................. 4 2) Bloei van de scholastiek; opkomst van de wetenschapsleer ........... 7 3) Continue grootheden; de eerste grafieken................................ 9 4) Oneindig klein en oneindig groot; reeksen .............................. 10 5) Verval van de middeleeuwse wetenschap ............................... 12 De Renaissance .................................................................. 13

A

Popularisering van rekenen en algebra; 1450-1550 ................... 1) Gedrukte boeken zetten beweging op gang............................. 2) Regiomontanus ............................................................... 3) Algebra leerboeken..........................................................

13 13 14 14

De doorbraak in de algebra ............................................... Tartaglia bedrogen door Cardano......................................... De oplossing van de derdegraads vergelijking .......................... De oplossing van de vierdegraads vergelijking ......................... De gevolgen van "Artis magnae"...........................................

16 16 18 19 20

Meetkunde in de sterrenkunde, aardrijkskunde en schilderkunst.. 1) Copernicus .................................................................... 2) Cartografie.................................................................... 3) Perspectief.................................................................... Sprong naar de moderne algebra.............................................

21 21 22 24 26

Viète ........................................................................... Viètes leven en betekenis .................................................. Bijdragen aan rekenkunde en algebra ................................... Prostaferese .................................................................. Ontwikkeling van de vlakke driehoeksmeting .......................... Viète en de derdegraads vergelijking .................................... Hoekveelvoudformules...................................................... De uitdaging ..................................................................

26 26 27 27 29 30 31 32

Praktische methoden ....................................................... 1) Machines ...................................................................... 2) Logaritmen.................................................................... 3) Praktische bewijsvoering ...................................................

34 34 35 36

2.

B 1) 2) 3) 4) C

3. A

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) B

i


Baanbrekers van de zeventiende eeuw ..................................... 38

4.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Nieuwe methoden en een nieuw wereldbeeld ......................... Francis Bacon: kennis is macht............................................ De oude mechanica.......................................................... Galileo Galilei ................................................................ De zon in het centrum ...................................................... De geheimvolle meetkunde van het heelal.............................. De harmonie van de veelvlakken.......................................... Thomas Hariot................................................................ Oude krommen met nieuwe toepassingen............................... De methode van de ondeelbaren .........................................

38 38 39 39 40 41 43 44 45 46

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

René Descartes............................................................... Een ambitieus denker ....................................................... "Discours de la méthode" (Bespreking van de onderzoeksmethode) "La Géométrie" (Meetkunde)............................................... Meetkundige plaatsen....................................................... Elementaire Verhandeling over veelvlakken ............................ De ovalen van Descartes.................................................... Wat is een bewijs? ...........................................................

48 48 50 51 52 54 55 56

1) 2) 3) 4) 5)

De projectieve meetkunde van Desargues .............................. Nogmaals kegelsneden ! .................................................... Invarianten op een lijn...................................................... Punten in het oneindige .................................................... Pool en poollijn .............................................................. De stelling van Desargues ..................................................

59 59 61 62 63 64

A

B

C

D

De wetenschappelijke academies ........................................ 65 De grote hobbyisten uit de zeventiende eeuw............................. 67

A 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Pierre de Fermat ............................................................ De hobby van een bestuurder ............................................. Getaltheorie .................................................................. De vergelijking x2 — Ay2 = B................................................ De laatste stelling van Fermat ............................................ De methode van oneindige afdaling ...................................... Coördinatenmeetkunde..................................................... 'Functieonderzoek' ........................................................... Oppervlakten onder een kromme ......................................... Licht volgt de kortste weg .................................................

68 68 68 70 72 73 75 76 77 77

1) 2) 3) 4)

Blaise Pascal.................................................................. Leven en lijden van een genie............................................. De stelling van Pascal ....................................................... De 'driehoek van Pascal' en kansrekening ............................... Epi-/hypocycloïden, trochoïden en de 'slaklijn' van Pascal...........

79 79 82 83 84

5.

B

ii


Isaac Newton en zijn tijd ...................................................... 88

6. A

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Newtons voorgangers ....................................................... Het begin van de differentiaal- en integraalrekening ................. John Wallis en Isaac Barrow ............................................... Christiaan Huygens, "beste navolger der ouden" ....................... De cycloïde, weg van gelijkdurige en van kortste val ................. De cycloïde, analytisch bekeken .......................................... Cissoïde........................................................................ De halfkubieke parabool.................................................... Moderne sterrenwachten ...................................................

88 88 89 90 93 94 95 96 98

B

Levensloop van Newton .................................................... 98 1) Achtergrond en karakter ................................................... 99 2) Zijn wetenschappelijk werk .............................................. 101 3) De politiek ................................................................... 102

C

Newtons optisch onderzoek .............................................. 103 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Newtons wiskundige theorieën .......................................... 104 Binomiale reeksontwikkeling ............................................. 104 Een kromme als afgeleide van de oppervlaktefunctie ............... 106 De oppervlaktefunctie van 1/x; reeksontwikkeling van ln(1+x) ..... 107 Impliciet differentiëren met de 'flux' ................................... 110 'Recht maken' van krommen .............................................. 111 De algemene derdegraads kromme ...................................... 112

1) 2) 3) 4) 5)

Newtons rekenmethoden ................................................. 115 Benadering van oplossingen van n-degraads vergelijkingen......... 115 De Newton-Raphsonmethode ............................................. 116 Reeksontwikkeling op basis van tabellarische waarnemingen ...... 117 Newtonse sommen.......................................................... 120 Methode van Horner........................................................ 121

D

E

F

7.

Philosophiae naturalis principia mathematica........................ 122 1) Voorgeschiedenis ........................................................... 122 2) De inhoud .................................................................... 124 3) De redacteuren van Newtons "Principia"................................ 125 Infinitesimaalrekening op het vasteland ................................... 127

A 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Gottfried Leibniz ........................................................... 127 Levensloop ................................................................... 127 Wetenschappelijke voorgangers ......................................... 128 Partiële sommatie .......................................................... 129 Partiële integratie .......................................................... 130 Een reeksontwikkeling voor /4.......................................... 131 Ontwikkeling van het integraalbegrip en zijn notatie................ 133 De integraal van 1/x ........................................................ 135 De controverse Newton-Leibniz .......................................... 135

iii


B 1) 2) 3) 4)

De kring rond Leibniz ...................................................... 137 De familie Bernoulli ........................................................ 137 De getallen van Bernoulli.................................................. 140 Poolcoรถrdinaten en cilindercoรถrdinaten................................ 141 Breuksplitsing ............................................................... 145

C

Nieuwe krommen ........................................................... 146 1) Cyclometrische functies ................................................... 146 2) De kettinglijn ................................................................ 146 3) De sleepkromme ............................................................ 148 4) De Cassinische ovalen en het lemniscaat............................... 149 Oneindige reeksen ............................................................. 151

A

Somreeksen.................................................................. 151 1) De klassieke machtreeksen ............................................... 151 2) Convergentie en divergentie.............................................. 153 3) De constante van Euler .................................................... 155

B

Nieuwe reeksen van Euler ................................................ 155 1) Zetafunctie .................................................................. 155 2) Gammafunctie............................................................... 158 3) Betafunctie .................................................................. 162 4) De afgeleide van de gammafunctie...................................... 162 Euler in de tijd van de verlichting .......................................... 163

8.

9. A

1) 2) 3) 4)

De verlichting ............................................................... 163 De nieuwe academies en het staatsbelang ............................. 163 Frankrijk...................................................................... 164 Pruisen........................................................................ 166 Rusland ....................................................................... 166

B

Euler .......................................................................... 168 1) Een productief leven ....................................................... 168 2) Eulers filosofische gedachten............................................. 173

C

Ontwikkeling van de wiskunde ........................................... 174 1) Hogeregraads krommen in het platte vlak ............................. 174 2) Ruimtelijke coรถrdinatensystemen en krommen ....................... 174 3) Functietypen ................................................................ 175 4) Parametrische voorstellingen van ruimtelijke krommen ............ 176 5) Potentiaal en andere toepassingen in drie dimensies ................ 178 Het kader van wetenschappelijk werk ..................................... 180

10. A

Levensbeschouwing en verspreiding van universiteiten............. 180

B

Wiskundigen en hun publicaties ......................................... 182

C Talen van publicatie ....................................................... 185 11. Toegepaste wiskunde in de eeuw na Newton ............................. 188 A

iv

Mechanica.................................................................... 188


VOORWOORD In dit boek komen talloze wiskundige ontdekkingen aan de orde, die vanaf 1300 gedaan zijn door mannen als Descartes (analytische meetkunde), Fermat (getaltheorie), Pascal (kansrekening) en Newton (differentiaalrekening), totdat de wiskunde in de achttiende eeuw, vooral dank zij het succes van de reeksontwikkeling (Euler), een zelfstandige wetenschap werd. Het belang van de exacte wetenschappen voor de industriële ontwikkeling nam sterk toe. Overal werden universiteiten opgericht, wetenschappelijke academies schreven regelmatig prijsvragen uit en overheden gaven opdrachten tot wetenschappelijk onderzoek. In de negentiende eeuw groeide het aantal beoefenaren van de wiskunde explosief en leidde het onderzoek tot vergaande specialisatie. Carl Gauss was wellicht de laatste wiskundige met een allesomvattende kennis. Er ontstonden ook scholen van wiskundigen met uiteenlopende kennisfilosofische visies op de wiskunde, van intuïtief tot speculatief. Wat nu voor het kandidaatsexamen wiskunde aan de universiteit als studiepakket aangeboden wordt, bestaat historisch gezien uit vele losse theorieën en aanvullingen op theorieën, die in moeizame denkprocessen en soms hevige concurrentie tussen mensen en instituten gevormd zijn. Voor degenen die de wiskunde gewoonlijk op een abstracte, misschien wel saaie manier aangeboden hebben gekregen is het de moeite waard kennis te nemen van deze geschiedenis van zes eeuwen wiskunde. Ik hoop dat zij genieten van de herkenning of aanleiding vinden om ze als nieuw te bestuderen. Ik probeer de grote lijnen in de zes eeuwen tussen 1300 en 1900 te doorlopen, vandaar het woord 'cursus'. Veel wiskundigen hebben een boeiend, soms ook dramatisch leven gehad. Ik zou niet precies kunnen verantwoorden, waarom ik juist deze wiskundigen heb uitgekozen. Daarom is dit boek niet de 'geschiedenis van de wiskunde'. Ik heb geen wetenschappelijke verhandeling willen schrijven. Dan zou ik ontelbare keren naar literatuur hebben moeten verwijzen. Van de hogere wiskunde heb ik vooral de grondslagen proberen te belichten. Om didactische redenen heb ik wiskundeproblemen in populair-wetenschappelijke taal en met gebruikmaking van de huidige notaties uiteengezet. Voor degenen die zich verder willen verdiepen is achteraan een literatuurlijstje bijgevoegd.

Johan Derks, leraar wiskunde

xi


OVER DE AUTEUR Johan Derks (1940), jongste van een gezin uit de Utrechtse middenklasse, blonk al vroeg uit in de wiskunde en volgde de studie theoretische natuurkunde aan de Universiteit van Utrecht. Vanuit missionaire bewogenheid en de drang om de wereld te verkennen vertrok hij als 25-jarige naar Oeganda om daar les te geven in de wiskunde. Na twee jaar teruggekeerd in Nederland gaf hij de stoot tot de oprichting van de Wereldwinkels. Als leraar aan een Nederlandse school hield hij het niet lang uit en hij vertrok opnieuw naar het zwarte werelddeel, nu naar franstalig Kameroen. Onzeker over zijn beroepskeuze studeerde Derks tussen 1973 en 1988 in deeltijd sociologie in Utrecht en Tilburg. In die laatste stad was hij een van de voortrekkers van de vredesbeweging. Ondertussen gaf hij korte periodes op meerdere middelbare en hogescholen les in wiskunde en mechanica. Zijn langste werkgever in het onderwijs was het Mondriaanlyceum, tegenwoordig scholengemeenschap Esprit, in Amsterdam. In die tijd begon hij zich te interesseren voor de geschiedenis van de wiskunde en gaf in eigen beheer het boekje Van Euclides tot 'al-gabr' uit, over de periode tot 1300. Van 1997 tot 2008 studeerde en schreef hij verder aan de periode vanaf 1300. Leraar Derks verzet zich fel tegen de tendens om voor eigen gewin alles maar meteen in het Engels te publiceren. Volgens zijn overtuiging schept dit een kenniskloof in de nationale samenleving. Vandaar dat hij medewerker is van de stichting 'Taalverdediging'. Sinds 1995 is hij ook zeer actief in de beweging voor de internationale taal Esperanto. Waar het dominante Engels een symptoom is van materialisme, staat het Esperanto voor gelijkwaardigheid en vriendschap. Derks is in 2005 getrouwd met de uit ServiÍ afkomstige Svetlana Milanović, een Esperantohuwelijk. Sinds 2012 woont het echtpaar in Belgrado.

xii


1. Europa tot aan de Renaissance A VAN VERVAL TOT HERLEVING

vermelde personen in 1.A: Aristoteles Ptolemaeus, Claudius Boëthius

384-322 v. Chr. 85-165 480-524

Alquinus van York al-Chwârizmî Adelard van Bath Gerard van Cremona

735-804 790-840 1090-1160 1114-1187

1) 400–1000: Germanen op de ruïnes van de Romeinse beschaving In de vierde eeuw verzwakte het Romeinse rijk zienderogen door aanvallen van Germaanse stammen. De gebieden aan de overzijde van Rijn en Donau werden opgegeven, maar ook binnen de nieuwe rijksgrenzen vestigden zich Germaanse heersers die slechts in naam het gezag van de Romeinse keizer erkenden. Germaanse koninkrijken ontstonden in Gallië en Spanje, zoals het Frankische rijk van de latere koning Clovis en Aquitanië, het uiteindelijke land van vestiging van de West-Goten. De Vandalen staken in 407 de Rijn over en begonnen aan een veroveringstocht, die eindigde in Noord-Afrika, waar zij hun koninkrijk stichtten. Plotseling doemden de Hunnen, stamverwant met de Tataren, op uit de Centraal-Aziatische steppen. Zij werden gelijkelijk gevreesd door Romeinen en Germanen. In 451 versloegen hun gezamenlijke legers het leger van koning Attila. In 455 stak de Vandaalse koning Genserik, ariaan van gezindte en verklaard vijand van het christelijke Roomse rijk, de Middellandse Zee over en plunderde Rome. In 476 zette de Germaanse koning Odoacer keizer Romulus Augustulus af. Twaalf jaar later veroverden de Oost-Goten Italië. Hun koning Theoderik handhaafde voor zover mogelijk de bestaande religieuze en sociale orde. Sinds de vierde eeuw was de christelijke kerk goed georganiseerd en ook de kerk bewaarde zo goed als ze kon de culturele traditie van het Romeinse rijk. Veel Germaanse stammen hadden zich met hun leiders bekeerd tot het katholieke geloof. Theoderik benoemde Boëthius (zie Ea1, 5.C2), telg uit een oude Romeinse familie, tot minister en Cassiodorus tot hoogste rechter. Cassiodorus stichtte kloosters, waar hij de monniken manuscripten van klassieke auteurs liet overschrijven. Boëthius stelde zich tot taak de resten van de Grieks-Romeinse beschaving aan de nieuwe Germaanse generatie door te geven. Het Latijn bleef de taal van de Kerk en de wetenschap. 1

Met Ea wordt verwezen naar Van Euclides tot 'al-gabr', een didactische geschiedenis van de wiskunde tot 1300, te bestellen door overschrijving van € 15,= naar rek.nr. 389642894, t.n.v. J.H. Derks.

1


Hij vertaalde enkele werken van Aristoteles in het Latijn, schreef op basis van een gebrekkige kennis van enkele delen van Euclides' "de Elementen" een (slecht) leerboek over meetkunde, een boek over getallenleer, dat niet verder reikte dan wat al aan de Pythagoreeërs bekend was (geen breuken en negatieve of irrationale getallen), een boek over sterrenkunde en een over muziek. Hiermee bestreek hij het viertal 'vrije kunsten' ('quadrivium'), dat op de hogere (klooster)scholen onderwezen werd. Daarnaast bestond het op de 'lagere' scholen onderwezen 'trivium': spraakkunst, welsprekendheid en redeneerkunst (logica).

Figuur 1: Rekenwedstrijd tussen Pythagoras (575-500 v.Chr.) en Boëthius onder toezicht van Aritmetica,één van de zeven Vrije Kunsten (gravure uit "Margarita Philosophica", Gregor Reisch, 1508)

Het verdwijnen van het centrale gezag had niettemin grote gevolgen. De grootschalige economie en het geldstelsel verdwenen. De steden 2


gingen achteruit en feodale landadel kwam aan de macht. In het Frankische rijk werd deze vanaf 751 geleid door de Karolingers. De macht in het niet-islamitische deel van Europa werd gedeeld door de paus in Rome en de Oost-Romeinse keizer. Om de Germaanse landen aan zich te binden kroonde de paus in het jaar 800 Karel de Grote tot 'Keizer van het heilige Roomse rijk'. Deze wist zijn rijk uit te breiden van Denemarken tot Italië en van de Donau tot Spanje. Aan het Karolingische hof was ook Alquinus van York verbonden. Deze stichtte op het vasteland tal van scholen en schreef "Problemen voor het scherpen van de geest", waarin veel oosterse raadseltjes voorkwamen zoals: "Een wolf, een geit en een kool moeten overgevaren worden naar de andere oever van een rivier. De boot kan behalve de veerman maar een van de drie bevatten. In welke volgorde moet de veerman hen overvaren zo dat de geit de kool niet eet en de wolf de geit niet verslindt?" Van 400 tot 1100 boekte de wiskunde in Europa geen enkele vooruitgang. Alleen dank zij de Franse monnik Gerbert, die tussen 967 en 969 Arabische scholen in Spanje bezocht, maakte men in Europa kennis met het astrolabium en de spiegel, voor het bepalen van hoogten en afstanden (astrolabium = 'sterrennemer'. Wij zeggen nog: 'poolshoogte nemen'). Terwijl men in Frankrijk nog rekende met behulp van de abacus (telbord), verdiepte Gerbert zich in de kennis van de Indo-Arabische cijfers. Gerbert werd al spoedig raadsman van keizer Otto III (wiens grootvader Otto I in 962 als eerste Duitser gekroond was tot 'Keizer van het heilige Roomse rijk') en werd in 979 tot paus gekozen onder de naam Sylvester II. Door dergelijke contacten raken de geleerden in Europa op de hoogte van het bestaan van de bloeiende Arabische cultuur en bijv. ook van de Indo-Arabische cijfers. 2) Opkomst van de steden In de elfde en twaalfde eeuw nemen de steden in Europa geleidelijk in omvang toe dank zij een grotere agrarische productie door betere landbouwmethoden. Handel en geldeconomie groeiden. Westerse studenten komen, eerst in Spanje en op Sicilië, in contact met de islamitische cultuur. Spanje is het grote culturele centrum, waar onder anderen filosofen als Averroës en de joodse geneesheer Maimonides doceerden. In Toledo functioneert een school van vertalers, waar joden vaak als tolk fungeren. Adelard van Bath bezoekt Spanje, Jeruzalem, Damascus en Bagdad en vertaalt o.a. astronomische tabellen van alChwârizmî, "de Elementen" van Euclides en de "Almagest" van Ptolemaeus. De meest vruchtbare vertaler is echter Gerard van Cremona, die leiding 3


geeft aan de vertaling van meer dan 80 werken. Hij levert een beslissende bijdrage aan de opleving van de middeleeuwse wetenschap. Terwijl de natuurleer van Aristoteles in 1215 verboden was, wordt zij twintig jaar later weer toegelaten en een eeuw later is de studie van Aristoteles zelfs voorwaarde om leermeester in de theologie te worden. In Europa heerste als filosofische stroming de 'scholastiek', de leer der kloosterscholen. Zij was er op gericht de dogma's, die in de voorafgaande eeuwen onder leiding van de kerkvaders waren vastgesteld, filosofisch te onderbouwen en toegankelijk te maken voor de nog niet gekerstende volken. Door de studie van uit het Arabisch vertaalde geschriften wordt het intellectuele klimaat langzamerhand iets liberaler. In vele steden worden universiteiten ("universitas litterarum" = geheel der wetenschappen) gesticht: Parijs, Keulen, Oxford, Bologna en Padua. Dit zijn internationale studiecentra, gericht op het ontwerpen van een compleet wereldbeeld onder leiding van de officiële theologie. Tot dan toe werden theologie en filosofie, welke laatste alle vrije kunsten omvatte, alleen onderwezen aan hogere kloosterscholen.

B TWEE EEUWEN VAN BLOEI vermelde personen in 1.B: Aristoteles Eudoxos Archimedes van Syracuse Apollonius van Perga Heron van Alexandrië Diophantus van Alexandrië Augustinus van Hippo al-Chwârizmî al-Karkhî al-Samaw'al

384-322 v. 325-265 v. 287-212 v. 262-190 v. 10-75 200-284 354-430 790-840 953-1029 1130-1180

Chr. Chr. Chr. Chr.

Grosseteste, Robert Leonardo van Pisa Albert de Grote Bacon, Roger Willem van Moerbeke Campanus van Novara Thomas van Aquino Bradwardine, Thomas Oresme van Lisieux Galilei, Galileo Suiseth, Richard

1168-1253 1170-1250 1206-1280 1214-1292 1215-1286 1220-1296 1225-1274 1295-1349 1323-1382 1564-1642 werkbloei 1350

1) Leonardo van Pisa De steden bevochten hun onafhankelijkheid van de landadel, vaak in bondgenootschap met de vorsten. Deze verleenden aan de burgers rechten, waardoor zij zelf meer macht kregen over de adel. Militaire (kruistochten) en handelscontacten kwamen tot stand met het oosten. Vanuit Genua, Pisa, Venetië, Milaan en Florence gingen handelaren naar het oosten. Zoals 1800 jaar eerder belangstelling voor wiskunde was ontstaan bij zeevarende Griekse kooplieden, zo verzamelden nu Italiaanse kooplieden informatie uit het Verre (Marco Polo) en het Nabije Oosten (Leonardo van Pisa). Leonardo's vader was koopman en douanebeambte geweest in Algerije. Daar leert Leonardo Arabisch en wiskunde van een kruidenkoopman. Op zijn eigen handelsreizen probeert hij meer te weten te komen van de Arabische wetenschap. Hij bereist Sicilië, Egypte, Syrië en Griekenland. Bij terugkeer in Italië rond 1200 schrijft hij het "Boek over het telbord", 4


waarin hij begint met de betekenis van de negen Indische cijfers uit te leggen en van het teken '0', 'dat in het Arabisch 'sifr' wordt genoemd'. Vandaar 'zéro' en 'chiffre' in het Frans en 'cijfer' in het Nederlands. Vervolgens doet hij de optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en het worteltrekken voor. Hij behandelt allerlei financieel-rekenkundige problemen, de oplossing van tweedegraads vergelijkingen, onbepaalde vergelijkingen, berekeningen met wortels, enz. Daarbij put hij uit Euclides' "de Elementen" en uit geschriften van Heron van Alexandrië en al-Chwârizmî. Waarschijnlijk heeft hij ook contact gehad met de school van algebra-rekenmeesters al-Karkhî (of al-Karaji) en al-Samaw'al (zie Ea, 6.C4). Het boek was te moeilijk voor zijn tijdgenoten en werd op de scholen niet gebruikt. Toch heeft het op de lange duur een grote invloed gehad. Een beroemd probleem, dat in het "Liber abbaci" behandeld wordt is: "Hoeveel konijnenparen worden er iedere maand geboren, als je met één paar begint en elk paar na de eerste levensmaand elke maand één nieuw paar voortbrengt? Er gaan geen konijnen dood." Het eerste paar is de eerste maand nog alleen. De tweede maand brengt het een tweede paar voort en na een maand nog een paar, zodat er dan drie paren zijn. De vierde maand produceren de paren van maand één en twee beide een paar, zodat er dan vijf paren zijn, enz. Dit geeft de volgende reeks: maand aantal paren

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11=2 21=3 32=5 53=8 85=13 21 34 55

enz. Als je het aantal konijnenparen in de n-de maand tn noemt, geldt de betrekking tn+1 = tn  tn-1, d.w.z. het aantal konijnen is gelijk aan dat van de vorige maand plus het aantal nieuwgeborenen, maar dat aantal is gelijk aan het aantal konijnen van de eervorige maand. Niet alleen gaat deze groei steeds sneller, met de groeifactor is ook iets bijzonders aan de hand: t2/t1=2, t3/t2=1,5, t4/t3=1,667, vervolgens 1,6, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618, enz. Als je de teruglopende betrekking tn+1 = tn  tn-1 aan beide zijden deelt door tn en de limiet neemt voor n  , dan moet deze voldoen aan de vergelijking lim  1  1 . Dus lim is het 'gulden' getal. lim g = ½  ½√5  1,618 (zie Ea, 4.A5). Dit is het oudst bekende voorbeeld van een exponentieel biologisch groeimodel. Omdat Leonardo in Europa bekend werd onder de naam Fibonacci ('zoon van Bonaccio' of 'goedaardige zoon') wordt de getallenreeks sindsdien 'reeks van Fibonacci' genoemd. Fibonacci bewees ook op aanschouwelijke manier, dat 13  23  33  43  ........  n3 = (1  2  3  .....  n)2 = {½.n(n1)}2 5


19. Toegepaste wiskunde A LANDMEETKUNDE vermelde personen in 19.A: Euler, Leonhard Lambert, Johann Monge, Gaspard Olbers, Wilhelm

1707-1783 1728-1777 1746-1818 1758-1840

Napoleon Bonaparte Gauss, Carl Schumacher, Heinrich Christian Weber, Heinrich

1769-1821 1777-1855 1780-1850 1842-1913

1) Veldwerk en meettheorie Na 1800 ontstond in West-Europa langzamerhand de nationale staat als organisatievorm. De macht van de adel was tanende, er kwam ambtenarij voor in de plaats. Het was voor veel staten belangrijk om een duidelijk beeld te hebben van hun grondgebied en het verloop van hun grenzen. Dit gold zeker voor de Duitse staten na het verslaan van Napoleon. Vandaar dat de landmeetkunde en de opbouw van een landmeetkundig net van meetpunten in die tijd in opkomst was. Daarbij gaat het in eerste instantie om meetkunde op een boloppervlak, maar de aarde is geen bol en zelfs geen ellipsoïde. Daarom is er behoefte aan een meetkunde die afstanden over een oppervlak interpreteert, rekening houdend met horsten en slenken in dat vlak. Dit is het onderwerp van de geodesie, een onderdeel van de differentiaalmeetkunde. In 1818 werd Gauss gevraagd om een geodetisch onderzoek te doen van de Duitse staat Hannover, zodat dit zou kunnen aansluiten bij het landmeetkundig netwerk van Denemarken (waar toentertijd ook Sleeswijk-Holstein bij hoorde en dat dus tegen Hannover aan lag). Gauss accepteerde die klus, verrichtte overdag metingen die hij 's avonds verwerkte en trok 's zomers van het ene dorp naar het andere om het meetwerk voor te bereiden en te controleren. Hij schreef regelmatig met Wilhelm Olbers, Heinrich C. Schumacher en andere sterrenkundigen over zijn vorderingen en de problemen die hij tegenkwam. Als hulpmiddel vond Gauss in 1821 de heliotroop uit, een apparaat dat werkte door weerkaatsing van zonnestralen met behulp van spiegels en een kleine telescoop. Het theoretisch onderzoek dat Gauss verrichtte in verband met zijn geodetisch project, leidde twintig jaar later tot de publicatie van 'Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie' (1843/'46). Hij werkte vanaf 1832 samen met Wilhelm Weber376 bij onderzoek naar het aardmagnetisme. Een jaar later nemen ze samen de door hen 376

Duits filosoof en natuurkundige, naar wie later de eenheid van magnetische flux genoemd is

401


ontworpen elektrische telegraaf in bedrijf. 2) cartografie Een ander probleem bij het in kaart brengen van een landstreek is de manier van afbeelden: hoe moeten de punten op een gekromd oppervlak op een plat vlak worden weergegeven? In 1822 won Gauss een prijs in een essaywedstrijd van de universiteit van Kopenhagen over de bepaling van alle mogelijke kaartprojecties waarbij, aldus de uitnodiging, "het beeld tot in details gelijkvormig aan het origineel" moest zijn. Nu zijn er drie typen van projecties: afstandsgetrouwe, vormgetrouwe (met behoud van oppervlakte) en hoekgetrouwe of conforme afbeeldingen. Gauss' inzending ging over de laatste soort. Daarbij kon hij steunen op voorgangers, zoals Euler, die in 1768 een methode ontwierp voor de conforme afbeelding van een plat vlak in een ander plat vlak, en J.H. Lambert, die in 1772 onder andere conforme afbeeldingen van een bol op een plat vlak behandelde. Twee conforme projectiemethoden waren algemeen bekend en toegepast: de stereografische en de mercatorprojectie (zie 2.C2). Gauss leidde conforme afbeeldingen af van een vlak op een ander vlak, van een bol op een vlak en van een omwentelingsellipso誰de op een bol. De theorie van de oppervlakken was overigens al stevig ontwikkeld door Euler in zijn "Recherches sur la courbure des surfaces" uit 1760. Verder introduceert Euler in "De Solidis Quorum Superficiem in Planum Explicare Licet" (1771/'72, "Lichamen waarvan het oppervlak op een plat vlak uitgevouwen kan worden") de biparametrische voorstelling (x(p, q), y(p, q), z(p, q)) van een gebogen oppervlak in de ruimte. De Fransman Gaspard Monge (zie 11.D1) publiceerde vervolgens tussen 1775 en 1784 een aantal werken over differentiaalmeetkunde, waarin hij ver uitsteeg boven wat Euler al had bereikt.

402


Cursus door zes eeuwen wiskunde