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UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

ANALISIS NUMERICO TEORIA DE LA INTERPOLACION Hernรกn รlvarez

EDECIO FREITES

2015 EDICION LIMITADA


Método de Newton Raphson

Por: Alberto Velázquez Interpolación LaGrange

Polinómica

de

Los polinomios de LaGrange permiten obtener una expresión explícita del polinomio de interpolación cuyo interés es más bien teórico, pues es difícil de evaluar en puntos concretos. Numéricamente es mucho más útil la forma de Newton del polinomio de interpolación. Aunque no tiene expresión explícita, su obtención es más estable que por los métodos anteriores, su evaluación no presenta los inconvenientes de los polinomios de LaGrange, y sobre todo, se puede actualizar fácilmente si se añaden nuevos nodos de interpolación. Actualmente la interpolación se utiliza en cálculo numérico para aproximar funciones mediante otras más sencillas, como los polinomios. Por ejemplo para deducir fórmulas de integración aproximada y métodos de resolución de ecuaciones diferenciales.

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de NewtonRaphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De la realización del análisis por terminorum Infinitas número aequationes (escrita en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De fluxionum metodis et infinitarum serierum (escrita en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere sustancialmente de la descripción moderna dada arriba: Newton aplica el único método para polinomios. Autor: Álvaro Ramírez

TEORIA DE LA INTERPOLACION.

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente. La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. Se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos. En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste. Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido... Autor: HERNAN ALVAREZ


Interpolación lineal Uno de los métodos de interpolación más sencillos es el lineal. En general, en la interpolación lineal se utilizan dos puntos, (xa,ya) y (xb,yb), para obtener un tercer punto interpolado (x,y) a partir de la siguiente fórmula: y = y_a + y_a)}{(x_b-x_a)}

Interpolación cuadrática Tomando un polinomio de mayor grado, podemos imponer más condiciones

(x-x_a)\frac{(y_b-

La interpolación lineal es rápida y sencilla, pero en ciertos casos no muy precisa.

para tener en cuenta la evolución de la temperatura alrededor del intervalo [12,14] En nuestro ejemplo, tomando los puntos (10,12), (12,18) y (14,21) queda un sistema cuya expresión matricial es La matriz de este sistema se

Interpolación Polinomial

denomina matriz de Van der Monde. Esta matriz es regular si los xi son todos distintos, pero es mal condicionada para tamaños relativamente pequeños. Esto hace desaconsejable la obtención del polinomio de interpolación por este método. Además, la solución de un sistema lineal de orden n tiene coste cúbico O (n3), mientras que, como veremos enseguida, el polinomio de interpolación puede obtenerse con O(n2) operaciones. t=10:2:14 Polinomio de grado1 25

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Un polinomio de primer grado en x, donde la función pasa por ambos puntos (lo que se discutió en la sección anterior).Una generalización de lo anterior sugiere que dados N puntos en un plano (Xk, yk) con k = 1, 2, • • • , N y distintos xk, existe un único polinomio en x de grado menor a N cuya función pasa por todos los puntos. Este tipo de polinomio se le conoce como polinomio de interpolación ya que reproduce los datos exactamente

15 Grados

P(xk) = yk, k = 1, • • • , N

10

5 5

Cuando se tienen dos puntos, ´estos pueden ser unidos con una línea recta. Dos puntos cualquiera en un plano (x0, y0) and (x1, y1), donde x0 6= x1, determinan

10

15 Hora

20


RESEÑA HISTÓRICA La historia de la interpolación comienza con los matemáticos babilónicos y sus trabajos en las tablas exponenciales que, aunque presentan grandes huecos, no dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una aproximación a sus valores intermedios. El desarrollo de la interpolación se entrelazó con los primeros desarrollos de las diferencias finitas, empezando por la cuadratura del círculo de Wallis en 1655, con la que propuso el principio de “intercálculo” o interpolación. Esto fue aceptado por Newton en 1676, lo cual le permitió la derivación de las series binómicas, es decir, a partir de un problema de cuadraturas, Newton pudo obtener el teorema binomial. Luego se continúa con la construcción de fórmulas prácticas de interpolación. Aunque “la historia de las fórmulas de interpolación es complicada y muy discutida” (Bell, 1995, p. 421), se le puede considerar como un potente estímulo en los siglos XVII y XVIII para la evolución independiente de las operaciones fundamentales de la teoría clásica de las diferencias finitas, las cuales se desarrollaron principalmente para facilitar cálculos numéricos en astronomía, la creación de tablas y la cuadratura mecánica.

Forma de LaGrange del polinomio de interpolación. Combinando las dos últimas fórmulas, obtenemos una expresión explícita del polinomio de interpolación. El polinomio P2(x) del ejemplo tiene, según LaGrange, la siguiente expresión: (x  12)(x  14) (x  10)(x  14) (x  10)(x  12) P (x)  12  18  21 2 (10  12)(10  14) (12  10)(12  14) (14  10)(14  12)

Las operaciones que nos hemos ahorrado en su determinación, hemos de pagarlas al evaluar el polinomio en un punto concreto (del orden de n2 operaciones por cada evaluación). Además, los productos a efectuar pueden causar overflow y la fórmula no es estable numéricamente.

¿Qué es el Método de Newton? El Método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la precisión deseada ya que es una extensión directa del método del mismo nombre para buscar ceros de funciones definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f(x0)) es una aproximación a la curva de f(x) cerca del punto (x0, f(x0)). En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f(x) o denominada raíz de f(x).

Usando algunos conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de funciones complicadas numéricamente. Normalmente, se usa el método de Newton Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raíz, considerado la función, su derivada, y un valor x inicial. Autor: Álvaro Ramírez


Existencia del polinomio de interpolación. Sea Lin(x) un polinomio de grado n, que se anule en todos los puntos xj, j = 0, 1,..., n, salvo en el i ésimo, donde vale 1; es decir, tal que

La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puede obtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistema, gracias a la siguiente fórmula debida a LaGrange Lin ( x) 

( x  x 0 )( x  x i 1 )( x  x i 1 )( x  x n ) ( x i  x 0 )( x i  x i 1 )( x i  x i 1 )( x i  x n )

Es inmediato comprobar entonces que el polinomio Pn(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + ••• + yn Ln(x)

2 Interpolación cuadrática Polinomio que interpola los datos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) Formamos los polinomios de LaGrange p0 (x) = (x − x1) (x − x2) (X0 − x1) (X0 − x2) p1 (x) = (x − x0) (x − x2) (X1 − x0) (X1 − x2) p2 (x) = (x − x0) (x − x1) (X2 − x0) (X2 − x1) Y el polinomio p (x) = y0

Cumple las condiciones

(X − x1) (X − x2)

Pn (xi) = yi, i=0, 1,2..., n.

(X0 − x1) (X0 − x2)

Lo que prueba directamente la existencia del polinomio de interpolación. La unicidad se puede garantizar utilizando el hecho de que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n raíces. Si dos polinomios de en dichos puntos, por lo que sólo puede ser el polinomio idénticamente nulo.

+y1 (X − x0) (X − x2) (X1 − x0) (X1 − x2) +y2 (X − x0) (X − x1)

Autor: Alberto Velázquez

(X2 − x0) (X2 − x1)

MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN Un problema clásico de la matemática, se plantea al querer calcular el valor de una función en un punto cuando no se conoce la función o incluso cuando la función no existe, conociéndose únicamente una serie de puntos. La resolución aproximada del problema consiste en encontrar una función fácil de construir y de evaluar, que coincide con la función objeto del problema con los datos de que se dispone. Se dice que la función así construida interpola a la función dada con respecto a los datos. Se trata de determinar fundamentalmente dos cosas: 1. Los datos que se desea que sean comunes a la función desconocida y a la función interpoladora. 2. Que tipo de función se va a utilizar como función interpoladora o función de interpolación. BIBLIOGRAFIA http://www.ugr.es/~mibanez/ejemplos/interpolacion.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n www.ucm.es/info/sevipres/P4/01/ANEXOS01.php

COLABORACION DE: ALVARO RAMIREZ ALBERTO VELAZQUEZ


Hernan alvarez revista de analisis  

uft saia HERNAN ALVAREZ

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