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UNIVERSIDAD FERMIN TORO ESCUELA DE INGENIERIA CABUDARE ESTADO LARA

MATEMATICA IV

Henry Fernรกndez

Enero 2013


Ecuación diferencial ordinaria de primer orden Saltar a: navegación, búsqueda Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:

(1a) o en su forma implícita:

(1b)

Ejemplos de ecuaciones diferenciales Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma: (2a) se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:

(2b)

Ecuaciones homogéneas Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por o en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:

o bien


Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido. El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

(3a) introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

(3b)

Ecuaciones lineales de primer orden La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

(4a) Y la solución de la misma viene dada por:

(4b) En el caso particular

y

, la solución es:

(4c)

Ecuación diferencial de Bernoulli Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma:

(5a) Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por:

(5b)


EJERCICIOS PROPUESTOS MATEMATICA IV

Ejercicio N 1

Solución APLICANDO UN CAMBIO TENEMOS: Sea y = ux dy =udx + xdu ; u = y/x SUSTITUYENDO EN LA ECUACION DIFERENCIAL. (x(ux)2 - (ux)3) + (1 - x(ux)2) (udx + xdu) = 0 (u2x3 - u3x3) dx + udx + xdu – u2x3dx = (x4u2 – x) du Udx – u3x3dx = (x4u2 – x) du U(1 –u2x3) dx = -x(1 – u2x3) du Dx/x = - du/u Lnx = - lnu + c Lnx + ln y/x = c FINALMENTE LA SOLUCION ES Lny = c

Ejercicio N 2 Dy/dx – 5y = -5/2x ; dy/dx = y1 Solución Y1 – 5y = -5/2x SACAMOS LOS TERMINOS DE LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL. ASI TENEMOS:


P(x) = -5 y Q(x) = - 5x/2 LUEGO EN LA ECUACION DIFERENCIAL TENEMOS.

U = - 5x/2

Du = -5/2

Ejercicio N 3 Xy1 = 4xe-y Soluci贸n Hacemos u = e- y U1 = -e- y. y1 U1 = - 4y1

-x .

= 4xu

y1 =


Luego bernoulli es Y1 + p(x) y = Q(x) yn Asi xy1 = uxe-y Es bernuli con P(x) = 0 Q(x) = -4

Ejercicio N 4 X y1 – 4y = x5ex Solución Dividimos toda la ecuación entre x y1 – 4y/x = x4ex luego P(x) = -4/x Q(x) = x4ex


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