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Trazados bรกsicos en el plano


DIbujo Técnico 2 1 Geometría Métrica Aplicada

Trazados básicos en el plano

1. Lugares geométricos ......................................................................................................... 2 1.1 La circunferencia. ......................................................................................................... 2 1.2 Mediatriz de un segmento. ..................................................................................... 3 1.3 La mediana, como paralela media. .................................................................... 4 1.4 Bisectriz de un ángulo. .............................................................................................. 5 1.4.1 Trazados si el vértice está localizado. ............................................................... 5 1.4.2 Trazado si el vértice no está localizado. ........................................................... 5 2. Ángulos en la circunferencia ........................................................................................ 6 2.1 Ángulo central ................................................................................................................ 6 2.2 Ángulo inscrito ............................................................................................................... 6 2.3 Ángulo semiinscrito..................................................................................................... 7 2.4 Ángulo exterior .............................................................................................................. 8 2.5 Ángulo interior ............................................................................................................... 8 3. Arco capaz................................................................................................................................ 9 4. Rectificación aproximada de arcos de circunferencia ................................. 10 4.1 Rectificación de una semicircunferencia. .................................................... 10 4.2 Rectificación de una circunferencia ................................................................ 11 4.3 Rectificación de un cuadrante. ........................................................................... 11 4.4 Rectificación de un arco menor de 90º ......................................................... 11


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Trazados básicos en el plano

1. Lugares geométricos Un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica reciben el nombre de lugar geométrico (l.g). 1.1 La circunferencia. El ejemplo más sencillo de definición de una figura como lugar geométrico es la circunferencia: lugar geométrico de todos los puntos el plano que equidistan una distancia, llamada radio ( r ), de un punto fijo, llamado centro (O). Así, el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que pasan por un punto P, es una circunferencia de centro dicho punto y radio

. Aunque no se puede hablar en sentido estricto delos

lugares geométricos como un método, es un recurso conceptual muy intuitivo y habitual en la práctica del dibujo.


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1.2 Mediatriz de un segmento. Es el l.g de los puntos del plano equidistantes de los extremos del segmento

dado.

Dicha mediatriz es la recta m perpendicular al segmento

por su

punto medio M. Para construirla se hace centro a los extremos A y B del segmento considerado y se trazan arcos de igual radio que se cortan en los puntos P y Q. Su unión determina la recta mediatriz del segmento

considerado.


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1.3 La mediana, como paralela media. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas paralelas ( r y s ) es la mediatriz n del segmento que tiene por extremo los puntos A y B; es, en definitiva, la paralela media o mediana de las rectas consideradas. Así, en una autovía, la mediana es línea que separa los dos sentidos de circulación.


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1.4 Bisectriz de un ángulo. Es el l.g de los puntos del plano equidistantes de los lados del ángulo. Es la semirrecta que divide el ángulo en dos partes iguales. 1.4.1 Trazados si el vértice está localizado. Con centro en el vértice V se dibuja un arco cualquiera que corta a los lados A y B. Con centro en ellos, se trazan dos nuevo arcos, de igual radio, consiguiendo el punto P. La unión de P con V determina la recta bisectriz.

1.4.2 Trazado si el vértice no está localizado. Sea el ángulo formado por las rectas r y s, cuyo vértice es inaccesible. Se traza una secante t cualquiera y se dibujan las bisectrices a, b, c y d de los ángulos que forman la secante con los lados del ángulo. Dichas rectas se cortan en P y Q, definiendo la bisectriz buscada.


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2. Ángulos en la circunferencia 2.1 Ángulo central Su vértice está situado en el centro de la circunferencia y sus lados son radios. La medida del ángulo central es la misma que la del ángulo que abarca. Esto es:

2.2 Ángulo inscrito Su vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma. El valor del ángulo es la mitad del central cuyos lados pasan porlos extremos de la cuerda. Para demostrarlo consideremos un ángulo inscrito con un lado como


DIbujo Técnico 2 7 Geometría Métrica Aplicada

diámetro. En el triángulo isósceles AOV, se tiene ; luego

; y el ángulo exterior

.

Por tanto, en general, paraun ángulo inscrito con sus lados cuerdas cualesquiera, como el MVN de la figura adjunta, se verifica que: a=b/2 2.3 Ángulo semiinscrito Su vértice está en la circunferencia y sus lados lo forman una cuerda y una tangente. El valor de un ángulo semiinscrito, como en un inscrito, es la mitad del ángulo central, cuyos lados pasan por los extremos de la cuerda. Como < OVB es recto y el triangulo AOV es isósceles: –

– (180º –

) /2

Esto es:

a=

/2


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2.4 Ángulo exterior Su vértice es exterior a la circunferencia y sus lados son secantes o tangentes a ella. Su valor es igual a la semidiferencia de los ángulos centrales que abarcan sus lados. En el triángulo ACV que se forma, se cumple: = 180º - < VAC - (180º - < ACB) = 180º – /2 – (180º – =(

/2)

) /2

2.5 Ángulo interior Su vértice es interior a la circunferencia. Su valor es igual a la semisuma de los ángulos centrales que acaban sus extremos y el ángulo opuesto por el vértice. Considerando el triángulo BCV, se cumple: = 180º –

BVC = 180º - (180º - < VBC – VCB)

= 180º - (180º – =(

+

)/2

/2 –

/2)


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3. Arco capaz Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve un segmento, de dicho plano, bajo un mismo ángulo. La construcción del arco capaz de un ángulo segmento

(cualquiera) de un

, consiste en dibujar un arco de circunferencia tal que los ángulos

inscrito en ella, que determinan una cuerda

, tengan el valor .

= (180º – 2 ) /2 = 90º – Por tanto, para construir un arco capaz de un ángulo

dado, cuyos

lados pasen por dos puntos A y B, se procede como sigue: –

Por A se traza el ángulo

dado y la recta s perpendicular a s, que

corta la mediatriz m en el punto O, centro del arco capaz. –

Por centro O y radio

=

se dibuja el arco capaz, lugar

geométrico de todos los puntos que miran con el mismo ángulo los extremos del segmento

.

El arco capaz simétrico respecto del segmento es solución.

considerado, también


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4. Rectificación aproximada de arcos de circunferencia En geometría, se entiende por rectificación el determinar, sobre una línea recta, la longitud de una curva, de un arco o de una circunferencia. 4.1 Rectificación de una semicircunferencia. La longitud de la semicircunferencia es igual a la suma de los dos lados del triángulo equilátero (

) y el cuadrado ( ) inscrito en ella.

En la figura, el punto 3 (obtenido al llevar desde el punto 1 dos veces el radio), determina

=1–

la distancia dos

diámetros

=

. (lado del cuadrado inscrito) se consigue trazando

perpendiculares.

aproximadamente igual a

La

suma

de

ambos

segmentos

es

- r (longitud de la circunferencia), como se

demuestra, analíticamente, en la parte inferior de la figura.


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4.2 Rectificación de una circunferencia Siguiendo la construcción anterior, la rectificación será igual al la de un segmento suma de dos semicircunferencias. Esto es:

+

= 2 r.

4.3 Rectificación de un cuadrante. La determinación del punto medio del segmento trazado de su mediatriz, define el segmento

, mediante el

/2, cuya longitud es la

rectificación de un cuadrante de circunferencia. 4.4 Rectificación de un arco menor de 90º Dado

< 90º, se procede como sigue:

Se une el centro O con el extremo A del arco, se divide en el radio en cuatro partes iguales y se toma

igual a tres de dichas partes. La recta

NR orta a la recta perpendicular al diámetro por A en el punto B. El segmento es la rectificación del arco de circunferencia

.


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