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PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA quinto grado de primaria

Triángulos Definición

TA N

Elementos

C IA

Se llama triángulo al polígono que tiene tres lados.

Vértices: A, B, C

Lados: AB, BC, AC

D IS

Ángulos interiores:

N

A

BAC, ABC, ACB.

Perímetro de un triángulo

AC

El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus tres lados.

U C

El semiperímetro es la mitad del perímetro.

ED

Perímetro  2 p  a  b  c 2p  a  b  c

abc 2

AM

Según sus lados Se clasifican en:

R

A)

p

A

Clases de triángulos

Perímetro 2

D

E

Semiperímetro 

Δ Isósceles

Δ Escaleno

Dos de sus lados son congruentes, el lado desigual se llama base. Los ángulos en la base son congruentes.

Sus tres lados y sus tres ángulos son de diferentes medidas (no son congruentes).

PR O

G

Δ Equilátero

Sus tres lados son congruentes y sus tres ángulos también.

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B)

Según sus ángulos Se clasifican en: Δ Acutángulo

Δ Obtusángulo

D IS

N Mediana. Es la recta que une el punto medio de uno de los lados con el vértice opuesto.

U C

2.

3.

Mediatriz. Se llama mediatriz a la recta perpendicular a uno de los lados levantada por el punto medio del lado.

AM

A

D

E

ED

Altura. La altura es la perpendicular que se traza por uno de los vértices hacia el lado opuesto.

AC

Rectas en un triángulo 1.

Triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo.

A

Triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos.

Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

TA N

C IA

Δ Rectángulo

BH : Altura

R

Bisectriz interior. Es la bisectriz de uno de los ángulos interiores que corta al lado opuesto.

PR O

G

4.

BM : Mediana

BD : Bisectriz interior

5.

MN : Mediatriz

Bisectriz exterior. Es la bisectriz de uno de los ángulos exteriores que corta a la prolongación del lado opuesto.

BE : Bisectriz exterior

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Ceviana interior. Se llama así a cualquier recta que trazada por uno de los vértices corta al lado opuesto.

7.

Ceviana exterior. Se llama así a cualquier recta que trazada por uno de los vértices corta a la prolongación del lado opuesto.

TA N

C IA

6.

BQ : Ceviana exterior

D IS

BP : Ceviana interior

La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.

N

2.

La suma de las medidas de los tres ángulos interiores es igual a 180°.

ED

U C

AC

1.

A

Principales propiedades

α, β, γ : Medida de los ángulos interiores.

E

φ : Medida del ángulo exterior.

α + β+ γ = 180°

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°.

4.

La longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados, pero mayor que la diferencia de las longitudes de dichos lados.

PR O

G

R

3.

AM

A

D

φ=α+β

φ, θ, δ : Medidas de los ángulos exteriores. φ + θ + δ = 360°

a <b+c;a>b-c

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Ejercicio resueltos Resolución:

m

D IS ∴

A

AC

Ejercicio 2 La recta L es mediatriz del lado AB, si AF = x + 4 y FB = 10. Halla “x”.

U C

  160   180    180  160  ∴

  20  Rpta. C

E

E) 7

AM

A

D

Resolución: Al ser L mediatriz de AB se cumple que:

AF  FB

R

x  4  10 x  10  4

G PR O

90     70   180 

ED

D) 6

x  6 Rpta. D

Ejercicio 3 En un triángulo ABC se traza su bisectriz interior CD de modo que: m ACD = φ + 30° y m DCB = 70°. Halla el valor de “φ”. A) 50° D) 20°

A) 10° B) 5° C) 20° D) 15° E) 25° Resolución: Sabemos que: m A  m B  m C  180 

N

x  3 Rpta. B

2x  x  8  5

C) 4

  40  Rpta. C

Ejercicio 4 En un triángulo ABC, m A = 90°, m B = φ y m C = 70°. Halla el valor de “φ”.

2x  5  x  8

B) 3

DCB

  70  30 

BM  MC

A) 2

ACD  m

  30   70 

Como AM es mediana , se tiene:

C IA

Al ser CD bisectriz se cumple que:

TA N

Ejercicio 1 En un triángulo ABC, se traza su mediana AM tal que: BM = 2x + 5 y MC = x + 8. Halla “x”. A) 2 B) 3 C) 4 D) 1 E) 1,5 Resolución:

B) 10° E) 30°

Ejercicio 5 Halla el valor de “x”. A) 15° B) 20° C) 60° D) 30° E) 45° Resolución: Sumamos los ángulos del triángulo: m A  m B  m C  180  2 x  3 x  x  180  6 x  180   x 

C) 40° ∴

180  6

x  30  Rpta. D

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En el

Ejercicio 6 En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se cumple que: m A = 80° y m C = x + 40°. Halla “x”. C) 30°

Resolución: Como el triángulo es isósceles:

A) 30°

C

80   x  40 

C) 20°

80  40   x ∴

D IS

B) 15° D) 25°

x  40  Rpta. E

Resolución: Usando ángulo exterior del triángulo. En el Δ ABE:

AC

Ejercicio 7: El triángulo ABC de la figura es equilátero. Halla “x”.

E) 12°

A

Am

TA N

Ejercicio 8 Calcula el valor de “x” en:

N

m

Rpta. B

C IA

B) 50° E) 40°

A) 35° D) 20°

A) 120°

  70  30    100  ... (1)

U C

B) 150° C) 130°

En el Δ ECD:   3x  x

ED

D) 140° E) 110°

  4 x ... (2) 100   4 x

Igualando (1) y (2):

D

E

Resolución:

DEC:

Cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, entonces: m C = m A = m B = 60°

A

100  x 4

AM

∴ x  25  Rpta. D

G

R

Cuadriláteros

PR O

Definición

Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados y dos diagonales.

Elementos Lados: AB, BC, CD, AD Vértices: A, B, C, D Ángulo interior: φ Ángulo exterior: θ Diagonal: AC

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Propiedades La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 360°.

2.

La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°.

TA N

C IA

1.

D IS

α + β + γ + δ = 360°

x + y +z + w = 360°

2.

Los ángulos opuestos son congruentes.

U C

AC

Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos.

N

PARALELOGRAMO

I.

A

Clasificación

ED

AB//CD

A B

C D

D

E

BC//AD

Los lados opuestos son congruentes.

3.

Las diagonales se cortan en su punto medio.

PR O

G

R

1.

AM

A

Propiedades de los paralelogramos

AB = CD BC = AD

AC y BD : diagonales AO = OC BO = OD

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Clasificación de los paralelogramos

C IA

Cuadrado. Tiene sus cuatro lados congruentes. Las diagonales son bisectrices de sus ángulos, perpendiculares entre sí y congruentes.

D IS

TA N

a.

AC = BD

A

AB = BC = CD = AD

Rombo. Los cuatro lados son congruentes. Las diagonales son desiguales, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.

N

c.

Rectángulo. Los lados consecutivos no son congruentes. Los ángulos interiores miden 90° cada uno. Las diagonales son congruentes.

D

E

ED

U C

AC

b.

AB = BC = CD = AD

AC < BD

G

R

AM

A

AB = CD, BC = AD

PR O

d.

Romboide. Es el paralelogramo que tiene sus lados consecutivos diferentes.

AC = BD

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II.

TRAPECIO

C IA

Los trapecios son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos y dos lados no paralelos. A los lados paralelos se les llama bases.

BC // AD

TA N

AB // CD BC es la base menor

D IS

AD es la base mayor

Los ángulos adyacentes a las bases son congruentes. Las diagonales son congruentes.

N

Trapecio isósceles. Son los trapecios que tienen los lados no paralelos congruentes.

AC

a.

A

Clasificación de los trapecios

AC = BD

Trapecio recto. En este trapecio uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.

PR O

G

b.

R

AM

A

D

E

ED

U C

AB = CD A D B C

m

A = m B = 90° AB BC AB AD

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III.

Tr a pecio escaleno .- Los lados no escaleno.-

TRAPEZOIDE Los trapezoides son cuadriláteros convexos que no tienen lados paralelos.

paralelos en este trapecio no son congruentes.

TA N

C IA

c.

D IS

AB  CD

Ejercicios resueltos

Sobre cuadriláteros

A) 1 D) 4

A

C) 3

AC

B) 2 E) 6

Los trapecios isósceles tienen los lados no paralelos congruentes.

N

Ejercicio 1 En un paralelogramo ABCD, AB = 10 y CD = 2x + 4. Halla “x”.

Resolución:

D

E

ED

U C

Los lados opuestos del paralelogramo son con AB gruentes. AB  CD BC  Rpta. C 3 x 1054  17 2xx64 Ejercicio 3 Dos lados de un rombo miden 3 x3x 10 26yxx45+ 6. Halla “x”. 34x+4,17 212 6  2x 32 x  12 2  xx A) 1 C) 3 2 3 B) 2 6  x E) 5 14 4 2x D)

AM

A

x3 Resolución: Los lados de un rombo son congruentes, entonces:

Rpta. C

G

R

Ejercicio 2 En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD, AB = 3x + 5 y CD = 17. Halla “x”.

PR O

A) 2 D) 5

B) 3 E) 1

C) 4

Resolución:

Rpta. A

Ejercicio 4 En un cuadrilátero ABCD, m A = x, m B = 130°, m C = 80° y m D = 2x. Halla el valor de “x”. A) 40° D) 50°

B) 30° E) 60°

C) 20°

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Resolución:

Calcula “x” en:

C IA

Ejercicio 7

TA N

Sumamos los ángulos: A) 50°

C) 5

AC

B) 6 E) 3

N

Ejercicio 5 Uno de los lados de un rectángulo mide x + 2 y su lado opuesto mide 8. Halla “x”. A) 4 D) 3

E) 40°

A

Rpta. D

C) 20°

D IS

D) 30° Resolución:

B) 10°

Rpta. E

Rpta. B

AM

A

D

E

ED

U C

 2 x  360  x  130 23 x  3880 xx120 Resolución: El ángulo exterior en D mide 120°, la suma de los  x  38x  210  120  6 x  360 Los lados opuestos del rectángulo son congruentes. 3 xángulos exteriores es 360°, entonces: 2x  8 3 x  360  210  240  AB  CD 6 x  240   x  8 1506  x 3 x  150   x  x2 8 x  40  2 3 x 82 x4 x  50   x6

R

Ejercicio 6 Los lados consecutivos de un cuadrado miden 8 + x y 3x. Halla “x”.

PR O

G

A) 4 B) 2 C) 3 D) 1 E) 6 Resolución: En un cuadrado sus lados son congruentes, entonces:

Ejercicio 8 La figura está formada por los siguientes cuadriláteros, ABCD es un rombo, ADEF es un paralelogramo, FEJG es un trapecio isósceles y JIHG es un cuadrado. Si AB = 6, halla GH.

Rpta. A

A) 2

B) 6

D) 4

E) 5

C) 3

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Datos:

Resolución:

m A + m B + m C = 280° ... (1) Por propiedad:

Reemplazando (1) en (2): 280   x  360 

TA N

x  360  280   x  80  Rpta. D

En el rombo ABCD: AB = BC = CD = DA = 6 En el paralelogramo ADEF : AD = FE = 6 En el trapecio isósceles: FE = JG = 6 En el cuadrado: GH = JG  x = 6 Rpta. B

A) 20° D) 25°

A

C) 30°

N

B) 40° E) 10°

Resolución: Al ser el trapecio isósceles:

C) 70°

AC

B) 60° E) 90°

D IS

Ejercicio 1 0 En un trapecio isósceles ABCD, BC//AD, m A = 50°y m D = x + 10°. Halla “x”.

Ejercicio 9 En un cuadrilátero convexo la suma de las medidas de tres ángulos interiores es 280°. Halla la medida del cuarto ángulo interior. A) 50° D) 80° Resolución:

C IA

m A + m B + m C + m D = 360° ... (2)

Rpta. B

PR O

G

R

AM

A

D

E

ED

U C

AB  CD m Am D 50   x  10  50  10   x x  40 

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TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS